2012届高考数学第一轮专题复习测试卷第十八讲 两角和与差及二倍角公式
2012届高考数学一轮复习 4.2 两角和与差、二倍角的公式(一)教案
4.2 两角和与差、二倍角的公式（一）●知识梳理 1.C （α+β）的推导角α的始边为Ox ，交单位圆于P 1，终边OP 2交单位圆于P 2，角β的始边为OP 2，终边交单位圆于P 3，角－β的始边为Ox ，终边交单位圆于P 4，由|31P P |=|42P P |，得［cos （α+β）－1］2+sin 2（α+β）=［cos （－β）－cos α］2+［sin （－β）－sin α］2.∴cos （α+β）=cos αcos β－sin αsin β. 2.S （α±β）、C （α－β）、T （α±β）以及推导线索（1）在C （α+β）中以－β代β即可得到C （α－β）. （2）利用cos （2π－α）=sin α即可得到S （α+β）；再以－β代β即可得到S （α－β）. （3）利用tan α=ααcos sin 即可得到T （α±β）. 说明：理清线索以及各公式间的内在联系，是记忆公式的前提.只有这样才能记牢公式，才能用活公式.●点击双基1.（2004年重庆，5）sin163°sin223°+sin253°sin313°等于A.－21B.21C.－23D.23解析：原式=sin17°（－sin43°）+（－sin73°）（－sin47°）=－sin17°sin43°+cos17°cos43°=cos60°=21. 答案：B2.（2005年春季北京，7）在△ABC 中，已知2sin A cos B =sin C ，那么△ABC 一定是 A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形 解析：由2sin A cos B =sin C 知2sin A cos B =sin （A +B ），∴2sin A cos B =sin A cos B +cos A sin B .∴cos A sin B －sin A cos B =0. ∴sin （B －A ）=0.∴B =A . 答案：B 3.︒︒-︒70sin 20sin 10cos 2的值是A.21 B.23C.3D.2解析：原式=︒︒-︒-︒70sin 20sin 2030cos 2）（=︒︒-︒⋅︒+︒⋅︒70sin 20sin 20sin 30sin 20cos 30cos 2）（=︒︒20cos 20cos 3=3. 答案：C4.已知α∈（0，2π），β∈（2π，π），sin （α+β）=6533，cos β=－135，则sin α=_______.解析：由0＜α＜2π，2π＜β＜π，得2π＜α+β＜2π3. 故由sin （α+β）=6533，得cos （α+β）=－6556. 由cos β=－135，得sin β=1312. ∴sin α=sin ［（α+β）－β］=sin （α+β）cos β－cos （α+β）sin β=6533·（－135）－（－6556）·1312=－845507. 答案：－8455075.△ABC 中，若b =2a ，B =A +60°，则A =_______.解析：利用正弦定理，由b =2a ⇒sin B =2sin A ⇒sin （A +60°）－2sin A =0⇒3cos A －3sin A =0⇒sin （30°－A ）=0⇒30°－A =0°（或180°）⇒A =30°.答案：30° ●典例剖析【例1】 设cos （α－2β）=－91，sin （2α－β）=32，且2π＜α＜π，0＜β＜2π，求cos （α+β）.剖析：2βα+=（α－2β）－（2α－β）.依上述角之间的关系便可求之. 解：∵2π＜α＜π，0＜β＜2π，∴4π＜α－2β＜π，－4π＜2α－β＜2π. 故由cos （α－2β）=－91，得sin （α－2β）=954.由sin （2α－β）=32，得cos （2α－β）=35.∴cos （2βα+）=cos ［（α－2β）－（2α－β）］= (2757)∴cos （α+β）=2cos 22βα+－1=…=－729239.评述：在已知角的某一三角函数值而求另外一些角的三角函数值时，首先要分析已知和要求的角之间的关系，再分析函数名之间的关系.其中变角是常见的三角变换.【例2】 （2000年春季京、皖）在△ABC 中，角A 、B 、C 对边分别为a 、b 、c .证明：222c b a -=C B A sin sin ）（-.剖析：由于所证结论是三角形的边、角关系，很自然地使我们联想到正弦定理、余弦定理.证明：由余弦定理a 2=b 2+c 2－2bc cos A ，b 2=a 2+c 2－2ac cos B ，∴a 2－b 2=b 2－a 2－2bc cos A +2ac cos B ， 整理得222c b a -=cAb B a cos cos -.依正弦定理有c a =C A sin sin ，c b =C B sin sin ，∴222c b a -=C A B B A sin cos sin cos sin -=C B A sin sin ）（-.评述：在解三角形中的问题时，首先应想到正余弦定理，另外还有A +B +C =π，a +b ＞c ，a ＞b ⇔A ＞B ⇔sin A ＞sin B 等.【例3】 已知α、β、γ∈（0，2π），sin α+sin γ=sin β，cos β+cos γ=cos α，求β－α的值.剖析：由已知首先消去γ是解题关键.解：由已知，得sin γ=sin β－sin α，cos γ=cos α－cos β.平方相加得（sin β－sin α）2+（cos α－cos β）2=1.∴－2cos （β－α）=－1.∴cos （β－α）=21.∴β－α=±3π. ∵sin γ=sin β－sin α＞0，∴β＞α.∴β－α=3π. 评述：本题极易求出β－α=±3π，如不注意隐含条件sin γ＞0，则产生增根.因此求值问题要注意分析隐含条件.●闯关训练 夯实基础1.（2004年上海，1）若tan α=21，则tan （α+4π）=____________. 解析：tan （α+4π）=4πtan tan 14πtantan ⋅-+αα=1211121⨯-+=3.答案：32.要使sin α－3cos α=mm --464有意义，则应有 A.m ≤37B.m ≥－1C.m ≤－1或m ≥37D.－1≤m ≤37 解析：2sin （α－3π）=m m --464⇒sin （α－3π）=mm --432.由－1≤m m --432≤1⇒－1≤m ≤37. 答案：D3.（2004年福建，2）tan15°+cot15°等于 A.2B.2+3C.4D.334 解析一：tan15°+cot15°=︒︒15cos 15sin +︒︒15sin 15cos =︒︒︒+︒15sin 15cos 15cos 15sin 22=︒⋅30sin 211=4.解析二：由tan15°=tan （45°－30°）=︒︒+︒-︒30tan 45tan 130tan 45tan =331331+-=3333+-. ∴原式=3333+-+3333-+=4.答案：C 4.在△ABC 中，若22b a =BAtan tan ，则△ABC 的形状为_______. 解析：左边利用正弦定理，右边“切变弦”，原式可化为BA 22sin sin =B A B A sin cos cos sin ⇒B A sin sin =⇒A Bcos cossin2A =sin2B ⇒2A =2B 或2A =π－2B ⇒A =B 或A +B =2π. 答案：等腰三角形或直角三角形 5.（2004年湖南，17）已知tan （4π+α）=2，求ααα2cos cos sin 21+的值. 解：由tan （4π+α）=ααtan tan 1-1+=2，得tan α=31. 于是ααα2cos cos sin 21+=ααααα222cos cos sin 2cos sin ++=1+1+ααtan 2tan 2=13121312+⨯+）（=32. 6.已知cos α=71，cos （α+β）=－1411，α、β∈（0，2π），求β. 解：由cos α=71，cos （α+β）=－1411，得cos β=cos ［（α+β）－α］=21， 得β=3π. 培养能力 7.已知sin （4π－x ）=135，0＜x ＜4π，求）（x x+4πcos 2cos 的值.分析：角之间的关系：（4π－x ）+（4π+x ）=2π及2π－2x =2（4π－x ），利用余角间的三角函数的关系便可求之.解：∵（4π－x ）+（4π+x ）=2π，∴cos （4π+x ）=sin （4π－x ）.又cos2x =sin （2π－2x ）=sin2（4π－x ）=2sin （4π－x ）cos （4π－x ）， ∴）（x x +4πcos 2cos =2cos （4π－x ）=2×1312=1324.8.已知sin β=m sin （2α+β）（m ≠1），求证：tan （α+β）=mm-+11tan α. 证明：∵sin β=m sin （2α+β）， ∴sin ［（α+β）－α］=m sin ［（α+β）+α］.∴sin （α+β）cos α－cos （α+β）sin α=m sin （α+β）cos α+m cos （α+β）sin α. ∴（1－m ）sin （α+β）cos α=（1+m ）cos （α+β）sin α. ∴tan （α+β）=mm-+11tan α. 9.（2005年北京西城区抽样测试）已知sin2α=53，α∈（4π5，2π3）. （1）求cos α的值；（2）求满足sin （α－x ）－sin （α+x ）+2cos α=－1010的锐角x . 解：（1）因为4π5＜α＜2π3，所以2π5＜2α＜3π. 所以cos2α=－α2sin 12-=－54. 由cos2α=2cos 2α－1，所以cos α=－1010. （2）因为sin （α－x ）－sin （α+x ）+2cos α=－1010， 所以2cos α（1－sin x ）=－1010.所以sin x =21. 因为x 为锐角，所以x =6π. 探究创新10.sin α+sin β=22，求cos α+cos β的取值范围. 解：令t =cos α+cos β，① sin α+sin β=22，②①2+②2，得t 2+21=2+2cos （α－β）.∴2cos （α－β）=t 2－23∈［－2，2］. ∴t ∈［－214，214］. ●思悟小结1.不仅要能熟练推证公式（建议自己推证一遍所有公式）、熟悉公式的正用逆用，还要熟练掌握公式的变形应用.2.注意拆角、拼角技巧，如α=（α+β）－β，2α=（α+β）+（α－β）等.3.注意倍角的相对性，如3α是23的倍角. 4.要时时注意角的范围的讨论. ●教师下载中心 教学点睛1.本节公式多，内在联系密切，建议复习时，要使学生理清公式间的推导线索，让学生亲自推导一下C （α+β）.2.公式应用讲究一个“活”字，即正用、逆用、变形用，还要创造条件应用公式.如拆角、拼角技巧等，要注意结合题目使学生体会其间的规律.拓展题例【例1】 已知a =（cos α，sin α），b =（cos β，sin β），（a ≠b ）. 求证：（a +b ）⊥（a －b ）. 分析：只要证（a +b ）·（a －b ）=0即可.证法一：（a +b ）·（a －b ）=|a |2－|b |2=1－1=0，∴（a +b ）⊥（a －b ）.证法二：在单位圆中设OA =a ，OB =b ，以OA 、OB 为邻边作□OACB ，则OACB 为菱形.∴OC ⊥BA . ∴OC ·BA =0， 即（a +b ）·（a －b ）=0. ∴（a +b ）⊥（a －b ）. 【例2】 α、β∈（0，2π），3sin 2α+2sin 2β=1，① 3sin2α－2sin2β=0②，求α+2β的值.解：由①得3sin 2α=1－2sin 2β=cos2β.由②得sin2β=23sin2α. ∴cos （α+2β）=cos αcos2β－sin αsin2β =3cos αsin 2α－sin α·23sin2α=0. ∵α、β∈（0，2π），∴α+2β∈（0，2π3）. ∴α+2β=2π.。
