确定磁场最小面积的方法学生

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圆形磁场的最小面积

圆形磁场的最小面积
圆形磁场是一种常见的磁场形态，其产生于一根直流电流通过环形导线时。

在物理学和工程学中，我们常常需要计算圆形磁场的面积，以便更好地理解和应用它。

那么，圆形磁场的最小面积是多少呢？答案是：圆形磁场的最小面积是πR，其中R为环形导线的半径。

这个结论可以通过对磁场的物理特性和数学性质进行分析得出。

首先，我们知道圆形磁场的磁感应强度在导线周围是均匀的，并且随着距离的增加而逐渐减小。

其次，我们可以利用环形导线所产生的磁场的对称性，将其分为若干个小面积，并对每个小面积进行面积积分，最终得到总面积。

通过这些分析和计算，我们可以得出结论：当环形导线的半径为R时，圆形磁场的最小面积为πR。

这个结果对于圆形磁场的研究和
应用具有重要意义，可以帮助我们更好地理解和利用圆形磁场的特性。

- 1 -。

磁场中的最小面积及动态圆积问题

磁场中的最小面积及动态圆积问题因带电粒子在磁场中做匀速圆周运动轨迹的特殊性，时常出现最小面积问题，常见的有圆形、矩形和三角形等等，以下仅就此类问题进行专题性演练。

【例1】如图所示，一质量为m 重力不计电量为q 的带电质点, 以平行于ox 轴的速度v 从y 轴上的a 点射入图中第一象限所示的区域。

为了使该质点能从x 轴上的b 点以垂直于ox 轴的速度v 射出，可在适当的地方加一个垂直于xy 平面、磁感应强度为B 的匀强磁场。

若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求此圆形磁场区域的最小半径。

【解析】由牛顿第二定律有：2v qvB m R = 可得mv R qB = 圆形磁场区域面积最小的圆是带电粒子在穿越磁场过程中以入射点和出射点为直径的圆，故22r R = 其最小面积是：222222m v S r q B ππ== 【例2】如图，质量为m 重力不计带电量为q 的带电粒子以速度0v 从O点沿y 轴正向射入垂直于纸面、磁感强度为B 的圆形匀强磁场区域，粒子飞出磁场区域后从b 处穿过x 轴，速度方向与x 轴正向夹角为30°。

试求：（1）圆形磁场区的最小面积；（2）粒子从o 到b 经历的时间。

【解析】（1）由牛顿第二定律有：200v qv B m R = 可得0mv R qB= 如图，圆形磁场区域面积最小的圆是带电粒子以入射点和出射点为直径的圆，其半径°cos30r R =故其最小面积为：22202234m v S r q B ππ== （2）粒子从o 到b 经历的时间为：0132(3)33r m t T v qB π=+=+ 【例3】图为可测定带电粒子比荷装置的简化示意图，在第一象限区域内有垂直于纸面向里磁感应强度-32.010B T =⨯的匀强磁场，在x 轴上距坐标原点0.50L m =的P 处为离子的入射口，在y 上安放接收器，现将一重力不计的带正电的粒子以43.510/v m s =⨯的速率从P 处射入磁场，若粒子在y 轴上距坐标原点0.50L m =的M处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，试求：（1）该带电粒子的比荷q m；（2）为了在M 处观测到按题设条件运动的上述粒子，在第一象限内的磁场可以限制在一个以PM 为边界的矩形区域内，求此矩形磁场区域的最小面积。

18 磁场最小面积问题—高中物理三轮复习重点题型考前突破

一、磁场形状为圆状的最小面积计算1.如图，在直角坐标系xOy平面内，虚线MN平行于y轴，N点坐标(－l，0)，MN与y 轴之间有沿y轴正方向的匀强电场，在第四象限的某区域有方向垂直于坐标平面的圆形有界匀强磁场(图中未画出)。

现有一质量为m、电荷量大小为e的电子，从虚线MN上的P点，以平行于x轴正方向的初速度v0射入电场，并从y轴上A点(0，0.5l)射出电场，射出时速度方向与y轴负方向成30°角，此后，电子做匀速直线运动，进入磁场并从圆形有界磁场边界上Q点(3l6，－l)射出，速度沿x轴负方向，不计电子重力。

求：(1)匀强电场的电场强度E的大小？(2)匀强磁场的磁感应强度B的大小？电子在磁场中运动的时间t是多少？(3)圆形有界匀强磁场区域的最小面积S是多大？解析(1)设电子在电场中运动的加速度为a，时间为t，离开电场时沿y轴方向的速度大小为v y，则a＝eE mv y＝atl＝v0tv0＝v y tan 30°解得E＝3m v20 el。

