基础强化训练之因式分解和乘法公式

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整式乘法与因式分解：乘法公式(完全平方公式、平方差公式)知识点详解及强化练习

乘法公式知识点详解及强化练习一、完全平方公式利用长方形、正方形纸板（如图甲），拼成一个大正方形（如图乙），通过这样的拼图过程，能发现什么吗？先观察图，再用等式表示图中图形面积的运算。

= + +完全平方公式完全平方公式有怎样的结构特征？完全平方的左边是一个二项式的完全平方，右边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项中两项乘积的2倍。

可概括为“首平方，尾平方，乘积2倍放中央，中央符号回头望”。

公式的语言叙述：两个数的和的平方等于这两个数的平方和与它们的积的2倍的和；两个数的差的平方等于这两个数的平方和与它们的积的2倍的差。

例1.用完全平方公式计算：（1）(5+3p)2（2）(-3b+2c)2（3）(-2a-5)2变式题用完全平方公式计算（1）(x+2y)2（2）(-3x-4y)2（3）(a+b)(-a-b)例2.利用完全平方公式计算：（1）1022（2）1972[总结]：完全平方公式——(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。

注意它们的结构特征和使用时的关键。

本节学习的数学方法：数形结合的思想方法和转化的思想方法。

[拓展]利用完全平方公式解决问题已知(a+b)2=7，(a-b)2=4，求a2+b2，ab的值。

变式题已知a+b=5，ab=-6，求下列各式的值。

（1）a2+b2（2）a2-ab+b2二、平方差公式如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形。

（1）请表示图（1）中阴影部分的面积。

（2）将阴影部分拼成了一个长方形，如图（2），这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？（3）比较（1）（2）的结果，能验证平方差公式吗？将图（1）沿虚线剪开，拼成如图（2）的一个长方形。

分别计算图（1）、图（2）的面积，有什么发现？[特征]公式的左边是两个数的和乘以这两个数的差，而公式的右边恰好是这两个数的平方差。

(a+b)(a-b)=a2-b2，这个公式称为平方差公式。

乘法公式与因式分解

乘法公式与因式分解乘法公式和因式分解是数学中常见的概念和工具。

它们在各个数学领域都有广泛的应用，尤其是在代数和方程中。

本文将详细介绍乘法公式和因式分解的概念、原理和应用。

一、乘法公式乘法公式是指将两个或多个数相乘所遵循的规则。

在代数中，乘法公式往往涉及到字母表示的变量和表达式。

以下是常见的乘法公式：1. 两个数的乘积等于它们的因数相乘：a * b = b * a。

2. 两个数相乘再乘以另一个数等于每个因数分别乘以这个数再相乘：(a * b) * c = a * (b * c)。

3. 任何数与1相乘等于它本身：a * 1 = a。

4. 任何数与0相乘等于0：a * 0 = 0。

乘法公式在解决方程、计算等多个数学问题中起着重要作用。

它们能够简化计算过程、发现规律、推导定理等。

二、因式分解因式分解是将一个数或表达式分解成多个因数相乘的过程。

它是乘法公式的逆运算。

因式分解在求解方程、因式的化简和分析函数图像等方面具有重要意义。

1. 将一个数分解成质因数的乘积是因式分解的基本思想。

质因数是指只能被1和自身整除的数，如2、3、5、7等。

例如，将12分解成质因数的乘积等于2 * 2 * 3。

2. 除法和因式分解之间有密切的关系。

将一个数分解成两个因数相乘，可以使用除法的思想。

例如，用因式分解的方法将24分解成2 * 12，相当于24除以2得到12。

3. 多项式的因式分解需要应用乘法公式的原理。

对于多项式，我们可以先找出公因式，然后使用乘法公式将多项式分解为多个因式相乘的形式。

例如，将x^2 - 4分解成(x - 2)(x + 2)。

因式分解不仅在代数中有重要应用，也在数论、几何等数学分支中有广泛的运用。

它能够帮助我们更好地理解数学问题，简化运算，并发现问题的规律和性质。

三、乘法公式与因式分解的应用乘法公式和因式分解在数学中有广泛的应用。

以下列举其中几个常见的应用：1. 方程的求解：通过应用乘法公式和因式分解，我们可以将方程进行变形和化简，从而更容易求得方程的解。

第01讲乘法公式与因式分解

第01讲乘法公式与因式分解衔接班
一．乘法公式
秘诀1：平方差公式 2
2
()()a b a b a b +-=-；
秘诀2：完全平方公式 2
2
2
()2a b a ab b +=++; 2
2
2
()2a b a ab b -=-+. 二．因式分解
因式分解：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做因式分解
十字相乘法(常年江湖中行走，十字相乘法是行走江湖的必备轻身之术)
【高中功法体验区】
体验1.把122
-+b b
分解因式
体验2 把3722
+-x x 分解因式.
体验3（等级晋级）把22865y xy x -+分解因式.
反思:首先还是要体验多一个问题：BD x BC AD ACx D Cx B Ax +++=++)())((2
，然后找规律。

容易出现的几个典型问题：①系数是带符号的，②在写因式的时候，是横着写的。

③涉及有分数，注意会提公因式化整。

【高中高级秘籍练级区】
【华山之巅】我来测一测
【课后作业】
3．把下列各式分解因式： (1) 232x x -+ (2) 23736x x ++ (3)21126x x +-
(4) 2627x x --
(5) 2245m mn n --
(6) 2
()11()28a b a b -+-+
4．把下列各式分解因式：
(1) 22
(2)9x x --
(2) 42
718x x --
(3) 2
673x x --
(4) 2
2
82615x xy y +-。

乘法公式与因式分解

乘法公式与因式分解乘法公式和因式分解是数学中重要的概念和操作，它们在代数运算、方程求解、多项式的化简等方面具有广泛的应用。

本文将介绍乘法公式和因式分解的概念、性质以及应用。

一、乘法公式乘法公式是指在对两个或多个数进行乘法运算时，有一些特定的规律可以简化运算过程。

其中，常见的乘法公式包括：1. 乘法交换律：a × b = b × a乘法交换律指出，两个数的乘积与它们的顺序无关。

2. 乘法结合律：(a × b) × c = a × (b × c)乘法结合律指出，三个数相乘时，可以按照不同的顺序进行运算，最终结果相同。

3. 乘法分配律：a × (b + c) = a × b + a × c乘法分配律指出，一个数与括号中的和相乘，等于这个数分别与和中的每个数相乘之后再相加。

以上三个乘法公式是数学运算中常用的基本规律，能够简化计算过程，提高效率。

二、因式分解因式分解是将一个数或者多项式表示为两个或多个因子的乘积的过程。

因式分解有助于化简复杂的表达式、解方程和求极限。

1. 常见因式分解公式(1) 完全平方差公式：a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)该公式表示一个完全平方式减去另一个完全平方式的结果可以被分解为两个因子的乘积。

(2) 三项平方差公式：a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)该公式表示一个立方形式减去另一个立方形式的结果可以被分解为两个因子的乘积。

