高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.3三个正数的算术-几何平均不等式课件新人教A版选修4-5
高中数学 第1讲 不等式和绝对值不等式 1.3 三个正数的
3．对于 n 个正数的算术平均 a1，a2，…，an，它们的算术
平
均
__不__小__于____
3 三个正数的算术—几何平均不等式
1.探索并了解三个正数的算术—几何平均不等式的证明过 程．
2.会用平均不等式求一些特定函数的最大(小)值． 3.会用平均不等式解决实际中的应用问题.
1.利用平均不等式比较代数式的大小及证明简单不等式是 常考内容．(难点)
2.利用平均不等式求函数的最值以及实际问题中的最值问 题，多以小题的形式进行考查．(重点、难点)
1．设 a，b，c 为正实数，求证：a13＋b13＋c13＋abc≥2 3. [思路点拨] 先观察式子的结构，再用平均不等式来证明 式子成立．
解析： 因为 a，b，c 为正实数，由平均不等式可得
a13＋b13＋c13≥3 3 a13·b13·c13， 即a13＋b13＋c13≥a3bc(当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立)． 所以a13＋b13＋c13＋abc≥a3bc＋abc.
(2)∵a，b，c∈R＋， ∴(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥33 a＋bb＋cc＋a>0， a＋1 b＋b＋1 c＋a＋1 c≥3 3 a＋1 b·b＋1 c·a＋1 c>0， ∴(a＋b＋c)a＋1 b＋b＋1 c＋a＋1 c≥92. 当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立．
x＋1x≤－2， 当且仅当－x＝－1x即 x＝－1 时等号成立，C 正确．
D．∵x>0，∴1x>0，∴x＋1x≥2 x·1x＝2， 当且仅当 x＝1x即 x＝1 时等号成立，D 正确． 答案： A
2020学年高中数学第1讲不等式和绝对值不等式1不等式3.三个正数的算术几何平均不等式课件新人教A版选修4_5
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[证明] (1)因为 a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，又 abc ＝1，
故有 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca ＝ab＋abbcc＋ca ＝1a＋1b＋1c. 所以1a＋1b＋1c≤a2＋b2＋c2.
15
(2)因为 a，b，c 为正数且 abc＝1，故有 (a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥33 a＋b3b＋c3a＋c3 ＝3(a＋b)(b＋c)(a＋c) ≥3×(2 ab)×(2 bc)×(2 ac) ＝24， 所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.
22
[解] 设圆柱形桶的底面半径为 r 米，高为 h 米，则底面积为 πr2 平方米，侧面积为 2πrh 平方米．
设用料成本为 y 元，则 y＝30πr2＋40πrh. ∵桶的容积为π2， ∴πr2h＝π2， ∴rh＝21r.
16
用平均不等式求解实际问题
【例 2】如图所示，在一张半径是 2 米的圆桌的正
中央上空挂一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子
边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不
亮的．由物理学知识，桌子边缘一点处的照亮度 E 和
电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角 θ 的正弦成正
比，而和这一点到光源的距离 r 的平方成反比，即 E＝
5
已知 a，b，c 为正数，则ab＋bc＋ac有( )
A．最小值为 3
B．最大值为 3
C．最小值为 2
D．最大值为 2
A [ab＋bc＋ac≥3 3 ab×bc×ac＝3， 当且仅当ab＝bc＝ac，即 a＝b＝c 时，取等号．]
6
教材整理 2 基本不等式的推广 阅读教材 P9～P9“例 5”以上部分，完成下列问题． 对于 n 个正数 a1，a2，…，an，它们的算术平均 不小于 它们 的几何平均，即a1＋a2＋n …＋an ≥ n a1a2…an，当且仅当 a1＝a2＝… ＝an 时，等号成立．
高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一第3课时三个正数的算术—几何平均不等式
当且仅当12(x－1)＝12(x－1)＝x－412，
即x＝12/132/时2021等号成立(chénglì).即ymin＝4.
第十页，共三十三页。
解答
反思(fǎn sī)与感悟 (1)利用三个正数的算术—几何平均不等式定理求最值，可简记为 “积定和最小，和定积最大”.
(2)应用平均不等式定理，要注意三个条件“一正，二定，三相等”同时具备时，方可 取得最值，其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧， 如：配系数、拆项、分离常数、平方变形等.
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第六页，共三十三页。
(3)重要变形(biàn xíng)及结论
①abc≤a＋3b＋c3；②a3＋b3＋c3≥3abc；
③a1＋1b3＋1c≤3 abc≤ a＋3b＋c≤
a2＋b2＋c2 3.
上式中 a，b，c 均为正数，等号成立的条件均为 a＝b＝c.
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第七页，共三十三页。
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跟踪训练 1 求函数 y＝(1－3x)2·x0＜x＜13的最大值.
解
y
＝
(1
－
3x)2·x
＝
1 6
·(1
－
3x)·(1
－
3x)·6x≤
1 6
1－3x＋1－3x＋6x
3
3
＝
841，
当且仅当 1－3x＝1－3x＝6x，即 x＝19时，ymax＝841.
