基本初等函数、函数的应用(小题)

基本初等函数、函数的应用(小题)热点一 基本初等函数的图象与性质1.指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)互为反函数，其图象关于y ＝x 对称，它们的图象和性质，分0<a <1，a >1两种情况，着重关注两函数图象中异同.2.幂函数y ＝x α的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，12，－1五种情况.例1 (1)(2019·天津市十二重点中学联考)已知a ＝0.313log 0.6，b ＝121log 4，c ＝0.413log 0.5，则实数a ，b ，c 的大小关系为( ) A.c <a <b B.b <a <c C.a <c <b D.c <b <a答案 C解析 由题得b ＝121log 4＝2， 因为0.60.3>0.60.4>0.50.4， ∴0.313log 0.6<0.413log 0.5，0.413log 0.5＝130.4log 0.5<1310.4log 3＝0.4，所以a <c <b .(2)已知函数f (x )＝e x ＋2(x <0)与g (x )＝ln(x ＋a )＋2的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，1e B.(－∞，e) C.⎝⎛⎭⎫－1e ，e D.⎝⎛⎭⎫－e ，1e 答案 B解析 由题意知，方程f (－x )－g (x )＝0在(0，＋∞)上有解， 即e －x ＋2－ln(x ＋a )－2＝0在(0，＋∞)上有解， 即函数y ＝e－x与y ＝ln(x ＋a )的图象在(0，＋∞)上有交点.函数y ＝ln(x ＋a )可以看作由y ＝ln x 左右平移得到， 当a ＝0时，两函数有交点，当a <0时，向右平移，两函数总有交点，当a >0时，向左平移，由图可知，将函数y ＝ln x 的图象向左平移到过点(0,1)时，两函数的图象在(0，＋∞)上不再有交点，把(0,1)代入y ＝ln(x ＋a )，得1＝ln a ，即a ＝e ，∴a <e.跟踪演练1 (1)(2019·天津市和平区质检)已知log 2a >log 2b ，则下列不等式一定成立的是( ) A.1a >1b B.ln(a －b )>0 C.2a －b <1 D.⎝⎛⎭⎫13a <⎝⎛⎭⎫12b答案 D解析 由log 2a >log 2b 可得a >b >0，故a －b >0，逐一考查所给的选项： A 项，1a <1b；B 项，a －b >0，ln(a －b )的符号不能确定；C 项，2a －b >1； D 项，⎝⎛⎭⎫13a <⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12b.(2)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝2－ax 和g (x )＝log a (x ＋2)(a >0且a ≠1)的大致图象可能为( )答案 A解析由题意知，当a>0时，函数f(x)＝2－ax为减函数.若0<a<1，则函数f(x)＝2－ax的零点x0＝2a∈(2，＋∞)，且函数g(x)＝log a(x＋2)在(－2，＋∞)上为减函数；若a>1，则函数f(x)＝2－ax的零点x0＝2a∈(0,2)，且函数g(x)＝log a(x＋2)在(－2，＋∞)上为增函数.热点二函数的零点1.判断函数零点的方法：(1)解方程法，即解方程f(x)＝0，方程有几个解，函数f(x)有几个零点；(2)图象法，画出函数f(x)的图象，图象与x轴的交点个数即为函数f(x)的零点个数；(3)数形结合法，即把函数等价地转化为两个函数，通过判断两个函数图象的交点个数得出函数的零点个数；(4)利用零点存在性定理判断.2.解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解.例2 (1)(2019·石家庄质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x <0，4x 3－6x 2＋1，x ≥0，其中e 为自然对数的底数，则函数g (x )＝3[f (x )]2－10f (x )＋3的零点个数为( ) A.4 B.5 C.6 D.3 答案 A解析 当x ≥0时，f (x )＝4x 3－6x 2＋1的导数为f ′(x )＝12x 2－12x ， 当0<x <1时，f (x )单调递减，x >1时，f (x )单调递增， 可得f (x )在x ＝1处取得最小值，最小值为－1，且f (0)＝1，作出函数f (x )的图象，g (x )＝3[f (x )]2－10f (x )＋3，可令g (x )＝0，t ＝f (x )， 可得3t 2－10t ＋3＝0， 解得t ＝3或13，当t ＝13，即f (x )＝13时，g (x )有三个零点；当t ＝3时，可得f (x )＝3有一个实根， 综上，g (x )共有四个零点.