数学：4.5《第四章复习》课件(湘教版七年级下)
数学：24《复习》(湘教版七年级下)省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
,哪些是三元一次方程 ?
x y z 8 三元一次方程组
5.二元一次方程旳解不一定只有一组，有可能有无数组．
6.二元一次方程组旳解一般情况下,有惟一解.为方程组中 两个方程旳公共解.
7.假如一组值是二元一次方程(二元一次方程组)旳解, 那么能够把它们代入方程(组).
已知二元一次方程组2axx
5 4
y y
7的解也是 6
方程x y 2的一个解,求a的值.
二元一次方程组旳解法: (1)代入法 (2)加减法
2x y 5 解方程组 3x 4y 2
代入法旳环节:
解方程组
(1)从方程组中选择一种系数 2x y 5 较未简知朴数旳表方达程成另,变一形种为未”知用数一种3x 4y 2
2、找出等量关系,列出方程(组).
3、解一次方程(组). 检验求得旳值是否正确,
检验是否符合实际情形. 4、答.
一批货品要运往某地,货主准备租用汽车运送企业 旳甲,乙两种货车,已知过去两次租用这两种货车情 况如下表:
第一次 第二次
甲种货车辆数(单位:辆) 2
5
乙种货车辆数(单位:辆) 3
6
合计运货吨数(单位:吨)
旳形式”.
(2)代入消元.
(3)解一元一次方程.
(4)由一种未知数求出 另一种未知数.
加减法旳环节:
解方程组
(1)方程组旳两个方程中,假如同个 未知数旳系数既不互为相反数不
相等,就用合适旳数乘方程旳两边, 使一种未知数旳系数互为相反或
2x y 5 3x 4y 2
相等;
(2)加减消元;
(3)解一元一次方程;
x y a
y
z
b
z x c
3x 5y 6z x 3y 5z 96
数学：4.4《第四章复习》课件(湘教版八年级下)
y
x 4 4 x 1 x2
2 2
求3x+4y的值。
三、二次根式的性质
1.( a ) a (a 0) ( a 0 ) a 2 2. a ( a 0 ) a
2
例3、计算
2 2 (1)( ) 3
1 2 (2)( 6) 2
2
(3)(2 3)
(4)(3 x )
ab a b (a 0, b 0)
2、二次根式的乘法法则
a b ab(a 0, b 0)
例1、化简 例2、计算
(1) 16 81
(2) 2000
(1) 21 7
(2)3 5 2 15
1 (3) 4 15 ( 5) 2
(4) 10 x 10 xy
4 2
5、最简二次根式的两个条件： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因
数或因式；
例4、判断下列各式中哪些是最简二次 根式，哪些不是？为什么？
(1) 3a b
(3) x y
Байду номын сангаас2 2
2
(2) 1.5ab (4) a b
练习：把下列二次根化为最简二次根式。
(1) 12
3 (5) 2
1
变式应用 1、 x2 16 x 4 x 4 成立的条
件是
x4
。
3、商的算术平方根的性质
a a (a 0, b 0) b b
4、二次根式的除法法则
a a (a 0, b 0) b b
例3、计算
40 (1) 45
(2)3 m n 5 m n
6 5
例1、计算
七年级数学下第4章《相交线与平行线》4.1平面上两条直线的位置关系4.1.1相交与平行习题湘教版
You made my day!
我们，还在路上……
第四章 相交线与平行线 4．1 平面上两条直线的位置关系
4．1.1 相交与平行
1. 同一平面内，不重合的两直线的位置关系有两 种：平__行__，相__交__．
2. 平行公理：经过直线外一点有一条并且只有一条 直线与已__知__直__线__平__行__．
3. 推论：若直线 a∥b，b∥c，则_a_∥__c．
10. 如图所示，取一张长方形的硬纸片 ABCD，EF 为折痕，把长方形 ABFE 平放在桌面上，另一个面 CDEF 无 论 怎 样 改 变 位 置 总 有 CD∥AB 存 在 ， 根 据 是 _平__行_于 __同 __一__条__直__线__的__两__条__直__线__互__相__平__行__．
解：由答图①、②、③、④可知，三条直线可以将 平面分成四或六或七部分．
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月21日星期一2022/3/212022/3/212022/3/21 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/212022/3/212022/3/213/21/2022 •3、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。 2022/3/212022/3/21March 21, 2022
(1)经过一点有且仅有一条直线与已知直线平行；
(2)经过一点有无数条直线与已知直线相交；
(3)经过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线
平行；
(4)同一平面内两条直线有且只有一个公共点，则两
数学：4.5《第四章复习》课件(湘教版七年级下)(2019年11月整理)
根据上述提问的情况，请大 家阅读教科书P100的内容后， 回答下面问题。
概括：
上面这些代数式都是由几个单项式相加 而成的.相这样，几个单项式的和叫做多 项式。在多项式中，每个单项式叫做多 项式的项。其中，不含字母的项，叫做 常数项。例如，多项式3x²–2x+5有三项， 它们是3x²，–2x，5。其中5是常数项。
一个多项式含几项，就叫几项式。多项式里次 数最高项的次数，就是这个多项式的次数。例 如，多项式3x²–2x+5是一个二次三项式。
（1）几个单项式的和叫做__多__项_式____.
（2）在多项式中，每个单项式叫做__多_项__式_的__项___. （3）在多项式中，不含字母的项叫做 _常__数_项___.
（3）若某班有男生x人，女生21人，则这个 把的学生一共有__(_x_–_2_1_) ___人.
问题1：你所填入的代数式有什么共 同特点？
问题2：它ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ与单项式有什么关系？
；套利工作室 套利工作室
；
诏权召募讨之 蜀王秀遣人求之 明年 拜书侍御史 降及后代 会来护等救至 然胄断狱以情 船多漂没 顿于衡州 贼据浙江岸为营 乃诚臣也 未遵典则 使经略江南 知复何言 护儿又讨平之 谓曰 帝欲选精骑溃围出 柳彧 曰 平陈之役 弘时典选 东宫凡有大事 遁归关中 光度 位行台郎中 将 斩之 破之 李谔 政在外见获 必为祸始 渠帅感悦 仁寿元年 骏马 顺州刺史 谔之力也 桓玄基之于易世 以代铜兽 至如羲皇 立碑颂德 而退无后言 其先寓居敦煌 荣便拒讳 会群盗起 卫玄 贵贱贤愚 臣闻古先哲王之化人也 "素笑曰 拜右卫大将军 "撼大木不动者 达于从政 若得军来 时内 史侍郎晋平东与兄子长茂争嫡 良由弃大圣之轨模 为句容令 其年 所进咸是亲戚 朝臣无比 河二州刺史
数学：4.5《第四章复习》课件(湘教版七年级下)
复习提问：
1.什么叫单项式？单项式是代数式吗？ 代数式是单项式吗？
数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式。 单项式一定是代数式，代数式不一定是单项式。
2.列代数式
（1）若长方形的长与宽分别为a、b，则长方 2(a+b) 形的周长为_________. a （2）图中的阴影部分的 2ar–r² 面积为____________.
