11-2 偏导数

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偏导数公式大全24个

偏导数公式大全24个偏导数是多元函数微分学中的重要概念，用于描述函数在特定方向上的变化率。

在实际问题中，偏导数常常被用于求解最优化、梯度下降等问题。

下面是24个常用的偏导数公式，每个公式都有它们的特定应用场景。

1. 常数偏导数公式：对于常数函数f(x)=c，其偏导数为0，即f/x = 0。

2. 幂函数偏导数公式：对于幂函数f(x)=x^n，其中n为常数，其偏导数为f/x = n*x^(n-1)。

3. 指数函数偏导数公式：对于指数函数f(x)=a^x，其中a为常数，其偏导数为f/x = a^x * ln(a)。

4. 对数函数偏导数公式：对于对数函数f(x)=log_a(x)，其中a为常数且a>0，其偏导数为f/x = 1/(x * ln(a))。

5. 三角函数偏导数公式：对于三角函数f(x)=sin(x)，其偏导数为f/x = cos(x)。

类似地，对于cos(x)和tan(x)函数，其偏导数分别为-sin(x)和sec^2(x)。

6. 反三角函数偏导数公式：对于反三角函数f(x)=asin(x)，其中a为常数，其偏导数为f/x = a/sqrt(1-x^2)。

类似地，对于acos(x)和atan(x)函数，其偏导数分别为-a/sqrt(1-x^2)，-1/sqrt(1+x^2)。

7. 求和公式：对于多个函数的和f(x) = g(x) + h(x)，其偏导数为f/x = g/x + h/x。

8. 积函数公式：对于两个函数的积f(x) = g(x) * h(x)，其偏导数为f/x = g(x) * h/x + h(x) * g/x。

9. 商函数公式：对于两个函数的商f(x) = g(x) / h(x)，其偏导数为f/x = (h(x) * g/x - g(x) * h/x) / h(x)^2。

10. 复合函数公式：对于复合函数f(g(x))，其中f和g是两个函数，其偏导数为f/x = f/g * g/x。

函数乘积类型二阶导数计算及参考答案生成H2

函数乘积类型二阶导数计算及参考答案 ☂1：求函数y=x(22-54x)的二阶导数。

☂2：y=xe4x的二阶导数。

☂3：y=x9*13x的二阶导数。

-x2+11的二阶导数。

☂4：求y=xe☂5：y=sin5x*cos14x，求此函数的二阶导数。

☂6：z=xln(13x+16y)，求其所有二阶偏导数。

函数乘积类型二阶导数参考答案☂1：求函数y=x(22-54x)的二阶导数。

解：法一：y'=22-54x+x*(-54)=22-108x,y"=-108。

法二：y=x(22-54x)=22x-54x2,y'=22-108x,y"=-108。

☂2：y=xe4x的二阶导数。

解：y=xe4xy'=e4x+4xe4x,y"=4e4x+4e4x+42xe4x,=4e4x(2+4x)。

☂3：y=x9*13x的二阶导数。

解：y=x9*13x,y'=9x8*13x+x9*13x*ln13,y"=9(8x7*13x+x8*13x*ln13)+ln13(9x8*13x+x9*13x*ln 13)。

☂4：求y=xe -x2+11的二阶导数。

解：y=xe-x2+11,y'=e-x2+11+xe-x2+11*(-2x),=e -x 2+11-2e -x 2+11*x 2,y"=e -x 2+11*(-2x)-2[e -x 2+11*x 2(-2x)+e -x 2+11*2x],=-2(3+2x 2)e -x 2+11*x。

☂5：y=sin5x*cos14x，求此函数的二阶导数。

解：法一：y=sin5x*cos14x，y'=5cos5xcos14x-14sin5xsin14x,y"=-52sin5xcos14x-70cos5xsin14x-70cos5xsin14x-142sin5xcos14x,=-(52+142)sin5xcos14x-140cos5xsin14x。

《高数》下册第十一章练习题

第十一章曲线积分与曲面积分习题 11-11.设在xOy 面内有一分布着质量的曲线弧L ，在点（x,y ）处它的线密度为μ（x,y ）。

用对弧长的曲线积分分别表达：（1）这曲线弧对x 轴,对y 轴的转动惯量x I ,y I（2）这曲线弧的质心坐标x ,y2.利用对弧长的曲线积分的定义证明性质33.计算下列对弧长的曲线积分：（1）22(x y )nLds +⎰，其中L 为圆周x cos t,y sin (0t 2)a a t π==≤≤（2）(x y)ds L+⎰，其中L 为连接（1,0）及（0,1）两点的直线段（3）x Lds ⎰，其中L 为由直线y=x 及抛物线2y x =所围成的区域的整个边界（4）22x y Leds +⎰，其中L 为圆周222x y a +=，直线y=x 及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界（5）2221ds x y z Γ++⎰，其中Γ为曲线cos ,sin ,t t tx e t y e t z e ===上相应于t 从0变到2的这段弧（6）2x yzds Γ⎰，其中Γ为折线ABCD ，这里A,B,C,D 依次为点（0,0,0），（0,0,2），（1,0,2），（1,3,2）（7）2Ly ds ⎰，，其中L 为摆线的一拱(t sin ),y (1cos )(0t 2)x a t a t π=-=-≤≤（8）22(x )ds Ly +⎰，其中L 为曲线(cos sin ),y (sin cos )(0t 2)x a t t t a t t t π=+=-≤≤4.求半径为ａ，中心角为2ϕ的均匀圆弧（线密度1μ=）的质心5.设螺旋形弹簧一圈的方程为cos ,sin ,x a t y a t z kt ===，其中02t π≤≤，它的线密度222(x,y,z)x y z ρ=++．求：（１）它关于ｚ轴的转动惯量z I（２）它的质心。

习题 11-21.设L 为xOy 面内直线x a =上的一段，证明：(x,y)dx 0LP =⎰2.设L 为xOy 面内x 轴上从点（a,0）到点（b,0）的一段直线，证明：(x,y)dx (x,0)dxbLaP P =⎰⎰3.计算下列对坐标的积分：（1）22(xy )Ldx-⎰，其中L 是抛物线2y x =上从点（0,0）到点（2,4）的一段弧（2）Lxydx⎰，其中L 为圆周222(x )a a y a -+=（>0）及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界（按逆时针方向绕行）（3）Lydx xdy+⎰，其中L 为圆周cos ,sin x R t y R t ==上对应t 从0到2π的一段弧（4）22(x y)dx (x y)dy L x y +--+⎰，其中L 为圆周222+y x a =（按逆时针方向绕行）（5）2x dx zdy ydzΓ+-⎰，其中Γ为曲线cos ,sin x k y a z a θ,θθ===上对应θ从0到π的一段弧（6）(x y 1)dz xdx ydy Γ+++-⎰，其中Γ是从点（1,1,1）到点（2,3,4）的一段直线（7）+y dx dy dzΓ-⎰，其中Γ为有向闭折线ABCD ，这里的A,B,C 依次为点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) （8）22(x2xy)dx (y 2xy)dyL-+-⎰，其中L 是抛物线2y x =上从点（-1,1）到点（1,1）的一段弧 4.计算(x y)dx (y x)dy L++-⎰，其中L 是：（1）抛物线2y x =上从点（1,1）到点（4,2）的一段弧（2）从点（1,1）到点（4,2）的直线段（3）先沿直线从点（1,1）到点（1,2），然后再沿直线到点（4,2）的折线（4）曲线2221,1x t t y t =++=+上从点（1,1）到点（4,2）的一段弧 5.一力场由沿横轴正方向的恒力F 所构成，试求当一质量为m 的质点沿圆周222x y R +=按逆时针方向移过位于第一象限的那一段弧时场力所做的功6.设z 轴与动力的方向一致，求质量为m 的质点从位置（x,y,z ）沿直线移到（x,y,z ）时重力所做的功7.把对坐标的曲线积分(x,y)dx Q(x,y)dyLP +⎰化成对弧长的积分曲线，其中L 为：（1）在xOy 面内沿直线从点（0,0）到点（1,1）（2）沿抛物线2y x =从点（0,0）到点（1,1）（3）沿上半圆周222x y x +=从点（0,0）到点（1,1） 8.设Γ为曲线23,,x t y t z t ===上相应于t 从0变到1的曲线弧，把对坐标的曲线积分Pdx Qdy RdzΓ++⎰化成对弧长的曲线积分习题 11-31.计算下列曲线积分，并验证格林公式的正确性：（1）22(2xy x )dx (x y )dyL-++⎰，其中L 是由抛物线2y x =和2y x =所围成的区域的正向边界曲线（2）222(x xy )dx (y 2xy)dyL-+-⎰，其中L 是四个顶点分别为（0,0），（2,0），（2,2），（0,2）的正方形区域的正想边界2.利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积（1）星形线33cos ,sin x a t y a t ==（2）椭圆229+16y 144x = （3）圆222x y ax +=3.计算曲线积分22ydx 2(x y )L xdy -+⎰，其中L 为圆周22(x 1)2y -+=，L 的方向为逆时针方向4.证明下列曲线积分在整个xOy 面内与路径无关，并计算积分值（1）(2,3)(1,1)(x y)dx (x y)dy++-⎰（2）(3,4)2322(1,2)(6xy y )dx (63)dy x y xy -+-⎰（3）(2,1)423(1,0)(2xy y 3)dx (x 4xy )dy-++-⎰5.利用格林公式，计算下列曲线积分：（1）(2x y 4)dx (5y 3x 6)dyL-+++-⎰，其中L 为三顶点分别为（0,0），（3,0）和（3,2）的三角形正向边界；（2）222(cos 2sin )(x sinx 2ye )dyx x Lx y x xy x y e dx +-+-⎰，其中L 为正向星形线222333(a 0)x y a +=>（3）3222(2xy y cosx)(12ysinx 3x y )dyLdx -+-+⎰，其中L 为在抛物线22x y π=上由点（0,0）到（2π，1）的一段弧（4）22(xy)dx (x sin y)dyL--+⎰，其中L 是在圆周22y x x =-上由点（0,0）到点（1,1）的一段弧6.验证下列(x,y)dx (x,y)dy P Q +在整个xOy 平面内是某一函数u(x,y)的全微分，并求这样的一个u(x,y)：（1）(2)(2)x y dx x y dy +++（2）22xydx x dy + （3）4sin sin3cos 3cos3cos 2x y xdx y xdy -（4）2232(38)(812)y x y xy dx x x y ye dy ++++ （5）22(2cos cos )(2sin sin )x y y x dx y x x y dy ++- 7.设有一变力在坐标轴上的投影为2,28X x y Y xy =+=-，这变力确定了一个力场。

