数学物理方程与特殊函数讲义

第三章 行波法与积分变换法本章我们介绍两个常用的解题方法：行波法和积分变换法。

行波法只用于求解无界区域上的波动方程定解问题，积分变换法不受方程类型的限制，一般应用于无界区域的定界问题，有时也应用于有界域的定解问题.3.1达朗贝尔公式及波的传播在求解常微分方程的特解时,一般先求出方程的通解,然后利用所给的定解条件去解出通解中含有的任意常数,最后得到了满足所给条件的特解.这个想法能否推广到求解偏微分方程的过程中呢?一般情况下,随着自变量个数的增加,偏微分方程的通解非常难求,并且偏微分方程的通解一般都含有任意函数,这种任意函数很难由定解条件确定为具体的函数.所以在求解数学物理方程时,主要采用通过分析各类具体的定解问题,直接求出符合定解条件的特解的方法.但事情没有绝对的,在有些情况下,我们可以先求出含任意函数的通解,然后根据定解条件确定出符合要求的特解.本节我们研究一维波动方程的求解,就采用这种方式.3.1.1 达朗贝尔公式如果我们所考察的弦无限长,或者我们只研究弦振动刚一开始的阶段,且距弦的边界较远的一段,此时可以认为弦的边界,对此端振动的弦不产生影响.这样,定解问题就归结为如下形式()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=+∞<<∞−∂∂=∂∂==2.1.3,1.1.30022222x t u x u x x u atu t t ψϕ一维波动方程是双曲型的方程,所以我们作出如下代换,令⎩⎨⎧−=+=atx atx ηξ (3.1.3) 利用复合函数求导的规则,有ηξηηξξ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂u u x u x u x u 22222222ηηξξηηξξ∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂∂∂+∂∂⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂∂∂=∂∂u u ux x u x x u x u 同理可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂222222222ηηξξu u u a t u 将其代入式(3.1.1),得02=∂∂∂ηξu对ξ积分,得()ηηf u=∂∂ 对此式再关于η积分,得()()()()ηξξηη211d f f f f u +=+=∫即 ()()()()5.1.3,21at x f at x f t x u −++=其中21,f f 是二次连续可微的任意函数,这样,式(3.1.5)可以认为是式(3.1.1)的通解.将初始条件式(3.1.2)代入式(3.1.5)中,有()()()()()()()()⎩⎨⎧=−=+7.1.36.1.3'2'121x x af x af x x f x f ψϕ对式(3.1.7)两侧关于x 在区间[]x ,0上积分()()()()8.1.3d 121Ca x f x f x+=−∫ξξψ联立(3.1.6),式(3.1.8),解关于()()x f x f 21,的方程,有()()()()()()2d 21212d212121C a x x f C a x x f x0x0−−=++=∫∫ξξψϕξξψϕ将()()x f x f 21,代入式(3.1.5)中,即得到定解问题的解为()()()[]()()9.1.3d 2121,ξξψϕϕ∫+−+−++=at x at x aat x at x t x u式(3.1.9)称为无限长弦自由振动的达朗贝尔公式,由式(3.1.5)知,描述弦的自由振动的方程,其解可以表示成()()at x f at x f ++21,之和,通过对他们进一步的分析,我们可以更清楚地看出振动波传播的特点.首先设()at x f u +=11,显然,它是式(3.1.1)的解,当t 取不同的值时就可以得到弦在各个时刻的振动状态.0=t 时,()()x f x u 110,=,它对应的初始时刻的状态,如图3-1虚线所示.经过0t 这段时间后, ()()0101,at x f t x u +=相当于原来的实线图形,向左平移了0at 这段距离(如图3-1中实线所示).随着时间t 的推移,这个图形将继续向左平移,移动距离为at .这说明当式(3.1.1)的解表示为()()t at x f t x u ,,11+=时,振动形成的波是以速度a 向左传播的.因此,函数()at x f +所描述的振动现象称为左传播波.同样形如()()t at x f t x u ,,22−=的函数所描述的振动现象称为右传播波.由此可见,达朗贝尔公式表明:弦上的任意扰动,总是以行波的形式分别向两侧传播的,其传播的速度恰是弦振动方程中的常数a 基于这种原因,本节所用的方法又称行波法.由达朗贝尔公式式(3.1.5)可见,解在()t x ,点的数值仅依赖于初始条件在x 轴的区间[]at x at x +−,上的值,而与其他点上的初始条件无关,这个区间称为点()t x ,的依赖区间,它是过()t x ,点分别作斜率为a1±的直线与x 轴相交所截得的区间,如图3-2所示.