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跟踪训练(xùnliàn)3 已知球的半径为R，球内接圆柱的底面半径为r，高为h，则r 和h为何值时，内接圆柱的体积最大？
高中数学 1.1.3三个正数的算术—几何平均不等式课件 新人教A版选修45
1.1.3 三个正数的算术—几何平均不等式
栏 目 链 接
1．会用三项的平均值不等式证明一些简单问题．
2．能够利用三项的平均值不等式求一些特定函数的 最值，从而学会解决简单的应用问题．
栏 目 链 接
1．三个正数的算术—几何平均不等式．
(1)如果 a1，a2，a3∈R＋，则a1＋a32＋a3叫做这 3 个正数的算
___几__何___平均数．
思考 2 若 x＞0，则x3＋x3＋x3＋2x73 ___≥___4.
栏 目 链 接
题型一 利用定理3证明不等式
例 1 设 a，b，c∈R＋，求证：(a＋b＋c)(1a＋1b＋1c)≥9.
分析：观察式子的结构，通过变形转化来证明．
证明：：∵a，b，c∈R＋，
∴a＋b＋c≥33 abc，1a＋1b＋1c≥33 abc －1，两不等式相乘，
有：(a＋b＋c)(1a＋1b＋1c)≥33 abc×33 abc －1＝9. ∴(a＋b＋c)(1a＋1b＋1c)≥9. 当且仅当 a＝b＝c＝0 时，等号成立．
点评：不等式的证明方法比较多．关键是从式子的 结构入手进行分析．多联想定理3的形式以便用好它．
变式 训练
1．已知 a，b，c∈R＋，a＋b＋c＝1，求证：1a＋1b＋1c≥9. 证明：∵a，b，c∈R＋，a＋b＋c≥33 abc.又 a＋b＋c＝1，∴3 abc
解析：y2＝14sin4θcos2θ＝18×2sin2θ sin2θ cos2θ
≤81sin2θ＋sin32θ＋2 cos2θ3＝217. 当且仅当 sin2 θ＝2cos2θ＝2－2sin2θ.
即
sin
Hale Waihona Puke θ＝36时取等号，此时
2019秋高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.1.3三个正数的算术—几何平均不等式课件新人教A版选修4_5
所以x4(1－x2)＝12x2·x2(2－2x2)≤
12x2＋x2＋3 2－2x23＝247，
当且仅当x2＝x2＝2－2x2，即x＝
6 3
时，函数y＝x4(1
－x2)取得最大值247.
答案：247
6 3
类型1 利用平均不等式求最值(自主研析) [典例❶] 求函数y＝(1－3x)2·x0＜x＜13的最大值．
1 2
(x－1)＝12(x－1)＝（x－4 1）2，即x＝3时，等号成立．
所以ymin＝4.
类型2 利用平均不等式证明不等式
[典例2]
设a，b，c为正实数，求证：
1 a3
＋
1 b3
＋
1 c3
＋
abc≥2 3.
解：因为a，b，c为正实数，
由三个正数的算术—几何平均不等式可得：
a13＋b13＋c13≥3 3 a13·b13·c13，即a13＋b13＋c13≥a3bc，
第一讲 不等式和绝对值不等式
1.1 不等式 1．1.3 三个正数的算术—
几何平均不等式
[学习目标] 1.探索并了解三个正数的算术—几何平 均不等式的证明过程，会用三项的平均值不等式证明一 些简单问题(难点)． 2.能够利用三项的平均值不等式求 一些特定函数的最值(重点)． 3.会建立函数不等式模 型，会解决简单的应用问题(重点)．
[变式训练] 已知x>0，y>0，求证：(1＋x＋y2)(1＋x2 ＋y)≥9xy.
3
证明：因为x>0，y>0，所以1＋x＋y2≥3 xy2 >0，1＋
3
3
3
x2＋y≥3 xy2>0，故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥3 xy2·3 x2y＝
高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.1 不等式 1.
1.1.3 三个正数的算术—几何平均不等式自主广场我夯基我达标 1.若x>0，则4x+29x的最小值是（ ） A.9 B.3363 C.13 D.不存在 思路解析：因为x>0,所以4x+29x =2x+2x+29x ≥3363，当且仅当2x=29x,即x=33621时等号成立.答案：B2.若实数x,y 满足xy>0，且x 2y=2,则xy+x 2的最小值是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 思路解析：xy+x 2=212xy+21xy+x 2≥332232443)(41321213==∙∙y x x xy xy =1.答案：A3.已知a,b∈R +，则(b a +c b +a c )(a b +b c +ca)≥____________. 思路解析：(b a +c b +a c )(a b +b c +ca)=3+ab c ca b bc a c ab b ac a bc 222222+++++≥3+62222226ab cca b bc a cab b ac a bc ∙∙∙∙∙=9. 答案：94.设a,b,c∈R +，求证：ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)≥6abc.证明：左边=(a 2b+b 2c+c 2a)+(ab 2+bc 2+ca 2) ≥3333333333c b a c b a +=6abc.∴a、b 、c∈R +,∴原式成立.5.如果a,b∈R +，且a≠b,求证：a 3+b 3>a 2b+ab 2. 证明：∵a、b∈R +,且a≠b, 则a 3+b 3=31［(a 3+a 3+b 3)+(a 3+b 3+b 3)］ >31(3333333333c b a c b a +） =a 2b+ab 2. ∴a 3+b 3>a 2b+ab 2.6.求函数y=4sin 2x-cosx 的最值.解：∵y 2=16sin 2xsin 2x·cos 2x,=8(sin 2x·sin 2x·2cos 2x)≤8(3cos 2sin sin 222x x x ++)3=8×2764278=. ∴y 2≤2764,当且仅当sin 2x=2cos 2x,即tanx=±22时取“=”号.∴y 大=398,y 小=398-。
高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.1 不等式 1.
