九年级数学上册 21.2.2 公式法精品导学案2 新人教版

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九年级数学上册21.2.2公式法教案(新版)新人教版

21.2.2 公式法教学内容1．一元二次方程求根公式的推导过程；2．公式法的概念；3．利用公式法解一元二次方程．教学目标理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）•的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．重难点关键1．重点：求根公式的推导和公式法的应用．2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导．教学过程一、温故知新（学生活动）用配方法解下列方程总结用配方法解一元二次方程的步骤：（1）移项；（2）化二次项系数为1；（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；（4）原方程变形为（x+m）2=n的形式；（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．二、探索新知明晰新知如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax2+bx+c=0（a≠0）且b2-4ac≥0，试推导它的两个根x1=，x2=分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c•也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：ax2+bx=-c二次项系数化为1，得x2+x=-配方，得：x2+x+（）2=-+（）2即（x+）2=∵b2-4ac>0且4a2>0∴≥0直接开平方，得：x+=±即x=∴x1=，x2=由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b-4ac≥0时，•将a、b、c代入式子x=就得到方程的根．（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．例1．用公式法解下列方程．3(=)(x2-x-1_)(6)3通过上面三个方程的求解，你发现了b2-4ac 与方程的根有什么关系吗？三、师生互动促进理解同学们，学方程的目的是解决实际问题，请看本章引言的问题你能解决吗？求本章引言中的问题，雕像下部高度x(m)满足方程解：得如果上面的解题过程看作思维操的话，下面的两题就是花样体操。

[学习资料]九年级数学上册 21.2.2 公式法导学案(无答案)(新版)新人教版

公式法学习目标：[知识与技能]：了解一元二次方程的求根公式的推导过程，会用求根公式解简单的一元二次方程。

[过程与方法]：经历求根公式的推导过程，体会直接运用公式把方程中的“未知”转化为“已知”的思维方法。

[情感、态度与价值感]：通过一元二次方程的求根公式的推导过程，体会类比、转化、降次的数学思想方法，养成勇于探索的科学精神。

重点与难点：重点：求根公式的推导与运用.难点：求根公式的推导。

学习过程：一、预习检测：1、解方程 (1)x 2=4 (2)(x –2) 2=7思考：你的这种解法的（理论）依据是什么？这种解法的局限性是什么？面对这种局限性，怎么办？试通过解方程 2x 2+3=7x 加以说明。

【归纳】：上述解一元二次方程的步骤：(1)将已知方程化为_______________；(2)化二次项系数为______；(3)常数项移到等式_____；(4)方程两边都加上_____________一半的平方，使左边配成一个______________；(5)变形为(x+p)2=q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x=-p ±q ；如果q ＜0，方程无实根。

阅读课本P.9—10内容，补全下列推导过程：(1)对于一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)，方程两边都____，得x 2+____+____=0；________，得x 2+_____x=______；配方，得x 2+_____+(______)2=______+_______；即(x+____)2=________。

对于方程 (x+a b 2)2=2244a abb 也可以用“直接开平方法”求解吗？为什么？【归纳】：一般地，式子b2–4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母∆表示它，即∆=b2—4ac。

当∆>0时，方程有两个_____________；当∆=0时，方程有两个____________；当∆<0时，方程_____实数根。

2019九年级数学上册第二十一1.2.2 公式法解一元二次方程导学案新人教版

21.2.2 公式法解一元二次方程一、学习目标：1、理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念；2、会熟练应用公式法解一元二次方程；3、理解化归思想. 二、学习重难点：重点：用公式法解一元二次方程难点：理解化归思想.探究案三、合作探究活动内容1：小组合作问题1：用配方法解方程24630x x --=问题2：用配方法解方程20ax bx c ++=分析归纳:活动内容2：典例解析例2（1）2x 2+5x-3=0；（2）;（3）; （4）(2)(13)6x x --=解:活动内容3：知识归纳：___________________叫做一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母__________表示它，即__________________．一元二次方程根的情况与判别式的关系（1）（2）（3）概括写出用公式法解一元二次方程的基本步骤：随堂检测1.一元二次方程x 2+2x+4=0的根的情况是（）A.有一个实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.没有实数根 2.方程x 2-3x+1=0的根的情况是( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C. 没有实数根D.只有一个实数根 3.下列一元一次方程中，有实数根的是 ( ) A.x 2-x+1=0 B.x 2-2x+3=0 C.x 2+x-1=0 D.x 2+4=04.关于x 的方程k 2x 2+(2k-1)x+1=0有实数根，则下列结论正确的是( ) A.当k=1/2时，方程两根互为相反数 B.当k=0时，方程的根是x=-1C.当k=±1时，方程两根互为倒数D.当k≤1/4时，方程有实数根5.若关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0有实数根，则m的取值范围是 ( )A.m＜1B. m＜1且m≠0C.m≤1D. m≤1且m≠06.用公式法解下列方程：(1) x2 + x – 6 = 0 ; (2) ；(3) 3x2– 6x – 2 = 0 ; (4) 4x2 - 6x = 0 ;(5) x2 + 4x + 8 = 4x + 11 ; (6) x(2x – 4) =5 - 8x .课堂小结通过本节课的学习在小组内谈一谈你的收获，并记录下来：我的收获___________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________参考答案随堂检测1.D2.A3.C4.D5.D6.(1)(2)(3)(4)(5)(6)。