2012届高考数学一轮复习教案4.4两角和与差、二倍角的公式(三)
4.4 两角和与差、二倍角的公式（三）●知识梳理 1.化简要求（1）能求出值的应求出值.（2）使三角函数种数、项数尽量少；分母尽量不含三角函数；被开方式尽量不含三角函数. 2.化简常用方法（1）活用公式（包括正用、逆用、变形用）. （2）切割化弦、异名化同名、异角化同角等. 3.常用技巧（1）注意特殊角的三角函数与特殊值的互化.（2）注意利用代数上的一些恒等变形法则和分数的基本性质. （3）注意利用角与角之间的隐含关系. （4）注意利用“1”的恒等变形. ●点击双基1.满足cos αcos β=23+sin αsin β的一组α、β的值是 A.α=12π13，β=4π3 B.α=2π，β=3πC.α=2π，β=6π D.α=3π，β=6π解析：由已知得cos （α+β）=23，代入检验得A. 答案：A2.已知tan α和tan （4π－α）是方程ax 2+bx +c =0的两个根，则a 、b 、c 的关系是 A.b =a +cB.2b =a +cC.c =b +aD.c =ab解析：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=-+，）（，）（a c ab αααα4πtan tan 4πtan tan ∴tan 4π=ac a b--1=1.∴－a b =1－ac.∴－b =a －c .∴c =a +b . 答案：C 3.f （x ）=xx xx cos sin 1cos sin ++的值域为A.（－3－1，－1）∪（－1，3－1）B.［212--，－1）∪（－1，212-］ C.（213--，213-）D.［212--，212-］ 解析：令t =sin x +cos x =2sin （x +4π）∈［－2，－1）∪（－1，2］， 则f （x ）=t t +-1212=21-t ∈［212--，－1）∪（－1，212-］.答案：B4.已知cos α－cos β=21，sin α－sin β=31，则cos （α－β）=_______. 解析：（cos α－cos β）2=41，（sin α－sin β）2=91. 两式相加，得2－2cos （α－β）=3613.∴cos （α－β）=7259. 答案：7259●典例剖析 【例1】 求证：αβαsin 2sin ）（+－2cos （α+β）=αβsin sin .剖析：先转换命题，只需证sin （2α+β）－2cos （α+β）·sin α=sin β，再利用角的关系：2α+β=（α+β）+α，（α+β）－α=β可证得结论.证明：sin （2α+β）－2cos （α+β）sin α =sin ［（α+β）+α］－2cos （α+β）sin α=sin （α+β）cos α+cos （α+β）sin α－2cos （α+β）sin α =sin （α+β）cos α－cos （α+β）sin α=sin ［（α+β）－α］=sin β. 两边同除以sin α得 αβαsin 2sin ）（+－2cos （α+β）=αβsin sin .评述：证明三角恒等式，可先从两边的角入手——变角，将表达式中出现了较多的相异的角朝着我们选定的目标转化，然后分析两边的函数名称——变名，将表达式中较多的函数种类尽量减少，这是三角恒等变形的两个基本策略.【例2】 P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆上一点，且∠PF 1F 2=α，∠PF 2F 1=2α，求证：椭圆的离心率为e =2cos α－1.剖析：依据椭圆的定义2a =|PF 1|+|PF 2|，2c =|F 1F 2|，∴e =ac 22. 在△PF 1F 2中解此三角即可得证. 证明：在△PF 1F 2中，由正弦定理知α2sin ||1PF =αsin ||2PF =）（α3πsin ||21-F F .由比例的性质得α3sin ||21F F =ααsin 2sin ||||21++PF PF ⇒e =||||||2121PF PF F F +=αααsin 2sin 3sin +=ααααααα2cos sin 2sin 2sin cos 2cos sin ++=）（）（αααααcos 21sin cos sin 2cos 2sin 22+⋅+1-=1+-ααcos 21cos 42=2cos α－1. 评述：恰当地利用比例的性质有事半功倍之效. 深化拓展求cot10°－4cos10°的值.分析：给出非特殊角，怎样化为特殊角或非特殊角，互相抵消、约分求出值. 提示：cot10°－4cos10° =︒︒10sin 10cos －4cos10°=︒︒-︒10sin 20sin 210cos=︒︒-︒-︒10sin 20sin 22030cos ）（=︒︒-︒+︒10sin 20sin 220sin 2120cos 23=︒︒-︒10sin 20sin 2320cos 23=︒︒-︒10sin 2030sin 3）（=3.答案：3. ●闯关训练夯实基础1.（2003年高考新课程卷）已知x ∈（－2π，0），cos x =54，则tan2x 等于 A.247 B.－247C.724 D.－724 解析：∵cos x =54，x ∈（－2π，0），∴sin x =－53.∴tan x =－43. ∴tan2x =x x 2tan 1tan 2-=169123--=－23×716=－724. 答案：D2.（2004年春季北京）已知sin （θ+π）＜0，cos （θ－π）＞0，则下列不等关系中必定成立的是A.tan 2θ＜cot 2θB.tan 2θ＞cot 2θC.sin2θ＜cos2θD.sin2θ＞cos2θ解析：由已知得sin θ＞0，cos θ＜0，则tan2θ－cot2θ=2cos2sinθθ－2sin2cosθθ=－θθsin cos 2＞0. ∴tan2θ＞cot2θ.答案：B3.下列四个命题中的假命题是A.存在这样的α、β，使得cos （α+β）=cos αcos β+sin αsin βB.不存在无穷多个α、β，使得cos （α+β）=cos αcos β+sin αsin βC.对于任意的α、β，cos （α+β）=cos αcos β－sin αsin βD.不存在这样的α、β，使得cos （α+β）≠cos αcos β－sin αsin β解析：由cos （α+β）=cos αcos β+sin αsin β=cos αcos β－sin αsin β，得 sin αsin β=0.∴α=k π或β=k π（k ∈Z ）. 答案：B4.函数y =5sin x +cos2x 的最大值是_______. 解析：y =5sin x +cos2x =5sin x +1－2sin 2x =－2（sin x －45）2+833. ∴sin x =1时，y max =4.答案：45.求周长为定值L （L ＞0）的直角三角形的面积的最大值.解法一：a +b +22b a +=L ≥2ab +ab 2.∴ab ≤22+L.∴S =21ab ≤21（22+L ）2=21·［222L ）（-］2=4223-L 2.解法二：设a =c sin θ，b =c cos θ.∵a +b +c =L ，∴c （1+sin θ+cos θ）=L .∴c =θθcos sin 1++L.∴S =21c 2sin θcos θ=22L 2cos sin 1cos sin ）（θθθθ++. 设sin θ+cos θ=t ∈（1，2］，则S =22L ·22121）（t t +-=42L ·11+-t t =42L （1－12+t ）≤42L （1－122+）=4223-L 2. 6.（2004年湖南，17）已知sin （4π+2α）·sin （4π－2α）=41，α∈（4π，2π），求2sin 2α+tan α－cot α－1的值.解：由sin （4π+2α）·sin （4π－2α）=sin （4π+2α）·cos （4π+2α）=21sin （2π+4α）=21cos4α=41，得cos4α=21. 又α∈（4π，2π），所以α=12π5. 于是2sin 2α+tan α－cot α－1=－cos2α+ααααcos sin cos sin 22-=－cos2α+αα2sin 2cos 2-=－（cos2α+2cot2α）=－（cos 6π5+2cot 6π5）=－（－23－23）=253.培养能力7.求证：2sin 2sin 12αα-1+=2tan12tan1αα-+.证明：左边=ααcos sin 1+=2sin 2cos 2cos 2sin 222αααα-+）（=2sin2cos 2sin2cos αααα-+， 右边=2cos2sin 12cos2sin 1αααα-+=2sin2cos2sin 2cos αααα-+，∵左边=右边，∴原式成立.8.（2005年春季北京，15）在△ABC 中，sin A +cos A =22，AC =2，AB =3，求tan A 的值和△ABC 的面积.分析：本题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，考查运算能力.解法一：∵sin A +cos A =2cos （A －45°）=22，∴cos （A －45°）=21. 又0°＜A ＜180°，∴A －45°=60°，A =105°.∴tan A =tan （45°+60°）=3131-+=－2－3.