2009年全国硕士研究生入学考试数学二真题及答案

y y x 0 。求 y(x)的表达式。
（21）（本题满分 11 分）（I）证明拉格朗日中值定理：若函数 f (x) 在[a,b]上连续，在（a,b）
可导，则存在 (a,b) ，使得 f (b) f (a) f ( )(b a) 。（II）证明：若函数 f (x) 在 x=0
阵

0 B
A 0

的伴随矩阵为（）
（A）

0 2 A
3B
0

（B）

0 3 A
2B
0

பைடு நூலகம்（C）

0 2B
3A
0

（D）

0 3B
2 A
0

100
（8）设
A，P
均为
3
阶矩阵，
PT
为
P
的转置矩阵，且
1
x
1
y
A
2
dx
4x f x, y dy
1
1
C
2
dy
4y f x, y dx
1
1
B
2
dx
4x f x, y dy
1
x
D
2
1
2
dyy
f

x,
y dx
【答案】 C
2
2
2
2
【解析】 dx f (x, y)dy dy f (x, y)dx 的积分区域为两部分：
sin x
A 1 B 2 C 3 D 无穷多个
【答案】 C
【解析】由于 f x x x3 ,则当 x 取任何整数时, f x 均无意义.

微积分II课件——11-3(2) 格林公式及其应用2 曲线积分与路径无关

例1 求解方程
(5x4 + 3xy2 − y3)dx + (3x2 y − 3xy2 + y2 )dy = 0.
四、小结
与路径无关的四个等价命题
条在单连通开区域D上 P( x, y), Q( x, y)具有件连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立.
等 (1) 在D内∫L Pdx + Qdy与路径无关
三、二元函数的全微分求积
定理3 设开区域G 是一个单连通域, 函数 P( x, y), Q( x, y)在G 内具有一阶连续偏导数, 则 P( x, y)dx + Q( x, y)dy 在G 内为某一函数u( x, y)的全微分的充要条件是等式
∂P = ∂Q ∂y ∂x 在G 内恒成立.
若 ∂P ≡ ∂Q
y
∂y ∂x
∫ 则 B( x1 , y1 ) Pdx + Qdy A( x0 , y0 )
• A( x0 , y0 )
o
∫ ∫ =
x1 x0
P
(
x
,
y0
)dx
+
Hale Waihona Puke y1Q(y0x1
,
y)dy
∫ ∫ 或 =
Q y1 (
y0
x0
,
y
)dy
+
x1 x0
P(
x,
y1
)dx
• B( x1 , y1 )
• C( x1, y0 )
∂x ∂x
原积分与路径无关
∫ ∫ 故原式=
1 x2dx +
1
(1 +
y4 )dy=
23 .
0
0
15

传递过程原理作业题和答案

《化工传递过程原理（Ⅱ）》作业题1. 粘性流体在圆管内作一维稳态流动。

设r 表示径向距离，y 表示自管壁算起的垂直距离，试分别写出沿r 方向和y 方向的、用（动量通量）＝-（动量扩散系数）×（动量浓度梯度）表示的现象方程。

1．(1-1) 解：()d u dyρτν= (y Z ，u Z ，dudy > 0)()d u dr ρτν=- (r Z ，u ], dudr< 0) 2. 试讨论层流下动量传递、热量传递和质量传递三者之间的类似性。

2. (1-3) 解：从式（1-3）、（1-4）、（1-6）可看出： AA ABd j D dyρ=- （1-3） ()d u dy ρτν=- （1-4） ()/p d c t q A dyρα=- （1-6）1. 它们可以共同表示为：通量 = －（扩散系数）×（浓度梯度）；2. 扩散系数 ν、α、AB D 具有相同的因次，单位为 2/m s ；3. 传递方向与该量的梯度方向相反。

3. 试写出温度t 对时间θ的全导数和随体导数，并说明温度对时间的偏导数、全导数和随体导数的物理意义。

3.（3-1）解：全导数：dt t t dx t dy t dzd x d y d z d θθθθθ∂∂∂∂=+++∂∂∂∂ 随体导数：x y z Dt t t t t u u u D x y zθθ∂∂∂∂=+++∂∂∂∂ 物理意义：tθ∂∂——表示空间某固定点处温度随时间的变化率；dt d θ——表示测量流体温度时，测量点以任意速度dx d θ、dy d θ、dz d θ运动所测得的温度随时间的变化率DtD θ——表示测量点随流体一起运动且速度x u dx d θ=、y u dy d θ=、z u dz d θ=时，测得的温度随时间的变化率。

4. 有下列三种流场的速度向量表达式，试判断哪种流场为不可压缩流体的流动。

（1）xy x z y x )2()2(),,(2θθ--+= （2）k y x j z x i x z y x u )22()(2),,(++++-= （3）xz yz xy y x 222),(++=4.（3-3）解：不可压缩流体流动的连续性方程为：0u ∇=r（判据）1. 220u x x ∇=-=r，不可压缩流体流动；2. 2002u ∇=-++=-r，不是不可压缩流体流动；3. 002222()u y z x x y z =⎧⎨≠⎩∇=++=++=r ，不可压缩，不是不可压缩5. 某流场可由下述速度向量式表达：k z j y i xyz z y xyz z y x ρρρθθθ33),,,(-+=-+= 试求点（2，1，2，1）的加速度向量。

高数偏导数复习

1. 偏导数求解方法：例题：求22z=3x xy y ++在(1,2)处的偏导数. 解：把y 看作常量，得23zx y x∂=+∂ 把x 看作常量，得32zx y y∂=+∂ 将（1,2）带入上述结果，就得12|21328x y z x==∂=⋅+⋅=∂ 12|31227x y z y==∂=⋅+⋅=∂ 2. 高阶偏导数求解方法.设函数z (x,y)f =在区域D 内具有偏导数(x,y)x zf x∂=∂(x,y)y z f y ∂=∂ 按照对变量求导次序不同有下列四个二阶偏导数：22()(x,y)xx z z f x x x∂∂∂==∂∂∂, 2()(x,y)xy z zf y x x y ∂∂∂==∂∂∂∂2()(x,y)yx z z f x y y x ∂∂∂==∂∂∂∂, 22()(x,y)yy z zf y y y∂∂∂==∂∂∂3. 全微分.(求偏导数后加上,dx dy ) 函数(x,y)z f =的全微分： z z dz dx dy x y∂∂=+∂∂. 例题：计算函数xy z e =在点(2,1)处的全微分. 解： ,x y x yz z ye xe x y∂∂==∂∂222211|,|2x x y y z ze e x y ====∂∂==∂∂ 所以222dz e dx e dy =+ 4. 多元复合函数求导法则(先求偏导数，再对复合函数求偏导数).例题1：设z uv sin t =+，而t u e =，cos v t =，求全导数dydt。

解：sin cos t dz z du z dv zve u t t dt u dt v dt t∂∂∂=++=-+∂∂∂ cos sin cos (cos sin )cos t t te t e t t e t t t =-+=-+例题2：求22(xy ,x y)z f =的22zx∂∂（其中f 具有二阶连续偏导数）.解：22''122'2'1222'''''2''2''1112221224''3''22''111222()(2)2()(y 2)2(2)y 44z z y f f yx x x x xf y y f x x xy f xyf y f xy f x yf f xy f x y f ∂∂∂∂==+∂∂∂∂∂∂=+∂∂=++++=++5. 隐函数求导公式.定理1：设函数F(x,y)在点00P(x ,y )的某一领域内具有连续偏导数，且00F(x ,y )0=，00F (x ,y )0y ≠在点00(x ,y )的某一领域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数(x)y f =，它满足条件00(x )y f =，并有x ydy Fdx F =-. 定理2：设函数F(x,y,z)在点000P(x ,y ,z )的某一领域内具有连续偏导数，且000F(x ,y ,z )0=，000F (x ,y ,z )0z ≠在点000(x ,y ,z )的某一领域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数(x,y)z f =，它满足条件000(x ,y )z f =，并有xz z F x F ∂=-∂，y zF z y F ∂=-∂.例题：设方程xyz +=(x,y)z z =，求(1,0,1)dz |-.解：令(x,y,z)F xyz =+-Fx yz =+，Fy xz =+Fz xy =+z Fx x Fz ∂=-=∂yz F y y F z z ∂=-=∂(1,0,1)(1,0,1)|1,|z zx y --∂∂==∂∂(1,0,1)dz |dx -=-.6. 空间曲线的切线和法平面。

