2019届高考数学一轮复习第二章函数第三节函数的奇偶性与周期性课件文.pptx

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高考数学一轮复习第二章函数2.3函数的奇偶性与周期性教学案理

2.3 函数的奇偶性与周期性

考纲要求

1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．

2．会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性．

3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性． 1．函数的奇偶性

奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有________，那么函数f (x )是偶函数

关于____对称奇函数如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有________，那么函数f (x )是奇函数关于______对称

2．周期性

(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝______，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中____________的正数，那么这个____正数就叫做f (x )的最小正周期．

3．对称性

若函数f (x )满足f (a －x )＝f (a ＋x )或f (x )＝f (2a －x )，则函数f (x )关于直线__________对称．

1．函数f (x )＝1x

－x 的图象关于( )． A ．y 轴对称 B ．直线y ＝－x 对称

C ．坐标原点对称

D ．直线y ＝x 对称

2．若函数f (x )＝x 2x ＋1x －a

为奇函数，则a ＝( )．

A.12

B.23

C.34

D ．1 3．函数f (x )＝(m －1)x 2＋2mx ＋3为偶函数，则f (x )在区间(－

高考复习第二单元3函数的奇偶性与周期性

＋…＋f(2 012)＝f(1)＋f(2)＋335×1＝1＋2＋335＝338，故选B. 答案 B
抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考
4．(2012· 浙江)设函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数，当 x∈[0,1]时，f(x)＝x＋1，则 f
解析当 x∈[－1,0]时，－x∈[0,1]，又 f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(－x)＝1－x. ∵f(x)在 R 上的周期为 2， ∴f
抓住3个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
【一个规律、两个性质、三个结论】
一条规律奇、偶函数的定义域关于原点对称．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．两个性质
(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.
(2)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有
f(－x)＝f(x) ，那么函数f(x)就叫做偶函数． ____________
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有
f(－x)＝－f(x) ，那么函数f(x)就叫做奇函数． ______________
奇函数的图象关于原点 _____对称；偶函数的图象关于_____ y轴对称．

高考数学 2-4函数的奇偶性与周期性课件理新人教B版

论错误的是(
) B．D(x)是偶函数 D．D(x)不是单调函数
A．D(x)的值域为{0,1} C．D(x)不是周期函数
解析：利用函数的单调性、奇偶性、周期性定义判断．
由已知条件可知，D(x)的值域是{0,1}，选项A正确；当x是有理数时，－x也是有理数，且D(－x)＝1，D(x)＝1，故D(－x)＝D(x)，当x
[解析] 当 x∈Q 时，－x∈Q， ∴f(－x)＝f(x)＝1；当 x∈∁RQ 时，－x∈∁RQ， ∴f(－x)＝f(x)＝－1.综上有，对任意 x∈R，都有 f(－x)＝f(x)，故函数 f(x)为偶函数． e－x－1 1－ex ex－1 ∵g(－x)＝－x ＝＝－＝－g(x)， e ＋1 1＋ex 1＋ex ∴函数 g(x)为奇函数． ∴h(－x)＝f(－x)· g(－x)＝f(x)· [－g(x)] ＝－f(x)g(x)＝－h(x)，
D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数
解析：由f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)，可知f(x)为偶函数，由g(－x)＝3
－x－3x＝－(3x－3－x)＝－g(x)可知g(x)为奇函数．
答案：B
4．(课本习题改编)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函
数，那么a＋b＝________.
D．f(3)<f(1)<f(－2)
解析：已知条件等价于函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，由于函数 f(x)是偶函数，故f(1)<f(－2)<f(3)．答案：B

2024届新高考一轮复习人教B版主题二第二章第3节函数的奇偶性与周期性课件(38张)

设函数y=f(x),x∈R,a>0.
(1)若f(x+a)=f(x-a),则函数的一个周期为2a.
(2)若f(x+a)=-f(x),则函数的一个周期为2a.
(3)若 f(x+a)=

()
(4)若 f(x+a)=-
,则函数的一个周期为 2a.