2. 因式分解的应用(1) 化简表达式：通过因式分解，可以将复杂的代数表达式转化为简单的因式乘积形式，便于计算和理解。

(2) 解方程：因式分解是求解一元高次方程的重要方法之一。

通过将方程进行因式分解，可以将原方程化简为多个一次方程的乘积形式，从而找到方程的解。

(3) 求极限：在一些复杂的极限求解问题中，通过因式分解可以将被极限运算影响的部分拆分为若干个因子，从而简化运算过程。

七年级数学下册-第9章整式乘法与因式分解(16个考点60题)强化训练(解析版)

第9章整式乘法与因式分解（16个考点60题）强化训练一．单项式乘单项式（共3小题）二．单项式乘多项式（共3小题）三．多项式乘多项式（共7小题）四．完全平方公式（共6小题）五．完全平方公式的几何背景（共5小题）六．完全平方式（共3小题）七．平方差公式（共5小题）八．平方差公式的几何背景（共3小题）九．整式的除法（共3小题）十．整式的混合运算（共5小题）十一．整式的混合运算—化简求值（共4小题）十二．因式分解的意义（共3小题）十三．因式分解-提公因式法（共1小题）十四．因式分解-运用公式法（共2小题）十五．提公因式法与公式法的综合运用（共3小题）十六．因式分解的应用（共4小题）一．单项式乘单项式（共3小题）1．（2023春•玄武区期中）计算23x x ⋅的结果是()A ．5xB ．6xC ．25xD ．26x 【分析】利用单项式乘单项式的运算法则进行计算即可得到正确的答案．【解答】解：2236x x x ⋅=．故选：D ．【点评】本题考查了单项式乘单项式的运算，单项式乘以单项式就是将系数相乘作为结果的系数，相同字母相乘作为结果的因式．2．（2023春•高港区期中）计算：162a ab ⋅=．【分析】根据单项式乘单项式即可求出答案．【解答】解：原式23a b =，故答案为：23a b ，【点评】本题考查单项式乘单项式，解题的关键是熟练运用单项式乘单项式运算法则，本题属于基础题型．3．（2023春•丹阳市期中）24(a b ⋅43)8a b =．【分析】根据乘法与除法互为逆运算解答即可．【解答】解：43222842a b a b a b ÷=．故答案为：222a b ．【点评】本题考查了单项式与单项式的除法，单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．二．单项式乘多项式（共3小题）4．（2023春•溧阳市期末）计算：3(2)a a b -=．【分析】利用单项式乘多项式的法则进行运算即可．【解答】解：23(2)63a a b a ab -=-．故答案为：263a ab -．【点评】本题主要考查单项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．5．（2023春•铜山区期中）计算：232(3)x x -=．【分析】根据单项式乘单项式的法则：系数的积作为积的系数，同底数的幂分别相乘也作为积的一个因式，进行计算即可．【解答】解：232(3)x x - 23(23)x x =-⨯ 56x =-．故答案为：56x -．【点评】本题考查了单项式乘单项式法则的应用，通过做此题培养了学生的理解能力和计算能力，题目比较好，难度不大．6．（2023春•东海县期中）如图，这是一道例题的部分解答过程，其中A ，B 是两个关于x ，y 的二项式．请仔细观察上面的例题及解答过程，完成下列问题：（1）多项式A 为，多项式B 为，例题的化简结果为；（2）求多项式A 与B 的积．【分析】（1）根据单项式与多项乘法的逆运算可得A 和B ，然后合并同类项可得答案；（2）直接根据单项式乘多项式计算即可．【解答】解：（1）2A x y =+，2B x y =-，原式22242xy y x xy=++-224y x =+，故答案为：2x y +；2x y -；224y x +．（2）A B ⋅(2)(2)x y x y =+⋅-22(2)x y =-224x y =-．【点评】本题考查了单项式乘多项式，掌握单项式乘多项式的方法是关键．三．多项式乘多项式（共7小题）7．（2023春•梁溪区校级期中）要使2(2)(1)x x ax +--的展开式中不含2x 项，则a 的值为()A ．2-B ．2C ．0D ．3【分析】直接利用多项式乘多项式运算法则化简，再利用含2x 项的系数为零，进而得出答案．【解答】解：2(2)(1)x x ax +--32(2)22x a x x ax =+----32(2)(12)2x a x a x =+--+-，2(2)(1)x x ax +-- 的展开式中不含2x 项，20a ∴-=，解得：2a =．故选：B ．【点评】此题主要考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．8．（2023春•苏州期中）已知250a a +-=，代数式2(5)(1)a a -+的值是()A ．4B ．5-C ．5D ．4-【分析】先根据250a a +-=得到25a a -=-，再把25a a -=-整体代入，即可求解．【解答】解：250a a +-= ，25a a ∴-=-，25a a +=，2(5)(1)a a ∴-+(1)a a =-+2a a=--2()a a =-+5=-．故选：B ．【点评】本题主要考查了整式的混合运算—化简求值，掌握运算法则和具有整体代入思想是解题关键．9．（2023春•淮安区校级期末）如图，有A 、B 、C 三种类型的卡片若干张，如果要拼成一个长为(32)a b +，宽为(2)a b +的大长方形，则需要A 类、B 类、C 类卡片的张数分别为()A ．5、3、6B ．6、3、7C ．6、2、7D ．5、2、6【分析】利用长方形面积列出式子，展开，找到不同卡片面积对应的系数，就是各自卡片的数量．【解答】解：22(32)(2)672a b a b a ab b ++=++，2A S a =，2B S b =，C S ab =，所以2a 、2b 、ab 系数分别是6、2、7．故选：C ．【点评】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，找出各类卡片的面积和对应的系数是解题的关键．10．（2023春•秦淮区期中）若2()(2)8x m x x nx -+=+-，则m n -的值是()A ．2B ．2-C ．6-D ．6【分析】已知等式左边利用多项式乘多项式法则展开，再根据多项式相等时满足的条件求解即可．【解答】解：22()(2)(2)28x m x x m x m x nx -+=+--=+- ，∴228m n m -=⎧⎨-=-⎩，解得24n m =-⎧⎨=⎩，4(2)6m n ∴-=--=．故选：D ．【点评】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．11．（2023春•苏州期中）若2()(3)12x m x x nx +-=+-，则n =．【分析】根据多项式乘以多项式的法则展开即可求出m 与n 的值．【解答】解：22()(3)33(3)3x m x x x mx m x m x m +-=-+-=+--，3m n ∴-=，312m =，解得：4m =，1n =，故答案为：1．【点评】本题考查多项式乘以多项式的法则，解题的关键是将左边展开后合并同类项，然后利用待定系数法即可求出m 与n 的值．12．（2023春•鼓楼区校级期中）已知：化简2()(321)x a x x -++的结果中不含2x 项，则常数a 的值是．【分析】先根据多项式的乘法法则展开，再根据题意，二次项的系数等于0列式求解即可．【解答】解：232()(321)3(23)(12)x a x x x a x a x a -++=+-+--，不含2x 项，230a ∴-=，解得23a =．故答案为：23．【点评】本题主要考查单项式与多项式的乘法，运算法则需要熟练掌握，不含某一项就让这一项的系数等于0是解题的关键．13．（2023春•玄武区期中）如图，某体育训练基地，有一块长(35)a b -米，宽()a b -米的长方形空地，现准备在这块长方形空地上建一个长a 米，宽(2)a b -米的长方形游泳池，剩余四周全部修建成休息区．（结果需要化简）（1）求长方形游泳池面积；（2）求休息区面积；（3）比较休息区与游泳池面积的大小关系．【分析】（1）利用长方形的面积公式和单项式乘多项式的法则解答即可；（2）利用空地的面积减去长方形游泳池的面积即可；（3）利用休息区与游泳池面积的差的大小进行解答即可．【解答】解：（1）长方形游泳池面积为：(2)a ab -2(2)a ab =-平方米；（2）长方形空地的面积为：(35)()a b a b --223355a ab ab b =--+22(385)a ab b =-+平方米，∴休息区面积222(385)(2)a ab b a ab =-+--2223852a ab b a ab=-+-+22(265)a ab b =-+平方米；（3）2222222222(265)(2)4544(2)0a ab b a ab a ab b a ab b b a b b -+--=-+=-++=-+> ，∴休息区的面积大于游泳池面积．【点评】本题主要考查了长方形的面积，多项式乘多项式，单项式乘多项式，配方法，完全平方式，熟练掌握长方形的面积公式和配方法是解题的关键．四．完全平方公式（共6小题）14．（2023春•苏州月考）下列等式能够成立的是()A ．222()x y x xy y -=-+B ．222(3)9x y x y +=+C ．22211()24x y x xy y -=-+D ．2(9)(9)9m m m -+=-【分析】原式利用平方差公式及完全平方公式展开得到结果，即可做出判断．【解答】解：A 、原式222x xy y =-+，错误；B 、222(3)69x y x xy y +=++，错误；C 、原式2214x xy y =-+，正确；D 、原式281m =-，错误，故选：C ．【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．15．（2023春•玄武区期中）若2()1a b -=，2()1b c -=，则2()c a -的值是()A ．0B ．4C ．0或4D ．2或4【分析】由2()1a b -=，2()1b c -=得到1a b -=±，1b c -=±得到0c a -=或2±，然后利用整体思想计算即可．【解答】解：2()1a b -= ，2()1b c -=，1a b ∴-=±，1b c -=±，0c a ∴-=或2±，2()0c a ∴-=或4．故选：C ．【点评】本题考查了完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+．