【教育资料】备战中考数学(北京课改版)巩固复习第八章因式分解(含解析)学习专用

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《因式分解》全章复习与巩固(基础)巩固练习八年级数学下册(北师大版)

巩固练习一.选择题1．下列各式从左到右的变化中属于因式分解的是（）．A ．()()22422m n m n m n -=+-B ．()()2111m m m +-=-C ．()23434m m m m --=--D ．()224529m m m --=--2.多项式22215x xy y --的一个因式为（）A ．25x y -B ．3x y -C ．3x y +D ．5x y - 3. 下列多项式能分解因式的是（）A ．22x y+ B ．22x y -- C ．222x xy y -+- D ．22x xy y -+ 4. 将2m ()2a -＋()2m a -分解因式，正确的是（）A ．()2a -()2m m -B ．()()21m a m -+C ．()()21m a m --D ．()()21m a m --5. 下列四个选项中，哪一个为多项式28102x x -+的因式？（）A ．2x －2B ．2x ＋2C ．4x ＋1D ．4x ＋26. 若)5)(3(+-x x 是q px x ++2的因式，则p 为（）A.－15B.－2C.8D.27. 2222)(4)(12)(9b a b a b a ++-+-因式分解的结果是（） A ．2)5(b a - B ．2)5(b a + C ．)23)(23(b a b a +- D ．2)25(b a -8. 下列多项式中能用平方差公式分解的有（）①22a b --； ②2224x y -； ③224x y -； ④()()22m n ---； ⑤22144121a b -+； ⑥22122m n -+． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个二.填空题9.分解因式：()241x x -- ＝________.10.把23x x c ++分解因式得：23x x c ++＝()()12x x ++，则c 的值为________. 11．若221x y -=，化简()()20122012x y x y +-＝________．12. 若2330x x +-=，32266x x x +-＝__________.13.分解因式：32244a a b ab -+= ．14.把多项式22ax ax a --分解因式_________.15. 当10x =，9y =时，代数式22x y -的值是________. 16.把2221x y y ---分解因式结果正确的是_____________.三.解答题17.分解因式：（1）234()12()x x y x y ---；（2）2292416a ab b -+；（3）21840ma ma m --.18. 已知10a b +=，6ab =，求：（1）22a b +的值；（2）32232a b a b ab -+的值．19.请你说明：当n 为自然数时，（n+7）2﹣（n ﹣5）2能被24整除．20. 两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成()()219x x --，另一位同学因看错了常数项而分解成()()224x x --，请将原多项式分解因式．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】A ；【解析】因式分解是把多项式化成整式乘积的形式.2. 【答案】B ；【解析】()()22215253x xy y x y x y --=+-．3. 【答案】C ；【解析】A ．不能分解；B ．2222()x y x y --=-+，不能分解；C ．()2222x xy y x y -+-=--，故能够分解；D ．不能分解． 4. 【答案】C ；【解析】2m ()2a -＋()2m a -＝2m ()2a -()2m a --＝()()21m a m --．5. 【答案】A ；【解析】将28102x x -+进行分解因式得出()()281024122x x x x -+=--，进而得出答案即可．6. 【答案】D ；【解析】2(3)(5)215x x x x -+=+-.7. 【答案】A【解析】2222)(4)(12)(9b a b a b a ++-+-＝()()()22325a b a b a b -++=-⎡⎤⎣⎦. 8. 【答案】D ；【解析】③④⑤⑥能用平方差公式分解.二.填空题9. 【答案】()22x -；【解析】()()22241442x x x x x --=-+=-. 10.【答案】2；【解析】()()21232x x x x ++=++. 11.【答案】1；【解析】()()()()()201220122012201222201211x y x y x y x y x y +-=+-=-==⎡⎤⎣⎦.12.【答案】0；【解析】()3222662362360x x x x x x x x x +-=+-=⨯-=.13.【答案】()22a a b - ；【解析】原式=()()222442a a ab ba ab -+=-． 14.【答案】()()21a x x -+；【解析】22ax ax a --＝()()2(2)21a x x a x x --=-+. 15.【答案】19；【解析】()()()()2210910919x y x y x y -=+-=+-=. 16.【答案】()()11x y x y ++--；【解析】由于后三项符合完全平方公式，应考虑三一分组，然后再用平方差公式进行二次分解．三.解答题17.【解析】解：（1）234()12()x x y x y ---＝224()[3()]4()(32)x y x x y x y y x ---=--；（2）22292416(34)a ab b a b -+=-；（3）()()()2218401840202ma ma m m a a m a a --=--=-+. 18.【解析】解：∵10a b +=，6ab =，则（1）()2222a b a b ab +=+-＝100－12＝88；（2）()()2322322224a b a b ab ab a ab bab a b ab ⎡⎤-+=-+=+-⎣⎦＝6×（100－24）＝456． 19.【解析】解：整体上看符合平方差公式.原式=（n+7+n ﹣5）（n+7﹣n+5）=24（n+1），则当n 为自然数时，（n+7）2﹣（n ﹣5）2能被24整除．20.【解析】解：设原多项式为2ax bx c ++（其中a 、b 、c 均为常数，且abc ≠0）．∵()()()22219210922018x x x x x x --=-+=-+，∴a ＝2，c ＝18；又∵()()()2222426821216x x x x x x --=-+=-+，∴b ＝－12．∴原多项式为221218x x -+，将它分解因式，得 ()()2222121826923x x x x x -+=-+=-．。

北师大版八年级数学下册《因式分解》全章复习与巩固(提高)巩固练习含答案解析

【巩固练习】一.选择题1. 下列式子变形是因式分解的是（）A ．()25656x x x x -+=-+B ．()()25623x x x x -+=--C ．()()22356x x x x --=-+D ．()()25623x x x x -+=++2. 已知：△ABC 的三边长分别为a b c 、、，那么代数式2222b c ac a -+-的值（）A.大于零B.等于零C.小于零 D 不能确定3．已知31216x x -+有一个因式是4x +，把它分解因式后应当是（）A ．2(4)(2)x x +-B ．2(4)(1)x x x +++C ．2(4)(2)x x ++D ．2(4)(1)x x x +-+4．若()()2x a x b x px q ++=++，且0p >，0q <，那么a b ，必须满足条件( )． A.a b ，都是正数B. a b ，异号，且正数的绝对值较大C.a b ，都是负数D. a b ，异号，且负数的绝对值较大 5.（2016•张家港市期末）把2288x y xy y -+分解因式，正确的是（）A ．()2244x y xy y -+B ．()2244y x x -+ C ．()222y x - D ．()222y x + 6．将下述多项式分解后，有相同因式1x -的多项式有 ( ) ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥ A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个7. 已知()()()()1931131713171123x x x x -----可因式分解成()()8ax b x c ++，其中,,a b c 均为整数，则a b c ++=（）A ．－12B ．－32C ．38D ．728. 将3223x x y xy y --+分组分解，下列的分组方法不恰当的是（）A. 3223()()x x y xy y -+-+B. 3223()()x xy x y y -+-+C. 3322()()x y x y xy ++--D. 3223()x x y xy y --+二.填空题9.（2016•诸城市一模）因式分解：()222416x x +-= ． 10. 分解因式：()()229a b a b +--＝_____________.11.已知2226100m m n n ++-+=，则mn ＝．12.分解因式：()()223a a a +-+＝__________.13．若32213x x x k --+有一个因式为21x +，则k 的值应当是_________.14.把多项式22ac bc a b -+-分解因式的结果是__________.15.已知5,3a b ab +==，则32232a b a b ab -+＝．16.分解因式：（1）4254x x -+＝________；（2）3322a m a m am +--＝________. 三.解答题17.求证：791381279--能被45整除．18.（2015春•焦作校级期中）已知x 2+x=1，求x 4+x 3﹣2x 2﹣x+2015的值．19.（1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2．①用两种不同的方法，计算图2中长方形的面积；②由此，你可以得出的一个等式为：________.（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示．①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；②请你用拼图等方法推出22252a ab b ++因式分解的结果，画出你的拼图．20.下面是某同学对多项式()()642422+-+-x x x x ＋4进行因式分解的过程：解：设y x x =-42原式＝()()264y y +++ （第一步）＝2816y y ++ （第二步）＝()24+y （第三步）＝()2244+-x x （第四步）回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的（）A ．提取公因式 B.平方差公式C.两数和的完全平方公式D.两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底？______________(填彻底或不彻底)若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_______________.（3）请你模仿以上方法尝试对多项式()()122222++--x x x x 进行因式分解.【答案与解析】一.选择题1. 【答案】B ；【解析】A.()25656x x x x -+=-+右边不是整式积的形式，故不是分解因式，故本选项错误；B.()()25623x x x x -+=--是整式积的形式，故是分解因式，故本选项正确； C.()()22356x x x x --=-+是整式的乘法，故不是分解因式，故本选项错误； D.()()25623x x x x -+=--，故本选项错误． 2. 【答案】C ；【解析】()()()222222a ac c b a c b a c b a c b -+-=--=-+--，因为a b c 、、为三角形三边长，所以0,0a b c a b c +->--<，所以原式小于零.3. 【答案】A【解析】代入答案检验.4. 【答案】B ；【解析】由题意00a b ab +><，，所以选B.5. 【答案】C ；【解析】2288x y xy y -+()2244y x x =-+()222y x =- 6. 【答案】C ；【解析】①，③，⑤，⑥分解后有因式1x -.7.【答案】Ａ；【解析】原式＝()()()()131719311123131788x x x x x ---+=--，∵可以分解成()()8ax b x c ++，∴13,17,8a b c ==-=-∴a b c ++=－12．8. 【答案】D ；【解析】A 、B 各组提公因式后，又有公因式可提取分解，所以分组合理，C 第一组运用立方和公式，第二组提取公因式后，有公因式x y +，所以分组合理，D 第一组提取公因式后与第二组无公因式且又不符公式，所以分解不恰当.二.填空题9. 【答案】()()2222x x +-；【解析】()222416x x +-=()()224444x x x x +-++=()()2222x x +-10.【答案】()()422a b a b ++；【解析】()()()()()()22933a b a b a b a b a b a b +--=++-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦＝()()4224a b a b ++＝()()422a b a b ++．11.【答案】－3；【解析】()()22222610130,1,3m m n n m n m n ++-+=++-==-=.12.【答案】()()14a a -+；【解析】()()223a a a +-+＝234a a +-＝()()14a a -+．13.【答案】－6；【解析】由题意，当12x =-时，322130x x x k --+=，解得k ＝－6.14.【答案】()()a b a b c -++；【解析】22ac bc a b -+-＝()()()c a b a b a b -++-＝()()a b a b c -++．15.【答案】39；【解析】原式＝()()()2224353439ab a b ab a b ab ⎡⎤-=+-=⨯-⨯=⎣⎦.16.【答案】()()()()1122x x x x +-+-；()()2a m a m -+；【解析】()()()()()()422254141122x x x x x x x x -+=--=+-+-；()()332222a m a m am a a m m a m +--=---()()()()222a m a m a m a m =--=-+.三.解答题 17.【解析】证明：原式＝1499132827269939333-⨯-=--＝()2623331--＝262435345⨯=⨯．所以能被45整除．18.【解析】解：∵x 2+x=1，∴x 2=1﹣x ，x 2﹣1=﹣x ，∴x 4+x 3﹣2x 2﹣x+2015=x 2（x 2﹣1）+x 3﹣x 2﹣x+2015=x 2（﹣x ）+x 3﹣x 2﹣x+2015=﹣（x 2+x ）+2015=﹣1+2015=2014．即x 4+x 3﹣2x 2﹣x+2015=2014．19.【解析】解：（1）①长方形的面积＝221a a ++；长方形的面积＝()21a +；②()22211a a a ++=+；（2）①如图，可推导出()2222a ab b a b ++=+；②()()2225222a ab b a b a b ++=++．20.【解析】解：（1）C ；（2）不彻底；()42x -；（3）设22x x y -=，原式＝()22121y y y y ++=++()()()22421211y x x x =+=-+=-.。

七年级数学下册第八章因式分解 8.1 因式分解学案北京课改版

因式分解【学习目标】1．了解分解因式的意义，以及它与整式乘法的相互关系。

2．感受因式分解在解决相关问题中的作用。

3．通过因式分解培养学生逆向思维的能力。

【学习重难点】重点：理解分解因式的意义，准确地辨析整式乘法与分解因式这两种变形。

难点：对分解因式与整式关系的理解【学习过程】一、知识回忆1．你会计算〔a+1〕(a-1)吗？2．做一做：〔1〕计算以下各式：①〔m+4〕〔m －4〕=__________；②2)3(-y =__________；③)1(3-x x =__________；〔2〕根据上面的算式填空：①m 2－16=〔〕〔〕；②y 2－6y+9=〔〕2．③3x 2－3x=〔〕〔〕；二、预习导学知识点一：因式的概念对于两个多项式f 和g ，如果有多项式h=fg ，那么我们把g 叫做f 的，此时也是f 的一个因式。