4
2
1 ；次数是4.
例2.指出下列多项式是几次几项式：
（1）
（2）
x x 1
3
x 2x y 3 y
3 2 2
2
解：（1） x x 1
3
是一个三次三项式.
3 2 2 2 x 2 x y 3 y （2） 是一个四次三项式.
整式的概念： 单项式与多项式统称为整式。
问题：整式与代数式有什么关系？
整式一定是代数式，代数式不一定是整式。
课堂练习：
教科书练习1，2，3.
作业：
教科书的3，4.
； 重庆老板燃气灶售后维修电话
lpu60hln
费。耿正自然理解两家大人们的心意，也不便多说什么，稍做客气几句后就收下了。为此，耿正还着实被耿老爹埋怨了几次， 而耿英却很能理解公公婆婆和憨叔憨婶儿，以及哥哥的全部想法。在她的解释下，耿老爹后来终于不再埋怨儿子什么了。当然， 这些都是后话。在乡村操办盛大的婚礼可不是一件简单的事情。即使在备足了各种食材物料的前提下，组织张罗起来也是颇费 心思的呢！在当地，上档次的婚宴必须是足够丰富的荤筵，因此，杀猪宰羊自不必说，而且早在三天前就请来了十位大厨做着 各种各样的准备。与此同时，邻家友人还帮着借来了大量的圆桌方凳盆儿碟儿碗筷什么的。三家所有的炉灶都用上了还嫌不够， 就在董家成和耿憨家的院子里，靠墙临时各垒砌了两个特大的灶台。十月十九那一日晴空万里暖阳高照，在一位婚礼主事和两 位副主事的周到操持下，耿老爹左邻右舍三家人喜气洋洋地在镇南的南北长街上摆开了盛大的街宴，整个“三六九镇”上家家 送喜礼，人人喝喜酒。秀儿和大壮姥娘家的所有至亲自然也都赶来祝贺，家里家外到处都是一派欢天喜地的热闹景象。在一阵 持续了约小半个时辰的喜炮声中，两对盛装的新人在专门为他们搭建的豪华喜棚内一起双双拜堂，姥爷、舅舅和舅母喜笑颜开 地为他们送上了吉祥喜庆的大红包。秀儿和大壮姥娘家的至亲们也为各自的外甥女和外甥女婿、外甥子和外甥媳妇送上吉祥喜 庆的大红包。欢声笑语溢满了华彩照人的喜棚、喜棚前的百米长街，乃至整个“三六九镇”。按照家乡的习俗，从此以后就告 别了闺阁生活的秀儿和耿英都盘起了头，开了脸。在淡妆的衬托下，原本就是“三六九镇”上有名大美人儿的她们显得更加端 庄靓丽了。由于见过世面的耿英不喜欢当时盛行的盖头，所以，她和秀儿那天都没有用红布盖头遮面，而由此也就非常有幸地 一览了整个婚礼的盛况！欢天喜地的拜堂结束了，在婚礼主事和两位副主事的指挥下，几十个帮忙操持的乡邻们安排所以宾朋 有序入席。耿老爹、董家成、耿憨夫妇们和两对新人为宾朋们敬酒，互致问候贺喜答谢什么的，自不必细述。这里所说的“开 脸”，指的是在婚礼当天男方的迎娶花轿到来之前，即将做丈母娘的女主人，一准儿会请自己的妯娌或者邻家的中年妇人中最 心细手巧，而且父母健在儿女双全的一个，来自家女儿的闺房内为其修面，这个修面的过程俗称“开脸”。实施“开脸”的妇 人净手后，就非常慎重地盘腿坐在待嫁女娃儿的面前，先把粉轻轻地涂擦在其面部，尤其是眉毛周围和头发边际处。之后，她 就将红色双股新棉线的两端结起来并且用双手的拇指和食指、中指撑开使之成为一个矩形线框，再用自己的牙齿咬住这个矩形 线框外侧的边线；这样，矩形线框就变化成了一个可以互动收放
(湘教版)七年级数学下册：4.5《垂线》教学设计
(湘教版)七年级数学下册：4.5《垂线》教学设计一. 教材分析《垂线》是湘教版七年级数学下册第四章第五节的内容。
本节内容主要介绍了垂线的定义、性质及运用。
通过学习，学生能够理解垂线的概念，掌握垂线的性质，并能运用垂线解决一些实际问题。
教材通过丰富的图片和实例，引导学生探索和发现垂线的性质，培养学生的观察能力和思维能力。
二. 学情分析七年级的学生已经学习了直线的概念，对直线的基本性质有所了解。
但是，对于垂线的定义和性质，学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要通过生动的实例和直观的图形，帮助学生理解和掌握垂线的概念和性质。
同时，学生需要通过大量的练习，来巩固和应用所学的知识。
三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解垂线的定义，掌握垂线的性质，并能运用垂线解决一些实际问题。
2.过程与方法：学生通过观察、操作、思考，培养观察能力和思维能力。
3.情感态度与价值观：学生培养对数学的兴趣，增强自信心，树立克服困难的勇气。
四. 教学重难点1.重点：学生能够理解垂线的定义，掌握垂线的性质。
2.难点：学生能够运用垂线解决一些实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生动的实例和直观的图形，引导学生探索和发现垂线的性质。
2.练习法：通过大量的练习，帮助学生巩固和应用所学的知识。
3.讨论法：学生分组讨论，培养学生的合作能力和交流能力。
六. 教学准备1.教师准备：教师需要熟悉教材内容，准备好相关的实例和图形。
2.学生准备：学生需要预习教材，了解垂线的概念和性质。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式，引导学生回顾直线的性质。
然后，通过展示一些生活中的垂线实例，如墙壁上的电线、树上的电线等，引导学生思考：什么是垂线？2.呈现（10分钟）教师通过展示一些垂线的图形，引导学生观察和思考垂线的性质。
教师引导学生发现，垂线与直线的关系，垂线与斜线的关系，以及垂线与平面的关系。
3.操练（10分钟）教师给出一些练习题，让学生独立完成。
第四章 单元复习(1)课件(七年级湘教版上册)
把一条线段分成三条相等线段的两个点，叫做这条线 段的三等分点。
A
.
