高中数学(人教版必修5)配套练习：3.3 二元一次不等式组与简单的线性规划问题第2课时
高中数学人教A版必修5学案3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 Word版含答案
【答案】
【解析】解：设为该儿童分别预订，个单位的午餐和晚餐，共花费元，则＝＋，且满足以下条件
即
作出可行域如下图：
作直线：＋＝，平移直线至，当经过点时，可使达到最小值．
由⇒即()，
此时＝.×＋×＝，
答：午餐和晚餐分别预定个单位和个单位，花费最少为元．
第三章不等式（人教版新课标）
第节二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题
【思维导图】
【微试题】
.已知点()、(，－)在直线－＋＝的两侧，则的取值范围是()
．(－)．()．(－)．(－，－)
【答案】
.设变量 满足约束条件 则目标函数 的最小值为（）
. . . .
【答案】
.（·山东理）已知满足 约束条件 ，若 的最大值为，则（）
. . . .
【答案】
.某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含个单位的碳水化合物，个单位的蛋白质和个单位的维生素；
一个单位的晚餐含个单位的碳水化合物，个单位的蛋白质和个个单位的蛋白质和个单位的维生素.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是元和元，那么要满足上述的
高中数学 第三章 不等式 3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题练习 新人教A版必修5
二元一次不等式组与简单的线性规划问题【知识网络】1、二元一次不等式组以及可化成二元一次不等式组的不等式的解法；2、作二元一次不等式组表示的平面区域，会求最值；3、线性规划的实际问题和其中的整点问题。
【典型例题】例1：（1）已知点P （x 0，y 0）和点A （1，2）在直线0823:=-+y x l 的异侧，则（ ） A ．02300>+y x B ．<+0023y x 0C ．82300<+y xD ．82300>+y x答案: D 。
解析：将（1，2）代入l 得小于0，则003280x y +->。
（2）满足2≤+y x 的整点的点（x ，y ）的个数是（ ）A ．5B ．8C ．12D ．13答案：D 。
解析：作出图形找整点即可。
（3）不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0表示的平面区域是 （ ）答案：C 。
解析：原不等式等价于⎩⎨⎧≤-+≥+-⎩⎨⎧≥-+≤+-0301203012y x y x y x y x 或 两不等式表示的平面区域合并起来即是原不等式表示的平面区域．（4）设实数x , y 满足20240230x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则y x 的最大值为 ．答案:32。
解析：过点3(1,)2时，yx 有最大值32。
（5）已知1224a b a b ≤-≤⎧⎨≤+≤⎩，求42t a b =-的取值范围 ．答案： ]10,5[。
解析：过点31(,)22时有最小值5，过点（3，1）时有最大值10。
例2：试求由不等式y ≤2及|x |≤y ≤|x |＋1所表示的平面区域的面积大小． 答案: 解：原不等式组可化为如下两个不等式组：①⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤≥≥210y x y x y x 或 ②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+-≤-≥≤210y x y x y x上述两个不等式组所表示的平面区域为如图所示的阴影部分．它所围成的面积S ＝21×4×2－21×2×1＝3．例3：已知函数f (x )和g (x )的图象关于原点对称，且f (x )＝x 2＋2x ．(Ⅰ)求函数g (x )的解析式；(Ⅱ)若h (x )＝g (x )－λf (x )＋1在[－1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围。
人教A版高中数学必修五同步练测：3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题（数学人教实验A 版必修5）建议用时 实际用时满分实际得分45分钟100分一、选择题（每小题5分，共20分）1.下面给出的四个点中，满足约束条件10,10x y x y +-≤⎧⎨-+≥⎩的可行解是（ ） A.（0，2） B.（-2，0） C.（0，-2） D.（2，0）2.已知点P （x ，y ）在不等式组20,10,220x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域上运动，则z =x-y 的取值范围是（ ） A.［-2，-1］ B.［-2，1］ C.［-1，2］ D.［1，2］3.设x ，y 满足约束条件360,20,0,0,x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩若目标函数z =ax+by （a >0，b >0）的最大值为12，则2a +3b的最小值为（ ）A.256B. 83C. 113D.44.设x ，y 满足24,1,22,x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩则z =x+y （ ）A.有最小值2，最大值3B.有最小值2，无最大值C.有最大值3，无最小值D.既无最小值，也无最大值二、填空题(每小题5分，共10分)5．不等式组0,0,4312,x y x y >⎧⎪>⎨⎪+<⎩表示的平面区域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）共有 个.6.若x 、y 均为整数，且满足约束条件20,20,0,x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则z =2x+y 的最大值为 ，最小值为 .三、解答题(共70分)7．（15分）画出不等式组240,2,0,x y x y y +-≤⎧⎪>⎨⎪≥⎩所表示的平面区域.8.（15分）试用不等式组表示由直线20,x y ++=210,x y ++=210x y ++=围成的三角形区域（包括边界）.9.（20分）医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐.甲种原料每10 g 含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g 含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元.若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质.试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用 最省？10．(20分)某家具厂有方木料90 m3，五合板600m2，准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3、五合板2 m2；生产每个书（3）怎样安排生产可使所得利润最大？橱需要方木料0.2 m3、五合板1 m2.出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元.（1）如果只安排生产书桌，可获利润多少？（2）如果只安排生产书橱，可获利润多少？3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题（数学人教实验A版必修5）答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4答案二、填空题5． 6．三、解答题7.8.9.10.3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题（数学人教实验A 版必修5）答案一、选择题1. C 解析：本题是判断已知点是不是满足约束条件的可行解，因此只需将四个点的坐标代入不等式组10,10x y x y +-≤⎧⎨-+≥⎩进行验证，若满足则是可行解，否则就不是.经验证知满足条件的是点（0，-2）.故选C.2. C 解析：作出可行域，如图，因为目标函数z =x-y 中y 的系数-1 ＜0，而直线y =x-z 表示斜率为1的一族直线，所以当它过点（2，0）时，在y 轴上的截距最小，此时z 取得最大值2；当它过点（0，1）时，在y 轴上的截距最大，此时z 取得最小值-1，所以z =x-y 的取值范围是［-1，2］，选C.3.A 解析：不等式组表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax+by =z （a ＞0，b ＞0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4，6）时，目标函数z =ax+by （a ＞0，b ＞0）取得最大值12， 即4a+6b =12，即2a+3b =6，而2a +3b =（2a +3b ）·236a b +=136+b a +a b ≥136+2=256，故选A. 4.B 解析：如图,作出不等式组表示的可行域，由于z =x+y 的斜率大于2x+y =4的斜率，因此当z =x+y 过点（2，0）时，z 有最小值2，但z 没有最大值.二、填空题5.3 解析：（1，1），（1，2），（2，1），共3个.6. 4 -4 解析：作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示，可知在可行域内的整点有（-2，0）、（-1，0）、（0，0）、（1，0）、（2，0）、（-1，1）、（0，1）、（1，1）、（0，2），分别代入z =2x+y 可知当x =2，y =0时，z 最大为4；当x =-2，y =0时，z 最小为-4.三、解答题7. 解：先画出直线2x+y-4=0，由于含有等号，所以画成实线.取直线2x+y-4=0左下方的区域的点（0，0） ，由于2×0+0-4＜0，所以不等式2x+y-4≤0表示直线2x+y-4=0及其左下方的区域.同理对另外两个不等式选取合适的测试点，可得不等式x ＞2y 表示直线x =2y 右下方的区域，不等式y ≥0表示x 轴及其上方的区域.取三个区域的重叠部分，就是上述不等式组所表示的平面区域，如图所示. 8．解：画出三条直线，并用阴影表示三角形区域，如图.取原点（0，0），将x =0，y =0代入x+y+2得2＞0，代入x+2y+1，得1＞0，代入2x+y+1得1＞0.结合图形可知，三角形区域用不等式组可表示为20,210,210.x y x y x y ++≥⎧⎪++≤⎨⎪++≤9.解：设甲、乙两种原料分别用10x g 和10y g ，总费用为z ，则5735,10440,0,0,x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎨⎪≥≥⎩目标函数为z =3x+2y ，作出可行域如图. 把z =3x+2y 变形为y =-32x+2z ，得到斜率为-32，在y 轴上的截距为2z ，随z 变化的一族平行直线. 由图可知，当直线y =-32x+2z 经过可行域上的点A 时，截距2z最小，即z 最小. 由10440,5735,x y x y +=⎧⎨+=⎩得A (145，3)，∴ z min =3×145+2×3=14.4. ∴ 选用甲种原料145×10=28（g ），乙种原料3×10=30（g ）时，费用最省.10.解：（1）设只生产书桌x 张，可获得利润z 元.则0.190,900,3002600300x x x x x ≤≤⎧⎧⇒⇒≤⎨⎨≤≤⎩⎩，z =80x ， ∴ 当x =300时，z max =80×300=24 000（元）.即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24 000元. （2）设只生产书橱y 张，可获利润z 元.则0.290,450,450600600y y y y y ≤≤⎧⎧⇒⇒≤⎨⎨≤≤⎩⎩，z =120y ， ∴ 当y =450时，z max =120×450=54 000（元）.即如果只安排生产书橱，最多可生产450个，获得利润54 000元. （3）设生产书桌x 张，书橱y 个，利润总额为z 元.则0.10.290,2900,2600,2300,0,0,00,x y x y x y x y x x y y +≤+≤⎧⎧⎪⎪+≤+≤⎪⎪⇒⎨⎨≥≥⎪⎪⎪⎪≥≥⎩⎩z =80x+120y .作出可行域如图. 由图可知：当直线y =- 23x+ 120z经过可行域上的点M 时，截距120z最大，即z 最大， 解方程组2900,2600,x y x y +=⎧⎨+=⎩得点M 的坐标为（100，400）.因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大，最大利润为56 000元.。
人教A版高中数学必修五二元一次不等式组与简单的线性规划问题同步练习新(3)
3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题第1题. 已知x y ，满足约束条件5003x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪⎩≥，≥，≤．则24z x y =+的最大值为（ ）Ａ．5 Ｂ．38- Ｃ．10 Ｄ．38答案：Ｄ第2题. 下列二元一次不等式组可用来表示图中阴影部分表示的平面区域的是（ ）Ａ．10220x y x y +-⎧⎨-+⎩≥≥Ｂ．10220x y x y +-⎧⎨-+⎩≤≤Ｃ．10220x y x y +-⎧⎨-+⎩≥≤Ｄ．1022x y x y +-⎧⎨-+⎩≤≥0答案：Ａ第3题. 已知点1(00)P ，，231(11)03P P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，，则在3210x y +-≥表示的平面区域内的点是（ ） Ａ．1P ，2P Ｂ．1P ，3PＣ．2P ，3PＤ．2P答案：Ｃ第4题. 若222x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩≤，≤，≥，则目标函数2z x y =+的取值范围是（ ）Ａ． [26]， Ｂ．[25]，Ｃ．[36]，Ｄ．[35]，答案：Ａ第5题. 设a 是正数，则同时满足下列条件：22ax a ≤≤；22a y a ≤≤；x y a +≥；x a y +≥；y a x +≥的不等式组表示的平面区域是一个凸 边形．答案：六第6题. 原点(00)O ，与点集{()|2102250}A x y x y y x x y =+-++-，≥，≤，≤所表示的平面区域的位置关系是 ，点(11)M ，与集合A 的位置关系是 ．答案：O 在区域外，M 在区域内第7题. 点(3)P a ，到直线4310x y -+=的距离等于4，且在不等式23x y +<表示的平面区域内，则P 点坐标是 ．答案：(33)-，第8题. 给出下面的线性规划问题：求35z x y =+的最大值和最小值，使x ， y 满足约束条件5315153x y y x x y +⎧⎪+⎨⎪-⎩≤，≤，≤．要使题目中目标函数只有最小值而无最大值，请你改造约束条件中一个不等式，那么新的约束条件是 ．答案：30153x y y x x y --⎧⎪+⎨⎪-⎩≤，≤，≤．第9题. 某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少180t 支援物资的任务．该公司有8辆载重6t 的A 型卡车与4辆载重为10t 的B 型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车4次，B 型卡车3次；每辆卡车每天往返的成本费A 型为320元，B 型为504元．请为公司安排一下，应如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？若只安排A 型或B 型卡车，所花的成本费分别是多少？答案：解：设需A 型、B 型卡车分别为x 辆和y 辆．列表分析数据．由表可知x 1024301800804x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≥≤≤≤≤，且320504z x y =+． 作出线性区域，如图所示，可知当直线320504z x y =+过(7.50)A ，时，z 最小，但(7.50)A ，不是整点，继续向上平移直线320504z x y =+可知，(52)，是最优解．这时min 320550422608z =⨯+⨯= （元），即用5辆A 型车，2辆B 型车，成本费最低．若只用A 型车，成本费为83202560⨯=（元），只用B 型车，成本费为180504302430⨯=（元）．第10题. 有粮食和石油两种物资，可用轮船与飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输效果见表．现在要在一天内运输至少2000t 粮食和1500t 石油，需至少安排多少艘轮船和多少架飞机？答案：解：设需安排x 艘轮船和y 架飞机，则3001502000250100150000x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≥ ，≥ ，≥，≥．即6340523000x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≥，≥，≥，≥． 目标函数为z x y =+．作出可行域，如图所示．作出在一组平行直线x y t +=（t 为参数）中经过可行域内某点且和原点距离最小的直线，此直线经过直线63400x y +-=和0y =的交点2003A ⎛⎫⎪⎝⎭，，直线方程为：203x y +=． 由于203不是整数，而最优解()x y ，中x y ，必须都是整数，所以，可行域内点2003⎛⎫⎪⎝⎭，不是最优解．经过可行域内的整点（横、纵坐标都是整数的点）且与原点距离最近的直线经过的整点是(70)，，即为最优解．则至少要安排7艘轮船和0架飞机．第11题. 用图表示不等式(3)(21)0x y x y +--+<表示的平面区域．答案：解：第12题. 求22z x y =+的最大值和最小值，使式中的x ，y 满足约束条件27043120230x y x y x y -+⎧⎪--⎨⎪+-⎩≥≤≥．答案：解：已知不等式组为27043120230x y x y x y -+⎧⎪--⎨⎪+-⎩≥≤≥． 在同一直角坐标系中，作直线270x y -+=，43120x y --=和230x y +-=，再根据不等式组确定可行域△ABC （如图）． 由27043120x y x y -+=⎧⎨--=⎩解得点(56)A ，．所以22222max ()||5661x y OA +==+=；因为原点O 到直线BC=， 所以22min 9()5x y +=．2x -第13题. 预算用2000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，并希望桌椅的总数尽可能多，但椅子数不能少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍．问：桌、椅各买多少才合适？ 答案：解：设桌椅分别买x ，y 张，由题意得502020001.500x y y x x y x y +⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩≤，≤，≤，≥，≥．由50202000x y x y =⎧⎨+=⎩，，解得20072007x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，． ∴点A 的坐标为20020077⎛⎫⎪⎝⎭，． 由 1.550202000y x x y =⎧⎨+=⎩，，解得25752x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，．