(2)设轨迹与x轴的交点为D，OD距离为x D，则x D＝0.5l tan 30°x D＝3l 6所以DQ平行于y轴，电子在磁场中做匀速圆周运动的轨道的圆心在DQ上，电子运动轨迹如图所示。

设电子离开电场时速度为v ，在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为r ，则v 0＝v sin 30° r ＝m v eB ＝2m v 0eB r ＋r sin 30°＝l (有r ＝l3)t ＝13TT ＝2πm eB ⎝ ⎛⎭⎪⎫或T ＝2πr v ＝πl 3v 0解得B ＝6m v 0el ，t ＝πl9v 0。

(3)以切点F 、Q 为直径的圆形有界匀强磁场区域的半径最小，设为r 1，则 r 1＝r cos 30°＝3r 2＝3l6S ＝πr 21＝πl 212。

答案 (1)3m v 20el (2)6m v 0el ，πl 9v 0(3)πl 2122．如图所示，在直角坐标系xoy 中，第Ⅰ象限存在沿y 轴正方向、电场强度为E 的匀强电场，第Ⅳ象限存在一个方向垂直于纸面、磁感应强度为B 的圆形匀强磁场区域。

磁场最小范围

近年来在考题中多次出现求磁场的最小范围问题，这类题对学生的平面几何知识与物理知识的综合运用能力要求较高。

其难点在于带电粒子的运动轨迹不是完整的圆，其进入边界未知的磁场后一般只运动一段圆弧后就飞出磁场边界，运动过程中的临界点（如运动形式的转折点、轨迹的切点、磁场的边界点等）难以确定。

下面我们以实例对此类问题进行分析。

一、磁场范围为圆形例1一质量为、带电量为的粒子以速度从O点沿轴正方向射入磁感强度为的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区后，从处穿过轴，速度方向与轴正向夹角为30°，如图1所示（粒子重力忽略不计）。

试求：（1）圆形磁场区的最小面积；（2）粒子从O点进入磁场区到达点所经历的时间；（3）点的坐标。

二、磁场范围为矩形例2如图3所示，直角坐标系第一象限的区域存在沿轴正方向的匀强电场。

现有一质量为，电量为的电子从第一象限的某点（，）以初速度沿轴的负方向开始运动，经过轴上的点（，0）进入第四象限，先做匀速直线运动然后进入垂直纸面的矩形匀强磁场区域，磁场左边界和上边界分别与轴、轴重合，电子偏转后恰好经过坐标原点O，并沿轴的正方向运动，不计电子的重力。

求（1）电子经过点的速度；（2）该匀强磁场的磁感应强度和磁场的最小面积。

三、磁场范围为三角形例3如图5，一个质量为，带电量的粒子在BC边上的M点以速度垂直于BC边飞入正三角形ABC。

为了使该粒子能在AC边上的N点（CM＝CN）垂真于AC边飞出ABC，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为B的匀强磁场。

若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内，且不计粒子的重力。

试求：（1）粒子在磁场里运动的轨道半径ｒ及周期T；（2）该粒子在磁场里运动的时间t；（3）该正三角形区域磁场的最小边长；四、磁场范围为树叶形例4在平面内有许多电子（质量为、电量为），从坐标O不断以相同速率沿不同方向射入第一象限，如图7所示。

现加一个垂直于平面向内、磁感强度为的匀强磁场，要求这些电子穿过磁场后都能平行于轴向正方向运动，求符合该条件磁场的最小面积。

磁场中的最小面积问题

磁场中的“最小面积”问题河南省信阳高级中学陈庆威2016.12.27带电粒子在磁场中运动类题目本身就是磁场中的重难点问题，而求粒子在磁场中运动时的“最小面积”问题，又是这类问题中比较典型的难题。

很多时候面对这种题目，同学们的大脑都是一片空白，没有思路、没有方法、也没有模型。

那么，如何突破这一难题呢？以下是我精心整理的几道相关试题。

相信，我们通过该种模型题的训练，能学会举一反三、活学活用、准确把握模型、深刻理解模型，形成自己独立解决该类问题的思维和方法，从而全面提升我们的解题能力。

例题1：如图所示，一质量为m、电荷量为q的带电粒子，从y轴上的P/点以速度丫射入第一象限所示的区域，入射方向与x 轴正方向成。

角.为了使该粒子能从x轴上的P/点射出该区域，且射出方向与x轴正方向也成a角，可在第一象限适当的地方加一个垂直于xoy平面、磁感应强度为B的匀强磁场.若磁场分布为一个圆形区域，求这一匕心一圆形区域的最小面积为（不计粒子的重力）一一 .：解析：粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得："二崂则粒子在磁场中做圆周的半径：R =竺qB由题意可知，粒子在磁场区域中的轨道为半径等于r 的圆上的一段圆周，这段圆弧应与入射方向的速度、出射方向的速度相切，如图所示：则到入射方向所在直线和出射方向所在直线相距为 R 的O,点就是圆周的圆心.粒子在磁场区域中的轨道就是以0,为圆心、R 为半径的圆上的圆弧 ef,而e 点和f 点应在所求圆形磁场区域的边界上，在通过 e 、f 两点的不同的圆周中，最小的一个是以ef 连线为直径的圆周.即得圆形区域的最小半径一 R sin a =皿sin ° qB 则这个圆形区域磁场的最小面积例题2：如图所示，一带电质点，质量为m,电量为q,以平行于ox 轴的速度v 从y 轴上的a 点射入图中第一象限所示的区域。

为了使该质点能从x 轴上的b 点以垂直于ox 轴的速度v 射出，可在适当的地方加一个垂直于xoy 平面、磁感应强度为B 的匀强磁场。

磁聚焦最小磁场面积

磁聚焦最小磁场面积磁聚焦技术是一种利用磁场对带电粒子进行引导和控制的方法。

在磁聚焦过程中，带电粒子在磁场中受到洛伦兹力的作用，沿着特定的轨迹运动。

为了使粒子聚焦在某一特定点上，需要满足一定的条件，其中最关键的是磁场的最小面积。

最小磁场面积是指为了使带电粒子聚焦在某一特定点上，所需要的最小的磁场覆盖区域。

这个面积的大小取决于粒子的速度、电荷量和磁场的强度等因素。

理论上，最小磁场面积可以通过计算洛伦兹力与粒子运动方向的夹角来确定，但在实际应用中，通常需要通过实验来找到合适的磁场配置。

为了确定最小磁场面积，需要进行一系列的实验和模拟。

这些实验和模拟需要考虑不同的磁场强度、粒子速度和夹角等因素，以找到使粒子聚焦在最佳位置的磁场配置。

在实际应用中，最小磁场面积的大小通常由磁透镜的设计和制造精度来决定。

除了最小磁场面积外，磁聚焦技术还有其他重要的参数和限制。

例如，磁场的均匀性和稳定性对聚焦效果有很大影响。

如果磁场不均匀或不稳定，带电粒子可能会偏离理想的轨迹，导致聚焦效果不佳。

因此，在实际应用中，需要综合考虑各种因素，包括磁场的设计、制造和校准等，以确保磁聚焦系统的性能和精度。

另外，磁聚焦技术还可以应用于其他领域，如粒子加速器、核聚变、医学成像和电子显微镜等。

在这些领域中，磁聚焦技术的作用是控制和引导带电粒子的运动，使其按照特定的轨迹和速度运动。

通过优化磁场的设计和配置，可以提高这些应用的性能和精度，推动相关领域的发展。

总之，磁聚焦技术是一种重要的控制和引导带电粒子的技术。

最小磁场面积是磁聚焦过程中的一个关键参数，其大小取决于粒子的速度、电荷量和磁场的强度等因素。

为了实现最佳的聚焦效果，需要综合考虑各种因素，包括磁场的设计、制造和校准等。

此外，磁聚焦技术还可以应用于其他领域，如粒子加速器、核聚变、医学成像和电子显微镜等。

通过不断优化磁场的设计和配置，可以推动相关领域的发展和技术进步。

带电粒子在磁场中的运动的最小面积问题

３０ｌ
运动，初速度为ｖ，方向沿Ｘ正方向。后
ＴＰ
来．粒子经过Ｙ轴上的Ｐ点．此时速度方向与ｖ轴的夹角为３０。，Ｐ到０的距离为
Ｊ
０
Ｌ，如图所示。不计重力的影响。求磁场的磁感应强度Ｂ的大小和ｘｖ平面上磁场区域的半径Ｒ。
经过ｖ轴上的Ｎ点并与ｖ轴正方向成６０。角的方向飞出。Ｍ点的坐标为（０，一１Ｏ），
Ｎ点的坐标为（０，３Ｏ），不计粒子重力，ｇ取１０ｍ／ｓ。（１）请分析判断匀强电场Ｅ，的方向并求出微粒的运动速
度ｖ：（２）匀强磁场Ｂ，的大小为多大？
Ｒ，由图中几何关系可得
Ｒ：Ｌ
④
例题２．如图所示，第四象限内有互相正交的匀强电场Ｅ与匀强磁场Ｂ，Ｅ的大小为０．５ｘ１０Ｖ／ｍ，Ｂ．大小为０．５Ｔ；第一象限的某个矩形区域内，有方向垂直纸面向里的匀强磁场Ｂ，，磁场
ＰＡ：Ｒ（１一ｃｏｓ６０。）：３Ｏｍ
所以．所求磁场的最小面积为Ｓ：而．ＰＡ：一１Ｘｘ／３－
—
—
：
、／３２
—
—
ｍ —
—
１５０
例题３．一个质量为ｍ，带＋ｑ电量的
粒子在ＢＣ边上的Ｍ点以速度ｖ垂直于
·
／、
，＼
ＢＣ边飞入正三角形ＡＢＣ。为了使该粒

磁场的最小面积

磁场的最小面积1．一匀强磁场，磁场方向垂直于xoy 平面，在xy 平面上，磁场分布在以O 为中心的一个圆形区域内。

一个质量为m 、电荷量为q 的电带粒子,由原点O 开始运动，初速度为v ，方向沿x 正方向。

后来，粒子经过y 轴上的P 点，此时速度方向与y 轴的夹角为30°，P 到O 的距离为L ，如图所示。

不计重力的影响。

求磁场的磁感应强度B 的大小和xy 平面上磁场区域的半径R.2。

如图所示,第四象限内有互相正交的匀强电场E 与匀强磁场B 1， E 的大小为0。

5×103V/m,B 1大小为0。

5T;第一象限的某个矩形区域内，有方向垂直纸面向里的匀强磁场B 2，磁场的下边界与x 轴重合．一质量m =1×10-14kg 、电荷量q =1×10—10C 的带正电微粒以某一速度v 沿与y 轴正方向60°角从M 点沿直线运动，经P 点即进入处于第一象限内的磁场B 2区域．一段时间后，小球经过y 轴上的N 点并与y 轴正方向成60°角的方向飞出。

M 点的坐标为（0，-10)，N 点的坐标为(0，30），不计粒子重力,g 取10m/s 2．（1)请分析判断匀强电场E 1的方向并求出微粒的运动速度v ；（2)匀强磁场B 2的大小为多大?；（3）B 2磁场区域的最小面积为多少？yxv L30°P O3．一个质量为m ，带+q 电量的粒子在BC 边上的M 点以速度v 垂直于BC 边飞入正三角形ABC 。

为了使该粒子能在AC 边上的N 点垂直于AC 边飞出该三角形，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为B 的匀强磁场。

若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内,且不计粒子的重力.试求：(1）该粒子在磁场里运动的时间t ； (2）该正三角形区域磁场的最小边长；（3）画出磁场区域及粒子运动的轨迹.4．如图，ABCD 是边长为a 的正方形。

磁场最小面积的确定方法(学生)

磁场最小面积的确定方法电磁场内容历来是高考中的重点和难点。

近年来求磁场的问题屡屡成为高考中的热点，而这类问题单纯从物理的角度又比较难求解，下面介绍几种数学方法。

一、几何法1. 一质量为m、电荷量为+q的粒子以速度v0，从O点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从b处穿过x轴，速度方向与x轴正方向的夹角为30°，同时进入场强为E、方向沿与x轴负方向成60°角斜向下的匀强电场中，通过了b点正下方的c点，如图1所示，粒子的重力不计，试求：（1）圆形匀强磁场区域的最小面积；（2）c点到b点的距离。

图1二、参数方法2．在xOy平面内有许多电子（质量为m、电荷量为e），从坐标原点O不断地以相同的速率v0沿不同方向射入第一象限，如图3所示。

现加一个垂直于xOy平面向里，磁感应强度为B的匀强磁场，要使这些电子穿过磁场区域后都能平行于x轴向x轴正向运动。

求符合该条件磁场的最小面积。

图3三、带电粒子在磁场中的运动例题3．在如图所示的平面直角坐标系xoy中，有一个圆形区域的匀强磁场（图中未画出），磁场方向垂直于xoy平面，O点为该圆形区域边界上的一点。

现有一质量为m，带电量为+q的带电粒子（重力不计）从O点为以初速度vo沿+x方向进入磁场，已知粒子经过y轴上p点时速度方向与+y方向夹角为θ＝30º，OP=L 求：⑴磁感应强度的大小和方向⑵该圆形磁场区域的最小面积。

U + －四．--穿越有界场的轨迹分析；4．如图所示，在y ＜0区域内存在匀强磁场，方向垂直于XY 平面并指向纸外，磁感应强度为B ，一带正电的粒子从Y 轴上的A 点，以速度V 0与Y 轴负半轴成夹角θ射出，进入磁场后，经磁场的偏转最终又恰能通过A 点，A 点的坐标为（0，a ）．试问该粒子的比荷为多少？从A 点射出到再次经过A 点共要多少时间【益智演练】1．如图，在xoy 平面内有一边界半径为R 的圆形匀强磁场区域，磁场的磁感强度为B ，方向垂直xoy 平面指向纸内。

专题04 有界磁场的最小面积模型-高考物理模型(解析版)

一模型界定带电粒子在有界磁场中运动时,要完成题目要求的运动过程,空间中有粒子必须经过的一个磁场区域,按照题目要求的边界形状或由粒子临界状态下的运动轨迹所决定的有界磁场区域,其面积存在着一个最小值,此模型着重归纳有界磁场最小面积的确定与计算方法.二模型破解在涉及最小磁场面积的题目中,主要有两种类型,一种是单一粒子的运动中所经过磁场的最小面积,这种类型的题目通常对磁场区域的形状有明确的要求,如矩形、圆形、三角形;另一种类型是大量粒子经过磁场的运动,由临界状态下的粒子运动轨迹及对粒子的特定运动形式要求所产生的对磁场边界形状的特定要求,从而形成有界磁场的面积的极值问题.(i)确定粒子在磁场运动的轨迹半径粒子在磁场运动的轨迹半径通常是已知的或是能够由题目中条件计算得出的,也可在未知时先将半径假设出来.(ii)确定粒子在有界磁场中的入射方向和出射方向粒子在有界磁场中的入射方向和出射方向通常也是由题目给出或能够从题目中条件分析得出.(iii)确定粒子在有界磁场中运动时的入射点与出射点的位置当题目中没有给定粒子在进出磁场的位置时,先延长粒子的入射方向与出射方向所在的直线得到一个交点,粒子在磁场中运动的轨迹圆心必在这两条直线所形成的两对夹角中的其中一条夹角平分线上,由粒子经过磁场前后的运动要求确定圆心所在的夹角平分线;再在此夹角平分线上取一点O,过该点作粒子入射方向、出射方向所在直线的垂线,使O点到两直线的垂直距离等于粒子的运动轨迹半径,则两垂足即分别为粒子进出磁场时的入射点与出射点.(iv)确定有界磁场的边界连接入射点与出射点得到一条线段或直线,并作出粒子在磁场处于入射点与出射点之间的一段运动轨迹圆,再由题目对磁场边界形状的要求确定磁场边界线的位置或圆形磁场的最小半径.①圆形有界磁场(I)当题目对圆形磁场区域的圆心位置有规定时,连接圆心与粒子在磁场中的出射点即得到磁场区域的半径.但是这种情况下磁场区域的大小是固定的.(II)当题目对圆形磁场区域的圆心位置无规定时,若粒子在磁场中转过的圆弧为一段劣弧时，将连接入射点a与出射点b所得的线段作为磁场区域的直径,则所得圆即为最小面积的圆形磁场区域,如图1所示.图中几何关系为θsin R r=②半圆形有界磁场(I)当粒子在磁场中运动轨迹是一段劣弧时，连接入射点a 与出射点b 所得直线与半圆形边界的直边重合，以ab 为直径作出的半圆弧即为所求,如图2甲所示.图中几何关系为θsin R r =(II)当粒子在磁场中运动轨迹是一段优弧时，连接入射点a 与出射点b 所得直线与半圆形边界的直边重合，以其中点为圆心作出与粒子运动轨迹相切的圆弧，此圆弧即为半圆形磁场区域的曲线边界,如图2乙所示．图中几何关系为)cos 1(θ+=R r(III)当粒子在磁场中运动轨迹是一个半圆弧时，磁场圆形边界与粒子运动轨迹重合.③矩形有界磁场(I)当题目对矩形磁场区域边界某个边有规定时,过入射点或过出射点作已知边界线的平行线或垂线,再作与已知边界线平行或垂直的、与粒子在磁场中运动轨迹相切的直线,则所得矩形即为题目要求的最小矩形.(II)当题目对矩形磁场区域边界无规定时,第一步:连接入射点a 与出射点b 得一条直线ab;第二步:作ab 的平行线且使其与粒子运动轨迹圆相切;图2 图1第三步:作ab 的两条垂线,若粒子在磁场中转过的是一个优弧时,应使这两条垂线也与粒子运动轨迹圆弧相切,如图3甲所示;若粒子在磁场转过的是一段劣弧时,两条垂线应分别过入射点a 和出射点b,如图3乙所示.所得矩形即为题目要求的最小矩形.甲图中几何关系为)cos 1(1θ+=R L 、R L 22=乙图中几何关系为)cos 1(1θ-=R L 、θsin 22R L =○4正三角形有界磁场当粒子在磁场中转过的圆心角超过1200时,先作入射点a 、出射点b 连线的中垂线,再从中垂线上某点作粒子运动轨迹圆的两条切线,且使两切线间的夹角为600,则此三条直线所组成的三角形即为题目所要求的最小三角形,如图4甲所示.当粒子在磁场中转过的圆心角不超过1200时,也是先作入射点a 、出射点b 连线的中垂线,再从中垂线上某点连接入射点a 与出射点b,使其与ab 组成一正三角形,此正三角形即为所示如图4乙所示.甲图中几何关系为θcos30sin30cos 00R R L +=;乙图中几何关系为θsin 2R L =. 例1.一质量为m 、带电量为＋q 的粒子以速度v 0从O 点沿y 轴正方向射入一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从b 处穿过x 轴，速度方向与x 轴正方向的夹角为30°，同时进入场强大小为大小为E ，方向沿x 轴负方向成60°角斜向下的匀强电场中，通过了b 点正下方c 点，如图所示，已知 b 到O 的距离为L ，粒子的重力不计，试求：图4 图3⑴磁感应强度B⑵圆形匀强磁场区域的最小面积；⑶c 点到b 点的距离【答案】（1）qL mv B3=（2）22min 12L S r ππ==（3）Eq mv s 2034=30° v obcv 0x yyEO 例1题图例2.如图所示，在直角坐标xOy 平面y 轴左侧（含y 轴）有一沿y 轴负方向的匀强电场，一质量为m ，电荷量为q 的带正电的粒子从x 轴上P 处发速度v0沿x 轴正方向进入电场，从ｙ轴上Q 点离开电场时速度方向与ｙ轴负方向间夹角θ＝300，Q 点坐标为(0,-ｄ)，在ｙ轴右侧有一与坐标平面垂直的有界匀强磁场区域（图中未画出），磁场磁感应强度大小qd mv B 0=，粒子能从坐标原点O 沿ｘ轴负方向再进入电场，不计粒子重力，求：(1)电场强度大小E(2)如果有界匀强磁场区域为半圆形，求磁场区域的最小面积(3)粒子从P 点运动到O 点的总时间【答案】（1）qdmv E 2320=（2）24.5d π（3）0(1338d π+）学*科网【解析】：（1）设粒子从Q 点离开电场时速度大小v 由粒子在匀强电场中做类平抛运动得：02v v = 由动能定理得 2022121mv mv qEd -= （2分）例2题图解得qd mv E 2320=（1分）学*科网（3）设粒子在匀强电场中运动时间为1t粒子从Q 点离开电场时沿y 轴负向速度大小为y v 有03v v y =例2答图例3.如图所示，第三象限内存在互相垂直的匀强电场和匀强磁场，匀强磁场方向向里，大小为B 0，匀强电场场强为E 。

磁场区域的最小面积问题(公开课)

C
四、解题方法小结
1、根据题意，分析物体的运动过程和运动形式，扣住运动过程中的临界点或转折点，特别注意轨迹的对称性。
2、应用几何知识，找出粒子运动的轨迹圆心，画出粒子运动的部分轨迹，确定半径。
3、用题目中规定形状的最小磁场覆盖粒子圆周运动部分的轨迹，然后应用数学工具和相应物理规律分析求解最小面积即可。
为矩形的匀强磁场区域后，可使所有粒子在磁场中经过一
段半径为a的圆周运动后到达N点，且粒子的运动轨迹关
于y轴对称，不计粒子间的相
互作用和粒子重力。求：（1）匀
强磁场的磁感应强度B的大小和方
v
向。（2）矩形匀强磁场的最小面
积S.
2a
思考：若匀强磁场为圆形边界，最小面积又为多少？
例2、如图，一个质量为m，带电量为+q的粒子在
BC边上的M点以速度v垂直于BC边飞入正三角形ABC 区域。为了使该粒子以速度v从AC边上的N点垂直AC 边飞出该三角形，可在空间加上一个平行于纸面的匀强电场，也可在适当的位置加上一个垂直于纸面向里的匀强磁场，不计粒子的重力。（1）如果加的是匀强电场，求电场强度的方向。（2）如果加的是垂直于纸面向里的匀强磁场，且此磁场也是分布在一个正三角形区域内，已知粒子在磁场中的运动时间为t,求磁感应强度B的大小及该正三角形区域磁场的最小边长。
带电粒子在磁场中的运动之
磁场区域最小面积问题
相关知识回顾：
1、若不计粒子重力,带电粒子在无场区
怎样运动？
做匀速直线运动
2、如图，带电粒子从M点以v射出，要改
变带电粒子的前进方向，使粒子击中N点,
有哪些可行的方法？
方法一、加与速度方向垂直
的匀强电场。（电偏转）

