第9章 函数
第9章 多元函数微分法及其应用(题库)答案
C ）.
x 1 y 1 z 1 1 2 3
第 9 章 多元函数微分法及其应用（题库）答案
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C.
x 1 y 1 z 1 1 2 3
D.
x 1 y 2 z 3 1 1 1
C ）.
28.（8-6）曲面 xyz 6 在点 1, 2,3 处的切平面方程是（ A. 6 x 3 y 2 y 1 0 C. 6 x 3 y 2 z 18 0
t
22.（8-4）设 z uv sin t ，而 u e ， v cos t ，求 解：
dz z du z dv z vet u sin t cos t et cos t sin t cos t . dt u dt v dt t
2 2
B.
x 2 y 1 ＝＝ 4 2
z4 －1
D. 2 x y 4 z 6 0 C ）.
31.（8-6）旋转抛物面 z x y 1 在点 2,1, 4 处法线方程为（ A. 4 x 2 2 y 1 z 4 0 C. B.
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dz . dt
第 9 章 多元函数微分法及其应用（题库）答案
23.（8-5）已知方程 x y 1 0 在点 0,1 的某邻域内能唯一确定一个单值可导且 x 0
2 2
时
y 1 的隐函数 y f x ，求这函数的一阶导数在 x 0 的值
z . x
z 2x 3y x
2
z x
2
x 1 y 2
2 1 3 2 8 .
z . y
第9章 生产函数
第9章 生产函数1．动力山羊草坪公司使用两种大小不同的割草机割草。
较小的除草机有一个22英寸刀片，并被用于有许多树和障碍物的草地上。
较大的割草机是小割草机的两倍大小并被用于机器性能发挥比较好的开阔草坪上。
动力山羊的两个生产函数如下表：a ．画出第一个生产函数平方英尺的等产量线。
如果这不生产浪费，应该投入40000q =多少和？k l b ．对第二个生产函数回答问题a 。
c ．如果40000平方英尺草地中的一半由第一种生产函数完成，一半由第二种生产函数完成，为了不浪费，应该使用多少与？如果第一种方法割1/4，第二种方法割3/4，应k l 该使用多少与？和是分数意味着什么？k l k l d ．在你对问题c 的回答的基础上，画出结合两种生产函数的的等产量线。
40000q =解：对于每一种除草机，由于它们需要的资本投入和劳动投入的比例是固定的，所以生产函数是固定比例型的生产函数，即：{}111,min 5000l k F =⎭⎬⎫⎩⎨⎧=222,2min 8000l k F a ．对于第一种生产函数，平方英尺的等产量线如图7-1所示。
将40000q =代入大型除草机的生产函数，得：140000q F =={}11,min 8l k =由此可知最优投入为。
811==l k b ．对于第二种生产函数，平方英尺的等产量线如图7-1所示。
把40000q =代入小型除草机的生产函数，得：240000q F ==每小时产出（平方英尺）资本投入（24小时用电量）劳动投入小型割草机5 00011大型割草机8 00021⎭⎬⎫⎩⎨⎧=22,2min 5l k 由此可知最优投入为。
5,1022==l k图9-1 等产量线c ．如果40000平方英尺中的一半由第一种生产函数完成，一半由第二种生产函数完成，则把，分别代入大型割草机和小型割草机的生产函数，得到：120000F =220000F ={}11,min 4l k =⎭⎬⎫⎩⎨⎧=22,2min 5.2l k 解得：，从而得到：411==l k 5.2,522==l k 5.692121=+==+=l l L k k K ，如果1/4的草坪由第一种生产函数完成，而3/4的草坪由第二种生产函数完成，则采用类似的方法可得：，。
高等数学第9章偏导数全微分
x0
x
则称此极限为函数 z f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处对 x 的偏导数，记为
z x
，f x x0 x
z ，
x x0
x
x x0 或
y y0
f x ( x0 ,
y0 ).
y y0
y y0
例如，极限(1)可以表示为
fx (x0 ,
y0 )
lim
x0
f (x0
x, y0 ) x
解
f ( x,1) x 2 ,
df ( x,1) f x ( x,1) dx 2x;
f x (2,1) 4
(3)求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；
例5
xy
设
f
( x,
y)
x2
y2
0
求 f ( x, y)的偏导数.
( x, y) (0,0) ( x, y) (0,0)
解 当( x, y) (0,0)时,
A ( x x )( y y ) xy
y x x y x y
ΔA称为面积函数A=xy的全增量， 由两局部组成：
y x xy Δx，Δy的线性局部
x y 当(Δx,Δy) →(0,0)时，是一个比
( x )2 ( y )2 高阶无穷小。
一、全微分
定义 设函数z f ( x, y )在点(x，y)的某个邻域内 有定义，点（x+Δx，y+Δy）在该邻域内， 如果函 数 z f ( x, y )在点（x，y）的全增量
3 )( x 2 2
y2
5
z2 )2
2x
1 r3
3x2 r5
.
由于函数关于自变量的对称性，所以
高等数学第九章第一节 多元函数的基本概念
多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数 经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可 用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的． 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．
29
一般地，求 lim f (P) 时，如果 f (P) 是初等函 P P0
数，且 P0 是 f (P ) 的定义域的内点，则 f (P ) 在
第一节 多元函数的基本概念
一、平面点集 二、多元函数的概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性
1
一、平面点集
1. 平面点集
平面上的点P与有序二元实数组 ( x, y) 之间
是一一对应的。
R2 R R (x, y) | x, y R 表示坐标平面。
平面上具有性质P的点集，称为平面点集，记作
边界上的点都是聚点也都属于集合．
9
二、多元函数概念
设 D是平面上的一个点集，如果对于每个点
P( x, y) D，变量z按照一定的法则总有确定的值 和它对应，则称 z 是变量 x, y 的二元函数，记为 z f ( x, y)（或记为z f (P)）.
类似地可定义三元及三元以上函数．
当n 2时，n 元函数统称为多元函数.
点 P0
处连续，于是 lim P P0
f (P)
f (P0 ).
例７ 求 lim xy 1 1.
