纠错LDPC
纠错LDPC
1
（Low Density Parity Check）
LDPC （低密度校验）码
基本思路： 校验矩阵是稀疏矩阵，极长码。只对“1”迭代Turbo 译码 LDPC码历史
Robert Gallager 1960 年在MIT Ph. D. 论文中提出，但由于 1. 计算量大 2. RS码的引入 3. RS＋卷积码被认为是最佳搭配 因此该码被忽视了几十年 MacKay (1999) 和Richardson/Urbanke(1998) 重新发现了 该码的优点和利用方式.
2
LDPC 码性能
逼近Shannon限，例如在二元输入的AWGN信道，码率 1/2的非正则(Irregular) LDPC码可具有离香农限不到 0.06dB的性能;计算机仿真结果表明，最好的非正则LDPC 码(长度为106)可获得在 BER=10-6时仅偏离容量0．13 dB 的性能，优于迄今所知道的最佳turbo码 (Richardson,2001) 当码长为107、R=1/2时，性能距香农限只差0.0045dB的 次数分布对已经找到. (Chung,2001) 纠码字差错block error的性能好 差错平台error floor低(误码率随信噪比的增加而下降减 速甚至不再下降，称为error floor现象） 最小距离正比于码长 译码复杂度与码长是线性关系 适合并行译码运算 3
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一个简单LDPC 码的例子
1100… 0000… 0110… 0000… 1011… H= 1000… 0001… 0000… 0101… 0010… . .. . … . .. . … 本例中 Wc = 3 任何两列至多有一个“1”在位置上是 重叠的（处于同一行）。稀疏的特点使 我们能够做到这点。 矩阵的列线性无关， 即从列的线性组合得不出全“0”列。 上列特点使该码的 dmin 较大; G 可以用高斯消去法求得 校验矩阵H 可以写成H =[ PT ¦I ]形式 生成矩阵G 可以写成G =[I ¦P ]
LDPC码及级联LDPC卷积码编译码的性能研究
关键词：LDPC 码，BP 译码算法，生成矩阵，校验矩阵，LDPC/联 LDPC/卷积码编译码的性能研究
图、表清单
图 1.1 数字通信系统的基本模型 ................................................ 1 图 1.2 二进制对称信道(BSC)的转移概率 ......................................... 4 图 1.3 卷积码编码器 ......................................................... 10 图 1.4（2，1，2）卷积码编码器 ............................................... 11 图 1.5（2，1，2）卷积码编码器状态图 ......................................... 11 图 2.1 A(9,2,3)LDPC 码的二分图 .............................................. 17 图 2.2 A(9,2,3)LDPC 码经过列变换后的二分图................................... 18 图 3.1 BP 算法第二步中信息传播流程示意图..................................... 26 图 3.2 BP 算法第三步中信息传播流程示意图..................................... 27 图 3.3 AWGN 信道模型 ........................................................ 28 图 3.4 R=1/2 时，不同长度的 LDPC 码在迭代 3 次下的性能比较 ..................... 