2020届湖南省衡阳市高三下学期第一次模拟数学(理)试题(解析版)

2020届湖南省衡阳市高三下学期第一次模拟数学（理）试题一、单选题1．已知集合(){}10A x x x =+<，112xB x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，则B A =ð（ ） A ．(]1,0- B ．()1,0-C ．(],1-∞-D ．(],0-∞【答案】C【解析】可以求出集合A ，B ，然后进行补集的运算即可. 【详解】解：(){}10A x x x =+<，112xB x⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭∴{}10A x x =-<<，{}0B x x =<， ∴(],1B A =-∞-ð. 故选：C . 【点睛】本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，指数函数的单调性，补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．复数z 在复平面内所对应的点的坐标为()1,1，则z z的实部与虚部的和是（ ）A． B ．0 C．2D．22i - 【答案】B【解析】先根据复数的几何意义求出z ，z ，代入后根据复数的四则运算可求. 【详解】解：由题意可得，1z i =+，1z i =-，则z z ==∴)()()111zi z i i -===+-，所以z z的实部为2，虚部为2-，故实部和虚部的和为0. 故选：B . 【点睛】本题主要考查了复数几何意义，复数的模，共轭复数及复数的四则运算及基本概念的应用，属于基础试题．3．若“x R ∃∈，使得sin x x a -=”为真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[]22-,B ．()2,2-C ．(][),22,-∞-+∞UD ．()(),22,-∞-+∞U【答案】A【解析】存在有解，先求值域，可知a 的值. 【详解】解：若“x R ∃∈，使得sin x x a =，则sin 2sin 3x x x a π⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭要有解， ∵[]2sin 2,23x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，∴[]2,2a ∈-， 故选：A . 【点睛】本题考查三角函数的性质的应用、简易逻辑，属于基础题．4．已知函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，且()()f x f x -=，若12log 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1.22b f -=，12c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．a b c >>【答案】B【解析】由偶函数的性质可得出函数()y f x =在区间()0,∞+上为减函数，由对数的性质可得出12log 30<，由偶函数的性质得出()2log 3a f =，比较出2log 3、 1.22-、12的大小关系，再利用函数()y f x =在区间()0,∞+上的单调性可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】()()f x f x -=Q ，则函数()y f x =为偶函数，Q 函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，在该函数在区间()0,∞+上为减函数，1122log 3log 10<=Q ，由换底公式得122log 3log 3=-，由函数的性质可得()2log 3a f =，对数函数2log y x =在()0,∞+上为增函数，则22log 3log 21>=， 指数函数2xy =为增函数，则 1.2100222--<<<，即 1.210212-<<<， 1.22102log 32-∴<<<，因此，b c a >>. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小关系，同时也考查了利用中间值法比较指数式和代数式的大小关系，涉及指数函数与对数函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.5．已知向量a r ，b r 满足：a =r ，2b =r ，()a b a -⊥r r r ，则a r 在b r方向上的投影为（ ）A ．1-B ．2CD ．1【答案】D【解析】根据()a b a -⊥r r r 即可得出()0a b a -⋅=r r r，进行数量积的运算即可求出2a b ⋅=r r，从而根据投影的计算公式a b b⋅r r r 即可求出投影的值.【详解】解：∵a =r ，2b =r ，()a b a -⊥r r r，∴()220a b a a a b a b -⋅=-⋅=-⋅=r r r r r r r r，∴2a b ⋅=r r，∴a r 在b r方向上的投影为2cos ,12a b a a b b⋅<>===r rr r r r .故选：D . 【点睛】本题考查了向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，投影的定义及计算公式，考查了计算能力，属于基础题．6．我国古代有着辉煌的数学研究成果，《周牌算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》等10部专著是了解我国古代数学的重要文献.这10部专著中有5部产生于魏晋南北朝时期.