2.3.4 平面与平面垂直的性质2

【拓展延伸】两个平面垂直的三个常用结论 (1)两个平面垂直,则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平 面的直线在第一个平面内. (2)两个相交平面同时与第三个平面垂直,则交线与第三个平面 垂直. (3)两个互相垂直的平面的垂线也互相垂直.
类型一
平面与平面垂直的性质定理的应用
1.设平面α ⊥平面β ,在平面α 内的一条直线a垂直于平面β 内 的一条直线b,则 ( )
【规律总结】 1.线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化 通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直关系的相互转 化,即直线与直线垂直 垂直 平面与平面垂直. 直线与平面
2.空间直线、平面平行与垂直的相互转化
【变式训练】(2013·江苏高考)如图,在三棱锥S-ABC中,平面 SAB⊥平面SBC,AB⊥BC,AS=AB,过A作AF⊥SB,垂足为F,点E,G分 别是棱SA,SC的中点. 求证:(1)平面EFG∥平面ABC. (2)BC⊥SA. 【解题指南】(1)利用面面平行的判定定理证明.(2)先证线面 垂直再证线线垂直.
2.3.4 平面与平面垂直的性质
1.探究平面与平面垂直的性质定理,进一步培养学生的空间想
象能力.
2.能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题.
3.了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间 的相互联系,掌握等价转化思想在解决问题中的运用.
平面与平面垂直的性质定理 (1)文字语言:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直 垂直 线与另一个平面_____.
(2)在平面PAB内过点P作PD⊥AB,垂足为D.
因为平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平
面ABC=AB,PD⊂平面PAB,
所以PD⊥平面ABC,
又BC⊂平面ABC,所以PD⊥BC,
又PB⊥BC,PD∩PB=P,PD⊂平面PAB, PB⊂平面PAB,所以BC⊥平面PAB, 又PA⊂平面PAB,所以BC⊥PA.
3.设平面α ⊥平面β ,点P在平面α 内,过点P作平面β 的垂线a, 直线a与平面α 的位置关系是________. 【解析】由面面垂直,点P在平面α内,过P的垂线一定在平面α 内. 答案:直线a在平面α内
4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AC与BD相交于O,A1C1与B1D1相交于 O1,则OO1与平面A1B1C1D1的位置关系是________.
【证明】(1)因为AS=AB,AF⊥SB,垂足为F,所以F是SB的中点.又 因为E是SA的中点,所以EF∥AB. 因为EF⊄平面ABC,AB⊂平面ABC, 所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC. 又EF∩EG=E,所以平面EFG∥平面ABC. (2)因为平面SAB⊥平面SBC,且交线为SB, 又AF⊂平面SAB,AF⊥SB,所以AF⊥平面SBC, 因为BC⊂平面SBC,所以AF⊥BC. 又因为AB⊥BC,AF∩AB=A,AF,AB⊂平面SAB,所以BC⊥平面SAB. 因为SA⊂平面SAB,所以BC⊥SA.
【证明】如图,在a上任取点Q,过b与Q 作一平面交α于直线a1,交β于直线a2. 因为b∥α,所以b∥a1.同理,b∥a2.因 为a1,a2同过Q且平行于b,所以a1,a2重合. 又a1⊂α,a2⊂β,所以a1,a2都是α,β的交线,即都重合于a. 因为b∥a1,所以b∥a.而a⊥γ,所以b⊥γ.
α⊥β,正确.(4)错误,m⊥n但m不一定在平面β内,故不一定垂
直于平面α.
2.选A.因为AD⊥AB,AD⊥PA且AB,PA⊂平面PAB,
所以AD⊥平面PAB,所以平面PAD⊥平面PAB,因为BC∥AD,所以
BC⊥平面PAB,所以平面PBC⊥平面PAB.
3.(1)在△PAC中,E,F分别是PC,AC的中点,所以PA∥EF, 又PA⊄平面BEF,EF⊂平面BEF,所以PA∥平面BEF.
)
2 3 6 B. C. D.1 3 3 3
3.已知α ⊥γ ,β ⊥γ ,α ∩β =a.求证:a⊥γ .
【解题指南】1.依据面面垂直的性质定理,关键看直线是否垂 直于两平面的交线. 2.由已知α⊥β,AC⊥l,推出AC⊥β,再得到面面垂直,利用面 面垂直的性质找到点到面的距离. 3.利用平面与平面垂直的性质定理,在一个平面内作垂直于交 线的直线.
B.它们两两都垂直
C.平面PAB与平面PBC垂直、与平面PAD不垂直
D.平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直
3.(2014·淮安高二检测)如图,在三棱 锥P-ABC中,点E,F分别是棱PC,AC的中点. (1)求证:PA∥平面BEF. (2)若平面PAB⊥平面ABC,PB⊥BC,求证: BC⊥PA.
3
3.在γ内取一点P,作PA垂直α与γ的 交线于A,PB垂直β与γ的交线于B,则 PA⊥α,PB⊥β. 因为a=α∩β,所以a⊥PA,a⊥PB. 因为PA与PB相交,又PA⊂γ,PB⊂γ,所以a⊥γ.
【延伸探究】题3增加条件“α ,β 又同时平行于直线b”,求 证:b⊥γ . 【解题指南】过b作平面,利用线面平行的性质证明与交线a平 行,再用线面垂直的性质证明线面垂直.