x0
xy
y0
30
四、小结
多元函数的定义 多元函数极限的概念
（注意趋近方式的任意性）
多元函数连续的概念 闭区域上连续函数的性质
31
思考题
若点( x, y)沿着无数多条平面曲线趋向于 点( x0 , y0 )时，函数 f ( x, y)都趋向于 A，能否 断定 lim f ( x, y) A？
信号、系统分析与控制 第9章 系统函数的零极点
2. 离散系统函数的零极点
M
离散系统函数的多项式形式为：
H (z)
B(z) A(z)
bj z j
j0
N
ai z i
b0 a0
b1z 1 ... bm z m a1z 1 ... an z n
（9.1.2）
将系统函数进行因式分解，可采用根的形式表示多项式，即 i0
M
H (z)
Y (z)
➢ 说明系统正弦稳态特性。
➢ 研究系统的稳定性。从系统函数的极点分布可以了解系统的固有频率，进而了解系统冲激响应的模式，也就 是说可以知道系统的冲激响应是指数型、衰减振荡型、等幅振荡型、还是几者的组合，从而可以了解系统的
响应特性及系统是否稳定。
1. 连续系统的零极点
系统函数一般以多项式形式出现，分子多项式和分母多项式都可以分解成线性因子的乘积，即连续系统函数：
➢ 可预测系统的时域特性。确定系统函数H(s)、H(z)。 ➢ 可以用函数 [r,p,k]=residuez（num,den）完成部分分式展开计算系统函数的留数、极点和增益； ➢ 可以用函数sos=zp2sos（z,p,k）完成将高阶系统分解为2阶系统的串联。
➢ 描述系统的频响特性。从系统的零、极点分布可以求得系统的频率响应特性，从而可以分析系统的正弦稳态 响应特性。 使用h=freqz(num,den,w)函数可求系统的频率响应。
2. 使用多项式的roots()函数分别求出多项式和的根，获得系统函数的极点、零点。
3. 用用zero(sys)和pole(sys)函数直接计算零极点，sys表示系统传递函数。用法如下：
z = zero(sys)：返回 LTI模型 sys的零点z 的列向量。
[z,gain] = zero(sys)：同时返回增益gain。
第九章多元函数微分学习题简解
基本训练11．设函数222),(yx xy y x f +=，求⎪⎭⎫⎝⎛x y f ,1． 答案：222yx xy +2．求下列函数的定义域：（1）()84ln 2+-=x y z ； 答案：)}2(4|),{(2->x y y x ； （2）yx yx z -++=11； 答案：|}||),{(y x y x >；（3）xy z arcsin=； 答案：}0|||||),{(≠≤x x y y x 且3．求下列极限： （1）11lim 22220-+++→→y x yx y x ； 提示：分母有理化；答案：2（2）xxy y x )sin(lim0→→； 答案：0（3）()yxy x y x 1cos1sinlim 30+→→． 提示：无穷小与有界函数之积仍是无穷小； 答案：04．证明极限yx y x y x -+→→00lim不存在：提示：令(x, y ) 沿不同的路径kx y =趋向于原点，极限等于不同的值.5．函数yx z -=1在何处是间断的？答案：在位于xOy 平面的直线y = x 上.6．讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,222222yx y x y x xy z 的连续性．提示：选取直线kx y =， 则2222)0,0(),(l 22)0,0(),(1im limkkkx x kxy x xykxy y x kxy y x +=+=+=→=→随着k 的变化而变化，即22)0,0(),(limyxxyy x +→不存在，函数在除)0,0(外任一点都连续.7．求下列函数的偏导数： (1) 22yx y x z +-+=；答案：221yx x xz +-=∂∂，221yx y yz +-=∂∂（2）yx z tanln =； 答案：yx yx y xz cossin1=∂∂，yx y x y x yz cossin2-=∂∂（3）yx z arctan =；答案：)1(22yyx x yxxz +=∂∂，)1(2ln 2yyx x x yz +=∂∂（4）)sec(xy z =；答案：)sec()tan(xy xy y xz ⋅=∂∂，)sec()tan(xy xy x yz ⋅=∂∂8．设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(4444442yx y x y x xyy x f ，证明函数),(y x f 在)0,0(处偏导数存在，但不连续．简解： 000lim)0,0()0,(lim )0,0(0=-=-=→→xxf x f f x x x ，同理0)0,0(=y f ； 但0≠k 时，442)0,0(),(limy x xykxy y x +=→∞=+==→443)0,0(),(limkxx kxkxy y x ,所以函数在)0,0(处不连续．基本训练21．求下列函数的二阶偏导数： (1) yxz 2=，求22xz ∂∂，yx z ∂∂∂2；答案：2222)12(2--=∂∂y xy y xz ，)ln 21(2122x y xyx z y +=∂∂∂-(2) x y y x z sin sin 33+=，求yx z∂∂∂2；答案：x y y x cos 3cos 322+(3) )l n(xy x z =，求yx z ∂∂∂23．答案：02．设222zy x r ++=，证明rzr yr xr 2222222=∂∂+∂∂+∂∂．简解： rx zyxxxr =++=∂∂222，322222rz yrxr x r xr +=∂∂⋅-=∂∂，同理可得,32222rz xyr +=∂∂32222ry x zr +=∂∂，因此rrz y x zr yr xr 2)(23222222222++=∂∂+∂∂+∂∂3．求下列函数的全微分：(1) y x z arcsi n =； 答案：22||x y y xdyydx --（2）)ln(22y x z +=，求)1,1(dz ； 答案：dy dx +(3) zy x u =． 答案：⎥⎦⎤⎢⎣⎡++xdz y xdy z dx x yzx yz ln ln4．求函数32y x z =当2=x ，1-=y ，02.0=∆x ，01.0-=∆y 时的全增量及全微分．答案：.2.0,20404.0-=-=∆dz z*5．设有一圆柱，它的底圆半径r 由2cm 增加到05.2cm ，其高h 由10cm 减少到8.9cm ，试确定其体积的近似变化．6．设22uv v u z -=，而y x u cos =，y x v sin =，求xz ∂∂，yz ∂∂．答案：)sin (cos 2sin 232y y y x xz -=∂∂，)cos(sin)sin (cos 2sin 3333y x x y y y x yz +++-=∂∂7．设xy z =，而t e x =，t e y 21-=，求dtdz ． 答案：t t e e ---．8．设)arctan(xy z =，而xe y =，求dxdz ． 答案：xxex x e 221)1(++．基本训练31．设1)(2+-=a z y eu ax，而x a y sin =，x z cos =，求dxdu ． 答案：x e ax sin ．2．设())4(32y x y x z ++=，求xz ∂∂，yz ∂∂．两边取对数 答案：()())32ln(3232)4(2414y x y x y x y x xz yx y x +++++=∂∂+-+，()())32ln(32432)4(3414y x y x y x y x yz yx y x +++++=∂∂+-+4．设)(u xF xy z +=，而xy u =，)(u F 为可导函数，求证xy z yz yx z x+=∂∂+∂∂．解答： 因为xyu xy xu 1,2=∂∂-=∂∂，故)()()()(u F x y u F y xu u F x u F y xz '-+=∂∂'++=∂∂)()(u F x yu u F x x yz'+=∂∂'+=∂∂，所以 xy z xy u xF xy u F y xy u F y u xF xy yzyx zx+=++='++'-+=∂∂+∂∂))(()()()(5．求下列函数的一阶偏导数（其中f 具有一阶偏导数）：(1))(zx yz xy f u ++=；答案：)()(xz yz xy f z y xu ++'+=∂∂，)()(xz yz xy f z x yu++'+=∂∂，)()(xz yz xy f y x zu ++'+=∂∂（3）),,(xyz xy x f u =．答案：321f yz f y f xu '+'+'=∂∂，32f xz f x yu '+'=∂∂，3f xy zu '=∂∂6．设)(22y x f y z -=，其中)(u f 为可导函数，试求yz y xz x ∂∂+∂∂11．简解： 因为)()(22)()(2222222222y xfy x f xy x y xf y xfy xz --'-=⋅-'--=∂∂,)()(2)()()2()()(222222222222222y xfy x f yy xf y xfy y x f y y xf yz --'+-=--⋅-'--=∂∂,所以yz y xz x ∂∂+∂∂11)()(222222y xfy x f y --'-=)()(2)(22222222y xyfy x f y y xf --'+-+)(122y x yf -=.7．求下列函数的二阶偏导数（其中f 有二阶连续的偏导数）： (1) )(222z y x f u ++=，求22xu ∂∂；答案：)(4)(22222222z y x f x z y x f ++''+++'.（2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=y x x f u ,，求22y u ∂∂； 答案：2242232f yx f yx ''+'.