2019-2020学年洛阳名校高一(下)第一次联考数学试卷(含解析)

2019-2020学年洛阳名校高一(下)第一次联考数学试卷题号 一 二 三 总分 得分一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设α是第二象限角，则点P(sin(cosα),cos(sinα))在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 已知两点A (2,−1),B (5,3)，则与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 同向的单位向量是( )A. (35,−45)B. (35,45)C. (45,35)D. (45,−35)3. 如图，正方形ABCD 的边长为2，E 为BC 的中点，DF⃗⃗⃗⃗⃗ =2FC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( )A. 23B. −23C. 43D. −434. 将函数y =5sin3x 的图象向左平移π3个单位，得到的图象的解析式是( )A. y =5sin(3x +π3) B. y =5sin(3x −π3) C. y =5sin3xD. y =−5sin3x5. 已知向量a ⃗ =(k,3)，b ⃗ =(1,4)，c ⃗ =(2,1)，且(2a ⃗ −3b ⃗ )⊥c ⃗ ，则实数k 的值为 ( )A. −92B. 0C. 3D. 1526. 函数f (x )=Asin (ωx +φ)(其中A >0，ω>0)的部分图象如图所示，将函数f (x )的图象向左平移π3个单位长度，得到y =g (x )的图象，则下列说法正确的是( )A. 函数g(x)为奇函数B. 函数g (x )的图象的对称轴为直线x =kπ+π6(k ∈Z ) C. 函数g (x )为偶函数D. 函数g (x )的单调递增区间为[−5π12+kπ,π12+kπ](k ∈Z)7. 设a ⃗ ，b ⃗ 是两个互相垂直的单位向量，则(a ⃗ +b ⃗ )⋅(a ⃗ −4b ⃗ )=( )A. −3B. −2C. 2D. 38. 一个几何体的三视图及部分数据如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，则该几何体的体积为( )A. 13 B. 16 C. 23 D. 19. 已知P 是△ABC 所在平面内一点，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则△PBC 与△ABC 的面积的比为( ) A. 13B. 12C. 23D. 3410. 正四棱锥的侧棱长为√2，底面的边长为√3，E 是PA 的中点，则异面直线BE 与PC 所成的角为( )A. π6B. π4C. π3D. π211. 直线√2ax +by =1与圆x 2+y2=1相交于A,B 两点(其中a,b 是实数)，且ΔAOB 是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P (a,b )与点(0,1)之间距离的最小值为( )A. 0B. √2C. √2−1D. √2+112. 已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)+1(ω>0,|φ|<π2)，其图象与直线y =3相邻两个交点的距离为2π3，若f(x)>1对任意x ∈(−π12,π6)恒成立，则φ的取值范围是( )A. (−π2,−π4) B. (0,π4) C. (π4,π2) D. [π4,π2)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若cos(2π3−α)=23，则sin(π6−α)=______ ．14.已知sin(θ−π6)=34则cos(θ−2π3)=______．15.若关于x的不等式x2+mx+m2>0恒成立，则实数m的取值范围是__________16.下列关于函数f(x)=2sin(12x+5π6)的图象或性质的说法中，错误的是______①函数f(x)的图象关于直线x=8π3对称②将函数f(x)的图象向右平移π3个单位所得图象的函数为y=2sin(12x+π2)③函数f(x)在区间(−8π3,π3)上单调递增④若f(x)=a，则cos(12x+π3)=a2三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知sinα=2cosα，求：(1)sinα−3cosα5sinα+2cosα．(2)sin2α+2sinαcosα−cos2α.18.已知向量m⃗⃗⃗ ,n⃗的夹角为45∘，则|m⃗⃗⃗ |=1,|n⃗|=√2，又a⃗=2m⃗⃗⃗ +n⃗,b⃗ =−3m⃗⃗⃗ +n⃗．(1)求a⃗与b⃗ 的夹角；(2)设c⃗=t a⃗−b⃗ ,d⃗=2m⃗⃗⃗ −n⃗，若c⃗//d⃗，求实数t的值．19.设函数f(x)=cosx⋅cos(x−θ)−12cosθ，θ∈(0,π).已知当x=π3时，f(x)取得最大值．(1)求θ的值；(2)设g(x)=2f(32x)，求函数g(x)在[0,π3]上的最大值．20.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=BC=BB1=1，D是A1C的中点．(Ⅰ)求BD的长；(Ⅱ)求证：平面ABB1⊥平面BDC．21.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3，cos(φ+π4)=0，其中ω>0，|φ|<π2．