初始时刻0=t 时,取x 轴上的一个区间[]21,x x ,过点1x 作斜率为a1的直线at x x +=1,过点2x 作一个斜率为a1−的直线at x x −=2,构成一个三角形区域,如图3-3所示.此三角形域中任意一点()t x ,的依赖区间到落在[]21,x x 的内部,因此,解在此三间形区域中的值完全由初始条件在区间[]21,x x 内的值所决定,而与此区间外的初始条件无关,于是这个区域就称为[]21,x x 的决定区域,给定区间[]21,x x 上的初始条件,就可以在其决定区域内确定初值问题的解.若过点21,x x 分别作直线at x x −=1,at x x +=2则经过时间t 后,受区间[]21,x x 上初始扰动影响的区域为at x x at x +≤≤−21在此区域外的波动不受[]21,x x 上初始扰动的影响,称xt 平面上不等式所确定的区域为区间[]21,x x 的影响区域.由上述内容可见,在xt 平面上,斜率为a1±的两族直线C at x =±(常数)在研究一维波动方程时起着重要的作用,因此这两族直线称为一维波动方程式(3.1.1)的特征线.在特征线2C at x =−上,左行波()()t at x f t x u ,,11+=的振幅取常数值()11C f ,所以波动实际上是沿着特征线传播的,因此行波法又成为特征线法. 若初始条件中()0=x ψ,则有()()()[]at x at x t x u −++=ϕϕ21, 则点()t x ,处的状态只是由初始数据ϕ在[]at x at x +−,的两个端点的值唯一确定,它表示初始数据()x ϕ以()x ϕ21的波形,以 速度a 分别向左、右传播,这是一种无累积效应(即无后效)的传播. 若0)(=x ϕ,则∫+−=atx atx a t x u ξξψd )(21),( 点),(t x 的状态依赖于初始数据ψ的在整个区间],[at x at x +−上的值,这是一种有累积的效应(即有后效)的传播.3.1.2 非齐次方程与齐次化原理当弦的振动受到外力干扰时,定解问题归结为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=>+∞<<−∞+∂∂=∂∂==)11.1.3()(,)()10.1.3()0,(),(0022222x t u x u t x t x f x u a t u t t ψϕ此时振动位移可以分为两部分:一部分是只受外力影响的),(t x V ,另外一部分是由初始形变产生的回复力使弦产生的位移),(t x W ,即),(),(),(t x W t x V t x u +=式中),(t x V 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=>+∞<<−∞+∂∂=∂∂==)(,)()0,(),()I (0022222x t W x W t x t x f x V a t V t t ψϕ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂=∂∂==)(),.(II)(0022222x t W x W x W a t W t t ψϕ问题(II)应用达朗贝尔公式即可解出,而问题(I)则要应用下面的齐次原理求解. 定理(齐次化原理):若),,(τt x W 是问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=>∂∂=∂∂==),(,0)(,22222ττττx f tWWt x Wa t W t t 的解,则初值问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=+∂∂=∂∂==0,0),(0022222t t t u u t x f x u a t u 的解为∫=tt x W t x u 0d ),,(),(ττ由齐次化原理可得问题(I)的解为∫∫−+−−=t t a x t a x f a t x V 0)()(d d ),(21),(τττξτξ因此非齐次方程式(3.1.10)的解为∫∫∫−+−−+−++−++=t t a x t a x at x at x f a a at x at x t x u 0)()(d d ),(21d )(21)]()([21),(τττξτξξξψϕϕ (3.1.12)3.2 延拓法求解半无限长振动问题若振动弦的一端固定在原点,一端无限长,则定解问题归纳为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==∂∂=>+∞<<∂∂=∂∂===)3.3.3(0)2.2.3()(),()1.2.3()0,0(00022222x t t u x t u x u t x x u a t u ψϕ 这个问题不能直接用达朗贝尔公式求解.随着时间t 的变化,会出现0<−at x ,而)(x ϕ,)(x ψ在0<x 时无定义,因此式(3.1.9)不能使用.