高中数学排列组合应用题教学论文
排列组合论文
排列组合论文
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排列组合体系重建
制作：星哥
摘要
排列组合是高中数学中相对独立的内容，对学生分析问题、解决问题能力有较高要求，师生普遍反映难学难教。产生困难的原因很多，比如题目变化多，结构复杂，思考过程容易出错，很难找到一个简明而又全面的问题归类方式；解答思路灵活，简繁不一，答案检验也不容易；师生仅凭书面交流难以真正了解彼此的想法，更不用说纠正和改正错误了。
该论文在文献研究的基础上，通过对部分高三学生的测试与学生的访谈，意在揭示高中生学习排列组合时的常见认知错误，分析其产生原因，并基于实证研究，为改进排列组合教学提供具体建议。
本文中，我对排列组合问题提出了一个新的分类，先将排列组合问题分为选取模型和分配模型两大类，再依次分为4个小类，部分小类中还有进一步的划分。希望通过新的分类，更清晰地梳理问题类型，帮助学生更容易地找到解决问题的方法。
通过对测试结果的分析，我将学生常见的错误归为三种类型：题意理解错误、模式选择错误、操作技术错误。在这三大类错误中包含的具体错误情况共有11种。对于每种错误，我都根据学生的访谈内容、文献研究等对学生的出错原因进行了分析。通过访谈，我还发现，在解决陌生问题、解决限制条件多的问题时学生普遍存在困难，而且很多学生不知道如何自我检查答案。
针对学生普遍存在的困难和常见错误，我的建议是：(1)帮助学生认识学习目的；(2)多采用直观图示的方法；(3)重视读题过程，推敲问题特征，列式之后再次读题，检查是否有遗漏和重复；(4)利用学生错误，开展有意义的学习；(5)适当变式，如改换背景和增加限制条件，提高学生的理解水平；(6)引导学生用“缩小数据”和“一题多解”的方法检验解法的正确性。
高中常见排列组合问题荟萃论文
高中常见的排列组合问题荟萃
摘要：排列组合是高中数学里的一个相对独立的一章，内容不多，概念也比较简单，在高考中排列组合问题是必考内容，通常都是以选择题或填空题出现在高考的试卷中，它联系实际，生动有趣，但题目设计上往往是条件很多并且复杂多样，思路灵活，不易掌握。因而在求解排列组合应用题时，要深入学习和总结此类问题的解题原则、掌握其规律，一方面要灵活运用基本原理和公式进行分析解答；另外一方面还要做到：排列组合分清，加乘原理辩明，避免重复遗漏，同时，还要注意讲究一些基本策略和方法技巧，注意积累备考有效的方法和建立解题模型。
关键词：排列；组合；至多；至少
中图分类号：g623.5 文献标识码：a 文章编号：1002—7661（2012）19—0113—01
排列组合是高中数学里的一个相对独立的一章，内容不多，概念也比较简单，在高考中排列组合问题是必考内容，通常都是以选择题或填空题出现在高考的试卷中，它联系实际，生动有趣，但题目设计上往往是条件很多并且复杂多样，思路灵活，不易掌握。因而在求解排列组合应用题时，要深入学习和总结此类问题的解题原则、掌握其规律，一方面要灵活运用基本原理和公式进行分析解答；另外一方面还要做到：排列组合分清，加乘原理辩明，避免重复遗漏，同时，还要注意讲究一些基本策略和方法技巧，注意积累备考
有效的方法和建立解题模型。本文是我在教学中总结出来的一些常见的类型排列组合问题的解答策略。
一、组成数字问题
这类问题在做的过程中把握好这样一个原则：先末位，再首位，最后是其他位。
例1：在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有多少个？
高中数学备课素材：数学论文：隔板法在排列组合中的应用技巧
解题思想方法
《中学生数理化》(高中版)/2004·12 在上述同学们提出的疑问中,分子C 818表示将18个人分成两组,其中一组8人,另一组10人,属于“分成甲、乙两组”的类型,具有指向性;而C 1020表示将20个人平均分成两组,不具有指向性.(责任编辑 朱 宁)
隔板法在排列组合中的应用技巧
■湖北 张红兵
在排列组合中,对于将不可分辨的球装入到可以分辨的盒子中而求装入方法数的问题,常用隔板法.
