高考理科数学试题及答案北京卷
2024年高考北京卷 数学试卷(含答案)
2024年普通高等学校招生国统一考试数学（北京卷）第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1、已知集合{}M |31x x =-<<，{}|14N x x =-≤<，则M N =（）。
A.{}|11x x -≤< B.{}|3x x >- C.{}|34x x -<< D.{}|4x x <2、已知z1i i =--，则z =()。
A.1i -- B.1i-+ C.1i - D.1i +3、求圆22260x y x y +-+=的圆心到直线-20x y +=的距离（）。
B.2C.3D.4、(4-x 的二项展开式中，3x 的系数为（）。
A.6B.-6C.12D.-125、已知向量a ,b ,则“()()0a ba b +-=”是“a b =或a b =-”的（）条件。
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6、设函数()()sin 0f x x ωω=>，已知()11f x =-，()21f x =，12x x -的最小值为2π，则ω=（）。
A.1B.2C.3D.47、生物丰富度指数1ln NS d -=是河流水质的一个评价指标，其中S ，N 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数，生物丰富度指数d 越大，水质越好。
如果某河流治理前后的生物种类数S 没有变化，生物个体总数由1N 变为2N ，生物丰富度指数由1 2.1d =提高到2 3.15d =，则1N 与2N 的关系为（）。
A.213N 2N = B.212N 3N =C.2321N N = D.3221N N =8、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，4PA PB ==，PC PD ==）。
A.1B.2PABCD 9、已知()11,x y ，()22,x y 是2x y =图像上两个不同的点，则下列正确的是（）。
2023年高考数学真题试卷(北京卷)附详细解答
2023年北京市高考数学试卷一、选择题：本题共10小题,每小题4分,共40分.1. 已知集合{20},{10}M x x N x x =+≥=-<∣∣,则M N ⋂=（ ）A. {21}xx -≤<∣ B. {21}x x -<≤∣ C. {2}x x ≥-∣D. {1}x x <∣2. 在复平面内,复数z 对应的点的坐标是(-,则z 的共轭复数z =（ ）A. 1B. 1-C.1-+D. 1-3. 已知向量a b ，满足(2,3),(2,1)a b a b +=-=-,则22||||a b -=（ ） A. 2-B. 1-C. 0D. 14. 下列函数中,在区间(0,)+∞上单调递增的是（ ） A. ()ln f x x =- B. 1()2xf x =C. 1()f x x=-D. |1|()3x f x -=5. 512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为（ ）． A. 80-B. 40-C. 40D. 806. 已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ,点M 在C 上．若M 到直线3x =-的距离为5,则||MF =（ ）A. 7B. 6C. 5D. 47. 在ABC ∆中,()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-,则C ∠=（ ） A.π6B.π3C.2π3D.5π68. 若0xy ≠,则“0x y +=”是“2y xx y+=-”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9. 坡屋顶是我国传统建筑造型之一,蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓,展现造型之美．如图,某坡屋顶可视为一个五面体,其中两个面是全等的等腰梯形,两个面是全等的等腰三角形．若25m,10m AB BC AD ===,且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD ,则该五面体的所有棱长之和为（ ）A. 102mB.112mC. 117mD. 125m10. 已知数列{}n a 满足()31166(1,2,3,)4n n a a n +=-+=,则（ ） A. 当13a =时,{}n a 为递减数列,且存在常数0M ≤,使得n a M >恒成立 B. 当15a =时,{}n a 为递增数列,且存在常数6M ≤,使得n a M <恒成立 C. 当17a =时,{}n a 为递减数列,且存在常数6M >,使得n a M >恒成立 D. 当19a =时,{}n a 为递增数列,且存在常数0M >,使得n a M <恒成立二、填空题：本题共5小题,每小题5分,共25分．11. 已知函数2()4log xf x x =+,则12f ⎛⎫=⎪⎝⎭____________．12. 已知双曲线C 的焦点为(2,0)-和(2,0),,则C 的方程为____________． 13. 已知命题:p 若,αβ为第一象限角,且αβ>,则tan tan αβ>．能说明p 为假命题的一组,αβ的值为α=__________,β= _________．14. 我国度量衡的发展有着悠久的历史,战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列{}n a ,该数列的前3项成等差数列,后7项成等比数列,且1591,12,192a a a ===,则7a =___________；数列{}n a 所有项的和为____________．15. 设0a >,函数2,,(),1,.x x a f x a x a x a +<-⎧=-≤≤>⎪⎩,给出下列四个结论：①()f x 在区间(1,)a -+∞上单调递减； ②当1a ≥时,()f x 存在最大值； ③设()()()()()()111222,,,M x f x x a N x f x xa ≤>,则||1MN >；④设()()()()()()333444,,,P x f x x a Q x f x x a <-≥-．若||PQ 存在最小值,则a 的取值范围是10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．其中所有正确结论的序号是____________．三、解答题：本题共6小题,共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16. 如图,在三棱锥-P ABC 中,PA ⊥平面ABC,1PA AB BC PC ====，（1）求证：BC ⊥平面P AB ； （2）求二面角A PC B --的大小．17. 设函数π()sin cos cos sin 0,||2f x x x ωϕωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭．（1）若(0)f =求ϕ的值． （2）已知()f x 在区间π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,2π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,再从条件①、条件①、条件①这三个条件中选择一个作为已知,使函数()f x 存在,求,ωϕ的值．条件①：π3f ⎛⎫=⎪⎝⎭条件①：π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭； 条件①：()f x 在区间ππ,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求,第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分．18. 为研究某种农产品价格变化的规律,收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据,如下表所示．在描述价格变化时,用“+”表示“上涨”,即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”,即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”,即当天价格与前一天价格相同．用频率估计概率．（1）试估计该农产品价格“上涨”的概率；（2）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天,试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；（3）假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）19. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为3,A 、C 分别是E 的上、下顶点,B ,D分别是E 的左、右顶点,||4AC =． （1）求E 的方程；（2）设P 为第一象限内E 上的动点,直线PD 与直线BC 交于点M ,直线PA 与直线2y =-交于点N ．求证：//MN CD ．20. 设函数3()e ax b f x x x +=-,曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1+-=x y ． （1）求,a b 的值；（2）设函数()()g x f x '=,求()g x 的单调区间； （3）求()f x 的极值点个数．21. 已知数列{}{},n n a b 的项数均为m (2)m >,且,{1,2,,},n n a b m ∈{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n A B ,并规定000A B ==．对于{}0,1,2,,k m ∈,定义{}max ,{0,1,2,,}k i k r i B A i m =≤∈∣,其中,max M 表示数集M 中最大的数.（1）若1231232,1,3,1,3,3a a a b b b ======,求0123,,,r r r r 的值； （2）若11a b ≥,且112,1,2,,1,j j j r r r j m +-≤+=-,求n r ；（3）证明：存在{},,,0,1,2,,p q s t m ∈,满足,,p q s t >> 使得t p s q A B A B +=+．2023年北京市高考数学试卷解析一、选择题：本题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1. A解：由题意,{20}{|2}M xx x x =+≥=≥-∣,{10}{|1}N x x x x =-<=<∣ 根据交集的运算可知,{|21}M N x x =-≤<.故选：A 2. D解：z 在复平面对应的点是(-,根据复数的几何意义,1z =-+由共轭复数的定义可知,1z =-. 故选：D 3. B解：向量,a b 满足(2,3),(2,1)a b a b +=-=- 所以22||||()()2(2)311a b a b a b -=+⋅-=⨯-+⨯=-.故选：B 4. C解：对于A,因为ln y x =在()0,∞+上单调递增,y x =-在()0,∞+上单调递减 所以()ln f x x =-在()0,∞+上单调递减,故A 错误； 对于B,因为2xy =在()0,∞+上单调递增,1y x=在()0,∞+上单调递减 所以()12x f x =在()0,∞+上单调递减,故B 错误； 对于C,因为1y x=在()0,∞+上单调递减,y x =-在()0,∞+上单调递减 所以()1f x x=-在()0,∞+上单调递增,故C 正确；对于D,因为111221332f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭()()112101331,233f f --===== 显然()13x f x -=在()0,∞+上不单调,D 错误.故选：C. 5. D解：512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为()()55521551212rr r rr r r r T C x C x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令521r -=得2r =所以512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为()252251280C --=故选：D 6. D解：因为抛物线2:8C y x =的焦点()2,0F ,准线方程为2x =-,点M 在C 上所以M 到准线2x =-的距离为MF 又M 到直线3x =-的距离为5 所以15MF +=,故4MF =. 故选：D. 7. B解：因为()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-所以由正弦定理得()()()a c a c b a b +-=-,即222a c ab b -=-则222a b c ab +-=,故2221cos 222a b c ab C ab ab +-===又0πC <<,所以π3C =. 故选：B. 8. C解：因为0xy ≠,且2x yy x+=- 所以222x y xy +=-,即2220x y xy ++=,即()20x y +=,所以0x y +=.所以“0x y +=”是“2x yy x+=-”的充要条件. 故选：C 9. C解：如图,过E 做EO ⊥平面ABCD ,垂足为O ,过E 分别做EG BC ⊥,EM AB ⊥,垂足分别为G ,M ,连接,OG OM由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为EMO ∠和EGO ∠所以5tan tan EMO EGO ∠=∠=. 因为EO ⊥平面ABCD ,BC ⊂平面ABCD ,所以EO BC ⊥ 因为EG BC ⊥,,EO EG ⊂平面EOG ,EO EG E ⋂= 所以BC ⊥平面EOG ,因为OG ⊂平面EOG ,所以BC OG ⊥ 同理：OM BM ⊥,又BM BG ⊥,故四边形OMBG 是矩形所以由10BC =得5OM =,所以EO 所以5OG =所以在直角三角形EOG 中,EG ==在直角三角形EBG 中,5BG OM ==,8EB ===又因为55255515EF AB =--=--=所有棱长之和为2252101548117m ⨯+⨯++⨯=. 故选：C 10.B解：因为()311664n n a a +=-+,故()311646n n a a +=-- 对于A ,若13a =,可用数学归纳法证明：63n a -≤-即3n a ≤ 证明：当1n =时,1363a -=≤--,此时不等关系3n a ≤成立； 设当n k =时,63k a -≤-成立 则()3162514764,4k k a a +⎛⎫-∈--- ⎝=⎪⎭,故136k a +≤--成立由数学归纳法可得3n a ≤成立. 而()()()()231116666441n n n n n n a a a a a a +⎡⎤=---=---⎢⎣-⎥⎦()20144651149n a --=-≥>,60n a -<,故10n n a a +-<,故1n n a a +< 故{}n a 为减数列,注意1063k a +-≤-< 故()()()()23111666649644n n n n n a a a a a +-=≤-=-⨯--,结合160n a +-< 所以()16694n n a a +--≥,故119634n n a +-⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭,故119634n n a +-⎛⎫≤- ⎪⎝⎭若存在常数0M ≤,使得n a M >恒成立,则19634n M -⎛⎫-> ⎪⎝⎭故16934n M --⎛⎫> ⎪⎝⎭,故9461log 3Mn -<+,故n a M >恒成立仅对部分n 成立 故A 不成立. 对于B ,若15,a 可用数学归纳法证明：106n a --≤<即56n a ≤<证明：当1n =时,10611a ---≤≤=,此时不等关系56n a ≤<成立；设当n k =时,56k a ≤<成立 则()31164416,0k k a a +⎛⎫-∈-⎪⎝=⎭-,故1106k a +--≤<成立即 由数学归纳法可得156k a +≤<成立. 而()()()()231116666441n n n n n n a a a a a a +⎡⎤=---=---⎢⎣-⎥⎦()201416n a --<,60n a -<,故10n n a a +->,故1n n a a +>,故{}n a 为增数列 若6M =,则6n a <恒成立,故B 正确.对于C ,当17a =时, 可用数学归纳法证明：061n a <-≤即67n a <≤ 证明：当1n =时,1061a <-≤,此时不等关系成立； 设当n k =时,67k a <≤成立 则()31160,4164k k a a +⎛⎤-∈ ⎥⎝=⎦-,故1061k a +<-≤成立即167k a +<≤ 由数学归纳法可得67n a <≤成立. 而()()21166014n n n n a a a a +⎡⎤=--<⎢⎥⎣⎦--,故1n n a a +<,故{}n a 为减数列 又()()()2111666644n n n n a a a a +-=-⨯-≤-,结合160n a +->可得：()111664nn a a +⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭,所以1164nn a +⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭若1164nn a +⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭,若存在常数6M >,使得n a M >恒成立 则164n M ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭恒成立,故()14log 6n M ≤-,n 的个数有限,矛盾,故C 错误.对于D ,当19a =时, 可用数学归纳法证明：63n a -≥即9n a ≥ 证明：当1n =时,1633a -=≥,此时不等关系成立； 设当n k =时,9k a ≥成立则()3162764143k k a a +-≥=>-,故19k a +≥成立 由数学归纳法可得9n a ≥成立. 而()()21166014n n n n a a a a +⎡⎤=-->⎢⎥⎣⎦--,故1n n a a +>,故{}n a 为增数列 又()()()2119666446n n n n a a a a +->=-⨯--,结合60n a ->可得：()11116396449n n n a a --+⎭-⎛⎫⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎝⎭> ,所以114963n n a -+⎛⎫ ⎪⎭≥+⎝若存在常数0M >,使得n a M <恒成立,则19643n M -⎛⎫ ⎪⎝>+⎭故19643n M -⎛⎫ ⎪⎝>+⎭,故946log 13M n -⎛⎫<+⎪⎝⎭,这与n 的个数有限矛盾,故D 错误. 故选：B.二、填空题：本题共5小题,每小题5分,共25分．11. 