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求最小正实数m，使得函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数．22.已知点A(1,1)，B(−1,3)．(1)求以AB为直径的圆C的方程；(2)若直线x−my+1=0被圆C截得的弦长为√6，求m值．【答案与解析】1.答案：B解析：本题主要考查三角函数的应用，熟悉象限角的定义是解答本题的关键，是高考中常见的题型，属于基础题．由α所在的象限分析可得−1<cosα<0，分析可得cosα为第四象限的角，即可得答案． 解：∵α是第二象限角，∴−1<cosα<0，故cosα为第四象限角， ∴sin(cosα)<0，cos(cosα)>0， 故点P(sin(cosα),cos(cosα))在第二象限， 故选B ．2.答案：B解析：本题主要考查单位向量的定义和求法，属于基础题．由条件求得 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,4)，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=5，再根据与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 同方向的单位向量为AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | 求得结果． 解：∵已知点A(2,−1),B(5,3)， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,3)−(2,−1)=(3,4)， |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√9+16=5，则与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 同方向的单位向量为AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=(35,45) ． 故选B ．3.答案：A解析：本题考查向量的数量积，向量的坐标运算，属于基础题． 根据向量的坐标运算和向量的数量积即可求解本题． 解：以D 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系：正方形ABCD 的边长为2，E 为BC 的中点， ∴D(0,0)，A(0,2)，B(2,2)，C(2,0)，E(2,1)， ∵DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =23DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴F(43,0)，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1)，BF ⃗⃗⃗⃗⃗=(−23,−2)， ∴AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−43+2=23， 故选A ．4.答案：D解析：解：将函数y =5sin3x 的图象向左平移π3个单位，得到的图象的解析式为y =5sin3(x +π3)=−5sin3x ， 故选：D ．根据题意以及函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，再利用诱导公式可得结论． 本题主要考查诱导公式的应用，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题．5.答案：C解析：本题考查向量垂直的坐标运算，属于基础题． 利用(2a ⃗ −3b ⃗ )⋅c ⃗ =0⃗ 即可建立方程求解． 解：∵2a ⃗ −3b ⃗ =(2k −3,−6).又(2a ⃗ −3b ⃗ )⊥c ⃗ ，∴(2a ⃗ −3b ⃗ )⋅c ⃗ =0⃗ ，即(2k −3)×2+(−6)=0，解得k =3． 故选C ．6.答案：D解析：本题考查了正弦型函数的解析式的求法、对称性、奇偶性、单调性，考查分析解决问题的能力，考查计算能力，属于中档题．先确定函数f(x)=Asin(ωx+φ)的解析式，再根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)图象的平移，得到g(x)，然后逐项分析即可．解：依题意，A=3，3T4=5π12+π3=3π4，所以T=π，所以ω=2，又3=3sin(2×5π12+φ)，所以φ=2kπ−π3，(k∈Z)，所以f(x)=3sin(2x−π3).将函数f(x)的图象向左平移π3个单位长度，得g(x)=3sin(2x+π3).奇偶性，显然g(x)不是奇函数也不是偶函数，A，C错．对称性，由2x+π3=π2+kπ得，x=π12+kπ2，(k∈Z)故B错．单调性，由2x+π3∈[2kπ−π2,2kπ+π2]，得g(x)的单调递增区间为[−5π12+kπ,π12+kπ](k∈Z)D对．故选D．7.答案：A解析：本题考查平面向量数量积的运算和向量垂直，属于基础题．运用数量积的运算可得结果．解：根据题意得，(a⃗+b⃗ )⋅(a⃗−4b⃗ )=a⃗2−4a⃗⋅b⃗ +a⃗⋅b⃗ −4b⃗ 2=1−0+0−4=−3故选：A．8.答案：A解析：解：由三视图判断几何体为三棱锥，如图：由已知中侧视图是一个等腰直角三角形，宽为1，∴棱锥的高H=1；底面△的高也为1，又由俯视图为等腰直角三角形，且底面斜边长为2， ∴底面面积S =12×2×1=1， 则几何体的体积V =13×1×1=13． 