北师大版九年级数学猜想、证明与托广

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第06章综合与实践猜想、证明与拓广-九年级上册初三数学(北师大版)

3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调几何证明的逻辑顺序和推理方法这两个重点。对于难点部分，比如全等三角形的证明，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与几何证明相关的实际问题，如如何证明等腰梯形的对角线相等。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如通过折叠和剪切来验证几何猜想。
五、教学反思
今天我们在课堂上探讨了综合与实践章节中的猜想、证明与拓广。通过这节课的教学，我发现学生们对于几何猜想的提出表现得非常积极，他们能够通过观察和思考，提出一些有创意的猜想。比如，在探讨勾股定理的逆定理时，有学生提出了关于直角三角形边长比例的猜想，这是一个很好的开始。
然而，我也注意到在证明过程中，学生们普遍存在逻辑推理不够严密的问题。他们有时会忽略一些必要的步骤，或者证明过程中逻辑链条不够清晰。这让我意识到，我们需要在接下来的课程中加强逻辑推理的训练，特别是让学生理解每一步证明的必要性。
4.培养学生的数学建模素养，结合实际问题，引导学生运用几何知识构建数学模型，培养学生将现实问题转化为数学问题的能力。
5.培养学生的创新意识，鼓励学生在猜想、证明与拓广的过程中，勇于提出新观点，探索新方法，激发学生的创新思维。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-几何猜想的提出：重点在于引导学生通过观察特例提出合理的数学猜想，如勾股定理的逆定理。举例：通过观察不同直角三角形的边长关系，引导学生发现并表述勾股定理的逆定理。
最后，我意识到教学过程中要更加注重培养学生的创新意识和解决问题的能力。在今后的课堂中，我会鼓励学生大胆猜想，勇于尝试不同的证明方法，并引导他们在实际情境中发现几何问题的解决之道。通过这样的教学方式，我相信学生们能够更好地理解和掌握几何知识，提高他们的数学素养。

北师大版九年级数学上册相似三角形解答题培优专题(含答案)

