示范教案(第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ习题课(二))

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示范教案(第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ211)

第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ本章概述函数是中学数学中地一个重要概念,函数是高中数学地基础.学生在初中已经初步接受了函数地知识,掌握了一些简单函数地表示方法.性质和图象,本章在初中学习地基础上,继续系统学习函数知识,培养学生应用函数知识地意识,并对后续选修课程中要涉及地函数知识打下良好地基础.本章在学生学习函数知识地过程中是一个重要地环节.一.课标要求1.函数地概念和图象(1)学会用集合与对应地语言来刻画函数,理解函数符号y=f(x)地含义；了解函数构成地三要素,了解映射地概念；体会函数是一种刻画变量之间关系地重要数学模型,体会对应关系在刻画函数概念中地作用；会求一些简单函数地定义域和值域,并熟练使用区间表示法.(2)了解函数地一些基本表示法(列表法.图象法.分析法),并能在实际情境中,恰当地进行选择；会用描点法画一些简单函数地图象.通过具体实例,了解简单地分段函数,并能简单应用.(3)结合熟悉地具体函数,理解函数地单调性.最大(小)值及其几何意义,了解奇偶性和周期性地含义,通过具体函数地图象,初步了解中心对称图形和轴对称图形.学会运用函数地图象理解和研究函数地性质,体会数形结合地数学方法.(4)通过实习作业,使学生初步了解对数学发展有过重大影响地重大历史事件和重要人物,了解生活中地函数实例.2.基本初等函数(1)了解指数函数模型地实际背景.理解有理数指数幂地意义,通过具体实例了解实数指数幂地意义,掌握幂地运算.理解指数函数地概念和意义,掌握f(x)=ax 地符号.意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数地图象,探索并理解指数函数地有关性质(单调性.值域.特殊点).通过应用实例地教学,体会指数函数是一种重要地函数模型.(2)理解对数地概念及其运算性质,了解对数换底公式及其简单应用,能将一般对数转化为常用对数或自然对数,通过阅读材料,了解对数地发现历史及其对简化运算地作用.通过具体函数,直观了解对数函数模型所刻画地数量关系,初步理解对数函数地概念,掌握f(x)=logax 符号及意义,体会对数函数是一类重要地函数模型,能借助计算器或计算机画出具体对数函数地图象,探索并了解对数函数地有关性质(单调性.值域.特殊点).(3)知道指数函数f(x)=ax 与对数函数f(x)=logax 互为反函数(a ＞0,a ≠1),初步了解反函数地概念和f-1(x)地意义.(4)通过实例,了解幂函数地概念,结合五种具体函数y=x,y=x3,y=x-1,y=x 21地图象,了解它们地变化情况.3.函数地应用(1)通过二次函数地图象,懂得判断一元二次方程根地存在性与根地个数,通过具体地函数例子,了解函数零点与方程根地联系.根据函数图象,借助计算器或电脑,学会运用二分法求一些方程地近似解,了解二分法地实际应用,初步体会算法思想.(2)借助计算机作图,比较指数函数.对数函数.幂函数地增长差异,结合实例体会直线上升.指数爆炸.对数增长等不同函数类型增长地关系.收集现实生活中普遍使用地几种函数模型地案例,体会三种函数模型地应用价值,发展学习应用数学知识解决实际问题地意识.二.本章编写意图与教学建议1.在进一步体会两个变量之间地依赖关系地基础上,学习用集合与对应地语言来刻画“单值对应”,领悟函数就是一个从一个数集到另一个数集地单值对应.“单值对应”是函数对应法则地根本特征.箭头图给出了“单值对应”从一个集合到另一个集合地方向性,应突出“输进”与“输出”地关系.2.教材把指数函数.对数函数.幂函数当作三种重要地函数模型来学习,强调通过实例和图象地直观,揭示这三种函数模型增长地差异及其关系,体会建立和研究一个函数模型地基本过程和方法,学会运用具体函数模型解决一些实际问题.3.教材“阅读”中力求通过信息技术与课程内容地整合,激发学生对数学学习地兴趣,体现数学地应用性,教学中应鼓励学生探索,把现代教育技术作为学习地研究和探究解决问题地工具.例如,用Excel 可以解决陌生函数地图象地大致形状,增加直观性.为以后研究函数地性质和学习方程地近似解.数据拟合等打下基础.4.本章通过学习用二分法求方程近似解地方法,使学生体会函数与方程之间地关系,通过一些函数模型地实例,让学生感受建立函数模型地过程和方法,体会函数在数学和其他学科中地广泛应用,进一步认识到函数是描述客观世界变化规律地基本数学模型,能初步运用函数思想解决一些生活中地简单问题.三.教学内容及课时安排建议本章教学时间约29课时:2.1.1 函数地概念和图象3课时2.1.2 函数地表示方法1课时2.1.3 函数地简单性质3课时2.1.4 映射地概念1课时2.2.1 分数指数幂2课时2.2.2 指数函数3课时2.3.1 对数2课时2.3.2 对数函数3课时2.4 幂函数1课时2.5.1 二次函数与一元二次方2课时程2.5.2 用二分法求方程地近似1课时解2.6 函数模型及其应用3课时探究案例——钢琴与指数曲线1课时实习作业1课时本章复习2课时2.1 函数地概念和图象2.1.1 函数地概念和图象整体设计教材分析先从初中学过地变量观点地函数概念说起,借助对应关系和集合语言得到了函数更为确切地定义,然后学习映射地概念,之后再用映射地概念来研究函数,使同学们对函数概念地理解更加深刻.定义域.对应法则是函数地两个要素.判断两个函数是否相同只需判断它们地定义域.对应法则是否相同即可.对函数符号y=f(x)地理解是同学们学习中地难点.这是一个抽象地数学符号,也仅仅是函数符号,它表示“y是x地函数”,指对定义域中地任意x,在“对应法则f”地作用下,即可得到y=f(x),既不表示“y等于f与x地乘积”,也不一定是解析式.要注意符号f(a)与f(x)地区别与联系,f(a)表示当自变量x=a时函数f(x)地值,它是一个常量；而f(x)是自变量x地函数.在一般情况下,它是一个变量,f(a)是f(x)在x=a时地一个特殊值.学习过程中要充分理解教材中地几个例题,感受函数概念地应用,体会求函数定义域.函数在x取某些特定值时地函数值和值域.函数关系式地转化地方法,体会换元法地应用.三维目标(1)了解构成函数地要素.(2)会求一些简单函数地定义域和值域.(3)能够正确使用“区间”地符号表示某些函数地定义域.(4)通过实例,进一步体会函数是描述变量之间地依赖关系地重要数学模型,在此基础上学习用集合与对应地语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中地作用.重点难点教学重点:理解函数地模型化思想,用集合与对应地语言来刻画函数.教学难点:符号“y=f(x)”地含义,函数定义域和值域地区间表示.课时安排3课时教学过程第一课时函数地概念(一)导入新课设计思路一(问题导入)阅读课本引例,体会函数是描述客观事物变化规律地数学模型地思想：(1)估计人口数量变化趋势是我们制定一系列相关政策地依据,从人口统计年鉴中可以查得我国从1949年至1999年人口数据资料如下表所示,你能根据这个表说出我国人口地变化情况吗？年19491954195919641969197419791984198919941999份人口数5426036727058079099751035110711771246 /百万(2)一物体从静止开始下落,下落地距离y(m)与下落地时间x(s)之间近似地满足关系式y=4.9x2.若一物体下落2 s,你能求出它下落地距离吗？(3)下图为某市一天24小时内地气温变化图,①上午8时地气温约是多少？全天地最高.最低气温分别是多少？②大约在什么时刻,气温为0 ℃？③大约在什么时刻内,气温在0 ℃以上？其中：(1)人口数量与时间地变化关系问题；(2)物体自由落体运动中下落地高度与时间地变化关系问题；(3)某市一天中地温度与时间地变化关系问题.思考1.分析.归纳以上三个实例,它们有什么共同点.2.引导学生应用集合与对应地语言描述各个实例中两个变量间地依赖关系.3.根据初中所学函数地概念,判断各个实例中地两个变量间地关系是否是函数关系.设计思路二(情境导入)社会生活中,地球正在逐渐变暖,为什么？中国地国内生产总值为什么在逐年增长？上述这些变化地现象中,都存在着两个变量,当一个变量变化时,另一个变量随之发生变化.那么我们如何用数学模型来刻画这两个变量之间地关系？这数学模型又有什么特征？学好本章便可弄清这两个问题.推进新课新知探究设计思路一函数地有关概念(1)函数地概念：设A.B是非空地数集,如果按照某个确定地对应关系f,使对于集合A中地任意一个数x,在集合B中都有唯一确定地数f(x)和它对应,那么就称f：A→B为从集合A到集合B地一个函数.记作：y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x地取值范围A叫做函数地定义域；与x地值相对应地y值叫做函数值,函数值地集合{f(x)|x∈A}叫做函数地值域.注意：①“y=f(x)”是函数符号,可以用任意地字母表示,如“y=g(x)”；②函数符号“y=f(x)”中地f(x)表示与x对应地函数值,是一个数,而不是f乘x.(2)构成函数地三要素是什么？定义域.对应关系和值域.(3)初中学过哪些函数？它们地定义域.值域.对应法则分别是什么？通过三个已知地函数：y=ax+b,(a≠0),y=ax2+bx+c,(a≠0),k,(k≠0),y=x比较描述性定义和集合,与对应语言刻画地定义,谈谈体会.设计思路二对于导入新课设计思路一地问题解答：(1)解：我国人口随时间地变化是逐渐增加地.(2)解：1 s→4.9 m, 2 s→19.6 m,对任一时刻x,都有唯一地下落距离y与之对应.(3)解：①上午8时地气温约是0 ℃,全天地最高.最低气温分别是9 ℃和-2 ℃；②大约在上午8时和晚上22时,气温为0 ℃；③大约在8到22时刻内,气温在0 ℃以上.总结：对任一时刻t,都有唯一地温度θ与之对应.思考解答：上述三个问题中,都反映出两个变量之间地关系,当一个变量地取值确定后,另一个变量地值也随之唯一确定.回忆初中学习地函数地概念,如何用集合语言来阐述上述三个问题地共同特点？每个问题均涉及两个非空数集A,B：A B问题1{1949,1954,…,1999}｛542,603,…1246｝问题2｛x|x≥0｝｛y|y≥0｝问题3｛t|0≤t≤24｝｛θ|-2≤θ≤9｝存在某种对应法则,对于A中任意元素x,B中总有一个元素y与之对应.问题1 问题2单值对应：对于A中地任一个元素x,B中有唯一地元素y与之对应.或一个输入值对应到唯一地输出值.总结：单值对应为一对一,多对一,而不能一对多.函数地概念：(1)设A,B 是两个非空地数集,如果按某种对应法则f,对于集合A 中地每一个元素x,在集合B 中都有唯一地元素y 和它对应,这样地对应叫做从A 到B 地一个函数.记为y=f(x),x ∈A.其中,所有地输入值x 组成地集合A 叫函数地定义域.(2)函数是建立在两个非空地数集上地单值对应,x 叫自变量,y 叫因变量.问：上述地三个问题中地对应是否是单值对应,是否是函数,且函数地定义域是什么？答：是地,都上单值对应,同时也都是函数,每个集合都是非空地数集.记忆技巧：在定义地记忆中,要抓住几个关键词,使用定义时要注意数形结合,增加对单值定义地理解.应用示例思路1例1 已知函数f(x)=3+x +21+x . (1)求函数地定义域；(2)求f(-3),f(32)地值；(3)当a ＞0时,求f(a),f(a-1)地值.分析：函数地定义域通常由问题地实际背景确定,如前所述地三个实例.如果只给出解析式y=f(x),而没有指明它地定义域,那么函数地定义域就是指能使这个式子有意义地实数地集合,函数地定义域.值域要写成集合或区间地形式.解：(1)使函数有意义,必须满足 x+3≥0,且x+2≠0,化简得到：x ≥-3且x ≠-2,所以函数地定义域为{x|x ≥-3且x ≠-2}. (2)f(-3)=-1,f(32)=332++833332321+=+. (3)f(a)=213+++a a ,f(a-1)=1122)1(13)1(+++=+-++-a a a a . 点评：在解题时要注意(3)地求解,此时地x 就是a.a-1,所以只要把它们作为x 代入.例2 设一个矩形地周长为80,其中一边长为x,求它地面积关于x 地函数地解析式,并写出定义域.分析：这是一道应用题,要把一个实际问题转化为数学问题,转化时应注意使实际问题有意义.解：由题意知,另一边长为2280x -,且边长为正数,所以0＜x ＜40. 所以面积s=2280x -·x=(40-x)x,(0＜x ＜40), 所以s(x)=(40-x)x,(0＜x ＜40).点评：引导学生小结几类函数地定义域：(1)如果f(x)是整式,那么函数地定义域是实数集R.(2)如果f(x)是分式,那么函数地定义域是使分母不等于零地实数地集合.(3)如果f(x)是二次根式,那么函数地定义域是使根号内地式子大于或等于零地实数地集合.(4)如果f(x)是由几个部分地数学式子构成地,那么函数定义域是使各部分式子都有意义地实数集合.(即求各集合地交集).(5)满足实际问题有意义.例3 下列函数中哪个与函数y=x相等？x2.(1)y=(x)2；(2)y=33x；(3)y=2x；(4)y=x分析：(1)构成函数地三个要素是定义域.对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定地,所以,如果两个函数地定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数).(2)两个函数相等当且仅当它们地定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值地字母无关.解：(1).(4)与函数y=x不相等,因为定义域不同；(3)与函数y=x 不相等,因为对应关系不同；只有(2)与函数y=x相等.点评：在判断时要注意函数表达式地化简,同时注意化简前后地等价变形,不然就不是原函数了.例4 比较下列两个函数地定义域与值域：(1)f(x)=(x-1)2+1,x∈{-1,0,1,2,3};(2)f(x)=(x-1)2+1.分析：定义域与值域是函数地两个要素,通过解析式可以得出两者地关系.解：(1)函数地定义域为{-1,0,1,2,3},因为f(-1)=(-1-1)2+1=5,同理f(0)=2,f(1)=1,f(2)=2,f(3)=5,所以这个函数地值域为{1,2,5}；(2)函数地定义域为R,因为(x-1)2+1≥1,所以这个函数地值域是{y|y ≥1}.点评：函数地值域就是函数值地取值集合,我们可以把函数地值域表示成{y|y=f(x),x ∈A}.例5 已知函数y=ax ax ++312地定义域为R,求a 地取值范围. 分析：本题是从函数地定义域地逆向思维地角度来设计地一个问题,所以考虑问题时会有一个暂时地停顿.同时要注意分类思想.解：当a=0时,y=x31,函数地定义域不是R ；当a ≠0时,只要9-4a2＜0,得a ＞23或a ＜23-. 综上所述,a ＞23或a ＜23-. 点评：对于参数问题地求解,可先把它当作已知地,然后再用相关地知识求解.也就是以退为进.思路2例1 判断下列对应是否为函数：(1)x →x2,x ≠0,x ∈R;(2)x →y,这里y=x2,x ∈N,y ∈R;(3)x →y,这里y2=x,x ∈N,y ∈R;(4)x →y,这里y=x+1,x ∈{1,2,3,4,5},y ∈{0,2,3,4,6}.分析：根据定义来进行判断.解：(1)(2)是函数,(3)(4)不是函数.例2 如下图所示地对应x →y,能表示函数地是______.分析：可以用与y 轴平行地直线来截,如有两个交点就不是函数图象.答案：A.D点评：函数概念地要点：(1) A,B 为非空数集.(2) A 中地任一个元素,B 中都有唯一地元素与之对应；而B 中地元素在A 中地对应元素可以不唯一,也可以没有.从上述三个问题中我们可以看出,函数可以用列表.图象.解析式来表示.对给定地函数必须要指明定义域,对于用解析式表示地函数如果没指明定义域,则认为函数地定义域是指使函数表达式有意义地输入值地集合.例3 求下列函数地定义域： (1)f(x)=1-x ;(2)f(x)=11+x ;(3)f(x)=1231+-x x. 分析：运用函数地定义域地求法,就是根据满足地几个条件来进行判断和列式.解：(1) {x|x ≥1}；(2){x|x ∈R 且x ≠-1}；(3){x|x ∈R 且x ≠0且x ≥21-}.点评：注意几个满足条件就可以了.例 4 已知函数y=f(x)地定义域是(-1,1),求y=f(x+1)地定义域.解：因为y=f(x)地定义域是(-1,1),所以-1＜x+1＜1,所以-2＜x ＜0.所以y=f(x+1)地定义域为{x|-2＜x ＜0}.点评：隐函数地定义域要紧扣定义进行求解.例5 已知函数y=a x ax ++32地定义域为R,求a 地取值范围.解：⎩⎨⎧≤-=∆>,049,02a a ∴a ∈[23,+∞). 点评：挖掘概念地内涵,是解决这类问题地思维地关键.知能训练 1.y=x 11111++地定义域是( )A.x ≠0地一切实数B.x ≠-1且x ≠0地一切实数C.x ＞0地一切实数D.x ≠0且x ≠-1且x ≠21-地一切实数2.如图,在直角坐标系地第一象限内,△AOB 是边长为2地等边三角形,垂直底地直线x ＝t (0≤t ≤2)截这个三角形所得阴影部分面积为f(t),则y=f(t)地图象大致是( )3.函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--≤+),2(,2),21(,),1(,22x x x x x x 若f(x)＝3,则x 等于( )A.1B.1或23 C.1,±3 D.34.函数y=x x -+-22地定义域是___________,值域是___________. 5.(1)若f(x)=x2+1,则f(3x+2)=___________.(2)若f(x-1)=2x2-1,则f(x)=_________,f(0)=_________,f(1)=_________,f[f(0)]=_________.6.已知函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈-∞∈),,0[,),0,(,12x x x x 求f(x+1). 解答：1.D ；2.D ；3.D ；4.{x|x=2},{y|y=0}；5.(1)9x2+12x+5,(2)2x2+4x+1,1,7,7；6.解：由已知得：f(x+1)=⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈++-∞∈++),,0[1,)1(),0,(1,112x x x x所以f(x+1)=⎪⎩⎪⎨⎧+∞-∈+--∞∈+).,1[,)1(),1,(,112x x x x 课堂小结今天我们学习了函数地概念.函数地定义域和值域等,体会用集合间地特殊对应来表示函数,这是学生认识地进步,是今后学习函数地基础.本节课我们从不同地角度对定义域做了研究,在今后学习函数地过程中,应该要求学生一看到函数,马上就要去想它地定义域,避免因定义域地忽略而出现解题地错误.作业课本第28页习题2.1(1) 1.2.设计感想1.注重学生学习函数概念地心理建构过程建构主义学习理论认为：应把学习看成是学生主动地建构活动,学习应与一定地知识.背景及情境相联系；在实际情境下进行学习,可以使学生利用已有地知识与经验同化和索引出当前要学习地新知识,这样获取地知识,不但便于保持,而且易于迁移到陌生地问题情境中.在函数概念教学中,可以适当采用引导讨论,注重分析.启发.反馈,先从实际问题引入概念,然后揭示函数概念地共同特性：(1)问题中所研究地两个变量是相互联系地；(2)其中一个变量变化时,另一个变量也随着发生变化；(3)对第一个变量在某一范围内地每一个确定地值,第二个变量都有唯一确定地值与它对应.同时从阅读.练习中巩固概念,再从讨论.反馈中深化概念,让学生自己完成从具体到抽象地过程,避免概念教学地抽象与枯燥,使学生深入理解函数地实质,从而让学生较好地完成函数概念地建构.2.注重函数概念与信息技术适时性.适度性地结合由于初中刚进高中地高一学生,思维较为单一,认识比较具体,注意不够持久,并且高中数学比较抽象,学生学习普遍感到困难,因此在教学过程中应创设一些知识情境,借助现代教学手段多媒体进行教学,让学生在轻松愉快地氛围中进行学习.应用信息技术时要根据教学需要.学生需求和课堂教学过程中出现地情况适时使用,并且运用要适度,掌握分寸,避免过量信息钝化学生地思维.函数概念教学中,教师可以借助于几何画板.图形计算器等现代教学工具辅助教学,鼓励.引导学生通过交流与讨论,来更好地学习和理解函数.(设计者：王银娣)第二课时函数地概念(二)导入新课设计思路一(复习导入)在上节课我们学习了函数地定义,从定义中我们可以看出,构成函数有三个要素：定义域.值域和解析式,在函数地定义中大家要能体会出通过符号来解决问题地思想,也就是把实际地问题抽象成数学问题,函数也是高中数学中抽象思维要求最强地一个知识,也是有着广泛用途地一个数学知识,同时也推动了人类认识地进步.本节课将在上一节课地基础上对函数作更深一个层次地了解.这个认识我们将会在以后地学习中逐步加深.设计思路二(事例导入)函数在数学及实际生活中有着广泛地应用,在我们身边就存在着很多与函数有关地问题,如在我们身边就有不少函数地实例,我们看下面地一个实例：夏天,大家都喜欢吃西瓜,而西瓜地价格往往与西瓜地重量有关.某人到一个水果店去买西瓜,价格表上写地是：6斤以下,每斤0.4元；6斤以上9斤以下,每斤0.5元；9斤以上,每斤0.6元.此人挑了一个西瓜,称重后店主说5元1角,1角就不要了,给5元吧,可这位聪明地顾客马上说,你不仅没少要,反而多收了我钱,当顾客讲出理由,店主只好承认了错误,照实收了钱.同学们,你知道顾客是怎样识破店主坑人地吗？其实数学问题时刻伴随着我们,只要你注意观察.积累,并学以致用,就能成为聪明人,因为数学可以使人聪明起来.答案：若西瓜重9斤以下则最多应付4.5元,若西瓜9斤以上,则最少也要5.4元,不可能出现5.1元这样地价钱,所以店主坑人了. 推进新课新知探究1.函数地概念关键词：任意.唯一.2.构成函数地三要素是:定义域.对应关系和值域.3.函数地值域：若A 是函数y=f(x)地定义域,则对于A 中地每一个x,都有一个输出值y 与之对应.我们将所有输出值y 组成地集合称为函数地值域.应用示例思路1例1 求下列函数地值域： (1)y=x 2 ;(2)y=x2+x-1;(3)y=x2-2x,x ∈[2,3];(4)y=x2-2x,x ∈[-1,1].分析：这些函数都可以用基本函数地方法来解决,解题时要注意它们地定义域,不然就会造成值域地范围地扩大.解：(1){y|y ∈R,y ≠0}(基本函数法)；(2)[45-,+∞)(基本函数法)；(3)[0,3](函数图象法)；(4)[-1,3](函数图象法).变式训练1.求函数y=x2-2x,x ∈[-2,5]地值域.解：[-1,15](函数图象法).2.求函数y=x 1-,x ∈(-1,0)∪(0,2)地值域.解：(-∞,21-)∪(1,+∞)(函数图象法).点评：函数图象法就是根据基本函数地图象,通过已知地图象来观察出要解决地函数地值域地方法,主要从图象地高低来进行判断. 例2 若一次函数y=f(x)满足f(1)=1,f(-1)=3,求f(x)地解析式.分析：一次函数是一条直线,有两个点,直线就会被唯一确定,所以本题使用待定系数法就很容易求得.解：设f(x)=ax+b,(a ≠0)(待定系数法),由题意可得⎩⎨⎧=+-=+,3,1b a b a 解得⎩⎨⎧=-=,2,1b a 所以f(x)=-x+2.点评：使用待定系数法时,在设系数时要注意符合一次函数地定义,同时在解方程时要依据所设地条件,注意增根和减根地现象.例3 二次函数y=f(x)对任意x ∈R,有f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求f(x)地解析式.分析：本题根据恒等式地特征进行解题,所以在代入计算时要有足够地耐心进行计算,同时要保证计算地准确性.解：设f(x)=ax2+bx+c,(a ≠0),由题意可得a(x+1)2+b(x+1)+c+a(x-1)2+b(x-1)+c=2x2-4x,即2ax2+2bx+(2a+2c)=2x2-4x,所以⎪⎩⎪⎨⎧=+-==,022,42,22c a b a 即⎪⎩⎪⎨⎧-=-==,1,2,1c b a所以f(x)=x2-2x-1.点评：与例2地解法相似,但有其自身地特点,复杂地程度比一次地高,所以计算地时候准确性要注意,不然即使方法正确,答案也容易错.例4 y=f(x)满足f(x+1)=x2-7x-1,求f(x)地解析式.分析：本题求函数地解析式是从配凑法.换元法地角度来解决这个问题,在运算过程中,要明白解题地目地.解法一：f(x+1)=x2-7x-1=(x+1)2-9x-2=(x+1)2-9(x+1)+7, 所以f(x)=x2-9x+7.解法二：令x+1=t,所以x=t-1,代入可得f(t)=(t-1)2-7(t-1)-1=t2-9t+7,所以f(x)=x2-9x+7.点评：这两种求函数解析式地方法比较常见,其中配凑法要在目地地导引下来进行有效地变形,换元法比较容易操作.例5 函数y=f(x)满足f(xx 1+)=221x x x ++,求f(x)地解析式. 分析：本题看上去比较复杂,但是方法仍用配凑法,当然也可以用换元法,下面就这两种方法分别给出解答,然后观察比较.解：(换元法)令x x 1+=t,则x=11-t ,代入可得 f(t)=22)1(11)1(1)1(1-+-+-t t t =1+(t-1)+(t-1)2=t2-t+1,所以f(x)=x2-x+1.另解：(配凑法) f(x x 1+)=221x x x ++=222212x x x x x x +--++=(x x 1+)2-xx 1++1,所以f(x)=x2-x+1.点评：两种方法比较下来,我们感觉第一种容易上手,易于操作,学生也比较容易把握,方法二要求技巧性比较强,对基础好地同学可以作要求,它能培养学生地观察能力.思路2例1 已知f(x)=x1,g(x)=x2+x+1,求f[g(2)]和g[f(2)]地值. 分析：这是一个求函数值地问题,它分为两层,从里层开始计算,一层一层地计算,实际上就是按照函数地定义来进行分解.解：f[g(2)]=f(7)=71,g[f(2)]=g(21)=47.点评：学生对这类问题地求解,开始地时候有点难,但随着对函数定义地理解,这类问题地解决就比较容易了.例2 求函数y=|x+1|+|x-1|地值域.。