也考查了整体思想的运用．16．（2023春•鼓楼区校级期中）若4a b +=，3ab =-，则2()a b -=．【分析】先把2()a b -变形为2()4a b ab +-，然后把4a b +=，3ab =-代入计算即可．【解答】解：22()()4a b a b ab -=+-，当4a b +=，3ab =-时，原式244(3)28=-⨯-=．故答案为：28．【点评】本题考查了完全平方公式，掌握22()()4a b a b ab -=+-是解题的关键．17．（2023春•泰兴市期末）请从①2()7a b +=，②2()3a b -=，③225a b +=，中任选两个作为条件，求ab 的值．你选择的两项为．（只填序号）【分析】选择①②，利用完全平方公式展开，合并同类项后可求得ab 的值；选择①③或者②③同理．【解答】解：选择的两项为①②，若选择①②，2()7a b += ，2()3a b -=，22()()734a b a b ∴+--=-=，2222224a ab b a ab b ∴++-+-=，44ab ∴=，ab ∴的值为1，故答案为：①②；选择的两项为①③若选择①③，2()7a b += ，225a b +=，222()()752a b a b ∴+-+=-=，222222a ab b a b ∴++--=，22ab ∴=，ab ∴的值为1，故答案为：①③；选择的两项为②③，若选择②③，2()3a b -= ，225a b +=222()()352a b a b ∴--+=-=-，222222a ab b a b ∴-+--=-，22ab ∴-=-，ab ∴的值为1，故答案为：①②（答案不唯一）．【点评】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．18．（2023春•兴化市月考）若5a b +=，3ab =，（1）求22a b +的值；（2）求a b -的值．【分析】（1）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案；（2）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案．【解答】解：（1）5a b += ，3ab =，2()25a b ∴+=，22225a ab b ∴++=，2225225619a b ab ∴+=-=-=；（2）2219a b += ，3ab =，22213a b ab ∴+-=，2()13a b ∴-=，a b ∴-=【点评】此题主要考查了完全平方公式，正确应用完全平方公式是解题关键．19．（2023春•吴江区期中）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了()(n a b n +为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”．则10()a b +展开式中所有项的系数和是()A ．2048B ．1024C ．512D ．256【分析】根据“杨辉三角”展开式中所有项的系数和规律确定出()(n a b n +为非负整数）展开式的项系数和为2n ，求出系数之和即可．【解答】解：当0n =时，展开式中所有项的系数和为012=，当1n =时，展开式中所有项的系数和为122=，当2n =时，展开式中所有项的系数和为242=，当3n =时，展开式中所有项的系数和为382=⋯由此可知()n a b +展开式的各项系数之和为2n ，则10()a b +展开式中所有项的系数和是1021024=，故选：B ．【点评】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，通过观察展开式中所有项的系数和，得到规律是解题的关键．五．完全平方公式的几何背景（共5小题）20．（2023春•海州区期中）如图，两个正方形边长分别为a ，b ，已知7a b +=，9ab =，则阴影部分的面积为()A ．10B ．11C ．12D ．13【分析】根据题意可得，阴影部分的面积等于边长为a 的正方形面积减去边长为a 的等腰直角三角形面积，再减去边长为a b -和b 的直角三角形面积，即可得221()2a ab b -+，根据完全平方公式的变式应用可得21[()3]2a b ab +-，代入计算即可得出答案．【解答】解：根据题意可得，()221122S a a a b b=---阴221()2a ab b =-+21[()3]2a b ab =+-，把7a b +=，9ab =代入上式，则()21739112S =⨯-⨯=阴．故选：B ．【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的变式应用进行求解是解决本题的关键．21．（2023春•沭阳县期末）如图，正方形中阴影部分的面积为()A ．2()a b -B ．22a b -C ．2()a b +D ．22a b +【分析】用代数式表示各个部分的面积，再根据各个部分面积之间的关系得出答案．【解答】解：4S S S =-阴影部分大正方形三角形21()42a b ab=+-⨯22a b =+．故选：D ．【点评】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提，用代数式表示各个部分的面积是正确解答的关键．22．（2023春•鼓楼区校级期中）如图，通过计算正方形的面积，可以得到的公式是()A ．222()2a b a ab b +=++B ．222()2a b a ab b -=-+C ．22()()a b a b a b +-=-D ．2()a a b a ab-=+【分析】从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示各自的面积，再由面积之间的关系得出答案．【解答】解：这个正方形的边长为a b +，因此面积为2()a b +，组成这个正方形的四个部分的面积分别为2a ，ab ，ab ，2b ，因此有222()2a b a ab b +=++，故选：A ．【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，用代数式表示各个部分的面积是正确解答的前提．23．（2023春•建邺区校级期中）数形结合是一种非常重要的数学思想，它包含两个方面，第一种是“以数解形”，第二种是“以形助数”，我国著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微”．请你使用数形结合这种思想解决下面问题：图1是一个长为2a ，宽为2b 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分为四块完全相同的小长方形，然后按照图2的形状拼成一个正方形．（1）观察图2，用两种方法计算阴影部分的面积，可以得到一个等式，请使用代数式2()a b +，2()a b -，ab 写出这个等式．（2）运用你所得到的公式，计算：若m 、n 为实数，且3mn =-，5m n -=，试求2()m n +的值．（3）如图3，点C 是线段AB 上的一点，以AC 、BC 为边向两边作正方形，设9AB =，两正方形的面积和1251S S +=，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）由图2中阴影部分面积的两种不同表示方法可得答案；（2）把3mn =-，5m n -=代入22()()4m n m n mn +=-+进行计算即可；（3）设CF m =，AC n =．则9m n +=，2251m n +=，可得22222()()95130mn m n m n =+-+=-=，再利用阴影部分的面积公式进行计算即可．【解答】解：（1）图中阴影部分的面积可表示为：2()4a b ab +-或2()a b -；即有：22()4()a b ab a b +-=-；∴答案为：22()4()a b ab a b +-=-；（2）3mn =- ，5m n -=，222()()451213m n m n mn ∴+=-+=-=．（3）设CF m =，AC n =．则9m n +=，2251m n +=，22222()()95130mn m n m n =+-+=-=，17.52ACF S mn ∆==，即阴影部分的面积为7.5．【点评】本题考查完全平方公式及变形的应用，解题的关键是用不同方法表达同一图形面积．24．（2023春•铜山区期中）图（1）是一个长为2m 、宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形．然后按图（2）的形状拼成一个正方形．（1）请用两种不同的方法表示出图（2）中阴影部分的面积：①：，②：；（用m 、n 表示）（2）观察图（2），请写出2()m n +、2()m n -、mn 之间的一个等量关系；（3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题：若7a b +=，6ab =，求a b -的值．【分析】（1）根据正方形的面积公式，可得方法一，根据面积的和差，可得方法二；（2）根据同一图形的面积的两种表示方法，可得答案；（3）根据（3）中的等量关系，可得答案．【解答】解：（1）请用两种不同的方法求图（2）中阴影部分面积．①：2()m n -；②：2()4m n mn +-；故答案为：2()m n -，2()4m n mn +-；（2）观察图（2），2()m n +、2()m n -、mm 之间的一个等量关系：22()()4m n m n mn -=+-；故答案为：22()()4m n m n mn -=+-；（3）因为7a b +=，6ab =，所以22()()4a b a b ab-=+-2746=-⨯25=，所以a b -的值是5±．【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，准确识图，根据阴影部分的面积的两种不同表示方法得到的代数式的值相等列式是解题的关键．六．完全平方式（共3小题）25．（2023春•高邮市期末）下列各式中，为完全平方式的是()A ．2124a a ++B ．214a a ++C ．221x x --D ．22x xy y -+【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到结果．【解答】解：2211()42a a a ++=+，故选：B ．【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．