∴点B 的坐标为75252⎛⎫ ⎪⎝⎭，以上不等式所表示的区域如图所示， 即以20020077A ⎛⎫⎪⎝⎭，，75252B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，(00)O ，为顶点的△AOB 及其内部．对△AOB 内的点()P x y ，，设x y a +=，即y x a =-+为斜率为1-，y 轴上截距为a 的平行直线系． 只有点P 与B 重合，即取25x =，752y =时，a 取最大值． y ∈Z ∵，37y =∴．∴买桌子25张，椅子37张时，是最优选择．第14题. 画出不等式组200112x x y y x ⎧⎪-⎪-⎨⎪⎪-⎩≤≥≥表示的平面区域，并求出此不等式组的整数解．答案：解：不等式组表示的区域如图所示，其整数解为22x y =-⎧⎨=-⎩，；0001x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩，，；；1122210210x x x x x y y y y y =====⎧⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨⎨=====⎩⎩⎩⎩⎩，，，，，；；；；．第15题. 如图所示，(21)(3)0x y x y -++-<表示的平面区域是（ ）答案：C第16题. 已知点(31)，和(46)-，在直线320x y a -+=的两侧，则a 的取值范围是（ ）ＢＣＤＡ．7a <-或24a > Ｂ．7a =或24a =Ｃ．724a -<< Ｄ．247a -<<答案：Ｃ第17题. 给出平面区域如图所示，若使目标函数z ax y =+(0)a >取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为（ ） Ａ．14Ｂ．35Ｃ．4 Ｄ．53答案：Ｂ第18题. 能表示图中阴影部分的二元一次不等式组是（ ）Ａ．01220y x y ⎧⎨-+⎩≤≤≤Ｂ．1220y x y ⎧⎨-+⎩≤≥Ｃ．012200y x y x ⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≤≤≤Ｄ．10220y x x y ⎧⎪⎨⎪-+⎩≤≤≤答案：Ｃx1第19题. 已知目标函数2z x y =+中变量x y ，满足条件4335251x y x y x --⎧⎪+<⎨⎪⎩≤，，≥．则（ ）Ａ．max min 123z z ==， Ｂ．max 12z =，无最小值 Ｃ．min 3z =，无最大值Ｄ．z 无最大值，也无最小值答案：Ｃ第20题. 下列二元一次不等式组可用来表示图中阴影部分表示的平面区域的是（ ）Ａ．10236010220x y x y x y x y +->⎧⎪+-<⎪⎨--⎪⎪-+⎩≥≤Ｂ．10236010220x y x y x y x y +-<⎧⎪+-⎪⎨--⎪⎪-+<⎩≥≥Ｃ．10236010220x y x y x y x y +->⎧⎪+-⎪⎨--⎪⎪-+>⎩≤≤Ｄ．10236010220x y x y x y x y +-⎧⎪+-<⎪⎨--<⎪⎪-+⎩≥≥答案：Ｃ第21题. 已知x ，y 满足约束条件5003x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪⎩≥，≥，≤．则24z x y =+的最小值为（ ）Ａ．5 Ｂ．6-Ｃ．10Ｄ．10-答案：Ｂ第22题. 满足||||2x y +≤的整点（横、纵坐标为整数）的个数是（ ）Ａ．11 Ｂ．12Ｃ．13Ｄ．14答案：Ｃ第23题. 不等式260x y -+>表示的平面区域在直线260x y -+=的（ ） Ａ．右上方 Ｂ．右下方Ｃ．左上方Ｄ．左下方答案：Ｂ第24题. 在ABC △中，三顶点(24)A ，，(12)B -，，(10)C ，，点()P x y ，在△ABC 内部及边界运动，则z x y =-最大值为（ ） Ａ．1 Ｂ．3-Ｃ．1-Ｄ．3答案：Ａ第25题. 不等式组(5)()003x y x y x -++⎧⎨⎩≥≤≤表示的平面区域是一个（ ）Ａ．三角形 Ｂ．直角梯形Ｃ．梯形Ｄ．矩形答案：Ｃ第26题. 不在326x y +<表示的平面区域内的点是（ ） Ａ．(00)，Ｂ．(11)，Ｃ．(02)，Ｄ．(20)，答案：Ｄ第27题. ABC △中，三个顶点的坐标分别为(24)A ，，(12)B -，，(10)C ，，点()P x y ，在ABC △内部及边界运动，则z x y =-的最大值及最小值分别是 和 ．答案：1， 3-第28题. 已知集合{()|||||1}A x y x y =+，≤，{()|()()0}B x y y x y x =-+，≤，M A B =I ，则M 的面积是 ．答案：1。
高中数学必修五同步试题 3.3二元一次不等式组与简单的线性规划问题
3.3二元一次不等式组与简单的线性规划问题重难点：会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．考纲要求：①会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．③会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．经典例题：求不等式|x－2|+|y－2|≤2所表示的平面区域的面积.当堂练习：1．下列各点中，与点（1，2）位于直线x+y－1=0的同一侧的是（）A．（0，0）B．（－1，1）C．（－1，3）D．（2，－3）2．下列各点中，位于不等式（x+2y+1）（x－y+4）＜0表示的平面区域内的是（）A．（0，0）B．（－2，0）C．（－1，0）D．（2，3）3．用不等式组表示以点（0，0）、（2，0）、（0，－2）为顶点的三角形内部，该不等式组为_______.4．甲、乙两地生产某种产品，它们可调出的数量分别是300t和750t.A、B、C三地需要该种产品的数量分别为200t、450t、400t，甲运往A、B、C三地每1t产品的运费分别为6元、3元、5元，乙地运往A、B、C三地每1t产品的运费分别为5元、9元、6元，为使运费最低，调运方案是_______，最低运费是_______.5．画出不等式组表示的平面区域.6．一个农民有田2亩，根据他的经验，若种水稻，则每亩每期产量为400千克；若种花生，则每亩每期产量为100千克，但水稻成本较高，每亩每期需240元，而花生只要80元，且花生每千克可卖5元，稻米每千克只卖3元，现在他只能凑足400元，问这位农民对两种作物各种多少亩，才能得到最大利润?7．已知－4≤a－b≤－1，－1≤4a－b≤5，求9a－b的取值范围.8．给出的平面区域是△ABC内部及边界（如下图），若目标函数z=ax+y（a＞0）取得最大值的最优解有无穷多个，求a的值及z的最大值.9．若把满足二元二次不等式（组）的平面区域叫做二次平面域.（1）画出9x2-16y2+144≤0对应的二次平面域；（2）求x2+y2的最小值；（3）求的取值范围.参考答案：经典例题：思路分析：主要是去绝对值，可以运用分类讨论思想依绝对值的定义去掉绝对值符号.也可以运用化归、转化思想化陌生问题为熟悉问题，化复杂问题为简单问题.解法一：原不等式|x－2|+|y－2|≤2等价于作出以上不等式组所表示的平面区域：它是边长为22的正方形，其面积为8.解法二：∵|x－2|+|y－2|≤2是|x|+|y|≤2经过向右、向上各平移2个单位得到的，∴|x－2|+|y－2|≤2表示的平面区域的面积等于|x|+|y|≤2表示的平面区域的面积，由于|x|+|y|≤2的图象关于x轴、y轴、原点均对称，故求得平面区域如下图所示的面积为2，故|x|+|y|≤2的面积为4×2=8.∴所求面积为8.当堂练习：1.C;2.B;3. ;4. 甲地运往B地300t，乙地运往A地200t，运往B地150t，运往C地400t，5650元;5. 思路分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.解：运用“直线定界，特殊点定域”的方法，先画出直线x－y+5=0（画成实线），如下图，取原点（0，0），代入x－y+5.∵0－0+5=5＞0，∴原点在x－y表示的平面区域内，即x－y+5≥0表示直线x－y+5=0上及右下方的点的集合，同理可得x+y≥0表示直线x+y=0上及右上方的点的集合，x≤3表示直线x=3上及左方的点的集合.6. 思路分析：这是一个求最大利润问题，首先根据条件设种两种作物分别为x、y亩，根据条件列出不等式组和目标函数画图，即可得到最大利润.解：如下图所示，设水稻种x亩，花生种y亩，则由题意得而利润P=（3×400－240）x+（5×100－80）y=960x+420y（目标函数），可联立得交点B（1.5，0.5）.故当x=1.5，y=0.5时，Pmax=960×1.5+420×0.5=1650，即水稻种1.5亩，花生种0.5亩时所得到的利润最大.7. 思路分析：可以把a、b分别看成横坐标和纵坐标，根据不等式组画出可行域，然后求目标函数9x－y的最大值和最小值.解：问题转化为在约束条件下，目标函数z=9a－b的取值范围.画出可行域如下图所示的四边形ABCD及其内部.由，解得得点A（0，1）.当直线9a－b=t通过与可行域的公共点A（0，1）时，使目标函数z=9a－b取得最小值为zmin=9×0－1=－1.由解得得点C（3，7）.当直线9a－b=t通过与可行域的公共点C（3，7）时，使目标函数z=9a－b取得最大值为zmax=9×3－7=20.∴9a－b的取值范围是［－1，20］.8. 思路分析：本题考查逆向思维、数形结合的思想方法，利用图形的特性和规律，解决数的问题或将图形信息转换成代数信息，削弱或清除形的推理部分，使要解决的形问题转化为数量关系的讨论.解：直线z=ax+y（a＞0）是斜率为－a，y轴上的截距为z的直线族，从题图可以看出，当－a小于直线AC的斜率时，目标函数z=ax+y（a＞0）取得最大值的最优解是（1，4）；当－a大于直线AC的斜率时，目标函数z=ax+y（a＞0）取得最大值的最优解是（5，2）；只有当－a等于直线AC的斜率时，目标函数z=ax+y（a＞0）取得最大值的最优解有无穷多个，线段AC上的所有点都是最优解.直线AC的斜率为-，所以a=时，z的最大值为×1+4=.9. 思路分析：本题可以使用线性规划的基本思路，像二元一次不等式所示的区域一样，我们仍然可以用“线定界，点定域”的方法来确定9x2-16y2+144≤0所表示的平面区域.解：(1)将原点坐标代入9x2-16y2+144，其值为144>0，因此9x2-16y2+144≤0表示的平面区域如图所示的阴影部分，即双曲线-=1的含有焦点的区域.(2)设P(x，y)为该区域内任意一点，由上图可知，当P与双曲线的顶点(0，±4)重合时，|OP|取得最小值4.所以，x2+y2=|OP|2=16.(3)取Q(2，0)，则直线PQ的斜率为k=，其直线方程为y=k(x-2)，代入9x2-16y2+144=0得(9-16k2)x2+64k2x-64k2+144=0，由Δ=0得k=±，由图可知k≥或k≤-.故所求的取值范围是(-∞，- ］∪［，+∞).。
最新人教版高一数学知识(必修5)专题同步练习附解答： 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
专题 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1．【2015-2016学年贵州省凯里一中高一下期中】不等式组3122y x x y<-+⎧⎨<⎩，表示的平面区域为A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】因为不等式组中两个不等式均未带等号,所以排除A,又不等式312y x <-+表示的平面区域为直线312y x =-+的左下方部分，不等式2x y <所表示的平面区域为直线2x y =的左上方部分，所以不等式组3122y x x y<-+⎧⎨<⎩所表示的平面区域为选项B 所表示的区域，故选B. 2．设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩则z ＝2x ＋y 的最小值是（ ）A ．－15B ．－9C ．1D ．9【答案】A 【解析】作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义得函数在点B （－6，－3）处取得最小值 z min ＝－12－3＝－15. 故选：A3．【广西玉林市2018-2019学年高一上学期期末】若实数x ，y 满足约束条件40,250,270,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩则12y z x -=-的取值范围为( ) A ．[]2,0- B ．(],2-∞-C ．[)2,0-D ．()0,∞+【答案】A 【解析】12y z x -=-的几何意义为点(),M x y 与点()2,1P 所在直线的斜率． 画出如图的可行域，当直线PM 经过点()1,3A 时，min 31212z -==--；当直线PM 经过点()3,1B -时，max 11032z -==--．12y z x -=-的取值范围为[]2,0-,故选A.4．【江西省景德镇一中2018-2019学年高一上学期期末】设x ，y 满足约束条件205020x y x y --≥⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则22z x y =+的最小值与最大值分别为（ ）A ．2，34B ．2，34C ．4，34D ．2，34【答案】D 【解析】由x ，y 满足约束条件205020x y x y --≥⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩表示的可行域如图，由520x x y =⎧⎨--=⎩，解得()5,3A ．22x y +的几何意义是点(),P x y 到坐标原点的距离的平方，所以22x y +的最大值为225934AO =+=，22x y +的最小值为：原点到直线20x y --=的距离22222PO ⎛⎫== ⎪⎝⎭．故选：D ．5．【广西百色市2017-2018学年高一下学期期末】若变量,x y 满足约束条件30{101x y x y y +-≤-+≥≥，则2z x y =-的最大值为（ ）A ．1B ．5C ．3D ．4【答案】C 【解析】由约束条件30101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩得如图所示的三角形区域，由301x y y +-=⎧⎪⎨⎪=⎩可得21x y =⎧⎪⎨⎪=⎩， ，将2z x y =-变形为2y x z =-， 平移直线2y x z =-，由图可知当直2y x z =-经过点()2,1A 时， 直线在y 轴上的截距最小，2z x y =-最大， 最大值为2213z =⨯-=，故选C.6．【山西省沁县中学2017-2018学年高一下学期期末】若不等式组033x y x y x y a ->⎧⎪+<⎨⎪+>⎩表示一个三角形内部的区域，则实数a 的取值范围是（ ） A ．3,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】不等式组33x yx y-⎧⎨+⎩＞＜表示的平面区域如图：由图可知，33x yx y-=⎧⎨+=⎩，解得x=y=34，即A（34，34），则a＜34+34=32实数a的取值范围是a＜32．故选：D．7．【天津市部分区2019届高三联考一模】设变量,x y满足约束条件2239x yx yx+≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y=+的最大值是（）A．7B．5C．3D．2 【答案】B【解析】画出约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，表示的可行域，如图，由20 2390x y x y +-=⎧⎨--=⎩可得31x y =⎧⎨=-⎩， 将2z x y =+变形为2y x z =-+， 平移直线2y x z =-+，由图可知当直2y x z =-+经过点()3,1-时， 直线在y 轴上的截距最大， z 最大值为2315z =⨯-=，故选B.8．【安徽省池州市2018-2019学年高一下学期期末】已知实数,x y 满足2050370x y x y x y -≤⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，则z x y =-+的最大值是 A ．53- B ．1-C ．3D ．5【答案】C 【解析】由题意，作出线性约束条件表示的可行域，如图所示， 表示三角形ABC 阴影部分区域（含边界），设直线0:l y x =，平移直线0l 时，目标函数取得最大值，又由50370x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得()1,4A ，此时目标函数z x y =-+的最大值为max 143z =-+=.故选C.9．若实数,x y满足不等式330{23010x yx yx my+-≥--≥-+≥，且x y+的最大值为9，则实数m=（）A．2-B．1-C．1D．2 【答案】C【解析】作出满足题设条件的可行域如图所示，设x+y=9，显然只有在x+y=9与直线2x-y-3=0的交点处满足要求．联立方程组9230x yx y+=⎧⎨--=⎩解得45xy=⎧⎨=⎩即点A（4，5）在直线x-my+1=0上，∴4-5m+1=0，得m=1．故答案为1．10．【福建省三明市2017-2018学年高一下学期期末】已知,x y满足约束条件27,0,1,x yx yx+≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩且不等式22160ax xy ay -+≥恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．3,25⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．13,1725⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．1,17⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，可行域内的点恒满足22160x y +>， 则不等式22160ax xy ay -+≥即2216xya x y ≥+恒成立，即216yx a y x ≥⎛⎫+ ⎪⎝⎭，令y t x =可知：216t a t ≥+恒成立，即116a t t ≥+恒成立. 其中00y y t x x -==-表示坐标原点与可行域内点连线的斜率，如图所示，在点A 和点C 处目标函数取得最值，据此可知：[]1,3t ∈.结合对勾函数的性质可知，当3t =时，16t t +取得最小值，此时116t t+，即216tt +取得最大值，最大值为：3316925=+，结合恒成立的条件可知：实数a 的取值范围为3,25⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. A 本题选择选项.11．【江西省樟树中学2017-2018学年人教A 版高一下学期第一次月考】点(,)M x y 在圆22(2)1x y +-=上运动，则224xyx y +的取值范围是( )A ．11(,][,)44-∞-⋃+∞ B ．{}11(,][,)044-∞-⋃+∞⋃ C ．11[,0)(0,]44-⋃D ．11[,]44-【答案】D 【解析】点(),M x y 为圆上的点，如图所示，设直线y kx =与圆相切， 则圆心()0,2到直线0kx y -=的距离为1，即：221,31k k =∴=±+，据此可得：(),33,yx⎤⎡∈-∞-⋃+∞⎦⎣，当0xy =时，目标函数的值为0z =，否则：目标函数：22144xy z x y x y y x==++，令y t x=，则14z t t=+，(),33,t ⎤⎡∈-∞-⋃+∞⎦⎣ 结合对勾函数的性质可得：(][),,444t t???