知识点二：因式分解的概念一般地，类似于把m 2－16写成〔m+4〕(m-4)的形式，把3x 2－3x 写成)1(3-x x 的形式，叫做。

知识点三：质数的定义什么叫质数〔素数〕？质数有什么特征？三、合作探究：由m 〔a+b+c 〕得到ma+ mb + mc 的变形是什么运算？由ma +mb + mc 得到m 〔a+b+c 〕的变形与这种运算有什么不同？你还能举一些类似的例子加以说明吗？联系：区别：即ma+mb+mcm 〔a+b+c 〕所以，因式分解与多项式乘法是相反方向的变形。

【课堂展示】判断以下各式哪些是分解因式？〔1〕224x y -=(x+2y)(x-2y) 〔2〕2x(x-3y)=22x -6xy〔3〕()251a -=225a -10a+1 〔4〕2x +4x+4=()22x +〔5〕(a-3)(a+3)=2a -9 〔6〕2m -4=(m+2)(m-2)〔7〕2πR+ 2πr= 2π(R+r)【达标检测】1．写出以下多项式的因式：〔1〕)(2y x x + 〔2〕)2)(2(-+a a〔3〕)2(3+a ab 〔4〕)3)(2)(1(+++a a a a〔5〕22)()(b a b a -+2．指出以下各式中从左到右的变形哪个是分解因式？〔1〕x 2－2=(x+1)(x －1)－1〔2〕(x－3)(x+2)=x2－x—6 〔3〕3m2n－6mn=3mn(m－2) 〔4〕ma+mb+mc=m(a+b)+mc 〔5〕a2－4ab+4b2=(a－2b)2。

七年级数学下册第八章因式分解 8.3 公式法学案北京课改版

公式法【学时安排】2学时【第一学时】【学习目标】1．使学生掌握用平方差公式分解因式；2．理解多项式中如果有公因式要先提公因式，了解实数范围内与有理数范围内分解因式的区别。

【学习重难点】重点：用平方差公式分解因式。

难点：当公式中的字母取多项式时的因式分解。

【学习过程】一、复习回忆：分解因式：〔1〕5x ()()22(3)323x y x y y x --+-〔2〕〔a+b 〕(a-b )=___________，这是什么运算？〔3〕22a b -能因式分解吗？怎样分解因式：22a b -？二、预习导学：1．平方差公式是什么样子？2．如何用平方差公式因式分解？3．如何把252-x 因式分解？4因式分解〔1〕224y x - 〔2〕224925y x -三、合作探究：1．对以下多项式因式分解，思考并解决后面的问题：〔1〕2249x y - 〔2〕2251x -〔3〕22)1()(+--+y x y x 〔4〕22)()(x y y x --+〔5〕2249x y +能因式分解吗？〔6〕2251x --能因式分解吗？归纳：当一个多项式有项，每一项都是一个〔完全平方式/任意式子〕，并且两个完全平方式前面的符号〔相同/相反〕时，考虑用平方差公式因式分解。

2．对以下多项式因式分解，思考并解决后面的问题：〔1〕44y x - 〔2〕164-a在第一题中，用平方差公式因式分解后得到两个因式：一个是22y x +，22y x +还能因式分解吗？另一个是22y x -，22y x -还能因式分解吗？用同样的方法解第二题。

归纳：在因式分解中，必须进行到每一个因式都不能为止。

3．因式分解以下多项式，并填空：〔1〕523x y x - 〔2〕23ab a -归纳：在因式分解时，如果有，先，再。

【达标检测】1．下面多项式是否适合用平方差公式分解因式？〔1〕22a b -+〔2〕22()a b --〔3〕22()a b --2．因式分解〔1〕22254b a -〔2〕22259y x -〔3〕44y x +-〔4〕644-a〔5〕45xy x -【第二学时】【学习目标】1．使学生掌握完全平方公式并会利用完全平方公式分解因式；2．培养学生的逆向思维能力。

《因式分解》全章复习与巩固(提高)知识讲解八年级数学下册(北师大版)

《因式分解》全章复习与巩固（提高）【知识网络】【要点梳理】要点一、因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.要点二、提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m ，另一个因式是，即，而正好是除以m 所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律.要点三、公式法1.平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：()()22a b a b a b -=+-2.完全平方公式两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即()2222a ab b a b ++=+，()2222a ab b a b -+=-. 形如222a ab b ++，222a ab b -+的式子叫做完全平方式.要点诠释：（1）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.（3）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以是单项式或多项式.要点四、十字相乘法和分组分解法十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式2x bx c ++，若存在pq c p q b =⎧⎨+=⎩ ，则()()2x bx c x p x q ++=++ 分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.要点五、因式分解的一般步骤因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解．（4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．【典型例题】类型一、提公因式法分解因式1、分解因式：(1)222284a bc ac abc +-；(2)32()()()()m m n m m n m m n m n +++-+-．【答案与解析】解：(1)2222842(42)a bc ac acb ac abc c b +-=+-．(2)32()()()()m m n m m n m m n m n +++-+- 2()[()()()]m m n m n m n m n =++++--22()(22)m m n m mn n n =++++．【总结升华】在提取公因式时要注意提取后各项字母，指数的变化，另外分解要彻底，特别是因式中含有多项式的一定要检验是否能再分，分解因式后可逆过来用整式乘法验证其正确与否．2、利用分解因式证明：712255-能被120整除．【思路点拨】25＝25，进而把725整理成底数为5的幂的形式，然后提取公因式并整理为含有120的因数即可．【答案与解析】证明：712255-＝()721255- ＝141255-＝()122551-＝12524⨯＝115524⨯⨯＝115120⨯∴712255-能被120整除．【总结升华】解决本题的关键是用因式分解法把所给式子整理为含有120的因数相乘的形式．类型二、公式法分解因式3、放学时，王老师布置了一道分解因式题：()()()222244x y x y x y ++---，小明思考了半天，没有答案，就打电话给小华，小华在电话里讲了一句，小明就恍然大悟了，你知道小华说了句什么话吗？小明是怎样分解因式的．【思路点拨】把()()x y x y +-、分别看做一个整体，再运用完全平方公式解答．【答案与解析】解：把()()x y x y +-、看作完全平方式里的,a b ；原式＝()()()()22222x y x y x y x y ++--⨯+-⎡⎤⎣⎦＝()()22x y x y +--⎡⎤⎣⎦＝()23y x -．【总结升华】本题主要考查利用完全平方公式分解因式，注意把()()x y x y +-、看作完全平方式里的,a b 是解题的关键．举一反三：【变式】下面是某同学对多项式()()2242464x x x x -+-++进行因式分解的过程．解：设24x x y -=原式＝()()264y y +++（第一步）＝2816y y ++（第二步）＝()24y +（第三步）＝22(44)x x -+（第四步）回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的（）．A 、提取公因式B ．平方差公式C 、两数和的完全平方公式D ．两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底________．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_________.（3）请你模仿以上方法尝试对多项式()()222221x xx x --++进行因式分解．【答案】解：（1）运用了C ，两数和的完全平方公式；（2）244x x -+还可以分解，分解不彻底；结果为()42x -. （3）设22x x y -=． ()()222221x x x x --++＝()21y y ++，＝221y y ++，＝()21y +2，＝22(21)x x -+，＝()41x -． 4、因式分解：（1）22369xy x y y --；（2）()()413p p p -++.【思路点拨】（1）直接提取公因式，进而利用完全平方公式分解因式即可；（2）先去括号，利用平方差公式分解因式即可.【答案与解析】解：（1）22369xy x y y -- ()2269y y xy x =--+()23y x y =--；（2）()()413p p p -++ 2343p p p =--+()()2422p p p =-=+-.【总结升华】此题主要考查了公式法分解因式，熟练掌握乘法公式是解题关键．举一反三：【变式】设22131a =-，22253a =-，…，()()222121n a n n =+--（n 为大于0的自然数）．（1）探究n a 是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”．试找出1a ，2a ，…，n a ，…这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n 满足什么条件时，n a 为完全平方数（不必说明理由）．【答案】解：（1）∵()()222221214414418n a n n n n n n n =+--=++-+-=，又n 为非零的自然数，∴n a 是8的倍数．这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是8的倍数（2）这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16，64，144，256．n 为一个完全平方数的2倍时，n a 为完全平方数类型三、十字相乘法和分组分解法分解因式5、分解因式：（1）()()222222x x ----（2）()2224420x xx x +--- （3）2244634a ab b a b -+-+-【答案与解析】解：（1）原式()()()()()()2222212211x x x x x x =---+=+-+- （2）原式＝()()()222224(4)204544x x x x x x x x +-+-=+-++()()()2512x x x =+-+（3）原式＝()()()()223242421a b a b a b a b ----=---+【总结升华】做题之前要仔细观察，注意从整体的角度看待问题.举一反三：【变式】（x ﹣y ）2+5（x ﹣y ）﹣50．【答案】解：将（x-y ）看成一个整体，原式=（x ﹣y+10）（x ﹣y ﹣5）． 6、已知长方形周长为300厘米，两邻边分别为x 厘米、y 厘米，且322344x x y xy y +--＝0，求长方形的面积．【思路点拨】把322344x x y xy y +--＝0化简成()()()22x y x y x y ++-，可得2x y =，由题意可得150x y +=，解方程组2150x y x y =⎧⎨+=⎩即可. 【答案与解析】解：∵322344x x y xy y +--＝0∴()()224x x y y x y +-+＝0∵()()()22x y x y x y ++-＝0∴2x y =，x y =-，2x y =-（不合题意，舍去）又由题意可得150x y +=解方程组2150x y x y =⎧⎨+=⎩解之得，x ＝100，y ＝50∴长方形的面积＝100×50＝5000平方厘米．【总结升华】本题是因式分解在学科内的综合运用，主要考查了分组分解法，提取公因式法和运用平方差公式法．举一反三：【变式】因式分解：221448x y xy --+，正确的分组是（）A ．22(14)(84)x xy y -+-B ．22(144)8x y xy --+C ．22(18)(44)xy x y +-+ D ．221(448)x y xy -+- 【答案】D ；当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题中22448x y xy --+正好符合完全平方公式，应考虑2，3，4项为一组．。

备战中考数学(北京课改版)巩固复习第八章因式分解(含解析)

备战中考数学（北京课改版）巩固复习第八章因式分解（含解析）一、单选题1.分解因式x2y﹣y3结果正确的是（）A.y（x+y）2B.y（x﹣y）2 C.y（x2﹣y2） D.y（x+y）（x﹣y）2.下列各组多项式中没有公因式的是（）A.3x﹣2与6x2﹣4xB.3（a﹣b）2与11（b﹣a）3C.mx﹣my与ny﹣nxD.ab﹣ac与ab﹣bc3.下列多项式因式分解错误的是（）A.am+bm=（a+b）mB.a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）C.a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2D.4x2+4y2+8xy=（2x+2y）24.下列从左到右的变形是因式分解的是（）A.（x﹣4）（x+4）=x2﹣16B.x2﹣y2+2=（x+y）（x﹣y）+2C.x2+1=x（x+）D.a2b+ab2=ab（a+b）5.若(2x)n－81＝(4x2＋9)(2x＋3)(2x－3)，则n的值是()A.2B.4C.6D.86.小强是一位密码编译爱好者,在他的密码手册中,有如此一条信息:a-b, x-y,x+y,a+b,x2-y2,a2-b2分别对应下列六个字:昌、爱、我、宜、游、美,现将(x2-y2)a2-(x2-y2)b2因式分解,结果出现的密码信息可能是()A.我爱美 B.宜昌游 C.爱我宜昌 D.美我宜昌7.分解因式2x3﹣18x结果正确的是（）A.2x（x+3）2B.2x（x﹣3）2 C.2x（x2﹣9） D.2x（x+3）（x﹣3）8.分解因式m-ma2的结果是()A.m(1+a)(1-a) B.m(1+a)2 C.m(1-a)2 D.(1-a)(1+a)9.把多项式3m（x﹣y）﹣2（y﹣x）2分解因式的结果是（）A.（x﹣y）（3m﹣2x﹣2y）B.（x﹣y）（3m﹣2x+2y）C.（x﹣y）（3m+2x﹣2y）D.（y﹣x）（3m+2x﹣2y）10.257﹣512能被下列四个数①12；②15；③24；④60整除的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题11.分解因式：3x2﹣12=________．12.因式分解：x2﹣2x=________．13.因式分解：（a+b）2﹣4b2=________．三、运算题14.已知，,求代数式的值四、解答题15.解方程：4x2=（x﹣3）2（用因式分解法）16.分解分式：m2+2m．五、综合题17.先阅读下列材料：我们差不多学过将一个多项式分解因式的方泫有提公因式法和运用公式法，事实上分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式连续分解的方法．如：，分组分解法：解：原式解：原式②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式连续分解的方法．如：解：原式请你仿照以上方法，探究并解决下列问题：（1）分解因式：；（2）分解因式：.答案解析部分一、单选题1.【答案】D【考点】提公因式法与公式法的综合运用【解析】【解答】解：x2y﹣y3=y（x2﹣y2）=y（x+y）（x﹣y）．故答案为：D．【分析】第一提取公因式y，进而利用平方差公式进行分解即可．2.【答案】D【考点】公因式，提公因式法因式分解【解析】解：∵6x2﹣4x=2x（3x﹣2），∴3x﹣2与6x2﹣4x的公因式是3x﹣2，故本选项不符合题意；B、∵11（b﹣a）3=11（b﹣a）（a﹣b）2 ，∴3（a﹣b）2与11（b﹣a）3的公因式是（a﹣b）2 ，故本选项不符合题意；C、∵mx﹣my=m（x﹣y），ny﹣nx=﹣n（x﹣y），∴mx﹣my与ny﹣nx的公因式是（x﹣y），故本选项不符合题意；D、∵ab﹣ac=a（b﹣c），ab﹣bc=b（a﹣c），∴ab﹣ac与ab﹣bc没有公因式，故本选项符合题意；故答案为：D．【分析】分别分析各选项中的代数式，能因式分解的先进行因式分解，再确定没有公因式的选项即可．3.【答案】D【考点】因式分解-提公因式法【解析】【解答】解：A、原式=m（a+b），正确；B、原式=（a+b）（a﹣b），正确；C、原式=（a﹣b）2 ，正确；D、原式=4（x+y）2 ，错误，故选D【分析】原式各项分解得到结果，即可做出判定．4.【答案】D【考点】因式分解的意义【解析】【解答】解：A、B结果不是积的形式，因而不是因式分解，C 中不是整式，因而不是因式分解，满足定义的只有D．故选：D【分析】分解因式确实是把一个多项式化为几个整式的积的形式．因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需依照定义来确定5.【答案】B【考点】因式分解-运用公式法【解析】【分析】先把（4x2+9)（2x+3)（2x-3)利用平方差公式分解得到（2x)4-81，然后依照已知条件易得n=4.【解答】∵（4x2+9)（2x+3)（2x-3)=（4x2+9)（4x2-9)=（4x2)2-92=（2x)4-81，∴（2x)n-81=（2x)4-81，∴n=4．故选B.【点评】本题考查了因式分解-运用公式法：假如把乘法公式反过来，就能够把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法；平方差公式：a2-b2=（a+b)（a-b)；完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b)2.6.【答案】C【考点】因式分解-运用公式法，因式分解的应用【解析】【解答】解：∵（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2=（x2﹣y2）（a2﹣b2）=（x﹣y）（x+y）（a﹣b）（a+b），∵x﹣y，x+y，a+b，a﹣b四个代数式分别对应“爱、我，宜，昌”，∴结果出现的密码信息可能是“爱我宜昌”，故答案为：C．【分析】先利用平方差公式将已知代数式分解因式，再依照四个因式对应的汉字，即可得出结果出现的密码信息。