29 图 3.5 不同码率的 LDPC 码在迭代 3 次下的性能比较 .............................. 29 图 3.6 （8000,4,8）LDPC 码在不同迭代次数下的译码性能 ......................... 30 图 3.7 A(8,2,4)LDPC 校验矩阵对应的 TANNER 图 ................................... 31 图 3.8 TANNER 图中两个长度为 4 的环............................................ 31 图 3.9 长度为 4 的环在校验矩阵中的表示 ....................................... 31 图 3.10 长度为 8 的环在校验矩阵中的表示 ...................................... 32 图 3.11 BP 算法中信息在环中的传输示意图...................................... 33 图 4.1 例 4.1 中基于生成矩阵的非正规 LDPC 码的 TANNER 图 ........................ 37 图 4.2 基于生成矩阵的非正规 LDPC 码的性能曲线（不包含校验位） ................ 38 图 4.3 基于生成矩阵的非正规 LDPC 码和基于校验矩阵的 LDPC 码的性能比较 ......... 39 图 4.4 基于生成矩阵的 LDPC 码（包含校验位）和基于校验矩阵的 LDPC 码的性能比较 . 40 图 5.1 分块译码原理框图 ..................................................... 42 图 5.2 不同分块比例的译码性能比较 ........................................... 46 图 5.3 分块在不同迭代次数下的译码性能比较 ................................... 47 图 5.4 分块译码性能与正规 LDPC 码 BP 算法译码性能比较 ......................... 47 图 6.1 （2，1，2）码 L=5 时的篱笆图 .......................................... 50
基于LDPC的软判决前向纠错技术——实现100G高性能传输的关键
Ｔ ．Ｔ ｃｈ ｕｉ ，Ｔ ｔｒｐｒｂｌ ，ｎ Ｔ ＋ Ｔ Ｌ ／３ｔ ｃｒｎｚｔ ｎ ａｓ ｓｉ ． Ｄ Ｌ Ｅ ａｋ ａｌ ｇＰ Ｎｉ ｅ ｅａｉｔ ａｄ Ｎ Ｐ Ｎ（２Ｌ ） ｍｅｙ ｈｏ ｉ ｉ ｎｍｉ ｏ ｂ ｎ ｎ ｏ ｉ ｙ Ｏ ｉ ｓ ｎ ａｏ ｔ ｒ ｓｎ
ｐ ｅ ｉｉ ｎｔ ｅｓ ｎ ｈ ｏ ｉａｉ ｎ Ｔｈ ａ ｅ ｔｏ ｕ ｅ ｅｔｃ ｎ ｑ ｅｓ ｌｔｏ ｎ ｌｒ ｅｃ ｐ ｃｔ ＴＮ ｑ ｉ ｍ ｅ ｔ Ｐ ｒ ｃｓｏ ｍ ｙ ｃ ｒ ｎ ｚ ｔｏ ． ｅｐ ｐ ｒｉ ｒ ｄ ｃ ｓｔ ｅ ｈ ｉ ｕ ｏｕ ｉｎｓｏ ｇ ａ ａ ｉ Ｐ ｉ ｎ ｈ ａ ｙ ｅ ｕ ｐ ｎ ， ＴＮ － ａ ｅ ｂ ｓｄ
Ｓ ｕ ｙｏ Ｄ－ Ｅ Ｂａ ｋ ａ ｌ ｇａ ｄＴｉ ｙ ｃ ｒ ｎ ｚ ｔｏ ｏ ｕ ｉ ｎ ｔ ｄ ｎＴ ＬＴ ｃ ｈ ｕ ｉ ｎ ｍｅＳ ｎ ｈ ｏ ｉ ａｉ ｎＳ ｌ ｔｏ ｓ ｎ
Ａｂ ｔａｃ ＴＤ． ｓｒ ｔ ＬＴＥ ａ ｋ ａ ｌ ｇｒ ｑ ｉｅ ｉ ｈｂ ｎ ｗｉｔ ， ｏ ｌｔｎ ｙ，Ｐ ｆ ｒ ｒ ｉ ｇｆ ｒＳ１ ｆｅ ｎｄＸ２ｉ ｔｒａ ｅａ ｄｈ ｇ ｂ ｃ ｈ ｕｉ ｅ ｕｒ ｓ ｇ ａ ｄ ｄ ｈ ｌｗ ａｅ ｃ Ｉ ｏ ｗａｄ ｎ ｌ ｘａ ｎ ｅｆ ｃ ｎ ｉｈ ｎ ｈ ｏ －
２０ ０９
３ Ｔ Ｔ Ｇ．０ １Ｙ． ３ ２ Ｅｔ ｅ ｅ ｎ ａ ｒ ｔ ｃｉ ｎ Ｓ ｔｈ ｎ ． Ｉ Ｕ— ８ ３ ／ １ ４ ． ｈ ｍ ｔ Ｌｉ ｅ ｒＰ ｏ ｅ ｔ ｗｉｃ ｉ ｇ ｏ Ｃｏ ｒ ｅ ｄ ｍ ． ０１ ｒｉ ｎ ｕ １ ２ ０ ｇ
助力 Ｔ －Ｔ Ｄ Ｌ Ｅ回传 网络建设 和应用 。