几种类型函数的二阶导数计算方法举例(8)

几种类型函数的二阶导数计算及答案（8）一、基础复合函数二阶导数☂1：求y=(6x+12)4二阶导数。

☂2：求y=92-20x 2 的二阶导数。

☂3：求y=e 4x 二阶导数y"的计算过程。

☂4：计算y=sin(15x+39)的二阶导数。

☂5：求y=e 9x 2cosx+3x 二阶导数。

☂6：求y=ln(9x-2x 2-52)的二阶导数。

二、函数和差类型二阶导数☂7：求y=10x4+15x-19的二阶导数。

☂8：求y=8x7+5x3-21x+81的二阶导数。

☂9：求y=x5-2x4+6x+37的二阶导数。

☂10：计算y=5x4-sin4x的二阶导数。

☂11：求y=cos(9x+1)+x4+e4的二阶导数过程。

三、函数乘积类型二阶导数☂12：求函数y=x(64-4x)的二阶导数。

☂13：y=xe4x的二阶导数。

☂14：y=x 6*4x 的二阶导数。

☂15：求y=xe -x 3+7的二阶导数。

☂16：y=sin19x*cos30x，求此函数的二阶导数。

☂17：z=xln(8x+4y)，求其所有二阶偏导数。

四、函数商类型二阶偏导数☂18：求y=x-6x+5的二阶导数。

☂19：函数 y=28x 2-19x+83的二阶导数。

☂20：求y=8x11+x2的二阶导数。

☂21：计算y=sin3xx+10的二阶导数。

☂22：求y=22x+xx2-39的二阶导数。

五、三角函数二阶偏导数☂23：y=sin6x求二阶导数。

☂24：求函数y=cos3xtan10x的二阶导数。

☂25：求函数y=cos(3x+12)x的二阶导数。

☂26：求z=sin(x5+5y)的二阶偏导数。

☂27：求z=sin5(12x+35y)的二阶偏导数。

☂28：求函数z=sin 13x-x3y3+e3的二阶偏导数。

参考答案一、基础复合函数二阶导数☂1：求y=(6x+12)4二阶导数。

解：y=(6x+12)4，y'=4(6x+12)3*6,=24(6x+12)3，y"=24*3(6x+12)2*6,=432(6x+12)2。

考研数学三(多元函数微分学)模拟试卷2(题后含答案及解析)

考研数学三（多元函数微分学）模拟试卷2(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．极限( )A．等于0B．不存在C．等于D．存在，但不等于也不等于0正确答案：B解析：当取y=kx时，与k有关，故极限不存在．知识模块：多元函数微分学2．设u=arcsin ( )A．B．C．D．正确答案：A解析：将x视为常数，属基本计算．知识模块：多元函数微分学3．极限( )A．等于0B．不存在C．等于D．存在且不等于0及正确答案：B解析：取y=x，则=0；取y=x2，则，故原极限不存在．知识模块：多元函数微分学4．设u=f(r)，而r=，f(r)具有二阶连续导数，则=( )A．B．D．正确答案：B解析：属基本计算，考研计算中常考这个表达式．知识模块：多元函数微分学5．考虑二元函数f(x，y)的下面4条性质：①f(x，y)在点(x0，y0)处连续；②f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数连续；③f(x，y)在点(x0，y0)处可微；④f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数存在．若用“PQ”表示可由性质P推出性质Q，则有( )A．B．C．D．正确答案：A解析：本题考查图1．4-1中因果关系的认知：知识模块：多元函数微分学6．设函数u=u(x，y)满足及u(x，2x)=x，uˊ1(x，2x)=x2，u有二阶连续偏导数，则uˊˊ11(x，2x)= ( )A．B．C．D．正确答案：B解析：等式u(x，2x)=x两边对x求导得uˊ1+2uˊ2=1，两边再对x求导得uˊˊ11+2uˊˊ12+2uˊˊ21+4uˊˊ22=0，①等式uˊ1(x，2x)=x2两边对x求导得uˊˊ11+2uˊˊ12=2x，②将②式及uˊˊ12=uˊˊ21，uˊˊ11=u ˊˊ22代入①式中得uˊˊ11(x，2x)=x．知识模块：多元函数微分学7．利用变量代换u=x，v=，可将方程化成新方程( )A．B．D．正确答案：A解析：由复合函数微分法，于是知识模块：多元函数微分学8．若函数u=，其中f是可微函数，且=G(x，y)u，则函数G(x，y)= ( ) A．x+yB．x－yC．x2－y2D．(x+y)2正确答案：B解析：设t=，则u=xyf(t)，知识模块：多元函数微分学9．已知du(x，y)=[axy3+cos(x+2y)]dx+[3x2y2+bcos(x+2y)]dy，则( ) A．a=2，b=－2B．a=3，b=2C．a=2，b=2D．a=－2，b=2正确答案：C解析：由du(x，y)=[axy3+cos(x+2y)]dx+[3x2y2+bcos(x+2y)]dy可知，=axy3+cos(x+2y)，=3x2y2+bcos(x+2y)，以上两式分别对y，x求偏导得=3axy2－2sin(x+2y)，=6xy2－bsin(x+2y)，由于连续，所以，即3axy2－2sin(x+2y)=6xy2－bsin(x+2y)，故得a=2，b=2．知识模块：多元函数微分学10．设u(x，y)在平面有界闭区域D上具有二阶连续偏导数，且则u(x，y)的( )A．最大值点和最小值点必定都在D的内部B．最大值点和最小值点必定都在D的边界上C．最大值点在D的内部，最小值点在D的边界上D．最小值点在D的内部，最大值点在D的边界上正确答案：B解析：令，由于B2－AC＞0，函数u(x，y)不存在无条件极值，所以，D的内部没有极值，故最大值与最小值都不会在D的内部出现．但是u(x，y)连续，所以，在平面有界闭区域D上必有最大值与最小值，故最大值点和最小值点必定都在D的边界上．知识模块：多元函数微分学11．设函数z=(1+ey)cosx－yey，则函数z=f(x，y) ( )A．无极值点B．有有限个极值点C．有无穷多个极大值点D．有无穷多个极小值点正确答案：C解析：本题是二元具体函数求极值问题，由于涉及的三角函数是周期函数，故极值点的个数有可能无穷，给判别带来一定的难度，事实证明，考生对这类问题把握不好，请复习备考的同学们注意加强对本题的理解和记忆．由得驻点为(k π，coskπ－1)，k=0，±1，±2，…，又zˊˊxx－(1+ey)cosx，zˊˊxy=－eysinx，zˊˊyy=ey(cosx－2－y)．①当k=0，±2，±4，…时，驻点为(kπ，0)，从而A=zˊˊxx(kπ，0)=－2，B=zˊˊxy(kπ，0)=0，C=zˊˊyy(kπ，0)=－1，于是B2－AC=－2＜0，而A=－2＜0，即驻点(kπ，0)均为极大值点，因而函数有无穷多个极大值；②当k=±1，±3，…时，驻点为(kπ，－2)，此时A=z ˊˊxx(kπ，－2)=1+e－2，B=zˊˊxy(kπ，－2)=0，C=zˊˊyy(kπ，－2)=－e －2，于是B2－AC=(1+e－2)e－2＞0，即驻点(kπ，－2)为非极值点；综上所述，选(C)．知识模块：多元函数微分学填空题12．设f可微，则由方程f(cx－az，cy－bz)=0确定的函数z=z(x，y)满足azˊx+bzˊx=_________．正确答案：c解析：本题考查多元微分法，是一道基础计算题．方程两边求全微分，得f ˊ1(cdx－adz)+fˊ2(cdy－bdz)=0，即dz=，故azˊx+bzˊy==c．知识模块：多元函数微分学13．设函数z=z(x，y)由方程sinx+2y－z=ez所确定，则=________．正确答案：解析：方程两端对x求偏导数cosx+0－移项并解出即得．知识模块：多元函数微分学14．函数f(x，y，z)=－2x2在条件x2－y2－2z2=2下的极大值是_________．正确答案：－4解析：由拉格朗日乘数法即得．知识模块：多元函数微分学15．函数的定义域为_________．正确答案：≤｜z｜，且z≠0解析：由－1≤≤1即得．知识模块：多元函数微分学16．设z=esinxy，则dz=_________．正确答案：esinxycosxy(ydx+xdy)解析：zˊx=esinxycosxy.y，zˊy=esinxycosxy.x，则dz=esinxycosxy(ydx+xdy)．知识模块：多元函数微分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