2019-2020相似三角形解答题培优专题（含答案）一、解答题1．如图，在Rt ABC ∆中，90B ︒∠=，6cm AB =，8cm BC =，点P 由点A 出发沿AB 方向向终点B 以每秒1cm 的速度匀速移动，点Q 由点B 出发沿BC 方向向终点C 以每秒2cm 的速度匀速移动，速度为2cm /s .如果动点同时从点A ，B 出发，当点P 或点Q 到达终点时运动停止.则当运动几秒时，以点Q ，B ，P 为顶点的三角形与ABC ∆相似？2．如图（1），已知点G 在正方形ABCD 的对角线AC 上，GE ⊥BC ，垂足为点E ，GF ⊥CD ，垂足为点F ．（1）证明与推断：①求证：四边形CEGF 是正方形； ②推断：AGBE的值为：（2）探究与证明：将正方形CEGF 绕点C 顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG 与BE 之间的数量关系，并说明理由：（3）拓展与运用：正方形CEGF 在旋转过程中，当B ，E ，F 三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG 交AD 于点H ．若AG=6，GH=22，则BC= ．3．如图1，在Rt ABC 中，90,4,2B AB BC ∠︒＝＝＝，点,D E 分别是边,BC AC 的中点，连接DE ．将CDE △绕点C 逆时针方向旋转，记旋转角为α．1（）问题发现①当0α=o 时，AE BD = ；②当180α=o 时，AEBD= ． 2（）拓展探究试判断：当0360α︒≤︒＜时，AEBD的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． 3（）问题解决 CDE △绕点C 逆时针旋转至,,A B E 三点在同一条直线上时，求线段BD 的长．4．在ABC ∆，CA CB =，ACB α∠=．点P 是平面内不与点A ，C 重合的任意一点．连接AP ，将线段AP 绕点P 逆时针旋转α得到线段DP ，连接AD ，BD ，CP ．（1）观察猜想如图1，当60α︒=时，BDCP的值是，直线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数是．（2）类比探究如图2，当90α︒=时，请写出BDCP的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．（3）解决问题当90α︒=时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时AD CP的值．5．如图1，在△ABC中，BA=BC，点D，E分别在边BC、AC上，连接DE，且DE=DC．（1）问题发现：若∠ACB=∠ECD=45°，则AEBD=．（2）拓展探究，若∠ACB=∠ECD=30°，将△EDC绕点C按逆时针方向旋转α度（0°＜α＜180°），图2是旋转过程中的某一位置，在此过程中AEBD的大小有无变化？如果不变，请求出AEBD的值，如果变化，请说明理由．（3）问题解决：若∠ACB=∠ECD=β（0°＜β＜90°），将△EDC旋转到如图3所示的位置时，则AEBD的值为．（用含β的式子表示）6．在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm,动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB向点B运动，动点Q从点B出发，以2cm/s秒的速度沿BC向点C运动.P、Q分别从A、B同时出发，设运动时间为t秒.(如图1)（１）用含t 的代数式表示下列线段长度：①PB=__________cm,②QB=_____cm,③CQ=_________cm. (2)当△PBQ 的面积等于3 时，求t 的值.(3) (如图2)，若E 为边CD 中点，连结EQ 、AQ.当以A 、B 、Q 为顶点的三角形与△EQC 相似时，直接写出满足条件的t 的所有值.7．如图l ，在ABCD 中，点M ，N 分别在边AD 和BC 上，点E ，F 在对角线BD 上，且AM CN =，12BE DF BD =<.（1）求证：四边形MENF 是平行四边形：（2）若6AB =，10BC =，8BD =.①当四边形MENF 是菱形时，AM 的长为______； ②当四边形MENF 是正方形时，BE 的长为______； ③当四边形MENF 是矩形且6AM =时，BE 的长为______.8．已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，点A ，C 的坐标分别为A （﹣3，0），C （1，0），BC ＝34AC（1）求过点A，B的直线的函数表达式；（2）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP＝DQ＝m，问是否存在这样的m，使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．9．已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．（1）求证：EF=AE﹣BE；（2）联结BF，如果AFBF=DFAD．求证：EF=EP．10．如图，在△ C中，过点C作CD，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF．求证：四边形AFCD是平行四边形．若， C，，求AB的长．11．已知：如图，点A ．F ，E ．C 在同一直线上，AB ∥DC ，AB=CD ，∠B=∠D ．（1）求证：△ABE ≌△CDF ；（2）若点E ，G 分别为线段FC ，FD 的中点，连接EG ，且EG=5，求AB 的长．12．如图，直线 AB 与坐标轴交与点(0,6),(8,0)A B ，动点P 沿路线O B A →→运动.(1)求直线AB 的表达式;(2)当点P 在OB 上，使得AP 平分OAB ∠时，求此时点P 的坐标;13．如图，将矩形ABCD 沿AF 折叠，使点D 落在BC 边的点E 处，过点E 作EG ∥CD 交AF 于点G ，连接DG ． (1)求证：四边形EFDG 是菱形； (2) 求证：21=2EG AF GF ⋅； (3)若AG=6，EG=25，求BE 的长．14．如图,在△ABC 中.AC=BC=5.AB=6.CD 是AB 边中线.点P 从点C 出发，以每秒2.5个单位长度的速度沿C-D-C 运动.在点P 出发的同时，点Q 也从点C 出发，以每秒2个单位长度的速度沿边CA 向点A 运动.当一个点停止运动时，另一个点也随之停止，设点P 运动的时间为t 秒.（1）用含t 的代数式表示CP 、CQ 的长度. （2）用含t 的代数式表示△CPQ 的面积.（3）当△CPQ 与△CAD 相似时，直接写出t 的取值范围.15．如图，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，垂足分别为B.C ，且AB=8，DC=6，BC=14，BC 上是否存在点P 使△ABP 与△DCP 相似？若有，有几个？并求出此时BP 的长，若没有，请说明理由.16．如图，正方形ABCD ，点P 为射线DC 上的一个动点，点Q 为AB 的中点，连接,PQ DQ ，过点P 作PE DQ 于点E .（1）请找出图中一对相似三角形，并证明；（2）若4AB ，以点,,P E Q 为顶点的三角形与ADQ △相似，试求出DP 的长.17．如图，正方形 ABCD 的边长为 8，E 是 BC 边的中点，点 P 在射线 AD 上，过 P 作 PF ⊥AE 于 F ．（1）请判断△PFA 与△ABE 是否相似，并说明理由；（2）当点 P 在射线 AD 上运动时，设 PA ＝x ，是否存在实数 x ，使以 P ，F ，E 为顶点的三角形也与△ABE 相似？若存在，请求出 x 的值；若不存在，说明理由．18．已知：如图，△ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在BC ，AC 且BD ＝CE ，AD 、BE 相交于点M ，求证：（1）△AME ∽△BAE ；（2）BD 2＝AD×DM ． 19．△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，过AB 上一点D 作DE‖ C ，D ‖ C 分别交AC 、BC 于点E 和F（1）如图1，证明：△ADE∽△DBF；（2）如图1，若四边形DECF是菱形，求DE的长；（3）如图2，若以D、E、F为顶点的三角形与△BDF相似，求AD的长．20．如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，连结BE，且BE⊥AC交AC于点F．（1）求证：△EAB∽△ABC；（2）若AD＝2，求AB的长；（3）在（2）的条件下，求DF的长．21．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM上一点，EF⊥AM，垂足为F，交AD延长线于点E，交DC 于点N．（1）求证：△ABM∽△EFA；（2）若AB＝12，BM＝6，F为AM的中点，求DN的长；（3）若AB ＝12，DE ＝1，BM ＝5，求DN 的长．22．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，按如下步骤作图：第一步，分别以点A 、D 为圆心，以大于12AD 的长为半径在AD 两侧作弧，交于两点M 、N ；第二步，连接MN 分别交AB 、AC 于点E 、F ；第三步，连接DE 、DF ．若BD =6，AF =4，CD =3，求线段BE 的长．23．教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．例2 如图，在ABC ∆中，,D E 分别是边,BC AB 的中点，,AD CE 相交于点G ，求证：13GE GD CE AD ==，证明：连结ED ．请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．结论应用：在ABCD 中，对角线AC BD 、交于点O ，E 为边BC 的中点，AE 、BD 交于点F ．（1）如图②，若ABCD 为正方形，且6AB =，则OF 的长为．（2）如图③，连结DE 交AC 于点G ，若四边形OFEG 的面积为12，则ABCD 的面积为．24．正方形ABCD的边长为4，M，N分别是BC，CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直．（1）证明：△ABM∽△MCN；（2）若△ABM的周长与△MCN周长之比是4：3，求NC的长．25．如图，在△ABC中，AB=8，BC=16，点P从点A开始沿AB向点B以2m/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以4m/s的速度移动，如果P，Q分别从AB，BC同时出发，经过几秒△PBQ与△ABC相似？26．如图，矩形ABCD中，AB＝20，BC＝10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q.(1)求证：△APQ∽△CDQ；(2)P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒．当t为何值时，DP⊥AC?27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC mAC n，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．（1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则DEDF＝；（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则DEDF＝（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；（3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长．28．如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从B，A两点出发，分别沿BA，AC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P，Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）如图①，当t为何值时，AP＝3AQ；（2）如图②，当t为何值时，△APQ为直角三角形；（3）如图③，作QD∥AB交BC于点D，连接PD，当t为何值时，△BDP与△PDQ相似？29．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是边AB上的动点，过点D作DE∥BC交AC于E，过E作EF∥AB交BC 于F，连结DF．（1）若点D是AB的中点，证明：四边形DFEA是平行四边形；（2）若AC＝8，BC＝6，直接写出当△DEF为直角三角形时AD的长．30．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB•AD，∠ADC＝90°，E为AB的中点．（1）求证：△ADC∽△ACB；（2）CE与AD有怎样的位置关系？试说明理由；（3）若AD＝4，AB＝6，求的值．31．（1）观察发现：如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D在边AB上，过D作DE∥BC交AC于E，AB＝5，AD ＝3，AE＝4．填空：①△ABC与△ADE是否相似？（直接回答）；②AC＝；DE＝．（2）拓展探究：将△ADE绕顶点A旋转到图2所示的位置，猜想△ADB与△AEC是否相似？若不相似，说明理由；若相似，请证明．（3）迁移应用：将△ADE绕顶点A旋转到点B、D、E在同一条直线上时，直接写出线段BE的长．32．如图1，一次函数y＝12x+4与x轴、y轴分别交于A，B两点．P是x轴上的动点，设点P的横坐标为n．（1）当△BPO∽△ABO时，求点P的坐标；（2）如图2，过点P的直线y＝2x+b与直线AB相交于C，求当△P AC的面积为20时，点P的坐标；（3）如图3，直接写出当以A，B，P为顶点的三角形为等腰三角形时，点P的坐标．33．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在x轴负半轴上，顶点C在x轴正半轴上，顶点B在第一象限，线段OA，OC的长是一元二次方程x2-12x+36=0的两根，BC=45，∠BAC=45°．(1)直接写出点A的坐标________点C的坐标________；(2)若反比例函数y=kx的图象经过点B，求k的值；(3)如图过点B作BD⊥y轴于点D；在y轴上是否存在点P，使以P，B，D为顶点的三角形与以P，O，A为顶点的三角形相似?若存在，直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．