()
,则函数的一个周期为 2a.
3.对称性的四个常用结论
第3节
函数的奇偶性与周期性
[课程标准要求]
1.结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义.
2.结合函数的周期性、最小正周期的含义,判断应用函数的周期性.
1.函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果
∀x∈D,都有-x∈D,且 f(-x)=f(x) ,则称
关于 y轴对称
对每一个x∈D,都有x+T∈D,且 f(x+T)=f(x) ,那么函数f(x)就叫做周期函数,
称非零常数T为这个函数的周期.
(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么
这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
1.奇偶性的四个重要结论
(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0.

高考数学一轮复习-函数的奇偶性和周期性03课件

2 x 2 x, x ≥ 0, 故f ( x ) 2 x 2 x , x 0.
o
x
已知 f(x) 是定义在R上的奇函数,当x＞0 时, f(x)=x2+x-1, 求函数f(x)的表达式．
y
x x 1, x 0, f ( x ) 0, x 0, 2 x x 1, x 0.
1 x 2. 为__________. 2
f (| log4 x |) f ( 1 ), 2 1 1 log4 x , 2 2
1 | log4 x | , 2
1 2
log4 4
log4 x log4 4 ,
1 2
【1】
①③
f ( x ),
例2.定义在[-1,1]上的函数f(x) 是奇函数,并且在[1,1] 上f(x)是增函数,求满足条件f(1-a)+f(1-a2)≤0 的 a 的取值范围. 2 2 f (1 a ) ≤ f (1 a ). 解:由f(1-a)+f(1-a )≤0, 得 ∵ f (x)是奇函数, f (1 a 2 ) ≤ f (a 1). ∵f(x)在[-1,1]上是增函数,
1 ≤ 1 a 2 ≤ 1, 1 ≤ a 1 ≤ 1, 1 a 2 ≤ a 1.
0 ≤ a 2 ≤ 2, 0 ≤ a ≤ 2, ( a 2)( a 1) ≥ 0,

高考数学一轮复习-2-3函数的奇偶性与周期性课件-理

(2)当且仅当11＋－xx≥0 时函数有意义， ∴－1≤x＜1，由于定义域关于原点不对称，∴函数 f(x)是非奇非偶函数． (3)函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，当 x＞0 时，－x＜0，f(－x)＝x2－2x－1＝－f(x)，当 x＜0 时，－x＞0，f(－x)＝－x2－2x＋1＝－f(x)． ∴f(－x)＝－f(x)，即函数是奇函数．
基础诊断
考点突破
课堂总结
考点二函数周期性的应用【例 2】(1)(2014·安徽卷)若函数 f(x)(x∈R)是周期为 4 的奇函
数，且在[0,2]上的解析式为 f(x)＝xsin1－πxx，，1＜0≤x≤x≤2，1，则 f 249＋f 461＝________. (2)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(x＋2)＝－f(x)，当 2≤x≤3 时，f(x)＝x，则 f(105.5)＝________.
值时，都有f(x＋T)＝，那么就称函数y＝f(x)
为周期函数，称T为这个函数的周期．存在一
• 个最(2小)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有
周期中
.
•
的正数，那么这个最小正数就
来自百度文库
叫做f(x)的最小正
• 周期．
基础诊断
考点突破
课堂总结
• 诊断自测
• 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

高考数学一轮复习第二章函数3函数的奇偶性与周期性课件新人教A版2

- + , > 0.
思考判断函数的奇偶性要注意什么?
-12考点1
考点2
考点3
考点4
解 (1)函数f(x)的定义域为R,关于原点对称.
又f(-x)=(-x)3-(-x)=-x3+x=-(x3-x)=-f(x),故函数f(x)为奇函数.
1-
(2)由1+≥0
可得函数的定义域为(-1,1].
因为函数定义域不关于原点对称,所以函数为非奇非偶函数.
(2)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,
则下列结论正确的是(
)
A.f(x)g(x)是偶函数
B.|f(x)|g(x)是奇函数
C.f(x)|g(x)|是奇函数
D.|f(x)g(x)|是奇函数
关闭
由题意,知f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),
对于A选项,f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),
义域上,有下面结论:
f(x)
偶函数
偶函数
奇函数
奇函数
g(x)
偶函数
奇函数
偶函数
奇函数
f(x)+g(x)
偶函数
不能确定
不能确定
奇函数
f(x)-g(x)
偶函数
不能确定
不能确定
奇函数
f(x)g(x)