∴sin A =sin105°=sin （45°+60°） =sin45°cos60°+cos45°sin60°=462+. ∴S △ABC =21AC ·AB sin A=21·2·3·462+=43（2+6）.解法二：∵sin A +cos A =22， ①∴（sin A +cos A ）2=21.∴2sin A cos A =－21. ∵0°＜A ＜180°，∴sin A ＞0，cos A ＜0.∴90°＜A ＜180°. ∵（sin A －cos A ）2=1－2sin A cos A =23， ∴sin A －cos A =26. ②①+②得sin A =462+. ①－②得cos A =462-. ∴tan A =A Acos sin =462+·624-=－2－3.（以下同解法一）探究创新9.锐角x 、y 满足sin y csc x =cos （x +y ）且x +y ≠2π，求tan y 的最大值. 解：∵sin y csc x =cos （x +y ），∴sin y csc x =cos x cos y －sin x sin y ，sin y （sin x +csc x ）=cos x cos y . ∴tan y =x x x csc sin cos +=x xx sin 1cos sin +=x x x x 22cos sin 2cos sin +=x x 2tan 21tan +≤xx tan 22tan =42，当且仅当tan x =22时取等号. ∴tan y 的最大值为42. ●思悟小结1.证明三角恒等式的基本思路，是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更命题等方法，使等式两端的“异”化为“同”.2.条件等式的证明，通过认真观察，发现已知条件和待证等式之间的关系，选择适当的途径把条件用上去.常用方法有代入法、消去法、综合法（即从已知条件出发，以待证式为目标进行代数或三角恒等变形，逐步推出待证式）、分析法等.3.三角函数的应用主要是借用三角函数的值域求最值，这首先应将原函数通过降幂、辅助角公式等化成y =A sin （ωx +ϕ）（A ≠0，ω＞0）的形式，或者通过换元转化成二次函数，然后再求之.●教师下载中心 教学点睛1.三角恒等式的证明实际上就是三角函数式的化简过程.2.有条件的三角函数求值有两个关键：①三角函数各关系式及常用公式的熟练应用.②条件的合理应用：注意条件的整体功能，注意将条件适当简化、整理或重新改造组合，使其与所计算的式子更加吻合.3.注意方程思想的应用. 拓展题例【例1】 试证：θθθθθθsin sin 1tan sin sin 1tan -+++）（）（=θθθθsin tan sin tan +.证明：左边=θθθθθθθθsin sin 1cos sin sin sin 1cos sin -+++）（）（=θθθθcos sin cos sin 1-+1++=2sin 22cos2sin22cos 22cos 2sin 222θθθθθθ++=2sin2cosθθ=cot 2θ， 右边=θθθθθθsin cos sin sin cos sin ⋅+=θθsin cos 1+=2cos2sin22cos 22θθθ=cot2θ，∴原等式成立.【例2】 已知α、β∈（0，4π），3sin β=sin （2α+β），4tan 2α=1－tan 22α.求α+β的值.解：∵4tan2α=1－tan 22α，∴2·tan α=1，tan α=21. ∵3sin β=sin （2α+β），∴3sin β=sin （α+β）cos α+cos （α+β）sin α. ∴3sin （α+β）cos α－3cos （α+β）sin α =sin （α+β）cos α+cos （α+β）sin α. ∴sin （α+β）cos α=2cos （α+β）sin α. ∴tan （α+β）=2tan α=1.∴α+β=4π. 评述：角的变换是常用技巧.如2α+β=（α+β）+α，β=（α+β）－α等.。
2019届高考数学第一轮专题复习测试卷第十八讲两角和与差及二倍角公式
数学试卷第十八讲 两角和与差及二倍角公式一、选择题： (本大题共 6 小题，每小题 6 分，共 36 分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)π47π1． 已知 cos α－ 6 ＋ sin α＝ 5 3，则 sin α＋ 6 的值是()2 3B.2 3A ．－ 554 4C ．－ 5D.5解析： ∵ cosπ＋ sin α＝ 43α－ 65∴3341 3 42 cos α＋ 2sin α＝53， 3 2cos α＋ 2 sin α＝ 5 3，π4π 43 sin 6＋α ＝ 5 3， ∴ sin 6＋ α＝5，7π4∴ sin α＋ 6π＝－ sin 6＋ α＝－ 5.答案： Cπ35 2π2．已知 cos － α＝ 3，则 cos 6π＋ α－ sin α－6 的值是 ( )6 A. 2＋ 3 2＋ 33B ．－ 3C. 2－ 3D. －2＋ 33 3解析： ∵ cos 5π6π＋ α＝ cos π－ 6－ απ 3 ＝－ cos 6－ α＝－ 3.2π2π12而 sin α－6＝ 1－ cos α－ 6 ＝1－3＝ 3，3－2＋ 3所以原式＝－2＝－ 3.3 3答案： B510 3．若 sin α＝ 5 ， sin β＝ 10 ，且 α、 β为锐角，则 α＋ β的值为( )π πA ．－4 B.4πD.πC．±34解析：解法一：依题意有cosα＝1－5 225 5＝5，cosβ＝1－10 2＝310，1010∴ cos(α＋β)＝2531051025×10－5×10＝2＞ 0.π∵ α，β都是锐角，∴ 0＜α＋β＜π，∴ α＋β＝4.5 2解法二：∵ α，β都是锐角，且 sin α＝5＜2，sinβ＝10＜2，102∴ 0＜α，β＜ππ4， 0＜α＋β＜2，∴ cosα＝1－5 2＝2 5，55102 3 10cosβ＝1－10＝10 ，5×31010×252sin( α＋β)＝510 ＋105＝ 2.π∴ α＋β＝ .4答案： B4．在△ ABC 中，若 cosA＝4， cosB＝5，则 cosC 的值是 () 5131656 A. 65 B.6516或 5616 C.65 65D．－65解析：在△ ABC 中，0＜A＜π，0＜ B＜π，cosA＝45ππ5＞ 0，cosB＝13＞ 0，得 0＜ A＜2，0＜ B＜2，从而 sinA＝3， sinB＝12，513所以 cosC＝ cos[ π－ (A＋B)]＝－ cos(A＋ B)＝ sinA ·sinB － cosA ·cosB3 1245 16＝ 5× 13－ 5×13＝65，故选 A.答案： A5．若 cos2θ＋ cos θ＝0，则 sin2θ＋ sin θ的值等于 ( )A ．0B ．± 3C ．0或 3D ．0或±3解析： 由 cos2θ＋ cos θ＝ 0 得 2cos 2θ－1＋ cos θ＝0，所以 cos θ＝－ 1 或12.当 cos θ＝－ 1 时，有 sin θ＝ 0；1 3当 cos θ＝ 2时，有 sin θ＝ ±2 .于是 sin2θ＋ sin θ＝ sin θ(2cos θ＋ 1)＝ 0 或 3或－ 3.答案： D评析： 本题主要考查三角函数的基本运算，同角三角函数关系式以及倍角公式．解题关键是熟练掌握公式，并注意不能出现丢解错误．6． (2019 ·口质检海 )在△ ABC 中，已知 s in(A － B)cosB ＋cos(A － B)sinB ≥ 1，则△ ABC 是 ( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形解析： sin(A － B)cosB ＋ cos(A － B)sinB ＝ sin[( A － B) ＋B] ＝ sinA ≥1，又 sinA ≤ 1， ∴sinA ＝ 1， A ＝ 90°，故 △ ABC 为直角三角形．答案： A二、填空题： (本大题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分，把正确答案填在题后的横线上．)7.2cos10 °－ sin20 ° sin70 ° 的值是 ________．2cos(30 －°20°)－ sin20 °解析： 原式＝sin70 °2(cos30 ·°cos20 °＋ sin30 ·°sin20 )°－ sin20 °＝sin70 °3cos20 °＝＝3.cos20 °答案： 3π12π cos2α π 8．已知 cos 4－ α＝ 13， α∈ 0， 4 则 π ( α∈ 0，4 )＝ ________.sin ＋α4解析： ∵ cos2α＝cos 2α－ sin 2α2πsin 4＋ α2 (sin α＋ cos α)(cos α－ sin α)(cos α＋sin α)＝22(sin α＋cos α)π＝ 2(cos α－sin α)＝ 2sin 4－ α.πππ又 α∈ 0，4 ，则 4－α∈ 0， 4 .π 12π 5由 cos 4－α＝ 13 ，则 sin 4－ α＝13.∴ 原式＝ 1013.答案：10139． (1＋ 3tan10 )°·cos40 °＝ ________.3sin10 °解析： (1＋3tan10°)cos40°＝1＋ cos10 ° cos40 °3sin10 ＋°cos10 °＝cos10 ° ·cos40 °2sin(10 ＋°30°) ＝cos10 ° ·cos40 °＝2sin40 cos40° ° sin80 °cos10 ° ＝cos10 ＝ 1.°答案： 110．已知 α、 β均为锐角，且 cos(α＋β)＝sin( α－ β)，则角 α＝________.解析： 依题意有 cos αcos β－ sin αsin β＝ sin αcos β－ cos αsin β，即 cos α(cos β＋ sin β)＝ sin α(sin β＋ cos β)．∵ α、 β均为锐角∴ sin β＋ cos β≠ 0，必有 cos α＝ sin απ∴ α＝ 4.答案：π4三、解答题： (本大题共 3 小题， 11、 12 题 13 分， 13 题 14 分，写出证明过程或推演步骤．)11． 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以 Ox 轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相2 2 5交于 A 、B 两点．已知 A 、 B 的横坐标分别为 10 ， 5 .(1)求 tan(α＋ β)的值； (2)求 α＋ 2β的值．22 5解： 由已知得 cos α＝ 10 ， cos β＝5 .∵ α， β为锐角，27 225∴ sin α＝ 1－ cos α＝10 ， sin β＝ 1－ cos β＝ 5.