例1 求方程x +y +z =10的正整数解的个数
.将
10个球排成一排,球与球之间形成9个空隙,将两个隔板插入这些空隙中(每空至多插一块隔板),规定由隔板分成的左、中、
右三部分的球数分别为x 、y 、z 之值(如下图).则隔法与解的个数之间建立了
一一对立关系,故解的个数为C 29=36(个).实际运用隔板法解题时,在确定球数、如何插隔板等问题上形成了一些技巧.下面举例说明.
技巧一:添加球数用隔板法.
例2 求方程x +y +z =10的非负整数解的
个数.
注意到x 、y 、z 可以为零,故上题解法中的限定“每空至多插一块隔板”就不成立了,怎么办呢?只要添加三个球,给x 、y 、z 各一个球.这样原问题就转化为求x +y +z =13的正整数解的个数了,故解的个
数为C 212=66(个).
本例通过添加球数,将问题转化为如例1中的典型隔板法问题.
技巧二:减少球数用隔板法.
例3 将20个相同的小球放入编号分别为1,2,3,4的四个盒子中,要求每个盒子中的球数不少于它的编号数,求放法总数.
解法1:先在编号1,2,3,4的四个盒子内分别放0,1,2,3个球,剩下14个球,有1种方法;再把剩下的球分成4组,每组至少1个,由例1知方法有C 313=286(种).解法2:第一步先在编号1,2,3,4的四个盒子内分别放1,2,3,4个球,剩下10个球,有1种方法;第二步把剩下的10个相同的球放入编号为1,2,3,4的盒子里,由例2知方法有C 313=286(种).
排列应用题常用解题思想解题方法例析论文
排列应用题常用解题思想及解题方法例析排列应用题是数学教学中的难点，本文就其解题思想及解题方法举例做些分析，以期能对数学学习者有所启示.
一、常用解题思想
1
解题意味着什么——就是把所要解决的问题转化为已经解决的问题.
例1同室4人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺卡，求不同的分配方式.
分析我们建立数学模型转化为数学问题——用1，2，3，4这4个数字组成无重复数字的四位数，其中1不在个位，2不在十位，3不在百位，4不在千位的四位数共有多少个？
2
挖掘题目中隐含的对称性，运用对称思维解题，能得到简捷的解法.
例2a，b，c，d，e五人并排站成一排，b必须在a的右边（a 与b可以不相邻），有多少种不同的排法？
分析考虑对称性，b在a的右边与b在a的左边的机会均等，所以排列为a552=60(种).
3
对有些数学问题，如果从正面去探求常常一筹莫展，但是若改变一下思维的角度，从问题的反面进行逆向思考，常能找到解题的
例3一个小组共有10名同学，其中4名女同学，6名男同学，要从小组内选出3名代表进行排列，要求至少有一名女同学，一共有多少种排法？
分析至少一名女同学包括三类.第一类：1名女生，2名男生；第二类：2名女生，1名男生；第三类：3名都是女生.
所以正面考虑的话，就是c14×c26×a33+c24×c16×
a33+a34=600(种)排法.现在我们考虑反面：3名都是男生的排法有a36=120(种)，所以有a310-120=600(种).
二、几种方法
1
例4由1，2，3，4，5，6这6个数字可以组成多少个无重复数字且是6的倍数的五位数？
高中数学教学论文 巧解排列组合的21种模型
巧解排列组合的21种模型
排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握.实践证明，掌握题型和识别模式，并熟练运用，是解决排列组合的有效途径.下面就系统地介绍巧解排列组合的21种模型.
1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.
例1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有
A 、60种
B 、48种
C 、36种
D 、24种
解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种，答案：
D .
2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.
