三角形与四边形类比探究题(中考专题)

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2020年九年级中考复习三角形、四边形综合探索题型讲义(word版)

知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。

--培根B P微复习：三角形、四边形综合探索题型随着中考题型的不断变化，三角形、四边形题目由原来单纯考察全等、相似、旋转、位移、特殊平行四边形等基础题型，也变为开放探索性综合题目。

开放探索性问题，由于没有指明结论，对学生的要求较高，一般要求学生通过自己的观察、猜想、分析、归纳概括来发现解题条件或结论或结论成立的条件。

所以是近几年的热点考题。

如：山东枣庄2017年中考题目例1：已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA，EC．（1）如图1，若点P在线段AB的延长线上，求证：EA=EC；（2）如图2，若点P在线段AB的中点，连接AC，判断△ACE的形状，并说明理由；（3）如图3，若点P在线段AB上，连接AC，当EP平分∠AEC时，设AB=a，BP=b，求a:b及∠AEC的度数．D A D: A D AEEFC B F C图1P E图2图3分析:这是一道典型的三角形、四边形综合题目。

（1）连BE，依据正方形的性质可得到△CBE≌△ABE，即可得出结论；（2）是结论探索型问题，具有开放性，学生要依据正方形的性质，分别表示出△ACE三边的长度，即可得出结论；（3）正方形的性质和EP平分∠AEC可推出三线合一的存在，利用三角形相似即可得出结论，求∠AEC的度数，要利用勾股定理、三角形全等的性质得出CE平分∠ACF即可得出结论由此得出：三角形、四边形综合题目，要求学生不仅要掌握三角形、四边形的基础知识点，而且还要把这些知识点形成知识树，明白知识点之间的关系，并能灵活进行知识点间的互换；还要学生把自己平时的做题经验进行总结，形成自己的解题能力。

P例2、如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D，E分别在AC，BC上，且CD=CE．（1）如图1，求证：∠CAE=∠CBD；（2）如图2，F是BD的中点，求证：AE⊥CF；（3）如图3，F，G分别是BD，AE的中点，若AC=2，CE=1，求△CGF的面积．分析：这是一道典型的三角形综合题目。

三角形与四边形类比探究题(中考收集)

类比探究解决类比探究问题的一般方法：1、根据题设条件，结合各问条件，先解决第一问；2、用解决第一问的方法类比解决下一问，如果不能，两问综合进行分析，找出不能类比的原因和不变特征，依据不变的特征，探索新的方法。

类比探究：图形结构类似、问题类似、常含探究、类比等关键词。

类比探究解题方法和思路1、找特征（中点、特殊角、折叠等），找模型：相似（母子型、A型、非A型、X型、非X型）三线合一、面积、全等三角形等；2、借助几问之间的联系，寻找条件和思路。

3、照搬上一问的方法思路，解决问题，照搬辅助线、照搬全等、照搬相似等。

4、找结构：寻找不变的结构，利用不变结构的特征解决问题。

常见不变结构及方法：①直角：作横平竖直的线，找全等或相似；②中点：作倍长、通过全等转移边和角；③平行：找相似、转比例。

5、哪些是不变的，哪些是变化的。

哪些条件没有用，如何进行转化，寻找能够类比的方法和思路。

1．如图所示，在正方形上连接等腰直角三角形和正方形，无限重复同一过程，第一个正方形的边长为1，第一个正方形与第一个等腰直角三角形的面积和为S1，第二个正方形与第二个等腰直角三角形的面积和为S2，…，第n个正方形与第n个等腰直角三角形的面积和为S n．（1）计算S1、S2、S3、S4．（2）总结出S n与S n﹣1的关系，并猜想出S1+S2+S3+S4+…+S n与n的关系．2．（淄博）分别以▱ABCD（∠CDA≠90°）的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角三角形，△ABE，△CDG，△ADF．（1）如图1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF，EF．请判断GF 与EF的关系（只写结论，不需证明）；（2）如图2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF，EF，（1）中结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．3．将两个用钢丝设计成的能够完全重合的直角三角形模型ABC和直角三角形DEF按如图所示的位置摆放，使点B、F、C、D在同一条直线上，且AB和DE、EF分别相交于点P、M，AC和DE相交于点N．（1）试判断线段AB和DE的位置关系，并说明理由；（2）若PD=AC，线段PE和BF有什么数量关系，请说明你的理由．4．如图，四边形ABCD为正方形，△BEF为等腰直角三角形（∠BFE=90°，点B、E、F按逆时针排列），点P为DE的中点，连PC，PF（1）如图①，点E在BC上，则线段PC、PF的数量关系为________，位置关系为_________（不证明）．（2）如图②，将△BEF绕点B顺时针旋转a（O＜a＜45°），则线段PC，PF有何数量关系和位置关系？请写出你的结论，并证明．（3）如图③，△AEF为等腰直角三角形，且∠AEF=90°，△AEF绕点A逆时针旋转过程中，能使点F落在BC上，且AB平分EF，直接写出AE的值是_________ ．5．如图，在△ABC中，AB=AC，点E为BC边上一动点（不与点B、C重合），过点E作射线EF交AC于点F，使∠AEF=∠B．（1）判断∠BAE与∠CEF的大小关系，并说明理由；（2）请你探索：当△AEF为直角三角形时，求∠AEF与∠BAE的数量关系．6．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=2，E为AB上任意一动点，以CE 为斜边作等腰直角△CDE，连接AD，（1）当点E运动过程中∠BCE与∠ACD的关系是________．（2）AD与BC有什么位置关系？说明理由．（3）四边形ABCD的面积是否有最大值？如果有，最大值是多少？如果没有，说明理由．7．直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC，点P是三角形ABC内一点，且满足∠PAB=∠PBC=∠PCA，（1）判断PC与PB的位置关系，并对你的判断加以说明．（2）△ABP与△APC的面积比．8．（内江）如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°，AE交CD于点F，BD分别交CE、AE于点G、H．试猜测线段AE和BD的数量和位置关系，并说明理由．9．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B 作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．（1）证明：△BDF是等腰直角三角形．（2）猜想线段AD与CF之间的关系并证明．10．如图，等腰直角三角形ABC中，AC=BC，将△ABC绕斜边AB的中点O旋转至△DEF 的位置，DF交AB于点P，DE交BC于点Q．请猜想OQ与OP有怎样的数量关系？并证明你的结论．11．（1）如图甲，直角三角形ABC中，∠C=90°，分别以AB，AC，BC为边作正方形ABEF，ACMN，BCGH，面积分别设为S，P，Q，则S，P，Q满足怎样的等量关系？（直接写出结果，不需证明）（2）如图乙，直角三角形ABC中，∠C=90°，分别以AB，AC，BC为边作等边三角形ABE，ACM，BCH，面积分别设为S，P，Q，则S，P，Q满足怎样的等量关系？并证明；（3）如图丙，锐角三角形ABC中，分别以AC，BC为边作任意平行四边形ACMN，BCGH，面积分别设为P，Q，NM和HG的延长线相交于点D，连接CD，在AB外侧作平行四边形ABEF，使得BE，AF平行且等于CD，面积设为S，则S，P，Q满足怎样的等量关系？并证明．12．如图所示，四边形ABCD为正方形，△BEF为等腰直角三角形（∠BFE=90°，点B、E、F按逆时针顺序），P为DE的中点，连接PC、PF．（1）如图（1），E点在边BC上，则线段PC、PF的数量关系为________，位置关系为_________（不需要证明）．（2）如图（2），将△BEF绕B点顺时针旋转α°（0＜α＜45），则线段PC、PF有何数量关系和位置关系？请写出你的结论并证明．（3）如图（3），E点旋转到图中的位置，其它条件不变，完成图（3），则线段PC、PF有何数量关系和位置关系？直接写出你的结论，不需要证明．13．（富宁县）将两个全等的直角三角形ABC和DBE如图①方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．（1）求证：AF+EF=DE；（2）若将图①中的直角三角形ABC绕点B顺时针方向旋转，且∠ABD=30°，其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立；（3）若将图①中的直角三角形DBE绕点B顺时针方向旋转，且∠ABD=65°，其它条件不变，如图③，你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．14．（营口）如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，F是AC边上的一个动点（点F与A、C不重合），以CF为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF，连接BF、AD．（1）①猜想图1中线段BF、AD的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；②将图1中的正方形CDEF，绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2、图3的情形．图2中BF交AC于点H，交AD于点O，请你判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断．（2）将原题中的等腰直角三角形ABC改为直角三角形ABC，∠ACB=90°，正方形CDEF 改为矩形CDEF，如图4，且AC=4，BC=3，CD=，CF=1，BF交AC于点H，交AD于点O，连接BD、AF，求BD2+AF2的值．15．（石家庄）在图1到图3中，点O是正方形ABCD对角线AC的中点，△MPN为直角三角形，∠MPN=90°．正方形ABCD保持不动，△MPN沿射线AC向右平移，平移过程中P点始终在射线AC上，且保持PM垂直于直线AB于点E，PN垂直于直线BC于点F．（1）如图1，当点P与点O重合时，OE与OF的数量关系为_________ ；（2）如图2，当P在线段OC上时，猜想OE与OF有怎样的数量关系与位置关系？并对你的猜想结果给予证明；（3）如图3，当点P在AC的延长线上时，OE与OF的数量关系为_________ ；位置关系为_________ ．16．己知：正方形ABCD．（1）如图①，点E、点F分别在边AB和AD上，且AE=AF．此时，线段BE、DF的数量关系和位置关系分别是什么？请直接写出结论．（2）如图②，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α，当0°＜α＜90°时，连接BE、DF，此时（1）中的结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．（3）如图③，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α，当90°＜α＜180°时，连接BD、DE、EF、FB，得到四边形BDEF，则顺次连接四边形BDEF各边中点所组成的四边形是什么特殊四边形？请直接写出结论．17．（葫芦岛）已知：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，点M是CE的中点，连接BM．（1）如图①，点D在AB上，连接DM，并延长DM交BC于点N，可探究得出BD与BM 的数量关系为_________ ；（2）如图②，点D不在AB上，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．18．（南通）如图1，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA、OD到点F、E，使OF=2OA，OE=2OD，连接EF．将△EOF绕点O逆时针旋转α角得到△E1OF1（如图2）．（1）探究AE1与BF1的数量关系，并给予证明；（2）当α=30°时，求证：△AOE1为直角三角形．19．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为多少？20．如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D、E分别为AB、AC边上的点，AD=AE，AF⊥BE交BC于点F，过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G，交AC于点M．（1）求证：△EGM为等腰三角形；（2）判断线段BG、AF与FG的数量关系并证明你的结论．21．（辽阳）已知直角梯形ABCD，AB∥CD，∠C=90°，AB=BC=CD，E为CD的中点．（1）如图（1）当点M在线段DE上时，以AM为腰作等腰直角三角形AMN，判断NE 与MB的位置关系和数量关系，请直接写出你的结论；（2）如图（2）当点M在线段EC上时，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？请说明理由．22．如图，△ABC与△DEC是两个全等的直角三角形，∠ACB=∠CDE=90°，∠CAB=∠DCE，AB=4，BC=2，△DEC绕点C旋转，CD、CE分别与AB相交于点F、G（都不与A、B点重合），设BG=x．回答下列问题：（1）设CG=y1，请探究y1与x的函数关系，并直接写出y1的最小值；（2）设AF=y2，请探究y2与x的函数关系．23．（丰台区）已知：△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，连接EC，取EC的中点M，连接BM和DM．（1）如图1，如果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM、DM的数量关系与位置关系是_________ ；（2）将图1中的△ADE绕点A旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．24．若直角三角形三边长为正整数，且周长与面积数值相等，则称此三角形为“完美直角三角形”，求“完美直角三角形”的三边长．25．以△ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE，∠BAD=∠CAE=90°，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系．（1）如图①当△ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是_________ ，线段AM 与DE的数量关系是_________ ；（2）将图①中的等腰Rt△ABD绕点A沿逆时针方向旋转θ°（0＜θ＜90）后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．26．（邯郸）（1）如图1，四边形ACDG与四边形ECBH都是正方形，且B，C，D在一条直线上，连接DE并延长交线段AB于点F．求证：AB=DE，AB⊥DE；（2）如果将（1）中的两个正方形换成两个矩形，如图2，且==，则AB与DE 的数量关系与位置关系会发生什么变化？请说明你的看法和理由．（3）如果将（1）中的两个正方形换成两个直角三角形，如图3，∠BCE=∠ACD=90°，且=k，且请直接写出AB与DE的数量关系与位置关系．27．锐角为45°的直角三角形的两直角边长也相等，这样的三角形称为等腰直角三角形．我们常用的三角板中有一块就是这样的三角形，也可称它为等腰直角三角板．把两块全等的等腰直角三角板按如图1放置，其中边BC、FP均在直线l上，边EF与边AC重合．（1）将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ．猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（2）将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP，BQ．你认为（1）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．28．如图1，E是等腰Rt△ABC边AC上的一个动点（点E与A、C不重合），以CE为一边在Rt△ABC作等腰Rt△CDE，连接AD，BE．我们探究下列图中线段AD、线段BE的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段AD、线段BE的长度关系及所在直线的位置关系；②将图1中的等腰Rt△CDE绕着点C按顺时针方向旋转任意角度a，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断．（2）将原题中等腰直角三角形改为直角三角形（如图6），且AC=a，BC=b，CD=ka，CE=kb （a≠b，k＞0），第（1）题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．（3）在第（2）题图5中，连接BD、AE，且a=4，b=3，k=，求BD2+AE2的值．29．如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为直角边且在AD的上方作等腰直角三角形ADF．（1）若AB=AC，∠BAC=90°．①当点D在线段BC上时（与点B不重合），试探讨CF与BD的数量关系和位置关系；②当点D在线段BC的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，请在图2中画出相应图形并说明理由；（2）如图3，若AB≠AC，∠BAC≠90°，∠BCA=45°点D在线段BC上运动，试探究CF与BC位置关系．30．已知△ABC和△ADE分别是以AB．AE为底的等腰直角三角形，以CE，CB为边作平行四边形CEHB，连DC，CH．（1）如图1，当D点在AB上时，则∠DEH的度数为_________ ；CH与CD的数量关系是_________ ，并说明理由；（2）将图1中的△ADE绕A点逆时针旋转45°得图2：则∠DEH的度数为_________ ，CH与CD之间的数量关系为_________ ；（3）将图1中的△ADE绕A点顺时针旋转α（O°＜α＜45°）得图3，请探究CH与CD之间的数量关系，并给予证明．类比找规律专题训练题1、如下图，将一张正方形纸片，剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一个小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形，再将其中的一个小正方形剪成四个小正方形，如此循环进行下去；（1）填表：剪的次数 1 2 3 4 5正方形个数（2）如果剪n次，共剪出多少个小正方形？（3）如果剪了100次，共剪出多少个小正方形？（4）观察图形，你还能得出什么规律？2、现有黑色三角形“▲”和“△”共200个，按照一定规律排列如下：▲▲△△▲△▲▲△△▲△▲▲……则黑色三角形有个，白色三角形有个。

三角形与四边形类比探究题(中考专题)

类比研究解决类比研究问题的一般方法：1、依据题设条件，联合各问条件，先解决第一问；2、用解决第一问的方法类比解决下一问，假如不可以，两问综合进行剖析，找出不可以类比的原由和不变特色，依照不变的特色，研究新的方法。

类比研究：图形构造近似、问题近似、常含研究、类比等重点词。

类比研究解题方法和思路1、找特色（中点、特别角、折叠等），找模型：相像（母子型、 A 型、非 A 型、X 型、非 X 型）三线合一、面积、全等三角形等；2、借助几问之间的联系，找寻条件和思路。