1解：函数2()4log xf x x =+,所以12211()4log 21122f =+=-=.故答案为：112. 22122x y -=解：令双曲线C 的实半轴、虚半轴长分别为,a b ,显然双曲线C 的中心为原点,焦点在x 轴上,其半焦距2c =由双曲线C,得ca=解得a =则b ==所以双曲线C 的方程为22122x y -=.故答案为：22122x y -=13. ①9π4 ① π3解：因为()tan f x x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,若00π02<<<αβ,则00tan tan <αβ取1020122π,2π,,k k k k =+=+∈Z ααββ则()()100200tan tan 2πtan ,tan tan 2πtan k k =+==+=αααβββ,即tan tan αβ<令12k k >,则()()()()102012002π2π2πk k k k -=+-+=-+-αβαβαβ因为()1200π2π2π,02k k -≥-<-<αβ,则()()12003π2π02k k -=-+->>αβαβ 即12k k >,则αβ>. 不妨取1200ππ1,0,,43k k ====αβ,即9ππ,43αβ==满足题意. 故答案为：9ππ;43. 14. ① 48 ① 384解：设前3项的公差为d ,后7项公比为0q >则4951921612a q a ===,且0q >,可得2q则53212a a d q=+=,即123d +=,可得1d = 空1：可得43733,48a a a q ===空2：()127693121233232338412a a a -=+++⨯+⋅⋅⋅+⨯=+=-+++15. ②③解：依题意,0a >当x a <-时,()2f x x =+,易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线； 当a x a -≤≤时,()f x =易知其图像是,圆心为()0,0,半径为a 的圆在x 轴上方的图像（即半圆）；当x a >时,()1f x =,易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线； 对于①,取12a =,则()f x 的图像如下显然,当(1,)x a ∈-+∞,即1,2x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时,()f x 在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增,故①错误；对于②,当1a ≥时当x a <-时,()221f x x a =+<-+≤；当a x a -≤≤时,()f x =a ；当x a >时,()112f x =<≤- 综上：()f x 取得最大值a ,故②正确；对于③,结合图像,易知在1x a =,2x a >且接近于x a =处,()()()()()()111222,,,M x f x x a N x f x x a ≤>的距离最小当1x a =时,()10y f x ==,当2x a >且接近于x a =处,()221y f x =<此时,1211MN y y >->>,故③正确；对于④,取45a =,则()f x 的图像如下因为()()()()()()333444,,,P x f x xa Q x f x x a <-≥-结合图像可知,要使PQ 取得最小值,则点P 在()425f x x x ⎛⎫=+<-⎪⎝⎭上,点Q 在()4455f x x ⎫=-≤≤⎪⎭ 同时PQ 的最小值为点O 到()425f x x x ⎛⎫=+<-⎪⎝⎭的距离减去半圆的半径a 此时,因为()425f x y x x ⎛⎫==+<-⎪⎝⎭的斜率为1,则1OP k =-,故直线OP 的方程为y x =-联立2y x y x =-⎧⎨=+⎩,解得11x y =-⎧⎨=⎩,则()1,1P -显然()1,1P -在()425f x x x ⎛⎫=+<-⎪⎝⎭上,满足PQ 取得最小值 即45a =也满足PQ 存在最小值,故a 的取值范围不仅仅是10,2⎛⎤⎥⎝⎦,故④错误. 故答案为：②③.三、解答题：本题共6小题,共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16. （1）证明见解析 （2）π3【小问1详解】因为PA ⊥平面,ABC BC ⊂平面ABC所以PA BC ⊥,同理PA AB ⊥ 所以PAB 为直角三角形又因为PB ==,1,BC PC ==所以222PB BC PC +=,则PBC 为直角三角形,故BC PB ⊥ 又因为BC PA ⊥,PA PB P =所以BC ⊥平面PAB . 【小问2详解】由（1）BC ⊥平面PAB ,又AB ⊂平面PAB ,则BC AB ⊥以A 为原点,AB 为x 轴,过A 且与BC 平行的直线为y 轴,AP 为z 轴,建立空间直角坐标系如图则(0,0,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,0)A P C B所以(0,0,1),(1,1,0),(0,1,0),(1,1,1)AP AC BC PC ====-设平面PAC 的法向量为()111,,m x y z =,则0m AP m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即1110,0,z x y =⎧⎨+=⎩令11x =,则11y =-,所以(1,1,0)m =- 设平面PBC 的法向量为()222,,x n y z =,则0n BC n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即222200y x y z =⎧⎨+-=⎩ 令21x =,则21z =,所以(1,0,1)n =所以11cos ,22m n m n m n⋅===⨯又因为二面角A PC B --为锐二面角 所以二面角A PC B --的大小为π3. 17. （1）π3ϕ=-. （2）条件①不能使函数()f x 存在；条件②或条件①可解得1ω=,π6ϕ=-. 【小问1详解】因为π()sin cos cos sin ,0,||2f x x x ωϕωϕωϕ=+><所以()()(0)sin 0cos cos 0sin sin f ωϕωϕϕ=⋅+⋅== 因为π||2ϕ<,所以π3ϕ=-. 【小问2详解】因为π()sin cos cos sin ,0,||2f x x x ωϕωϕωϕ=+><所以()π()sin ,0,||2f x x ωϕωϕ=+><,所以() f x 的最大值为1,最小值为1-.若选条件①：因为()()sin f x x ωϕ=+的最大值为1,最小值为1-,所以π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭故条件①不能使函数()f x 存在； 若选条件②：因为() f x 在π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,且2π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭所以2πππ233T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭,所以2πT =,2π1Tω== 所以()()sin f x x ϕ=+又因为π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,所以πsin 13ϕ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭所以ππ2π,Z 32k k ϕ-+=-+∈ 所以π2π,Z 6k k ϕ=-+∈,因为||2ϕπ<,所以π6ϕ=-.所以1ω=,π6ϕ=-；若选条件③：因为() f x 在π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在ππ,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减 所以() f x 在π3x =-处取得最小值1-,即π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. 以下与条件②相同． 18. （1）0.4 （2）0.168 （3）不变 【小问1详解】根据表格数据可以看出,40天里,有16个+,也就是有16天是上涨的 根据古典概型的计算公式,农产品价格上涨的概率为：160.440= 【小问2详解】在这40天里,有16天上涨,14天下跌,10天不变,也就是上涨,下跌,不变的概率分别是0.4,0.35,0.25于是未来任取4天,2天上涨,1天下跌,1天不变的概率是22142C 0.4C 0.350.250.168⨯⨯⨯⨯=【小问3详解】由于第40天处于上涨状态,从前39次的15次上涨进行分析,上涨后下一次仍上涨的有4次.不变的有9次,下跌的有2次. 因此估计第41次不变的概率最大.19. （1）22194x y +=（2）证明见解析 【小问1详解】依题意,得c e a ==,则c =又,A C 分别为椭圆上下顶点,4AC =,所以24b =,即2b = 所以2224a c b -==,即22254499a a a -==,则29a = 所以椭圆E 的方程为22194x y +=.【小问2详解】因为椭圆E 的方程为22194x y +=,所以()()()()0,2,0,2,3,0,3,0A C B D --因为P 为第一象限E 上的动点,设()(),03,02P m n m n <<<<,则22194m n +=易得022303BC k +==---,则直线BC 的方程为223y x =--033PDn n k m m -==--,则直线PD 的方程为()33n y x m =--联立()22333y x n y x m ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩,解得()332632612326n m x n m n y n m ⎧-+=⎪⎪+-⎨-⎪=⎪+-⎩,即 ()332612,326326n m n M n m n m -+⎛⎫- ⎪+-+-⎝⎭而220PA n n k m m --==-,则直线PA 的方程为22n y x m-=+ 令=2y -,则222n x m --=+,解得42m x n -=-,即4,22m N n -⎛⎫-⎪-⎝⎭又22194m n +=,则22994n m =-,2287218m n =- 所以()()()()()()12264122326332696182432643262MNnn m n n m k n m n m n m n m m n m n -+-+--+-==-+-+-++---+--222222648246482498612369612367218n mn m n mn m n m mn m n m n n m -+-+-+-+==++---++-- ()()22222324126482429612363332412n mn m n mn m n mn m n mn m -+-+-+-+===-+-+-+-+ 又022303CD k +==-,即MN CD k k = 显然,MN 与CD 不重合,所以//MN CD . 20. （1）1,1a b =-= （2）答案见解析 （3）3个 【小问1详解】 因为3R ()e,ax bf x x x x +=-∈,所以()()2313e ax bf x a x x ++'=-因为()f x 在(1,(1))f 处的切线方程为1+-=x y 所以(1)110f =-+=,(1)1f '=-则()311e 013e 1a b a ba ++⎧-⨯=⎪⎨-+=-⎪⎩,解得11a b =-⎧⎨=⎩ 所以1,1a b =-=. 【小问2详解】由（1）得()()()()231R 13e x g f x x xx x -+'-==∈-则()()1266ex x g x x x -+'+-=-令2660x x -+=,解得3x =±不妨设13x =23x =,则120x x << 易知1e 0x -+>恒成立.所以令()0g x '<,解得10x x <<或2x x >；令()0g x '>,解得0x <或12x x x<<；所以()g x 在()10,x ,()2,x +∞上单调递减,在(),0∞-,()12,x x 上单调递增即()g x 的单调递减区间为(0,3和()3++∞,单调递增区间为(),0∞-和(3.【小问3详解】 由（1）得()31R ()ex f x x x x -+=-∈,()()23113e x f x x x -+'-=-由（2）知()f x '在()10,x ,()2,x +∞上单调递减,在(),0∞-,()12,x x 上单调递增当0x <时,()24011e f '-=<-,()010f '=>,即()()010f f ''-<所以()f x '在(),0∞-上存在唯一零点,不妨设为3x ,则310x -<<此时,当3<x x 时,()0f x '<,则()f x 单调递减；当30x x <<时,0)('>x f ,则()f x 单调递增；所以()f x 在(),0∞-上有一个极小值点； 当()10,x x ∈时,()f x '在()10,x 上单调递减则()(()131120f x f f '''=<=-<,故()()100f f x ''< 所以()f x '在()10,x 上存在唯一零点,不妨设为4x ,则410x x <<此时,当40x x <<时,0)('>x f ,则()f x 单调递增；当41x x x <<时,()0f x '<,则()f x 单调递减；所以()f x 在()10,x 上有一个极大值点； 当()12,x x x ∈时,()f x '在()12,x x 上单调递增则()(()23310f x f f '''=>=>,故()()120f x f x ''< 所以()f x '在()12,x x 上存在唯一零点,不妨设为5x ,则152x x x <<此时,当15x x x <<时,()0f x '<,则()f x 单调递减；当52x x x <<时,()0f x '<,则()f x 单调递增；所以()f x 在()12,x x 上有一个极小值点；当233x x >=>时,()232330x x x x -=-<所以()()231013ex f x x x-+'=->-,则()f x 单调递增所以()f x 在()2,x +∞上无极值点；综上：()f x 在(),0∞-和()12,x x 上各有一个极小值点,在()10,x 上有一个极大值点,共有3个极值点.21. （1）00r =,11r =,21r =,32r = （2）,n r n n =∈N （3）证明见详解 【小问1详解】由题意可知：012301230,2,3,6,0,1,4,7A A A A B B B B ======== 当0k =时,则0000,,1,2,3i B A B A i ==>=,故00r =； 当1k =时,则01111,,,2,3i B A B A B A i <<>=,故11r =； 当2k =时,则22232,0,1,,,i B A i B A B A ≤=>>故21r =； 当3k =时,则333,0,1,2,i B A i B A ≤=>,故32r =； 综上所述：00r =,11r =,21r =,32r =. 【小问2详解】由题意可知：n r m ≤,且n r ∈N因为1,1n n a b ≥≥,则111,1n n A a B b ≥=≥=,当且仅当1n =时,等号成立 所以010,1r r ==又因为112i i i r r r -+≤+,则11i i i i r r r r +--≥-,即112101m m m m r r r r r r ----≥-≥⋅⋅⋅≥-= 可得11i i r r +-≥反证：假设满足11n n r r +->的最小正整数为11j m ≤≤- 当i j ≥时,则12i i r r +-≥；当1i j ≤-时,则11i i r r +-=则()()()112100m m m m m r r r r r r r r ---=-+-+⋅⋅⋅+-+()22m j j m j ≥-+=-又因为11j m ≤≤-,则()2211mr m j m m m m ≥-≥--=+> 假设不成立,故11n n r r +-=即数列{}n r 是以首项为1,公差为1的等差数列,所以01,n r n n n =+⨯=∈N .【小问3详解】（①）若m m A B ≥,构建,1n n n r S A B n m =-≤≤,由题意可得：0n S ≥,且n S 为整数 反证,假设存在正整数K ,使得K S m ≥ 则1,0K K K r K r A B m A B +-≥-<,可得()()111K K K K K r r r K r K r b B B A B A B m +++=-=---> 这与{}11,2,,K r b m +∈⋅⋅⋅相矛盾,故对任意1,n m n ≤≤∈N ,均有1n S m ≤-. ①若存在正整数N ,使得0N N N r S A B =-=,即N N r A B = 可取0,,N r p q N s r ====,使得p s q r B B A A +=+； ①若不存在正整数N ,使得0N S = 因为{}1,2,1n S m m ∈⋅⋅⋅-,且1n m ≤≤ 所以必存在1X Y m ≤<≤,使得X Y S S = 即X Y X r Y r A B A B -=-,可得Y X X r Y r A B A B +=+ 可取,,,Y X p X s r q Y r r ====,使得p s q r B B A A +=+； （①）若m m A B <,构建,1n n r n S B A n m =-≤≤,由题意可得：0n S ≤,且n S 为整数 反证,假设存在正整数K ,使得K S m ≤- 则1,0K K r K r K B A m B A +-≤--> 可得()()111K K K K K r r r r K r K b B B B A B A m +++=-=---> 这与{}11,2,,K r b m +∈⋅⋅⋅相矛盾,故对任意1,n m n ≤≤∈N ,均有1n S m ≥-. ①若存在正整数N ,使得0N N r N S B A =-=,即N N r A B = 可取0,,N r p q N s r ====,使得p s q r B B A A +=+；②若不存在正整数N ,使得0N S = 因为{}1,2,,1n S m ∈--⋅⋅⋅-,且1n m ≤≤ 所以必存在1X Y m ≤<≤,使得X Y S S = 即X Y r X r Y B A B A -=-,可得Y X X r Y r A B A B +=+ 可取,,,Y X p X s r q Y r r ====,使得p s q r B B A A +=+；综上所述：存在0,0p q m r s m ≤<≤≤<≤使得ps q r B B A A +=+．。
高考数学试卷(理科)
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（Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；
（Ⅱ）已知数列{an}的长度为p的递增子列的末项的最小值为 ，长度为q的递增子列的末项的最小值为 .若p<q，求证： < ；
（Ⅲ）设无穷数列{an}的各项均为正整数，且任意两项均不相等.若{an}的长度为s的递增子列末项的最小值为2s–1，且长度为s末项为2s–1的递增子列恰有2s-1个（s=1，2，…），求数列{an}的通项公式．
③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.