26．（2023春•吴江区期中）若二次三项式214x mx ++为完全平方式，则m 的值为()A ．2±B ．2C ．1±D ．1【分析】根据完全平方公式即可求出m 的值，【解答】解：2211(24x x x ±=±+ ，1m ∴=±，故选：C ．【点评】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．27．（2023春•高港区期中）若216x mx ++是完全平方式，则m 的值是．【分析】根据216x mx ++是一个完全平方式，利用此式首末两项是x 和4这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x 和4积的2倍，进而求出m 的值即可．【解答】解：216x mx ++ 是一个完全平方式，2216(4)x mx x ∴++=±，2816x x =±+．8m ∴=±，故答案为：8±．【点评】此题主要考查的是完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．七．平方差公式（共5小题）28．（2023春•睢宁县月考）下列乘法中，不能运用平方差进行运算的是()A ．(37)(37)x y x y +-B ．(5)(5)m n n m --C ．(0.20.3)(0.20.3)x x ---+D ．(3)(3)n mn n mn ---【分析】根据平方差公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数解答．【解答】解：A 、C 、D 选项符合平方差公式的特点，故能运用平方差公式进行运算；B 选项两项都互为相反数，故不能运用平方差公式进行运算．故选：B ．【点评】本题主要考查了平方差公式．解题的关键是掌握平方差公式的结构．注意两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，并且相同的项和互为相反数的项必须同时具有．29．（2023春•南京期中）若()()a b p q ++能运用平方差公式计算，则p ，q 满足的条件可能是()①p a =，q b =；②p a =，q b =-；③p a =-，q b =；④p a =-，q b =-．A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④【分析】根据平方差公式的特点进行选项．【解答】解：()()a b p q ++ 能运用平方差公式计算，p a ∴=，q b =-或p a =-，q b =，故选：C ．【点评】本题主要考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．30．（2023春•工业园区校级月考）若2222(1)(1)35a b a b +++-=，则22(a b +=)A ．3B ．6C ．3±D ．6±【分析】根据平方差公式即可求解．【解答】解：2222(1)(1)35a b a b +++-= ，2222[()1][()1]35a b a b ∴+++-=，222()135a b +-=，222()36a b +=，220a b + ，226a b ∴+=，故选：B ．【点评】本题主要考查了平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键，运用了整体思想．31．（2023春•玄武区期中）两个连续偶数的平方差一定是()A ．3的倍数B ．4的倍数C ．5的倍数D ．6的倍数【分析】设两个连续的偶数分别是2n ，22n +，根据题意列出等式22(22)(2)844(21)n n n n +-=+=+，即可求解．【解答】解：设两个连续偶数为2n ，22n +，则22(22)(2)n n +-(222)(222)n n n n =+++-(42)2n =+⨯4(21)n =+，因为n 为整数，所以4(21)n +中的21n +是正奇数，所以4(21)n +是4的倍数，故两个连续偶数的平方差一定是4的倍数．故选：B ．【点评】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是正确设出两个连续偶数，再用平方差公式对列出的式子进行整理，此题较简单．32．（2023春•东海县期中）计算：2202420222023⨯-=．【分析】原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值．【解答】解：原式2(20231)(20231)2023=+⨯--22202312023=--1=-．故答案为：1-．【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．八．平方差公式的几何背景（共3小题）33．（2023春•泗阳县期中）将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，能根据图形的面积关系得到的关系式是()A ．22()()a b a b a b +-=-B ．222()a b a b -=-C ．2()b a b ab b -=-D ．2()ab b b a b -=-【分析】图甲的总面积是长为()a b +，宽为()a b -的大矩形的面积，可表示为：()()a b a b +-，图乙的总面积可以表示边长为a ，与边长为b 的正方形的面积差．【解答】解：22()()a b a b a b +-=-，故选：A ．【点评】考查平方差公式，正确理解平方差公式的几何背景是得出结果的前提．34．（2023春•工业园区期中）如图，在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形，把余下的部分拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是()A ．22()()a b a b a b -=+-B ．2()a a b a ab -=-C ．222()2a b a ab b -=-+D ．2()a a b a ab+=+【分析】根据阴影部分面积的两种不同的计算求解．【解答】解：第一个图中阴影部分的面积为：22a b -，第二个图形中的阴影部分的面积为：()()a b a b +-，故选：A ．【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，掌握矩形的面积公式是解题的关键．35．（2023春•建湖县期中）如图，点C 、D 、E 在同一直线上，大正方形ABCD 与小正方形DEFG 的面积之差是60，则由两个三角形(BCG ∆、)BEG ∆组成的阴影部分面积是()A ．60B ．50C ．40D ．30【分析】设大正方形ABCD 的边长为x ，小正方形DEFG 的边长为y ，则BG x y =-，然后表示出阴影部分面积，再计算整式的乘法和加减，进而可得答案．【解答】解：设大正方形ABCD 的边长为x ，小正方形DEFG 的边长为y ，则BG x y =-，根据题意得：2260x y -=，则阴影部分的面积为：1122BG CD BG DE ⋅+⋅11()()22x y x x y y =⨯-⋅+-⋅2211112222x xy xy y =-+-221()2x y =-1602=⨯30=故选：D ．【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正方形的性质及三角形面积，关键是正确运用算式表示出阴影部分的面积．九．整式的除法（共3小题）36．（2021春•金坛区期中）计算：22x x ÷=2x ．【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．【解答】解：222x x x ÷=．故答案为：2x ．【点评】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．37．（2022春•江阴市校级月考）计算：52(2)a a -÷=32；若25m =，26n =，则22m n +=．【分析】根据单项式除单项式和幂的乘方与积的乘方的法则分别进行计算，即可得出答案．【解答】解：523(2)2a a -÷=-；22222256180m n m n +==⨯= ；故答案为：32-，180．【点评】此题考查了整式的除法，用到的知识点是同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方，注意指数的变化情况．38．（2021春•邗江区月考）观察下列各式：2(1)(1)1x x x -÷-=+；32(1)(1)1x x x x -÷-=++；432(1)(1)1x x x x x -÷-=+++；⋯⋯（1）5(1)(1)x x -÷-=4321x x x x ++++；（2）试写出一般情况下(1)(1)n x x -÷-=；（3）根据以上结果计算：236263122222++++⋯++．【分析】（1）直接利用已知中式子变化规律得出答案；（2）结合（1）中规律得出原式8(1)(21)x =-÷-，进而得出答案．【解答】解：（1）5432(1)(1)1x x x x x x -÷-=++++；故答案为：4321x x x x ++++；（2）12(1)(1)1(2n n n x x x x x n ---÷-=++⋯++ 且为正整数）；故答案为：121(2n n x x x n --++⋯++ 且为正整数）；（3）2362636464122222(21)(21)21++++⋯++=-÷-=-．【点评】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．十．整式的混合运算（共5小题）39．（2023春•镇江期中）化简：（1）4232()x x x ⋅--；（2）(23)(23)a b a b +-++．【分析】（1）先计算同底数幂的乘法和幂的乘方，再合并同类项即可；（2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式计算即可．【解答】解：（1）4232()x x x ⋅--66x x =-0=；（2）(23)(23)a b a b +-++2(2)9a b =+-22449a ab b =++-．【点评】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意平方差公式和完全平方公式的应用．40．（2022春•高新区期中）计算：（1）234()(2)(23)a a a a -÷++-．