为了利用现有结论,我们采用延拓的方法,把问题延拓)0(，−∞上去,这样,我们考虑新的定解问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==∂∂=+∞<<−∞∂∂=∂∂===)6.2.3(0)5.2.3()(),()4.2.3()(00022222x t t V x t V x V x x V a tV ψφ 式中,)(),(x x ψφ是未知的函数,定义域为),(+∞−∞.当0>x 时,)()(x x ϕφ=.因此,0>x 时,式(3.2.1)—(3.2.3)与式(3.2.4)—(3.2.6)的解是恒等的,即时,),(),(t x u t x V =. 应用达朗贝尔公式, 式(3.2.4)—(3.2.6)的解为∫+−+−++=atx atx a at x at x t x V ξξψφφd )(21)]()([21),( (3.2.7) 由式(3.2.6),有0d )(21)]()([21=+−+∫+−atx at x aat x at ξξψφφ 满足这个关系式的函数)(),(x x ψφ的形式可能有很多种,我们只考虑其中最简单的一种形式,取)(),(x x ψφ为奇数,这样我们有⎩⎨⎧<−−>=⎩⎨⎧<−−>=0),(0),()(0),(0),()(x x x x x x x x x x ϕϕψϕϕφ则当0>x 时没，我们由式(3.2.17)可以得到式式(3.2.1)—(3.2.3)的解),(t x u . 0)1(>−at x 时∫+−+−++=atx at x aat x at x t x u ξξψϕϕd )(21)]()([21),( 0)2(<−at x 时∫∫∫∫+−−++−+−−+=−−++−−+=+−++=at x x at at x at x atx at x ax at at x aa x at at x aat x at x t x u ξξψϕϕξξϕξξϕϕϕξξψφφd )(21)]()([21d )]([21d )(21)]()([21d )(21)]()([21),(00 当边界条件为其他类型时,讨论的方法不变,只是)(),(x x ψφ的选择(延拓方式)有变化.若此现象受到外界的干扰,则应考虑定解问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==∂∂=>+∞<<+∂∂=∂∂===0)(),()0,0(),(00022222x t t u x t u x u t x t x f x u a t u ψϕ 同样我们研究延拓后的问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==∂∂=>+∞<<−∞+∂∂=∂∂===0)(),()0,(),(00022222x t t V x t V x V t x t x F x V a tV ψφ 由前述的齐次化原理得出的求解公式(3.1.12),得∫∫∫−+−−+−++−++=t t a x t a x at x at x F a a at x at x t x V 0)()(d d ),(21d )(21)]()([21),(τττξτξξξψφφ由边界条件0=x V,得∫∫∫−−−−=++−+t t a t a at at F aat at a 0)()(0d d ),(d )(21)]()([21τττξτξξξψφφ 同理,我们由奇函数的性质,可以认为三项都是零,即相当于取⎪⎩⎪⎨⎧−=−−=−Φ−=−Φ),(),()()()()(t x F t x F x x x x ψψ 这样有⎩⎨⎧<−−>=⎩⎨⎧<−−>=⎩⎨⎧<−−>=Φ0),,(0),,(),(0),(0),()(0),(0),()(x t x f x t x f t x F x x x x x x x x x x φφψϕϕ当0>x 时,),(),(t x u t x V =,所以我们得到 0)1(>−at x 时∫∫∫∫∫∫+−+−−+−−+−++−++=++−Φ++Φ=t at x atx at x at x t t a x t a x at x at x f a a at x at x F a d a at x at x t x u 00)()(d d ),(21d )(21)]()([21d d ),(21)(21)]()([21),(τξτξξξφϕϕτξτξξξψττ0)2(<−at x 时此时)()(τξτ−+<<−−t a x t a x ,而积分下限)(τ−−t a x 的值可正可负,因此我们分析一下积分下限为负值时τ的取值范围. 令0)(>−−τt a x ,有axt −>τ,即 ],[ax t t −∈τ时,0)()(>−−>>−+τξτt a x t a x ]0,[ax t −∈τ时,)(0τξ−−>>t a x 或)(0τξ−+<<t a x这样,有∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫−−+−−−−+−−+−−−+−−+−−+−−+−−+−+++−−+=+++−−+=++−Φ++Φ=a x t t a x xt a t a x t t a x t a x at x x at a xt t a x t a x t t a x t a x at x x at t t a x t a x at x at x f a f a a x at at x f af a a x at at x F a a at x at x t x u 0)()()()(0)(0)()(0)()(d d ),(21d d ),(21d )(21)]()([21d d ),(21d d ),(21d )(21)]()([21d d ),(21d )(21)]()([21),(ττττττττττξτξτξτξξξφϕϕτξτξτξτξξξφϕϕτξτξξξψ 例1 求非齐次方程的空解问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=−=∂∂=>+∞<<−+∂∂=∂∂===0cos 1,8)0,0()(2100022222x t t u xt u x u t x t x x u a tu 解 由刚才讨论得到的公式得 0)1(>−at x 时，有124cos 81cos 8),(32t xt x at at at x t x u −+−+=0)2(<−at x 时，有)33(121cos 8)11(),(23233xt a t ax x a a x at x at x u −−−+−= 当边界条件是非齐次的，即)(),0(t g t u =时，我们首先作函数代换，使边界条件齐次化.令)(),(),(axt g t x V t x u ++=代入式(3.1.13)则有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=′−=∂∂−=>+∞<<∂∂=∂∂===0()(),()()0,0(00022222x t t V a x g x t V a x g x V t x x V a t V φϕ 这正好是前面已经讨论的形式由行波法推出的达朗贝尔公式与我们在前面一章所讲授的分离变量的出的公式是不矛盾的,我们可以用延拓的方式,应用达朗贝尔公式导出上一章中的由分离变量法得到的结果.对定解问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===∂∂=><<∂∂=∂∂====0,0)(),()0,0(00022222l x x t t u u x t u x u t l x x u a tu φϕ 由高等数学中的结论可知:若)()(x F x F =−,则0)0(=′F ;若)()(x F x F −=−,则0)0(=F .因此,在将函数延拓的时候,为了满足0),0(=t u ,需做奇延拓,即将初值)(x u ϕ=由),0(l 奇延拓到),(l l −上,再以l 2为周期延拓到),(+∞−∞上,定义为)(x Φ;同理,将)(x φ延拓为)(),(x x ψψ的周期为l 2,),(+∞−∞∈x ,这样0>>x l 时,有),(),(),()(),()(t x V t x u x x x x ==Φ≡ψφϕ于是我们有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂Φ=>+∞<<−∞∂∂=∂∂==)(),()0,(0022222x t V x Vt x x V a t V t t ψ ∫+−+−Φ++Φ=at x at x a at x at x t x V ξξψd )(21)]()([21),(将)(),(x x ψΦ展开为x ln πsin的傅立叶级数,有 x l n b x n n ∑∞==Φ1sin ~)(π式中x x ln x l x x l n x l b l l n d sin )(2d sin )(2~00πϕπ∫∫=Φ=∑∞==1sin)(n n x ln b x πψ 式中∫∫==l l n x x ln x l x x l n x l b 00d sin )(2d sin )(2πφπψ于是x l n t l a n b na l t l a n b x l n t l a n b a n l x l n t l a n b at x l n at x l n n l b a x l a n x l n x l a n x l n x l a n x l n x l a n x l n b l n aat x l n b at x l n b t x V n n n n n n n n n n n at x at x n n n n n ππππππππππππππππππππξξπππsin sin cos~sin sin sin cos ~)(cos )(cos 21sin cos cos sinsin cos cos sin~21d sin 21)(sin ~)(sin ~21),(11111111∑∑∑∑∑∫∑∑∑∞=∞=∞=∞=∞=+−∞=∞=∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+⎥⎦⎤⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−++=当),0(l x ∈时,),(),(t x u t x V ≡所以,有界弦的振动方程的解仍为x l n t l a n b a n l t l a n b t x u n n n ππππsin sin cos ~),(1∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=与当时得到的结果是一致的.3.3 高维波动方程的初值问题上两节我们研究了一维波动方程的初值问题,得到了达朗贝尔公式.