1.1.3 三个正数的算术—几何平均不等式自我小测1．设a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，若111111M a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝－－－，则必有( )．A ．0≤M ＜18 B ．18≤M ＜1 C ．1≤M ＜8 D ．M ≥82．已知x ＋2y ＋3z ＝6，则2x＋4y＋8z的最小值为( )．A ．B ．C ．12D ．3．设π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则函数y ＝4sin 2x ·cos x 的最大值为________．4．设x ＞0，则22x x＋≥__________.5．已知0＜x ＜4.5，则x 2(9－2x )的最大值是__________．6．已知圆柱的体积V 是定值，问圆柱的底半径r 和高h 各是多少时，圆柱的全面积S 最小？并求S 的最小值．7．若a ＞b ＞0，求1a b a b ()＋－的最小值．8．甲、乙两人同时沿同一路线从A 地出发走向B 地，甲先用13的时间以速度p 行走，再用13的时间以速度q 行走，最后用13的时间以速度r 行走；乙在前13的路程用速度p 行走，中间13的路程用速度q 行走，最后13的路程用速度r 行走(p ，q ，r 均不相等)，问甲、乙两人谁先到达B 地，为什么？9.已知a ，b ，c 均为正数，证明2222111a b c a b c ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭＋＋＋＋＋a ，b ，c为何值时，等号成立．参考答案1. 答案：D 解析：111a b c a b c a b c M a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＋＋＋＋＋＋＝－－－8b c a c a b abc ()()()≥＋＋＋＝，当且仅当13a b c ＝＝＝时等号成立． 2. 答案：C解析：∵2x＞0,4y＞0,8z＞0，∴2x ＋4y ＋8z ＝2x ＋22y ＋23z≥12.当且仅当2x ＝22y ＝23z，即x ＝2，y ＝1，23z ＝时，等号成立．3. 解析：∵y 2＝16sin 2x ·sin 2x ·cos 2x ＝8(sin 2x ·sin 2x ·2cos 2x )≤3222sin sin 2cos 8648832727x x x ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭＋＋＝＝， ∴26427y ≤，当且仅当sin 2x ＝2cos 2x ，即tan x max y 4. 答案：3解析：∵x ＞0，∴222113x x xx x≥＋＝＋＋. 当且仅当21x x＝，即x ＝1时等号成立．∴223x x≥＋. 5. 答案：27解析：由题可知x 2(9－2x )＝x ·x ·(9－2x )． 因为0＜x ＜4.5，所以9－2x ＞0.所以923x x x ()≥＋＋－3≤，即x 2(9－2x )≤27.当且仅当x ＝9－2x ，即x ＝3时，等号成立． 因此，当x ＝3时，x 2(9－2x )有最大值是27. 6. 解：πr 2h ＝V ，S ＝2πr 2＋2πrh2112π2π22r rh rh ⎛⎫≥⋅ ⎪⎝⎭＝＋＋6π＝当且仅当212r rh ＝，即h ＝2r 时，等号成立．即r h ＝min S ＝.7. 解：∵11()a a b b b a b b a b ()()＋＝－＋＋－－3≥，当且仅当a ＝2，b ＝1时，等号成立，∴1a b a b ()＋－的最小值为3.8. 解：设A ，B 两地间的距离为s (s ＞0)，甲从A 到B 所用的时间为t 1，乙从A 到B 所用的时间为t 2，由题意得111333t t t s p q r ⨯⨯⨯＝＋＋， ∴13s t p q r ＝＋＋，233s st p q ÷÷＝＋111()33s s r p q r ÷＋＝＋＋．∴213st t p q r≥≥＝＋＋．∵p ，q ，r 均不相等，∴等号不成立． ∴t 1＜t 2，甲先到B 地．9. 证法一：因为a ，b ，c 均为正数，由均值不等式得a 2＋b 2＋c 2≥3(abc )23，① 231113()abc a b c≥＋＋， 所以2231119()abc a b c -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭＋＋.②故2222111a b c a b c ⎛⎫⎪⎝⎭＋＋＋＋＋22333()9()abc abc ≥－＋.又22333()9()abc abc ≥－＋所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立．当且仅当22333()9()abc abc －＋时，③式等号成立．故当且仅当143a b c ＝＝＝时，原不等式等号成立． 证法二：因为a ，b ，c 均为正数，由基本不等式得a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac. 所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac.① 同理，222111111a b c ab bc ac≥＋＋＋＋.② 故2222111a b c a b c ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋＋＋＋＋≥ab ＋bc ＋ac ＋333ab bc ac≥＋＋③ 所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立，当且仅当a ＝b ＝c ，(ab )2＝(bc )2＝(ac )2＝3时，③式等号成立．故当且仅当143a b c ＝＝＝时，原不等式等号成立．。
选修4-5_三个正数的算术--几何平均不等式_课件(14张)
仍然类比基本不等式的推出过程，我们先证明：
如果a,b, c R+,那么a3 b3 c3 3abc，
当且仅当ａ＝ｂ＝ｃ时，等号成立．
证明 ∵ a3 b3 c3 3abc (a b)3 c3 3a3b 3ab2 3abc
(a b c) (a b)2 (a b)c c2 3ab(a b c) (a b c)(a2 b2 c2 ab bc ca)
选修4－5
不等式选讲
第一讲 不等式与绝对值不等式
一 不等式
3.三个正数的算术-几何平均不等式
复习
1.重要不等式 a2 b2 2ab
2.基本不等式
a b ab 2
①代数意义：两个正数的算术平均不小于它们的几何平均.