(3) ),sin (22y x y e f z x +=，求yx z ∂∂∂2；简解：因为 212s i n f x f y e xz x'+'=∂∂， 所以)2c o s (2)2c o s (s i n c o s 2221121112f y f y e x f y f y e y e f y e yx z x xx x ''+''+''+''+'=∂∂∂ y e f f xy f y x y y e y y e f x x x cos 4)cos sin (2cos sin 12212211'+''+''++''=.(4) ),,(y x u f z =，yxe u =，求yx z ∂∂∂2；答案：1232113112f e f f xe f e f xe y y y y '+''+''+''+''8．设)()(t x t x y μψμϕ-++=，其中ϕ，ψ是任意的二次可导函数，求证： 22222xy ty ∂∂=∂∂μ．简证：因为 )()(t x t x ty μψμμϕμ-'-+'=∂∂,)()(2222t x t x ty μψμμϕμ-''++''=∂∂又 )()(t x t x xy μψμϕ-'++'=∂∂,)()(22t x t x xy μψμϕ-''++''=∂∂所以22222xy ty ∂∂=∂∂μ.基本训练41．设xy yx arctan ln22=+，求dxdy ．提示：原方程就是xy y x arctan)ln(2122=+，对方程两边关于x 求导;也可以用隐函数的求导方法求解，令xy y xz y x F arctan)ln(21),,(22-+=, 利用隐函数存在定理的求导公式来解. 答案：yx y x -+.2．设03333=-++axyz z y x ，求xz ∂∂，yz ∂∂．答案：axyz xayz xz --=∂∂22，axyz yaxz yz --=∂∂22.3．设0=-xyz e z ，求xz ∂∂，yz ∂∂．简解：令xyz e z y x F z -=),,(，则yz F x -=，xz F y -=， xy e F z z -= xz F y -= 所以xz ∂∂xy eyzxy eyzzz-=---=，yz ∂∂xyexzxy exzzz-=---=因此yx z ∂∂∂2=--∂∂--∂∂+=2)()())((xy e x yz eyz xy e yz y z zzz()zy x e xyz zexy e z xz22223)(1---4．证明由方程0),(=--bz cy az cx ϕ（),(v u ϕ具有连续的偏导数，a ，b ，c 为常数）所确定的函数),(y x f z =满足关系式c yz bx z a=∂∂+∂∂．简解：（方法一）方程两边微分得,0)()(212121ϕϕϕϕϕϕ'+''+'=⇒=-⋅'+-⋅'b a dy c dx c dz dz b dy c dz a dx c因此211ϕϕϕ'+''=∂∂b a c xz ，212ϕϕϕ'+''=∂∂b a c yz ，得c yz bxz a=∂∂+∂∂.（方法二） 记),,(bz cy az cx F --=ϕ 则,211ϕϕϕ'+''=-=∂∂b a c F Fxz zx.212ϕϕϕ'+''=-=∂∂b a c F Fxz zy5．设023=+-y xz z ，求22xz ∂∂，22y z ∂∂．答案：3222)23(16x z xz xz --=∂∂，3222)23(6x z zyz --=∂∂7．设223),,(z y x z y x f u ==，其中),(y x z z =是由方程03333=-++xyz z y x 所确定的函数，求)1,0,1(-∂∂xu ．简解：令 xyz z y x z y x F 3),,(333-++=， 则,332yz x F x -= xy z F z 332-=；xyz xyz xyz yz x xz --=---=∂∂22223333，所以xz z y x z y x xu ∂∂⋅+=∂∂2322223.232223222xyz xyz z y x z y x --⋅+=基本训练51．求曲线2y x =，3x z =在)1,1,1(处的切线与法平面方程．答案：切线方程611121-=-=-z y x ，法平面方程962=++z y x2．求出曲线t x =，2t y =，3t z =上的点，使在该点的切线平行于平面42=++z y x ．简解：曲线上任一点处的切线的方向向量为 ()23,2,1t t s =，已知平面的法向量为()1,2,1=n . 由题意得 0=⋅n s ，即 03412=++t t ，解得1-=t 或31-=t ，故所求的点为)1,1,1(--，或⎪⎭⎫ ⎝⎛--271,91,313．求曲线⎩⎨⎧+==++222226y x z z y x 在点)2,1,1(处的切线方程． 提示：曲线可以表示为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===2sin 2cos 2z t y tx ，曲线上点)2,1,1(处也就是4π=t 时的切线的方向向量为)0,1,1(-=s.答案：切线方程⎩⎨⎧=--+=-++0222062z y x z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧=--=--021111z y x4．求曲面xy z arctan=在⎪⎭⎫⎝⎛4,1,1π处的切平面和法线方程．答案：切平面方程022=-+-πz y x ， 法线方程241111π-=--=-z y x5．求曲面273222=-+z y x 在点)1,1,3(处的切平面与法线方程．答案：切平面方程0279=--+z y x ， 法线方程111193--=-=-z y x6．在曲面222y x z +=上求一点，使该点处的法线垂直于平面0142=+++z y x ，并写出法线方程．答案：所求点为),3,1,1(-- 法线方程134121-=+=+z y x ．7．求曲面2222z yx +=上平行于平面01422=+-+z y x 的切平面方程．答案：切平面方程012=+-+z y x8．求下列函数在指定点处沿指定方向的方向导数： (1) y e y e z yxcos si n +=，在点⎪⎭⎫⎝⎛2,0π沿向量}1,2{-； 提示：方向l 的方向余弦为51cos ,52cos -==βα；ye xz xs i n =∂∂，y e y e y e yz yyxsin cos cos -+=∂∂，βαπππc o s c o s )2,0()2,0()2,0(yz xz lz ∂∂+∂∂=∂∂522πe +=．(2) z e xy u +=，在点)0,1,1(处沿从点)1,2,4(-到)0,1,5(的方向．提示：ze zu x yu y xu =∂∂=∂∂=∂∂,,，方向l 的方向向量)1,1,1(-=s；所以方向l 的方向余弦为：31cos ,31cos ,31cos =-==γβα；代入方向导数公式可得γβαcos cos cos )0,1,1()0,1,1()0,1,1()0,1,1(zu yu xu lu ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂31=9．设从x 轴正向到方向l 的转角为θ，求函数332y xy x u +-=在点)1,1(M 处沿方向l 的方向导数lu ∂∂．问θ为何值时，方向导数lu ∂∂：1）具有最大值；2）具有最小值；3）等于零．提示：2232,23yy xu x x xu +-=∂∂-=∂∂，1)1,1()1,1(=∂∂=∂∂yu xu ，)4sin(2sin cos )1,1(πθθθ+=+=∂∂lu ,所以当4πθ=时，lu ∂∂最大；当45πθ=时，lu ∂∂最小；当43πθ=或47πθ=时，0=∂∂lu ．10．设z y x xy z y x u 62332222---+++=，求)0,0,0(f grad 及)1,1,1(f grad ．答案：k j i f 623)0,0,0(---=grad ，j f 3)1,1,1(=grad11．设22y xy x z +-=，求在点)1,1(处的梯度，并问函数z 在该点沿什么方向使方向导数：1）取最大值；2）取最小值；3）等于零．答案：j i z +=)1,1(grad ，函数z 在)1,1(处沿j i +方向lz ∂∂取最大值，沿j i --方向lz ∂∂取最小值，沿j i +-或j i -方向lz ∂∂取值为零．基本训练61．问函数z xy u 2=在点)2,1,1(-P 处沿什么方向的方向导数最大？并求方向导数的最大值．提示：22,2,xy zu xyz yu z y xu =∂∂=∂∂=∂∂，4,2)2,1,1()2,1,1(-=∂∂=∂∂--yu xu ,1)2,1,1(=∂∂-zu ，所以kj i u +-=42grad 是方向导数取最大值的方向， 此方向导数的最大值为21||=u grad ．2．求下列函数的极值：(1) 22324y xy x x z -+-=； 答案： 极大值为0)0,0(=f(2) y y ye x e z -+=cos )1(； 答案： 极大值为2)0,2(=πk f ， ,2,1,0±±=k 3．求函数22y x z +=在条件1=+by a x 下的极值．答案：极小值为2222222222,b a b a b a ba b a ab f +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++ 4．建造容积为一定的矩形水池．问怎样设计，才能使建筑材料最省．简解：设水池的长宽高分别为z y x ,,，令)(22),,,(V xyz zx yz xy z y x L --++=λλ, 关于λ,,,z y x 求偏导，求得驻点为)4,2,2(333V V V ，这是唯一可能极值点，由问题的实际意义得，所用的建筑材料存在极小值，故长宽高分别为3334,2,2V V V 时，建筑材料最省.5．