∴ tan α＝ 7， tan β＝1.21tan α＋ tan β7＋2＝－ 3.(1)tan( α＋ β)＝＝1－ tan α·tan β 1－ 7×121(2)∵ tan2β＝2tan β＝ 2× 2 ＝ 4， 1－ tan 2β1 2 31－ 24tan α＋ tan2β 7＋3 4＝－ 1.∴ tan(α＋2β)＝ ＝ 1－ 7×1－ tan α·tan2β 3∵ α、 β为锐角， ∴0＜ α＋ 2β＜ 3π3π2 ， ∴ α＋ 2β＝ 4 .1 ， cos(α－ β)＝ 13，且 0< β< π 12．已知 cos α＝14α< . 7 2(1)求 tan2α的值；(2)求 β的值．分析： 由已知可求 sin α，进而可求 tan α，tan2α；由角的关系入手，利用角的变换β＝ α－ (α－β)可求得cos β.1π解： (1) 由 cos α＝ 7，0<α<2，2124 3得 sin α＝ 1－ cos α＝1－ 7 ＝ 7 .∴ tan α＝ sin α 4 3 7 3.＝ × ＝ 4 cos α 7 1于是 tan2α＝ 2tan α ＝ 2×4 3 ＝－ 8 31－ tan 2α 1－ (4 3)247 .π 0<α－ β<π，得 2.(2)由 0<β<α<213又 ∵ cos(α－ β)＝14，∴ sin(α－ β)＝ 1－ cos 2(α－ β)＝3 314由 β＝α－(α－ β)，得cos β＝ cos[α－ (α－β)] ＝cos αcos(α－ β)＋ sin αsin( α－ β)1 134 3 3 3 1＝ 7××14 ＝2.14＋7所以 β＝ π3.π3 π3 ，sin3π5，求 sin( α＋ β)的值．13．已知 0<β<4<α<4π， cos 4－ α＝ 5 4 ＋ β＝ 13 π 3π 解： ∵4<α< 4 ，∴ －3π ππ π4 <－ α<－ 4，－ 2<4－ α<0.π3 π4又 ∵ cos 4－ α＝ 5， ∴ sin 4－ α＝－ 5.π3π 3π 又 ∵ 0<β<4， ∴ 4 < 4 ＋ β<π.又 ∵ sin 3π54＋β＝ 13，3π12 ∴ cos 4 ＋ β＝－ 13，π∴ sin(α＋ β)＝－ cos 2＋ (α＋β)3ππ＝－ cos4 ＋ β－ 4－ α3ππ3ππ＝－ cos 4 ＋ βcos 4－α－ sin 4 ＋ βsin 4－ α12×3 5×4＝－ －135－13－ 536 20 56 ＝ 65＋ 65＝ 65.评析： 三角函数的给值求值问题解决的关键在于把 “ 所求角 ” 用 “ 已知角 ” 表示．(1) 当 “ 已知角 ” 有两个时， “ 所求角 ” 一般表示为两个 “ 已知角 ” 的和或差的形式；(2) 当 “ 已知角 ” 有一个时， 此时应着眼于 “ 所求角 ” 与 “已知角 ”的和或差的关系， 然后应用诱导公式把 “所求角 ”变成 “已知角 ”．(3) 常见的配角技巧α1 1π π π α＝ 2·； α＝(α＋ β)－ β； α＝β－(β－ α) ； α＝ [( α＋ β)＋(α－ β)] ； β＝ [(α＋ β)－ (α－ β)] ； ＋ α＝ － － α .2 2 2 4 2 4。
2012年高三数学第一轮复习教案(新人教A)两角和与差、二倍角的公式(三)
4.4 两角和与差、二倍角的公式(三)巩固·夯实基础一、自主梳理1.化简三角函数式是为更清楚地显示式中所含量之间的关系,以便于应用.化简三角函数式的要求:(1)能求出值的应求出值.(2)使三角函数种数、项数尽量少;分母尽量不含三角函数;被开方式尽量不含三角函数.2.恒等式的证明,包括有条件的恒等式和无条件的恒等式两种.(1)无条件的等式证明,常用综合法(执因索果)和分析法(执果索因),证明的形式有化繁为简、左右归一、变更论证等,不论采用什么证明方式和方法,都要认真分析等式两边三角函数式的特点、角度和函数关系,找出差异,寻找证明的突破口.(2)有条件的等式证明,常常先观察条件式及欲证式中左、右两边三角函数式的区别及联系,灵活使用条件,变形得证.二、点击双基1.已知tan α和tan(24-α)是方程ax 2+bx+c=0的两个根，则a 、b 、c 的关系是( ) A.b=a+c B.2b=a+c C.c=b+a D.c=ab解析:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=-+,)4tan(tan ,)4tan(tan a c a b απααπα ∴tan 4π=ac a b--1=1. ∴-a b =1-a c ,-b=a-c. ∴c=a+b.答案:C2.(湖北八校联考)在△ABC 中,若tanB=)sin(sin )cos(B C A B C -+-式,则这个三角形是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形 解析:tanB=)sin(sin )cos(B C A B C -+-=)sin()sin()cos(B C B C B C -++-, ∴B B cos sin =BC B C B C cos sin 2sin sin cos cos +. ∴2sinBsinC=cosCcosB+sinCsinB.∴cosCcosB-sinCsinB=0,即cos(C+B)=0.∴cosA=0.∵0<A<π,∴A=2π.故选B.答案:B3.(全国高考卷Ⅱ)设α为第四象限的角,若ααsin 3sin =513,则tan2α=_________________. 解析：ααsin 3sin =αααsin )2sin(+ =αααααsin sin 2cos cos 2sin +=513. ∴2cos 2α+cos2α=513, 2cos 2α-1+cos2α=58. ∴cos2α=54. ∵2k π-2π<α<2k π, ∴4k π-π<2α<4k π.又∵cos2α=54>0, ∴2α为第四象限的角. sin2α=-α2cos 12-=-53, ∴tan2α=-43. 答案：-43 4.已知cos α-cos β=21,sin α-sin β=31,则cos(α-β)=____________. 解析:(cos α-cos β)2=41,(sin α-sin β)2=91. 两式相加,得2-2cos(α-β)=3613. ∴cos(α-β)=7259. 答案:7259 诱思·实例点拨【例1】 (湖南高考)已知在△ABC 中,sinA(sinB+cosB)-sinC=0,sinB+sin2C=0,求角A 、B 、C 的大小.剖析:欲求角A 、B 、C,需求A 、B 、C 的某一个三角函数值,利用方程的思想易求得A 、B 、C 的值.解:由sinA(sinB+cosB)-sinC=0,得sinAsinB+sinAcosB-sin(A+B)=0.∴sinAsinB+sinAcosB-sinAcosB-cosAsinB=0,即sinB(sinA-cosA)=0.∵B ∈(0,π),∴sinB ≠0,从而cosA=sinA.由A ∈(0,π),知A=4π. 从而B+C=43π. 由sinB+cos2C=0,得 sinB+cos2(43π-B)=0, 即sinB-sin2B=0,亦即sinB-2sinBcosB=0.此得cosB=21,B=3π,C=125π. ∴A=4π,B=3π,C=125π. 讲评:本题主要考查三角形及三角函数的基本知识,关键是运用sin(A+B)=sinC.【例2】 求证：αβαsin )2sin(+-2cos(α+β)=αβsin sin . 剖析:先转换命题，只需证sin(2α+β)-2cos(α+β)·sin α=sin β，再利用角的关系：2α+β=(α+β)+α，(α+β)-α=β可证得结论.证明:sin(2α+β)-2cos(α+β)sin α=sin ［(α+β)+α］-2cos(α+β)sin α=sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α-2cos(α+β)sin α=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=sin ［(α+β)-α］=sin β.两边同除以sin α得αβαsin )2sin(+-2cos(α+β)=αβsin sin . 讲评:证明三角恒等式，可先从两边的角入手——变角，将表达式中出现了较多的相异的角朝着我们选定的目标转化，然后分析两边的函数名称——变名，将表达式中较多的函数种类尽量减少，这是三角恒等变形的两个基本策略.【例3】 求函数y=xx x x x 2cos cos 3cos sin 2sin 233++sin2x 的最小值. 剖析:要求最值,需先进行三角恒等变形,化为一个角的一个三角函数形式.解法一:因为sin3xsin 3x+cos3xcos 3x=(sin3xsinx)sin 2x+(cos3xcosx)cos 2x=21［(cos2x-cos4x)］sin 2x+21［(cos2x+cos4x)cos 2x ］ =21［cos2x+(cos 2x-sin 2x)cos4x ］ =21(cos2x+cos2xcos4x) =21cos2x(1+cos4x)=cos 32x,∴y=xx 2cos 2cos 23+sin2x =cos2x+sin2x=2sin(2x+4π). 当sin(2x+4π)=-1时,y 取最小值-2. 解法二:(只需记住三倍角的正、余弦角公式,可避开积化和差公式,而较方便地获解) 因为sin3xsin 3x+cos3xcos 3x=(3sinx-4sin 3x)sin 3x+(4cos 3x-3cosx)cos 3x=3sin 4x-3cos 4x+4cos 6x-4sin 6x=3(sin 2x+cos 2x)(sin 2x-cos 2x)+4(cos 2x-sin 2x)(cos 4x+cos 2xsin 2x+sin 4x)=-3cos2x+4cos2x ［(cos 2x+sin 2x)-sin 2xcos 2x ］=-3cos2x+4cos2x(1-41sin 2x) =-3cos2x+4cos2x(43+41cos 22x) =cos 32x.以下同解法一.讲评:由本例可看出,求三角函数的最值,仍离不开三角函数式的恒等变形,这就要求熟练掌握三角函数恒等变形的常用方法,而关键还在于熟记常用的三角公式.。
2012届高考数学一轮考点疏理 典型例题 练习题和解析 4.1两角和与差的三角函数精品