例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是
A 、1440种
B 、3600种
C 、4820种
D 、4800种
解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有2
6A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，选B . 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法. 例3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数是
A 、24种
B 、60种
C 、90种
D 、120种
解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602
高中排列组合知识学习论文
高中排列组合知识学习论文
摘要：关于排列组合的学习，要特别注重帮助学生辨析其中在认识上的不足与误区，真正切实夯实“三基”，才可能真正快速有效地提高分析问题解决问题的能力，才可能为创造性思维提供基础，为学生高考出色发挥提供保障！
引言：随着近几年高考中概率考题的出现，排列组合相关知识的地位得到进一步的巩固与提高，排列组合是高中代数最为独特的一部分，它相对学生而言，贴近生活，趣味性强，是培养学生数学兴趣的好教材。然而正因为其基础知识不多，理解不太困难，所以不少学生觉得简单，从而轻视它，不注重“三基”的学习，等到发现其抽象、解题思路灵活，方法多，并且结果又不易验算时，才知道要真正掌握它并不太容易，为了提高学生在排列组合学习效果，笔者总结了以下的一些学习注意点，以期提高学习的效果。
一、把握好“完成一件事”，是能否真正学好分类、分步计数原理的关键。
加法与乘法计数原理是本单元中的基本原理，对于这两个原理的学习一般会把重心放在去区分什么情况下“分步”什么情况下“分类”，其实笔者认为两个原理的共同之处是“完成一件事”，只有当搞清楚“完成什么事”，以及“如何才算完成”之后才有可能正确区分“分步”与“分类”，因此在学习中一定要注意对“完成一件事”这个问题的分析，做练习时也要有意识地问自己，什么是题意中“完成的一件事”，只有这个问题清楚之后才奠定了解题的基础，如：
例1某通信公司推出一组手机卡号码，卡号的前7位数字固定，从“×××××××0000”到“×××××××9999”共10000个号码，公司规定：凡卡号的后4位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为有个。
排列组合教学难点及问题分析
排列组合教学难点及问题分析
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排列组合教学难点及问题分析-中学数学论文
排列组合教学难点及问题分析
岳晓晨
（曹县第一中学，山东菏泽274400）
摘要：排列组合问题是高中数学的重要内容，也是高考的一个热点。其内容与实际生活联系紧密，题型多变，思维抽象。
关键词：排列组合；题型；难点
中图分类号：G633文献标识码：A文章编号：1005-6351(2013)-04-0025-01 一、方法解析
（一）相邻问题捆绑法
排列组合问题中，有一类题目要求指定元素必须是相邻的。这类问题的解决办法我们称为捆绑法。将这种有特殊要求的元素捆绑成一个整体，再参与到与其他元素的排列组合当中。
例1：A、B、C、D、E五人并排站立，若A、B要求相邻，且B在A右侧，求不同的排法（）种。
A．24 B.60C.90D.120
（二）相离问题插空法
指定元素不能相邻时采用插空法。将没有限制条件的元素先做安排，然后将指定元素插入排好的元素之间。
例2：4名男生和3名女生排队：
（1）女生不能相邻的站法有多少种？
（2）男生、女生必须间隔排列的站法有多少种？
（四）标号排位问题分步法
元素依次排列到指定的位置应用分步法。将任意元素首先排列到位，然后依次排列剩余元素。
例4：4张贺卡，分别投递到5个不同邮箱中。问：有多少种投递方法？
分析：应用分步法，首先考虑第一张贺卡有5种投法。剩余三张贺卡任选一张有4个邮箱可投。以此类推有5·4·3·2·1种投法，即120种。
甘肃省武威六中高中数学论文《排列与组合问题的解题策略》理
排列与组合问题的解题策略
排列、组合问题，在高考中通常是以选择题或填空题的形式考察，它联系实际，题型多样，解法灵活。备考有效的方法是将题型与解法归类，识别模型、熟练运用。
1. 相邻元素捆绑法
所谓“捆绑法”，就是在解决某几个元素要求相邻问题时，可整体考虑将视为一个“大元素”. 例1. 6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须在一起的不同排法共有 种. 解析：因甲、乙两人要排在一起，故甲、乙两人捆在一起视作一人，与其余四人全排列共有
55A 种排法，但甲、乙两人之间有22A 种排法，由分步计数原理可知，共有52
52A A 240⋅=不同的
排法.
2. 相离问题插孔法
相离问题是指要求某些元素不能相邻，由其他元素将它隔开，此类问题可以将其他元素排好，再将所指定的不相邻元素插入到空隙及两端位置，故称“插孔法”.