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x e x ，x ≥0，－x ，x <0，又函数g (x )＝[f (x )]2＋tf (x )＋1(t ∈R)有4个不同的零点，则实数t 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，－e 2＋1e B.⎝⎛⎭⎫e 2＋1e ，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－e 2＋1e ，－2 D.⎝⎛⎭⎫2，e 2＋1e答案 A解析 因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x e x ，x ≥0，－x ，x <0，当x <0时，f (x )＝－x ，所以f (x )在(－∞，0)上为单调递减函数， 当x ≥0时，f ′(x )＝e x1－xe x 2， 令f ′(x )＝0，解得x ＝1，当0≤x <1时，f ′(x )>0， 所以f (x )在[0,1)上为单调递增函数， 当x ≥1时，f ′(x )<0，所以f (x )在[1，＋∞)上为单调递减函数，且f (x )>0， 所以当x ≥0时，f (x )在x ＝1处取得极大值1e ，g (x )＝[f (x )]2＋tf (x )＋1(t ∈R)有四个零点，令f (x )＝m ，则关于m 的一元二次方程m 2＋tm ＋1＝0有两个不等实数根， 且一个在区间⎝⎛⎭⎫0，1e 上，一个在区间⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上， 令h (m )＝m 2＋tm ＋1， 因为h (0)＝1>0，所以只需h ⎝⎛⎭⎫1e <0即可满足m 2＋tm ＋1＝0有两个不等实数根，一个在⎝⎛⎭⎫0，1e ，一个在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞，即⎝⎛⎭⎫1e 2＋1e t ＋1<0，解不等式得t <－1＋e 2e ， 所以t 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－e 2＋1e .跟踪演练2 (1)(2019·凉山州质检)设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝f (2－x )，当x ∈[－2,0)时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫22x －1，则在区间(－2,6)内关于x 的方程f (x )－log 8(x ＋2)＝0解的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4答案 C解析 对于任意的x ∈R ，都有f (2＋x )＝f (2－x )， ∴f (x ＋4)＝f [2＋(x ＋2)]＝f [2－(x ＋2)]＝f (－x )＝f (x )， ∴函数f (x )是一个周期函数，且T ＝4. 又∵当x ∈[－2,0)时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫22x －1，且函数f (x )是定义在R 上的偶函数， 且f (6)＝1，则函数y ＝f (x )与y ＝log 8(x ＋2)在区间(－2,6)上的图象如图所示，根据图象可得y ＝f (x )与y ＝log 8(x ＋2)在区间(－2,6)上有3个不同的交点.(2)(2019·吉林调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x >a ，x 2＋6x ＋3，x ≤a ，若函数g (x )＝f (x )－2x 恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围为________. 答案 [－3，－1)∪[3，＋∞)解析 由题意得g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3－2x ，x >a ，x 2＋6x ＋3－2x ，x ≤a ，即g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x ，x >a ，x 2＋4x ＋3，x ≤a ，如图所示，因为g(x)恰有两个不同的零点，即g(x)的图象与x轴有两个交点.