４王磊， 李晗等 ． 中国通信 标准化 协会 一 分组 传送 网（ Ｔ 设 Ｐ Ｎ）
准循环LDPC码的设计与代数构造
准循环LDPC码的设计与代数构造专业品质权威编制人：______________审核人：______________审批人：______________编制单位：____________编制时间：____________序言下载提示：该文档是本团队精心编制而成，期望大家下载或复制使用后，能够解决实际问题。
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ldpc译码的matlab代码
LDPC（Low-Density Parity-Check）码是一种优秀的纠错编码技术，具有较低的解码复杂度和接近容量的性能。
LDPC码的译码算法可以使用数学推导来实现，也可以借助计算机进行编程实现。
在本文中，我们将介绍如何使用MATLAB编写LDPC码的译码算法，并给出具体的代码实现。
一、LDPC码的基本原理LDPC码是一种线性分组码，由Gallager于1962年首次提出。
它是一种分布式稀疏矩阵编码，其校验矩阵的权重分布较为均匀，是一种充分利用了校验密度低的码。
LDPC码的译码算法通常采用迭代译码的方式，通过不断更新变量节点和校验节点的信息来逐步逼近发送端发送的原始信息。
LDPC码的译码算法有多种实现方式，其中以BP算法（Belief Propagation）最为常见。
二、BP算法的基本思想BP算法是一种迭代译码算法，其基本思想是将LDPC码的译码过程转化为图论中的消息传递过程。
在BP算法中，变量节点和校验节点之间通过消息传递的方式来更新各自的信息，并不断迭代直到收敛为止。
BP算法的收敛性和解码性能与LDPC码的结构和参数设置密切相关，因此需要仔细选择合适的算法参数和调整策略。
三、MATLAB代码实现1. 参数设置在MATLAB中，我们首先需要设置LDPC码的参数，包括码长、码率、校验矩阵等。
通过调用MATLAB中的矩阵运算库，我们可以方便地实现LDPC码的相关参数设置。
2. 译码算法实现接下来，我们编写LDPC码的译码算法。
在MATLAB中，我们可以利用向量化操作和矩阵运算来高效地实现BP算法。
需要注意的是，由于BP算法是一种迭代算法，我们需要设置适当的迭代次数和终止准则。
3. 性能评估我们可以利用MATLAB中的仿真工具来评估LDPC码的译码性能。
通过绘制误比特率曲线和分析译码性能参数，可以直观地了解LDPC码的表现，并进一步优化译码算法。
四、总结在本文中，我们介绍了LDPC码的基本原理和BP算法的实现方式，并给出了在MATLAB中的代码实现方法。
光通信系统中基于光纤的前向纠错编码研究
光通信系统中基于光纤的前向纠错编码研究随着信息社会的快速发展，人们对于高速、高效、高保真的通信需求越来越迫切，光通信作为信息传输领域的重要领域，已经成为了信息传输的重要手段。
在光通信系统中，为了保障信息传输的可靠性和有效性，前向纠错编码是必不可少的一项技术。
本文将从以下几个方面来探讨光通信系统中基于光纤的前向纠错编码的研究。
一、前向纠错编码的概念前向纠错编码是在信息传输过程中发生一定程度的传输错误的情况下，通过编码技术将数据进行冗余处理，从而使得接收端能够在不进行重传的情况下实现数据恢复。
它是在编码端根据一定的算法将数据加上冗余校验位，使得在接收端可以根据这些校验位进行数据恢复的一项技术。
对于光通信系统而言，由于光信号传输过程中存在一定的信号衰减和噪声干扰，因此前向纠错编码技术能够在一定程度上提高传输效率和可靠性。
二、光通信系统中前向纠错编码的技术前向纠错编码技术在光通信系统中的应用可以采用各种不同的编码技术，包括但不限于海明编码、卷积码、Turbo码、LDPC码等。
其中，海明编码是最常用的一种前向纠错编码技术，它可以通过对原始数据进行冗余处理，添加多个校验码来实现纠错。
在光通信系统中，海明编码可以在接收时进行重复传输，从而实现错误的自动纠正。
卷积码是一种性能更好的前向纠错编码技术，它具有更高的码率和更好的解调性能，并且可以采用Viterbi算法对信号进行解码。