②几何意义：直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高.
③一正,二定,三相等,四同时. ④积定和最小,和定积最大.
思考
基本不等式给出了两个正数的算术平均与几何平
均的关系.这个不等式能否推广呢？例如，对于3个 正数，会有怎样的不等式成立呢？
类比基本不等式的形式，我们猜想，对于3个正 数a,b,c,可能有：
若a, b, c
R , 那么 a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱb 3
c
3
abc ,
当且仅当a b c时，等号成立。
如何证明这个猜想呢？
当且仅当a b c时，等号成立。
语言表述：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均.
变形： a b c 33 abc
abc ( a b c )3 3
推广 （n个正数的算术-几何平均不等式）
2018-2019学年高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 一 不等式 3 三个正数的算术-几何平均不等式课件
因构造定值时拆分不合理致误
[典例] 当 x>0 时，求 y＝x2＋3x的最小值． [解析] ∵x>0，
∴y＝x2＋3x＝x2＋23x＋23x≥3 3 x2·23x·23x＝3 3 94. 当且仅当 x2＝23x，
3 即 x＝
32时，ymin＝3 3
Hale Waihona Puke 9 4.[规律探究] 应用均值不等式求最值时，往往需要通过拆分构造定值条件，这时 若需把其中一项拆分成两项时，需平均拆分，只有确定拆分的两项相等，才有可 能使最后的等号成立，最值才能取到.
3 三个正数的算术-几何平均不等式
考纲定位
重难突破
重点：1.了解三个正数的算术－几何
1.理解定理3、定理4，会用两个定理
平均不等式．
解决函数的最值或值域问题．
2.会用平均不等式求一些特定
2.能运用三个正数的算术－几何平均
函数的最大(小)值．
不等式解决简单的实际问题.
难点：会用不等式解决实际中的应用
二、基本不等式的推广
对于 n 个正数 a1，a2，…，an，它们的算术平均 不小于 它们的几何平均，即
a1＋a2＋…＋an ≥ n
n a1a2…an，当且仅当a1＝a2＝…＝an 时，等号成立．
[双基自测]
1．已知 a，b，c 为正数，则ab＋bc＋ac有( )
A．最小值 3
B．最大值 3
C．最小值 2
[解析] ∵r＝co2s θ，
∴E＝k·sin
θcos2 4
θ(0<θ<π2)，
①
∴E2＝1k62 ·sin2
θ·cos4
θ＝3k22 ·(2sin2
θ)·cos2
θ·cos2
高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一不等式3三个正数的算术几何平均不等式课件
≥3
3
1 1 1 3 · · ×3 （a－b）（b－c）（c－d）＝9， a－b b－c c－d
1 1 1 9 即 ＋ ＋ ≥ ，当且仅当 a－b＝b－c＝c－d 时， a－b b－c c－d a－d 等号成立．
a＋b＋c 3 abc≤ ，当且仅当 3
3
a＝b＝c 时取等号．
3．用定理 3 求最值时的关注点 一“正”：项或因式为正． 二“定”：项(因式)的和或积为定值． 三“相等”：各项相等或各因式相等时等号成立．
1．正实数 x，y，z 满足 xyz＝2，则( A．x＋y＋z 的最大值是 3 2 B．x＋y＋z 的最大值是 3 2 C．x＋y＋z 的最小值是 3 2 D．x＋y＋z 的最小值是 3 2
证明不等式的方法 (1)首先观察所要证的式子的结构特点及题目所给条件， 看是否 满足“一正、二定、三相等”的条件．若满足即可利用平均不 等式证明． (2)若题目不满足该条件， 则可灵活利用已知条件构造出能利用 三个正数的平均不等式的式子．
1.已知 x＞0，y＞0，证明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋ y)≥9xy.
1 1 2 仅当 x＝1－2x， 即 x＝ 时等号成立． 故 x (1－2x)的最大值为 . 3 27 1 答案： 27
4 4．当 x>0 时，(1)求 y＝x＋ 2的最小值． x 27 (2)求 y＝x＋ 3 的最小值． x
4 x x 4 解：(1)因为 x>0，所以 y＝x＋ 2＝ ＋ ＋ 2 x 2 2 x ≥3
的应用是一样的． (3)将不等式 a3＋b3＋c3≥3abc 中的 a，b，c 分别以 a， b， c a＋b＋c 3 代替就可得到 ≥ abc. 3
近年-高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.1不等式1.1.3三个正数的算术—几何平均不等式高效演
2018-2019年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.1 不等式1.1.3 三个正数的算术—几何平均不等式高效演练新人教A版选修4-5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.1 不等式1.1.3 三个正数的算术—几何平均不等式高效演练新人教A版选修4-5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018-2019年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.1 不等式1.1.3 三个正数的算术—几何平均不等式高效演练新人教A版选修4-5的全部内容。
1.1。
3 三个正数的算术—几何平均不等式［A级基础巩固]一、选择题1．正实数x，y，z满足xyz＝2，则( )A．x＋y＋z的最大值是32B．x＋y＋z的最大值是3错误!C．x＋y＋z的最小值是32D．x＋y＋z的最小值是33 2解析：由三个正数的算术—几何平均不等式，得x＋y＋z≥33，xyz＝3错误!，当且仅当x＝y＝z＝错误!时,x＋y＋z取得最小值3错误!.答案：D2．已知x∈R＋，有不等式:x＋错误!≥2错误!＝2，x＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!≥3错误!＝3，….启发我们可能推广结论为:x＋ax n≥n＋1(n∈N＊)，则a的值为( ）A．n n B．2nC．n2D．2n＋1解析:x＋错误!＝错误!＋错误!＋…＋错误!，\s\up6(，n个））＋错误!,要使和式的积为定值,则必须n n＝a.答案：A3．若a＞b＞0，则a＋错误!的最小值为（)A．0 B．1C．2 D．3解析：因为a＋错误!＝(a－b）＋b＋错误!≥3错误!＝3，当且仅当a＝2,b＝1时取等号，所以a＋错误!的最小值为3.答案：D4．设x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝6，则lg x＋lg y＋lg z的取值范围是( ）A．(－∞，lg 6] B．(－∞，3lg 2］C．［lg 6，＋∞) D．[3lg 2，＋∞)解析：因为lg x＋lg y＋lg z＝lg（xyz），而xyz≤错误!错误!＝23，所以lg x＋lg y＋lg z≤lg 23＝3lg 2，当且仅当x＝y＝z＝2时，取等号．答案：B5．已知x＋2y＋3z＝6，则2x＋4y＋8z的最小值为( ）A．336 B．22C．12 D．12错误!解析:2x＋4y＋8z＝2x＋22y＋23z≥3错误!＝12.当且仅当x＝2y＝3z＝2时等号成立．答案：C二、填空题6．将实数1分为三个正数之和，则这三个正数之积的最大值是________．解析：设这三个正数分别是a，b，c，则a＋b＋c＝1，所以abc≤错误!错误!＝错误!，当且仅当a＝b＝c＝错误!时，abc取得最大值错误!。
高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一3.三个正数的算术—几何平均不等式教案(含解析)新人教A版选修4_5
3．三个正数的算术—几何平均不等式1．定理3如果a ，b ，c ∈R ＋，那么a ＋b ＋c3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立，用文字语言可叙述为：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均．(1)不等式a ＋b ＋c3≥3abc 成立的条件是：a ，b ，c 均为正数，而等号成立的条件是：当且仅当a ＝b ＝c .(2)定理3可变形为：①abc ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c 33；②a 3＋b 3＋c 3≥3abc .(3)三个及三个以上正数的算术－几何平均值不等式的应用条件与前面基本不等式的应用条件是一样的，即“一正，二定，三相等”．2．定理3的推广对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a nn≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．用平均不等式证明不等式[例1] ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2＋1c 2(a ＋b ＋c )2≥27. [思路点拨] 本题考查平均不等式的应用，解答本题需要先观察求证式子的结构，然后通过变形转化为用平均不等式证明的问题．[证明] ∵a ，b ，c ∈R ＋，∴a ＋b ＋c ≥33abc >0， 从而(a ＋b ＋c )2≥93a 2b 2c 2>0， 又1a 2＋1b 2＋1c 2≥331a 2b 2c2>0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a2＋1b2＋1c 2(a ＋b ＋c )2≥331a 2b 2c2·93a 2b 2c 2＝27.当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．证明不等式的方法与技巧(1)观察式子的结构特点，分析题目中的条件．若具备“一正，二定，三相等”的条件，可直接应用该定理．若题目中不具备该条件，要注意经过适当的恒等变形后再使用定理证明．(2)三个正数的算术—几何平均不等式是根据不等式的意义、性质和比较法证出的，因此凡是利用该不等式证明的不等式，一般可用比较法证明．1．设a ，b ，c ∈R ＋，求证(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c ≥9.证明：∵当a ，b ，c ∈R ＋时，a ＋b ＋c ≥33abc ， 1a ＋1b ＋1c ≥331abc.∴(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c ≥9，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．