若当x≤a时，g(x)＝x2＋4x＋3有两个零点，则令x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1，则当x>a时，g(x)＝3－x没有零点，所以a≥3.若当x≤a时，g(x)＝x2＋4x＋3有一个零点，则当x>a时，g(x)＝3－x必有一个零点，即－3≤a<－1，综上a∈[－3，－1)∪[3，＋∞).热点三函数建模与信息题1.构建函数模型解决实际问题的失分点：(1)不能选择相应变量得到函数模型；(2)构建的函数模型有误；(3)忽视函数模型中变量的实际意义.2.解决新概念信息题的关键：(1)依据新概念进行分析；(2)有意识地运用转化思想，将新问题转化为我们所熟知的问题.例3(1)将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t min后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线y＝a e nt.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min甲桶中的水只有a4升，则m的值为()A.5B.6C.8D.10答案 A解析根据题意知，因为5 min后甲桶和乙桶的水量相等，所以函数f(x)＝a e nt满足f(5)＝a e5n＝12a ，可得n ＝15ln 12，设当k min 后甲桶中的水只有a 4升，所以f (k )＝a 4，即15ln 12·k ＝ln 14，所以15ln 12·k ＝2ln 12，解得k ＝10，k －5＝5，即m ＝5，故选A.(2)(2019·闽粤赣三省十校联考)若函数y ＝f (x )的图象上存在两个点A ，B 关于原点对称，则称点对[A ，B ]为y ＝f (x )的“友情点对”，点对[A ，B ]与[B ，A ]可看作同一个“友情点对”，若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x <0，－x 3＋6x 2－9x ＋a ，x ≥0，恰好有两个“友情点对”，则实数a 的值为( )A.0B.1C.2D.－2 答案 C解析 设A (x ,2)，其中x <0，则点A 关于原点对称的点B 为B (－x ，－2)， 因为函数f (x )有两个友情点对，所以－(－x )3＋6(－x )2－9(－x )＋a ＝－2在(－∞，0)上有两个不同解， 即x 3＋6x 2＋9x ＋2＝－a 在(－∞，0)上有两个不同解，即g (x )＝x 3＋6x 2＋9x ＋2与y ＝－a 在(－∞，0)上有两个不同交点， g ′(x )＝3x 2＋12x ＋9，令g ′(x )＝0，解得x 1＝－3，x 2＝－1，可知g (x )在(－∞，－3)，(－1,0)上单调递增；在(－3，－1)上单调递减， 所以g (x )极小值为g (－1)＝－2；极大值为g (－3)＝2， 且x →0时，g (x )→2， ∴－a ＝g (－1)＝－2，∴a ＝2.跟踪演练3 (1)某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产，第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加3万元，该设备每年生产的收入均为21万元，设该设备使用了n (n ∈N *)年后，盈利总额达到最大值(盈利额等于收入减去成本)，则n 等于( ) A.6 B.7 C.8 D.6或7 答案 B解析 盈利总额为21n －9－⎣⎡⎦⎤2n ＋12×n n －1×3＝－32n 2＋412n －9，n ∈N *，由于对称轴为n ＝416，所以当n ＝7时，取最大值，故选B.(2)(2019·安徽省定远重点中学模拟)定义：如果函数f (x )的导函数为f ′(x )，在区间[a ，b ]上存在x 1，x 2(a <x 1<x 2<b )使得f ′(x 1)＝f b －f a b －a ，f ′(x 2)＝f b －f ab －a，则称f (x )为区间[a ，b ]上的“双中值函数”.已知函数g (x )＝13x 3－m 2x 2是[0,2]上的“双中值函数”，则实数m 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤43，83 B.