北京课改版数学七年级下册8.1《因式分解》教学设计

北京课改版数学七年级下册8.1《因式分解》教学设计一. 教材分析《因式分解》是北京课改版数学七年级下册8.1的内容，因式分解是初中的重要知识点，也是初中数学中的一种基本解题方法。

通过因式分解，可以将一个多项式转化成几个整式的乘积形式，从而便于求解和化简。

本节课的主要内容有：因式分解的定义、因式分解的方法和技巧以及因式分解的应用。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了整式的乘法、多项式与多项式的乘法等知识，具备了一定的代数基础。

但是，因式分解作为一种独立的解题方法，对学生来说还是较为抽象和难以理解的。

因此，在教学过程中，需要从学生的实际出发，采用生动有趣的教学手段，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究，从而理解和掌握因式分解的方法。

三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生理解和掌握因式分解的定义、方法和技巧，能够运用因式分解解决一些实际问题。

2.过程与方法目标：通过小组合作、讨论交流等学习方式，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的自主学习能力，使学生感受到数学的趣味性和实用性。

四. 教学重难点1.重点：因式分解的定义、方法和技巧。

2.难点：因式分解的灵活运用和解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。

2.小组合作学习：引导学生分组讨论，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。

3.案例教学法：通过典型的例子，讲解因式分解的方法和技巧，使学生易于理解和掌握。

4.启发式教学法：教师引导学生思考，激发学生的思维，培养学生的问题解决能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作生动有趣的教学课件，帮助学生理解和掌握因式分解的知识。

2.教学案例：准备一些典型的因式分解例子，用于讲解和示范。

3.练习题：准备一些因式分解的练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实际问题，引导学生思考和探究，激发学生的学习兴趣。

专题4.14 因式分解(全章复习与巩固)(知识讲解)八年级数学下册基础知识专项讲练(北师大版)

专题4.14因式分解（全章复习与巩固）（知识讲解）【知识点一】因式分解与整式乘法的识别把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解。

【知识点二】因式分解的方法（1）提取公因式法：)(c b a m mc mb ma ++=++（2）运用公式法：平方差公式：))((22b a b a b a -+=-；完全平方公式：222)(2b a b ab a ±=+±（3）十字相乘法：))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++（4）分组分解法：将多项式的项适当分组后能提公因式或运用公式分解。

（5）运用求根公式法：若)0(02≠=++a c bx ax 的两个根是1x 、2x ，则有：))((212x x x x a c bx ax --=++【知识点三】因式分解的一般步骤（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；（3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。