某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”课外阅读教材则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著的概率为（ ） A ．79B ．29C ．49D ．59【答案】A【解析】设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著为事件A ，利用对立事件概率计算公式能求出所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著的概率. 【详解】解：设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著为事件A ，()25210C 2C 9P A ==，∴所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著的概率为：()()271199P A P A =-=-=. 故选：A . 【点睛】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算能力和推理论证能力，属于基础题．7．二项式()31mx -（0m >）展开式的第二项的系数为3-，则0mx e dx ⎰的值为（ ） A ．1e - B ．1e + C ．1e -D ．11e-【答案】A【解析】由题意利用二项展开式的通项公式求得m 的值，再求定积分得到结论． 【详解】解：二项式()31mx -（0m >）展开式的第二项的系数为()123C 13m ⋅-⋅=-，∴1m =，则0011011x x xme dx e dx e e e e⎰=⎰==-=-，故选：A.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求定积分，属于基础题．8．太极图被称为“中华第一图”，从孔庙大成殿梁柱，到楼观台、三茅宫等标记物，太极图无不跃居其上，这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分的区域可用不等式组来表示()(){}()()2222224,11,11x yA x y x y x y x yx⎧⎫⎧+≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪=+-≤⋃++≥⎨⎨⎬⎪⎪⎪≤⎪⎪⎪⎩⎩⎭，设点(),x y A∈，则z x y=+的取值范围是（）A．12,22⎡⎣B．22,22-⎡⎤⎣⎦C．22,12⎡-+⎣D．2,12⎡-⎣【答案】C【解析】结合图形，平移直线z x y=+，当直线与阴影部分在上方相切时取得最大值；当下移与圆224x y+=相切时，x y+取最小值；分别求出对应的z值即可.【详解】解：由题意可知：z x y=+与()2211x y+-=相切时，切点在上方时取得最大值，如图：2201111z+-≤+，解得1212z≤≤+z x y=+的最大值为：12当下移与圆224x y+=相切时，x y+取最小值，22z-=，即z的最小值为：22-，所以22,12z⎡∈-⎣.故选：C.【点睛】本题考查线性规划的数据应用，考查转化思想以及计算能力；考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．9．衡东土菜辣美鲜香，享誉三湘.某衡东土菜馆为实现100万元年经营利润目标，拟制定员工的奖励方案：在经营利润超过6万元的前提下奖励，且奖金y （单位：万元）随经营利润x （单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不能超过利润的20%.下列函数模型中，符合该点要求的是（ ）（参考数据：1001.015 4.432≈，lg11 1.041≈）A ．0.04y x =B ． 1.0151x y =-C ．tan 119x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()11log 310y x =-【答案】D【解析】根据题意函数需满足当(]6,100x ∈时，是增函数，且3y ≤，且15y x ≤，依此用四个函数逐一检验，只有函数()11log 310x =-满足要求. 【详解】解：对于函数：0.04y x =，当100x =时，43y =>，不符合题意； 对于函数： 1.0151xy =-，当100x =时， 3.4323y =>，不符合题意；对于函数：tan 119x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，不满足递增，不符合题意；对于函数：()11log 310y x =-，满足(]6,100x ∈，增函数， 且()111111log 310010log 290log 13313y ≤⨯-=<=，结合图象，15y x =与()11log 310y x =-的图象如图所示： 所以符合题意， 故选：D .【点睛】本题结合现实生活情境，考查了函数模型的应用，解题关键在于弄清题目给定规划，依此用四个函数逐一检验，属于中档题．10．已知1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，过点1F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点M ，若120MF MF ⋅>u u u u r u u u u r，则该双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．2) B ．(3,)+∞C ．(1,2)D ．(2,)+∞【答案】D【解析】求出M 点的坐标，根据向量数量积的正负，求得,a b 的关系式，结合离心率求解公式，即可容易求得. 