34．感知：如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，点P在BC边上，当∠APD=90°时，可知△ABP∽△PCD．（不要求证明）探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B=∠C=∠APD时，求证：△ABP∽△PCD．拓展：如图③，在△ABC中，点P是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上．若∠B=∠C=∠DPE=45°，BC=6 2，CE=4，则DE的长为______．35．已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点A、C的横坐标是一元二次方程x2+2x-3=0的两根（AO＞OC），直线AB与y轴交于D，D点的坐标为9 04⎛⎫ ⎪⎝⎭，（1）求直线AB的函数表达式；（2）在x轴上找一点E，连接EB，使得以点A、E、B为顶点的三角形与△ABC相似（不包括全等），并求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，点P、Q分别是AB和AE上的动点，连接PQ，点P、Q分别从A、E同时出发，以每秒1个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，两点停止运动，设运动时间为t秒，问几秒时以点A、P、Q为顶点的三角形与△AEB相似．参考答案1．当运动2.4秒或1811秒时，以点Q ，B ，P 为顶点的三角形与ABC ∆相似【解析】【分析】设t 秒后，以Q ，B ，P 为顶点的三角形与△ABC 相似；则PB ＝（6−t ）cm ，BQ ＝2tcm ，分两种情况：①当PB BQAB BC=时；②当BP BQBC BA=时；分别解方程即可得出结果．【详解】解：设(04)t t <…秒后，以点Q ，B ，P 为顶点的三角形与ABC ∆相似，则(6)cm PB t =-，2cm BQ t =.∵90B ︒∠=，∴分两种情况讨论：①当PBQ ABC ∆∆∽时，PB BQ AB BC =，即6268t t-=，解得 2.4t =； ②当QBP ABC ∆∆∽时，BP BQBC BA=，即6286t t -=，解得1811t =. 综上所述，当运动2.4秒或1811秒时，以点Q ，B ，P 为顶点的三角形与ABC ∆相似. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定方法、解方程；熟练掌握相似三角形的判定方法，分两种情况进行讨论是解决问题的关键．2．（1）①四边形CEGF 是正方形；②2；（2）线段AG 与BE 之间的数量关系为AG=2BE ；（3）35 【解析】【分析】（1）①由GE BC ⊥、GF CD ⊥结合BCD 90∠=可得四边形CEGF 是矩形，再由ECG 45∠=即可得证；②由正方形性质知CEG B 90∠∠==、ECG 45∠=，据此可得CG2CE=、GE //AB ，利用平行线分线段成比例定理可得；（2）连接CG ，只需证ACG ∽△BCE 即可得；（3）证AHG ∽CHA 得AG GH AH AC AH CH ==，设BC CD AD a ===，知AC 2a =，由AG GHAC AH=得2AH a 3=、1DH a 3=、10CH a 3=，由AG AH AC CH =可得a 的值．【详解】（1）①∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BCD=90°，∠BCA=45°， ∵GE ⊥BC 、GF ⊥CD ， ∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°，∴四边形CEGF 是矩形，∠CGE=∠ECG=45°， ∴EG=EC ，∴四边形CEGF 是正方形； ②由①知四边形CEGF 是正方形， ∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°，∴2CGCE=，GE ∥AB ， ∴2AG CGBE CE==，故答案为：2；（2）连接CG ，由旋转性质知∠BCE=∠ C =α，在Rt △CEG 和Rt △CBA 中，CE CG =22、CB CA =22， ∴CG CE =2CACB=， ∴△ACG ∽△BCE ，∴2AG CABE CB==， ∴线段AG 与BE 之间的数量关系为AG=2BE ；（3）∵∠CEF=45°，点B 、E 、F 三点共线， ∴∠BEC=135°， ∵△ACG ∽△BCE ， ∴∠AGC=∠BEC=135°， ∴∠AGH=∠CAH=45°， ∵∠CHA=∠AHG ， ∴△AHG ∽△CHA ， ∴AG GH AHAC AH CH==，设BC=CD=AD=a ，则AC=2a ，则由AG GHAC AH=得6222AHa=，∴AH=23 a，则DH=AD﹣AH=13a，CH=22CD DH+=103a，∴由AG AHAC CH=得2632103aaa=，解得：a=35，即BC=35，故答案为：35．【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键.3．（1）①5；②5；(2) 5;(3) 35 5【解析】【分析】（1）①根据勾股定理和三角形中位线的性质，即可得到答案；②根据平行线的性质即可得到答案；(2)根据相似三角形的性质和判定即可得到答案；(3) 根据勾股定理即可得到答案.【详解】解：()1①当0α︒＝时，Rt ABC Q V 中，90B ∠︒＝，22222425AC AB BC ∴++＝＝＝，点,D E 分别是边,BC AC 的中点，115122AE AC BD BC ∴＝＝，＝＝，5AEBD∴=． ②如图1﹣1中，当180α︒＝时，可得//AB DE ，AC BCAE BD =Q ， 5AE ACBD BC∴==．故答案为：55①,②． 2（）如图2，当0360α︒≤︒＜时，AEBD的大小没有变化， ECD ACB ∠∠Q ＝， ECA DCB ∴∠∠＝，又5EC ACDC BC==Q, ECA DCB ∴V V ∽，5AE ECED DC∴==． ()3①如图3﹣1中，当点E 在AB 的延长线上时，在Rt BCE V 中,5,2CE BC ＝＝，22541BE EC BC ∴--＝＝＝，5AE AB BE ∴+＝＝，5AEBD=Q， 555BD ∴==．②如图3﹣2中，当点E 在AB 线段上时，易知1,413BE AE -＝＝＝， 5AEBD=Q， 355BD ∴＝，综上所述，满足条件的BD 的长为355．【点睛】本题考查勾股定理、三角形中位线的性质、平行线的性质和相似三角形的性质和判定，解题的关键熟练掌握勾股定理、三角形中位线的性质、平行线的性质和相似三角形的性质和判定. 4．（1）1，60︒（2）45°（3）22-，22+ 【解析】【分析】（1）如图1中，延长CP 交BD 的延长线于E ，设AB 交EC 于点O ．证明()CAP BAD SAS ∆≅∆，即可解决问题．（2）如图2中，设BD 交AC 于点O ，BD 交PC 于点E ．证明DABPAC ∆∆，即可解决问题．（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当点D 在线段PC 上时，延长AD 交BC 的延长线于H ．证明AD DC =即可解决问题．②如图3﹣2中，当点P 在线段CD 上时，同法可证：DA DC =解决问题．【详解】解：（1）如图1中，延长CP 交BD 的延长线于E ，设AB 交EC 于点O ．60PAD CAB ︒∠=∠=，CAP BAD ∴∠=∠，CA BA =，PA DA =，()CAP BAD SAS ∴∆≅∆， PC BD ∴=，ACP ABD ∠=∠， AOC BOE ∠=∠，60BEO CAO ︒∴∠=∠=，1BDPC∴=，线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数是60︒，故答案为1，60︒．（2）如图2中，设BD 交AC 于点O ，BD 交PC 于点E ．45PAD CAB ︒∠=∠=， PAC DAB ∴∠=∠，2AB ADAC AP ==， DABPAC ∴∆∆，PCA DBA ∴∠=∠，2BD ABPC AC==， EOC AOB ∠=∠，45CEO OAB ︒∴∠=∠=，∴直线BD 与直线CP 相交所成的小角的度数为45︒．（3）如图3﹣1中，当点D 在线段PC 上时，延长AD 交BC 的延长线于H ．CE EA =，CF FB =，EF AB ∴∥，45∴∠=∠=，EFC ABC︒PAO︒∠=，45∴∠=∠，PAO OFH∠=∠，POA FOH∴∠=∠，H APO=，90∠=，EA ECAPC︒∴==，PE EA ECEPA EAP BAH∴∠=∠=∠，∴∠=∠，H BAH∴=，BH BA∠=∠=，ADP BDC︒45∴∠=，90ADB︒∴⊥，BD AHDBA DBC︒∴∠=∠=，22.5ADB ACB︒∠=∠=，90∴A，D，C，B四点共圆，DCA ABD︒∠=∠=，DAC DBC︒∠=∠=，22.522.5∴∠=∠=，22.5DAC DCA︒DA DC ∴=，设=AD a ，则DC AD a ==，22PD a =， 2222ADa CPa a∴==-+c ．如图3﹣2中，当点P 在线段CD 上时，同法可证：=DA DC ，设=AD a ，则CD AD a ==，22PD a =，22PC a a ∴=-， 2222ADa PCa a∴==+-．【点睛】本题属于相似形综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．5．（1）2；（2）此过程中AE BD 的大小有变化，3AEBD=（3）2 osβ 【解析】【分析】1）如图1，过E 作EF ⊥AB 于F ，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠C=∠DEC=45°，于是得到∠B=∠EDC=90°，推出四边形EFBD 是矩形，得到EF=BD ，推出△AEF 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到结论；（2）根据等腰三角形的性质得到∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=30°，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；（3）根据等腰三角形的性质得到∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=β，根据相似三角形的性质得到BC ACDC CE=，即BC DCAC EC =，根据角的和差得到∠ACE=∠BCD ，求得△ACE ∽△BCD ，证得AE AC BD BC=，过点B 作BF ⊥AC 于点F ，则AC=2CF ，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：（1）如图1，过E 作EF ⊥AB 于F ，∵BA=BC ，DE=DC ，∠ACB=∠ECD=45°， ∴∠A=∠C=∠DEC=45°， ∴∠B=∠EDC=90°， ∴四边形EFBD 是矩形， ∴EF=BD ， ∴EF ∥BC ，∴△AEF 是等腰直角三角形，∴2BD EFAE AE==，故填：2，（2）此过程中AEBD的大小有变化，由题意知，△ABC 和△EDC 都是等腰三角形， ∴∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=30°， ∴△ABC ∽△EDC ，∴BC AC DC CE =，即BC DCAC EC=，又∠ECD+∠ECB=∠ACB+∠ECB ， ∴∠ACE=∠BCD ， ∴△ACE ∽△BCD ，∴AE ACBD BC=，在△ABC 中，如图2，过点B 作BF ⊥AC 于点F ，则AC=2CF ，在Rt △BCF 中，3cos302CF BC BC ︒=⋅=， ∴AC=3BC ．∴3AE ACBD BC==；（3）由题意知，△ABC 和△EDC 都是等腰三角形，且∠ACB=∠ECD=β， ∴∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=β， ∴△ABC ∽△EDC ，∴BC AC DC CE =，即BC DCAC EC=，又∠ECD+∠ECB=∠ACB+∠ECB ， ∴∠ACE=∠BCD ，∴△ACE∽△BCD，∴AE AC BD BC=，在△ABC中，如图3，过点B作BF⊥AC于点F，则AC=2CF，在Rt△BCF中，C = C• osβ，∴ C=2 C osβ．∴AE ACBD BC==2 osβ，故答案为2 osβ．【点睛】本题考查了相似形的综合题、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定和性质解决问题，属于中考常考题型．6．（1）PB=4-t；QB=2t；CQ=8-2t；（2）1或3；（3）或或.【解析】【分析】（1）根据题意写出结果即可；（2）利用三角形的面积公式列方程求解即可；（3）根据相似三角形的性质，分两种情况列式求解即可.【详解】（1）由题意得，①PB=4-t；②QB=2t；③CQ=8-2t；（2）∵△PBQ的面积等于3，∴2t(4-t)=3×2,解之得，t=1或3；（3）当△ABQ～△QCE时，,∴,解之得，x1=，x2=;当△ABQ～△ECQE时，,∴,解之得，t=.∴满足条件的t的所有值为或或.【点睛】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，相似三角形的性质及分类讨论的数学思想，熟练掌握分类讨论的数学思想是解答本题的关键. 相似三角形的性质：如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边的比，对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方.7．（1）证明见解析，（2）①5．②1．③41045 ．【解析】【分析】（1）如图1中，设BD 的中点为O ．连接AC ，AN ，CM ，MN ．利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可．（2）①如图21-中，连接MN 交BD 于点O ，当MN BD ⊥时，四边形MENF 是菱形．利用平行线等分线段定理即可解决问题．②在①的基础上，OE OM =时，四边形MENF 是正方形．③如图32-中，连接MN 交BD 于点O ，作MH BD ⊥于H ．当OE OF OM ON ===时，四边形MENF 是矩形．【详解】（1）证明：如图1中，设BD 的中点为O ．连接AC ，AN ，CM ，MN ．四边形ABCD 是平行四边形， AC ∴与BD 互相平分且交于点O ，//AMCN ，AM CN =，∴四边形ANCM 是平行四边形，AC ∴与MN 互相平分且交于点O ，OM ON ∴=，OB OD =，BE DF =，OE OF ∴=，∴四边形MENF 是平行四边形．