九年级数学上册21.2.2公式法导学案新版新人教版

21.2.2解一元二次方程——公式法预习案一、预习目标及范围1.掌握公式法解一元二次方程的推导过程；2.掌握公式法解一元二次方程的公式并能够使用公式法解一元二次方程。

范围：自学课本P9-P12，完成练习.二、预习要点1.掌握公式法解一元二次方程的推导过程；2.掌握公式法解一元二次方程的公式并能够使用公式法解一元二次方程。

三、预习检测1.什么是配方法?配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？2．怎样用配方法解形如一般形式ax 2+bx +c =0(a ≠0)的一元二次方程？探究案一、合作探究活动内容1：小组合作问题1：用配方法解方程24630x x --=问题2：用配方法解方程20ax bx c ++=活动内容2：典例解析问题1：用配方法解方程：222033x x --=解: a=2, b=5, c= -3,∴ b 2-4ac=52-4×2×(-3)=49∴522-±⨯=574-±X 1 =-3 X 2 =12问题2：用公式法解方程 222033x x --=解：方程两边同乘以3,得 2 x 2 -3x-2=0a=2，b= -3，c= -2.∴b 2-4ac=(-3) 2-4×2×(-2)=25.∴(3)22--±⨯=354±X 1 =-2 X 2 =-12问题3：用公式法解方程：x 2a=2，，c= 3.∴b 2) 2-4×1×3=0∴ x =2b a -±X 1 = X 2例4 解方程：(2)(13)6x x --=解：去括号，化简为一般式： 23780x x -+= a=3，b= -7，c= 8.∴b 2-4ac=(-7) 2-4×3×8=-47<0.∴方程没有实数解。

活动内容3：知识归纳：24b ac -叫做一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)根的判别式，通常用希腊字母∆表示它，即24b ac ∆=-．一元二次方程根的情况与判别式的关系（1）240b ac ∆=->⇔方程有两个不相等的实数根；（2）240b ac ∆=-=⇔方程有两个相等的实数根；（3）240b ac ∆=-<⇔方程没有实数根．公式法解一元二次方程一般地，对于一般形式的一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)，当240b ac -≥时，它的两个根分别是12b x a -+=，22b x a-=，这里，)240x b ac =-≥叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法．公式法解一元二次方程的一般步骤把方程化成一般形式：ax 2+bx +c =0(a ≠0)；确定a ，b ，c 的值；求出24b ac -的值，并判断方程根的情况：当240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根；当240b ac -=时，方程有两个相等的实数根；当240b ac -<时，方程没有实数根．当240b ac -≥时，将a ，b ，c 和24b ac -的值代入公式2b x a -±=（注意符号）．二、随堂检测1.一元二次方程x2+2x+4=0的根的情况是（）A.有一个实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.没有实数根2.方程x2-3x+1=0的根的情况是( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C. 没有实数根D.只有一个实数根3.下列一元一次方程中，有实数根的是 ( )A.x2-x+1=0B.x2-2x+3=0C.x2+x-1=0D.x2+4=04.关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有实数根，则下列结论正确的是( )A.当k=1/2时，方程两根互为相反数B.当k=0时，方程的根是x=-1C.当k=±1时，方程两根互为倒数D.当k≤1/4时，方程有实数根5.若关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0有实数根，则m的取值范围是( )A.m＜1B. m＜1且m≠0C.m≤1D. m≤1且m≠06.用公式法解下列方程：参考答案预习检测：1.配方法：通过配方，先把方程的左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负数，然后运用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法．配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）移常数项到方程右边；（2）化二次项系数为1；（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）化方程左边为完全平方式；（5）若方程右边为非负数，则利用直接开平方法解得方程的根．2.解：移项，得2,ax bx c +=-二次项系数化为1，得2,bcx x a a +=- 配方，得222()(),22bbcbx x a a a a ++=-+ 即：222424b b acx a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭因为0,a ≠所以当240b ac ->时，；2b x a -±= 当240;2bb ac a -==-12时，x =x 当240;2bb ac a -==-12时，x =x随堂检测：。

人教版九年级数学上册 21.2.2公式法导学案

人教版九年级数学上册导学案第二十一章一元二次方程 21.2.2公式法【学习目标】1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，2.掌握公式法解一元二次方程；3.掌握利用根的判别式△判定一元二次方程根的情况；【课前预习】1．下列方程中，没有实数根的是（） A ．x 2，2x =0B ．x 2，2x ，1=0C ．x 2，2x +1 =0D ．x 2，2x +2=02．如果关于x 的一元二次方程k 2x 2-(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（， A ．k>，14B ．k>，14且0k ≠ C ．k<，14D ．k ≥，14且0k ≠ 3．已知a，b，c 是ABC 的三边长，且方程()()22a 1x 2bx c 1x 0++--=的两根相等，则ABC 为( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．任意三角形4．关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根，则a 满足（） A ．1a ≥B ．1a >且5a ≠C ．1a ≥且5a ≠D ．5a ≠5．一元二次方程(1)(1)23x x x +-=+的根的情况是（） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．只有一个实数根D ．没有实数根6．关于x 的方程2(6)860a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值是（） A ．6B ．7C ．8D ．97．已知关于x 的一元二次方程3x 2+4x ﹣5=0，下列说法正确的是（）A ．方程有两个相等的实数根B ．方程有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定 8．方程2(2)9x -=的解是（，A ．1251x x ==-，B ．1251x x =-=，C ．12117x x ==-， D ．12117x x =-=， 9．关于x 的方程x 2+2kx+k ﹣1=0的根的情况描述正确的是（） A ．k 为任何实数，方程都没有实数根B ．k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数拫C ．k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根D ．根据k 的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种10．若关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +m ＝0没有实数根，则实数m 的取值是( ) A ．m ＜1 B ．m ＞﹣1 C ．m ＞1 D ．m ＜﹣1【学习探究】自主学习阅读课本，完成下列问题 1.用配方法解下列方程（1）6x 2-7x+1=0 （2）4x 2-3x=522.用配方法解一元二次方程的步骤是什么？3.把______ 叫做一元二次方程20(0)ax bx c a ++= ≠ 的根的判别式，常用符号_ ___来表示。

人教版九年级数学上册：21.2.2 公式法教案2

人教版九年级数学上册：21.2.2 公式法教案2一. 教材分析人教版九年级数学上册第21.2.2节“公式法”，主要介绍了二次函数的顶点坐标公式和判别式的计算方法。

这一节内容是学生在学习了二次函数图像和性质的基础上，进一步深化对二次函数的理解。

本节内容的教学，旨在让学生掌握二次函数的顶点坐标公式，能够运用判别式判断二次函数图象与x轴的交点个数，提高学生解决实际问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本概念、图像和性质，对于二次函数有一定的了解。

但是，对于二次函数的顶点坐标公式和判别式的计算方法，部分学生可能还不太熟悉。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生回顾二次函数的相关知识，帮助学生理解和掌握顶点坐标公式和判别式的计算方法。

三. 教学目标1.让学生掌握二次函数的顶点坐标公式。

2.让学生学会运用判别式判断二次函数图象与x轴的交点个数。

3.培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.二次函数的顶点坐标公式的记忆和应用。

2.判别式的计算方法和判断二次函数图象与x轴交点个数的方法。

五. 教学方法采用讲授法、案例分析法、讨论法、练习法等教学方法，以教师为主导，学生为主体，通过引导学生自主探究、合作交流，提高学生解决问题的能力。

六. 教学准备1.准备相关的教学案例和练习题。

2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习二次函数的基本概念、图像和性质，引导学生回顾已学知识，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）讲解二次函数的顶点坐标公式，并通过示例让学生理解公式的含义和应用。

接着，介绍判别式的计算方法，让学生学会判断二次函数图象与x轴的交点个数。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，分析给出的几个二次函数的图象，运用顶点坐标公式和判别式计算方法，判断函数图象与x轴的交点个数，并解释原因。

4.巩固（10分钟）让学生回答一些有关二次函数的判断题，检验学生对顶点坐标公式和判别式计算方法的掌握程度。

九年级数学上册 21.2.2 公式法学案(新版)新人教版(2)

公式法学习目标1、理解用配方法推导求根公式的过程2、了解公式法的步骤，理解一元二次方程求根公式能利用公式法解一元二次方程3、通过对公式的的推导，体会“降次转换”的基本思想和数学的转化思想学习重点：运用公式法解一元二次方程学习难点：公式的推导学习过程一、学前准备：1、用配方法解方程①x2+4x-5=0 ②2x2+6x=7二、课堂探究：1、任何一元二次方程都可写成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），能否用配方法的步骤求方程ax2+bx+c=0（a ≠0）的解？（小组合作）解：移项得：___________________把二次项的系数化为1得：___________________配方得______________________整理得：______________________因为4a2﹥0，当b2-4ac≥0时，开方得：_______________当b2-4ac﹤0时，方程___________2、.方程的根与（b2-4ac）的值有何关系? （小组讨论）小结：由b2-4ac的值可以判定一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况当b2-4ac﹥0时，方程有_______________的实数根当b2-4ac=0 时，方程有________________的实数根当b2-4ac﹤0时，方程__________实数根反之因根的情况可判定b2-4ac的符号3、.尝试例1、讨论不解方程，判断下列方程根的情况① x2-4x+4=0 ② x2-3x+2=0 ③ x2-x+2=04、尝试例2：解方程①x2-7=4x解：把一元二次方程化成一般式: 确定a、b、c的值：求出(b2-4ac)的值：若b2-4ac≥0.利用公式：求出原方程的根：②2x2-22x+1=0 ③5x2-3x=x+1 ④x2+17=8x归纳:用公式法解一元二次方程的步骤有哪些?三、巩固练习利用公式法解方程:1、 x(x-4)=52、x2-2x+1=0四、学习体会: 本节课你有哪些收获?你还有哪些疑惑?五、自我测试:1、一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是________其中b2-4ac__02、一元二次方程2x2+x-6=0的根的情况是（）A、有两个相等的实数根B、有两个不相等的实数根C、无实数根D、不能确定3、用公式解方程①x2-7x =6 ②x2-22x+3=0六、课堂作业用公式法解方程:(1) x2+x-6=0 (2) x(2x-4)=5-8x (3) x(x+8)=16 (4) x2=2(x+1) (5)2x2-x-1=0（用配方法和公式法解）家庭作业：一、用公式法解方程:x2+10x+9=0 ②x(x-4)=2-8x ③x2+5x+8=5x+11④x2-2x+0.5=0 ⑤4x2=6x ⑥3x2+6x+4=0二、应用与拓展1、关于x的一元二次方程kx2+2x-1=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围2、若关于x的一元二次方程（m2-1）x2-2(m+2)x+1=0有两个实数根，求m的取值范围3、已知关于x的一元二次方程kx2-4kx+k-5=0 有两个相等的实数根，求k的值及方程的解。

人教版九年级数学上册21.2.2 公式法精品教案

无解.
对于一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根,请同学们独立完成下面这个问题.
问题:已知ax2+bx+c=0(a≠0)且b2-4ac≥0,
试推导它的两个根x1=,x2=.
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a,b,c而定,因此:
(1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0,当b2-4ac≥0时,将a,b,c代
入式子x=就得到方程的根,这个式子叫做一元二次方程的求根公式.利
用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.
(2)由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根.
续表
(3)当b2-4ac>0时,方程有两个不相等实数根即x1=,
x2=;
当b2-4ac=0时,方程有两个相等实数根即x1=x2=;
当b2-4ac<0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根.
用公式法解下列方程.。

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21.2.2公式法
1．理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念．
2．会熟练应用公式法解一元二次方程．
阅读教材第9至12页的部分，完成以下问题．
1．用配方法解下列方程：
(1)6x2－7x＋1＝0；(2)4x2－3x＝52.
2．如果这个一元二次方程是一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？
问题已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，试推导它的两个根x
1＝
－b＋b2－4ac
2a
，
x 2＝
－b－b2－4ac
2a
.
分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个
具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．
知识探究
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根由方程的系数a、b、c而定，因此：
(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0，当b2
－4a c≥0时，将a、b、c代入式子x＝－b±b2－4ac
2a
就得到方程的根，当b2－
4ac＜0，方程没有实数根；
(2)x＝－b±b2－4ac
2a
叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式；
1。

九年级数学上册-解一元二次方程21.2.2公式法教案新版新人教版

21.2.2 公式法【知识与技能】1.理解并掌握求根公式的推导过程；2.能利用公式法求一元二次方程的解.【过程与方法】经历探索求根公式的过程,加强推理技能,进一步发展逻辑思维能力.【情感态度】用公式法求解一元二次方程的过程中,锻炼学生的运算能力,养成良好的运算习惯,培养严谨认真的科学态度.【教学重点】用公式法解一元二次方程.【教学难点】推导一元二次方程求根公式的过程.一、情境导入,初步认识我们知道,对于任意给定的一个一元二次方程,只要方程有解,都可以利用配方法求出它的两个实数根.事实上,任何一个一元二次方程都可以写成ax2+bx+c=0的形式,我们是否也能用配方法求出它的解呢？想想看,该怎样做？【教学说明】让学生回顾用配方法解一元二次方程的一般过程,从而尝试着求ax2+bx+c=0（a≠0）的方程的解,导入新课,教学时,应给予足够的思考时间,让学生自主探究.二、思考探究,获取新知通过问题情境思考后,师生共同探讨方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解.由ax2+bx+c=0(a≠0),移项,ax2+bx=-c.二次项系数化为1,得x2+bax=-ca.配方,得x2+bax+2()2ba=-ca+2()2ba,即2224(42)b aa abxc-+=.至此,教师应作适当停顿,提出如下问题,引导学生分析、探究:（1）两边能直接开平方吗？为什么？（2）你认为下一步该怎么办？谈谈你的看法.【教学说明】设置停顿并提出两个问题的目的在于纠正学生的盲目行为,引导学生正确认识代数式b2-4ac的取值与此方程的解之间的关系,加深认知.教学时,应让学生积极主动思考,畅所欲言,在相互交流中促进理解.师生共同完善认知:一般地,式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式,通常用Δ表示,即Δ=b2-4ac.从而有:①当Δ=b2-4ac＞0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根；当Δ=b2-4ac=0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等实数根；当Δ=b2-4ac＜0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数解；②当Δ≥0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根可写成24b b ac-±-这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式.三、典例精析,掌握新知例1不解方程,判别下列各方程的根的情况.(1)x2+x+1=0; (2)x2-3x+2=0; (3)3x22x=2.分析:找出方程中二次项系数、一次项系数和常数项,利用b2-4ac与0的大小关系可得结论.注意:在确定方程中a、b、c的值时,一定要先把方程化为一般式后才能确定,否则会出现失误.解:（1）∵a=1,b=1,c=1,∴Δ=b2-4ac=12-4×1×1=-3＜0,∴原方程无实数解;(2)∵a=1,b=-3,c=2,∴Δ=b2-4ac=(-3)2-4×1×2=1＞0,∴原方程有两个不相等实数根；（3）原方程可化为3x22x-2=0,∴2 ,c=-2,∴Δ=b22)2-4×3×(-2)=2+24=26＞0.∴原方程有两个不相等的实数根.例2用公式法解下列方程:(1)x2-4x-7=0; (2)2x22x+1=0; (3)5x2-3x=x+1; (4)x2+17=8x分析:将方程化为一般形式后,找出a、b、c的值并计算b2-4ac后,可利用公式求出方程的解.【教学说明】以上两例均可让学生自主完成,同时选派同学上黑板演算.教师巡视,针对学生的困惑及时予以指导,最后共同评析黑板上作业,一方面引导学生关注其解答是否正确,同时还应注意其解答格式是否规范,查漏补缺,深化理解.教师接着引导学生阅读第12页有关引言中问题的解答,向学生提问:（1）什么情况下根的取值为正数？（2）列方程解决实际问题在取值时应注意什么？四、运用新知,深化理解1.关于x的方程x2-2x+m=0有两个实数根,则m的取值范围是 .2.如果关于x的一元二次方程k2x2-（2k+1）x+1=0有两个不相等实数根,那么k的取值范围是（）A.k＞-1 4B.k＞-14且k≠0C.k＜-1 4D.k≥-14且k≠03.方程2x2+43x+62=0的根是（）A.x1=2,x2=3B.x1=6, x2=2C.x1=22, x2=2D.x1=x2=-64.关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一个根为0,试求m的值.（注:5~6题为教材第12页练习）5.解下列方程:（1）x2+x-6=0; （2）x2-3x-14=0; （3）3x2-6x-2=0;（4）4x2-6x=0; （5）x2+4x+8=4x+11; （6）x(2x-4)=5-8x.6.求第21.1节中问题1的答案.【教学说明】通过练习可进一步理解和掌握本节知识,在学中练、练中学的活动中得到巩固和提高.【答案】1.m≤12.B3.D4.把x=0代入方程,得m2+2m-3=0,解得m1=1,m2=-3,又∵m-1≠0,即m≠1,故m的值为-3.5~6略五、师生互动,课堂小结通过这节课的学习,你有哪些收获和体会?说说看.【教学说明】在学生回顾与反思本节课的学习过程中,进一步完善认知,师生共同归纳总结.1.布置作业:从教材“习题21.2”中选取.2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.1.本课容量较大,难度较大,计算的要求较高,因此在教学设计各环节均围绕着利用公式法解一元二次方程这一重点内容展开,问题设计,课堂学习有利于学生强化运算能力,掌握基本技能,也有利于教师发现教学中存在的问题.2.在教学设计中,引导学生自主探索一元二次方程的求根公式,在师生讨论中发现求根公式,并学会利用公式解一元二次方程.3.整个课堂都以学生动手训练为主,让学生积极介入探索活动,体验到成功的喜悦.4.公式法是在配方法的基础上推出的一种解一元二次方程的基本方法,它使解一元二次方程更加简便,在公式的运用中,涉及到根的判别式,使公式法解一元二次方程得到延续和深化.。

新人教版九年级数学上册21.2.2公式法(2)导学案

新人教版九年级数学上册21.2.2公式法（2）导学案学习目标：1.熟练运用公式法解方程，理解根的判别式与一元二次方程根的关系.2.会利用判别式判断方程根的情况，并会根据它们的关系求字母系数的取值范围学习重点、难点：利用根的情况求相关字母的取值范围.一、预习导学： 1.一元二次方程02=++c bx ax （a ≠0）的求根公式是： .2.解下列方程（1）2323x x += （2）22340x x -+= （3）221x x +=二、新知探究：思考：一元二次方程的根的情况有哪几种？取决于 .归纳：当判别式时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当判别式时，一元二次方程有两个相等的实数根；当判别式时，一元二次方程无实数根．例题：1. 不解方程，判断下列方程根的情况．（1）012222=+-x x （2）1352+=-x x x （3）x x 8172=+2.不解方程，判断关于x 的一元二次方程x 2-kx-2=0的根的情况．㈡利用根的判别式可以判断方程根的情况．反之，已知根的情况也可以求相关字母的取值范围.已知关于x 的一元二次方程22x m x -= 有两个不相等的实数根，求m 的取值范围．简记简记三、当堂达标：1. 不解方程，利用根的判别式判断下列方程根的情况（1）x x 352= （2） 02222=+-x x2.关于x 的方程kx 2+2x-1=0有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．3．不解方程，判断关于x 的一元二次方程x 2-kx+k-2=0的根的情况．四、课堂小结：1.一元二次方程的求根公式是： .2.根的判别式的用途是：1. .2. .五、学后反思:。