3、照搬上一问的方法思路，解决问题，照搬协助线、照搬全等、照搬相像等。

4、找构造：找寻不变的构造，利用不变构造的特色解决问题。

常有不变构造及方法：①直角：作横平竖直的线，找全等或相像；②中点：作倍长、经过全等转移边和角；③平行：找相像、转比率。

5、哪些是不变的，哪些是变化的。

哪些条件没实用，如何进行转变，找寻能够类比的方法和思路。

1．以下图，在正方形上连结等腰直角三角形和正方形，无穷重复同一过程，第一个正方形的边长为1，第一个正方形与第一个等腰直角三角形的面积和为S1，第二个正方形与第二个等腰直角三角形的面积和为S2，，第n 个正方形与第n 个等腰直角三角形的面积和为S n．（1）计算 S1、 S2、 S3、 S4．（2）总结出S n与 S n﹣1的关系，并猜想出S1+S2+S3+S4++S n与 n 的关系．2．（淄博）分别以 ? ABCD （∠ CDA≠ 90°）的三边 AB ，CD， DA 为斜边作等腰直角三角形，△ABE ，△CDG ，△ ADF ．（1）如图 1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外面时，连结GF， EF．请判断GF 与 EF 的关系（只写结论，不需证明）；（2）如图 2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连结GF，EF，（ 1）中结论还建立吗？若建立，给出证明；若不建立，说明原由．3．将两个用钢丝设计成的能够完整重合的直角三角形模型ABC 和直角三角形DEF 按如图所示的地点摆放，使点 B、 F、 C、 D 在同一条直线上，且 AB 和 DE、EF 分别订交于点 P、 M ，AC 和 DE 订交于点 N．（1）试判断线段 AB 和 DE 的地点关系，并说明原由；（2）若 PD=AC ，线段 PE 和 BF 有什么数目关系，请说明你的原由．4．如图，四边形 ABCD 为正方形，△ BEF 为等腰直角三角形（∠ BFE=90°，点 B、 E、F按逆时针摆列），点 P 为 DE 的中点，连 PC，PF（1）如图①，点 E 在 BC 上，则线段 PC、PF 的数目关系为 ________，地点关系为 _________（不证明）．（2）如图②，将△BEF 绕点 B 顺时针旋转 a（ O＜ a＜ 45°），则线段 PC，PF 有何数目关系和地点关系？请写出你的结论，并证明．（3）如图③，△AEF 为等腰直角三角形，且∠ AEF=90°，△ AEF 绕点 A 逆时针旋转过程中，能使点 F 落在 BC 上，且 AB 均分 EF，直接写出AE 的值是_________．5．如图，在△ ABC 中， AB=AC ，点 E 为 BC 边上一动点（不与点 B、 C 重合），过点 E 作射线EF 交 AC 于点 F，使∠ AEF= ∠ B．（1）判断∠ BAE 与∠ CEF 的大小关系，并说明原由；（2）请你研究：当△ AEF为直角三角形时，求∠AEF 与∠ BAE 的数目关系．CE 6．如图，△ ABC 为等腰直角三角形，∠BAC=90°， BC=2 ， E 为 AB 上随意一动点，以为斜边作等腰直角△CDE ，连结 AD ，（1）当点 E 运动过程中∠ BCE 与∠ ACD 的关系是 ________．（2） AD 与 BC 有什么地点关系？说明原由．（3）四边形 ABCD 的面积能否有最大值？假如有，最大值是多少？假如没有，说明原由．7．直角三角形ABC 中，∠ C=90°， AC=BC ，点 P 是三角形 ABC 内一点，且知足∠P AB= ∠PBC= ∠ PCA ，（1）判断 PC 与 PB 的地点关系，并对你的判断加以说明．（2）△ ABP 与△ APC 的面积比．8．（内江）如图，△ACD和△ BCE都是等腰直角三角形，∠ACD= ∠ BCE=90°， AE 交 CD 于点 F，BD 分别交 CE、AE 于点 G、H．试猜想线段 AE 和 BD 的数目和地点关系，并说明原由．9．如图，在等腰 Rt△ABC 中，∠ ACB=90°， D 为 BC 的中点， DE ⊥ AB ，垂足为 E，过点 B作 BF∥ AC 交 DE 的延伸线于点 F，连结 CF．（1）证明：△ BDF 是等腰直角三角形．（2）猜想线段 AD 与 CF 之间的关系并证明．10．如图，等腰直角三角形 ABC 中，AC=BC ，将△ ABC 绕斜边 AB 的中点 O 旋转至△ DEF 的地点， DF 交 AB 于点 P， DE 交 BC 于点 Q．请猜想 OQ 与 OP 有如何的数目关系？并证明你的结论．11．（ 1）如图甲，直角三角形 ABC 中，∠ C=90°，分别以 AB ，AC ，BC 为边作正方形 ABEF ，ACMN ， BCGH ，面积分别设为 S， P， Q，则 S， P， Q 知足如何的等量关系？（直接写出结果，不需证明）（2）如图乙，直角三角形 ABC 中，∠ C=90°，分别以 AB ，AC ，BC 为边作等边三角形 ABE ，ACM ，BCH ，面积分别设为 S，P， Q，则 S，P， Q 知足如何的等量关系？并证明；（3）如图丙，锐角三角形ABC 中，分别以 AC ，BC 为边作随意平行四边形ACMN ，BCGH ，面积分别设为 P，Q，NM 和 HG 的延伸线订交于点 D ，连结 CD，在 AB 外侧作平行四边形ABEF ，使得 BE， AF 平行且等于 CD ，面积设为 S，则 S， P， Q 知足如何的等量关系？并证明．12．以下图，四边形 ABCD 为正方形，△BEF 为等腰直角三角形（∠ BFE=90°，点 B、E、 F 按逆时针次序），P 为 DE 的中点，连结 PC、PF．（1）如图（ 1），E 点在边 BC 上，则线段 PC、PF 的数目关系为________，地点关系为 _________（不需要证明）．（2）如图（ 2），将△ BEF 绕 B 点顺时针旋转α°（ 0＜α＜ 45），则线段 PC、PF 有何数目关系和地点关系？请写出你的结论并证明．（3）如图（ 3）， E 点旋转到图中的地点，其余条件不变，达成图（3），则线段PC、 PF 有何数目关系和地点关系？直接写出你的结论，不需要证明．13．（富宁县）将两个全等的直角三角形ABC 和 DBE 如图①方式摆放，此中∠ACB= ∠ DEB=90°，∠ A= ∠ D=30°，点 E 落在 AB 上，DE 所在直线交AC 所在直线于点F．（1）求证： AF+EF=DE ；（2）若将图①中的直角三角形ABC 绕点 B 顺时针方向旋转，且∠ABD=30°，其余条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论能否仍旧建立；（3）若将图①中的直角三角形DBE 绕点 B 顺时针方向旋转，且∠ABD=65°，其余条件不变，如图③，你以为（ 1）中猜想的结论还建立吗？若建立，写出证明过程；若不建立，请写出 AF 、 EF 与 DE 之间的关系，并说明原由．14．（营口）如图 1，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB=90°，F 是 AC 边上的一个动点（点F 与 A、 C 不重合），以 CF 为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF，连结 BF 、 AD ．（1）①猜想图 1 中线段 BF、 AD 的数目关系及所在直线的地点关系，直接写出结论；②将图 1 中的正方形CDEF ，绕着点 C 按顺时针（或逆时针）方向旋转随意角度α，获得如图 2、图 3 的情况．图 2 中 BF 交 AC 于点 H，交 AD 于点 O，请你判断①中获得的结论能否仍旧建立，并选用图 2 证明你的判断．（2）将原题中的等腰直角三角形ABC 改为直角三角形 ABC ，∠ ACB=90°，正方形 CDEF改为矩形 CDEF ，如图 4，且 AC=4 ， BC=3 ，CD=，CF=1，BF交AC于点H，交AD于点O，连结 BD 、 AF，求 BD 2+AF2的值．15．（石家庄）在图 1 到图 3 中，点 O 是正方形 ABCD 对角线 AC 的中点，△ MPN 为直角三角形，∠ MPN=90° ．正方形 ABCD 保持不动，△ MPN 沿射线 AC 向右平移，平移过程中 P 点一直在射线 AC 上，且保持 PM 垂直于直线 AB 于点 E， PN 垂直于直线 BC 于点 F．（1）如图 1，当点 P 与点 O 重合时， OE 与 OF 的数目关系为_________；（2）如图 2，当 P 在线段 OC 上时，猜想 OE 与 OF 有如何的数目关系与地点关系？并对你的猜想结果赐予证明；（3）如图 3，当点 P 在 AC 的延伸线上时，OE关系为_________．与 OF 的数目关系为_________；地点16．己知：正方形ABCD ．（1）如图①，点E、点 F 分别在边AB 和 AD 上，且 AE=AF ．此时，线段BE、DF 的数目关系和地点关系分别是什么？请直接写出结论．（2）如图②，等腰直角三角形 FAE 绕直角极点 A 顺时针旋转∠α，当 0°＜α＜ 90°时，连结BE 、 DF，此时（ 1）中的结论能否建立，假如建立，请证明；假如不建立，请说明原由．（3）如图③，等腰直角三角形 FAE 绕直角极点 A 顺时针旋转∠α，当 90°＜α＜ 180°时，连结 BD 、 DE 、 EF、 FB，获得四边形 BDEF ，则按序连结四边形 BDEF 各边中点所构成的四边形是什么特别四边形？请直接写出结论．17．（葫芦岛）已知：△ ABC 和△ ADE 都是等腰直角三角形，∠ ABC= ∠ADE=90°，点 M 是CE 的中点，连结 BM ．（1）如图①，点 D 在 AB 上，连结 DM ，并延伸 DM 交 BC 于点 N ，可研究得出BD 与 BM 的数目关系为_________；（2）如图②，点 D 不在 AB 上，（1）中的结论还建立吗？假如建立，请证明；假如不建立，说明原由．18．（南通）如图 1，O 为正方形 ABCD 的中心，分别延伸 OA 、OD 到点 F、E，使 OF=2OA ，OE=2OD ，连结 EF．将△ EOF 绕点 O 逆时针旋转α角获得△E1OF1（如图 2）．（1）研究 AE 1与 BF 1的数目关系，并赐予证明；（2）当α=30°时，求证：△AOE 1为直角三角形．19．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记录．如图 1 是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，能够用其面积关系考证勾股定理．图 2 是由图 1 放入矩形内获得的，∠BAC=90°， AB=3 ， AC=4 ，点 D， E，F， G， H ， I 都在矩形 KLMJ 的边上，则矩形KLMJ 的面积为多少？20．如图，等腰直角三角形 ABC 中，∠ BAC=90°，D、E 分别为 AB 、AC 边上的点， AD=AE ，AF ⊥BE 交 BC 于点 F，过点 F 作 FG⊥ CD 交 BE 的延伸线于点 G，交 AC 于点 M ．（1）求证：△ EGM 为等腰三角形；（2）判断线段 BG 、 AF 与 FG 的数目关系并证明你的结论．21．（辽阳）已知直角梯形ABCD ，AB ∥ CD，∠ C=90°， AB=BC=CD ， E 为 CD 的中点．（1）如图（ 1）当点 M 在线段 DE 上时，以 AM 为腰作等腰直角三角形 AMN ，判断 NE 与 MB 的地点关系和数目关系，请直接写出你的结论；（2）如图（ 2）当点 M 在线段 EC 上时，其余条件不变，（ 1）中的结论能否建立？请说明原由．22．如图，△ ABC 与△DEC 是两个全等的直角三角形，∠ ACB= ∠ CDE=90°，∠ CAB= ∠DCE ，AB=4 ， BC=2 ，△DEC 绕点 C 旋转， CD 、 CE 分别与 AB 订交于点 F、 G（都不与 A 、B 点重合），设 BG=x ．回答以下问题：（1）设 CG=y1，请研究y1与 x 的函数关系，并直接写出y1的最小值；（2）设 AF=y 2，请研究y2与 x 的函数关系．23．（丰台区）已知：△ ABC和△ ADE是两个不全等的等腰直角三角形，此中BA=BC ，DA=DE ，连结 EC，取 EC 的中点 M ，连结 BM 和 DM ．（1）如图 1，假如点 D、E 分别在边AC 、AB 上，那么 BM 、DM 的数目关系与地点关系是_________；（2）将图 1 中的△ADE 绕点 A 旋转到图 2 的地点时，判断（ 1）中的结论能否仍旧建立，并说明原由．24．若直角三角形三边长为正整数，且周长与面积数值相等，则称此三角形为角形”，求“完满直角三角形”的三边长．“完满直角三25．以△ ABC 的两边 AB 、 AC 为腰分别向外作等腰Rt △ ABD 和等腰 Rt△ ACE ，∠B AD= ∠ CAE=90°，连结 DE，M 、N 分别是 BC 、DE 的中点．研究： AM 与 DE 的地点关系及数目关系．（1）如图①当△ ABC 为直角三角形时，AM 与 DE 的地点关系是_________，线段AM 与 DE 的数目关系是_________；（2）将图①中的等腰 Rt△ ABD 绕点 A 沿逆时针方向旋转θ°（0＜θ＜ 90）后，如图②所示，（1）问中获得的两个结论能否发生改变？并说明原由．26．（邯郸）（ 1）如图 1，四边形直线上，连结DE 并延伸交线段求证： AB=DE ，AB ⊥ DE ；ACDGAB 于点与四边形F．ECBH都是正方形，且B， C，D在一条（2）假如将（1）中的两个正方形换成两个矩形，如图2，且==，则AB与DE的数目关系与地点关系会发生什么变化？请说明你的见解和原由．（3）假如将（1）中的两个正方形换成两个直角三角形，如图3，∠ BCE= ∠ ACD=90°，且=k ，且请直接写出AB 与 DE 的数目关系与地点关系．27．锐角为 45°的直角三角形的两直角边长也相等，这样的三角形称为等腰直角三角形．我们常用的三角板中有一块就是这样的三角形，也可称它为等腰直角三角板．把两块全等的等腰直角三角板按如图 1 搁置，此中边BC、 FP 均在直线 l 上，边 EF 与边 AC 重合．（1）将△EFP 沿直线 l 向左平移到图 2 的地点时， EP 交 AC 于点 Q，连结 AP， BQ．猜想并写出 BQ 与 AP 所知足的数目关系和地点关系，请证明你的猜想；（2）将△EFP 沿直线 l 向左平移到图 3 的地点时， EP 的延伸线交 AC 的延伸线于点Q，连接 AP， BQ ．你以为（ 1）中所猜想的 BQ 与 AP 的数目关系和地点关系还建立吗？若建立，给出证明；若不建立，请说明原由．28．如图1，E 是等腰Rt△ABC 边AC 边在Rt△ABC 作等腰Rt △CDE，连结长度关系及所在直线的地点关系：上的一个动点（点 E 与 A、C 不重合），以 CE 为一AD ， BE．我们研究以下图中线段AD 、线段 BE 的（1）①猜想如图 1 中线段 AD 、线段 BE 的长度关系及所在直线的地点关系；②将图 1 中的等腰 Rt△ CDE 绕着点 C 按顺时针方向旋转随意角度a，获得如图2、如图 3情况．请你经过察看、丈量等方法判断①中获得的结论能否仍旧建立，并选用图 2 证明你的判断．（2）将原题中等腰直角三角形改为直角三角形（如图6），且AC=a，BC=b，CD=ka，CE=kb （a≠b， k＞0），第（ 1）题①中获得的结论哪些建立，哪些不建立？若建立，以图 5 为例简要说明原由．（3）在第（2）题图 5 中，连结BD、AE ，且a=4， b=3， k=，求 BD 2+AE 2的值．29．如图1，在△ ABC中，∠ ACB为锐角，点 D 为射线BC上一动点，连结AD ，以AD 为直角边且在AD 的上方作等腰直角三角形ADF ．（1）若 AB=AC ，∠ BAC=90° ．①当点 D 在线段 BC 上时（与点 B 不重合），尝试讨CF 与 BD 的数目关系和地点关系；②当点 D 在线段 BC 的延伸线上时，①中的结论能否仍旧建立，请在图 2 中画出相应图形并说明原由；（2）如图 3，若 AB≠AC ，∠ BAC≠90°，∠ BCA=45°点 D 在线段 BC 上运动，尝试究CF 与BC 地点关系．30．已知△ ABC 和△ ADE 分别是以 AB ．AE 为底的等腰直角三角形，以CE，CB 为边作平行四边形 CEHB ，连 DC， CH．（1）如图 1，当 D 点在 AB 上时，则∠ DEH 的度数为_________；CH与CD的数目关系是_________，并说明原由；（2）将图 1 中的△ ADE 绕 A 点逆时针旋转45°得图 2：则∠ DEH 的度数为_________，CH 与 CD 之间的数目关系为_________；（3）将图 1 中的△ADE 绕 A 点顺时针旋转α（O°＜α＜ 45°）得图 3，请研究 CH 与 CD 之间的数目关系，并赐予证明．类比找规律专题训练题1、以以下图，将一张正方形纸片，剪成四个大小形状相同的小正方形，而后将此中的一个小正方形再按相同的方法剪成四个小正方形，再将此中的一个小正方形剪成四个小正方形，这样循环进行下去；（1）填表：剪的次数12345正方形个数（2）假如剪 n 次，共剪出多少个小正方形？（3）假如剪了 100 次，共剪出多少个小正方形？（4）察看图形，你还可以得出什么规律？2、现有黑色三角形“▲”和“△ ”共200个，依照必定规律摆列以下：▲▲△ △▲△▲▲ △△ ▲△▲▲则黑色三角形有个，白色三角形有个。

四边形之类比探究(一)(习题及答案)

四边形之类比探究（一）（习题）例题示范例1：已知等腰三角形ABC 中，∠ACB =90°，点E 在AC 的延长线上，且∠DEC =45°，M ，N 分别是DE ，AE 的中点，连接MN ，交直线BE 于点F ．当点D 在CB 的延长线上时，如图1所示，易证MF +FN =1BE ．2（1）如图2，当点D 在CB 边上时，上述结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出你的猜想，并说明理由．（2）当点D 在BC 的延长线上时，如图3所示，请直接写出线段MF ，FN ，BE 之间的数量关系（不需要证明）．1【思路分析】1.里面有多个中点，考虑中位线，先证明易证的思路．连接AD ，由中位线定理可知MN =1AD ，2由题意可证△ACD ≌△BCE ，得到AD =BE ，即MN =1BE ，2所以MF +FN =1BE ．22.照搬易证的思路解决第一问．连接AD ，由中位线定理可知MN =1AD ，2由题意可证△ACD ≌△BCE ，得到AD =BE ，即MN =1BE ，2所以NF -MF =1BE ．23.照搬易证的思路解决第二问．连接AD ，由中位线定理可知MN =1AD ，2由题意可证△ACD ≌△BCE ，得到AD =BE ，即MN =1BE ，2所以MF -NF =1BE ．2【过程书写】证明：（1）不成立，理由如下：连接AD ，在△AED 中，M 是DE 的中点，N 是AE 的中点，∴MN 是中位线∴MN =1AD2在等腰三角形ABC 中，∠ACB =90°∴AC =CB ，∵∠ACB =90°，∠DEC =45°∴CD =CE∴△ACD ≌△BCE （SAS ）∴AD =BE∴MN=1BE 2∴FN-MF=1BE 2（2）MF-FN=1BE 2巩固练习1.已知△ABC是等边三角形，D是直线BC上一动点（不与点B，C重合），以AD为边作菱形ADEF（A，D，E，F按逆时针排列），使∠DAF=60°，连接CF．（1）如图1，当点D在BC边上时，求证：①BD=CF；②AC=CD+CF．（2）如图2，当点D在BC的延长线上时，其他条件不变，结论AC=CD+CF是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请写出AC，CD，CF之间的数量关系，并说明理由．（3）如图3，当点D在CB的延长线上时，其他条件不变，探究AC，CD，CF之间的数量关系．图1图2图32.如图1，C是线段BG上一点，分别以BC，CG为边，向外作正方形BCDA和正方形CGEF，使点D落在线段CF上，M是AE的中点，连接DM，FM．（1）求证：DM=FM，DM⊥FM．（2）如图2，将正方形CGEF绕点C顺时针旋转45°，其他条件不变，探究线段DM，FM之间的关系，并加以证明．（3）如图3，将正方形CGEF绕点C旋转任意角度，其他条件不变，探究线段DM，FM之间的关系，并加以证明．图1图2图33.（1）如图1，△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，AB⊥AC，BD⊥DE，点D在AB边上．取CE的中点F，连接AF，DF，猜想AF，DF之间的数量关系和位置关系，并加以证明．（2）将△BDE旋转至如图2所示的位置，使点E在AB的延长线上，点D在CB的延长线上，其他条件不变，判断（1）中AF，DF之间的数量关系和位置关系是否发生变化，并加以证明．图1图2【参考答案】巩固练习1．（1）证明略．提示：证明△ABD≌△ACF，得到BD=CF，进而得到AC=CD+CF．（2）AC=CF-CD，理由略．（3）AC=CD-CF．2．（1）证明略．提示：延长DM，交EF于点H．证明△ADM≌△EHM（ASA），得到AD=EH，DM=HM，进而得到△DFH是等腰直角三角形，所以DM=FM，DM⊥FM．（2）DM=FM，DM⊥FM，证明略．提示：延长DM，交CE于点H，连接DF，HF．证明△ADM≌△EHM（ASA），得到AD=EH，DM=HM，再证明△CDF≌△EHF（SAS），得到DF=HF，∠CFD=∠EFH，进而得到△DFH是等腰直角三角形，则可得证．（3）DM=FM，DM⊥FM，证明略．提示：过点E作EH∥AD，交DM的延长线于点H，连接DF，HF．3．（1）AF=DF，AF⊥DF，证明略．提示：延长DF，交AC于点H．证明△DEF≌△HCF，得到DE=HC，DF=HF，进而得到△ADH是等腰直角三角形，所以AF=DF，AF⊥DF．（2）（1）中AF，DF之间的数量关系和位置关系不发生变化，证明略．提示：过点C作CH∥DE，交DF的延长线于点H，连接AD，AH．。

中考数学类比探究实战演练(习题及答案).

中考数学类比探究实战演练（六）做题时间：_______至_______自我评价：☆☆☆☆☆共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题22.（10分）已知：△ABC是等腰三角形，CA=CB，0°＜∠ACB≤90°，点M在边AC上，点N在边BC上（点M，点N不与所在线段端点重合），BN=AM，连接AN，BM．射线AG∥BC，延长BM交射线AG于点D，点E在直线AN 上，且AE=DE．（1）如图，当∠ACB=90°时．①求证：△BCM≌△ACN；②求∠BDE的度数．（2）当∠ACB=α，其他条件不变时，∠BDE的度数是__________（用含α的代数式表示）；（3）若△ABC是等边三角形，AB=33，点N是BC边上的三等分点，直线ED与直线BC交于点F，请直接．．写出线段CF的长．中考数学类比探究实战演练（七）做题时间：_______至_______自我评价：☆☆☆☆☆共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题22.（10分）已知在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，CD 为∠ACB 的平分线，将∠ACB沿CD 所在的直线对折，使点B 落在点B′处，连接AB′，BB′，延长CD 交BB′于点E ，设∠ABC =2α（0°＜α＜45°）．（1）如图1，若AB =AC ，求证：CD =2BE ；（2）如图2，若AB ≠AC ，试求CD 与BE 的数量关系（用含α的式子表示）；（3）如图3，将（2）中的线段BC 绕点C 逆时针旋转角（α+45°），得到线段FC ，连接EF 交BC 于点O ，设△COE 的面积为S 1，△COF 的面积为S 2，求12S S （用含α的式子表示）．中考数学类比探究实战演练（八）做题时间：_______至_______自我评价：☆☆☆☆☆共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题22.（10分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=7，AC=2，过点B作直线m∥AC，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C（点A，B的对应点分别为A′，B′），射线CA′，CB′分别交直线m于点P，Q．（1）如图1，当P与A′重合时，求∠ACA′的度数．（2）如图2，设A′B′与BC的交点为M，当M为A′B′的中点时，求线段PQ 的长．（3）在旋转过程中，当点P，Q分别在CA′，CB′的延长线上时，试探究四边形PA′B′Q的面积是否存在最小值．若存在，求出四边形PA′B′Q的最小面积；若不存在，请说明理由．中考数学类比探究实战演练（九）做题时间：_______至_______自我评价：☆☆☆☆☆共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题22.（10分）问题背景：如图1，等腰△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =120°，作AD⊥BC 于点D ，则D 为BC 的中点，∠BAD =21∠BAC =60°，于是23BC BD AB AB==．迁移应用：如图2，△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，∠BAC =∠DAE =120°，D ，E ，C 三点在同一条直线上，连接BD ．①求证：△ADB ≌△AEC ；②请直接写出线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式．拓展延伸：如图3，在菱形ABCD 中，∠ABC =120°，在∠ABC 内作射线BM ，作点C 关于BM 的对称点E ，连接AE 并延长交BM 于点F ，连接CE ，CF ．①求证：△CEF 是等边三角形；②若AE =5，CE =2，求BF 的长．图1图2图3中考数学类比探究实战演练（十）做题时间：_______至_______自我评价：☆☆☆☆☆共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题22.（10分）在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1）．求证：△AEG≌△AEF．（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2）．求证：EF2=ME2+NF2．（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．中考数学类比探究实战演练（十一）做题时间：_______至_______自我评价：☆☆☆☆☆共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题22.（10分）【操作发现】（1）如图1，△ABC为等边三角形，先将三角板中的60°角与∠ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于30°）．旋转后三角板的一直角边与AB交于点D．在三角板斜边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使∠DCE=30°，连接AF，EF．①求∠EAF的度数；②DE与EF相等吗？请说明理由．【类比探究】（2）如图2，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，先将三角板的90°角与∠ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于45°）．旋转后三角板的一直角边与AB交于点D．在三角板另一直角边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使∠DCE=45°，连接AF，EF．请直接写出探究结果：①∠EAF的度数；②线段AE，ED，DB之间的数量关系．图1图2中考数学类比探究实战演练（十二）做题时间：_______至_______自我评价：☆☆☆☆☆共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题22.（10分）数学活动课上，某学习小组对有一内角为120°的平行四边形ABCD（∠BAD=120°）进行探究：将一块含60°的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD所在平面内旋转，且60°角的顶点始终与点C重合，较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB，AD于点E，F（不包括线段的端点）．（1）初步尝试如图1，若AD=AB，求证：①△BCE≌△ACF；②AE+AF=AC．（2）类比发现如图2，若AD=2AB，过点C作CH⊥AD于点H，求证：AE=2FH．（3）深入探究如图3，若AD=3AB，探究得：3AE AFAC的值为常数t，则t=_______．图1图2图3中考数学类比探究实战演练（十三）做题时间：_______至_______自我评价：☆☆☆☆☆共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题22.（10分）小华遇到这样一个问题：在菱形ABCD中，∠ABC=60°，边长为4，在菱形ABCD内部有一点P，连接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值．小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是：如图1，将△APC绕点C顺时针旋转60°，恰好旋转至△DEC，连接PE，BD，则BD的长即为所求．（1）请你写出在图1中，PA+PB+PC的最小值为________．（2）参考小华思考问题的方法，解决下列问题：①如图2，在△ABC中，∠ACB=30°，BC=6，AC=5，在△ABC内部有一点P，连接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值．②如图3，在正方形ABCD中，AB=5，P为对角线BD上任意一点，连接PA，PC，请直接写出PA+PB+PC的最小值（保留作图痕迹）．中考数学类比探究实战演练（十四）做题时间：_______至_______自我评价：☆☆☆☆☆共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题22.（10分）在△ABC中，∠A=90°，点D在线段BC上，∠EDB=12∠C，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F．（1）如图1，若点D与点C重合，AB=AC，探究线段BE与FD的数量关系．（2）如图2，若点D与点C不重合，AB=AC，探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明．（3）如图3，若点D与点C不重合，AB=kAC，求BEFD的值（用含k的式子表示）．图1图2图3中考数学类比探究实战演练（十五）做题时间：_______至_______自我评价：☆☆☆☆☆共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题22.（10分）问题背景：已知∠EDF的顶点D在△ABC的边AB所在直线上（不与A，B重合），DE交AC所在直线于点M，DF交BC所在直线于点N，记△ADM的面积为S1，△BND的面积为S2．（1）初步尝试：如图1，当△ABC是等边三角形，AB=6，∠EDF=∠A，且DE∥BC，AD=2时，则S1·S2=_____________．（2）类比探究：在（1）的条件下，先将点D沿AB平移，使AD=4，再将∠EDF绕点D旋转至如图2所示位置，求S1·S2的值．（3）拓展延伸：当△ABC是等腰三角形时，设∠B=∠A=∠EDF=α．①如图3，当点D在线段AB上运动时，设AD=a，BD=b，求S1·S2的表达式（结果用a，b和α的三角函数表示）；②如图4，当点D在BA的延长线上运动时，设AD=a，BD=b，直接写出S1·S2的表达式，不必写出解答过程．图1图2图3图4中考数学类比探究实战演练（十六）做题时间：_______至_______自我评价：☆☆☆☆☆共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题22.（10分）点A，B分别是两条平行线m，n上任意一点，在直线n上找一点C，使BC=kAB，连接AC，在直线AC上任取一点E，作∠BEF=∠ABC，EF 交直线m于点F．（1）如图1，当∠ABC=90°，k=1时，判断线段EF和EB之间的数量关系，并证明．（2）如图2，当∠ABC=90°，k≠1时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请重新判断线段EF和EB之间的数量关系．（3）如图3，当0°＜∠ABC＜90°，k=1时，探究EF和EB之间的数量关系，并证明．图1图2图3中考数学阅读理解问题实战演练（一）做题时间：_______至_______自我评价：☆☆☆☆☆共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题22.（10分）我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．（1）概念理解：如图1，在△ABC 中，AC =6，BC =3，∠ACB =30°，试判断△ABC 是否是“等高底”三角形，请说明理由．（2）问题探究：如图2，△ABC 是“等高底”三角形，BC 是“等底”，作△ABC 关于BC 所在直线的对称图形得到△A′BC ，连接AA′交直线BC 于点D ．若点B 是△AA′C 的重心，求BC AC 的值．（3）应用拓展：如图3，已知l 1∥l 2，l 1与l 2之间的距离为2．“等高底”△ABC 的“等底”BC 在直线l 1上，点A 在直线l 2上，有一边的长是BC 的2倍．将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转45°得到△A′B′C ，A′C 所在直线交l 2于点D ，求CD 的值．中考数学阅读理解问题实战演练（二）做题时间：_______至_______自我评价：☆☆☆☆☆共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题22.（10分）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．理解：（1）如图1，已知Rt△ABC在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D，使四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形（保留画图痕迹，找出3个即可）；（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC=80°，∠ADC=140°，对角线BD 平分∠ABC．求证：BD是四边形ABCD的“相似对角线”；运用：（3）如图3，已知FH是四边形EFGH的“相似对角线”，∠EFH=∠HFG= 30°，连接EG，若△EFG的面积为23，求FH的长．【参考答案】中考数学类比探究实战演练（六）22.（1）①证明略；②∠BDE的度数为90°；（2）α或(180°-α)；（3）CF的长为32或43．中考数学类比探究实战演练（七）22.（1）证明略；（2）CD=2BE·tan2α；（3）12sin(45)SSα=︒-．中考数学类比探究实战演练（八）22.（1）∠ACA′的度数为60°；（2）线段PQ的长为7 2；（3）四边形P A′B′Q的最小面积为33-．中考数学类比探究实战演练（九）22.（1）①证明略；②3AD+BD=CD；（2）①证明略；②BF的长为33．中考数学类比探究实战演练（十）22.（1）证明略；（2）证明略；（3）EF2=2(BE2+DF2)．中考数学类比探究实战演练（十一）22.（1）①∠EAF=120°；②DE与EF相等，理由略；（2）①∠EAF=90°；②DB2+AE2=ED2．中考数学类比探究实战演练（十二）22.（1）证明略；（2）证明略；（3）7．中考数学类比探究实战演练（十三）22.（1）43；（2）①PA+PB+PC的最小值为61；②PA +PB +PC 的最小值为56522+（523+也正确）．中考数学类比探究实战演练（十四）22.（1）12BE FD =；（2）12BE FD =，证明略；（3）2BE k FD =．中考数学类比探究实战演练（十五）22.（1）12；（2）S 1·S 2的值为12；（3）①22121()sin 4S S ab α⋅=；②22121()sin 4S S ab α⋅=．中考数学类比探究实战演练（十六）22.（1）EF =EB ，证明略；（2）不成立，1EF EB k=；（3）EF =EB ，证明略．中考数学阅读理解问题实战演练（一）22.（1）△ABC 是“等高底”三角形，理由略；（2）132AC BC =；（3）CD 的值为2103，22或2．中考数学阅读理解问题实战演练（二）22.（1）图略；（2）证明略；（3）FH 的值为22．。

中考专题十二、类比探究新定义几何题解题指导(配中考真题)

类比探究新定义几何题（马铁汉）探究问题背景，有三角形，四边形或圆。

由特殊到一般，层层探究。

有时是图形变式，有时是图形变换。

探究的问题一般是探究两条或几条线段之间的数量关系，少数也有探究角之间的大小关系。

类比探究，一般有基本图形，或通过作辅助线得到基本图形。

基本图形，有些性质不变，要充分挖掘；有些性质发生改变，要随机应变。

探究问题涉及知识范围广，三角形，四边形，圆，三角函数，折叠，旋转，有时还涉及到方程函数。

新定义几何问题，只是增加了新的概念，一样需要探究。

一、几何探究题1、（2019武汉）在△ABC 中，∠ABC ＝90°，n BCAB=，M 是BC 上一点，连接AM (1) 如图1，若n ＝1，N 是AB 延长线上一点，CN 与AM 垂直，求证：BM ＝BN (2) 过点B 作BP ⊥AM ，P 为垂足，连接CP 并延长交AB 于点Q① 如图2，若n ＝1，求证：BQ BMPQ CP =② 如图3，若M 是BC 的中点，直接写出tan ∠BPQ 的值（用含n 的式子表示）证明：（1）∵ AM ⊥CN,AB ⊥BC∴ ∠BAM=∠BCN 又AB=CB,∠ABM=∠CBN ∴ △ABM ≌△CBN ∴ BM=BN(2)仿照图1，作辅助线由（1）知BM=BN （这是全等性质不变） ∵ AH ⊥CN,BP ⊥AH ∴ BP ∥CN∴CP BNPQ BQ= 又BN=BM ∴CP BMPQ BQ= (3)易证△ABM ∽△CHM ∴212CH AB ABn MH BM BC=== 易证△CHM ≌△BPM∴ MH=PM=12PH ∴ 2CH CHn PH MH==∵ PB ∥CN （这是平行性质不变） ∴ ∠BPQ=∠HCP1tan tan PH BPQ HCP CH n∠=∠== 2、（2020武汉）在△ABC 中，∠ABC=90°．（1）如图1，分别过A 、C 两点作经过点B 的直线的垂线，垂足分别为M 、N ，求证：△ABM ∽△BCN ；（2）如图2，P 是边BC 上一点，∠BAP=∠C ，tan ∠PAC=，求tanC 的值；（3）如图3，D 是边CA 延长线上一点，AE=AB ，∠DEB=90°，sin ∠BAC=，，直接写出tan ∠CEB 的值．证明：（1）∵ ∠ABC=90°∴ ∠ABM+∠CBN=090,又∠ABM+∠BAM=090 ∴ ∠BAM=∠CBN 又∠AMB=∠CNB=090∴ △ABM ∽△BCN （这是个经典模型）（2）作PH ⊥AP,HC ⊥BC （仿照图1作辅助线，构造基本图形） ∴ ∠BAP=∠HPC , 又∠BAP=∠ACP ∴ ∠HPC=∠ACP ,∠ACH=∠PHC 由 tan ∠PAC=，令AP= ,PH=4,AC=5，设AB=n，BP=m （求比值经常设过渡参数）由△ABP ∽△PCH 得5AB AP PC PH ==，∴5PC =，∵ ∠BAP=∠ACB （用相等的角，得到相等的比值） ∴BP AB AB BC =, ∴45m n n n m =+， ∴225n m =+ ，∴ 55m n =（3）作AG ⊥EB,CQ ⊥EB （仿照图1作辅助线，构造基本图形）由 sin ∠BAC=，令BC=3，则AC=5,AB=4=AE ∵ ,∴AD=2由△AGB ∽△BQC得43GB AB CQ BC ==,设CQ=3m ，则GB=4m （用基本图形相似后的相似比，找到线段之间的联系）∵ AE=AB, AG ⊥EB ∴ EG=GB=4m∵ DE ∥AG ∥CQ∴DA EGAC GQ =（平行线分线段成比例，得到比例式） ∴24=54m m BQ +5∴BQ=6m∴33 tan44614CQ mCEBEQ m m m ∠===++3、（2019襄阳）证明推断：如图（1），在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC，AB上，DQ⊥AE于点O，点G，F分别在边CD，AB上，GF⊥AE．①求证：DQ＝AE；②推断：的值为；（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD中，＝k（k为常数）．将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP，当k＝时，若tan∠CGP＝，GF＝2，求CP的长．证明：（1）①∵ DQ⊥AE ∴∠BAE+∠AQO=090∵∠ADQ+∠AQO=090∴∠BAE=∠ADQ又AB=AD,∠ABE=∠DAQ=090∴△ABE≌△DAQ（为后续探究作铺垫）∴ DQ=AE②∵ DQ⊥AE，GF⊥AE ∴ DQ∥GF又QF∥DG∴四边形QFGD是平行四边形。

中考数学类比探究专项练习(二)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：想一想类比探究问题常见的不变结构有哪些，处理方式是什么？问题2：类比探究问题在处理时若常见的结构不能解决问题，需要分析不变特征，如何分析不变特征？中考数学类比探究专项练习（二）一、单选题(共4道，每道7分)1.已知四边形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的点，DE与CF相交于点G．（1）如图1，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证：；（2）如图2，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，成立？并证明你的结论；（3）如图3，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD＝90°，DE⊥CF，请直接写出的值．（2）中∠B与∠EGC应满足的关系是( )A.∠B=∠EGCB.∠B+∠EGC=90°C.∠B+∠EGC=120°D.∠B+∠EGC=180°答案：D解题思路：见第2题中解析试题难度：三颗星知识点：中考数学几何中的类比探究2.（上接第1题）（3）中的值为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：中考数学几何中的类比探究3.问题情境：张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=AC，P为BC 边上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．求证：PD+PE=CF．小军的证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP的面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF．小俊的证明思路是：如图2，过点P作PG⊥CF，垂足为G，可以证得：PD=GF，PE=CG，则PD+PE=CF．（1）变式探究：如图3，当点P在BC的延长线上时，其他条件不变，求证：PD-PE=CF；（2）结论运用：如图4，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE，PH⊥BC，垂足分别为G，H，若AD=8，CF=3，求PG+PH的值；（3）迁移拓展：图5是一个航模的截面示意图，已知在四边形ABCD中，E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D，C，且，．M，N分别为AE，BE的中点，连接DM，CN，求△DEM与△CEN的周长之和．（2）中PG+PH的值为( )A.3B.4C.5D.答案：B解题思路：见第4题中解析试题难度：三颗星知识点：翻折变换（折叠问题）4.（上接第3题）（3）中△DEM与△CEN的周长之和为( )A.6B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边中线等于斜边的一半。

中招考试几何类比探究题集锦一参考答案

中招考试几何类比探究题集锦（附参考答案）参考答案与试题解析一．解答题（共11小题）1．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=2∠DAE=2α．（1）如图1，若点D关于直线AE的对称点为F，求证：△ABD≌△ACF；（2）如图2，在（1）的条件下，若α=45°，求证：DE2=BD2+CE2；（3）如图3，若α=45°，点E在BC的延长线上，请直接写出DE2，BD2，CE2三者之间的等量关系．【解答】解：（1）∵点D关于直线AE的对称点为F，∴EF=DE，AF=AD，∠DAE=∠EAF=α∴∠CAE+∠CAF=α∵∠BAC=2∠DAE=2α．∴∠BAD+∠CAE=∠BAC﹣∠DAE=α，∴∠BAD=∠CAF，在△ABD和△ACF中，第1页（共33页）第2页（共33页）∴△ABD ≌△ACF （SAS ），（2）由（1）知，△ABD ≌△ACF （SAS ），∴CF=BD ，∠ACF=∠B ，∵AB=AC ，∠BAC=2α，α=45°，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴∠B=∠ACB=45°，∴∠ECF=∠ACB +∠ACF=45°+45°=90°，在Rt △CEF 中，由勾股定理得，EF 2=CF 2+CE 2，∴DE 2=BD 2+CE 2，（3）DE 2=BD 2+CE 2；理由：如图，∵∠BAC=2∠DAE=2α．∴∠DAE=α，∵点D 关于直线AE 的对称点为F ，∴EF=DE ，AF=AD ，∠DAE=∠EAF=α∴∠CAF=∠EAF +∠CAE=α+∠CAE∴∠BAD=∠BAC ﹣∠DAC=2α﹣∠DAC=2α﹣（∠DAE ﹣∠CAE ）=2α﹣（α﹣∠CAE）=α+∠CAE∴∠BAD=∠CAF，在△ABD和△ACF中，∴△ABD≌△ACF（SAS），∴CF=BD，∠ACF=∠B，∵AB=AC，∠BAC=2α，α=45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠ACB=45°，∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，在Rt△CEF中，由勾股定理得，EF2=CF2+CE2，∴DE2=BD2+CE2，2．（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．猜测DE、BD、CE三条线段之间的数量关系（直接写出结果即可）．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问第（1）题中DE、BD、CE之间的关系是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF 均为等第3页（共33页）边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断线段DF、EF的数量关系，并说明理由．【解答】解：（1）DE=BD+CE．理由如下：如图1，∵BD⊥l，CE⊥l，∴∠BDA=∠AEC=90°又∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS）∴BD=AE，AD=CE，∵DE=AD+AE，∴DE=CE+BD；（2）如图2，∵∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°﹣α，第4页（共33页）∴∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴BD+CE=AE+AD=DE；（3）DF=EF．理由如下：由（2）知，△ADB≌△CAE，BD=EA，∠DBA=∠CAE，∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=60°，∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，∴∠DBF=∠FAE，∵BF=AF在△DBF和△EAF中，，∴△DBF≌△EAF（SAS），∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，第5页（共33页）∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，∴△DEF为等边三角形．∴DF=EF．3．（1）问题发现如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在边BC上，连接CE．请填空：①∠ACE的度数为60°；②线段AC、CD、CE之间的数量关系为AC=CD+CE．（2）拓展探究如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点D在边BC 上，连接CE．请判断∠ACE的度数及线段AC、CD、CE之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD=2，CD=1，AC与BD交于点E，请直接写出线段AC的长度．第6页（共33页）【解答】解：（1）①∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠B=60°，∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE=∠B=60°，故答案为：60°；②线段AC、CD、CE之间的数量关系为：AC=CD+CE；理由是：由①得：△BAD≌△CAE，∴BD=CE，∵AC=BC=BD+CD，∴AC=CD+CE；故答案为：AC=CD+CE；（2）∠ACE=45°，AC=CD+CE，理由是：如图2，∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90°，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAE，第7页（共33页）∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE，∠ACE=∠B=45°，∵BC=CD+BD，∴BC=CD+CE，∵在等腰直角三角形ABC中，BC=AC，∴AC=CD+CE；（3）如图3，过A作AC的垂线，交CB的延长线于点F，∵∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD=2，CD=1，∴BD=2，BC=，∵∠BAD=∠BCD=90°，∴∠BAD+∠BCD=180°，∴A、B、C、D四点共圆，∴∠ADB=∠ACB=45°，∴△ACF是等腰直角三角形，由（2）得：AC=BC+CD，∴AC===．第8页（共33页）4．【探究发现】如图1，△ABC是等边三角形，∠AEF=60°，EF交等边三角形外角平分线CF所在的直线于点F，当点E是BC的中点时，有AE=EF成立；【数学思考】某数学兴趣小组在探究AE、EF的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，通过验证得出如下结论：当点E是直线BC上（B，C除外）任意一点时（其它条件不变），结论AE=EF仍然成立．假如你是该兴趣小组中的一员，请你从“点E是线段BC上的任意一点”；“点E是线段BC延长线上的任意一点”；“点E是线段BC反向延长线上的任意一点”三种情况中，任选一种情况，在备用图1中画出图形，并证明AE=EF．【拓展应用】当点E在线段BC的延长线上时，若CE=BC，在备用图2中画出图形，并运用上述结论求出S△ABC ：S△AEF的值．【解答】证明：第一种情况：点E是线段BC上的任意一点，可作三种辅助线：方法一：如图1，在AB上截取AG，使AG=EC，连接EG，第9页（共33页）∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°．∵AG=EC，∴BG=BE，∴△BEG是等边三角形，∠BGE=60°，∴∠AGE=120°．∵FC是外角的平分线，∠ECF=120°=∠AGE．∵∠AEC是△ABE的外角，∴∠AEC=∠B+∠GAE=60°+∠GAE．∵∠AEC=∠AEF+∠FEC=60°+∠FEC，∴∠GAE=∠FEC．在△AGE和△ECF中，∴△AGE≌△ECF（ASA），∴AE=EF；方法二：在CA上截取CG=CE，连结GE，证明类似方法一；方法三：延长FC到G，使CG=CE，连结EG，易证△CEG是等边三角形，第10页（共33页）∴CE=EG，∠G=∠ACB=60°，∠CEG=∠AEF=60°，∴∠CEG+∠CEF=∠AEF+∠CEF，即∠GEF=∠AEC，∴△GEF≌△CEA，∴AE=EF．第二种情况：点E是线段BC延长线上的任意一点如图2，可作三种辅助线：①在CF上截取CG=CE，连接GE②延长AC到G，使CG=CE，连结EG；③或延长BA到G，使BG=BE，连结EG．第②种添加辅助线的方法证明如下：证明：延长AC到G，使CG=CE，连结EG，易证△CEG为等边三角形，∴∠G=∠ECF=60°，EG=CE，又∠AEG=∠CEG+∠AEC=60°+∠AEC，∠CEF=∠AEF+∠AEC=60°+∠AEC，第11页（共33页）∴∠AEG=∠CEF，∴△AEG≌△FEC，∴AE=EF．第三种情况：点E是线段BC反向延长线上的任意一点如图3，可作三种辅助线：①延长AB到G，使BG=BE，连结EG；②延长CF到G，使CG=CE，连结EG；③在CE上截取CG=CF，连结GF现就第①种添加辅助线的方法证明如下：证明：延长AB到G，使BG=BE，连结EG，易证△BEG为等边三角形，∴∠G=∠ECF=60°，第12页（共33页）∵∠AEB+∠BAE=∠ABC=60°，∠AEB+∠CEF=∠AEF=60°，∴∠BAE=∠CEF，∵AB=BC，BG=BE，∴AB+BG=BC+BE，即AG=CE，∴△AEG≌△EFC，∴AE=EF．拓展应用：如图4：作CH⊥AE于H点，∴∠AHC=90°．由数学思考得AE=EF，又∵∠AEF=60°，∴△AEF是等边三角形，∴△ABC∽△AEF．第13页（共33页）∵CE=BC=AC，△ABC是等边三角形，∴∠CAH=30°，AH=EH．∴CH=AC，AH=AC，AE=AC，∴．∴==．5．问题情境：在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点O放在斜边AC上，将三角板绕点O旋转．（1）操作发现：当点O为AC中点时：①如图1，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，连接EF，猜想线段AE、CF与EF之间存在的等量关系：AE2+CF2=EF2（无需证明）；②如图2，三角板的两直角边分别交AB，BC延长线于E、F两点，连接EF，判断①中的结论是否成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；第14页（共33页）（2）类比延伸：当点O不是AC中点时，如图3，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，若=，请直接写出=．【解答】解：（1）①猜想：AE2+CF2=EF2，连接OB，如图1，∵AB=BC，∠ABC=90°，O点为AC的中点，∴OB=AC=OC，∠BOC=90°，∠ABO=∠BCO=45°．∵∠EOF=90°，∴∠EOB+∠BOF=∠FOC+∠BOF．∴∠EOB=∠FOC，在△OEB和△OFC中，，∴△OEB≌△OFC（ASA）．∴BE=CF，又∵BA=BC，∴AE=BF．在Rt△EBF中，∵∠EBF=90°，∴BF2+BE2=EF2，∴AE2+CF2=EF2；故答案为：AE2+CF2=EF2；第15页（共33页）②成立．证明：连结OB．如图2，∵AB=BC，∠ABC=90°，O点为AC的中点，∴OB=AC=OC，∠BOC=90°，∠ABO=∠BCO=45°．∵∠EOF=90°，∴∠EOB=∠FOC．在△OEB和△OFC中，，∴△OEB≌△OFC（ASA）．∴BE=CF，又∵BA=BC，∴AE=BF．在Rt△EBF中，∵∠EBF=90°，∴BF2+BE2=EF2，∴AE2+CF2=EF2；（2）=，如图3，过点O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N．∵∠B=90°，第16页（共33页）∴∠MON=90°，∵∠EOF=90°，∴∠EOM=∠FON．∵∠EMO=∠FNO=90°，∴△OME∽△ONF，∴=，∵△AOM和△OCN为等腰直角三角形，∴△AOM∽△OCN，∴=，∵=，∴=，故答案为．第17页（共33页）第18页（共33页）6．阅读发现：（1）如图①，在Rt △ABC 和Rt △DBE 中，∠ABC=∠DBE=90°，AB=BC=3，BD=BE=1，连结CD ，AE ．易证：△BCD ≌△BAE ．（不需要证明）提出问题：（2）在（1）的条件下，当BD ∥AE 时，延长CD 交AE 于点F ，如图②，求AF 的长．解决问题：（3）如图③，在Rt △ABC 和Rt △DBE 中，∠ABC=∠DBE=90°，∠BAC=∠DEB=30°，连结CD ，AE ．当∠BAE=45°时，点E 到AB 的距离EF 的长为2，求线段CD的长为．【解答】（2）解：如图②中，AB与CF交于点O．由（1）可知：△BCD≌△BAE，∴∠OAF=∠OCB，CD=AE，∵∠AOF=∠COB，∴∠AFO=∠CBO=90°，∴CF⊥AE，∵BD∥AE，∴BD⊥CF，在RT△CDB中，∵∠CDB=90°，BC=3，BD=1，∴CD=AE==2，∵∠BDF=∠DFE=∠DBE=90°，∴四边形EFDB是矩形，∴EF=BD=1，∴AF=AE﹣EF=2﹣1．（3）解：在RT△ABC，RT△EBD中，∵∠ABC=∠DBE=90°，∠BAC=∠DEB=30°，∴AB=BC，BE=BD，∴==，∵∠ABC=∠EBD=90°，∴∠ABE=∠DBC，∴△ABE∽△CBD，∴==，第19页（共33页）第20页（共33页）在RT △AEF 中，∵∠AFE=90°，∠EAF=45°，EF=2，∴AF=EF=2，AE=2，∴=，∴CD=．故答案为．7．如图1，两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．（1）操作发现：如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是DE∥AC；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是S1=S2．（2）猜想论证当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，请猜想（1）中S1与S2的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展探究已知∠ABC=60°，BD平分∠ABC，BD=CD，BC=9，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请求相应的BF的长．【解答】解：（1）①∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，∴AC=CD，∵∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°，第21页（共33页）∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD=60°，又∵∠CDE=∠BAC=60°，∴∠ACD=∠CDE，∴DE∥AC；故答案为：DE∥AC；②∵∠B=30°，∠C=90°，∴CD=AC=AB，∴BD=AD=AC，根据等边三角形的性质，△ACD的边AC、AD上的高相等，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2=×2×2=2；故答案为：S1=S2；（2）如图，∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，∴BC=CE，AC=CD，∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°﹣90°=90°，∴∠ACN=∠DCM，∵在△ACN和△DCM中，，第22页（共33页）∴△ACN≌△DCM（AAS），∴AN=DM，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2；（3）如图，过点D作DF1∥BE，易求四边形BEDF1是菱形，所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，此时S△DCF1=S△BDE；过点D作DF2⊥BD，∵∠ABC=60°，F1D∥BE，∴∠F2F1D=∠ABC=60°，∵BF1=DF1，∠F1BD=∠ABC=30°，∠F2DB=90°，∴∠F1DF2=∠ABC=60°，∴△DF1F2是等边三角形，∴DF1=DF2，∵BD=CD，∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°，∴∠CDF1=180°﹣∠BCD=180°﹣30°=150°，∠CDF2=360°﹣150°﹣60°=150°，∴∠CDF1=∠CDF2，第23页（共33页）∵在△CDF1和△CDF2中，，∴△CDF1≌△CDF2（SAS），∴点F2也是所求的点，∵∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，DE∥AB，∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=×60°=30°，又∵BD=4，∴BE=×6÷cos30°=3÷=2，∴BF1=2，BF2=BF1+F1F2=2+2=4，故BF的长为2或4．8．问题解决：如图（1），将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D 重合），压平后得到折痕MN．当时，求的值．类比归纳：第24页（共33页）在图（1）中，若，则的值等于；若，则的值等于；若（n 为整数），则的值等于．（用含n的式子表示）联系拓广：如图（2），将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D 重合），压平后得到折痕MN，设，则的值等于．（用含m，n的式子表示）【解答】解：（1）方法一：如图（1﹣1），连接BM，EM，BE．由题设，得四边形ABNM和四边形FENM关于直线MN对称．∴MN垂直平分BE，∴BM=EM，BN=EN．∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠D=∠C=90°，设AB=BC=CD=DA=2．∵，∴CE=DE=1．第25页（共33页）设BN=x，则NE=x，NC=2﹣x．在Rt△CNE中，NE2=CN2+CE2．∴x2=（2﹣x）2+12，解得x=，即BN=．在Rt△ABM和在Rt△DEM中，AM2+AB2=BM2，DM2+DE2=EM2，∴AM2+AB2=DM2+DE2．设AM=y，则DM=2﹣y，∴y2+22=（2﹣y）2+12，解得y=，即AM=（6分）∴．方法二：同方法一，BN=．如图（1﹣2），过点N做NG∥CD，交AD于点G，连接BE．∵AD∥BC，∴四边形GDCN是平行四边形．∴NG=CD=BC．同理，四边形ABNG也是平行四边形．∴AG=BN=∵MN⊥BE，∴∠EBC+∠BNM=90度．∵NG⊥BC，∴∠MNG+∠BNM=90°，第26页（共33页）∴∠EBC=∠MNG．在△BCE与△NGM中，∴△BCE≌△NGM，EC=MG．∵AM=AG﹣MG，AM=﹣1=．∴．（2）如图1，当四边形ABCD为正方形时，连接BE，=，不妨令CD=CB=n，则CE=1，设BN=x，则EN=x，EN2=NC2+CE2，x2=（n﹣x）2+12，x=；作MH⊥BC于H，则MH=BC，又点B，E关于MN对称，则MN⊥BE，∠EBC+∠BNM=90°；而∠NMH+∠BNM=90°，故∠EBC=∠NMH，则△EBC≌△NMH，∴NH=EC=1，AM=BH=BN﹣NH=﹣1=则：==．故当=，则的值等于；若=，则的值等于；第27页（共33页）（3）若四边形ABCD为矩形，连接BE，=，不妨令CD=n，则CE=1；又==，则BC=mn，同样的方法可求得：BN=，BE⊥MN，易证得：△MHN∽△BCE．故=，=，HN=，故AM=BH=BN﹣HN=，故==．故答案为：；；；．第28页（共33页）第29页（共33页）9．阅读理解：如图1，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B=90°，点P 在BC 边上，当∠APD=90°时，易证△ABP ∽△PCD ，从而得到BP•PC=AB•CD ，解答下列问题．（1）模型探究：如图2，在四边形ABCD 中，点P 在BC 边上，当∠B=∠C=∠APD 时，结论BP•PC=AB•CD 仍成立吗？试说明理由；（2）拓展应用：如图3，M 为AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，∠DME=∠A=∠B=45°且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G ．AB=，AF=3，求FG 的长．【解答】解：（1）∵∠APC=∠APD +∠CPD ，∠APC=∠BAP +∠B （三角形外角定理），∠B=∠APD （已知），∴∠BAP=∠CPD，又∵∠B=∠C，∴△ABP∽△PCD∴=，∴BP•PC=AB•CD；（2）∵∠AFM=∠DME+∠E（三角形外角定理），∠DME=∠A（已知），∴∠AFM=∠A+∠E（等量代换），又∠BMG=∠A+∠E（三角形外角定理），∴∠AFM=∠BMG．∵∠A=∠B，∴△AMF∽△BGM．当∠A=∠B=45°时，∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=90°，即AC⊥BC且AC=BC．∵M为AB的中点，∴AM=BM=，AC=BC=4．又∵△AMF∽△BGM，∴，∴BG===，又∵，CF=4﹣3=1，∴．第30页（共33页）10．基本模型如下图，点B、P、C在同一直线上，若∠B=∠1=∠C=90°，则△ABP∽△PCD成立，（1）模型拓展如图1，点B、P、C在同一直线上，若∠B=∠1=∠C，则△ABP∽△PCD成立吗？为什么？（2）模型应用①如图2，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，AB=2，BC=4，在BC上截取BP=AD，作∠APQ=∠B，PQ交CD于点Q，求CQ的长；②如图3，正方形ABCD的边长为1，点P是线段BC上的动点，作∠APQ=90°，PQ交CD于Q，当P在何处时，线段CQ最长？最长是多少？【解答】解：（1）成立，∵∠A=180°﹣（∠B+∠APB），第31页（共33页）∠CPD=180°﹣（∠1+∠APB），∠B=∠1，∴∠A=∠CPD，∵∠B=∠C，∴△ABP∽△PCD；（2）①∵四边形ABCD是等腰梯形，∴∠B=∠C，∵∠B=∠APQ，∴∠B=∠APQ=∠C，由（1）知，△ABP∽△PCD，∴=，∴=，∴CQ=；②设BP=x，CQ=y．∵∠B=∠APQ=90°，∴△ABP∽△PCQ，∴=，即=，∴y=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+，第32页（共33页）∴当x=时，y=，最大即当P是BC的中点时，CQ最长，最长为．第33页（共33页）。