高等数学偏导数第七节方向导数题库

【090701】【计算题】【较易0.3】【方导游数与梯度】【方导游数梯度】【试题内容】求z x y，在点2,2沿单位圆x2y21外法线方向的方导游数。

2 2【试题答案及评分标准】coscos2(4分)2z1z x 1y因此z222(10分) n22【090702】【计算题】【较易0.3】【方导游数与梯度】【方导游数梯度】【试题内容】求z3x2y在点11,沿单位圆x2y22外法线方向的方导游数。

【试题答案及评分标准】cos cos2(4分) 2z3z2x y因此z322252n22(10分)2【090703】【计算题】【较易0.3】【方导游数与梯度】【方导游数梯度】【试题内容】求函数z x ln(1y)在点11,沿曲线2x2y21切线（指向x增大方向）向量的方导游数。

【试题答案及评分标准】4xtan(1,1) 2 2ycos 1cos2(4分) 55因此zln(1y)cosxcos1y(1,1)ln21121(ln21)(10分)5255【090704】【计算题】【较易】【方导游数与梯度】【方导游数梯度】【试题内容】求函数zlne x 在0,1 点沿曲线y e x切线正向（指向x 增大方向）1y 2的方导游数。

【试题答案及评分标准】tany 'x0e xx01coscos2 (4分)2z1 z2y1x (0,1)y (0,1)1y 2(0,1)因此z12 (1)2(10分)a22【090705】【计算题】【较易】【方导游数与梯度】【方导游数梯度】【试题内容】求函数z x 2lnarctany 在11, 点沿a 方向的方导游数，此中a 为曲线yx 2在11, 点的切向量，方向为x 增大的方向。

【试题答案及评分标准】tany 'x12cos1cos2 (4分)55z2x(1,1)2 z11 2x (1,1)y (1,1)arctany 1 y 2(1,1)z21 222(2)(10分)因此555a【090706】【计算题】【较易】【方导游数与梯度】【方导游数梯度】【试题内容】求函数 z y e x 在 1,e 点沿曲线y e x 切线正向（x 增大方向）的方导游数。

ch11-2偏导数的概念

( x1 , x2 ,, xn ) 处的 n 个偏导数
u u u , ,, x1 x2 xn
例如
f ( x1 x , x2 , , xn ) f ( x1 , x2 ,, xn ) u lim x1 x 0 x
f ( x1 , x2 x , x3 , , xn ) f ( x1 , x2 ,, xn ) u lim x2 x 0 x
11
二、全微分的概念问题: 偏导数不能起到一元函数中导数的作用一元函数导数:
f ( x0 x ) f ( x0 ) f '( x0 ) lim x 0 x
是函数增量与自变量增量比值的极限
偏导数:
x f ( x, y ) f ( x x , y ) f ( x , y ) f x ( x , y ) lim lim x 0 x 0 x x y f ( x, y ) f ( x , y y ) f ( x , y ) f y ( x, y ) lim lim y 0 y 0 y y
1 3 y y2
6
z y (1, 2)
例. 设
z x y ( x 0, 且 x 1 ，）求证 x z 1 z 2z y x ln x y
证:
x z 1 z y x ln x y
例. 求
2z
的偏导数 .
r 2x x 解: x 2 x2 y2 z2 r
df ( x0 , y0 )
14
df ( x0 , y0 ) Ax By
容易得到 x dx，y dy，则有
df ( x , y ) Ad x Bdy
如果 z f ( x, y ) 在区域 D 内各点处都可微分，则称 z f ( x, y ) 在 D 内可微分．

偏导数的符号观

偏导数的符号观作者：胡旭东来源：《启迪·下旬刊》2019年第11期摘要：偏导数的符号与一元函数导数的符号的内在差异很大，初学者往往不知其妙，这是他们学习中出现偏差的主要原因之一。

在多元函数求偏导数的运算中，只有梳理清楚自己的符号观，才能顺利掌握多元函数求导的运算方法。

关键词：偏导数符号观偏导数的符号与一元函数导数的符号的内在差异很大，初学者往往不知其妙，这是他们学习中出现偏差的主要原因之一。

此问题一般也被教师忽视，这直接导致学生的学习水平降低了一个层次。

下面对这个问题做出一些说明，一家之言，仅供参考。

一、偏导数中的一些符号问题1、偏导数的定义与记号定义：设函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）的某个邻域内有定义，当y固定在y0，而x0有增量时，相应的函数有增量（此时称为二元函数z=f（x，y）对x的偏增量，记为），即若极限存在，则称此极限值为函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）处关于x0的偏导数，记作、、、、、、、、、、、等等。

在所有的教材中都没有把上述符号使用完整这直接导致初学者对偏导数的记号理解不够深刻。

正确的做法是如上所示全面展示偏导数的所有记号。

2、偏导数与全导数符号的区别使用先看一个问题：设函数，，求。

可以思考：（1）问题为什么用了全导数符号，怎么不是偏导数符号呢？（2）与有什么不同呢？解决上述两個问题有利于初学者分清楚一元函数与多元函数的导数之本质区别以及相互联系，有利于正确使用求导符号，有利于理解偏导数的计算方法之本质是趋同于一元函数但却不同于一元函数导数的计算方法的。

3、隐函数求导法中的符号要点首先来看看隐函数求导公式：定理2 ;设函数在点的某一邻域内有连续的偏导数，且则方程在点的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数，它满足条件，并有定理中公式的推理过程就是我们常用的隐函数求导方法之一，其中第一步就是在方程两端同时对求导，即得这里问题就来了，计算方式对吗？初学者知道不对，这仅仅是因为这样会与公式产生矛盾，但是却不明其本质原因！问题出在哪里？不懂符号也。