（2）①如图21-中，连接MN 交BD 于点O ，当MN BD ⊥时，四边形MENF 是菱形．6AB CD ==，10AD BC ==，8BD =， 222AD AB BD ∴=+，90ABD ∴∠=︒，90MOF ABD ∴∠=∠=︒，//OM AB ∴， OB OD =， 5AM DM ∴==．②在①的基础上，满足OM OE =时，四边形MENF 是正方形，易知132OM AB ==， 3OE OF ∴==， 8BD =，1·(86)12BE DF ∴==-=．③如图32-中，连接MN 交BD 于点O ，作MH BD ⊥于H ．//MH AB ，:::MH AB DM DA DH DB ∴== :64:10:8MH DH ∴==，125MH ∴=，165DH =， 164455OH ∴=-=， 224105OM MH OH ∴=+=，当OE OF OM ON ===时，四边形MENF 是矩形，1810410(8)4255BE DF ∴==-=-．故答案为：5，1，41045-．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8．（1）y ＝34x +94；（2）D 点位置见解析，D （134，0）；（3）符合要求的m 的值为12536或259．【解析】【分析】（1）先根据A（−3，1），C（1，0），求出AC进而得出BC＝3求出B点坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式即可；（2）运用相似三角形的性质就可求出点D的坐标；（3）由于△APQ与△ADB已有一组公共角相等，只需分△APQ∽△ABD和△APQ∽△ADB两种情况讨论，然后运用相似三角形的性质建立关于m的方程，就可解决问题．【详解】解：（1）∵A（﹣3，0），C（1，0），∴AC＝4，∵BC＝34 AC，∴BC＝34×4＝3，∴B（1，3），设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴303k bk b-+=⎧⎨+=⎩，∴3494kb⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线AB的解析式为y＝34x+94；（2）若△ADB与△ABC相似，过点B作BD⊥AB交x轴于D，∴∠ABD＝∠ACB＝90°，如图1，此时ABAC＝ADAB，即AB2＝ C• D．∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，∴25＝4AD，∴AD＝25 4，∴OD＝AD﹣AO＝254﹣3＝134，∴点D的坐标为（134，0）；（3）∵AP＝DQ＝m，∴AQ＝AD﹣QD＝254﹣m．Ⅰ、若△APQ∽△ABD，如图2，则有APAB＝AQAD，∴ P• D＝ • Q，∴254m＝5（254﹣m），解得m＝25 9；Ⅱ、若△APQ∽△ADB，如图3，则有APAD＝AQAB，∴ P• ＝ D• Q，∴5m＝254（254﹣m），解得：m＝125 36，综上所述：符合要求的m的值为12536或259．【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了是待定系数法，相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，也考查了分类讨论的数学思想，属于中档题，解本题的关键是根据相似建立方程求解．9．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用正方形的性质得AB=AD ，∠BAD=90°，根据等角的余角相等得到∠1=∠3，则可判断△ABE ≌△DAF ，则BE=AF ，然后利用等线段代换可得到结论；（2）利用AF DF BF AD =和AF=BE 得到BE BFDF AD=，则可判定Rt △BEF ∽Rt △DFA ，所以∠4=∠3，再证明∠4=∠5，然后根据等腰三角形的性质可判断EF=EP ．【详解】（1）∵四边形ABCD 为正方形，∴AB=AD ，∠BAD=90°， ∵BE ⊥AP ，DF ⊥AP ， ∴∠BEA=∠AFD=90°， ∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°， ∴∠1=∠3，在△ABE 和△DAF 中12BEA AFDAB DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△DAF ， ∴BE=AF ，∴EF=AE ﹣AF=AE ﹣BE ；（2）如图，∵AF DFBF AD=，而AF=BE ，∴BE DFBF AD =， ∴BE BFDF AD=， ∴Rt △BEF ∽Rt △DFA ，∴∠4=∠3，而∠1=∠3，∴∠4=∠1，∵∠5=∠1，∴∠4=∠5，即BE平分∠FBP，而BE⊥EP，∴EF=EP．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关的性质与定理、正确添加辅助线是解题的关键.10．证明见解析；．【解析】【分析】由E是AC的中点知 E CE，由CD知 E CDE，据此根据“ S”即可证△ E ≌△CED，从而得CD，结合CD即可得证；证△∽△ CD得，据此求得CD，由CD及可得答案．C CD【详解】E是AC的中点，E CE ， CD ， E CDE ，在△ E 和△CED 中，，△ E ≌△CED S ， CD ，又 CD ，即 CD ，四边形AFCD 是平行四边形； CD ， △ ∽△ CD ，CCD，即CD，解得：CD，四边形AFCD 是平行四边形， CD，．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关的性质及定理是解题的关键.11．（1）证明见解析；（2）AB=10．【解析】分析：（1）根据平行线的性质得出∠A=∠C，进而利用全等三角形的判定证明即可；（2）利用全等三角形的性质和中点的性质解答即可．详解：（1）证明：∵AB∥DC，∴∠A=∠C，在△ABE与△CDF中＝＝＝，∴△ABE≌△CDF（ASA）；（2）∵点E，G分别为线段FC，FD的中点，∴ED=CD，∵EG=5，∴CD=10，∵△ABE≌△CDF，∴AB=CD=10．点睛：此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据平行线的性质得出∠A=∠C．12．（1）y=34x+6；（2）P（3，0）．【解析】【分析】1）直接利用待定系数法即可得出结论；（2）方法1、利用角平分线判断出BC=AB=10，进而判断出△AOP∽△CBP，求出OP，即可得出结论；方法2、先判断出OP=PM，设OP=m，得出PM=m，BP=8-m，再求出AM=OA=6，进而得出BM=AB-AM=4，最后用勾股定理建立方程求解即可得出结论．【详解】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，∵A（0，6），B（8，0），∴680bk b⎧⎨+⎩＝＝，∴346kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AB的解析式为y=34-x+6；（2）方法1、如图1，∵A（0，6），B（8，0），∴OA=6，OB=8，AB=10，过点B作BC∥OA交AP的延长线于C，∴∠C=∠OAP，∵AP平分∠OAB，∴∠OAP=∠BAP，∴∠C=∠BAP，∴BC=AB=10，∵BC∥OA，∴△AOP∽△CBP，∴OP OA=BP BC=35，∴OP3=OB8，∴OP=3，∴P（3，0）；方法2、如图3，过点P作PM⊥AB于M，∵AP是∠OAB的角平分线，∴OP=PM，设OP=m，∴PM=m，∴BP=OB-OP=8-m易知，△AOP≌△AMP，∴AM=OA=6，∴BM=AB-AM=4，在Rt△BMP中，根据勾股定理得，m2+16=（8-m）2，∴m=3，∴P（3，0）．故答案为：（1）y=34x+6；（2）P（3，0）．【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，角平分线的定义，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线构造出相似三角形是解题的关键．13．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）BE的长为125 5.【解析】（1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG，从而得到GD=DF，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF；（2）连接DE，交AF于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF=12GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明D 2= O• ，于是可得到GE、AF、FG的数量关系；（3）过点G作GH⊥DC，垂足为H．利用（2）的结论可求得FG=4，然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE=AD﹣GH求解即可．解：（1）证明：∵GE∥DF，∴∠EGF=∠DFG．∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，∴∠DGF=∠DFG．∴GD=DF．∴DG=GE=DF=EF．∴四边形EFDG为菱形．“点睛”本题考查的是四边形与三角形的综合应用，解题应用了矩形的性质，菱形的性质和判定、相似三角形的判定和性质，掌握矩形的性质定理和相似三角形的判定定理、性质定理是解题的关键．14．（1）当0＜t≤85时，CP=2.5t，CQ=2t；当8552t<≤时，CP=8-2.5t，CQ=2t．（2）当0＜t≤85时，S△CPQ=12•PC•sin∠ CD•CQ=12×2.5t×35×2t=232t；当8552t<≤时，S△CPQ=12•PC•sin∠ CD•CQ=1 2×（8-2.5t）×35×2t=232425t t-+.（3）0＜t≤85或80t41=s【解析】【分析】（1）分两种情形：当0＜t≤85时，当85＜t52≤时，分别求解即可．（2）分两种情形：当0＜t≤85时，当85＜t≤52时，根据S△CPQ=12•PC•sin∠ CD•CQ分别求解即可．（3）分两种情形：当0＜t≤85，可以证明△QCP∽△DCA，当85＜t52≤，∠QPC=90°时，△QPC∽△ADC，构建方程求解即可．【详解】解：（1）∵CA=CB，AD=BD=3，∴CD⊥AB，∴∠ADC=90°，∴CD=22AC AD-=2253-=4，当0＜t≤85时，CP=2.5t，CQ=2t，当85t52<≤时，CP=8-2.5t，CQ=2t．（2）∵sin∠ACD=ADAC=35，∴当0＜t≤85时，S△CPQ=12•PC•sin∠ CD•CQ=12×2.5t×35×2t=23t2当85t52<≤时，S△CPQ=12•PC•sin∠ CD•CQ=12×（8-2.5t）×35×2t=2324t t25-+.（3）①当0＜t≤85时，∵CP=2.5t，CQ=2t，∴CQCP=45，∵CDCA=45，∴CQ CD CP CA=，∵∠PCQ=∠ACD，∴△QCP ∽△DCA ，∴0＜t≤85时，△QCP ∽△DCA ， ②当85t 52<≤时，当∠QPC=90°时，△QPC ∽△ADC ， ∴CP CQ CD CA =， ∴8 2.5t 2t 45-=，解得：80t 41=，综上所述，满足条件的t 的值为：0＜t≤85或80t 41=s 时，△QCP ∽△DCA ．【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．15．BC 上存在两个点P ，BP=6或8使△ABP 与△DCP 相似. 【解析】【分析】设BP=x ，表示出PC=14-x ，然后分BP 与CP 是对应边，BP 与DC 是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．【详解】设BP=x ，则PC=14−x ，BP 与CP 是对应边时,=BP ABCP DC，即8146x x =-，解得x=8，BP 与DC 是对应边时,=BP ABDC CP，即8=614x x-，解得x1=6,x2=8，所以，BC 上存在两个点P ，BP=6或8使△ABP 与△DCP 相似. 【点睛】此题考查相似三角形的判定，解题关键在于根据相似三角形的性质对应边成比例列出方程. 16．（1）DPE QDA ∽，见解析；（2）2DP =或5DP ＝. 【解析】【分析】（1）通过等角转换，可得出三角相等，即可判定DPE QDA ∽；（2）首先根据已知条件求出DQ ，由三角形相似的性质，列出方程，即可得解，注意分两种情况讨论. 【详解】（1）DPE QDA ∽根据已知条件，得∠DAQ=∠PED=90° 又∵∠ADQ+∠PDE=∠DPE+∠PDE=90° ∴∠ADQ =∠DPE ，∠AQD=∠PDE ∴DPE QDA ∽（2）由已知条件，得22224225DQ AD AQ =+=+=设DE 为x ∵DPE QDA ∽∴DA PEAQ DE= ∴PE 为2x ∵PEQADQ △△∴分两种情况：①AQ DAPE EQ = 即24225x x=- 解得255x =∴()2222DP x x =+=②AQ DAEQ PE= 即24225xx =- 解得5x =()2225DP x x =+=【点睛】此题主要考查三角形相似的性质，熟练掌握，即可解题.17．（1）见解析；（2）存在，x的值为2或5.【解析】【分析】（1）在△PFA与△ABE中，易得∠PAF=∠AEB及∠PFA=∠ABE=90°；故可得△PFA∽△ABE；（2）根据题意：若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB；必须有PE∥AB；分两种情况进而列出关系式．【详解】(1)证明：∵AD∥BC,∴∠PAF=∠AEB.∵∠PFA=∠ABE=90°，∴△PFA∽△ABE.(2)若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB.如图，连接PE,DE,∴PE∥AB.∴四边形ABEP为矩形.∴PA=EB=2，即x=2.如图，延长AD至点P，作PF⊥AE于点F,连接PE, 若△PFE∽△ABE，则∠PEF=∠AEB.∵∠PAF=∠AEB，∴∠PEF=∠PAF.∴PE=PA.∵PF⊥AE，∴点F为AE的中点.∵AE=22=25AB BE，∴EF=12AE=5.∵5==225,PE EF PEAE EB，即，∴PE=5，即x=5.∴满足条件的x的值为2或5.【点睛】此题考查正方形的性质，相似三角形的判定，解题关键在于作辅助线. 18．（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】。