中考压轴题—三角形、四边形综合(解析版)--2024年中考数学

中考压轴题-三角形、四边形综合1.线段、角的计算与证明问题中考的解答题一般是分两到三部分的。

第一部分基本上都是一些简单题或者中档题，目的在于考察基础。

第二部分往往就是开始拉分的中难题了。

对这些题轻松掌握的意义不仅仅在于获得分数，更重要的是对于整个做题过程中士气，军心的影响。

线段与角的计算和证明，一般来说难度不会很大，只要找到关键“题眼”，后面的路子自己就“通”了。

2.图形位置关系中学数学当中，图形位置关系主要包括点、线、三角形、矩形/正方形以及圆这么几类图形之间的关系。

在中考中会包含在函数，坐标系以及几何问题当中，但主要还是通过圆与其他图形的关系来考察，这其中最重要的就是圆与三角形的各种问题。

3.动态几何从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的。

动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。

另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。

4.几何图形的归纳、猜想问题中考加大了对考生归纳，总结，猜想这方面能力的考察，但是由于数列的系统知识要到高中才会正式考察，所以大多放在填空压轴题来出。

对于这类归纳总结问题来说，思考的方法是最重要的。

5.阅读理解问题如今中考题型越来越活，阅读理解题出现在数学当中就是最大的一个亮点。

阅读理解往往是先给一个材料，或介绍一个超纲的知识，或给出针对某一种题目的解法，然后再给条件出题。

对于这种题来说，如果考生为求快速而完全无视阅读材料而直接去做题的话，往往浪费大量时间也没有思路，得不偿失。

所以如何读懂题以及如何利用题就成为了关键。

解题策略1.学会运用数形结合思想数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法(以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质,解决几何问题(以数助形)的一种数学思想.数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决。

中考数学类比探究型几何综合题专题训练(含答案与解析)