Turbo码是一种性能更优秀的前向纠错编码技术，这种技术利用两个卷积码进行交错编码，并且具有更好的解调性能和更高的纠错能力。
LDPC码是一种新兴的前向纠错编码技术，它利用稀疏矩阵的特点来减少冗余位的数量，具有低复杂度、高纠错能力等优点。
三、光通信系统中前向纠错编码的应用在光通信系统中，前向纠错编码技术可以应用于各个方面，包括但不限于卫星通讯、光纤通信、光纤传感等。
在卫星通讯中，由于卫星信号受到大气层和电离层的干扰，需要采用前向纠错编码技术来保障信号的可靠传输。
LDPC译码算法总结归纳
LDPC译码算法在其他领域的应用前景
LDPC译码算法不仅在通信领域 有广泛应用，在其他领域如数 据存储、图像处理和生物信息 学等也有潜在的应用前景。
在图像处理领域，LDPC译码算 法可用于压缩图像和视频，降 低传输和存储成本。
优化算法实现
通过优化译码算法的实现方式，减少不必要的计算和存储开销， 降低算法的复杂度。
采用近似算法
在保证译码性能的前提下，采用近似算法来降低译码过程的计算 复杂度。
提高解码性能
优化编码方案
通过改进编码方案，提高码字的纠错能力和抗干扰能力，从而提高 解码性能。
引入迭代译码
采用迭代译码的方式，通过多次迭代逐步逼近最优解，提高解码性 能。
变量节点处理
在迭代过程中，首先进行变量节点处理。这一步 主要涉及根据校验矩阵和已接收到的信息计算变 量节点到校验节点的消息。
校验节点处理
接下来进行校验节点处理。在这一步，根据变量 节点发送的消息和校验矩阵，计算出校验节点到 变量节点的消息。
消息更新
在完成变量节点和校验节点处理后，进行消息更 新。这一步是根据计算出的消息更新变量节点和 校验节点的状态。
终止条件与性能优化
终止条件
迭代过程需要满足一定的终止条件才 能结束。常见的终止条件包括达到最 大迭代次数、消息变化量小于预设阈 值等。
性能优化
为了提高LDPC译码算法的性能，可以 采用多种优化策略，如使用更高效的 编码方案、改进消息传递规则、采用 启发式搜索等。
04
LDPC译码算法的性能分析
误码率性能分析
与卷积码和Reed-Solomon码等常见编码方案相比，LDPC码具有更低的 误码率和更高的可靠性。
LDPC与纠错码
１ ４
的方法可以大大 节省Ｆ Ｇ Ｐ Ａ资源的 占用
对 于图４ 示Ｐ Ｎ Ｎ码生成 器 ， 我们应 量 ，并且 由于 Ｓ ＲＬ１Ｅ是 被优化设计的 ６ 用Ｉ ＳＥ软 件 内嵌 的 ＸＳＴ （ ｌ ｎｘ 模块 ，相较于传统 的方法可提高所设计 Ｘｉ ｉ Ｐ Ｎ码生 成器的效率 。同时 ， ＲＬ１Ｅ还 Ｓ ６ 可以用来实现滤波 器、除法器以及波形
译码 方式使 编码错误概率 Ｐ 随着码长 ｎ 的增加 ， 按指数下 降
特别是 其简单实用性 ， 其 使 到任意小的值； ＞ ， 若Ｒ Ｇ 则不存在能够实现无误传输的编译 性能 以及可 以并行解码 的特点 ，
码方 式。人们一直在努力寻 找能够更加逼近 Ｓａｎｎ ｈｎｏ 理论极 成 为下 一代通信纠错编码 的首 选。
蒯 晴 矗 ｌ 、
ｇ ＝１ ＋ （） ＋ ＂
输 出 ｐ — ｕ— ｎ ｏ ｔｑ对应 的 Ｌ Ｆ 多项 ＳＲ
式为：
结 论
应用 Ｓ ＲＬ１Ｅ来 实现 Ｐ ６ Ｎ码生成器
ｔｘ ＝１ ＋ ＋ ＋ ｌ、 十 （
，
蟪 嚣Ｉ Ｊ０ ６ Ｑ 咖 Ｉ 伽
低 密度奇偶校验（ Ｐ） ａｌ ｅ 于 ２ 世纪 ６ 年代首 Ｌ ｃ由Ｇ ｌｇｒ Ｄ ａ ｔ ０ ０
近 些年来 ．ＬＰ 码 受到 了广泛 的关注 ，其 出色 的纠错 ＤＣ
息的速 率为 Ｒ ，只要 Ｒ≤ Ｃ ，则总可 以找到一种信道编码和 次提 出 。 中最 重要 的创新在于 ｇ入 了迭 代译码算法。 其 Ｊ
维普资讯
应用设计：无线通信
元 ，可以非常方便地应 用。并且这些 基 可 以 大 大 降 低 本单元在设计 中应 用得越多 ，那 么设计 Ｆ ＧＡ资 源的 占 Ｐ 所 占用的专用 触发器资源就越少 。如 图 用 。
自适应动态ldpc纠错算法
自适应动态ldpc纠错算法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：自适应动态LDPC纠错算法是一种针对信道传输中的错误进行纠正的算法，它能够有效地提高通信系统的可靠性和性能。