（2）(325)(325)a b a b +--+【分析】（1）先算幂的乘方，多项式乘多项式，再算除法，最后合并同类项即可；（2）可利用平方差公式及完全平方公式对所求的式子进行运算即可．【解答】解：（1）234()(2)(23)a a a a -÷++-6422346a a a a a =-÷+-+-222346a a a a =-+-+-26a a =+-；（2）(325)(325)a b a b +--+[3(25)][3(25)]a b a b =+---22(3)(25)a b =--229(42025)a b b =--+22942025a b b =-+-．【点评】本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．41．（2023春•鼓楼区校级期中）计算：（1）2423()a a a ⋅+-；（2）2(2)(2)(23)a b a b a b +--+．【分析】（1）根据同底数幂的乘法以及积的乘方进行计算即可求解；（2）根据完全平方公式与平方差公式进行计算即可求解．【解答】解：（1）2423()a a a ⋅+-66a a =-0=；（2）2(2)(2)(23)a b a b a b +--+222244129a b a ab b =----21012b ab =--．【点评】本题考查了同底数幂的乘法以及积的乘方，平方差公式以及完全平方公式，熟练掌握以上运算法则与乘法公式是解题的关键．42．（2023春•高港区期中）对于任意有理数a 、b 、c 、d ，我们规定符号(a ，)*(b c ，)1d ab cd =-+，例如：(1，3)*(2，4)134214=⨯-⨯+=-．（1）求(4，3)*(2-，5)的值；（2）若(1m =-，2)*(2a ，1)a -，(21n a =--，23)*(2a a -，2)．①若2210a a +-=，求m 的值；②判断m 、n 的大小，并说明理由．【分析】（1）根据规定符号运算即可；（2）①根据规定符号运算后，整体代入求值即可；②做差法进行比较即可．【解答】解：（1）根据规定符号运算得：(4，3)*(2-，5)43(2)511210123=⨯--⨯+=++=；（2）①2210a a +-= ，221a a ∴+=．(1m =-，2)*(2a ，2221)2(1)123(2)3132a a a a a a a -=---+=--+=-++=-+=，2m =；②(21n a =--，23)*(2a a -，2222)3(21)2(2)163241222a a a a a a a a =----+=---++=--+，2222223(222)2322210m n a a a a a a a a a -=--+---+=--+++-=+>，m n ∴>．【点评】本题考查了整式的混合运算，准确运用符号规定运算是解答本题的关键．43．（2023春•玄武区校级期中）如图，一个长和宽分别为2x y +，2x y +的长方形中剪下两个大小相同的边长为y 的正方形（有关线段的长如图所示），留下一个“T ”型的图形（阴影部分）．（1）用含x ，y 的式子表示“T ”型图形的面积并化简；（2）若2|3|(2)0y x -+-=，请计算“T ”型区域的面积．【分析】（1）根据“T ”型图形的面积等于大长方形的面积减去2个正方形的面积列出代数式，根据多项式的乘法进行计算化简即可；（2）根据非负数的性质求得x ，y 的值，代入（1）中化简结果进行计算即可．【解答】解：（1）由图可得，“T ”型区域的面积为：2(2)(2)2x y x y y ++-2222422x xy xy y y =+++-225x xy =+；（2）2|3|(2)0y x -+-= 30y ∴-=，20x -=，解得3y =，2x =．225T x xy∴=+222523=⨯+⨯⨯24523=⨯+⨯⨯830=+38=，答：“T ”型区域的面积是38．【点评】本题考查整式的混合运算、非负数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．十一．整式的混合运算—化简求值（共4小题）44．（2023春•东海县期中）先化简，再求值：2(2)()()2m n m n m n mn ---++，其中12m =-，2n =．【分析】先展开，再合并同类项，化简后将m ，n 的值代入计算即可．【解答】解：原式222244()2m mn n m n mn=-+--+2222442m mn n m n mn=-+-++252n mn =-，当12m =-，2n =时，原式215(2)2()22=⨯--⨯-⨯542=⨯+202=+22=．【点评】本题考查整式化简求值，解题的关键是掌握整式相关运算的法则．45．（2023春•高港区期中）先化简，再求值：2(21)2(2)x x x ---，其中2x =-．【分析】根据完全平方公式、单项式乘多项式以及合并同类项法则把原式化简，把x 的值代入计算即可．【解答】解：原式2222(44)x x x x =---+222288x x x x =--+-78x =-，当2x =-时，原式7(2)822=⨯--=-．【点评】本题考查的是整式的化简求值，掌握完全平方公式、单项式乘多项式以及合并同类项法则是解题的关键．46．（2023春•建邺区校级期中）先化简，再求值：2(23)(23)(54)(1)x x x x x +-----，其中2x =-．【分析】根据整式的混合运算法则计算即可化简，再将2x =-代入化简后的式子求值即可．【解答】解：2(23)(23)(54)(1)x x x x x +-----222495421x x x x x =--+-+-22610x x =-+-．当2x =-时，原式22(2)6(2)1030=-⨯-+⨯--=-．【点评】本题考查整式的化简求值．掌握整式的混合运算法则是解题关键．47．（2023春•吴江区期中）化简求值：22(2)(3)5()a b a b a a b +--+-，其中715a =，314b =．【分析】原式前两项利用完全平方公式展开，最后一项利用单项式乘多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，将a 与b 的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式22222449655a ab b a ab b a ab=++-+-+-5ab =，当715a =，314b =时，原式731515142=⨯⨯=．【点评】此题考查了整式的混合运算-化简求值，涉及的知识有：多项式乘多项式，单项式乘多项式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握法则是解本题的关键．十二．因式分解的意义（共3小题）48．（2023春•东海县期中）下列变形是因式分解的是()A ．269(6)9x x x x ++=++B ．22(2)24x x x x +=+C ．2()x xy x x x y ++=+D ．223(3)(1)x x x x --=-+【分析】因式分解就是将一个多项式化为几个整式积的形式，据此进行判断即可．【解答】解：A ．等号右边不是积的形式，不符合因式分解的定义，则A 不符合题意；B ．该式是整式的乘法运算，不符合因式分解的定义，则B 不符合题意；C ．该式的左右两边不相等，不符合因式分解的定义，则C 不符合题意；D ．该式符合因式分解的定义，则D 符合题意；故选：D ．【点评】本题考查因式分解的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．49．（2023春•新吴区期中）已知在216()()x mx x a x b +-=++中，a ，b 为整数，能使这个因式分解过程成立的m 值的个数有()A ．4个B ．5个C ．8个D ．10个【分析】1611628444(4)2(8)1(16)a b -=-⨯=-⨯=-⨯=⨯-=⨯-=⨯-=⨯，m a b =+，m 的取值有五种可能．【解答】解：1611628444(4)2(8)1(16)a b -=-⨯=-⨯=-⨯=⨯-=⨯-=⨯-=⨯ ，116m a b ∴=+=-+或28-+或44-+或4(4)+-或2(8)+-或1(16)+-，即15m =±或6±或0．则m 的可能值的个数为5，故选：B ．【点评】本题考查的是二次三项式的因式分解，掌握十字相乘法是解题的关键．50．（2023春•南京期末）若多项式3228x ax bx ++-有两个因式1x +和2x -，则a b +的值为6-．【分析】根据题意，可得3228(1)(2)(2)(x ax bx x x x k k ++-=+-+为任意实数），再根据多项式乘多项式的乘法法则，求出a 与b ，进一步求得a b +．【解答】解：由题意知：3228(1)(2)(2)(x ax bx x x x k k ++-=+-+为任意实数）．32228(2)(2)x ax bx x x x k ∴++-=--+．3232282(2)(4)2x ax bx x k x k x k ∴++-=+-+---．2k a ∴-=，4k b --=，28k -=-．4k ∴=．2a ∴=，8b =-．286a b ∴+=-=-．故答案为：6-．【点评】本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式是解决本题的关键．十三．因式分解-提公因式法（共1小题）51．（2023春•淮安期末）多项式32339a b a bc +分解因式时，应提取的公因式是()A ．323a bB ．329a b cC ．333a bD ．33a b 【分析】公因式的找法：多项式各项系数取最大公约数，相同字母取最低次幂，只在一项中出现的字母不能作为公因式的因式，判断即可．【解答】解：多项式32339a b a bc +分解因式时，应提取的公因式是33a b ．故选：D ．【点评】此题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．十四．因式分解-运用公式法（共2小题）52．（2024•裕华区校级开学）若3a b +=，13a b -=，则22a b -的值为()A ．1B ．83C ．103D ．9【分析】直接利用平方差公式分解因式，进而将已知代入求出即可．【解答】解：3a b += ，13a b -=，221313a b ∴-=⨯=．故选：A ．【点评】此题主要考查了运用公式分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．。