数学北师大版九年级上册《猜想、证明与拓广》课件公开课(1)

数学小故事一
蜂蜜，人人喜爱的补品；蜜蜂，勤劳的象征；蜂房，蜜蜂制作蜂蜜的巢穴，蜂房的奇妙结构令无数学者和数学家们赞叹不已，蜜蜂建筑蜂房的本领使人类的许多建筑师感到惭愧。早在公元前300年前后，亚历山大的巴鲁士就研究过蜂房的形状，他认为六棱柱的巢是最经济的结构。
蜂房的表面是由正六边形构成的，蜜蜂之所以建筑这种消耗最少材料的蜂房，那是因为蜜蜂“懂得”其中的数学道理。
作业： 1.发现自己生活中与数学相关的事件，用照片或视频记录下来； 2.发现动物世界中与数学相关的事件，用照片或视频记录下来。
艺术的都要知道计算角度和黄金分割点！
从买菜时的算术，到列车时刻表，到航
天飞机的发射……哪个环节离得了数学。从IT，
到建筑，到金融，到税务，到设计……哪个行
业离得了数学。数学真的是无时不在，无处不
在啊！
学习目标
1．感受数学的存在； 2．体会数学的重要性和学习的必要性； 3．感受数学的乐趣，树立学好数学的信心。
发开现启数生学活的的奥智秘慧
•新密市第二初级中学张爱云
宇宙之繁，无处
不用数学。
--------华罗庚
数学与我们的生活息息相关，首先作为
一门科学。数学是一切科学的源科学。科学的
终极目标是追求真理，哲学提供了方法论。而
数字则是最真的结果。不要说理工科，甚至学
数学小故事二
数学小故事三
生活中的趣味数学
缪勒•莱耶错觉
看看上面带箭头的两条线段，猜猜看哪条更长，是上边那条吗？
生活中的趣味数学
“一笔画”的规律你能笔尖不离纸，一笔画出下面的每个图形吗？试试看！（不走重复路线）
生活中的趣味数学
烤面包的时间