其中，所有正确结论的序号是
A ①B. ②C. ①②D. ①②③
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
数f(x)=sin22x的最小正周期是__________．
10.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=−3，S5=−10，则a5=__________，Sn的最小值为__________．
普通高等学校招生全国统一考试
数 学（理）（北京卷）
本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知复数z=2+i，则
普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学试题(理科)解析版
本试卷共 5 页， 150 分．考试时长 120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一局部〔选择题共40 分〕一、选择题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．集合 A{ x || x | 2} ， B { 1,0,1,2,3 } ，那么A B〔〕1.A. {0,1}B. {0,1, 2}C.{ 1,0,1}D. { 1,0,1, 2}【答案】 C考点：集合交集.【名师点睛】如集合 { x | y 1．首先要弄清构成集合的元素是什么f (x)} ， { y | y f (x)} ， {( x, y) | y(即元素的意义)，是数集还是点集，f ( x)} 三者是不同的．2．集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数时，以及在含参的集合运算中，常因无视互异性，疏于检验而出错．3．数形结合常使集合间的运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助 Venn 图实施，对连续的数集间的运算，常利用数轴进行，对点集间的运算，那么通过坐标平面内的图形求解，这在本质上是数形结合思想的表达和运用．4．空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可无视空集是任何元素的子集．2x y0假设x，y满足x y3，那么2x y的最大值为〔〕2.x0【答案】 C【解析】考点：线性规划.【名师点睛】可行域是封闭区域时，可以将端点代入目标函数，求出最大值与最小值，从而得到相应范围 .假设线性规划的可行域不是封闭区域时，不能简单的运用代入顶点的方法求最优解 .如变式 2，需先准确地画出可行域，再将目标函数对应直线在可行域上移动，观察 z 的大小变化，得到最优解 .3.执行如下图的程序框图，假设输入的 a 值为1，那么输出的k值为〔〕开始输入 ak=0,b=aa1k=k+1 1aa=b否是输出 k结束【答案】 B【解析】试题分析：输入 a 1，那么 k 0， b 1 ；进入循环体， a 11， a2，否， k2， a1，此时 a b 1，输出 k ，，否， k2则k 2，选B.考点：算法与程序框图【名师点睛】解决循环结构框图问题，要先找出控制循环的变量的初值、步长、终值(或控 制循环的条件 )，然后看循环体，循环次数比拟少时，可依次列出，循环次数较多时，可先循环几次， 找出规律， 要特别注意最后输出的是什么， 不要出现多一次或少一次循环的错误.4.设 a ， b 是向量，那么“ | a | |b | 〞是“ | a b | | a b |〞的〔〕A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】 D考点：1.充分必要条件；2.平面向量数量积 .【名师点睛】由向量数量积的定义a b| a | |b | cos( 为 a ， b 的夹角 )可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐 标进行运算 .当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查 .求解夹角与模的题目在 近年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法 .5. x ， yR ，且 xy 0 ，那么〔〕1 1 0B. sin x sin y1 x (1 yD. ln x ln yA.yC. ( ))x22【答案】 C【解析】试题分析： A ：由 x y0 ，得11 ，即 1 1 0 ， A 不正确；xy x yB ：由 x y 0及正弦函数 y sin x 的单调性，可知 sin x sin y 0 不一定成立；C ：由 011， x y0 ，得 ( 1)x( 1) y，故 ( 1) x ( 1 ) y0 ， C 正确；22222D ：由 xy 0 ，得 xy 0，不一定大于 1，故 ln x ln y 0 不一定成立，应选 C.考点： 函数性质【名师点睛】函数单调性的判断： (1)常用的方法有：定义法、导数法、图象法及复合函数法．(2) 两个增 (减 )函数的和仍为增 (减 )函数；一个增 (减 )函数与一个减 (增 )函数的差是增 ( 减)函数；(3) 奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性 .6.某三棱锥的三视图如下图，那么该三棱锥的体积为〔〕1B.11A. C. D. 1632【答案】 A【解析】试题分析：分析三视图可知，该几何体为一三棱锥P ABC ，其体积 V11 1 1 11，326应选 A.考点：1.三视图； 2.空间几何体体积计算.【名师点睛】解决此类问题的关键是根据几何体的三视图判断几何体的结构特征.常见的有以下几类：①三视图为三个三角形，对应的几何体为三棱锥；②三视图为两个三角形，一个四边形，对应的几何体为四棱锥；③三视图为两个三角形，一个圆，对应的几何体为圆锥；④三视图为一个三角形，两个四边形，对应的几何体为三棱柱；⑤三视图为三个四边形，对应的几何体为四棱柱；⑥三视图为两个四边形，一个圆，对应的几何体为圆柱.7.将函数y sin(2 x) 图象上的点P( , t) 向左平移s〔 s 0 〕个单位长度得到点P ' ，34假设 P ' 位于函数y sin 2x 的图象上，那么〔〕1， s 的最小值为 B. t 3， s的最小值为A. t22661， s的最小值为 D. t 3， s的最小值为C. t2323【答案】 A考点：三角函数图象平移【名师点睛】三角函数的图象变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意平移变换时，当自变量 x 的系数不为 1 时，要将系数先提出．翻折变换要注意翻折的方向；三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换8.袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否那么就放入丙盒 .重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，那么〔〕A. 乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B. 乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D. 乙盒中黑球与丙盒中红球一样多【答案】 C考点：概率统计分析.【名师点睛】此题将小球与概率知识结合，创新味十足，是能力立意的好题.如果所求事件对应的根本领件有多种可能，那么一般我们通过逐一列举计数，再求概率，此题即是如此.列举的关键是要有序(有规律 )，从而确保不重不漏.另外注意对立事件概率公式的应用.第二局部〔非选择题共 110 分〕二、填空题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分．设a R ，假设复数 (1 i )(ai ) 在复平面内对应的点位于实轴上，那么a _______________.9.【答案】 1 .【解析】试题分析：(1i )(a i )a1(a1)i R a 1 ，故填： 1 .考点：复数运算【名师点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法那么是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法那么类似于多项式乘法法那么，除法运算那么先将除式写成分式的形式，再将分母实数化10.在(12x)6的展开式中，x2的系数为__________________.〔用数字作答〕【答案】 60.【解析】试题分析：根据二项展开的通项公式T r 1 C6r ( 2)r x r可知， x2的系数为 C62 ( 2) 260 ，故填： 60 .考点：二项式定理 .【名师点睛】 1.所谓二项展开式的特定项，是指展开式中的某一项，如第n 项、常数项、有理项、字母指数为某些特殊值的项.求解时，先准确写出通项T r 1 C n r a n r b r，再把系数与字母别离出来 (注意符号 ) ，根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征，列出方程或不等式来求解即可； 2、求有理项时要注意运用整除的性质，同时应注意结合n的范围分析.11.在极坐标系中，直线cos 3 sin 1 0 与圆2cos 交于A，B两点，那么| AB | ______.【答案】 2考点：极坐标方程与直角方程的互相转化.【名师点睛】将极坐标或极坐标方程转化为直角坐标或直角坐标方程，直接利用公式x cos , y sin 即可．将直角坐标或直角坐标方程转化为极坐标或极坐标方程，要灵活运用 x＝xcos , ysin 以及x2y2， tan y( x 0) ，同时要掌握必要的技巧. x12. { a n}为等差数列，S n为其前n项和，假设a1 6 ， a3a50，那么 S6 = _______..【答案】 6【解析】试题分析：∵ { a n } 是等差数列，∴ a3a5 2a4 0，a4 0，a4a13d 6 ，d 2 ，∴ S6a 15d 6 6 15 ( 2) 6 ，故填：6．61考点：等差数列根本性质 .【名师点睛】在等差数列五个根本量a1，d，n， a n， S n中，其中三个量，可以根据条件结合等差数列的通项公式、前n 项和公式列出关于根本量的方程(组 )来求余下的两个量，计算时须注意整体代换及方程思想的应用.13.双曲线x2y21〔 a 0 ， b0 〕的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直a2 b 2OABC 的边长为 2，那么a _______________.线，点 B 为该双曲线的焦点，假设正方形【答案】 2考点：双曲线的性质【名师点睛】在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容对渐近线： (1)掌握方程； (2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3) 会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数 ..求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为Ax2By21的形式，当A0 ， B0 ，A B时为椭圆，当AB0 时为双曲线.x33x, x a14.设函数f ( x).2x, x a①假设 a0 ，那么 f ( x) 的最大值为______________；②假设 f (x) 无最大值，那么实数 a 的取值范围是________.【答案】 2 ，( , 1).【解析】试题分析：如图作出函数g(x)x33x 与直线 y2x 的图象，它们的交点是A( 1,2) ，O(0,0) ， B(1,2) ，由g '(x)3x2 3 ，知x 1 是函数g (x)的极大值点，①当 a 0 时，f ( x)x33x, x 0，因此 f ( x) 的最大值是 f (1) 2 ；2 x, x0②由图象知当 a 1 时，f ( x)有最大值是 f (1) 2 ；只有当a 1 时，由a33a 2a ，因此 f (x) 无最大值，∴所求 a 的范围是 (,1) ，故填：2， (, 1) ．考点： 1.分段函数求最值； 2.数形结合的数学思想.【名师点睛】 1.分段函数的函数值时，应首先确定所给自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．假设自变量值为较大的正整数，一般可考虑先求函数的周期．假设给出函数值求自变量值，应根据每一段函数的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否属于相应段自变量的范围； 2.在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知的函数的单调性，因此掌握一次函数、二次函数、幂函数、对数函数等的单调性，将大大缩短我们的判断过程．三、解答题〔共 6 小题，共 80 分．解容许写出文字说明，演算步骤或证明过程〕15.〔本小题13 分〕在 ABC 中，a2c2b22ac .〔1〕求B的大小；〔2〕求 2 cos A cosC的最大值 .【答案】〔 1〕；〔 2〕1.4考点： 1.三角恒等变形； 2.余弦定理 .【名师点睛】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量 (如面积、外接圆、内切圆半径和面积等 )提供了理论依据，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：化角法，化边法，面积法，运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想．16.〔本小题13 分〕A 、 B、 C 三个班共有100 名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了局部学生一周的锻炼时间，数据如下表〔单位：小时〕；A 班678B 班6789101112C 班36912〔1〕试估计 C 班的学生人数；〔2〕从 A 班和 C 班抽出的学生中，各随机选取一人， A 班选出的人记为甲， C 班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；〔3〕再从 A、 B、C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，〔单位：小时〕，这 3 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记1，表格中数据的平均数记为0 ，试判断0 和1的大小，〔结论不要求证明〕【答案】〔 1〕 40；〔 2〕3 ；〔3〕810 .【解析】试题分析：〔Ⅰ〕根据图表判断 C 班人数，由分层抽样的抽样比计算 C 班的学生人数；〔Ⅱ〕根据题意列出“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长〞的所有事件，由独立事件概率公式求概率 .〔Ⅲ〕根据平均数公式进行判断即可.考点： 1.分层抽样； 2.独立事件的概率； 3.平均数【名师点睛】求复杂的互斥事件的概率的方法：一是直接法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥事件概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P( A) 1P( A) ，即运用逆向思维的方法公式时，一定要分清事件的对立事件到底是什么事件，不能重复或遗漏多〞“至少〞等字眼的题目，用第二种方法往往显得比拟简便.(正难那么反 )求解，应用此.特别是对于含“至17.〔本小题14 分〕如图，在四棱锥P ABCD中，平面PAD平面ABCD，PA PD， PA PD，AB AD， AB 1 ， AD2，AC CD 5 .〔1〕求证：PD平面PAB；（2〕求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（3〕在棱PA上是否存在点M，使得BM / /平面PCD？假设存在，求AM的值；假设不存AP在，说明理由 .【答案】〔 1〕见解析；〔 2〕3；〔 3〕存在，AM1 3AP4〔3〕设M是棱PA上一点，那么存在[0,1] 使得AMAP .因此点 M (0,1, ), BM( 1,, ) .因为 BM平面 PCD ，所以BM∥平面 PCD 当且仅当BM n0 ，即 ( 1,, ) (1,2,2) 0，解得1. 4所以在棱 PA 上存在点 M 使得 BM ∥平面PCD，此时AM1.AP4考点： 1.空间垂直判定与性质； 2.异面直线所成角的计算； 3.空间向量的运用.【名师点睛】平面与平面垂直的性质的应用：当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直(必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系)，构造 (寻找 )二面角的平面角或得到点到面的距离等.18.〔本小题13 分〕设函数 f ( x)xe a x bx ，曲线y f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 y(e 1)x 4 ，（1〕求a，b的值；（2〕求f ( x)的单调区间 .【答案】〔Ⅰ〕 a 2 ， b e ；〔2〕 f ( x) 的单调递增区间为( ,) .从而g(x)0, x(,) .综上可知， f ( x)0 ，x(,)，故 f (x) 的单调递增区间为(,) .考点：导数的应用.【名师点睛】用导数判断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0 的点外，还要注意定义区间内的间断点．19.〔本小题14 分〕x2y21 〔 a b 0 〕的离心率为3椭圆 C：2b2， A(a,0) ， B(0, b) ， O(0,0) ，a2OAB 的面积为 1.（1〕求椭圆 C 的方程；（2〕设P的椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点 M ，直线 PB 与x轴交于点 N.求证：AN BM为定值 .【答案】〔 1〕2x y21；〔2〕详见解析. 4〔2〕由〔Ⅰ〕知，A( 2,0), B(0,1) ，考点： 1.方程及其性； 2.直与的位置关系.【名点睛】解决定定点方法一般有两种：(1) 从特殊入手，求出定点、定、定，再明定点、定、定与量无关； (2)直接算、推理，并在算、推理的程中消去量，从而得到定点、定、定 .注意到繁的代数运算是此的特点，而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地化运算.20.〔本小13 分〕数列A：a1， a2, ⋯a N( N).如果小于n (2n N)的每个正整数k 都有a k＜a n，称 n 是数列A的一个“G刻〞.“G ( A)是数列A的所有“ G刻〞成的集合.〔1〕数列 A ：-2， 2， -1， 1，3，写出G ( A)的所有元素；〔2〕明：假设数列 A 中存在a n使得a n > a1，G (A)；〔3〕明：假设数列 A 足a n - a n 1≤1〔n=2,3, ⋯ ,N〕 , G ( A)的元素个数不小于a N - a1 .【答案】〔 1〕G ( A)的元素2和5；〔2〕解析；〔 3〕解析 .设 G( A) n1, n2 , , n p , n1n2n p，记 n0 1 .那么a n0a n a n2a n.1p对 i 0,1,, p ，记 G i k N n i k N , a k a n i.如果G i，取 m i min G i，那么对任何1k m i , a k a n a m.i i从而 m i G( A) 且 m i n i 1.又因为 n p是G ( A)中的最大元素，所以G p.从而对任意 n p k n ，a k a n p，特别地，a N a n p.考点：数列、对新定义的理解.【名师点睛】数列的实际应用题要注意分析题意，的综合问题涉及到的数学思想：函数与方程思想求和或应用 )、特殊到一般思想 (如：求通项公式或 q1)等.将实际问题转化为常用的数列模型，数列(如：求最值或根本量 )、转化与化归思想 (如：)、分类讨论思想 (如：等比数列求和，q 1。