中考数学类比探究型几何综合题专题训练【类型1】通过位置变化（图形变换）进行类比探究〖例1〗已知：如图，等边△AOB的边长为4，点C为OA中点．（1）如图1，将OC绕点O顺时针旋转，使点C落到OB边的点D处，设旋转角为α（0°＜α≤360°）．则此时α＝；此时△COD是三角形（填特殊三角形的名称）．（2）如图2，固定等边△AOB不动，将（1）中得到的△OCD绕点O逆时针旋转，连接AC，BD，设旋转角为β（0°＜β≤360°）．①求证：AC＝BD；②当旋转角β为何值时，OC∥AB，并说明理由；③当A、C、D三点共线时，直接写出线段BD的长．〖例2〗现有与菱形有关的三幅图，如图：（1）（感知）如图①，AC是菱形ABCD的对角线，∠B＝60°，E、F分别是边BC、CD上的中点，连结AE、EF、AF．若AC＝2，则CE+CF的长为．（2）（探究）如图②，在菱形ABCD中，∠B＝60°．E是边BC上的点，连结AE，作∠EAF＝60°，边AF交边CD于点F，连结EF．若BC＝2，求CE+CF的长．（3）（应用）在菱形ABCD中，∠B＝60°．E是边BC延长线上的点，连结AE，作∠EAF＝60°，边AF交边CD延长线于点F，连结EF．若BC＝2，EF⊥BC时，借助图③求△AEF的周长．〖尝试练习〗1．如图1，等边△ABC与等边△BDE的顶点B重合，D、E分别在AB、BC上，AB＝2√2，BD＝2．现将等边△BDE从图1位置开始绕点B顺时针旋转，如图2，直线AD、CE相交于点P．（1）在等边△BDE旋转的过程中，试判断线段AD与CE的数量关系，并说明理由；（2）在等边△BDE顺时针旋转180°的过程中，当点B到直线AD的距离最大时，求PC的长；（3）在等边△BDE旋转一周的过程中，当A、D、E三点共线时，求CE的长．2．△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．（1）探究猜想如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：；②BC、CD、CF之间的数量关系为：；（2）深入思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①、②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．（3）拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，正方形ADEF对角线交于点O．若已知AB＝2√2，CD ＝14BC，请求出OC的长．3．如图1，正方形ABCD与正方形AEFG有公共的顶点A，且正方形AEFG的边AE，AG分别在正方形ABCD的边AB，AD上，显然BE＝DG，BE⊥DG．（1）将图1的正方形AEFG绕点A转动一定的角度到图2的位置．求证：①BE＝DG；②BE⊥DG；（2）如图3，若点D，G，E在同一条直线上，且正方形ABCD的边长是4√2，正方形AEFG的边长为3√2，求BE的长．【类型2】通过形状变化进行类比探究〖例3〗如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α．D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转α，得到AE，连接DE，CE．（1）求证：CE＝BD；（2）若α＝60°，其他条件不变，如图2．请猜测线段AC，CD，CE之间的数量关系，并说明理由；（3）若α＝90°，其他条件不变，如图3，请写出∠ACE的度数及线段AD，BD，CD之间的数量关系，并说明理由．〖例4〗如图1，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PC ＝PE，PF交CD于点F．（1）求证：∠PCD＝∠PED；（2）连接EC，求证：EC＝√2AP；（3）如图2，把正方形ABCD改成菱形ABCD，其他条件不变，当∠DAB＝60°时，请直接写出线段EC和AP的数量关系．〖尝试练习〗4．已知菱形ABCD和菱形DEFG有公共的顶点D，C点在DE上，且∠ADC＝∠EDG，连接AE，CG，如图1．（1）试猜想AE与CG有怎样的数量关系（直接写出关系，不用证明）；（2）将菱形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和CG．你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）在（2）的条件下，如果∠ADC＝∠EDG＝90°，如图3，你认为AE和CG是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．5．已知在平行四边形ABCD中，AB≠BC，将△ABC沿直线AC翻折，点B落在点E处，AD与CE相交于点O，联结DE．（1）如图1，求证：AC∥DE；（2）如图2，如果∠B＝90°，AB＝√3，BC＝√6，求△OAC的面积；（3）如果∠B＝30°，AB＝2√3，当△AED是直角三角形时，求BC的长．6．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF 为邻边作平行四边形ECFG．（1）求证：四边形ECFG是菱形；（2）连结BD、CG，若∠ABC＝120°，则△BDG是等边三角形吗？为什么？（3）若∠ABC＝90°，AB＝10，AD＝24，M是EF的中点，求DM的长．【自主反馈】7．如图1，△ABC是等边三角形，点D，E分别是BC，AB上的点，且BD＝AE，AD与CE交于点F．（1）求∠DFC的度数；（2）将CE绕着点C逆时针旋转120°，得到CP，连接AP，交BC于点Q．①补全图形（图2中完成）；②用等式表示线段BE与CQ的数量关系，并证明．8．已知△ABC是等腰三角形．（1）如图1，若△ABC，△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：△ABD ≌△ACE；（2）如图2，若△ABC为等边三角形，将线段AC绕点A逆时针旋转90°，得到AD，连接BD，∠BAC的平分线交BD于点E，连接CE．①求∠AED的度数；②试探究线段AE、CE、BD之间的数量关系，并证明．9．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度α得到△AED，点B、C的对应点分别是E、D．（1）如图1，当点E恰好在AC上时，求∠CDE的度数；（2）如图2，若α＝60°时，点F是边AC中点，求证：DF＝BE；（3）如图3，点B、C的坐标分别是（0，0），（0，2），点Q是线段AC上的一个动点，点M 是线段AO上的一个动点，是否存在这样的点Q、M使得△CQM为等腰三角形且△AQM为直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．10．在等腰直角三角形纸片ABC中，点D是斜边AB的中点，AB＝10，点E为BC上一点，将纸片沿DE折叠，点B的对应点为点B'．（1）如图①，连接CD，则CD的长为；（2）如图②，B'E与AC交于点F，DB'∥BC．①求证：四边形BDB'E为菱形；②连接B'C，则△B'FC的形状为；（3）如图③，则△CEF的周长为．11．已知正方形ABCD，以CE为边在正方形ABCD外部作正方形CEFG，连AF，H是AF的中点，连接BH，HE．（1）如图1所示，点E在边CB上时，则BH，HE的关系为；（2）如图2所示，点E在BC延长线上，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请给出新的结论并证明．（3）如图3，点B，E，F在一条直线上，若AB＝13，CE＝5，直接写出BH的长．12．（1）操作发现：如图1，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论．（2）简单应用：在（1）中，如果AB＝4，AD＝6，求CG的长．（3）类比探究：如图2，将（1）中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．13．我们知道，平行四边形的对边平行且相等，利用这一性质，可以为证明线段之间的位置关系和数量关系提供帮助．重温定理，识别图形（1）如图①，我们在探究三角形中位线DE和第三边BC的关系时，所作的辅助线为“延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF”，此时DE与DF在同一直线上且DE＝12DF，又可证图中的四边形为平行四边形，可得BC与DF的关系是，于是推导出了“DE∥BC，DE＝12BC”．寻找图形，完成证明（2）如图②，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，△BEH是等腰直角三角形，∠EBH＝90°，连接CF、CH．求证CF＝√2BE．构造图形，解决问题（3）如图③，四边形ABCD和四边形AEFG都是菱形，∠ABC＝∠AEF＝120°，连接BE、CF．直接写出CF与BE的数量关系．类比探究型几何综合题专题训练（不用相似）答案与解析〖例1〗解：（1）如图1，∵△AOB是等边三角形，∴AO＝BO＝AB，∠AOB＝60°，∵将OC绕点O顺时针旋转，使点C落到OB边的点D处，∴OC＝OD，∠COD＝∠AOB＝60°＝α，∴△COD是等边三角形，答案为：60°，等边；（2）①∵△COD是等边三角形，∴OC＝OD，∠COD＝∠AOB＝60°，∴∠AOC＝∠BOD，又∵AO＝BO，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD；②如图2，当点C在点O的上方时，若OC∥AB，∴∠AOC＝∠OAB＝60°＝β，如图2﹣1，当点C在点O的下方时，若OC∥AB，∴∠ABO＝∠BOC＝60°，∴β＝360°﹣60°﹣60＝240°，综上所述：β＝60°或240°；③如图3，当点D在线段AC上时，过点O作OE⊥AC于E，∵等边△AOB的边长为4，点C为OA 中点，∴AO＝AB＝OB＝4，OC＝OD＝CD＝2，∵∠AOB＝∠COD＝60°，∴∠AOC＝∠BOD，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD，∵OE⊥CD，OC＝OD，∴CE＝DE＝1，∴OE＝√OC2−CE2＝√3，∴AE＝√OA2−OE2＝√13，∴AC＝AE+CE＝1+√13＝BD；如图4，当点C在线段AD上时，过点O作OF⊥AD于F，同理可求DF＝CF＝1，AF＝√13，∴AC＝BD＝√13﹣1，综上所述：BD＝√13+1或√13﹣1．〖例2〗解：（1）感知：∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD＝AB＝2，∵E，F分别是边BC，CD的中点，∴CE＝12BC，CF＝12CD＝1，∴CE+CF＝2．故答案为：2．（2）探究：如图，连结AC．∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AB∥CD．∴∠B+∠BCD＝180°．∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∠BCD＝120°．∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC．∴∠ACF＝∠B＝60°．∵∠EAF＝60°，∴∠BAC﹣∠CAE＝∠EAF﹣∠CAE．∴∠BAE＝∠CAF．∴△ABE≌△ACF（ASA）．∴BE＝CF．∴CE+CF＝BC＝2．（3）应用：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AB∥CD．∴∠B+∠BCD＝180°．∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∠BCD＝120°．∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC．∴∠CAD＝∠B＝60°．∵∠EAF＝60°，∴∠CAD﹣∠DAE＝∠EAF ﹣∠DAE．∴∠CAE＝∠DAF．∵∠ACE＝∠ADF，AC＝AD∴△ACE≌△ADF（ASA）．∴CE＝DF，AE＝AF，∵∠EAF＝60°，∴△AEF为等边三角形，∵EF⊥BC，∠ECF＝60°，∴CF＝2CE，∵CD＝BC＝2，∴CE＝2，∴EF=√CF2−CE2=2√3，∴△AEF的周长为6√3．〖尝试练习〗1．解：（1）AD＝CE，理由：∵△ABC与△BDE都是等边三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE ＝60°，∴∠ABD ＝∠CBE ， ∴△ABD ≌△CBE （SAS ），∴AD ＝CE ；（2）如图2，过点B 作BH ⊥AD 于H ，在Rt △BHD 中，BD ＞BH ，∴当点D ，H 重合时，BD ＝BH ，∴BH ≤BD ，∴当BD ⊥AD 时，点B 到直线AD 的距离最大，∴∠EDP ＝90°﹣∠BDE ＝30°，同（1）的方法得，△ABD ≌△CBE （SAS ），∴∠BEC ＝∠BDA ＝90°，EC ＝AD ，在Rt △ABD 中，BD ＝2，AB ＝2√2，根据勾股定理得，AD ＝√AB 2−BD 2＝2， ∴CE ＝2，∵∠BEC ＝90°，∠BED ＝60°， ∴∠DEP ＝90°﹣60°＝30°＝∠EDP ， ∴DP ＝EP ，如图2﹣1，过点P 作PQ ⊥DE 于Q ， ∴EQ ＝12DE ＝1，在Rt △EQP 中，∠PEQ ＝30°， ∴EP ＝EQ cos∠DEP ＝2√33，∴PC ＝2−2√33；（3）①当点D 在AE 上时，如图3，∴∠ADB ＝180°﹣∠BDE ＝120°，∴∠BDE ＝60°，过点B 作BF ⊥AE 于F ，在Rt △BDF 中，∠DBF ＝30°，BD ＝2， ∴DF ＝1，BF ＝√3，在Rt △ABF 中，根据勾股定理得，AF ＝√AB 2−BF 2＝√5，AD ＝AF ﹣DF ＝√5﹣1，∴CE ＝AD ＝√5﹣1； ②当点D 在AE 的延长线上时，如图4，同①的方法得，AF ＝√5，DF ＝1，∴AD ＝AF +DF ＝√5+1，∴CE ＝AD ＝√5+1，即满足条件的CE 的长为√5+1和√5﹣1． 2．解：（1）①正方形ADEF 中，AD ＝AF ， ∵∠BAC ＝∠DAF ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF ，又∵AB=AC ，∴△DAB ≌△FAC （SAS ），∴∠ABC ＝∠ACF ，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∴∠ACB +∠ACF ═45°+45°＝90°，即BC ⊥CF ；②△DAB ≌△FAC ，∴CF ＝BD ，∵BC ＝BD +CD ， ∴BC ＝CF +CD ；故答案为：BC ＝CF +CD ；（2）CF ⊥BC 成立；BC ＝CD +CF 不成立，CD ＝CF +BC ．理由如下：∵正方形ADEF 中，AD ＝AF ，∵∠BAC ＝∠DAF ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF ，又∵AB=AC ， ∴△DAB ≌△FAC （SAS ），∴∠ABD ＝∠ACF ， ∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ， ∴∠ACB ＝∠ABC ＝45°．∴∠ABD ＝180°﹣45°＝135°，∴∠BCF ＝∠ACF ﹣∠ACB ＝135°﹣45°＝90°，∴CF ⊥BC ． ∵CD ＝DB +BC ，DB ＝CF ，∴CD ＝CF +BC ．（3）过点A 作AH ⊥BC 于点H ，过点E 作EM ⊥BD 于点M ，EN ⊥CF 于点N ， ∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2√2， ∴BC ＝4，∴CD ＝14BC ＝1，∴BD ＝5，由（2）同理可证得△DAB ≌△FAC ，∴BC ⊥CF ，CF ＝BD ＝5，∵四边形ADEF 是正方形，∴OD ＝OF ，∵∠DCF ＝90°， ∴DF ＝√CD 2+CF 2＝√26，∴OC ＝√262．3．证明：（1）如图2，延长DG交BE于H，∵四边形ABCD，四边形AEFG是正方形，∴AB＝AD，AG＝AE，∠DAB＝∠GAE＝90°，∴∠DAG＝∠BAE，∴△DAG≌△BAE（SAS），∴BE＝DG，∠ADG＝∠ABE，∵∠C+∠CBA+∠ABE+∠BHD+∠CDH＝360°，∴90°+90°+∠ADG+∠CDH+∠BHD＝360°，∴∠BHD＝90°，∴DG⊥BE；（2）如图3，连接BD，∵正方形ABCD的边长是4√2，正方形AEFG的边长为3√2，∴BD＝√2AD＝8，GE＝√2AE＝6，∵BD2＝DE2+BE2，∴64＝（6+BE）2+BE2，∴BE＝√23﹣3．〖例3〗证明：（1）∵将线段AD绕点A逆时针旋转α，∴AD＝AE，∠DAE＝α，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）∴BD＝CE；（2）AC＝CD+CE，理由如下：∵AB＝AC，∠BAC＝60°∴△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，由（1）可知：BD＝CE，∴BC＝BD+CD＝CE+CD，∴AC＝CD+CE；（3）∠ACE＝45°，BD2+CD2＝2AD2，理由如下：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵△BAD≌△CAE∴∠ACE＝∠ABC＝45°，∴∠BCE＝∠ACE+∠ACB＝90°，∴CE2+CD2＝DE2，∵AD＝AE，∠DAE＝90°，∴DE2＝2AD2，∴CE2+CD2＝2AD2，∴BD2+CD2＝2AD2．〖例4〗（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADP＝∠CDP＝45°，又∵PD=PD，∴△ADP≌△CDP（SAS），∴∠PAD＝∠PCD，AP＝CP，∵PC＝PE，∴AP＝PE，∴∠PAD＝∠PED，∴∠PCD＝∠PED；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝∠EDF＝90°，由（1）知，∠PCD＝∠PED，∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠CFP﹣∠PCD＝180°﹣∠EFD﹣∠PED，即∠CPF＝∠EDF＝90°，∵PC＝PE，∴△CPE是等腰直角三角形，∴EC＝√2CP，由（1）知，AP＝CP，∴EC＝√2AP；（3）解：AP＝CE；理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，∴AB＝BC，∠ABP＝∠CBP ＝60°，∠BAD＝∠BCD，∠EDC＝∠DAB＝60°，又∵PB=PB，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA＝PC，∠BAP＝∠BCP，∴∠DAP＝∠DCP，∵PC＝PE，∴PA＝PE，∴∠DAP＝∠AEP，∴∠DCP＝∠AEP，∵∠CFP＝∠EFD，∴180°﹣∠CFP﹣∠PCF＝180°﹣∠EFD﹣∠AEP，即∠CPF＝∠EDF＝60°，∴△EPC是等边三角形，∴PC＝EC，∴EC＝AP，〖尝试练习〗4．解：（1）AE＝CG，理由如下：∵四边形ABCD和四边形DEFG都是菱形，∴DA＝DC，DE＝DG，又∵∠ADE=∠CDG，∴△DAE≌△DCG（SAS），∴AE＝CG；（2）成立，理由如下：∵∠ADC＝∠EDG，∴∠ADC﹣∠EDC＝∠EDG﹣∠EDC，即∠ADE＝∠CDG，又∵DA＝DC，DE＝DG，∴△DAE≌△DCG（SAS），∴AE＝CG；（3）AE ⊥CG ，理由如下：延长线段AE 、GC 交于点H ，∵AD ∥BC ，∴∠CEH ＝∠DAE ，由（2）可知，△DAE ≌△DCG ，∴∠DAE ＝∠DCG ，∴∠CEH ＝∠DCG ，∵四边形ABCD 是菱形，∠ADC ＝90°， ∴四边形ABCD 是正方形，∴∠BCD ＝90°，∴∠ECH +∠DCG ＝90°，∴∠ECH +∠CEH ＝90°，∴∠CHE ＝90°，∴AE ⊥CG ． 5．（1）证明：由折叠的性质得：△ABC ≌△△ AEC ，∴∠ACB ＝∠ACE ，BC ＝EC ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC ．∴EC ＝AD ，∠ACB ＝∠CAD ，∴∠ACE ＝∠CAD ，∴OA ＝OC ，∴OD ＝OE ，∴∠ODE ＝∠OED ，∵∠AOC ＝∠DOE ，∴∠CAD ＝∠ACE ＝∠OED ＝∠ODE ，∴AC ∥DE ；（2）解：∵平行四边形ABCD 中，∠B ＝90°，∴四边形ABCD 是矩形，∴∠CDO ＝90°，CD ＝AB ＝√3，AD ＝BC ＝√6，由（1）得：OA ＝OC ，设OA ＝OC ＝x ，则OD ＝√6﹣x ，在Rt △OCD 中，由勾股定理得：（√3）2+（√6﹣x ）2＝x 2，解得：x ＝3√64，∴OA ＝3√64，∴△OAC 的面积＝12OA ×CD ＝12×3√64×√3＝9√28；（3）解：分两种情况：①如图3，当∠EAD ＝90°时，延长EA 交BC 于G ，∵AD ＝BC ，BC ＝EC ，∴AD ＝EC ， ∵AD ∥BC ，∠EAD ＝90°，∴∠EGC ＝90°， ∵∠B ＝30°，AB ＝2√3，∴∠AEC ＝30°， ∴GC ＝12EC ＝12BC ，∴G 是BC 的中点，在Rt △ABG中，BG ＝√32AB ＝3，∴BC ＝2BG ＝6；②如图4，当∠AED ＝90°时∵AD ＝BC ，BC ＝EC ，∴AD ＝EC ，由折叠的性质得：AE ＝AB ，∴AE ＝CD ，又∵AC=AC ，∴△ACE ≌△CAD （SSS ）， ∴∠ECA ＝∠DAC ，∴OA ＝OC ，∴OE ＝OD ， ∴∠OED ＝∠ODE ，∴∠AED ＝∠CDE ， ∵∠AED ＝90°，∴∠CDE ＝90°，∴AE ∥CD ，又∵AB ∥CD ，∴B ，A ，E 在同一直线上， ∴∠BAC ＝∠EAC ＝90°， ∵Rt △ABC 中，∠B ＝30°，AB ＝2√3， ∴AC ＝√33AB ＝2，BC ＝2AC ＝4；综上所述，当△AED 是直角三角形时，BC 的长为4或6．6．证明：（1）∵AF 平分∠BAD ，∴∠BAF ＝∠DAF ，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴∠DAF ＝∠CEF ，∠BAF ＝∠CFE ，∴∠CEF ＝∠CFE ，∴CE ＝CF ，又∵四边形ECFG 是平行四边形， ∴四边形ECFG 为菱形；（2）△BDG 是等边三角形，理由如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥DC ，AB ＝DC ，AD ∥BC ，∵∠ABC ＝120°，∴∠BCD ＝60°，∠BCF ＝120°，由（1）知，四边形CEGF 是菱形，∴CE ＝GE ，∠BCG ＝12∠BCF ＝60°， ∴CG ＝GE ＝CE ，∠DCG ＝120°，∵EG ∥DF ， ∴∠BEG ＝120°＝∠DCG ，∵AE 是∠BAD 的平分线，∴∠DAE ＝∠BAE ，∵AD ∥BC ， ∴∠DAE ＝∠AEB ，∴∠BAE ＝∠AEB ，∴AB ＝BE ，∴BE ＝CD ，∴△BEG ≌△DCG （SAS ），∴BG ＝DG ，∠BGE ＝∠DGC ，∴∠BGD ＝∠CGE ，∵CG ＝GE ＝CE ，∴△CEG 是等边三角形， ∴∠CGE ＝60°，∴∠BGD ＝60°，∵BG ＝DG ， ∴△BDG 是等边三角形；（3）如图2中，连接BM ，MC ，∵∠ABC ＝90°，四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，又由（1）可知四边形ECFG为菱形，∠ECF＝90°，∴四边形ECFG为正方形．∵∠BAF＝∠DAF，∴BE＝AB＝DC，∵M为EF中点，∴∠CEM＝∠ECM＝45°，∴∠BEM＝∠DCM＝135°，∴△BME≌△DMC（SAS），∴MB＝MD，∠DMC＝∠BME．∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，∴△BMD是等腰直角三角形．∵AB＝10，AD＝24，∴BD＝√AB2+AD2＝26，∴DM＝√22BD＝13√2．【自主反馈】7．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，又∵BD=AE，∴△ABD≌△CAE（SAS），∴∠BAD＝∠ACE，∵∠BAD+∠DAC＝60°，∴∠DFC＝∠ACE+∠DAC＝60°；（2）①根据题意补全图形如图2所示：②线段BE与CQ的数量关系为：CQ＝12BE；理由如下：∵CE绕着点C逆时针旋转120°，得到CP，∴CE＝CP，∠ECP＝120°，∵∠DFC＝60°，∴AD∥CP，∴∠ADC＝∠DCP，∵△ABD≌△CAE，∴CE＝AD，∴AD＝CP，∴△ADQ≌△PCQ（AAS），∴CQ＝DQ＝12CD，∵AB＝BC，BD＝AE，∴BE＝CD，∴CQ＝12BE．8．解：（1）∵△ABC，△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）①∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，由旋转知，AC＝AD，∠CAD＝90°，∴AB＝AD，∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝150°，∴∠D＝12（180°﹣∠BAD）＝15°，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠CAE＝12∠BAC＝30°，∴∠DAE＝∠CAD+∠CAE＝120°，∴∠AED＝180°﹣∠D﹣∠DAE＝45°；②BD＝2CE+√2AE；证明：如图，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAE＝∠CAE，∵AE＝AE，∴△BAE≌△CAE（SAS），∴BE＝CE，过点A作AF⊥AE交DE于F，∴∠EAF＝90°，由旋转知，∠CAD＝90°，∴∠CAE＝∠DAF，由①知，∠AED＝45°，∴∠AFE＝45°＝∠AEF，∴AE＝AF，∴EF＝√2AE，∵AC＝AD，∴△ACE≌△ADF（SAS），∴DF＝CE，∴BD＝BE+EF+DF＝CE+√2AE+CE ＝2CE+√2AE．9．解：（1）∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ACB＝60°，∵△ABC绕点A顺时针旋转α得到△AED，点E恰好在AC上，∴CA＝AD，∠EAD＝∠BAC＝30°，∴∠ACD＝∠ADC＝12（180°﹣30°）＝75°，∵∠EDA＝∠ACB＝60°，∴∠CDE＝∠ADC﹣∠EDA＝15°；（2）连接BF，∵点F是边AC中点，∴BF＝AF＝12AC，∵∠BAC＝30°，∴BC＝12AC，∴∠FBA＝∠BAC＝30°，∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，∴∠BAE＝∠CAD＝60°，CB ＝DE ，∠DEA ＝∠ABC ＝90°， ∴DE ＝BF ，延长BF 交AE 于点G ，则∠BGE ＝∠GBA +∠BAG ＝90°， ∴∠BGE ＝∠DEA ，∴BF ∥ED ，∴四边形BFDE 是平行四边形，∴DF ＝BE ；（3）∵点B 、C 的坐标分别是（0，0），（0，2）， ∴BC ＝2，∵∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°， ∴AC ＝4，AB ＝2√3，若∠QMA ＝90°，CQ ＝MQ 时，如图3，设CQ ＝QM ＝x ，∠CAB ＝30°，∴AQ ＝2x ，AM ＝√3x ， ∴AC ＝x +2x ＝3x ＝4，∴x ＝43，∴AM ＝43√3，∴BM ＝AB ﹣AM ＝2√3﹣4√33＝2√33，∴点M （2√33，0）；若∠AQM ＝90°，CQ ＝QM 时，如图4，设CQ ＝QM ＝x ，∠CAB ＝30°， ∴AQ ＝√3x ，AM ＝2x ， ∴AC ＝x +√3x ＝4，∴x ＝2√3﹣2，∴AM ＝4√3﹣4， ∴BM ＝2√3﹣（4√3﹣4）＝4﹣2√3， ∴点M （4﹣2√3，0）；综上所述：M （2√33，0）或（4﹣2√3，0）．10．（1）解：∵△ABC 是等腰直角三角形，点D 是斜边AB 的中点，AB ＝10，∴CD ＝12AB ＝5（2）①证明：由折叠的性质得：B 'D ＝BD ，B 'E ＝BE ，∠B 'DE ＝∠BDE ，∵DB '∥BC ，∴∠B 'DE ＝∠BED ，∴∠BDE ＝∠BED ，∴BD ＝BE ，∴B 'D ＝BE ，∴四边形BDB 'E 是平行四边形，又∵B 'D ＝BD ，∴四边形BDB 'E 为菱形；②解：∵△ABC 是等腰直角三角形，点D 是斜边AB 的中点，∴CD ＝12AB ＝BD ，由折叠的性质得：B 'D ＝BD ，∴CD ＝B 'D ，∴∠DCB '＝∠DB 'C ，∵∠ACB ＝90°，∴AC ⊥BC ，∵DB '∥BC ，∴DB '⊥AC ，∴∠ACB '＝90°﹣∠DB 'C ，由①得：四边形BDB 'E 为菱形， ∴AB ∥B 'E ，∵CD ⊥AB ，∴CD ⊥B 'E ， ∴∠EB 'C ＝90°﹣∠DCB '，∴∠ACB '＝∠EB 'C ， ∴FB '＝FC ，即△B 'FC 为等腰三角形；（3）解：连接B 'C ，如图③所示：∵△ABC 是等腰直角三角形，点D 是斜边AB 的中点，AB ＝10，∴BC ＝√22AB ＝5√2，∠B ＝45°，CD ＝12AB ＝BD ，∠ACD ＝12∠ACB ＝45°，由折叠的性质得：B 'D ＝BD ，∠B '＝∠B ＝45°， ∴CD ＝B 'D ，∴∠DCB '＝∠DB 'C ，∴∠FCB '＝∠FB 'C ，∴CF ＝B 'F ，∴△CEF 的周长＝EF +CF +CE ＝EF +B 'F +CE ＝B 'E +CE ＝BE +CE ＝BC ＝5√2； 11．解：（1）BH ⊥HE ，BH ＝HE ；理由如下：延长EH 交AB 于M ，如图1所示： ∵四边形ABCD 和四边形CEFG 是正方形，∴AB ∥CD ∥EF ，AB ＝BC ，CE ＝FE ，∠ABC ＝90°，∴∠AMH ＝∠FEH ，∵H 是AF 的中点，∴AH ＝FH ，∴△AMH ≌△FEH （AAS ）， ∴AM ＝FE ＝CE ，MH ＝EH ，∴BM ＝BE ，∵∠ABC＝90°，∴BH⊥HE，BH＝12ME＝HE；（2）结论仍然成立．BH⊥HE，BH＝HE．理由如下：延长EH交BA的延长线于点M，如图2所示：∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，∴∠ABE＝∠BEF＝90°，AB＝BC，AB∥CD∥EF，CE＝FE，∴∠HAM＝∠HFE，∴△AHM≌△FHE（ASA），∴HM＝HE，AM＝EF＝CE，∴BM＝BE，∵∠ABE＝90°，∴BH⊥EH，BH＝12EM＝EH；（3）延长EH到M，使得MH＝EH，连接AH、BH，如图3所示：同（2）得：△AMH≌△FEH（SAS），∴AM＝FE＝CE，∠MAH＝∠EFH，∴AM∥BF，∴∠BAM+∠ABE＝180°，∴∠BAM+∠CBE＝90°，∵∠BCE+∠CBE＝90°∴∠BAM＝∠BCE，∴△ABM≌△CBE（SAS），∴BM＝BE，∠ABM＝∠CBE，∴∠MBE＝∠ABC＝90°，∵MH＝EH，∴BH⊥EH，BH＝12EM＝MH ＝EH，在Rt△CBE中，BE＝√CB2−CE2＝12，∵BH＝EH，BH⊥EH，∴BH＝√22BE＝6√2．12．解：（1）GF＝GC．理由如下：如图1，连接GE，∵E是BC的中点，∴BE＝EC，∵△ABE沿AE折叠后得到△AFE，∴BE＝EF，∴EF＝EC，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠B＝90°，∴∠EFG＝90°，∴Rt△GFE≌Rt△GCE（HL），∴GF＝GC；（2）设GC＝x，则AG＝4+x，DG＝4﹣x，在Rt△ADG中，62+（4﹣x）2＝（4+x）2，解得x＝94．∴GC＝94；（3）（1）中的结论仍然成立．证明：如图2，连接FC，∵E是BC的中点，∴BE＝CE，∵将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，∴BE＝EF，∠B＝∠AFE，∴EF＝EC，∴∠EFC＝∠ECF，∵矩形ABCD为平行四边形，∴∠B＝∠D，∵∠ECD＝180°﹣∠D，∠EFG＝180°﹣∠AFE＝180°﹣∠B＝180°﹣∠D，∴∠ECD＝∠EFG，∴∠GFC＝∠GFE﹣∠EFC＝∠ECG﹣∠ECF＝∠GCF，∴∠GFC＝∠GCF，∴FG＝CG；即（1）中的结论仍然成立．13．解：（1）∵AE＝CE，DE＝EF，∠AED＝∠CEF，∴△AED≌△CEF（SAS），∴AD＝CF，∠ADE＝∠F，∴BD∥CF，∵AD＝BD，∴BD＝CF，∴四边形BCFD是平行四边形，∴DF＝BC，DF∥BC，（2）证明：∵四边形ABCD是正方形∴AB＝BC，∠ABC＝90°，即∠ABE+∠CBE＝90°∵△BEH是等腰直角三角形，∴EH＝2BE＝2BH，∠BEH＝∠BHE＝45°，∠EBH＝90°，即∠CBH+∠CBE＝90°∴∠ABE＝∠CBH，∴△ABE≌△CBH（SAS），∴AE＝CH，∠AEB＝∠CHB，∴∠CHE＝∠CHB﹣∠BHE＝∠CHB﹣45°＝∠AEB﹣45°，∵四边形AEFG是正方形，∴AE＝EF，∠AEF＝90°，∴EF＝HC，∠FEH＝360°﹣∠AEF﹣∠AEB﹣∠BEH＝225°﹣∠AEB，∴∠CHE+∠FEH＝∠AEB﹣45°+225°﹣∠AEB＝180°，∴EF∥HC且EF＝HC，∴四边形EFCH是平行四边形，∴CF＝EH＝√2BE；（3）CF＝√3BE，如图，过点B作BH，使∠EBH＝120°，且BH＝BE，连接EH、CH，则∠BHE＝∠BEH＝30°，∵∠ABC＝∠EBH＝120°，∴∠ABE＝∠CBH，∵AB＝BC，BE＝BH，∴△AEB≌△CHB（SAS），∴CH＝AE＝EF，∠CHB＝∠AEB，∵∠CHE＝∠CHB﹣∠BHE＝∠AEB﹣30°，∠FEH＝360°﹣∠AEF﹣∠AEB﹣∠BEH＝210°﹣∠AEB，∴∠CHE+∠FEH＝180°，∴CH∥EF且CH＝EF，∴四边形EFCH是平行四边形，∴CF＝EH，过B作BN⊥EH于N，在△EBH中，∠EBH＝120°，BH＝BE，∴∠BEN＝30°，EH＝2EN，BE，∴EN＝√32∴EH＝√3BE，∴CF＝EH＝√3BE．。

四边形之类比探究综合检测(探究不变特征)(含答案)

四边形之类比探究综合检测（探究不变特征）
一、单选题(共5道，每道20分)
1.如图1，在△ACB和△AED中，AC=BC，AE=DE，∠ACB=∠AED=90°，点E在AB上，F是线段BD的中点，连接CE，FE，则线段CE与EF之间的数量关系为( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：类比探究
2.（上接第1题）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转，使△AED的一边AE恰好与△ACB 的边
AC在同一条直线上（如图2），连接BD，取BD的中点F，则线段CE与FE之间的数量关系为( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：类比探究
3.（上接第1，2题）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转任意的角度（如图3），连接
BD，取BD的中点F，则线段CE与FE之间的数量关系为( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：类比探究
4.如图1，平面内有一等腰直角三角板ABC（∠ACB=90°）和一直线MN.过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F，则线段AF，BF，CE之间的数量关系为( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：类比探究
5.（上接第4题）若三角板绕点A顺时针旋转至图2的位置，其他条件不变，则线段AF，BF，CE之间的数量关系为( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：类比探究。

四边形之类比探究(探究不变特征二)(人教版)(含答案)

四边形之类比探究（探究不变特征二）（人教版）一、单选题(共5道，每道20分)1.已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边作菱形ADEF（A，D，E，F按逆时针排列），使∠DAF=60°，连接CF．（1）如图，当点D在边BC上时，AC，CF，CD之间的数量关系为( )A.AC=CF+CDB.AC=CD-CFC.AC=2CD-CFD.AC=CF+2CD答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究2.（上接第1题）（2）如图，当点D在BC边的延长线上时，其他条件不变，则AC，CF，CD 之间的数量关系为( )A.AC=CF+CDB.AC=CF-CDC.AC=2CD-CFD.AC=CF+2CD答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究3.（上接第1，2题）（3）如图，当点D在CB边的延长线上时，其他条件不变，则AC，CF，CD之间的数量关系为( )A.AC=CF+CDB.AC=CD-CFC.AC=2CD-CFD.AC=CF+2CD答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究4.如图，直线AM∥BN，∠MAB与∠NBA的平分线交于点C，过点C作一条直线与两条直线MA，NB分别相交于点D，E．如图1所示，当直线与直线MA垂直时，则线段AD，BE，AB之间的数量关系是( )A. B.AB=2AD-BEC.AB=AD+BED.AB=AD+2BE答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究5.（上接第4题）如图2所示，当直线与直线MA不垂直，且交点D，E在AB的异侧时，则线段AD，BE，AB之间的数量关系是( )A. B. C.AB=AD+BE D.AB=AD-BE答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究。

八年级数学四边形之类比探究(一)(人教版)(专题)(含答案)

四边形之类比探究（一）（人教版）（专题）一、单选题(共6道，每道18分)1.已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边作菱形ADEF（A，D，E，F按逆时针排列），使∠DAF=60°，连接CF．（1）如图，当点D在边BC上时，AC，CF，CD之间的数量关系为( )A.AC=CF+CDB.AC=CD-CFC.AC=2CD-CFD.AC=CF+2CD答案：A解题思路：在菱形AFED中，AF=AD，∠DAF=60°，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∠BAC=60°=∠DAF，∴∠BAD=∠CAF，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴CF=BD，∴CF+CD=BD+CD=BC=AC．故选A试题难度：三颗星知识点：略2.（上接第1题）（2）如图，当点D在BC边的延长线上时，其他条件不变，则AC，CF，CD 之间的数量关系为( )A.AC=CF+CDB.AC=CF-CDC.AC=2CD-CFD.AC=CF+2CD答案：B解题思路：类比上题中分析线段间数量关系的思路∵∠BAC=∠DAF=60°，∴∠DAB=∠FAC．又∵AB=AC，AD=AF，∴△ADB≌△AFC（SAS），∴CF=BD．∵BD=CD+BC=CD+AC，∴CF=CD+AC，即AC=CF-CD．故选B试题难度：三颗星知识点：略3.（上接第1，2题）（3）如图，当点D在CB边的延长线上时，其他条件不变，则AC，CF，CD之间的数量关系为( )A.AC=CF+CDB.AC=CD-CFC.AC=2CD-CFD.AC=CF+2CD答案：B解题思路：类比上两题中分析线段间数量关系的思路∵∠BAC=∠DAF=60°，∴∠DAB=∠FAC．又∵AB=AC，AD=AF，∴△ADB≌△AFC（SAS），∴CF=BD．∵CD=CB+BD=AC+BD，∴CD=AC+CF，即AC=CD-CF．故选B试题难度：三颗星知识点：略4.（1）如图1，在正方形ABCD的边AB上任取一点E，过点E作EF⊥AB，交BD于点F，取DF的中点G，连接EG，CG．为了研究线段EG和CG之间的数量和位置关系，可通过作辅助线：延长EG，交AD的延长线于点H，连接EC，HC，来进行分析．则得到的结论是( )A.EG=CG且EG⊥CGB.EG=CG但EG与CG不垂直C.EG⊥CG但EG≠CGD.答案：A解题思路：1．解题要点利用题干中给出的辅助线信息继续研究，寻找进一步的结论来说明EG和CG之间的关系．由“平行夹中点”可以得到△EFG≌△HDG，进而得到G为HE的中点，DH=EF=BE，则△CBE≌△CDH（SAS），进而得到△ECH是等腰直角三角形，所以EG=CG且EG⊥CG．2．解题过程如图，延长EG，交AD的延长线于点H，连接EC，HC．由题意得，EF∥AD，△BEF是等腰直角三角形．∵G是DF的中点，∴FG=DG，∵DH∥EF，∴∠DHG=∠FEG，∠EFG=∠HDG，∴△EFG≌△HDG（AAS），∴DH=EF=BE，EG=HG，∵BC=DC，∠EBC=∠HDC=90°，∴△CBE≌△CDH（SAS），∴EC=HC，∠BCE=∠DCH，∴∠ECH=∠ECD+∠DCH=∠ECD+∠BCE=90°，∴△ECH是等腰直角三角形．∵EG=HG，∴EG=CG且EG⊥CG．故选A试题难度：三颗星知识点：略5.（上接第4题）（2）在图1的基础上，将△BEF绕点B逆时针旋转90°，其他条件不变，如图2，为了证明EG和CG之间的数量和位置关系仍成立，类比（1）中的辅助线和证明思路，需要作出的辅助线是( )A.延长EG，交AD于点H，连接HCB.连接BG并延长，交AD于点H，连接HCC.延长EG，交CD的延长线于点HD.延长EF，交DA的延长线于点H，连接HC答案：C解题思路：1．解题要点①要类比（1）中的辅助线和证明思路，需要明白（1）中的辅助线和思路带给我们什么．首先能够得到全等，利用的是“平行夹中点”，在此题中即“EF∥CD，FG=DG”．在此题中也利用“平行夹中点”，则需延长EG，交CD的延长线于点H．其次是△CBE≌△CDH，进而得到△ECH是等腰直角三角形．而在此题中△CBE和△CDH是不存在的，但是可以直接利用EB=EF=DH，进而得到EC=HC判断△ECH是等腰直角三角形．②比较两问的特点，都是观察到G是DF的中点，从“平行夹中点”入手判断结论．证明的整体思路是：辅助线（平行夹中点）；△CBE≌△CDH（EC=HC，∠ECH=90°）；△ECH是等腰直角三角形．2．解题过程如图，延长EG，交CD的延长线于点H．由题意得，EF∥CD，FG=DG，∴∠H=∠GEF，∠EFG=∠HDG，∴△EFG≌△HDG（AAS），∴HD=EF=BE，EG=HG．∵CB=CD，∴EC=HC，∴△ECH是等腰直角三角形．∵EG=HG，∴EG=CG且EG⊥CG．故选C试题难度：三颗星知识点：略6.（上接第4，5题）（2）在图1的基础上，将△BEF绕点B逆时针旋转180°，其他条件不变，如图3，为了证明EG和CG之间的数量和位置关系仍成立，类比（1）（2）中的辅助线和证明思路，需要证明两个直角三角形全等，则判断这两个三角形全等时使用的条件是( )A.AASB.ASAC.HLD.SAS答案：D解题思路：1．解题要点照搬（1）（2）中的证明思路：辅助线（平行夹中点）；△CBE≌△CDH（EC=HC，∠ECH=90°）；△ECH是等腰直角三角形．2．解题过程如图，延长EG，交AD于点H，连接EC，HC．由题意得，F，B，D三点共线，EF∥AD，∴∠DHG=∠FEG，∠F=∠HDG．∵FG=DG，∴△FEG≌△DHG（AAS），∴DH=EF=BE，EG=HG．∵BC=DC，∠HDC=∠EBC=90°，∴△BEC≌△DHC（SAS），∴EC=HC，∠ECB=∠HCD，∴∠ECH=∠ECB+∠BCH=∠HCD+∠BCH=90°，∴△ECH是等腰直角三角形．∵EG=HG，∴EG=CG且EG⊥CG，故证明过程中，判断两个直角三角形全等时使用的条件是SAS．故选D试题难度：三颗星知识点：略。

河北省中考数学复习四边形专项训练(五)三角形与四边形试题(含解析)

专项训练(五) 三角形与四边形一、选择题1. 如图，∠AOB的度数可由量角器测得，作∠AOB的平分线OC，那么∠AOC的度数为(C)第1题图°°°°1【解析】∵∠AOB＝50°，OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠AOB＝25°.22.如图，甲船从北岸码头A向南行驶，航速为36km/h；乙船从南岸码头B向北行驶，航速为27km/h.两船均于7：15出发，两岸平行，水面宽为km，那么两船距离最近时的时刻为(C)第2题图：35 ：34 ：33 ：32【解析】设xh后两船距离最近．根据题意，得36x＝－27x.解得x＝h ＝18min.所以两船距离最近时的时刻为 7：33.如果一个三角形的三个内角的度数比是2∶3∶4，那么它是(A)A.锐角三角形B. 钝角三角形C.直角三角形D. 钝角三角形或直角三角形1【解析】设三角形的三个内角的度数分别为2，3，4，那么2＋3＋4＝180°.解得kk4.20°.所以这个三角形最大的内角为4×20°＝80°.所以此三角形是锐角三角形．在以下三角形中，假设AB＝AC，那么不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是(B)2A B C D【解析】A.作∠的平分线即可．C.过点作的垂线即可．D.以点为顶点AB ABC BC为一边在三角形内部作一个72°的角即可．只有选项B不能被一条直线分成两个小等腰三角形．5.如图，一根木棍斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上．设木棍的中点为P，假设木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离(A)第5题图A.不变B. 变小C. 变大 D.无法判断1【解析】如答图，连接OP.在Rt△AOB中，OP是斜边AB上的中线，∴OP＝2AB.由于木棍的长度不变，所以不管木棍如何滑动， OP都是一个定值．3第5题答图如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E.假设AB＝6cm，那么△DEB的周长为(A)第6题图A.6cmB.8cmC.10cmD.12cm【解析】∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°.∴∠C＝∠AED.∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝EAD.∵AD＝AD，∴△ACD≌△AED(AAS)．∴AC＝AE，CD＝DE.∴BD＋DE＝BD＋CD＝BC＝AC＝AE.∴△DEB的周长为BD＋DE＋BE＝AE＋BE＝AB＝6cm.如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，D是BC上的点，DF∥AB交AC于点F，DE∥AC交AB 于点E，那么四边形AFDE的周长为(B)4第7题图【解析】∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AFDE是平行四边形，∠B＝∠FDC，∠EDB＝∠C.∵AB AC，∴∠B＝∠C.∴∠B＝∠EDB，∠C＝∠FDC.∴BE＝ED，DF＝FC.∴?AFDE的周长为AB＋AC12.如图，在?ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F.假设BF12，AB＝10，那么AE的长为(D)第8题图A.13B.14C.15D.16【解析】如答图．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴∠DAE＝∠AEB.∵∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠DAE＝∠BAE.∴∠BAE＝∠BEA.∴AB＝BE.同理AB＝AF.∴AF＝BE.∴四边形ABEF是平行四边形．∵ AB＝AF，∴四边形ABEF是菱形．∴AE⊥BF，OA＝OE，OB＝OF1 2 2 2 2＝2BF＝6.∴OA＝AB－OB＝10－6＝8.∴AE＝2OA＝16.59.(导学号5892921)有3个正方形如下图放置，阴影局部的面积依次记为S1，S2，那么S1∶S2等于(D)第9题图∶2B.1∶2 C.2∶3D.4∶911EF3AC1【解析】如答图．由题意，得EF＝AC，CG＝AC.∴＝.易证△DEF∽△HCG.∴S∶32G C2ACS2＝4∶9.6二、填空题如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动．点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，那么最快4s后，四边形ABPQ成为矩形．第10题图【解析】设最快xs后，四边形ABPQ成为矩形．由BP＝AQ，得3x＝20－2x.解得x＝4.11.(导学号5892921)如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形的边长为2，点OABC第一象限，点C在x轴正半轴上，∠AOC＝60°.假设将菱形OABC绕点O顺时针旋转75°，得到菱形OA′B′C′，那么点B的对应点B′的坐标为(6，－6)．7第11题图【解析】如答图，作B′H⊥x轴于点H，连接OB，OB′.∵四边形OABC为菱形，∴OB平分∠AOC.∵∠AOC＝60°，∴∠AOB＝∠BOC＝30°.∵菱形OA′B′C′由菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°得到，∴∠BOB′＝75°，OB′＝OB.∴∠COB′＝∠BOB′－∠BOC＝45°.2∴△OB′H为等腰直角三角形．易得OB′＝OB＝23，∴OH＝B′H＝2OB′＝ 6.∴点B′的坐标为( 6，－6)．第11题答图12.( 导学号5892921)如图，把矩形卡片ABCD放在每格宽度都为12mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上．假设α＝37°，那么矩形卡片ABCD的周长约为2003 4mm.注：sin37 °＝5，cos37°＝58第12题图【解析】如答图，过点作⊥于点，过点⊥于点.∵＋∠＝90°，BEl EDFl FDAF∠ADF＋∠DAF＝90°，∴∠ADF＝α＝37°.根据题意，得BE＝24mm，DF＝48mm.在Rt△ABE 中，sinBEBE24＝40(mm)．在Rt△ADF中，cos∠ADF＝DF α＝，∴AB＝sin373，∴AB AD5DF8AD＝cos37°≈＝60(mm)．∴矩形卡片ABCD的周长约为2×(40＋60)＝200(mm)．第12题答图三、解答题(2021，唐山古冶区三模)如图，在△ABC中，直线EF垂直平分AC，与边AB交于点E，连接CE，过点C作CF∥BA交EF于点F，连接AF.(1)求证：△AED≌△CFD；9求证：四边形AECF是菱形；假设ED＝6，AE＝10，那么菱形AECF的面积是多少？第13题图【思路分析】(1)由EF为线段AC的垂直平分线得到AD＝CD，然后根据CF∥AB得到∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED，利用AAS证得两个三角形全等．(2)根据全等得到AE＝CF，然后根据EF为线段AC的垂直平分线，得到EC＝EA，FC＝FA，从而得到EC＝EA＝FC＝FA，利用四边相等的四边形是菱形判定四边形为菱形．(3)由菱形的性质和勾股定理求出，得出AC AECF AD的长，进而求得菱形的面积．证明：∵EF为线段AC的垂直平分线，∴AD＝CD.∵CF∥AB，∴∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED.∴△AED≌△CFD(AAS)．证明：∵△AED≌△CFD，∴AE＝CF.∵EF为线段AC的垂直平分线，∴EC＝EA，FC＝FA.∴EC＝EA＝FC＝FA.∴四边形AECF为菱形．解：∵四边形AECF是菱形，∴AC⊥EF.∵ED＝6，AE＝10，∴AD＝102－62＝8.∴AC＝2AD＝16.1 1∴菱形AECF的面积为2×2·AC·DE＝2×2×16×6＝96.14. 如图，在矩形ABCD中，∠DAB的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点 F，连接BD.求∠AEC的度数；求证：BE＝DC；( 3)是线段EF 上一动点(不与点重合)，在点运动过程中，能否使△成为等E BDP腰直角三角形？假设能，写出点 P满足的条件并证明；假设不能，请说明理由．10第14题图【思路分析】 (1) 由矩形的性质与三角形外角的性质即可得出结果．(2)由矩形的性质得出AB＝DC，AD∥BC，再由平行线的性质得出∠AEB＝∠EAD＝45°，即可得出结论．(3)连接CP，证出△CEF为等腰直角三角形，再由P是线段EF的中点得出EP＝CP，∠ECP＝45°，∠EPC90°，由SAS证得△BEP≌△DCP，即可得出结论．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠ABC＝90°.∵∠DAB的平分线交BC于点E，∴∠BAE＝∠EAD＝45°.∴∠AEC＝∠ABC＋∠BAE＝90°＋45°＝135°.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，AD∥BC.∴∠AEB＝∠EAD＝45°.∴∠BAE＝∠AEB＝45°.∴AB＝BE.∴BE＝DC.解：在点P运动过程中，能使△BDP成为等腰直角三角形，此时P是线段EF的中点．证明：如答图，连接CP.∵四边形ABCD是矩形，DC的延长线交∠DAB的平分线于点F，∴∠ECF＝90°，AB∥DF.∴∠F＝∠BAE＝45°.∵∠FEC＝∠AEB＝45°，∴∠F＝∠FEC.∴CE＝CF.∵P是线段EF的中点，∴EP＝CP，∠ECP＝45°，∠EPC＝90°.∴∠DCP＝∠DCB＋∠ECP＝90°＋45°＝135°.∵∠BEP＝∠AEC＝135°，∴∠BEP＝∠DCP.11BE＝DC，在△BEP和△DCP中，∠BEP＝∠DCP，EP＝CP，∴△BEP≌△DCP(SAS)．∴BP＝DP，∠BPE＝∠DPC.∴∠BPD＝∠BPE＋∠DPE＝∠DPC＋∠DPE＝∠EPC＝90°.∴△BDP为等腰直角三角形．第14题答图12。

三角形与四边形重难点题型-三年中考数学真题分项汇编(解析版)