例2. 6个男同学和4个女同学排成一列照相，任何两个女同学不相邻，问有多少种不同的排法？
解析：现将6个男同学排好，其不同的排法为66A 种，这6个男同学的空隙及两端共七个位
置中再排4个女同学共有47A 种排法，由分步计数原理可知，任何两个女同学不相邻的排法共有6467A A ⋅种.
3. 定序问题缩倍法
在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序称为定序问题，这类问题用缩小倍数的方法求解比较方便.
例3. 信号兵红旗与白旗挂在旗杆上表示信号，现有3面红旗、2面白旗，把这5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是
解析：5面旗全排列有5
5A 种挂法，由于3面红旗与2面白旗分别全排列只能作一次挂法，故共有不同信号的种数是
高中数学排列组合的解题策略
高中数学教学论文：排列组合的解题策略
让学生成为"演员"——也谈排列组合的解题策略
排列组合作为高中代数课本的一个独立分支，因为极具抽象性而成为"教"与"学"难点。有相当一部分题目教者很难用比较清晰简洁的语言讲给学生听，有的即使教者觉得讲清楚了，但是由于学生的认知水平，思维能力在一定程度上受到限制，还不太适应。从而导致学生对题目一知半解，甚至觉得"云里雾里".针对这一现象，笔者在日常教学过程中经过尝试总结出一些个人的想法跟各位同行交流一下。
笔者认为之所以学生"怕"学排列组合，主要还是因为排列组合的抽象性，那么解决问题的关键就是将抽象问题具体化，我们不妨将原题进行一下转换，让学生走进题目当中，成为"演员"，成为解决问题的决策者。这样做不仅激发了学生的学习兴趣，活跃了课堂气氛，还充分发挥学生的主体意识和主观能动性，能让学生从具体问题的分析过程中得到启发，逐步适应排列组合题的解题规律，从而做到以不变应万变。当然，在具体的教学过程中一定要注意题目转换的等价性，可操作性。
下面笔者将就教学过程中的两个难点通过两个特例作进一步的说明：1、占位子问题例1：将编号为1、2、3、4、5的5个小球放进编号为1、2、3、4、5的5个盒子中，要求只有两个小球与其所在的盒子编号相同，问有多少种不同的方法？
①仔细审题：在转换题目之前先让学生仔细审题，从特殊字眼小球和盒子都已"编号"着手，清楚这是一个"排列问题"，然后对题目进行等价转换。
②转换题目：在审题的基础上，为了激发学生兴趣进入角色，我将题目转换为：让学号为1、2、3、4、5的学生坐到编号为1、2、3、4、5的五张凳子上（已准备好放在讲台前），要求只有两个学生与其所坐的凳子编号相同，问有多少种不同的坐法？
有关应用问题教学在高中数学中研究论文
有关应用问题教学在高中数学中的研究
摘要：作者针对高中数学中应用问题教学做了一些理论和实践的探讨，内容主要包括数学应用题教学概述，并对高中数学应用问题教学策略进行了介绍。
关键词：高中数学应用问题教学
数学应用问题，是高中数学教学中的重点问题之一，注重应用问题的教学有利于学生将理论与实践结合起来，在开发学生智力的同时，还有助于学生数学思维和解题策略的提高。在一大批著名数学教育家的大力提倡下，近年来在数学教育教学过程中已开始重视数学应用问题的教学，在各类数学测试题中也开始考察数学应用问题，在高中数学有关资料中也出现了“应用问题”专题，这些也推动了当前数学应用问题的教学改革[1]。
1、数学应用题教学概述
数学源于生活，用于生活。新的《数学课程标准》明确指出:要重视从学生的生活经验和已有的知识中学习数学和理解数学。数学本源于生活，生活中处处有数学。数学教学以瞄准与学生生活经验为最佳联系点，并架起桥梁，将数学知识贴近生活而变得生动有趣。从而增强学生学好数学的内驱力，激发起学习数学的浓厚兴趣，提高数学修养和实践应用能力。这意味着数学教学的最终目的是能让学生拥有将知识应用于实际的能力[2]。