在椭圆4422=+y x 上求一点，使其到直线0632=-+y x 的距离最短．提示：目标函数为 13632),(-+=y x y x f ，条件函数为44),(22-+=y x y x ϕ.为了求目标函数的最值，可设)44()632(),,(222-++-+=y x y x y x L λλ，求得可能极值点为)53,58(，)53,58(--, 代入, 比较得所求点⎪⎭⎫ ⎝⎛53,58. 6．设有一槽形容器，底是半圆柱形，其长为H ，截面是半径为R 的半圆，横放在水平面上，其表面积为常数0S ，试求R 与H 的值，使其容积最大．简解：令)(21),,(022S R RH H R H R L -+-=ππλπλ，求得唯一可能极值点为：)32,3(),(0ππS S H R =；因此当π30S R =，π32S H =时，容积最大．7．在平面023=-z x 上求一点，使得它到点)1,1,1(A 、点)4,3,2(B 的距离平方之和为最小．提示：目标函数为2222)2()1()1()1(),,(-+-+-+-=x z y x z y x f 22)4()3(-+-+z y)16543(2222+---++=z y x z y x ，条件函数为z x y x 23),(-=ϕ,答案是点⎪⎭⎫⎝⎛2663,2,1321.本篇自测A 卷一、填空题1．答案：),(y x f 2．答案：不存在3．提示：分式函数在分母为0处间断，答案为：πn x =，或πm y =，（n ，,2,1,0±±=m ）． 4．答案：⎩⎨⎧==0),(0),(0000y x f y x f y x二、单项选择题 1． 答案：B2．提示：函数),(y x f 在一点连续、偏导数存在、可微之间有如下关系全微分存在 ⇔ 点存在偏导数在点连续在函数点可微函数在点连续在偏导数P P P P ⇓⇒⇓故答案为B.3．提示：参见第2小题提示，答案为A .4．提示：令3),,(-+-=xy z e z y x F z ，则y F x =，x y F =，1-=z z e F 所以曲面在点)0,1,2(处法向量为：)0,2,1(，从而可得C 为正确答案.三、计算题1. 提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小, 答案为0.2. 答案：)1(21yyy x x yxxz +=∂∂-，)1(2ln yyyx x x x yz +=∂∂3. 提示：两边取对数得()y x y x z ++=2ln )2(ln , 两边关于y 求偏导得122ln(2)2z x y x y z yx y∂+=++∂+.故答案为：()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++=∂∂+y x y x y x y x yz yx 22)2ln(222.4. 答案：321f y f f xz '+'+'=∂∂，321f x f f yz '+'-'=∂∂5．答案：)22()(122323zzze z y z xy zey xy e ---．6．答案：2222y x y x +-． 7．答案：22212f xy f ''-''. 8．答案：dydx 5252-．9．提示：令09632=-+=∂∂x xxz , 得3-=x 或1=x ,令0632=+-=∂∂y yyz , 得0=y 或2=y ;所以驻点为 )2,1(),0,1(),2,3(),0,3(--, 利用二元函数极值的充分条件可求得极小值为5)0,1(-=f ，极大值为31)2,3(=-f .四、应用题1. 简解：设切点为),,(z y x ，则切点处的方向向量)3,2,1(2x x s =，已知平面的法向量)1,2,1(=n.由题意得 s 与n 垂直, 即 0=⋅n s, 所以03412=++x x , 解得1x =-或13x =-. 故所求点为:)1,1,1(--或⎪⎭⎫ ⎝⎛--271,91,31.2. 简解: 令)1()1543(),,,,(222-++-+++=y x z y x z z y x L μλμλ,分别求关于μλ,,,,z y x 的偏导数得,52,24,23λμλμλ+=+=+=z L y L x L x y x1543-++=z y x L λ,122-+=y x L μ解得可能极值点为：⎪⎭⎫ ⎝⎛1235,53,54⎪⎭⎫ ⎝⎛--1285,53,54. 比较z 的大小得所求点为： ⎪⎭⎫⎝⎛1235,53,54.3. 简解: 设第一卦限内的内接点为),,(z y x , 由空间解析几何知识得: 直角平行六面体的长宽高分别为z y x 2,2,2, 体积xyz V 8=; 故令).1(8),,,(222222-+++=cz by ax xyz z y x L λλ答案为：长、宽、高分别为32a ，32b ，32c 时，有最大体积 abc V 338=．五、证明题1．简解: )(z y x z ϕ+= 两边关于x ，y 求偏导得xz z y xz ∂∂'+=∂∂)(1ϕ，yz z y z yz ∂∂'+=∂∂)()(ϕϕ，解得 )(11z y x z ϕ'-=∂∂，)(1)(z y z yz ϕϕ'-=∂∂, 又 xzz f xu ∂∂'=∂∂)(， yz z f yu ∂∂'=∂∂)(所以xu z yu ∂∂=∂∂)(ϕ.2. 简证: 令 ⎪⎭⎫⎝⎛----=c z b y cz ax f z y x F ,),,(，则cz f F cz f F y x -'=-'=21,， 2221)()()()(c z b y f c z a x f F z ---⋅'+---⋅'=．所以曲面上任一点),,(z y x 处的法向量为：),)()(,,(2121cz b y f cz a x f f f ---⋅'+---⋅'''故点),,(z y x 处的切平面为,0)]()()([)()(2121=----⋅'+---⋅'+-⋅'+-⋅'z Z cz b y f cz a x f y Y f x X f即 .0)])(())([()])(())([(21=-----⋅'+-----⋅'z Z b y c z y Y f z Z a x c z x X f 不论z y x ,,取何值，c Z b Y a X ===,,总能使上式恒成立；即切平面总通过点),,(c b a .本篇自测B 卷一、填空题1．答案：}104|),{(222<+<≤y x x y y x 且． 2．提示：分子有理化，原式41241lim)24(44lim000=++=++-+=→→→→xy xy xy xy y x y x .3．提示：混和偏导数连续，则它们相等；答案为: = .4．提示：函数可微分, 则方向导数存在(显然偏导数连续也保证方向导数存在). 答案为: 函数可微分.二、单项选择题 1．提示：令xy v y x u =+=,，则1u x v=+，1uv y v=+ 代入得21(,)1v f u v u v-=+，故答案为B2．简解：xb x a f b x a f x ),(),(lim--+→xb a f b x a f xb a f b x a f x x ---+-+=→→),(),(lim),(),(lim),(2b a f x =.3．提示：切点为)0,1,1(, 方向向量为)1,1,1(-，所以答案为D.*4．简解：偏导数存在，不一定可微，故A 错误；由题设条件知曲面),(y x f z =的法向量为}1,1,3{--，故B 错误；曲线⎩⎨⎧==0),(y y x f z 在点))0,0(,0,0(f 的一个切向量为{1,0,}{1,0,3}x f =，故Ｃ正确；也可以根据曲线的切向量与曲面的法向量互相垂直来判定答案C 正确而D 错误.．三、计算题 1.提示： 因为xy yxy x xy y xy x xy =++≤+-≤22222222)()(0⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤+-≤22222221)(0y x y x y x xy 或，由夹逼准则得0)(lim2222=+-→→yxy x xy y x .2．答案：⎪⎭⎫⎝⎛'-⎪⎭⎫ ⎝⎛+'x y f xy x y f xy f )(．3．简解：21)(f x f xz '+''=∂∂ϕ, 所以))(()())((222112112f y f x f y f yx z'''+''-+''''+''-=∂∂∂ψϕψ 221211)()1)()(()(f y f y x f x '''+''-''+'''-=ψψϕϕ. 4．提示：两边关于x 求偏导得：)(222xy x y f x x y f x zzx -⎪⎭⎫⎝⎛'+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂+,zx x y f x y x y f xz 22-⎪⎭⎫⎝⎛'-⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂.也可以令⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=x y xf z y x z y x F 222),,(，利用隐函数求偏导公式来计算.5．答案：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+dz y z x dy x y z dx z x y z y x xzyln ln ln 6. 简解：（解法一）利用全微分的形式不变性，方程两边求微分得：0)()()(21=++-+'++'zdz ydy xdx dz dy F dz dx F ， 所以 z F F dy F y dx F x dz -'+''-+'-=2121)()(.