(－∞，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫43，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫43，83答案 D解析 ∵函数g (x )＝13x 3－m 2x 2，∴g ′(x )＝x 2－mx ，∵函数g (x )＝13x 3－m 2x 2是区间[0,2]上的双中值函数，∴区间[0,2]上存在x 1，x 2(0<x 1<x 2<2)， 满足g ′(x 1)＝g ′(x 2)＝g2－g2－0＝43－m ， ∴x 21－mx 1＝x 22－mx 2＝43－m ， ∴关于x 的一元二次方程x 2－mx ＋m －43＝0在区间(0,2)上有两个不相等的解，令f (x )＝x 2－mx ＋m －43，∴⎩⎪⎨⎪⎧f 0＝m －43>0，f 2＝83－m >0，Δ＝m 2－4m －43>0，0<m2<2，解得43<m <83.∴实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫43，83.真题体验1.(2019·全国Ⅰ，理，3)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则()A.a <b <cB.a <c <bC.c <a <bD.b <c <a答案 B解析 ∵a ＝log 20.2<0，b ＝20.2>1，c ＝0.20.3∈(0,1)，∴a <c <b .故选B.2.(2018·全国Ⅰ，理，9)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( ) A.[－1,0) B.[0，＋∞) C.[－1，＋∞) D.[1，＋∞)答案 C解析 令h (x )＝－x －a ， 则g (x )＝f (x )－h (x ).在同一坐标系中画出y ＝f (x )，y ＝h (x )图象的示意图，如图所示.若g (x )存在2个零点，则y ＝f (x )的图象与y ＝h (x )的图象有2个交点，平移y ＝h (x )的图象可知，当直线y ＝－x －a 过点(0,1)时，有2个交点， 此时1＝－0－a ，a ＝－1.当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1上方，即a <－1时，仅有1个交点，不符合题意； 当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1下方，即a >－1时，有2个交点，符合题意. 综上，a 的取值范围为[－1，＋∞).3.(2017·江苏，14)设f (x )是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈D ，x ，x ∉D ，其中集合D ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x ＝n －1n ，n ∈N *，则方程f (x )－lg x ＝0的解的个数是________. 答案 8解析 由于f (x )∈[0,1)，则只需考虑1≤x <10的情况，在此范围内，当x ∈Q ，且x ∉Z 时，设x ＝q p ，p ，q ∈N *，p ≥2且p ，q 互质.若lg x ∈Q ，则由lg x ∈(0,1)，可设lg x ＝nm ，m ，n ∈N *，m ≥2且m ，n 互质.因此10n m＝q p，则10n ＝⎝⎛⎭⎫q p m，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾.因此lg x ∉Q ，因此lg x 不可能与每个周期内x ∈D 对应的部分相等，只需考虑lg x 与每个周期内x ∉D 部分的交点，画出函数草图.图中交点除(1,0)外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期内x ∉D 部分，且x ＝1处(lg x )′＝1x ln 10＝1ln 10<1，则在x ＝1附近仅有1个交点，因此方程解的个数为8.押题预测1.设a ＝－log 232，b ＝log 26，c ＝log 412，则( )A.c >b >aB.b >c >aC.a >c >bD.a >b >c答案 B解析 －log 232＝log 223<log 21＝0，1<log 412＝log 212<log 26， ∴b >c >a .2.设函数f (x )的定义域为R ，若存在常数m >0，使|f (x )|≤m |x |对一切实数x 均成立，则称f (x )为“倍约束函数”.现给出下列函数： ①f (x )＝0； ②f (x )＝x 2； ③f (x )＝xx 2＋x ＋1；④f (x )是定义在实数集R 上的奇函数，且对一切x 1，x 2均有|f (x 1)－f (x 2)|≤2|x 1－x 2|. 其中是“倍约束函数”的序号是( ) A.①②④ B.③④ C.①④ D.