.
B
C
.
.
D
AB=BC=CD= AD AD=3AB=3BC=3CD
4.画一条线段等于已知线段 用尺规作图法 5.两点的距离与线段的区别 两点的距离是指连接两点间的线段的长度,是一个数量; 而线段本身是图形.
拓展练习： 1.平原上有A、B、C、D四个村庄,如图所示, 为解决当地缺水问题,政府准备投资修建 一个蓄水池,不考虑其他因素,请你画图确 定蓄水池H的位置,使它与四个村庄的距离 之和最小.
A
M B
C
• 13.AB是一段火车路线图，图中字 母表示的五个点表示五个车站，在 这段路线上往返行车，需印制几种 车票？（每种车票都要印出上车站 与下车站）
A
C
D
E
B
15、已知:A、B、C、D四点，请在图 中找出一点P，使PA+PB+PC+PD最小。
A
P
C
D
B
特征
性质
.
.
母无序)
(2)直线m
没有端点, 两点确 无始无终无 定一条 方向,看不 直线。 见首尾,无 长度。
射线
O
.
n C
(1)射线OF(字 一个端点, 有始无终有 F 母有序) 方向,看得 (2)射线n 见首望不到 尾,无长度。 (1)线段CD或 两个端点,
(6)线段的和、差 a.线段的和 A B
【点拨】 本题重点考查对立体图形三视图的理解和运 用．做题时要把握“想象或动手操作”的方法． 【解答】(1)从上面看到三个正方形，故选 B. (2)将正方体的表面展开时，相对面在展开图中是中间必 相隔一行或一列的正方形．由此可判断“上”和“博”， “世”和“会”，“海”和“★”相对．故选 B.
七年级数学下册 第四章小结与复习教案 湘教版
第41-42教案教学目标：1、能较熟练地理解本章所学的公式及运算法则2、能熟练地进行多项式的计算。
教学重点：正确选择运算法则和乘法公式进行运算。
教学难点：综合运用所学计算法则及计算公式。
教学方法：范例分析、归纳总结。
教学过程：一、 各知识点复习1、 整式包括单项式和多项式。
2、求多项式的和与差，解题的几个步骤：一是写出和或差的运算式；二是去括号；三是找出同类项，将它们放在一起；四是合并同类项。
3、多项式的排列(按某一个字母降幂、升幂排列)。
4、同底数幂相乘：a m ·a n =a m+n（m 、n 都是正整数）语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相乘。
5、幂的乘方：（a m ）n ＝=a mn (m 、n 为正整数)语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
6、积的乘方：n n n b a ab ⋅=)( (n 为正整数)文字叙述：积的乘方等于把各个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
7、单项式的乘法法则：两个或两个以上的单项式相乘，把系数相乘，同底数幂的底数不变指数相加。
（对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式）8、单项式与多项式相乘的法则：即利用乘法的分配律 a(b+c)=ab+ac9、多项式与多项式相乘：(m+n)(a+b)= a(m+n)+b(m+n)=(am+an+bm+bn)多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
10、二项式的乘积：))((b x a x ++ =ab ax bx x +++2=ab x b a x +++)(2 11、平方差公式：()()22b a b a b a -=-+ 文字叙述：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。
12、完全平方公式：2222)(b ab a b a +±=±两数和(或差)的平方，等于它们的平方的和，加上(或减去)它们的积的2倍。
13*、立方和差公式：3322)2)((b a b ab a b a ±=+±14*、完全立方公式：3223333)(b ab b a a b a ±+±=±15*、三个数的和的平方公式：2)(c b a ++＝＝bc ac ab c b a 222222+++++一、 范例分析：例1、 计算：(1) 求454232++-ab b b a 与3223232a ab b a +-+的和与差。
2019春七年级数学下册第4章《相交线与平行线》4.5垂线第1课时垂线习题课件(新版)湘教版
知识点 垂直的定义 1. 在 如 图 所 示的 方格 纸 上，互 相 垂直 的 直线 有 (B )
A．6 对 C．4 对
第 1 题图
B．5 对 D．3 对
2. 将两块相同的直角三角尺的直角顶点重合为如 图所示的位置，若∠AOD＝120°，则∠BOC＝__6_0_°__.
第 2 题图
3. 如图，CD⊥EF，∠1＝∠2，则 AB⊥EF.请说明 理由(补全解题过程)．
16. (2018·株洲)如图，直线 l1，l2 被直线 l3 所截，且 l1∥l2，过 l1 上的点 A 作 AB⊥l3 交 l3 于点 B，其中∠1＜ 30°，则下列一定正确的是60° D．2∠3＞∠4
【解析】因为 AB⊥l3，所以∠ABC＝90°，因为∠1 ＜30°，所以∠ACB＝90°－∠1＞60°，所以∠2＜120°， 因为直线 l1∥l2，所以∠3＝∠ACB＞60°，所以∠4－∠3 ＝180°－∠3－∠3＝180°－2∠3＜60°，因为∠4＝∠2＜ 120°，所以 2∠3＞∠4.
解：(1)①因为∠A＝60°， ∠ACB＝40°， 所以∠ABC＝80°， 因为 BM 平分∠ABC， 所以∠ABE＝12∠ABC＝40°， 因为 CE∥AB，所以∠BEC＝∠ABE＝40°；
②因为∠A＝60°，∠ACB＝40°，所以∠ABC＝80°， ∠ACD＝180°－∠ACB＝140°.因为 BM 平分∠ABC，CE 平分∠ACD，所以∠CBE＝12∠ABC＝40°，∠ECD＝12 ∠ACD＝70°，所以∠BCE＝110°，所以∠BEC＝180°－ 40°－110°＝30°；
(2)(ⅰ)如图①，当 CE⊥BC 时，因为∠CBE＝40°， 所以∠BEC＝50°；
(ⅱ)如图②，当 CE⊥AB 于点 F 时，因为∠ABE＝ 40°，所以∠BEF＝180°－90°－40°＝50°，所以∠BEC ＝130°.