（4）最后考虑用分组分解法。

【典型例题】类型一、因式分解的概念✭✭求参数1．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（）A ．()2212x x x x+=+B ．()()2111a a a -=+-C ．()()2111x x x +-=-D ．()222312a a a -+=-+【答案】B【分析】根据因式分解的定义解答即可．解：A ．()2212x x x x +=+不是将多项式化成整式乘积的形式，故A 选项不符合题意；B ．()()2111a a a -=+-是将多项式化成整式乘积的形式，故B 选项符合题意；C ．()()2111x x x +-=-不是将多项式化成整式乘积的形式，故C 选项不符合题意；D ．()222312a a a -+=-+不是将多项式化成整式乘积的形式，故D 选项不符合题意；故选：D ．【点拨】本题主要考查了分解因式的定义，掌握定义是解题的关键．即把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫做分解因式．举一反三：【变式】下列各式，从左到右的变形中，属于因式分解的是（）A ．()a m n am an+=+B ．()()2222a b c a b a b c+-=+--C ．()2221x x x x -=-D ．()()2166446x x x x -+=+-+【答案】C【分析】根据因式分解的定义去判断即可．解：A 、因为()a m n am an +=+是单项式乘以多项式，不是因式分解，故A 不符合题意；B 、因为()()2222a b c a b a b c +-=+--不是因式乘积的形式，不是因式分解，故B 不符合题意；C 、因为()2221x x x x -=-是因式分解，故C 符合题意；D 、因为()()2166446x x x x -+=+-+不是因式乘积的形式，不是因式分解，故D 不符合题意；故选C ．【点拨】本题考查了因式分解即把一个多项式写成几个因式积的形式，熟练掌握定义是解题的关键．2．三个多项式：24x y y -，22x y xy -，244x y xy y -+的最大公因式是（）A ．()2y x +B ．()4y x -C ．2(2)y x -D ．()2y x -【答案】D【分析】先把三个多项式因式分解，再进行解答即可．解：∵()()2422x y y y x x -=+-，()222x y xy xy x -=-，2244(2)x y xy y y x -+=-，∴最大公因式是()2y x -．故选D ．【点拨】本题主要考查了最大公因式，熟练掌握最大公因式的定义，将三个多项式分解因式，是解题的关键．举一反三：【变式】下列各组中，没有公因式的一组是（）A ．ax bx -与by ay -B ．ab ac -与ab bc -C ．268xy x y -与43x -+D ．()3a b -与()2b ya -【答案】B【分析】将每一组因式分解，找公因式即可解：A.()ax bx x a b -=-，()by ay y a b -=--，有公因式a b -，故不符合题意；B.()ab ac a b c -=-，()ab bc b a c -=-，没有公因式，符合题意；C.()268234xy x y xy x -=-，4334x x -+=-，有公因式34x -，故不符合题意；D.()3a b -与()2b y a -有公因式a b -，故不符合题意；故选：B【点拨】本题考查公因式，熟练掌握因式分解是解决问题的关键类型二、公因式✭✭提取公因式进行因式分解3．若关于x 的二次三项式23x x k -+的因式是()2x -和()1x -，则k 的值是____．【答案】2【分析】先利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出k 的值即可．解：由题意得：()()2232132x x k x x x x -+=--=-+，2k ∴=．故答案为：2．【点拨】此题考查了多项式乘以多项式法则，因式分解的意义，以及多项式相等的条件，熟练掌握因式分解的意义是解本题的关键．举一反三：【变式】已知多项式4x mx n ++能分解为()()2223x px q x x +++-，则p =______，q =______．【答案】2-；7．【分析】把()()2223x px q x x +++-展开，找到所有3x 和2x 的项的系数，令它们的系数分别为0，列式求解即可．解：∵()()2223x px q x x +++-432322222333x px qx x px qx x px q=+++++---()()()432223233x p x q p x q p x q=++++-+--4x mx n =++．∴展开式乘积中不含3x 、2x 项，∴20230p q p +=⎧⎨+-=⎩，解得：27p q =-⎧⎨=⎩．故答案为：2-，7．【点拨】本题考查了整式乘法的运算、整式乘法和因式分解的关系，将结果式子运用整式乘法展开后，抓住“若某项不存在，即其前面的系数为0”列出式子求解即可．4．因式分解：(1)282abc bc -；(2)()()26x x y x y +-+；【答案】(1)()24bc a c -；(2)()()23x y x +-【分析】（1）用提公因式法解答；（2）用提公因式法解答．（1）解：原式()24bc a c =-（2）解：原式()()23x y x =+-【点拨】此题考查了因式分解——提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．举一反三：【变式】把下列多项式因式分解：(1)2x xy x -+；(2)22m n mn mn -+；(2)33322292112x y x y x y -+；(4)()()22x x y y x y -+-．【答案】(1)()1x x y -+；(2)()1mn m n -+；(3)()223374x y xy x -+；(4)()()22x y x y-+【分析】（1）直接提取公因式x ，进而分解因式得出答案；（2）直接提取公因式mn ，进而分解因式得出答案；（3）直接提取公因式223x y ，进而分解因式得出答案；（4）直接提取公因式()x y -，进而分解因式得出答案．（1）解：()21x xy x x x y -+=-+（2）解：()221m n mn mn mn m n -+=-+（3）解：()33322222921123374x y x y x y x y xy x +--=+（4）解：()()()()2222xx y y x y x y x y -+-=-+【点拨】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．类型三、公式法进行因式分解➽➼平方差公式✭✭完全平方公式5．因式分解：(1)﹣2a 3+12a 2﹣18a(2)9a 2（x ﹣y ）+4b 2（y ﹣x ）【答案】(1)﹣2a （a ﹣3）2(2)（x ﹣y ）（3a +2b ）（3a ﹣2b ）【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．（2）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可．解：（1）原式＝﹣2a （a 2﹣6a +9）＝﹣2a （a ﹣3）2（2）原式＝（x ﹣y ）（9a 2﹣4b 2）＝（x ﹣y ）（3a +2b ）（3a ﹣2b ）．【点拨】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．举一反三：【变式】因式分解：（1）224x y -（2）32296a a b ab -+【答案】（1）()()22x y x y +-；（2）()23a a b -．【分析】（1）利用平方差公式进行因式分解即可；（2）先提公因式，然后利用完全平方公式进因式分解即可．解：（1）22224(2)(2)(2)x y x y x y x y -=-=+-；（2）232222(96)(963)=-+=--+a a ab b a b a a b b a a ．【点拨】本题主要考查了多项式的因式分解，解题的关键是熟练掌握各种因式分解的方法，并会根据多项式的特征选取合适的方法，还要注意要分解彻底．6．分解因式：(1)2225()9()m n m n +--(2)22441a b a --+【答案】(1)()()444m n n m ++；(2)()()2121a b a b +---【分析】（1）将m n +和m n -看成两个整体，利用平方差公式分解因式得到()()8228m n m n ++，再提取公因式即可．（2）利用分组法先将原式分成2441a a -+和2b -两组，2441a a -+可利用完全平方公式分解，再和2b -组合，由平方差公式分解即可．（1）解：2225()9()m n m n +--()()()()5353m n m n m n m n =++-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()55335533m n m n m n m n =++-+-+()()8228m n m n =++()()444m n m n =++．（2）22441a b a --+()22441a a b =-+-()2221a b =--()()2121a b a b =-+--()()2121a b a b =+---．【点拨】本题考查了因式分解的方法，分组法、公式法和提公因式法本题都涉及了，熟练掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键．举一反三：【变式】分解因式：(1)228168ax axy ay -+-(2)()22222936x y x y +-；【答案】(1)28()a x y --；(2)22(3)(3)x y x y +-【分析】（1）先提公因式，再根据完全平方公式分解因式即可；（2）根据平方差公式和完全平方公式分解因式即可．解：（1）原式228(2)a x xy y =--+28()a x y =--（2）原式2222(9)(6)x y xy =+-2222(96)(96)x y xy x y xy =+++-22(3)(3)x y x y =+-【点拨】本题考查了因式分解，涉及提公因式法和公式法，熟练掌握分解因式的步骤是解题的关键．类型四、因式分解➽➼十字相乘法✭✭分组分解法7．将下列各式分解因式：(1)256x x --；(2)21016x x -+；(3)2103x x --【答案】(1)(7)(8)x x +-；(2)(2)(8)x x --；(3)(5)(2)x x -+-【分析】（1）用十字相乘法，分解因式即可；（2）用十字相乘法，分解因式即可；（3）用十字相乘法，分解因式即可．（1）解：∵78x x ⨯-，即78x x x -=-，∴256(7)(8)x x x x --=+-；（2）解：∵28x x ⨯--，即2810x x x --=-，∴21016(2)(8)x x x x -+=--；（3）解：22103(310)x x x x --=-+-，∵52x x ⨯-，即523x x x -=，∴原式(5)(2)x x =-+-．【点拨】本题主要考查了利用十字相乘法分解因式，解题的关键在于能够熟练掌握十字相乘法：常数项为正，分解的两个数同号；常数项为负，分解的两个数异号．二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上．举一反三：【变式】用十字相乘法解方程：(1)2560x x +-=；(2)2230x x --=．【答案】(1)6x =-或1x =；(2)3x =或=1x -【分析】根据十字相乘法可分别求解（1）（2）．（1）解：2560x x +-=(6)(1)0x x +-=，60x +=或10x -=，6x =-或1x =；（2）解：2230x x --=，(3)(1)0x x -+=，30x -=或10x +=，3x =或=1x -．【点拨】本题主要考查利用因式分解进行求解方程，熟练掌握因式分解是解题的关键．8．因式分解：323412x x y x y +--．【答案】(3)(2)(2)x y x x ++-【分析】原式第一、三项结合，二、四项结合，提取公因式后再提取公因式，利用平方差公式分解即可．解：原式=324312x x x y y-+-=22(4)3(4)x x y x -+-=2(3)(4)x y x +-=(3)(2)(2)x y x x ++-．【点拨】本题考查了因式分解：分组分解法：对于多于三项以上的多项式的因式分解，先进行适当分组，再把每组因式分解，然后利用提公因式法或公式法进行分解．举一反三：【变式】因式分解：(1)a 2－ab ＋ac －bc ；(2)x 3＋6x 2－x －6.【答案】(1)(a －b)(a ＋c)；(2)(x ＋1)(x －1)(x ＋6)试题分析：根据因式分解的方法进行因式分解即可.解：(1)原式()()()()a a b c a b a b a c =-+-=-+．(2)原式()()()()()()()()()322226616116116x x x x x x x x x x x =-+-=-+-=-+=+-+类型五、因式分解综合9．将下列各式分解因式．（1）3416x x -；（2）()2212a x ax +-；（3）()24a b a b --；（4）()()()()2233a b a b a b b a -+++-．【答案】（1）()()41212x x x +-；（2）()221a x x ++；（3）()22a b --；（4）()()28a b a b -+【分析】（1）先提取公因式，然后进一步利用平方差公式进行因式分解即可；（2）利用提公因式法进行因式分解即可；（3）先将括号去掉，然后移项，根据完全平方公式进行因式分解即可；（4）利用提公因式法以及平方差公式综合进行因式分解即可.解：（1）3416x x -=()2414x x -=()()41212x x x +-；（2）()2212a x ax +-=()221a x x ⎡⎤+-⎣⎦=()221a x x ++；（3）()24a b a b --=2244ab a b --=()2244a ab b --+=()22a b --；（4）()()()()2233a b a b a b b a-+++-=()()()()2233a b a b a b a b -+-+-=()()()2233a b a b a b ⎡⎤-+-+⎣⎦=()()()4422a b a b a b -+-=()()28a b a b -+.【点拨】本题主要考查了因式分解，熟练掌握相关方法及公式是解题关键.举一反三：【变式】因式分解：（1）2273xy x-（2）2292a b ab+-+（3）228x x --【答案】（1）3(3+1)(31)-x y y ；（2）(3)(3)+++-a b a b ；（3）(2)(4)x x +-【分析】（1）根据提取公因式，平方差公式，即可分解因式；（2）根据完全平方公式法、平方差公式，即可分解因式；（3）根据十字相乘法分解因式，即可得到答案．解：（1）2273xy x-23(91)x y =-3(31)(31)x y y =+-；（2）2292a b ab+-+2229a ab b =++-22()3a b =+-(3)(3)a b a b =+++-；（3）228x x --(2)(4)x x =+-．【点拨】本题主要考查分解因式，掌握提取公因式法、公式法、十字相乘法分解因式，是解题的关键．类型五、因式分解的应用10．阅读材料，回答下列问题：若22228160m mn n n -+-+=，求m ，n 的值．解：∵22228160m mn n n -+-+=，∴222(2)(816)0m mn n n n -++-+=，即22()(4)0m n n +--=，又2()0m n -≥，2(4)0n -≥，∴2()0m n -=，2(4)0n -=，∴4n =，4m =．(1)若22440a b a +-+=，求a ，b 的值；(2)已知ABC 的三边a ，b ，c 满足2222220a b c ab ac ++--=．判断ABC 的形状，并说明理由．【答案】(1)2,0a b ==；(2)等边三角形，理由见分析．【分析】（1）参照例题，将等式转化为两个完全平方的和等于0的形式，进而求得a ，b 的值；（2）方法同（1）．解：（1）∵22440a b a +-+=，∴()22440a a b ++-=，即2220()a b -+=，又22(2)0,0a b -≥≥，22(2)0,0a b ∴-==，2,0a b ∴==．（2）∵2222220a b c ab ac ++--=，2222(2)(2)0a ab b b ac c ∴-++-+=，即22()()0a b b c -+-=，又22()0,()0a b b c -≥-≥，∴22()0,()0a b b c -=-=，,a b b c ∴==，a b c ==∴．ABC ∴ 是等边三角形．【点拨】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键．举一反三：【变式】已知：1a b +=，154ab =-(1)求22ab a b +的值(2)求22a b +的值(3)若22a b k -=-，求非负数k 的值【答案】(1)154-；(2)172；(3)k =【分析】（1）将代数式22ab a b +用提公因式法因式分解为()ab a b +，再将1a b +=，154ab =-代入计算即可；（2）将22a b +变形为()22a b ab +-，再将1a b +=，154ab =-代入计算即可；（3）类似的方法将()2a b -变形为()24a b ab +-，代入计算后求出a b -的值，继而根据22a b k -=-计算出符合条件的k 的值即可．（1）解：∵1a b +=，154ab =-，∴()221515144ab a b ab a b +=+=-⨯=-；（2）解：∵1a b +=，154ab =-，∴()2222a b a b ab+=+-15124⎛⎫=-- ⎪⎝⎭1512=+172=；（3）解：∵()()224a b a b ab-=+-1514164⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，∴4a b -=±当4a b -=时，224k -=，k =∵k 为非负数，∴k =当4a b -=-时，224k -=-，22k =-（舍去），∴k =【点拨】本题考查了完全平方公式的应用以及提取公因式分解因式，能够灵活应用完全平方公式是解题的关键．11．阅读材料：()()()2222244454529232322x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+-=++--=+-=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()51x x =+-上面的方法称为多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．根据以上材料，解答下列问题：(1)因式分解：223x x +-；(2)求多项式2610x x +-的最小值；(3)已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，且满足222506810a b c a b c +++=++，求△ABC 的周长．【答案】(1)()()31x x +-；(2)19-；(3)12【分析】（1）先配方后，再利用平方差公式进行因式分解；（2）配方后根据平方的非负性求最小值；（3）配方后根据非负性求出a ，b ，c 的值即可．（1）解：223x x +-222113x x =++--2(1)4x =+-(12)(12)x x =+++-；(3)(1)x x =+-；（2）2226106919(3)19x x x x x +-=++-=+-，∵2(3)0x +≥，∴多项式2610x x +-的最小值为19-；（3）由题意得：2226810500a b c a b c ++---+=，∴2226981610250a a b b c c +++++--=-．∴222(3)4)(0(5)a b c -+-+-=．又∵2(3)0a -≥，2(04)b -≥，2(05)c -≥，∴30a -=，40b -=，50c -=，∴3a =，4b =，5c =，∴ABC 的周长为34512++=．【点拨】本题考查了配方法因式分解以及因式分解的应用，掌握完全平方公式是解题的关键．举一反三：【变式】先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若2222690m mn n n ++-+=，求m 和n 的值．解：因为2222690m mn n n ++-+=，所以2222690m mn n n n +++-+=．所以22()(3)0m n n ++-=．所以0,30m n n +=-=．所以3,3m n =-=．问题：(1)若224212120++-+=x y xy y ，求xy 的值；(2)已知a ，b ，c 是等腰ABC 的三边长，且a ，b 满足2210841a b a b +=+-，求ABC 的周长．【答案】(1)-4；(2)13或14【分析】（1）仿照例题的思路，配成两个完全平方式，然后利用偶次方的非负性，进行计算即可解答；（2）仿照例题的思路，配成两个完全平方式，再利用偶次方的非负性，先求出a ，b 的值，然后分两种情况，进行计算即可解答．解：（1）∵22421212x y xy y ++-+222231212x xy y y xy =+++-+2()3x y =++2(2)y -，=∴0x y +=，20y -=，∴2x =-，2y =，∴2(2)4=⨯-=-xy ．（2）∵2210841a b a b +=+-，∴2210258160a a b b -+++=-，∴22(5)(4)0a b -+-=，∴50a -=，40b -=，∴5a =，4b =．由于ABC 是等腰三角形，所以5c =或4．①若5c =，则ABC 的周长为55414++=；②若4c =，则ABC 的周长为54413++=．所以ABC 的周长为13或14．【点拨】本题考查了配方法的应用，偶次方的非负性，三角形的三边关系，熟练掌握完全平方式是解题的关键．。

必考点解析京改版七年级数学下册第八章因式分解重点解析试卷(含答案详细解析)

京改版七年级数学下册第八章因式分解重点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列等式中，从左到右是因式分解的是（）A ．2111111x x x ⎛⎫⎛⎫-=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．2222()a ab b a b ++=+C ．1()1am bm m a b +-=+-D ．22()()a b a b a b +-=- 2、把多项式x 3﹣2x 2+x 分解因式结果正确的是（）A ．x （x 2﹣2x ）B ．x 2（x ﹣2）C ．x （x +1）（x ﹣1）D ．x （x ﹣1）2 3、当n 为自然数时，（n +1）2﹣（n ﹣3）2一定能（）A ．被5整除B ．被6整除C ．被7整除D ．被8整除4、把2222a a b b +--分解因式的结果是（）．A ．()()()22a b a b -++B ．()()2a b a b -++C ．()()2a b a b -++D ．()()2222a b b a --5、下列各组式子中，没有公因式的一组是（）A ．2xy 与xB ．（a ﹣b ）2与a ﹣b C ．c ﹣d 与2（d ﹣c ） D ．x ﹣y 与x +y 6、下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（）A ．a （m +n ）＝am +anB ．a 2﹣b 2﹣c 2＝（a +b ）（a ﹣b ）﹣c 2C ．10x 2﹣5x ＝5x （2x ﹣1）D ．x 2﹣16+6x ＝（x +4）（x ﹣4）+6x7、27327-可以被24和31之间某三个整数整除，这三个数是（）A ．25，26，27B ．26，27，28C ．27，28，29D ．28，29，30 8、小东是一位密码爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：-a b 、a b +、22a b -、c d -、+c d 、22c d -依次对应下列六个字：科、爱、勤、我、理、学，现将()()222222a b c a b d ---因式分解，其结果呈现的密码信息可能是（）．A ．勤学B ．爱科学C ．我爱理科D ．我爱科学9、运用平方差公式()()22a b a b a b -=+-对整式2241m n -进行因式分解时，公式中的a 可以是（）A ．224m nB ．222m n -C ．2mnD ．4mn10、下列多项式能使用平方差公式进行因式分解的是（）A ．241x +B ．21m -+C ．22a b --D ．222x y -第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、若x +y ＝5，xy ＝6，则x 2y ﹣xy 2的值为 ___．2、因式分解：3282a ab -=______．3、观察下列因式分解中的规律：①()()23212x x x x ++=++；②()()271025x x x x ++=++；③()()25623x x x x -+=--；④()()28422x x x x -=+--；利用上述系数特点分解因式26x x +-=__________．4、已知a 2＋a －1＝0，则a 3＋2a 2＋2021＝________．5、在实数范围内因式分解：x 2﹣3＝___，3x 2﹣5x +2＝___．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、因式分解（1）n 2（m ﹣2）﹣n （2﹣m ）（2）（a 2+4）2﹣16a 2．2、（Ⅰ）先化简，再求值：2[(2)(2)(2)2(2)]2a b b a b a b a b b +++--+÷，其中12a =，13b =；（Ⅱ）分解因式：① 39x x -；② 22369xy x y y --．3、先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如： x 2＋2x ﹣3＝x 2＋2x ＋1﹣4＝（x ＋1）2﹣22＝（x ＋1＋2）（x ＋1﹣2）＝（x ＋3）（x ﹣1）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：x 2﹣6x ﹣7；（2）分解因式：a 2＋4ab ﹣5b 24、仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知：二次三项式x 2﹣4x +m 有一个因式是（x +3），求另一个因式以及m 的值．解：设另一个因式为（x +n ），得x 2﹣4x +m ＝（x +3）（x +n ），则x 2﹣4x +m ＝x 2+（n +3）x +3n∴343n m n +=-⎧⎨=⎩ 解得：n ＝﹣7，m ＝﹣21∴另一个因式为（x ﹣7），m 的值为﹣21．问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x 2+3x ﹣k 有一个因式是（x ﹣5），求另一个因式以及k 的值．5、（1）计算：22a ·4a ＋326()3a a -；（2）因式分解：33x ＋122x ＋12x ．---------参考答案-----------一、单选题1、B【解析】【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，进行求解即可．【详解】解：A 、2111111x x x ⎛⎫⎛⎫-=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不是整式积的形式，不是因式分解，不符而合题意； B 、2222()a ab b a b ++=+，是因式分解，符合题意；C 、1()1am bm m a b +-=+-，不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意；D 、22()()a b a b a b +-=-，不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意；故选B ．【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，熟知定义是解题的关键．2、D【解析】【分析】先提取公因式，再按照完全平方公式分解即可得到答案.【详解】解：x 3﹣2x 2+x22211,x x x x x 故选D【点睛】本题考查的是综合利用提公因式与公式法分解因式，掌握“利用完全平方公式分解因式”是解本题的关键.3、D【解析】【分析】先把（n +1）2﹣（n ﹣3）2分解因式可得结果为：()81,n -从而可得答案. 【详解】解：（n +1）2﹣（n ﹣3）2()()1313n n n n =++-+--⎡⎤⎣⎦()=224n -⨯()=81n -n 为自然数所以（n +1）2﹣（n ﹣3）2一定能被8整除，故选D【点睛】本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握“()()22a b a b a b -=+-”是解题的关键. 4、B【解析】【分析】先用平方差公式分解因式，在提取公因式即可得出结果．【详解】解：a 2+2a -b 2-2b ，=（a 2-b 2）+（2a -2b ），=（a +b ）（a -b ）+2（a -b ），=（a -b ）（a +b +2），故选：B ．【点睛】此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．5、D【分析】根据公因式是各项中的公共因式逐项判断即可．【详解】解：A 、2xy 与x 有公因式x ，不符合题意；B 、（a ﹣b ）2与a ﹣b 有公因式a ﹣b ，不符合题意；C 、c ﹣d 与2（d ﹣c ）有公因式c ﹣d ，不符合题意；D 、x ﹣y 与x +y 没有公因式，符合题意，故选：D ．【点睛】本题考查公因式，熟练掌握确定公因式的方法是解答的关键．6、C【解析】【分析】把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫因式分解，根绝定义分析判断即可．【详解】解：A 、()a m n am an +=+，该变形是去括号，不属于分解因式，该选项不符合题意；B 、()2222()a b c a b a b c --=+--，等式右边不是几个整式乘积的形式，不符合题意；C 、21055(21)x x x x -=-符合因式分解定义，该选项符合题意；D 、()()2166446x x x x x -+=+-+，等式右边不是几个整式乘积的形式，不符合题意．故选：C本题考查因式分解的定义，牢记定义内容是解题的关键．7、B【解析】【分析】先提取公因式27，再逐步利用平方差公式分解因式，即可得到答案.【详解】解：273243-=⨯-327333()()()241212=-=+-2731273131()()()1266=++-27313131()()()()12633=+++-2731313131()()126=⨯⨯⨯++2728263131所以27327-可以被26，27，28三个整数整除，故选B【点睛】本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握平方差公式的特点并灵活应用是解本题的关键.8、C【解析】【分析】利用平方差公式，将多项式进行因式分解，即可求解．【详解】解：()()()()()()()()2222222222a b c a b d a b c d a b a b c d c d ---=--=+-+-∵-a b 、a b +、c d -、+c d 依次对应的字为：科、爱、我、理，∴其结果呈现的密码信息可能是我爱理科．故选：C【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解的方法是解题的关键．9、C【解析】【分析】运用平方差公式分解因式，后确定a 值即可．【详解】∵2241m n -=(21)(21)mn mn +-，∴a 是2mn ，故选C ．【点睛】本题考查了平方差公式因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键．10、B【解析】【分析】根据平方差公式的结构特点，两个平方项，并且符号相反，对各选项分析判断即可求解．【详解】解：A 、241x +，不能进行因式分解，不符合题意；B、﹣m2+1＝1﹣m2＝（1+m）（1﹣m），可以使用平方差公式进行因式分解，符合题意；C、22--，不能使用平方差公式进行因式分解，不符合题意；a bD、22-，不能进行因式分解，不符合题意；2x y故选：B．【点睛】本题考查平方差公式进行因式分解，熟记平方差公式的结构特点是求解的关键．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．二、填空题1、6或-6##-6或6【解析】【分析】先利用完全平方公式并根据已知条件求出x-y的值，再利用提公因式法和平方差公式分解因式，然后整体代入数据计算．【详解】解：∵x+y=5，xy=6，∴（x-y）2=（x+y）2-4xy=1，∴x-y=±1，∴x2y-xy2=xy（x-y）=6（x-y），当x-y=1时，原式=6×1=6；当x-y=-1时，原式=6×（-1）=-6．故答案为：6或-6．【点睛】本题主要考查了提公因式法分解因式，根据完全平方式的两个公式之间的关系求出（x-y）的值是解本题的关键，也是难点．2、()()222a a b a b +-【解析】【分析】先提取公因式，再利用平方差公式计算即可得出答案．【详解】解：()()()32228224222a ab a a b a a b a b -=-=+-．【点睛】本题考查的是因式分解，比较简单，需要熟练掌握因式分解的方法以及步骤．3、()()32x x +-【解析】【分析】利用十字相乘法分解因式即可．【详解】解：()()2632x x x x +-=+-，故答案为：()()32x x +-．【点睛】本题考查了十字相乘法因式分解，解题关键是明确二次项系数为1的十字相乘法公式：()()2()x a b x ab x a x b +++=++．4、2022【解析】【分析】将已知条件变形为a2＝1－a、a2＋a＝1，然后将代数式a3＋2a2＋2021进一步变形进行求解．【详解】解：∵a2＋a－1＝0，∴a2＝1－a、a2＋a＝1，∴a3＋2a2＋2021，＝a•a2＋2（1－a）＋2021，＝a（1－a）＋2－2a＋2021，＝a－a2－2a＋2023，＝－a2－a＋2023，＝－（a2＋a）＋2023，＝－1＋2023＝2022．故答案为：2022【点睛】本题考查了求代数式的值,是一道涉及因式分解的计算题，考查了拆项法分解因式的运用，提公因式法的运用．5、(x x (3x-2)(x-1)【解析】【分析】前一个利用平方差公式分解；后一个利用十字相乘法因式分解即可．【详解】解：x2-3= x2-(2x x=；3x2-5x+2=(3x-2)(x-1)．故答案为：(x x；(3x-2)(x-1)．【点睛】本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．三、解答题1、（1）n（m﹣2）（n+1）；（2）（a+2）2（a﹣2）2．【解析】【分析】n m-，进行因式分解即可；（1）提取公因式(2)（2）根据平方差公式以及完全平方公式因式分解即可．【详解】（1）n2（m﹣2）﹣n（2﹣m）＝n2（m﹣2）+n（m﹣2）＝n（m﹣2）（n+1）；（2）（a2+4）2﹣16a2＝（a2+4）2﹣（4a）2＝（a2+4a+4）（a2﹣4a+4）＝（a+2）2（a﹣2）2【点睛】本题考查了因式分解，掌握提公因式法和公式法分解因式是解题的关键，注意分解要彻底．2、（Ⅰ）-a b ，16；（Ⅱ）①(3)(3)x x x -+；②2(3)y x y --【解析】【分析】（Ⅰ）括号里的使用完全平方公式与平方差公式得到单项式加减的形式，合并同类项；进行因式分解，利用除法法则进行化简，最后将a b 、的值代入，进而得出结果．（Ⅱ）①先提公因式x ，再利用平方差公式进行分解．②先提公因式y -，再利用完全平方公式进行分解．【详解】解：（Ⅰ）原式22222(44424)2a ab b b a ab b b =+++---÷2(22)2ab b b =-÷2()2b a b b =-÷ a b =-∴当12a =、13b =时原式16=．（Ⅱ）① 39x x -2(9)x x =-(3)(3)x x x =-+． ② 22369xy x y y --22(96)y x xy y =--+2(3)y x y =--．【点睛】本题考察了平方差公式、完全平方公式、因式分解、多项式与单项式的除法等知识点．解题的关键与难点在于熟练掌握乘法公式，以及运算法则．3、（1）(x+1)(x－7)；（2）(a+5b)( a－b)【解析】【分析】（1）仿照例题方法分解因式即可；（2）仿照例题方法分解因式即可；【详解】解：（1）x2﹣6x﹣7= x2﹣6x+9－16=（x－3）2－42=（x－3+4）(x－3－4)=(x+1)(x－7)；（2）a2＋4ab﹣5b2= a2＋4ab+4b2﹣9b2=（a+2b）2－(3b)2=（a+2b +3b）(a+2b－3b)=(a+5b)( a－b)．【点睛】本题考查因式分解、完全平方公式、平方差公式，熟记公式，理解题中的分解因式方法并能灵活运用是解答的关键．4、另一个因式为（2x+13），k的值为65．【解析】【分析】设另一个因式为（2x +a ），根据题意列出等式，利用系数对应相等列出得到关于a 和k 的方程求解即可．【详解】解：设另一个因式为（2x +a ），得2x 2+3x ﹣k ＝（x ﹣5）（2x +a ）则2x 2+3x ﹣k ＝2x 2+（a ﹣10）x ﹣5a∴1035a a k -=⎧⎨-=-⎩，解得：a ＝13，k ＝65．故另一个因式为（2x +13），k 的值为65．【点睛】此题考查了因式分解和整式乘法的关系，解题的关键是根据题意设出另一个因式列出等式求解．5、（1）0；（2）3x 2(2)x +【解析】【分析】（1）根据题意，得2a ·4a =6a ，326()a a =，合并同类项即可；（2）先提取公因式3x ，后套用完全平方公式即可．【详解】（1）22a ·4a ＋326()3a a -原式=26a +6a -36a＝0．（2）原式＝3x （2x ＋4x ＋4）＝3x2x ．(2)【点睛】本题考查了幂的运算，整式的加减，因式分解，熟练掌握公式，灵活按照先提取公因式，后用公式的思路分解因式是解题的关键．。

京改版七年级数学下册课件：第8章因式分解复习

难点突破
知识点2、因式分解的基本方法： 1、提公因式法：
ma＋mb＋mc＝_m__(a__＋__b_＋___c_) _． 2、公式法：
平方差公式：a2－b2＝______________；完全平方公式：a2±2ab(a＋＋bb2＝)(a_－__b__)____.
(a±b)2
难点突破
2、分解因式：3abx2+6abxy+3aby2. 解：3abx2+6abxy+3aby2 =3ab（x2＋2xy＋y2） =3ab(x+y)2.
技巧归纳：本题主要考查了提公因式和完全平方公式分解因式，明确公因式和公式是关键．
难点突破
知识点3、因式分解的一般步骤： 1、如果多项式的各项有公因式，那么__先___提__公__因__式____； 2、如果各项没有公因式，那么尽可能尝试用__公__式__法___来分解； 3、分解因式必须分解到不能再分解为止，每个因式的内部不再有括号，且同类项合并完毕，若有相同因式写成幂的形式，这些统称_____________． 4、注意因式分解中的范围，如x4－4＝(x2＋2)(x分2－解2彻)，底在实数范围内分解因式， x4－4＝(x2＋2)(x＋ )(x－ )，题目不作说明的，表明是在有理数范围内因式分解．
5、若m=2n+1，则m2-4mn+4n2的值是 1 .
随堂检测
6、把下列各式分解因式：
(1)4x2-16y2； (3)-x3y3-2x2y2-xy；
(2) 1 x2+xy+ 1 y2； (4)821a4-b4 . 2
解：(1)原式=4(x2-4y2) =4(x+2y)(x-2y)；
(3)原式=-xy(x2y2+2xy+1) =-xy(xy+1)2；

【教育资料】备战中考数学(北师大版)巩固复习因式分解(含解析)学习专用

2019备战中考数学（北师大版）巩固复习-因式分解（含解析）一、单选题1.解因式2x2－8的最终结果是（）A. 2(x2－4)B. 2(x+2)(x-2)C. 2(x—2)2D. (2x+4)(x-2)2.下列多项式中，可以用平方差公式分解因式的是（）A. x2+1B. -x2+1C. x2-2D. -x2-13.从左到右的变形，是因式分解的为（）A. （3﹣x）（3+x）=9﹣x2B. （a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3C. a2﹣4ab+4b2﹣1=a（a﹣4b）+（2b+1）（2b﹣1）D. 4x2﹣25y2=（2x+5y）（2x﹣5y）4.分解因式（2x+3）2﹣x2的结果是（）A. 3（x2+4x+3）B. 3（x2+2x+3）C. （3x+3）（x+3）D. 3（x+1）（x+3）5.下列各因式分解正确的是（）A. x2+2x﹣1=（x﹣1）2B. ﹣x2+（﹣2）2=（x﹣2）（x+2）C. x3﹣4x=x（x+2）（x﹣2）D. （x+1）2=x2+2x+16.下列变形，属于因式分解的有（）① ②③ ④A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7.下列从左到右的变形，属于因式分解的是（）A. （x+1）（x﹣1）=x2﹣1B. m2+m﹣4=（m+3）（m﹣2）+2C. x2+2x=x（x+2）D.8.把多项式（m+1）（m﹣1）+（m+1）提取公因式m+1后，余下的部分是（）A. m+1B. m﹣1C. mD. 2 m+19.下列从左到右的变形是因式分解的是( )A. 6x2-3xy=3x（2x-y）B. x2-2x+1=x（x-2）+1C. a（x+y）=ax+ayD. x2-9+8x=（x+3）（x-3）+8x10.多项式-6ab2+18a2b2-12a3b2c的公因式是（）A. -6ab2cB. -ab2C. -6ab2D. -6a3b2c11.下列因式分解正确的个数是（）①x2﹣4=（x+2）（x﹣2）②x2+6x+10=（x+2）（x+4）+2③7x2﹣63=7（x2﹣9）④（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2⑤．A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题12.分解因式：________13.分解因式：3x2－12＝________．14.分解因式：________15.已知a+b=6，a﹣b=2，则a2﹣b2=________16.分解因式：2x2+4x=________．17.将x4﹣2x2+1因式分解的最终结果是________ .18.分解因式：=________．19.因式分解：x2﹣49=________．三、计算题20.（x﹣3）2+2x（x﹣3）=0．21.已知x+y=4，xy=1.5，求x3y+2x2y2+xy3的值．四、解答题22.仔细阅读下面倒题．解答问题：例题：已知二次三项式，x2-4x+m分解因式后有一个因式是(x+3)．求另一个因式以及m的值．解：方法一：设另一个因式为(x+n)，得x2-4x+m=(x+3)(x+n)．则x2-4x+m=x2+(n+3)x+3n，∴，解得，∴另一个因式为(x-7)，m的值为-21.方法二：设x2-4x+m=k(x+3)(k≠0)，当x=-3时，左边-9+12+m，右边=0，∴9+12+m=0，解得m=-21，将x2-4x-21分解因式，得另一个因式为(x-7).仿照以上方法一或方法二解答：已知二次三项式8x2-14x-a分解因式后有一个因式是(2x-3)．求另一个因式以及a的值．五、综合题23.现有若干张如图1的正方形硬纸片A.B和长方形硬纸片C.（1）小明利用这些硬纸片拼成了如图2的一个新正方形，用两种不同的方法，计算出了新正方形的面积，由此，他得到了一个等式：________（2）小明再取其中的若干张(三种纸片都取到)拼成一个面积为a2+nab+2b2长方形，则n可取的正整数值为________，并请在图3位置画出拼成的图形________。

北京课改初中数学七下《8.0 第八章因式分解》word教案 (1)

第十五章整式的整除与因式分解15.1整式的乘法15.1.1同底数幂的乘法教学目标1.进一步理解幂的意义的现实意义。

2.通过逐步抽象探究，体验幂的乘法法则的合理性。

掌握幂的乘法法则，并能熟练运用。

3.在变式训练中体验化归思想。

教学重点：同底数幂的乘法法则。

教学难点底数互为相反数时幂的乘法运算。

教学准备课件课时数一课时教学方法让学生自主探究，从特殊到一般。

教学过程一．创设情景，复习旧知（引例）2009年10月29日，我国国防科技大学成功研制的“天河一号”其运算速度每秒可达1015次运算,那么它工作103秒可进行多少次运算?分析: 运算次数=运算速度×工作时间所以运算次数为:1015×103=？通过观察大家可以发现1015、103这两个因数是同底数幂的形式，所以我们把像1015×103的运算叫做同底数幂的乘法.1.以师问生答形式复习旧知：a n表示的意义是什么？其中a、n、a n分别叫做什么?试一试你还记得吗：2×2×2=2（）a·a·a·a·a = a( )2.自主探究请同学们先根据自己的理解，解答下列题目。

103 ×102=（10×10×10）×（10×10）（乘方的意义）= 10×10×10×10×10（乘法结合律）=105（乘方的意义）3.猜想a m ·a n =a m+n(m,n 都是正整数)证明：a m ·a n =（aa …a)(aa …a)=（aa …a ）=a m+n同底数幂的乘法：a m · a n = a m+n (m 、n 都是正整数)同底数幂相乘，底数___,指数___那么，a m ·a n ·a p = am+n+p 4.（例1）计算（1）108 ×103 （2）x 3 · x 5（3）23×24×25 （4）y m · y 3m+1解：（1）108 ×103 =108 +3= 1011 （3）23×24×25=23+4+5=212（2）x 3 · x 5 = x 3 + 5 = x 8（4) y m · y 3m+1=y m+3m+1=y 4m+1随堂练习：教科书第142页，练习（1）~（4）变式训练，拓展练习1. 变换底数：（例2）计算 ()1()5-()()3255--；()()62a a --；()3 ()22x x x -⋅-解：(1)原式=（-5）1+2+3=（-5）6；(2)原式=-a 2a 6=-a 2+6=-a 8(3)原式=-xx 2x 2=-x 1+2+2=-x 5分析：对比例2与例1的区别，关键在于把互为相反数的两个幂化为同底数幂拓展延伸练习2(1)-a 2 a 6 (3)-y 2(-y)2(2)(-x)2(-x)3(-x) (4)32×3×9 - 3×34 练习31、下面的计算对不对？如果不对，怎样改正？（1）b 5 · b 5= 2b 5 （）（2）b 5 + b 5 = b 10（）（3）x 5 ·x 2 = x 10 ( )（4）y 5 +2 y 5 =3y 10 ( )（5）c · c 3 = c 3 ( )（6）m + m 3 = m 4 ( )通过此题的计算，让学生区分同底数幂法则与合并同类项法则【中考再现】（1）已知,3,2==b a x x 求=+b a x（2）已知,1023a a a n n =⋅--则n= （3）已知2n =2,2m =8,则3n 3m =小结今天你收获了什么？（1）回顾同底数幂的运算法则（2）运用同底数幂的运算法则时应注意什么？作业课堂点睛15.1.1《同底数幂的乘法》板书设计15.1.1同底数幂的乘法1.公式：2.法则：教学反思“同底数幂乘法”这节课一开始就设置了一个有关同底数乘法的应用题，学生解决应用题并列出算式=⨯3151010？。

专题4.16 因式分解(全章复习与巩固)(巩固篇)八年级数学下册基础知识专项讲练(北师大版)