高中数学第二章函数概念与基本初等函数I函数的概念互动课堂学案苏教版

2．2．1 函数的单调性互动课堂疏导引导2。

1.1 函数的概念和图象 1.函数的概念一般地，设A 、B 是两个非空的数集,如果按某种对应法则f ,对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，这样对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为y =f (x )，x ∈A .其中所有的输入值x 组成的集合A 叫做函数y =f (x ）的定义域。

疑难疏引（1)构成函数的三要素：定义域，对应法则f ,值域.其中核心是对应法则f ，它是联系x 和y 的纽带,是对应得以实现的关键，对应法则可以由多种形式给出,可以是解析法，可以是列表法和图象法，不管是哪种形式,都必须是确定的,且使集合A 中的每一个元素在B 中都有唯一的元素与之对应。

当一个函数的定义域和对应法则确定之后，值域也就唯一的确定了,所以值域是定义域这个“原材料”通过对应法则“加工"而成的“产品”。

因此,要确定一个函数,只要定义域与对应法则确定即可。

在函数符号y =f (x )中，f 是表示函数的对应关系，等式y =f （x )表明，对于定义域中的任意x ，在对应关系f 的作用下,可得到y ，因此，f 是使“对应”得以实现的方法和途径.函数符号y =f （x )是“y 是x 的函数”这句话的数学表示,它不表示“y 等于f 与x 的乘积”。

f （x ）可以是解析式，也可以是图象或数表.符号f （a ）与f (x ）既有区别又有联系.f （a ）表示当自变量x =a 时函数f (x )的值,是一个常量;而f （x )是自变量x 的函数，在一般情况下,它是一个变量.f （a ）是f （x ）的一个特殊值.值域是全体函数值所组成的集合。

在多数情况下，一旦定义域和对应关系确定，函数的值域也就随之确定。

(2)关于函数的两个定义实质上是一致的.初中定义的出发点是运动变化的观点,而高中定义却是从集合、对应的观点出发.初中阶段学习的函数的概念的优点是:直观,生动.高中阶段学习的函数的概念的优点:更具一般性。

江苏省淮安中学高三数学教案《第02课函数基本概念与基本初等函数》基础教案

第02课函数基本概念与基本初等函数一．考纲知识点等级：1.函数的有关概念B ；2.函数的基本性质B ；3.指数与对数B ；4.指数函数的图象与性质B ；5.对数函数的图象与性质B ；6.幂函数A ；7.函数与方程A ； 8.函数模型及应用B.二．考纲要求（1）理解函数的概念及构成函数的三要素，了解映射的概念，会运用函数的图象分析和研究函数的性质（单调性、最值、奇偶性）；（2）理解指数、对数的运算，性质，指数、对数函数的概念，理解指数、对数函数的单调性等函数性质，掌握函数图象的特征；（3）了解分段函数、幂函数的概念，结合12321,,,,,y x y x y x y y x x=====的图象，了解幂函数的图象特征及函数的性质；（4）了解函数的零点与方程根的关系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，知道二分法求方程近似解的过程，理解函数模型的广泛应用.三、课前检测1.若1()21x f x a =+-是奇函数，则a = 2.若21x a =+，则33x x x xa a a a --+=+ 3.函数2()log (32)(01)a f x x x a =+-<<的单调递增区间是4.为了得到函数3lg 10x y +=的图像，只需把函数lg y x =的图像上所有的点向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度5.函数y =的定义域为 6若函数1,0()1(),03x x x f x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩ 则不等式1|()|3f x ≥的解集为 7.已知函数)(x f 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有 )()1()1(x f x x xf +=+，则)25(f 的值是 8.定义在R 上的函数f(x )满足f(x)= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2009）的值为 9.定义在R 上的奇函数()f x 对任意的实数,a b 均有()()0f a f b a b+>+(0)a b +≠成立，若(lg )(1)f x f <，则实数x 的取值范围为10.定义在)1,1(-上的偶函数)(x f 在(0,1)减函数,且(1)(12)f a f a -<-,则x y a =在区间[1,2]上的最大值等于四、经典考题例1、已知二次函数2()163f x x x q =-++（1）若函数()f x 在区间[]1,1-上存在零点，求实数q 的取值范围；（2）问：是否存在常数(0)t t ≥，当[],10x t ∈，()f x 的值域为区间D ，且D 的长度为12t -？（区间[],a b 的长度为b a -）例2、定义在[]1,1--上的奇函数()f x ，已知当[]1,0x ∈-时，1()()42x x a f x a R =-∈。

高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1指数函数2.1.1指数与指数幂的运算(3)教案数学教案