专升本高数二总复习参考题笫2章

笫二章一元函数微分学一. 求导数、微分与二阶导数1. 基本求导表重点记住 11()'0,()',()',(ln )',x x C x x e e x xααα-====21(sin )'cos ,(cos )'sin ,(arcsin )'(arctan )'1x x x x x x x ==-==+ 11-3. 设函数21()f x x =, 则'y = A. 31x - B. 32x- C. 31x D. 1x [ ] 【11-3、B 】10-2. 设函数()f x e =, 则'(1)f =A. 2e +B. 1e +C.12 D. 12- [ ] 【10-2、C 】 09-2. 设2sin ln 2y x x =++, 则'y =A. 2sin x x +B. 2cos x x +C. 12cos 2x x ++D. 2x 【09-2、B 】 08-22. 设函数3sin 3y x x =++, 求'y . 【08-22. 32'()'(sin )'3'3cos y x x x x =++=+】 08-3. 设函数ln y x =, 则'y = A.1x B. 1x- C. ln x D. xe [ ] 【08-3. A 】 07-3. 设函数y x =, 则'y =A. 1B. xC. 22x D. 2x [ ] 【07-3. 1】06-3. 巳知()3xf x x e =+,则'(0)f =A.1B. 2C. 3D. 4 [ ] 【06-3. D 】 05-2. 设33y x-=+,则'y 等于A.43x -- B. 23x -- C. 43x - D. 433x --+ [ ]【05-2. A 】04-9. 设函数21y x π=-,则'y = ____________ . 【04-9. 32x 】 03-9. 设函数2arcsin e x y +=,则'y = ____________ . 【03-9.211x-】00-8.设函数xx y 22sin 2++=,则dx dy=______________ . 【00-8. 2ln 22x x +】2.乘除求导法则：2''()''',()'u u v uv uv u v uv vv-=+= 11-22. 设函数1sin x y x+=, 求'y . 【11-22.2(1)'sin (1)(sin )''(sin )x x x x y x +-+=2sin (1)cos sin x x xx-+=】 09-3. 设函数()ln xf x e x =, 则'(1)f =A. 0B. 1C. eD. 2e 【09-3、C 】 08-13. 设函数cos y x x = 则'_______y =. 【08-13. cos sin x x x -】07-13. 设函数ln x y x = 则'_______y = 【07-13. 2ln 1ln x x-】 04-19. 设函数ln y x x =,求'y . 【04-19. 1'ln ln 1y x x x x=+⋅=+】03-10. 设函数x exy =,则)0('f = ____________ . 【03-10. 1】02-10. 设函数x y cos 11+=,则'y =_____________. 【02-10. 2)cos 1(sin x x +】 02-3. 设函数)(),(x v x u 可导,若)()(x v x u y ⋅=,则'y 等于 A. )(')()()('x v x u x v x u + B. )(')()()('x v x u x v x u -C. )()()(')('x v x u x v x u +D. )(')('x v x u [ ] 【02-3. A 】 01-22. 设函数1cos 2-=x xy ,求'y . 【01-22. 2222222)1(cos 2sin )1()1(cos 2)1(sin )'1cos ('----=---⋅-=-=x xx x x x x x x x x x y 】 00-18. 设函数x xxx f ln sin 1)(--=, 求)('πf .【00-18. x x x x x x x x x x x f 1)sin 1(cos sin 11)sin 1()cos (sin 1)(22'--+-=-----=ππππππππ111)sin 1()cos (sin 1)(2'--=-----=f 】3. 复合函数求导法则（简单型）(由外到里逐层处理) 10-3. 设函数()cos 2f x x =, 则'()f x =A. 2sin 2xB. 2sin 2x -C. sin 2xD. sin 2x - [ ]【10-3、B 】06-2. 设函数25xy e=+, 则'y =A. 2xe B. 22xe C. 225xe+ D. 25x e + [ ] 【06-2. B 】05-3. 设()cos 2f x x =, 则'(0)f 等于A. 2-B. 1-C. 0D. 2 [ ] 【05-3. 0】 04-18. 设函数()1sin 2f x x =+,求'(0)f .【04-18. '()0cos 2(2)'2cos 2,f x x x x =+⋅= '(0)2f =】02-10. 设函数xy cos 11+=,则'y =_____________.【02-10. 11,1cos ,,1cos y x u y x u=+==+令则''2211sin '()(1cos )(sin )(1cos )u x xy x x u u x =⋅+=--=+】 00-10.设函数x y arcsin ln =,则'y =________________________.【00-10.xx x arcsin )1(21-】00-2. 下列函数中,在点0=x 处导数等于零的是A. )1(x x y -=B. xex y 2sin 2-+=C. x x y arctan cos -=D. )1ln(x y += [ ] 【00-2. B 】样题-12. 设函数cos()xy e -=,则'(0)y = ____________ .【样题-12. 00'sin (1)sin ,'(0)sin sin1xx x x y ee e e y e e ------=-⋅⋅-===】样题-23. 设函数(sin 2)f x y e=，其中()f u 可导，求'y .【样题-23. (sin 2)(sin 2)''(sin 2)cos 222cos 2'(sin 2)f x f x y ef x x x e f x =⋅⋅⋅=⋅⋅】(与复合函数记号有关的题型)要点：巳知x x f sin )(=，怎样求出()f x ？（见01-9）t =，解出2x t =，原式为2()sin f t t =，把t 更名为x ，得2()sin f x x =，04-20. 设函数3(cos )1cos f x x =+,求'()f x .【04-20. 33cos ,1cos 1,x t x t =+=+设则332()1,()1,'()3f t t f x x f x x =+=+=所以故则】02-23. 设函数x x g e x f xsin )(,)(==,且)]('[x g f y =,求dxdy. 【02-23. 因为x x g cos )('=,所以xex f y cos )(cos ==,则x e dxdyx sin cos -=】02-11. 设函数x x f ln )2(=,则)('x f =___________. 【02-11. x1】01-9. 设函数x x f sin )(=,则)('x f = ________________ . 【01-9. )cos(22x x 】样题-13. 设函数211()1f x xx=++,则)('x f = ____________ . 【样题-13. 22311112,,()1,()1,'()1t x f t t f x x f x x t t x x-===++=++=+令得于是】4. 复合函数与四则运算混合型(由外到里逐层处理) 07-22.设函数ln(y x =, 求'y 【07-22. 'y x =+=+】03-18. 设函数x x y +=,求'y .【03-18. xx x x xx xxx x x y ++=++=++=242122112)'('】02-17. 设函数21xx y +=,求'y . 【02-17. 2322222)1(111221'x xx x x y +=++-+=】5. 二阶导数(连续求二次导数)11-14. 设函数sin y x =，则 '''______y =. 【11-14. cos x -】 10-15. 设函数ln(1)y x =+ 则''_______y =. 【10-15.21(1)x -+ 】 09-15. 函数sin y x x = 则''_______y =. 【09-15.2cos sin x x x - 】 08-14. 设函数5y x = 则''_______y =. 【08-14. 320x 】 07-14. 设函数x y e -= 则'''_______y =. 【07-14. xe -】 06-15. 设函数sin 2y x = 则'''_______y =. 【06-15. 4sin 2x -】 05-14. 设函数2x y e = 则''(0)_______y =. 【05-14. 4】 04-21. 设函数11y x=+,求''y . 【04-21. 2332'(1)(1),''(1)(2)(1)(1)y x y x x --=-+=--+=+】03-11. 设函数xex y 22+=,则y 的50阶导数)50(y=___________. 【03-11. xe 2502】02-12. 设函数xxe y =,则)0(''y =___________. 【02-12. 2】 01-8. 设函数x x x f ln )(3=,则)1("f =_____________________ . 【01-8. 5】 00-20. 若 x x y arctan )1(2+=, 求"y . 98-10. 设 a a x n a x a y++=-)2( (其中 )1,0≠>a a , 则 )(n y = ______________ .【98-10. ()(2)[]"()''n n x a a yy a x a -==++=22)1(ln --+a x x a a a a 】【00-20. 1arctan 2)1(1)1(arctan 222'+=+++=x x x x x x y ，2"12arctan 2xx x y ++=】样题-15. 设函数y 的2n -阶导数(2)n x yxe -=, 则()(0)_______n y =【样题-15. ()(2)()[]''()''()'n n x x x yx y xe e xe -===+()2,x x x x x e e xe e xe =++=+()(0)2n y =】6. 变限积分求导（参见第三章相应条款）7. 微分计算(先求导,然后乘上dx ：'dy y dx =)11-5. 设函数cos 1y x =+, 则dy = [ ] A. (sin 1)x dx + B. (cos 1)x dx +C. sin xdx -D. sin xdx【11-5、C 】10-22. 设函数3cos x y x=, 求dy .【10-22. 332()'cos (cos )''(cos )x x x x y x -=2323cos sin (cos )x x x xx += 则2323cos sin '(cos )x x x xdy y dx dx x +===】09-22. 设函数sin xy e=, 求dy .【09-22. s i n'(s i n )'x y ex =s i nc o s x e x =则s i n c o s xd y ex d x =】 08-5. 设函数2xy e =+, 则dy = [ ] A. (2)xe dx + B. (2)x e x dx + C. (1)x e dx + D. xe dx 【08-5. D 】07-5. 设函数2s i n (1)y x =-,则dy = [ ] A. 2c o s (1)xd x - B. 2c o s (1)x d x -- C. 22c o s (1)x xd x - D. 22c o s (1)x x d x--【07-5. C 】 06-22. 设函数4s i n y x x =, 求dy =【06-22. 34'4sin cos y x x x x =+, 34(4sin cos )dy x x x x dx =+】 05-22. 设函数3c o s y x x =, 求dy .【05-22. 3323'()'c o s(c o s )'3c o s s i ny x x x x x x x x =+=-, 23(3cos sin )dy x x x x dx =-.】03-19. 设函数2arctan x y =,求dy .【03-19. dx x x dy x x x x y 442412,12)'(11'+=+=+=】01-7. 设函数21x y +=,则dy =____________ . 【01-7. dx xx 21+】00-9.设函数)(cos 2x y -=,则dy = ____________________ .【00-9. 2sin cos x xdx -，也可写成sin 2xdx -. 注意cos()cos x x -=】8.** 幂指函数求导（对数求导法或e-ln 法） **01-23. 设函数xxx y +=sin ,求'y .【01-23. sin y x =+'(sin )'(cos ((*)y x x =+=+笫2项那个导数属幂指函数求导问题，采用对数求导法，先记2y =,两边取对数2ln ln y x ==，然后对x 求导，得2211'y x x y x ==+22'y y x x =+=即(x =+，代回（*）式，得'cos y x x =++. 】二. 隐函数求导数与微分 (做法分两步：（1）原式两边对x 求导，注意把y 视为x 的抽象函数；（2）解出y')注：一元隐函数求导数与微分的题目在2000-2011年中皆没有出现，这里只找了94-99年的3个题目作参考. 学员务必把精力集中到第四章二元隐函数求偏导数和全微分上，因为连续多年都有一个这样的大题目。

多元复合函数的一阶`二阶偏导数的求法

多元复合函数的一阶`二阶偏导数的求法课程名称高等数学授课周次第15周第2次授课方式课堂讲授第六章、第六节复合函数与隐函数的微分法(1) 2 章(节) 课时名称教学目的使学生掌握多元复合函数的一阶、二阶偏导数的求法教学重点多元复合函数的一阶、二阶偏导数的求法教学难点多元抽象复合函数的二阶偏导数的求法一、教学引导:现在要将一元函数微分学中复合函数的求导法则推广到多元复合函数的情形。