2012届高考数学一轮精品4.1两角和与差的三角函数（考点疏理+典型例题+练习题和解析） 三角恒等变换4.1两角和与差的三角函数【知识网络】1．熟记两角和与差的正弦、余弦、正切公式；２．灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形等；３．要学会辩证地看待和角与差角，根据需要，可以进行适当的变换：(),()ααββααββ=+-=-+，2()(),ααβαβ=++-2()()ααββα=+--等等．【典型例题】［例1］(1)已知α∈(2π,π)，sin α=53,则tan(4πα+)等于 A.71 B.7 C.－ 71 D.－7 (1)A(2) sin163°sin223°+sin253°sin313°等于 （ ）A.－21B.21C.－23D.23 (2)B(3) ︒︒-︒70sin 20sin 10cos 2的值是 （ ） A.21 B.23 C.3 D.2 （3）C 提示：000103020=-(4) 已知cos α－cos β=21，sin α－sin β=31，则cos （α－β）=_______. （4）7259 提示：两式平方相加 (5) 已知A 、B 为锐角，且满足tan tan tan tan 1A B A B =++，则cos()A B +＝_____．（5）2- ［例2］设cos （α－2β）=－91，sin （2α－β）=32，且2π＜α＜π，0＜β＜2π， 求cos （α+β）. 解：∵2π＜α＜π，0＜β＜2π，∴4π＜α－2β＜π，－4π＜2α－β＜2π. 故由cos （α－2β）=－91，得sin （α－2β）=954. 由sin （2α－β）=32，得cos （2α－β）=35.∴cos 2βα+=cos ［（α－2β）－（2α－β）］=cos()cos()sin ()sin()2222βαβααβαβ--+--=129339-⨯+⨯=∴cos （α+β）=2cos 22βα+－1=22⨯⎝⎭-1=－729239. ［例350sin80(13tan10)++ ． 解：原式2sin 80132sin 50(cos10sin10)cos102cos5++=2sin 802sin 50cos(6010)cos10cos5+-=250cos50)22cos5+=2cos(5045)2cos5-==［例4］ 已知△ABC 中的三内角A 、B 、C 成等差数列，且B C A cos 2cos 1cos 1-=+，求2cos C A -的值． 思路分析：本题中角间关系较为隐蔽，注意到260C A B +=︒=，而22C A C A A -++=，22C A C A C --+=．取2C A -作为基本量，就找到了解决本题的突破口． 解：由已知，B ＝60°，A ＋C ＝120°，则设,2α=-C A ,6022α+︒=-++=C A C A A .6022α-︒=--+=C A C A C 11cos cos A C ∴+()()11cos 60cos 60αα=+︒+︒- =222cos cos 133cos sin cos 444ααααα==-- 22cos 243cos cos 2-=-=-B αα依题设有 ,cos cos :023224 2=-α+α整理得()().cos cos 032222=+α-α ,cos 0322≠+α .cos 022=-α∴.C A cos 222=-故【课内练习】 １．化简1tan151tan15+-等于 （ ）()A ()B ()C 3 ()D 1 １．Ａ２．下列四个命题中的假命题是 （ ）A.存在这样的α、β，使得cos （α+β）=cos αcos β+sin αsin βB.不存在无穷多个α、β，使得cos （α+β）=cos αcos β+sin αsin βC.对于任意的α、β，cos （α+β）=cos αcos β－sin αsin βD.不存在这样的α、β，使得cos （α+β）≠cos αcos β－sin αsin β２．Ｂ 提示：由cos （α+β）=cos αcos β+sin αsin β=cos αcos β－sin αsin β，得sin αsin β=0.∴α=k π或β=k π（k ∈Z ）.３．(1tan 20)(1tan 21)(1tan 24)(1tan 25)++++= （ ）()A 2 ()B 4 ()C 8 ()D 16３．Ｂ 提示：(1tan 20)(1tan 25)++=1tan 20tan 25tan 20tan 252+++=4.对于任何,0,,sin()sin sin 2παβαβαβ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭与的大小关系是 ( ) A sin()sin sin αβαβ+>+ B sin()sin sin αβαβ+<+C sin()sin sin αβαβ+=+D 要以α,β的具体值而定4. B 提示:sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+,0cos 1,0cos 1βα<<<<5．已知α∈（0，2π），β∈（2π，π），3sin 5α=，4cos()5αβ+=-，则sin β ____. 5．2425 提示：()βαβα=+-，特别注意β的范围 6．在△ABC 中，33tan tan tan =++C B A ，C A B tan tan tan 2⋅= 则∠B= .6．3π 提示：tan tan tan tan()1tan tan A C B A C A C+=-+=-- 7．若)2,0(,,πγβα∈，sin sin sin αγβ+= cos +cos cos αγβ=，则β－α的值为 .7．3π 提示：移项后两边平方相加可得 1cos()2βα-= sin sin sin 0βαγ-=> 得02πβα<-< 8．已知8cos(2)5cos 0αββ++=，求tan()tan αβα+⋅的值．解：∵2()αβαβα+=++，()βαβα=+-，∴8cos[()]5cos[()]0a αβααβ++++-=，得13cos()cos 3sin()sin αβααβα+=+，若cos()cos 0αβα+≠，则13tan()tan 3αβα+⋅=， 若cos()cos 0αβα+=，tan()tan αβα+⋅无意义9．化简sin 7cos15sin8.sin 7sin15sin8︒+︒︒︒-︒︒()()()sin 158cos15sin 8: cos 158sin15sin 8sin15cos8 tan15cos15cos8 tan 6045tan 60tan 45 1tan 60tan 45 ︒-︒+︒︒=︒-︒-︒︒︒︒==︒︒︒=︒-︒︒-︒=+︒︒解原式 2==- 10．已知11cos(2),sin(2)14αβαβ-=--=，042ππβα<<<<． :αβ+求的值． 解：11cos(2)2144παβαβπ-=-<-<且，sin(2)αβ∴-=sin(2)242ππαβαβ-=-<-<，1cos(2)7αβ∴-= cos()cos[(2)(2)]αβαβαβ∴+=--- cos(2)cos(2)sin(2)sin(2)αβαβαβαβ=--+--11111472=-⨯+= 3παβ∴+=。
高考数文一轮总复习课件---两角和差及二倍角公式
迁移发散2： 规范解答 ：
题型3 ·三角恒等式的证明
思路点拨： 分析角的差异进行变角：2α＋β＝（α＋β）＋α；β＝ （α＋β）－α.
规范解答：
点评： 三角恒等式可分为无条件三角恒等式与条件恒等式两类，其证明思路 与代数恒等式类似，证明的实质是进行恒等变换消去等式两端的差异 ，达到形式上的统一，具体的方法有切割化弦、拆角、常数代换、公 式变形等.
题型5 ·综合应用
例6
思路点拨：根据三角函数的相关公式对函数恒等变换，结合三角函数的图像 性质解决.
规范解答 ：
点评： 高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的 考查还往往渗透在研究三角函数性质中.需要利用这些公式， 先把函数解析式化为y＝Asin（ωx＋φ）的形式，再进一步讨 论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称 性等性质.
规律总结： 解决三角函数的综合问题时，既要熟悉三角公式的代数结构 ，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联 系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点，涉及倍角 或半角的都可以利用倍角公式及其变形.
1、 解析：
精选习题
2、 解析：
3、 解析：
4、 解析：
5、 解析：
点评： 在本题的解法中，运用了二倍角的正、余弦公式，还引入了辅助 角，技巧性较强.值得强调的是：辅助角公式asin α＋bcos α＝sin （α＋φ）或asin α＋bcos α＝cos（α－φ），在历年高考中使用 频率是相当高的，几乎年年使用到、考查到，应加以关注.
规律总结： 解决此类问题有固定的环节，一般分如下几个步骤： 第一步：将f（x）化为asin x＋bcos x的形式； 第二步：构造f（x）＝sin x·＋cos x·； 第三步：和角公式逆用f（x）＝sin（x＋φ） （其中φ为辅助角）； 第四步：利用f（x）＝sin（x＋φ）研究三角函数的性质； 第五步：反思回顾.查看关键点、易错点和解题规范
2012高考数学理一轮复习(北师大)精品学案5两角和与差及二倍角和三角函数
考纲解读
考向预测
填填知学情
课内考点突破
规律探究
考点1 考点2 考点3
考纲解读
(1)会用向量的数量积推导出两角差的 余弦公式.
两角和与差 (2)会用两角差的余弦公式推导出两角
的正弦、余 弦和正切公
差的正弦、正切公式.
式
(3)会用两角差的余弦公式推导出两角 和的正弦、余弦、正切公式和二倍角
5 ∴cosα= 1 - sin2 4.
5
∵β为第一象限，cosβ=
5 ,
13
∴sinβ= 1 - cos2 12 .
13
故sin2α=2sinαcosα= ,24
25
cos2α=1-2sin2α= ,7
25
sin(2α-β)=sin2αcosβ-cos2αsinβ=-
cos(2α-β)=cos2αcosβ+sin2αsinβ=-
的正弦、余弦、正切公式，了解它们
的内在联系.
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考向预测
在选择题、填空题以及解答题中出现最多的题型 就是三角求值问题.解答这类题目需要重视应用三角公 式对三角式进行变换，需要有熟练的恒等变形能力， 故求值题仍将是今后命题的重点内容.
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1.两角和与差的三角函数公式
sin(α±β)= sinαcosβ±cosαsinβ ；
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已知α为第二象限角,sinα= ,3β为第一象限角,
5
cosβ= 5 ,求tan(2α-β)的值.