本节我们介绍三维无限空间中的波动问题,即求解下列定解问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂=>+∞<<−∞⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=∂∂==)3.3.3(),,()2.3.3(),,()1.3.3()0,,,(00222222222z y x t u z y x u t z y x z u y u x u a t u t t φϕ 从定解问题的形式上看,三维和一维是相似的,由此可知三维波动方程的解应当在形式上与一维波动方程的解相似,并且求解步骤也许会一致.这种平行推广的类比方法,在数学研究及工程技术上经常使用,一旦这种想法是可行的,将为解决新问题带来极大的方便.3.3.1 三维波动方程的球对称解首先我们考虑一种特殊的现象—关于坐标原点为球对称的三维波动方程.可将波函数u 用空间坐标),,(ϕθr 来表示,所谓球对称就是指u 与θ和ϕ都无关.在球坐标系中,式(3.3.1)的形式为2222222222sin 1sin sin 111ϕθθθθθ∂∂+⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂∂∂+⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂∂∂=∂∂ur u r r u r r r t u a 当u 与θ和ϕ都无关时,方程简化为222222t u a r r uru r ∂∂=∂∂+∂∂因为r uru r r ru ∂∂+∂∂=∂∂2)(2222 所以原方程最终简化为22222)(1)(tru a r ru ∂∂=∂∂ 这是关于ru 的一维波动方程,由达朗贝尔公式,其通解为)()(21at r f at r f ru −++=则rat r f at r f u )()(21−++=这就是关于原点球对称的三维波动方程的解.其中21,f f 是两个任意的函数,可以通过给定的初始条件来确定.3.3.2 平均值法解决三维波动方程初值问题可是,一般情况下的问题应当如何求解呢?从刚才的求对称情况的推导,我们闪出这样的想法:能否将一般情况下的问题与球对称问题等同起来.在球对称时波函数u 只是r 和t 的函数,在非球对称时u 是t z y x ,,,的函数,不能写成只含有r 与t 的函数,这样的r ,u 不能满足一维波动方程.如果我们转换一下目标,不考虑波函数u 本身,而是研究u在以),,(z y x M 为球心,以r 为半径的球面上的平均值u ,当z y x ,,暂时选定后, u 就是关于r 与t 的函数.当我们很方便的求出u 后,令0→r ,则),,,(),(t z y x u t r u →,这样问题就得到了解决.这个想法一般称为平均值法.为了叙述上的方便,我们应用上述平均值的想法,对达朗贝扼公式作一点形式上的改动,应用类比的办法,给出三维波动方程式(3.3.1)—(3.3.3)解的表达式.21d )(2d )(2d )(21)]()([21),(u u at t at t t a at x at x t x u at x at x at x at x atx at x +=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂=+−++=∫∫∫+−+−+−ξξφξξϕξξφϕϕ 式中，积分∫+−atx atx G at t ξξd )(2是函数)(x G 在区间],[at x at x +−上的算术平均值,记作),(t x V ,即令),(,)],([21t x tV u t x tV tu =∂∂=由叠加原理知,21,u u 都是一维波动方程的解,由达朗贝尔公式知,1u 中的),(t x V 所含有的)(ξG 应当是)(ξϕ;2u 中的),(t x V 所含有的)(ξϕ应当是)(ξφ.依据这些分析,我们来构造三维波动方程的解.为了对比上的方便,我们列表给出相应结果. 区间：],[at x at x +− 区间中心：x 区间半径：at区间长度：at 2积分区间球面：22222)()()(t a z y x =−+−+−ξηξ球心：),,(z y x 球半径：at球的表面积：224t a π（积分区域）由前所述,21,u u 中)(ξG 的选择,我们得到了初值问题式(3.3.1)—式(3.3.3)的解为∫∫∫∫∫∫∫∫+∂∂=+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂=MatMatM atM at S S S S S at a S at t a S t a S t a t z y x u d 41d 41d ),,(41d ),,(41),,(22φπϕπςηξφπςηξϕπ (3.3.4)式(3.3.4)称为三维波动方程的泊松公式.