专题4.16因式分解（全章复习与巩固）（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．下列由左到右的变形中，是因式分解的是（）A ．()()22x y x y x y -+=-B ．()2441411a a a a -+=-+C ．()()2210331x x x -=+--D ．()222mR mr m R r +=+2．多项式23128ab c a b +的公因式是（）A ．24a B ．4abcC ．22a D ．4ab3．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（）A ．229x y -+B ．229x y +C ．2221x y -+D ．229x y --4．若二次三项式()()21122ax bx c a x c a x c ++=++，则当0a >，0b <，0c >时，1c ，2c 的符号为（）A ．10c >，10c >B ．10c <，20c <C ．10c >，20c <D ．1c ，2c 同号5．若ABC 的三边a ，b ，c ，满足222506810a b c a b c +++=++，则ABC 的面积为（）A ．6B ．C ．D ．86．已知实数m ，n 满足222+=+m n mn ，则2(23)(2)(2)-++-m n m n m n 的最小值为（）A ．24B ．443C ．163D ．4-7．在把多项式2223m mn n --因式分解时，虽然它不符合完全平方公式，但经过变形，可以利用完全平方公式进行分解：原式()()()222222443m mn n n m n n m n m n =-+-=--=+-，像这样构造完全平方式的方法称之为“配方法”．用这种方法把多项式2265a ab b +-因式分解的结果是（）A ．()()5a b a b ++B ．()()5a b a b -+C ．()()5a b a b +-D ．()()5a b a b --8．某同学粗心大意，因式分解时，把等式x 4-■=（x 2+4）（x+2）（x-▲）中的两个数字弄污了，则式子中“■”和“▲”对应的一组数字可能是（）A ．8和1B ．16和2C ．24和3D ．64和89．若a ，b ，c 满足227a b +=，221b c -=-，2617c a -=-，则abc 的值为（）A ．1B ．3-C ．6-D ．1210．小明用四张如图所示的纸片拼成一个大长方形，并据此写出一个多项式的因式分解，正确的是()A ．x 2＋2x ＝x(x ＋2)B ．x 2－2x ＋1＝(x －1)2C ．x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2D ．x 2＋3x ＋2＝(x ＋2)(x ＋1)二、填空题11．若多项式26x ax ++可分解为()()2x x b ++，则a b +的值为______12．若3x y -=，2xy =-，则代数式2233x y xy -的值是_____．13．已知0.5x y -=，5 3.5x y +=，则代数式2244x xy y ++的值为_________．14．已知4,6x y x y +=-=，则2222x y -=__________．15．利用因式分解计算：22111021198⨯-⨯的结果是______．16．给出下列多项式：①22x y +；②22x y -；③22x xy y ++；④222x xy y ++；⑤41x -；⑥2214m mn n -+．其中能够因式分解的是：_____________（填上序号）．17．将多项式244x +加上一个单项式后，使它能成为另一个整式的完全平方，添加的单项式可以是__________18．对于a ，b ，c ，d ，规定一种运算a cb d =ad-bc,如1324=1×4-2×3=-2,那么因式分解3x 36x --的结果是_________.三、解答题19．因式分解：(1)322x x x++(2)2()16()a x y y x -+-20．先因式分解，再计算求值：2222a b a b +-⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中18a =-，2b =．21．把下列各式分解因式：(1)234x x +-；(2)3-a b ab ；(3)22363ax axy ay -+．(4)()()x x y y y x ---22．若()22133x px x x q ⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭的积中不含x 项与3x 项．(1)求p ，q 的值；(2)比较()022p q pq -，，的大小；(3)24427x px q --是否是完全平方式？如果是，请将其分解因式；如果不是，请说明理由．23．阅读材料：教科书中提到“222a ab b ++和222a ab b -+这样的式子叫做完全平方式．”有些多项式是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解，并解决一些最值问题．例如：分解因式：()()()()()22222321412121213x x x x x x x x x --=-+-=--=-+--=+-求代数式223x x --的最小值()2222321414x x x x x --=-+-=--∵()210x -≥，∴当1x =时，代数式223x x --有最小值4-．结合以上材料解决下面的问题：(1)分解因式：267x x --；(2)当a ，b 为何值时，222242023a ab b b -+++有最小值？最小值是多少？24．有足够多的长方形和正方形卡片（如图1），分别记为1号，2号，3号卡片．(1)如果选取4张3号卡片，拼成如图2所示的一个正方形，请用2种不同的方法表示阴影部分的面积（用含m ，n 的式子表示）．①方法1：________；方法2：________；②请写出()2m n +，()2m n -，4mn 三个代数式之间的等量关系：________．(2)若640a b ab +-+-=，求()2a b -的值．(3)如图3，选取1张1号卡片，2张2号卡片，3张3号卡片，可拼成一个长方形（无缝隙不重叠），请画出该长方形，根据图形的面积关系，分解因式：2232m mn n ++=________．参考答案1．D【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．解：A 、是整式乘法，不是因式分解，故本选项不合题意；B 、等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不合题意；C 、等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不合题意；D 、是因式分解，故本选项符合题意；故选：D ．【点拨】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键．2．D【分析】根据公因式定义，对各选项整理后即可确定公因式．解：()232128432ab c a b ab bc a +=+，4ab 是公因式，故选：D ．【点拨】此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．3．A【分析】根据能用平方差公式分解因式的式子必须是两项平方项的差即可判断．解：A.229x y -+是x 与3y 的平方的差，能用平方差公式分解因式，故本选项正确，符合题意；B.229x y +两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式，故本选项错误，不符合题意；C.2221x y -+是三项，不能用平方差公式分解因式，故本选项错误，不符合题意；D.229x y --两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式，故本选项错误，不符合题意；故选：A ．【点拨】本题考查了平方差公式分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的式子必须是两项平方项的差是解题的关键．4．D【分析】首先整式的乘法展开()()1122a x c a x c ++为()212122112a a x a c a c x c c +++，然后根据0c >求解即可．解：∵()()21122ax bx c a x c a x c ++=++212122112a a x a c x a c x c c =+++，()212122112a a x a c a c x c c =+++，∵0a >，0b <，0c >，∴120a a >，12210a c a c +<，120c c >，∴1c ，2c 同号．故选：D ．【点拨】此题考查了因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握因式分解和整式乘法的关系．5．A【分析】先将条件配成完全平方式，求出a ，b ，c 的值，可得△ABC 是直角三角形，即可求面积．解：∵222506810a b c a b c +++=++，∴2226981610250a a b b c c +++++--=-，即()()()2223450a b c -+-+-=，∴3,4,5a b c ===，∴222+=a b c ，∴△ABC 是直角三角形，∴ABC 的面积为3462⨯=．故选：A【点拨】本题考查了因式分解的应用，通过因式分解判断△ABC 的形状是解决本题的关键．6．D【分析】先对所求整式进行展开，然后根据完全平方公式的性质可进行求解．解：∵222+=+m n mn ，∴2(23)(2)(2)-++-m n m n m n 222249124m n mn m n =+-+-225512m n mn =+-()5212mn mn=+-107mn =-，∵222+=+m n mn ，∴()2230m n mn +=+≥（当0m n +=时，取等号），∴23mn ≥-，∴()220m n mn -=-≥（当0-=m n 时，取等号），∴2mn ≤，∴223mn -≤≤，∴141473mn -≤-≤，∴4441073mn -≤-≤，∴2(23)(2)(2)-++-m n m n m n 的最小值为4-．故本题选：D ．【点拨】本题主要考查因式分解的应用，熟练掌握因式分解是解题的关键．7．D【分析】依照例题，根据完全平方公式、平方差公式解答．解：a 2-6ab+5b 2=a 2-6ab+9b 2-4b 2=(a-3b)2-(2b)2=(a-3b+2b)(a-3b-2b)=(a-b)(a-5b)；故选：D ．【点拨】本题考查了综合运用公式法分解因式，掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键．8．B【分析】可以看出此题是用平方差公式分解因式，可以根据整式乘法与因式分解是互逆运算变形得出．平方差公式：a 2-b 2=（a +b ）（a -b ）．解：由（x 2+4）（x +2）（x -▲）得出▲=2，则（x 2+4）（x +2）（x -2）=（x 2+4）（x 2-4）=x 4-16，则■=16．故选B ．【点拨】此题考查了学生用平方差公式分解因式的掌握情况，灵活性比较强．9．B【分析】三个等式相加，利用完全平方公式变形得到()()()2223110a b c -+++-=，利用非负数的性质求得a 、b 、c 的值即可．解：∵a ，b ，c 满足227a b +=，221b c -=-，2617c a -=-，∴()()()()()222226711711a b b c c a ++-+-=+-+-=-，∴()()()2226921210a a b b c c -+++++-+=，∴()()()2223110a b c -+++-=，∴30a -=，10b +=，10c -=，∴3a =，1b =-，1c =，∴()3113abc =⨯-⨯=-，故选：B ．【点拨】本题考查完全平方公式、代数式求值，解答的关键是通过对等式的变形化为完全平方式，根据平方式的非负性求出a 、b 、c 的值，并准确的计算．10．D解：小明用四张长方形或正方形纸片拼成一个大长方形，小亮根据小明的拼图过程，写出多项式x 2+3x+2因式分解的结果为（x+1）（x+2）,即x 2＋3x ＋2＝(x ＋2)(x ＋1)．故选D ．11．8【分析】先将()()2x x b ++的括号展开，求出a 和b 的值，代入求解即可．解：()()()2222222x x b x x bx b x b x b ++=+++=+++，∵()22622x ax x b x b ++=+++，∴2,26b a b +==，解得：5,3a b ==，∴538a b +=+=．故答案为：8．【点拨】本题主要考查了多项式乘以多项式，解题的关键是熟练掌握多项式乘以多项式的法则．12．18-【分析】原式提取公因式后，将已知等式代入计算即可求出值．解：∵3x y -=，2xy =-，∴原式()318xy x y =-=-，故答案为：18-【点拨】此题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．13．4【分析】根据已知等式得出22x y +=，将代数式因式分解即可求解．解：∵0.5x y -=，5 3.5x y +=，∴244x y +=∴22x y +=∴2244x xy y ++()22x y =+22=4=，故答案为：4．【点拨】本题考查了已知式子的值求代数式的值，因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．14．48【分析】先因式分解得出()()22222x y x y x y -=+-，再把4,6x y x y +=-=代入即可得出答案解：∵()()()22222x 2y 2x y 2x y x y -=-=+-，∵4,6x y x y +=-=，∴原式=24648⨯⨯=故答案为：48【点拨】本题考查了利用平方差公式分解因式和求代数式的值，掌握整体代入的方法是解题的关键15．8800【分析】先提出11，再根据平方差公式计算即可．解：原式=2211(10298)⨯-=11(10298)(10298)⨯+⨯-=112004⨯⨯=8800．故答案为：8800．【点拨】本题主要考查了应用因式分解计算，掌握平方公式是解题的关键．即22()()a b a b a b -=+-．16．②④⑤⑥【分析】根据提公因式法以及公式法对各个多项式依次加以分析进行判断求解即可.解：①22x y +，不符合公式，也没有公因式，故无法因式分解；②()()22x y x y x y -=+-，故可以因式分解；③22x xy y ++，不符合公式，也没有公因式，故无法因式分解；④()2222x xy y x y ++=+，故可以因式分解；⑤()()()()()4222111111x x x x x x -=+-=++-，故可以因式分解；⑥2221142m mn n m n ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，故可以因式分解；综上所述，②④⑤⑥可以因式分解，故答案为：②④⑤⑥.【点拨】本题主要考查了因式分解的运用，熟练掌握相关方法及公式是解题关键.17．8x 、8x -、4x 【分析】根据完全平方式的特点，首平方，尾平方，首尾的2倍在中央，进行求解即可．解：∵将多项式244x +加上一个单项式后，使它能成为另一个整式的完全平方，即：加上一个单项式后，多项式变为完全平方式，∵()22242,42x x ==，∴可以添加：2228,2228x x x x ⨯⨯=-⨯⨯=-，当24x 为首尾的2倍时，即：22422x x =⨯⨯，首项可以是：()422x x =；综上：可以添加的是：8x 、8x -、4x 故答案为：8x 、8x -、4x ．【点拨】本题考查的是完全平方式，利用完全平方公式分解因式，理解完全平方式是解题的关键．18．(x-3)2【分析】根据运算法则列出代数式，再按照完全平方公式进行因式分解即可.解：3x 36x --=x(x-6)-3×(-3)=x 2-6x+9=(x-3)2.故答案为(x-3)2【点拨】本题考查利用公式法因式分解，根据运算法则列出代数式并熟练掌握完全平方公式是解题关键.19．(1)2(1)x x +；(2)()()()44x y a a -+-【分析】（1）先提公因式，再用完全平方公式进行分解；（2）先提公因式，再用平方差公式进行分解．解：（1）322x x x++()221x x x +=+()21x x =+（2）2()16()a x y y x -+-()()216a x y x y =---()()216x y a =--()()()44x y a a =-+-【点拨】本题考查因式分解，熟练使用提公因式，完全平方公式，平方差公式是解题的关键．20．14-；【分析】根据平方差公式因式分解化简计算，再代入数字求解即可得到答案；解：原式()(2222a b a b a b a b +-+-=+-ab =，当18a =-，2b =时，原式11284ab ==-´=-；【点拨】本题考查公式法因式分解化简，化简求值，解题的关键是熟练掌握平方差公式22()()a b a b a b -=+-．21．(1)(4)(1)x x +-；(2)(1)(1)ab a a +-；(3)23()a x y -；(4)()()x y x y +-【分析】（1）根据十字相乘法因式分解即可求解；（2）先提公因式ab ，然后根据平方差公式因式分解即可求解；（3）先提公因式3a ，然后根据完全平方公式因式分解即可求解；（4）先提公因式()x y -，进而即可求解．（1）解：2( 34)41()x x x x +-=+-；（2）解：3-a b ab2(1)ab a =-(1)(1)ab a a =+-；（3）解：22363ax axy ay -+223(2)a x xy y =-+23()a x y =-；（4）解：()()x x y y y x ---()()x x y y x y =-+-()()x y x y =+-．【点拨】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．22．(1)133p q ==-，；(2)()022p q pq =<﹣；(3)是，()223x -【分析】（1）利用多项式乘法法则展开后合并同类项，根据积中不含x 项与3x 项得到3010p pq -=+=，，即可得到p ，q 的值；（2）根据（1）中得到的p ，q 的值分别计算()022p q pq -，，，即可得出结论；（3）把p ，q 的值代入24427x px q --进行判断和分解因式即可．解：（1）()22133x px x x q ⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭432322113333x x qx px px pqx x x q =-++-+-+-()()4321133133x p x q p x pq x q ⎛⎫=+-+--++- ⎪⎝⎭∵多项式中不含x 项与3x 项，∴3010p pq -=+=，，∴133p q ==-，；（2）221139p -==，221139q ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，()()0011pq =-=，∴()022p q pq -=<；（3）24427x px q --是完全平方式，∵()2224242749231x px q x x x ---=+=-．【点拨】此题考查多项式乘法、负整数指数幂、零指数幂、因式分解等知识，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．23．(1)()()17+-x x ；(2)2a b ==-时，最小值为2019．【分析】（1）将多项式加9再减9，利用配方法可得；（2）将多项式配方后可得结论．（1）解：267x x --26916x x =-+-()2234x =--()()3434x x =-+--()()17x x =+-；（2）解：222242023a ab b b -+++2222442019a ab b b b =-+++++()()2222019a b b =-+++，∵()20a b -≥，()220b +≥，∴当0a b -=，20b +=，即2a b ==-时，原代数式有最小值，最小值为2019．【点拨】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，将多项式配方，再利用非负数的性质解答是解题的关键．24．(1)①2()m n -，2()4m n mn +-；②22()()4m n m n mn -=+-；(2)20；(3)图见详解，()()2m n m n ++【分析】（1）①从“整体”和“部分”两个方面分别表示阴影部分的面积即可；②由①中两种方法所表示的面积相等可得答案；（2）根据非负数的定义可得6a b +=，4ab =，再根据22()()4a b a b ab -=+-进行计算即可；（3）求出所拼成的长方形的长、宽以及总面积即可．（1）解：①方法1：图2中阴影部分是边长为()m n -，因此面积为2()m n -，方法2：图2阴影部分也可以看作从边长为()m n +的正方形减去4个长为m ．宽为n 的长方形面积，因此有2()4m n mn +-，故答案为：2()m n -，2()4m n mn +-；②由①得22()()4m n m n mn -=+-，故答案为：22()()4m n m n mn -=+-；（2）解：640a b ab +-+-= ，60a b +-≥，40ab -≥，60a b +-= ，40ab -=，即6a b +=，4ab =，22()()4a b a b ab∴-=+-3616=-20=，∴2()a b -的值为20；（3）解：1张1号，2张2号，3张3号卡片的总面积为2223m n mn ++，而1张1号，2张2号，3张3号卡片可以拼成长为(2)m n +，宽为()m n +的长方形，如图所示：∴有2223(2)()m n mn m n m n ++=++，故答案为：2223(2)()m n mn m n m n ++=++．【点拨】本题考查完全平方公式，多项式乘以单项式，因式分解的应用，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．。

精品解析2021-2022学年京改版七年级数学下册第八章因式分解必考点解析练习题(含详解)