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2.2 公式法判别一元二次方程根的情况教学内容用b2—4ac大于、等于0、小于0判别ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况及其运用．教学目标掌握b2-4ac>0，ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实根,反之也成立；b2-4ac=0，ax2+bx+c=0(a≠0）有两个相等的实数根,反之也成立；b2-4ac〈0，ax2+bx+c=0（a≠0）没实根，反之也成立；及其它们关系的运用．通过复习用配方法解一元二次方程的b2—4ac>0、b2-4ac=0、b2—4ac<0各一题，•分析它们根的情况，从具体到一般，给出三个结论并应用它们解决一些具体题目．重难点关键1．重点：b2—4ac〉0↔一元二次方程有两个不相等的实根；b2—4ac=0↔一元二次方程有两个相等的实数；b2-4ac〈0↔一元二次方程没有实根．2．难点与关键从具体题目来推出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的b2-4ac的情况与根的情况的关系．教具、学具准备小黑板教学过程一、复习引入（学生活动）用公式法解下列方程．(1)2x2—3x=0 （2）3x2-23x+1=0 （3）4x2+x+1=0老师点评，（三位同学到黑板上作）老师只要点评（1)b2—4ac=9〉0，•有两个不相等的实根；（2)b2-4ac=12-12=0，有两个相等的实根;（3）b2-4ac=│—4×4×1│=〈0，•方程没有实根二、探索新知从前面的具体问题,我们已经知道b2—4ac>0(<0,=0）与根的情况，现在我们从求根公式的角度来分析：求根公式：x=242b b aca-±-，当b2-4ac>0时,根据平方根的意义,24b ac-等于一个具体数,所以一元一次方程的x1=24b b ac-+-≠x1=24b b ac---,即有两个不相等的实根．当b2—4ac=0时，•根据平方根的意义24b ac-=0，所以x1=x2=2b a-,即有两个相等的实根；当b2—4ac〈0时，根据平方根的意义，负数没有平方根，所以没有实数解．因此，（结论)（1）当b2—4ac〉0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)•有两个不相等实数根即x1=242b b aca-+-，x2=242b b aca---．(2）当b-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根即x1=x2=2b a-．（3）当b2—4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根．例1．不解方程，判定方程根的情况（1）16x2+8x=—3 （2)9x2+6x+1=0（3)2x2—9x+8=0 (4)x2—7x—18=0分析:不解方程,判定根的情况，只需用b—4ac的值大于0、小于0、等于0•的情况进行分析即可．解：（1）化为16x2+8x+3=0这里a=16，b=8，c=3,b2-4ac=64-4×16×3=—128<0所以，方程没有实数根．(2）a=9，b=6，c=1,b2-4ac=36—36=0，∴方程有两个相等的实数根．(3）a=2，b=—9，c=8b2-4ac=（—9)2-4×2×8=81-64=17>0∴方程有两个不相等的实根．(4）a=1，b=-7,c=—18b2—4ac=（-7）2—4×1×（—18）=121〉0∴方程有两个不相等的实根．三、巩固练习不解方程判定下列方程根的情况:（1）x2+10x+26=0 （2)x2—x—34=0（3)3x2+6x—5=0 （4）4x2-x+116=0(5）x2-3x—14=0 (6）4x2—6x=0（7）x(2x—4）=5-8x四、应用拓展例2．若关于x的一元二次方程（a-2）x2—2ax+a+1=0没有实数解,求ax+3〉0的解集（用含a的式子表示)．分析：要求ax+3〉0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0．因为一元二次方程（a-2）x2—2ax+a+1=0没有实数根，即（-2a）2-4(a—2）（a+1）〈0就可求出a的取值范围．解：∵关于x的一元二次方程（a—2）x2-2ax+a+1=0没有实数根．∴（—2a）2-4(a—2）（a+1）=4a2-4a2+4a+8〈0a〈-2∵ax+3〉0即ax>—3∴x〈—3 a∴所求不等式的解集为x〈—3 a五、归纳小结本节课应掌握：b2-4ac>0↔一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实根;b2-4ac=0 ↔一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实根；b2—4ac〈0↔一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根及其它的运用．六、布置作业1．教材P46复习巩固6 综合运用9 拓广探索1、2．2．选用课时作业设计．第五课时作业设计一、选择题1．以下是方程3x2-2x=-1的解的情况,其中正确的有（）．A．∵b2-4ac=—8，∴方程有解B．∵b2—4ac=—8，∴方程无解C．∵b2—4ac=8，∴方程有解D．∵b2-4ac=8，∴方程无解2．一元二次方程x2—ax+1=0的两实数根相等，则a的值为（ )．A．a=0 B．a=2或a=-2C．a=2 D．a=2或a=03．已知k≠1，一元二次方程（k-1）x2+kx+1=0有根，则k的取值范围是（）．A．k≠2 B．k>2 C．k〈2且k≠1 D．k为一切实数二、填空题1．已知方程x2+px+q=0有两个相等的实数,则p与q的关系是________．2．不解方程，判定2x2-3=4x的根的情况是______（•填“二个不等实根"或“二个相等实根或没有实根”）．3．已知b≠0，不解方程,试判定关于x的一元二次方程x2—(2a+b）x+(a+ab-2b2）•=0的根的情况是________．三、综合提高题1．不解方程，试判定下列方程根的情况．（1）2+5x=3x2（2）x2-(1+23)x+3+4=02．当c〈0时，判别方程x2+bx+c=0的根的情况．3．不解方程，判别关于x的方程x2—2kx+(2k—1）=0的根的情况．4．某集团公司为适应市场竞争，赶超世界先进水平,每年将销售总额的8％作为新产品开发研究资金，该集团2000年投入新产品开发研究资金为4000万元，2002年销售总额为7.2亿元，求该集团2000年到2002年的年销售总额的平均增长率．答案：一、1．B 2．B 3．D二、1．p2-4q=0 2．有两个不等实根 3．有两个不等实根三、1．（1)化为3x2—5x—2=0 b2-4ac=（-5）2—4×3×（-2）=49〉0，有两个不等实根．（2）b233〈0，没有实根．2．∵c〈0 ∴b2-4×1×c>0，方程有两个不等的实根．3．b2-4ac=4k2—4（2k-1)=4k2—8k+4=4（k-1）2≥0,•∴方程有两个不相等的实根或相等的实根．4．设平均增长率为x，400000008%（1+x)2=720000000，即50(1+x）2=72 解得x=20％，∴年销售总额的平均增长率是20%．尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。