确定有界磁场最小面积的方法归析

ｎ土ｊ
０
．
ｃＮ）垂直于ＡＣ边飞出ＡＢＣ
，
Ｂ
／
Ｃ
可在
中掌
Ⅲ ｑ
Ｍ、Ｎ点分别为粒子进入
％
网。
适当的位置加一个垂直于纸面向图ｂ里，磁感应强度为Ｂ的匀强磁场．若此磁场仅分布在一个也是
正三角形的区域内，且不计粒子的重力试求：
有一个矩形区域的匀强磁
／
／
纸面向外，则粒子从Ｍ点垂直
针方向的偏转，如图Ｆ
／
，／＼＼
，、
Ｂ一０
．
场．该磁场的磁感应强度
里．一带电微粒电荷量ｑ一
２Ｔ，方向垂直纸面向
肘
Ｓ
…
一
×
Ｌ： × １一
图７
例２如图４所示，直线
ＯＡ与Ｙ轴成０ — ３０。角，在ＡＯｙ
范围内有沿ｙ轴负方向的
（）。２＋）．
ａ
．
、
匀强电场
，
在ＡＯｘ范围内
／
一
若该三角形磁场的方向垂直
炳。！Ｊ
２０１３年第７期
／
确定有界磁场最小面积的方法归析
■ 余佳飞
１．圆形磁场
（１）带电微粒进入电场时的初速度Ｖｏ．

带电粒子在磁场中的运动的最小面积问题

带电粒子在磁场中的运动的最小面积问题引言磁场是由磁场线引起电场的结果，同样地，电场也是由电荷引起的。

磁力线可以用来描述磁场，电荷可以用来描述电场。

针对带电粒子在磁场中的运动的最小面积问题，根据电磁场和相对论，我们将得出一组有效的解决方案。

一、磁力线磁力线就是电流通过一个指定的半径r的圆形区域的磁场感应而形成的线状物，它也是一种物理现象。

磁力线的分布是特定的，大致呈现环状或类似波状，磁力线的密度随着半径r的增大而减小。

它表现出一种有规律的分布，这是理论上它版本，它也称为密度存在着一定的减弱规律，我们不妨以圆环或者一种类似于椭圆状的“钟形磁力线”为例，描述它是如何形成的：磁力线的面积减小，电流分布从圆轴向圆环的外延拓展，同时电流的宽度也会加宽来空间平衡。

大多数物理现象都可以用磁力线描述，例如电动力，磁场能量等等。

二、多普勒效应多普勒效应是1880年和1905年由德国物理学家阿尔伯特·爱因斯坦和英国物理学家罗素发现的，它是指物体在磁场中移动时，它们之间会产生电磁叠加的现象，并产生移动的“拉曼光谱”。

这种现象可以用电磁力线描述，其原理是当一个物体在一个磁场中移动时，它会影响它周围的磁力线的面积，而磁力线的面积因被影响而改变，从而产生电磁叠加的现象，另外，磁场中的电荷也会改变，从而叠加出新的物理性质。

三、相对论1905年，阿尔伯特·爱因斯坦发表了他经典的相对论，这是物理学史上的一个重大突破，他用蕴藏在物质里的相对性，解释了物理世界的性质，并建立了我们今天的宇宙论和量子力学的基础。

相对论应用于电动力学，则为我们提供了有效的描述和分析电磁场的手段，可以用来分析物体在磁场中如何受到力的影响，从而研究其在特定磁力线面积上的运动轨迹。

四、解决方案针对带电粒子在磁场中的运动的最小面积问题，考虑到多普勒效应和相对论，有两种解决方案可以考虑：1. 由多普勒效应，可以利用拉曼光谱来分析物体在不同磁力线和电荷的面积中的运动情况，从而判断物体在特定磁力线面积的最小运动轨迹，也就是物体在特定面积内的最小面积；2. 通过应用相对论理论，可以考虑到电磁场各种参数（强度和方向），将它们作为条件分析，利用相对论推导出物体最小运动轨迹的面积。