①③④ 答案 D解析 对于①，m 是任意正数时都有0≤m |x |，f (x )＝0是倍约束函数，故①正确； 对于②，f (x )＝x 2，|f (x )|＝|x 2|≤m |x |，即|x |≤m ，不存在这样的m 对一切实数x 均成立，故②错误； 对于③，要使|f (x )|≤m |x |成立， 即⎪⎪⎪⎪xx 2＋x ＋1≤m |x |，当x ＝0时，m 可取任意正数； 当x ≠0时，只需m ≥⎝⎛⎭⎫1x 2＋x ＋1max ，因为x 2＋x ＋1≥34，所以m ≥43，故③正确；对于④，f (x )是定义在实数集R 上的奇函数， 故|f (x )|是偶函数，因而由|f (x 1)－f (x 2)|≤2|x 1－x 2|得到， |f (x )|≤2|x |成立，存在m ≥2>0，使|f (x )|≤m |x |对一切实数x 均成立，符合题意， 故④正确.3.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1x ，x >0，ax ＋2a ＋1，x ≤0，a ∈R ，若方程f (x )－2＝0恰有3个不同的根，则a的取值范围是________. 答案 (－∞，0)∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 解析 当x >0时，f (x )＝e x －1x ，f ′(x )＝e x－1x －1x 2，当0<x <1时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增， 且f (1)＝1，当x ≤0时，f (x )＝ax ＋2a ＋1的图象恒过点(－2,1)， 当a <0时，f (x )≥f (0)＝2a ＋1， 当a ≥0时，f (x )≤f (0)＝2a ＋1， 作出大致图象如图所示，方程f(x)－2＝0有3个不同的根，即方程f(x)＝2有3个解.结合图象可知，当a≥0时，若方程f(x)＝2有三个根，则2a＋1≥2，即a≥12，而当a<0时，结合图象可知，方程f(x)＝2一定有3个解，综上所述，方程f(x)－2＝0在a<0或a≥12时恰有3个不同的根.A组专题通关1.已知点(2,8)在幂函数f(x)＝x n图象上，设a＝f ⎝⎛⎭⎫⎝⎛⎭⎫450.3，b＝f ⎝⎛⎭⎫⎝⎛⎭⎫540.2，c＝125log4f⎛⎫⎪⎝⎭，则a，b，c的大小关系为()A.b>a>cB.a>b>cC.c>b>aD.b>c>a答案 A解析因为点(2,8)在幂函数f(x)＝x n图象上，所以8＝2n，所以n＝3，即f(x)＝x3，0<⎝⎛⎭⎫450.3<1，⎝⎛⎭⎫540.2>1，125log4<0，即125log4<⎝⎛⎭⎫450.3<⎝⎛⎭⎫540.2，因为f (x )为R 上的单调递增函数， 所以c <a <b .2.函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点一定位于区间( ) A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5) 答案 B解析 函数f (x )＝ln x ＋2x －6在其定义域上连续且单调， f (2)＝ln 2＋2×2－6＝ln 2－2<0， f (3)＝ln 3＋2×3－6＝ln 3>0，故函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点在区间(2,3)上. 3.(2019·恩施州质检)设a ＝log 0.12，b ＝log 302，则( ) A.4ab >2(a ＋b )>3ab B.4ab <2(a ＋b )<3ab C.2ab <3(a ＋b )<4ab D.2ab >3(a ＋b )>4ab答案 B解析 因为a ＝log 0.12<0，b ＝log 302>0，所以ab <0，1a ＋1b ＝log 20.1＋log 230＝log 23∈⎝⎛⎭⎫32，2， 所以32<1a ＋1b <2，所以4ab <2(a ＋b )<3ab .4.国家规定某行业收入税如下：年收入在280万元及以下的税率为p %；超过280万元的部分按(p ＋2)%征税.现有一家公司的实际缴税比例为(p ＋0.25)%，则该公司的年收入是( ) A.560万元 B.420万元 C.350万元 D.320万元答案 D解析 设该公司的年收入为a 万元， 则280p %＋(a －280)(p ＋2)%＝a (p ＋0.25)%， 解得a ＝280×22－0.25＝320.5.