届数学一轮复习第二章函数概念及基本初等函数Ⅰ第3节函数的奇偶性与周期性教学案含解析

第3节函数的奇偶性与周期性

考试要求1。结合具体函数,了解函数奇偶性的含义;2。会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.

知识梳理

1。函数的奇偶性

奇偶性定义

图象特

点

偶函数如果对于函数f（x)的定义域内任意

一个x,都有f（－x)＝f（x），那么函

数f(x）是偶函数

关于y轴

对称

奇函数如果对于函数f(x）的定义域内任意

一个x，都有f(－x）＝－f(x)，那么

函数f(x)是奇函数

关于原

点对称

2。函数的周期性

（1）周期函数：对于函数y＝f(x),如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x＋T)＝f(x），那么就称函数y＝f（x)为周期函数,称T为这个函数的周期。

（2)最小正周期：如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期。

[常用结论与微点提醒]

1。(1)如果一个奇函数f(x）在原点处有定义，即f（0）有意义，那么一定有f（0)＝0.

(2）如果函数f（x）是偶函数，那么f(x)＝f（|x|).

2。奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性.

3。函数周期性常用结论

对f（x）定义域内任一自变量的值x：

(1)若f（x＋a)＝－f（x），则T＝2a（a>0）.

(2)若f（x＋a)＝错误!，则T＝2a（a>0)。

（3)若f（x＋a)＝－错误!，则T＝2a（a〉0）.

(4)若f(x＋a）＋f(x）＝c,则T＝2a(a〉0，c为常数).

高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第3讲函数的奇偶性与周期性课件

【变式训练 1】判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝ x2－1＋ 1－x2； (2)f(x)＝|x＋43－|－x23. 解 (1)定义域为{x|x＝±1}，化简得 f(x)＝0，故 f(x)既是奇函数又是偶函数． (2)∵－2≤x≤2 且 x≠0，∴f(x)＝ 4－x x2，又 f(－x)＝－ f(x)，∴f(x)为奇函数．
触类旁通判断函数奇偶性的必备条件
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域．
(2)判断 f(x)与 f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式 f(x)＋ f(－x)＝0(奇函数)或 f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立．
4．[课本改编]若函数 f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b 是偶函数，
1 定义域为[a－1,2a]，则 a＝___3_____，b＝____0____.
解析因为偶函数的定义域关于原点对称，所以 a－1 ＝－2a，解得 a＝13.
又函数 f(x)＝13x2＋bx＋b＋1 为偶函数，所以二次函数的对称轴－2ba＝0，易得 b＝0.
5．[2016·四川高考]若函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，当 0<x<1 时，f(x)＝4x，则 f－52＋f(2)＝__－__2____.
解析 ∵f(x)是定义在 R 上的奇函数， ∴f(0)＝0，又∵f(x)的周期为 2，∴f(2)＝0，又∵f－52＝f－12＝－f12＝－412＝－2， ∴f－52＋f(2)＝－2.

高考数学(文)一轮复习名师公开课省级获奖课件：第2章-第3节函数的奇偶性与周期性(人教A版)