【详解】不妨设过点1(,0)F c -与双曲线的一条渐进线平行的直线方程为ax y c b=-， 与另一条渐近线b y x a =-的交点为,22c bc M a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 由120MF MF ⋅>u u u u r u u u u r是3,,02222c bc c bc a a ⎛⎫⎛⎫--⋅-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即有223b a >，又因为2e =>， 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线离心率范围的求解，属基础题. 11．已知A 是函数()sin 2020cos 202063f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值，若存在实数1x ，2x 使得对任意实数x ，总有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12A x x ⋅+的最小值为（ ） A ．1010πB ．2020π C ．3030π D ．4040π 【答案】C【解析】利用三角恒等变换化()f x 为正弦型函数，由此求出A 、T 以及12x x +的最小值，从而可得答案. 【详解】解：()()sin 2020cos 202063f x f x x x ππ⎛⎫⎛⎫==++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，112020cos 2020cos 202020202222x x x x =+++， 2sin 20206x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2020cos 2020x x =+∴()max 2A f x ==，又存在实数1x ，2x ，对任意实数x 总有()()()12f x f x f x ≤≤成立， ∴()()2max 2f x f x ==，()()1min 2f x f x ==-，由图象可知122x x +的最小值为函数()f x 的最大负零点0x 的绝对值0x ，又062020x πϕω=-=-，所以12x x +的最小值为622020π⎛⎫ ⎪-⨯ ⎪⎪⎝⎭，∴12min6()2220203030A x x ππ⎛⎫ ⎪⋅+=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故最小值为：3030π， 故选：C . 【点睛】本题考查三角函数的最值，着重考查两角和与差的正弦与余弦，考查三角恒等变换，突出正弦函数的周期性的考查，属于中档题．12．如图，矩形ABCD 中，22BC AB ==，N 为边BC 的中点，将ABN V 沿AN 翻折成1B AN △（1B ∉平面ABCD ），M 为线段1B D 的中点，则在ABN V 翻折过程中，下列命题：①与平面1B AN 垂直的直线必与直线CM 垂直；②线段CM 的长为3；③异面直线CM 与1NB 所成角的正切值为33；④当三棱锥1D ANB -的体积最大时，三棱锥1D ANB -外接球表面积是4π.正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】①//CM 平面1B AN ，则可判断，②通过线段相等CM NK =，可求出线段NK 的长， ②异面直线CM 与1NB 所成角为1KNB ∠，求出其tan 值即可. ④找出球心，求出半径.【详解】解：取1AB 的中点K ，AD 的中点O ，连接KM ，KN ，1OB ，ON ，显然//CM 平面1B AN ，①对；22115CM NK B N B K ==+=，②错； 1KNB ∠即为异面直线CN 与1NB 所成的角，1111tan 2B K KNB B N ∠==，③错； 当平面1B AN ⊥平面AND 时，三棱锥1B AND -的体积最大，取AN 的中点E 连接DE 、1B E ，依题意可得1B E AN ⊥，又平面1B AN ⊥平面AND ，平面1B AN I 平面AND AN =，1B E ⊂面1B AN ，所以1B E ⊥面AND ，又DE ⊂面AND ，所以1B E DE ⊥，由22BC AB ==，所以221121122B E =+=， ()222221022DE DN EN ⎛⎫=+=+=⎪ ⎪⎝⎭，222211210322B D B E DE ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以22211AB B D AD +=，所以190AB D ∠=︒，又O 为AD 的中点，所以112AO NO DO B O AD ==== 即O 为三棱锥1B AND -外接球球心，且112R OA AD ===，所以244S R ππ==，故④对， 故选：B . 【点睛】本题考查翻折过程中点线面的位置关系，注意翻折过程中不变的量，考查了相关角度，长度，体积的计算，考查直观想象，运算能力，属于难题．二、填空题13．若曲线2ln y x x =+在点()1,1处的切线与直线20x ay -+=平行，则实数a 的值为______. 【答案】13【解析】先对2ln y x x =+求导，然后求出曲线2ln y x x =+在点()1,1处切线的斜率1x k y =='，再根据条件得到关于a 的方程，进一步求出a 的值.【详解】解：由2ln y x x =+，得12y x x'=+， 则曲线2ln y x x =+在点()1,1处切线的斜率13x k y ='==，∵曲线在点()1,1处的切线与直线20x ay -+=平行，∴13a =，∴13a =. 故答案为：13. 【点睛】本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程和两直线的位置关系，考查了方程思想，属于基础题．14．在ABC V 中，边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C .ABC V 的面积S 满足222b c a =+-，若a =sin sin a c A C -=-______. 