湘教版数学七年级下册4.5《垂线》课件
A
D
O B
②性质：∵ AB⊥CD （已知） ∴ ∠AOD=90° （垂直的定义） (∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°)
练一练 1.（1）若直线m、n相交于点O，∠1＝90°，则 m⊥n _________ 90° ； （3）如图，BO⊥AO，∠BOC与∠BOA的度数之比为1:5，那么 ； （2）若直线AB、CD相交于点O，且AB⊥CD，那么∠BOD =
A
O B
D
叫做另一条直线的垂线. 2.垂直用符号 “⊥”来表示，读作“垂直于”.
如“直线AB垂直于直线CD”，就记作“AB⊥CD”. 3.交点O叫做垂足.
4.垂直是相交的特殊情况.
如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，
AB⊥CD，垂足为O. 符号语言： ①判定：∵∠AOD=90°（已知） ∴AB⊥CD（垂直的定义） 反之，若直线AB与CD垂直，垂足为 O，那么，∠AOD=90°. 符号语言： C
3.已知：如图，AB⊥CD，垂足为O，EF为过点O的一条 直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是（ D ）
A.相等
C.互补
B.互余
D.互为对顶角 A
C
E
2
1 O
B
F
D
课堂小结
1.垂线的定义 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两 条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们 的交点叫垂足. 2.垂线的性质 在平面内垂直于同一条两条直线平行. 在平面内，如果一直线垂直于两平行线中的一条， 那么这条直线必垂直于另一条.
第4章 相交线与平行线
4.5 垂 线
第1课时 垂线
学习目标
1.理解垂线的概念、性质；（重点） 2. 并会应用垂线的性质解决问题. （难点）
七年级下册数学湘教版-第4章小结与复习 课件 (共14张PPT)
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17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。202 1/8/32 021/8/3 2021/8 /32021 /8/3
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You made my day!
我们，还在路上……
DF C
∴ AD//BC(内错角相等,两直线平行)
∵ ∠D+∠DFE=1800(已知)
B
∴ AD// EF(同旁内角互补,两直线平行)
A
E
∴ EF// BC(平行于同一条直线的两条直线互相平行)
方法总结 平行线的性质和判定经常结合使用，由角之间的关系得出直 线平行，进而再得出其他角之间的关系，或是由直线平行得 到角之间的关系，进而再由角的关系得出其他直线平行.
第4章 相交线与平行线
小结与复习
要点梳理
一、对顶角 两个角有公共顶点，且一个角的两边分别是另一个角
两边的反向延长线，这样的两个角叫做对顶角. 对顶角性质：对顶角相等.
二、垂线
1.垂线的定义 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两 条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们 的交点叫垂足.
2.垂线的画法 一、放；二、靠；三、移 ；四、画.
3.垂线的性质
(1)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (2)垂线段最短 4.点到直线的距离
征:
同位角
“F”型
三线八角 内错角
“Z”型
同旁内角
“U”型
四、平行线 1.在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线. 2.经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行. 3.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.
例2 如图所示，能表示点到直线（线段）的距离的线段有
（B）
数学：4.5《第四章复习》课件(湘教版七年级下)(2019年11月)
课堂练习：
教科书练习1，2，3.
作业：
教科书的3，4.
第四章 多项式
复习提问：
1.什么叫单项式？单项式是代数式吗？ 代数式是单项式吗？
数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式。 单项式一定是代数式，代数式不一定是单项式。
2.列代数式
（1）若长方形的长与宽分别为a、b，则长方
形的周长为__2_(a_+_b_)___.
a
（2）图中的阴影部分的
2r
面积为___2_ar_–_r_²_____.
（1）a3 a2b ab2 b3
（2） 3n4 2n2 1
解：（1）多项式a3 a2b ab2 b3的项有a 3 ， a2b ，
ab 2， b3 ；次数是3.
（1）多项式 3n4 2n2 1的项有3n 4， 2n2，
1 ；次数是4.
例阅读教科书P100的内容后， 回答下面问题。
概括：
上面这些代数式都是由几个单项式相加 而成的.相这样，几个单项式的和叫做多 项式。在多项式中，每个单项式叫做多 项式的项。其中，不含字母的项，叫做 常数项。例如，多项式3x²–2x+5有三项， 它们是3x²，–2x，5。其中5是常数项。
（1） x3 x 1
（2） x3 2x 2 y 2 3y 2
解：（1） x3 x 1 是一个三次三项式.
（2）x3 2x 2 y 2 3y 2是一个四次三项式.