普通高等学校招生全国统一考试理科数学(北京卷)精校版(含答案)
号位封座密号场不考订装号证考准只卷名姓此级班2021 年普通高等学校招生全国统一考试( 北京卷 )理科数学考前须知：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2 ．选择题的作答：每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第 I卷一、选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的，每题 5 分，共 40 分．1．集合 A x x2， B–2,0,1,2 ，那么A IB 〔〕A ． 0,1B ．–1,0,1C．–2,0,1,2 D ．–1,0,1,22．在复平面内，复数1的共轭复数对应的点位于〔〕1iA ．第一象限B ．第二象限C．第三象限 D ．第四象限3．执行如下图的程序框图，输出的s 值为〔〕A ．1B ．5C．7D ．7266124．“十二平均律〞是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要奉献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于12 2 ．假八个单音频率为〔〕A ．3 2 f312B． 22 f C． 25 f D5．某四棱锥的三视图如下图，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为〔A ． 1B． 2C．3D6．设a，b均为单位向量，那么“a3b 3a b 〞是“〞的〔〕a bA ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件7．在平面直角坐标系中，记 d 为点 P cos,sin到直线 x my 20的最大值为〔〕A ． 1B． 2C．3D8．设集合 A x, y x y 1,ax y4, x ay2，那么〔〕A ．对任意实数 a ，2,1AB ．对任意实数a， 2,1AC．当且仅当 a 0 时， 2,1AD．当且仅当 a3 时，2,1A2第II 卷二、填空题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分．9．设 a n是等差数列，且 a1 3 ， a2a536，那么a n的通项公式为 _10．在极坐标系中，直线cos sin a a0与圆2cos 相切，11．设函数 f x cos xπ0，假设f x fπ对任意的实数64_________．12．假设x， y 满足 x1y 2 x ，那么 2y x 的最小值是 __________ ．13．能说明“假设 f x f0对任意的 x0,2 都成立，那么 f x在 0,2 上是增函数〞为假命题的一个函数是 __________．2222x y x y1 ．假设双曲线 N 的两条渐近线与椭圆M14．椭圆 M ：a2b2 1 a b 0 ，双曲线 N：m2n2的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，那么椭圆M 的离心率为__________；双曲线 N 的离心率为 __________．三、解答题：本大题共 6 小题，共80 分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．〔本小题 13 分〕在△ ABC 中， a7 ， b8 ， cosB 1 ．7〔 1〕求 A ；〔 2〕求AC 边上的高．16．〔本小题 14 分〕如图，在三棱柱ABC A1B1C1中， CC1平面 ABC ， D ，E ，F ，AC BB的中点，AB BC5，AC AA2．AC ， 1 1，11〔 1〕求证： AC平面 BEF ；（2〕求二面角 B CD C1的余弦值；（3〕证明：直线 FG 与平面 BCD 相交．17．〔本小题12 分〕电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0．40．2015．0．250．201．好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．假设所有电影是否获得好评相互独立．〔 1〕从电影公司收集的电影中随机选取 1 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；〔 2〕从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1 部，估计恰有 1 部获得好评的概率；18．〔本小题 13 分〕设函数f x ax24a 1 x 4a 3 e x．〔 1〕假设曲线 y f x 在点 1, f 1处的切线与 x 轴平行，求 a ；〔 2〕假设 f x 在 x 2 处取得极小值，求a的取值范围．〔 3〕假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“ k 1 〞表示第 k 类电影得到人们喜欢，“k0 〞表示第 k 类电影没有得到人们喜欢〔k1， 2， 3， 4， 5， 6〕．写出方差D 1， D 2， D 3， D 4， D 5， D 6的大小关系．19．〔本小题 14 分〕抛物线 C : y 22 px 经过点 P 1,2 ．过点 Q 0,1 的直线 l 与抛物线 C 有两个 不同的交点 A ， B ，且直线 PA 交 y 轴于 M ，直线 PB 交 y 轴于 N ．〔 1〕求直线 l 的斜率的取值范围；uuuruuur uuur uuur1为定值．〔 2〕设 O 为原点， QMQO ， QNQO ，求证：120．〔本小题 14分〕设 n 为正整数，集合 A=t 1，t 2，L ， t n ， t n 0,1 , k 1,2,对于集合 A 中的任意元素x 1 , x 2 ,L , x n 和y 1 , y 2 ,L , y n ，记 M, 1 x 1 y 1x 2y 2x 2y 2Lx n y nx n y n．x 1 y 12〔 1〕当 n 3 时，假设 1,1,0 ， 0,1,1 ，求 M , 和 M, 的值；〔 2〕当 n 4 时，设 B 是 A 的子集， 且满足： 对于 B 中的任意元素 , ，当 ,相同奇数；当,不同时， M,是偶数．求集合B 中元素个数的最大值；〔 3〕给定不小于 2 的 n ，设 B 是 A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元M, 0 ．写出一个集合 B ，使其元素个数最多，并说明理由．2021 年普通高等学校招生全国统一考试( 北京卷 )理 科 数学 答 案第 I卷一、选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的，每题5 分，共 40 分． 题号 1 2 3 4 5678 答案ADBDCCCD第 II 卷二、填空题：本大题共6 小题，每题 5 分，共 30 分．9． 【答案】 a n 6n 3 10． 【答案】 1211． 【答案】2312． 【答案】 313． 【答案】 y sin x 〔答案不唯一〕 14． 【答案】 3 1 ； 2三、解答题共 6 小题，共 80 分。
2021年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学试题(理科)解析版
2 ⎨⎨普通高等学校招生全国统一考试数学(理)(北京卷)本试卷共 5 页. 150 分.考试时长 120 分钟.考试生务必将答案答在答题卡上.在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题共 40 分)一、选择题共 8 小题。
每小题 5 分.共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项. 1．已知集合 A={x ∈R|3x+2＞0} B={x ∈R|（x+1）(x-3)＞0} 则 A ∩B=A （- ∞ ，-1）B （-1，- 2 3 2） C （- 3,3）D (3,+ ∞ )【解析】和往年一样，依然的集合(交集)运算，本次考查的是一次和二次不等式的解法。
因为A = {x ∈ R | 3x + 2 > 0} ⇒ x > - 2，利用二次不等式可得 B = {x | x < -1 或 x > 3}画出数轴易得：3A B = {x | x > 3} ．故选 D ．【答案】D⎧0 ≤ x ≤ 2, ．设不等式组 ⎩0 ≤ y ≤ 2距离大于 2 的概率是，表示平面区域为 D ，在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的 π（A ）4（B ）π- 22π（C ）6（D ）4 -π 4⎧0 ≤ x ≤ 2 【解析】题目中 ⎩0 ≤ y ≤ 2表示的区域如图正方形所示，而动点 D 可以 存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此2 ⨯ 2 - 1π⋅ 22P = 4 = 4 -π，故选 D 。
2 ⨯ 2 4【答案】D3. 设 a ，b ∈R 。
“a=0”是“复数 a+bi 是纯虚数”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】当 a = 0 时，如果b = 0 同时等于零，此时 a + bi = 0 是实数， 不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果a + bi 已经为纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到 a = 0 ，因此想必要条件，故选 B 。
2023北京卷高考数学试题真题及参考答案解析(图片版)
2023北京卷高考数学试题真题及参考答案解析(图片版)2023北京高考数学试题2023北京高考数学试题参考答案2023北京高考时间具体是哪天2023年北京高考全国统考于6月7日开始举行，北京高考具体时间及科目安排如下：语文：6月7日09:00-11:30数学：6月7日15:00-17:00英语(笔试):6月8日15:00-16:30其他外语(含听力考试):6月8日15:00-17:00物理:6月9日08:00-09:30思想政治:6月9日11:00-12:30化学:6月9日15:30-17:00历史:6月10日08:00-09:30生物:6月10日11:00-12:30地理:6月10日15:30-17:002023年北京高考总分及各科满分北京2023年高考采取的是3+3模式，总分是750分。
而第一个“3”是指语文、数学(文/理)、外语是3门必考科目，每门满分是150分，而第二个“3”是指从物理、历史、政治、地理、生物、化学六门任意选择3门，每门科目满分是100分。
语文、数学、外语以原始分成绩计入总分，物理、历史、政治、地理、生物、化学以等级换算分计入总分。
2023北京高考难度全国排名第几根据往年经验，2023北京高考不难，预计高考难度全国排名第31。
全北京就4万+的考生，但是一本、985、211高校数量雄踞全国前列，清华北大录取率更是夸张。
4万+北京考生中，清北就录取了500多个学生，而近80万广东考生中，清北只录取不到300人，这差距的确挺大。
未来2-3年，北京的高考优势、友好程度，也是显而易见，全国第一。
但是北京和上海面临同样的问题，即人口大量涌入。
2000年以来，出生人口大量增加，现在的高考考生还是4万多人，但10年后，或许就会超过10万人。
北京市高考数学试卷理科答案与解析
年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题分，共分） ．（分）（•北京）复数（﹣）（ ） ．． ﹣ ． ﹣ ． ﹣﹣考点：复数代数形式的乘除运算． 专题：数系的扩充与复数． 分析：利用复数的运算法则解答． 解答： 解：原式﹣﹣（﹣）； 故选：．点评：本题考查了复数的运算；关键是熟记运算法则．注意﹣． ．（分）（•北京）若，满足，则的最大值为（ ） ．．．．考点：简单线性规划． 专题：不等式的解法及应用．分析： 作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数对应的直线进行平移，即可求出取得最大值． 解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的三角形及其内部阴影部分，由解得（，），目标函数，将直线进行平移， 当经过点时，目标函数达到最大值 ∴最大值故选：．点评： 本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域与简单的线性规划等知识，属于基础题．．（分）（•北京）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）． （﹣，）． （﹣，） ． （﹣，﹣） ． （，﹣）考点：程序框图．专题：图表型；算法与程序框图． 分析： 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的，，的值，当时满足条件≥，退出循环，输出（﹣，）． 解答： 解：模拟执行程序框图，可得 ，，， ，，不满足条件≥，﹣，，﹣，， 不满足条件≥，﹣，，﹣，，满足条件≥，退出循环，输出（﹣，）， 故选：．点评： 本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的，，的值是解题的关键，属于基础题．．（分）（•北京）设α，β是两个不同的平面，是直线且⊂α，“∥β“是“α∥β”的（ ）． 充分而不必要条件 ． 必要而不充分条件． 充分不要条件． 既不充分也不必要条件考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析： ∥β并得不到α∥β，根据面面平行的判定定理，只有α内的两相交直线都平行于β，而α∥β，并且⊂α，显然能得到∥β，这样即可找出正确选项． 解答： 解：⊂α，∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，只要与α，β的交线平行即可得到∥β；α∥β，⊂α，∴与β没有公共点，∴∥β，即α∥β能得到∥β； ∴“∥β”是“α∥β”的必要不充分条件． 故选． 点评： 考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念．．（分）（•北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）．．．．考点：由三视图求面积、体积． 专题：空间位置关系与距离． 分析： 根据三视图可判断直观图为：⊥面，，为中点，，，，：⊥面，，判断几何体的各个面的特点，计算边长，求解面积． 解答： 解：根据三视图可判断直观图为： ⊥面，，为中点，，，，∴可得⊥，⊥，运用直线平面的垂直得出：⊥面，，∴△×，△△×．△×．故该三棱锥的表面积是，故选：．点评： 本题考查了空间几何体的三视图的运用，空间想象能力，计算能力，关键是恢复直观图，得出几何体的性质．．（分）（•北京）设{}是等差数列，下列结论中正确的是（ ）． 若＞，则＞ ． 若＜，则若＜，． 若若＜＜，则． 若＜，则（﹣）（﹣）＞考点： 等差数列的性质．专题： 计算题；等差数列与等比数列．分对选项分别进行判断，即可得出结论．析： 解答： 解：若＞，则＞，＞，＞时，结论成立，即不正确；若＜，则＜，＜，＜时，结论成立，即不正确；{}是等差数列，＜＜，＞，∴＞，即正确；若＜，则（﹣）（﹣）﹣＜，即不正确． 故选：． 点评：本题考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础．．（分）（•北京）如图，函数（）的图象为折线，则不等式（）≥（）的解集是（ ）． {﹣＜≤}． {﹣≤≤} ． {﹣＜≤} ． {﹣＜≤}考点：指、对数不等式的解法． 专题：不等式的解法及应用． 分析： 在已知坐标系内作出（）的图象，利用数形结合得到不等式的解集．解答：解：由已知（）的图象，在此坐标系内作出（）的图象，如图满足不等式（）≥（）的范围是﹣＜≤；所以不等式（）≥（）的解集是{﹣＜≤}；故选．本题考查了数形结合求不等式的解集；用到了图象的平移．点评：．（分）（•北京）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）．消耗升汽油，乙车最多可行驶千米．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多．甲车以千米小时的速度行驶小时，消耗升汽油．某城市机动车最高限速千米小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油考函数的图象与图象变化．点：专创新题型；函数的性质及应用．题：分析：根据汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗升汽油行驶的里程，以及图象，分别判断各个选项即可．