2
1 1 2 当 x＞0 时，f(x)＝x ＋x，∴f(1)＝1 ＋＝2. 1 ∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2.
【答案】
D
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数学·新课标(文科)山东专用
6．(2013· 北京高考)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋ ∞)上单调递减的是( 1 A．y＝ x C．y＝－x2＋1 ) B．y＝e
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【答案】 (1)－1 或 0＜x＜2}
2 x －2x，x≥0， (2)f(x)＝ 2 x ＋2x，x＜0
(3){x|x＜－2
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规律方法 2 1已知函数的奇偶性求函数的解析式，常利用奇偶性构造关于 fx的方程，从而可得 fx的解析式. 2已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数，常常采用待定系数法：利用 fx± f－x＝0 产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值. 3 奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.
【答案】
B
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2．下列函数为偶函数的是( A．y＝sin x C．y＝ex
) B．y＝x3 D．y＝ln x2＋1
【解析】
由函数奇偶性的定义知A、B项为奇函数，C项

高考数学一轮复习 2.3函数的奇偶性与周期性教案-人教版高三全册数学教案

第三节函数的奇偶性与周期性教学目标：

知识与技能：了解函数奇偶性的含义与函数的周期性，会运用函数的图象理解和研究的奇偶性

过程与方法：利用图象的单调性研究函数奇偶性质

情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验数形结合思想，感受图形的对称性及周期性

教学重点：函数的奇偶性质及图象的对称性

教学难点：利用函数的奇偶性及周期性研究函数

教具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1.奇函数、偶函数的定义

对于函数f(x)的定义域内的任意一个x.

(1)f(x)为偶函数⇔f(-x)=f(x)

(2)f(x)为奇函数⇔f(-x)=-f(x)

2.奇偶函数的性质

(1)图象特征：

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称.

(2)定义域的特征：

奇偶函数的定义域关于原点对称，这是判断奇偶性的前提.

3)对称区间上的单调性：

奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性；

偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性.

(4)奇函数图象与原点的关系:

如果奇函数f(x)在原点有意义，则f(0)=0

3.周期性

(1)周期函数：T 为函数f(x)的一个周期，则需满足的条件：

①T ≠0;

②f(x+T)=f(x)对定义域内的任意x 都成立.

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期．

(3)周期不唯一：若T 是函数y=f(x)的一个周期，则nT(n ∈Z,且n ≠0)也是f(x)的周期.

二例题讲解

【典例1】判断下列各函数的奇偶性.

(1)f(x)= (2)f(x)=

高考数学复习考点知识讲解课件8 函数的奇偶性、对称性与周期性

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4．(2022·山东济南二模)设 f(x)为偶函数，当 x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x－1，则使 f(x)>0 的 x 的取值范围是( C )
A．{x|x>1} B．{x|－1<x<0} C．{x|x<－1 或 x>1} D．{x|－1<x<0 或 x>1}
一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果奇函数 ∀x∈I，都有－x∈I，且_f_(－__x_)_＝__－__f_(x_)__，关于___原__点_____对称
那么函数 f(x)就叫做奇函数
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2.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有__f(_x_＋__T_)_＝__f(_x_)__，那么就称函数 y＝f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期．
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3．(2021·全国甲卷)设 f(x)是定义域为 R 的奇函数，且 f(1＋x)＝f(－x)．若 f－13＝13，则 f53＝( C )
A．－53 B．－13 C．13 D．53
[解析] 13.故选 C．

新高考2023版高考数学一轮总复习第2章第3讲函数的奇偶性与周期性课件

题组一走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．
(× )
(2)若函数f(x)是奇函数，则必有f(0)＝0.
(× )
(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对
称．
(√ )
(4)若函数 y＝f(x＋b)是奇函数，则函数 y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心
又当x∈(2，4]时，x－4∈(－2，0]， ∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．又f(x)是周期为4的周期函数， ∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8. 即当x∈(2，4]时，f(x)＝x2－6x＋8.
(3)函数的定义域x∈(－∞，＋∞)，关于原点对称． ∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－ f(x)， ∴f(x)＝|x＋1|－|x－1|是奇函数． (4)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x>0时，f(x)＝x2＋x，则当x<0时，－x>0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)；当x<0时，f(x)＝x2－x，则当x>0时，－x<0，故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数．
判断函数的奇偶性的方法 (1)定义法：若函数的定义域不是关于原点对称的区间，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的区间，再判断f(－x)是否等于f(x)或－f(x)，据此得出结论． (2)图象法：奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(或y轴)对称．

2019-2020年高考数学大一轮复习第二章基本初等函数导数的应用4第4讲函数的奇偶性与周期性课件文

1＋x≠0，因为 f(x)的定义域(－1，1]不关于原点对称．所以 f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
(3)因为函数 f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，并且当 x＜0 时，－x＞0，所以 f(－x)＝－(－x)2＋(－x)＝－(x2＋x)＝－f(x)(x＜0)．当 x＞0 时，－x＜0，所以 f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝－(－x2＋x)＝－f(x)(x＞0)．故函数 f(x)为奇函数．
1．函数 f(x)＝mx2＋(2m－1)x＋1 是偶函数，则实数 m＝ ________. 解析：由 f(－x)＝f(x)，知 m＝12. 答案：12
2．对于定义在 R 上的函数 f(x)，给出下列说法： ①若 f(x)是偶函数，则 f(－2)＝f(2)； ②若 f(－2)＝f(2)，则函数 f(x)是偶函数； ③若 f(－2)≠f(2)，则函数 f(x)不是偶函数； ④若 f(－2)＝f(2)，则函数 f(x)不是奇函数．其中，正确的说法是________．(填序号)
第二章基本初等函数、导数的应用
第 4 讲函数的奇偶性与周期性
1．函数的奇偶性如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(－x)＝f(x)，那么函数 f(x)是偶函数．图象关于 y 轴对称；如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个 x，都有 f(－x)＝－f(x)，那么函数 f(x)是奇函数，图象关于原点对称．

高考数学一轮复习函数的奇偶性对称性与周期性课件

x∈[-1,1)时,f(x)=
4x
2
2,
1
x
0,
则f
(3) =________.
x,0 x 1
2
【解析】f ( 3) =f ( 1 ) =-4× ( 1 )2+2=1.
2
2
2
答案:1
4.(必修1 P53习题2-1AT9改编)已知定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=log2x-3x, 则f(-1)=______. 【解析】因为f(1)=log21-3=-3,又f(x)为定义在R上的奇函数,所以 f(-1)=-f(1)=3. 答案:3
解题新思维活用奇函数最值性质,抽象函数的对称性解题【结论】 1.奇函数的最值性质已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数,则对任意的x∈D,都有f(x)+f(-x)=0. 特别地,若奇函数f(x)在D上有最值,则f(x)max+f(x)min=0,且若0∈D,则f(0)=0.
2.抽象函数的对称性
已知函数f(x)是定义在R上的函数. (1)若f(a+x)=f(b-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x= a＋b对称,特别地,若
2
f(a+x)=f(a-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
(2)若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(a-x)=0,即f(x)=-f(2a-x),则f(x)的图象关于

金版教程高三数学(文)一轮总复习名师公开课省级获奖课件：2-3函数的奇偶性与周期性(人教A版)

答案：B
第二章
第 3讲
第24页
金版教程 · 高三一轮总复习 · 新课标 ·数学（文）
抓住2个必备考点突破3个热点考向破译5类高考密码迎战2年高考模拟限时规范特训
2．[2012· 上海高考]已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1.若 g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________.
第二章
第 3讲
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解析：设h(x)＝f(x)＋x2为奇函数，则h(－x)＝f(－x)＋x2， ∴h(－x)＝－h(x)，∴f(－x)＋x2＝－f(x)－x2， ∴f(－1)＋1＝－f(1)－1，∴f(－1)＝－3， ∴g(－1)＝f(－1)＋2＝－1.
第二章第 3讲
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抓住2个必备考点突破3个热点考向破译5类高考密码迎战2年高考模拟限时规范特训
3个必记结论——关于函数周期性常用的结论 (1)若满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝ f(x)，所以2a是函数的一个周期(a≠0)； 1 1 (2)若满足f(x＋a)＝，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝＝ fx fx＋a f(x)，所以2a是函数的一个周期(a≠0)； 1 (3)若函数满足f(x＋a)＝－，同理由递推法可得2a是函数的一 fx 个周期(a≠0).