13
【解析】解法一: tan( 2 ) tan 2 tan ,
∵α为第二象限角,sinα=
,∴3 cosα=1
5
tan 2 tan
高考一轮课时训练理两角和与差二倍角公式及简单
第三节 两角和与差、二倍角公式及简单的三角恒等变换一、选择题1.⎝⎛⎭⎪⎫cos π12－sin π12⎝⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12＝( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.322．已知sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝35，那么cos 2β的值为( )A.725B.1825 C ．－725 D ．－18253．(2009年上海预考)已知0<α<π，sin α＋cos α＝12 ，则cos 2α的值为( ) A.74 B ．－74C ．±74D ．－344．(2008年湖南卷)函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上的最大值是( )A ．1 B.1＋32C.32D ．1＋ 3 5．若α为第三象限角，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．1 D ．－1二、填空题6．(2009年淄博模拟)已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝1213，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________. 7．已知α，β均为锐角，且sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝13，则cos(α－β)＝______.8.(2009年青岛模拟)2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如右图)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于________．三、解答题9．已知cos ()α＋β＝45，cos ()α－β＝－45，且32π<α＋β<2π，π2<α－β<π，分别求cos 2α和cos 2β的值．10．(2009年培正中学月考)设f (x )＝6cos 2x －3sin 2x . (1)求f (x )的最大值及最小正周期；(2)若锐角α满足f (α)＝3－23，求tan 45α的值．参考答案1．D 2.A 3.B 4.C5．解析：∵α为第三象限角，∴sin α<0，cos α<0， 则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝－1－2 ＝－3. 答案：B6．－5665 7.59728．解析：图中小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，∴ 每一个直角三角形的面积是6，设直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，则⎩⎨⎧a 2＋b 2＝2512ab ＝6，∴ 两条直角边的长分别为3,4，直角三角形中较小的锐角为θ，cos θ＝45，cos 2θ＝2cos 2θ－1＝725. 答案：7259．解析：∵3π2<α＋β<2π，π2<α－β<π，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋β＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋β＝－35， sin ⎝⎛⎭⎫α－β＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β＝35， 所以cos 2α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋β＋⎝⎛⎭⎫α－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋βcos ⎝⎛⎭⎫α－β－sin ⎝⎛⎭⎫α＋βsin ⎝⎛⎭⎫α－β＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×35＝－725； cos 2β＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋β－⎝⎛⎭⎫α－β＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋βcos ⎝⎛⎭⎫α－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋βsin ⎝⎛⎭⎫α－β＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×35＝－1. 10．解析：(1)f (x )＝61＋cos 2x 2－3sin 2x＝3cos 2x －3sin 2x ＋3＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos 2x －12sin 2x ＋3＝23cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋3.故f (x )的最大值为23＋3； 最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由f (α)＝3－23，得23cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＋3＝3－23，故cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝－1. 又由0<α<π2得π6<2α＋π6<π＋π6，故2α＋π6＝π，解得α＝512π.从而tan 45α＝tan π3＝ 3.。
2019届高考数学第一轮专题复习测试卷第十八讲两角和与差及二倍角公式
--数学试卷第十八讲两角和与差及二倍角公式一、选择题：(本大题共6 小题，每小题6 分，共36 分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)7ππ41．已知cos α－＋sinα＝3，则sin α＋656的值是() 2 3B.32．－A 5544．－C5D.54πcos解析：∵α－6＝sinα＋35433341∴，3＝＋sinαcosα＋sinα＝cosα52522233，ππ44＋α＝，＝α＋3，∴sin 563 sin56π47.＝－π∴sin α＋＝－sin ＋α665C答案：ππ532α－(的值是α－sinα－，则cos π＋66 cos2．已知＝)36 32＋3＋2．－BA.333＋3－22－ D.C.33π5α－－α＝cos ππ＋66 cos解析：∵π3.＝－α－＝－cos 63ππ2122，αα－－663＝＝1－3 cos而sin 1－＝32＋3－2所以原式＝－.＝－333B答案：105、，且αβ的值为＋β为锐角，则α＝sinβ，＝sin3．若α5()10ππ．－A4B.4----数学试卷ππ D.．±C345 252＝5 －1α＝cos，解法一：依题意有解析：5 10 10，＝－1β＝cos321010253105102－×5＞0. cos(α＋β)＝∴＝×251010π.β＝α＋＜π，∴，β都是锐角，∴0＜α＋β∵α425，sin α＝＜解法二：∵α，β都是锐角，且25 210＝sinβ，＜210π＜α，β∴0＜π，2＜＜，0α＋β4 2 5 5 ＝2－1∴cosα＝，551010 3 2，＝－＝1cosβ1010251025310.＋10 ＋sin( αβ)＝52 ＝××510π.＝α＋β∴4B答案：54 () ，则cosC 的值是，cosB＝＝4．在△ABC 中，若cosA1355616B.A. 6565165616或C.．－D6565 65π45πsinA，从而B0，＜＞cosB＞0，＝0，得＜0 A＜＜21325＝，B0，＜＜πcosAπ＜＜中，解析：在△ABC 0A 312，sinB＝，＝135B) cosC所以＋(A－πcos[ ＝B)] cos(A＝－＋----数学试卷·cosB＝sinA·sinB－cosA1653124×－× A.5135＝，故选6513＝A答案：)θ的值等于(，则sin2θ＋sin5．若cos2θ＋cosθ＝03．±A．0B3或±D．0 C．0或312；＝－，所以cosθ1 或0.当cosθ＝－1 时，有sinθ＝＝解析：由cos2θ＋cosθ0 得2cos＋θ－1 cosθ＝0231或＝0 θθ＝sinθ(2cos＋1)θθ时，有sin＝± .于是sin2＋sin22 3.3或－当cosθ＝D答案：本题主要考查三角函数的基本运算，同角三角函数关系式以及倍角公式．解题关键是熟练掌握评析：公式，并注意不能出现丢解错误．) )6．(2019 ·口质检海在△ABC 中，已知sin(A－ABC ，则△是( B)sinB B)cosB＋cos(A－≥1．锐角三角形BA ．直角三角形．等边三角形DC．钝角三角形，又－B)sinB＝sin[( A B) ＋B] 1＝sinA≥－－解析：sin(A B)cosB＋cos(A°，A＝1，＝90sinA 1sinA≤，∴为直角三角形．ABC 故△A答案：) 24 分，把正确答案填在题后的横线上．分，共6 本大题共二、填空题：(4 小题，每小题sin20°－2cos10 °．的值是________7.°sin70°)202cos(30 －°°－sin20原式＝解析：°sin70°·°sin20 sin20 )°－sin30 °＋cos20 2(cos30 ·°＝°sin70°3cos20 3.＝＝°cos203答案：----数学试卷cos2απππ12α－π＝则________. )＝∈0∈0，，( α8．已知cos ，α44134＋αsin422αsincosα－αcos2＝解析：∵2πsin ＋α4(sinα＋cosα)2(cosα－sinα)(cosα＋sinα)＝2(sinα)α＋cos2π＝2(cosα－sin α)＝2sin －α.4πππ0，－α∈0， .444，则∈又αππ125由cos －α＝，则sin －α＝.13134410∴原式＝.1310答案：139．(1＋3tan10 )°·cos40 °＝________.3sin10 °)cos403tan10°＝°1＋cos40cos10°＋解析：(1°3sin10 ＋°cos10 °°cos40 ·＝°cos10)30°2sin(10 ＋°·cos40 °＝cos10°2sin40 cos40°°sin80°＝＝1.＝°°cos10cos10答案：110．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin( α－β)，则角α＝________.解析：依题意有cosαcosβ－sinαsinβ＝sinαcosβ－cosαsinβ，即cosα(cosβ＋sinβ)＝sinα(sinβ＋cosβ)．∵α、β均为锐角∴sinβ＋cosβ≠0，必有cosα＝sinαπ. ＝∴α4----数学试卷π答案：4)三、解答题：(本大题共3 小题，11、12 题13 分，13 题14 分，写出证明过程或推演步骤．11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相2 52交于A、B 两点．已知A、B 的横坐标分别为， . 510(1)求tan(α＋β)的值；的值．βα＋2(2)求225.∵α，β为锐5角，＝由已知得cosα解：10＝β，cos72522.＝β，sin105cos＝1－∴sinα＝1－cos α＝β1.＝，tanβ∴tanα＝721tanα＋tanβ7＋2＝－3.＝＝α＋β)(1)tan( 1tanβ1－tanα·71×－212tanβ2×24 ＝(2)∵tan2β＝，＝21 3β1－tan21－24tanα＋tan2β7＋3＝－1.4＝＝＋2β)∴tan(α1－tanα·tan2β1－7×33π∵α、β为锐角，∴0＜α＋2β＜3π，∴α＋2β＝ .42π131< 0< ，且)α，cos(－β＝β.＝cosα．已知12<α1472的值；tan2求(1)α----数学试卷(2)求β的值．分析：由已知可求sin α，进而可求tanα，tan2α；由角的关系入手，利用角的变换β＝α－(α－β)可求得cosβ.1π解：(1) 由cosα＝，0<α<，2714322.－177 ＝α－cos sinα＝1得＝4αsin 73＝α∴tan3.×＝4＝αcos1722tan×α＝tan2α＝于是＝－8 34 3.2247 (4 3)－α11－tanππ<β0<α－，得.2<<α(2)由0<β213又∵cos(α－β)＝，14 3 32β)＝－1－cos(α∴sin(α－β)＝14由β＝α－(α－β)，得cosβ＝cos[α－(α－β)] ＝cosαcos(α－β)＋sinαsin( α－β)11343331××.＝＋14 ＝27147πβ＝所以.33πππ533＋β＝α＝α<π，cos －0<13．已知β<<4 444，求sin( α＋β)，sin的值．135ππ3，< <α解：∵443π∴－πππ<－α<－，－<－α<0.444243ππ.＝－α－＝，∴sin cos 又∵－α4545ππ3π3.<βπ∴< ＋，∵又0<β< 444π35＋β＝，134sin又∵----数学试卷3π12，13β＝－∴cos ＋4π∴sin(α＋β)＝－cos ＋(α＋β)23ππ＋－α－β44 cos＝－3π3πππ＝－cos ＋βcos－α－sin ＋βsin －α4444 3 5124××－－＝－13513－5362056.＝＝＋65 65 65评析：三角函数的给值求值问题解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示．当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(1)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公(2)式把“所求角”变成“已知角”．常见的配角技巧(3)παππ11；α＝[( α＋β)＋(α－β)] ；β＝[(α＋β)－(α－βα－(βα；)α＝2α＝·；α(＋β－β＝－β))] ；＋α＝－－α .222424--。
