第三章1流体动力学

在流体流场中取一个微元六面体：边长为：dx,dy,dz，微元 体积中心A（x,y,z）处的静压力为P，流速沿各坐标轴的分
量分别为：vx,vy,vz，密度为 ρ
在X轴方向：
1 ∂p
压其中力∂∂pxP为作压M力用点P情沿压着况力X：：轴的变化率或称为p压_力2梯度∂。x dx
由于m点相对中心A点只
有（— 1 dx ）的位移量，
=
∂vx ∂t
+ vx
∂vx ∂x
+ vy
∂vx ∂y
+ vz
∂Vx ∂z
Y
—
1 ρ
∂P ∂y
=
∂v y ∂t
+ vx
∂v y ∂x
+ vy
∂v y ∂y
+ vz
∂Vy ∂z
Z
—
1 ρ
∂P ∂z
=
∂vz ∂t + vx
∂vz ∂x
+ vy
∂vz ∂y
+ vz
∂Vz ∂z
第四节 实际流体动量传输方程—— 纳维尔-斯托克斯方程（N-S方程）
z轴的
cdgh
面的应 力
其它三个面应力如图所示，
y
Z
由牛顿第二定律：可沿x方向写出如下方程：
Xdxdydz xx dxdydz yx dxdydz zx dxdydz dvx dxdydz
x
y
z
t
上式两边各项除以 dxdydz，整理可得：
同理：
dvx X ( xx yx zx )
)
+
∂(ρ v y ∂y
)
+
∂(ρ v z ∂z
)
=
0
——可压缩流体、不稳定流动的连续性方程。
∂ρ ∂t
+
∂(ρ vx ∂x
)
+
∂(ρ vy ∂y
)
+
∂(ρ v z ∂z
)
=
0
——可压缩流体、不稳定流动的连续性方程。
讨论：①稳定流动时
②对不可压缩流体，ρ=const
∂ρ ∂t
+
∂(ρ vx ∂x
对粘度μ=0的无粘性流体简化得到理想流体的动 量平衡方程，即欧拉方程。
在直角坐标系统中：
作用在某一流体块或微元体积的力可分为两大类：
表面力、质量力或体积力。
表面力：作用于流体块外界面的力，如压力和切应力。 质量力：直接作用在流体块中各质点的非接触力，如重力 与惯性力等。质量力与受力流体上承受的质量成正比，也 叫体积力。 单位质量流体上承受的质量力称为单位质量力
故m点2相对于A点的压力
变化量为
1 ∂p — 2 ∂x dx
p
—
1 2
∂p ∂x
dx
m
A
n
p＋
1 2
∂p ∂x
dx
1 ∂p
因此m点的压力为 p_ 2 ∂x dx
同理可得：n点的压力为：
p＋
1 2
∂p ∂x
dx
p
1 2
∂p ∂x
dx
mA
n
1 ∂p p + 2 ∂x dx
质量力F的作用： 设单位质量力在x轴的分量为X，则 微元体的质量力在x轴的分量:
dt
x y z
dvy Y ( yy xy zy )
dt
y x z
dvz Z ( zz xz yz )
dt
z x y
式3-32
由粘性动量通量
与变形率之间的关系：
yx
dvx dy
以及法向力 与压力P关系，可进一步对上式进行推导：
dvx dt
X
p x
(
2vx x 2
2vx y 2
程
上式即为理想流体的动量平衡方程（即欧拉方程）
说明：欧拉方程建立了作用在理想流体上的力与流体运动
加速度之间关系，是研究理想流体各种运动规律的基础。适 用于可压缩及不可压缩理想流体的稳定或非稳定流。
由第一节，在直角坐标系中，x,y,z三个坐标轴方向的加 速度分量为:
上式代入欧拉方程可得:
X
—
1 ρ
∂P ∂x
牛顿粘性定律的表达式为：
粘性力的作用方向平行于流体的流向，与速度梯度方向 相正交。粘性力的指向视不同的速度流层而定，对快速 流层表现为制动作用，其指向与流向相反；对慢速流层 表现为带动作用时，与流向相同。
第二节 流体质量平衡方 程——连续性方程
• 质量传输过程：物质的传递与转移过程，它是 动量传输的基础，质量传输就是质量平衡。
)
dvx X ( xx yx zx )
dt
x y z
dvx dt
X
1
p x