北师大版九年级数学上第六章辨伪求真--猜想、证明与拓广教学课件

OB OC线段垂直平分上的点到线段两端的距离相等
RtADO RtAEO, RtBDO RtCEO HL
AD AE, BD CE
A
AD BD AE CE 即AB AC A B C是等腰三角形
D
E
O C
B
活动5 剪下重拼,面积怎么变了呢？
（1）求点C，E 的坐标及直线AB的解析式.
（2）设面积的和 S SCDE SABDO ，求 S的值．
嘉琪有个想法：“将 CDE 沿x轴翻折到 CDB 的位置，
而 CDB 与四边形ABDO 拼接后可看成AOC ，
y
这样求S便转化为直接求AOC 的面积.”
A
y 3 x 39
B
88
C
D
O
x
E
活动2 两个面积可以拼合？
解:
(三）高潮探究，活跃交流
活动3 两个正方形面积相等吗？活动4 明明是错误命题，却找不出错哪里？活动5 剪下重拼,面积怎么变了呢？
活动3 两个正方形面积相等吗？
老师布置了这样一道课后思维训练题：比较图中两个正方形面积的大小.题目一出来,好多同学就说:“一样大”.你认为呢？
北师大版九年级上册
综合与实践
江西省赣州市厚德外国语学校谢应梅
(一）生活引入，激趣学习
眼睛有时也会欺骗你
托起太阳的人
眼睛有时ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ会欺骗你
恶魔的眼睛
(二）初步体验，获取方法
活动1 曲道比直道面积大吗？活动2 两个面积可以拼合？
活动1 曲道比直道面积大吗？
如图是一块长方形的草地, 长为 a m，宽为 b m.
活动4 明明是错误命题，怎么就找不出错在哪里？

九年级数学北师大版课件共27页

AC=AC（公共边）, ∴△ABC≌△ADC（SAS）.
驶向胜利的彼岸
∴△ABD是等边三角形(有一个角600是的等腰三角形是等边三角形)
∴BC=
1 2
BD=12
AB(等式性质).
回顾反思 3
几何的三种语言
定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于 300,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
在△ABC中,
∴∠C=∠B=600.(等边对等角). B
C
∴∠A=600(三角形内角和定理).
∴∠A=∠B（等式性质）.
∴ AC=CB（等角对等边）.
∴AB=BC=AC（等式性质）.
∴ △ABC是等边三角形(等边三角形意义).
驶向胜利的彼岸
回顾反思 1
几何的三种语言
定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.
′
要能使BD=BC/2即可,此时若 B
A
∠BCD=300就可以了.而由“
D
双垂直三角形”即可求得.
你能规范地写出证明过程吗？你的证题能力有所提高吗?
驶向胜利的彼岸
隋堂练习 3
三角形,认识我吗
2.已知:如图,点P,Q在BC上,且 BP=AP=AQ=QC=a,∠PAQ=600,AH⊥BC于H. (1)求证:AB=AC; (2)试在图中标出各个角的度数; (3)求出图中各线段的长度,并说明理由.
由此你想到，在直角三角形中, 300角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？
结论:在直角三角形中, 300角所对的直角边等于斜边的一半.
驶向胜利的彼岸
能证明你的结论吗？
我能行 4
命题的证明
定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等 A 于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半.

北师大版数学九年级上册阅读与思考猜想、证明与拓广优秀教学案例

（五）作业小结
在作业小结环节，我会布置相关的作业和练习题，让学生进行巩固和应用。我会提醒学生注意作业的完成要求和时间安排，并鼓励他们积极思考和解决问题。同时，我会对学生的作业进行及时的批改和反馈，给予他们鼓励和指导，帮助他们提高解题能力和学习效果。
五、案例亮点
1.情境创设：本案例通过引入具体案例和实际问题，激发了学生的学习兴趣和动力。这种情境创设的方式使得学生能够更好地理解和感受到数学与生活的紧密联系，增强了学生的学习兴趣和积极性。
（二）过程与方法
在本章节的教学中，我期望学生能够达到以下过程与方法目标：
1.自主学习：学生能够独立完成阅读材料的学习，通过自主学习培养自身的数学思维能力和探究能力。
2.合作交流：学生在小组合作中，能够积极与他人交流和分享自己的思考和观点，通过合作交流提高自己的数学理解和解决问题的能力。
3.问题解决：学生能够运用已学的数学知识和方法，解决阅读材料中的数学问题，通过问题解决培养自己的创新能力和实践能力。
（三）学生小组讨论
在学生小组讨论环节，我会将学生分成小组，并给出具体的讨论题目和问题。我会引导学生进行合作和交流，鼓励他们分享自己的观点和思路。我会巡回指导，给予学生必要的帮助和指导，促进学生的小组合作和问题解决能力的培养。
（四）总结归纳
在总结归纳环节，我会邀请学生代表或自己进行对本章节的总结和归纳。我会引导学生回顾和梳理所学的内容和知识点，强调重点和难点，并指出学习的意义和应用价值。通过总结归纳，学生能够加深对知识的理解和记忆，形成系统化的知识结构。
我的教学案例主要包括以下几个方面：首先，我会引导学生通过阅读材料，了解和掌握数学问题的背景和情境。其次，我会引导学生运用已学的数学知识和方法，对问题进行猜想和假设。然后，我会引导学生通过逻辑推理和数学证明，验证猜想的正确性。最后，我会引导学生进行拓广和应用，将所学知识和方法应用到其他相关问题中。

北师大版2023-2023学年九年级数学上册教案及教学反思-图文

第一章特殊平行四边形1.掌握菱形、矩形、正方形的概念,以及它们之间的关系.2.理解菱形、矩形、正方形的性质定理与判定定理,并能证明其他相关结论.3.掌握直角三角形的性质定理:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.1.经历探索菱形、矩形、正方形的概念、性质与判定的猜想与证明的过程,丰富数学活动经验,进一步发展合情推理和演绎推理的能力.2.理解菱形、矩形、正方形的概念,了解它们与平行四边形之间的关系,进一步体会从一般到特殊的思考问题的方法,提高发现问题和解决问题的能力.3.在参与观察、试验、猜想、证明等数学活动中,有意识地渗透试验论证、逆向思维的思想,提高学生的能力.1.积极参与数学学习活动,对数学有好奇心和求知欲.2.经历图形的分类、性质探讨的过程,掌握图形与几何的基础知识和基本技能.通过“猜想，总结，证明，应用”的数学活动提升科学素养.3.提高自主探究的能力和增强与他人合作交流的意识、方法.四边形是人们日常生活中应用较为广泛的一种几何图形,尤其是平行四边形、菱形、矩形、正方形等特殊四边形的用处更多.因此,四边形既是几何中的基本图形,也是“空间与图形”领域中主要研究对象之一.本章是在已经学过的多边形、平行线、三角形、平行四边形的基础上对菱形、矩形、正方形的有关性质与常用的判定方法的证明与扩充.它们的探索方法也都与平行四边形的性质和判定的探索方法一脉相承.本章的学习有助于深化对平行四边形的理解,以及对识图、画图等操作技能的掌握,丰富学生的数学活动经验和体验,促进其良好数学观的形成.本章主要渗透归纳、类比、转化等数学思想,注重通过引导探索过程来渗透与展现证明的思路.此外还要注意引导学生探索证明的不同思路与方法,并进行适当的比较和讨论,提高分析、寻求证明思路的能力.【重点】菱形、矩形、正方形的定义、性质与判定.本章教学时间约需8课时,具体分配如下:1菱形的性质与判定2矩形的性质与判定3正方形的性质与判定3课时3课时2课时1菱形的性质与判定理解菱形的概念,了解它与平行四边形之间的关系.1.经历菱形的性质定理与判定定理的探索过程,进一步发展合情推理能力.2.能够用综合法证明菱形的性质定理与判定定理,进一步发展演绎推理能力.体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学现象.【重点】1.菱形的概念和性质.2.探索菱形的判定方法【难点】菱形的概念和性质在生活中的应用.第课时探索并掌握菱形的概念和菱形所具有的特殊性质,会进行简单的推理和运算.在观察、操作、推理、归纳等探索过程中,发展学生合情推理的能力,进一步让学生养成用数学知识说理的习惯,并要求学生能熟练地按规范的推理格式书写.从学生已有的知识出发,通过欣赏、观察、动手操作等活动让学生感受身边的数学图形的和谐美与对称美,激发他们学习数学的兴趣,树立学好数学的信心,体会学习数学的快乐.培养学生主动探究、自主学习和合作交流的意识.【重点】菱形的概念和性质.【难点】菱形性质的灵活应用.【教师准备】1.教师在课前布置学生复习平行四边形的性质,搜集菱形的相关图片.2.多媒体课件.3.教师准备菱形纸片,上课前发给学生上课时使用.【学生准备】复习平行四边形的性质导入一:请同学们观察投影图片中的四边形并回答下列问题:(1)投影图片中有平行四边形吗?(2)这些平行四边形具有哪些特征?其中哪个特征不是平行四边形的性质?【师生活动】复习平行四边形的定义及性质.导入二:。

北师大版九年级上册数学综合与实践2猜想、证明与拓广课件

2、每小组选一种情况进行说明。
3、整理并写出完整的解答过程。
4、尝试更多的方法解决。
3 倍增问题——猜想
任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积2倍.
猜想的结论是：存在.
3 倍增问题——证明
从特殊到一般：
当已知矩形的长和宽分别为n和m时，是否仍然有相同的结论？
九年级数学(上) 综合与实践
课题学习：猜想，证明与拓广
1 七桥问题的解决经历了哪几步？
验证猜想
欧拉怀疑七桥问题是不是本来就无解呢
A
建模
C
证明
B
延伸
D
拓广
拓扑学
探究活动一：初步感知探究模式
提出问题：
生活在草原上的小明家有一个用篱笆围成的正方形羊圈，随着羊的数量的增加，需要重建一个更大的羊圈,那么能否新建一个正方形羊圈,使得它的周长和面积都是本来的2倍?
的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半?
2.如果已知矩形的长和宽分别为3和2，是否还有相同的结论?
3.如果已知矩形的长和宽分别为4和1呢?
4 减半问题——验证
任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半.
解：当如果矩形的长和宽分别为2和1，3和2，4和1时
那么所求矩形的周长和面积应分别为 m+n 和
.
设所求矩形的长为x，那么它宽为
其面积为
根据题意，得由
,即
知道,只有当 m2+n2≥6mn 时，这个方程才有实数根.
结论:矩形长宽满足m2+n2≥6mn时，才存在。
5 课堂小结
特例验证大胆猜想建立模型严格证明延伸拓广

北师大版数学九上《猜想证明与拓广》课堂实录（优质实录配套配套教案）（吴尚彬）

《猜想证明和拓广》（义务教育课程标准北师大版九年级上册课题学习）●成都市新都一中实验学校吴尚彬一、教材分析●（一）教材内容本课题学习是一个开放性、研究性的课题，为学生提供了一个思考、探究的平台，本课题学习的课题背景是：是否存在一个矩形，其周长与面积是已知矩形周长与面积的若干倍，●（二）地位作用本课题学习在学生的学习过程中具有很强的提升作用，让学生在解决问题的过程中去体验和领悟，获得解决问题的方法和途径，让学生通过本课题的学习不仅掌握学习知识的技能，更能够举一反三，培养数学推理能力和逻辑思维能力。

二、学情分析●（一）知识基础在本节课前，学生已初步掌握了一元二次方程的思想，方程的根与系数之间关系，积累了对一些简单方程问题的处理、分析经验。

●（二）认知水平初三的学生已具备一些方程问题的处理能力，由于年龄特点和认知特点，理性认识强于感性认识三、教学目标●（1）知识技能目标在合作交流中扩展思路，发展学生的推理能力。

●(2) 过程与方法在问题解决过程中综合运用所学的知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学的整体性认识. 在探究过程中,感受由特殊到一般、数式结合的思想方法，体会证明的必要性。

●（3）情感态度目标经历猜想、证明、拓广的过程，增强问题意识和自主探索意识，获得探索和发现的体验。

四、教学重点难点：● 1. 重点:探索“任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍”，从而获得解决问题的方法和途径．●2．难点: 从特殊到一般，启发学生综合运用一元二次方程、方程组等知识发现具有一般性的结论，寻求一般性的解决方法．●3．突破重点、突破难点的策略：从数学学习的必要性入手，结合多媒体直观演示，并通过学生互动研讨，加深对数学研究思想的理解，并配合由浅入深的练习，使学生掌握猜想、证明、拓广的方法。

五、教学用具多媒体投影仪大屏幕三角板六、教法学法本节采用“探究-讨论”模式。

教师的教法突出活动的组织设计与方法的引导，学生的学法突出探究与讨论。

《猜想证明与拓广(1)》教案说明

《课题学习——猜想、证明与拓广》教案说明西安交大附中樊丹子一、设计思路《猜想、证明与拓广》是义务教育课程标准实验教科书《数学》北师大版九年级（上）“课题学习”的内容，课堂围绕着中心课题——图形“倍增”，通过一系列具体问题逐渐展开，其主要意图是引导学生通过自主探索活动，综合运用已学的知识，体验处理问题的策略和方法，从而使自身解决问题的能力得到提升。

我在设计这节课时抓住上述总体目标，对教材作综合加工，立足课本，却不拘泥于其中：（1）内容设计方面：正方形是否存在“倍增”正方形正方形不存在“倍增”正方形.相似形是否存在“倍增”图形正方形是否存在“倍增”矩形相似形不存在“倍增”图形. 小组讨论：1.一元二次方程；2.分式方程；3.二元一次方程组；具体长方形存在“倍增”图形.探究长为m ，宽为n 的长方形. 类似方法任何长方形存在“倍增”图形其他图形（如菱形）是否存在“倍增”问题？长方形是否存在“减半”问题，“三倍”问题？……矩形是否存在“倍增”矩形正方形存在“倍增”矩形.补充了“引例问题”和“正方形到矩形的倍增问题”，使学生的猜想、探索进程更易入手，更加自然；四个具体倍增问题，使学生不断经历猜想、判断、证实或修正，由特殊到一般地探索与发现的过程，体验以数学的方式来“做数学”，感悟处理问题的策略和方法；设置“课题学习记录卡”，将课堂延伸，激发学生探究的意识和潜力以及协作交流的能力. （2）知识储备方面:：以本学期学习的一元二次方程、反比例函数等为基本素材，从学生的认知水平出发，层层设问、留白，引导学生逐步解决一个个看似简单又具有开放性、研究性的问题；（3）课堂组织形式方面：本课题学习是一个开放性、研究性且具有挑战性的课题，为学生提供了一个思考、探究的平台，这样的活动显然不能通过讲解、告知的方法，只能让学生在解决问题的过程中去体验、领悟，获得解决问题的方法和途径，所以我选择了以“自主探索，大胆猜想——启发诱导，数学证明——分组讨论，合理拓广”为主的教学方法．为学生提供充分思考和交流的空间，鼓励学生在自主探索和猜测的基础上及时交流自己的想法和做法；（4）学法指导方面：注意问题的连贯性和前后内容的一致性，引导学生猜测、迁移、举一反三、由特殊到一般，启发学生发现更一般性的结论，寻找一般性的解决方法，鼓励主动参与、积极思考、探究方式多样化；（5）评价方面：由于问题解决需要综合运用有关知识和方法，教师在教学中应更多地关注学生参与活动的情况，包括是否积极思考，及时总结和主动交流，关注学生活动过程中思考了多少，包括能否发现并提出新的问题，能否从数学的角度考虑问题并尝试从不同角度分析和解决问题，是否善于进行归纳总结，不宜以是否获得最终答案为唯一标准．对不同学生有不同要求，让每位学生都获得成功的体验。

北师大版初中数学九年级上册《综合与实践猜想、证明与拓广》优质课教案_0

综合与实践猜想、证明与拓广一、教学目标猜想、证明与拓广，通过一系列具体的问题逐渐展开，引导学生分类研究，先考察一些简单的，特殊的情形，发现一些规律后再讨论一般情况，在此过程中让学生不断的体会由一般到特殊的探究问题的思想，寻求一般性的解决方法.培养学生直观“判断”和正确“猜想”，并配合一定的形式说理，在交流个人想法中拓展思维。