++U ，结合反比例函数的性质可得目标函数的取值范围是11,00,44⎡⎫⎛⎤-⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎦U，综上可得，目标函数的取值范围是11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.本题选择D选项.12．【黑龙江省大庆实验中学2018-2019学年高一下学期期末】已知实数x1,x2,y1,y2满足x12+y12=1,x22+ y22=1,x1x2+y1y2=0，则|x1+y1−2|+|x2+y2−2|的最大值为（）A．8B．2√2C．4D．6【答案】D【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2)，∵x12+y12=1,x22+y22=1,x1x2+y1y2=0，∴A,B均在圆x2+y2=1上，且OA⊥OB，设AB的中点为C，则点C到原点的距离为√22，∴点C在圆x2+y2=12上，设A,B,C到直线x+y−2=0的距离分别为d1,d2,d，∵|x1+y1−2|+|x2+y2−2|=√2(|x1+y1−2|+|x2+y2−2|√2)=√2(d1+d2)=2√2d，∴d max=√2+√22=3√22，∴|x1+y1−2|+|x2+y2−2|≤2√2⋅3√22=6.13．已知变量,x y满足条件1290xx yx y≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，若目标函数z ax y=+仅在点（3，3）处取得最小值，则a的取值范围是__________.【答案】1a<-【解析】变量,x y满足的条件1290xx yx y⎧⎪-⎨⎪+-⎩………对应的平面区域如图所示：因为目标函数z＝a x+y，仅在（3，3）处取得最小值，所以目标函数z＝a x+y的位置应如图所示，故其斜率需满足 k＝﹣a＞1⇒a ＜﹣1．故答案为a＜﹣1．14．【安徽省六安市第一中学2017-2018学年高一下学期期末】不等式组21y xy kxy≤-+⎧⎪≤-⎨⎪≥⎩所表示的平面区域的面积等于14，则k=__________．【答案】1 【解析】∵不等式组21y xy kxy≤-+⎧⎪≤-⎨⎪≥⎩所表示的平面区域三角形，如图：平面为三角形所以过点（2，0），∵y=kx﹣1，与x轴的交点为（1k，0），y=kx﹣1与y=﹣x+2的交点为（32111kk k-++，），三角形的面积为：1121221kk k-⎛⎫⨯-⨯⎪+⎝⎭=14，解得：k=1．故答案为：1．15．【河南省安阳一中、安阳正一中学2018届高三第十一次模拟】已知,x y 满足条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若目标函数=+z -ax y 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为__________． 【答案】2或1-. 【解析】画出不等式组20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩对应的平面区域如图中阴影所示将=+z ax y -转化为=+y ax z ，所以目标函数z 代表直线=+y ax z 在y 轴上的截距 若目标函数=+z ax y -取得最大值的最优解不唯一则直线=+y ax z 应与直线20x y +-=或220x y -+=平行，如图中虚线所示 又直线20x y +-=和220x y -+=的斜率分别为1-和2 所以2a =或1a =- 故答案为：2或1-.16．【青海省西宁市湟川中学2019届高三上学期第三次月考】若,x y 满足约束条件21022020x y x y x y -+≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，3z x y m =++的最小值为1，则m =________．【答案】4【解析】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：3z x y m =++取最小值时，即3y x m z =--+在y 轴截距最小平移直线3y x =-可知，当3y x m z =--+过A 点时，在y 轴截距最小由220210x y x y -+=⎧⎨-+=⎩得：()1,0A -min 301z m ∴=-++=，解得：4m =本题正确结果：417．某工厂用两种不同的原料均可生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可生产产品90kg ；若采用乙种原料，每吨成本1500元，运费400元，可生产产品100kg .若每日预算总成本不得超过6000元，运费不得超过2000元，则此工厂每日最多可生产多少千克产品？ 【答案】440kg 【解析】设工厂每日需用甲原料x 吨，乙原料y 吨，可生产产品z 千克，根据题意可知，变量x 、y 所满足的约束条件为10001500600050040020000,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩，即231254200,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩，目标函数为90100z x y =+，作直线:901000l x y '+=， 作一组直线l '平行的直线():90100l x y z z R +=∈，当直线l 经过点1220,77⎛⎫⎪⎝⎭时，直线l 在x 轴上的截距最大，此时z 取最大值，即()max 12209010044077z kg =⨯+⨯=. 答：工厂每日最多生产440千克产品.18．已知实数x 、y 满足142521x y x y x y ≤+≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，当1a >-时，求z y ax =-的最值.【答案】当12a -<≤时，min 12z a =--，max 73z a =+； 当2a >时，min 13z a =-，max 73z a =+. 【解析】①当12a -<≤时，如下图所示：平移直线z y ax =-，当该直线经过点A 时，该直线在y 轴上的截距最大，此时z 取最大值，即()max 7373z a a =--=+，当该直线经过点D 时，该直线在y 轴上的截距最小，此时z 取最小值，即min 12z a =--；②当2a >时，平移直线z y ax =-，当该直线经过点A 时，该直线在y 轴上的截距最大，此时z 取最大值，即()max 7373z a a =--=+，当该直线经过点C 时，该直线在y 轴上的截距最小，此时z 取最小值，即min 13z a =-.综上所述：当12a -<≤时，min 12z a =--，max 73z a =+； 当2a >时，min 13z a =-，max 73z a =+.19．已知x,y 满足约束条件x 0,y 0,x y s,y 2x 4,≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩当3≤s≤5时,求目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值的取值范围.【答案】[]max 7,8z ∈ 【解析】 由,24,x y s y x +=⎧⎨+=⎩可得4,24,x s y s =-⎧⎨=-⎩ 32z x y =+可化为322zy x =-+.当34s ≤<时，作出可行域，如图①中阴影部分所示，图①其中()2,0A ，()4,24B s s --，()0,C s ，易知当直线322zy x =-+经过B 点时，z 取得最大值，()()max 342244,34s z s s s =⨯-+⨯-=+≤<Q ，max 78z ∴≤<.当45s ≤≤时，作出可行域，如图②中阴影部分所示，其中()2,0A ，()0,4D ，图②易知当直线322zy x =-+经过D 点时，z 取到最大值，max 30248z =⨯+⨯=.综上所述，[]max 7,8z ∈. 20．若x ，y 满足约束条件1122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩.（1）求目标函数21z x y =-+的最值；（2）求目标函数()22512z x y ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭的最值. 【答案】（1）最大值为4，最小值为0；（2）最大值为734，最小值为258。
人教a版必修5学案：3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(含答案)
3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题材拓展1．二元一次不等式(组)表示平面区域(1)直角坐标平面内的一条直线Ax ＋By ＋C ＝0把整个坐标平面分成三部分，即直线两侧的点集和直线上的点集．(2)若点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)在直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的同侧(或异侧)，则Ax 1＋By 1＋C 与Ax 2＋By 2＋C 同号(或异号)．(3)二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．2．画二元一次不等式表示的平面区域常 采用“直线定界，特殊点定域”的方法(1)直线定界，即若不等式不含等号，应把直线画成虚线；含有等号，把直线画成实线． (2)特殊点定域，即在直线Ax ＋By ＋C ＝0的某一侧取一个特殊点(x 0，y 0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的区域就是包括这个点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．特别地，当C ≠0时，常把原点作为测试点．当C ＝0时，常把点(1,0)或点(0,1)作为测试点．3．补充判定二元一次不等式表示的区域 的一种方法先证一个结论已知点P (x 1，y 1)不在直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0 (B ≠0)上，证明： (1)P 在l 上方的充要条件是B (Ax 1＋By 1＋C )>0； (2)P 在l 下方的充要条件是B (Ax 1＋By 1＋C )<0. 证明 (1)∵B ≠0，∴直线方程化为y ＝－A B x －CB，∵P (x 1，y 1)在直线上方，∴对同一个横坐标x 1，直线上点的纵坐标小于y 1，即y 1>－A B x 1－CB.(*)∵B 2>0，∴两端乘以B 2，(*)等价于B 2y 1>(－Ax 1－C )B ， 即B (Ax 1＋By 1＋C )>0.(2)同理，由点P 在l 下方，可得y 1<－A B x 1－CB，从而得B 2y 1<(－Ax 1－C )B ，移项整理为B (Ax 1＋By 1＋C )<0. ∵上述解答过程可逆，∴P 在l 上方⇔B (Ax 1＋By 1＋C )>0， P 在l 下方⇔B (Ax 1＋By 1＋C )<0. 从而得出下列结论：(1)B >0时，二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0上方的平面区域(不包括直线)，而Ax ＋By ＋C <0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0下方的平面区域(不包括直线)．(2)B <0时，二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0下方的区域(不包括直线)，而二元一次不等式Ax ＋By ＋C <0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0上方的平面区域(不包括直线)．(3)B ＝0且A >0时，Ax ＋C >0表示直线Ax ＋C ＝0右方的平面区域(不包括直线)，Ax ＋C <0表示直线Ax ＋C ＝0左方的平面区域(不包括直线)．(4)B ＝0且A <0时，Ax ＋C >0表示直线Ax ＋C ＝0左方的平面区域(不包括直线)，Ax ＋C <0表示直线Ax ＋C ＝0右方的平面区域(不包括直线)．法突破一、二元一次不等式组表示的平面区域方法链接：只要准确找出每个不等式所表示的平面区域，然后取出它们的重叠部分，就可以得到二元一次不等式组所表示的平面区域．例1 在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域A ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{(x ＋y ，x －y )|(x ，y )∈A }的面积为( )A ．2B ．1 C.12 D.14 解析答案 B二、平面区域所表示的二元一次不等式(组)方法链接：由平面区域确定不等式时，我们可以选用特殊点进行判断，把特殊点代入直线方程Ax ＋By ＋C ＝0，根据代数式Ax ＋By ＋C 的符号写出对应的不等式，根据是否包含边界来调整符号．例2 如图所示，四条直线x ＋y －2＝0，x －y －1＝0，x ＋2y ＋2＝0,3x －y ＋3＝0围成一个四边形，则这个四边形的内部区域(不包括边界)可用不等式组____________表示．解析 (0,0)点在平面区域内，(0,0)点和平面区域在直线x ＋y －2＝0的同侧，把(0,0)代入到x ＋y －2，得0＋0－2<0，所以直线x ＋y －2＝0对应的不等式为x ＋y －2<0，同理可得到其他三个相应的不等式为x ＋2y ＋2>0,3x －y ＋3>0，x －y －1<0， 则可得所求不等式组为三、和平面区域有关的非线性问题方法链接：若目标函数为线性时，目标函数的几何意义与直线的截距有关．若目标函数为形如z ＝y －bx －a，可考虑(a ，b )与(x ，y )两点连线的斜率．若目标函数为形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2，可考虑(x ，y )与(a ，b )两点距离的平方． 例3 (2009·山东济宁模拟)已知点P (x ，y )满足点Q (x ，y )在圆(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1上，则|PQ |的最大值与最小值为( )A ．6,3B ．6,2C ．5,3D ．5,2解析可行域如图阴影部分，设|PQ |＝d ，则由图中圆心C (－2，－2)到直线4x ＋3y －1＝0的距离最小，则到点A 距离最大．由得(－2,3)． ∴d max ＝|CA |＋1＝5＋1＝6，d min ＝|－8－6－1|5－1＝2.答案 B四、简单的线性规划问题方法链接：线性规划问题最后都能转化为求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值．例4 某家具公司制作木质的书桌和椅子两种家具，需要木工和漆工两道工序，已知木工平均四个小时做一把椅子，八个小时做一张书桌，该公司每星期木工最多有8 000个工作时；漆工平均两小时漆一把椅子，一个小时漆一张书桌，该公司每星期漆工最多有1 300个工作时，又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元，根据以上条件，怎样安排生产能获得最大利润？解 依题意设每星期生产x 把椅子，y 张书桌， 那么利润p ＝15x ＋20y .其中x ，y 满足限制条件{ 4x ＋8y ≤x ＋y ≤x ≥0，x ∈N *y ≥0，y ∈N *. 即点(x ，y )的允许区域为图中阴影部分，它们的边界分别为4x ＋8y ＝8 000(即AB )，2x ＋y ＝1 300(即BC )，x ＝0(即OA )和y ＝0(即OC )．对于某一个确定的p ＝p 0满足p 0＝15x ＋20y ，且点(x ，y )属于阴影部分的解x ，y 就是一个能获得p 0元利润的生产方案．对于不同的p ，p ＝15x ＋20y 表示一组斜率为－34的平行线，且p 越大，相应的直线位置越高；p 越小，相应的直线位置越低．按题意，要求p 的最大值，需把直线p ＝15x ＋20y 尽量地往上平移，又考虑到x ，y 的允许范围，当直线通过B 点时，处在这组平行线的最高位置，此时p 取最大值．由{ 4x ＋8y ＝8 00x ＋y ＝1 300，得B (200,900)， 当x ＝200，y ＝900时，p 取最大值， 即p max ＝15×200＋20×900＝21 000，即生产200把椅子、900张书桌可获得最大利润21 000元．区突破1．忽略截距与目标函数值的关系而致错 例1 设E 为平面上以A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界)，求z ＝4x －3y 的最大值与最小值．[错解]把目标函数z ＝4x －3y 化为y ＝43x －13z .根据条件画出图形如图所示，当动直线y ＝43x －13z 通过点C 时，z 取最大值；当动直线y ＝43x －13z 通过点B 时，z 取最小值．∴z min ＝4×(－1)－3×(－6)＝14； z max ＝4×(－3)－3×2＝－18.[点拨] 直线y ＝43x －13z 的截距是－13z ，当截距－13z 最大即过点C 时，目标函数值z 最小；而当截距－13z 最小即过点B 时，目标函数值z 最大．此处容易出错．[正解] 把目标函数z ＝4x －3y 化为y ＝43x －13z .当动直线y ＝43x －13z 通过点B 时，z 取最大值；当动直线y ＝43x －13z 通过点C 时，z 取最小值．∴z max ＝4×(－1)－3×(－6)＝14； z min ＝4×(－3)－3×2＝－18.2．最优整数解判断不准而致错 例2 设变量x ，y 满足条件求S ＝5x ＋4y 的最大值．[错解] 依约束条件画出可行域如图所示，如先不考虑x 、y 为整数的条件，则当直线5x ＋4y ＝S 过点A ⎝⎛⎭⎫95，2310时，S ＝5x ＋4y 取最大值，S max ＝18 15.因为x 、y 为整数，所以当直线5x ＋4y ＝t 平行移动时，从点A 起通过的可行域中的整点是C (1,2)，此时S max ＝13.[点拨] 上述错误是把C (1,2)作为可行域内唯一整点，其实还有一个整点B (2,1)，此时S ＝14才是最大值．[正解] 依据已知条件作出图形如图所示，因为B (2，1)也是可行域内的整点，由此得S B ＝2×5＋1×4＝14，由于14>13，故S max ＝14.温馨点评 求最优整数解时，要结合可行域，对所有可能的整数解逐一检验，不要漏掉解.题多解例 某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘．根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有() A．5种B．6种C．7种D．8种解析方法一由题意知，按买磁盘盒数多少可分三类：买4盒磁盘时，只有1种选购方式；买3盒磁盘时，有买3片或4片软件两种选购方式；买2盒磁盘时，可买3片、4片、5片或6片软件，有4种选购方式，故共有1＋2＋4＝7(种)不同的选购方式．方法二先买软件3片，磁盘2盒，共需320元，还有180元可用，按不再买磁盘，再买1盒磁盘、再买两盒磁盘三类，仿方法一可知选C.方法三设购买软件x片，磁盘y盒．则，画出线性约束条件表示的平面区域，如图所示．落在阴影部分(含边界)区域的整点有(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)共7个整点．答案 C题赏析1．(2011·浙江)设实数x，y满足不等式组{x＋2y－5>0，x＋y－7>0，x≥0，y≥0，且x，y为整数，则3x＋4y的最小值是()A．14 B．16C．17 D．19解析作出可行域，如图中阴影部分所示，点(3,1)不在可行域内，利用网格易得点(4,1)符合条件，故3x＋4y的最小值是3×4＋4×1＝16.答案 B2．(2009·烟台调研)若x，y满足约束条件{x＋y≥x－y≥－x－y≤2，目标函数z ＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围是()A．(－1,2) B．(－4,2) C．(－4,0] D．(－2,4)解析作出可行域如图所示，直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，即－4<a <2. 答案 B赏析 本题考查线性规划的基本知识，要利用好数形结合．。