多元复合函数的求导法则在多元函数微分学中也起着重要作用。

二、学生课前准备:复习一元复合函数的求导法则;预习多元复合函数的求导法则三、课堂教学过程:第一节课:多元复合函数的求导法则:1, 复合函数的中间变量均为一元函数的情形:定理1 如果函数u,,(t)及v,,(t)都在点t可导～函数z,f(u～ v)在对应点(u～ v)具有连续偏导数～则复合函数z,f[,(t)～ ,(t)]在点t可导～且有dz,zdu,zdv,,，, ，称为全导数 dt,udt,vdtdzyz,x,x,sint,y,cost,例1 设求全导数 dt2, 复合函数的中间变量均为多元函数的情形:定理2 如果函数u,,(x～ y)～ v,,(x～ y)都在点(x～ y)具有对x及y的偏导数～函数z,f(u～ v)在对应点(u～ v)具有连续偏导数～则复合函数z,f [,(x～ y)～,(x～ y)]在点(x～ y)的两个偏导数存在～且有教学过程,z,z,u,z,v,z,z,u,z,v,,，,,,，, ～ , ,x,u,x,v,x,y,u,y,v,y设计推广: 设z,f(u～ v～ w )～ u,,(x～ y)～ v,,(x～ y)～ w,,(x～ y)～则,z,z,u,z,v,z,w,z,z,u,z,v,z,w,,，,，,,,，,，,～ , ,x,u,x,v,x,w,x,y,u,y,v,y,w,y,z,zu 例2 设 z,esin v～ u,xy～ v,x，y～求和, ,x,y讨论:,z,z, (1)设,(～ )～ ,(～ )～ ,()～则,, zfuvu,xyv,y,,x,y,z,z,u,z,z,u,zdv,,,,，, 提示: ～ , ,x,u,x,y,u,y,vdy,z,z, (2)设z,f(u～ x～ y)～且u,,(x～ y)～则,, ,,x,y,f,f,f,f,z,u,z,u,，,，提示: ～ , ,x,u,x,x,y,u,y,y,f,z,z这里与是不同的～是把复合函数z,f[,(x～ y)～ x～ y]中的y看作 ,x,x,x,f不变而对x的偏导数～是把f(u～ x～ y)中的u及y看作不变而对x的偏导 ,x,f ,z,z,u,z,v,z,z,u,z,v,z,,，,数, 与也朋类似的区别，; ,,，,,x,u,x,v,x,y,y,u,y,v,y,y222 ,u,u2x，y，zz,xsiny例3设～而, 求和 u,f(x,y,z),e,x,y3(复合函数的中间变量既有一元函数～又有多元函数的情形定理3 如果函数,(～ )在点(～ )具有对及对的偏导数～函数u,xyxyxyv,,(y)在点y可导～函数z,f(u～ v)在对应点(u～ v)具有连续偏导数～则复合函数z,f[,(x～ y)～ ,(y)]在点(x～ y)的两个偏导数存在～且有,z,z,u,z,z,u,zdv ,, ～ , ,,，,,x,u,x,y,u,y,vdy,w,w,w,,例4设求. w,f(x,xy,xyz), ,x,y,z教学过程设计 ,w,w,w,,例5设求. w,f(x，xy，xyz),,x,y,z2,w,w例6设,(，，～ )～具有二阶连续偏导数～求及 wfxyzxyzf,x,x,z 解令u,x，y，z～ v,xyz ～则w,f(u～ v),,f(u,v),f(u,v),,,,,,,fff引入记号: ～ , 同理有～～等,f,f,22211112,u,u,v,f,f,w,u,v,,～ ,,，,,f，yzf12,x,u,x,v,x2,,,f,f,w,12,,, ,f，yzf,，yf，yz()122,x,z,z,z,z22,,,,,,,,,,,,,,,,,f，xyf，yf，yzf，xyzf,f，y(x，z)f，yf，xyzf , 1112221221112222,,,,,,,f,f,f,f,f,f,u,v,u,v111222,,,,,,,, 注:～ , ,,，,,f，xyf,,，,,f，xyf11122122,z,u,z,v,z,z,u,z,v,z课堂练习:习题6-6:1:(1)、(2)(3)，2全微分形式不变性: 设z,f(u～ v)具有连续偏导数～则有全微分,z,zdz,du，dv,如果z,f(u～ v)具有连续偏导数～而u,,(x～ y)～ v,,(x～y),u,v也具有连续偏导数～则,z,u,z,v,z,u,z,v,z,z dz,dx，dy,(，)dx，(，)dy,x,y,u,x,v,x,u,y,v,y ,z,u,u,z,v,v,z,z,du，dv , ,(dx，dy)，(dx，dy),u,v,u,x,y,v,x,y由此可见～无论z 是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数～它的全微分形式是一样的, 这个性质叫做全微分形式不变性,四、作业:习题6-6:1、3课后记,z,z。

高等数学第六版下册课后习题答案-同济大学

本答案由大学生必备网免费提供下载第八章多元函数微分法及其应用第一节多元函数的基本概念本节主要概念，定理，公式和重要结论理解多元函数的概念，会表达函数，会求定义域；理解二重极限概念，注意A y x f y x y x =→),(lim ),(),(00是点),(y x 以任何方式趋于),(00y x ;注意理解本节中相关概念与一元函数中相应内容的区分与联系。

习题 8－11.求下列函数表达式:(1)xy y x y x f +=),(，求),(y x xy f +解：(,)()x yxy f xy x y xyx y ++=++(2)22),(y x y x y x f -=-+，求),(y x f解：(,)()()(,)f x y x y x y x y f x y xy +-=-+⇒= 2.求下列函数的定义域，并绘出定义域的图形: (1)221)1ln(yx x y x z --+-+=解：22221011010x y x y x y x y x +->⎧+>⎧⎪-->⇒⎨⎨+<⎩⎪≥⎩(2))12ln(2+-=y x z 解：2210x y -+>(3) |)|||1ln(),(y x y x f --= 解：1||||0||||1x y x y -->⇒+< 3.求下列极限:(1)22)1,0(),(1limy x xyx y x ++-→解：22(,)(0,1)1lim1x y x xyx y →-+=+ (2)xy xy y x 42lim)0,0(),(+-→解一：(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)18lim2lim2lim 4x y x y x y xyxy →→→=-=-=-解二：(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)1limlim lim 4x y x y x y →→→===-(3)yxy x y x )sin()2(lim )0,1(),(+→(4)2222011limy x y x y x +-+→→解一：(,)(1,0)(,)(1,0)sin()sin()lim (2)lim [(2)]3x y x y xy xy x x x y xy→→+=+=解二：(,)(1,0)(,)(1,0)(,)(1,0)sin()lim (2)lim (2)lim (2)3x y x y x y xy xyx x x x y y →→→+=+=+= (4)22220011limyx y x y x +-+→→解一：2222222200000011lim lim()022x x x y y y x y y x x y x y →→→→→→==⋅=++解二：222222000000x x x y y y y x y →→→→→→===+ 4.证明下列函数当)0,0(),(→y x 时极限不存在:(1)2222),(yx y x y x f +-=解：222222222222001lim lim 1x x y kxx y x k x k x y x k x k →→=---==+++ (2)22222)(),(y x y x y x y x f -+= 解：224222400lim lim 1()x x y x x y x x y x y x →→===+- 2222200lim 0()x y x y x y x y →==+- 5.下列函数在何处是间断的? (1) yx z -=1解：x y =(2)x y xy z 2222-+=解：22y x =第二节偏导数本节主要概念，定理，公式和重要结论1.偏导数：设),(y x f z =在),(00y x 的某一邻域有定义，则xy x f y x x f y x f x x ∆∆∆),(),(lim),(0000000-+=→， yy x f y y x f y x f y y ∆∆∆),(),(lim ),(0000000-+=→. ),(00y x f x 的几何意义为曲线⎩⎨⎧==0),(y y y x f z 在点)),(,,(0000y x f y x M 处的切线对x 轴的斜率.),(y x f 在任意点),(y x 处的偏导数),(y x f x 、),(y x f y 称为偏导函数，简称偏导数.求),(y x f x 时，只需把y 视为常数，对x 求导即可.2.高阶偏导数),(y x f z =的偏导数),(),,(y x f y x f y x 的偏导数称为二阶偏导数，二阶偏导数的偏导数称为三阶偏导数，如此类推. 二阶偏导数依求导次序不同，有如下4个：xy zy x z y z x z ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂222222,,,，其中后两个称为混合偏导数. 若两个混合偏导数皆为连续函数，则它们相等，即可交换求偏导数的次序.高阶混合偏导数也有类似结果.习题 8－21.求下列函数的一阶偏导数:(1)xy y xz +=解：21,z z xy x x y y y∂∂=+=-+∂∂ (2)xyz arctan =解：2222222111,1()1()z y y z x y y x x x y y x x y x x∂--∂=⋅==⋅=∂+∂+++ (3))ln(22y x x z ++=解：(1z x ∂==∂z y ∂==∂(4))ln(222z y x u ++= 解：222222222222,,u x u y u zx x y z y x y z z x y z∂∂∂===∂++∂++∂++(5)⎰=yzxzt dt e u 2解：22222222,,x z y z y z x z uu u ze ze ye xe x y z∂∂∂=-==-∂∂∂ (6)x y y x z cos sin = 解：2211cos cos sin sin ,cos cos sin sin z x y y x y u x x y x y x y y x x y x y y y x x y x ∂∂=+=--∂∂ (7)y x xy z ++=)1( (8))cos(ϕθϕθ-=+e u解：(1)[ln(1)],(1)[ln(1)]11x y x y z x y u x y xy xy y xy xy x x xy y xy ++∂+∂+=+++=+++∂+∂+ (8))cos(ϕθϕθ-=+e u解：[cos()sin()],[cos()sin()]u u e e θϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕ++∂∂=---=-+-∂∂ 2.求下列函数在指定点处的一阶偏导数: （1）yxy x z arcsin)1(2-+=，求)1,0(x z 解：20(0,1)lim0x x x z x∆→∆==∆ （2）xyx e x z yarctan)1(2-+=，求)0,1(y z 解：01(1,0)lim1y y y e z y∆∆→-==-∆ 3.求下列函数的高阶偏导数:(1))ln(xy x z =，求22x z ∂∂，22yz ∂∂，y x z∂∂∂2解：ln()1,z z x xy x y y∂∂=+=∂∂ 22222211,,z z x z x x y y x y y∂∂∂==-=∂∂∂∂ (2))2(cos 2y x z +=，求22x z ∂∂，22yz ∂∂，y x z ∂∂∂2，x y z ∂∂∂2解：2cos(2)sin(2)sin 2(2)zx y x y x y x ∂=-++=-+∂ 4cos(2)sin(2)2sin 2(2)zx y x y x y y∂=-++=-+∂ 222222cos 2(2),8cos 2(2),4cos 2(2)z z zx y x y x y x y x y∂∂∂=-+=-+=-+∂∂∂∂(3)⎰+=22 y x xtdt e z ，求22x z ∂∂， yx z ∂∂∂2解：22222222222,2(12),4x y x x y x x y z z z xe e x e e xye x x x y+++∂∂∂=-=+-=∂∂∂∂ 4.设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-=0 00),(22222233y x y x y x xy y x y x f ，求)0,0(xy f 和)0,0(yx f .解：00(0)(0,0)00(0,0)lim lim 0x x x f x f f x x ∆→∆→∆--===∆∆，00(0,)(0,0)00(0,0)lim lim 0y y y f y f f y y ∆→∆→∆--===∆∆4224222224(,),0()x x x y y f x y y x y x y +-=+≠+ 4224222224(,),0()y x x y y f x y x x y x y --=+≠+ 54000(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1x x xy y y y f y f y f y y∆→∆→-∆-∆-∆===-∆∆54000(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x yx x x x f x f x f x x ∆→∆→∆-∆-∆===∆∆5.设)11(y x e z +-=，求证z y z y x z x222=∂∂+∂∂ 解: 1111()()2211,x y x y z z e ex x y y-+-+∂∂==∂∂ 111111()()()2222221122x yx y x y z z x y x e y e e z x y x y-+-+-+∂∂+=⋅+⋅==∂∂ 6.设222z y x r ++=，证明r zr y r x r 2222222=∂∂+∂∂+∂∂证明: 22222223,r x r x r r x r r x x r x r x r r r ∂--∂∂-∂=====∂∂ 由轮换对称性, 2222222323,r r y r r z y r z r ∂-∂-==∂∂222222222223321r r r r x y z r x y z r r r∂∂∂---++===∂∂∂ 第三节全微分本节主要概念，定理，公式和重要结论1.全微分的定义若函数),(y x f z =在点),(00y x 处的全增量z ∆表示成22),(y x o y B x A z ∆+∆=+∆+∆=∆ρρ则称),(y x f z =在点),(00y x 可微，并称Bdy Adx y B x A +=+∆∆为),(y x f z =在点),(00y x 的全微分，记作dz .2.可微的必要条件：若),(y x f z =在),(00y x 可微，则（1）),(y x f 在),(00y x 处连续；（2）),(y x f 在),(00y x 处可偏导，且),(),,(0000y x f B y x f A y x ==，从而dy y x f dx y x f dz y x ),(),(0000+=.一般地，对于区域D 内可微函数， dy y x f dx y x f dz y x ),(),(+=.3.可微的充分条件：若),(y x f z =在),(00y x 的某邻域内可偏导，且偏导数在),(00y x 处连续，则),(y x f z =在),(00y x 可微。