LDPC即是低密度奇偶校验码（Low-Density Parity-Check Code）的英文缩写，它是一种现代的线性纠错码，在无线通信、数字电视等领域得到了广泛的应用。
而自适应动态LDPC纠错算法则是在LDPC码基础上进一步进行优化和改进，使得在不同信道条件下能够动态调整纠错码的参数，从而实现更好的纠错性能。
自适应动态LDPC纠错算法通过对信道条件的监测和评估，来动态调整LDPC码的参数，以适应不同的通信环境。
在传统的LDPC算法中，一般是固定的纠错码参数在整个通信过程中不变，这在某些信道条件下可能并不是最优的选择。
而自适应动态LDPC纠错算法则可以根据实时的信道情况对纠错码参数进行调整，以提高纠错性能。
在自适应动态LDPC纠错算法中，主要有两个关键的调整参数：一是LDPC码的码率（Rate），即纠错比特与总比特之间的比率；二是LDPC码的码长（Length），即码字的长度。
这两个参数的调整对于纠错性能的提高起着至关重要的作用。
一般来说，当信道条件良好时，可以采用低码率和长码长的LDPC码，以提高数据传输速率；而当信道条件较差时，则需要采用高码率和短码长的LDPC码，以提高纠错性能。
在实际的应用中，自适应动态LDPC纠错算法可以通过以下几个步骤来实现：1. 信道监测：系统通过接收到的信号进行信道估计，以获得当前信道的质量信息。
2. 参数选择：根据信道的质量信息，系统选择合适的LDPC码率和码长参数。
3. 编码和解码：将数据进行编码，并根据选择的参数进行LDPC 解码，以保证数据传输的准确性。
4. 反馈调整：根据解码结果的质量对参数进行调整，并不断迭代进行数据传输。
自适应动态LDPC纠错算法的优势在于能够根据实时的信道条件做出调整，以适应不同的通信环境和需求。
纠错LDPC的原理讲解
= 信息节点分布 λ（x） ∑ λi x
i =1 dc
dr
i −1
dr是信息节点最大度数
校验节点分布 ρ（x） ∑ ρ i x i −1 dc是校验节点最大度数 =
i =1
上述两多项式具有非负实系数且系数之和归一， 上述两多项式具有非负实系数且系数之和归一，即满足 表示与 λ(x)|x=1=1 和 ρ(x)|x=1=1。从概念上说，多项式项 λixi-1 表示与 。从概念上说 度数为i的信息节点相连的边 度数为 的信息节点相连的边 在所有边的总数中所占的比例 10 是 λ i。
8
• Tanner图 图 Tanner图里有两类节点 消息比特 图里有两类节点:消息比特 图里有两类节点 消息比特(message bit)节点和校 节点和校 节点。 乘积码， 验(check)节点。 例如一个 节点 例如一个(8,4)乘积码， 乘积码 11100000 CHT:(1×8)(8×4)=1×4， H = 0 0 0 1 1 1 0 0 × × × ， 10010010 01001001
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若R=(rn-1, rn-2,… r0), S=(sn-k-1 , … , s1, s0)
h( n − k −1 )( n −1 ) M H= h1( n −1 ) h0( n −1 ) L h( n − k −1 )1 O M L L h11 h01 h( n − k −1 )0 M h10 h00
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LDPC 码性能
信道， •逼近Shannon限，例如在二元输入的 逼近 限 例如在二元输入的AWGN信道，码率 信道 1/2的非正则(Irregular) LDPC码可具有离香农限不到 码可具有离香农限 的非正则( 码可具有离香农限不到 0.06dB的性能;计算机仿真结果表明，最好的非正则 的性能; 的性能 计算机仿真结果表明，最好的非正则LDPC 长度为10 可获得在 时仅偏离容量0． 码(长度为 6)可获得在 BER=10-6时仅偏离容量 ．