【答案】2【解析】由已知结合余弦定理及三角形的面积公式可求A ，然后结合正弦定理可求.【详解】解：由余弦定理可得，222cos 2b c a A bc+-=，所以2222cos b c a bc A +-=， 因为1sin 2S bc A =，又因为2222cos 3S b c a bc A =+-=，所以tan A = 所以13A π=，由正弦定理可得，22sin aR A==， ∴22sin sin a cR A C-==-.故答案为：2. 【点睛】本题主要考查了 正弦定理的合理运用，熟悉公式并能力灵活应用是求解本题的关键，属于中档题．15．已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 作直线l 与抛物线分别交于A ，B 两点，若第一象限的点(),2M t ，满足()12OM OA OB +=u u u u u u r r u u u u r（其中O 为坐标原点），则AB =______.【答案】8【解析】设直线AB 方程为：1x my =+，m R ∈，与抛物线方程联立，利用根与系数关系求得1m =，进而得到t 的值，即可求出AB 【详解】解：由条件得()1,0F ，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 方程为：1x my =+，m R ∈， 联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，则2440y my --=，且124y y m +=，124y y =-， 由条件可知1244y y m +==，解得1m =，()12122322m y y x x t +++===， 所以()2318AB =+=， 故答案为：8. 【点睛】本题考查抛物线的简单性质以及抛物线与直线的位置关系，方程思想，属于中档题． 16．已知m 为整数，若对任意()3,x ∈+∞，不等式()ln 31m x x e-≤恒成立，则m 的最大值为______. 【答案】1【解析】构造()()ln 3x f x x-=，然后对()f x 求导，结合导数研究函数的单调性，再结合函数的性质可求. 【详解】解：令()()ln 3x f x x-=，则()()2ln 33xx x f x x ---'=， 令()()ln 33x t x x x =---，则()()231033t x x x -'=-<--， 所以()t x 在()3,+∞上单调递减， 又()70t >，()80t <， 故存在()07,8x ∈使得()()0000ln 303x t x x x =--=-， 当()03,x x ∈时，()0t x >，即()0f x '>，()f x 单调递增，当()0,x x ∈+∞时，()0t x <，即()0f x '<，()f x 单调递减，()()()00max00ln 3111,354x f x f x x x -⎛⎫===∈ ⎪-⎝⎭，故114m e ≥，则4m e ≤，即m 的最大值为1. 故答案为：1 【点睛】本题主要考查了函数的单调性及最值问题的求解，考查了导数的应用，体现了转化思想的应用，属于难题．三、解答题17．已知{}n a 为等差数列，前n 项和为n S ，39a =，9135S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列21n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭前n 项和为n T ，证明：1163nT ≤<. 【答案】（1）3n a n =，*n N ∈；（2）证明见解析【解析】本题第（1）题先设等差数列{}n a 的公差为d ，然后根据已知条件列出关于首项1a 与公差为d 的方程组，解出1a 与d 的值，即可计算出数列{}n a 的通项公式；第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列21n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的通项公式，将通项公式进行转化可发现数列21n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭是以16为首项，12为公比的等比数列，再根据等比数列的求和公式计算出前n 项和n T ，再应用放缩法即可证明结论. 【详解】解：（1）由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，则3191299891352a a d S a d =+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩， 整理，得1129415a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得133a d =⎧⎨=⎩，∴()3313n a n n =+-=，*n N ∈. （2）证明：由（1），可知232n na =⋅，故12111111323262n n n n a -⎛⎫⎛⎫==⋅=⋅ ⎪ ⎪⋅⎝⎭⎝⎭，∴数列21na ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭是以16为首项，12为公比的等比数列.∴111621111132312nnnT⎡⎤⎛⎫⋅-⎢⎥⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-<⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，又21na>，所以{}nT为单调递增数列，∴16n nT T≥=，∴1163nT≤<.【点睛】本题主要考查等差数列的基本量计算和等比数列的判别．考查了转化与化归思想，放缩法，定义法，逻辑推理能力和数学运算能力，属于中档题．18．如图，在多面体ABCDE中，//DE AB，AC BC⊥，平面DAC⊥平面ABC，24BC AC==，2AB DE=，DA DC=.（1）若点F为BC的中点，证明：EF⊥平面ABC；（2）若直线BE与平面ABC所成的角为60︒，求平面DCE与平面ABC所成的角（锐角）的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）14【解析】（1）取AC的中点O，连接DO，OF，推导出DO AC⊥，DO⊥平面ABC，//OF AB，且2AB OF=，//DE AB，2AB DE=，则OF DE=，从而四边形DEFO 为平行四边形，进而//EF DO，由此能证明EF⊥平面ABC.（2）以O为原点，OA为x轴，过点O与CB平行的直线为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面DCE与平面ABC所成的角（锐角）的余弦值. 【详解】解：（1）证明：取AC的中点O，连接DO，OF，∵在DAC △中，DA DC =，∴DO AC ⊥，∴由平面DAC ⊥平面ABC ，且交线为AC ，得DO ⊥平面ABC ， ∵O ，F 分别为AC ，BC 的中点，∴//OF AB ，且2AB OF =， 又//DE AB ，2AB DE =，所以OF DE =， ∴四边形DEFO 为平行四边形，∴//EF DO ， ∴EF ⊥平面ABC.（2）解：∵DO ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，∴以O 为原点，OA 为x 轴，过点O 与CB 平行的直线为y 轴，OD 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()1,0,0A ，()1,0,0C -，()1,4,0B -，∵EF ⊥平面ABC ，∴直线BE 与平面ABC 所成角为60EBF ∠=︒， ∴tan 6023DO EF BF ==︒=∴(0,0,23D ，(1,2,23E -，取平面ABC 的法向量()0,0,1m =u r， 设平面DCE 的法向量(),,n x y z =r，(1,0,23CD =u u u r ，(0,2,23CE =u u u r，则30230n CD x z n CE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩u u u v v u u u v v ，取1z =，得()23,3,1n =-r ， ∴()()22223314n =+-+=r ，1m =u r ，1m n =u r r g∴11cos ,144m n m n m n ⋅===⨯⋅u r ru r r u r r ，∴平面DCE 与平面ABC 所成的角（锐角）的余弦值为14.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算能力和推理论证能力，属于中档题．19．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为22，左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线与C 交于M ，N 两点，1MF N V 的周长为2（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过M 作与y 轴垂直的直线l ，点3,02K ⎛⎫⎪⎝⎭，试问直线NK 与直线l 交点的横坐标是否为定值？请说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2）为定值2，理由见解析【解析】（1）由离心率和过焦点的三角形的周长及a ，b ，c 之间的关系求出a ，b 的值，进而求出椭圆的方程；（2）由（1）可得直线MN 的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，求出NK 的方程令1y y =，求出x 的表达式，将两根之和及两根之积代入可得为定值2， 【详解】解：（1）三角形1MF N 的周长442a =，22ca =，222b a c =-，可得：22a =，21b =， 所以椭圆的方程为：2212x y +=；（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，由（1）得()21,0F ，设直线MN 的直线为：1x my =+，联立直线与椭圆的方程：22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：()222210m y my ++-=， ∴12222my y m -+=+，12212y y m =-+， 直线NK 的方程：223322y y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-，令1y y =，可得： ()12122122222222223131223222222222m m m y x y my y y y y y m m m x y y y y ⎛⎫⎛⎫----+-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+++=+====所以直线NK 与直线l 交点的横坐标为定值2. 【点睛】本题考查求椭圆的性质和直线与椭圆的综合应用，及直线过定点的求法，属于中档题． 20．若方程()f x x =有实数根0x ，则称0x 为函数()f x 的一个不动点.已知函数()()ln 1ln x x f x e a x a x -=++-（a R ∈）.（1）若a e =-，求证：()f x 有唯一不动点； （2）若()f x 有两个不动点，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）a e <-【解析】（1）依题意，令()ln xe F x ex e x x=-+（0x >），利用导数可知()F x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，且1x =时，()F x 取的最小值0，由此即可得出结论；（2）先证明()20xe x x >>，则()f x 有两个不动点等价于函数()ln ln x xe g x a x x-=+-在()0,∞+上有两个不同的零点，求出()g x 的导数，得到其单调性，得到函数的最小值()()min 1g x g e a ==+，即可得到a 的取值范围，再证明a e <-时，()ln ln x xe g x a x x-=+-有两个零点；【详解】解：（1）证明：当a e =-时，由()f x x =得ln 0x eex e x x-+=，令()ln xe F x ex e x x=-+（0x >）， 则()()()1221x x x e x e x xe e e F x e x x x ----'=-+=，易知1x e x -≥在()0,∞+上恒成立，故当()0,1x ∈时，()0F x '<，()F x 在()0,1上单调递减， 当()1,x ∈+∞时，()0F x '>，()F x 在()1,+∞上单调递增， ∴()()min 1ln10F x F e e e ==-+=，∴方程ln 0xe ex e x x-+=有唯一实数根01x =，故()f x 有唯一不动点；（2）先证明()20xe xx >>，令()()20x x e x x ϕ=->，则()2x x e x ϕ'=-，()2x x e ϕ''=-，当()0,ln 2x ∈时，()0x ϕ''<，当()ln 2,+∞时，()0x ϕ''>，从而()()ln 20x ϕϕ''≥>，因此()2x x e x ϕ=-在()0,∞+上单调递增，故()()00ϕϕ>=x ，所以()20x e x x >>，即()2ln 0x x x >>，()f x 有两个不动点等价于函数()ln ln x xe g x a x x -=+-在()0,∞+上有两个不同的零点，()()()()ln 2ln 11ln x x e x x x g x x x x ----'=-易知ln ln 0x x x e e x ->=>，1ln 0x x -->，当()0,1x ∈时，()0g x '<，当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，所以有()()min 1g x g e a ==+，所以0e a +<，即a e <-，下面说明a e <-时，()ln ln x x e g x a x x-=+-有两个零点，取()10,1ax e =∈有111ln ln x x x a ->-=-，故()11ln 11111ln 0ln x x e g x a x x a x x -=+>-+>-，取()21,a x e -=∈+∞，且222ln ln x x x a ->=-，故()22ln 22222ln 0ln x x e g x a x x a x x -=+>-+>-，又()10g e a =+<，由零点存在性定理知()f x 在()0,1存在唯一3x ，使得()30g x =，在()1,+∞内存在4x 使()40g x =，综上有a e <-. 【点睛】本题以新定义为载体，旨在考查函数与方程以及函数与导数的综合运用，考查转化思想及运算求解能力，属于中档题．21．“工资条里显红利，个税新政人民心”我国自1980年以来，力度最大的一次个人所得税（简称个税）改革迎来了全面实施的阶段.2019年1月1日实施的个税新政主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）=收人-个税起征点-专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括住房、子女教育和赡养老人等.新旧个税政策下每月应纳税所得额（含税）计算方法及其对应的税率表如下：随机抽取某市2020名同一收入层级的IT 从业者的相关资料，经统计分析，预估他们2019年的人均月收入24000元，统计资料还表明，他们均符合住房专项扣除；同时，他们每人至多只有一个符合子女教育扣除的孩子，并且他们中既不符合子女教育扣除又不符合赡养老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除、只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除、既符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人数之比是1:1:1:2；此外，他们均不符合其他专项附加扣除，新个税政策下该市的专项附加扣除标准为：住房1000元/月，子女教育每孩1000元/月，赡养老人2000元/月等.假设该市该收入层级的IT从业者都独自享受专项附加扣除，将预估的该市该收入层级的IT从业者的人均月收入视为其个人月收入，根据样本估计总体的思想，解决如下问题：（1）求在旧政策下该收入层级的IT从业者每月应纳的个税；（2）设该市该收入层级的IT从业者2019年月缴个税为X元，求X的分布列和期望；（3）根据新旧个税方案，估计从2019年1月开始，经过多少个月，该市该收入层级的IT从业者各月少缴纳的个税之和就超过2019年的人均月收入？【答案】（1）4120；（2）分布列见解析，1830；（3）11个月【解析】（1）由题意能求出旧政策下该收入层级的IT从业者每月应纳的个税.（2）分别求出依据新政策，既不符合子妇教育扣除下不符合赡养老人扣除的人群月缴个税、只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除的人群月缴个税、只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除的人群月缴个税、既符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的E X.