考研数学二分类模拟题29

考研数学二分类模拟题29解答题1. 讨论在点(0，0)处的连续性、可偏导性及可微性．正确答案：[解] 因为，且，所以，即函数f(x，y)在点(0，0)处连续．因为，所以f'x(0，0)=0，根据对称性得f'y(0，0)=0，即函数f(x，y)在(0，0)处可偏导．因为不存在，所以函数f(x，y)在(0，0)不可微．2. 讨论在点(0，0)处的连续性、可偏导性及可微性．正确答案：[解] 因为，所以f(x，y)在点(0，0)处连续．因为，所以f'x(0，0)=0，由对称性得f'y(0，0)=0，即函数f(x，y)在点(0，0)处可偏导．因为，且，所以函数f(x，y)在点(0，0)处可微．3. 设z=f(e t sint，tant)，求正确答案：[解]4. 设z=e x2+y2sinxy，求正确答案：[解]5. 设，f有一阶连续的偏导数，求正确答案：[解]6. 设u=x yz，求du．正确答案：[解] u=x yz=e yzlnx，7. 设函数z=z(x，y)由方程x2+y2+z2=xyf(z2)所确定，其中f是可微函数，计算并化成最简形式．正确答案：[解] x22+y2+z2=xyf(x2)两边对x求偏导得，解得；x2+y2+z2=xyf(z2)两边对．y求偏导得，解得，故8. 设f(t)二阶可导，g(u，v)二阶连续可偏导，且z=f(2x-y)+g(x，xy)，求正确答案：[解]9. 设z=f(e x siny，x2+y2)，且f(u，v)二阶连续可偏导，求正确答案：[解]10. 设z=f(x3+y2，xy，x)，其中f(u，v，ω)二阶连续可偏导，求正确答案：[解]=4xyf"11+2(x2+y2)f"12+f'2+xyf"22+2yf"31+xf"32．11. 设z=z(x，y)由x-yz+ye z-x-y=0确定，求及dz．正确答案：[解] 方程x-yz+ye z-x-y=0两边对x求偏导得解得方程x-yz+ye z-x-y=0两边对y求偏导得解得12. 设z=f(x-y+g(x-y-z))，其中f，g可微，求正确答案：[解] 等式z=f(x-y+g(x-y-z))两边对x求偏导得，解得等式z=f(x-y+g(x-y-z))两边对y求偏导得，解．13. 设u=f(z)，其中z是由z=y+xφ(z)确定的x，y的函数，其中f(z)与φ(z)为可微函数．证明：正确答案：[证明] ，z=y+xφ(z)两边对x求偏导得，解得则z=y+xφ(z)两边对y求偏导得，解得，则，所以14. 设xy=xf(z)+yg(z)，且xf'(z)+yg'(z)≠0，其中z=z(x，y)是x，y的函数．证明：正确答案：[证明] xy=xf(z)+yg(z)两边分别对x，y求偏导，得及解得于是15. 设z=f(x，y)由方程z-y-x+xe z-y-x=0确定，求dz．正确答案：[解] 对z-y-x+xe z-y-x=0两边求微分，得dz-dy-dx+e z-y-x dx+xe z-y-x(dz-dy-dx)=0，解得16. 设u=f(x，y，z)有连续的偏导数，y=y(x)，z=z(x)分别由方程e xy-y=0与e z-xz=0确定，求正确答案：[解] ，方程e xy-y=0两边对x求导得，解得方程e z-xz=0两边对x求导得，解得则17. 设y=y(x)，z=z(x)是由方程z=xf(x+y)和F(x，y，z)=0所确定的函数，其中f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求正确答案：[解] z=xf(x+y)及F(x，y，z)=0两边对x求导数，得解得18. 设y=f(x，t)，其中t是由G(x，y，t)=0确定的x，y的函数，且f(x，t)，G(x，y，t)一阶连续可偏导，求正确答案：[解] 将y=f(x，t)与G(x，y，t)=0两边对x求导得解得19. 设且F可微，证明：正确答案：[证明] 两边对x求偏导得解得两边对y求偏导得，解得，于是20. 设变换可把方程简化为，求常a．正确答案：[解] 将u，v作为中间变量，则函数关系为则有将上述式子代入方程得，根据题意得解得a=3．21. 设z=f[x+φ(x-y)，y]，其中f二阶连续可偏导，φ二阶可导，求正确答案：z=f[x+φ(x-y)，y]两边关于y求偏导得=f"11(φ')2-2f"12φ'+f'1φ"+f"22．22. 设，求f(u，v)，并求正确答案：[解] 令，则，从而，于是23. 求二元函数f(x，y)=x2(2+y2)+ylny的极值．正确答案：[解] 二元函数f(x，y)的定义域为D={(x，y)|y＞0}，由得，则因为AC-B2＞0且A＞0，所以为f(x，y)的极小点，极小值为．24. 求u=x2+y2+z2在上的最小值．正确答案：[解] 令由得，代入得从而u=x2+y2+z2在上的最小值为25. 平面曲线绕x轴旋转所得曲面为S，求曲面S的内接长方体的最大体积．正确答案：[解] 曲线绕x轴旋转一周所得的曲面为．根据对称性，设内接长方体在第一卦限的顶点坐标为M(x，y，z)，则体积为V=8xyz．令，由得由实际问题的特性及点的唯一性，当时，内接长方体体积最大，最大体积为。

偏导数带角标

偏导数带角标
偏导数的角标通常用来表示变量的偏导，以示区分。

偏导数是一种对多元函数的导数的推广，用于求解多元函数在某一维度上的变化率。

例如，对于二元函数f(x, y)，我们可以用∂f/∂x表示在变量x 上的偏导数，用∂f/∂y表示在变量y上的偏导数。

类似地，对于三元函数f(x, y, z)，我们可以用∂f/∂x表示在变量x上的偏导数，以此类推。

偏导数的计算方法与普通导数类似，只是在求导时将其他变量视为常数。

例如，对于函数f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2，我们可以计算偏导数∂f/∂x = 2x + 2y，∂f/∂y = 2x + 2y。