(2019·济南模拟)若log 2x ＝log 3y ＝log 5z <－1，则( ) A.2x <3y <5z B.5z <3y <2x C.3y <2x <5z D.5z <2x <3y答案 B解析 ∵log 2x ＝log 3y ＝log 5z <－1， ∴设k ＝log 2x ＝log 3y ＝log 5z ，则k <－1， 设x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝5k ， 则2x ＝2k ＋1,3y ＝3k ＋1,5z ＝5k ＋1，设函数f(t)＝t k＋1，k＋1<0，∴f(t)在t∈(0，＋∞)时单调递减，f(5)<f(3)<f(2)，即5k＋1<3k＋1<2k＋1，因此5z<3y<2x.6.函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0,2π]上的零点个数为()A.2B.3C.4D.5答案 B解析令f(x)＝0，得2sin x－sin 2x＝0，即2sin x－2sin x cos x＝0，∴2sin x(1－cos x)＝0，∴sin x＝0或cos x＝1.又x∈[0,2π]，∴由sin x＝0得x＝0，π或2π，由cos x＝1得x＝0或2π.故函数f(x)的零点为0，π，2π，共3个.7.(2019·咸阳模拟)已知a，b，c分别是方程2x＝－x，log2x＝－x，log2x＝x的实数解，则()A.b<c<aB.a<b<cC.a<c<bD.c<b<a答案 B解析根据题干要求得到，在同一坐标系中画出函数y＝2x，y＝log2x，y＝－x，y＝x四个函数图象，如图所示，方程的根就是两个图象的交点的横坐标，根据图象可得到a<b<c.8.(2019·朝阳市重点高中模拟)已知函数f (x )＝[x ]([x ]表示不超过实数x 的最大整数)，若函数g (x )＝e x －e －x －2的零点为x 0，则g [f (x 0)]等于( ) A.1e －e －2 B.－2 C.e －1e －2 D.e 2－1e 2－2 答案 B解析 因为g (x )＝e x －e －x －2， 所以g ′(x )＝e x ＋e －x >0在R 上恒成立， 即函数g (x )＝e x －e －x －2在R 上单调递增. 又g (0)＝e 0－e 0－2＝－2<0，g (1)＝e 1－e －1－2>0， 所以g (x )在(0,1)上必然存在零点，即x 0∈(0,1)， 因此f (x 0)＝[x 0]＝0， 所以g [f (x 0)]＝g (0)＝－2.9.(2019·南充模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足：f (x ＋4)＝f (x )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋1，－1≤x ≤1，－|x －2|＋1，1<x ≤3.若方程f (x )－ax ＝0有5个实根，则正数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫14，13 B.⎝⎛⎭⎫16，14 C.⎝⎛⎭⎫16，8－25 D.⎝⎛⎭⎫16－67，16 答案 C解析 由f (x ＋4)＝f (x )，得函数f (x )是以4为周期的周期函数，作出函数y ＝f (x )与函数y ＝ax 的图象， 由图象可得，f (x )＝ax 在(3,5)内有两个实数根，当x ∈(3,5)时， y ＝－(x －4)2＋1，即 x 2＋(a －8)x ＋15＝0在(3,5)上有2个实数根，由⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a －82－60>0，32＋3a －8＋15>0，52＋5a －8＋15>0，3<8－a 2<5，解得 0<a <8－215.再由方程f (x )＝ax 在(5,6)内无解，可得6a >1，a >16.综上可得16<a <8－215.10.(2019·衡水质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 3x |，0<x <3，－cos ⎝⎛⎭⎫π3x ，3≤x ≤9，若存在实数x 1，x 2，x 3，x 4，当x 1<x 2<x 3<x 4时，满足f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)，则x 1·x 2·x 3·x 4的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫21，1354 B.⎝⎛⎭⎫7，294 C.⎝⎛⎭⎫27，1354 D.[27,30)答案 C解析 先作函数图象， 若f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)，则x 1x 2＝1，x 3＋x 4＝12，x 3∈(3,4.5)， 因此x 1·x 2·x 3·x 4＝x 3(12－x 3)，因为y ＝x 3(12－x 3)在(3,4.5)上单调递增， 所以y ∈⎝⎛⎭⎫27，1354. 