13 dB 长度为 的性能，优于迄今所知道的最佳turbo码 的性能，优于迄今所知道的最佳 码 (Richardson,2001) •当码长为 7、R=1/2时，性能距香农限只差 当码长为10 当码长为 时 性能距香农限只差0.0045dB的 的 次数分布对已经找到. (Chung,2001) 次数分布对已经找到 •纠码字差错 纠码字差错block error的性能好 纠码字差错 的性能好 •差错平台 差错平台error floor低(误码率随信噪比的增加而下降减 差错平台 低 误码率随信噪比的增加而下降减 速甚至不再下降，称为error floor现象） 现象） 速甚至不再下降，称为 现象 • 最小距离正比于码长 译码复杂度与码长是线性关系 •译码复杂度与码长是线性关系 •适合并行译码运算 适合并行译码运算 3
常用的信道编码
常用的信道编码
在通信系统中，信道编码是一种重要的技术，用于提高数据传输的可靠性和抗干扰能力。
以下是一些常用的信道编码技术：
1.卷积编码（Convolutional（Coding）：（卷积编码是一种使用有限状态机的编码技术，它基于输入数据的状态序列来生成输出码字。
通过将数据和状态信息组合起来进行编码，能够提供良好的纠错性能。
2.循环冗余校验 Cyclic（Redundancy（Check,（CRC）：（CRC（是一种检错码，而非纠错码。
它通过多项式除法的方式对数据进行编码，生成一个固定长度的校验码，用于检测数据传输过程中的错误。
3.海明编码（Hamming（Code）：（海明编码是一种块编码技术，通过增加冗余位来实现纠错。
它能够检测和纠正数据中的一定数量的错误，通常用于存储介质和通信系统中。
4.LDPC码 Low-Density（Parity-Check（Codes）：（LDPC码是一种分布式码，利用稀疏矩阵的结构特点来提供优异的纠错性能。
它在现代通信系统中被广泛应用，如无线通信和卫星通信等。
5.Turbo码（Turbo（Codes）：（Turbo码是一种串联联接的编码技术，利用两个或多个卷积编码器之间的互相迭代来提高纠错性能，通常被用于4G和5G移动通信标准中。
这些信道编码技术在不同的通信标准和应用场景中都有广泛的应用，它们在提高数据传输可靠性和抗干扰能力方面发挥着重要作用。
选择适合特定应用场景的信道编码技术需要考虑数据传输要求、计算复杂度、功耗以及系统成本等因素。
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Tanner 图
比特节点(列) c0
c1
c2
c3
c4
c5
c6
c7
Tanner图反映了伴随矩阵的运算关系： RHT=CHT+EHT=0+ EHT=S
9
二分图中，节点连线的条数称作该节点的“度数” 。 规则LDPC码的所有信息节点具有相同度数，所有校验节点 也具有相同度数，且满足条件 信息节点数×信息节点度数＝校验节点数×校验节点度数 不规则LDPC码各节点度数并不相同，仔细选择节点度数的 分布能极大改善码的性能。通常，可用下列两个多项式分别 描述信息节点和校验节点的度数分布
18
一般线性分组码的译码方法： 当C是码字时，有CHT = 0 对于BSC信道, R=CE,其中E是差错矢量。译码器的 任务是要找出E，把它加到接收码上C=R E。 译码算法一般是基于线性代数， 运算量随码长指数上升。 LDPC 码通常采用基于图的译码算法，比如 1. 和-积(Sum-product)算法 （用在基于一般图的编码） 2.MAP (BCJR)算法 （用在基于网格图的编码） 3.消息传递( Message passing)算法 （用在基于二分图的码）
4
说(n,k)分组码校验矩阵H (n-k行n列)是稀疏矩阵，指其 每行每列只有极少个“1”而最小距离dmin又较大。 正则（规则）的LDPC码: Wr Wc 指H矩阵每列(column)有同样wc个“1”， n m 每行(row) 有同样wr个“1”，且 = 这里m=n-k，wc << m， wr << n。 对于一个好码，应有wc 3 。 校验矩阵H共有矩阵元素(n-k)×n个，正比于n2。 若保持每列“1”的个数wc不变，则矩阵H中非零元“1” 的个数为wc · n，即 “1”的个数随码长n线性增长。 矩阵元素的个数随n平方增长，而其中非零元“1”的个 数呈线性增长，则当码长n时，“1”的个数必将远远 小于0的个数，校验矩阵将成为稀疏矩阵。