九年级数学上册第二十一1.2.2 公式法解一元二次方程导学案新人教版

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学习资料专题21.2.2 公式法解一元二次方程一、学习目标：1、理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念；2、会熟练应用公式法解一元二次方程；3、理解化归思想. 二、学习重难点：重点：用公式法解一元二次方程难点：理解化归思想.探究案三、合作探究活动内容1：小组合作问题1：用配方法解方程24630x x --=问题2：用配方法解方程20ax bx c ++=分析归纳:活动内容2：典例解析例2（1）2x 2+5x-3=0；（2）;（3）; （4）(2)(13)6x x --=解:活动内容3：知识归纳：___________________叫做一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母__________表示它，即__________________．一元二次方程根的情况与判别式的关系（1）（2）（3）概括写出用公式法解一元二次方程的基本步骤：随堂检测1.一元二次方程x 2+2x+4=0的根的情况是（）A.有一个实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.没有实数根 2.方程x 2-3x+1=0的根的情况是( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C. 没有实数根D.只有一个实数根 3.下列一元一次方程中，有实数根的是 ( ) A.x 2-x+1=0 B.x 2-2x+3=0 C.x 2+x-1=0 D.x 2+4=04.关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有实数根，则下列结论正确的是( )A.当k=1/2时，方程两根互为相反数B.当k=0时，方程的根是x=-1C.当k=±1时，方程两根互为倒数D.当k≤1/4时，方程有实数根5.若关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0有实数根，则m的取值范围是 ( )A.m＜1B. m＜1且m≠0C.m≤1D. m≤1且m≠06.用公式法解下列方程：(1) x2 + x – 6 = 0 ; (2) ；(3) 3x2– 6x – 2 = 0 ; (4) 4x2 - 6x = 0 ;(5) x2 + 4x + 8 = 4x + 11 ; (6) x(2x – 4) =5 - 8x .课堂小结通过本节课的学习在小组内谈一谈你的收获，并记录下来：我的收获__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________参考答案随堂检测1.D2.A3.C4.D5.D6.(1)(2)(3)(4)(5)(6)。

人教版九年级数学上册导学案：21.2.2_公式法【精品】

21.2.2 公式法学习目标1、经历推导求根公式的过程，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力；2、会用公式法解简单系数的一元二次方程；3进一步体验类比、转化、降次的数学思想方法。

重点：用公式法解简单系数的一元二次方程；难点：推导求根公式的过程。

导学流程复习提问：1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？2、用配方法解方程32-6-8=0;3、你能用配方法解下列方程吗？请你和同桌讨论一下.a2＋b＋c＝0(a≠0).推导公式用配方法解一元二次方程a2＋b＋c＝0(a≠0).因为a≠0，方程两边都除以a，得_____________________＝0.移项，得2＋＝________，配方，得2＋＋______＝______－,即(____________) 2＝___________因为a≠0，所以4 a2＞0，当b2－4 ac≥0时，直接开平方，得_____________________________.所以＝_______________________即＝_________________________＝( b2－4 ac≥0)由以上研究的结果，得到了一元二次方程a2＋b＋c＝0的求根公式：精讲点拨利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a 、b 、c 的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法.合作交流b 2－4 ac 为什么一定要强调它不小于0呢？如果它小于0会出现什么情况呢？展示反馈学生在合作交流后展示小组学习成果。

① 当b 2－4ac ＞0时，方程有＿＿个＿＿＿＿＿＿＿＿的实数根；（填相等或不相等） ② 当b 2－4ac ＝0时，方程有＿＿＿个＿＿＿＿的实数根1＝2＝＿＿＿＿＿＿＿＿③ 当b 2－4ac ＜0时，方程＿＿＿＿＿＿实数根.深入探究：自学P36页例2，完成下列特别各题：应用公式法解下列方程(1) 2 2＋－6＝0； (2) 2＋4＝2；(3) 52－4－12＝0； (4) 42＋4＋10＝1－8.巩固提高：完成P37页练习课堂小结1、一元二次方程的求根公式是什么？2、用公式法解一元二次方程的步骤是什么？达标测评（A）1、应用公式法解方程：(1) 2－6＋1＝0；(2)22－＝6；(3)42－3－1＝－2；(4)3(－3) ＝2(－1) (＋1).（5）（-2）（+5）＝8；（6）（＋1）2＝2（＋1）.。

九年级数学上册 21.2.2 公式法 精品导学案2 新人教版

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2019九年级数学上册 第二十一1.2.2 公式法解一元二次方程导学案新人教版

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