指数与指数幂的运算(3)导入新课思路1.同学们,既然我们把指数从正整数推广到整数,又从整数推广到正分数到负分数,这样指数就推广到有理数,那么它是否也和数的推广一样,到底有没有无理数指数幂呢?回顾数的扩充过程,自然数到整数,整数到分数(有理数),有理数到实数.并且知道,在有理数到实数的扩充过程中,增添的数是——实数.对无理数指数幂,也是这样扩充而来.既然如此,我们这节课的主要内容是:教师板书本堂课的课题(指数与指数幂的运算(3))之无理数指数幂.思路2.同学们,在初中我们学习了函数的知识,对函数有了一个初步的了解,到了高中,我们又对函数的概念进行了进一步的学习,有了更深的理解,我们仅仅学了几种简单的函数,如一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数、三角函数等,这些远远不能满足我们的需要,随着科学的发展,社会的进步,我们还要学习许多函数,其中就有指数函数,为了学习指数函数的知识,我们必须学习实数指数幂的运算性质,为此,我们必须把指数幂从有理数指数幂扩充到实数指数幂,因此我们本节课学习:指数与指数幂的运算(3)之无理数指数幂,教师板书本堂课的课题.推进新课新知探究提出问题①我们知道2=1.414 213 56…,那么1.41,1.414,1.414 2,1.414 21,…,是2的什么近似值？而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,…,是2的什么近似值？③你能给上述思想起个名字吗?④一个正数的无理数次幂到底是一个什么性质的数呢?如52,根据你学过的知识,能作出判断并合理地解释吗?⑤借助上面的结论你能说出一般性的结论吗?活动：教师引导,学生回忆,教师提问,学生回答,积极交流,及时评价学生,学生有困惑时加以解释,可用多媒体显示辅助内容:问题①从近似值的分类来考虑,一方面从大于2的方向,另一方面从小于2的方向.问题②对图表的观察一方面从上往下看,再一方面从左向右看,注意其关联.问题③上述方法实际上是无限接近,最后是逼近.问题④对问题给予大胆猜测,从数轴的观点加以解释.问题⑤在③④的基础上,推广到一般的情形,即由特殊到一般.讨论结果：①1.41,1.414,1.414 2,1.414 21,…这些数都小于2,称2的不足近似值,而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,…,这些数都大于2,称2的过剩近似值.②第一个表:从大于2的方向逼近2时,52就从51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,…,即大于52的方向逼近52.第二个表:从小于2的方向逼近2时,52就从51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,…,即小于52的方向逼近52.从另一角度来看这个问题,在数轴上近似地表示这些点,数轴上的数字表明一方面52从51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,…,即小于52的方向接近52,而另一方面52从51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,…,即大于52的方向接近52,可以说从两个方向无限地接近52,即逼近52,所以52是一串有理数指数幂51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,…,和另一串有理数指数幂51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,…,按上述变化规律变化的结果,事实上表示这些数的点从两个方向向表示52的点靠近,但这个点一定在数轴上,由此我们可得到的结论是52一定是一个实数,即51.4<51.41<51.414<51.414 2<51.41421<…<52<…<51.41422<51.4143<51.415<51.42<51.5.充分表明52是一个实数.③逼近思想,事实上里面含有极限的思想,这是以后要学的知识. ④根据②③我们可以推断52是一个实数,猜测一个正数的无理数次幂是一个实数.⑤无理数指数幂的意义:一般地,无理数指数幂a α（a>0,α是无理数）是一个确定的实数.也就是说无理数可以作为指数,并且它的结果是一个实数,这样指数概念又一次得到推广,在数的扩充过程中,我们知道有理数和无理数统称为实数.我们规定了无理数指数幂的意义,知道它是一个确定的实数,结合前面的有理数指数幂,那么,指数幂就从有理数指数幂扩充到实数指数幂. 提出问题（1）为什么在规定无理数指数幂的意义时,必须规定底数是正数?（2）无理数指数幂的运算法则是怎样的?是否与有理数指数幂的运算法则相通呢? （3）你能给出实数指数幂的运算法则吗?活动：教师组织学生互助合作,交流探讨,引导他们用反例说明问题,注意类比,归纳. 对问题（1）回顾我们学习分数指数幂的意义时对底数的规定,举例说明.对问题（2）结合有理数指数幂的运算法则,既然无理数指数幂a α（a>0,α是无理数）是一个确定的实数,那么无理数指数幂的运算法则应当与有理数指数幂的运算法则类似,并且相通. 对问题（3）有了有理数指数幂的运算法则和无理数指数幂的运算法则,实数的运算法则自然就得到了.讨论结果：（1）底数大于零的必要性,若a=-1,那么a α是+1还是-1就无法确定了,这样就造成混乱,规定了底数是正数后,无理数指数幂a α是一个确定的实数,就不会再造成混乱. （2）因为无理数指数幂是一个确定的实数,所以能进行指数的运算,也能进行幂的运算,有理数指数幂的运算性质,同样也适用于无理数指数幂.类比有理数指数幂的运算性质可以得到无理数指数幂的运算法则: ①a r ·a s =a r+s(a>0,r,s 都是无理数).②(a r )s =a rs(a>0,r,s 都是无理数).③(a·b)r =a r b r(a>0,b>0,r 是无理数).（3）指数幂扩充到实数后,指数幂的运算性质也就推广到了实数指数幂. 实数指数幂的运算性质:对任意的实数r,s,均有下面的运算性质: ①a r ·a s =a r+s(a>0,r,s∈R ).②(a r )s =a rs(a>0,r,s∈R ).③(a·b)r =a r b r(a>0,b>0,r∈R ). 应用示例思路1例1利用函数计算器计算.（精确到0.001）（1）0.32.1;（2）3.14-3;（3）3.143;（4）33.活动：教师教会学生利用函数计算器计算,熟悉计算器的各键的功能,正确输入各类数,算出数值,对于（1）,可先按底数0.3,再按键,再按幂指数2.1,最后按,即可求得它的值；对于（2）,先按底数3.14,再按键,再按负号键,再按3,最后按即可;对于(3),先按底数3.1,再按键,再按34,最后按即可;对于（4）,这种无理指数幂,可先按底数3,其次按键,再按键,再按3,最后按键.有时也可按或键,使用键上面的功能去运算.学生可以相互交流,挖掘计算器的用途.答案：（1）0.32.1≈0.080;（2）3.14-3≈0.032; （3）3.143≈2.336;（4）33≈6.705.点评：熟练掌握用计算器计算幂的值的方法与步骤,感受现代技术的威力,逐步把自己融入现代信息社会；用四舍五入法求近似值,若保留小数点后n 位,只需看第（n+1）位能否进位即可.例2求值或化简. (1)3224ab ba -(a>0,b>0); (2)(41)21-213321)()1.0()4(---b a ab (a>0,b>0);(3)246347625---+-.活动：学生观察,思考,所谓化简,即若能化为常数则化为常数,若不能化为常数则应使所化式子达到最简,对既有分数指数幂又有根式的式子,应该把根式统一化为分数指数幂的形式,便于运算,教师有针对性地提示引导,对(1)由里向外把根式化成分数指数幂,要紧扣分数指数幂的意义和运算性质,对(2)既有分数指数幂又有根式,应当统一起来,化为分数指数幂,对(3)有多重根号的式子,应先去根号,这里是二次根式,被开方数应凑完全平方,这样,把5,7,6拆成(3)2+(2)2,22+(3)2,22+(2)2,并对学生作及时的评价,注意总结解题的方法和规律.解：(1)3224ab ba -=2224b a -(a 31b 32)21=a -2ba 61b 31=a611-b 34=61134ab .点评：根式的运算常常化成幂的运算进行,计算结果如没有特殊要求,就用根式的形式来表示.(2)(41)21-2133231)()1.0()4(---b a ab =223211044•a 23a 23-b 23-b 23=254a 0b 0=254.点评：化简这类式子一般有两种办法,一是首先用负指数幂的定义把负指数化成正指数,另一个方法是采用分式的基本性质把负指数化成正指数.(3) 246347625---+- =222)22()32()23(---+- =3-2+2-3-2+2=0.点评：考虑根号里面的数是一个完全平方数,千万注意方根的性质的运用.例3已知x=21(5n 1-5n 1-),n∈N *,求(x+2x 1+)n 的值.活动：学生思考,观察题目的特点,从整体上看,应先化简,然后再求值,要有预见性,5n1与5n1-具有对称性,它们的积是常数1,为我们解题提供了思路,教师引导学生考虑问题的思路,必要时给予提示.x 2=41(5n 1-5n 1-)2=41(5n 2-2·50+5n 2-)=41(5n 2+2+5n 2--4) =41(5n 1+5n 1-)2-1. 这时应看到1+x 2=1+41(n 1-5n 1-)2=41(5n 1+5n 1-)2,这样先算出1+x 2,再算出2x 1+,带入即可.解：将x=21(5n 1-5n 1-)代入1+x 2，得1+x 2=1+41(5n 1-5n 1-)2=41(5n 1+5n 1-)n ,所以(x+2x 1+)n=［21(5n 1-5n 1-)+211)55(41n n-+］n=［21(5n 1-5n 1-)+21(5n 1+5n 1-)］n =(5n 1)n=5.点评：运用整体思想和完全平方公式是解决本题的关键,要深刻理解这种做法.思路2 例1计算:(1)105432)(0625.0833416--+++π;(2)12532+(21)-2+34331-(271)31-;(3)(-2x 41y31-)(3x 21y 32)；(4)(x 21-y 21)÷(x 41-y 41).活动：学生观察、思考,根式化成分数指数,利用幂的运算性质解题,另外要注意整体的意识,教师有针对性的提示引导,对(1)根式的运算常常化成幂的运算进行,对(2)充分利用指数幂的运算法则来进行,对(3)则要根据单项式乘法和幂的运算法则进行,对(4)要利用平方差公式先因式分解,并对学生作及时的评价. 解：(1)105432)(0625.0833416--+++π =(425)21+(827)31+(0.062 5)41+1-21=(25)2×21+(23)313⨯+(0.5)414⨯+21 =25+23+0.5+21 =5;(2)12532+(21)-2+34331-(271)31-=(53)32+(2-1)-2+(73)31-(3-3)31-=5323⨯+2-2×(-1)+7313⨯-3)31(3-⨯-=25+4+7-3=33; (3)(-2x 41y 31-)(3x 21y 32)=(-2×3)(x 41x 21·y31-y 32)=323121416+-+•-yx=-6x 43y 31=3436y x-;(4)(x 21-y 21)÷(x 41-y 41)=((x 41)2-(y 41)2)÷(x 41-y 41) =(x 41+y 41)(x 41-y 41)÷(x 41-y 41) =x 41+y 41.点评：在指数运算中,一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式.例2化简下列各式: (1)323222323222--------+--++yxy x yxy x ;(2)(a 3+a -3)(a 3-a -3)÷［(a 4+a -4+1)(a-a -1)］.活动：学生观察式子的特点,特别是指数的特点,教师引导学生考虑题目的思路,这两题要注意分解因式,特别是立方和和立方差公式的应用,对有困难的学生及时提示:对(1)考查x 2与x 32的关系可知x 2=(x 32)3,立方关系就出来了,公式便可运用,对(2)先利用平方差,再利用幂的乘方转化为立方差,再分解因式,组织学生讨论交流. 解：(1)原式=323222323222--------+--++yxy x yxy x=])())(()[()()(23232322322323232232--------++-+-yyx x yy x x=343234343234)()(---------+-yxy xy xy x=xyxy xy 3322)(2-=--; (2)原式=［(a 3)2-(a -3)2］÷［(a 4+a -4+1)(a-a -1)］=))(1()()(1442222----++-a a a a a a =))(1()1)((1444422-----++++-a a a a a a a a =1212)(----a a a a =a+a -1.点评：注意立方和立方差公式在分数指数幂当中的应用,因为二项和、差公式,平方差公式一般在使用中一目了然,而对立方和立方差公式却一般不易观察到,a 23=(a 21)3还容易看出,对其中夹杂的数字m 可以化为m·a 21a 21-=m,需认真对待,要在做题中不断地提高灵活运用这些公式的能力.知能训练课本P 59习题2.1A 组 3.利用投影仪投射下列补充练习: 1.化简:(1+2321-)(1+2161-)(1+281-)(1+241-)(1+221-)的结果是( )A.21(1-2321-)-1B.(1-2321-)-1C.1-2321- D.21(1-2321-) 分析:根据本题的特点,注意到它的整体性,特别是指数的规律性,我们可以进行适当的变形. 因为(1+2321-)(1-2321-)=1-2161-,所以原式的分子分母同乘以(1-2321-),依次类推,所以321212121)21)(21(----+-=32112121----=21(1-2321-)-1. 答案：A2.计算(297)0.5+0.1-2+(22710)32--3π0+9-0.5+490.5×2-4.解：原式=(925)21+100+(6427)32-3+4921×161=53+100+169-3+31+167=100.3.计算1212--+-+a a a a (a≥1). 解：原式=|11|11)11()11(22--++-=--++-a a a a (a≥1).本题可以继续向下做,去掉绝对值,作为思考留作课下练习.4.设a>0,x=21(a n 1-a n 1-),则(x+2x 1+)n 的值为_______.分析:从整体上看,应先化简,然后再求值,这时应看到解：1+x 2=1+41(a n 1-a n 1-)2=41(a n 1+a n 1-)2.这样先算出1+x 2,再算出2x 1+,将x=21(a n 1-a n 1-)代入1+x 2,得1+x 2=1+41(a n 1-a n 1-)2=41(a n 1+a n 1-)2.所以(x+2x 1+)n=［21(a n 1-a n 1-)+41(a n 1+a n 1-)2］n=［21(a n 1-a n 1-)+21(a n 1+a n 1-)］n=a.答案：a 拓展提升参照我们说明无理数指数幂的意义的过程,请你说明无理数指数幂32的意义.活动：教师引导学生回顾无理数指数幂52的意义的过程,利用计算器计算出3的近似值,取它的过剩近似值和不足近似值,根据这些近似值计算32的过剩近似值和不足近似值,利用逼近思想,“逼出”32的意义,学生合作交流,在投影仪上展示自己的探究结果.我们把用2作底数,3的不足近似值作指数的各个幂排成从小到大的一列数 21.7,21.72,21.731,21.7319,…,同样把用2作底数, 3的过剩近似值作指数的各个幂排成从大到小的一列数: 21.8,21.74,21.733,21.7321,…,不难看出3的过剩近似值和不足近似值相同的位数越多,即3的近似值精确度越高,以其过剩近似值和不足近似值为指数的幂2α会越来越趋近于同一个数,我们把这个数记为32. 即21.7<21.73<21.731<21.7319<…<32<…<21.7321<21.733<21.74<21.8.也就是说32是一个实数,32=3.321 997 …也可以这样解释:当3的过剩近似值从大于3的方向逼近3时,32的近似值从大于32的方向逼近32；当3的不足近似值从小于3的方向逼近3时,32的近似值从小于32的方向逼近32.所以32就是一串有理指数幂21.7,21.73,21.731,21.7319,…,和另一串有理指数幂21.8,21.74,21.733,21.7321,…,按上述规律变化的结果,即32≈3.321 997.课堂小结(1)无理指数幂的意义.一般地,无理数指数幂a α（a>0,α是无理数）是一个确定的实数. (2)实数指数幂的运算性质:对任意的实数r,s,均有下面的运算性质: ①a r ·a s =a r+s(a>0,r,s∈R ).②(a r )s =a rs(a>0,r,s∈R ).③(a·b)r =a r b r(a>0,b>0,r∈R ).(3)逼近的思想,体会无限接近的含义. 作业课本P 60习题2.1 B 组 2.设计感想无理数指数是指数概念的又一次扩充,教学中要让学生通过多媒体的演示,理解无理数指数幂的意义,教学中也可以让学生自己通过实际情况去探索,自己得出结论,加深对概念的理解,本堂课内容较为抽象,又不能进行推理,只能通过多媒体的教学手段,让学生体会,特别是逼近的思想、类比的思想,多作练习,提高学生理解问题、分析问题的能力.。

示范教案(第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ 习题课(一))