（解法二）方程两边关于x 求偏导得： 0)1(21=∂∂--∂∂'+∂∂+'xz zx x z F x z F ，解得 z F F F x x z-'+''-=∂∂211，同理得 z F F F y y z-'+''-=∂∂212， 所以 z F F dy F y dx F x dz -'+''-+'-=2121)()(. *7．简解：方程组两边对x 求偏导得： ⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂-=∂∂-∂∂-022022x v v x u u y x v u v x u x解关于xu ∂∂，xv ∂∂的二元一次方程组得)(24222v u uyxv xu ++=∂∂，)(24222v u vyxu xv +-=∂∂.四、应用题1. 简解：曲面上任一点),,(z y x 处切平面的法向量为 )1,2,2(-=y x n， 又已知直线的方向向量为： )2,1,0()2,0,1(⨯=s)1,2,2(--= 由题意, s n//, 即112222-=-=-y x .解得1,1==y x ，代入曲面方程得2=z ，故所求的切平面方程为0)2()1(2)1(2=---+-z y x ，即 0222=--+z y x .*2．简解：x y yh y x xh +-=∂∂+-=∂∂2,2,00),(00),(2,20000x y y h y x x h y x y x +-=∂∂+-=∂∂,所以j y x i x y y x h )2()2(),(000000-+-=grad ，沿梯度j y x i x y y x h )2()2(),(000000-+-=grad方向的方向导数最大，最大值为 00202000855),(y x y x y x g -+=. 令xyy x y x L 855),,(22-+=λ)75(22--+-xy yxλ,由拉格朗日乘数法得)5,5(1-M ，)5,5(2-M ，),35,35(3M )35,35(3--M 为),(00y x g 的可能极值点，计算相应函数值并比较得)5,5(1-M 或)5,5(2-M 可作为攀登的起点．五、证明题 1. 简证：因为=∂∂xz [])]()([2)()(2ax y ax y a ax y ax y a -+++-'-+'ψψϕϕ，[])]()([21)()(21ax y ax y ax y ax y yz --++-'++'=∂∂ψψϕϕ;[])]()([2)()(22222ax y ax y aax y ax y axz -'-+'+-'++''=∂∂ψψϕϕ,[])]()([21)()(2122ax y ax y ax y ax y yz -'-+'+-'++''=∂∂ψψϕϕ.所以022222=∂∂-∂∂yz axz .*2．简证：因为 ()22|||)|2(02/12/3222/32222xy xy yx yxyx =≤+≤， 又022||lim2/10=→→xy y x ，所以 ()0lim2/3222200=+→→yx yx y x ，注意到0)0,0(=f ，因此函数在点)0,0(处连续；因为0)0,(≡x f ，所以0)0,0()0,(lim )0,0(0=-=→x f x f f x x ， 同理 0)0,0(=y f ；考虑极限 ρρ)0,0(),(limf y x f -→()22222)0,0(),(limy x yx y x +=→，其中22yx+=ρ，若沿直线kx y =取极限，则()22242242)0,0(),()1(1limk kxk xk kxy y x +=+=→随着k 的变化而变化，表明上述极限不存在，因此函数在点)0,0(处不可微．。
《高等数学》各章知识点总结——第9章
《高等数学》各章知识点总结——第9章第9章是《高等数学》中的微分方程章节。
微分方程是研究函数与其导数之间的关系的一门数学学科，是应用数学的基础。
本章主要介绍了常微分方程的基本概念和解法，包括一阶和二阶常微分方程的解法、线性常微分方程、齐次线性常微分方程和非齐次线性常微分方程等。
本章的主要内容如下：1.一阶常微分方程的解法：-可分离变量法：将方程两边进行变量分离，然后分别对两边积分得到解。
-齐次方程法：通过对方程的两边同时除以y的幂次，转化为可分离变量的形式。
- 线性方程法：将方程整理为dy/dx + P(x)y = Q(x)的形式，然后通过积分因子法求解。
2.二阶常微分方程的解法：- 齐次线性方程法：将方程整理为d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = 0的形式，然后通过特征方程求解。
- 非齐次线性方程法：将方程整理为d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = f(x)的形式，然后通过待定系数法求解。
3.线性常微分方程：-线性方程的定义和性质：线性方程是指非齐次线性方程，具有叠加和齐次性质。
-齐次线性方程的通解：通过特征方程求解齐次线性方程，得到通解。
-非齐次线性方程的通解：通过齐次线性方程的通解和非齐次线性方程的一个特解求得非齐次线性方程的通解。
4.齐次线性微分方程：-齐次线性方程的定义和性质：齐次线性方程是指非齐次线性方程中f(x)为零的情况。
-齐次线性方程的解法：通过特征方程求解齐次线性方程，得到通解。
5.非齐次线性微分方程：-非齐次线性方程的定义和性质：非齐次线性方程是指非齐次线性方程中f(x)不为零的情况。
-非齐次线性方程的解法：通过待定系数法求解非齐次线性方程。
6.可降次的非齐次线性微分方程：-可降次的非齐次线性方程的定义和性质：可降次的非齐次线性方程是指非齐次线性方程中f(x)可以表示为x的多项式乘以y(x)的幂函数的形式。
第九章 多元函数微分法及其应用
第九章 多元函数微分法及其应用§9.1多元函数的基本概念1.填空选择（1）设()22,y x y x f +=，()22,y x y x g -=，则()2[,,]f g x y y = 。
（2）设()y x f y x z -++=，且当0=y 时，2x z =，则=z 。
（3）设()xy y x z -+=22arcsin ，其定义域为 。
（4）若22),(y x x y y x f -=+，则(,)_________f x y =。
（5）下列极限中存在的是（ ）A . y x y x y x +-→→)1(lim 00；B . 24200lim y x y x y x +→→； C .22200lim y x y x y x +→→； D . 2200lim y x xy y x +→→. 2.求下列各极限：（1）22(,)(2,0)lim x y x xy y x y→+++； （2）(,)(0,0)lim x y →；（3）22(,)(0,0)1lim ()sin x y x y xy →+； （4）()()xyxy y x 42lim 0,0,+-→；（5）1(,)(0,1)lim (1)x x y xy →+； （6）22(,)(,)lim ()x y x y x y e --→+∞+∞+。
3.证明极限(,)(0,0)lim x y x yx y →+-不存在。
4. 指出下列函数在何处间断：（1）22ln()z x y =+；（2）x y x y z 2222-+=。
§9.2偏导数1.填空选择（1）设()y x y y x y x f arctan arctan ,22-⋅=，则()=∂∂y x f ,0 。
（2）设()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=000sin ,2xy xy xyy x y x f ，则()=1,0x f 。
（3）已知函数()22,y x y x y x f z -=-+=，则=∂∂+∂∂yz x z 。
《高等数学》-各章知识点总结——第9章
《高等数学》-各章知识点总结——第9章第9章 多元函数微分学及其应用总结一、多元函数的极限与连续 1、n 维空间2R 为二元数组),(y x 的全体，称为二维空间。
3R 为三元数组),,(z y x 的全体，称为三维空间。
nR 为n元数组),,,(21nx x x 的全体，称为n 维空间。
n维空间中两点1212(,,,),(,,,)n n P x x x Q y y y 间的距离：2221122||()()()n n PQ y x y x y x =-+-++-邻域:设0P 是nR 的一个点，δ是某一正数，与点0P距离小于δ的点P 的全体称为点0P 的δ邻域，记为),(0δP U ，即00(,){R|||}nU P P PP δδ=∈<空心邻域: 0P 的δ邻域去掉中心点0P 就成为0P 的δ空心邻域,记为0(,)U P δ=0{0||}PPP δ<<。
内点与边界点：设E 为n 维空间中的点集，nP ∈R 是一个点。
如果存在点P 的某个邻域),(δP U ，使得EP U ⊂),(δ，则称点P 为集合E 的内点。
如果点P 的任何邻域内都既有属于E 的点又有不属于E 的点，则称P 为集合E 的边界点,E 的边界点的全体称为E的边界．聚点：设E 为n 维空间中的点集，nP ∈R 是一个点。
如果点P 的任何空心邻域内都包含E 中的无穷多个点，则称P 为集合E 的聚点。
开集与闭集: 若点集E 的点都是内点，则称E 是开集。
设点集nE ⊆R , 如果E 的补集nE-R是开集，则称E 为闭集。
区域与闭区域：设D 为开集，如果对于D 内任意两点，都可以用D 内的折线（其上的点都属于D ）连接起来, 则称开集D 是连通的．连通的开集称为区域或开区域．开区域与其边界的并集称为闭区域．有界集与无界集: 对于点集E ，若存在0>M ，使得(,)E U O M ⊆，即E 中所有点到原点的距离都不超过M，则称点集E 为有界集，否则称为无界集．如果D 是区域而且有界，则称D 为有界区域． 有界闭区域的直径：设D 是nR 中的有界闭区域，则称1212,()max{||}P P Dd D PP ∈=为D 的直径。
微积分(下册)第二版 第9章 微分方程
又y 0是原方程的解 ,
方程的解为: y C 1 x2 , C为任意常数.