(x )=3/7 x2+ 4/7 x3
用矢量表示是
=（ 3 4 ） = （ 3/7 , 4/7 ）
同理，可令描述校验节点边分布的多项式为(x )， 系数矢量为。
因此，度数分布对(, )完全确定了节点的度数分布。
11
由于信息节点的总边数等于校验节点总边数，若总边数及 其分布确定，则检验节点数(n-k)不可能是任意的，码率也 不是任意的。 设所有校验约束是线性独立的，则 LDPC码可取码率范围 的最小值（最小码率）称为预期码率。最小码率与度数分 布对(, )存在一定关系，可计算得出，方法如下。
线性分组码基础
可用一个生成矩阵G或校验矩阵H来描述The structure 纠错能力由最小距离dmin 决定。 最小距离dmin 等于生成矩阵G中最轻行的重量 最小距离dmin也等于校验矩阵H的秩加1 比如 (7, 4)汉明码 1000111 1110100 0100110 1101010 G= 0010101 H= 1011001 0001011 非稀疏矩阵 码字和校验矩阵的关系：CHT=0 或HCT=0
~
14
可见，当码长n和(, )对确定之后，i度节点的数目 也就确定了，然而i度节点的具体位置与顺序排列并未确 定，可以有多种排列组合。将所有可能组合的集合写作 Cn(,)，则每一种构码都是集合Cn(,)的元素之一。 在二分图中，信息节点侧和校验节点侧的连线数应 该是相等的，即
i ~ n n （i ni） i n i i i 1 i 1 i 1
令
2 ( x ) dx （ x x ）dx 3 1 2 0 0 1 1
（
1 x
1
2 x 2
2
3 x 3
3
） |
1 0 i 1
i
i
(2)
表示信息节点数n与总边数之比。这是因为
i 1
i
i
＝
1度点数 度数1 / 总边数 2度点数 度数2 / 总边数 ＋ ＋ 1 2 1度点数 2度点数 信息节点数n 总边数 总边数
16Leabharlann 一个简单LDPC 码的例子
1100… 0000… 0110… 0000… 1011… H= 1000… 0001… 0000… 0101… 0010… . .. . … . .. . … 本例中 Wc = 3 任何两列至多有一个“1”在位置上是 重叠的（处于同一行）。稀疏的特点使 我们能够做到这点。 矩阵的列线性无关， 即从列的线性组合得不出全“0”列。 上列特点使该码的 dmin 较大; G 可以用高斯消去法求得 校验矩阵H 可以写成H =[ PT ¦I ]形式 生成矩阵G 可以写成G =[I ¦P ]
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LDPC 码结构特点(1)
非正则（不规则）LDPC码： 行和列中“1”的个数不是常数。 非正则码的性能可以优于正则码。
解释理由：因为在非正则码中，相连边数多的信息节点迅 速得到它们的正确译码，这样它们可以给相邻的校验节点更 加有效的概率信息，而这些校验节点又可以给与它们相邻的 次数少的信息节点更多的信息，从而产生波浪效应，次数高 的信息节点首先得到它们的正确译码，接着是次数稍低的信 息节点，然后是次数更低的节点，如此继续下去，直到译出 所有的信息节点。由于这种波浪效应，使非正则码可以获得 较正则码更好的性能。 m (m-1) LDPC码码长n的上限： n wc(wc-1)
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Tanner图 Tanner图里有两类节点:消息比特(message bit)节点和校 验(check)节点。 例如一个(8,4)乘积码， 11100000 CHT:(1×8)(8×4)=1×4， H = 0 0 0 1 1 1 0 0 10010010 01001001
校验节点(行） f0 f1 f2 f3 fj ci
对于不规则码，实际码率大于等于最小码率
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定义i 度信息节点数与总信息节点数n的比值为