【解析】(1)在矩形ABCD中,BC⊥AB,
又因为侧面PAB⊥底面ABCD,侧面PAB∩
底面ABCD=AB,所以BC⊥侧面PAB.
又因为BC⊂侧面PBC,所以侧面PAB⊥侧面PBC.
(2)取AB的中点E,连接PE,CE,又因为△PAB是等边三角形,所
以PE⊥AB.又因为侧面PAB⊥底面ABCD,所以PE⊥底面ABCD.
【规律总结】平面与平面垂直的性质定理的三个作用 (1)证明直线与平面垂直. (2)证明直线与直线平行. (3)作平面的垂线.
类型二
线线、线面、面面垂直的综合应用
1.已知两个不同的平面α ,β 和两条不重合的直线m,n,有下
列四个结论:(1)若m∥n,m⊥α ,则n⊥α .(2)若m⊥α ,m⊥β ,
【自主解答】1.选C.由题意,a,b都不一定和平面的交线垂直, 故都不一定和另一个平面垂直,A,B都不正确,C正确,D不一定正 确. 2.选C.因为α⊥β,AC⊥l,所以AC⊥β,则平面ABC⊥β,在平 面β内过D作DE⊥BC于E,则DE⊥平面ABC,DE的长即为D到平面 ABC的距离,在△DBC中,运用等面积法得DE= 6 .
【加固训练】如图,四棱锥P-ABCD的底 面是AB=2,BC= 2 的矩形,侧面PAB是等 边三角形,且侧面PAB⊥底面ABCD. (1)证明侧面PAB⊥侧面PBC. (2)求侧棱PC与底面ABCD所成的角. (3)求直线AB与平面PCD的距离.
【解题指南】(1)利用面面垂直的性质定理,只需证BC垂直于交 线.(2)取AB的中点E,利用面面垂直找到面的垂线,找到射影和 线面角.(3)取CD的中点F,构造平面PEF,线到面的距离转化为点 E到面的距离,转化为点E到线PF的距离.
a . (2)符号语言: l a l a _____
(3)图形语言:
1.若三个不同的平面α ,β ,γ 满足α ⊥γ ,β ⊥γ ,则α ,β 之 间的位置关系是 A.α ∥β C.α ∥β 或α ⊥β ( ) B.α ⊥β D.α ∥β 或α 与β 相交
PF 5
探究3:性质定理若分别去掉以下两个条件,探究此定理是否还 成立. (1)将条件a⊂α去掉,结论是否成立? 提示:不一定成立,如图让a⊥α,这时也有a⊥l,但a与β不垂直.
(2)将条件a⊥l去掉,结论是否成立? 提示:不成立,如图直线a⊂α,但a与直线l不垂直,显然a与β不 垂直.
【探究总结】对平面与平面垂直的性质定理的三点说明 (1)性质定理成立要有两个条件:一是线在面内,二是线垂直于 交线. (2)利用性质定理的关键点:一找,二证.即在其中一个平面内找 到一条直线,然后证明所找直线与交线垂直. (3)定理的实质是由面面垂直得到线面垂直.
【解题指南】1.利用线面平行和垂直及面面垂直的性质判断. 2.利用面面垂直的判定定理判断. 3.(1)证明PA∥EF即可. (2)利用条件证明BC⊥平面PAB即可.
【自主解答】1.选C.利用平行线的性质(1)正确.由线面垂直的
性质知(2)正确.(3)m⊥α,m⊥n,则n⊂α或n∥α,又n⊥β,故
所以∠PCE为侧棱PC与底面ABCD所成的角.
3 PE BA 3,CE BE 2 BC2 3, 2
在Rt△PEC中,∠PCE=45°为所求.
(3)在矩形ABCD中,AB∥CD,因为CD⊂侧面PCD,AB⊄侧面PCD,所以 AB∥侧面PCD.取CD的中点F,连接EF,PF,则EF⊥AB.又因为 PE⊥AB,所以AB⊥平面PEF.又因为AB∥CD,所以CD⊥平面PEF.所 以平面PCD⊥平面PEF. 作EG⊥PF,垂足为G,则EG⊥平面PCD. 在Rt△PEF中,EG= PE EF 30 为所求.
则α ∥β .(3)若m⊥α ,m⊥n,n⊥β ,则α ⊥β .(4)若α ⊥β , α ∩β =n,m⊥n,则m⊥α ,其中正确结论的个数是( A.1 B.2 C.3 D.4 )
2.如图,设P是正方形ABCD外一点, 且PA⊥平面ABCD,则平面PAB与平
面PBC、平面PAD的位置关系是(
)
A.平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直
【解析】选D.α,β都和平面γ垂直,都过平面γ的垂线,若都 过同一条直线,则平面α,β相交,平面α,β不相交时,则平行,
故选D.
2.两个平面垂直,过一个平面内一点,可作________条直线和另 一个平面垂直. 【解析】(1)此点不论在何位置,在这个平面内过此点只能作唯 一一条直线和交线垂直,此直线垂直于另一个平面,故这样的直 线只有1条. 答案:1
【解析】因为平面ACC1A1⊥平面A1B1C1D1,又OO1⊥A1C1.所以 OO1⊥平面A1B1C1D1. 答案:垂直
平面与平面垂直的性质定理 观察如图所示的长方体,结合平面与平面垂直的性质定理,探究 下列问题: