微分方程数值解法第二章

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二阶阶微分方程的解法及应用课件

分方程转化为关于参数的常微分方程，从而求解。
参数法是一种求解二阶微分方程的方法，通过引入参数，将微分方程转化为关于参数的常微分方程。这种方法适用于具有特定形式的一阶和二阶微分方程，特别是当微分方程的解与某个参数有关时。通过求解关于参数的常微分方程，我们可以找到微分方程的解
二阶阶微分方程的解法及应用课件
目录
• 二阶阶微分方程的基本概念 • 二阶阶微分方程的解法 • 二阶阶微分方程的应用 • 二阶阶微分方程的数值解法 • 二阶阶微分方程的边界值问题
01 二阶阶微分方程的基本概念
二阶阶微分方程的定义
二阶阶微分方程是包含两个未知函数和它们的二阶导数的方程。
二阶阶微分方程的一般形式为 F(x, y, y', y''...) = 0，其中 F 是一个给定的函数，x 和 y 是未知函数及其导数。
供需模型
01
二阶微分方程可以用来描述商品价格随时间和供需关系的变化
。
投资回报
02
在金融领域，二阶微分方程可以用来预测股票价格的变化和投
资回报。
经济增长
03
在研究经济增长时，二阶微分方程可以用来描述人均收入随时
间的变化。
在工程中的应用
控制系统
在自动化和控制工程中，二阶微分方程被用来描述系统的动态响应和稳定性。
一维边界值问题
一维边界值问题是指求解一个关于一个自变量的二阶微分方程，同时给出该自变量在两个特定点的取值条件。
一维边界值问题通常用于描述一个物理系统在一维空间中的行为，例如弦的振动、波的传播等。解决这类问题通常需要使用打靶法、有限差分法等数值方法。
多维边界值问题
多维边界值问题是指求解一个关于多个自变量的二阶微分方程组，同时给出这些自变量在多维空间中的边界条件。

数值分析常微分方程数值解法

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➢ 数值积分方法(Euler公式)
设将方程 y=f (x, y)的两端从 xn 到xn+1 求积分, 得
y( xn1) y( xn )
xn1 f ( x, y( x))dx :
xn
xn1 F ( x)dx
xn
用不同的数值积分方法近似上式右端积分, 可以得到计算 y(xn+1)的不同的差分格式.
h2 2
y''( )
Rn1
:
y( xn1)
yn1
h2 2
y''( )
h2 2
y''( xn ) O(h3 ).
局部截断误差主项
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➢ 向后Euler法的局部截断误差
向后Euler法的计算公式
yn1 yn hf ( xn1, yn1 ), n 0, 1, 2,
定义其局部截断误差为
y 计算的n递1 推公式，此类计算格式统称为差分格式.
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数值求解一阶常微分方程初值问题
y' f ( x, y), a x b,
y(a)
y0
难点: 如何离散 y ?
➢ 常见离散方法
差商近似导数数值积分方法 Taylor展开方法
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➢ 差商近似导数(Euler公式)
(0 x 1)
y(0) 1.
解计算公式为
yn1
yn
hfn
yn
h( yn
2xn ), yn
y0 1.0
n 0, 1, 2,
取步长h=0.1, 计算结果见下表
13

微分方程和偏微分方程的数值解法

期权定价模型
描述金融衍生品的定价过程，如布莱克-舒尔斯模型就是一个偏微分方程。通过求解该方程，可以得到期权的理论价格以及相应的风险参数。
投资组合优化
在投资组合理论中，常使用微分方程来描述资产价格的动态变化和投资者的风险偏好。通过求解这些方程，可以得到最优的投资组合配置策略以实现风险与收益的平衡。
数值解法需要保证稳定性和收敛性，即当离散间隔趋近于零时，数值解应趋近于真实解。
02
常微分方程的数值解法
欧拉方法
基本思想
通过逐步逼近的方式，利用已知点的信息来推测下一个点的信息。
公式推导
基于泰勒级数展开，忽略高阶项得到近似公式。
优缺点
简单易懂，但精度较低，仅适用于简单问题。
改进方法
采用改进的欧拉方法或预估-校正法提高精度。
物理问题中的微分方程和偏微分方程
牛顿第二定律
描述物体运动的基本定律，可以表示为二阶常微分方程。通过求解该方程，可以得到物体的位移、速度和加速度等运动学量。
热传导方程
描述热量在物体内部传递的过程，是一个偏微分方程。通过求解该方程，可以得到物体内部的温度分布以及热量的传递速率。
波动方程
描述波动现象（如声波、光波等）的传播过程，是一个二阶偏微分方程。通过求解该方程，可以得到波的传播速度、振幅、频率等波动特性。
工程问题中的微分方程和偏微分方程
结构力学中的弹性力学方程
描述结构在受力作用下的变形和应力分布，是一个偏微分方程。通过求解该方程，可以得到结构的位移、应力和应变等力学量，为工程设计提供重要依据。
流体力学中的纳维-斯托克斯方程
描述流体运动的基本方程，是一个偏微分方程。通过求解该方程，可以得到流体的速度、压力和温度等流场特性，为流体机械设计和优化提供指导。

偏微分方程数值解法

偏微分方程数值解法偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDE）是数学中重要的研究对象，其在物理学、工程学、经济学等领域有广泛的应用。

然而，对于大多数偏微分方程而言，很难通过解析方法得到精确解，因此需要借助数值解法来求解。

本文将介绍几种常见的偏微分方程数值解法。

一、有限差分法（Finite Difference Method）有限差分法是一种常见且直观的偏微分方程数值解法。

其基本思想是将偏微分方程中的导数通过差分近似来表示，然后通过离散化的方式转化为代数方程组进行求解。

对于一维偏微分方程，可以通过将空间坐标离散化成一系列有限的格点，并使用中心差分格式来近似原方程中的导数项。

然后，将时间坐标离散化，利用差分格式逐步计算每个时间步的解。

最后，通过迭代计算所有时间步，可以得到整个时间域上的解。

对于二维或高维的偏微分方程，可以将空间坐标进行多重离散化，利用多维的中心差分格式进行近似，然后通过迭代计算得到整个空间域上的解。

二、有限元法（Finite Element Method）有限元法是另一种重要的偏微分方程数值解法。

其基本思想是将求解区域分割成有限数量的子区域（单元），然后通过求解子区域上的局部问题来逼近整个求解区域上的解。

在有限元法中，首先选择适当的形状函数，在每个单元上构建近似函数空间。

然后，通过构建变分问题，将原偏微分方程转化为一系列代数方程。

最后，通过求解这些代数方程，可以得到整个求解区域上的解。

有限元法适用于各种复杂的边界条件和几何构型，因此在实际工程问题中被广泛应用。

三、谱方法（Spectral Methods）谱方法是一种基于特定基函数（如切比雪夫多项式、勒让德多项式等）展开解的偏微分方程数值解法。

与有限差分法和有限元法不同，谱方法在整个求解区域上都具有高精度和快速收敛的特性。

在谱方法中，通过选择适当的基函数，并利用其正交性质，可以将解在整个求解区域上展开为基函数系数的线性组合。

常微分方程数值解法2线性多步法

对于线性多步法，其收敛性取决于微分方程的解的性质和方法的阶数。一般来说，高阶方法具有更好的收敛性。
03
常见的线性多步法
欧拉方法
总结词
欧拉方法是常微分方程数值解法中最简单的一种方法，它基于线性近似，通过已知的函数值来估计新的函数值。
详细描述
欧拉方法的基本思想是利用已知的函数值来估计下一个点的函数值。具体来说，假设我们有一个函数 (y = f(x))，在已知 (x_0) 处的函数值 (y_0 = f(x_0)) 的情况下，欧拉方法通过线性插值来估计 (x_1) 处的函数值 (y_1)，即 (y_1 = y_0 + h f(x_0))，其中 (h) 是
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线性多步法的优缺点
优点
稳定性好
线性多步法在处理常微分方程时具有较好的数值稳定性，能够有效地抑制数值振荡，提高计算结果的精度。
01
易于实现
线性多步法的计算过程相对简单，易于编程实现，适合于大规模数值计算。
02
03
精度可调
通过选择不同的步长和线性多步法公式，可以灵活地调整计算结果的精度，满足不同的数值模拟需求。
改进方法的收敛性
研究收敛性条件
深入研究线性多步法的收敛性条件，了解哪些情况下方法可能不收敛，并寻找改进措施。
优化迭代算法
通过优化迭代算法，提高方法的收敛速度和精度，减少迭代次数，提高计算效率。
引入预处理技术
利用预处理技术对线性系统进行预处理，改善系统的条件数，提高方法的收敛性。
拓展应用领域
在工程问题中的应用
控制系统设计
在工程领域中，线性多步法可以用于控制系统设计，通过建立控制系统的数学模型，设计控制算法和控制器，实现系统的稳定性和性能优化。

微分方程数值解

微分方程数值解及其应用绪论自然界中的许多事物的运动和变化规律都可以用微分方程来描述，因此对工程和科学技术中的实际问题的研究中,常常需要求解微分方程．但往往只有少数较简单和典型的微分方程可求出其解析解，在大多数情况下, 只能用近似法求解，数值解法是一类重要的近似方法．本文主要讨论一阶常微分方程的初值问题的数值解法，探讨这些算法在处理来自生活实际问题中的应用，并结合MATLAB软件，动手编程予以解决．１微分方程的初值问题[1]1.1 预备知识在对生活实际问题的研究中，通常需要考虑一阶微分方程的初值问题dyf ( x, y)dxy( x0 )y0〔1〕这里 f x, y 是矩形区域 R ： x x0a, y y0 b 上的连续函数．对初值问题〔 1〕需要考虑以下问题：方程是否一定有解呢?假设有解，有多少个解呢?下面给出相关的概念与定理．定义 1Lipschitz 条件[1][ 2]：矩形区域 R ： x x0a, y y0 b 上的连续函数f x, y 假设满足：存在常数 L0 ，使得不等式 f x, y1 f x, y2L y1 y 2对所有x, y1 , x, y2R 都成立，那么称f x, y在 R 上关于 y 满足Lipschitz条件 .定理 1解的存在唯一性定理[1] [3]：设 f 在区域 D x, y a x b, y R 上连续，关于 y 满足Lipschitz条件，那么对任意的 x0a, b , y0R ，常微分方程初值问题〔1〕当 x a, b 时存在唯一的连续解 y x ．该定理保证假设一个函数f x, y 关于 y 满足Lipschitz条件，它所对应的微分方程的初值问题就有唯一解 . 在解的存在唯一性得到保证的前提下，自然要考虑方程的求解问题．求解微分方程虽然有多种解析方法，但根据工程和科学实践问题所得到的微分方程往往很复杂，在很多情况下不能或很难给出解析解，有时即使能求出形式解，也往往因形式过于复杂或计算量太大而不实用，因此从实际问题中归结出来的微分方程主要依靠数值解法．定义2微分方程数值解：对初值问题〔1〕寻求数值解就是寻求解y x 在一系列离散节点上的近似解y 0 , y 1, y 2 ,, y n , y n 1,，相邻两个节点的间距h n x n 1x n称为步长 . 在一般情况下假定h ih i0,1,为常数，这时节点为x nx 0nh, n0,1,2,．要求微分方程数值解，首先要建立数值算法，即对初值问题〔 1〕中的方程离散化，建立求解数值解法的递推公式．一类是计算 y n 1 时只用到前一点的值 y n ，称为单步法；另一类是用到 y n 1 前面 k 点的值 y n , y n 1, , y n k 1 称为 k 步法 .对初值问题〔 1〕式的单步法可用一般形式表示为yn 1y n h (x n , y n , y n 1 , h) ，其中多元函数与 f x, y 有关，当含有 y n 1 时，方法是隐式的；假设中不含 y n 1 ，那么为显式方法，所以显式单步法可表示为yn 1y n h (x n , y n ,h).〔2〕设 y x 是初值问题〔 1〕的准确解，称 T n 1 y x n 1 y x n h( x n , y x n , h) 为显式单步法〔 2〕的局部截断误差 . 假设存在最大正整数 p , 使显式单步法〔 2〕式的局部截断误差满足 T n 1 y x h y xhx, y, h O h p 1 ，那么称〔 2〕式有 p 阶精度 .1.2 几种常用的数值解法及其分析、比拟1.2.1 欧拉法与后退欧拉法1〕欧拉法：欧拉曾简单地用差分代替微分，即利用公式将初值问题〔 1〕离散化，那么问题〔 1〕可化为y n 1 y n h f (x n , y n ), x n x 0 n h ，〔3〕此方法称为欧拉法 .欧拉方法的几何意义在数值计算公式中表达了出来. 在 xy 平面上，一阶微分方程的解y y x 称作它的积分曲线 . 积分曲线上一点x, y 的切线斜率等于函数f x, y ，按函数 f x, y 在 xy 平面上建立一个方向场，那么，积分曲线上每一点的切线方向均与方向场在该点的方向相一致.基于上述几何解释，从初始点 P0 ( x0 , y0 ) 出发，先依方向场在该点的方向上推进到x x1上一点 P1，再从 P1依方向场的方向推进到 x x2上一点 P2，循环前进便作出一条折线 P PP，因此欧拉方法又称为折线法. 假设初值y，那么由〔 3〕式可逐步算0 1 20出为了分析计算公式的精确度，通常可用泰勒展开将y x1在 x n处展开，那么有ny x n 1 y x n h y x nh2y''n,n x n , x n 1 . y x n h2在 y n y x n的前提下， f x n , y n f x n , y x n y x n . 可得欧拉法〔 3〕的误差为容易看出，欧拉法〔 3〕式具有一阶精度 .2〕向后欧拉方法：如果对微分方程〔1〕从x n到x n 1积分，得y x n 1xn 1〔4〕y x n f t , y t dx ，x n如果〔 4〕式右端积分用右矩形公式h f x n 1 , y x n 1近似，那么得到另一个公式yn 1y n hf x n 1 , y n 1，〔5〕称为后退欧拉法 .值得一提的是 : 后退欧拉法与欧拉公式有着本质的区别，后者是关于y n 1的直接计算公式，它是显式的，而〔5〕式的右端含有关于y n 1的表达式，它是隐式的.在利用后退欧拉法时，我们通常利用迭代法求解，实质就是逐步显示化. 具体迭代过程如下：首先利用欧拉公式 y n (0)1 y n h f ( x n , y n ) 给出迭代初值 y n (0)1 ，把它代入〔 5〕式的y(1)y n h f ( x n 1, y (0)右端，使之转化为显式，直接计算得n 1n 1 ) . 如此反复进行，得y n (k 1 1) y n h f ( x n 1 , y n (k 1)) k0,1, ，那么得到后退欧拉法的迭代公式y n (0)1 y n h f ( x n , y n ) ，y n (k 11)y n h f ( x n 1, y n (k 1) ) 可以看出，后退欧拉法具有一阶精度，且计算比拟麻烦 .1.2.2 梯形方法为得到比欧拉法精确度高的计算公式，在等式〔 4〕式右端积分中假设用梯形求积公式近似，并用 y n 代替 y x n ， y n 1 代替 y x n 1 ，那么得y n 1ynh f x n 1, y n 1，f x n , y n2〔6〕称其为梯形方法 .梯形方法与后退欧拉法一样，都是隐式单步法，可用迭代法求解，其迭代公式为y n (0)1 y n h f (x n , y n ) .〔7〕y n (k 11)y n hf x n , y nf x n 1, y n (k 1)2为了分析梯形公式的收敛性，将〔6〕与〔 7〕式相减，得(k 1)h x n 1, yn 1f xn(k ) ， k 0,1,2,yn 1yn 1f1 , y n 12因为 fx, y 满足 Lipschitz 条件，于是有 y n 1 y n(k11)hLyn 1y n (k 1) ，其中 L 为 f x, y2关于 y 的 Lipschitz 常数 . 如果选取 h 充分小，使得hL1 ，那么当k时有2y n (k 11 )y n 1 ，这说明迭代过程〔 7〕式是收敛的 [4] . 容易推导得出梯形法〔7〕式是二阶方法 .经分析，梯形方法虽然提高了精度，但是以增加计算量为代价的. 从上述的迭代公式可以看出，每迭代一次都要重新计算f x, y 的值，而且迭代又要进行假设干次，计算相当的复杂 . 为此，有没有比拟简便的计算方法呢？下面给出改良的欧拉方法.1.2.3 改良的欧拉方法由前面的讨论可知，梯形法计算相对复杂，现对上面的梯形法进行简化，具体方法是只计算一两次就转入下一步的计算，先用欧拉公式〔 3〕求得一个初步的近似解 y n 1 ，称为预测值，再利用公式〔 6〕把它校正一次，这样建立的预测 - 校正系统通常称为改良的欧拉公式 . 具体公式如下yn 1y nh f x n , y n f x n 1, y n hf x n , y n2〔8〕改良的欧拉法与梯形法一样，是二阶方法.1.2.4 Runge-Kutta方法由前面讨论可知，从〔 4〕式可以看出，假设要使公式阶数提高，就必须使右端积分的数值求积公式精度提高，它必然要增加求积积点，为此将〔 4〕式的右端用求积公式表示为xn 1r〔9〕f x, y x dx hc i f x ni h, y x ni h ，x ni1一般来说，点数 r 越多，精度越高，上式右端相当于增量函数 x, y, h ，为得到便于计算的显式方法，将公式〔 9〕表示为：yn 1y n h x n , y n , h ,〔10〕其中rx n , y n , hc i K ii 1K 1f x n , y n〔11〕i 1K if x n i h, y nh ijKj, i 2, rj 1这里 c i , i , ij 均为常数 . c i 为加权因子， K i 为第 i 段斜率，共有 r 段. 我们把〔 10〕和〔11〕称为 r 级显式 Runge-Kutta 法，简称为 R-K 方法 . 下面给出其中最经典最常用的一个公式：yynh K 1 2K 2 2K 3 K 4,n 16K 1 f x n , y n ,K 2f x nh, y nhK 122K 3 f x nh, y nhK 2 ,2 2K 4 f x nh, y n hK 3 .〔12〕Runge-Kutta 方法作为一种重要的单步方法，具有很高的实用价值，它关于初值是稳定的，其解连续地依赖于初值，是一类便于应用的单步法，为了计算y n 1 ，只用到前面一步的值 y n 即可，因此每步的步长可以独立取定. 常用的 Runge-Kutta方法精度较高，为了到达预定的精度，与欧拉方法与梯形法相比，步长 h 可取得大些，求解区间上的总步数可以少些 . 但 Runge-Kutta 方法也有些缺点，比方四阶 Runge-Kutta 方法每算一步需要四次计算 f x, y 的值，计算量较大〔对于复杂的f x, y 而言〕．2 数值方法的应用实例 [5-9]y10 y 例 1对于初值问题，分别用欧拉法、改良的欧拉法，梯形法求y 1 的y 01近似值 .解：易得该方程的解析解y xe 10x ， y 1，为比拟，将按不同数值计算方法所得结果列表如下：表 1 三种不同方法的数值结果欧拉法改良的欧拉法梯形法-1 112.6561 E -005 4.6223 E -005 4.5026 E -0054.3717 E -005 4.5408 E -005 4.5396 E -0054.5173 E -005 4.5400 E -005 4.5400 E -005图 1三种不同方法数值解与精确解的误差曲线从表 1 中可以看出：当 h0.2 时，三种方法均不稳定，计算结果严重偏离精确值；h时，改良后的欧拉和梯形法均稳定，但欧拉法效果很差；当时，三种方法均稳定，但精确度有区别．可以看出， h 越小，计算结果越好，要想计算结果充分接近于解析解还须取较小的 h 值．图 1 反映的步长 h 0.01 时，三种数值方法的所得数值解与解析解在[0,1] 区间的误差曲线，由图可知，在步长相同的情况下，梯形法的精确度略高于改良的欧拉法；改良的欧拉法和梯形法精确度都明显高于欧拉法．例 2 用欧拉法、改良的欧拉法和 Runge-Kutta 法求解初值问题并比拟三种方法的结果．解：方程为 n 1 的伯努利方程，可求得解析解为现用 MATLAB软件编程，用题目要求的方法求解，可得如下列图示结果：图 2 〔a〕步长为 0.2 时 R-K 法和解析解比拟图 2 〔b〕步长为 0.2 时改良的 Euler 法和解析解比拟图 2 〔c〕步长为 0.2 时欧拉法和解析解比拟上图 2(a) ，(b) ，(c) 描述的是步长为0.2 时，用欧拉法、改良的欧拉法， Runge-Kutta 法求解方程所得的数值解与解析解之间的比照图．由图可知，Runge-Kutta 法所得数值解曲线和解析解曲线吻合的很好，改良的欧拉法和欧拉法随着计算的进行，数值解和解析解之间误差逐步增大，但改良的欧拉法效果要好于欧拉法．图 3 (a)步长为时Euler法和解析解比较图 3 (b)步长为时改良的Euler法和解析解比拟图 3 (c) 步长为 0.1 时 Runge-Kutta 法和解析解比拟上图 3 (a) ，(b) ，(c) 描述的是步长为0.1 时，用欧拉法、改良的欧拉法， Runge-Kutta 法求解方程所得的数值解与解析解之间的比照图．由图可知，改良的欧拉法和Runge-Kutta 法所得数值解曲线和解析解曲线吻合的很好，而欧拉法随着计算的进行数值解和解析解之间误差逐步增大．相应的程序如下：主程序x=0:0.2:1;jxj=exp(2*x).*(1./exp(4*x) + (2*x)./exp(4*x)).^(1/2);y=Euler(@ff,0,1,0.2,1);gy=geuler(@ff,0,1,0.2,1);Ry=RK(@ff,0,1,0.2,1);figure(1);plot(x,jxj,x,Ry,'*');figure(2);plot(x,jxj,x,gy,'*');figure(3);plot(x,jxj,x,y,'*' )欧拉法程序function y=Euler(f,a,b,h,y0)n=(b-a)/h;x=a:h:b;y=zeros(n+1,1);y(1)=y0;for i=1:ny(i+1)=y(i)+h*feval(f,x(i),y(i));end改良的欧拉法程序function gy=geuler(f,a,b,h,y0)n=(b-a)/h;x=a:h:b;y=zeros(n+1,1);y(1)=y0;for i=1:nyp=y(i)+h*feval(f,x(i),y(i));yc=y(i)+h*feval(f,x(i+1),yp);y(i+1)=(yp+yc)/2;endgy=y;Runge-Kutta 法程序function Ry=RK(f,a,b,h,y0)n=(b-a)/h;x=a:h:b;y=zeros(n+1,1);y(1)=y0;for i=1:nk1=feval(f,x(i),y(i));k2=feval(f,x(i)+h/2,y(i)+h*k1/2);k3=feval(f,x(i)+h/2,y(i)+h*k2/2);k4=feval(f,x(i+1),y(i)+h*k3);y(i+1)=y(i)+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;endRy=y;3微分方程数值解法在实际生活中的应用3.1 应用实例 : 耐用消费新产品的销售规律模型一种新产品进入市场以后，常常会经历销售量首先慢慢增加然后逐渐慢慢下降的一个过程，由此给出的时间—销售坐标系下的曲线称为产品的生命曲线 , 它的形状是钟形的 . 不过对于较耐用的消费品，情况会有所不一样，它的生命曲线会在开始有个小小的顶峰，之后是段比拟平坦的曲线，先下降，之后再上升，然后到达顶峰，因此它是双峰型的曲线 .如何理解这种和传统产品的生命曲线理论相冲突的现象？澳大利亚学者斯蒂芬斯与莫赛观察到的购置耐用消费产品的人大概可分为两类：其一是非常善于接受新的事物，称其为“创新型〞消费者，他们会经常从产品广告，制造商给出产品的说明书与商店样品中了解了产品功能与性能之后，再决定其否购置；其二是消费者相对保守，称其为“模仿型〞消费者，他们往往会根据大局部已经购置产品的消费者实际使用的经验而提供的信息来决定是否购置产品，下面的例子经过分析，建立相应的数学模型，对这种现象给出了科学解释.模型的建立将顾客获得信息大致可分成两类，其一称之为“搜集型〞，源自于产告说明、广告，“创新型〞顾客获得这类消息后就可作出其是否购置；第二类称之为“体验型〞，即消费者使用之后会获得真实体验，常常以口头的形式散播，“模仿型〞类顾客会在获得这种信息之后才能决定是否购置 .设 K 是潜在用户的总数，K1与 K 2分别为“创新型〞与“模仿型〞的人数. 再设 N t 是时刻t已经购置的商品顾客的人数，而N 1 t 与 N 2 t 分别为“创新型〞与“模仿型〞的顾客的人数, 再设 A1 t 是时刻t中已获得“搜集型〞信息的人数，由于该局部的信息可直接由外部获得，或者可从已获得该类信息的人群中获得，因此类似巴斯模型，从而建立如下方程：dA1t12 A1t , A 0 0,1,20，dt K1 A1 t获得“搜集型〞信息的“创新型〞消费者决定其是否购置的行为，满足如下方程：对于“模仿型〞的顾客，可从已经购置该产品“创新型〞或者“模仿型〞的顾客中获取信息，于是有在这里，忽略消费者购置产品后需一段短暂的使用后才会散播体验信息的滞后作用．综上，斯蒂芬斯—莫赛模型是一常微分方程组的初值问题：而 N t N1 t N2 t 为时刻t购置该商品的总人数 .模型的求解对于斯蒂芬斯—莫赛模型中N2 t的解析解那么不能求出，于是可以用四阶Runge Kutta 公式求得，且在它的精度要求到达很高情形下求出N2 t .用 MATLAB软件求解，相应的程序及结果如下function RK=RKFC(fc,a,b,h,y0)n=(b-a)/h;x=a:h:b;m=length(y0);y=zeros(n+1,m);y(1,:)=y0;for i=1:nk1=feval(fc,x(i),y(i,:));k2=feval(fc,x(i)+h/2,y(i,:)+h*k1/2);k3=feval(fc,x(i)+h/2,y(i,:)+h*k2/2);k4=feval(fc,x(i+1),y(i,:)+h*k3);y(i+1,:)=y(i,:)+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;endRK=y;function f=FC(x,y)k1=50; k2=70;al=0.0013;be=0.0013;ga=0.0015;f=[(k1-y(1))*(al+be*y(1)),ga*(k2-y(2))*(y(1)+y(2))];x=0:0.3:24;微分方程数值解RK=RKFC(@FC,0,24,0.3,[0,0])figure(1) ；plot(x,RK(:,1),'+' ,x,RK(:,2), '*' ) ；legend( 'N1(t)' , 'N2(t)',2) figure(2) ；plot(x,RK(:,1)+RK(:,2),'+' ) ；legend( 'N(t)',2)图 4N1 t , N2 t 与时间关系图图 5N t 与[0,25]时间段关系图由此例可以看出，微分方程数值解在实际生活有着广泛的应用，而数值解法中的Runge-Kutta 方法是一种很重要且应用很广泛的算法 .结语微分方程数值解是求解微分方程的一种很重要且应用范围很广的方法，而常用的数值解法如欧拉法、改良的欧拉法、梯形法和Runge-Kutta 方法在一定程度上都有自己的优缺点，理解和掌握各种方法的应用范围，用 MATLAB编制各种方法求解实际问题的通用程序，对用微分方程数值解理论解决现实生活中的实际问题有很重要的意义．参考文献[1]李庆扬 , 王能超 , 易大义 . 数值分析 [M]. 北京 : 清华大学出版社 , 清华大学出版社 ,2001.[2]冯康 . 数值计算方法 [M]. 杭州 : 浙江大学出版社 ,2003.[3]封建湖 . 计算方法典型题分析解集 [M]. 西安 : 西北工业大学出版社 ,2000.[4]胡建伟 , 汤怀民 . 微分方程数值解法 ( 第二版 )[M]. 北京 : 科学出版社 ,2007.[5]王能超 . 计算方法简明教程 [M]. 北京 : 高等教育出版社 ,2004.[6]Nash S G.A history of scientific computing.[M] New York:ACM Press,1990.[7]于丽妮 . ODE 问题解析解及数值解的 matlab 实现 [J]. 电脑知识与技术 .2021,8(14):3303-3305.[8]霍晓成 . 常微分方程数值解法的研究 [J]. 临沂师范学院学报 . 2021,(6):19-23.[6]王国立 ,陈瑛.非线性微分方程迭代算法及其在物理学中的应用[J].长春师范学院学报(自然科学版).2006, 25(2):10-12.。

微分方程问题的解法

电磁学研究
02
在电磁学中，微分方程被用来描述电场、磁场的变化以及电磁
波的传播。
热传导问题
Байду номын сангаас
03
微分方程可以用来描述物体的热量传导过程，例如温度随时间
变化的规律。
在经济中的应用
供需关系
微分方程可以用来描述市场的供需关系，例如商品价格随时间变化的规律。
01
经济增长模型
微分方程可以用来建立经济增长模型，例如描述一个国家或地区的GDP随时间变化的规律。
线性稳定性分析
定义
线性稳定性分析是指通过线性化微分方程，来研究系统的稳定性。
方法
将非线性微分方程线性化，然后利用线性系统的性质来分析系统的稳定性。
应用
线性稳定性分析广泛应用于物理学、化学、生物学等领域。
非线性稳定性分析
定义
非线性稳定性分析是指通过非线性微分方程的性质，来研究系统的稳定性。
方法
总结词
通过将微分方程转化为代数方程，简化求解过程。
详细描述
将微分方程中的变量分离到等式的两边，然后对等式两边同时进行积分，从而求解微分方程。
变量代换法
总结词
通过引入新的变量替换原微分方程中的复杂表达式，简化微分方程的形式。
详细描述
通过引入新的变量，将微分方程中的复杂表达式替换为新变量的表达式，从而简化微分方程的形式，方便求解。
有限元素法
总结词
有限元素法是一种将微分方程转化为线性方程组进行求解的方法。
详细描述
有限元素法的基本思想是将微分方程的求解区域划分为一系列小的子区域（或元素），然后在每个子区域上定义一个近似函数，将微分方程转化为线性方程组进行求解。这种方法在求解一些复杂的微分方程时非常常用。

第二章常微分方程

an (n c)(n c 1)xnc (F0 F1x F2 x2 ) an (n c)xnc
n0
n0
(G0 G1x G2 x2 ) an xnc 0
n0
第二章常微分方程——二阶变系数方程
首项xc的系数为0——指标方程
c2 (F0 1)c G0 0
第n项xn+c的系数为0 ——递推公式
rAs
)
dy dt
y
(rA
rAs )
[Qr (T )
Qr (Ts )]
第二章常微分方程——线性稳定性分析
将反应项与移热项线性展开
dx dt
1
rA cA
s
x
rA T
s
y
dy dt
rA cA
s
x
1
rA T
s
dQr dT
s
y
特征根方程
2 tr 0
detA I 0
从中可解出n个特征根和特征向量，构成基解矩阵
第二章常微分方程——一阶常系数方程组
通解或
Y t e1t x 1 , e2t x 2 , ，ent x n
y t c1 x 1e1t c2 x 2e2t cn x nent
y=Yc 常数 c 由初始条件确定
y2
y c cc1
➢ 当c1－c2 为整数时，第二解为
y2
c
c
c2
y cc2
第二章常微分方程——二阶变系数方程
推导：设
y(x,c)
an不一定满足指标方程，将其代入
方程后有
x 2 d 2y dx 2
xF
(x
)
dy dx
G(x)y （c c1)(c c2)a0x c

常微分方程的数值解法

常微分方程的数值解法常微分方程是研究变量的变化率与其当前状态之间的关系的数学分支。

它在物理、工程、经济等领域有着广泛的应用。

解常微分方程的精确解往往十分困难甚至不可得，因此数值解法在实际问题中起到了重要的作用。

本文将介绍常见的常微分方程的数值解法，并比较其优缺点。

1. 欧拉方法欧拉方法是最简单的数值解法之一。

它基于近似替代的思想，将微分方程中的导数用差商近似表示。

具体步骤如下：（1）确定初始条件，即问题的初值。

（2）选择相应的步长h。

（3）根据微分方程的定义使用近似来计算下一个点的值。

欧拉方法的计算简单，但是由于误差累积，精度较低。

2. 改进欧拉方法为了提高欧拉方法的精度，改进欧拉方法应运而生。

改进欧拉方法通过使用两个点的斜率的平均值来计算下一个点的值。

具体步骤如下：（1）确定初始条件，即问题的初值。

（2）选择相应的步长h。

（3）根据微分方程的定义使用近似来计算下一个点的值。

改进欧拉方法相较于欧拉方法而言，精度更高。

3. 龙格-库塔法龙格-库塔法（Runge-Kutta）是常微分方程数值解法中最常用的方法之一。

它通过迭代逼近精确解，并在每一步中计算出多个斜率的加权平均值。

具体步骤如下：（1）确定初始条件，即问题的初值。

（2）选择相应的步长h。

（3）计算各阶导数的导数值。

（4）根据权重系数计算下一个点的值。

与欧拉方法和改进欧拉方法相比，龙格-库塔法的精度更高，但计算量也更大。

4. 亚当斯法亚当斯法（Adams）是一种多步法，它利用之前的解来近似下一个点的值。

具体步骤如下：（1）确定初始条件，即问题的初值。

（2）选择相应的步长h。

（3）通过隐式或显式的方式计算下一个点的值。

亚当斯法可以提高精度，并且比龙格-库塔法更加高效。

5. 多步法和多级法除了亚当斯法，还有其他的多步法和多级法可以用于解常微分方程。

多步法通过利用多个点的值来逼近解，从而提高精度。

而多级法则将步长进行分割，分别计算每个子问题的解，再进行组合得到整体解。

(整理)微分方程详解

第二章微分方程本章学习目的：本章的主要目的在于：学习微分方程模型的建立、求解方法、分析结果及解决实际问题的全过程。

1．知道求解微分方程的解析法、数值解法以及图形表示解的方法；2．理解求微分方程数值解的欧拉方法，了解龙格——库塔方法的思想；3．熟练掌握使用MATLAB 软件的函数求微分方程的解析解、数值解和图形解；4．通过范例学习怎样建立微分方程模型和分析问题的思想。

§2.1 引例在《大学物理》中，我们曾学习过简谐振动（如：弹簧振子、单摆）0222=+x dtx d ω，那就是一个典型的二阶常微分方程的模型。

这里我们讨论“倒葫芦形状容器壁上的刻度问题”。

对于圆柱形状容器壁上的容积刻度，可以利用圆柱体体积公式：4/2H D V π=，其中容器的直径D 为常数，体积V 与相对于容器底部的任意高度H 成正比，因此在容器壁上可以方便地标出容积刻度。

而对于几何形状不规则的容器，比如“倒葫芦形状”的容器壁上如何标出容积刻度呢？如图所示，建立坐标系，由微元法分析可知：dx x D dV 2)(41π=，其中x 表示高度，直径是高度的函数，记为D （x ）。

可得微分方程：0)0()(412==V x D dx dV π如果该方程中的函数D(x)无解析表达式，只给出D(x)的部分测试数据，如何求解此微分方程呢？h=0.2;d=[0.04,0.11,0.26,0.56,1.04,1.17];x(1)=0;v(1)=0;for k=1:5x(k+1)=x(k)+h;v(k+1)=v(k)+(h/2)*(pi/4)*(d(k)^2+d(k+1)^2);endx=x(1:6),v=v(1:6),plot(x,v)x =Columns 1 through 50 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 Column 61.0000v =Columns 1 through 50 0.0011 0.0073 0.0373 0.1469 Column 60.3393§2.2 微分方程模型的建立在工程实际问题中，“改变”、“变化”、“增加”、“减少”等关键词提示我们注意什么量在变化，关键词“速率”、“增长”、“衰变”、“边际的”等常涉及到导数。

微分方程的常用数值解法

微分方程的常用数值解法摘要：微分方程是数学中的一种重要的方程类型，它能描述自然现象和工程问题中的许多变化规律。

但是大多数微分方程解法是无法用解析的方式求解的，因此需要借助数值解法来近似求解。

本文将介绍微分方程的常用数值解法。

关键词：欧拉方法；龙格-库塔方法；微分方程；常用数值解法一、微分方程数值解方法微分方程数值解法是数学中的重要部分。

欧拉方法、龙格-库塔方法和二阶龙格-库塔方法是常用的微分方程数值解法，下面就分别介绍这三种方法。

（一）欧拉方法欧拉方法是解初值问题的一种简单方法，它是欧拉用的第一种数值方法，也叫向前欧拉法。

欧拉方法是利用微分方程的定义式y’=f(x, y)，将它带入微分方程初值问题y（x_0）=y_0中，以y_0为初始解，在每一步上通过沿着切线的方法进行估计并推进新的解y_{i+1}：y_i+1=y_i+hf(x_i,y_i)其中，x_i和y_i是我们知道的初始条件，h是求解过程中的步长，f是微分方程右端项。

它是一种时间迭代的算法，易于实现，但存在着精度不高的缺点。

（二）龙格-库塔方法龙格-库塔方法是一种经典迭代方法，也是近代微分方程数值解法发展的里程碑之一。

龙格-库塔方法的主要思想是利用规定的阶码及阶向量，通过递推求解微分方程数值解的近似值。

龙格-库塔方法的方式不同，其步骤如下：第一步：根据微分方程，计算出在x_i和y_i的值。

第二步：在x_i处对斜率进行估计，并利用这个斜率来求解下一步所需的y_i+1值。

第三步：使用x_i和y_i+1的值来重新估计斜率。

第四步：使用这个新的斜率来更新y_i+1的值。

（三）二阶龙格-库塔方法二阶龙格-库塔方法是龙格-库塔方法的一种变体，它根据龙格-库塔方法的思想，使用更好的步长来提高数值解的精度。

二阶龙格-库塔方法的基本思路是，在第一次迭代时使用一个阶段小一半的y_i+1，然后使用这个估算值来计算接下来的斜率。

通过这种方法，可以提高解的精度。

二阶龙格-库塔方法的步骤如下：第一步：计算出初始阶段的y_i+1值。

常微分方程常用数值解法.

第一章绪论1.1 引言常微分方程是现代数学的一个重要分支，是人们解决各种实际问题的有效工具。

微分方程的理论和方法从17世纪末开始发展起来，很快成了研究自然现象的强有力工具，在17到18世纪，在力学、天文、科学技术、物理中，就已借助微分方程取得了巨大的成就。

1864年Leverrer根据这个方程预见了海王星的存在，并确定出海王星在天空中的位置。

现在，常微分方程在许多方面获得了日新月异的应用。

这些应用也为常微分方程的进一步发展提供了新的问题，促使人们对微分方程进行更深入的研究，以便适应科学技术飞速发展的需要。

研究常微分方程常用数值解是数学工作者的一项基本的且重要的工作。

在国内外众多数学家的不懈努力，使此学科基本上形成了一套完美的体系。

微分方程的首要问题是如何求一个给定方程的通解或特解。

到目前为止，人们已经对许多微分方程得出了求解的一般方法。

由于在生产实际和科学研究中所遇到的微分方程问题比较复杂，使这些问题的解即使能求出解析表达式，也往往因计算量太大而难于求出，而对于一些典型的微分方程则可以运用基本方法求出其解析解，并可以根据初值问题的条件把其中的任意常数确定下来。

由于求通解存在许多困难，人们就开始研究带某种定解条件的特解。

首先是Cauchy对微分方程初始解的存在惟一性进行了研究。

目前解的存在惟一性、延拓性、大范围的存在性以及解对初始解和参数的延续性和可微性等理论问题都已发展成熟。

与此同时，人们开始采取各种近似方法来求微分方程的特解，例如求微分方程数值解的Euler折线法、Runge-Kutta法等，可以求得若干个点上微分方程的近似解。

最后，由于当代高科技的发展为数学的广泛应用和深入研究提供了更好的手段。

用计算机结合Matlab软件求方程的精确解、近似解，对解的性态进行图示和定性、稳定性研究都十分方便有效。

本章先介绍常微分的一般概念、导出微分方程的一些典型例子及求解微分方程的思路分析。

从而得到常微分方程的常用数值解法。

《数值计算方法》复习资料

实用文档《数值计算方法》复习资料第一章数值计算方法与误差分析第二章非线性方程的数值解法第三章线性方程组的数值解法第四章插值与曲线拟合第五章数值积分与数值微分第六章常微分方程的数值解法自测题课程的性质与任务数值计算方法是一门应用性很强的基础课，在学习高等数学，线性代数和算法语言的基础上，通过本课程的学习及上机实习、使学生正确理解有关的基本概念和理论，掌握常用的基本数值方法，培养应用计算机从事科学与工程计算的能力，为以后的学习及应用打下良好基础。

第一章数值计算方法与误差分析一考核知识点误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；绝对误差的传播。

二复习要求1.知道产生误差的主要来源。

2.了解绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限和有效数字等概念以及它们之间的关系。

3.知道四则运算中的误差传播公式。

实用文档三例题例 1 设x*= =3.1415926⋯近似值 x=3.14 ＝ 0.314× 101,即 m=1，它的绝对误差是－ 0.001 592 6 ，⋯有即 n=3，故 x=3.14 有 3 位有效数字 .x=3.14准确到小数点后第 2 位 .又近似值 x=3.1416，它的绝对误差是0.0000074 ⋯，有即 m=1,n＝ 5， x=3.1416 有 5 位有效数字 .而近似值x=3.1415，它的绝对误差是0.0000926 ⋯，有即 m=1,n＝ 4， x=3.1415 有 4 位有效数字 .这就是说某数有s 位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s 位有效数字；例 2指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限：2.000 4－0.002 009 0009 000.00解因为 x1=2.000 4＝ 0.200 04× 101, 它的绝对误差限 0.000 05=0.5 × 10 1―5，即m=1,n=5, 故 x=2.000 4 有 5 位有效数字 . a1=2，相对误差限x2=－ 0.002 00，绝对误差限0.000 005，因为 m=－2，n=3 ，x2=－ 0.002 00 有 3 位有效数字 . a1=2 ，相对误差限r ==0.002 5实用文档x3=9 000 ，绝对误差限为0.5× 100，因为 m=4, n=4, x3=9 000 有 4 位有效数字， a=9 ，相对误差限r＝＝ 0.000 056x4=9 000.00 ，绝对误差限0.005，因为 m=4， n=6， x4=9 000.00 有 6 位有效数字，相对误差限为r＝＝ 0.000 000 56由 x3与 x4可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的.例 3 ln2=0.69314718⋯，精确到10－3的近似值是多少？解精确到 10－3＝ 0.001，意旨两个近似值x1,x2满足，由于近似值都是四舍五入得到的，要求满足，近似值的绝对误差限应是＝0.0005,故至少要保留小数点后三位才可以。

偏微分方程的数值解法

偏微分方程的数值解法在科学和工程领域中，偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDEs）被广泛应用于描述自然现象和工程问题。

由于许多复杂的PDE难以找到解析解，数值方法成为了求解这些方程的重要途径之一。

本文将介绍几种常见的偏微分方程数值解法，并探讨其应用。

一、有限差分法有限差分法是求解偏微分方程最常用的数值方法之一。

其基本思想是将空间和时间连续区域离散化成有限个点，通过差分逼近偏微分方程中的导数，将偏微分方程转化为差分方程。

然后，利用差分方程的迭代计算方法，求解近似解。

以一维热传导方程为例，其数值解可通过有限差分法得到。

将空间区域离散化为若干个网格点，时间区域离散化为若干个时间步长。

通过差分逼近热传导方程中的导数项，得到差分方程。

然后，利用迭代方法，逐步更新每个网格点的数值，直到达到收敛条件。

最终得到近似解。

二、有限元法有限元法是另一种常用于求解偏微分方程的数值方法。

它将连续的空间区域离散化为有限个单元，将PDE转化为每个单元内的局部方程。

然后，通过将各个单元的局部方程组合起来，构成整个区域的方程组。

最后，通过求解这个方程组来获得PDE的数值解。

有限元法的优势在于可以适应复杂的几何形状和边界条件。

对于二维或三维的PDE问题，有限元法可以更好地处理。

同时，有限元法还可以用于非线性和时变问题的数值求解。

三、谱方法谱方法是利用一组基函数来表示PDE的解，并将其代入PDE中得到一组代数方程的数值方法。

谱方法具有高精度和快速收敛的特点，在某些问题上比其他数值方法更具优势。

谱方法的核心是选择合适的基函数，常用的基函数包括Legendre多项式、Chebyshev多项式等。

通过将基函数展开系数与PDE的解相匹配，可以得到代数方程组。

通过求解这个方程组，可以得到PDE的数值解。

四、有限体积法有限体积法是将空间域划分为有限个小体积单元，将PDE在每个小体积单元上进行积分，通过适当的数值通量计算来近似描述流体在边界上的净流量。

微分方程数值解法(李荣华3版)第二章习题答案(大)

第二章习题课（2007.4.28）习题1．求两点边值问题22sin , 0142(0)0, (1)0xLu u u x u u ππ⎧''=-+=<<⎪⎨⎪'==⎩（1.1）的线性有限元解函数（区间等距剖分成2段或3段），要求在计算总刚度矩阵和总荷载向量时，所涉及的定积分用两种方法： 1. 精确求解；2. 用中矩形公式近似计算。

解：第一步：写出原问题（1.1）的等价变分形式（基于虚功原理）试探函数空间和检验函数空间均为：11(){ |(), ()0 }E H I u u H I u a =∈=.在（1.1）的第一个式子两边同时乘以检验函数空间1()E H I 中的任意元素v ，再在区间(0,1)I =上积分，可得21112sin42xu vdx uvdx vdx ππ''-+=⎰⎰⎰ （1.2）其中111011[(1)(1)(0)(0)]u vdxu v dx vu u v dx v u v u u v dx'''''-=-''''=--''=⎰⎰⎰⎰分部积分（1.3）将（1.3）代入（1.2），可得211()2sin42xu v uv dx vdx ππ''+=⎰⎰记21010(,)()4()2sin 2a u v u v uv dx x f v vdxππ⎧''=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩⎰⎰ 则可以得到原问题（1.1）的等价变分问题：求1()E u H I ∈，使得1(,)(), ()Ea u v f v v H I =∀∈. (1.4)第二步：线性有限元空间的构造1.网格剖分（这里以等距剖分3段为例）2.一次Lagrange 有限元空间的定义1{ ():|(),1,2,3, (0)0 }E i h h h e i h V u C I u P e i u =∈∈==.3. Lagrange 节点基函数的构造113, [0,]312()23, [,]330,x x x x x φ⎧∈⎪⎪⎪=-∈⎨⎪⎪⎪⎩在别处； 21231, [,]332()33, [,1]30,x x x x x φ⎧-∈⎪⎪⎪=-∈⎨⎪⎪⎪⎩在别处； 3232, [,1]()30,x x x φ⎧-∈⎪=⎨⎪⎩ 在别处.4.空间E hV 中元素的（整体）表示记 (), 1,2,3i h i u u x i ==，则对E hh u V ∀∈，有31()()h j j j u x u x φ==∑ (1.5)第三步：写出线性有限元方程将原变分问题（1.4）中1()EHI 的试探函数子空间和检验函数子空间均取为E h V ，则可以得到原问题（1.1）的近似变分问题：求 E hhu V ∈，使得 (,)(), E h h h h h a u v f v v V =∀∈. (1.6)利用（1.5）并将 h v 取为(), 1,2,3i x i φ=则上述近似变分问题等价于求123,,u u u R ∈，使得31(,)(), 1,2,3j j i i j a u f i φφφ===∑⇔ 31(,)(), 1,2,3j i j i j a u f i φφφ===∑⇔ 31(,)(), 1,2,3i j j i j a u f i φφφ===∑ 写成矩阵形式AU b =其中111213212223313233(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)a a a A a a a a a a φφφφφφφφφφφφφφφφφφ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，123u U u u ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 123()()()f b f f φφφ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中（a ）精确求解以11(,)a φφ和1()f φ的计算为例：212211110122222223311111031222222233103(,)[()]4[()][()]44[3(3)][(3)(23)]44a dxdx dxx dx x dx πφφφφππφφφφππ'=+''=+++=++-+-=⎰⎰⎰⎰⎰1221(,)(,)a a φφφφ==，1331(,)(,)a a φφφφ==，22(,)a φφ=2332(,)(,)a a φφφφ==，33(,)a φφ=11101233103()2sin2 2sin (3)2sin (23)22xf dxx x x dx x dx πφφππ==+-=⎰⎰⎰（b ）中矩形公式近似求解中矩形公式：()()()2baa bg x dx b a g +≈-⎰.以11(,)a φφ和1()f φ的计算为例：222222112221111(,)[3(3)][(3)(23)]34634211 (9)(9)3163162 (9)316a ππφφπππ≈++-+-=+++=+ 111111162()2sin (3)2sin (23)32632222 sin sin32438f ππφππ≈+-=+习题2．导出下面边值问题1122(), ()(), ()()d du Lu p qu f a x bdx dx u a u a u b u b αβαβ⎧=-+=<<⎪⎨⎪''+=+=⎩ （2.1）的线性有限元方程。

(整理)数值计算方法学习报告

《数值微分及应用》研究第一章数值微分的描述一、《数值微分》描述数值微分(numerical differentiation)是根据函数在一些离散点的函数值，推算它在某点的导数或高阶导数的近似值的方法。

通常用差商代替微商，或者用一个能够近似代替该函数的较简单的可微函数（如多项式或样条函数等）的相应导数作为能求导数的近似值。

例如一些常用的数值微分公式(如两点公式、三点公式等)就是在等距步长情形下用插值多项式的导数作为近似值的。

此外，还可以采用待定系数法建立各阶导数的数值微分公式，并且用外推技术来提高所求近似值的精确度。

当函数可微性不太好时，利用样条插值进行数值微分要比多项式插值更适宜。

如果离散点上的数据有不容忽视的随机误差，应该用曲线拟合代替函数插值，然后用拟合曲线的导数作为所求导数的近似值，这种做法可以起到减少随机误差的作用。

数值微分公式还是微分方程数值解法的重要依据。

二、《数值微分》的相关概念根据函数在一些离散点上的函数值来估计函数在某点导数或高阶导数的近似值的方法，称为数值微分。

多项式插值是最常见的一种函数插值。

在一般插值问题中，若选取φ为n 次多项式类，由插值条件可以唯一确定一个n 次插值多项式满足上述条件。

从几何上看可以理解为：已知平面上n+1个不同点，要寻找一条n 次多项式曲线通过这些点。

插值多项式一般有两种常见的表达形式，一个是拉格朗日插值多项式，另一个是牛顿插值多项式。

三次样条函数定义：函数],,[)(2b a C x S ∈且在每个小区间[]1,+j j x x 上是三次多项式，其中b x x x a n =<<<= 10是给定节点，则称)(x S 是节点n x x x ,,,10 上的三次样条函数。

若在节点j x 上给定函数值(),,,1,0)(n j x f y j j ==并成立),,,1,0()(n j y x S j j ==则称)(x S 为三次样条插值函数。

高等数学教材的目录部分

高等数学教材的目录部分高等数学教材目录：第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质1.2 极限的定义1.2.1 数列极限1.2.2 函数极限1.3 极限的运算法则1.4 连续和间断第二章：导数与微分2.1 导数的概念与性质2.2 基本导数公式2.3 高阶导数2.4 隐函数与参数方程的导数2.5 微分的定义与性质2.6 导数的应用第三章：不定积分与定积分3.1 不定积分的概念与性质3.2 基本积分公式与常用积分法3.3 定积分的概念与性质3.4 定积分的计算方法3.5 牛顿-莱布尼茨公式与定积分的应用第四章：微分方程4.1 微分方程的概念与基本术语4.2 一阶常微分方程4.3 二阶常微分方程4.4 高阶线性微分方程4.5 变量可分离的微分方程4.6 微分方程的应用第五章：无穷级数5.1 数列极限与无穷级数的概念5.2 级数的敛散性5.3 正项级数的审敛法5.4 幂级数的收敛域与常见函数展开第六章：多元函数与偏导数6.1 多元函数的概念与性质6.2 偏导数的定义与计算6.3 高阶偏导数与混合偏导数6.4 隐函数的偏导数6.5 多元函数的极值与条件极值第七章：重积分与曲线积分7.1 重积分的概念与性质7.2 二重积分的计算方法7.3 三重积分的计算方法7.4 曲线积分的概念与计算方法7.5 曲面积分的概念与计算方法7.6 广义积分的概念与收敛性第八章：多元函数的积分学8.1 多元函数的概念与性质回顾8.2 参数方程下的曲线积分8.3 曲面积分的参数化与计算8.4 向量场与格林公式8.5 散度与无源场8.6 旋度与无旋场8.7 斯托克斯公式与高斯公式第九章：常微分方程的数值解法9.1 常微分方程初值问题的数值解法概述9.2 欧拉方法与改进欧拉方法9.3 二阶龙格-库塔法9.4 多步法与预测校正法9.5 常微分方程边值问题的数值解法以上是高等数学教材的目录部分，这些章节覆盖了高等数学的核心内容，从函数与极限到常微分方程的数值解法等方面进行了全面而深入的讲述。