磁场区域的最小面积问题

磁场区域的最小面积问题考题中多次出现求磁场的最小围问题，这类题对学生的平面几何知识与物理知识的综合运用能力要求较高。

下面我们以实例对此类问题进行分析。

一、磁场围为树叶形例1．如图所示的直角坐标系第I 、II 象限存在方向向里的匀强磁场，磁感应强度大小B =0.5T ，处于坐标原点O 的放射源不断地放射出比荷6104⨯=mq C/kg 的正离子，不计离子之间的相互作用。

⑴求离子在匀强磁场中运动周期；⑵若某时刻一群离子自原点O 以不同速率沿x 轴正方向射出，求经过6106-⨯πs 时间这些离子所在位置构成的曲线方程；⑶若离子自原点O 以相同的速率v 0=2.0×106m/s 沿不同方向射入第I 象限，要求这些离子穿过磁场区域后都能平行于y 轴并指向y 轴正方向运动，则题干中的匀强磁场区域应怎样调整（画图说明即可）？并求出调整后磁场区域的最小面积。

15（16分）解：⑴根据牛顿第二定律有 2mv qvB R=２分运动周期22R mT v qB ππ==610s π-=⨯ ２分 ⑵离子运动时间611066t s T π-=⨯= ２分根据左手定则，离子沿逆时针方向作半径不同的圆周运动，转过的角度均为1263πθπ⨯=＝１分这些离子所在位置均在过坐标原点的同一条直线上，该直线方程tan2y x x θ==２分⑶离子自原点O 以相同的速率v 0沿不同方向射入第一象限磁场，均做逆时针方向的匀速圆周运动根据牛顿第二定律有2mv qv B R =００２分mv R qB=1=ｍ１分这些离子的轨道圆心均在第二象限的四分之一圆弧AC 上，欲使离子穿过磁场区域后都能平行于y 轴并指向y 轴正方向运动，离开磁场时的位置在以点（１,０）为圆心、半径Ｒ＝１m 的四分之一圆弧（从原点Ｏ起顺时针转动90︒）上，磁场区域为两个四分之一圆的交集，如图所示２分调整后磁场区域的最小面积22min22()422R R S ππ-=⨯-=m2２分例2．如图所示的直角坐标系中，在直线x=-2l 0到y 轴区域存在着两个大小相等、方向相反的有界匀强电场，其中x 轴上方的电场方向沿y 轴负方向，x 轴下方的电场方向沿y 轴正方向。

磁场区域的最小面积问题201409

（1）速度最大的粒子自O点射入磁场至返回水平线POQ所用的时间.
（2）磁场区域的最小面积.
（3）根据你以上的计算可求出粒子射到PQ上的最远点离O的距离，请写出该距离的大小（只要写出最远距离的最终结果，不要求写出解题过程）
【答案】(1) 或 (2) 或 (3)d= （
【解析】（1）(11分)粒子的运动轨迹如图所示，设粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径为R，周期为T，粒子在匀强磁场中运动时间为t1
（3）设在坐标（x，y）的点进入磁场，由相似三角形得到：
圆的方程为：
消去（y+b），磁场边界的方程为：
11、（揭阳二模1304）(18分)直角坐标系xoy界线OM两侧区域分别有如图所示电、磁场（第三象限除外），匀强磁场磁感应强度为B、方向垂直纸面向外，匀强电场场强、方向沿x轴负方向。一不计重力的带正电的粒子，从坐标原点O以速度为v、沿x轴负方向射入磁场，随后从界线上的P点垂直电场方向进入电场，并最终飞离电、磁场区域。已知粒子的电荷量为q，质量为m，求：
3、一质量为m、带电量为q的粒子以速度v0从O点沿y轴的正方向射入磁感强度为B的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区域后，从b处穿过x轴，速度方向与x轴正方向夹角为30°，如图所示，粒子的重力不计，试求：
⑴圆形磁场区域的最小面积。
⑵粒子从O点进入磁场区域到达b点所经历的时间。
⑶b点的坐标。
磁场区域的最小面积问题
考题中多次出现求磁场的最小范围问题，这类题对学生的平面几何知识与物理知识的综合运用能力要求较高。其难点在于带电粒子的运动轨迹不是完整的圆，其进入边界未知的磁场后一般只运动一段圆弧后就飞出磁场边界，运动过程中的临界点（如运动形式的转折点、轨迹的切点、磁场的边界点等）难以确定。下面我们以实例对此类问题进行分析。