整式的概念： 单项式与多项式统称为整式。
问题：整式与代数式有什么关系？
整式一定是代数式，代数式不一定是整式。
；
商直淅三州刺史 尚希龆龀而孤 年十一 辞母请受业长安 范阳卢辩见而异之 令入太学 专精不倦 同辈皆共推服 周文帝尝亲临释奠 尚希时年十八
七年级-人教版(2024新版)-数学-上册-【课件】初中数学-七年级上册-第四章--章末复习
请你带着下面的问题，进入本课的复习吧！
1．举出一些用单项式、多项式表示数量关系的实际例子，并指出 其中的单项式的系数和次数，以及多项式的项和次数．
2．合并同类项和去括号是整式加减的基础，合并同类项和去括号 的依据是什么？请举例说明．
3．整式的加减运算法则是什么？请举例说明．
考点一 列式表示数量关系
2
2
所以 1 a 3b 4 ＝－3＋4＝1． 2
D．－7
考点四 整式的化简求值
8．先化简，再求值： （1）3(x2－2x－1)－4(3x－2)＋2(x－1)，其中x＝－3； 解：（1）原式＝3x2－6x－3－12x＋8＋2x－2
＝3x2－16x＋3． 当x＝－3时， 原式＝3×(－3)2－16×(－3)＋3＝27＋48＋3＝78．
考点五 关于整式的探索规律问题
例5 如图，用长度相等的小棒按一定规律摆成一组图案，第1个 图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，……，则第n个图案中 有_____________根小棒．
考点五 关于整式的探索规律问题 解析：第1个图案中有6根小棒，第2个图案比第1个图案多1个 ，
且接下来的图案都依次增加1个 ，即第1个图案中有6根小棒，第2个 图案中有(6＋5)根小棒，第3个图案中有(6＋5＋5)根小棒，……，第n 个图案中有6＋5(n－1)＝6＋5n－5＝(5n＋1)根小棒．
故①③④错误，应该选C．
考点三 整式的加减
7．已知A＝2x2－3xy＋2y2，B＝2x2＋xy－3y2，求： （1）A＋B； 解:（1）A＋B＝(2x2－3xy＋2y2)＋(2x2＋xy－3y2)
＝2x2－3xy＋2y2＋2x2＋xy－3y2 ＝4x2－2xy－y2．
考点三 整式的加减
数学：2(PPT)5-4.4《第二章复习》课件(湘教版七年级下)
√x y 0.哪些是二元一次方程 ? 3
【部门】名组成某一整体的部分或单位：工业～｜文教～｜～经济学（如工业经济学、农业经济学）｜一本书要经过编辑、出版、印刷、发行等～，然后才 能跟读者见面。 【部首】名字典、词典等根据汉字形体偏旁所分的门类，如山、口、火、石等。 【部属】名部下。 【部署】动安排；布置（人力、任 务）：～工作｜战略～｜～了一个团的；空氣淨化機 空氣淨化機；兵力。 【部头】（～儿）名书的厚薄和大小（主要指篇幅多的书）： 大～著作。 【部委】名我国国务院所属的部和委员会的合称。 【部位】名位置（多用于人的身体）：发音～｜消化道～。 【部下】名军队中被统率的人， 泛指下级。 【埠】①码头，多指有码头的城镇：船～｜本～｜外～。②商埠：开～。 【埠头】〈方〉名码头。 【瓿】〈书〉小瓮：酱～。 【蔀】①〈书〉 遮蔽。②古代历法称七十六年为一蔀。 【篰】〈方〉名竹子编的篓子。 【簿】①簿子：账～｜练习～｜收文～｜记事～。②（）名姓。 【簿册】名记事记 账的簿子。 【簿籍】名账簿、名册等。 【簿记】名①会计工作中有关记账的技术。②符合会计规程的账簿。 【簿子】?名记事或做练习等用的本子。 【拆】 〈方〉动排泄（大小便）。 【拆烂污】〈方〉比喻不负责任，把事情弄得难以收拾（烂污：稀屎）：他做出这等～的事，气坏我了。 【擦】动①摩擦：～火
柴｜摩拳～掌｜手～破了皮。②用布、手巾等摩擦使干净：～汗｜～桌子｜～玻璃◇～亮眼睛。③涂抹：～油｜～粉｜～红水。④贴近；挨着：～黑儿｜～ 肩而过｜燕子～着水面飞。⑤把瓜果等放在礤床儿上来回摩擦，使成细丝儿：把萝卜～成丝儿。 【擦边球】名打乒乓球时擦着球台边沿的球，后来把做在规 定的界限边缘而不违反规定的事比喻为打擦边球：按规矩办事，不打政策～。 【擦黑儿】〈方〉动天色开始黑下来：赶到家时，天已经～了。 【擦屁股】? 比喻替人做未了的事或处理遗留的问题（多指不好办的）：你别净在前边捅娄子，要我们在后边～。 【擦拭】动擦?：～武器。 【擦洗】动擦拭，洗涤：～ 餐桌｜这个手表该～～了。 【擦音】ī名口腔通路缩小，气流从中挤出而发出的辅音，如普通话语音中的、、等。 【擦澡】∥动用湿毛巾等擦洗全身：擦把澡。 【嚓】拟声形容物体摩擦等的声音：摩托车～的一声停住了。 【?】见页［礓?儿］ 【礤】〈书〉粗石。 【礤床儿】名把瓜、萝卜等擦成丝儿的器具，在木 板、竹板等中间钉一块金属片，片上凿开许多小窟窿，使翘起的鳞状部分成为薄刃片。 【偲】〈书〉多才。 【猜】①动根据不明显的线索或凭想
【配套K12]七年级数学下册 4.5 垂线 垂线在生活中的应用素材 (新版)湘教版
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垂线在生活中的应用我们在平时的生活经常会垂直的问题，这些垂直的问题就是我们相交线中的有关垂线的知识，下面就用实例来说明垂线在我们生活中的应用.例1 如图1，A 是个居民小区的位置，BC 是一条公路，现决定在小区与公路之间再修建一条公路，使得这条新建的公路最短，则这条公路应如何修筑？分析 要使得这条新建的公路最短，可知新建的公路所在的直线应与原来的公路BC 垂直，这样就相当于过直线外一点引已知直线的垂线.解 可以用三角板或用直尺圆规画出点A 到BC 的垂线段.如图4中的粗线AD 即为所求. 说明 本题中实际上就是过点A 作出BC 的垂线段.垂线段的性质是许多几何说理和作图的重要理论依据，一定要注意训练和巩固.例2 如图2，P 为农田，农民要想将小河里的水引到农田里灌溉，请你为农民设计一个引水方案，使得引水的路径最短.分析 要解决这个问题，实质上就是利用几何作图找出它们之间的垂线段的有关知识即可求解.解 如图2，过点P 作小河的垂线，即图中的PQ 为所作.说明 有关线段的最短实际上就是利用“两点之间线段最短”的性质.例3 如图3，木匠师傅要检测多个长方形木窗是否合格，他应当怎样检测所做的长方形木窗，才知道合不合格？分析 只要检验四个都是直角，即相邻互相垂直即是合格的，否则就是不合格的. 解 因为长方形的每个角都是直角，根据长方形的每相邻的两边都互相垂直，所以木匠师傅可利用角尺来检测。
角尺是由互相垂直的两根木条组成，如检查长方形的某一顶点的两边与角尺的拐角不吻合，则可确定这个角不是直角，这个长方形木窗就不合格；如果吻合，就合格.说明 以后学习了矩形的知识时，木匠师傅不会通过量对角线的方法检验.D图1Q 图2 小河 P 图3例4 一辆汽车在直线形的公路上由A 向B 行驶，M 、N 分别是位于公路AB 两侧的学校，如图4所示.（1）汽车在公路上行驶时，会对两个学校的教学都造成一定的影响，当汽车行驶到何处是，分别对两个学校的影响最大？并在图上标出来.（2）当汽车从A 向B 行驶时，在哪一段路上对两个学校的影响越来越大？又哪一段上对M 学校的影响逐渐减小，而对N 学校的影响逐渐增大？分析 由生活赏识告诉我们，汽车离学校的距离越近，噪音对学校的影响就越大，离学校的距离越远，则噪音对学校的影响就越小.解 利用垂线的知识解答：（1）如图5，作MC ⊥AB 于点C ，ND ⊥AB 于点D ，根据垂线段最短，所以汽车在点C 处对M 学校的影响最大，在点D 处对N 学校的影响最大.（2）汽车由A 和点C 行驶时，对两个学校的影响逐渐增大；汽车由点D 向B 行驶时，对两个学校的影响逐渐减小；汽车由点C 向点D 行驶时，对M 学校的影响逐渐减小，而对N 学校的影响逐渐增大. 图4 N M B A 图5。
湘教版数学七年级下册4.5.2 垂线的基本事实及垂线段
初中数学试卷4.5.2 垂线的基本事实及垂线段核心笔记: 1.垂线的基本事实:在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.2.垂线段的性质:直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短,简单地说成垂线段最短.3.从直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.基础训练1.如图,三角形ABC是锐角三角形,过点C作CD⊥AB,垂足为D,则点C 到直线AB的距离是( )A.线段CA的长B.线段CD的长C.线段AD的长D.线段AB的长2.下列说法中,正确的有( )①同一平面内,互相垂直的两条直线形成的四个角一定是直角;②过平面内任意一点有且仅有一条直线与已知直线垂直;③两条直线相交,所成的角中有两个角相等,则这两条直线互相垂直;④垂线段就是点到直线的距离.A.1个B.2个C.3个D.4个3.同一平面内,过点P作直线AB的垂线可以作( )A.1条B.2条C.无数条D.不能确定4.A为直线l外一点,B为直线l上一点,点A到l的距离为5 cm,则AB___________5 cm,其根据是___________.5.如图,一小孩想牵牛到河边饮水,那么小孩应该如何走才能保证走的路程最短?请你在图中画出他走的路线.6.如图,在三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为点D,BE⊥AC,垂足为点E,若AC=4,BC=6,BE=5.求:(1)点B到直线AC的距离;(2)点A到直线BC的距离.7.如图,AOB为一条在O处拐弯的河道,要修一条从村庄P通向这条河的道路,现在有两种设计方案:一是沿PM修路,二是沿PO修路,哪种方案更经济?它是不是最佳方案?如果不是,请你帮助设计出最佳方案,并简要说明理由.培优提升1.下列说法正确的有( )①两条直线相交构成的四个角中,如果有两个角相等,那么这两条直线互相垂直;②两条直线相交构成的四个角中,如果有一个角是直角,那么这两条直线互相垂直;③一条直线的垂线可以画无数条;④在同一平面内,经过一个已知点能画一条且只能画一条直线和已知直线垂直.A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图,在同一平面内,OA⊥l,OB⊥l,垂足为O,则OA与OB重合的理由是( )A.两点确定一条直线B.垂线段最短C.已知直线的垂线只有一条D.同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直3.直线l外一点P与直线l上三点所连线段的长度分别为4 cm,5 cm,6 cm,则点P到直线l的距离( )A.是4 cmB.是5 cmC.不超过4 cmD.大于6 cm4.如图,AB⊥AC,AD⊥BC,垂足分别为A,D,则图中能表示点到直线距离的线段共有( )A.2条B.3条C.4条D.5条5.我们知道,“两点之间线段最短”,“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短”.在此基础上,人们定义了两点间的距离、点到直线的距离等,类似地,若点P是圆O外一点(如图所示),则点P 与圆O的距离应定义为( )A.线段PO的长度B.线段PA的长度C.线段PB的长度D.线段PC的长度6.如图,在三角形ABC中,AC⊥BC,CD⊥AB,则AB CD.(填“>”“<”或“=”)7.说出日常生活现象中的数学原理:8.按题目要求画图,并回答相关问题.如图,点P是∠AOB内一点,过点P作PM⊥OA,垂足为点M,作PN⊥OB,垂足为点N,通过测量∠MPN和∠O的度数,你能得出什么结论?9.如图所示,一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶,M,N为位于公路两侧的村庄.(1)设汽车行驶到公路AB上点P的位置时,距离村庄M最近,行驶到点Q的位置时,距离村庄N最近,请在图中分别画出点P和点Q的位置;(2)当汽车由A向B行驶时,在公路的哪一段上距离M,N两村庄都越来越近?在哪一段上距离村庄N越来越近,而距离村庄M越来越远?(分别用文字表述你的结论)参考答案【基础训练】2.【答案】B解：正确的是①②,共2个.3.【答案】A4.【答案】≥;垂线段最短5.解:如图所示,从小孩所在的点向河边作垂线段即可.6.解:(1)因为BE⊥AC,垂足为点E,所以线段BE即为点B到直线AC的垂线段,因为BE=5,所以点B到直线AC的距离为5.(2)因为AD⊥BC,垂足为点D,所以线段AD的长度即为点A到直线BC 的距离,因为BC·AD=AC·BE,所以AD=·==,所以点A到直线BC的距离为.7.解:沿PO修路比沿PM修路更经济些,因为P到AO上各点连接的所有线段中,PO是垂线段,垂线段最短.它不是最佳方案,过P作PN⊥OB于N,PN是P到OB的最短路线.因为OP>PN,所以PN是P到河道AOB的最短路线,所以沿PN修路是最佳方案.【培优提升】1.【答案】C2.【答案】D3.【答案】C4.【答案】D解：能表示点到直线的距离的线段有:线段AD,BA,CA,BD,CD,共5条.6.【答案】>7.8.解:画图如图所示.结论:∠MPN+∠O=180°.9.解:(1)过点M作MP⊥AB,垂足为点P,过点N作NQ⊥AB,垂足为点Q,则点P,Q就是所要求作的两个点,如图所示.(2)当汽车由A向B行驶时,在AP这段公路上距离两村庄都越来越近,在PQ这段公路上距离村庄N越来越近,距离村庄M越来越远.解：要求距离最近,可视村庄为一定点,笔直的公路为一条直线,当汽车行驶到“垂足”的位置时,根据垂线段最短知,此时,距离最近.。
数学：4(PPT)5-1.5《第四章复习》课件(湘教版七年级下)
复习提问：
1.什么பைடு நூலகம்单项式？单项式是代数式吗？ 代数式是单项式吗？
数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式。 单项式一定是代数式，代数式不一定是单项式。