以上所用的方法也叫平均值法.例2 求解定解问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂++=>+∞<<−∞⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=∂∂==0)0,,,(00222222222t t t u zy x u t z y x z u y u x u a t u 解 曲面积分22032202202220)()(4d cos sin d )(d sin d )cos (sin )(d sin d )()(d sin ))](cos ()sin sin ()cos sin [(d ),,(at z y x at at at z y x at at z at y at x S M atS πθθθϕθθϕϕϕθθϕθθθϕθϕθςηξϕππππππππ++=+++++=+++++=∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫由泊松公式，得zy x at z y x t a t S y t a tz y x u M at S ++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∂∂=+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂=∫∫322)()(4410d ),,(41),,(ππςξϕπ3.3.3 降维法对于二维波动方程初值问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=>+∞<<−∞⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂=∂∂==)6.3.3(),(),,()5.3.3()0,,(002222222y x t u y x u t y x y u x u a t u t t φϕ我们把定解问题式（3.3.5）—式(3.3.6)看成是三维波动方程初值问题的特例,故可用三维波动方程的泊松公式来表示二维波动方程初值问题的解,并据此推出二维波动方程初值问题解的表达方式.这种由高维问题的解引出低维问题解的方法,称为降维法. 由式(3.3.4)得定解问题式(3.3.5)—式(3.3.6)的解为∫∫∫∫+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂=Mat M at S S S t a S t a t t y x u d 41d 41),,(22φπϕπ (3.3.7) 这里的积分是在球面22222)()()(:t a z y x S Mat =−+−+−ςηξ上进行的第一类曲面积分,所以可以利用投影化为二重积分.由于φϕ,是与z 无关的函数,则φϕ,均可认为是关于z 的偶函数,因此上半球面和下半球面的积分值相等.球面Mat S 在平面上的投影∑Mat为2222)()(t a y x ≤−+−ηξ则σηξηξφπσηξηξϕπd )()()(),(21d )()()(),(21),,(222222∫∫∫∫∑−−−−+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−−−−∂∂=M atM at y x at a y x at t a t y x u S (3.3.8)该式称为二维波动方程初值问题的泊松公式.由于积分区域∑M at是以),(y x M 为中心,at 为半径的圆域,所以在积分时常利用极坐标来计算.例3 求定解问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=>+∞<<−∞∂∂+∂∂=∂∂==xy t u u t y x y uxu t u t t 2,0)0,,(00222222 解 由于 222)()(r y x =−+−ηξ 所以θηθξsin ,cos r y r x +=+=则二维波动方程初值问题的泊松公式变为xytr r rt r y r x r r r t r y r x t r r r t r y r x t t y x u t M at M at 2d d )sin )(cos (221d d )sin ,cos (21d d )sin ,cos (21),,(200222222=−+++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∑−++∂∂+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∑−++∂∂=∫∫∫∫∫∫θθθπθθθφπθθθϕππ3.4 积分变换本节我们讨论如何用两种最常用的积分变换,即傅立叶变换和拉普拉斯变换来求解数学物理方程中的定解问题.这种方法,给出了一种用固定的步骤去求解相当广泛的定解问题的技巧,并训练了分析问题的能力,其优点在于把原方程化为相对简单的方程,便于求解.