二、齐次方程 形式：
dy dx
f
y x
解法 作变量代换 u y , 即 y xu, x
dy u x du , u x du f (u),
dx
dx
dx
即
1 du f (u) u
1 dx. x
du f (u) u
◆微分方程的分类： 分类1: 常微分方程, 偏微分方程.
分类2: 一阶微分方程 F ( x, y, y) 0, y f ( x, y); 高阶微分方程 F ( x, y, y,, y(n) ) 0,
y(n) f ( x, y, y,, y(n1) ).
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2
分类3: 线性与非线性微分方程: y P( x) y Q( x), x( y)2 2 yy x y 0.
1 dx, x
例3
求解 dy x y 1. , 令u y，
dx
x
x
则y xu， dy u x du ,
dx
dx
u x du 2 u, dx
即 x du 2, dx
x du 2, dx
du 2 dx, 两边积分,得 u ln x2 c, x
如: y y, 通解 y cex;
y y 0, 通解 y c1 sin x c2 cos x.
(2)特解: 通解中任意常数为确定值的解.
初始条件: 用来确定任意常数的条件.
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§9.2 可分离变量的微分方程 一、 可分离变量的微分方程 二、 齐次方程
一、可分离变量的微分方程
dx
dx
2 y3 dy 2xy2 2x3 dx
Mathematica第9章 定义函数与变换规则
Input[ ]
Print[表达式1，表达式2，… ] 10.7编程
演示10.nb
第9章 定义函数与变换规则
9.1 自定义函数
1、自定义函数的定义，注意两个差别 2、自定义函数的保存与重新调出 保存命令： Save[“文件名”，自定义的要保存的函数名]
调用格式： <<文件名
9.2 纯函数(没有函数名字的函数)
1、调用格式： Function[自变量，函数表达式] 2、纯函数的缩写形式 函数表达式& 函数表达式中自变量用#n表示第n个自变量
3、Swich语句 格式： Swich[判别表达式exp,模式m1,表达式s1,模式 m2，表达式s2，…] 执行：求判别表达式exp的值，将结果与模式mi 匹配，遇到第一个可匹配的mi时，则整个语句 的值即为mi对应的si的值，若无匹配的，返回值 为Null.
10.4 跳转语句(Return，Goto，Break，Continue)
10.3 条件语句 1、If语句 格式： If[逻辑表达式e,表达式e1,表达式e2,表达式e3] 执行：当逻辑表达式e的值为真时，执行e1，否 则执行e2，当e的值不能判定真假时，执行e3
2、Which语句 格式： Which[条件e1,表达式s1,条件e2,表达式s2, …, 条件en,表达式sn] Which[条件e1,表达式s1,条件e2,表达式s2, …, 条件en,表达式sn, True,表达式s]
9.3表达式求值与变换规则
带有条件的规则：:=表达式/;条件 :>表达式/;条件
9.4表达的统一形式
9.4.1 表达式的输入中，我们采用的是 一般形式(一般形式)，如： a+b+c，x=4等， 在Mathematica系统中，对这些输入的处理 方式都是先转化为统一形式，如： Plus[a,b,c] (1) Set[x,4] 在输出时，又会用一般形式输出。 在统一形式中，表达式的形式为：f[e1,e2,…] 如(1)中，f为Plus，a,b,c分别为e1,e2,e3
高等代数(第9章)
第9章 欧几里得空间
定义与简单性质 标准正交基
* 同构
正交变换 子空间 对称矩阵的标准形 * 向量到子空间的距离最小二乘法
§9.1 定义与基本性质
几何空间R3中向量与的内积是指实数 (, )=||| |cos= a1b1+ a2b2+a3b3 ||,| |分别为向量与的模(长度),为与的夹角. 利用内积概念也可以表示向量的长度及两个非 零向量的夹角： ( , ) | | (, )=0, 且具有以下 性质： (, )= (, ) (k , )=k (, ) (+ ,)= (, )+ (, ) (, )0,当且仅当=0时,(, )=0.
3.度量矩阵 定义 设V是n维欧氏空间, 1, 2,…,n为V的一组基.称 ( 1 , 1 ) ( 1 , 2 ) ( 1 , n ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 1 2 2 2 n A ( n , 1 ) ( n , 2 ) ( n , n ) 为基1, 2,…,n的度量矩阵.
性质 (i) AT=A (ii) 对V中任意向量
基的度量矩阵完 全确定了内积！
x1 y1 = x11+x22+…+xnn , x 2 , Y y 2 . = y11+y22+…+ynn , 其中X x y 有 ( ,) =XTAY. n n
知 [2( , )]2 4( , )( , ) 0 即( , ) 2 ( , )( , ) 0
|( , ) |<|| | |.