，
i 度校验节点数与总校验节点数n-k的比值为 i ， ~ ~ i 则必有 i i 及 (4) i i i 这是因为 i i度节点数 i / 总边数 i度信息节点数 ~ i i n / 总边数 n i 同理 i i度校验节点数 ~ i nk i ~ 于是可知，度数为i的信息节点数是ni ， ~ ，而 度数为i 的校验节点数是 （n k） i nk ~ k ~ ~ ~ （n k） i i 1 n i 1 r ， n i (5) n n
T
若H是稀疏矩阵，方程组每行仅留下少数非零项相加。 若H是规则的，即每行包含同样数量个“1”，那么上述 每个方程是同样多个项的相加。 如用若干条线的相汇代表加，就得出Tanner图，该图 含(n-k)个校验节点s0～ sn-k-1 ，n个消息比特节点r0～ rn-1 ， 7
描述LDPC码基本工具之一是二分图 (Bipartite graph)， 二分图是一种无向图， 基本元素是节点(node)和边(edge)。节点分 成两类(class),一条边所连接的两个节点必须 分属不同的两类。 Tanner图是二分图的具体化。Tanner图里 有两类节点:消息比特(message bit)节点和 校验(check)节点，节点间连线表示关联。
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一般系统线性分组码的编码 C = mG = [ m ¦mP ]
LDPC 码的编码
一般编码方法用于 LDPC码会产生的问题 G的维数巨大，G一般也并不稀疏。比如一个（10000 ，5000） LDPC码，P矩阵将是5000×5000矩阵。假设 “1”的密度是0.5，编码所作的运算也有 0.5×(5000×5000)=12.5×106 次 （注：H在系统化之前是稀疏矩阵，系统化后不一定。 若H在系统化后是稀疏矩阵，G是稀疏的） 简化编码的方法之一是利用代数或几何途径来设计 LDPC码 ，使之能用移位寄存电路实现编码.
~〕 ＝ 〔i （ n k） i
i 1
i i ( 1 r( , ))n i i 1
( 1 r( , )) n
( 1 r( , )) i
i 1
n
(6)
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令 为上的一个排列。若我们将左边第 i 个插孔与右边第(i)个插孔相连接，这样就 将二分图与插孔上的排列对应起来。令取 遍 [s] 的排列集合得到一个二分图集合。若 所有这些排列都有相等的出现概率就得到 码集。因此，如果我们从集合中随机的选 择一个图这就暗含着取到任一个二分图的 概率都相等。
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LDPC 码性能
逼近Shannon限，例如在二元输入的AWGN信道，码率 1/2的非正则(Irregular) LDPC码可具有离香农限不到 0.06dB的性能;计算机仿真结果表明，最好的非正则LDPC 码(长度为106)可获得在 BER=10-6时仅偏离容量0．13 dB 的性能，优于迄今所知道的最佳turbo码 (Richardson,2001) 当码长为107、R=1/2时，性能距香农限只差0.0045dB的 次数分布对已经找到. (Chung,2001) 纠码字差错block error的性能好 差错平台error floor低(误码率随信噪比的增加而下降减 速甚至不再下降，称为error floor现象） 最小距离正比于码长 译码复杂度与码长是线性关系 适合并行译码运算 3
LDPC码
1
（Low Density Parity Check）
LDPC （低密度校验）码
基本思路： 校验矩阵是稀疏矩阵，极长码。只对“1”迭代Turbo 译码 LDPC码历史
Robert Gallager 1960 年在MIT Ph. D. 论文中提出，但由于 1. 计算量大 2. RS码的引入 3. RS＋卷积码被认为是最佳搭配 因此该码被忽视了几十年 MacKay (1999) 和Richardson/Urbanke(1998) 重新发现了 该码的优点和利用方式.