11.(2019·宜宾诊断)已知奇函数f (x )是定义在R 上的单调函数，若函数g (x )＝f (x 2)＋f (a －2|x |)恰有4个零点，则a 的取值范围是( ) A.(－∞，1) B.(1，＋∞) C.(0,1] D.(0,1)答案 D解析 函数g (x )＝f (x 2)＋f (a －2|x |)恰有4个零点， 令f (x 2)＋f (a －2|x |)＝0， 由函数f (x )为奇函数可得 f (x 2)＝－f (a －2|x |)＝f (2|x |－a )，由函数f (x )是定义在R 上的单调函数得x 2＝2|x |－a ， 则x 2－2|x |＋a ＝0有4个根， 只需x 2－2x ＋a ＝0有2个不等正根，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，22－4a >0，解得0<a <1， 即a 的取值范围是0<a <1.12.(2019·天津市十二重点中学联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 32－x |，x <2，－x －32＋2，x ≥2，g (x )＝x ＋1x －1，则方程f (g (x ))＝a 的实根个数最多为( ) A.6 B.7 C.8 D.9 答案 C解析 由题意得，函数g (x )＝x ＋1x －1的值域为[1，＋∞)∪(－∞，－3]， 设g (x )＝t (t ∈[1，＋∞)∪(－∞，－3])， 作出函数f (x )的图象如图，所以f (g (x ))＝f (t )＝a ，当1≤a <2时，直线和图象交点个数最多，有四个交点，也就是关于t 的方程f (t )＝a 有四个实根.且可以有一个t ≤－3，有三个t >1.因为函数g (x )＝x ＋1x －1在(0,1)，(－1,0)上单调递减，在(1，＋∞)，(－∞，－1)上单调递增.所以g (x )＝t ，当t 在[1，＋∞)∪(－∞，－3]上每取一个t 值时，x 都有两个值和它对应， 因为方程f (t )＝a 最多有4个根，所以方程f (g (x ))＝a 最多有8个解. 13.(2019·甘肃、青海、宁夏联考)若函数f (x )＝1＋|x |＋cos xx，则f (lg 2)＋f ⎝⎛⎭⎫lg 12＋f (lg 5)＋f ⎝⎛⎭⎫lg 15＝________. 答案 6解析 由题意得，f (x )＋f (－x )＝2＋2|x |， ∵lg 2＝－lg 12，lg 5＝－lg 15，∴f (lg 2)＋f (lg 12)＋f (lg 5)＋f (lg 15)＝2×2＋2(lg 2＋lg 5)＝6.14.对于函数f (x )与g (x )，若存在λ∈{x ∈R|f (x )＝0}，μ∈{x ∈R|g (x )＝0}，使得|λ－μ|≤1，则称函数f (x )与g (x )互为“零点密切函数”，现已知函数f (x )＝e x －2＋x －3与g (x )＝x 2－ax －x ＋4互为“零点密切函数”，则实数a 的取值范围是________. 答案 [3,4]解析 由题意知，函数f (x )的零点为x ＝2， 设g (x )满足|2－μ|≤1的零点为μ，因为|2－μ|≤1，解得1≤μ≤3. 因为函数g (x )的图象开口向上，所以要使g (x )的至少一个零点落在区间[1,3]上，则需满足g (1)g (3)≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧g 1>0，g 3>0，Δ≥0，1<a ＋12<3，解得103≤a ≤4，或3≤a <103，得3≤a ≤4.故实数a 的取值范围为[3,4].15.(2019·河北省中原名校联盟联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 4－3x 2－ax ，x >0，x 4－3x 2＋ax ，x <0有四个零点，则实数a 的取值范围是________. 答案 (－2,0)解析 因为f (x )是偶函数，根据对称性，x 4－3x 2－ax ＝0在(0，＋∞)上有两个不同的实根， 即a ＝x 3－3x 在(0，＋∞)上有两个不同的实根，等价转化为直线y ＝a 与曲线y ＝x 3－3x (x >0)有两个交点， 而y ′＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，则当0<x <1时，y ′<0，当x >1时，y ′>0，所以函数y ＝x 3－3x 在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数， 于是y min ＝y |x ＝1＝－2，x →0，y →0，故a ∈(－2,0).16.