基本初等函数、函数的应用(小题)

基本初等函数、函数的应用(小题)

热点一 基本初等函数的图象与性质

1.指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)互为反函数，其图象关于y ＝x 对称，它们的图象和性质，分01两种情况，着重关注两函数图象中异同.

2.幂函数y ＝x α的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，1

2，－1五种情况.

例1 (1)(2019·天津市十二重点中学联考)已知a ＝0.313

log 0.6，b ＝1

2

1

log 4，c ＝0.413

log 0.5，则实数a ，b ，c 的大小关系为( ) A.c

答案 C

解析 由题得b ＝1

2

1

log 4

＝2， 因为0.60.3>0.60.4>0.50.4， ∴0.313

log 0.6<0.413

log 0.5，

0.413

log 0.5＝130.4log 0.5<131

0.4log 3＝0.4，

所以a

(2)已知函数f (x )＝e x ＋2(x <0)与g (x )＝ln(x ＋a )＋2的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( ) A.⎝

⎛⎭⎫－∞，1

e B.(－∞，e) C.⎝⎛⎭⎫－1

e ，e D.⎝

⎛⎭⎫－e ，1

e 答案 B

解析 由题意知，方程f (－x )－g (x )＝0在(0，＋∞)上有解， 即e －

x ＋2－ln(x ＋a )－2＝0在(0，＋∞)上有解， 即函数y ＝e

－x

与y ＝ln(x ＋a )的图象在(0，＋∞)上有交点.

函数y ＝ln(x ＋a )可以看作由y ＝ln x 左右平移得到， 当a ＝0时，两函数有交点，

当a <0时，向右平移，两函数总有交点，

当a >0时，向左平移，由图可知，将函数y ＝ln x 的图象向左平移到过点(0,1)时，两函数的图象在(0，＋∞)上不再有交点，

把(0,1)代入y ＝ln(x ＋a )，得1＝ln a ，即a ＝e ，∴a

跟踪演练1 (1)(2019·天津市和平区质检)已知log 2a >log 2b ，则下列不等式一定成立的是( ) A.1a >1b B.ln(a －b )>0 C.2a －

b <1 D.⎝⎛⎭⎫13a <⎝⎛⎭⎫12b

答案 D

解析 由log 2a >log 2b 可得a >b >0，故a －b >0，逐一考查所给的选项： A 项，1a <1b

；

B 项，a －b >0，ln(a －b )的符号不能确定；

C 项，2a －

b >1； D 项，⎝⎛⎭⎫13a <⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12b

.

(2)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝2－ax 和g (x )＝log a (x ＋2)(a >0且a ≠1)的大致图象可能为( )

答案 A

解析由题意知，当a>0时，函数f(x)＝2－ax为减函数.

若0

a∈(2，＋∞)，

且函数g(x)＝log a(x＋2)在(－2，＋∞)上为减函数；

若a>1，则函数f(x)＝2－ax的零点x0＝2

a∈(0,2)，

且函数g(x)＝log a(x＋2)在(－2，＋∞)上为增函数.

热点二函数的零点

1.判断函数零点的方法：

(1)解方程法，即解方程f(x)＝0，方程有几个解，函数f(x)有几个零点；

(2)图象法，画出函数f(x)的图象，图象与x轴的交点个数即为函数f(x)的零点个数；

(3)数形结合法，即把函数等价地转化为两个函数，通过判断两个函数图象的交点个数得出函

数的零点个数；

(4)利用零点存在性定理判断.

2.解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解.

例2 (1)(2019·石家庄质检)已知函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

e x ，x <0，

4x 3－6x 2＋1，x ≥0，其中e 为自然对数的底数，则函数g (x )＝3[f (x )]2－10f (x )＋3的零点个数为( ) A.4 B.5 C.6 D.3 答案 A

解析 当x ≥0时，f (x )＝4x 3－6x 2＋1的导数为f ′(x )＝12x 2－12x ， 当01时，f (x )单调递增， 可得f (x )在x ＝1处取得最小值，最小值为－1，且f (0)＝1，

作出函数f (x )的图象，

g (x )＝3[f (x )]2－10f (x )＋3，可令g (x )＝0，t ＝f (x )， 可得3t 2－10t ＋3＝0， 解得t ＝3或13

，

当t ＝13，即f (x )＝1

3时，g (x )有三个零点；

当t ＝3时，可得f (x )＝3有一个实根， 综上，g (x )共有四个零点.

(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

x e x ，x ≥0，－x ，x <0，

又函数g (x )＝[f (x )]2＋tf (x )＋1(t ∈R)有4个不同的零点，则