习题课(一)(函数的概念和图象)教学过程复习(教师引导，学生回答)一、函数的概念1.函数2.函数概念的三要素二、函数的图象1.函数图象的概念2.函数图象的画法三、函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种.1.解析法2.列表法3.图象法导入新课前面一段，我们一起学习了函数的概念，了解了函数图象的一些基本画法，掌握了函数的三种表示方法，并学会了一定的分析问题、解决问题的方法，这一节，我们开始对这部分内容集中训练一下，使大家进一步熟悉函数的有关概念、基本方法与基本的解题思想；并通过典型例题分析进一步提高大家的分析问题、解决问题的能力.推进新课基础训练思路11.设对应法则f 是从集合A 到集合B 的函数，则下列结论中正确的是( )A.B 必是由A 中的数对应的输出值组成的集合B.A 中的每个数在B 中必有输出值C.B 中的每个数在A 中必有输入值D.B 中的每个数在A 中只对应唯一的输入值解答：B ；2.已知P={x|0≤x≤4}，Q={y|0≤y≤2}，下列对应法则中不是从P 到Q 的函数的是( )A.f ：x→y=2x B.f ：x→y=3x C.f ：x→y=53x D.f ：x→y=52x 解答：C ；3.下列各组中表示同一函数的是_____________.A.f(x)=(x-1)0,g(x)=1B.f(x)=x,g(x)=2xC.f(x)=22x ,g(x)=xx 23D.f(x)=|x|,g(x)=⎩⎨⎧<-≥0,0,x x x x E.f(x)=2x-1,g(t)=2t-1F.f(x)=11-+x x ,g(x)=12-x解答：D ，E ；4.已知f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-),1|(|,1),1|(|,122x x x x 则f(f(f(0)))=________________. 解答：1；5.(1)y=12-+x x 的定义域为_______________； (2)y=2-x 2,x ∈{-2,-1,0,1,2}的定义域为____________，值域为____________；(3)y=342++x x 的定义域为____________，值域为____________.解答：(1){x|x ＞-2,且x≠1} (2){-2,-1,0,1,2}，{-2,1,2} (3){x|x≥-1或x≤-3} [0,+∞)6.f(3x)=259+x ，则f(1)=____________. 解答：2点评：第1、2题考查函数的概念，要理解从集合A 到集合B 的一个函数必须满足对于集合A 中的每一个元素在集合B 中都有唯一的元素和它对应，这种对应可以是多对一，也可以是一对一，但不可以是一对多，而集合B 中的元素不一定都能在集合A 中找到对应元素，即函数的值域是集合的子集.第3题考查函数的三要素.判断函数是否为同一函数，应该从函数的三要素入手，若有一个不满足，就不是同一函数.由于函数的值域是由定义域与对应法则共同决定，所以只要定义域与对应法则这两个要素相同，这两个函数就是同一函数，与自变量所用的字母无关. 第4题考查分段函数.所谓分段函数是指函数在定义域的不同子集上对应法则不同，要用几个式子来表示的函数.分段函数的许多问题都应该分段处理，如画图，求值域等，求某个自变量所对应的值时，应根据自变量取值的范围代入正确的表达式中求函数值.此题在求解时应从里到外一层一层去括号.第5题简单考查函数定义域、值域的求法，只需观察法即可.第6题解法一：先用换元法求出函数y=f(x)，再将x=1代入求值.令t=3x ，则x=3t ，则f(t)=2532539+=+∙t t ，即f(x)=2532539+=+∙x x ，所以f(1)=253+=2. 解法二：当3x=1时，x=31，即f(1)=f(3·31)=25325319+=+∙=2. 解法一是常规思路，解法二用了整体思想，就填空题而言，只需用解法二即可，较简便.思路21.下列图形中，可作为函数图象的是( )2.y=x+xx ||的图象是( )3.有对应f:(1)A={0,2},B={0,1},x→2x ;(2)A={-2,0,2},B={4},x→x 2；(3)A=R ；B={y|y ＞0},x→21x;(4)A=R ,B=R ,x→2x+1.其中能构成从集合A 到集合B 的函数为______________. 4.设f(x)=⎩⎨⎧<≥),0(),0(2x x x x g(x)=⎩⎨⎧<->),0(,),0(,2x x x x 则当x ＜0时，f[g(x)]等于…( ) A.-x B.-x 2 C.x 2 D.x5.求下列函数的值域：(1)y=2x+1,x ∈{1,2}；(2)y=1+x ；(3)y=-x 2-2x+3,(-5≤x≤-2).解答：1.D ；2.C ；3.(1)，(4)；4.B ；5.(1)y ∈{3,5};(2)[1,+∞);(3)[-12,3].点评：第1、3题考查了函数的概念，第2题考查函数的画法，第4题为分段函数的解析式的求解，第5题简单的求值域.都是基础题，作为课前的热身.应用示例思路1例1 求下列函数的定义域：(1)y=x x -||1;(2)y=12+-x x ;(3)y=11+-x x ;(4)y=x--113. 分析：函数的定义域是使函数表达式有意义的x 的集合.解：(1)要使得函数有意义，则|x|-x ＞0，而当x≥0时，|x|-x=x-x=0，当x ＜0时，|x|-x=-x-x=-2x ＞0，所以函数的定义域为(-∞,0).(2)要使函数有意义，需满足⎩⎨⎧≠+≥-,012,0x x 解得(-∞, 21-)∪(21-,0]； (3)要使函数有意义，需满足⎩⎨⎧≥-≥+,01,01x x 解得[1,+∞)；(4)要使函数有意义，需满足⎩⎨⎧≠--≥-,011,01x x 解得(-∞,0)∪(0,1].点评：由函数的解析式求函数的定义域时，应首先分析解析式含有哪几种运算，然后列出自变量所满足的不等式(组)，通过求不等式(组)求得定义域.一般地，要注意以下几个方面：(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R .(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数x 的集合.(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号下的表达式大于或等于零的实数x 的集合.(4)如果f(x)是由几个部分构成的数学式子，那么函数的定义域是使得各部分式子都有意义的实数的集合(即使各个部分都有意义的实数的集合的交集).(5)如果f(x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合.例2 若函数y=f(x)的定义域为[-1,1]，求函数y=f(x+41)+f(x 41-)的定义域. 分析：根据题意，必须使得函数式y=f(x+41)+f(x 41-)中的f(x+41)和f(x 41-)都有意义. 解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≤-≤+≤-,1411,1411x x 化简得43-≤x≤43. 所以函数y=f(x+41)+f(x 41-)的定义域为[43-,43]. 点评：此题是求复合函数的定义域问题.已知f(x)的定义域是[a,b]，求f[g(x)]的定义域，是指满足a≤g(x)≤b 的x 的取值范围.而已知f[g(x)]的定义域是[a,b]指的是x ∈[a,b].变式训练1.已知函数f(x)=11+x ，则函数f(f(x))的定义域为( ) A.{x|x≠-1} B.{x|x≠-2}C.{x|x≠-1且x≠-2}D.{x|x≠-1或x≠-2}分析：此题还是复合函数求定义域问题，只是此时f(x)的定义域需要自己从表达式中求得.解：因为f(x)=11+x 的定义域为{x|x≠-1}，而f(f(x))=f(11+x )，所以11+x ≠-1，解得x≠-2，又因为11+x 本身有意义必须满足x≠-1，所以f(f(x))的定义域为{x|x≠-1且x≠-2}. 点评：不要忘记11+x 本身有意义这个隐含条件. 2.已知函数f(x)=2x-1，g(x)=⎩⎨⎧<-≥,0,1,0,2x x x 求f(g(x))和g(f(x))的解析式. 分析：将f(x)代入g(x)的各段函数时要注意定义域的变化.解：当x≥0时，g(x)=x 2，f(g(x))=f(x 2)=2x 2-1，当x ＜0时，g(x)=-1，f(g(x))=f(-1)=-2-1=-3，所以f(g(x))=⎩⎨⎧<-≥-0,3,0,122x x x当2x-1≥0，即x≥21时，g(f(x))=g(2x-1)=(2x-1)2；当2x-1＜0,即x ＜21时， g(f(x))=g(2x-1)=-1，所以g(f(x))=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-≥-.21,1,21,)12(2x x x 点评：此题是分段函数和复合函数的综合应用，既要注意分段函数的问题应该分段解决，又应注意“里”层函数的值域充当“外”层函数的定义域，最后分段写出函数的解析式.例3 已知函数f(x)=x 2-2x-1的图象如右图所示，画出下列函数的图象，并指出这些函数与y=f(x)的关系：(1)y=f(-x);(2)y=-f(x);(3)y=f(x)+1;(4)y=f(x-2);(5)y=|f(x)|;(6)y=f(|x|).分析：对具体的二次函数画图应该不是问题，本题的难点是根据几组图象归纳出函数图象的变换方式.解：点评：从具体函数出发观察函数的几种变换，使学生对图象的几种基本变换有更为直观的感受.常见的几种变换方法有：1.平移变换(1)水平平移：y=f(x±a)(a ＞0)的图象，可以由y=f(x)的图象向左(+)或向右(-)平移a 个单位得到.(2)竖直平移：y=f(x)±b(b ＞0)的图象，可以由y=f(x)的图象向上(+)或向下(-)平移b 个单位得到.记忆技巧：平移变换，左加右减.2.对称变换(1)y=-f(x)与y=f(x)关于x 轴对称.(2)y=f(-x)与y=f(x)关于y 轴对称.(3)y=-f(-x)与y=f(x)关于原点对称.(4)y=|f(x)|的图象可将y=f(x)的图象在x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到x 轴上方，其余部分不变.(5)y=f(|x|)的图象可将y=f(x)的图象在y 轴左边的部分以y 轴为对称轴翻折到y 轴右边，其余部分不变.记忆技巧：图象的对称可以从观察点的对称入手，如在y=-f(x)上任取一点(x,-y)，则可以在y=f(x)的图象上取得对应的点为(x,y)，而这两个点关于x 轴对称，所以函数y=-f(x)与函数y=f(x)的图象关于轴对称.其余的各组对称记法相同.例4 求下列函数的值域:(1)y=1-x x ;(2)y=245x x -+;(3)y=|x+1|+|x-2|. 分析：分式函数求值域的难点是分子分母上都有自变量，而求值域又不能简单地通过分子分母的值域相除来得到，所以我们常常通过对函数形式的变化使得自变量只出现在分子或分母上.第2小题要注意函数的定义域，含有绝对值的问题我们通常将绝对值去掉，将其转化成不含绝对值的问题来处理.解：(1)因为y=1-x x =111111-+=-+-x x x ，所以其图象是由y=x1向右平移一个单位再向上平移一个单位所得(如右图)，所以这个函数的值域为{y|y≠1}.(2)令t=5+4x-x 2，因为t=5+4x-x 2=-(x-2)2+9，所以t≤9，又因为y=t ，所以t≥0，所以0≤t≤9，得y=t ∈[0,3]，即这个函数的值域为y ∈[0,3].(3)将原函数中的绝对值去掉，化为分段函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<--≤+-.2,12,21,3,1,12x x x x x 分段求其值域得，当x≤-1时，f(x)≥3，当-1＜x≤2时，f(x)=3，当x ＞2时，f(x)≥3，所以值域为y ∈[3,+∞).点评：求函数值域是学习中的一个难点，方法灵活多样，初学时只要掌握几种常用方法，如观察法、图象法、配方法等.用图象法解题首先要能正确画出函数的图象.对于函数图象的画法，除了描点法外，还应掌握几种变换，这在前面的例3中已经总结.对于含绝对值的函数，一般通过对绝对值内表达式符号的讨论，将含绝对值的解析式转化为不含绝对值的解析式，再画出图象.本题中第1小题通过分离常数法将函数变形，发现该函数可以由反比例函数经过平移变化得来，再结合图象得到函数的值域.此题还可以推广为一般结论，对于形如y=bax d cx ++(a≠0)的函数，因为y=b ax d cx ++=a b x a cb a d a c b ax d a cb b ax a c +-+=++-+2)(，记2a cb a d -=k ，则y=b ax d cx ++=ab x k ac ++，是由反比例函数y=x k 经过左右平移和上下平移得到的，其中左右平移不影响其值域.y=x k 的值域为{y|y≠0}，经过上(下)平移|a c |个单位后，y=b ax d cx ++(a≠0)的值域为{y|y≠ac }. 记忆技巧：形如y=b axd cx ++ (a≠0)的函数的值域{y|y≠a c }，ac 为原函数中x 的系数之比. 变式训练1.求y=122-x x 的值域. 解：因为y=122-x x =111111222-+=-+-x x x ，而x 2-1∈[-1,0)∪(0,+∞)，所以112-x ∈(-∞,-1]∪(0,+∞)，1+112-x ∈(-∞,0]∪(1,+∞)，所以这个函数的值域为y ∈(-∞,0]∪(1,+∞).典型错误分析：学生很容易受原题形式的影响，误认为其值域也是{y|y≠1}，殊不知原题中x ∈R ，而变式中x 2∈[0,1)∪(1,+∞).2.已知f(x+199)=4x 2+4x+3(x ∈R )，那么函数f(x)的最小值为__________.分析：此题为函数图象平移知识的应用，由f(x+199)的解析式求f(x)的解析式运算量较大，但如果注意到，f(x+199)与f(x)，其图象仅仅是平移关系，它们取得的最大值和最小值是相同的，由f(x)=4x 2+4x+3=4(x+21)2+2，立即求得f(x)的最小值，即f(x+199)的最小值是2.要注意方法的灵活运用.答案：2.点评：此题若不用平移知识来处理运算量将很大，所以在学习数学的过程中要注意. 例5 (1)已知f(1+x 1)=21x-1，求f(x). (2)已知一次函数y=f(x)满足f[f(x)]=2x-1，试求函数y=f(x)的表达式. (3)已知函数的定义域为非零实数组成的集合，且满足3f(x)+2f(x 1)=4x ，求函数y=f(x)的解析式.分析：已知复合函数表达式求简单函数的表达式用换元法或配凑法.已知函数类型的用待定系数法，抽象函数求表达式用列方程组法.解：(1)方法一：由已知f(1+x 1)=(1+x 1)2-2(1+x 1)，则f(x)=x 2-2x. 因为1+x1≠1,故f(x)=x 2-2x ，(x≠1). 方法二：设t=1+x 1≠1，所以x=11-t ，所以f(t)=(t-1)2-1=t 2-2t ，故f(x)=x 2-2x ，(x ≠1). (2)因为f(x)为一次函数，故可设f(x)=ax+b(a≠0)，则有f[f(x)]=af(x)+b=a(ax+b)+b=a 2x+ab+b,又f[f(x)]=2x-1，所以⎩⎨⎧-=+=,1,22b ab a 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==,21,2b a 或⎪⎩⎪⎨⎧+=-=,21,2b a 所以f(x)=212-+x 或f(x)=212++-x .(3)从题给条件看，只要设法消去f(x1)，即可求得f(x). 因为3f(x)+2f(x 1)=4x ，用x 1代换该式中的x,得3f(x 1)+2f(x)= x4，上述两式组成方程组，消去f(x 1)，可得f(x)=x x 58512-. 点评：求函数解析式的常用方法有：(1)配凑法和换元法如果已知复合函数f[g(x)]的表达式，要求f(x)的解析式时，若f[g(x)]的表达式右边易配成g(x)的运算形式，则可用配凑法求f(x)的解析式；若在方程t=g(x)中易求出x=g(t)，用换元法求f(x)的解析式.但要注意无论是配凑法还是换元法，所求函数的定义域必须满足两个条件：是函数t=g(x)的值域，且使f(x)的解析式有意义.配凑法和换元法：易配凑时配凑法，易求x 时换元法.(2)待定系数法：已知函数的类型(如一次函数，二次函数，反比例函数等)，一般的方法是设出函数的解析式，然后根据题设条件求待定系数.(3)赋值法(列方程组法)：求抽象函数的解析式，有时要通过取特殊值，或以变量换变量，然后通过解方程组求出解析式.此法又称为列方程组法.变式训练若f(x)=f(-x)x+10，求f(10).解：令x=10，得f(10)=f(-10)×10+10， ①令x=-10，得f(-10)=f(10)×(-10)+10. ②联立①②消去f(-10)即得f(10)=101110. 例6 已知函数f(x)=x 2-4ax+2a+6(a ∈R ),(1)若函数的值域为[0,+∞)，求a 的值；(2)若函数的值均为非负值，求函数g(a)=2-a|a+3|的值域.分析：本题仍是二次函数的值域问题，基本方法为配方法.解：(1)因为f(x)=x 2-4ax+2a+6=(x-2a)2-4a 2+2a+6，值域为[-4a 2+2a+6,+∞).又题目已知值域为[0,+∞)，所以-4a 2+2a+6=0，解得a=-1或23. (2)因为函数f(x)的值域为[-4a 2+2a+6,+∞)，而函数的值均为非负，所以-4a 2+2a+6≥0，解得-1≤a≤23，此时a+3≥0，所以g(a)=2-a|a+3|=2-a(a+3)=-(a+23)2+417，因为函数图象开口向下，对称轴a=23-，所以,当a=-1时，g(a)min =4，当a=23时，g(a)max =419-，所以函数的值域为[419-,4]. 点评：此题还是二次函数的求值域问题.虽然函数中含有参数a ，但因为题目告诉了函数的值域，且定义域为R ，所以很容易求出参数a 的值.第(2)小题中g(a)去掉绝对值其实还是二次函数求值域，只是要注意题目隐含的a 的范围. 变式训练已知函数f(x)=ax 2+2ax+1在[-3,2]上有最大值4，求实数a 的值.分析：含参二次函数问题，通过图象观察开口对称轴即可得函数的最值.解：由f(x)=ax 2+2ax+1=a(x+1)2-a+1，所以抛物线的对称轴为x 0=-1∈[-3,2]，当a ＞0时，有y max =f(2)，即f(2)=4，解得a=83；当a ＜0时，有y max =f(-1)，即f(-1)=4，解得a=-3，所以a=83或a=-3. 点评：含参的二次函数求值域问题，本来是一个难点，由于对称轴确定，所以降低了难度，只是要注意开口方向的讨论.有关含参二次函数的问题还有很多，如对对称轴的讨论，对区间的讨论，或把这几种讨论综合在一起，这在后面的“函数与方程”这一节中还会专题研究，但不管如何变化，基本思路都是通过图象研究开口、对称轴与定义区间的关系，从而得到函数的最值.将二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a≠0)最值的求法简单归纳如下：(1)当定义域为实数集R 时：①若a ＞0，则当x=ab 2-时，f(x)取得最小值f(x)min =a b ac 442-，但没有最大值； ②若a ＜0，则当x=ab 2-时，f(x)取得最大值f(x)max =a b ac 442-，但没有最小值. (2)当定义域为x ∈[a,b]时，首先应判定其顶点横坐标x 0=ab 2-是否在定义域[a,b]内. ①若x 0∈[a,b]，则当a ＞0时，函数的最小值是f(x 0)，函数的最大值是f(a)，f(b)中的较大者〔当x 0＜2b a +时，函数的最大值为f(b)；当x 0＞2b a +时，函数的最大值为f(a)；当x 0=2b a +时，函数的最大值为f(a)=f(b)〕. 当a ＜0时，函数的最大值是f(x 0)，函数的最小值是f(a)，f(b)中的较小者〔当x 0＜2ba +时，函数的最小值为f(b)；当x 0＞2b a +时，函数的最小值为f(a)；当x 0=2b a +时，函数的最小值为f(a)=f(b)〕.②若x 0 [a,b]，则当a ＞0且x 0＜a 时，f(x)在[a,b]上的值随着x 值的增大而增大，此时函数的最大值为f(b)，函数的最小值为f(a)；当a ＞0且x 0＞b 时，f(x)在[a,b]上的值随着x 值的增大而减小，此时函数的最大值为f(a)，函数的最小值为f(b)；当a ＜0且x 0＞b 时，f(x)在[a,b]上的值随着x 值的增大而增大，此时函数的最大值为f(b)，函数的最小值为f(a)；当a ＜0且x 0＜a 时，f(x)在[a,b]上的值随着x 值的增大而减小，此时函数的最大值为f(a)，函数的最小值为f(b)；注意到：求函数的值域有时可转化为求函数的最值，反之，求函数的最值也可转化为函数的值域.思路2例1 已知函数f(x)的定义域是[0，1]，则函数f(x 2)的定义域是____________.分析：由函数的定义可知f(x 2)中x 2的范围应在f(x)中的x 的取值范围内.解：由0≤x 2≤1，解得-1≤x≤1，所以f(x 2)的定义域为[－1，1].点评：针对题目中函数关系抽象的特点，可将f(x)具体化，能有助于对问题的理解与判断.设f(x)=)1(x x -，它的定义域是[0，1]，这时，f(x 2)=)1(22x x -的定义域是[-1，1]，由此可见，列举实例是处理抽象函数有关问题的有效方法.例2 求下列函数的定义域：(1)y=34+x ；(2)y=21++x x ； (3)y=431++-++x x x ；(4)y=2561xx --. 分析：函数的定义域即为使得函数有意义的x 的取值范围.解：(1)由4x+3≥0，解得x≥43-，所以所求函数定义域为{x|x≥43-}. (2)由⎩⎨⎧≠+≠+02,01x x ，得x≥-1,所以所求函数定义域为{x|x≥-1}. (3)⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥-≠+,04,0,03x x x 解得⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤-≠,4,0,3x x x 所以-4≤x≤0且x≠-3，所以所求函数定义域为[-4，-3)∪(-3，0].(4)由6-5x-x 2＞0，解得：-6＜x ＜1，所以所求函数定义域为：(-6，1).点评：求具体函数的定义域就是求使得函数的表达式有意义的x 的集合.例3 作出下列函数的图象：(1)y=|x-1|;(2)y=1-x,x ∈Z ;(3)y=|x 2-4x+3|;(4)y=1-x x .解：问题：根据图象可以得到哪些东西?学生可能会回答：可以得到函数的定义域，值域.此时教师纠正以下大家的说法，函数的定义域是应该在作图之前就研究的，但得到函数的图象后可以求得函数的值域是非常正确的，所以我们也可以把题目改成求函数的值域，解答也可以通过画图来完成.变式训练讨论关于x 的方程|x 2-4x+3|=a(a ∈R )的实数解的个数.解：将方程的解理解成函数y=|x 2-4x+3|与函数y=a 图象交点的个数.由图象得，当a ∈(-∞,0)时，两函数图象没有交点，所以方程无解；当a=0或a ∈(1,+∞)时，两函数图象有两个交点，方程有两解；当a=1时，两函数图象有三个交点，方程有三解；当a ∈(0,1)时，两函数图象有四个交点，方程有四解.点评：(1)作函数图象之前先要考察函数的定义域；(2)掌握通过函数图象解决一类函数问题的基本方法.例4 已知函数y=f(x)满足f(x 1)=21x x -，求函数y=f(x)的解析式. 分析：函数的解析式y=f(x)是由自变量x 确定函数值y 的关系式，所以问题的实质是求x 1经过怎样的运算得到21xx -这一结果. 解：因为f(x 1)=21x x -=1)1(112222-=-x x xx x x ，所以f(x)=12-x x ，因为x 1≠0，所以f(x)=12-x x ,(x≠0且x≠±1). 点评：在已知形如f(h(x))=g(x)的关系的条件下，求函数y=f(x)的解析式，常用的方法有两种：一是配凑法，二是换元法.例如本题也可以运用换元法求解，其过程如下：设x 1=t ，则x=t 1，代入f(x 1)=21x x -，得f(t)=1)1(1122-=-t t tt .因为t=x 1≠0，所以f(x)=12-x x ,(x≠0且x≠±1). 求函数的解析式还有待定系数法和赋值法(列方程组法)在思路1中已经总结过，这里不再重复.例5 求f(x)=1342+-x x 的值域. 分析：求函数的值域除了思路1中所讲的几种方法外，还可以从方程的角度去理解.如果我们将函数y=f(x)看作是关于自变量x 的方程，y 在值域中任意取一个值y 0，y 0对应的自变量x 0一定为方程y 0=f(x)在定义域中的一个解，即方程y 0=f(x)在定义域内有解；另一方面，若y 取某个值y 0，方程y 0=f(x)在定义域内有解x 0，则y 0一定为x 0对应的函数值.从方程的角度，函数的值域即为使关于x 的方程y=f(x)在定义域内有解的y 的取值范围，如y=x 1变形得xy=1，方程在定义域{x|x≠0}内有解的条件为y≠0，即y≠0为函数的值域.解：由解析式得yx 2-4x+(y+3)=0，所以函数的值域即使得关于x 的方程在定义域R 内有解的y 的取值范围.当y=0时，x=43∈R ，所以y=0属于函数的值域. 当y≠0时，若方程有实数解，则Δ=16-4y 2-12y≥0，解得-4≤y≤1(y≠0)，故函数的值域为[-4,1]. 点评：此法又称为判别式法，要理解它必须理解函数的对应关系，一般处理分母为二次函数的分式函数的值域问题，但求解时要注意，对函数式变形后方程必须在定义域内有解. 巩固训练1.若函数y=f(x)的图象向左、向下各平移2个单位，即得y=2x 的图象，则f(x)的表达式为( )A.f(x)=2(x+2)+2B.f(x)=2(x+2)-2C.f(x)=2(x-2)+2D.f(x)=2(x-2)-2答案：C ；2.已知函数f(x+1)的定义域为[0,3]，则函数f(x)的定义域为__________.答案：[1,4]；3.下列各组的两个函数：(1)f(x)=x 0与g(x)=x x 2；(2)f(x)=x 2与g(x)=(x )4；(3)f(x)=x 3与g(x)=39x ；(4)f(x)=x x -+11与g(x)=21x -.其中为同一函数的是____________. 答案：(3)(4)；4.已知函数f(x)满足f(2x+1)=3x+2，且f(a)=4，则实数a 的值为_______________. 答案：37； 5.如果f(x)=x+1，试求f(f(f(x)))的表达式，并猜一猜f n x f f f f 个))))((((的表达式.答案：因为f(f(x))=f(x+1)=(x+1)+1=x+2，所以f(f(f(x)))=f(x+2)=(x+2)+1=x+3，所以可以猜想fn x f f f f 个))))((((=x+n ；6.函数y=112+-x x 的图象对称中心坐标是____________. 答案：(-1,2)；7.方程11-x =|x+1|的实根的个数共有______________个. 答案：1个.(提示：该方程的解的个数等于函数y=11-x 与函数y=|x+1|的交点的个数，由图象可得交点为一个).8.(1)已知f(2x+1)=x 2-2x ，则f(2)=______________.(2)已知f(x 1+1)=221xx -，则f(x)=_____________. (3)已知f(x+x 1)=x 2+21x，则f(x)的解析式为______________. 答案：(1)4267-；(2)x 2-2x(x≠1)；(3)f(x)=x 2-2. 9.求下列函数的值域：(1)y=x 11-;(2)y=132--x x ;(3)y=211x-;(4)y=2x x -. 答案：(1)令t=1x 1-，则t≠1，又因为t≥0，所以t ∈[0,1)∪(1,+∞)，所以y=1x 1-的值域为[0,1)∪(1,+∞).(2)因为y=112132--=--x x x ，所以值域为{y|y≠2}. (3)因为y-yx 2=1，即yx 2=y-1要使得关于x 的方程有解，所以y y 1-＞0，得y ＜0或y ＞1，即y=211x-的值域为(-∞,0)∪(1,+∞). (4)令t=x ,则t≥0，所以x=t 2，y=2t 2-t=2(t 41-)281-，当t=41时，y min =81-，所以值域为[81-,+∞). 10.设函数f(x)=x 2-x+21的定义域为[n,n+1],n ∈N *，则f(x)的值域中所含f(x)整数的个数是( )A.1B.2C.3D.2n 答案：D.课堂小结本节课主要是对函数的概念和图象的集中训练，在函数整个一章中，都是以定义、性质、图象作为主要的内容，性质和图象相互联系、相互转化，有关函数性质的很多结论是在观察图象的基础上，通过概括、归纳得出的，并借助于函数图象所具有的直观性强的优点形成记忆，在分析和解决与函数有关的问题中，也常常是函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合，相互为用.作业课本第32页习题2.1(2) 7、12.设计感想函数是初等数学中最基本的概念之一，贯穿于整个初等数学体系之中，是对初中数学中的函数概念的深化与归纳.本节的主要内容为函数的概念与图象以及函数的表达式.在教学过程中应突出本章的核心——函数的概念.函数，其本质是两个变量之间的相互依赖关系，体现函数对应法则的“输入”“输出”功能，函数的性质只是对应法则在定义域上的表现，离开了函数的定义域谈函数的性质是没有意义的，所以，要深刻理解函数的概念，为以后研究函数的性质打下基础.函数就是从一个数集到另一个数集的单值对应，“单值对应”是函数对应法则的根本特征.“箭头图”给出了“单值对应”从一个集合到另一个集合的方向性，应突出“输入”与“输出”的关系.在函数概念的理解中，应突出以下几点：(1)集合A 与集合B 都是数集；(2)对应法则的方向是从A 到B ；(3)强调“非空”“每一个”“唯一”这三个关键词.为了让学生深刻理解函数的概念，在基础训练中用不同形式的题目让学生体会函数概念的这几个特点.思路1着重从函数解析法入手，让学生对函数的这种对应关系有更进一步的理解，如第1、2、3题.而思路2着重从函数图象法入手让学生体会函数概念，同样见第1、2、3题，教师在使用时可以灵活选择.理解函数是由定义域、值域、对应法则三要素构成的整体，让学生能主动将函数与函数解析式区分开来.应用配凑法求函数时，有些函数的解析式在现阶段学生还没有能力求其定义域，所以可以将题目改成求函数的解析式，这样既对某些类型进行了配凑训练，又避免了求定义域，也不会因为没写定义域使得函数概念不完整.如巩固训练第8题的第3小题：已知f(x+x 1)=x 2+21x，则f(x)的解析式为_________________. 本节中首次引入了抽象的函数符号f(x)，学生往往只接受具体的函数解析式，而不能接受f(x)，所以应让学生从符号f(x)的含义认识开始.f(x)符号本身就是三要素的体现，它还指明了谁是谁的函数，有利于我们分清函数解析式中的常量与变量.如f(x)=x 2，它应表示以为x 自变量的二次函数，而如果写成y=x 2，则我们就不能准确了解谁是自变量，谁是应变量，当y 为变量时，它就不代表二次函数.函数的图象是描述两个变量之间函数关系的一种重要方法，是研究函数性质的重要依据，根据图象可以准确求得函数的值域.画函数图象除了常见的描点法外，还应掌握常见的几种函数的画法，如一次函数、二次函数、反比例函数等，并在此基础上利用平移和翻折变换，画出较复杂函数的图形.但画函数的图象一定要注意定义域.通过对函数图象的描绘与研究，培养数形结合的意识，提高运用数形结合的思想方法解决数学问题的能力.要学好本部分内容，在理解函数概念的基础上熟练运用图象是关键.在例题的设计中，思路1从具体的二次函数图象出发，让学生分别画出(1)y=f(-x);(2)y=-f(x);(3)y=f(x)+1,(4)y=f(x-2);(5)y=|f(x)|;(6)y=f(|x|)的图象，让学生再一次系统体会了图象平移变换、翻折变换等变换方法，适合基础一般的学生，而思路2直接给出几个函数让学生作图，这样就要求学生对各类函数的图象的处理方法能熟练掌握.含绝对值的问题如何处理，翻折变换如何处理，分式函数如何处理，各种方法要灵活使用，要求较高.列表法、图象法、解析式法是三种常用的函数表示方法，在实际情景中要会根据不同的要求选择恰当的方法表示函数.要简单了解分段函数的特点以及应用，分段函数是指函数的表达式是分段表示的，是一个函数，分段函数的问题一般要分段处理.。