人群月缴个税，由此能求出X的分布列和()（3）在新政策下该收入层的IT从业者2019年月缴个税为1830，该收入层级IT从业者每个月少缴交的个税为2290，列方程能求出经过11个月，该收入层级的IT从业者少缴交的个税总和就超过2019年的月收入.【详解】解：（1）旧政策下该收入层级的IT从业者每月应纳的个税为：⨯+⨯+⨯+⨯=.15000.0330000.145000.2115000.254120（2）依据新政策，既不符合子妇教育扣除下不符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为：240005000100018000--=，X=⨯+⨯+⨯=，月缴个税30000.0390000.160000.22190只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除的人群每月应缴纳税所得额为：---=，2400050001000100017000X=⨯+⨯+⨯=，月缴个税30000.0390000.140000.21990只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除的人群每月应纳税所得额为：---=，2400050001000200016000月缴个税30000.0390000.140000.21790X =⨯+⨯+⨯=，既符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为：24000500010001000200015000----=，月缴个税30000.0390000.140000.21590X =⨯+⨯+⨯=，∴X 的分布列为： X 2190 1990 17901590 P15 15 15 25∴()1112219019901790159018305555E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. （3）∵在新政策下该收入层的IT 从业者2019年月缴个税为1830，∴该收入层级IT 从业者每个月少缴交的个税为412018302290-=，设经过x 个月，该收入层级的IT 从业者少缴交的个税的总和就超过24000， 则229024000x >，∵x N ∈，∴11x ≥，∴经过11个月，该收入层级的IT 从业者少缴交的个税总和就超过2019年的月收入.【点睛】本题考查每月缴个税的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．22．心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状象心形而得名.在极坐标系Ox 中，方程(1sin )(0)a a ρθ=->表示的曲线1C 就是一条心形线，如图，以极轴x O 所在直线为x 轴，极点O 为坐标原点的直角坐标系xOy 中，已知曲线2C 的参数方程为313x t y t ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩(t 为参数）.（1）求曲线2C 的极坐标方程；（2）若曲线1C 与2C 相交于A 、O 、B 三点，求线段AB 的长.【答案】（1）()3θρπ=∈R （2）||2AB a = 【解析】（1）先通过消参将其转化为普通方程，再利用公式求得其极坐标方程； （2）设出,A B 的极坐标系下的极坐标，即可容易求得结果.【详解】（1）由1x y t ⎧=⎪⎨⎪=⎩，（t 为参数），消参数t0y -=， 令cos x ρθ=sin y ρθ=cos sin 0θρθ-=化简得tan θ=，即3πθ=即得曲线2C 的极坐标方程为()3θρπ=∈R . （2）由已知，不妨设,3A A ρπ⎛⎫ ⎪⎝⎭，4,3B B πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，于是1sin 132A a a πρ⎛⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭⎝⎭，41sin 132B a a πρ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故||2AB a =.【点睛】 本题考查极坐标方程和直角方程之间的转化，以及利用极坐标求弦长，属综合基础题. 23．已知函数()f x =R .（1）求实数m 的取值范围；（2）设t 为m 的最大值，实数,,a b c 满足222a b c t ++=，试证明2221111111a b c ++≥+++. 【答案】（1）6m ≤（2）证明见解析【解析】（1）根据定义域结合绝对值三角不等式，即可容易求得结果；（2）由（1）中所求，结合均值不等式即可容易求得结果.【详解】（1）由题意知，|6|||x x m -+≥恒成立，又|6||||(6)|6x x x x -+≥--=，所以实数m 的取值范围是6m ≤.（2）由（1）可知，2226a b c ++=，所以2221119a b c +++++= 从而()()()22222222211111111111119111a b c a b c a b c ⎛⎫⎡⎤++=+++++++ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭222222222222111111113(36)191111119b ac a c b a b a c b c ⎛⎫++++++=++++++≥+= ⎪++++++⎝⎭， 当且仅当2221113a b c +=+=+=，即2222a b c ===时等号成立，证毕.【点睛】本题考查利用绝对值不等式求最值，以及利用均值不等式求最值，属综合基础题.。