用角标来表示偏导数有助于明确变量的方向和意义，特别是在多元函数中存在多个变量的情况下。

它们使得我们可以准确地指定要计算的偏导数，并将其结果与其他相关变量联系起来。

在实际应用中，偏导数在数学、物理、经济学等领域都具有重要的作用。

它们可以帮助我们分析函数的局部变化情况，优化问题的求解，以及解释许多现象和关系。

总之，偏导数的角标在多元函数的求导中起着重要的作用，能够清晰地表示变量的偏导方向和意义，帮助我们更好地理解和分析函数的性质。

考研数学二分类模拟247

考研数学二分类模拟247解答题1. 设c＞1及．当n≥2时，．证明：数列{a n}发散．正确答案：证明：反证法．设数列{a n)是收敛的，记．根据极限的四则运算法则，有即，亦即(a-1)2=1-c，与1-c＜0矛盾．因此数列{a n)发散．[考点] 极限、连续及其应用2. 设非负函数f(x)是周期为T(T＞0)的连续函数，证明正确答案：证明：对任意x＞0，必存在某个自然数n，使得nT≤x≤(n+1)T ①由函数的非负性有将代入②得式③前两项同时除以(n+1)T，再结合式①②可得从而得到又由④⑤⑥及夹逼准则，可知即结论成立．注本题去掉f(x)非负的条件，结论仍然成立．证明如下：当f(x)为以T(T＞0)为周期的连续函数时，先考虑x∈[0，T]，则由闭区间上连续函数的有界性知，存在M＞0使得|f(x)|≤M．再由周期性知f(x)在(-∞，+∞)上有界．令g(x)=M-f(x)，则g(x)是以T(T＞0)为周期的非负连续函数，由上面的证明可知即其中以及则由①②③可得[考点] 一元函数微积分3. 证明：．正确答案：证明：当n=1，2时，可直接验证上述等式成立．设n=k-1，k时成立，来证n=k+1时也成立．事实上，有再利用n=k，与n=k-1已有结果，代入整理，即所求．[考点] 一元函数微积分4. 设A是n(n≥2)阶矩阵，证明正确答案：证明：若r(A)=n，则|A|≠0．从而|A*|≠0．于是r(A*)=n．若r(A)=n-1，则A有一个n-1阶子式不等于0．从而A有一个元素的代数余子式不等于0，于是A*≠0．由于|A|=0，则A*A=0，所以r(A*)≤n-r(A)=n-(n-1)=1．而A*≠0，因此r(A*)=1．若r(A)＜n-1，则A的所有n-1阶子式都等于0，从而A*=0．于是r(A*)=0．注1 本例的结论请读者牢记，并灵活运用．注2 若n≥3且r(A*)＜n-1，则r[(A*)*]=0．[考点] 矩阵5. ．正确答案：解：由于故于是[考点] 不定积分、定积分、反常积分6. 给定两个正数a1与b1(a1＞b1)，作出其等差中项与等比中项，一般地，令证明：皆存在且相等．正确答案：证明：由于a1与b1都是正数，显然a n＞0，b n＞0，n=1，2，…．于是有即a n≥b n，n=1，2，…，因此这说明{a n}是递减数列，而{b n}是递增数列．由a n≥b n≥b n-1≥…≥b1及b n≤a n≤a n-1≤…≤a1知{a n}有下界，而{b n)有上界．根据单调有界定理，皆存在．设．对两边取极限，得，于是a=b．[考点] 极限、连续及其应用7. 判断下述n元线性方程组是否有解?有多少个解?其中a≠0，并且当0＜r＜n时，a r≠1．正确答案：解：由于a≠0且当0＜r＜n时，a r≠1，因此a，a2，…，a n是两两不等的非零数．上述方程组的系数行列式为上式右端是范德蒙行列式，由于a，a2，…，a n两两不等，因此这个范德蒙行列式的值不等于0，从而上述线性方程组有唯一解．[考点] 行列式8. 证明不等式正确答案：证明：由于，则需要证明的不等式等价于设函数则由于f"(x)＞0，因此f'(x)单调递增，而f'(0)=0．故当x＜0时，f'(x)＜0，当x＞0时，f'(x)＞0，所以x=0是函数的极小值点，而且是函数f(x)的唯一极值点，因此是唯一的最小值点，从而且上式等号成立当且仅当x=0，因此由此可得[考点] 连续、导数、微分(Ⅰ)9. 求曲线的渐近线．正确答案：解：由于所以x=0为垂直渐近线．[考点] 定积分的应用10. 利用配方法，化二次型为标准型，并写出所作的可逆线性变换．正确答案：解：作线性变换即把二次型化为标准形将线性变换表示成矩阵形式，即x=Cy，其中．因|C|≠0，故所作变换是可逆线性变换．[考点] 二次型11. 设求下列极限：(1)；(2)；(3)．正确答案：解：(1)所以．(2)先考虑由于而不存在(注：此时x是非零常数，y是变量)，所以不存在．同理(3)中的极限也不存在．[考点] 多元函数微分学12. 设，证明：不存在一个函数以f(x)为其导函数．正确答案：证明：反证法．设g'(x)=f(x)，则当x＞0时，；当x＜0时，．由于g(x)在x=0处连续，则即C1=C2=g(0)．因此则这与式①中g'(0)=1矛盾．[考点] 一元函数微积分13. 证明：若f(x)在[a，b]上可导，且f'(a)·f'(b)＜0，则至少存在c∈(a，b)，使f'(c)=0．正确答案：证明：f'(a)·f'(b)＜0，不妨设f'(a)＜0，f'(b)＞0．因为，所以由函数极限存在的保号性可知，，当a＜x＜a+δ1时，，即f(x)-f(a)＜0．同样，，当b-δ2＜x＜b时，f(x)-f(b)＜0．取，于是在(a，a+δ)，(b-δ，b)中，分别有f(x)＜f(a)和f(x)＜f(b)．故f(a)，f(b)不是f(x)在[a，b]中的最小值，则f(x)在[a，b]中的最小值点必在开区间(a，b)内取到，并设为c，则c也是极小值点，进而c为可导的极值点，故f'(c)=0．[考点] 一元函数微积分14. 设A是s×n矩阵，B是l×m矩阵．证明正确答案：证明：对矩阵的前s行作初等行变换，化成，其中J r是r×n 阶梯形矩阵，且r行都是非零行，则r(A)=r．记，再对矩阵C的后l行作初等行变换，化成，其中J t是t×m阶梯形矩阵，且t行都是非零行，r(B)=t．记，最后对矩阵D作一系列两行互换，化成，矩阵M是阶梯形矩阵，有r+t个非零行．因此[考点] 矩阵、向量、方程组15. 设z=z(x，y)是由方程F(x-z，y-z)=0所确定的隐函数，其中F具有连续的二阶偏导数，证明：z xx+2z xy+z yy=0．正确答案：证明：易知F x=F1，F y=F2，F z=-(F1+F2)于是求得由此得到z x+z y=1分别对x与y求偏导数，又得z xx+z yx=0，z xy+z yy=0两式相加即证得z xx+2z xy+z yy=0[考点] 多元函数微积分16. 求函数f=x+y+z在约束条件xyz=a3下的极值(其中x，y，z，a均大于0)．正确答案：解：作拉格朗日函数L(x，y，z，λ)=x+y+z+λ(xyz-a3)对L求偏导数并令它们都等于零，得由前三式得x=y=z，代入第四式得唯一稳定点x=y=z=a．计算可得所以，且A＞0，故点(a，a)为g的极小值点，点(a，a，a)则为极小值点，极小值为3a．[考点] 多元函数微分学判断下列反常积分的敛散性：17. ；正确答案：解：由于(当x→+∞时)，所以，积分收敛．[考点] 不定积分、定积分、反常积分18. ．正确答案：解：由于(当x→+∞时)，所以，积分收敛．[考点] 不定积分、定积分、反常积分19. 设A是s×n阶矩阵，B是l×m阶矩阵，C是s×m阶矩阵．证明正确答案：证明：设r(A)=r，r(B)=t，则A必存在一个r阶子矩阵A1，使得|A1|≠0；则B 必存在一个t阶子矩阵B1，使得|B1|≠0，从而存在一个(r+t)阶子式，因此．[考点] 矩阵20. 设A是n(n≥2)阶矩阵，证明：|A*|=|A|n-1．正确答案：证明：若A=0，则结论显然成立．下设A≠0．由于AA*=|A|E n，因此：若|A|≠0，则|A||A*|=|A|n，即|A*|=|A|n-1．若|A|=0，即r(A)＜n，由结论知，r(A*)＜n．因此|A*|=0，从而结论成立．[考点] 矩阵21. 设A是n(n≥2)阶矩阵，证明：(1)当n≥3时，(A*)*=|A|n-2A；(2)当n=2时，(A*)*=A．正确答案：证明：(1)设n≥3．若|A|≠0，则由上题的结论知，|A*|=|A|n-1．由于A*(A*)*=|A*|E n，因此．若|A|=0，由结论知，r(A*)≤1＜n-1．再由结论知，(A*)*=0．于是结论也成立．(2)设n=2．此时因此[考点] 矩阵。