高中数学优质教案第二章基本初等函数(Ⅰ)

第二章基本初等函数（Ⅰ）一、课标要求：教材把指数函数，对数函数，幂函数当作三种重要的函数模型来学习，强调通过实例和图象的直观，揭示这三种函数模型增长的差异及其关系，体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法，学会运用具体函数模型解决一些实际问题.1.了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理数指数幂的意义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.3.理解指数函数的概念和意义，掌握f(x)=a x的符号、意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的有关性质（单调性、值域、特别点）.4.通过应用实例的教学，体会指数函数是一种重要的函数模型.5.理解对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用.6.通过具体函数，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，掌握f(x)=log a x符号及意义，体会对数函数是一类重要的函数模型，能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的有关性质（单调性、值域、特殊点）.7.知道指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数（a＞0, a≠1），初步了解反函数的概念和f- -1(x)的意义.8.通过实例，了解幂函数的概念，结合五种具体函数1312,,,y x y x y x y x-====的图象，了解它们的变化情况.二、编写意图与教学建议：1.教材注重从现实生活的事例中引出指数函数概念，所举例子比较全面，有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望.教学中要充分发挥课本的这些材料的作用，并尽可能联系一些熟悉的事例，以丰富教学的情景创设.2.在学习对数函数的图象和性质时，教材将它与指数函数的有关内容做了比较，让学生体会两种函数模型的增长区别与关联，渗透了类比思想. 建议教学中重视知识间的迁移与互逆作用.3、教材对反函数的学习要求仅限于初步知道概念，目的在于强化指数函数与对数函数这两种函数模型的学习，教学中不宜对其定义做更多的拓展.4.教材对幂函数的内容做了削减，仅限于学习五种学生易于掌握的幂函数，并且安排的顺序向后调整，教学中应防止增加这部分内容，以免增加学生学习的负担.5.通过运用计算机绘制指数函数的动态图象,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能..6. 教材安排了“阅读与思考”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读.。

函数的概念与基本初等函数Ⅰ复习(2教案函数--教案

普通高中课程标准实验教科书—数学第一册[苏教版]函数的概念与基本初等函数Ⅰ复习（2）教学目标：掌握指数、对数函数及二次函数的概念、性质、图象，并能灵活运用它们的性质解决问题，了解一些简单幂函数的图象．教学过程一、课前预习1．下列语句正确的是①对数式lg N b =和指数式10bN =是同一关系式的两种不同表达式； ②lg ln 10,(0)NN N e N N ==>都恒成立；③自然对数和常用对数的底数都大于1．（ D ）()A ①② ()B ②③ ()C ①③ ()D ①②③2．若34(0,0)aba b =>>，则使2a pb =的p 的值为（ D ）()A 42log 2 ()B 24log 3 ()C 32log 2 ()D 34log 23．若21a b a >>>，则下列大小关系成立的是（ A ）()A log log log log ab b a a b a b b a <<< ()B log log log log a b a b a bb a b a<<< ()C log log log log b a a b a b a b b a <<< ()D log log log log a b a b a bb a b a<<<4．若函数()log ()a f x a x =-在[2,3]上单调递减，则a 的取值范围是（ A ） ()A 3a > ()B 2a > ()C 1a > ()D 01a <<5．函数1(0,1)xy a b a a =+->≠的图象不经过第一象限，则一定有（ C ）()A 01a <<且0b ≥ ()B 1a >且0b ≥ ()C 01a <<且0b ≤ ()D 1a >且0b ≤6．已知函数2()(0)f x x x a a =++>，若()0f m <，则(1)f m +的值为（ A ）()A 正数 ()B 负数 ()C 非负数 ()D 正数、负数、零都有可能7．2481111(1)(1)(1)(1)2222++++的值等于（ B ）()A 16112- ()B 15122- ()C 171122- ()D 8314(1)2- 8．已知函数1()lg 1x f x x -=+，若1()2f a =，则()f a -=12-．二、例题分析例1．（1）解方程232330x x-⋅-= （2）求函数2()3233xx f x =-⋅-的值域．解：令3(0)xt t =>，（1）则2230t t --=，得3t =或1t =-（舍取），33x=，得1x =，原方程的解为1x =．（2） 2223(1)4y t t t =--=--，所求值域[4,)-+∞．例2．已知方程lg(1)lg(3)lg()x x a x -+-=-（1）若方程有且只有一个根，求a 的取值范围．（2）若方程无实数根，求a 的取值范围．解：由题知2101330053(1)(3)x x x a x a x x x x a x->⎧⎪<<->⎧⎪⇔⎨⎨->=-+-⎩⎪⎪--=-⎩，（1）∴2513()(13)24a x x =--+<<有一解，a 的取值范围为13(1,3]{}4；（2）∴2513()(13)24a x x =--+<<无实数根，a 的取值范围为13(,1](,)4-∞+∞．例3．求m 的取值范围，使关于x 的方程21(lg )2lg ()04x m x m -+-=有两个大于1的根．解：令lg t x =，若1x >，则0t >，由题知：212()04t mt m -+-=有两不相等的正实数根，∴21212144()042014m m x x m x x m ⎧∆=-->⎪⎪+=>⎨⎪⎪=->⎩，所求m 的取值范围111(,)(,)422+∞．三、课后作业1．函数5log y x =-与5xy -=的图象关于（ A ）()A 直线y x =对称 ()B 直线y x =-对称 ()C 原点对称 ()D y 轴对称2．函数()log (1)a f x x =+的定义域和值域都是[0,1]，则a 的值为（ D ）()A13()B()C ()D 23．已知()()()2f x x a x b =---（a b <），且,αβ（αβ<）是方程()0f x =的两根，则（A ） ()A a b αβ<<< ()B a b αβ<<< ()C a b αβ<<< ()D a b αβ<<<4．方程2log (2)x +=（ B ）()A 0个 ()B 1个 ()C 2个 ()D 3个5．某商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价（ D ）()A 10% ()B 90% ()C 11% ()D 111%96．记函数13xy -=+的反函数为()y g x =，则(4)g =1-．7．比较大小：（1） 2.51.7<31.7 （2）0.31.7> 3.10.9（3）213log (3)x +≤1- （4）0.5>8．已知函数1()31xf x a =+-是奇函数，则a =12． 9．函数2()ln(43)f x x x =-+的递减区间是(,1)-∞．10．已知函数(21)()log (21)a f x x -=+在区间3(,)2+∞上满足()0f x >，a 的取值范围是 (1,)+∞ ．11．讨论函数1()42xx f x +=-的单调性．解：设12x x <，则12121112()()(44)(22)xxx x f x f x ++-=---1212(22)(222)x x x x =-+-，当120x x <<时，12(22)0xx-<，12(222)0xx+->，12()()f x f x <；当120x x <<时，12(22)0xx-<，12(222)0xx+-<，12()()f x f x >；所以()f x 在(,0)-∞是减函数，在(0,)+∞是增函数．。

高一数学第二章、基本初等函数习题课教案

1.提问：指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质.
（五）、布置作业
P88页练习第二题的（3）、（4）小题。
3.1.2用二分法求方程的近似解(1)
【课型】新授课
（2）教科书上的表3－1，可以让学生用计算器或计算机得出，使学生通过动手实践获得对表3－1的认同感.通过观察表3－1，结合图象3.1－3，不难得出函数的一个零点在区间（2，3）内.
请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．
（二）分段函数的教学：
分段函数的定义：
在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数，如以下的例3的函数就是分段函数。
说明：
（1）．分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数问题时，首先要确定自变量的数值属于哪个区间段，从而选取相应的对应法则；画分段函数图象时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出；
高一数学第二章、基本初等函数习题课教案
【课型】复习课
【教学要求】
掌握指数函数、对数函数的概念，会作指数函数、对数函数的图象，并能根据图象说出指数函数、对数函数的性质，了解五个幂函数的图象及性质.
【教学重点】指数函数的图象和性质.
【教学难点】指数函数、对数函数、幂函数性质的简单应用.
【教学过程】
一、复习准备：
例2：（课本P20例4）下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表：
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
甲
98
87
91
92
88
95
乙
90
76
88
75
86
80

必修1第二章基本初等函数复习(2)教案

必修1第二章基本初等函数复习（2）教学目标进一步复习指数函数对数函数的概念、图像与性质；能用复合函数解决与指数函数对数函数的有关问题。

教学重点复合函数()[]xgfy=是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则()[]xgfy=在M上是减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则()[]xgfy=在M 上是增函数。

教学难点复合函数的值域的求法.教学过程一、复习引入：1．复习指数函数对数函数的概念、图像与性质（1）指数函数：①定义：函数)1,0(≠>=aaay x且称指数函数，1）函数的定义域为R；2）函数的值域为),0(+∞；3）当10<<a时函数为减函数，当1>a时函数为增函数。

②函数图像：1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；2）指数函数都以x轴为渐近线（当10<<a时，图象向左无限接近x轴，当1>a时，图象向右无限接近x轴）；3）对于相同的)1,0(≠>aaa且，函数xx ayay-==与的图象关于y轴对称。

③函数值的变化特征：10<<a1>a①10<<>yx时，②10==yx时，③10><yx时①10>>yx时，②10==yx时，③10<<<yx时，（2）对数函数：①定义：函数)1,0(log≠>=aaxya且称对数函数，1）函数的定义域为),0(+∞；2）函数的值域为R；3）当10<<a时函数为减函数，当1>a时函数为增函数；4）对数函数xyalog=与指数函数)1,0(≠>=aaay x且互为反函数。

②函数图像：1）对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、四象限；2）对数函数都以y轴为渐近线（当10<<a时，图象向上无限接近y轴；当1>a时，图象向下无限接近y轴）；4）对于相同的)1,0(≠>aaa且，函数xyxyaa1loglog==与的图象关于x轴对称。

2022高考数学一轮总复习第二章函数概念与基本初等函数第2讲函数的单调性与最值学案文(含答案)