(ii)若 , 线性相关,则当 , 至少有一为零向量时, 等号显然成立，否则可设 =k.由 |( ,)|=|(k ,)|= |k( , )| = |k|| |2 = |k|| || |= ||| | 即等号成立； 反之若等号成立，则为零向量时,,线性相关，
尼科尔森《微观经济理论——基本原理与扩展》第11版课后习题详解(生产函数)【圣才出品】
尼科尔森《微观经济理论——基本原理与扩展》第11版课后习题详解第9章生产函数1．动力山羊草坪公司使用两种大小不同的割草机割草。
较小的割草机有一个22英尺长的刀片，并被用于有许多树和障碍物的草地上。
较大的割草机是小割草机的两倍大小并被用于机器性能发挥比较好的开阔草坪上。
动力山羊的两个生产函数如下表：（1）画出第一个生产函数q＝40000平方英尺的等产量线。
如果不产生浪费，应该投入多少k和l？（2）对第二个生产函数回答问题（1）。
（3）如果40000平方英尺草地中的一半由第一种生产函数来完成，另一半由第二种生产函数来完成，为了不浪费，应该使用多少k和l？如果第一种方法割1/4，第二种方法割3/4，应该使用多少k和l？k和l是分数意味着什么？（4）在你对问题（3）的回答的基础上，画出结合两种生产函数的q＝40000的等产量线。
解：对于每一种割草机，由于它们需要的资本投入和劳动投入的比例是固定的，所以生产函数是固定比例型的生产函数，即：F1＝5000min｛k1，l1｝F2＝8000min｛k2/2，l2｝（1）对于第一种生产函数，q＝40000平方英尺的等产量线如图9-3所示。
将q＝F1＝40000代入小型割草机的生产函数，得：8＝min｛k1，l1｝由此可知最优投入为k1＝8，l1＝8。
图9-3等产量线（2）对于第二种生产函数，q＝40000平方英尺的等产量线如图9-3所示。
把q＝F2＝40000代入大型割草机的生产函数，得：5＝min｛k2/2，l2｝由此可知最优投入为k2＝10，l2＝5。
（3）如果40000平方英尺中的一半由第一种生产函数完成，一半由第二种生产函数完成，则把F1＝20000，F2＝20000分别代入小型割草机和大型割草机的生产函数，得到：4＝min｛k1，l1｝2.5＝min｛k2/2，l2｝解得：k1＝4，l1＝4：k2＝5，l2＝2.5。
从而得到：k＝k1＋k2＝4＋5＝9l＝l1＋l2＝4＋2.5＝6.5如果1/4的草坪由第一种生产函数完成，而3/4的草坪由第二种生产函数完成，则采用类似的方法可得：k＝9.5，l＝5.75。
《C++程序设计》电子教案第9章 多态性和虚函数
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9.1.3 派生类指针
指向基类和派生类的指针是相关的。 例如： A * p ; // 指向类型 A 的对象的指针 A A_obj ; // 类型 A 的对象 B B_obj ; // 类型 B 的对象 p = & A_obj ; // p 指向类型 A 的对象 p = & B_obj ; // p 指向类型 B 的对象，它是 A 的派生类
((B_class *)p)->show_phone( ); // 用基类指针访问公有派生类的特定成员，必须进行类型转换 } 此程序的运行结果为： Zhang San Li Si
0731_12345678 0731_12345678
例9-9：写出下面的程序的执行结果。 #include <iostream.h> class Student { public: Student(int xx) { x=xx; } virtual float calcTuition( ); protected: int x; }; float Student::calcTuition() { return float(x*x);
main ( ) { A_class *p; //对象指针 A_class A_obj; //对象 B_class * bp; B_class B_obj; p=&A_obj; //P指针指向基类对象，调用基类成员函数 p->put_name("Zhang San"); p=& B_obj; //P指针指向派生类对象，调用继承自基类的成 员函数 p->put_name("Li Si"); A_obj.show_name( ); B_obj.show_name( ); bp=&B_obj; bp->put_phone("0731_12345678"); bp->show_phone( );
高数第9章函数项级数、幂级数
中央财经大学
数学分析
说明: 虽然函数序列 s n ( x ) x 在( 0, 1 )内处处
n
收敛于 s( x ) 0 , 但 sn ( x )在( 0, 1 )内各点处收 敛于零的“快慢”程度是不一致的．
从左图可以看出:
y
y sn ( x ) x n
n1
(1,1)
注意：对于任意正数r 1， 这级数在[0, r ] 上一致收敛． o
数学分析
第九章 函数项级数
中央财经大学
数学分析
I 函数项级数的一致收敛
一、函数项级数的概念
设 u1 ( x ), u2 ( x ),, un ( x ),是定义在 I R 上的函数, 则 un ( x ) u1 ( x ) u2 ( x ) un ( x )
( x )在[ a , b ]上一致收敛， u ( x )，并且级数 u n n
n 1
则级数 un ( x )在[ a , b ]上也一致收敛，且可逐
n 1
项求导，即
( x ) u s( x ) u1 ( x ) u ( x) 2 n
(5)
中央财经大学
所以原级数不可以逐项求导．
中央财经大学
数学分析
四、一致收敛性简便的判别法：
定理 （魏尔斯特拉斯(Weierstrass)判别法）
n 1
如果函数项级数 un ( x ) 在区间 I 上满足条件:
(1) (2)
当 x x 0 时，有 s( x ) s( x0 ) .
(3)
s( x ) 在点 x0 处连续， x0 在 [ a , b ] 上是任意 所以 而
第9章 多元函数微分学习题解答(开放课程)
x
x
u e xy2z xy 2 z 3 2xyz 3e xy2z3
y
y
u e xy2z3 xy 2 z 3 3xy 2 z 2e xy2z3
z
z
6．设 z uv 2 t cos u ， u et ， v ln t ，求全导数 dz 。 dt
17．求抛物面 z x 2 y 2 与抛物柱面 y x 2 的交线上的点 P1,1,2 处的切线方程
和平面方程。
y x 2 解：交线方程 z x 2 y 2 ，只要取 x 作参数，得参数方程：
x x,
y
x2,
z
x2
x4,
则有 dx 1 ， dy 2x ， dz 2x 4x3 ，于是交线在点 P1,1,2 处的切线向量
x 1 e z
5
类似地，方程两边对 y 求偏导数，解得
z 3xy 2 y 1 e z
再求二阶混合偏导数，得
2 z zy
y
z x
3y2
1
e z y 3 1ez 2
ez
z y
把上述 z 的结果代入，便得： y
z
解：
uv 2 t cos u
v 2 t sin u ，
u u
z uv 2 t cos u 2uv ， z cos u
v v
t
依复合函数求导法则，全导数为
dz z du z dv z dt dt u dt v dt t dt
1
3．求下列各极限
(1) lim sin xy x x0
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9.2.3 动态存储变量
从变量的生存周期来分类, 从变量的生存周期来分类,可将变量分为动态存储变 量和静态存储变量.动态存储变量在函数调用时放入内存, 量和静态存储变量.动态存储变量在函数调用时放入内存, 函数调用后从内存中删除. 函数调用后从内存中删除. 还有一种动态存储变量称之为寄存器变量, 还有一种动态存储变量称之为寄存器变量,寄存器是 位于CPU内部的存储单元,CPU读取寄存器内的数据极其 位于 内部的存储单元, 读取寄存器内的数据极其 内部的存储单元 快捷.因此, 快捷.因此,将程序中需要大量反复使用的变量设为寄存器 变量可提高程序的运行速度. 变量可提高程序的运行速度.
9.4
递归
递归函数是能够直接或通过另一个函数间接调用自身的函数 调用自身的方法称为递归调用. ,调用自身的方法称为递归调用.递归调用的本质是使用同一算 法将复杂的问题不断化简,直到该问题解决. 法将复杂的问题不断化简,直到该问题解决.
9.5
实现问题
在设计函数时需要遵循一些基本原则, 在设计函数时需要遵循一些基本原则,因为影响到函 数的执行效率和可用性.函数是代码复用的基础, 数的执行效率和可用性.函数是代码复用的基础,一个健壮 的函数或由函数组成的函数集可以在多个程序中使用. 语 的函数或由函数组成的函数集可以在多个程序中使用.C语 言标准库里所存放的就是这样的函数, 言标准库里所存放的就是这样的函数,这些函数被放置在头 文件中,使用时将它包含在程序内即可. 文件中,使用时将它包含在程序内即可.
9.2
函数的作用域规则
作用域规则是指代码或数据的有效使用范围. 语言将 作用域规则是指代码或数据的有效使用范围.C语言将 函数作为独立的代码块, 函数作为独立的代码块,函数之间不能相互访问其内部的代 码或数据.函数间数据的传递只能通过接口实现.但是, 码或数据.函数间数据的传递只能通过接口实现.但是,变 量的定义方法可改变函数的作用域规则, 量的定义方法可改变函数的作用域规则,可将变量分为局部 变量和全局变量两种,本节将讨论这两种变量的使用方法. 变量和全局变量两种,本节将讨论这两种变量的使用方法.