解答：解：对于选项，消耗升汽油，乙车行驶的距离比小的很多，故错误；对于选项，以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最小，故错误，对于选项，甲车以千米小时的速度行驶小时，里程为千米，燃油效率为，故消耗升汽油，故错误，对于选项，因为在速度低于千米小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，故正确．点评：本题考查了函数图象的识别，关键掌握题意，属于基础题．二、填空题（每小题分，共分）．（分）（•北京）在（）的展开式中，的系数为（用数字作答）考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：写出二项式定理展开式的通项公式，利用的指数为，求出，然后求解所求数值．解解：（）的展开式的通项公式为：﹣，答：所求的系数为：．故答案为：．点评：本题考查二项式定理的应用，二项式系数的求法，考查计算能力．．（分）（•北京）已知双曲线﹣（＞）的一条渐近线为，则．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：运用双曲线的渐近线方程为±，结合条件可得，即可得到的值．解答：解：双曲线﹣的渐近线方程为±，由题意可得，解得．故答案为：．点评：本题考查双曲线的方程与性质，主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题．．（分）（•北京）在极坐标系中，点（，）到直线ρ（θθ）的距离为．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系与参数方程．分析：化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式距离公式即可得出．解答：解：点（，）化为．直线ρ（θθ）化为．∴点到直线的距离．故答案为：．点评：本题考查了极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．．（分）（•北京）在△中，，，，则．考点：余弦定理；二倍角的正弦；正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：利用余弦定理求出，，即可得出结论．解答：解：∵△中，，，，∴，∴，，∴．故答案为：．点评：本题考查余弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．．（分）（•北京）在△中，点，满足，，若，则，﹣．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：首先利用向量的三角形法则，将所求用向量表示，然后利用平面向量基本定理得到，值．解答：解：由已知得到；由平面向量基本定理，得到，；故答案为：．点评：本题考查了平面向量基本定理的运用，一个向量用一组基底表示，存在唯一的实数对（，）使，向量等式成立．．（分）（•北京）设函数（），①若，则（）的最小值为﹣；②若（）恰有个零点，则实数的取值范围是≤＜或≥．考点：函数的零点；分段函数的应用．专题：创新题型；函数的性质及应用．分析：①分别求出分段的函数的最小值，即可得到函数的最小值；②分别设（）﹣，（）（﹣）（﹣），分两种情况讨论，即可求出的范围．解答：解：①当时，（），当＜时，（）﹣为增函数，（）＞﹣，当＞时，（）（﹣）（﹣）（﹣）（﹣）﹣，当＜＜时，函数单调递减，当＞时，函数单调递增，故当时，（）（）﹣，②设（）﹣，（）（﹣）（﹣）若在＜时，（）与轴有一个交点，所以＞，并且当时，（）﹣＞，所以＜＜，而函数（）（﹣）（﹣）有一个交点，所以≥，且＜，所以≤＜，若函数（）﹣在＜时，与轴没有交点，则函数（）（﹣）（﹣）有两个交点，当≤时，（）与轴无交点，（）无交点，所以不满足题意（舍去），当（）﹣≤时，即≥时，（）的两个交点为，，都是满足题意的，综上所述的取值范围是≤＜，或≥．点评：本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力与运算能力以及分类能力，属于中档题．三、解答题（共小题，共分）．（分）（•北京）已知函数（）﹣．（Ⅰ）求（）的最小正周期；（Ⅱ）求（）在区间[﹣π，]上的最小值．考点：两角与与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．专题：计算题；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）运用二倍角公式与两角与的正弦公式，化简（），再由正弦喊话说的周期，即可得到所求；（Ⅱ）由的范围，可得的范围，再由正弦函数的图象与性质，即可求得最小值．解答：解：（Ⅰ）（）﹣﹣（﹣）﹣（）﹣，则（）的最小正周期为π；（Ⅱ）由﹣π≤≤，可得﹣≤≤，即有﹣，则当﹣时，（）取得最小值﹣，则有（）在区间[﹣π，]上的最小值为﹣﹣．点评：本题考查二倍角公式与两角与的正弦公式，同时考查正弦函数的周期与值域，考查运算能力，属于中档题．．（分）（•北京），两组各有位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：组：，，，，，，组；，，，，，，假设所有病人的康复时间相互独立，从，两组随机各选人，组选出的人记为甲，组选出的人记为乙．（Ⅰ）求甲的康复时间不少于天的概率；（Ⅱ）如果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；（Ⅲ）当为何值时，，两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）考点：极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：设事件为“甲是组的第个人”，事件为“乙是组的第个人”，由题意可知（）（），，，••，（Ⅰ）事件等价于“甲是组的第或第或第个人”，由概率公式可得；（Ⅱ）设事件“甲的康复时间比乙的康复时间长”∪∪∪∪∪∪∪∪∪，易得（）（），易得答案；（Ⅲ）由方差的公式可得．解答：解：设事件为“甲是组的第个人”，事件为“乙是组的第个人”，由题意可知（）（），，，••，（Ⅰ）事件“甲的康复时间不少于天”等价于“甲是组的第或第或第个人”∴甲的康复时间不少于天的概率（∪∪）（）（）（）；（Ⅱ）设事件为“甲的康复时间比乙的康复时间长”，则∪∪∪∪∪∪∪∪∪，∴（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（Ⅲ）当为或时，，两组病人康复时间的方差相等．点评：本题考查古典概型及其概率公式，涉及概率的加法公式与方差，属基础题．．（分）（•北京）如图，在四棱锥﹣中，△为等边三角形，平面⊥平面，∥，，，∠∠°，为的中点．（Ⅰ）求证：⊥．（Ⅱ）求二面角﹣﹣的余弦值；（Ⅲ）若⊥平面，求的值．考二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂点：直的性质．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）根据线面垂直的性质定理即可证明⊥．（Ⅱ）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角﹣﹣的余弦值；（Ⅲ）利用线面垂直的性质，结合向量法即可求的值解答：证明：（Ⅰ）∵△为等边三角形，为的中点，∴⊥，∵平面⊥平面，⊂平面，∴⊥平面∴⊥．（Ⅱ）取的中点，连接，∵是等腰梯形，∴⊥，由（Ⅰ）知⊥平面，∵⊂平面，∴⊥，建立如图的空间坐标系，则，，，﹣，°，则（，，），（，，），（，，），（﹣，，），（﹣，﹣，），设平面的法向量为（，，），则，即，令，则，﹣，即（，﹣，），平面的法向量为，则＜＞即二面角﹣﹣的余弦值为；（Ⅲ）若⊥平面，则⊥，即，∵（﹣，﹣，），（﹣，，），∴﹣（﹣）﹣（﹣），解得．点评：本题主要考查空间直线与平面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐标系利用向量法是解决空间角的常用方法．．（分）（•北京）已知函数（），（Ⅰ）求曲线（）在点（，（））处的切线方程；（Ⅱ）求证，当∈（，）时，（）；（Ⅲ）设实数使得（）对∈（，）恒成立，求的最大值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（）利用函数的导数求在曲线上某点处的切线方程．（）构造新函数利用函数的单调性证明命题成立．（）对进行讨论，利用新函数的单调性求参数的取值范围．解答：解答：（）因为（）（）﹣（﹣）所以又因为（），所以曲线（）在点（，（））处的切线方程为．（）证明：令（）（）﹣（），则'（）'（）﹣（），因为'（）＞（＜＜），所以（）在区间（，）上单调递增．所以（）＞（），∈（，），即当∈（，）时，（）＞（）．（）由（）知，当≤时，（）＞对∈（，）恒成立．当＞时，令（）（）﹣，则'（）'（）﹣（），所以当时，'（）＜，因此（）在区间（，）上单调递减．当时，（）＜（），即（）＜．所以当＞时，（）＞并非对∈（，）恒成立．综上所知，的最大值为．点评：本题主要考查切线方程的求法及新函数的单调性的求解证明．在高考中属常考题型，难度适中．．（分）（•北京）已知椭圆：（＞＞）的离心率为，点（，）与点（，）（≠）都在椭圆上，直线交轴于点．（Ⅰ）求椭圆的方程，并求点的坐标（用，表示）；（Ⅱ）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点，问：轴上是否存在点，使得∠∠？若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：创新题型；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（）根据椭圆的几何性质得出求解即可．（）求解得出（，），（，），运用图形得出∠∠，，求解即可得出即•，，根据，的关系整体求解．解答：解：（Ⅰ）由题意得出解得：，，∴，∵（，）与点（，），﹣＜＜∴的方程为：﹣，时，∴（，）（）∵点与点关于轴对称，点（，）（≠）∴点（，﹣）（≠）∵直线交轴于点，∴（，），∵存在点，使得∠∠，（，），∴∠∠，∴，即•，，∴，故轴上存在点，使得∠∠，（，）或（，﹣）点评：本题考查了直线圆锥曲线的方程，位置关系，数形结合的思想的运用，运用代数的方法求解几何问题，难度较大，属于难题．．（分）（•北京）已知数列{}满足：∈*，≤，且（，，…），记集合{∈*}．（Ⅰ）若，写出集合的所有元素；（Ⅱ）如集合存在一个元素是的倍数，证明：的所有元素都是的倍数；（Ⅲ）求集合的元素个数的最大值．考点：数列递推式．专题：创新题型；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（Ⅰ），利用可求得集合的所有元素为，，；（Ⅱ）因为集合存在一个元素是的倍数，所以不妨设是的倍数，由（，，…），可归纳证明对任意≥，是的倍数；（Ⅲ）分是的倍数与不是的倍数讨论，即可求得集合的元素个数的最大值．解答：解：（Ⅰ）若，由于（，，…），{∈*}．故集合的所有元素为，，；（Ⅱ）因为集合存在一个元素是的倍数，所以不妨设是的倍数，由（，，…），可归纳证明对任意≥，是的倍数．如果，的所有元素都是的倍数；如果＞，因为﹣，或﹣﹣，所以﹣是的倍数；于是﹣是的倍数；类似可得，﹣，…，都是的倍数；从而对任意≥，是的倍数；综上，若集合存在一个元素是的倍数，则集合的所有元素都是的倍数（Ⅲ）对≤，（，，…），可归纳证明对任意≥，＜（，，…）因为是正整数，，所以是的倍数．从而当≥时，是的倍数．如果是的倍数，由（Ⅱ）知，对所有正整数，是的倍数．因此当≥时，∈{，，}，这时的元素个数不超过．如果不是的倍数，由（Ⅱ）知，对所有正整数，不是的倍数．因此当≥时，∈{，，，，，}，这时的元素个数不超过．当时，{，，，，，，，}，有个元素．综上可知，集合的元素个数的最大值为．点评：本题考查数列递推关系的应用，突出考查分类讨论思想与等价转化思想及推理、运算能力，属于难题．。
全国高考北京市数学(理)试卷及答案【精校版】
北京高考数学（理科）试题一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知集合2{|20},{0,1,2}A x x x B =-==，则A B =I ( ).{0}A .{0,1}B .{0,2}C .{0,1,2}D2.下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函 数的是（ ）.1A y x =+ 2.(1)B y x =- .2x C y -= 0.5.log (1)D y x =+3.曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心（ ）.A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上 .C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上4.当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）.7A .42B .210C .840D5.设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（ ）.A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件.C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件6.若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的 最小值为-4，则k 的值为（ ）.2A .2B - 1.2C 1.2D -7.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，(D ，若 1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标 平面上的正投影图形的面积，则（ ）（A ）123S S S == （B ）12S S =且 31S S ≠ （C ）13S S =且 32S S ≠ （D ）23S S =且 13S S ≠8.有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不 低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学， 他们之间没有一个人比另一个成绩好，学科 网且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样11.设双曲线C 经过点()2,2，且与214x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________； 渐近线方程为________.12.若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n 项和最大.13. 把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_______种. 14. 设函数)sin()(ϕω+=x x f ，0,0>>ωA ，若)(x f 在 区间]2,6[ππ上具有单调性，且 ⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛6322πππf f f ，则)(x f 的最小正周期为________. 三．解答题（共6题，满分80分）15. （本小题13分）如图，在ABC ∆中，8,3==∠AB B π，点D 在BC 边上，且71cos ,2=∠=ADC CD （1）求BAD ∠sin （2）求AC BD ,的长16. （本小题13分）.李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过6.0的概率. （2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，学科 网求李明的投篮命中率一场超过6.0，一场不超过6.0的概率.（3）记x 是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明 在这比赛中的命中次数，比较)(X E 与x 的大小 （只需写出结论）17.（本小题14分）如图，正方形AMDE 的边长为2，C B ,分别为MD AM ,的中点，在五棱锥ABCDE P -中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PC PD ,分别交于点H G ,.（1）求证：FG AB //；（2）若⊥PA 底面ABCDE ，且PE AF ⊥，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并 求线段PH 的长.18.（本小题13分） 已知函数()cos f x x =（1）求证：()0f x ≤（2）若sin x a b x<<在(0,)2π上恒成立，求a 的 最大值与b 的最小值.19.（本小题14分） 已知椭圆22:24C xy +=，（1）求椭圆C 的离心率.（2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，求直线AB与圆222xy +=的位置关系，并证明 你的结论.20.（本小题13分）对于数对序列1122(,),(,),,(,)n n P a b a b a b L ，记111()T P a b =+，112()max{(),}(2)k k k k T P b T P a a a k n -=++++≤≤L ，其中112max{(),}k k T P a a a -+++L 表示1()k T P -和12k a a a +++L 两个数中最大的数，（1）对于数对序列(2,5),(4,1)P P ，求12(),()T P T P 的值.（2）记m 为,,,a b c d 四个数中最小值，学科 网对于由两个数对(,),(,)a b c d 组成的数对序列(,),(,)P a b c d 和'(,),(,)P a b c d ，试分别对m a =和m d =的两种情况比较2()T P 和2(')T P 的大小.（3）在由5个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组 成的所有数对序列中，写出一个数对序列P 使5()T P 最小，并写出5()T P 的值.（只需写出结论）.2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）A （3）B （4）C （5）D （6）D （7）D （8）B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）-1 （10）5（11）221312x y -= 2y x =± （12）8 （13）36 （14）π三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分） 解：（I ）在ADC ∆中，因为17COS ADC ∠=，所以43sin 7ADC ∠=。
2022年高考数学真题-北京卷答案
参考答案一、选择题1【解析】2)(1,3)U2.【解析】由条件可知34435iz i z i−==−−=所以 3.【解析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，圆心坐标（a ,0）,所以由2a +0-1=0解得12a =4.【解析】由1(),12x f x =+可得12()1221x xx f x −−==++，所以得21()()121x x f x f x +−+==+ 5.【解析】22()cos sin cos 2,f x x x x =−=选项A 中：2(,),3x ππ∈−−此时()f x 单调递增，选项B 中：2(,),26x ππ∈−此时()f x 先递增后递减，选项C 中：22(0,),3x π∈此时()f x 单调递减，选项D 中：72(,),26x ππ∈此时()f x 先递减后递增；所以选C6.【解析】①充分性证明：若{}n a 为递增数列，则有对11,,0,n n n n n N a a d a a ++∀∈>=−>公差 取正整数102a N d ⎡⎤=−+⎢⎥⎣⎦（其中1a d ⎡⎤−⎢⎥⎣⎦为不大于1ad −的最大正整数），则当0n N >时，只要0,n a >都有111(1)(1)0;n a a a n d a d d ⎡⎤=+−>+−+>⎢⎥⎣⎦②必要性证明：若存在正整数0N ，当0n N >时，0,n a > 因为1(1)n a a n d =+− 所以1,d a d n−>对0,n N n N ∀>∈都成立 因为1lim0,0n d a d n→+∞−=≠且所以d >0所以对,n N ∀∈都有110,,n n n n a a d a a ++−=>>即：{}n a 为递增数列； 所以“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0,N 当0,n N >时，0n a >“的充要条件” 所以选C 7.【解析】A 选项：lg lg10263,220,P T =>=由图易知处于固态；B 选项：lg lg1282,270,P T =>=由图易知处于液态；C 选项：lg lg 9987 3.999,300,P T =≈=由图易知处于固态；D 选项：lg lg 7292,360,P T =>=由图易知处于超临界状态； 所以选D 8.【解析】当x =1时，432101a a a a a =++++①；当x =-1时，4321081a a a a a =−+−+②；①+②得原式=41 9.【解析】过点P 作底面射影点O ，则由题意，6,CO PC ==所以PO =当CO 上存在一点Q 使得PQ =5，此时QO =1，则动点Q 在以QO 为半径，O 为圆心得圆里，所以面积为Π 10.【解析】 方法一：建立如图所示坐标系，由题易知，设C （0，0），A （3，0），B （0，4）， 因为PC =1，所以设[](cos ,sin ),0,2,P θθθπ∈22(3cos ,sin )(cos ,4sin )3cos ,4sin cos sin PA PB θθθθθθθθ⋅=−−⋅−−=−−++[]3415sin()(sin ,cos )4,6,55θϕϕϕ=−+==∈−所以选D方法二：注意：,,,02PC CB PC CA CA CB π<>=−<>⋅=且所以()()PA PB PC CA PC CB ⋅=+⋅+2PC PC CA PC CB CA CB =+⋅+⋅+⋅二、填空题 11.【答案】(,0)(0,1]−∞【解析】依题意0,10,xx ≠⎧⎨−≥⎩解得(,0)(0,1]x ∈−∞12.【答案】3−【解析】双曲线221x y m+=的渐近线方程为y =故m =-313.【答案】1,【解析】()sin0,133322f A A A πππ==−==解得 ()sin 2sin(),()2sin()2sin()3121234f x x x x f πππππ==−=−=−=故14.0(),1答案不唯一【解析】由题意知，函数最值于单调性相关，故可考虑以0，2为分界点研究函数f (x )的性质，当x <0时， f (x )=-ax +1,x <a ,该段的值域为2(,1),a −∞−+故整个函数没有最小值；当a =0时，f (x )=-ax +1,x <a 该段值域为{1}，而2()(2),f x x x a =−≥的值域为[0,),+∞故此时f (x )的值域为[0,),+∞即存在最小值为0，故第一个空可填写0；当0<a ≤2时，f (x )=-ax +1,x <a ,该段的值域为2(1,),a −++∞而2()(2),f x x x a =−≥的值域为[0,),+∞若存在最小值，则需满足210,a −+≥于是可得0<a ≤1；当a >2时f (x )=-ax +1,x <a ,该段得值域为2(1,),a ++∞而2()(2),f x x x a =−≥的值域为2[(2),),a −+∞若存在最小值，则需满足221(2),a a −+≥−此不等式无解.综上，a 的取值范围是[0,1],故a 的最大值为1. 15.【答案】①③④【解析】n =1可得219,a =又各项均为正，可得13,a =令n=2可得22(3)9,a a +=可解得21)3,2a −=<故①正确；当n ≥2时，由9n n S a =得119,n n S a −−=于是可得199n n n a a a −=−，即219,9n n n a a a −−=若{}n a 为等比数列，则n ≥2时，1,n n a a +=即从第二项起为常数，可检验n =3则不成立，故②错误；9(1,2).n n a S n ⋅==⋅⋅⋅可得11,n n n n a S a S ++⋅=⋅于是111,n n n n a Sa S ++=<所以1,n n a a +<于是③正确，对于④，若所有项均大于等于1100，取n >90000,则1,900,100n n a S ≥>于是9,n n a S >与已知矛盾，所以④正确. 三、解答题16.（I）由已知2sin cos C C C =由于C ∠在ABC ∆中，故0,sin 0,C C π<∠<≠故cos 2C =6C π∠=（II ）由（I）知11sin ,sin 22ABC C S ab C ∆=∴==代入1sin 62C b ⋅=得a =由余弦定理：C ==6ABC C ∆∴=+17.（1）设点P 为AB 中点，由于P 为AB 中点，N 为AC 中点 所以PN 为ABC ∆中位线 PN ∥BC又M 为AB 中点，PM 是正方形11AA B B 的中位线 所以PM ∥1BB1111BB PMBC PN BCC B MPN BB BC B PM PN P⎧⎪⎪⇒⎨=⎪⎪=⎩∥∥面∥面 又MN MPN ⊆面11MN BCC B ∴∥面（2）选择条件①，∵面1111BCC B ABB A ⊥面 面1111,BB C CABC BC A B BA ABC AB ==面面面,,BC AB NP BC NP AB AB NP AB AB AB N BMN M NP PM N MNP MN MNP A PM ∴⊥=⊥∴⊥⊥⊥⎧⎪∴⇒⊥⎨⎪⎩⊥∴⊂①又∥由，面：又面 故1,,AB BC BB 两两垂直以B 为原点，BC 为x 轴正方向，BA 为y 轴正方向，1BB 为z 轴正方向建立坐标系:(0,0,0),(0,1,2),:(1,1,0),:(0,2,0),:(0,1,2),:(1,1,0),:(0,2,0)B M N A BM BN AB −则BMN 的法向量:(2,2,1)n −AB 与面BMN 所成角的正弦等于AB 与n 所夹余弦的绝对值，即4263AB n AB n⋅−== 答：所求正弦为23. 18.（1）甲共投10次，优秀4次 由频率估计概率42105P ==甲优秀 （2）甲优秀概率为25，乙优秀概率为12，丙优秀概率为12x ，X 可取的值为0，1，2，33113(0)522202113113118(1)522522822203113113117(2)522522522202112(3)5222033717012320520105P x P x P x P x EX ==⨯⨯=⨯==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯===⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯===⨯⨯=∴=⨯+⨯+⨯+⨯=故（3）丙：丙投到过3人中的最大值9.85，比甲、乙的最大值都要大，若比赛中发挥出好状态，丙实力最强。
北京市高考数学试卷理科答案与解析
年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题分，共分）．（分）（•北京）复数（﹣）（）．．﹣．﹣．﹣﹣考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则解答．解答：解：原式﹣﹣（﹣）；故选：．点评：本题考查了复数的运算；关键是熟记运算法则．注意﹣．．（分）（•北京）若，满足，则的最大值为（）．．．．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数对应的直线进行平移，即可求出取得最大值．解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的三角形及其内部阴影部分，由解得（，），目标函数，将直线进行平移，当经过点时，目标函数达到最大值∴最大值故选：．点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．．（分）（•北京）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）．（﹣，）．（﹣，）．（﹣，﹣）．（，﹣）考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的，，的值，当时满足条件≥，退出循环，输出（﹣，）．解答：解：模拟执行程序框图，可得，，，，，不满足条件≥，﹣，，﹣，，不满足条件≥，﹣，，﹣，，满足条件≥，退出循环，输出（﹣，），故选：．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的，，的值是解题的关键，属于基础题．．（分）（•北京）设α，β是两个不同的平面，是直线且⊂α，“∥β“是“α∥β”的（）．充分而不必要条件．必要而不充分条件．充分不要条件．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：∥β并得不到α∥β，根据面面平行的判定定理，只有α内的两相交直线都平行于β，而α∥β，并且⊂α，显然能得到∥β，这样即可找出正确选项．解答：解：⊂α，∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，只要和α，β的交线平行即可得到∥β；α∥β，⊂α，∴和β没有公共点，∴∥β，即α∥β能得到∥β；∴“∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．故选．点评：考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念．．（分）（•北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）．．．．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据三视图可判断直观图为：⊥面，，为中点，，，，：⊥面，，判断几何体的各个面的特点，计算边长，求解面积．解答：解：根据三视图可判断直观图为：⊥面，，为中点，，，，∴可得⊥，⊥，运用直线平面的垂直得出：⊥面，，∴△×，△△×．△×．故该三棱锥的表面积是，故选：．点评：本题考查了空间几何体的三视图的运用，空间想象能力，计算能力，关键是恢复直观图，得出几何体的性质．．（分）（•北京）设{}是等差数列，下列结论中正确的是（）．若＞，则＞．若＜，则若＜，．若若＜＜，则．若＜，则（﹣）（﹣）＞考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：对选项分别进行判断，即可得出结论．解答：解：若＞，则＞，＞，＞时，结论成立，即不正确；若＜，则＜，＜，＜时，结论成立，即不正确；{}是等差数列，＜＜，＞，∴＞，即正确；若＜，则（﹣）（﹣）﹣＜，即不正确．故选：．点评：本题考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础．．（分）（•北京）如图，函数（）的图象为折线，则不等式（）≥（）的解集是（）．{﹣＜≤} ．{﹣≤≤} ．{﹣＜≤} ．{﹣＜≤}考点：指、对数不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：在已知坐标系内作出（）的图象，利用数形结合得到不等式的解集．解答：解：由已知（）的图象，在此坐标系内作出（）的图象，如图满足不等式（）≥（）的范围是﹣＜≤；所以不等式（）≥（）的解集是{﹣＜≤}；故选．点评：本题考查了数形结合求不等式的解集；用到了图象的平移．．（分）（•北京）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）．消耗升汽油，乙车最多可行驶千米．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多．甲车以千米小时的速度行驶小时，消耗升汽油．某城市机动车最高限速千米小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油考点：函数的图象与图象变化．专题：创新题型；函数的性质及应用．分析：根据汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗升汽油行驶的里程，以及图象，分别判断各个选项即可．解答：解：对于选项，消耗升汽油，乙车行驶的距离比小的很多，故错误；对于选项，以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最小，故错误，对于选项，甲车以千米小时的速度行驶小时，里程为千米，燃油效率为，故消耗升汽油，故错误，对于选项，因为在速度低于千米小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，故正确．点评：本题考查了函数图象的识别，关键掌握题意，属于基础题．二、填空题（每小题分，共分）．（分）（•北京）在（）的展开式中，的系数为（用数字作答）考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：写出二项式定理展开式的通项公式，利用的指数为，求出，然后求解所求数值．解答：解：（）的展开式的通项公式为：﹣，所求的系数为：．故答案为：．点评：本题考查二项式定理的应用，二项式系数的求法，考查计算能力．．（分）（•北京）已知双曲线﹣（＞）的一条渐近线为，则．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：运用双曲线的渐近线方程为±，结合条件可得，即可得到的值．解答：解：双曲线﹣的渐近线方程为±，由题意可得，解得．故答案为：．点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题．．（分）（•北京）在极坐标系中，点（，）到直线ρ（θθ）的距离为．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式距离公式即可得出．解答：解：点（，）化为．直线ρ（θθ）化为．∴点到直线的距离．故答案为：．点评：本题考查了极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．．（分）（•北京）在△中，，，，则．考点：余弦定理；二倍角的正弦；正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：利用余弦定理求出，，即可得出结论．解答：解：∵△中，，，，∴，∴，，∴．故答案为：．点评：本题考查余弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．．（分）（•北京）在△中，点，满足，，若，则，﹣．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：首先利用向量的三角形法则，将所求用向量表示，然后利用平面向量基本定理得到，值．解答：解：由已知得到；由平面向量基本定理，得到，；故答案为：．点评：本题考查了平面向量基本定理的运用，一个向量用一组基底表示，存在唯一的实数对（，）使，向量等式成立．．（分）（•北京）设函数（），①若，则（）的最小值为﹣；②若（）恰有个零点，则实数的取值范围是≤＜或≥．考点：函数的零点；分段函数的应用．专题：创新题型；函数的性质及应用．分析：①分别求出分段的函数的最小值，即可得到函数的最小值；②分别设（）﹣，（）（﹣）（﹣），分两种情况讨论，即可求出的范围．解答：解：①当时，（），当＜时，（）﹣为增函数，（）＞﹣，当＞时，（）（﹣）（﹣）（﹣）（﹣）﹣，当＜＜时，函数单调递减，当＞时，函数单调递增，故当时，（）（）﹣，②设（）﹣，（）（﹣）（﹣）若在＜时，（）与轴有一个交点，所以＞，并且当时，（）﹣＞，所以＜＜，而函数（）（﹣）（﹣）有一个交点，所以≥，且＜，所以≤＜，若函数（）﹣在＜时，与轴没有交点，则函数（）（﹣）（﹣）有两个交点，当≤时，（）与轴无交点，（）无交点，所以不满足题意（舍去），当（）﹣≤时，即≥时，（）的两个交点为，，都是满足题意的，综上所述的取值范围是≤＜，或≥．点评：本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力，属于中档题．三、解答题（共小题，共分）．（分）（•北京）已知函数（）﹣．（Ⅰ）求（）的最小正周期；（Ⅱ）求（）在区间[﹣π，]上的最小值．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．专题：计算题；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）运用二倍角公式和两角和的正弦公式，化简（），再由正弦喊话说的周期，即可得到所求；（Ⅱ）由的范围，可得的范围，再由正弦函数的图象和性质，即可求得最小值．解答：解：（Ⅰ）（）﹣﹣（﹣）﹣（）﹣，则（）的最小正周期为π；（Ⅱ）由﹣π≤≤，可得﹣≤≤，即有﹣，则当﹣时，（）取得最小值﹣，则有（）在区间[﹣π，]上的最小值为﹣﹣．