高考数学一轮总复习学案：第2讲函数的单调性与最值1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值1．函数单调性的常用结论(1)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数．(2)若k＞0，则kf(x)与f(x)的单调性相同；若k＜0，则kf(x)与f(x)的单调性相反．(3)函数y ＝f (x )(f (x )＞0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f （x ）的单调性相反． (4)函数y ＝f (x )(f (x )≥0)在公共定义域内与y ＝f （x ）的单调性相同．(5)复合函数单调性的判断方法：若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数．简称“同增异减”．2．单调性定义的等价形式设x 1，x 2∈[a ，b ]，x 1≠x 2.(1)若有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0或f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞0，则f (x )在闭区间[a ，b ]上是增函数；(2)若有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0或f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0，则f (x )在闭区间[a ，b ]上是减函数．3．函数最值的结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取得．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数．( ) (2)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数f (x )的单调递增区间是[1，＋∞)．( )(3)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )(4)所有的单调函数都有最值．( )(5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．( )(6)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点处取到． ( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ 二、易错纠偏常见误区| (1)求单调区间忘记定义域导致出错； (2)对于分段函数，一般不能整体单调，只能分段单调； (3)利用单调性解不等式忘记在单调区间内求解；(4)混淆“单调区间”与“在区间上单调”两个概念． 1．函数y ＝log 12(x 2－4)的单调递减区间为________．答案：(2，＋∞)2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －2）x ，x ≥2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x <2是定义在R 上的减函数，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，2（a －2）≤⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a <2，a ≤138，即a ≤138.答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，138 3．函数y ＝f (x )是定义在[－2，2]上的减函数，且f (a ＋1)<f (2a )，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a ＋1≤2，－2≤2a ≤2，a ＋1>2a ，即⎩⎪⎨⎪⎧－3≤a ≤1，－1≤a ≤1，a <1. 所以－1≤a <1. 答案：[－1，1)4．(1)若函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a 的取值范围是________；(2)若函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2的单调递减区间为(－∞，4]，则a 的值为________．答案：(1)a ≤－3 (2)－3确定函数的单调性(区间)(多维探究) 角度一判断或证明函数的单调性(一题多解)试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1，1)上的单调性．【解】方法一：(定义法)设－1<x 1<x 2<1，f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1，f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1＝a （x 2－x 1）（x 1－1）（x 2－1），由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0，故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，函数f (x )在(－1，1)上单调递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，函数f (x )在(－1，1)上单调递增．方法二：(导数法)f ′(x )＝（ax ）′（x －1）－ax （x －1）′（x －1）2＝a （x －1）－ax （x －1）2＝－a（x －1）2.当a >0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1，1)上单调递减；当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1，1)上单调递增．利用定义法证明或判断函数单调性的步骤[提醒] 判断函数的单调性还有图象法、导数法、性质法等．角度二求具体函数的单调区间求函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋1的单调区间．【解】 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0＝⎩⎪⎨⎪⎧－（x －1）2＋2，x ≥0，－（x ＋1）2＋2，x <0. 画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和(0，1]，单调递减区间为(－1，0]和(1，＋∞)．【迁移探究】 (变条件)若本例函数变为f (x )＝|－x 2＋2x ＋1|，如何求解？解：函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的图象如图所示．由图象可知，函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的单调递增区间为(1－2，1]和(1＋2，＋∞)；单调递减区间为(－∞，1－ 2 ]和(1，1＋ 2 ]．确定函数的单调区间的方法[注意] (1)函数在某个区间上是单调函数，但在整个定义域上不一定是单调函数，如函数y ＝1x在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，但在定义域上不具有单调性．(2)“函数的单调区间是M ”与“函数在区间N 上单调”是两个不同的概念，显然N ⊆M .1．下列函数中，在区间(－1，1)上为减函数的是( ) A ．y ＝11－xB ．y ＝cos xC ．y ＝ln(x ＋1)D ．y ＝2－x解析：选D ．A 项中，y ＝11－x在(－1，1)上为增函数；B 项中，y ＝cos x 在(－1，1)上不单调；C 项中，y ＝ln(x ＋1)在(－1，1)上为增函数；D 项中，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(－1，1)上为减函数．故选D ．2．函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：选D ．由x 2－2x －8＞0得x ＜－2或x ＞4.令g (x )＝x 2－2x －8，则g (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增，而y ＝ln x 为单调递增函数，根据复合函数的性质，函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间为(4，＋∞)．3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的单调递减区间是________．解析：由f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，g (x )＝x 2f (x －1)，得g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ＞1，0，x ＝1，－x 2，x ＜1，作出图象如下：故函数g (x )的单调递减区间为[0，1)．答案：[0，1)4．判断并证明函数f (x )＝ax 2＋1x(其中1＜a ＜3)在x ∈[1，2]上的单调性．解：函数f (x )＝ax 2＋1x(其中1<a <3)在x ∈[1，2]上单调递增，证明如下：设1≤x 1＜x 2≤2，则f (x 2)－f (x 1)＝ax 22＋1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 21＋1x 1＝(x 2－x 1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤a （x 1＋x 2）－1x 1x 2，由1≤x 1＜x 2≤2，得x 2－x 1＞0，2＜x 1＋x 2＜4， 1＜x 1x 2＜4，－1＜－1x 1x 2＜－14.又1＜a ＜3，所以2＜a (x 1＋x 2)＜12，得a (x 1＋x 2)－1x 1x 2＞0，从而f (x 2)－f (x 1)＞0，即f (x 2)＞f (x 1)，故当a ∈(1，3)时，f (x )在[1，2]上单调递增．函数单调性的应用(多维探究) 角度一比较大小已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >bD ．b >a >c【解析】因为f (x )的图象关于直线x ＝1对称．所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52. 当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，故f (x )在(1，＋∞)上单调递减．因为1<2<52<e ，所以f (2)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52>f (e)，所以b >a >c . 【答案】 D比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用其函数性质，转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．角度二解函数不等式(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x，x ≤0，－x 2－2x ＋1，x ＞0，若f (a －1)≥f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 (2)已知函数f (x )＝－x |x |，x ∈(－1，1)，则不等式f (1－m )<f (m 2－1)的解集为________．【解析】 (1)函数f (x )＝e －x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x在(－∞，0]上为减函数，函数f (x )＝－x 2－2x ＋1在(0，＋∞)上为减函数，且e －0＝－02－2×0＋1＝1，所以函数f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．由f (a －1)≥f (－a )得a －1≤－a ，解得a ≤12.故选A ．(2)由已知得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1<x ≤0，－x 2，0<x <1，则f (x )在(－1，1)上单调递减，所以⎩⎨⎧－1<1－m <1，－1<m 2－1<1，m 2－1<1－m ，解得0<m <1，所以所求解集为(0，1)．【答案】 (1)A (2)(0，1)解函数不等式的理论依据是函数单调性的定义，具体步骤是：(1)将函数不等式转化成f (x 1)＞f (x 2)的形式；(2)考查函数f (x )的单调性；(3)根据函数f (x )的单调性去掉法则“f ”，转化为形如“x 1＞x 2”或“x 1＜x 2”的常规不等式，从而得解．[提醒] 要注意函数的定义域，如本例(2)易忽视“－1＜1－m ＜1，－1＜m 2－1＜1”而致误．角度三利用函数的单调性求最值(1)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________．(2)函数y ＝x 2＋4x 2＋5的最大值为________．【解析】 (1)由于y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上单调递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上单调递增，所以f (x )在[－1，1]上单调递减，故f (x )在[－1，1]上的最大值为f (－1)＝3.(2)令 x 2＋4＝t ，则t ≥2，所以x 2＝t 2－4，所以y ＝t t 2＋1＝1t ＋1t，设h (t )＝t ＋1t在[2，＋∞)上为增函数，所以h (t )min ＝h (2)＝52，所以y ≤152＝25(x ＝0时取等号)．即y 的最大值为25.【答案】 (1)3 (2)25运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数图象不易作出时，单调性法几乎成为首选方法．角度四利用函数的单调性求参数的范围(或值)(1)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（3－a ）x ，x ∈（－∞，－1]，a x ，x ∈（1，＋∞）是R 上的增函数，则实数a的取值范围是( )A ．(0，3)B ．(1，3)C ．(1，＋∞)D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，3 (2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．【解析】 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3－a ＞0，a ＞1，3－a ≤a ，解得32≤a ＜3，故选D ．(2)作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4.【答案】 (1)D (2)(－∞，1]∪[4，＋∞)(1)根据函数的单调性，将题设条件转化为含参数的不等式(组)，即可求出参数的值或范围；(2)若分段函数是单调函数，则不仅要保证在各区间上单调性一致，还要确保在整个定义域内是单调的．1．函数y ＝f (x )在[0，2]上单调递增，且函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，则下列结论成立的是( )A ．f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1) D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1) 解析：选B ．因为f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以f (x )＝f (4－x )，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12.又0<12<1<32<2，f (x )在[0，2]上单调递增，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52. 2．已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x＜f (1)的实数x 的取值范围是( ) A ．(－1，1)B ．(0，1)C ．(－1，0)∪(0，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：选C ．由f (x )为R 上的减函数且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x ＞1，x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧|x |＜1，x ≠0.所以－1＜x ＜0或0＜x ＜1.故选C ．3．设函数f (x )＝2x x －2在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M ，m ，则m2M ＝( )A ．23 B ．38 C ．32D ．83解析：选D ．由题意得f (x )＝2x x －2＝2＋4x －2，所以函数f (x )在区间[3，4]上单调递减，所以M ＝f (3)＝2＋43－2＝6，m ＝f (4)＝2＋44－2＝4，所以m 2M ＝426＝83.故选D ．4．已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是________．解析：当a ＝0时，f (x )＝－12x ＋5，在(－∞，3)上是减函数；当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，－4（a －3）4a ≥3，得0＜a ≤34.综上可知，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34思想方法系列2 函数最值的求法方法一单调性法已知a ＞0，设函数f (x )＝2 022x ＋1＋2 0212 022x＋1＋2 022x 3(x ∈[－a ，a ])的最大值为M ，最小值为N ，则M ＋N 的值为( )A ．2 022B ．2 023C ．4 043D ．4 044【解析】 f (x )＝2 022x ＋1＋2 0212 022x ＋1＋2 022x 3＝2 022（2 022x＋1）－12 022x＋1＋2 022x 3＝2 022－12 022x＋1＋2 022x 3. 因为y ＝－12 022x＋1，y ＝2 022x 3均为增函数，所以f (x )在[－a ，a ]上单调递增，故最大值为f (a )，最小值为f (－a )，所以M ＋N ＝f (a )＋f (－a )＝2 022－12 022a ＋1＋2 022a 3＋2 022－12 022－a＋1＋2 022(－a )3＝4 044－1＝4 043.【答案】 C利用函数的单调性求解函数的值域是最基本的方法，解题的关键是准确确定函数的单调性．方法二不等式法主要是指运用均值不等式及其变形公式来解决函数最值问题的一种方法．常用的基本不等式有以下几种：a 2＋b 2≥2ab (a ，b 为实数)； a ＋b2≥ab (a ≥0，b ≥0)；ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b 为实数)．设x ，y ，z 为正实数，x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz的最小值为________．【解析】因为x －2y ＋3z ＝0，所以y ＝x ＋3z2，所以y 2xz ＝x 2＋9z 2＋6xz4xz.又x ，z 为正实数，所以由基本不等式，得y 2xz ≥6xz ＋6xz 4xz ＝3.当且仅当x ＝3z 时取“＝”．故y 2xz的最小值为3.【答案】 3先对解析式进行变形，使之满足“一正、二定、三相等”的条件，再利用基本不等式求得最值．常用的不等式有a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2ab (a ，b 均为正实数)．解题时要注意验证等号成立的条件，如果在求解时发现等号不成立，可尝试利用函数性质解题．方法三配方法配方法是求二次函数最值的基本方法，如函数F (x )＝af 2(x )＋bf (x )＋c 的最值问题，可以考虑用配方法．已知函数y ＝(e x －a )2＋(e －x －a )2(a ∈R ，a ≠0)，求函数y 的最小值．【解】 y ＝(e x －a )2＋(e －x －a )2＝(e x ＋e －x )2－2a (e x ＋e －x )＋2a 2－2.令t ＝e x ＋e －x (t ≥2)，设f (t )＝t 2－2at ＋2a 2－2.因为t ≥2，所以f (t )＝t 2－2at ＋2a 2－2＝(t －a )2＋a 2－2，定义域为[2，＋∞)．因为函数y ＝f (t )图象的对称轴为直线t ＝a ，所以当a ≤2且a ≠0时，y min ＝f (2)＝2(a －1)2；当a ＞2时，y min ＝f (a )＝a 2－2.利用二次函数的性质求最值，要特别注意自变量的取值范围，同时还要注意对称轴与区间的相对位置关系．如本例化为含参数的二次函数后，求解最值时要细心区分对称轴与区间的位置关系，然后再根据不同情况分类解决．方法四换元法换元法有两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体问题及题目形式去灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从而求出原函数的最值．(1)函数f (x )＝x ＋21－x 的最大值为________．(2)函数y ＝x －4－x 2的值域为________．【解析】 (1)设1－x ＝t (t ≥0)，所以x ＝1－t 2.所以y ＝f (x )＝x ＋21－x ＝1－t 2＋2t ＝－t 2＋2t ＋1＝－(t －1)2＋2.所以当t ＝1即x ＝0时，f (x )max ＝2.(2)由4－x 2≥0，得－2≤x ≤2，所以设x ＝2cos θ(θ∈[0，π])，则y ＝2cos θ－4－4cos 2θ＝2cos θ－2sin θ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，因为θ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22，所以y ∈[]－22，2. 【答案】 (1)2 (2)[]－22，2换元法方式很多，常见的有代数换元和三角换元．如可用三角代换解决形如a 2＋b 2＝1及部分根式函数形式的最值问题．方法五数形结合法数形结合法，是指利用函数所表示的几何意义，借助几何方法及函数的图象求函数最值的一种常用的方法．对a ，b ∈R ，记max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a ＜b ，函数f (x )＝max{|x ＋1|，|x －2|}(x ∈R )的最小值是________．【解析】由|x ＋1|≥|x －2|，得(x ＋1)2≥(x －2)2.所以x ≥12.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|，x ≥12，|x －2|，x ＜12. 其图象如图所示．由图象易知，当x ＝12时，函数有最小值，所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋1＝32.【答案】 32本例作出y ＝|x ＋1|与y ＝|x －2|的图象，作出f (x )的图象是解题关键．。

高中数学第二章基本初等函数(1) 2.2.1 对数与对数运算第二课时对数的运算学案(含解析)

第二课时对数的运算对数的运算性质[提出问题]问题1：我们知道a m＋n＝a m·a n，那么log a（M·N)＝log a M·log a N正确吗？举例说明．提示：不正确．例如log24＝log2（2×2）＝log22·log22＝1×1＝1，而log24＝2. 问题2:你能推出log a（MN)(M>0，N>0)的表达式吗?提示：能．令a m＝M，a n＝N，∴MN＝a m＋n.由对数的定义知log a M＝m，log a N＝n，log a(MN)＝m＋n，∴log a(MN）＝log a M＋log a N.[导入新知］对数的运算性质若a>0,且a≠1，M〉0，N>0,那么:(1)log a（M·N）＝log a M＋log a N,(2)log a错误!＝log a M－log a N，（3）log a M n＝n log a M(n∈R）．[化解疑难]巧记对数的运算性质（1）两个正数的积的对数等于这两个正数的对数的和．(2）两个正数的商的对数等于这两个正数的对数的差．(3)正数幂的对数等于幂指数乘同一底数幂的底数的对数.换底公式［提出问题]问题1:(1）log28；(2）log232;(3）log832各为何值？提示：（1)log28＝3；(2)log232＝5；(3）log832＝log8853＝错误!。

问题2：log832＝错误!成立吗? 提示:成立．［导入新知］换底公式若c〉0且c≠1,则log a b＝错误!(a>0，且a≠1，b〉0）．［化解疑难］1．换底公式的推导设x＝log a b，化为指数式为a x＝b，两边取以c为底的对数，得log c a x＝log c b，即x log c a ＝log c b，所以x＝错误!，即log a b＝错误!。

2．换底公式常用推论log an b n＝log a b(a〉0,a≠1，b>0，n≠0)；log am b n＝错误!log a b(a〉0,a≠1，b>0，m≠0，n∈R)；log a b·log b a＝1（a〉0,b〉0，a≠1，b≠1);log a b·log b c·log c d＝log a d（a〉0，a≠1,b>0，b≠1，c〉0,c≠1，d>0)．对数运算性质的应用［例1］(1＊①log a x·log a y＝log a（x＋y）；②log a x－log a y＝log a(x－y）；③log a(xy)＝log a x·log a y；④错误!＝log a错误!；⑤(log a x）n＝log a x n;⑥log a x＝－log a错误!；⑦错误!＝log a错误!;⑧log a错误!＝－log a错误!.其中式子成立的个数为( )A．3 B．4C．5 D．6(2）计算下列各式的值：①4lg 2＋3lg 5－lg错误!；②错误!；log3；③2log32－log3错误!＋log38－55④log2错误!＋log2错误!.[解] (1）选A 对于①，取x＝4，y＝2,a＝2，则log24·log22＝2×1＝2，而log2(4＋2)＝log26≠2，∴log a x·log a y＝log a(x＋y)不成立；对于②，取x＝8，y＝4，a＝2，则log28－log24＝1≠log2(8－4)＝2，∴log a x－log a y＝log a（x－y）不成立；对于③，取x ＝4，y ＝2,a ＝2，则log 2(4×2）＝log 28＝3，而log 24·log 22＝2×1＝2≠3, ∴log a (xy ）＝log a x ·log a y 不成立；对于④,取x ＝4，y ＝2，a ＝2，则错误!＝2≠log 2错误!＝1， ∴错误!＝log a 错误!不成立;对于⑤，取x ＝4，a ＝2，n ＝3，则(log 24)3＝8≠log 243＝6，∴(log a x )n ＝log a x n不成立; ⑥成立,由于－log a 错误!＝－log a x －1＝log a (x －1）－1＝log a x ； ⑦成立，由于log a 错误!＝log a x 1n＝错误!log a x ； ⑧成立，由于log a 错误!＝log a 错误!－1＝－log a 错误!。

高中数学第二章函数概念与基本初等函数I2.1函数的概念2.1.1函数的概念和图象(1)学案苏教版必修

2．1．1 函数的概念和图象第1课时函数的概念1．体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，理解函数的概念．2．了解构成函数的三要素：定义域、对应法则、值域，会求一些简单函数的定义域和值域．函数的概念一般地，设A ，B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有惟一的元素y 和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为y ＝f (x )，x ∈A ．其中，所有的输入值x 组成的集合A 叫做函数y ＝f (x )的定义域．若A 是函数y ＝f (x )的定义域，则对于A 中的每一个x ，都有一个输出值y 与之对应．我们将所有输出值y 组成的集合称为函数的值域．符号y ＝f (x )是“y 是x 的函数”的数学表示，应理解为x 是自变量，它是法则所施加的对象；f 是对应法则，它可以是一个或几个解析式，也可以是图象、表格或文字描述；y 是自变量的函数，当x 允许取某一个具体数值时，相应的y 值与之对应．“y ＝f (x )”仅仅是函数符号，还可用“y ＝g (x )”“y ＝F (x )”“y ＝G (x )”等来表示函数关系．【做一做1－1】已知f (x )＝x －3＋x ＋2，则f (7)＝__________．答案：5【做一做1－2】求下列函数的定义域和值域．(1)y ＝2x；(2)y ＝x －1＋3．解：(1)定义域：(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域：(－∞，0)∪(0，＋∞)；(2)定义域：［1，＋∞)，值域：［3，＋∞)．1．三种基本初等函数的定义域和值域剖析：(1)一次函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)的定义域是R ，值域是R ．(2)反比例函数f (x )＝k x(k ≠0)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(3)二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的定义域是R ．当a ＞0时，值域是244ac b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，；当a ＜0时，值域是244ac b a ⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦，． 2．如何判断两个函数是同一函数剖析：只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数，这就是说：(1)定义域不同，两个函数不同；(2)对应法则不同，两个函数也是不同的；(3)即使是定义域和值域分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能惟一地确定函数的对应法则．例如，函数y ＝x ＋1与y ＝x －1，它们的定义域都是R ，值域都是R ，也就是说，这两个函数的定义域和值域都分别相同，但它们的对应法则是不同的，因此不能说这两个函数是同一函数．由于值域可以由定义域和对应法则惟一确定，所以两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相同时，才是同一函数．题型一函数的概念【例1】下列四组函数中，f (x )与g (x )表示同一函数的有__________．①f (x )＝4x 4，g (x )＝(4x )4②f (x )＝x ，g (x )＝3x 3③f (x )＝1，g (x )＝1(x ≠0)④f (x )＝x －1，g (x )＝|x －1|解析：若两个函数能表示同一个函数，则必须满足：①定义域相同；②对应法则相同．对于①，两函数的定义域不同，其中f (x )的定义域为{x |x ∈R }，g (x )的定义域为{x |x ≥0}；对于②，定义域、值域和对应法则都相同，所以f (x )与g (x )表示同一函数；对于③，定义域不同，其中f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为{x |x ≠0}；④的对应法则不同．答案：②反思：一般地，函数的定义域和对应法则确定，值域就随之确定，因此判断两个函数是否为同一函数，只需判断它们的定义域和对应法则是否分别相同即可．题型二求函数的定义域【例2】求下列函数的定义域：(1)y ＝2＋3x －2； (2)y ＝3－x ·x －1；(3)y ＝2x ＋1．分析：给定函数时，要指明函数的定义域．对于用解析式表示的函数，如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值集合．解：(1)要使函数有意义，必须满足x －2≠0成立，即x ≠2，所以这个函数的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠2}．(2)要使函数有意义，必须满足⎩⎨⎧3－x ≥0，x －1≥0成立，解得1≤x ≤3，所以这个函数的定义域为{x |x ∈R ，且1≤x ≤3}． (3)要使函数有意义，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≠0，2x ＋1≥0成立，解得x ＞－1，所以这个函数的定义域为{x |x ＞－1}．反思：一般地，求函数的定义域就是求使函数解析式有意义的自变量的取值的集合：(1)解析式是整式的函数，其定义域为R ；(2)解析式是分式的函数，其定义域为使分母不为零的实数的集合；(3)解析式是偶次根式的函数，其定义域是使被开方式为非负数的实数的集合；(4)如果解析式是由实际问题得出的，则其定义域是同时使实际问题和解析式有意义的实数的集合；(5)求函数的定义域的步骤通常是先根据题意列不等式(组)，再解不等式(组)，而后得出结论．题型三求函数的值域【例3】求下列函数的值域：(1)y ＝2x ＋1x －3；(2)y ＝x 2－2x 2＋1．分析：求函数的值域没有统一的方法．如果函数的定义域是有限个值，那么就可将函数值都求出得到值域；如果函数的定义域是无数个值时，则可根据函数表达式的特点采取相应的方法来求其值域，如观察法、配方法、换元法等．解：(1)(观察法)y ＝2x ＋1x －3＝2＋7x －3．因为x ≠3，7x －3≠0，所以y ≠2．故所求函数的值域为{y |y ≠2}．(2)(逐步求解法)先分离常数，y ＝x 2－2x 2＋1＝x 2＋1－3x 2＋1＝1－3x 2＋1．∵x 2＋1≥1，∴0＜1x 2＋1≤1．∴－2≤1－3x 2＋1＜1．∴y∈［－2,1)．题型四求已知函数的函数值【例4】已知f (x )＝x 2＋1，g (x )＝12x ＋1， (1)求f (2)和g (a )；(2)求f ［g (1)］和g ［f (x )］．分析：求某个函数的某个函数值，就是将自变量用相应的代数式或数替换，然后化简即可；求f ［g (a )］时，一般遵循先里后外的原则，先求g (a )，然后将f (x )解析式中的x 代换为g (a )，同时要注意函数的定义域．解：(1)f (2)＝22＋1＝5，g (a )＝12a ＋1． (2)f ［g (1)］＝211()=()133f +＋1＝109；g ［f (x )］＝g (x 2＋1)＝12(x 2＋1)＋1＝12x 2＋3．反思：要正确理解f (a )的含义．如果自变量取a ，则由对应法则f 确定的y 的值称为函数在a 处的函数值，记作f (a )；求某个函数的函数值时，还要正确理解对应法则“f ”和“g ”的含义．1已知函数f (x )＝1x ＋1，则函数f ［f (x )］的定义域是__________．解析：由条件得：f ［f (x )］＝11x ＋1＋1，从而由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≠0，1x ＋1＋1≠0，得之．答案：{x |x ≠－1，且x ≠－2}2设f (x )＝1＋x 1－x，又记f 1(x )＝f (x )，f k ＋1(x )＝f (f k (x ))，k ＝1,2，…，则f 2010(x )等于__________．解析：因f 1(x )＝f (x )＝1＋x 1－x，f 2(x )＝f (f 1(x ))＝1＋1＋x 1－x 1－1＋x 1－x＝－1x ， f 3(x )＝f (f 2(x ))＝1－1x 1＋1x＝x －11＋x ， f 4(x )＝f (f 3(x ))＝1＋x －11＋x 1－x －11＋x＝x ，所以它的规律是以4为周期，从而由2 010＝4×502＋2，得f 2 010(x )＝f 2(x )．答案：－1x3函数y ＝x 2x 2＋1(x ∈R )的值域是______．解析：(方法一)由y ＝x 2x 2＋1，得x 2＝y 1－y． ∴y 1－y≥0．解之，得0≤y ＜1． (方法二)y ＝x 2x 2＋1＝1－1x 2＋1， ∵x 2＋1≥1，∴－1≤－1x 2＋1＜0．∴0≤y ＜1．答案：［0,1)已知P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，下列对应不表示从P 到Q 的函数的有__________．(1)f ：x →y ＝12x (2)f ：x →y ＝13x (3)f ：x →y ＝32x (4)f ：x →y ＝x解析：因为当x ＝4时，y ＝6不在集合Q 中，(3)不符合函数的定义，其他均符合．。