高中数学 3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题习题 新人教A版必修5
二元一次不等式(组)＝＋－2＝－3.又2m250万元，分配给下属甲、乙两个工厂用以进行技术改造．已精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。
笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。
水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。
空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。
空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。
地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。
朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。
3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
1 3
）
x ≤ 2， 第 4 题. 若 y ≤ 2， 则目标函数 z x 2 y 的取值范围是（ x y ≥ 2，
Ａ． [2， 6] Ｂ． [2， 5] Ｃ． [3， 6] Ｄ． [3， 5]
第 7 题 . 点 P(a， 3) 到直线 4 x 3y 1 0 的距离等于 4 ，且在不等式 2 x y 3 表示的平面区域内，则 P 点坐标 是 ．
5 x 3 y ≤ 15， 第 8 题. 求 z 3x 5 y 的最大值和最小值，使 x ， y 满足约束条件 y ≤ x 1， . x 5 y ≤ 3．
第 17 题. 给出平面区域如图所示， 若使目标函数 z ax y (a 0) 取得最大值的最优解有无穷多个， 则 a 的值为 （ ）
Ａ．
1 4
Ｂ．
3 5
Ｃ． 4
Байду номын сангаас
Ｄ．
5 3
2 2
x 2 ≤ 0 第 13 题. 画出不等式组 x y ≥ 0 表示的平面区域，并求出此不等式组的整数解． 1 y ≥ x 1 2
第 14 题. 满足 | x | | y |≤ 2 的整点（横、纵坐标为整数）的个数是（ Ａ． 11 Ｂ． 12 Ｃ． 13 Ｄ． 14 ） ）
）
第 5 题. 设 a 是正数，则同时满足下列条件： 等式组表示的平面区域是一个凸
a a ≤ x ≤ 2a ； ≤ y ≤ 2a ； x y ≥ a ； x a ≥ y ； y a ≥ x 的不 2 2
边形．
第 6 题. 原点 O(0， 0) 与点集 A {( x，y) | x 2 y 1≥ 0，y ≤ x 2， 2 x y 5 ≤ 0}所表示的平面区域的位置关系 是 ，点 M (11) ， 与集合 A 的位置关系是 ．
高中数学人教A版必修5练习第三章 3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 3.3.1 二元一次不等式(组
．以下不等式所表示的平面区域中包含原点的是( )
．－＋< ．＋－>
．＋－≥．－≤
解析：把()代入逐个验证．
答案：
．不等式＋－≤表示的平面区域是( )
解析：把原点()代入不等式得－≤成立，所以区域包含()．
答案：
．原点和点()在直线＋＝两侧，则的取值范围是( )
．<或> ．<<
．＝或＝．≤≤解析：要使()与()在直线＋＝的两侧，则有(－)(＋－)<即可，由此解得<<.
答案：.如图，能表示平面中阴影区域的不等式组是．
解析：设直线方程为＋＝，①
将(－)，() 代入①得－＋＝.
将()代入上式是>，
将()()代入①得＋－＝，将()代入上式得－<，
∴阴影区域所对应的不等式组为
(\\(－＋≥，＋－≤，≥.))
答案：(\\(－＋≥＋－≤≥))．点()到直线－＋＝的距离等于，且在不等式＋>表示的平面区域内，则点坐标为．
解析：由题意知＝，得＝或＝－，
又点()在不等式＋>表示的平面区域内，∴＝.∴()．
答案：()
．在平面直角坐标系中，求不等式组
(\\(＋－≥，－＋≥，≤))表示的平面区域的面积．
解：在平面直角坐标系中，作出＋－＝，－＋＝，和＝三条直线，利
用特殊点()可知可行域如图阴影部分所示，其面积＝××＝.。
高中数学人教A版必修5练习第三章 3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 3.3.1 二元一次不等式(组
一、选择题．不在＋<表示的平面区域内的点是( )．() ．()．() ．()解析：可将每一个点代入＋<检验，满足不等式的就在＋<表示的平面区域内，不满足的，则不在它表示的平面区域内．点()不满足＋<.答案：．已知点(－)，既在直线＝－的上方，又在轴的右侧，则的取值范围是( ) ．(，＋∞) ．(，＋∞)．() ．()解析：∵(－)在直线＝－的上方，∴－－(－)＜.即＜.又(－)在轴右侧，∴＞.∴＜＜.答案：．完成一项装修工程，木工和瓦工的比例为∶，请木工需付工资每人元，请瓦工需付工资每人元，现有工资预算元，设木工人，瓦工人，，满足的条件是( ) (\\(＋≤、∈*))(\\(＋≤ ,()＝()))(\\(＋≤,()＝()、∈*))(\\(＋<,()＝()))解析：∵木工和瓦工各请、人，∴有∶＝∶，＋≤，且、∈*.答案：．若不等式组(\\(≥，＋≥，＋≤))所表示的平面区域被直线＝＋分为面积相等的两部分，则的值是( )解析：不等式组表示的平面区域如下图所示的阴影部分△由(\\(＋＝，＋＝，))得()，又()，(，)∴△＝(－)×＝，设＝＋与＋＝的交点为.则由△＝△＝，知＝，∴＝.∴＝×＋，＝.答案：二、填空题．由直线＋＋＝，＋＋＝和＋＋＝围成的三角形区域(包括边界)用不等式(组)可表示为．答案：(\\(＋＋≥＋＋≤＋＋≤))．已知，为非负整数，则满足＋≤的点(，)共有个．解析：由题意点(，)的坐标应满足(\\(∈∈＋≤))，由图可知，整数点有()，()，()()()()个．答案：．不等式＋≤所表示的平面区域的面积为．解析：原不等式等价于(\\(＋≤，≥，≥－≤，≥，≤－≥－，≤，≥＋≥－，≤，≤))其表示的平面区域如图中阴影部分．∴＝()＝.答案：．已知是由不等式组(\\(－≥＋≥))所确定的平面区域，则圆＋＝在区域内的弧长为．解析：作出区域及圆＋＝如图所示，图中阴影部分所在圆心角θ＝α＋β所对弧长即为所求，易知图中两直线的斜率分别为，－⇒α＝，β＝，θ＝(α＋β)＝＝⇒θ＝⇒弧长＝θ·＝×＝.答案：三、解答题．一名刚参加工作的大学生为自己制定的每月用餐费的最低标准是元，又知其他费用最少需支出元，而每月可用来支配的资金为元，这名新员工可以如何使用这些钱？请用不等式(组)表示出来，并画出对应的平面区域．解：不妨设用餐费为元，其他费用为元，由题意知不小于，不小于，。
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3.3 二元一次不等式组与简单的线性规划问题（苏教版必修5）1.2.3.点M4.若,x=z x256从Aw9.（20分）医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐.甲种原料每10 g含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元.若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质.试问：应如何使用甲、乙两种原料，才能满足既营养，又使费用最省？10．(20分)某玩具生产工厂每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时.若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元.（1）用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润w（元）.（2）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？3.3二元一次不等式组与简单的线性规划问题（苏教版必修5）答题纸得分：一、填空题1. 2. 3． 4． 5. 6.二、解答题7.8.9.10.3.3二元一次不等式组与简单的线性规划问题(苏教版必修5)参考答案1.[-1，2]解析：作出可行域（如图所示），因为目标函数z x y=-中y的系数-1＜0，而直线y x z=-表示斜率为1的一族直线，所以当它过点（2，0）时，在y轴上的截距最小，此时z取最大值2；当它过点（0，1）时，在y轴上的截距最大，此时z取最小值-1，所以z x y=-的取值范围是[-1，2].第1题图第2题图2.57a≤＜解析：作出如图所示图形，根据图形可知57a≤＜.3.322解析：点P所在的可行域如图中阴影部分所示，点M到点(11)A，，(22)B，的距离分别为5，5.又点M(3，0)到直线0x y-=的距离为32，故PM的最小值为32.第3题图第4题图4.4 -4解析：作出满足约束条件的可行域（如图阴影部分所示），可知在可行域内的整点有（-2，0），（-1，0），（0，0），（1，0），（2，0），（-1，1），（0，1），（1，1），（0，2），分别代入2z x y=+可知当20x y==，时，z的最大值为4；当20x y=-=，时，z的最小为-4.5.3解析：（1，1），（1，2），（2，1），共3个.6.93解析：依题意得504203003010091400xyx yx y⎧≤≤⎪⎪⎪≤≤⎨⎪≤+≤⎪⎪>>⎩，，，，，考查23z x y=+的最大值，作出可行域，平移直线230x y+=，当直线经过点（4，10）时，z取得最大值38.故当12.530v w==，时所需要的经费最少，此时所需的经费为93元.7.解：先画出直线240x y+-=，由于含有等号，所以画成实线.取直线240x y+-=左下方的区域的点（0，0），由于2×0+0-4＜0，所以不等式240x y+-≤表示直线240x y+-=及其左下方的区域.同理对另外两个不等式选取合适的测试点，可得不等式2x y>表示直线2x y=右下方的区域，不等式0y≥表示x轴及其上方的区域.取三个区域的重叠部分，就是上述不等式组所表示的平面区域，如图所示.第7题图第8题图8.解：画出三条直线，并用阴影表示三角形区域，如图所示.取原点（0，0），将00x y==，代入2x y++得2＞0，代入21x y++，得1＞0，代入21x y++得1＞0.结合图形可知，三角形区域用不等式组可表示为20,210,210.x y x y x y ++≥⎧⎪++≤⎨⎪++≤⎩9.解：设甲、乙两种原料分别用10x g 和10y g ，总费用为z 元，则5735,10440,0,0,x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩目标函数为32z x y =+，作出可行域如图所示.第9题图把32z x y =+变形为322zy x =-+，得到斜率为32-，在y 轴上的截距为2z ，随z 变化的一族平行直线.由图可知，当直线322zy x =-+经过可行域上的点A 时，截距2z 最小，即z 最小.由10440,5735,x y x y +=⎧⎨+=⎩得14,35A ⎛⎫⎪⎝⎭.∴min 1432314.45z =⨯+⨯=. ∴选用甲种原料145×10=28（g ），乙种原料3×10=30（g ）时，费用最省. 10.解：（1）依题意每天生产的伞兵个数为100x y --，所以利润563(100)23300w x y x y x y =++--=++.（2）约束条件574(100)600100000(,)x y x y x y x y x y ++--≤⎧⎪--≥⎨⎪≥≥∈⎩，，，，N整理，得320010000(,).x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥∈⎩，，，N目标函数为23300w x y =++.作出可行域（如图中阴影部分中的整点）.第10题图初始直线0230l x y +=：，平移初始直线经过点A 时，w 有最大值. 由3200100x y x y +=⎧⎨+=⎩，，得5050.x y =⎧⎨=⎩，最优解为(5050)A ，，所以max w =550.答：每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，为550元.。
2019-2020学年高中数学(人教版必修五)教师文档：第三章 §3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问
3．3.1 二元一次不等式(组)与平面区域(二)学习目标 1.巩固对二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域的理解.2.能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件．知识点一 二元一次不等式组所表示的平面区域1．因为同侧同号，异侧异号，所以可以用特殊点检验，判断Ax ＋By ＋C >0的解集到底对应哪个区域？当C ≠0时，一般取原点(0,0)，当C ＝0时，常取点(0,1)或(1,0)． 2．二元一次不等式组的解集是组成该不等式组的各不等式解集的交集． 知识点二 约束条件思考 一家银行的信贷部计划年初投入25000000元用于企业投资和个人贷款，希望这笔资金至少可带来30000元的收益，其中从企业贷款中获益12%，从个人贷款中获益10%，假设信贷部用于企业投资的资金为x 元，用于个人贷款的资金为y 元．那么x 和y 应满足哪些不等关系？ 答案 分析题意，我们可得到以下式子 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤25000000，12x ＋10y≥3000000，x≥0，y≥0.梳理 很多生产生活方案的设计要受到各种条件限制．这些限制就是所谓的约束条件．像思考中的“用于企业投资的资金为x 元，用于个人贷款的资金为y 元”称为决策变量．要表达约束条件，先要找到决策变量，然后用这些决策变量表示约束条件．同时还有像思考中的“x ≥0，y ≥0”在题目中并没有明确指出，但是在生产生活中默认的条件，也要加上．类型一 含参数的约束条件 例1 已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，x ＋y －4≤0，kx －y≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．0或1答案 A解析 条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，x ＋y －4≤0表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示，要使约束条件表示直角三角形区域， 直线kx －y ＝0要么垂直于直线x ＝1， 要么垂直于直线x ＋y －4＝0， ∴k ＝0或k ＝1. 当k ＝0时，直线kx －y ＝0即y ＝0，交直线x ＝1，x ＋y －4＝0于B (1,0)，C (4,0)．此时约束条件表示△ABC 及其内部，其面积S △ABC ＝12·|BC |·|AB |＝12×3×3＝92≠1.同理可验证当k ＝1时符合题意．反思与感悟 平面区域面积问题的解题思路． (1)求平面区域的面积：①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可．(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解． 跟踪训练1 已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，3x －y －3≤0表示的平面区域为D ，若直线y ＝kx ＋1将区域D 分成面积相等的两部分，则实数k 的值是________． 答案 13解析 由题意可得A (0,1)，B (1,0)，C (2,3)．则不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0x ＋y －1≥03x －y －3≤0表示的平面区域为△ABC 及其内部．直线y ＝kx ＋1过点A .要把△ABC 分成面积相等的两部分，需过BC 中点M (32，32)．此时k ＝32－132－0＝1232＝13.类型二 不等式组表示平面区域在生活中的应用 命题角度1 整数解例2 要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：今需要A 、B 、C 三种规格的成品分别为15、18、27块，用数学关系式和图形表示上述要求． 解 设需要截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张．则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y≥15，x ＋2y≥18，x ＋3y≥27，x∈N，y∈N.用图形表示以上限制条件，得到如图所示的平面区域(阴影部分)内的整点(横坐标、纵坐标均为整数)．反思与感悟 求解不等式组在生活中的应用问题．首先要认真分析题意，设出未知量；然后根据题中的限制条件列出不等式组．注意隐含的条件如钢板块数为自然数．跟踪训练2 某人准备投资1200万兴办一所民办中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格(以班级为单位)：因生源和环境等因素，办学规模以20到30个班为宜．分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件． 解 设开设初中班x 个，开设高中班y 个，根据题意，总共招生班数应限制在20～30之间，所以有20≤x ＋y ≤30.考虑到所投资金的限制，得到26x ＋54y ＋2×2x ＋2×3y≤1200，即x ＋2y ≤40. 另外，开设的班数应为自然数x ∈N ，y ∈N .把上面的四个不等式合在一起，得到⎩⎪⎨⎪⎧20≤x＋y≤30，x ＋2y≤40，x∈N，y∈N.用图形表示这个限制条件，得到如下图中阴影部分(含边界)的平面区域．命题角度2 实数解例3 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种混合肥料．列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域． 解 设x 、y 分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，则满足以下条件⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y≤10，18x ＋15y≤66，x≥0，y≥0.(*)在直角坐标系中画出不等式组(*)所表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示．跟踪训练3 某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐，已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.列出满足上述营养要求所需午餐和晚餐单位个数的数学关系式．解 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，则依题意x ，y 满足 ⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y≥0，12x ＋8y≥64，6x ＋6y≥42，6x ＋10y≥54，即⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y≥0，3x ＋2y≥16，x ＋y≥7，3x ＋5y≥27.1．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥0，x －y ＋4≥0，x≤a (a 为常数)表示的平面区域的面积是9，那么实数a的值为( ) A ．32＋2 B ．－32＋2 C ．－5 D ．1答案 D解析 平面区域如图阴影部分(含边界)所示，易求得A (－2,2)，B (a ，a ＋4)，C (a ，－a )． S △ABC ＝12|BC |·|a ＋2|＝(a ＋2)2＝9，由题意得a ＝1(a ＝－5不满足题意，舍去)．2．完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成．请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工x 人，瓦工y 人，满足工人工资预算条件的数学关系式为________________． 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋40y≤2000，x∈N*，y∈N*3．画出二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤1，x≥0，y≥0表示的平面区域，则这个平面区域的面积为________．答案 12解析 平面区域如图阴影部分(含边界)所示．S 阴＝12×1×1＝12.1．平面区域的画法：二元一次不等式的标准化与半平面的对应性．对于A >0的直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，Ax ＋By ＋C >0对应直线l 右侧的平面；Ax ＋By ＋C <0对应直线l 左侧的平面．2．由一组直线围成的区域形状常见的有三角形、四边形、多边形以及扇形域和带状域等．3．找约束条件的关键是先找到决策变量，然后准确地用决策变量表示约束条件，并注意实际含义对变量取值的影响．40分钟课时作业一、选择题1．在平面直角坐标系中，若点(－2，t )在直线x －2y ＋4＝0的上方，则t 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．(1，＋∞) C ．(－1，＋∞) D ．(0,1)答案 B解析 将x ＝－2代入直线x －2y ＋4＝0中，得y ＝1.因为点(－2，t )在直线上方，∴t >1. 2．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，x ＋3y≥4，3x ＋y≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是( ) A.73 B.37 C.43 D.34答案 A解析 不等式组表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点(0，43)，因此只有直线过AB 的中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域．因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 的中点M (12，52)．当y ＝kx ＋43过点(12，52)时，52＝k 2＋43，所以k ＝73.3．若平面区域⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤2，0≤y≤2，y≤kx－2是一个梯形，则实数k 的取值范围是( )A ．(1,3]B ．C ．(1,2]D ．(2，＋∞)答案 D解析 如图，⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤2，0≤y≤2表示的区域是一个正方形，当直线y ＝kx －2与线段BC (不含端点)相交时，所给区域表示梯形，由图可得k ＞2－(－2)2－0＝2.4．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( ) A ．2B ．1C ．－13D ．－12答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，3x ＋y －8＝0，得M (3，－1)．此时直线OM 的斜率最小且为－13.5．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y≥0，2x ＋y≤2，y≥0，x ＋y≤a表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ B ．(0,1]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，43 D ．(0,1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞答案 D解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y≥0，2x ＋y≤2，y≥0表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，求得A ，B 两点的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23和(1,0)，若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是0＜a ≤1或a ≥43.6．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D .若指数函数y ＝a x的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是( )A ．(1,3]B ．C ．(1,2]D ．[3，＋∞)答案 A解析 作出不等式组表示的平面区域D ，为如图阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11＝0，3x －y ＋3＝0，得交点A (2,9)．对于y ＝a x的图象，当0<a <1时，没有点在区域D 上． 当a >1，y ＝a x恰好经过A 点时， 由a 2＝9，得a ＝3.要满足题意，需满足a 2≤9， 解得1<a ≤3. 二、填空题7．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B 原料不超过18吨，设该企业生产甲产品为x 吨，乙产品为y 吨，那么该企业生产甲、乙两种产品的数量满足的关系式为__________________． 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y≥0，3x ＋y≤13，2x ＋3y≤188．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，y≥a，0≤x≤2表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是________．答案 [5,7)解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，0≤x≤2表示的平面区域如图中的阴影部分所示，用平行于x 轴的直线截该平面区域，若得到一个三角形，则a 的取值范围是5≤a <7. 9．若A 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≤0，y≥0，y －x≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过A中的那部分区域的面积为________． 答案 74解析 如图所示，区域A 表示的平面区域为△OBC 内部及其边界组成的图形，当a 从－2连续变化到1时扫过的区域为四边形ODEC 所围成的区域．又D (0,1)，B (0,2)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，C (－2,0)． S 四边形ODEC ＝S △OBC －S △BDE ＝2－14＝74.10．记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，x ＋3y≥4，3x ＋y≤4所表示的平面区域为D ，若直线y ＝a (x ＋1)与D 有公共点，则a 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4 解析 不等式组所表示的平面区域D 为如图所示阴影部分(含边界)，且A (1,1)，B (0,4)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43. 直线y ＝a (x ＋1)恒过定点P (－1,0)且斜率为a . 由斜率公式可知k AP ＝12，k BP ＝4.若直线y ＝a (x ＋1)与区域D 有公共点， 数形结合可得12≤a ≤4.三、解答题11．某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．列出该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间的关系式，并画出相应的平面区域．解 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y≤300，500x ＋200y≤90000，x≥0，y≥0.用图形表示以上限制条件，得到如图的平面区域(阴影部分，含边界)．12．制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.若投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，列出投资人对甲、乙两个项目投资数的数学关系式，并画出相应的平面区域．解 设投资人分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤10，0.3x ＋0.1y≤1.8，x≥0，y≥0， 上述不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分(含边界)．13．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx ＋my －4＝0相交于P 、Q 两点，且P 、Q 关于直线x ＋y ＝0对称，则不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ kx －y ＋1≥0，kx －my≤0，y≥0表示的平面区域的面积是多少？解 P 、Q 关于直线x ＋y ＝0对称，故PQ 与直线x ＋y ＝0垂直，直线PQ 即为直线y ＝kx ＋1，故k ＝1； 又线段PQ 为圆x 2＋y 2＋kx ＋my －4＝0的一条弦，故该圆的圆心在线段PQ 的垂直平分线上，即为直线x ＋y ＝0，又圆心为(－k 2，－m 2)，∴m ＝－k ＝－1， ∴不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1≥0，x ＋y≤0，y≥0.它表示的平面区域如图所示，是一个三角形，直线x －y ＋1＝0与x ＋y ＝0的交点为(－12，12)， ∴S △＝12×1×12＝14. 故平面区域的面积为14.。
人教A版高中数学必修5第三章 不等式3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题习题(2)
课时规范练 A 组 基础对点练1．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，x ≤3，则z ＝2x －3y 的最小值是( )A ．－7B ．－6C ．－5D ．－3解析：由约束条件作出可行域如图中阴影区域．将z ＝2x －3y 化为y ＝23x －z 3，作出直线y ＝23x 并平移使之经过可行域，易知直线经过点C (3,4)时，z 取得最小值，故z min ＝2×3－3×4＝－6. 答案：B2．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．2解析：作出可行域如图中阴影部分所示，由z ＝2x －y 得y ＝2x －z ，作出直线y ＝2x ，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点B (5,2)时，对应的z 值最大．故z max ＝2×5－2＝8.答案：B3．(2018·日照模拟)已知变量x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x －2y ＋3≥0，x ≥0，则z ＝(2)2x ＋y 的最大值为( )A. 2 B ．2 2 C ．2D ．4解析：作出满足不等式组的平面区域，如图所示，令m ＝2x ＋y ，则当m 取得最大值时，z ＝(2)2x ＋y 取得最大值．由图知直线m＝2x ＋y 经过点A (1,2)时，m 取得最大值，所以z max ＝(2)2×1＋2＝4，故选D.答案：D4．(2018·郑州模拟)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ＋2，x ＋y ≤6，x ≥1，则z ＝2|x －2|＋|y |的最小值是( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：画出不等式组⎩⎨⎧y ≥x ＋2，x ＋y ≤6，x ≥1表示的可行域，如图阴影部分，其中A (2,4)，B (1,5)，C (1,3)，∴x ∈[1,2]，y ∈[3,5]．∴z ＝2|x －2|＋|y |＝－2x ＋y ＋4，当直线y ＝2x －4＋z 过点A (2,4)时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 有最小值，∴z min ＝－2×2＋4＋4＝4，故选C. 答案：C5．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －y －1≤0，x －3y ＋3≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为( )A ．8B ．7C ．2D ．1解析：作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线y ＝－12x ，平移直线y ＝－12x ，当直线y ＝－12x ＋z2经过点C 时在y轴上的截距z2取得最大值，即z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0x －3y ＋3＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝2，即C (3,2)，代入z ＝x ＋2y 得z max ＝3＋2×2＝7，故选B. 答案：B6．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D ，有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2；p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2； p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3； p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1. 其中的真命题是( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p1，p 2D ．p 1，p 3解析：画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z ＝x ＋2y 经过可行域内的点A (2，－1)时，取得最小值0，故x ＋2y ≥0，因此p 1，p 2是真命题，选C. 答案：C7．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．3B ．－3C ．1D.32解析：作出可行域，如图所示的阴影部分，当直线z ＝2x ＋y 过点A (2，－1)时，z 最大是3，故选A.答案：A8．若实数x ，y 满足：|x |≤y ≤1，则x 2＋y 2＋2x 的最小值为( ) A.12 B ．－12C.22D.22－1 解析：作出不等式|x |≤y ≤1表示的可行域，如图．x 2＋y 2＋2x ＝(x ＋1)2＋y 2－1，(x ＋1)2＋y 2表示可行域内的点(x ，y )到点(－1,0)距离的平方，由图可知，(x ＋1)2＋y 2的最小值为⎝⎛⎭⎫222＝12，所以x 2＋y 2＋2x 的最小值为12－1＝－12.选B.答案：B9．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(1,1)处取得最大值，则a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫12，1 B.⎝⎛⎭⎫0，12 C ．(0,1)D.⎝⎛⎭⎫12，2解析：约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l ：ax＋y ＝0，过点(1,1)作l 的平行线l ′，要满足题意，则直线l ′的斜率介于直线x ＋2y －3＝0与直线y ＝1的斜率之间，因此，－12<－a <0，即0<a <12.故选B.答案：B10．(2018·沈阳质量监测)实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ＋2x ＋y －2≥0，x ≤2则z ＝|x －y |的最大值是( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：依题意画出可行域如图中阴影部分所示，令m ＝y －x ，则m 为直线l ：y ＝x ＋m 在y 轴上的截距，由图知在点A (2,6)处m 取最大值4，在C (2,0)处取最小值－2，所以m ∈[－2,4]，所以z 的最大值是4，故选B. 答案：B11．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( )A ．0B ．3C ．4D ．5解析：不等式组⎩⎨⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0表示的可行域如图中阴影部分所示(含边界)，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝0，x ＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，故当目标函数z ＝2x ＋y 经过点A (1,2)时，z 取得最大值，z max ＝2×1＋2＝4.故选C. 答案：C12．若变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，y ≤1，x >－1，则(x －2)2＋y 2的最小值为( )A.322B. 5C.92D ．5解析：作出不等式组对应的平面区域如图，设z ＝(x －2)2＋y 2，则z 的几何意义为区域内的点到定点D (2,0)的距离的平方， 由图知C 、D 间的距离最小，此时z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝1，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即C (0,1)， 此时z min ＝(x －2)2＋y 2＝4＋1＝5，故选D. 答案：D13．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．解析：约束条件对应的平面区域是以点(1，12)、(0,1)和(－2，－1)为顶点的三角形，当目标函数y ＝－x ＋z 经过点(1，12)时，z 取得最大值32.答案：3214．