点评：本题考查二倍角公式和两角和的正弦公式，同时考查正弦函数的周期和值域，考查运算能力，属于中档题．．（分）（•北京），两组各有位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：组：，，，，，，组；，，，，，，假设所有病人的康复时间相互独立，从，两组随机各选人，组选出的人记为甲，组选出的人记为乙．（Ⅰ）求甲的康复时间不少于天的概率；（Ⅱ）如果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；（Ⅲ）当为何值时，，两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）考点：极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：设事件为“甲是组的第个人”，事件为“乙是组的第个人”，由题意可知（）（），，，••，（Ⅰ）事件等价于“甲是组的第或第或第个人”，由概率公式可得；（Ⅱ）设事件“甲的康复时间比乙的康复时间长”∪∪∪∪∪∪∪∪∪，易得（）（），易得答案；（Ⅲ）由方差的公式可得．解答：解：设事件为“甲是组的第个人”，事件为“乙是组的第个人”，由题意可知（）（），，，••，（Ⅰ）事件“甲的康复时间不少于天”等价于“甲是组的第或第或第个人”∴甲的康复时间不少于天的概率（∪∪）（）（）（）；（Ⅱ）设事件为“甲的康复时间比乙的康复时间长”，则∪∪∪∪∪∪∪∪∪，∴（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（Ⅲ）当为或时，，两组病人康复时间的方差相等．点评：本题考查古典概型及其概率公式，涉及概率的加法公式和方差，属基础题．．（分）（•北京）如图，在四棱锥﹣中，△为等边三角形，平面⊥平面，∥，，，∠∠°，为的中点．（Ⅰ）求证：⊥．（Ⅱ）求二面角﹣﹣的余弦值；（Ⅲ）若⊥平面，求的值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）根据线面垂直的性质定理即可证明⊥．（Ⅱ）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角﹣﹣的余弦值；（Ⅲ）利用线面垂直的性质，结合向量法即可求的值解答：证明：（Ⅰ）∵△为等边三角形，为的中点，∴⊥，∵平面⊥平面，⊂平面，∴⊥平面∴⊥．（Ⅱ）取的中点，连接，∵是等腰梯形，∴⊥，由（Ⅰ）知⊥平面，∵⊂平面，∴⊥，建立如图的空间坐标系，则，，，﹣，°，则（，，），（，，），（，，），（﹣，，），（﹣，﹣，），设平面的法向量为（，，），则，即，令，则，﹣，即（，﹣，），平面的法向量为，则＜＞即二面角﹣﹣的余弦值为；（Ⅲ）若⊥平面，则⊥，即，∵（﹣，﹣，），（﹣，，），∴﹣（﹣）﹣（﹣），解得．点评：本题主要考查空间直线和平面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐标系利用向量法是解决空间角的常用方法．．（分）（•北京）已知函数（），（Ⅰ）求曲线（）在点（，（））处的切线方程；（Ⅱ）求证，当∈（，）时，（）；（Ⅲ）设实数使得（）对∈（，）恒成立，求的最大值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（）利用函数的导数求在曲线上某点处的切线方程．（）构造新函数利用函数的单调性证明命题成立．（）对进行讨论，利用新函数的单调性求参数的取值范围．解答：解答：（）因为（）（）﹣（﹣）所以又因为（），所以曲线（）在点（，（））处的切线方程为．（）证明：令（）（）﹣（），则'（）'（）﹣（），因为'（）＞（＜＜），所以（）在区间（，）上单调递增．所以（）＞（），∈（，），即当∈（，）时，（）＞（）．（）由（）知，当≤时，（）＞对∈（，）恒成立．当＞时，令（）（）﹣，则'（）'（）﹣（），所以当时，'（）＜，因此（）在区间（，）上单调递减．当时，（）＜（），即（）＜．所以当＞时，（）＞并非对∈（，）恒成立．综上所知，的最大值为．点评：本题主要考查切线方程的求法及新函数的单调性的求解证明．在高考中属常考题型，难度适中．．（分）（•北京）已知椭圆：（＞＞）的离心率为，点（，）和点（，）（≠）都在椭圆上，直线交轴于点．（Ⅰ）求椭圆的方程，并求点的坐标（用，表示）；（Ⅱ）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点，问：轴上是否存在点，使得∠∠？若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：创新题型；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（）根据椭圆的几何性质得出求解即可．（）求解得出（，），（，），运用图形得出∠∠，，求解即可得出即•，，根据，的关系整体求解．解答：解：（Ⅰ）由题意得出解得：，，∴，∵（，）和点（，），﹣＜＜∴的方程为：﹣，时，∴（，）（）∵点与点关于轴对称，点（，）（≠）∴点（，﹣）（≠）∵直线交轴于点，∴（，），∵存在点，使得∠∠，（，），∴∠∠，∴，即•，，∴，故轴上存在点，使得∠∠，（，）或（，﹣）点评：本题考查了直线圆锥曲线的方程，位置关系，数形结合的思想的运用，运用代数的方法求解几何问题，难度较大，属于难题．．（分）（•北京）已知数列{}满足：∈*，≤，且（，，…），记集合{∈*}．（Ⅰ）若，写出集合的所有元素；（Ⅱ）如集合存在一个元素是的倍数，证明：的所有元素都是的倍数；（Ⅲ）求集合的元素个数的最大值．考点：数列递推式．专题：创新题型；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（Ⅰ），利用可求得集合的所有元素为，，；（Ⅱ）因为集合存在一个元素是的倍数，所以不妨设是的倍数，由（，，…），可归纳证明对任意≥，是的倍数；（Ⅲ）分是的倍数与不是的倍数讨论，即可求得集合的元素个数的最大值．解答：解：（Ⅰ）若，由于（，，…），{∈*}．故集合的所有元素为，，；（Ⅱ）因为集合存在一个元素是的倍数，所以不妨设是的倍数，由（，，…），可归纳证明对任意≥，是的倍数．如果，的所有元素都是的倍数；如果＞，因为﹣，或﹣﹣，所以﹣是的倍数；于是﹣是的倍数；类似可得，﹣，…，都是的倍数；从而对任意≥，是的倍数；综上，若集合存在一个元素是的倍数，则集合的所有元素都是的倍数（Ⅲ）对≤，（，，…），可归纳证明对任意≥，＜（，，…）因为是正整数，，所以是的倍数．从而当≥时，是的倍数．如果是的倍数，由（Ⅱ）知，对所有正整数，是的倍数．因此当≥时，∈{，，}，这时的元素个数不超过．如果不是的倍数，由（Ⅱ）知，对所有正整数，不是的倍数．因此当≥时，∈{，，，，，}，这时的元素个数不超过．当时，{，，，，，，，}，有个元素．综上可知，集合的元素个数的最大值为．点评：本题考查数列递推关系的应用，突出考查分类讨论思想与等价转化思想及推理、运算能力，属于难题．。
全国高考理科数学考试卷北京试卷参考答案
高考理科数学考试真题（北京卷）参考答案第一部分 （选择题 共40分）1．B 【解析】略2．D 【解析】()2234i i -=-，对应的点为()3,4-，选D3．A 【解析】当ϕπ=时，sin 2y x =-过原点；()sin 2y x ϕ=+过原点则,,0,,ϕππ=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅等无数个值．选A ．4．C 【解析】第一次循环1i =，23S =，第二次循环2i =，1321S =． 5．D 【解析】xy e =关于y 轴对称得xy e -=，即()f x 向右平移一个单位得xy e -=， ∴()1x f x e--=6．B【解析】∵ba±==y=． 7．C 【解析】∵l 的方程为1y =代入24x y =得2x =±，l 与C 所围成的图形的面积2230211821204123S x dx x x ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰8．C 【解析】要使可行域存在，必有m <－2m +1，要求可行域内包含直线112y x =-上的点，只要边界点(－m ，1－2m )在直线112y x =-上方，且(-m ，m )在直线112y x =-下方，解不等式组1211212112m m m m m m ⎧⎪<-⎪⎪->--⎨⎪⎪<--⎪⎩得m ＜23-9．1【解析】(2，6π)对应的直角坐标为)，ρsin θ=2对应的直角坐标方程为2y =，∴距离为110．12,22n +-【解析】由35a a +=()24q a a +得2q =；()()3241a a a q q +=+=20，得12a =；∴()12122212n n n S +-==--11．9,45【解析】由916PD DB =，设9,16PD a DB a ==，根据切割线定理有2PA PD PB =⋅有15a =，∴95PD =，在直角PBA ∆中，有4AB =．12．96【解析】5张参观券分成4堆，有2个联号有4种分法，每种分法分给4个人有44A 种方法，∴总共有44496A =13．4【解析】如图建立坐标系，则()1,1a =-，()6,2b =，()1,3c =-由c a b λμ=+，可得12,2λμ=-=-，∴4λμ=14．25【解析】如图设11B C 的中点为M ，连接1,ME MD ， 则1C C ∥面1D DEM ，P 到直线CC 1的距离的最小值 即为1C C 到面1D DEM 的距离亦为1C 到到面1D DEM 的距离1C H ，用等积法可得125C H = 15．【解析】(1)因为a ＝3，26b =，∠B ＝2∠A ，所以在△ABC 中，由正弦定理得326sin sin 2A A=. 所以2sin cos 26sin 3A A A =.故cos A ＝63.(2)由(1)知，cos A ＝63，所以sin A ＝231cos 3A -=.又因为∠B ＝2∠A ， 所以cos B ＝2cos 2A －1＝13. xy所以sin B3=. 在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B＝9. 所以c ＝sin sin a CA＝5. 16．【解析】设i A 表示事件“此人于3月i 日到达该市”()1,2,3,,13i =⋅⋅⋅ 根据题意，()113i P A =，()i j A A i j φ=≠（Ⅰ）设B 为事件“此人达到当日空气重度污染”，则58B A A =．所以()()()()5858213P B P A A P A P A ==+=． （Ⅱ）由题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2，且 ()()367111P X P A A A A ==367114()()()()13P A P A P A P A == ()()1212132P X P A A A A ==1212134()()()()13P A P A P A P A ==()()()5011213P X P X P X ==-=-==所以X 的分布列为故X 的期望501213131313EX =⨯+⨯+⨯=．（Ⅲ）从3月3日开始连续三天的空气质量指数方差最大． 17．【解析】(1)因为AA 1C 1C 为正方形，所以AA 1⊥AC .因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，且AA 1垂直于这两个平面的交线AC ，所以AA 1⊥平面ABC . (2)由(1)知AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB .由题知AB ＝3，BC ＝5，AC ＝4，所以AB ⊥AC . 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A －xyz ， 则B (0,3,0)，A 1(0,0,4)，B 1(0,3,4)，C 1(4,0,4)． 设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z)，则1110,0,A B A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即340,40.y z x -=⎧⎨=⎩ 令z ＝3，则x ＝0，y ＝4，所以n ＝(0,4,3)．同理可得，平面B 1BC 1的法向量为m ＝(3,4,0)． 所以cos 〈n ，m 〉＝16||||25⋅=n m n m .由题知二面角A 1－BC 1－B 1为锐角， 所以二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值为1625. (3)设D (x ，y ，z )是直线BC 1上一点，且BD ＝λ1BC ， 所以(x ，y －3，z )＝λ(4，－3,4)． 解得x ＝4λ，y ＝3－3λ，z ＝4λ. 所以AD ＝(4λ，3－3λ，4λ)．由AD ·1A B ＝0，即9－25λ＝0，解得925λ=. 因为925∈[0,1]，所以在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B . 此时，1925BD BC λ==. 18．【解析】(I)设()ln x f x x =，则()21ln xf x x-'=，所以()11f '=，所以L 的方程为1y x =-．(II)令()()1g x x f x =--，则除切点之外，曲线C 在直线L 的下方等价于()()00,1g x x x >∀>≠ ()g x 满足()10g =，且()()221ln 1x xg x f x x -+''=-=当01x <<时，210,ln 0x x -<<，所以()0g x '<，故()g x 单调递减；当1x >时，210,ln 0x x ->>，所以()0g x '>，故()g x 单调递增．∴ ()()10g x g >=所以除切点之外，曲线C 在直线L 的下方．19．【解析】（1）椭圆W 的右顶点B 的坐标为()2,0．因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分．所以可设()1,A m，代入椭圆方程得2m =±．所以菱形的面积是112222OB AC m ⋅=⨯⨯= （2）假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的顶点时，且直线AC 不过原点，所以可设AC 的方程为()0,0y kx m k m =+≠≠联立方程2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(14)8440k x kmx m +++-=设11(,)A x y ，()22,C x y ，则122814kmx x k +=-+，21224414m x x k -=+，1212y y kx m kx m +=+++12()2k x x m =++228214k mm k=-++ 2214mk =+所以AC 的中点为224,1414km m M k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭因为M 为AC 和OB 的交点，且0m ≠，0k ≠ 所以直线OB 的斜率为14k-． 因为114k k ⎛⎫-≠- ⎪⎝⎭，所以CA 与OB 不垂直． 所以OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形．20．【解析】(1)d 1＝d 2＝1，d 3＝d 4＝3.(2)(充分性)因为{a n }是公差为d 的等差数列，且0d ≥， 所以12n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅≤≤≤≤因此A n＝a n，B n＝a n＋1，d n＝a n－a n＋1＝－d(n＝1,2,3，…)．(必要性)因为d n＝－d≤0(n＝1,2,3，…)，所以A n＝B n＋d n≤B n.又因为a n≤A n，a n＋1≥B n，所以a n≤a n＋1.于是，A n＝a n，B n＝a n＋1，因此a n＋1－a n＝B n－A n＝－d n＝d，即{a n}是公差为d的等差数列．(3)因为a1＝2，d1＝1，所以A1＝a1＝2，B1＝A1－d1＝1.故对任意n≥1，a n≥B1＝1.假设{a n}(n≥2)中存在大于2的项．设m为满足a m＞2的最小正整数，则m≥2，并且对任意1≤k＜m，a k≤2.又因为a1＝2，所以A m－1＝2，且A m＝a m＞2.于是，B m＝A m－d m＞2－1＝1，B m－1＝min{a m，B m}≥2.故d m－1＝A m－1－B m－1≤2－2＝0，与d m－1＝1矛盾．所以对于任意n≥1，有a n≤2，即非负整数列{a n}的各项只能为1或2.因为对任意n≥1，a n≤2＝a1，所以A n＝2.故B n＝A n－d n＝2－1＝1.因此对于任意正整数n，存在m满足m＞n，且a m＝1，即数列{a n}有无穷多项为1.。
高考卷,普通高等学校招生全国统一考试数学(北京卷_理科)(附答案,完全word版)