故选A ．由正视图、侧视图和俯视图均为等腰直角三角形，可判定几何体为三棱锥，我们根据三视图的数据求出三棱锥的底面面积和高，代入棱锥体积公式，即可得到答案．本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据三视图判断出几何体的形状，分析出几何体的几何特征，进而求出底面面积，高是解答本题的关键．9.答案：A解析：由题意作出图形，由三角形的相似和面积公式可得．本题考查平面向量基本定理，涉及三角形的面积和相似，属基础题． 解：在线段AB 上取D 使AD =23AB ，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 过A 作直线l 使l//BC ，在l 上取点E 使AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 过D 作l 的平行线，过E 作AB 的平行线，设交点为P ，则由平行四边形法则可得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 设△PBC 的高线为h ，△ABC 的高线k ， 由三角形相似可得h ：k =1：3， ∵△PBC 与△ABC 有公共的底边BC ， ∴△PBC 与△ABC 的面积的比为1：3， 故选A ．10.答案：C解析：本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．连接AC 、BD ，交于点O ，连接PO ，以OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BE 与PC 所成的角． 解：连接AC 、BD ，交于点O ，连接PO ，以OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，∵正四棱锥的侧棱长为√2，底面的边长为√3，E 是PA 的中点， ∴OA =OB =√3+32=√62， OP =√2−64=√22， ∴A(√62,0，0)，P(0,0，√22)， E(√64,0，√24)，B(0,√62,0)，C(−√62,0，0)， BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√64,−√62,√24)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√62,0，−√22)， 设异面直线BE 与PC 所成的角为θ， 则cosθ=|BE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1√2×√2=12， ∴θ=π3，∴异面直线BE 与PC 所成的角为π3． 故选：C ．11.答案：C解析：根据题意画出图形，如图所示，过点O作OC⊥AB于C，因为ΔAOB为等腰直角三角形，所以C为弦AB的中点，又|OA|=|OB|=1，根据勾股定理得|AB|=√2，∴|OC|=12|AB|=√22．∴圆心到直线的距离为1√2a2+b2=√22，即2a2+b2=2，即a2=−12b2+1≥0．∴−√2≤b≤√2.则点P(a,b)与点(0,1)之间距离d=√(a−0)2+(b−1)2=√a2+b2−2b+1=√12b2−2b+2.设f(b)=12b2−2b+2=12(b−2)2，此函数为对称轴为x=2的开口向上的抛物线，∴当−√2≤b≤√2时，函数为减函数．∵f(√2)=3−2√2，∴d的最小值为√3−2√2=√(√2−1)2=√2−1.故C正确．12.答案：D解析：本题主要考查正弦函数的图象和性质，函数的恒成立问题，属于中档题．由题意可得函数的周期为2πω=2π3，由此求得ω，再结合题意可得sin(2x+φ)>0对任意x∈(−π12,π6)恒成立，求得φ的取值范围．解：∵函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1(ω>0,|φ|<π2)，其图象与直线y=3相邻两个交点的距离为2π3，∴2πω=2π3，∴ω=3．若f(x)>1对任意x∈(−π12,π6)恒成立，则x∈(−π12,π6)时，sin(2x+φ)>0，∴{3⋅(−π12)+φ≥03⋅π6+φ≤π，求得π4≤φ≤π2，综合可得π4≤φ<π2．故选D．13.答案：−23解析：解：∵cos(2π3−α)=23，则sin(π6−α)=sin[(2π3−α)−π2]=−cos(2π3−α)=−23，故答案为：−23．观察得到(π6−α)=(2π3−α)−π2，利用诱导公式即可求得答案．本题三角函数的化简求值，着重考查诱导公式的应用，属于中档题．14.答案：34解析：本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，属于基础题．由已知结合cos(θ−2π3)=cos[(θ−π6)−π2]，再由诱导公式化简求值．解：∵sin(θ−π6)=34，∴cos(θ−2π3)=cos[(θ−π6)−π2]=cos[π2−(θ−π6)]=sin(θ−π6)=34．故答案为： 34．15.答案：(0,2)解析：若不等式x2+mx+m2>0恒成立，则判别式Δ=m2−4×m2<0，解得0<m<2．16.答案：①②③解析：此题主要考查正弦函数的图象与性质的应用，属于中档题．根据正弦函数的对称性、单调性逐一判断可得．解：①当x=8π3时，，即①错误；②函数f(x)的图象向右平移π3个单位得到，即②错误；③，k ∈Z ， 则，k ∈Z ，显然，k ∈Z ，即③错误；④若f(x)=a ，则sin (12x +5π6)=a2， 所以，即④正确．故答案为①②③．17.