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0，则z ＝x －2y 的最小值为________．解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，由z ＝x －2y 得y ＝12x－12z ，作直线y ＝12x 并平移，观察可知，当直线经过点A (3,4)时，z min ＝3－2×4＝－5. 答案：－515．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，若使得z ＝ax ＋y 取最大值的点(x ，y )有无数个，则a 的值等于__________．解析：先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，当直线z ＝ax ＋y 能和直线AB 重合时，z 取得最大值的点(x ，y )有无数个，∴－a ＝k AB ＝1，∴a ＝－1.答案：－116．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0x －2y －1≤0，x ≤1则z ＝2x ＋3y －5的最小值为________．解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图可知z ＝2x ＋3y －5经过点A (－1，－1)时，z 取得最小值，z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.答案：－10B 组 能力提升练1．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤0，x －y ≤0，x 2＋y 2≤r 2(r 为常数)表示的平面区域的面积为π，若x 、y 满足上述约束条件，则z ＝x ＋y ＋1x ＋3的最小值为( )A ．－1B ．－52＋17C.13D ．－75解析：作出不等式组表示的平面区域，如图所示，由题意，知14πr 2＝π，解得r ＝2，z ＝x ＋y ＋1x ＋3＝1＋y －2x ＋3，易知y －2x ＋3表示可行域内的点(x ，y )与点P (－3,2)的连线的斜率，由图可知当点(x ，y )与点P 的连线与圆x 2＋y 2＝r 2相切时斜率最小．设切线方程为y －2＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＋2＝0，则有|3k ＋2|k 2＋1＝2，解得k ＝－125或k ＝0(舍)，所以z min ＝1－125＝－75，故选D.答案：D2．已知区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，3x －y －3≤0的面积为S ，点集T ＝{(x ，y )∈D |y ≥kx ＋1}在坐标系中对应区域的面积为12S ，则k 的值为( )A.13B.12 C ．2D ．3解析：作出不等式组对应的区域，如图中阴影部分所示． 直线y ＝kx ＋1过定点A (0，1)，点集T ＝{(x ，y )∈D |y ≥kx ＋1}在坐标系中对应区域的面积为12S ，则直线y ＝kx ＋1过BC 中点E .由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1＝0，3x －y －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，即B (2,3)． 又C (1,0)，∴BC 的中点为E ⎝⎛⎭⎫32，32，则32＝32k ＋1，解得k ＝13，故选A. 答案：A3．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－3解析：联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝ax －y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －12y ＝a ＋12，代入x ＋ay ＝7中，解得a ＝3或－5，当a ＝－5时，z ＝x ＋ay 的最大值是7；当a ＝3时，z ＝x ＋ay 的最小值是7，故选B. 答案：B4．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为( ) A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1解析：如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2；当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1. 答案：D5．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C与x 轴相切，则 a 2＋b 2的最大值为 ( ) A ．5 B ．29 C ．37D ．49解析：平面区域Ω为如图所示的阴影部分，因为圆心C (a ，b )∈Ω，且圆C 与x 轴相切，所以点C 在如图所示的线段MN 上，线段MN 的方程为y ＝1(－2≤x ≤6)，由图形得，当点C 在点N (6,1)处时，a 2＋b 2取得最大值62＋12＝37，故选C. 答案：C6．(2018·河南八市高三质检)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＋y ≤4，－2x ＋y ＋c ≥0，目标函数z ＝6x ＋2y 的最小值是10，则z 的最大值是( ) A ．20 B ．22 C ．24D ．26解析：由z ＝6x ＋2y ，得y ＝－3x ＋z2，作出不等式组所表示可行域的大致图形如图中阴影部分所示，由图可知当直线y ＝－3x ＋z2经过点C时，直线的纵截距最小，即z ＝6x ＋2y 取得最小值10，由⎩⎪⎨⎪⎧ 6x ＋2y ＝10，x ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，即C (2，－1)，将其代入直线方程－2x ＋y ＋c ＝0，得c ＝5，即直线方程为－2x ＋y ＋5＝0，平移直线3x ＋y ＝0，当直线经过点D 时，直线的纵截距最大，此时z 取最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋y ＋5＝0，x ＋y ＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，即D (3,1)，将点D 的坐标代入目标函数z ＝6x ＋2y ，得z max ＝6×3＋2＝20，故选A. 答案：A7．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )A ．2B ．－2 C.12D ．－12解析：作出线性约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0的可行域．当k ≥0时，如图(1)所示，显然此时z ＝y －x 无最小值．当k <－1时，z ＝y －x 取得最小值2；当k ＝－1时，z ＝y －x 取得最小值－2，均不符合题意．当－1<k <0时，如图(2)所示，此时可行域为点A (2,0)，B ⎝⎛⎭⎫－2k ，0，C (0,2)所围成的三角形区域，当直线z ＝y －x 经过点B ⎝⎛⎭⎫－2k ，0时，有最小值，即－⎝⎛⎭⎫－2k ＝－4，即k ＝－12.故选D.答案：D8．已知P (x ，y )为区域⎩⎪⎨⎪⎧y 2－x 2≤0，0≤x ≤a 内的任意一点，当该区域的面积为4时，z ＝2x －y 的最大值是( ) A ．6 B ．0 C ．2D ．2 2解析：由⎩⎨⎧y 2－x 2≤0，0≤x ≤a作出可行域如图，易求得A (a ，－a )，B (a ，a )， 由题意知S △OAB ＝12·2a ·a ＝4，得a ＝2.∴A (2，－2)，当y ＝2x －z 过A 点时，z 最大，z max ＝2×2－(－2)＝6.故选A. 答案：A9．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤0，x －2y －1≥0，x －4y －3≤0，则z ＝3x ＋5y 的取值范围是( )A ．[3，＋∞)B ．[－8,3]C ．(－∞，9]D ．[－8,9]解析：作出可行域，如图所示的阴影部分，由z ＝3x ＋5y ，得y ＝－35x ＋15z ，15z 表示直线y＝－35x ＋15z 在y 轴上的截距，截距越大，z 越大．由图可知，当z ＝3x ＋5y 经过点A 时z 最小；当z ＝3x ＋5y 经过点B 时z 最大，由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＝3，y ＝0可得B (3,0)，此时z max ＝9，由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＝3，x －2y ＝1可得A (－1，－1)，此时z min ＝－8，所以z ＝3x＋5y 的取值范围是[－8,9]． 答案：D10．(2018·贵阳监测)已知O 是坐标原点，点A (－1,2)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2x ≤1y ≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是( ) A ．[－1,0] B ．[0,1] C ．[1,3]D ．[1,4]解析：作出点M (x ，y )满足的平面区域，如图中阴影部分所示，易知当点M 为点C (0,2)时，OA →·OM →取得最大值，即为(－1)×0＋2×2＝4，当点M 为点B (1,1)时，OA →·OM →取得最小值，即为(－1)×1＋2×1＝1，所以OA →·OM →的取值范围为[1,4]，故选D. 答案：D11．(2018·石家庄质检)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥－1，4x ＋y ≤9，x ＋y ≤3，若目标函数z ＝y －mx (m >0)的最大值为1，则m 的值是( ) A ．－209B ．1C ．2D ．5解析：作出可行域，如图所示的阴影部分．∵m >0，∴当z ＝y －mx 经过点A 时， z 取最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x ＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即A (1,2)，∴2－m ＝1，解得m ＝1.故选B. 答案：B12．已知a >0，实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1x ＋y ≤3y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝________.解析：根据题意，如图，在坐标系中画出相应的区域的边界线x ＝1，x ＋y ＝3，再画出目标函数取得最小值时对应的直线2x ＋y ＝1，从图中可以发现，直线2x ＋y ＝1与直线x ＝1的交点为(1，－1)，从而有点(1，－1)在直线y ＝a (x －3)上，代入可得a ＝12.答案：1213．(2018·石家庄模拟)动点P (a ，b )在区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －y ≥0，y ≥0内运动，则ω＝a ＋b －3a －1的取值范围是________．解析：画出可行域如图，ω＝a ＋b －3a －1＝1＋b －2a －1，设k ＝b －2a －1，则k ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，所以ω＝a ＋b －3a －1的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 答案：(－∞，－1]∪[3，＋∞)14．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5≤0，2x －y －1≥0，x －2y ＋1≤0，则z ＝2x ＋y 的最大值为________．解析：画出可行域(如图所示)，∵z ＝2x ＋y ，∴y ＝－2x ＋z ，将直线y ＝－2x 向上平移，经过点B 时z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5＝0，x －2y ＋1＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，当动直线2x ＋y －z ＝0过点B (3,2)时，z max ＝2×3＋2＝8. 答案：815．(2018·郑州质量预测)若不等式x 2＋y 2≤2所表示的平面区域为M ，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≥0，y ≥2x －6，表示的平面区域为N ，现随机向区域N 内抛一粒豆子，则豆子落在区域M 内的概率为________．解析：作出不等式组与不等式表示的可行域如图所示，平面区域N 的面积为12×3×(6＋2)＝12，区域M 在区域N 内的面积为14π(2)2＝π2，故所求概率P ＝π212＝π24. 答案：π24课时规范练 A 组 基础对点练1．(2018·江西赣中南五校联考)函数f (x )＝3x －x 2的零点所在区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(－2，－1)D ．(－1,0)解析：∵f (－2)＝－359，f (－1)＝－23，f (0)＝1，f (1)＝2，f (2)＝5， ∴f (0)f (1)＞0，f (1)f (2)＞0，f (－2)f (－1)＞0，f (－1)f (0)＜0，故选D. 答案：D2．(2018·贵阳模拟)函数f (x )＝lg x －sin x 在(0，＋∞)上的零点个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4 解析：函数f (x )＝lg x －sin x 的零点个数，即函数y ＝lg x 的图象和函数y ＝sin x 的图象的交点个数，如图所示．显然，函数y ＝lg x 的图象和函数y ＝sin x 的图象的交点个数为3，故选C.答案：C3．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x .则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( ) A ．{1,3}B ．{－3，－1,1,3}C．{2－7，1,3} D．{－2－7，1,3}解析：当x≥0时，f(x)＝x2－3x，令g(x)＝x2－3x－x＋3＝0，得x1＝3，x2＝1.当x＜0时，－x＞0，∴f(－x)＝(－x)2－3(－x)，∴－f(x)＝x2＋3x，∴f(x)＝－x2－3x.令g(x)＝－x2－3x－x＋3＝0，得x3＝－2－7，x4＝－2＋7＞0(舍)，∴函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合是{－2－7，1,3}，故选D.答案：D4．若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)·(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)·(x－a)的两个零点分别位于区间()A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内解析：令y1＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＝(x－b)[2x－(a＋c)]，y2＝－(x－c)(x－a)，由a<b<c 作出函数y1，y2的图象(图略)，由图可知两函数图象的两个交点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，即函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．答案：A5．(2018·德州模拟)已知函数y＝f(x)是周期为2的周期函数，且当x∈[－1,1]时，f(x)＝2|x|－1，则函数F(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数是()A．9 B．10C．11 D．18解析：由F(x)＝0得f(x)＝|lg x|分别作f(x)与y＝|lg x|的图象，如图，所以有10个零点，故选B. 答案：B6．(2018·宁夏育才中学第四次月考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ＋a ，x ≤0，3x －1，x ＞0(a ∈R)，若函数f (x )在R上有两个零点，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－∞，0) C ．(－1,0)D ．[－1,0)解析：当x ＞0时，f (x )＝3x －1有一个零点x ＝13，所以只需要当x ≤0时，e x ＋a ＝0有一个根即可，即e x ＝－a .当x ≤0时，e x ∈(0,1]，所以－a ∈(0,1]，即a ∈[－1,0)，故选D. 答案：D7．已知函数f (x )＝2ax －a ＋3，若∃x 0∈(－1,1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3)∪(1，＋∞) B ．(－∞，－3) C ．(－3,1)D ．(1，＋∞)解析：依题意可得f (－1)·f (1)<0，即(－2a －a ＋3)(2a －a ＋3)<0，解得a <－3或a >1，故选A. 答案：A8．已知函数f (x )＝2mx 2－x －1在区间(－2,2)内恰有一个零点，则m 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤－38，18 B.⎝⎛⎭⎫－38，18 C.⎣⎡⎭⎫－38，18 D.⎝⎛⎦⎤－18，38 解析：当m ＝0时，函数f (x )＝－x －1有一个零点x ＝－1，满足条件．当m ≠0时，函数f (x )＝2mx 2－x －1在区间(－2,2)内恰有一个零点，需满足①f (－2)·f (2)＜0或②⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)＝0，－2＜14m ＜0或③⎩⎪⎨⎪⎧f (2)＝0，0＜14m ＜2.解①得－18＜m ＜0或0＜m ＜38；解②得m ∈∅，解③得m ＝38. 综上可知－18＜m ≤38，故选D.答案：D9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x－1|，x ＜2，3x －1，x ≥2，若方程f (x )－a ＝0有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1,3) B ． (0,3) C ．(0,2)D ．(0,1)解析：画出函数f (x )的图象如图所示，观察图象可知，若方程f (x )－a ＝0有三个不同的实数根，则函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 有3个不同的交点，此时需满足0＜a ＜1，故选D. 答案：D10．(2018·汕头模拟)设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，且对任意的实数x ，恒有f (x )－f (－x )＝0，当x ∈[－1,0]时，f (x )＝x 2，若g (x )＝f (x )－log a x 在x ∈(0，＋∞)上有三个零点，则a 的取值范围为( ) A ．[3,5] B ．[4,6] C ．(3,5)D ．