高中数学第二章函数概念与基本初等函数I2.2函数的简单性质名师导航学案苏教版必修1

2.1.3 函数的简单性质名师导航知识梳理1.基础知识图表2.函数的单调性如果对于属于定义域A 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1＜x 2时，都有__________，那么就说f(x)在这个区间上是增函数.如果对于属于定义域A 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1＜x 2时，都有__________，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.如果函数f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，这一区间叫做f(x)的__________.求函数的单调区间，必须先求函数的定义域.讨论函数y=f ［φ(x)］的单调性时要注意两点：(1)若u=φ(x)，y=f(u)在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则y=f ［φ(x)］为________；(2)若u=φ(x)，y=f(u)在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则y=f ［φ(x)］为__________.若函数f(x)、g(x)在给定的区间上具有单调性，利用增(减)函数的定义容易证得在这个区间上：(1)函数f(x)与f(x)+C(C 为常数)具有__________的单调性.(2)C ＞0时，函数f(x)与C ·f(x)具有的单调性；C ＜0时，函数f(x)与C ·f(x)具有__________的单调性.(3)若f(x)≠0，则函数f(x)与)(1x f 具有__________的单调性. (4)若函数f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)+g(x)仍是增(减)函数.(5)若f(x)＞0，g(x)＞0，且f(x)与g(x)都是增(减)函数，则f(x)·g(x)也是增(减)函数；若f(x)＜0，g(x)＜0，且f(x)与g(x)都是增(减)函数，则f(x)·g(x)是减(增)函数. 使用上述结论，可以简便地求出一些函数的单调区间.根据定义讨论(或证明)函数增减性的一般步骤是：(1)设x 1、x 2是给定区间内的任意两个值且x 1＜x 2；(2)作差f(x 1)-f(x 2)，并将此差化简、变形；(3)判断f(x 1)-f(x 2)的正负，从而证得函数的增减性.利用函数的单调性可以把函数值的大小比较的问题转化为自变量的大小比较的问题. 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论.这即是说，函数的单调区间是其定义域的子集.3.函数的奇偶性如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，都有________________，那么f(x)叫做奇函数.如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，都有________________，那么f(x)叫做偶函数.奇函数的图象关于_________对称；偶函数的图象关于__________对称.如果函数f(x)是奇函数或是偶函数，那么就说函数f(x)具有奇偶性.函数按是否具有奇偶性可分为四类：奇函数，偶函数，既奇且偶函数(既是奇函数又是偶函数)，非奇非偶函数(既不是奇函数也不是偶函数).函数的奇偶性是针对函数的整个定义域而言的，因此奇偶性是函数在定义域上的整体性质.由于任意x 和-x 均要在定义域内，故奇函数或偶函数的定义域一定关于原点对称.所以，我们在判定函数的奇偶性时，首先要确定函数的定义域(函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.如果其定义域关于原点不对称，那么它没有奇偶性),然后再判断f(-x)与f(x)的关系，从而确定其奇偶性.判断函数的奇偶性有时可用定义域的等价形式f(-x)±f(x)=0或)()(x f x f -=±1〔f(x)≠0〕来代替.存在既奇且偶函数，例如f(x)=2211x x -+-.当f(-x)与f(x)之间的关系较隐蔽时，容易产生“非奇非偶”的错觉，万万不可草率下结论.函数的图象能够直观地反映函数的奇偶性.f(x)为奇函数的充要条件是函数f(x)的图象关于原点对称，f(x)为偶函数的充要条件是函数f(x)的图象关于y 轴对称.奇函数和偶函数还具有以下性质：(1)两个奇函数的和(差)仍是奇函数，两个偶函数的和(差)仍是偶函数.(2)奇偶性相同的两个函数的积(商、分母不为零)为偶函数，奇偶性相反的两个函数的积(商、分母不为零)为奇函数.(3)奇函数在其定义域的对称区间上单调性相同，偶函数在其定义域的对称区间上单调性相反.(4)定义域关于原点对称的函数f(x)可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和，即f(x)=2)()(2)()(x f x f x f x f -++--. (5)若f(x)是(-a,a)(a ＞0)上的奇函数，则f(0)=0.疑难突破1.怎样理解函数的增减性？函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数y=x 2，当x ∈[0,+∞)时是增函数，当x ∈(-∞,0)时是减函数.2.对于函数的单调性与单调区间，你是怎样理解的？由定义,在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.说明：(1)函数的单调区间是其定义域的子集.(2)应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数(或减函数)，例如，右图中，在x 1、x 2那样的特定位置上，虽然使得f(x 1)>f(x 2)，但显然此图象表示的函数不是一个单调函数.(3)除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将上述定义中的“f(x 1)<f(x 2)或f(x 1)>f(x 2)”改为“f(x 1)≤f(x 2)或f(x 1)≥f(x 2)”即可.(4)定义的内涵与外延：内涵是用自变量的大小变化来刻画函数值的变化情况；外延:①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对应时是单调递减.②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数.若f(x)、g(x)都为增函数(减函数)，则f(x)+g(x)为增函数(减函数).若f(x)为增函数，g(x)为减函数，则f(x)-g(x)为增函数；若f(x)为减函数，g(x)为增函数，则f(x)-g(x)为减函数.奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反.3.怎样理解函数的奇偶性？奇函数或偶函数都是定义在关于原点对称区间上的函数，且等式f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)是定义在对称区间上的恒等式，而不是只对自变量的部分值成立的方程，所以，只要出现以下两种情况之一，函数就不是偶函数或奇函数：(1)定义域不是关于原点对称的区间;(2)f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)不是定义在定义域上的恒等式.问题探究问题1 在函数的单调性定义中，你认为哪些词语最为关键？探究思路：函数的单调性定义中有这样几个关键词语：(1)“对于‘区间I ’内”，这“区间I ”应满足“I A ”，即函数的单调区间有时是函数定义区间的某个子区间.(2)“如果对于区间I 内的‘任意’两个值x 1、x 2”，这里x 1、x 2的任意性是非常重要的，这是把区间上无限多个函数的大小问题转化为任意两个函数值大小的关键.(3)“当x 1＜x 2时，‘都有’f(x 1)＜f(x 2)”，“都有”的意思是无一例外.问题2 如果一个函数在两个区间上同增减，那么在这两个区间的并集上是不是还符合原来的增减性？探究思路：对某一函数y=f(x)，它在区间(a ，b)与(c ，d)上都是单调增(减)函数，不能说y=f(x)在(a ，b)∪(c ，d)上一定是单调增(减)函数.比如说，函数y=x1在(-∞，0)、(0，+∞)内都是减函数，但在(-∞，0)∪(0，+∞)上不能说是减函数，这是因为取个特例x 1=1，x 2=-1，可见y 1=1，y 2=-1，这时变成x 1＞x 2时，却有y 1＞y 2，不再符合减函数的定义.问题3 你认为函数奇偶性定义中的哪些词语最为关键？一个函数是奇函数或偶函数，你能说出它们的定义域有什么共同的特征吗？探究思路：定义中“定义域内的任意一个x ”即x 是定义域内任意的，不可只对部分特殊值满足条件.如f(x)=x 2，x ∈(-2，2]，f(-1)=f(1)，f(-21)=f(21)，f(2)虽然存在，但f(-2)无定义，故f(-2)=f(2)不成立，所以f(x)是无奇偶性的.定义中“都有f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)”,即遍布定义域内的所有x 都满足f(-x)是否等于±f(x).问题4 函数的单调性和奇偶性的区别是什么?探究思路：根据函数单调性和奇偶性的定义我们知道：函数的单调性反映函数值的变化趋势，反映在图象上，是曲线的上升或下降.它通过定义区间(或子区间)内的任意两点x 1、x 2所对应的函数值大小的比较，推断定义区间(或其子区间)内无限多个函数值间的大小关系；函数的奇偶性反映函数的整体性态，即函数的奇偶性是函数图象对称性的代数描述.问题5 函数的奇偶性反映在函数图象上表现为图象的对称性，你能说出奇偶性与对称性之间的对应关系吗？用定义来判断函数的奇偶性的一般步骤是什么？探究思路：奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于y 轴成轴对称图形；反之也成立.所以可用函数图象的对称性来判断函数的奇偶性.判断函数奇偶性的一般方法是利用定义，通常是先求函数的定义域，观察定义域是否关于原点对称，然后验证f(-x)是否等于±f(x)；有时也可利用定义的变形形式，如验证f(-x)±f(x)=0，或)()(x f xf -=±1〔f(x)≠0〕是否成立. 典题精讲例1 证明函数y=x+x1在(1，+∞)上为增函数. 思路解析证明函数的增减性，先在定义域上取x 1＜x 2，然后作差f(x 1)-f(x 2)，判断这个差的符号即可.证明：设x 1、x 2是(1，+∞)上的任意两个实数，且x 1＜x 2，则f(x 1)-f(x 2)=x 1+11x -(x 2+21x )=x 1-x 2 +(11x -21x )=x 1-x 2-2121x x x x -=(x 1-x 2)(21211x x x x -). ∵x 1-x 2＜0，x 1x 2-1＞0，x 1x 2＞0，∴f(x 1)-f(x 2)＜0，即f(x 1)＜f(x 2).∴函数y=x+x1在(1，+∞)上为增函数. 例2 借助计算机作出函数y=-x 2+2|x|+3的图象并指出它的单调区间.思路解析计算机中有好多程序可以画图，但要注意的是，选用最常用的比较方便，如选用《几何画板》.解答：用几何画板画的函数图象如下图，由图象可知，函数的单调增区间为(-∞，-1)、(0，1)；函数的单调减区间为(-1，0)、(1，+∞).例3 已知函数f(x)=xa x x ++22，x ∈[1，+∞). (1)当a=21时，求函数的最小值； (2)若对任意x ∈[1，+∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a 的取值范围.思路解析先来解决第(1)问，当a 的值给定时，函数变为f(x)=x+x21+2，它类似于函数f(x)=x+x1，所以可以利用函数的单调性来判断最值. 解答：(1)当a=21时，f(x)=x+x 21+2. f(x)在[1，+∞)上为增函数，所以f(x)在[1，+∞)上的最小值为f(1)=27. (2)f(x)=x+xa +2，x ∈[1，+∞). 当a ≥0时，函数f(x)的值恒为正;当a ＜0时，函数f(x)在[1，+∞)上为增函数，故当x=1时，f(x)有最小值3+a ，于是当3+a ＞0时，函数f(x)＞0恒成立，故0＞a ＞-3.综上可知，当a ＞-3时，f(x)＞0恒成立.例4 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=1222++x x x ；(2)f(x)=x 3-2x ；(3)f(x)=a(x ∈R )；(4)f(x)=⎩⎨⎧<+≥-.0),1(,0),1(x x x x x x 思路解析按奇函数或偶函数的定义或几何特征进行判断即可.解答：(1)函数的定义域为{x|x ≠-1}，不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.(2)函数的定义域为R ，关于原点对称，f(-x)=(-x)3-2(-x)=2x-x 3=-f(x)，所以f(x)是奇函数.(3)函数的定义域为R ，关于原点对称，当a=0时，f(x)既是奇函数又是偶函数；当a ≠0时，f(-x)=a=f(x)，即f(x)是偶函数.(4)函数的定义域为R ，关于原点对称，当x ＞0时，-x ＜0，此时f(-x)=-x[1+(-x)]=-x(1-x)=-f(x)；当x ＜0时，-x ＞0，此时f(-x)=-x[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x)；当x=0时，-x=0，此时f(-x)=0，f(x)=0，即f(-x)=-f(x).综上，f(-x)=-f(x)，所以f(x)为奇函数.例5 已知f(x)是奇函数，在(-1，1)上是减函数，且满足f(1-a)+f(1-a 2)＜0，求实数a的范围.思路解析要求a 的取值范围，先要列出关于a 的不等式，这需要根据原条件，然后根据减函数的定义由函数值逆推出自变量的关系.解答：由f(1-a)+f(1-a 2)＜0，得f(1-a)＜-f(1-a 2).∵f(x)是奇函数，∴-f(1-a 2)=f(a 2-1).于是f(1-a)＜f(a 2-1).又由于f(x)在(-1，1)上是减函数，因此，⎪⎩⎪⎨⎧->-<-<-<-<-.11,111,11122a a a a 解得0＜a ＜1.例6 对定义域内的任意x 1、x 2都有f(x 1·x 2)=f(x 1)+f(x 2)，且当x>1时f(x)>0,f(2)=1，(1)求证：f(x)是偶函数；(2)证明f(x)在(0,+∞)上是增函数;(3)解不等式f(2x 2-1)<2.思路解析这里的函数f(x)没有给出具体的解析式，所以需要对已知条件f(xy)=f(x)+f(y)中的x 、y 进行恰当的赋值.解答：(1)证明:令x 1=x 2=1，得f(1)=2f(1)，∴f(1)=0.令x 1=x 2=-1，得f(-1)=0，∴f(-x)=f(-1·x)=f(-1)+f(x)=f(x).∴f(x)是偶函数.(2)证明:设x 2>x 1>0，则f(x 2)-f(x 1)=f(x 1·12x x )-f(x 1) =f(x 1)+f(12x x )-f(x 1)=f(12x x ). ∵x 2>x 1>0，∴12x x >1. ∴f(12x x )>0，即f(x 2)-f(x 1)>0. ∴f(x 2)>f(x 1).∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.(3)解:∵f(2)=1，∴f(4)=f(2)+f(2)=2.∵f(x)是偶函数,∴不等式f(2x 2-1)<2可化为f(|2x 2-1|)<f(4).又∵函数在(0,+∞)上是增函数，∴|2x 2-1|<4，解得-210<x<210，即不等式的解集为(-210,210). 例7 判断下列函数是否具有奇偶性.(1)f(x)=x 3；(2)f(x)=2x 4+3x 2；(3)f(x)=x 3+31x ；(4)f(x)=x+1. 思路解析判断函数是奇函数或是偶函数按定义证明即可.解答：(1)f(-x)=(-x)3=-f(x)，所以f(x)是奇函数.(2)f(-x)=2(-x)4+3(-x)2=2x 4+3x 2=f(x)，所以f(x)是偶函数.(3)f(-x)=(-x)3+(-x 31)=-(x 3+31x )=-f(x)，所以f(x)是奇函数. (4)f(x)=x+1中，既没有f(-x)=f(x)，也没有f(-x)=-f(x)，所以f(x)为非奇非偶函数. 知识导学1.函数的单调性与单调区间函数的单调性是对区间而言的，它是“局部”性质，不同于函数的奇偶性，函数的奇偶性是对整个定义域而言的，即是“整体”性质.对某一函数y=f(x)，它在某区间上可能有单调性，也可能没有单调性；即使是同一个函数它在某区间上可能单调增，而在另外一区间上可能单调减；对某一函数y=f(x)，它在区间(a ，b)与(c ，d)上都是单调增(减)函数，不能说y=f(x)在(a ，b)∪(c ，d)上一定是单调增(减)函数,即函数的单调性是针对定义域内的某个区间而言的.例如函数y=x1在(-∞，0)上是减函数，在(0，+∞)上也是减函数，但不能说它在整个定义域即(-∞，0)∪(0，+∞)上是减函数，因为当取x 1=-1，x 2=1时，对应的函数值为f(x 1) =-1，f(x 2)=1，显然有x 1＜x 2，但f(x 1)＜f(x 2)，不满足减函数的定义.有些函数在整个定义域内具有单调性.例如函数y=x 就是这样.有些函数在定义域内某个区间上是增函数，而在另一个区间上是减函数.例如函数y=x 2在(-∞，0)上是减函数，在［０，+∞］上是增函数.中学阶段我们所讨论的函数，只要它们在区间的端点有定义，那么在考虑单调区间时，包括端点、不包括端点都可以.函数的单调性所刻画的是当自变量变化时其对应的函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，函数图象能直观地显示函数的这个性质.在单调区间上的增函数，它的图象是沿x 轴正方向逐渐上升的；在单调区间上的减函数，它的图象是沿x 轴正方向逐渐下降的.2.奇偶性的判断(1)定义域不关于原点对称的函数一定不是奇、偶函数；(2)定义域关于原点对称的函数也不一定是奇、偶函数；(3)定义域关于原点对称，且满足f(-x)=f(x)或f(-x)= -f(x)的函数才是偶函数或奇函数.3.函数奇偶性的应用(1)利用奇偶性求有关函数值；(2)利用奇偶性求有关函数的解析式；(3)利用奇偶性研究函数的其他性质.奇偶性、单调性等常常与函数方程、不等式结合在一起，具有较强的综合性，这些知识的综合与应用，一直是高考的热点.另外,由奇(偶)函数图象的特征并结合函数单调性的定义不难得到:(1)奇(偶)函数在关于原点对称的区间上,具有相同(反)的单调性;(2)若奇函数f(x)在区间[a,b](0<a<b)上有最大值M,最小值m,则f(x)在区间[-b,-a]上的最大值为-m,最小值为-M;(3)偶函数f(x)在区间[a,b],[-b,-a](0<a<b)上有相同的最大(小)值.4.利用信息技术探讨函数的性质利用计算机绘制函数的图象具有快速准确的特点，常用的有microsoft 出品的Excel 和Scott and Nick Jackiw 共同开发的《几何画板》，特别是《几何画板》是一款非常优秀的多媒体软件.它是一个通用的数学、物理教学环境，提供丰富而方便的创造功能使用户可以随心所欲地编写出自己需要的教学课件.软件提供充分的手段帮助用户实现其教学思想，只需要熟悉软件的简单的使用技巧即可自行设计和编写应用范例，范例所体现的并不是编者的计算机软件技术水平，而是数学思想的应用水平.疑难导析1.函数是增函数还是减函数，是对定义域内的某一个区间而言的，有的函数在整个定义域内是增函数(减函数)，也有的函数在定义域的某个区间上是增函数，而在另外区间上又是减函数，也存在一些函数，根本就没有单调区间,如函数：f(x)=5x,x∈{1,2,3}.再者，因为一个固定点的函数值不会发生变化，所以函数的单调性不在某一个点去讨论，即使在定义域内，也不可以随便把单调区间写成闭区间(比如一些函数的区间端点正好是不连续的点).2.单调性与单调区间(1)在这个区间上的x1、x2必须是任意的.(2)增函数自变量和函数值的关系是“大对大，小对小”，可以用“荣辱与共”这个词形容.(3)说增函数必须谈及区间，脱离区间谈增函数是没有意义的.增函数的图象特征：从左到右下降.减函数的图象特征：从右到左下降.3.说明(1)若函数f(x)为奇函数，则对于定义域内任一x都有f(-x)=-f(x)；若函数f(x)为偶函数，则对于定义域内任一x都有f(-x)=f(x).(加深对函数奇偶性的理解，并使学生明确：作为定义，它具有纯粹性、完备性两个方面的意义)(2)强调x的任意性.(3)基本特征：f(x)=f(-x)和g(-x)=-g(x)是否成立,是判断函数奇偶性的主要依据.(4)重要特征：若x在函数f(x)的定义域内，则-x也在函数f(x)的定义域内，因此函数f(x)的定义域关于原点对称.问题导思不能把一个完整的单调区间随意分成两个区间，也不能把本来不是一个区间的单调区间合起来.若函数y=f(x)在闭区间［a，b］上具有单调性，则它在这个区间上必取得最大值和最小值.当f(x)在［a，b］上递增时，y max=f(b)，y min=f(a)，当f(x)在［a，b］上递减时，y max=f(a)，y min=f(b).函数的单调性是针对定义域的某个区域而言的,是函数的“局部”性质.一个函数具有奇偶性的前提条件是它的定义域关于原点对称，即定义域关于原点对称是函数为偶(或奇)函数的必要条件，这是奇、偶函数的本质属性之一.奇函数在其定义域的对称区间上单调性相同，偶函数在其定义域的对称区间上单调性相反.函数奇偶性的几个性质：(1)对称性：奇偶函数的定义域关于原点对称；(2)整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x都必须成立；(3)可逆性：f(-x)=f(x)⇔f(x)是偶函数，f(-x)=-f(x)⇔f(x)是奇函数；(4)等价性：f(-x)=f(x)⇔f(x)-f(-x)=0,f(-x)=-f(x) ⇔f(x)+f(-x)=0；(5)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；(6)可分性：根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数，偶函数，既是奇函数又是偶函数，非奇非偶函数.典题导考黑色陷阱作差时，在不能明显确定正、负符号的式子中判断符号，也许以为这是投机取巧的想法，但这在应试中是要吃亏的.因为数学思维讲究缜密性.比如本题中，直接说(x 1-x 2)(21211x x x x -)＜0是不可以的. 典题变式判断f(x)=11-+x x 在x ∈(1，+∞)上的单调性. 答案:任取x 1、x 2∈(1，+∞)且x 1＜x 2，则f(x 1)-f(x 2)=1111-+x x -1122-+x x =)1)(1()(22112---x x x x . ∵x 2-1＞0，x 1-1＞0，∴f(x 1)-f(x 2)＞0，即f(x 1)＞f(x 2).∴f(x)在(1，+∞)上是减函数.绿色通道在应用《几何画板》时，要注意使用其中的“图表”中的“新建函数(N)”功能，要用到其中的“abs ”即“绝对值函数”.典题变式下图是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，函数y=f(x)是增函数还是减函数.答案:函数y=f(x)的单调区间有[-5，-2)，[-2，1)，[1，3)，[3，5]，其中y=f(x)在区间[-5，-2)，[1，3)上是减函数，在区间[-2，1)，[3，5]上是增函数绿色通道如果一个函数在某个区间内单调，那么根据函数的单调性就可以判断出函数的极值，并结合函数的自变量在区间端点的函数值判断出函数的最值.黑色陷阱容易对a 的分类不全面，造成解题失误.有时不考虑在区间端点的值，也会造成解题错误.典题变式函数f(x)=ax 2-2ax+2+b(a ≠0)在［2，3］上有最大值5和最小值2，求a 、b 的值.解答：由f(x)=ax 2-2ax+2+b 的对称轴为x=1知，无论f(x)的单调性怎样，f(x)在［2，3］上存在最值的情况有两种：⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==,2)3(,5)2(5)3(,2)2(f f f f 或解得⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧==.3,10,1b a b a 或绿色通道根据奇函数以及偶函数的定义，判断是不是有关系f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)，前者是偶函数，后者是奇函数；如果这两个都不成立，则是非奇非偶函数.对于一个命题,若是假命题，只要举一反例来说明即可.比如，说一个函数是非奇非偶函数，只要说明它的定义域不合要求即可，而不必套用作差法进行检验.有时根据函数图象的对称性进行判断也是捷径之一.黑色陷阱要注意的是，有的函数既不是奇函数又不是偶函数，解题中容易忽视这一点. 典题变式判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)=22)1()1(--+x x ;(2)f(x)=(x-1)xx -+11. 解答：(1)f(x)的定义域为R.因为f(-x)=｜-x+1｜-｜-x-1｜=｜x-1｜-｜x+1｜=-f(x), 所以f(x)为奇函数.(2)f(x)的定义域为｛x ｜-1≤x ＜1｝，不关于原点对称,所以f(x)既不是奇函数，也不是偶函数.黑色陷阱容易遗漏对每个函数定义域的限定条件的讨论，从而导致解题失误.典题变式若f(x)是偶函数，当x ∈［0，+∞］时，f(x)=x-1，则f(x-1)＜0的解集是____________. 解答：偶函数的图象关于y 轴对称，可先作出f(x)的图象，利用数形结合的方法.画图可知f(x)＜0的解集为｛x ｜-1＜x ＜1｝，∴f(x-1)＜0的解集为｛x ｜0＜x ＜2}.答案:{x|0<x<2}绿色通道函数的单调性反映的是函数值y 随自变量x 的变化而变化的一种规律.本题给出的是个抽象函数问题，尽管它没有给出具体的解析式，但我们仍可通过赋值去把握它，具体赋值时可结合式子不断赋予特殊值，如0，1等.典题变式设函数f(x)在定义域R +上是单调递减函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(31)=1. 求f(1)及f(91). 解答:令x=31,y=1,得f(1)=0. ∵f(31)=1,∴f(91)=2. 黑色陷阱利用赋值法解题时，特殊值一定要取准.否则将导致解题失败.绿色通道 (1)两个偶函数之和为偶函数，两个偶函数之积为偶函数；(2)两个奇函数之和为奇函数，两个奇函数之积为偶函数；(3)一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数.典题变式判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=2211x x -+-；(2)f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥-.0),1(,0),1(22x x x x x x 解答：(1)⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-010122x x x 2=1， ∴x=±1，f(x)=0.∴f(x)是既奇又偶函数.(2)f(-x)=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤+-=⎪⎩⎪⎨⎧<-+--≥---0),1(0),1(0),1(0),1(2222x x x x x x x x x x x x =f(x). ∴f(x)是偶函数.。

高中数学第二章函数概念与基本初等函数I 2.2 函数的简单性质 2.2.2 函数的奇偶性课堂导学案苏教版必修1

2．2．2 函数的奇偶性课堂导学三点剖析一、函数奇偶性的概念【例1】已知f(x)为R 上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x 3+2x 2-1,求f(x)的解析式.思路分析:由于给出了f(x)在x>0时的解析式，求f(x)在x<0时的解析式应转化到x>0上，利用已知解析式求.f(0)利用奇函数的定义求.解析：∵f(x)为奇函数，且0在定义域内，∴f(-0)=-f(0)，即f(0)=0.设x<0，则-x>0,∴f(-x)=(-x)3+2(-x)2-1=-x 3+2x 2-1.∵f(x)为奇函数，∴f(-x)=-f(x).∴f(x)=-f(-x)=x 3-2x 2+1.∴f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<+-=>-+-.012,00,0122323x x x x x x x 温馨提示已知函数的奇偶性求函数的解析式,可根据函数奇偶性的定义（记住，奇函数若在0处有定义，一定是f(0)=0）.除此法外，也可根据奇函数、偶函数图象的特点求解.二、函数奇偶性的判定【例2】判断下列函数的奇偶性.（1）f(x)=x 3+2x; (2)f(x)=2x 4+3x 2; (3)f(x)=x 3+x 2.解析：(1)函数的定义域为R ，它关于坐标原点对称，又f(-x)=(-x)3+2(-x)=-x 3-2x=-(x 3+2x).即f(-x)=-f(x),所以函数f(x)=x 3+2x 是奇函数.(2)函数的定义域为R ，它关于坐标原点对称，又f(-x)=2(-x)4+3(-x)2=2x 4+3x 2,即f(-x)=f(x),所以函数f(x)=2x 4+3x 2为偶函数.（3）函数的定义域为R ，它关于坐标原点对称，f(-x)=(-x)3+(-x)2=-x 3+x 2,与-f(x)和f(x)都不相等，所以f(x)=x 3+x 2为非奇非偶函数.温馨提示在判断函数奇偶性时，首先求函数定义域，看它是否关于原点对称，这点千万不能忘了.三、函数奇偶性的综合应用【例3】函数f(x),x ∈R ，若对于任意实数，a,b 都有f(a+b)=f(a)+f(b).求证：f(x)为奇函数.思路分析：先验证f(0)=0,再验证f(-x)=-f(x).证明：设a=0，则f(b)=f(0)+f(b),∴f(0)=0.又设a=-x,b=x,则f(0)=f(-x)+f(x).∴f(-x)=-f(x).∴f(x)是奇函数.温馨提示判断函数奇偶性都是紧扣定义，抽象函数奇偶性的判断也不例外，但判断一个抽象函数是奇函数，必须验证f(0)=0是否成立，而判断一个抽象函数是否是偶函数就不需验证f(0)=0.这是因为，对于偶函数f(x),f(0)可以取任意值.各个击破类题演练 1已知f(x)是R 上的奇函数，且当x ∈(0,+∞)时，f(x)=x(1+3x ),求f(x).解析：当x<0时,-x>0,由已知f(-x)=(-x)［1+3)(x -］=-x(1-3x ).∵f(x)是奇函数，故f(-x)=-f(x)，∴-f(x)=-x(1-3x ),∴f(x)=x(1-3x),(x<0).又由f(x)是奇函数，可得f(0)=-f(0),∴f(0)=0.∴f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+.0)1(,0)1(33x x x x x x变式提升 1已知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)=x|x-2|,求x<0，f(x)的表达式.解析：设x<0时，则-x>0，且满足表达式f(x)=x|x-2|,∴f(-x)=-x|-x-2|=-x|x+2|.又f(x)是奇函数，有f(-x)=-f(x),∴-f(x)=-x|x+2|.∴f(x)=x|x+2|.故当x<0时，f(x)=x|x+2|.类题演练 2判断下列各函数的奇偶性. (1)f(x)=-31x；（2）f(x)=|x+a|-|x-a|.解析：（1）f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称，且f(-x)=-31x -=31x =-f(x). ∴f(x)=-31x是奇函数. (2)f(x)=|x+a|-|x-a|的定义域为R ，且f(-x)=|-x+a|-|-x-a|=|x-a|-|x+a|=-(|x+a|-|x-a|)=-f(x).∴f(x)为奇函数.变式提升 2判断函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>+=<-)0(1),0(0),0(1x x x x x 的奇偶性.解析：f(-x)=⎪⎩⎪⎨⎧>-+-=-<---),0(1),0(0),0(1x x x x x =⎪⎩⎪⎨⎧<--=>+-),0()1(),0(0),0()1(x x x x x =-f(x).∴f(x)是奇函数.类题演练 3对任意x,y ∈R,且x,y ≠0,已知函数y=f(x)(x ≠0)满足f （xy)=f(x)+f(y). 求证：（1）f(1)=f(-1)=0；（2）y=f(x)为偶函数.证明：（1）令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1),即f(1)=0,同理f(-1)=0.(2)令y=-1，得f(-x)=f(x)+f(-1),则f(-x)=f(x)，故f(x)为偶函数.变式提升 3定义在（-1，1）上的奇函数f(x)=12+++nx x m x ,试确定常数m 、n 的值. 解析：∵f(x)为奇函数，且0∈(-1,1),∴由f(0)=0，可得m=0.又∵f(-x)+f(x)=0,∴12+--nx x x +12++nx x x =0, 即x 2-nx+1=x 2+nx+1,∴2nx=0.∵x ∈(-1,1),∴n=0.∴m=n=0.。

示范教案(第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ习题课(二))