2012年高三数学第一轮复习教案(新人教A)两角和与差、二倍角的公式(一)
4.2 两角和与差、二倍角的公式(一)巩固·夯实基础一、自主梳理1.如图,在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O,以Ox 为始边作角α、β,它们的终边与单位圆的交点分别为A 、B,则OA =(cos α,sin α),OB =(cos β,sin β).由数量积的定义有OA ·OB =(cos α,sin α)·(cos β,sin β)=cos αcos β+sin αsin β. 由向量数量积的坐标表示,有·=cos(α-β).于是cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.2.由诱导公式可得cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β;sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β;sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.3.由tan α=ααcos sin 可得tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+; tan(α-β)=βαβαtan tan 1tan tan •+-. 二、点击双基1.(北京高考)对任意的锐角α、β,下列不等关系中正确的是（ ）A.sin(α+β)>sin α+sin βB.sin(α+β)>cos α+cos βC.cos(α+β)<sin α+sin βD.cos(α+β)<cos α+cos β解析：取α=30°,β=60°,可知A 、B 不正确.取α=β且均趋近于0°,cos(α+β)→1,sin α→0,sin β→0,显然C 不正确,故选D.答案：D2.(北京春季高考)在△ABC 中,已知2sinAcosB=sinC,那么△ABC 一定是( )A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形 解析:由2sinAcosB=sinC,知2sinAcosB=sin(A+B),∴2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB.∴cosAsinB-sinAcosB=0.∴sin(B-A)=0.∴B=A.答案:B3.︒︒-︒70sin 20sin 10cos 2的值是( )A.21 B.23 C.3 D.2 解析: 原式=︒︒-︒-︒70sin 20sin )2030cos(2 =︒︒-︒•︒+︒•︒70sin 20sin )20sin 30sin 20cos 30(cos 2 =︒︒20cos 20cos 3=3. 答案:C4.(江苏南京期末)已知函数f(x)=cos 2(4π+x)-cos 2(4π-x),则f(12π)等于( ) A.21 B.-21 C.23 D.-23 解析:f(x)= 2)22cos(1x ++π-2)22cos(1x -+π=22sin 1x --22sin 1x +=-sin2x, ∴f(12π)=-sin2×12π=-sin 6π=-21.故选择B. 答案:B5.△ABC 中,若b=2a,B=A+60°,则A=_____________.解析:利用正弦定理，由b=2a ⇒sinB=2sinA⇒sin(A+60°)-2sinA=0⇒3cosA-3sinA=0⇒sin(30°-A)=0⇒30°-A=0°⇒A=30°.答案:30°诱思·实例点拨【例1】 已知cos α=-1312,cos(α+β)=26217,且α∈(π,23π),α+β∈(23π,2π),求β. 解:∵α+β∈(23π,2π),α∈(π,23π), ∴β∈(0,π),∴只需求cos β的值即可.由已知得sin α=-135,sin(α+β)=-2627, ∴cos β=cos ［(α+β)-α］=cos(α+β)cos α+sin(α+β)·sin α=-22.∴β=43π. 讲评:要求角则先求一个函数值,而函数的选择是非常重要的.如本例若求sin β,则因为β∈(0,π),而sin β>0的β值有两个,故产生增根.链接·聚焦已知三角函数值求角的步骤:1.求角的某一个三角函数值.2.求角的范围.【例2】 求［2sin50°+sin10°(1+3tan10°)］·80sin 22的值.解:原式=(2sin50°+sin10°︒︒+︒10cos 10sin 310cos )·2sin80° =(2sin50°+2sin10°︒︒+︒10cos 10sin 2310cos 21)2cos10° =22［sin50°·cos10°+sin10°·cos(60°-10°)］=22sin(50°+10°)=22×23=6. 讲评:对于给角求值问题,往往所给角都是非特殊角,解决这类问题的基本思路有:(1)化为特殊角的三角函数值.(2)化为正负相消的项,消去求值.(3)化分子、分母使之出现公约数进行约分而求值.(4)给值(或式)求值.【例3】 (1)若cos α+cos β=21,sin α+sin β=31,求 cos(α-β)的值; (2)若sin(α+β)＝21,sin(α-β)=31,求βαtan tan . 剖析:本题主要考查两角和与差的正、余弦公式的熟练运用.(1)因为cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β,所以将已知两式平方后相加可得.(2)因为βαtan tan =βαβαsin cos cos sin ,所以将已知两式用两角和、差的正弦公式展开后,解方程组可得sin αcos β与cos αsin β,再排除. 解:(1)∵cos α+cos β=21, ① sin α+sin β=31, ②①2+②2,得2+2(cos αcos β+sin α·sin β)=41+91, 即2+2cos(α-β)=3613. ∴cos(α-β)=-7259. (2)∵sin(α+β)=21,sin(α-β)=31, ∴sin αcos β+cos αsin β=21, sin αcos β-cos αsin β=31. ∴sin αcos β=125,cos αsin β=121. ∴βαtan tan =βαβαsin cos cos sin =5. 讲评:本题属“给值求值”问题,通常是认真观察所给函数值中的角与所求函数式中的角之间的联系,通过“变角”“拼角”等手段来求解.。
2012年高三数学第一轮复习教案(新人教A)两角和与差、二倍角的公式(二)
4.3 两角和与差、二倍角的公式(二)巩固·夯实基础一、自主梳理1.在两角和的正弦、余弦、正切公式中,当α=β时就可得到二倍角公式sin2α=2sin αcos α,cos2α=cos 2α-sin 2α,tan2α=αα2tan 1tan 2-. 在二倍角的余弦公式中如果表示式中仅含α的正弦,则cos2α=1-2sin 2α;如果表示式中仅含α的余弦,则cos2α=2cos 2α-1.2.常见二倍角公式的变形:sin 2α=22cos 1α-,cos 2α=212cos +α,1+cos α=2cos 22α,1-cos α=2sin 22α.二、点击双基 1.下列各式中,值为21的是( ) A.sin15°cos15° B.2cos 212π-1C.230cos 1︒+D.︒-︒5.22tan 15.22tan 2 解析: ︒-︒5.22tan 15.22tan 2=21tan45°=21. 答案:D 2.设a=sin14°+cos14°,b=sin16°+cos16°,c=26,则a 、b 、c 的大小关系是( ) A.a<b<c B.a<c<b C.b<c<a D.b<a<c解析:a=2sin59°,c=2sin60°,b=2sin61°,∴a<c<b.答案:B3.若f(tanx)=sin2x,则f(-1)的值是( )A.-sin2B.-1C.21D.1 解析:f(-1)=f ［tan(-4π)］=-sin 2π=-1. 答案:B 4.(上海春季高考)若cos α=53,且α∈(0,2π),则tan 2α=___________. 解法一:由cos α=53,α∈(0,2π),得sin α=α2cos 1-=54, tan 2α=2cos 2sin αα=2cos 2sin 22sin 2ααα=ααsin cos 1-=54531-=21. 解法二:tan 2α=ααcos 1cos 1+-=531531+-=21. 答案:21 5.(2005北京春季高考)已知sin2θ+cos 2θ=332,那么sin θ的值为____________,cos2θ的值为____________.解析:由sin 2θ+cos 2θ=332,得 1+sin θ=34,sin θ=31, cos2θ=1-2sin 2θ=1-2·91=97. 答案:31 97 诱思·实例点拨 【例1】 (全国高考卷Ⅱ,文)已知α为第二象限的角，sin α=53，β为第一象限的角，cos β=135.求tan (2α-β)的值.剖析:欲求tan(2α-β),需求tan β,tan2α.解:∵α为第二象限角,sin α=53, ∴cos α=-α2sin 1-=-54,tan α=ααcos sin =-43,tan2α=αα2tan 1tan 2-=-724. ∵β为第一象限角,cos β=135, ∴sin β=β2cos 1-=1312,tan β=ββcos sin =512. ∴tan(2α-β)=βαβαtan 2tan 1tan 2tan +-=5127241512724⨯---=253204. 讲评:本题主要考查有关角的和、差、倍的三角函数的基本知识,以及分析问题和解决问题的能力.【例2】 已知sin(x-43π)cos(x-4π)=-41,求cos4x 的值. 剖析:4x 为2x 的二倍角,2x 为x 的二倍角.解:由已知得sin(x-2π-4π)cos(x-4π)=-41, ∴cos 2(x-4π)=41. ∴sin2x=cos(2π-2x)=2cos 2(4π-x)-1=-87. ∴cos4x=1-2sin 22x=1-6498=-3217. 【例3】(福建高考)已知-2π<x<0,sinx+cosx=51. (1)求sinx-cosx 的值;(2)求xx x x x cot tan 2cos 2cos 2sin 22sin 322++-π的值. 解:(1)由sinx+cosx=51,得sin 2x+2sinxcosx+cos 2x=251,即2sinxcosx=-2524. ∴(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=2549. ∵-2π<x<0, ∴sinx-cosx<0.故sinx-cosx=-57. (2)xx x x x x cot tan 2cos 2cos 2sin 22sin 322++- =x x x x x x sin cos cos sin 1sin 2sin 22++- =sinxcosx(2-cosx-sinx)=(-2512)×(2-51)=-125108. 讲评:本题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数在各象限的符号等基本知识,以及推理和运算能力.。
2012高考考前专项复习天天练第18练 两角和与差及二倍角公式
第十八练 两角和与差及二倍角公式一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6的值是( ) A.2＋33 B ．－2＋33 C.2－33 D.－2＋33解析：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33.而sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－13＝23，所以原式＝－33－23＝－2＋33. 答案：B2．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝453，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235B.235C ．－45D.45解析：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝45 3 ∴32cos α＋32sin α＝453，3⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos α＋32sin α＝453， 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝453，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝45， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋76π＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝－45.答案：C 3．若sin α＝55，sin β＝1010，且α、β为锐角，则α＋β的值为( )A ．－π4 B.π4C ．±π4 D.π3解析：解法一：依题意有cos α＝1－⎝⎛⎭⎪⎫552＝255， cos β＝1－⎝⎛⎭⎪⎫10102＝31010， ∴cos(α＋β)＝255³31010－55³1010＝22＞0.∵α，β都是锐角，∴0＜α＋β＜π，∴α＋β＝π4.解法二：∵α，β都是锐角，且sin α＝55＜22， sin β＝1010＜22， ∴0＜α，β＜π4，0＜α＋β＜π2，∴cos α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝255， cos β＝1－⎝⎛⎭⎪⎫10102＝31010， sin(α＋β)＝55³31010＋1010³255＝22. ∴α＋β＝π4.答案：B4．在△ABC 中，若cos A ＝45，cos B ＝513，则cos C 的值是( )A.1665 B.5665C.1665或5665D ．