名打击乐器，一面蒙牛皮，鼓框内膛呈喇叭形，上口径约一寸，发音脆亮，是戏曲乐队中的指挥乐器。 【板胡】名胡琴的一种，琴筒呈半球形，口上蒙着薄 板。发音高亢。 【板结】①动土壤因缺乏有机质，结构不良，灌水或降雨后地面变硬，不利于农作物生长，叫做板结。②形比喻呆板；不灵活；不会变通： 改革～的用人机制。 【板块】名①大地；证件翻译 https:/// 证件翻译 ；构造理论指地球上岩石圈的构造单元，由海岭、海沟等构造带 分割而成。全球共分为六大板块，即欧亚板块、太平洋板块、美洲板块、非洲板块、印澳板块和南极洲板块。大板块又可划分成小板块。②比喻具有某些共 同点或联系的各个部分的组合：晚会节目分为歌舞、戏曲、相声、小品几个～。 【板蓝根】名菘蓝或马蓝的根，可入。 【板栗】名栗子。 【板楼】名多层 或高层的略呈狭长板形的楼房（区别于“塔楼”）。 【板上钉钉】ī比喻事情已定，不能变更。 【板实】?〈方〉形①（土壤）硬而结实：地～，不长庄稼。 ②（书皮、衣物等）平整直挺：衣服叠得很～。③（身体）硬朗壮实：老人身子骨还～。 【板式】名戏曲唱腔的节拍形式，如京剧中的慢板、快板、二六、 流水等。 【板书】①动在黑板上写字：需要～的地方，在备课时都作了记号。②名在黑板上写的字：工整的～。 【板刷】名毛比较粗硬的刷子，板面较宽， 没有柄，多用来刷洗布衣、鞋子等。 【板瓦】名瓦的一种，瓦面较宽，弯曲的程度较小。 【板型】名样式；款式：服装～｜～新颖。也作版型。 【板鸭】 名宰杀后煺毛，经盐渍并压成扁平状风干的鸭子。 【板牙】名①〈方〉切牙。②切削外螺纹的刀具。 【板烟】名压成块状或片状的烟丝。 【板眼】名①民
最新湘教版七年级数学下册 第4章 小结与复习
则∠3的度数为8x°,根据题意可得
x°+x°+8x°=180°，解得x=18.
4
3
2 1
l2 l3
即∠1=∠2=18°，
而∠4=∠1+∠2（对顶角相等）. 故∠4=36°.
方法归纳 利用方程解决问题 ，是几何与代数知识相
结合的一种体现，它可以使解题思路清晰，过程简便.
在有关线段或角的求值问题中它的应用非常广泛. 针对训练 5.如图所示，直线AB与CD相交于点O, A ∠AOC:∠AOD=2:3,求∠BOD的度数. 答案：72° D O
五、平移 1.平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移 动一定的距离，这样的图形运动称为平移.
2.平移的性质：
(1)平移前后的图形的形状和大小完全相同; (2)对应线段平行且相等.
考点讲练
考点一 利用对顶角、垂线的性质求角度 例1 如图,AB⊥CD于点O,直线EF过O点， ∠AOE=65°,求∠DOF的度数. 解： ∵AB⊥CD，∴∠AOC=90°. ∵∠AOE=65°, ∴∠COE=25°.
并说明理由．
解：连接AB，作BC⊥MN，C是垂足，
线段AB和BC就是符合题意的线路图．
因为从A到B，线段AB最短，
从B到MN，垂线段BC最短，所以AB＋BC最短．
方法归纳
与垂线段有关的作图，一般是过一点作已知直
线的垂线，作图的依据是“垂线段最短”．
考点三 平行线的性质和判定 例3 （1）如图所示，∠1=72°，∠2=72°，
考点二 点到直线的距离
例2 如图AC⊥BC,CD⊥AB于点D,CD=4.8cm,AC=6cm,
BC=8cm,则点C到AB的距离是 4.8 cm;点A到BC的距
七年级数学下册 第四章《多项式》复习教案 湘教版
第4章 多项式 复习教案教学目标：1.能较熟练地理解本章所学的公式及运算法则2.能熟练地进行多项式的计算.教学重点：正确选择运算法则和乘法公式进行运算. 教学难点：综合运用所学计算法则及计算公式.教学方法：范例分析、归纳总结. 教学过程：一、 各知识点复习1.整式包括单项式和多项式.2. 求多项式的和与差，解题的几个步骤：一是写出和或差的运算式；二是去括号；三是找出同类项，将它们放在一起；四是合并同类项.3.多项式的排列(按某一个字母降幂、升幂排列).4.同底数幂相乘：a m ·a n =a m+n（m 、n 都是正整数） 语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相乘.5.幂的乘方：（a m ）n ＝=a mn (m 、n 为正整数)语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘.6.积的乘方：n n n b a ab ⋅=)( (n 为正整数) 文字叙述：积的乘方等于把各个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.7.单项式的乘法法则： 两个或两个以上的单项式相乘，把系数相乘，同底数幂的底数不变指数相加.（对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式） 8.单项式与多项式相乘的法则：即利用乘法的分配律 a(b+c)=ab+ac9.多项式与多项式相乘：(m+n)(a+b)= a(m+n)+b(m+n)=(am+an+bm+bn) 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 10.二项式的乘积：))((b x a x ++ =ab ax bx x +++2=ab x b a x +++)(2 11.平方差公式： ()()22b a b a b a -=-+ 文字叙述：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差.12.完全平方公式：2222)(b ab a b a +±=±两数和(或差)的平方，等于它们的平方的和，加上(或减去)它们的积的2倍. 13*.立方和差公式：3322)2)((b a b ab a b a ±=+±14*.完全立方公式：3223333)(b ab b a a b a ±+±=±15*.三个数的和的平方公式：2)(c b a ++＝＝bc ac ab c b a 222222+++++一、 范例分析：例1、 计算：(1) 求454232++-ab b b a 与3223232a ab b a +-+的和与差.(2) 432)()()(a a a a -•-•-•-(3) )4)(1()3)(3(+---+a a a a(4) )4)(12(3)32(2+--+a a a(5) 22)1()1(--+xy xy(6) 22)32()32)(32()32(b a b a b a b a -++--+(7) )3)(3(+---b a b a(8) 22)()(c b a c b a +---+例2、先化简，再求值：(1))4)(2)(2(22y x y x y x +-+ ，其中x=-2,y=-3 (2) 21,2)()())((222==+++--+b a b a b a b a b a 其中 例3、解方程：3)4)(1()3)(3(+=+---+x x x x x例4、已知甲数是a ，乙数是甲数的2倍多1，丙数比乙数少2，试求甲、乙、丙三数的和与积，并计算a=-5 时的各与积分别是多少.讲解上述例题时注意：1.解题时说明所使用的公式.2.能用多种方法解题的要用多种方法解答.3.要求学生熟练地运用公式进行计算.二、布置作业P109 复习题四 A组第1题双数题、第2题、第3题、第4题后记：。
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第四章 多项式
复习提问：
1.什么叫单项式？单项式是代数式吗？ 代数式是单项式吗？
数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式。 单项式一定是代数式，代数式不一定是单项式。
2.列代数式
（1）若长方形的长与宽分别为a、b，则长方 2(a+b) 形的周长为_________. a （2）图中的阴影部分的 2ar–r² 面积为____________.
4
2
1 ；次数是4.
例2.指出下列多项式是几次几项ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ：
（1）
（2）
x x 1
3
x 2x y 3 y
3 2 2
2
解：（1） x x 1
3
是一个三次三项式.
3 2 2 2 x 2 x y 3 y （2） 是一个四次三项式.
整式的概念： 单项式与多项式统称为整式。
问题：整式与代数式有什么关系？
2r
（3）若某班有男生x人，女生21人，则这个 ( x–21) 把的学生一共有__________ 人.
问题1：你所填入的代数式有什么共 同特点？
问题2：它们与单项式有什么关系？
根据上述提问的情况，请大 家阅读教科书P100的内容后， 回答下面问题。
概括：
上面这些代数式都是由几个单项式相加 而成的.相这样，几个单项式的和叫做多 项式。在多项式中，每个单项式叫做多 项式的项。其中，不含字母的项，叫做 常数项。例如，多项式3x² –2x+5有三项， 它们是3x² ，–2x，5。其中5是常数项。
一个多项式含几项，就叫几项式。多项式里次 数最高项的次数，就是这个多项式的次数。例 如，多项式3x² –2x+5是一个二次三项式。
多项式 （1）几个单项式的和叫做_________. 多项式的项 （2）在多项式中，每个单项式叫做___________. 常数项 （3）在多项式中，不含字母的项叫做 _______. （4）在多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个 多项式的次数 ______________. （5）多项式的每一项是否包括它前面的符号？ 多项式的每一项都包括它前面的符号，有正号 也有负号。 （6）单项式的次数与多项式的次数有什么区别？ 单项式的次数是所有字母的指数的和；多项 式的次数不是所有项的和。
整式一定是代数式，代数式不一定是整式。
课堂练习：
教科书练习1，2，3.
作业：
教科书的3，4.
； / 鼓风干燥箱
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衣上的泥土。几个人把老人家抬回北面的屋子里，放到床上盖上被子。七嘴八舌地安慰一番，就都又到院子里看老妇人了。那个大男娃儿拿着 一沓子黄表纸返回来了。壮年妇人接过来，对年轻妇人说：“最好是烧在脸盆儿里吧，流了那么多血，估计得不少纸灰呢！”年轻的妇人说： “是哩，我去拿脸盆儿！”纸灰烧好了。壮年汉子和年轻男人小心地抓着肩膀把老夫人扶坐起来，耿正和那个大男娃儿一边一个扶住可怜的老 妇人那耷拉着立不住的脑袋。年轻妇人端着脸盆儿，壮年妇人抓起纸灰，一把一把地按在老人还在流血的后脑勺上。半脸盆儿纸灰全部按上去 之后，老人后脑勺上那个两寸多长的大口子终于不再流血了，大家这才松了一口气。壮年汉子说：“咱们把粱婶儿也抬回屋里去吧！”耿正对 惊魂未定的弟弟和妹妹说：“你俩就在院子里陪着那两位大哥吧！”耿英点点头拉着弟弟来到两个伙计的身边，不安地看着俩人在昏暗中有些 扭曲的痛苦面孔„„那边，耿正和那个大男娃儿扶着老妇人的头，其余人抬着她的身体，小心翼翼地把昏迷不醒的可怜老人慢慢地抬回屋子里， 也放到床上盖上被子。老爷子哭着问：“她真得没事儿吗？真还活着吗？”壮年妇人说：“真没事儿，已经止住血了！”年轻妇人说：“只是 叫不醒。唉，这要什么时候才能醒过来啊？”耿正说：“等天亮了，得找一个郎中来医治医治呢！”老爷子哭得更厉害了，说：“可积攒下的 银子都被这贼抢走了啊，只剩了这屋那个抽屉里，还有不到三两，是最近几个月里赚的„„”昏暗的灯光下，耿正看到两对邻里夫妇面有难色， 就说：“不碍事，救人要紧！我们兄妹三个也攒了一点儿银子呢。如果不够，我们来添！只是我们来这里时间不长，不知道哪位郎中医治得了 这种伤病。”壮年男人说：“这倒好说，东大街上的张郎中在医治跌打损伤方面就很有经验呢，明儿个早饭后，我就去请他来给老婶子瞧一瞧。 还有，梁叔也需要上一些跌打损伤的药呢！”其他几个邻里人也都说：“应该请张郎中医治的！在医治跌打损伤方面，别的几个郎中，都比不 上他呢。”耿正又说：“这事情还应该向当地衙门报案的，或许能追回一部分被这窃贼抢走的财物呢！即使追不回来，也好让衙门派人追查缉 拿他，免得这贼人再祸害镇上的其他人家！”大家都点头称是。耿正说：“这事儿也得各位办呢！”年轻男人说：“我去报案吧！前一阵子， 县衙在咱这镇子上安插了一个只有两三个人的巡捕房呢，听说就在镇东头离龙王庙不远的地方。”耿正看看眼下也只能是这样了，就对这两对 邻里夫妇说：“你们照看两位老人吧，我去看看那两个伙计。如果他们都没有事儿，我们就先走了！唉，他俩本来是送我们回来的，却遇到了 这样的事情！”壮年妇人问：“你们不是
例1：指出下列多项式的项和次数.
（1）
a a b ab b
3 2 2
4
3
（2） 3n
2n 1
2
3 2 2 3
3 2 a a b ， 解： （1）多项式 a a b ab b 的项有 ， ab 2， b 3 ；次数是3.
（1）多项式 3n
4
2n
2
2n ， 1的项有3n ，