猜想要“检验是否存在”，再由“特殊到一般”给出一般性的证明.由“倍增”再到“减半”的“拓广”，总结获得的数学知识和策略性的经验，发展学生的推理能力和探究能力.教学突出学生自主探索，合作交流，协助学生自行找到解决问题的方法。

为此，本节课的教学目标是：1、通过创设问题情境，让学生经历猜想、证明、拓广的过程，增强问题意识和自主探索意识，获得探索和发现的体验。

2、在探究问题结论和论证结论正确性的过程中，综合运用所学的知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学的整体性认识；3、在探究过程中，感受由特殊到一般、数形结合的思想方法，体会知识之间的内在联系，理解证明的必要性。

4、在合作交流中扩展思路，发展学生的推理能力。

二、学情分析学生的知识构成分析：学生在经历了证明一证明二以及特殊的四边形的学习后，积累了一定的证明的经验思想和方法，具备了几何证明及探究的能力，在九上的第二章学习了一元二次方程后，会利用根的判别式判断根的情况，并且积累了列一元二次方程解决几何问题的实际经验。

学生的整体水平分析：学生整体学习习惯不太好,书写普遍不够端正,整体的数学水平参差不齐。

对于基础知识,同学们普遍掌握的不够扎实,对关于发表自己的意见以及讲解能力较差。

普遍学习不够积极不够主动。

三、重点难点重点：经历猜想、证明、拓广的“数学化”的过程，获得探索和发现的体验，体现归纳、综合和拓展，感悟处理问题的策略和方法.难点：在问题解决过程中的策略和方法。

四、教学过程本节课设计了五个教学环节：第一环节：提出问题，猜想探究；第二环节：思维拓广，证明猜想；第三环节：问题拓广，自主探究；第四环节：总结反思，方法提炼；第五环节：布置作业，巩固所学。

北师大版九年级数学教材分析

北师大版九年级数学教材分析九年级上册数学教材分析1、教材的系统1．本册内容结构⑴ 本册内容分属几何、代数、概率三个领域，具体牵涉到：几何：图形与证明——证明（二）、证明（三）；认识图形——视图与投影。

代数：方程——一元二次方程；函数——反比例函数。

概率：建立概率概念——概率的频率定义与多种求值方法。

⑵ 不同内容之间的联系（逻辑框架与方法）本册内容在逻辑方面的联系比较“散”，除去“证明（二）”与“证明（三）”有明确的关联以外，其余部分基本上没有确定的逻辑联系。

在数学方法方面，对于两章“证明”的处理思路是一致的——关注基本过程、基本方法、表述格式、通过证明加深对知识的理解、渗透借助证明去获得发现；“视图与投影”和“频率与概率”的研究方法有比较明显的相似性——实验、形成概念、应用概念解决问题；而“一元二次方程”和“反比例函数”的处理方式也相近——形成模型、研究模型的数学特征、应用模型解决问题。

2．本册内容与教材其他各册相关内容的联系证明（二）、证明（三）与证明（一）；“一元二次方程”、“反比例函数”和“一元一次函数”、“一元二次函数”；“视图与投影”和“空间图形”、“平行”、“相似”；“频率与概率”与先前的概率实验等。

3．各部分内容的设计要点（关于证明学习的要点说明——不能够仅仅将证明的教学基本目标定位成确认命题的正确性；还应当包括对证明本身的学习：证明的必要性，数学证明的含义，证明的基本过程，证明的基本方法，由证明而获得的理解和发现。

）第一章和第三章对“公理”意义的进一步理解；关注“证明的基本方法”、“获得证明策略的不同思路”、“由证明而导致的新发现”，特别地，对于“反证法”的逻辑合理性的理解。

（1）证明的思路与以前直观探索的联系；出现的新命题的证明（二）、证明（三）是证明（一）的继续，其中许多命题都已经在前几册中让学生通过直观的方法探索过了，学生对其结论都已经有所了解。

本册主要是对这些结论进行理论的证明。

北师大版数学九年级上册《猜想、证明与拓广》说课稿

北师大版数学九年级上册《猜想、证明与拓广》说课稿一. 教材分析北师大版数学九年级上册《猜想、证明与拓广》这一章节，是在学生已经掌握了实数运算、函数、几何等基础知识的基础上进行讲解的。

主要内容包括合情推理、演绎推理和反证法。

教材通过丰富的例子，引导学生学会使用猜想、证明的方法解决问题，培养学生的逻辑思维能力和创新意识。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于实数、函数、几何等概念有一定的理解。

但是，学生在推理方面的能力还有待提高，特别是对于证明方法和证明思路的掌握。

此外，学生的学习兴趣和积极性也需要进一步激发。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生了解合情推理、演绎推理和反证法的概念，学会运用这些方法解决问题。

2.过程与方法目标：通过探究、合作、交流，培养学生运用数学语言表达和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：培养学生敢于猜想、勇于证明的精神，提高学生学习数学的兴趣。

四. 说教学重难点1.合情推理、演绎推理和反证法的概念及其应用。

2.如何引导学生运用猜想、证明的方法解决问题。

五. 说教学方法与手段1.采用问题驱动法，引导学生主动探究、发现问题，激发学生的学习兴趣。

2.利用多媒体教学，展示丰富的实例，直观地呈现教学内容。

3.采用小组合作、讨论交流的方式，培养学生的团队协作能力。

4.注重启发式教学，引导学生学会思考、学会证明。

六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引入猜想、证明的概念，激发学生的学习兴趣。

2.讲解合情推理、演绎推理和反证法：结合实例，讲解这三种推理方法的概念和应用。

3.练习与探究：设计一些具有挑战性的题目，让学生运用所学的推理方法解决问题。

4.小组讨论：学生分组讨论，交流解题思路和方法，互相学习、共同进步。

5.总结与拓展：对本节课的内容进行总结，提出一些拓展性问题，激发学生的思考。

七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，突出本节课的重点内容。

主要包括合情推理、演绎推理和反证法的概念，以及相应的实例。

北师大版九年级数学重难点梳理

北师大版九年级数学重难点梳理北师大版九年级数学重难点梳理（上册）第一章特殊平行四边第一节菱形的性质与判定重难点：1.掌握菱形的概念、性质以及判定方法，理解菱形与平行四边形之间的联系。

2.会用菱形的性质和判定方法来进行有关的论证和计算，会用菱形的对角线来计算菱形的面积。

3.通过菱形与平行四边形关系的研究，进一步加深对“特殊”与“一般”的关系。

第二节矩形的性质与判定重难点：1.探索并掌握矩形性质及矩形的判定定理2.矩形的轴对称性3.直角三角形斜边上的中线的性质4.矩形的判定（难点）第三节正方形的性质与判定重难点：1.掌握正方形的概念、性质及判定方法，学会证明过程中所运用的归纳、概括以及转化等数学思想方法。

2.能够用综合法证明正方形的性质定理和判定定理以及其他相关结论，经历探索、猜想、证明的过程，发展推理论证能力。

第二章一元二次方程第一节第二节应用一元二次方程重难点：1.能根据具体问题的数量关系列出一元二次方程并求解，并能根据问题的实际意义检验所得结果是否合理。

2.经历“问题情境--建立模型--模型求解--解释与应用”的过程，获取更多分析和解决实际问题的方法和经验。

第三章概率的进一步认识第一节用树状图或表格求概率第二节用频率估计概率本章重点：用画树状图法或列表法计算较复杂的随机事件发生的概率，会用稳定的频率估计概率。

本章难点：用画树状图法或列表法计算较复杂的随机事件发生的概率。

第四章图形的相似第一节成比例线段重难点：1.认识形状相同的图形。

2.结合实例能识别出现实生活中形状相同，大小、位置不同的图形。

3.了解线段的比和比例线段的概念，掌握两条线段的比求法。

4.理解并掌握比例的性质（难点），能通过比例式变形解决一些实际问题。

（重点）第二节平行线分线段成比例重难点：1.理解平行线分线段成比例的基本事实及其推论。

2.会熟练运用平行线分线段成比例的基本事实及其推论计算线段的长度。

第三节相似多边形1.了解相似多边形和相似比的概念2.能根据条件判断出两个多边形是否为相似多边形3.掌握相似多边形的性质，能根据相似比进行简单的计算。