三角形与四边形重难点题型共23道题一、单选题1．（2022·浙江温州）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，以其三边为边向外作正方形，连结CF ，作GM CF ⊥于点M ，BJ GM ⊥于点J ，⊥AK BJ 于点K ，交CF 于点L ．若正方形ABGF 与正方形JKLM 的面积之比为5，102CE =CH 的长为（）A 5B 35+C ．2D 10【答案】C【解析】【分析】设CF 交AB 于P ，过C 作CN ⊥AB 于N ，设正方形JKLM 边长为m ，根据正方形ABGF 与正方形JKLM 的面积之比为5，得AF =AB 5，证明⊥AFL ⊥⊥FGM （AAS ），可得AL =FM ，设AL =FM =x ，在Rt ⊥AFL 中，x 2+（x +m ）2=5）2，可解得x =m ，有AL =FM =m ，FL =2m ，从而可得AP 5m ，FP =52m ，BP 5m ，即知P 为A B 中点，CP =AP =BP 5m 由⊥CPN ⊥⊥FP A ，得CN =m ，PN =12m ，即得AN 51+m ，而tan⊥BAC =51BC CN AC AN =+⊥AEC ⊥⊥BCH ，根据相似三角形的性质列出方程，解方程即可求解．【详解】解：设CF 交AB 于P ，过C 作CN ⊥AB 于N ，如图：设正方形JKLM 边长为m ，⊥正方形JKLM 面积为m 2，⊥正方形ABGF 与正方形JKLM 的面积之比为5，⊥正方形ABGF 的面积为5m 2，⊥AF =AB 5，由已知可得：⊥AFL =90°-⊥MFG =⊥MGF ，⊥ALF =90°=⊥FMG ，AF =GF ，⊥⊥AFL ⊥⊥FGM （AAS ），⊥AL =FM ，设AL =FM =x ，则FL =FM +ML =x +m ，在Rt ⊥AFL 中，AL 2+FL 2=AF 2，⊥x 2+（x +m ）2=5）2，解得x =m 或x =-2m （舍去），⊥AL =FM =m ，FL =2m ，1tan ,22AP ALmAFL AF FL m ∠====1,25m =∴AP 5m22225555()(5),522mm mAP AF m m BP AB A m FP P =+=+==-==∴⊥AP =BP ，即P 为A B 中点，⊥⊥ACB =90°，⊥CP =AP =BP 5m⊥⊥CPN =⊥APF ，⊥CNP =90°=⊥F AP ，⊥⊥CPN ⊥⊥FP A ，,CP CN PN FP AF AP ∴==即525552mm m m ==⊥CN =m ，PN =12m ，⊥AN =AP +PN 51+ ∴tan⊥BAC =51BC CN AC AN ==+ ⊥⊥AEC 和⊥BCH 是等腰直角三角形，⊥⊥AEC ⊥⊥BCH ，,BC CH AC CE∴= 102,CE =51102=++ 2,CH ∴=故选：C ．【点睛】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形判定与性质，相似三角形判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是用含m 的代数式表示相关线段的长度．2．（2020·浙江湖州）四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形．当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形ABCD 的内角，正方形ABCD 变为菱形ABC ′D ′．若⊥D ′AB ＝30°，则菱形ABC ′D ′的面积与正方形ABCD的面积之比是（）A ．1B ．12C 2D 3【答案】B【解析】【分析】如图，连接DD ＇，延长C D ''交AD 于E ，由菱形ABC D ''，可得AB C D '',进一步说明30ED D '∠=︒,得到菱形AE =12AD ；又由正方形ABCD ，得到AB =AD,即菱形的高为AB 的一半，然后分别求出菱形ABC D ''和正方形ABCD 的面积，最后求比即可．【详解】解：如图：延长C D ''交AD 于E⊥菱形ABC D ''⊥AB C D ''⊥30D AB '∠=︒⊥30AD E D AB ''∠=∠=︒⊥AE =12AD又⊥正方形ABCD∴AB =AD,即菱形的高为AB 的一半 ⊥菱形ABC ′D ′的面积为212AB ，正方形ABCD 的面积为AB 2． ⊥菱形ABC ′D ′的面积与正方形ABCD 的面积之比是12．故答案为B ．【点睛】本题主要考出了正方形的性质、菱形的性质以及含30°直角三角形的性质，其中表示出菱形ABC ′D ′的面积是解答本题的关键．3．（2020·浙江温州）如图，在Rt △AB C 中，⊥ACB ＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C 作CR ⊥FG 于点R ，再过点C 作PQ ⊥CR 分别交边DE ，BH 于点P ，Q ．若QH ＝2PE ，PQ ＝15，则CR 的长为（）A ．14B ．15C ．83D ．5【答案】A【解析】【分析】方法一：连接EC ，CH ，设AB 交CR 于点J ，先证得△ECP ⊥⊥HCQ ，可得12PC CE EP CQ CH HQ ===，进而可求得CQ ＝10，AC :BC ＝1:2，由此可设AC ＝a ，则BC ＝2a ，利用AC∴BQ ，CQ∴AB ，可证得四边形ABQC 为平行四边形，由此可得AB ＝CQ ＝10，再根据勾股定理求得25AC =5BC =4CJ =，进而可求得CR 的长．方法二：设AB 交CR 于点M ，先证得DCP BCQ ∆∆，可得DP CD PC DE BQ CB CQ BH ===、12PE PC QH CQ ==，进而可求得PC ＝5，CQ ＝10，设AC ＝a ，则BC ＝2a ，利用AC∴BQ ，CQ∴AB ，可证得四边形ABQC 为平行四边形，由此可得AB ＝CQ ＝10，再根据勾股定理求得25AC =45BC =4CJ =，进而可求得CR 的长．【详解】方法一：解：如图，连接EC ，CH ，设AB 交CR 于点J ，⊥四边形ACDE ，四边形BC I H 都是正方形，⊥⊥ACE ＝⊥BCH ＝45°，⊥⊥ACB ＝90°，⊥BC I ＝90°，⊥⊥ACE ＋⊥ACB ＋⊥BCH ＝180°，⊥ACB ＋⊥BC I ＝180°，⊥点E 、C 、H 在同一直线上，点A 、C 、I 在同一直线上，⊥DE∴A I ∴BH ，⊥⊥CEP ＝⊥CHQ ，⊥⊥ECP ＝⊥QCH ，⊥⊥ECP ⊥⊥HCQ ， ⊥12PC CE EPCQ CH HQ ===，⊥PQ ＝15，⊥PC ＝5，CQ ＝10，⊥EC :CH ＝1:2，⊥AC :BC ＝1:2，设AC ＝a ，则BC ＝2a ，⊥PQ ⊥CR ，CR ⊥AB ，⊥CQ∴AB ，⊥AC∴BQ ，CQ∴AB ，⊥四边形ABQC 为平行四边形，⊥AB ＝CQ ＝10，⊥222AC BC AB +=，⊥25100a =， ⊥25a = ⊥25AC =45BC =⊥1122AC BC AB CJ ⋅⋅=⋅⋅， ⊥25454CJ ⨯=，⊥JR ＝AF ＝AB ＝10，⊥CR ＝CJ ＋JR ＝14，故选：A ．方法二：⊥四边形ACDE ，四边形BC I H 都是正方形90,,D CBQ DC DE BC BH ∴∠=∠=︒==DCP BCQ ∠=∠ DCP BCQ ∴∆∆DPCD PC DEBQ CB CQ BH ∴===PEPCQH CQ ∴= 2QH PE =12PCCQ ∴=⊥PQ ＝15，⊥PC ＝5，CQ ＝10设CD DE AC a ===，则2BC BH a ==在Rt △AB C 中，⊥ACB ＝90°由勾股定理得 5AB a =由等面积法得 255AC BCCJ AB ==设CR 与AB 交于点J⊥四边形ABGF 是正方形PQ ⊥CR ，CR ⊥AB ，⊥ACB ＝90°⊥CQ ∥AB ，AC ∥BQ ，四边形AMRF 是矩形⊥四边形ABQC 为平行四边形，5JR AF AB a === ⊥5CQ AB a ==25a ∴=25514CR CJ JR a ∴=+=+= 故选：A ．【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定及性质、平行四边形的判定及性质、勾股定理的应用及等面积法，作出正确的辅助线并灵活运用相关图形的性质与判定是解决本题的关键．4．（2020·浙江台州）把一张宽为1cm 的长方形纸片ABCD 折叠成如图所示的阴影图案，顶点A ，D 互相重合，中间空白部分是以E 为直角顶点，腰长为2cm 的等腰直角三角形，则纸片的长AD （单位：cm ）为（）A ．732+B ．742+C ．832+D ．842+【答案】D【解析】【分析】如图，过点M 作MH ⊥A 'R 于H ，过点N 作NJ ⊥A 'W 于J ．想办法求出AR ，RM ，MN ，NW ，WD 即可解决问题．【详解】解：如图，过点M 作MH ⊥A 'R 于H ，过点N 作NJ ⊥A 'W 于J ．由题意⊥EMN 是等腰直角三角形，EM =EN =2，MN =22⊥四边形EMHK 是矩形，⊥EK = A 'K =MH =1，KH =EM =2，⊥⊥RMH 是等腰直角三角形，⊥RH =MH =1，RM 2NW 2题意AR =R A '= A 'W =WD =4，⊥AD =AR +RM +MN +NW +DW 2222842+故答案为：D.【点睛】本题考查翻折变换，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形或特殊四边形解决问题．二、填空题5．（2022·浙江绍兴）如图，10AB =，点C 在射线BQ 上的动点，连接AC ，作CD AC ⊥，CD AC =，动点E 在AB 延长线上，tan 3QBE ∠=，连接CE ，DE ，当CE DE =，CE DE ⊥时，BE 的长是______．【答案】5或354【解析】【分析】过点C 作CN ⊥BE 于N ，过点D 作DM ⊥CN 延长线于M ，连接EM ，设BN =x ，则CN =3x ，由⊥ACN ⊥⊥CDM可得AN =CM =10+x ，CN =DM =3x ，由点C 、M 、D 、E 四点共圆可得⊥NME 是等腰直角三角形，于是NE =10-2x ，由勾股定理求得AC 可得CE ，在Rt ⊥CNE 中由勾股定理建立方程求得x ，进而可得BE ；【详解】解：如图，过点C 作CN ⊥BE 于N ，过点D 作DM ⊥CN 延长线于M ，连接EM ，设BN =x ，则CN =BN •tan⊥CBN =3x ，⊥⊥CAD ，⊥ECD 都是等腰直角三角形，⊥CA =CD ，EC =ED ，⊥EDC =45°，⊥CAN +⊥ACN =90°，⊥DCM +⊥ACN =90°，则⊥CAN =⊥DCM ，在⊥ACN 和⊥CDM 中：⊥CAN =⊥DCM ，⊥ANC =⊥CMD =90°，AC =CD ，⊥⊥ACN ⊥⊥CDM （AAS ），⊥AN =CM =10+x ，CN =DM =3x ，⊥⊥CMD =⊥CED =90°，⊥点C 、M 、D 、E 四点共圆，⊥⊥CME =⊥CDE =45°，⊥⊥ENM =90°，⊥⊥NME 是等腰直角三角形，⊥NE =NM =CM -CN =10-2x ，Rt ⊥AN C 中，AC ()()2222103AN CN x x +++ Rt ⊥EC D 中，CD =AC ，CE =22CD ， Rt ⊥CNE 中，CE 2=CN 2+NE 2，⊥()()()()2222110331022x x x x ⎡⎤++=+-⎣⎦， 2425250x x -+=，()()4550x x --=，x =5或x =54， ⊥BE =BN +NE =x +10-2x =10-x ，⊥BE =5或BE =354；故答案为：5或354；【点睛】本题考查了三角函数，全等三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，勾股定理，一元二次方程等知识；此题综合性较强，正确作出辅助线是解题关键．6．（2021·浙江绍兴）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 在x 轴正半轴上，顶点B ，C 在第一象限，顶点D 的坐标5(,2)2．反比例函数k y x=（常数0k >，0x >）的图象恰好经过正方形ABCD 的两个顶点，则k 的值是_______．【答案】5或22.5【解析】【分析】先设一个未知数用来表示出B 、C 两点的坐标，再利用反比例函数图像恰好经过B 、C 、D 的其中两个点进行分类讨论，建立方程求出未知数的值，符合题意时进一步求出k 的值即可．【详解】解：如图所示，分别过B 、D 两点向x 轴作垂线，垂足分别为F 、E 点，并过C 点向BF 作垂线，垂足为点G ；⊥正方形ABCD ，⊥⊥DAB =90°，AB =BC =CD =DA ，⊥⊥DAE +⊥BAF =90°，又⊥⊥DAE +⊥ADE =90°，⊥BAF +⊥ABF =90°，⊥⊥DAE =⊥ABF ，⊥ADE =⊥BAF ，⊥ADE ⊥BAF ，同理可证⊥ADE ⊥⊥BAF ⊥⊥CBG ；⊥DE =AF =BG ，AE =BF =CG ；设AE =m ，⊥点D 的坐标 (52,2) ， ⊥OE =52，DE =AF =BG =2， ⊥B （92m +，m ），C （92，2m +）, ⊥5252⨯=，当()9252m +=时，809m =-<，不符题意，舍去；当952m m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，由0m ≥解得1619m -=,符合题意；故该情况成立，此时 5k =；当()99222m m m ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭时，由 0m ≥解得3m =,符合题意，故该情况成立，此时()93222.52k =⨯+=; 故答案为：5或22.5．【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、反比例函数的图像与性质、解一元二次方程等内容，解题的关键是牢记相关概念与性质，能根据题意建立相等关系列出方程等，本题涉及到了分类讨论和数形结合的思想方法等．7．（2021·浙江杭州）如图是一张矩形纸片ABCD ，点M 是对角线AC 的中点，点E 在BC 边上，把DCE 沿直线DE 折叠，使点C 落在对角线AC 上的点F 处，连接DF ，EF ．若MF AB =，则DAF ∠=_____度．【答案】18【解析】【分析】连接MD ，设⊥DAF =x ，利用折叠与等腰三角形的性质，用x 的代数式表示出⊥ADC =90°，列出方程解方程即可．【详解】连接MD ，设⊥DAF =x根据矩形的基本性质可知AM =MD ，AD ⊥BC ，⊥BCD =⊥ADC =90°⊥⊥MDA =⊥DAF =x ，⊥ACB =⊥DAC =x⊥⊥DMF =2x⊥⊥DCE 折叠得到⊥DFE⊥DF =CD =AB ，DE ⊥FC ，⊥FDE =⊥CDE又MF =AB⊥MF =DF⊥⊥MDF =2x⊥⊥BCD =⊥ACB +⊥ACD =90°，⊥EDC +⊥FCD =90°⊥⊥CDE =⊥ACD =x⊥⊥FDE =⊥CDE =x⊥⊥ADC =⊥ADM +⊥MDF +⊥FDE +⊥CDE =x +2x +x +x =5x =90°⊥x =18°故⊥DAF =18°故答案为18．【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，能够做出合适的辅助线用⊥DAF 表示出⊥ADC 是解题关键．8．（2021·浙江金华）如图1是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置．木条BC 上的点P 处安装一平面镜，BC 与刻度尺边MN 的交点为D ，从A 点发出的光束经平面镜P 反射后，在MN 上形成一个光点E ．已知,, 6.5AB BC MN BC AB ⊥⊥=，4,8BP PD ==．（1）ED 的长为____________．（2）将木条BC 绕点B 按顺时针方向旋转一定角度得到BC '（如图2），点P 的对应点为P '，BC '与MN 的交点为D′，从A 点发出的光束经平面镜P '反射后，在MN 上的光点为E '．若5DD '=，则EE '的长为____________．【答案】 13232【解析】【分析】（1）由题意，证明△ABP ⊥⊥EDP ，根据相似三角形的性质，即可求出ED 的长度；（2）过A 作AH ⊥BN 交NB 延长线于H ，过E′作E′F ⊥BN 于F ，设E′D =x,E′D′=5+x,在Rt △BDN 中，由勾股定理D′B 12=，可证△ABH ⊥⊥BD′D ⊥⊥E′D′F ,=6=2.5AH BH ，，6012255,1313x x E F FD ++''==，从A 点发出的光束经平面镜P′反射后，在MN 上形成一个光点E′．△AHP′⊥⊥E′FP′，6 6.560+1225591313x x =+-，解得x =1.5．【详解】解：（1）由题意，⊥,AB BC MN BC ⊥⊥，⊥90ABP EDP ∠=∠=︒，⊥从A 点发出的光束经平面镜P 反射后，在MN 上形成一个光点E ．⊥APB EPD ∠=∠，⊥⊥ABP ⊥⊥EDP ，⊥AB BP ED DP =，即6.548ED =， ⊥13ED =；故答案为：13．（2）过A 作AH ⊥BN 交NB 延长线于H ，过E′作E′F ⊥BN 于F ，设E′D =x,E′D′=5+x,在Rt △BDN 中，⊥BD =12，DD′=5，由勾股定理D′B 2222+12+513BD DD '，⊥⊥AHB =⊥ABD =⊥E′FN =⊥BDD′=90°，⊥⊥ABH +⊥DBD′=⊥DBD′+⊥DD′B =FE D ''∠+⊥E′D′F ,⊥⊥ABH =⊥BD′D =⊥E′D′F ,⊥⊥ABH ⊥⊥BD′D ⊥⊥E′D′F ,⊥AB AH BH BD BD DD ==''，ED E F FD BD BD DD ''''==''，⊥6.513125AH BH ==,513125x E F FD ''+==，⊥=6=2.5AH BH ，，6012255,1313xxE F FD ++''==，⊥从A 点发出的光束经平面镜P′反射后，在MN 上形成一个光点E′．⊥AP H E P F '''∠=∠，⊥⊥AHP′⊥⊥E′FP′，HP′=HB +BP =2.5+4=6.5，P′D′=BD′-BP′=13-4=9，P′F = P′D′-FD′=9-25513x +，⊥AH P H E F P F '=''即6 6.560+1225591313x x =+-，解得x =1.5，经检验x =1.5是方程的解，EE′=DE -DE′=13-1.5=11.5=232．故答案为232．【点睛】本题考查相似三角形性质与判定，勾股定理，光束经平面镜P性质，掌握相似三角形性质与判定，勾股定理，光束经平面镜P性质，利用相似三角形的性质构造方程6 6.560+1225591313x x=+-是解题关键．9．（2020·21的矩形纸片剪成四个等腰三角形纸片（无余纸片），各种剪法剪出的等腰三角形中，其中一个等腰三角形的腰长可以是下列数中的_____（填序号）．2，⊥1，2﹣1，33【答案】①②⊥⊥．【解析】【分析】首先作出图形，再根据矩形的性质和等腰三角形的判定即可求解．【详解】解：如下图所示：在BC上截取BE=1，连接AE⊥⊥ABE为等腰直角三角形，AB=BE=1，AE222AB BE+CE=BC－BE21⊥⊥BAE=45°，⊥EAD=90°－⊥BAE=45°在AE上截取AF=1，连接DF、CF⊥EF=AE－AF21=CE⊥⊥EFC21过点F作FG⊥AD于G⊥AG=AF·cos⊥F AG2⊥DG=AD－AG2⊥FG垂直平分AD⊥AF=FD=1⊥⊥AFD为等腰三角形，腰长为1⊥DFC为等腰三角形，腰长为1；如下图所示：在AD上截取DF=1，连接BF⊥⊥DFC为等腰直角三角形，腰长为1，AF=AD－DF21根据勾股定理可得CF222DF DC+⊥⊥CBF2在AB上截取AE21=AF⊥⊥AEF21，BE=AB－AE=22根据勾股定理可得EF2222AE AF+==BE⊥⊥EBF为等腰三角形，腰长为22如下图所示：连接AC、BD交于点E易知⊥EAB、⊥EBC、⊥ECD和⊥EAD均为等腰三角形利用勾股定理AC223AB BC+⊥AE=BE=CE=DE=132AC=综上：其中一个等腰三角形的腰长可以是2⊥1，21，33故答案为：①⊥⊥⊥．【点睛】此题考查的是矩形的性质、等腰三角形的判定及性质和锐角三角函数，掌握矩形的性质、等腰三角形的判定及性质和锐角三角函数是解决此题的关键．10．（2021·浙江宁波）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点(),A x y ，我们把点11,B x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭称为点A 的“倒数点”．如图，矩形OCDE 的顶点C 为()3,0，顶点E 在y 轴上，函数()20=>y x x的图象与DE 交于点A ．若点B 是点A 的“倒数点”，且点B 在矩形OCDE 的一边上，则OBC 的面积为_________．【答案】14或32 【解析】【分析】根据题意，点B 不可能在坐标轴上，可对点B 进行讨论分析：⊥当点B 在边DE 上时；⊥当点B 在边CD 上时；分别求出点B 的坐标，然后求出OBC 的面积即可．【详解】解：根据题意，⊥点11,B x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭称为点(),A x y 的“倒数点”， ⊥0x ≠，0y ≠，⊥点B 不可能在坐标轴上； ⊥点A 在函数()20=>y x x的图像上，设点A 为2(,)x x ，则点B 为1(,)2x x ， ⊥点C 为()3,0，⊥3OC =，⊥当点B 在边DE 上时；点A 与点B 都在边DE 上，⊥点A 与点B 的纵坐标相同，即22xx=，解得：2x=，经检验，2x=是原分式方程的解；⊥点B为1(,1)2，⊥OBC的面积为：133122S=⨯⨯=；⊥当点B在边CD上时；点B与点C的横坐标相同，⊥13x=，解得：13x=，经检验，13x=是原分式方程的解；⊥点B为1 (3,)6，⊥OBC的面积为：1113264S=⨯⨯=；故答案为：14或32．【点睛】本题考查了反比例函数的图像和性质，矩形的性质，解分式方程，坐标与图形等知识，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，运用分类讨论的思想进行分析．三、解答题11．（2022·浙江湖州）已知在Rt⊥AB C中，⊥ACB＝90°，a，b分别表示⊥A，⊥B的对边，a b>．记⊥ABC 的面积为S．(1)如图1，分别以AC ，CB 为边向形外作正方形ACDE 和正方形BGF C ．记正方形ACDE 的面积为1S ，正方形BGFC 的面积为2S ．⊥若19S =，216S =，求S 的值；⊥延长EA 交GB 的延长线于点N ，连结FN ，交BC 于点M ，交AB 于点H ．若FH ⊥AB （如图2所示），求证：212S S S -=．(2)如图3，分别以AC ，CB 为边向形外作等边三角形ACD 和等边三角形CBE ，记等边三角形ACD 的面积为1S ，等边三角形CBE 的面积为2S ．以AB 为边向上作等边三角形ABF （点C 在⊥ABF 内），连结EF ，CF ．若EF ⊥CF ，试探索21S S -与S 之间的等量关系，并说明理由．