(2019·六安模拟)己知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |，x >0，x 2＋4x ＋1，x ≤0，若关于x 的方程[f (x )]2－bf (x )＋c ＝0(b ，c ∈R)有8个不等的实数根，则b ＋c 的取值范围是________. 答案 (0,3)解析 根据题意作出f (x )的简图，由图象可得当f (x )∈(0,1]时，有四个不同的x 与f (x )对应. 再结合题中“方程[f (x )]2－bf (x )＋c ＝0有8个不同实数解”，可知关于k 的方程k 2－bk ＋c ＝0有两个不同的实数根k 1，k 2，且k 1和k 2均为大于0且小于等于1的实数.所以⎩⎪⎨⎪⎧b 2－4c >0，0<b 2<1，02－b ×0＋c >0，12－b ＋c ≥0，化简得⎩⎪⎨⎪⎧c <b 24，0<b <2，c >0，1－b ＋c ≥0，此不等式组表示的区域如图，令z ＝b ＋c ，则z ＝b ＋c 在(2,1)处取得最大值3，在(0,0)处取得最小值0， 所以b ＋c 的取值范围为(0,3).B 组 能力提高17.(2019·泰安质检)已知函数f (x )＝|x 2－2x －1|－t 有四个不同的零点x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1<x 2<x 3<x 4，则2(x 4－x 1)＋(x 3－x 2)的取值范围是( ) A.(8,45] B.(8,62) C.(62，45] D.(62，45)答案 A解析 由f (x )＝|x 2－2x －1|－t ＝0，得|x 2－2x －1|＝t ， 作出y ＝|x 2－2x －1|的图象如图，要使f (x )有四个不同的零点， 则0<t <2，同时x 1，x 4是方程x 2－2x －1－t ＝0的两个根， x 2，x 3是方程x 2－2x －1＋t ＝0的两个根，则x 1x 4＝－1－t ，x 1＋x 4＝2，x 2x 3＝－1＋t ，x 2＋x 3＝2， 则x 4－x 1＝x 4＋x 12－4x 1x 4＝8＋4t ＝22＋t ，x 3－x 2＝x 3＋x 22－4x 2x 3＝8－4t ＝22－t ，则2(x 4－x 1)＋(x 3－x 2)＝42＋t ＋22－t ， 设h (t )＝42＋t ＋22－t ，0<t <2， h ′(t )＝422＋t －222－t ＝22＋t －12－t，由h ′(t )>0，得22＋t －12－t >0，即22＋t >12－t， 平方得42＋t >12－t，即8－4t >2＋t ， 解得0<t <65，此时h (t )为增函数，由h′(t)<0，得65<t<2，此时h(t)为减函数，故当t＝65时，h(t)取得最大值h⎝⎛⎭⎫65＝42＋65＋22－65＝4165＋245＝1655＋455＝45，当t→0时，h(t)→62，当t→2时，h(t)→ 8，又8<62，所以8<h(t)≤45，即2(x4－x1)＋(x3－x2)的取值范围是(8,45].18.(2019·河南省十所名校联考)已知函数f(x)＝ax(x2－1)＋x(a>0)，方程f[f(x)]＝b对于任意b∈[－1,1]都有9个不等实根，则实数a的取值范围为()A.(1，＋∞)B.(2，＋∞)C.(3，＋∞)D.(4，＋∞)答案 D解析因为方程f[f(x)]＝b对于任意b∈[－1,1]都有9个不等实根，不妨令b＝0，则方程f[f(x)]＝0有9个不等实根，令f(x)＝ax(x2－1)＋x＝0，解得x1＝－a－1a，x2＝0，x3＝a－1a.所以f(x)＝x1，f(x)＝0，f(x)＝x3都要有3个不同的根，由f(x)＝ax(x2－1)＋x(a>0)，可得f(－x)＝a(－x)[(－x)2－1]＋(－x)＝－[ax(x2－1)＋x]＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，又f′(x)＝a(x2－1)＋ax·2x＋1＝3ax2－(a－1)，由f(x)＝x1有3个不等实根，可得f(x)不是单调函数，即a>1，令f′(x)＝0，解得x＝±a－1 3a，作出x，f′(x)，f(x)的关系如下表：作出f (x )的简图如下：要使得f (x )＝x 1有3个根，至少要满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －13a <x 1， 即a ⎝⎛⎭⎪⎫a －13a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a －13a 2－1＋a －13a<－a －1a， 解得a >33＋22≈3.6.即a >3.6，排除A ，B ，C.。