数学应用题教学就是在数学教学中通过应用题的解题培养学生
运用所学知识解决实际问题能力的一种具体教学方式。它在高中数
学教学系统中占据相当重要的地位。同时，近年来，应用题在高考命题中的考查力度逐年加大，应用题的题目个数明显增加，增强了密切联系生产和生活实际的应用性问题的考查力度。因此，中学应用问题的教学就更加成为中学数学教学中的热点、难点问题，而且将成为一种教育趋势。这也说明应用问题教学已是高中乃至整个中学数学教学中一个不容忽视的问题。
高中数学论文：排列组合问题的建模
排列组合问题的建模
排列组合是中学数学中相对独立的内容，由于解题方法独特，结果不易验证，思维比较抽象灵活，在解题过程中，学生往往缺乏自信心，因此在课堂教学中如果我们能把一些常见的排列、组合问题归纳、类比到一组单一的学生能掌握且比较熟悉的模型上，无疑对解题是有益的。在此笔者谈谈把球放入盒子问题的几种模型。 1 、把5个不同的小球放入5个不同的盒子（不限制盒子放球数，每盒最多可放5个）有几种不同的放法？
分析：5个小球分5次放（5步），每一个小球有5种放法。
解：有分步计数原理得5
5N =
评述：本题是利用分步原理求解，模型为n 个不同的球放入m 个不同的盒子中（每盒可以放n 个）有m n
2、把5个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子只能放一个，有几种不同的放法？
分析：本题就是5个不同的元素按一定顺序排列的排列个数，是一个典型全排列问题。
解：55120N A == 3、把3个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子只能放一个，有几种不同的放法？
解：3560N A ==或3335A C N =
评述：本题是球少盒子多(元素少，位置多)，可以理解为从5个不同盒子中先取出3
个盒子然后将3个小球一对一的放入每个盒子即为全排列33A
模型：把m 个不同的元素放入n 个不同的对象（m n ≤）（每一个对象只能放一个
元素）其排列数为m n A ，其实就是对排列概念的真正理解。
4、把7个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子至少放一个，有几种不同的放法？
分析：先把7个小球分成5组，再把5组（5个元素）进行全排列，分组有两类：1、1、1、1、3或1、1、1、2、2各组的组数分别为3
解排列组合问题基本分析方法论文
浅谈解排列组合问题的基本分析方法排列组合应用题内容抽象，题型较多，有些问题中条件较隐晦，答数往往又较大，不易用直观的方法来验算。排列组合应用题大多解法独特，灵活多样，有一定的难度。但若认真分析研究，深刻理解基本分析法的本质，对学习排列组合难的问题可以逐步解决。这里根据问题的不同特点，结合具体例子介绍七种基本分析方法，帮助学生更好地理解和掌握这部分内容，提高解题能力，激发解题兴趣。
一、基本原理分析法
加法和乘法两个基本原理是解排列组合问题的主要依据，也是一种最常用最基本的方法。
例1．用0、1、2、3、4这五个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数?
分析：先考虑百位，因百位上的数字不能是0，就只能从1到4这4个数字中任选一个，有ｐ■■种，十位和个位上的数字可从余下4个数字中任选两个有ｐ■■种，根据乘法原理，所求三位数有ｐ■■·ｐ■■=48(个)。
二、分解与综合分析法
对某些有附加条件的问题，若看成一种情况无法解答，则应按某种标准分成几种情况进行分析，再将分析结果综合起来，就可解决这类问题，做到不重复、不遗漏。
例2．某小组有学生14名，其中6名是女生，现从14名学生中
挑选5名代表参加学校活动，要求至少有2名女生的选法有多少种?