2．已知a 1，a 2，…，a n 都是正数，且a 1a 2…a n ＝1，求证： (2＋a 1)(2＋a 2)…(2＋a n )≥3n.证明：因为a 1是正数，根据三个正数的平均不等式，有2＋a 1＝1＋1＋a 1≥33a 1. 同理2＋a j ≥3 3a j (j ＝2,3，…，n )． 将上述各不等式的两边分别相乘即得 (2＋a 1)(2＋a 2)…(2＋a n ) ≥(33a 1)(33a 2)…(33a n ) ＝3n·3a 1a 2…a n .∵a 1a 2…a n ＝1，∴(2＋a 1)(2＋a 2)…(2＋a n )≥3n. 当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n ＝1时，等号成立.用平均不等式求最值[例2] (1)求函数y ＝(x －1)2(3－2x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1<x <32的最大值．(2)求函数y ＝x ＋4(x －1)2(x >1)的最小值．[思路点拨] (1)对于积的形式求最大值，应构造和为定值； (2)对于和的形式求最小值，应构造积为定值． [解] (1)∵1<x <32，∴3－2x >0，x －1>0.y ＝(x －1)2(3－2x )＝(x －1)(x －1)(3－2x )≤⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋x －1＋3－2x 33＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127， 当且仅当x －1＝x －1＝3－2x ，即x ＝43∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32时等号成立，即y max ＝127.(2)∵x ＞1，∴x －1>0，y ＝x ＋4(x －1)2＝12(x －1)＋12(x －1)＋4(x －1)2＋1 ≥3312(x －1)·12(x －1)·4(x －1)2＋1＝4，当且仅当12(x －1)＝12(x －1)＝4(x －1)2，即x ＝3时等号成立．即y min ＝4.(1)利用三个正数的算术－几何平均不等式定理求最值，可简记为“积定和最小，和定积最大”．(2)应用平均不等式定理，要注意三个条件：即“一正二定三相等”同时具备时，方可取得最值，其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如：配系数、拆项、分离常数、平方变形等．3．设x >0，则f (x )＝4－x －12x2的最大值为( ) A ．4－22B ．4－ 2C ．不存在D.52解析：选D ∵x >0，∴f (x )＝4－x －12x 2＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x 2＋12x 2≤4－33x 2·x 2·12x 2＝4－32＝52，当且仅当x 2＝x 2＝12x 2，即x ＝1时等号成立，故f (x )的最大值为52. 4．已知a >b >c ，求a －c －1b 2－ab ＋c (a －b )的最小值．解：由a >b >c ，得a －b >0，b －c >0， 则a －c －1b 2－ab ＋c (a －b )＝(a －b )＋(b －c )＋1(a －b )(b －c )≥33(a －b )·(b －c )·1(a －b )(b －c )＝3，当且仅当a －b ＝b －c ＝1(a －b )(b －c )时等号成立，所以当a －b ＝b －c ＝1(a －b )(b －c )时，a －c －1b 2－ab ＋c (a －b )取得最小值3.用平均不等式解应用题[例3] 一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学知道，桌子边缘一点处的照亮度E 和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r 的平方成反比，即E ＝k sin θr2. 这里k 是一个和灯光强度有关的常数，那么究竟应该怎样选择灯的高度h ，才能使桌子边缘处最亮？[思路点拨] 根据题设条件建立r 与θ的关系式→将它代入E ＝k sin θr2→得到以θ为自变量，E 为因变量的函数关系式 →用平均不等式求函数的最值→获得问题的解 [解] ∵r ＝2cos θ，∴E ＝k ·sin θcos 2θ4⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π2. ∴E2＝k 216·sin 2θ·cos 4θ＝k 232·(2sin 2θ)·cos 2θ·cos 2θ≤k 232·⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin 2θ＋cos 2θ＋cos 2θ33＝k 2108.当且仅当2sin 2θ＝cos 2θ时取等号， 即tan 2θ＝12，tan θ＝22.∴h ＝2tan θ＝2， 即h ＝2时，E 最大．本题获解的关键是在获得了E ＝k ·sin θcos 2θ4后，对E 的表达式进行变形求得E 的最大值．解应用题时必须先读懂题意，建立适当的函数关系式，若把问题转化为求函数的最值问题，常配凑成可以用平均不等式的形式，若符合条件“一正、二定、三相等”即可求解．5．已知圆锥的底面半径为R ，高为H ，求圆锥的内接圆柱体的高h 为何值时，圆柱的体积最大？并求出这个最大的体积．解：设圆柱体的底面半径为r ，如图，由相似三角形的性质可得H －h H ＝rR， ∴r ＝RH(H －h )．∴V 圆柱＝πr 2h ＝πR 2H2(H －h )2h (0<h <H )．根据平均不等式可得V 圆柱＝4πR 2H 2·H －h 2·H －h 2·h ≤4πR 2H 2⎝ ⎛⎭⎪⎫H 33＝427πR 2H .当且仅当H －h 2＝h ， 即h ＝13H 时，()V 圆柱max ＝427πR 2H .1．设x >0，则y ＝x ＋4x2的最小值为( )A ．2B ．2 2C ．3 2D ．3解析：选D y ＝x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3·3x 2·x 2·4x 2＝3，当且仅当x 2＝4x2，即x ＝2时取“＝”号．2．设x ，y ，z ∈R ＋且x ＋y ＋z ＝6，则lg x ＋lg y ＋lg z 的取值范围是( ) A ．(－∞，lg 6] B ．(－∞，3lg 2] C ．[lg 6，＋∞)D ．[3lg 2，＋∞)解析：选B ∵lg x ＋lg y ＋lg z ＝lg(xyz )， 而xyz ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y ＋z 33，∴lg(xyz )≤lg 8＝3lg 2， 当且仅当x ＝y ＝z ＝2时，等号成立．3．若实数x ，y 满足xy >0，且x 2y ＝2，则xy ＋x 2的最小值是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C xy ＋x 2＝12xy ＋12xy ＋x 2≥3 312xy ·12xy ·x 2＝3 314(x 2y )2＝3，当且仅当12xy ＝x 2，x 2y ＝2，即x ＝1，y ＝2时取“＝”号． 故xy ＋x 2的最小值为3. 4．已知a ，b ，c ∈R ＋，x ＝a ＋b ＋c3，y ＝3abc ，z ＝a 2＋b 2＋c 23，则x ，y ，z 的大小关系是( )A ．x ≤y ≤zB ．y ≤x ≤zC ．y ≤z ≤xD ．z ≤y ≤x解析：选B ∵a ，b ，c ∈R ＋，∴a ＋b ＋c3≥3abc ， ∴x ≥y ，又x 2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac9，z 2＝3a 2＋3b 2＋3c 29，∵a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ， 三式相加得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ， ∴3a 2＋3b 2＋3c 2≥(a ＋b ＋c )2， ∴z 2≥x 2，∴z ≥x ，即y ≤x ≤z .5．设0<x <1，则x (1－x )2的最大值为 ________. 解析：∵0<x <1，∴1－x >0. 故32x (1－x )(1－x ) ≤2x ＋(1－x )＋(1－x )3＝23.∴x (1－x )2≤427，当且仅当x ＝13时取等号．答案：4276．设x ，y ，z 均大于0，且x ＋3y ＋4z ＝6，则x 2y 3z 的最大值为________．解析：∵6＝x ＋3y ＋4z ＝x 2＋x 2＋y ＋y ＋y ＋4z ≥66x 2y 3z .∴x 2y 3z ≤1，当且仅当x2＝y ＝4z 时取“＝”号．∴x 2z 3z 的最大值为1. 答案：17．设三角形三边长为3,4,5，P 是三角形内的一点，则P 到该三角形三边距离乘积的最大值是________．解析：设P 到长度为3,4,5的三角形三边的距离分别是x ，y ，z ，三角形的面积为S . 则S ＝12(3x ＋4y ＋5z )，又∵32＋42＝52，∴这个直角三角形的面积S ＝12×3×4＝6.∴3x ＋4y ＋5z ＝2×6＝12.∴333x ·4y ·5z ≤3x ＋4y ＋5z ＝12.∴(xyz )max ＝1615.当且仅当x ＝43，y ＝1，z ＝45时等号成立．答案：16158．设a ，b ，c ∈R ＋，求证： (a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥92.证明：∵a ，b ，c ∈R ＋，∴2(a ＋b ＋c )＝(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )≥ 33(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )>0.1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥331a ＋b ·1b ＋c ·1a ＋c ＞0， ∴(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥92.当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．9．若θ为锐角，求y ＝sin θ·cos 2θ的最大值． 解：y 2＝sin 2θ·cos 2θ·cos 2θ ＝12·2sin 2θ(1－sin 2θ)·(1－sin 2θ) ≤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝427. 当且仅当2sin 2θ＝1－sin 2θ， 即sin θ＝33时取等号． 此时y max ＝239.10．已知某轮船速度为每小时10千米时，燃料费为每小时30元，其余费用(不随速度变化)为每小时480元，设轮船的燃料费用与其速度的立方成正比，问轮船航行的速度为每小时多少千米时，每千米航行费用总和最小．解：设船速为v 千米/小时，燃料费为A 元/小时．则依题意有A ＝k ·v 3，且有30＝k ·103，∴k ＝3100.∴A ＝3100v 3.设每千米的航行费用为R ，则需时间为1v小时，∴R ＝1v ⎝ ⎛⎭⎪⎫3100v 3＋480＝3100v 2＋480v ＝3100v 2＋240v ＋240v ≥333100v 2·240v ·240v ＝36.当且仅当3100v 2＝240v ，即v ＝20时取最小值．∴轮船航行速度为20千米/小时时，每千米航行费用总和最小．。
高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.1.3三个正数的算术几何平均不等式
探究四
三
正解:∵y=x(1-x2),
1
2
∴y2=x2(1-x2)2=2x2(1-x2)(1-x2)·.
∵2x2+(1-x2)+(1-x2)=2,
1 2x2 +1-x2 +1-x2
≤
2
3
2
∴y
3
=
4
.
27
3
3
2 3
2 3
∴y≤ 9 .∴y 的最大值为 9 .
当且仅当 2x2=1-x2,即 x= 时取等号成立.
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探究
(tànjiū)
一
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
探究
探究
(tànjiū)
(tànjiū)
二
探究四
三
1
a
【例 3】已知 0<a<1,求证 +
1
证明:∵a +
4
1-a
=
2
1
+
a
1-a
≥3
1
当且仅当a =
1
3
ICHU ZHISHI
用比较法证明,只是在具备条件时,直接应用该定理会更简便.若不直接具备
“一正二定三相等”的条件,要注意经过适当的恒等变形后再使用定理证明.
连续多次使用算术 几何平均不等式定理时要注意前后等号成立的条
件是否保持一致.
12/9/2021
第六页，共十九页。
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探究
(tànjiū)
3.三个正数(zhèngshù)的算术-几何平均不等
选修4-5_一3._三个正数的算术--几何平均不等式_课件(14张)
2. 当0 x 1时,求函数y x(1 x2 )的最大值.
3.设θ为锐角，求y=sin2θcosθ的最大值.
4.
已知
0<a<1,求证:
1 ������
+
14-������≥9.
小结
1.三个正数的算术-几何平均不等式
若a, bc
仍然类比基本不等式的推出过程，我们先证明：
如果a,b, c R+,那么a3 b3 c3 3abc，
当且仅当ａ＝ｂ＝ｃ时，等号成立．
证明 ∵ a3 b3 c3 3abc (a b)3 c3 3a3b 3ab2 3abc
(a b c) (a b)2 (a b)c c2 3ab(a b c) (a b c)(a2 b2 c2 ab bc ca)
1 2
(a
b
c)
(a
b)2
(b
c)2
(c
a)2
0,
∴ a3 b3 c3 3abc
当且仅当ａ＝ｂ＝ｃ时，等号成立．
对上述结果作简单的恒等变形，就可以得到
定理3 (三个正数的算术-几何平均不等式)
若a，b，c R+ , 那么 a b c 3 abc , 3
当且仅当a b c时，等号成立。
语言表述：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均.
变形： a b c 33 abc
abc ( a b c )3 3
推广 （n个正数的算术-几何平均不等式）
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图 1-1-2
1．本题的关键是在获得了 E＝k·sin θ4cos2θ后，对 E 的函数关系式进行变形 求得 E 的最大值．
2．解应用题时必须先读懂题意，建立适当的函数关系式，若把问题转化为 求函数的最值问题，常配凑成可以用平均不等式的形式，若符合条件“一正、 二定、三相等”即可直接求解．
[探究共研型] 利用平均不等式求最值 探究 1 利用不等式a＋3b＋cபைடு நூலகம்3 abc求最值的条件是什么？
教材整理 2 基本不等式的推广
阅读教材 P9～P9“例 5”以上部分，完成下列问题． 对于 n 个正数 a1，a2，…，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即
a1＋a2＋…＋an ≥ n
n a1a2…an，当且仅当 a1＝a2＝…＝an 时，等号成立．
教材整理 3 利用基本不等式求最值 阅读教材 P9～P9“习题 1.1”以上部分，完成下列问题． 若 a，b，c 均为正数，①如果 a＋b＋c 是定值 S，那么 a＝b＝c 时，积 abc 有 最大 值；②如果积 abc 是定值 P，那么当 a＝b＝c 时，和a＋b＋c有最小值．
【提示】 “一正、二定、三相等”，即(1)各项或各因式为正；(2)和或积 为定值；(3)各项或各因式能取到相等的值．
1．解答本题时，有的同学会做出如下拼凑： y＝x(1－x2)＝x(1－x)(1＋x)＝12·x(2－2x)·(1＋x)≤12x＋2－23x＋1＋x3＝12. 虽然其中的拼凑过程保证了三个数的和为定值，但忽略了取“＝”号的条 件，显然 x＝2－2x＝1＋x 无解，即无法取“＝”号，也就是说，这种拼凑法是 不正确的． 2．解决此类问题时，要注意多积累一些拼凑方法的题型及数学结构，同时 也要注意算术-几何平均不等式的使用条件，三个缺一不可．
1．已知 x＋2y＋3z＝6，则 2x＋4y＋8z 的最小值为( )
A．33 6
B．2 2
C．12
D．123 5
【解析】 ∵x＋2y＋3z＝6，∴2x＋4y＋8z＝2x＋22y＋23z
≥33 2x·22y·23z＝33 2x＋2y＋3z＝12. 当且仅当 2x＝22y＝23z，即 x＝2，y＝1，z＝23时，等号成立． 【答案】 C
证明简单的不等式
[小组合作型]
设 a，b，c 为正数，求证：a12＋b12＋c12(a＋b＋c)2≥27. 【精彩点拨】 根据不等式的结构特点，运用 a＋b＋c≥33 abc，结合不等 式的性质证明．
1．(1)在应用平均不等式时，一定要注意是否满足条件，即 a>0，b>0. (2)若问题中一端出现“和式”而另一端出现“积式”，这便是应用基本不 等式的“题眼”，不妨运用平均不等式试试看． 2．连续多次运用平均不等式定理时，要特别注意前后等号成立的条件是否 一致．
我还有这些不足： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________
用平均不等式求解实际问题
如图 1-1-2 所示，在一张半径是 2 米的圆桌的正 中央上空挂一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处 的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理 学知识，桌子边缘一点处的照亮度 E 和电灯射到桌子边缘的光 线与桌子的夹角 θ 的正弦成正比，而和这一点到光源的距离 r 的平方成反比，即 E＝ksirn2 θ.这里 k 是一个和灯光强度有关的 常数．那么究竟应该怎样选择灯的高度 h，才能使桌子边缘处 最亮？
阶
阶
段
段
一
三
3.三个正数的算术-几何平均不等式
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
1．探索并了解三个正数的算术-几何平均不等式的证明过程． 2．会用平均不等式求一些特定函数的最大(小)值．(重点) 3．会建立函数不等式模型，利用其解决实际生活中的最值问题．(难点)
[基础·初探] 教材整理 1 三个正数的算术-几何平均不等式 阅读教材 P8～P9 定理 3，完成下列问题． 1．如果 a，b，c∈R＋，那么 a3＋b3＋c3 ≥ 3abc，当且仅当a＝b＝c时，等 号成立． 2．定理 3：如果 a，b，c∈R＋，那么a＋3b＋c ≥ 3 abc，当且仅当a＝b＝c 时， 等号成立． 即三个正数的算术平均不小于它们的几何平均．