乘法公式与因式分解

乘法公式与因式分解乘法公式和因式分解是数学中常见且重要的概念。

它们在代数运算和解决各种数学问题时起着关键作用。

本文将详细介绍乘法公式和因式分解的概念、应用以及解题方法。

一、乘法公式乘法公式是指一些常见的数学公式，用于求解乘法式子的结果。

常见的乘法公式包括：1. 两个整数相乘：a × b = c2. 平方的乘法公式：(a + b) × (a - b) = a^2 - b^23. 两个二次根式相乘：(a + b) × (c + d) = ac + ad + bc + bd4. 两个多项式相乘：(a + b)(c + d + e) = ac + ad + ae + bc + bd + be这些乘法公式在解决数学问题和代数运算时非常有用。

通过熟练掌握这些公式，可以简化计算过程，提高解题效率。

二、因式分解因式分解指将一个多项式分解成若干个乘法因子的过程。

因式分解的目的是简化多项式的形式，方便问题的求解。

因式分解可以根据多项式的不同形式采用不同的方法。

1. 提公因式法：对于一个多项式，如果各项之间存在公因子，可以将公因子提到括号外，并将其余部分化简为一个新的多项式。

例如，对于表达式4x + 8y，可以提取出2作为公因子，得到2(2x + 4y)。

2. 二次因式分解法：对于一个二次多项式，可以通过因式分解的方法将其分解为两个一次因式的乘积。

例如，对于多项式x^2 + 5x + 6，可以进行二次因式分解，得到(x + 2)(x + 3)。

3. 公式法：对于一些特定的多项式，可以利用一些常见的因式分解公式进行分解。

例如，对于多项式x^2 - 4，可以使用平方差公式进行因式分解，得到(x + 2)(x - 2)。

因式分解在解决代数方程、求解方程根和简化运算等方面具有广泛的应用。

熟练掌握因式分解的方法和技巧，可以帮助我们更好地解决各种数学问题。

三、应用举例下面通过几个具体的数学问题来展示乘法公式与因式分解的应用。

初升高衔接乘法公式与因式分解

初升高衔接乘法公式与因式分解乘法公式是数学中的一种基本运算法则，它是将多个数相乘的一种表达方式。

在初中数学中，我们通常学习了多种乘法公式，比如二项式乘法公式、三项式乘法公式等等。

其中比较常用且重要的是二项式乘法公式，它的表达形式如下：(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2(a+b)(a-b)=a^2-b^2这些乘法公式的应用范围非常广泛，例如可以用来进行整式的乘法计算，简化问题的表达形式，从而更好地解决数学问题。