分析：根据“至少有2名女生”这个附加条件，挑选代表有下列4种独立方式：①选2名女生，再选3名男生；②选3名女生，再选2名男生；③选4名女生，再选1名男生；④选5名女生。以上分析结果综合起来，其代表选法总数是ｃ■■ｃ■■+ｃ■■ｃ■■+ｃ■■ｃ■■+ｃ■■=1526(种)。
从买彩票谈起有趣的排列组合问题
从买彩票谈起有趣的排列组合问题
摘要：排列组合是组合学中最基本的概念。在教学中，结合彩票几率问题理解
排列组合问题，是个很好的例子，可激发学生浓厚的兴趣，也能显示出数学在应
用方面的魅力。
关键词：排列组合；数学教学；兴趣
作者简介：罗荣枝，女，本科学历，中学一级职称，从事高中数学教育26年，
教学经验丰富，县级骨干教师，省优秀辅导员，多篇教学论文在报纸杂志上发表。
排列组合是组合学最基本的概念。所谓排列，就是指从给定个数的元素中取
出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数
的元素，不考虑排序。排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出
现的情况总数。
随着中国体育、福利事业的蓬勃发展，时下社会经常向广大市民发行体育、
福利彩票，全社会掀起一股“彩票”热，涌现出大批“彩民”。他们都想通过自己的“运气”去赢得那一本万利的丰厚的奖金，然而这些“彩迷们”只知道“碰运气”、“得
大奖”，但知道彩票中所包含的数学问题，即中奖率问题的就为数不多了。所谓彩票，即由几个固定数 (可按顺序)组成的数码或符号，只要在所给定的若干个数码
或符号中买到或抽到与几个固定数全部或部分相同的数码，就相应地归属事先规
定的奖项。大家知道，不管是规定顺序还是不规定顺序，都是从若干个数码或符
号中选出几个数码或符号，这就是我们数学中的排列组合问题。在教学中，我们
的教师结合彩票几率问题理解排列组合问题，是个很好的例子，可激发学生浓厚
的兴趣，纠正学生当中狂热追求社会上的彩票的倾向，从而也可显示出数学在应
用方面的魅力。
高中数学教学论文 排列组合常见解题错误剖析
排列组合常见解题错误剖析
排列组合是高中数学中较难学的内容之一.它与其他知识联系较少，内容比较抽象.解决排列组合问题对学生的抽象思维能力和逻辑思维能力要求较高.通过多年的教学我们会发现，学生解决排列组合问题时出现的错误往往具有普遍性，因此，分析学生解题中的这些常犯错误，充分暴露其错误的思维过程，使学生认识到出错的原因，可使他们在比较中对正确的思维过程留下更深刻的印象，从而有效地提高解题准确率。学生在解排列组合题时常犯以下几类错误：
1、“加法”、“乘法”原理混淆；
2、“排列”、“组合”概念混淆；
3、重复计数；
4、漏解.
本文拟就学生在排列组合问题上的常犯错误归纳分析如下：
1.“加法”、“乘法”原理混淆
两个原理的区别在于一个和分类有关，一个与分步有关.如果完成一件事有n 类方法，这n 类方法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类计数原理；如果完成一件事有n 个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法数就用分步计数原理.
【例1】50件产品中有4件次品，从中任意抽出5件，其中至少有3件次品的抽法有_______种.（注：所选高考题为理科题，以下同）
【错解】有))((1464424634C C C C ++＝46575种.
【错因】分类与分步概念不清，即加法原理与乘法原理混淆.
【正解】分为二类：第一类，先取3件次品，再取2件正品，其抽法有（分两步，用
乘法原理）24634C C 种；第二类，有4件次品的抽法同理有14644C C 种，最后由加法原理，
高中数学教学论文 排列组合中的分组分配问题
数学论文--排列组合中的分组分配问题
关键词：分组 均匀 不均匀 分配 定向分配 不定向分配 分组分配问题是排列组合教学中的一个重点和难点。某些排列组合问题看似非分配问题，实际上可运用分配问题的方法来解决。下面就排列组合中的分组分配问题，谈谈自己在教学中的体会和做法。一、 提出分组与分配问题，澄清模糊概念
n 个不同元素按照某些条件分配给k 个不同得对象，称为分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将n 个不同元素按照某些条件分成k 组，称为分组问题.分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。
二、基本的分组问题
例1 六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？
(1)每组两本.
(2)一组一本，一组二本，一组三本. (3)一组四本，另外两组各一本.
分析：(1)分组与顺序无关，是组合问题。分组数是
=90(种) ，这90种分组
实际上重复了6次。我们不妨把六本不同的书写上1、2、3、4、5、6六个号码，考察以下两种分法：(1，2)(3，4)(5，6)与(3，4)(1，2)(5，6)，由于书是均匀分组的，三组的本数一样，又与顺序无关，所以这两种分法是同一种分法。以上的分组方法实际上加入了组的顺序，因此还应取消分组的顺序，即除以组数的全排列数3
3A
，所以分法是
222
64233
C C C A =15(种)。
(2)先分组，方法是
高中数学论文：排列组合中两个分配问题的解法和应用
排列组合中两个分配问题的解法和应用
在排列和组合问题中常有分配问题，此类问题常因分配的物品种类是否相同，分配的物品数量是否平均，分配的物品接受对象是否有序等各种因素使得此类问题显得非常灵活，有时也显得比较难，比如分配中的保底分配和重复现象。本文就这两个问题作一个探讨。
引例：有4件奖品，要求全部奖给3个学生，且每人至少一件。
问题（1）：若4件奖品相同，则有多少种不同的分配方法？
问题（2）：若4件奖品各不相同，则有多少种不同的分配方法？
分析：问题（1）：奖品分定后的结果是：其中的一人有2件奖品，另两人各有一件奖品，故可如此考虑，先每人发一件奖品，因奖品相同所以仅一个方法，然后再把剩余的一件分
给三个人中的一个，根据分步计数原理有N=1313C =种不同分法。
问题（2）解法一：按照上述思路，在每人发一件时因分配的物品不同有34A 种不同
方法，再把剩余的一件分给3个人中的一个有13C 种方法，根据分步计数原理得不同的分
配方法有314372N A C ==种。
问题（2）解法二：奖品分配完毕将有2件成组，另2件各成一组共3组分给3个同
学，根据分步计数原理得共有不同的分配方法234336N C A ==种。
此时产生一个问题，同一个问题在两个不同的思路之下出现两个不同的答案。仔细探究原来解法一的结果中产生了重复，比如三个同学分别为甲、乙、丙，奖品为a 、b 、c 、d ，
其中甲同学是分得2件奖品的同学，现先在34A 发奖品的时候甲分得a ，乙分得b ，丙分得
c ，剩余的
d 在13C 这一步恰好分给甲，如此最后甲得a 、d ，乙得b ，丙得c ；另外在34A 发
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高中数学排列组合应用题的教学
摘要：排列组合应用题思维抽象，解法独特且灵活多变，搞好排列组合应用题的教学对训练学生的思维，培养学生分析问题、解决问题的能力都有十分重要的意义。加法原理和乘法原理是推导排列组合种数计算公式的重要依据，也是解排列组合问题的关键。
关键词：排列；组合；应用题
中图分类号：g632 文献标识码：b 文章编号：1002-7661（2013）14-108-01
排列组合应用题思维抽象，解法独特且灵活多变，搞好排列组合应用题的教学对训练学生的思维，培养学生分析问题、解决问题的能力都有十分重要的意义。那么，如何搞好这部分内容的教学呢？笔者结合自己多年的教学经验谈几点体会。
一、抓住“两个原理”
重视对“两个原理”的教学。“加法原理”和“乘法原理”是推导排列组合种数计算公式的重要依据，也是解排列组合问题的关键。让学生明确在考虑应用两个原理解决问题时，要注意“完成一件事”的办法是分步进行还是分类完成。如果是分步进行，就找出完成每一步的方法数，运用乘法原理来解决；如果是分类完成的，就找出每一类的方法数，运用加法原理来解决。
例1：有五个球要放在三个盒中，共有多少种不同的放法？
此问题的关键是5个球都要放到盒中，而每个球都有3种放法，把其中某个球放到盒中是完成“5个球放到盒中”这件事的一个步骤，
只有5个步骤全部完成这件事才算完成，按乘法原理有3×3×3×3×3﹦﹦245（种）