9.6.1 程序文件的大小
C语言编译器允许分别编译,为每个文件生成以".o" 语言编译器允许分别编译,为每个文件生成以" 语言编译器允许分别编译 为后缀的目标文件,最后执行链接过程生成可执行文件. 为后缀的目标文件,最后执行链接过程生成可执行文件.将 一个程序放在一个大文件中,或者分拆成多个较小的文件, 一个程序放在一个大文件中,或者分拆成多个较小的文件, 所得到的结果其实是相同的. 所得到的结果其实是相同的.编译器编译一个大文件比编译 由这个大文件拆分而成的一系列小文件所花费的时间要长, 由这个大文件拆分而成的一系列小文件所花费的时间要长, 对程序员来说,小文件更容易阅读和理解, 对程序员来说,小文件更容易阅读和理解,所以应该把大文 件拆分为一系列小文件编写. 件拆分为一系列小文件编写.而且如果修改程序时只修改了 其中一个文件, 其中一个文件,那么编译时也只需要重新编译被修改过的文 再执行连接过程生成可执行文件, 件,再执行连接过程生成可执行文件,这样能缩短程序编译 的总时间. 的总时间.
9.3.1 形式参数与实际参数
形式参数是接口数据的目的地, 形式参数是接口数据的目的地,实际参数是接口数据 的来源地. 的来源地.函数定义时出现在参数列表中的参数是形式参数 函数体可通过引用形式参数获得接口数据. ,函数体可通过引用形式参数获得接口数据.函数调用时填 入的参数是实际参数,实际参数由调用者提供. 入的参数是实际参数,实际参数由调用者提供.形式参数与 实际参数的数据类型必须一致, 实际参数的数据类型必须一致,同时还需要注意实际参数的 个数和位置要与形式参数相同. 个数和位置要与形式参数相同.
9.3
函数的调用与参数
函数通过调用获得程序的控制权, 函数通过调用获得程序的控制权,函数的参数是调用 者与函数的数据接口.函数可以定义一个或多个参数, 者与函数的数据接口.函数可以定义一个或多个参数,也可 以省略参数, 以省略参数,调用时将与参数的数据类型相匹配的数据置于 参数列表中,即可在函数体内使用. 参数列表中,即可在函数体内使用.参数的调用有多种形式 对函数的影响也有不同的结果. ,对函数的影响也有不同的结果.
9.2.4 静态存储变量
在编译时分配存储空间的变量称为静态存储变量, 在编译时分配存储空间的变量称为静态存储变量,在 函数退出时,静态存储变量依然被保留在内存中, 函数退出时,静态存储变量依然被保留在内存中,再次执行 同一函数会得到与上次退出时相同的数值. 同一函数会得到与上次退出时相同的数值.声明静态存储变 量的关键字为static,声明的一般形式为: 量的关键字为 ,声明的一般形式为: static 数据类型 变量名; 变量名
9.6.3 函数库
函数库由一系列函数说明文件和函数定义文件所组成 使用时,将该文件包含在自己的程序文件内. ,使用时,将该文件包含在自己的程序文件内.
9.7
main函数的参数 main函数的参数
main()函数有两个参数,它的形式是: 函数有两个参数,它的形式是: 函数有两个参数 main(int argc, char *argv[]) argc的数据类型为整型,argv的数据类型为字符型指 的数据类型为整型, 的数据类型为整型 的数据类型为字符型指 针数组.有些程序在终端运行时,输入完程序文件名后可加 针数组.有些程序在终端运行时, 上一些额外的运行参数, 上一些额外的运行参数,main()函数的参数即是用来向程序 函数的参数即是用来向程序 传递这些运行参数的入口. 传递这些运行参数的入口.argc参数用于记录运行参数的个 参数用于记录运行参数的个 参数用于保存运行参数. 数,argv参数用于保存运行参数.所输入的程序名也是运行 参数用于保存运行参数 参数,所以不输入其他运行参数的情况下, 参数,所以不输入其他运行参数的情况下,也会被捕获到一 个运行参数. 个运行参数.
9.3.2 赋值调用与引用调用
赋值调用与引用调用是传递数据给函数的两种形式, 赋值调用与引用调用是传递数据给函数的两种形式, 前者是将实际参数的数值传递给形式参数, 前者是将实际参数的数值传递给形式参数,后者是将实际参 数的内存地址传递给形式参数. 数的内存地址传递给形式参数.赋值调用不会改变实际参数 原有的数值,而引用调用则可能改变实际参数的数值. 原有的数值,而引用调用则可能改变实际参数的数值.
第9 章
函数
C语言是结构化语言,它的主要结构成分是函数.函数 语言是结构化语言,它的主要结构成分是函数. 语言是结构化语言 作为一种构件,用以完成程序中的某个具体功能. 作为一种构件,用以完成程序中的某个具体功能.函数允许 一个程序的各个任务被分别定义和编码,使程序模块化. 一个程序的各个任务被分别定义和编码,使程序模块化.因 设计良好的函数不仅能正确工作, 此,设计良好的函数不仅能正确工作,而且不会对程序的其 他部分产生副作用.本章将介绍C语言函数的设计 语言函数的设计, 他部分产生副作用.本章将介绍 语言函数的设计,如何用 函数分解程序的各个功能,如何用函数构成模块化程序, 函数分解程序的各个功能,如何用函数构成模块化程序,以 及代码复用的基本思想. 及代码复用的基本思想.
9.5.2 效率
函数是C语言的基本构件,所有的程序都是由函数组成. 语言程 函数是 语言的基本构件,所有的程序都是由函数组成.C语言程 语言的基本构件 序执行的入口是main()函数,当main()函数调用子函数时,操作系统为 函数, 函数调用子函数时, 序执行的入口是 函数 函数调用子函数时 子函数在内存中建立一种称为栈的数据结构, 子函数在内存中建立一种称为栈的数据结构,将主函数的返回地址和子 函数的局部变量保存在栈中.如果子函数再调用另一个子函数, 函数的局部变量保存在栈中.如果子函数再调用另一个子函数,那么依 旧是遵循上述原则. 旧是遵循上述原则.
9.6.2 分类组织文件
在开发大型程序时, 在开发大型程序时,很容易迷失某个具体功能点在源 代码中的位置, 代码中的位置,如果在程序设计的早期预先估计程序的规模 将同一类型的函数放在同一个文件中, ,将同一类型的函数放在同一个文件中,以有意义的名字为 函数和文件命名,编写详细的注释, 函数和文件命名,编写详细的注释,则可以最大程度避免该 问题. 问题.
9.2.1 局部变量
在函数体内部定义的变量称为局部变量, 在函数体内部定义的变量称为局部变量,局部变量的 作用域仅限于该函数体内. 作用域仅限于该函数体内.
9.2.2 全局变量
全局变量的作用域为整个源程序文件, 全局变量的作用域为整个源程序文件,文件中的所有 函数或程序块都可以引用.定义全局变量时, 函数或程序块都可以引用.定义全局变量时,需将变量的声 明语句放置在所有函数外. 明语句放置在所有函数外. 全局变量虽然能方便地在程序的各个函数间传递数据 但同时也破坏了模块的独立性和完整性, ,但同时也破坏了模块的独立性和完整性,所以应尽量避免 使用全局变量. 使用全局变量.
9.5.1 参数和通用函数
通用函数是指能够复用的函数, 通用函数是指能够复用的函数,这一类函数的显著特 点是,只使用参数作为接口传递数据. 点是,只使用参数作为接口传递数据.如果一个函数中依赖 全局变量访问调用者的数据,在另一个程序中环境改变了, 全局变量访问调用者的数据,在另一个程序中环境改变了, 这个函数就无法运行.因此, 这个函数就无法运行.因此,我们不应该把函数建立在全局 变量上,函数所需要的所有数据都应从参数获得. 变量上,函数所需要的所有数据都应从参数获得.使用参数 传递数据除了有助于函数的复用以外, 传递数据除了有助于函数的复用以外,还能提高代码的可读 性
9.1.2 返回语句
函数的返回语句return有两个作用,其一,结束当前函 有两个作用,其一, 函数的返回语句 有两个作用 调用者获得程序控制权;其二, 数,调用者获得程序控制权;其二,将计算结果传递给调用 函数的结束有两种情况, 者.函数的结束有两种情况,一是函数体内所有的代码执行 完毕,二是return语句被执行. 语句被执行. 完毕,二是 语句被执行