高考卷 , 一般高等学校招生全国一致考试数学（北京卷·理科）（附答案，完整word 版）_年一般高等学校招生全国一致考试数学（理工农医类）（北京卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至 2页，第Ⅱ卷 3 至 9 页，共 _0 分．考试时间 _0 分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题共 40 分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务势必自己的姓名、准考据号、考试科目涂写在答题卡上． 2 ．每题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案．不可以答在试卷上．一、本大题共8 小题，每题 5 分，共 40 分．在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项． 1 ．已知全集，会合，，那么会合等于（）A ． B． C． D． 2 ．若，，，则（）A ．B ． C． D ． 3 ．“函数存在反函数”是“函数在上为增函数”的（）A ．充足而不用要条件B ．必需而不充足条件C．充足必需条件 D．既不充足也不用要条件 4 ．若点到直线的距离比它到点的距离小1，则点的轨迹为（）A ．圆B ．椭圆C．双曲线D．抛物线 5 ．若实数知足则的最小值是（）A ．0 B．1 C．D．9 6 ．已知数列对随意的知足，且，那么等于（）A． B ． C． D ． 7 ．过直线上的一点作圆的两条切线，当直线对于对称时，它们之间的夹角为（）A． B ． C． D ． 8 ．如图，动点在正方体的对角线上．过点作垂直于平面的直线，与正方体表面订交于．设，，则函数的图象大概是（）A B C D M N P A1 B1 C1 D1 y _ A．O y _ B．O y _ C．O y _ D．O _年一般高等学校招生全国一致考试数学（理工农医类）（北京卷）第Ⅱ卷（共 1_分）注意事项：1 ．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．2 ．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分．把答案填在题中横线上． 9 ．已知，此中是虚数单位，那么实数． _ ．已知向量与的夹角为，且，那么的值为． _ ．若睁开式的各项系数之和为 32，则，其睁开式中的常数项为．（用数字作答）2 B C A y _ 1 O3456 1 2 3 4 _．如图，函数的图象是折线段，此中的坐标分别为，则；．（用数字作答）_ ．已知函数，对于上的随意，有以下条件：①；②；③．此中能使恒成立的条件序号是．_．某校数学课外小组在座标纸上，为学校的一块空地设计植树方案以下：第棵树栽种在点处，此中，，当时，表示非负实数的整数部分，比如，．按此方案，第 6 棵树栽种点的坐标应为；第_棵树栽种点的坐标应为．三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．_ ．（本小题共 _分）已知函数（）的最小正周期为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数在区间上的取值范围．_ ．（本小题共 _分）A CB P如图，在三棱锥中，，，，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的大小；（Ⅲ）求点到平面的距离．_ ．（本小题共 _分）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到四个不一样的岗位服务，每个岗位起码有一名志愿者．（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加岗位服务的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（Ⅲ）设随机变量为这五名志愿者中参加岗位服务的人数，求的散布列． _ ．（本小题共 _分）已知函数，求导函数，并确立的单一区间．_ ．（本小题共 _分）已知菱形的极点在椭圆上，对角线所在直线的斜率为1．（Ⅰ）当直线过点时，求直线的方程；（Ⅱ）当时，求菱形面积的最大值．_ ．（本小题共 _分）对于每项均是正整数的数列，定义变换，将数列变换成数列．对于每项均是非负整数的数列，定义变换，将数列各项从大到小摆列，而后去掉全部为零的项，获得数列；又定义．设是每项均为正整数的有穷数列，令．（Ⅰ）假如数列为5， 3， 2，写出数列；（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列，证明；（Ⅲ）证明：对于随意给定的每项均为正整数的有穷数列，存在正整数，当时，．_年一般高等学校招生全国一致考试数学（理工农医类）（北京卷）参照答案一、选择题（本大题共8 小题，每题 5 分，共 40 分）1 ．D 2．A 3．B 4．D 5．B 6．C 7．C 8．B 二、填空题（本大题共 6 小题，每题 5 分，共30 分）9 ．_ ．_．5__． _．②_ ．三、解答题（本大题共 6 小题，共80 分）_．（共 _分）解：（Ⅰ）．由于函数的最小正周期为，且，所以，解得．（Ⅱ）由（Ⅰ）得．由于，所以，所以，所以，即的取值范围为．_ ．（共 _分）ACBDP解法一：（Ⅰ）取中点，连接．，．，．A C B E P ，平面．平面，．（Ⅱ），，．又，．又，即，且，平面．取中点．连接．，．是在平面内的射影，．是二面角的平面角．在中，，，，． A C B D P H 二面角的大小为．（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面，平面平面．过作，垂足为．平面平面，平面．的长即为点到平面的距离．由（Ⅰ）知，又，且，平面．平面，．在中，，，．．点到平面的距离为．解法二：（Ⅰ），，．又，．，平面．平面，．（Ⅱ）如图，认为原点成立空间直角坐标系． A C B P z _ y H E 则．设．，，．取中点，连接．，，，．是二面角的平面角．，，，．二面角的大小为．（Ⅲ），在平面内的射影为正的中心，且的长为点到平面的距离．如（Ⅱ）成立空间直角坐标系．，点的坐标为．．点到平面的距离为． _ ．（共 _分）解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加岗位服务为事件，那么，即甲、乙两人同时参加岗位服务的概率是．（Ⅱ）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件，那么，所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是．（Ⅲ）随机变量可能取的值为 1，2．事件“”是指有两人同时参加岗位服务，则．所以，的散布列是 1 3 _．（共 _分）解：．令，得．当，即时，的变化状况以下表：0当，即时，的变化状况以下表：0所以，当时，函数在上单一递减，在上单一递加，在上单一递减．当时，函数在上单一递减，在上单一递加，在上单一递减．当，即时，，所以函数在上单一递减，在上单一递减． _ ．（共 _分）解：（Ⅰ）由题意得直线的方程为．由于四边形为菱形，所以．于是可设直线的方程为．由得．由于在椭圆上，所以，解得．设两点坐标分别为，则，，，．所以．所以的中点坐标为．由四边形为菱形可知，点在直线上，所以，解得．所以直线的方程为，即．（Ⅱ）由于四边形为菱形，且，所以．所以菱形的面积．由（Ⅰ）可得，所以．所以当时，菱形的面积获得最大值．_ ．（共_分）（Ⅰ）解：，，；，．（Ⅱ）证明：设每项均是正整数的有穷数列为，则为，，，，，进而．又，所以，故．（Ⅲ）证明：设是每项均为非负整数的数列．当存在，使得时，互换数列的第项与第项获得数列，则．当存在，使得时，若记数列为，则．所以．进而对于随意给定的数列，由可知．又由（Ⅱ）可知，所以．即对于，要么有，要么有．由于是大于 2 的整数，所以经过有限步后，必有．即存在正整数，当时，．高考卷 ,_, 一般高等学校招生全国一致考试数学（湖北卷·文科）（附答案，完全 word 版）高考卷 , 一般高等学校招生全国一致考试, 理科数学（山东卷）（附答案，完整 word 版）高考卷 , 一般高等学校招生全国一致考试数学（全国Ⅰ·理科）（附答案，完整word 版）高考卷 ,_, 一般高等学校招生全国一致考试数学（福建卷·理科）（附答案，完全 word 版）高考卷 , 一般高等学校招生全国一致考试数学（福建卷·文科）（附答案，完整word 版）。
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绝密★启用前2006年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。
考试时间120分钟。
考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1． 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡。
2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试卷上。
一、 本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1） 在复平面内，复数1ii+对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限（2）若a 与b c -都是非零向量，则“a b a c ⋅=⋅”是“()a b c ⊥-”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（3）在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（A ）36个 （B ）24个（C ）18个 （D ）6个（4）平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是 （A ）一条直线 （B ）一个圆（C ）一个椭圆 （D ）双曲线的一支（5）已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是（A ）(0,1) （B ）1(0,)3（C ）11[,)73（D ）1[,1)7（6）在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意1212,()x x x x ≠，1221|()()|||f x f x x x -<-恒成立”的只有（A ）1()f x x=（B ）()||f x x =（C ）()2xf x =（D ）2()f x x =（7）设4710310()22222()n f n n N +=+++++∈，则()f n 等于（A ）2(81)7n- （B ）12(81)7n +- （C ）32(81)7n +-（D ）42(81)7n +-（8）下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口,,A B C 的机动车辆数如图所示，图中123,,x x x 分别表示该时段单位时间通过路段,,AB BC CA 的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则20，30；35，30；55，50 （A ）123x x x >> （B ）132x x x >> （C ）231x x x >> （D ）321x x x >>绝密★启用前2006年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）第Ⅱ卷（共110分）注意事项：1． 用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上 2． 答卷前将密封线内的项目填写清楚。
二、 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
把答案填在题中横线上。
（9）22132lim 1x x x x →-++-的值等于__________________. （10）在72()x x-的展开式中，2x 的系数中__________________（用数字作答）.（11）若三点(2,2),(,0),(0,)(0)A B a C b ab ≠共线，则11a b+的值等于_________________. （12）在ABC ∆中，若sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则B ∠的大小是______________.（13）已知点(,)P x y 的坐标满足条件41x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，点O 为坐标原点，那么||PO 的最小值等于_______,最大值等于____________.（14）已知,,A B C 三点在球心为O ，半径为R 的球面上，AC BC ⊥，且AB R =，那么,A B两点的球面距离为_______________，球心到平面ABC 的距离为______________. 三、 解答题：本大题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（15）（本小题共12分）已知函数12sin(2)4()cos x f x xπ--=， （Ⅰ）求()f x 的定义域；（Ⅱ）设α是第四象限的角，且4tan 3α=-，求()f α的值. （16）（本小题共13分）已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，其导函数'()y f x =的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示.求： （Ⅰ）0x 的值；（Ⅱ）,,a b c 的值.（17）（本小题共14分）如图，在底面为平行四边表的四棱锥P ABCD -中，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且PA AB =，点E 是PD 的中点. （Ⅰ）求证：AC PB ⊥；（Ⅱ）求证：//PB 平面AEC ； （Ⅲ）求二面角E AC B --的大小. （18）（本小题共13分）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案. 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是,,a b c ，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.（Ⅰ）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；（Ⅱ）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.（说明理由）（19）（本小题共14分）已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P 满足条件||||22PM PN -=.记动点P 的轨迹为W .（Ⅰ）求W 的方程；（Ⅱ）若,A B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ⋅的最小值.（20）（本小题共14分）在数列{}n a 中，若12,a a 是正整数，且12||,3,4,5,n n n a a a n --=-=，则称{}n a 为“绝对差数列”.（Ⅰ）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；（Ⅱ）若“绝对差数列”{}n a 中，20213,0a a ==，数列{}n b 满足12n n n n b a a a ++=++，1,2,3,n =，分别判断当n →∞时，n a 与n b 的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；（Ⅲ）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.2006年高考理科数学参考答案（北京卷）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） （1）D （2）C （3）B （4）A （5）C （6）A （7）D （8）C二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） （9）21-（10）－14 （1）21 （12）3π （13）210 （14）R π31R 23三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共12分）解：（Ⅰ）由cosx ≠0得)(2Z k k x ∈+≠ππ故f (x)的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫∈+≠Z k k x ,2ππ （Ⅱ）因为34tan -=a ，且a 是第四象限的角。
所以54sin -=a ，53cos =a 故aa a f cos )42sin(21)(π--=514)sin (cos 2cos cos sin 2cos 2cos 2cos 2sin 1cos )2cos 222sin 22(212=-=-=+-=--=a a aaa a aa a aa a（16）（共13分）解法一：（Ⅰ）由图象可知，在（－∞，1）上0)(>'x f ，在（1，2）上0)(<'x f ， 在（2，＋∞）上0)(>'x f故)(x f 在（－∞，1），（2，＋∞）上递增，在（1，2）上递减。
因此)(x f 在x =1处取得极大值，所以10=x 。
（Ⅱ）c bx ax x f ++='23)(2由,5)1(,0)2(,0)1(=='='f f f得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++50412023c b a c b a c b a 解得a =2，b = -9，c =12 解法二： （Ⅰ）同解法一。
（Ⅱ）设m mx mx x x m x f 23)2)(1()(2+-=--=' 又c bx ax x f ++='23)(2所以,2,23,3m c m b m a =-==mx mx x m x f 2233)(23+-=由5)1(=f即52233=+-m m m 得m=6所以a=2，b= -9，c=12（17）（共14分）解法一：（Ⅰ）∵PA ⊥平面ABCD ∴AB 是PB 在平面ABCD 上的射影 又∵AB ⊥AC ，AC ⊂平面ABCD ， ∴AC ⊥PB（Ⅱ）连接BD ，与AC 相交于O ，连接EO 。
∵ABCD 是平等四边形， ∴O 是BD 的中点， 又E 是PD 的中点， ∴EO ∥PB又PB ⊄平面AEC ，EO ⊂平面AEC ， ∴PB ∥平面AEC 。
（Ⅲ）取BC 中点G ，连接OG ，则点G 的坐标为)0,200,2,2(bOG b a ，＝（）， 又)0,0,(),2,2,0(0a AC bb E =-=∴00,00=⋅=⋅AC G AC E ∴OE ⊥AC ，OG ⊥AC∴∠EOG 是二面角E-AC-B 的平面角。
∵220,0cos cos -=>=<=EOG∴︒=∠135EOG∴二面角B AC E --的大小为︒135（18）（共13分）解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A ，B ，C ， 则()()()c C P b B P a A P ===,, （Ⅰ）应聘者用方案一考试通过的概率()()()()()()()abcca bc ab abcb ac a bc c ab C B A P C B A P C B A P C B A P p 21111-++=+-+-+-=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=应聘者用方案二考试通过的概率()()()()ca bc ab C A P C B P B A P p ++=⋅+⋅+⋅=313131312（Ⅱ）因为[]1,0,,∈c b a 所以()()()()[]2121011132232p p b ca a bc c ab abc ca bc ab p p ≥≥-+-+-=-++=-故 即采用第一种方案，该应聘者考试通过的概率较大。