例2：从甲地到乙地每天有1班火车，2班轮船，4班汽车。王红要从甲地到乙地，乘坐这三种交通工具一天有多少种不同走法？此问题的关键是王红无论乘火车、乘轮船还是乘汽车都能完成从甲地到乙地这件事，且乘火车有1种方法，乘轮船有2种方法，乘汽车有4种方法，按加法原理有1+2+4﹦7（种）
二、辨清“排列”“组合”
在解排列组合应用题时，在明确了使用哪个原理的同时，还要提醒学生注意分辨是排列问题还是组合问题。排列是按一定顺序排成的一列元素，两个排列的不同，意味着两个排列的元素不同或元素相同，但元素的排列顺序不同。组合是无顺序约束的一组元素，两个组合的不同，意味着当且仅当两个组合元素的不同。
例3：用1分、2分、5分的硬币各一枚，可以组成多少种不同的币值？
三种硬币组成不同币值的方式可分为三类，即分别用一枚两枚三枚组成，且无论用几枚硬币所组成的币值种数与硬币的排序无关，因此是组合问题，共7种
例4：某信号兵用红、黄、蓝三面旗，从上到下插在竖直的旗杆上表示信号，每次可插一面、两面、三面，一共可以表示多少种不同的信号？
解此类问题时要求学生联系实际。挂旗表示信号，与各色旗的上下
顺序有关，因此是排列问题。信号又可分为三类，用一面旗、两面旗、三面旗都可独立表示不同信息，因此有15种
三、总结常用方法
讲排列组合应用题时，从不同角度分析问题，再把学生的解题方法汇集起来，然后让大家讨论，哪种方法巧妙，哪种方法带有一般性，是常用方法。经归纳总结，解排列组合应用题有以下几种常用方法。
1、直接法。就是根据题中的约束条件，直接使用两个原理，从正面求出符合题意的排列（组合）种数。
例5：五人并排照相，甲必须在中间有多少种不同排法？
解：假设有排好了顺序的五个位置，不考虑甲，先在四个人中选一人站在一号位，再从其余的三人中选一人站在二号位，三号位留给甲，四号位从余下的二人中选，剩下的1人就是五号位了。共有排法24（种）。也可从把除甲外的四人全排，在每一种排法中让甲站在中间有24（种）。
2、间接法。就是从不考虑约束条件的排列（组合）中剔除不符合约束条件的排列（组合）种数。如例5的间接求法。解：把5个人的全排列剔除甲不在中间位置的排法，有24种。
3、特殊元素优先法。排列组合问题中有些元素有一定的特殊约束条件，求解时先考虑有特殊约束条件的元素。如例5，甲是有特殊约束条件的元素，所以先把甲放在中间位置，其余4人在另外四个位置任意排列，有24（种）。
4、捆扎法（或并元法）：排列问题中往往要求某些元素必相邻。解
这类问题时可把这些元素捆扎在一起并作一个元素加以排列
例6： 5个人并排照相，甲乙二人不分开有多少种不同的排法？解：可分两步。①把甲乙二人捆扎在一起看作一个元素与其余三人进行全排列，有种，②再把甲乙二人全排列有种，由乘法原理有48种。
5、插空法。排列题经常有某两个元素不相邻的排法。解题时可先排无约束元素，再把有约束元素插在已排好顺序的空中。
例7：5人排成一排照相，甲乙两人不相邻有多少种排法？
解：分两步：①先把其余三人全排，有种，②三人排好后有4个空可插，甲乙任选二空有种，由乘法原理有72种。
6、先组后排法。有些数列可通过先组合后排列两步完成。
例8：从1、3、5、7、9中取三个数字，从2、4、6、8中取两个数字，共能组成多少个无重复数字的五位数？
解：分三步：①从1、3、5、7、9中取三个数不考虑顺序，有种取法，②从2、4、6、8中取两个数亦不考虑顺序，有种取法，③对取出的五个数进行全排列有种，由乘法原理共有7200种。
教师在帮助学生归纳出以上几种常用方法后应指出：在解排列组合应用题时要广开思路，不能死记硬背硬套方法，要善于变通。
总之，在排列组合应用题的教学中，教师要引导学生在做题前一定要认真审题、慎密思考，分清“完成一件事”是过程分步还是方法分类；是排列问题还是组合问题。经过训练，由单一到综合，由简单到复杂，再难的问题也可以解决了。