(4,6)解析：∵f (x )－f (－x )＝0，∴f (x )＝f (－x )，∴f (x )是偶函数，根据函数的周期性和奇偶性作出函数f (x )的图象如图所示：∵g (x )＝f (x )－log a x 在(0，＋∞)上有三个零点， ∴y ＝f (x )和y ＝log a x 的图象在(0，＋∞)上有三个交点， 作出函数y ＝log a x 的图象，如图， ∴⎩⎪⎨⎪⎧log a 3＜1log a5＞1a ＞1，解得3＜a ＜5.故选C.答案：C11．(2018·湖北七校联考)已知f (x )是奇函数且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( ) A.14 B.18 C ．－78D ．－38解析：令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)，因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ只有一个根，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.故选C.答案：C12．(2018·郑州质量预测)已知定义在R 上的奇函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当－1≤x ＜0时，f (x )＝－log 12(－x )，则方程f (x )－12＝0在(0,6)内的所有根之和为( )A ．8B ．10C ．12D ．16解析：∵奇函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴f (x )＝f (2－x )＝－f (－x )，即f (x )＝－f (x ＋2)＝f (x ＋4)，∴f (x )是周期函数，其周期T ＝4.又当x ∈[－1,0)时，f (x )＝－log 12(－x )，故f (x )在(0,6)上的函数图象如图所示．由图可知方程f (x )－12＝0在(0,6)内的根共有4个，其和为x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝2＋10＝12，故选C.答案：C13．(2018·聊城模拟)若方程|3x －1|＝k 有两个解，则实数k 的取值范围是________． 解析：曲线y ＝|3x －1|与直线y ＝k 的图象如图所示，由图象可知，如果y ＝|3x －1|与直线y ＝k 有两个公共点，则实数k 应满足0＜k ＜1.答案：(0,1)14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ＞0，2x ，x ≤0，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不等的实数根，则实数k 的取值范围是________．解析：作出函数y ＝f (x )与y ＝k 的图象，如图所示：由图可知k ∈(0,1]． 答案：(0,1]15．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x －x 2＋2x ，x ＞0，4x ＋1，x ≤0的零点个数是________．解析：当x ＞0时，令ln x －x 2＋2x ＝0， 得ln x ＝x 2－2x ，作y ＝ln x 和y ＝x 2－2x 图象，显然有两个交点． 当x ≤0时，令4x ＋1＝0， ∴x ＝－14.综上共有3个零点． 答案：316．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ，x ≥0，x 2＋ax ＋a ，x ＜0有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知，当x ≥0时，函数f (x )有一个零点，从而a ＝2x ≥1，当x ＜0时，函数f (x )有两个零点，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4a ＞0－a ＜0a ＞0即a ＞4.综上知a ＞4. 答案：(4，＋∞)B 组 能力提升练1．函数f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，－1≤x <1，lg x ，x ≥1的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，－1≤x <1，lg x ，x ≥1的图象，如图所示．由图象可知，所求函数的零点个数是2. 答案：C2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，(x －2)2，x ＞2，函数g (x )＝3－f (2－x )，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：分别画出函数f (x )，g (x )的草图，可知有2个交点．故选A.答案：A3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≤0，|lg x |，x ＞0，则函数g (x )＝f (1－x )－1的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：g (x )＝f (1－x )－1＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－x )2＋2(1－x )－1，1－x ≤0，|lg (1－x )|－1， 1－x ＞0 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋2， x ≥1，|lg (1－x )|－1， x ＜1，当x ≥1时，函数g (x )有1个零点；当x ＜1时，函数有2个零点，所以函数的零点个数为3，故选C. 答案：C4．(2018·洛阳统考)已知x 1，x 2是函数f (x )＝e －x －|ln x |的两个零点，则( )A.1e＜x 1x 2＜1 B ．1＜x 1x 2＜e C ．1＜x 1x 2＜10D ．e ＜x 1x 2＜10解析：在同一直角坐标系中画出函数y ＝e －x 与y ＝|ln x |的图象(图略)，结合图象不难看出，在x 1，x 2中，其中一个属于区间(0,1)，另一个属于区间(1，＋∞)．不妨设x 1∈(0,1)，x 2∈(1，＋∞)，则有e －x 1＝|ln x 1|＝－ln x 1∈(e －1,1)，e －x 2＝|ln x 2|＝ln x 2∈(0，e －1)，e －x 2－e －x 1＝ln x 2＋ln x 1＝ln(x 1x 2)∈(－1,0)，于是有e －1＜x 1x 2＜e 0，即1e ＜x 1x 2＜1，故选A.答案：A5．设函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x 2－3.若实数a ，b 满足f (a )＝0，g (b )＝0，则( ) A ．g (a )＜0＜f (b ) B ．f (b )＜0＜g (a ) C ．0＜g (a )＜f (b ) D ．f (b )＜g (a )＜0解析：∵f (x )＝e x ＋x －2， ∴f ′(x )＝e x ＋1＞0， 则f (x )在R 上为增函数，且f (0)＝e 0－2＜0，f (1)＝e －1＞0， 又f (a )＝0，∴0＜a ＜1. ∵g (x )＝ln x ＋x 2－3，∴g ′(x )＝1x＋2x .当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )＞0， 得g (x )在(0，＋∞)上为增函数， 又g (1)＝ln 1－2＝－2＜0， g (2)＝ln 2＋1＞0，且g (b )＝0， ∴1＜b ＜2，即a ＜b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (b )＞f (a )＝0，g (a )＜g (b )＝0.故选A. 答案：A6．(2018·郑州质量预测)对于函数f (x )和g (x )，设α∈{x |f (x )＝0}，β∈{x |g (x )＝0}，若存在α，β，使得|α－β|≤1，则称f (x )与g (x )互为“零点相邻函数”．若函数f (x )＝e x －1＋x －2与g (x )＝x 2－ax －a ＋3互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围是( ) A ．[2,4] B.⎣⎡⎦⎤2，73 C.⎣⎡⎦⎤73，3D ．[2,3]解析：函数f (x )＝e x －1＋x －2的零点为x ＝1，设g (x )＝x 2－ax －a ＋3的零点为b ，若函数f (x )＝e x －1＋x －2与g (x )＝x 2－ax －a ＋3互为“零点相邻函数”，则|1－b |≤1，∴0≤b ≤2.由于g (x )＝x 2－ax －a ＋3的图象过点(－1,4)，∴要使其零点在区间[0,2]上，则g ⎝⎛⎭⎫a 2≤0，即⎝⎛⎭⎫a 22－a ·a 2－a ＋3≤0，解得a ≥2或a ≤－6(舍去)，易知g (0)≥0，即a ≤3，此时2≤a ≤3，满足题意． 答案：D7．设x 0为函数f (x )＝sin πx 的零点，且满足|x 0|＋f ⎝⎛⎭⎫x 0＋12＜33，则这样的零点有( ) A ．61个 B ．63个 C ．65个D ．67个解析：依题意，由f (x 0)＝sin πx 0＝0得，πx 0＝k π，k ∈Z ，即x 0＝k ，k ∈Z.当k 是奇数时，f ⎝⎛⎭⎫x 0＋12＝sin π⎝⎛⎭⎫k ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫k π＋π2＝－1，|x 0|＋f ⎝⎛⎭⎫x 0＋12＝|k |－1＜33，|k |＜34，满足这样条件的奇数k 共有34个；当k 是偶数时，f ⎝⎛⎭⎫x 0＋12＝sin π⎝⎛⎭⎫k ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫k π＋π2＝1，|x 0|＋f ⎝⎛⎭⎫x 0＋12＝|k |＋1＜33，|k |＜32，满足这样条件的偶数k 共有31个．综上所述，满足题意的零点共有34＋31＝65(个)，选C. 答案：C8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0≤x <11x ＋1－1，－1<x <0，设函数g (x )＝f (x )－4mx －m ，其中m ≠0.若函数g (x )在区间(－1,1)上有且仅有一个零点，则实数m 的取值范围是( ) A ．m ≥14或m ＝－1B ．m ≥14C ．m ≥15或m ＝－1D ．m ≥15解析：f (x )＝⎩⎨⎧x ， 0≤x ＜1，1x ＋1－1， －1＜x ＜0.作函数y ＝f (x )的图象，如图所示．函数g (x )零点的个数⇔函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝4mx ＋m 交点的个数． 当直线y ＝4mx ＋m 过点(1,1)时，m ＝15；当直线y ＝4mx ＋m 与曲线y ＝1x ＋1－1(－1＜x ＜0)相切时，可求得m ＝－1.根据图象可知，当m ≥15或m ＝－1时，函数g (x )在区间(－1,1)上有且仅有一个零点．答案：C9．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且x >0时，f (x )＝ln x －x ＋1，则函数g (x )＝f (x )－e x (e 为自然对数的底数)的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：当x >0时，f (x )＝ln x －x ＋1，f ′(x )＝1x －1＝1－x x ，所以x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，此时f (x )单调递增；x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，此时f (x )单调递减．因此，当x >0时，f (x )max ＝f (1)＝ln 1－1＋1＝0.根据函数f (x )是定义在R 上的奇函数作出函数y ＝f (x )与y ＝e x 的大致图象，如图，观察到函数y ＝f (x )与y ＝e x 的图象有两个交点，所以函数g (x )＝f (x )－e x (e 为自然对数的底数)有2个零点．故选C.答案：C10．已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋x 有两个零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．(0,1) C.⎝⎛⎭⎫－∞，1＋ee 2D.⎝⎛⎭⎫0，1＋ee 2解析：依题意，关于x 的方程ax －1＝ln x x 有两个不等的正根．记g (x )＝ln xx ，则g ′(x )＝1－ln x x 2，当0<x <e 时，g ′(x )>0，g (x )在区间(0，e)上单调递增；当x >e 时，g ′(x )<0，g (x )在区间(e ，＋∞)上单调递减，且g (e)＝1e ，当0<x <1时，g (x )<0.设直线y ＝a 1x －1与函数g (x )的图象相切于点(x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1－ln x 0x2a 1x 0－1＝ln xx，由此解得x 0＝1，a 1＝1.在坐标平面内画出直线y＝ax －1(该直线过点(0，－1)、斜率为a )与函数g (x )的大致图象，结合图象可知，要使直线y ＝ax －1与函数g (x )的图象有两个不同的交点，则a 的取值范围是(0,1)，选B. 答案：B11．已知f ′(x )为函数f (x )的导函数，且f (x )＝12x 2－f (0)x ＋f ′(1)e x －1，g (x )＝f (x )－12x 2＋x ，若方程g ⎝⎛⎭⎫x 2a －x －x ＝0在(0，＋∞)上有且仅有一个根，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0)∪{1} B ．(－∞，－1] C ．(0,1]D ．[1，＋∞)解析：∵f (x )＝12x 2－f (0)x ＋f ′(1)e x －1，∴f (0)＝f ′(1)e －1，f ′(x )＝x －f(0)＋f ′(1)e x －1，∴f ′(1)＝1－f ′(1)e －1＋f ′(1)e 1－1，∴f ′(1)＝e ，∴f (0)＝f ′(1)e －1＝1，∴f (x )＝12x 2－x ＋e x ，∴g (x )＝f (x )－12x 2＋x ＝12x 2－x ＋e x －12x 2＋x ＝e x ，∵g ⎝⎛⎭⎫x 2a －x －x ＝0，∴g ⎝⎛⎭⎫x 2a －x ＝x ＝g (ln x )，∴x 2a －x ＝ln x ，∴x 2a ＝x ＋ln x ．当a >0时，只有y ＝x2a (x >0)和y ＝x ＋ln x 的图象相切时，满足题意，作出图象如图所示，由图象可知，a ＝1，当a <0时，显然满足题意，∴a ＝1或a <0，故选A. 答案：A12．已知函数y ＝f (x )是定义域为R 的偶函数．当x ≥0时，f (x )＝⎩⎨⎧54sin ⎝⎛⎭⎫π2x (0≤x ≤1)⎝⎛⎭⎫14x＋1(x >1)，若关于x 的方程5[f (x )]2－(5a ＋6)f (x )＋6a ＝0(a ∈R)有且仅有6个不同的实数根，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫54B ．[0,1]∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫54C ．(0,1]∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫54D.⎝⎛⎦⎤1，54∪{0} 解析：作出f (x )＝⎩⎨⎧54sin ⎝⎛⎭⎫π2x (0≤x ≤1)⎝⎛⎭⎫14x＋1(x >1)的大致图象如图所示，又函数y ＝f (x )是定义域为R的偶函数，且关于x 的方程5[f (x )]2－(5a ＋6)f (x )＋6a ＝0(a ∈R)有且仅有6个不同的实数根，等价于f (x )＝65和f (x )＝a (a ∈R)有且仅有6个不同的实数根．由图可知方程f (x )＝65有4个不同的实数根，所以必须且只需方程f (x )＝a (a ∈R)有且仅有2个不同的实数根，由图可知0<a ≤1或a ＝54.故选C.答案：C13．在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，则a 的值为________．解析：若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，则方程2a ＝|x －a |－1只有一解，即方程|x －a |＝2a ＋1只有一解，故2a ＋1＝0，所以a ＝－12.答案：－1214．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|＋2cos πx (－4≤x ≤6)的所有零点之和为________．解析：问题可转化为y ＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|与y ＝－2cos πx 在－4≤x ≤6的交点的横坐标的和，因为两个函数图象均关于x ＝1对称，所以x ＝1两侧的交点对称，那么两对应交点的横坐标的和为2，分别画出两个函数的图象(图略)，易知x ＝1两侧分别有5个交点，所以所求和为5×2＝10. 答案：1015．(2018·广州综合测试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x ＜1x 2－4x ＋2，x ≥1，则函数g (x )＝2|x |f (x )－2的零点个数为________．解析：由g (x )＝2|x |f (x )－2＝0得，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x |－1，作出y ＝f (x )，y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |－1的图象，由图象可知共有2个交点，故函数的零点个数为2.答案：216．(2018·沈阳教学质量监测)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1(x ≥2)2(1≤x ＜2)，若方程f (x )＝ax ＋1恰有一个解，则实数a 的取值范围是________．解析：如图，当直线y ＝ax ＋1过点B (2,2)时，a ＝12，满足方程有两个解；当直线y ＝ax ＋1与f (x )＝2x －1(x ≥2)的图象相切时，a ＝－1＋52，满足方程有两个解；当直线y ＝ax ＋1过点A (1,2)时，a ＝1，满足方程恰有一个解．故实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－1＋52，1.答案：⎝⎛⎭⎫0，12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－1＋52，1。
人教版必修5第三章第三节5.3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
所表示的平面区域如
图(阴影部分)：
又直线 y＝3x－z 的斜率为 3. 由图象知当直线 y＝3x－z 经过点 A(2,0)时， z 取最大值 6， 当直线 y＝3x－z 经过点 ∴z＝3x－y
1 B 2，3时，z
3 取最小值－2， A.
3 的取值范围为－ ，6，故选 2
(3)掌握一种方法——数形结合法， 这是解决线性规划问题 的最基本的方法，其实质就是利用数形结合思想解决最值问 题． (4) 注意一个综合 ——线性规划问题与其他知识模块的综 合，熟练利用相关知识进行运算，将问题转化为简单的线性规 划问题，这也是 2012 年高考命题的趋势．
x－y＋5≥0， (1)画出不等式组x＋y≥0， x≤3 答下列问题： ①指出 x，y 的取值范围． ②平面区域内有多少个整点？
－x≤y≤x＋5， ②由图形及不等式组知 －2≤x≤3，且x∈Z.