【答案】(1)⊥6；⊥见解析(2)2114S S S -=，理由见解析【解析】【分析】（1）⊥将面积用a ，b 的代数式表示出来，计算，即可⊥利用AN 公共边，发现⊥F AN ⊥⊥ANB ，利用FA AN AN NB =，得到a ，b 的关系式，化简，变形，即可得结论（2）等边ABF 与等边CBE △共顶点B ，形成手拉手模型，⊥ABC ⊥⊥FBE ，利用全等的对应边，对应角，得到：AC ＝FE ＝b ，⊥FEB ＝⊥ACB ＝90°，从而得到⊥FEC ＝30°，再利用Rt CFE △，3cos30FE b CE a ︒===，得到a 与b 的关系，从而得到结论(1)⊥19S =，216S =⊥b ＝3，a ＝4⊥⊥ACB ＝90°⊥11S ab 34622==⨯⨯=⊥由题意得：⊥F AN ＝⊥ANB ＝90°，⊥FH ⊥AB⊥⊥AFN ＝90°－⊥F AH ＝⊥NAB⊥⊥F AN ⊥⊥ANB⊥FAANAN NB =⊥a baa b +=，得：22ab b a +=⊥122S S S +=．即212S S S -=(2)2114S S S -=，理由如下：⊥⊥ABF 和⊥BEC 都是等边三角形⊥AB ＝FB ，⊥ABC ＝60°－⊥FBC ＝⊥FBE ，CB ＝EB⊥⊥ABC ⊥⊥FBE （SAS ）⊥AC ＝FE ＝b⊥FEB ＝⊥ACB ＝90°⊥⊥FEC ＝30°⊥EF ⊥CF ，CE ＝BC ＝a ⊥3cos30b FE a CE ==︒ ⊥3b = ⊥2132S ab == 由题意得：213S =，223S ⊥22221333S S -==⊥2114S S S -=【点睛】本题考查勾股定理，相似，手拉手模型，代数运算，本题难点是图二中的相似和图三中的手拉手全等 12．（2022·浙江宁波）(1)如图1，在ABC 中，D ，E ，F 分别为,,AB AC BC 上的点，,,DE BC BF CF AF =∥交DE 于点G ，求证：DG EG =．(2)如图2，在（1）的条件下，连接,CD CG ．若,6,3⊥==CG DE CD AE ，求DE BC的值． (3)如图3，在ABCD 中，45,︒∠=ADC AC 与BD 交于点O ，E 为AO 上一点，EG BD ∥交AD 于点G ，⊥EF EG 交BC 于点F ．若40,︒∠=EGF FG 平分,10∠=EFC FG ，求BF 的长．【答案】(1)证明见详解(2)13(3)553+【解析】【分析】（1）利用∥DE BC ，证明,ADG ABF AEG ACF △△△△，利用相似比即可证明此问；（2）由（1）得DG EG =，CG DE ⊥，得出DCE 是等腰三角形，利用三角形相似即可求出 DE BC 的值；（3）遵循第（1）、（2）小问的思路，延长GE 交AB 于点M ，连接FM ，作MN BC ⊥，垂足为N ．构造出等腰三角形、含30°、45°角的特殊直角三角形，求出BN 、FN 的值，即可得出BF 的长．(1)解：⊥DE BC ∥，⊥,ADG ABF AEG ACF △△△△， ⊥,==DGAGEGAGBF AF CF AF ，⊥DG EGBF CF =．⊥BF CF =，⊥DG EG =．(2)解：由（1）得DG EG =，⊥CG DE ⊥，⊥6CE CD ==．⊥3AE =，⊥9AC AE CE =+=．⊥DE BC ∥，⊥ADE ABC ．⊥13DEAEBC AC ==．(3)解：如图，延长GE 交AB 于点M ，连接FM ，作MN BC ⊥，垂足为N ．在ABCD 中，,45=∠=∠=︒BO DO ABC ADC ．⊥EG BD ∥，⊥由（1）得=ME GE ，⊥⊥EF EG ，⊥10==FM FG ，⊥∠=∠EFM EFG ．⊥40∠︒=EGF ，⊥40EMF ∠=︒，⊥50EFG ∠=︒．⊥FG 平分EFC ∠，⊥50∠=∠=︒EFG CFG ，⊥18030∠=︒-∠-∠-∠=︒BFM EFM EFG CFG ． ⊥．在Rt FMN 中，sin 305,cos3053=︒==︒=MN FM FN FM⊥45,∠=︒⊥MBN MN BN ，⊥5==BN MN ， ⊥553=+=+BF BN FN【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定、等腰三角形的性质及判定、解特殊的直角三角形等知识，遵循构第（1）、（2）小问的思路，构造出等腰三角形和特殊的直角三角形是解决本题的关键．13．（2021·浙江宁波）【证明体验】（1）如图1，AD 为ABC 的角平分线，60ADC ∠=︒，点E 在AB 上，AE AC =．求证：DE 平分ADB ∠．【思考探究】（2）如图2，在（1）的条件下，F 为AB 上一点，连结FC 交AD 于点G ．若FB FC =，2DG =，3CD =，求BD 的长．【拓展延伸】（3）如图3，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分,2BAD BCA DCA ∠∠=∠，点E 在AC 上，EDC ABC ∠=∠．若5,25,2BC CD AD AE ===，求AC 的长．【答案】（1）见解析；（2）92；（3）163 【解析】【分析】（1）根据SAS 证明EAD CAD ≌△△，进而即可得到结论；（2）先证明EBD GCD ∽，得BD DE CD DG=，进而即可求解；（3）在AB 上取一点F ，使得AF AD =，连结CF ，可得AFC ADC ≌，从而得DCE BCF ∽，可得,CDCECED BFC BC CF =∠=∠，4CE =，最后证明EAD DAC ∽，即可求解．【详解】解：（1）⊥AD 平分BAC ∠，⊥EAD CAD ∠=∠，⊥,==AE AC AD AD ，⊥()EAD CAD SAS ≌，⊥60ADE ADC ∠=∠=︒，⊥18060EDB ADE ADC ∠=︒-∠-∠=︒，⊥BDE ADE =∠∠，即DE 平分ADB ∠；（2）⊥FB FC =，⊥EBD GCD ∠=∠，⊥60BDE GDC ∠=∠=︒，⊥EBD GCD ∽，⊥BDDECD DG =．⊥EAD CAD ≌△△，⊥3DE DC ==．⊥2DG =，⊥92BD =；（3）如图，在AB 上取一点F ，使得AF AD =，连结CF ．⊥AC 平分BAD ∠，⊥FAC DAC ∠=∠⊥AC AC =，⊥()AFC ADC SAS ≌，⊥,,CF CD ACF ACD AFC ADC =∠=∠∠=∠．⊥2ACF BCF ACB ACD ∠+∠=∠=∠，⊥DCE BCF ∠=∠．⊥EDC FBC ∠=∠，⊥DCE BCF ∽，⊥,CD CE CED BFC BC CF=∠=∠． ⊥5,25BC CF CD ===⊥4CE =．⊥180180AED CED BFC AFC ADC ∠=︒-∠=︒-∠=∠=∠，又⊥EAD DAC ∠=∠，⊥EAD DAC ∽⊥12EA AD AD AC ==， ⊥4AC AE =，⊥41633AC CE ==．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形和相似三角形，是解题的关键．14．（2021·浙江湖州）已知在ACD △中，Р是CD 的中点，B 是AD 延长线上的一点，连结,BC AP ．（1）如图1，若90,60,,3ACB CAD BD AC AP ︒∠=︒∠===BC 的长．（2）过点D 作//DE AC ，交AP 延长线于点E ，如图2所示．若60,CAD BD AC ∠︒==，求证：2BC AP =．（3）如图3，若45CAD ∠=︒，是否存在实数m ，当BD mAC =时，2BC AP =？若存在，请直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）3（2）见解析；（3）存在，2m 【解析】【分析】（1）先解直角三角形ABC 得出2AB AC =，从而得出ADC 是等边三角形，再解直角三角形ACP 即可求出AC 的长，进而得出BC 的长；（2）连结BE ，先利用AAS 证出≌CPA DPE ，得出AE =2PE ，AC =DE ，再得出ADC 是等边三角形，然后由SAS 得出≌CAB EBA ，得出AE =BC 即可得出结论；（3）过点D 作//DE AC ，交AP 延长线于点E ，连接BE ，过C 作CG ⊥AB 于G ，过E 作EN ⊥AB 于N ，由（2）得AE =2AP ，DE =AC ，再证明≌AEN BCG ，从而得出≌CAB EBA 得出DE =BE ，然后利用勾股定理即可得出m 的值．【详解】（1）解 90,60ACB CAD ∠=∠=︒︒，2cos60AC AB AC ︒==， BD AC =，AD AC =∴，ADC ∴是等边三角形，60ACD ∴∠=︒Р是CD 的中点，AP CD ∴⊥，在Rt APC 中，3AP =2sin 60AP AC ∴==︒， tan 6023BC AC =︒=∴（2）证明：连结BE ， //DE AC ，CAP DEP ∴∠=∠，,CP DP CPA DPE =∠=∠，()CPA DPE AAS ∴≌，1,2AP EP AE DE AC ∴===， BD AC =，BD DE ∴=，又//DE AC ，60BDE CAD ∴∠=∠=︒，BDE ∴是等边三角形，,60BD BE EBD ∴=∠=︒BD AC =，AC BE ∴=，又60,CAB EBA AB BA ∠=∠=︒=，()CAB EBA SAS ∴≌，AE BC ∴=，2BC AP ∴=．（3）存在这样的,2m m =过点D 作//DE AC ，交AP 延长线于点E ，连接BE ，过C 作CG ⊥AB 于G ，过E 作EN ⊥AB 于N ，则45∠=∠=︒BDE CAD ，sin 45∴=⨯CG AC ，sin 45=⨯EN DE由（2）得AE =2AP ，DE =AC ，⊥CG =EN ，⊥2BC AP =，⊥AE =BC ，⊥⊥ANE =⊥BGC =90°，≌∴AEN BCG ，⊥⊥EAN =⊥CBG⊥AE=BC，AB=BA，⊥≌CAB EBA⊥AC=BE，⊥DE=BE，⊥⊥EDB=⊥EBD=45°，⊥⊥DEB=90°，⊥2=BD，⊥BD mAC=⊥2m【点睛】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形，全等三角形的性质与判定，等边三角形和等腰三角形的性质、勾股定理，解题的关键是合理添加辅助线，有一定的难度．15．（2020·浙江绍兴）问题：如图，在⊥AB D中，BA＝B D．在BD的延长线上取点E，C，作⊥AEC，使EA ＝EC，若⊥BAE＝90°，⊥B＝45°，求⊥DAC的度数．答案：∠D AC＝45°思考：（1）如果把以上“问题”中的条件“⊥B＝45°”去掉，其余条件不变，那么⊥DAC的度数会改变吗？说明理由；（2）如果把以上“问题”中的条件“⊥B＝45°”去掉，再将“⊥BAE＝90°”改为“⊥BAE＝n°”，其余条件不变，求⊥DAC的度数．n°．【答案】（1）⊥DAC的度数不会改变，理由见解析；（2）12【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到⊥AED＝2⊥C，⊥求得⊥DAE＝90°-⊥BAD＝90°-（45°+⊥C）＝45°﹣⊥C，⊥由⊥，⊥即可得到结论；（2）设⊥ABC＝m°，根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】解：（1）⊥DAC的度数不会改变，理由如下：⊥EA＝EC，⊥⊥AED＝2⊥C，⊥⊥⊥BAE＝90°，⊥⊥BAD＝12[180°﹣（90°﹣2⊥C）]＝45°+⊥C，⊥⊥DAE＝90°﹣⊥BAD＝90°﹣（45°+⊥C）＝45°﹣⊥C，⊥由⊥，⊥得，⊥DAC＝⊥DAE+⊥CAE＝45°；（2）设⊥ABC＝m°，则⊥BAD＝12（180°﹣m°）＝90°﹣12m°，⊥AEB＝180°﹣n°﹣m°，⊥⊥DAE＝n°﹣⊥BAD＝n°﹣90°+12m°，⊥EA＝EC，⊥⊥CAE＝12⊥AEB＝90°﹣12n°﹣12m°，⊥⊥DAC＝⊥DAE+⊥CAE＝n°﹣90°+12m°+90°﹣12n°﹣12m°＝12n°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，正确的识别图形是解题的关键．16．（2020·浙江舟山）为了测量一条两岸平行的河流宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点A处测得河北岸的树H恰好在A的正北方向．测量方案与数据如下表：课题测量河流宽度测量工具测量角度的仪器，皮尺等测量小组第一小组第二小组第三小组测量方案示意图说明点B，C在点A的正东方向点B，D在点A的正东方向点B在点A的正东方向，点C在点A的正西方向．测量数据BC＝60m，⊥ABH＝70°，⊥ACH＝35°．BD＝20m，⊥ABH＝70°，⊥BCD＝35°．BC＝101m，⊥ABH＝70°，⊥ACH＝35°．（1）哪个小组的数据无法计算出河宽？（2）请选择其中一个方案及其数据求出河宽（精确到0.1m）．（参考数据：sin70°≈0.94，sin35°≈0.57，tan70°≈2.75，tan35°≈0.70）【答案】（1）第二个小组的数据无法计算河宽；（2）河宽为56.4m【解析】【分析】（1）第二个小组的数据无法计算出河宽；（2）第一个小组：证明BC＝BH＝60m，解直角三角形求出AH即可．第三个小组：设AH＝xm，则CA＝AHtan35︒，AB＝AHtan70︒，根据CA+AB＝CB，构建方程求解即可．【详解】解：（1）第二个小组的数据无法计算河宽；（2）第一个小组的解法：⊥⊥ABH ＝⊥ACH +⊥BHC ，⊥ABH ＝70°，⊥ACH ＝35°， ⊥⊥BHC ＝⊥BCH ＝35°， ⊥BC ＝BH ＝60m ，⊥AH ＝BH •sin70°＝60×0.94≈56.4（m ）．第三个小组的解法：设AH ＝xm ，则CA ＝AHtan 35︒，AB ＝AH tan 70︒，⊥CA +AB ＝CB ， ⊥0.70 2.75x x+＝101，解得x ≈56.4．答：河宽为56.4m ．【点睛】本题考查解直角三角形的应用、等腰三角形的判定和性质等知识，弄清题意、列出方程是解答本题的关键． 17．（2020·浙江衢州）如图1，在平面直角坐标系中，⊥ABC 的顶点A ，C 分别是直线y =﹣83x +4与坐标轴的交点，点B 的坐标为（﹣2，0），点D 是边AC 上的一点，DE ⊥BC 于点E ，点F 在边AB 上，且D ，F 两点关于y 轴上的某点成中心对称，连结DF ，EF ．设点D 的横坐标为m ，EF 2为l ，请探究： ⊥线段EF 长度是否有最小值． ⊥⊥BEF 能否成为直角三角形．小明尝试用“观察﹣猜想﹣验证﹣应用”的方法进行探究，请你一起来解决问题．（1）小明利用“几何画板”软件进行观察，测量，得到l 随m 变化的一组对应值，并在平面直角坐标系中以各对应值为坐标描点（如图2）．请你在图2中连线，观察图象特征并猜想l 与m 可能满足的函数类别．（2）小明结合图1，发现应用三角形和函数知识能验证（1）中的猜想，请你求出l 关于m 的函数表达式及自变量的取值范围，并求出线段EF 长度的最小值．（3）小明通过观察，推理，发现⊥BEF 能成为直角三角形，请你求出当⊥BEF 为直角三角形时m 的值．【答案】（1）连线见解析，二次函数；（2）22（3）m=0或m=4 3【解析】【分析】（1）根据描点法画图即可；（2）过点F，D分别作FG，DH垂直于y轴，垂足分别为G，H，证明Rt⊥FGK⊥Rt⊥DHK（AAS），由全等三角形的性质得出FG=DH，可求出F（﹣m，﹣2m+4），根据勾股定理得出l=EF2=8m2﹣16m+16=8（m﹣1）2+8，由二次函数的性质可得出答案；（3）分三种不同情况，根据直角三角形的性质得出m的方程，解方程求出m的值，则可求出答案．【详解】解：（1）用描点法画出图形如图1，由图象可知函数类别为二次函数．（2）如图2，过点F，D分别作FG，DH垂直于y轴，垂足分别为G，H，则⊥FGK=⊥DHK=90°，记FD交y轴于点K，⊥D点与F点关于y轴上的K点成中心对称，⊥KF=KD，⊥⊥FKG=⊥DKH，⊥Rt⊥FGK⊥Rt⊥DHK（AAS），⊥FG=DH，⊥直线AC的解析式为y=﹣83x+4，⊥x=0时，y=4，⊥A（0，4），又⊥B（﹣2，0），设直线AB的解析式为y=kx+b，⊥204k bb⎧-+=⎨=⎩，解得24kb，⊥直线AB的解析式为y=2x+4，过点F作FR⊥x轴于点R，⊥D点的横坐标为m，⊥F（﹣m，﹣2m+4），⊥ER=2m，FR=﹣2m+4，⊥EF2=FR2+ER2，⊥l=EF2=8m2﹣16m+16=8（m﹣1）2+8，令﹣83x+4=0，得x=32，⊥0≤m≤32．⊥当m=1时，l的最小值为8，⊥EF的最小值为2．（3）⊥⊥FBE为定角，不可能为直角．⊥⊥BEF=90°时，E点与O点重合，D点与A点，F点重合，此时m=0．⊥如图3，⊥BFE=90°时，有BF2+EF2=BE2．由（2）得EF2=8m2﹣16m+16，又⊥BR=﹣m+2，FR=﹣2m+4，⊥BF2=BR2+FR2=（﹣m+2）2+（﹣2m+4）2=5m2﹣20m+20，又⊥BE2=（m+2）2，⊥（5m2﹣20m+8）+（8m2﹣16m+16）2=（m+2）2，化简得，3m2﹣10m+8=0，解得m1=43，m2=2（不合题意，舍去），⊥m=43．综合以上可得，当⊥BEF为直角三角形时，m=0或m=43．【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，考查了描点法画函数图象，待定系数法，全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，二次函数的性质，勾股定理，中心对称的性质，直角三角形的性质等知识．准确分析给出的条件，结合一次函数的图象进行求解，熟练掌握方程思想及分类讨论思想是解题的关键．．18．（2020·浙江湖州）已知在△AB C中，AC＝BC＝m，D是AB边上的一点，将⊥B沿着过点D的直线折叠，使点B落在AC边的点P处（不与点A，C重合），折痕交BC边于点E．（1）特例感知如图1，若⊥C ＝60°，D 是AB 的中点，求证：AP ＝12AC ；（2）变式求异如图2，若⊥C ＝90°，m ＝2，AD ＝7，过点D 作DH ⊥AC 于点H ，求DH 和AP 的长；（3）化归探究如图3，若m ＝10，AB ＝12，且当AD ＝a 时，存在两次不同的折叠，使点B 落在AC 边上两个不同的位置，请直接写出a 的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（272，22；（3）6≤a ＜203.【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，运用等边三角形内角都为60°以及三边相等进行求解．（2）根据相似三角形的性质，运用对应边成比例以及勾股定理进行求解．（3）根据三角函数以及三线合一性质，运用勾股定理以及比例关系进行求解．【详解】（1）证明：⊥AC ＝BC ，⊥C ＝60°， ⊥⊥ABC 是等边三角形， ⊥AC ＝AB ，⊥A ＝60°，由题意，得DB ＝DP ，DA ＝DB ， ⊥DA ＝DP ，⊥⊥ADP 使得等边三角形， ⊥AP ＝AD ＝12AB ＝12A C ．（2）解：⊥AC ＝BC ＝2⊥C ＝90°， ⊥AB 22AC BC +22(62)(62)+＝12， ⊥DH ⊥AC ， ⊥DH ⊥BC ，⊥⊥ADH ⊥⊥ABC ， ⊥DH BC＝AD AB ， ⊥AD ＝7， 62＝712， ⊥DH ＝22，将⊥B 沿过点D 的直线折叠，情形一：当点B 落在线段CH 上的点P 1处时，如图2﹣1中，⊥AB ＝12，⊥DP 1＝DB ＝AB ﹣AD ＝5，⊥HP 1221DP DH -227252⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭2， ⊥AP 1＝AH +HP 1＝2，情形二：当点B 落在线段AH 上的点P 2处时，如图2﹣2中，同法可证HP 22 ⊥AP 2＝AH ﹣HP 2＝2，综上所述，满足条件的AP 的值为22．（3）如图3中，过点C 作CH ⊥AB 于H ，过点D 作DP ⊥AC 于P ．⊥CA ＝CB ，CH ⊥AB ， ⊥AH ＝HB ＝6，⊥CH 22AC AH -22106-8，当DB ＝DP 时，设BD ＝PD ＝x ，则AD ＝12﹣x ， ⊥tan A ＝CH AC ＝PDAD， ⊥810＝12x x -， ⊥x ＝163， ⊥AD ＝AB ﹣BD ＝203，观察图形可知当6≤a ＜203时，存在两次不同的折叠，使点B 落在AC 边上两个不同的位置．【点睛】本题考查等边三角形性质，勾股定理，相似三角形性质以及三角形函数的知识点，知识点的灵活运用，以及通过对图形的理解分析出结果的所以可能性是解决此类问题的关键所在． 19．（2020·浙江金华）如图，在⊥AB C 中，AB =42⊥B =45°，⊥C =60°．（1）求BC 边上的高线长．（2）点E 为线段AB 的中点，点F 在边AC 上，连结EF ，沿EF 将⊥AEF 折叠得到⊥PEF ． ⊥如图2，当点P 落在BC 上时，求⊥AEP 的度数． ⊥如图3，连结AP ，当PF ⊥AC 时，求AP 的长．【答案】（1）4;（2）⊥90°；⊥26【解析】【分析】（1）如图1中，过点A 作AD ⊥BC 于D ．解直角三角形求出AD 即可．（2）⊥证明BE =EP ，可得⊥EPB =⊥B =45°解决问题． ⊥如图3中，由（1）可知：AC =83sin 60AD =︒⊥AEF ⊥⊥ACB ，推出AF AE AB AC =，由此求出AF 即可解决问题．【详解】解：（1）如图1，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，在Rt ⊥AB D 中，sin 45AD AB =⋅︒=242（2）⊥如图2，⊥⊥AEF ⊥⊥PEF ， ⊥AE ＝EP . 又⊥AE ＝BE ， ⊥BE ＝EP ， ⊥⊥EPB ＝⊥B ＝45°， ⊥⊥AEP ＝90°.⊥如图3，由（1）可知：在Rt ⊥AD C 中，83sin 60AD AC =︒. ⊥PF ⊥AC ， ⊥⊥PF A ＝90°. ⊥⊥AEF ⊥⊥PEF ，⊥⊥AFE ＝⊥PFE ＝45°，则⊥AFE ＝⊥B. 又⊥⊥EAF ＝⊥CAB ， ⊥⊥EAF ⊥⊥CAB ，⊥AF AB＝AE AC 422283 ⊥AF ＝23在Rt ⊥AFP 中，AF ＝PF ，则AP 2＝26【点睛】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形的应用，翻折变换，全等三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．20．（2022·浙江绍兴）如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，动点E 从点A 出发，沿边AD ，DC 向点C 运动，A ，D 关于直线BE 的对称点分别为M ，N ，连结MN ．(1)如图，当E在边AD上且2DE=时，求AEM∠的度数．(2)当N在BC延长线上时，求DE的长，并判断直线MN与直线BD的位置关系，说明理由．(3)当直线MN恰好经过点C时，求DE的长．【答案】(1)⊥AEM＝90°；(2)DE＝103；MN⊥BD，证明见解析；(3)DE的长为278714-【解析】【分析】（1）由DE＝2知，AE＝AB＝6，可知⊥AEB＝⊥MEB＝45°，从而得出答案；（2）根据对称性得，⊥ENC＝⊥BDC，则cos⊥ENC＝2610EN=，得EN＝103，利用SSS证明△BMN⊥△DCB，得⊥DBC＝⊥BNM，则MN⊥BD；（3）当点E在边AD上时，若直线MN过点C，利用AAS证明△BCM⊥⊥CED，得DE＝MC；当点E在边CD上时，证明△BMC⊥⊥CNE，可得BM MCCN EN=，从而解决问题．(1)解：⊥DE=2，⊥AE＝AB＝6，⊥四边形ABCD是矩形，⊥⊥A＝90°，⊥⊥AEB＝⊥ABE＝45°，由对称性知⊥BEM＝45°，⊥⊥AEM=⊥AEB+⊥BEM＝90°；(2)。

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