因式分解是将一个多项式写成一系列不可再分解的乘积的方式。

有时候一个多项式太过复杂，我们难以直接对它进行运算或者处理，这时候就可以使用因式分解来简化问题的求解。

因式分解是初中数学中的一个重要内容，它不仅需要掌握多项式的因式分解方法，还需要理解因式分解的意义和应用。

在初中数学教材中，我们学习了一些常用的因式分解方法，如公式法、提公因式法、配方法等等。

对于常见的多项式，我们可以根据不同的情况选择合适的方法进行因式分解。

因式分解的目的是将一个多项式写成一系列不可再分解的乘积的形式，从而更方便后续的计算和求解。

乘法公式和因式分解在初中数学中是两个独立却又密切相关的概念。

实际上，乘法公式是因式分解的一种特殊情况，因为乘法公式本质上就是将一个多项式进行因式分解的过程。

以二项式乘法公式为例，我们可以将它理解为：将一个多项式(a+b)^2写成一系列不可再分解的乘积，即a^2 + 2ab + b^2、其中，乘法公式中的a和b就是多项式的因子，而a^2 + 2ab + b^2则是多项式的因式分解结果。

因此，乘法公式和因式分解是密切相关的，乘法公式可以看作是因式分解的一种应用，因式分解则是乘法公式的一种推广和扩展。

在解决数学问题时，我们可以根据具体情况选择使用乘法公式或者因式分解，从而更好地处理和解决问题。

乘法公式和因式分解在数学中的应用非常广泛。

通过乘法公式，我们可以简化复杂的运算，扩展计算能力，从而更好地解决数学问题。

高考数学中的乘法公式及因式分解

高考数学中的乘法公式及因式分解高考数学中，乘法公式及因式分解是十分关键的知识点。

无论是在通用数学还是理科数学中，这些知识点都被广泛应用，对于学生获得高分显得十分必要。

一、乘法公式乘法公式是数学中非常基本的概念，它是解题的重要基础。

高考中会出现很多与乘法公式相关的题目，因此学生必须要掌握各种乘法公式的基本形式以及应用方法。

下面列举一些常用的乘法公式：1. 分配律：a×(b+c)=a×b+a×c；2. 结合律：a×(b×c)=(a×b)×c；3. 交换律：a×b=b×a。

除此之外，还有比较复杂的乘法公式，如平方公式、立方公式等等。

平方公式可以通过(a+b)²=a²+2ab+b²计算，立方公式则可通过(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³计算。

二、因式分解因式分解是为了将多项式写成一些整数或分数乘积的形式。

这种方法可以简化计算和解题的复杂度。

因式分解的基本方法有以下几个：1. 提公因式法。

即先把所有项的公因式提到括号前面，然后再计算括号里边的内容。

例如4x²+12x的因式分解为4x(x+3)。

2. 公式法。

这种方法比较适合分数分解的情况。

先将多项式化简成已知公式的形式，然后采用已知的公式进行分解。

例如a²-b²=(a+b)(a-b)。

3. 分组分解法。

这种方法多用于三项或以上的多项式。

将多项式中的项分成不同组，然后把不同组中的项提取出来，再进行因式分解。

例如2x³-3x²-2x+3可以分为(2x³-3x²)+(3-2x)，再将每个式子分别进行因式分解，即可简化多项式。

总的来说，在高考数学中掌握乘法公式及因式分解会使学生更加得心应手。

在实践中，它们用于诸如二次方程、三角函数等多个方面，是接下来学习数学的基础。

初一数学公式：乘法与因式分解

初一数学公式：乘法与因式分解初一数学公式：乘法与因式分解这篇初一数学公式：乘法与因式分解是查字典数学网特地为大家整理的，希望对大家有所帮助!初中数学公式a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)1、了解因式分解的意义及其与整式乘法之间的关系，体会事物之间可以相互转化的思想.2、会推导乘法公式：( a + b )( a - b )= a2 - b2 ;( a±b ) 2 = a2±2ab + b2 ;了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单的计算及其逆向变形3、经历观察、思考、交流、探究等数学活动过程，体验解决问题的策略，进一步发展学生归纳、类比、概括能力，发展学生有条理地思考与表达能力.4、会用提公因式法、公式法进行因式分解.5、体会比较、转化、分类的思想方法，在探索因式分解的应用。

教与学重点难点：重点：乘法公式与因式分解难点：因式分解的应用。

中考中主要考察因式分解的意义及其与整式乘法之间的关系，并能利用公式进行简单的计算及其逆向变形。

教与学方法：因式分解的应用例三、若a+b=4,则2a2+4ab+2b2-6的值为( )A.36B.26C.16D.2思路分析：2a2+4ab+2b2-6=2(a+b)2-6=2×42-6=26答案：B(三)、巩固训练，拓展提升认识：1 . 下列四个式子中与多项式 2x2 - 3x 相等的是( )A. 2B. 2C. D.2 . 要使式子 25a2 + 16b2 成为一个完全平方式，则应加上( ).A. 10abB. ±20abC. - 20abD. ±40ab3 . 多项式 2a2 + 4ab + 2b2 - 8c2 因式分解正确的是( ).A. 2 ( a + b - 2c )B. 2 ( a + b + c )( a + b - c )C. ( 2a + b + 4c )( 2a + b - 4c )D. 2 ( a + b + 2c )( a + b - 2c )4 . 下列计算中，正确的是( )A. an + 2÷an - 1 = a3B. 2a2 + 2a3 = 4a5C. ( 2a - 1 ) 2 = 4a2 - 1D. ( x - 1 )( x2 - x + 1 )= x3 - 15 . 将 4a - a2 - 4 分解因式，结果正确的是( ).A. a ( 4 - a )- 4B. -( a + 2 ) 2C. 4a -( a + 2 )( a - 2 )D. -( a - 2 ) 26.不论 x ， y 取什么实数， x2 + y2 + 2x 一 4y + 7 的值( ).A. 总不小于 7B. 总不小于 2C. 可为任何实数D. 可能为负数通过对初一数学公式：乘法与因式分解的学习，是否已经掌握了本文知识点，更多参考资料尽在查字典数学网!。