答案：解：(1)∵sinα=2cosα，∴tanα=2，∴sinα−3cosα5sinα+2cosα=tanα−35tanα+2=2−310+2=−112．(2)sin 2α+2sinαcosα−cos 2α=sin 2α+2sinαcosα−cos 2αsin 2α+cos 2α=tan 2α+2tanα−1tan 2α+1=4+4−14+1=75．解析：由条件求得tanα的值，再利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值． 本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．18.答案：解：(1)m →·n →=|m →|·|n →|·cos45°=1，∵|a →|=|2m →+n →|=√(2m →+n →)2=√4+4+2=√10， |b →|=√(−3m →+n →)2=√5，a →·b →=(2m →+n →)·(−3m →+n →)=−6m →2+n →2−m →·n →=−5， 则cos <a →,b →>=a →·b→|a →|·|b →|=52=−√22，即夹角为3π4．(2)c →=t (2m →+n →)−(−3m →+n →)=(2t +3)m →+(t −1)n →∵c →//d →，∴存在实数λ满足c →=λd →则{2t +3=2λt −1=−λ，解得t =−14．解析：本题主要考查了平面向量数量积的运算，以及模的运算，还考查了向量平行的问题，属于基础题．(1)由题意求得m →·n →的值，可得a →·b →,|a →|,|b →| 的值，再根据cos <a →,b →>=a →·b→|a →|·|b →|的值，求得a ⃗ 与b ⃗ 的值．(2)由条件求得 c →=t (2m →+n →)−(−3m →+n →)=(2t +3)m →+(t −1)n →，再利用两个向量共线的性质求得求得t 的值．19.答案：解：(1)由三角函数公式化简可得：f(x)=cosx(cosxcosθ+sinxsinθ)−12cosθ=cos 2xcosθ+sinxcosxsinθ−12cosθ=1+cos2x 2cosθ+12sin2xsinθ−12cosθ =12cos2xcosθ+12sin2xsinθ =12cos(2x −θ) 由[f(x)]max =f(π3)=12可得cos(2π3−θ)=1 又∵θ∈(0,π)，∴θ=2π3；(2)由(1)知f(x)=12cos(2x −2π3)，∴g(x)=2f(32x)=cos(3x −2π3)∵0≤x ≤π3，所以−2π3≤3x −2π3≤π3， ∴当3x −2π3=0，即x =2π9时，[g(x)]max =1解析：(1)由三角函数公式化简可得f(x)=12cos(2x −θ)，由三角函数的最值可得； (2)由(1)知f(x)=12cos(2x −2π3)，可得g(x)=2f(32x)=cos(3x −2π3)，由0≤x ≤π3和三角函数的最值可得．本题考查三角函数的最值，涉及和差角的三角函数公式，属中档题．20.答案：(Ⅰ)解：取AC 的中点O ，连接DO ，BO ，则DO ⊥平面ABC ，在Rt △BDO 中，BO =√22，DO =12，∴BD =√12+14=√32；(Ⅱ)证明：∵∠ABC =90°， ∴BC ⊥AB ，∵BB 1⊥BC ，BB 1∩AB =B ， ∴BC ⊥平面ABB 1， ∵BC ⊂平面BDC ， ∴平面ABB 1⊥平面BDC ．解析：(Ⅰ)取AC 的中点O ，连接DO ，BO ，则DO ⊥平面ABC ，利用勾股定理，即可求BD 的长； (Ⅱ)证明BC ⊥平面ABB 1，即可证明平面ABB 1⊥平面BDC ．本题考查平面与平面垂直的判定，考查线面垂直的性质，属于中档题．21.答案：解：(1)∵cos(φ+π4)=0，∴φ+π4=kπ+π2(k ∈Z)，∴φ=kπ+π4(k ∈Z)，又∵|φ|<π2，∴φ=π4． ∵相邻两条对称轴间的距离为π3， ∴T2=π3，∴T =2π3，∴ω=2πT=3，∴f(x)=sin(3x +π4).(2)f(x)的图象向左平移m 个单位后，得g(x)=sin[3(x +m)+π4]=sin(3x +3m +π4)， 若g(x)是偶函数，当且仅当3m +π4=kπ+π2(k ∈Z)， 即m =kπ3+π12(k ∈Z)，当k =0时，正实数m 取得最小值π12，从而，最小正实数m 为π12．解析：本题主要考查三角函数的图象与性质，三角函数图象的平移变换，求出函数的解析式是解决本题的关键，属于中档题．(1)根据三角函数的性质求出ω和φ，即可求函数f(x)的解析式；(2)利用三角函数的图象变换规律，结合三角函数的奇偶性即可得到结论．22.答案：解：(1)根据题意，点A(1,1)，B(−1,3)，则线段AB 的中点为(0,2)，即C 的坐标为(0,2)； 圆C 是以线段AB 为直径的圆，则其半径r =12|AB|=√(1+1)2+(1−3)2=√2， 圆C 的方程为x 2+(y −2)2=2，(2)根据题意，若直线x −my +1=0被圆C 截得的弦长为√6， 则点C 到直线x −my +1=0的距离d =(√62)=√22，又由d =√1+m 2，则有2=√22， 变形可得：7m 2−8m +1=0， 解可得m =1或17．解析：本题考查直线与圆的位置关系以及弦长的计算，涉及圆的标准方程，属于基础题． (1)根据题意，有A 、B 的坐标可得线段AB 的中点即C 的坐标，求出AB 的长即可得圆C 的半径，由圆的标准方程即可得答案；(2)根据题意，由直线与圆的位置关系可得点C 到直线x −my +1=0的距离d =(√62)=√22，结合点到直线的距离公式可得√1+m 2=√22，解可得m 的值，即可得答案．。