京改版七年级数学下册第八章因式分解必考点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、n 为正整数，若2an ﹣1﹣4an +1的公因式是M ，则M 等于（）A ．an ﹣1B ．2anC ．2an ﹣1D ．2an +12、下列各式能用公式法因式分解的是（）．A ．2214x xy y -+ B ．222x xy y +- C ．22x xy y ++ D ．22x y --3、将2(2)(2)m a m a -+-分解因式，正确的是（）A ．2(2)()a m m --B ．(2)(1)m a m -+C ．(2)(1)m a m --D ．(2)(1)m a m --4、下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A ． 2x ﹣2x ﹣1＝2(1)x -B ．（a ＋b ）（a ﹣b ）＝22a b -C ．2x ﹣4x ＋4＝2(2)x -D ．2x ﹣1＝2(1)x - 5、一元二次方程x 2－3x ＝0的根是（）A ．x ＝0B ．x ＝3C ．x 1＝0，x 2＝3D ．x 1＝0，x 2＝－36、下列因式分解正确的是（）A ．2243(2)1x x x ++=+-B ．1(1)(1)ab a b a b -+-=--C ．22()()a b a b a b -=+-D ．2224(2)x x x -+=-7、下列分解因式结果正确的是（）A ．a 2b ＋7ab ﹣b ＝b （a 2＋7a ）B ．3x 2y ﹣3xy ＋6y ＝3y （x 2﹣x ﹣2） C ．8xyz ﹣6x 2y 2＝2xyz （4﹣3xy ） D ．﹣2a 2＋4ab ﹣6ac ＝﹣2a （a ﹣2b ＋3c ） 8、下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（）A ．2161x +B ．221x x +-C ．2224a ab b ++D ．214x x -+ 9、下列各式中从左到右的变形中，是因式分解的是（）A ．()()2339a a a +-=-B ．2(2)(2)m a m a -+-C ．()()22a b a b a b -=+-D ．25454a a a a a⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭ 10、下列各式从左至右是因式分解的是（）A ．()242(2)a a a -=+-B ．()()2211x y x y x y --=+--C ．222()x y x xy y +=++D ．222()2x y x xy y -=++第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、分解因式：8()4()6()a x a b a x c x a -+---=________．（直接写出结果）2、因式分解：()()32m x y n y x ---=______．3、分解因式：﹣8a 3b +8a 2b 2﹣2ab 3＝_____．4、由多项式与多项式相乘的法则可知：即：（a ＋b ）（a 2﹣ab ＋b 2）＝a 3﹣a 2b ＋ab 2＋a 2b ﹣ab 2＋b 3＝a 3＋b 3即：（a ＋b ）（a 2﹣ab ＋b 2）＝a 3＋b 3①，我们把等式①叫做多项式乘法的立方和公式．同理，（a ﹣b ）（a 2＋ab ＋b 2）＝a 3﹣b 3②，我们把等式②叫做多项式乘法的立方差公式．请利用公式分解因式：﹣64x 3＋y 3＝___．5、单项式4m 2n 2与12m 3n 2的公因式是________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、已知8x y +=，6xy =．求：（1）22x y xy +的值；（2）22x y +的值． 2、分解因式（1）32218x xy -；（2）()(4)a b a b ab --+．3、因式分解（1）42222244a x a x y x y -+（2）（x －1）（x －3）－84、因式分解：2244x x a +-+5、观察下列因式分解的过程：①2298(8)(8)(8)(8)(1)(8)x x x x x x x x x x ++=+++=+++=++②223444(4)(4)(4)(1)x x x x x x x x x x --=-+-=-+-=-+③2256236(2)3(2)(2)(3)x x x x x x x x x x -+=--+=---=--……根据上述因式分解的方法，尝试将下列各式进行因式分解：（1）223x x --；（2）287t t -+．---------参考答案-----------一、单选题1、C【解析】【分析】根据提取公因式的方法计算即可；【详解】原式()1121222?2212n n n aa a a a ---=-=-， ∴2an ﹣1﹣4an +1的公因式是12n a -，即12n M a -=；故选C ．【点睛】本题主要考查了利用提取公因式法因式分解，准确分析计算是解题的关键．2、A【解析】利用完全平方公式和平方差公式对各个选项进行判断即可．【详解】解：A 、22211(42x xy y x y -+=-），故本选项正确； B 、x 2+2xy -y 2一、三项不符合完全平方公式，不能用公式法进行因式分解，故本选项错误；C 、x 2+xy -y 2中间乘积项不是两底数积的2倍，不能用公式法进行因式分解，故本选项错误；D 、-x 2-y 2不符合平方差公式，不能用公式法进行因式分解，故本选项错误．故选：A ．【点睛】本题考查了公式法分解因式，能用完全平方公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，熟记公式结构是求解的关键．3、C【解析】【分析】直接利用提取公因式法进行分解因式即可．【详解】解：2m ()2a -＋()2m a -＝2m ()2a -()2m a --＝()()21m a m --；故选C ．【点睛】本题主要考查提公因式法进行因式分解，熟练掌握提公因式法进行因式分解是解题的关键．4、C【解析】根据因式分解的定义和方法逐一判断即可．【详解】∵2(1)x -＝2x ﹣2x ＋1≠2x ﹣2x ﹣1，∴A 不是因式分解，不符合题意；∵（a ＋b ）（a ﹣b ）＝22a b -不符合因式分解的定义，∴B 不是因式分解，不符合题意；∵2x ﹣4x ＋4＝2(2)x -,符合因式分解的定义，∴C 是因式分解，符合题意；∵2x ﹣1≠2(1)x -，不符合因式分解的定义，∴D 不是因式分解，不符合题意；故选C ．【点睛】本题考查了因式分解的定义即把一个多项式分成几个因式的积的形式，熟练掌握因式分解的实质是恒等变形是解题的关键．5、C【解析】【分析】利用提公因式法解一元二次方程．【详解】解： x 2－3x ＝0=0x ∴或=3x故选：C ．【点睛】本题考查提公因式法解一元二次方程，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．6、C【解析】【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，根据因式分解的定义和方法即可求解．【详解】解：A 、243(3)(1)x x x x ++=++，错误，故该选项不符合题意；B 、1(1)(1)ab a b a b -+-=+-，错误，故该选项不符合题意；C 、22()()a b a b a b -=+-，正确，故该选项符合题意；D 、224x x -+，不能进行因式分解，故该选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．7、D【解析】【分析】分别对四个选项进行因式分解，然后进行判断即可．解：A 、原式＝b （a 2＋7a -1），故不符合题意；B 、原式＝3y （x 2﹣x ＋2），故不符合题意；C 、原式＝2xy （4z ﹣3xy ），故不符合题意；D 、原式＝﹣2a （a ﹣2b ＋3c ），故符合题意．故选D ．【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键在于能够熟练掌握提公因式法分解因式．8、D【解析】【分析】根据完全平方公式法分解因式，即可求解．【详解】解：A 、不能用完全平方公式因式分解，故本选项不符合题意； B 、不能用完全平方公式因式分解，故本选项不符合题意；C 、不能用完全平方公式因式分解，故本选项不符合题意；D 、221142x x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭能用完全平方公式因式分解，故本选项符合题意；故选：D【点睛】本题主要考查了完全平方公式法分解因式，熟练掌握()2222a ab b a b ±+=± 是解题的关键．9、C【分析】由题意依据因式分解的定义即把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可．【详解】解：A 、()()2339a a a +-=-，是整式的乘法，不是因式分解故A 错误；B 、2(2)(2)m a m a -+-，是整式不是因式分解；C 、()()22a b a b a b -=+-，是因式分解；D 、25454a a a a a ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭右边不是整式的积的形式（含有分式），不是因式分解；故选：C ．【点睛】本题考查了因式分解的意义，注意因式分解后左边和右边是相等的，不能凭空想象右边的式子．10、A【解析】【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．【详解】解：A 、()242(2)a a a -=+-，等式从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；B 、()()2211x y x y x y --=+--，等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；C 、222()x y x xy y +=++，是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；D 、222()2x y x xy y -=++，是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意．故选：A ．【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．二、填空题1、2（x －a ）（4a －2b －3c ）【解析】【分析】提出公因式2（x －a ）即可求得结果【详解】解：8()4()6()a x a b a x c x a -+---=2（x －a ）（4a －2b －3c ）故答案为：2（x －a ）（4a －2b －3c ）【点睛】本题考查了提公因式法因式分解，正确的找到公因式是解题的关键．2、()()32x y m n -+【解析】【分析】先将原式变形为()()32m x y n x y -+-，再利用提公因式法分解即可．【详解】解：原式()()32m x y n x y =-+-()()32x y m n =-+，故答案为：()()32x y m n -+．【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解决本题的关键．3、﹣2ab （2a ﹣b ）2【解析】【分析】先提取公因式-2ab ，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【详解】解：原式＝﹣2ab （4a 2﹣4ab +b 2）＝﹣2ab （2a ﹣b ）2，故答案为：﹣2ab （2a ﹣b ）2．【点睛】本题考查提公因式法，公式法分解因式，解题的关键在于提取公因式后要继续进行二次分解因式．4、()()224416y x y xy x -++ 【解析】【分析】根据题意根据立方差公式因式分解即可．【详解】﹣64x 3＋y 3()334y x =- ()()224416y x y xy x =-++故答案为：()()224416y x y xy x -++【点睛】本题考查了因式分解，根据题意套用立方差公式是解题的关键．5、4m 2n 2【解析】【分析】找到系数的公共部分，再找到因式的公共部分即可．【详解】解：由于4和12的公因数是4，m 2n 2和m 3n 2的公共部分为m 2n 2，所以4m 2n 2与12m 3n 2的公因式是4m 2n 2．故答案为4m 2n 2．【点睛】本题主要考查公因式，熟练掌握如何去找公因式是解题的关键．三、解答题1、（1）48；（2）52【解析】【分析】（1）原式提取公因式，将已知等式代入计算即可求出值；（2）原式利用完全平方公式变形后，将各自的值代入计算即可求出值．【详解】解：（1）∵8x y +=，6xy =．∴()226848xy x x y xy y ==⨯=++；（2）∵8x y +=，6xy =．∴()22222826641252x y xy x y =+-=-⨯=-=+．【点睛】此题考查了因式分解，完全平方公式变形，代数式求值，熟练掌握因式分解方法，完全平方公式是解本题的关键．2、（1）2(3)(3)x x y x y +-；（2）2(2)a b -．【解析】【分析】（1）先提公因式，再根据平方差公式因式分解即可；（2）先根据整式的乘法展开，进而根据完全平方公式因式分解即可【详解】解：（1）2x 3﹣18xy 2 =2x （x 2﹣9y 2）=2x （x+3y ）（x-3y ）（2）（a ﹣b ）（a ﹣4b ）+ab =a 2﹣4ab-ab +4b 2+ab=a 2﹣4ab +4b 2=（a ﹣2b ）2【点睛】本题考查了提公因式法因式分解和公式法因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．3、（1）x 2（a 2-2y ）2；（2）（x -5）（x +1）【解析】【分析】（1）先提取x 2，再根据完全平方公式即可求解；（2）先化简，再根据十字相乘法即可求解．【详解】解：（1）42222244a x a x y x y -+=x 2（a 4-4a 2y +4y 2）=x 2（a 2-2y ）2（2）（x －1）（x －3）－8=x 2-4x +3-8=x 2-4x -5=（x -5）（x +1）．【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知因式分解的方法．4、(2)(2)x a x a ++-+【解析】【分析】把原式分组成()2244x x a ++-，然后利用完全平方公式和平方差公式化简即可．【详解】解：原式()2244x x a =++-22(2)x a =+-(2)(2)x a x a =+++-【点睛】本题考查了利用完全平方公式和平方差公式因式分解，把原式有3项适合完全平方的放在一起进行因式分解是解答此题的关键．5、（1）(1)(3)x x +-；（2）()()71t t --【解析】【分析】（1）根据题中的方法，适当加减适合的数，再提取公因式，将各式分解即可；（2）根据题中的方法分解因式即可．【详解】解：（1）()()()()()()2223333331x x x x x x x x x x --=-+-=-+-=-+；（2）()()()()()()2228777777771t t t t t t t t t t t t t -+=--+=---=---=--．【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握提取公因式进行因式分解．。

七年级数学下册第八章因式分解8.1因式分解学案无答案北京课改版.docx

因式分解【学习目标】1．了解分解因式的意义，以及它与整式乘法的相互关系。

2．感受因式分解在解决相关问题中的作用。

3．通过因式分解培养学生逆向思维的能力。

【学习重难点】重点：理解分解因式的意义，准确地辨析整式乘法与分解因式这两种变形。

难点：对分解因式与整式关系的理解【学习过程】一、知识回顾1．你会计算（a+1）(a-1)吗？2．做一做：（1）计算下列各式：①（m+4）（m －4）=__________；②2)3(-y =__________；③)1(3-x x =__________；（2）根据上面的算式填空：①m 2－16=（）（）；②y 2－6y+9=（）2．③3x 2－3x=（）（）；二、预习导学知识点一：因式的概念对于两个多项式f 和g ，如果有多项式h=fg ，那么我们把g 叫做f 的，此时也是f 的一个因式。

知识点二：因式分解的概念一般地，类似于把m 2－16写成（m+4）(m-4)的形式，把3x 2－3x 写成)1(3-x x 的形式，叫做。

知识点三：质数的定义什么叫质数（素数）？质数有什么特征？三、合作探究：由m （a+b+c ）得到ma+ mb + mc 的变形是什么运算？由ma +mb + mc 得到m （a+b+c ）的变形与这种运算有什么不同？你还能举一些类似的例子加以说明吗？联系：区别：即ma+mb+mcm （a+b+c ）所以，因式分解与多项式乘法是相反方向的变形。

【课堂展示】判断下列各式哪些是分解因式？（1）224x y -=(x+2y)(x-2y) （2）2x(x-3y)=22x -6xy（3）()251a -=225a -10a+1 （4）2x +4x+4=()22x +（5）(a-3)(a+3)=2a -9 （6）2m -4=(m+2)(m-2)（7）2πR+ 2πr= 2π(R+r)【达标检测】1．写出下列多项式的因式：（1）)(2y x x + （2）)2)(2(-+a a（3）)2(3+a ab （4）)3)(2)(1(+++a a a a（5）22)()(b a b a -+2．指出下列各式中从左到右的变形哪个是分解因式？（1）x 2－2=(x+1)(x －1)－1（2）(x－3)(x+2)=x2－x—6 （3）3m2n－6mn=3mn(m－2) （4）ma+mb+mc=m(a+b)+mc （5）a2－4ab+4b2=(a－2b)2。

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