乘法公式及因式分解

解:(1) 3a2-9ab=3a(a-3b)
(2) 2a(b+c)-3(b+c)=(b+c)(2a-3)
(3) mn(m-n)-(n-m) =mn(m-n)+(m-n)=(m-n)(mn+1) (4) m(m-n)2-n(n-m)2 =m(m-n)2-n(m-n)2=(m-n)2(m-n)
注意： n-m =-(m-n)
针对性基础训练:
例题：把下列各式因式分解 (1)0.81a2-16b2 (3)1-6x+9x2
(2) –(b+c)2+4a2 (4) ax2+2a2x+a3
解：(1) 0.81a2-16b2=(0.9a)2-(4b)2=(0.9a+4b)(0.9a-4b) (2) –(b+c)2+4a2=4a2-(b+c)2 =[2a+(b+c)][2a-(b+c)] =(2a+b+c)(2a-b-c) (3) 1-6x+9x2 =12-2· 3x+(3x)2=(1-3x)2 (4) ax2+2a2x+a3=a(x2+2ax+a2)=a(x+a)2
平方差公式：(a＋b) (a－b)=a2－b2
乘法公式完全平方公式：(a＋b)2=a2+2ab+b2 (a－b)2=a2－2ab+b2
乘法公式与因式分解
提公因式法：提取各项中的相同因式来因式分解
互逆ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ变形
因式分解 a2－b2= (a＋b) (a－b) 公式法 a2+2ab+b2= (a＋b)2 a2－2ab+b2= (a－b)2

乘法公式与因式分解练习

乘法公式与因式分解练习乘法公式和因式分解是初中数学中常见的两个概念。

乘法公式是指通过一定的规则来求解乘法运算，而因式分解则是将一个复杂的代数式分解为若干个简单的乘积形式。

在本文中，我们将通过练习来加深对乘法公式和因式分解的理解。

一、乘法公式练习1. 计算下列乘法：(1) (5 + 7)(3 + 2)(2) (4 - 6)(2 - 1)(3) (8 + 3)(2 - 5)(4) (10 - 2)(6 - 4)2. 计算下列算式的值：(1) (3^2 + 2^2) - 2(3 × 2)(2) (5 + 7)^2 - (3 - 2)^2(3) (4^2 - 3^2) + 2(4 × 3)(4) (8 - 6)^2 + (5 - 4)^2二、因式分解练习1. 将下列代数式因式分解：(1) x^2 + 6x + 9(2) a^2 - 4(3) 9x^2 - 25(4) 16x^2 - 9y^22. 将下列代数式完全因式分解：(1) 4x^2 - 12xy + 9y^2(2) x^2 - 5x + 6(3) 9x^2 - 4(4) 25x^2 - 4y^2以上练习可以帮助我们巩固和熟悉乘法公式和因式分解的运用。

通过这些练习，我们能更好地理解乘法公式的运用规则，以及因式分解的方法和步骤。

通过大量的练习，我们可以提高自己的解题速度和准确率。

总结：乘法公式和因式分解是初中数学中的重要内容。

通过对乘法公式和因式分解的练习，我们能更好地理解和应用它们，在解决数学问题时更加得心应手。

因此，我们要充分利用练习机会，不断提升自己的数学能力。

以上练习题中的内容涵盖了乘法公式和因式分解的常见形式，希望对您有所帮助。

通过不断的练习和积累，相信您能够在数学学习中取得更好的成绩。

为了进一步提高自己的能力，您还可以寻找更多的习题进行练习，加深对乘法公式和因式分解的理解和掌握。

祝您学习进步，数学顺利！。

初高中数学衔接材料之二--乘法公式和因式分解的公式法

初高中数学衔接材料之二乘法公式和因式分解的公式法一.乘法公式（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+．（3）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+；（4）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（5）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；（6）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；（7）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-．二．因式分解的公式法（1）平方差公式 22()()a b a b a b -+-＝；（2）完全平方公式 2222()a ab b a b ±+±＝．（3）立方和公式 3322()()a b a b a ab b ++-+＝；（4）立方差公式 3322()()a b a b a ab b --++＝；（5）三数和平方公式 22222()()a b c ab bc ac a b c +++++++＝；（6）两数和立方公式 3223333()a a b ab b a b ++++＝；（7）两数差立方公式 3223333()a a b ab b a b -+--＝．三．典型例题例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．练习1．填空：（1）221111()9423a b b a -=+（）；（2）(4m + 22)164(m m =++ )；（3）2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )． 2．选择题：（1）若212x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于（）（A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m （2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值（）（A ）总是正数（B ）总是负数（C ）可以是零（D ）可以是正数也可以是负数例3 分解因式：（1）ab b a -5；（2）)()(44n m b n m a +-+.例4分解因式：(1) 38x + (2) 30.12527b -例5分解因式：(1) 34381a b b - (2) 76a ab -例6. 若x y x xy y 3322279+=-+=，，求x y 22+的值。

乘法公式与因式分解

乘法公式与因式分解乘法公式是数学中的重要概念之一，它与因式分解密切相关。

本文将探讨乘法公式与因式分解的概念、应用以及计算方法。

一、乘法公式的概念乘法公式是指将两个或多个数相互乘积的规则。

常见的乘法公式有两类：整式的乘法公式和分式的乘法公式。

整式的乘法公式指的是多项式之间的乘法规则，如(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd；分式的乘法公式则是指两个分式相乘的规则，如ab/cd=(a/c)(b/d)。

二、乘法公式的应用乘法公式在代数运算中有广泛的应用。

在多项式的乘法运算中，乘法公式可以简化计算步骤，提高计算效率。

例如，将一个多项式与另一个多项式相乘时，可以利用乘法公式将其分解为多个互相独立的项，并将各项的系数相乘得到最终结果。

同样，在分式运算中，乘法公式可以将两个分式相乘，得到一个新的分式，从而简化计算。

三、因式分解的概念因式分解是指将一个复杂的表达式拆解成多个简单因式的过程。

在数学中，因式分解是一种常用的求解问题的方法。

例如，对于一个多项式表达式，通过因式分解可以将其分解为两个或多个乘积形式的简单因式相乘，从而更好地理解和处理该表达式。

四、乘法公式与因式分解的关系乘法公式与因式分解密切相关。

在因式分解过程中，使用乘法公式可以将一个多项式进行拆解，形成由简单因式相乘的形式。

同时，通过乘法公式的合理运用，也可以进行因式分解的计算过程，进一步理解和推导出较为复杂的因式。

五、乘法公式的计算方法乘法公式的计算方法根据具体情况而定。

对于整式的乘法公式，可以根据分配律和结合律，按照一定的顺序进行计算。

需要注意的是，在乘法过程中要对指数和系数进行合理的运算和组合。

而对于分式的乘法公式，可以利用分数的乘法法则，将分子相乘得到新的分子，分母相乘得到新的分母，从而得到新的分式。

六、因式分解的计算方法因式分解的计算方法具体取决于所要分解的表达式的特点。

一般来说，可以使用因式分解的常见方法，如公因式提取法、配方法、换元法等。

基础强化训练 之因式分解和乘法公式

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