(
2vx x 2
2vx y 2
2vx z 2
)
同理： dvy
dt
Y
1
p y
(
2v y x2
2v y y 2
2v y z 2
)
dvz dt
Z
1
p z
(
2vz x 2
2vz y 2
2vz z 2
体的动量传输方程，N-S方程。（牛顿粘度定律 另一种表达形式）
当
[质量 ]×[加速度 Dv ]=压力（ p ）+粘滞力（2v ）+质量力（ W ）
Dt
（本章主要采用一般力学推导出实际流体的运动方程，也可 以用动量传输的角度出发来推导）
⑴ 稳定流动： [ 物质的流入量 ] = [ 物质的流出量 ]（3-2） (A)
⑵ 不稳定流动： [ 物质的流入量 ] - [ 物质的流出量 ] = [ 物质的蓄积量 ] （3-2) (B)
当流入量与流出量相等，即空间无物质蓄积时，为稳定流动， 否则为不稳定流动。
在直角坐标系中取一空间微元控制体，边长为dx、dy、 dz
（脚注：前一个字母表示受力面垂直的轴，后一个字母表 示和应力指向相平行的轴。）
设微元体中心的坐标为x,y,z，其应力为 ， ，则垂
直于x轴的AB面的应力为：
法向应力：
xx
xx
x
dx 2
（—x方向）
切向应力： xy
xy
x
dx 2
（—y方向）
xz
xz
x
dx 2
（—z方向）
x轴的
ABC D面 的应 力
结论：稳定流动的管流流体流过任一截面的体积流量
( ρ = const )或质量流量不变
补充：
在柱坐标系连续性方程可表示为：
当ρ为常量的不可压缩流体，可简化为：
例3-1 已知速度场Vx=6（x+y2），Vy=2y+z3，
Vz=x+y+4z；试分析此流场是否存在？
解：流场存在的条件是：是否满足连续性方程
单位时间内流过A面、B面的流体质量：
A：
ρvxdydz A
B：
[ρvx
+
∂(ρ vx ∂x
)
dx]dydz
B
或者B:
vxdydz
vx
vx
x
dx dydz
单位时间内流过A面、B面的流体质量差：
vxdydz
A
[ vx
∂( vx )
∂x
dx]dydz
B
-
∂(ρ v ∂x
x
)
dxdydz
x方向：流入量与流出量之差为
)
由拉普拉斯（Laplace）运算子
2
2vz x 2
2vz y 2
2vz z 2
dvx dt
X
1
P x
2vx
dvy dt
Y
1
P y
2vy
dvz dt
Z
1
P z
2vz
或： Dv W 1 p 2v P p p p 为压力梯度
Dt
x y z
实际流体的动量守恒方程，也即不可压缩粘性流
①由流体粘性所引起的物性动量传输；
②在流体质量对流基础上进行的对流动量传输。
一、推导：
作用在微元体六面体除了在推导欧拉方程中的压力与质 量力外，还有因粘性产生的剪切力，法向力除了压力与 质量力产生的，还有由于剪切变形而引起的附加法向力， 各个方向的切向应力有： xy ， xz ， yx ， yz ， zx 和 zy
-
∂(ρ v ∂x
x
)
dxdydz
(1)
同理y方向：流入量与流出量之差
-
∂(ρ v ∂y
y
)
dxdydz
(2)
z方向：流入量与流出量之差为
-
∂( v
∂z
z
)
dxdydz
(3)
总的流入量与流出量之差为(1) + (2) + (3)
由公式: （3-2) (B) [ 物质的流入量 ] - [ 物质的流出量 ] = [ 物质的蓄积量 ]
Fx = Xρdxdydz
根据牛顿第二定律（F=ma），作用在微元六面体的诸力在任一轴投影的代数和
dv 应等于该微元六面体的质量与该轴上分加速度 的乘积。
dt
p
1 2
∂p ∂x
dx
mA
n
1 ∂p p + 2 ∂x dx
于是对于x轴即有：
Xρdxdydz
+
(P
—
1 2
∂p ∂x
)dydz
—
(P
+
1 2
)
+
∂(ρ vy ∂y
)
+
∂(ρ v z ∂z
)