在求解常微分方程时,我们利用积分变换消去了对自变量求导的运算,将常微分方程化成了关于像函数的代数方程,这种方法也常用在偏微分方程的求解上.对于含有两个自变量的偏微分方程,在方程两侧对其中一个自变量取积分变换,则可消去未知函数对该自变量求偏导的运算,得到了像函数关于另一个自变量的常微分方程,这极大的降低了解题的难度.推而广之,对一般的偏微分方程,应用一次积分变换,偏导数的个数会减少一个,从而得到一个关于像函数的较为简单的微分方程.在实际应用中,对于初值问题通常采用傅立叶变换(针对空间变量进行变换),而对于带有边界条件的定解问题,则大多采用拉普拉斯变换(针对时间变量进行变换).下面我们通过几个例题,说明利用积分变换法求解定解问题的一般步骤. 例4 无界杆上的热传导问题设有一根无限长的杆,杆上有强度为),(t x F 的热源,杆的初始温度为)(x ϕ,试求0>t 时杆上的温度的分布规律.解 这个问题可归结为求解下述定解问题⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<−∞=>+∞<<−∞+∂∂=∂∂=)2.4.3()()()1.4.3()0,(),(0222x x ut x t x f x u a t u t ϕ式中),(1),(t x F ct x f ρ=. 由于式(3.4.1)是非齐次的,且求解的区域是无界的,因此我们采用傅立叶变换来求解.用记号),(),,(t G t U ϖϖ分别表示函数),(),,(t x f t x u 关于变量x 作傅立叶变换后得到的像函数,即∫+∞∞−−==t e t x u t x u F t U t i d ),()],([),(ϖϖ∫+∞∞−−==t e t x f t x f F t G t i d ),()],([),(ϖϖ对式(3.4.1)两端取关于x 的傅立叶变换,由傅立叶变换的微分性质,得到),(),(d ),(d 22t G t U a tt U ϖϖϖϖ+−= (3.4.3) 这是一个含参量ϖ的常微分方程.为了导出式(3.4.3)定解的条件,我们对初始条件式(3.4.2)的两端取傅立叶变换,并且以)(ϖΦ表示)(x ϕ作傅立叶变换后得到的像函数,则有)(),(0ωωΦ==t t U (3.4.4)式(3.4.3)是函数U 关于自变量t 的一阶线性常微分方程,它满足初始条件式(3.4.4)的解为ττωωωτωωd ),()(),()(02222−−−∫+Φ=t a tt a e G e t U (3.4.5)为了求出原定解问题式(3.4.1)—式(3.4.2)的解),(t x u 还需要对),(t U ω取傅立叶逆变换,由傅立叶变换表可查得ta x ta eta eF 22224121][−−−=πω根据傅立叶变换的卷积性质,有∫∫∫∞+∞−−−−∞+∞−−−−−+==ξττξτπξξϕπτξξd ),(d 21d )(21)],([),()(4)(04)(12222t a x t ta x et f a et a t x U F t x u (3.4.6)这就是原定解问题的解.例5 试用傅立叶变换解定解问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=>+∞<<−∞∂∂=∂∂==)8.4.3()(,)()7.4.3()0,(0022222x t u x u t x x u a t u t t φϕ解 用)(),(),,(ωψωωΦt U 分别表示函数)(),(),,(x x t x U φϕ关于变量x 的傅立叶变换,则得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧Φ=∂∂Φ==+==)10.4.3()(),()9.4.3(0),(d ),(d 002222ωωωωωt t t U U t U a t t U式(3.4.9)是常系数二阶线性常微分方程,它满足初始条件式(3.4.10)的解,为t a a t a t U ωωωψωωωsin )(cos )()(+Φ=， (3.4.11) 为了求出原定解问题的解),(t x u ,还需对),(t U ω取傅立叶逆变换,由傅立叶变换表可查得)]()([21][sin )]()([21][cos 11at x at x it a F at x at x t a F −++=−++=−−δδωδδω根据傅立叶变换的卷积性质,有∫+−−+−++==atx at x aat x at x t x U F t x U ξξφϕϕd )(21)]()([21)],([),(1 这就是我们在本章开始时,推得的一维波动方程的表达式,即达朗贝尔公式.例6 试用积分变换求解定解问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==>=∂∂+∂∂+∞→=)14.4.3(0),(lim )13.4.3()()12.4.3()0(002222y x u x g u y y uxu y y 解 用)(),,(ωG y x U 分别表示函数)(),,(x g y x u 关于变量x 的傅立叶变换。