当 x＝3 时，－3≤y≤8，有 12 个整点； 当 x＝2 时，－2≤y≤7，有 10 个整点； 当 x＝1 时，－1≤y≤6，有 8 个整点； 当 x＝0 时，0≤y≤5，有 6 个整点； 当 x＝－1 时，1≤y≤4，有 4 个整点； 当 x＝－2 时，2≤y≤3，有 2 个整点； ∴平面区域内的整点共有 2＋4＋6＋8＋10＋12＝4约束条件
意义 由变量x，y组成的
.
不等式(或方程)组成的不等 线性约束 由x，y的 式(组) 条件 ，如z＝2x＋3y等 目标函数 关于x，y的函数
线性目标 函数 可行解
关于x，y的
解析式 .
满足线性约束条件的解
意义 所有可行解组成的 . 使目标函数取得 或 的 最优解 可行解 线性规划 在线性约束条件下求线性目标函数的 或 问题 问题
高中数学必修五人教版(教师用)第三章§3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题3.3.2(一)含答案
3．3.2 简单的线性规划问题(一)学习目标 1.了解线性规划的意义.2.理解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.3.掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题．引例 已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，4x ≤16，4y ≤12，x ≥0，y ≥0.①该不等式组所表示的平面区域如图，求2x ＋3y ②的最大值．以此为例，尝试通过下列问题理解有关概念．知识点一 线性约束条件在上述问题中，不等式组①是一组对变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件． 知识点二 目标函数在上述问题中，②是要研究的目标，称为目标函数．因为它是关于变量x 、y 的一次解析式，这样的目标函数称为线性目标函数． 知识点三 线性规划问题一般地，在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题． 知识点四 可行解、可行域和最优解满足线性约束条件的解(x ，y )叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．在上述问题的图中，阴影部分叫可行域，阴影区域中的每一个点对应的坐标都是一个可行解，其中能使②式取最大值的可行解称为最优解．类型一 最优解问题命题角度1 问题存在唯一最优解例1 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，4x ≤16，4y ≤12，x ≥0，y ≥0，该不等式组所表示的平面区域如图，求2x ＋3y 的最大值．解 设区域内任一点P (x ，y )，z ＝2x ＋3y ， 则y ＝－23x ＋z3，这是斜率为定值－23，在y 轴上的截距为z3的直线，如图．由图可以看出，当直线y ＝－23x ＋z 3经过直线x ＝4与直线x ＋2y －8＝0的交点M (4,2)时，截距z3的值最大，此时2x ＋3y ＝14.反思与感悟 图解法是解决线性规划问题的有效方法，基本步骤： ①确定线性约束条件，线性目标函数； ②作图——画出可行域；③平移——平移目标函数对应的直线z ＝ax ＋by ，看它经过哪个点(或哪些点)时最先接触可行域或最后离开可行域，确定最优解所对应的点的位置；④求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值． 跟踪训练1 已知1≤x ＋y ≤5，－1≤x －y ≤3，求2x －3y 的取值范围．解 作出二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y ≤5，－1≤x －y ≤3所表示的平面区域(如图)即为可行域．设z ＝2x －3y ，变形得y ＝23x －13z ，则得到斜率为23，且随z 变化的一组平行直线．－13z 是直线在y 轴上的截距， 当直线截距最大时，z 的值最小， 由图可知，当直线z ＝2x －3y 经过可行域上的点A 时，截距最大， 即z 最小． 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝5，得A 的坐标为(2,3)，∴z min ＝2x －3y ＝2×2－3×3＝－5.当直线z ＝2x －3y 经过可行域上的点B 时，截距最小， 即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝3，x ＋y ＝1，得B 的坐标为(2，－1)．∴z max ＝2x －3y ＝2×2－3×(－1)＝7. ∴－5≤2x －3y ≤7， 即2x －3y 的取值范围是． 命题角度2 问题的最优解有多个例2 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋y 的最大值有无数个最优解，求实数a 的值．解 约束条件所表示的平面区域如图：由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z .当a ＝0时，最优解只有一个，过A (1,1)时取得最大值；当a ＞0时，当y ＝－ax ＋z 与x ＋y ＝2重合时，最优解有无数个，此时a ＝1； 当a ＜0时，当y ＝－ax ＋z 与x －y ＝0重合时，最优解有无数个，此时a ＝－1. 综上，a ＝1或a ＝－1.反思与感悟 当目标函数取最优解时，如果目标函数与平面区域的一段边界(实线)重合，则此边界上所有点均为最优解．跟踪训练2 给出平面可行域(如图)，若使目标函数z ＝ax ＋y 取最大值的最优解有无穷多个，则a 等于( )A.14B.35C ．4D.53 答案 B解析 由题意知，当直线y ＝－ax ＋z 与直线AC 重合时，最优解有无穷多个，则－a ＝5－21－6＝－35，即a ＝35，故选B. 类型二 生活中的线性规划问题例3 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg 的碳水化合物，0.06kg 的蛋白质，0.06kg 的脂肪，1kg 食物A 含有0.105kg 碳水化合物，0.07kg 蛋白质，0.14kg 脂肪，花费28元；而1kg 食物B 含有0.105kg 碳水化合物，0.14kg 蛋白质，0.07kg 脂肪，花费21元．为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A 和食物B 各多少kg?将已知数据列成下表：解 设每天为z ，那么。
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第三章 3.3 第2课时一、选择题1．目标函数z ＝2x －y ，将其看成直线方程时，z 的意义是( ) A ．该直线的截距 B ．该直线的纵截距 C ．该直线的纵截距的相反数 D ．该直线的横截距 [答案] C[解析] z ＝2x －y 可变化形为y ＝2x －z ，所以z 的意义是该直线在y 轴上截距的相反数，故选C ．2．若x ≥0，y ≥0，且x ＋y ≤1，则z ＝x －y 的最大值为( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．－2[答案] B[解析] 可行域为图中△AOB ，当直线y ＝x －z 经过点B 时，－z 最小从而z 最大∴z max ＝1.3．已知x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0x ＋y ≥0x ≤3，则z ＝2x ＋4y 的最小值为( )A ．5B ．－6C ．10D ．－10[答案] B[解析] 可行域为图中△ABC 及其内部的平面区域，当直线y ＝－x 2＋z4经过点B (3，－3)时，z 最小，z min ＝－6.4．若x 、y ∈R ，且⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1x －2y ＋3≥0y ≥x ，则z ＝x ＋2y 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．5D ．9[答案] B[解析] 不等式组表示的可行域如图所示：画出直线l 0：x ＋2y ＝0， 平行移动l 0到l 的位置， 当l 通过点M 时，z 取到最小值． 此时M (1,1)，即z min ＝3.5．设x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥4x －y ≥1x －2y ≤2，则目标函数z ＝x ＋y ( )A ．有最小值2，无最大值B ．有最大值3，无最小值C ．有最小值2，最大值3D ．既无最小值，也无最大值[答案] A[解析] 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥4x －y ≥1x －2y ≤2表示的平面区域，如下图，由z ＝x ＋y ，得y ＝－x ＋z ，令z ＝0，画出y ＝－x 的图象．当它的平行线经过点A (2,0)时，z 取得最小值，最小值为2；无最大值．故选A ．6．(2013·四川文，8)若变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤82y －x ≤4x ≥0y ≥0，且z ＝5y －x 的最大值为a ，最小值为b ，则a －b 的值是( )A ．48B ．30C ．24D ．16[答案] C[解析] 本题考查了线性规划中最优解问题．作出不等式组表示的平面区域如图．作直线l 0：y ＝15x ，平移直线l 0.当l 0过点A (4,4)时可得z max ＝16，∴a ＝16. 当l 0过点B (8,0)时可得z min ＝－8，∴b ＝－8. ∴a －b ＝16－(－8)＝24. 二、填空题7．若非负变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1x ＋2y ≤4，则x ＋y 的最大值为________．[答案] 4[解析] 本题考查线性规化的最优解问题．由题意知x 、y 满足的约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥0x －y ≥－1x ＋2y ≤4.画出可行域如图所示．设x ＋y ＝t ⇒y ＝－x ＋t ，t 表示直线在y 轴截距，截距越大，t 越大． 作直线l 0：x ＋y ＝0，平移直线l 0，当l 0经过点A (4,0)时， t 取最大值4.8．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0x ＋y －2≥0y ≥0所表示的区域上一动点，则|OM |的最小值是________．[答案]2[解析] 本题考查不等式组表示平面区域及点到直线距离问题．不等式组所表示平面区域如图，由图可知|OM |的最小值即O 到直线x ＋y －2＝0的距离．故|OM |的最小值为|－2|2＝ 2.三、解答题9．求z ＝3x ＋5y 的最大值和最小值，使式中的x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋3y ≤15y ≤x ＋1x －5y ≤3.[解析] 作出可行域为如图所示的阴影部分．∵目标函数为z ＝3x ＋5y ，∴作直线l 0：3x ＋5y ＝0.当直线l 0向右上平移时，z 随之增大，在可行域内以经过点A (32，52)的直线l 1所对应的z 最大．类似地，在可行域内，以经过点B (－2，－1)的直线l 2所对应的z 最小，∴z max ＝17，z min ＝－11，∴z 的最大值为17，最小值为－11.10．某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个与55个，所用原料为A 、B 两种规格金属板，每张面积分别为2 m 2与3 m 2.用A 种规格金属板可造甲种产品3个，乙种产品5个；用B 种规格金属板可造甲、乙两种产品各6个．问A 、B 两种规格金属板各取多少张，才能完成计划，并使总的用料面积最省？[解析] 设A 、B 两种金属板分别取x 张、y 张，用料面积为z ，则约束条件为 ⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋6y ≥455x ＋6y ≥55x ≥0y ≥0.目标函数z ＝2x ＋3y .作出以上不等式组所表示的平面区域(即可行域)，如图所示．z ＝2x ＋3y 变为y ＝－23x ＋z 3，得斜率为－23，在y 轴上截距为z3且随z 变化的一族平行直线．当直线z ＝2x ＋3y 过可行域上点M 时，截距最小，z 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ＝553x ＋6y ＝45 ，得M 点的坐标为(5,5)．此时z min ＝2×5＋3×5＝25 (m 2)．答：当两种金属板各取5张时，用料面积最省.一、选择题1．若变量x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤40x ＋2y ≤50x ≥0y ≥0，则z ＝3x ＋2y 的最大值是( )A ．90B ．80C ．70D ．40[答案] C[解析] 作出可行域如图所示．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝40x ＋2y ＝50，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10y ＝20. ∴z max ＝3×10＋2×20＝70.2．设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0x －y －2≤0x ≥0，则目标函数z ＝2x ＋3y ＋1的最大值为( )A ．11B ．10C ．9D ．8.5[答案] B[解析] 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0x －y －2≤0x ≥0表示的可行域，如下图的阴影部分所示．又z ＝2x ＋3y ＋1可化为y ＝－23x ＋z 3－13，结合图形可知z ＝2x ＋3y ＋1在点A 处取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －5＝0x －y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝1.故A 点坐标为(3,1)． 此时z ＝2×3＋3×1＋1＝10. 3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y －2x ≤0x ＋2y ＋3＞05x ＋3y －5＜0表示的平面区域内的整点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5[答案] B[解析] 不等式y －2x ≤0表示直线y －2x ＝0的右下方区域(含边界)，x ＋2y ＋3＞0表示直线x ＋2y ＋3＝0右上方区域(不含边界)，5x ＋3y －5＜0表示直线5x ＋3y －5＝0左下方区域，所以不等式组表示的平面区域是上述三区域的公共部分，即如图所示的△ABC 区域．可求得A (－35，－65)、B (511，1011)、C (197，－207)，所以△ABC 区域内的点(x ，y )满足－35≤x＜197，－207＜y ＜1011. ∵x 、y ∈Z ，∴0≤x ≤2，－2≤y ≤0，且x 、y ∈Z . 经检验，共有三个整点(0,0)，(1，－1)，(2，－2)． 4．已知变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1x －y ≤1x ＋1≥0，则z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．3B ．1C ．－5D ．－6[答案] C[解析] 本题考查二元一次不等式组表示的平面区域，线性目标函数最值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1x －y ≤1x ＋1≥0画出可行域如图．令z ＝0画出l 0：x ＋2y ＝0，平移l 0至其过A 点时z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝0x －y ＝1，得A (－1，－2)，∴z min ＝－1＋2×(－2)＝－5. 二、填空题5．在△ABC 中，三个顶点分别为A (2,4)、B (－1,2)、C (1,0)，点P (x ，y )在△ABC 的内部及其边界上运动，则y －x 的取值范围为________．[答案] [－1,3][解析] 画出三角形区域如图，易知k AB ＝23<1，令z ＝y －x ，则y ＝x ＋z ，作出直线l 0：y ＝x ，平移直线l 0，当经过点C 时，z min ＝－1，当经过点B 时，z max ＝3，∴－1≤z ≤3.6．已知点M 、N是⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1y ≥1x －y ＋1≥0x ＋y ≤6所围成的平面区域内的两点，则|MN |的最大值是________．[答案]17[解析] 不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示，∵直线x －y ＋1＝0与直线x ＋y ＝6垂直， 直线x ＝1与y ＝1垂直，∴|MN |的最大值是|AB |＝(5－1)2＋(2－1)2＝17. 三、解答题7．咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料每杯含奶粉9 g ，咖啡4 g ，糖3 g ；乙种饮料每杯含奶粉4 g ，咖啡5 g ，糖10 g ，已知每天原料的使用限额为奶粉3 600 g ，咖啡2 000 g ，糖3 000g.如果甲种饮料每杯能获利0.7 元，乙种饮料每杯能获利1.2元，每天在原料的使用限额内饮料能全部售出，若你是咖啡馆的经理，你将如何配制这两种饮料？[解析] 经营咖啡馆者，应想获得最大的利润，设配制饮料甲x 杯，饮料乙y 杯， 线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋4y ≤3 6004x ＋5y ≤2 0003x ＋10y ≤3 000x ，y ∈N，利润z ＝0.7x ＋1.2 y ，因此这是一个线性规划问题，作出可行域如图，因为－94<－810<－712<－310，所以在可行域内的整数点A (200,240)使z max ＝0.7×200＋1.2×240＝428(元)，即配制饮料甲200杯，乙240杯可获得最大利润． 8．设x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0x ＋y ≥0x ≤3.(1)求u ＝x 2＋y 2的最大值与最小值；(2)求v ＝yx －5的最大值与最小值． [解析] 满足条件的可行域如图所示(阴影部分)．(1)令x 2＋y 2＝u 表示一组同心圆(圆心为点O )，且对同一圆上的点，x 2＋y 2的值都相等． 由图可知(x ，y )在可行域内取值，当且仅当圆O 过C 点时，u 最大，过点(0,0)时，u 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3x －y ＋5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝8. ∴C (3,8)，∴u max ＝32＋82＝73，u min ＝02＋02＝0.(2)v ＝y x －5表示可行域内的点(x ，y )和定点D (5,0)的连线的斜率，由图可知k BD 最大，k CD 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3x ＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－3. ∴B (3，－3)． ∴v max ＝－33－5＝32，v min ＝83－5＝－4.。