－1665解析：在△ABC 中，0＜A ＜π，0＜B ＜π，cos A ＝45＞0，cos B ＝513＞0，得0＜A ＜π2，0＜B ＜π2，从而sin A ＝35，sin B ＝1213，所以cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B ) ＝sin A ²sin B －cos A ²cos B ＝35³1213－45³513＝1665，故选A. 答案：A5．若cos2θ＋cos θ＝0，则sin2θ＋sin θ的值等于( )A ．0B ．± 3C ．0或 3D ．0或± 3解析：由cos2θ＋cos θ＝0得2cos 2θ－1＋cos θ＝0，所以cos θ＝－1或12.当cos θ＝－1时，有sin θ＝0；当cos θ＝12时，有sin θ＝±32.于是sin2θ＋sin θ＝sin θ(2cos θ＋1)＝0或3或－ 3.答案：D评析：本题主要考查三角函数的基本运算，同角三角函数关系式以及倍角公式．解题关键是熟练掌握公式，并注意不能出现丢解错误．6．(2011²海口质检)在△ABC 中，已知sin(A －B )cos B ＋cos(A －B )sin B ≥1，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形解析：sin(A －B )cos B ＋cos(A －B )sin B ＝sin[(A －B )＋B ]＝sin A ≥1，又sin A ≤1，∴sin A ＝1，A ＝90°，故△ABC 为直角三角形．答案：A二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)7.2cos10°－sin20°sin70°的值是________．解析：原式＝2cos(30°－20°)－sin20°sin70°＝2(cos30°²cos20°＋sin30°²sin20°)－sin20°sin70°＝3cos20°cos20°＝ 3.答案： 38．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1213，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4则cos2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α(α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4)＝________.解析：∵cos2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos 2α－sin 2α22(sin α＋cos α)＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)22(sin α＋cos α)＝2(cos α－sin α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α. 又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，则π4－α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4.由cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝1213，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝513. ∴原式＝1013.答案：10139．(1＋3tan10°)²cos40°＝________.解析：(1＋3tan10°)cos40°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3sin10°cos10°cos40°＝3sin10°＋cos10°cos10°²cos40°＝2sin(10°＋30°)cos10°²cos40°＝2sin40°cos40°cos10°＝si n80°cos10°＝1.答案：110．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则角α＝________.解析：依题意有cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β， 即cos α(cos β＋sin β)＝sin α(sin β＋cos β)．∵α、β均为锐角 ∴sin β＋cos β≠0，必有cos α＝sin α∴α＝π4.答案：π4三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点．已知A 、B 的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的值． 解：由已知得cos α＝210，cos β＝255.∵α，β为锐角， ∴sin α＝1－cos 2α＝7210，sin β＝1－cos 2β＝55.∴tan α＝7，tan β＝12.(1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α²tan β＝7＋121－7³12＝－3.(2)∵tan2β＝2tan β1－tan 2β＝2³121－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝43， ∴tan (α＋2β)＝tan α＋tan2β1－tan α²tan2β＝7＋431－7³43＝－1.∵α、β为锐角，∴0＜α＋2β＜3π2，∴α＋2β＝3π4.12．已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2.(1)求tan2α的值； (2)求β的值．分析：由已知可求sin α，进而可求tan α，tan2α；由角的关系入手，利用角的变换β＝α－(α－β)可求得cos β.解：(1)由cos α＝17，0<α<π2，得sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫172＝437.∴tan α＝sin αcos α＝437³71＝4 3.于是tan2α＝2tan α1－tan α＝2³431－(43)2＝－8347. (2)由0<β<α<π2，得0<α－β<π2.又∵cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝3314由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17³1314＋437³3314＝12. 所以β＝π3.13．已知0<β<π4<α<34π，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝513，求sin(α＋β)的值．解：∵π4<α<3π4，∴－3π4<－α<－π4，－π2<π4－α<0.又∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－45.又∵0<β<π4，∴3π4<3π4＋β<π.又∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝513， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝－1213，∴sin(α＋β)＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋(α＋β)＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋βcos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α－sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋βsin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213³35－513³⎝ ⎛⎭⎪⎫－45 ＝3665＋2065＝5665. 评析：三角函数的给值求值问题解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示．(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(3)常见的配角技巧α＝2²α2；α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)；α＝12[(α＋β)＋(α－β)]；β＝12[(α＋β)－(α－β)]；π4＋α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α.。
高考第一轮复习数学：4.3 两角和与差、二倍角的公式(二) 答案
4.3 两角和与差、二倍角的公式（二） 答案●知识梳理1.在公式S （α+β）、C （α+β）、T （α+β）中，当α=β时，就可得到公式S 2α、C 2α、T 2α，在公式S 2α、C 2α中角α没有限制在T 2α中，只有当α≠2πk +4π且α≠k π+2π时，公式才成立.2.余弦二倍角公式有多种形式即cos2α=cos 2α－sin 2α=2cos 2α－1=1－2sin 2α.变形公式sin 2α=22cos 1α-，cos 2α=22cos 1α+.它的双向应用分别起到缩角升幂和扩角降幂作用.●点击双基 1.下列各式中，值为21的是 A.sin15°cos15°B.2cos 212π－1C.230cos 1︒+D.︒-︒5.22tan15.22tan 2解析：︒-︒5.22tan15.22tan 2=21tan45°=21.答案：D2.设a =sin14°+cos14°，b =sin16°+cos16°，c =66，则a 、b 、c 的大小关系是A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.b ＜c ＜aD.b ＜a ＜c解析：a =2sin59°，c =2sin60°，b =2sin61°，∴a ＜c ＜b . 答案：B3.若f （tan x ）=sin2x ，则f （－1）的值是 A.－sin2B.－1C.21 D.1解析：f （－1）=f ［tan （－4π）］=－sin2π=－1.答案：B4.（春季上海，13）若cos α=53，且α∈（0，2π），则tan2α=____________.解析一：由cos α=53，α∈（0，2π），得sin α=α2cos 1-=54，tan2α=2cos2sinαα=2cos2sin22sin22ααα=ααsin cos 1-=54531-=21.解析二：tan2α=ααcos cos 1+1-=531531+-=21. 答案：215.（春季北京，11）已知sin 2θ+cos2θ=332，那么sin θ的值为____________，cos2θ的值为____________.解析：由sin 2θ+cos2θ=332，得1+sin θ=34，sin θ=31，cos2θ=1－2sin 2θ=1－2·91=97.答案：3197●典例剖析【例1】 试求函数y =sin x +cos x +2sin x cos x +2的最大值和最小值，若x ∈［0，2π］呢？剖析：注意sin x +cos x 与sin x ·cos x 之间的关系，进行换元可将原函数转化成一元二次函数来解. 解：令t =sin x +cos x =2sin （x +4π）∈［－2，2］，则y =t 2+t +1∈［43，3+2］，即最大值为3+2，最小值为43.当x ∈［0，2π］时，则t ∈［1，2］，此时y 的最大值是3+2，而最小值是3.评述：此题考查的是换元法，转化思想，在换元时要注意变量的取值范围. 【例2】 已知sin （x －4π3）cos （x －4π）=－41，求cos4x 的值.剖析：4x 为2x 的二倍角，2x 为x 的二倍角. 解：由已知得sin （x －2π－4π）cos （x －4π）=－41，∴cos 2（x －4π）=41.∴sin2x =cos （2π－2x ）=2cos 2（4π－x ）－1=－87.∴cos4x =1－2sin 22x =1－6498=－3217.【例3】 已知α为第二象限角，cos 2α+sin2α=－25，求sin2α－cos2α和sin2α+cos2α的值.解：由cos 2α+sin2α=－25平方得1+2sin2αcos2α=45，即sin α=41，cos α=－415.此时k π+4π＜2α＜k π+2π.∵cos 2α+sin2α=－25＜0，sin2αcos2α=81＞0，∴cos 2α＜0，sin 2α＜0.∴2α为第三象限角.∴2k π+4π5＜2α＜2k π+2π3，k ∈Z .∴sin2α＜cos2α， 即sin 2α－cos 2α＜0.∴sin2α－cos2α=－αsin 1-=－23，sin2α+cos2α=2sin αcos α+1－2sin 2α=8157-.评述：由三角函数值判断2α的范围是关键.●闯关训练 夯实基础1.已知f （x ）=x -1，当θ∈（4π5，2π3）时，f （sin2θ）－f （－sin2θ）可化简为 A.2sin θB.－2cos θC.－2sin θD.2cos θ解析：f （sin2θ）－f （－sin2θ）=θ2sin 1-－θ2sin 1+=｜sin θ－cos θ｜－｜sin θ+ cos θ｜.∵θ∈（4π5，2π3），∴－1＜sin θ＜－22＜cos θ＜0.∴cos θ－sin θ＞0，cos θ+sin θ＜0. ∴原式=cos θ－sin θ+cos θ+sin θ=2cos θ.答案：D2.（春季上海，14）在△ABC 中，若Aa cos =Bb cos =Cc cos ，则△ABC 是A.直角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形解析：由A a cos =Bb cos ，得ba =BA cos cos .又Aa sin =Bb sin ，∴ba =BA sin sin .∴BA sin sin =BA cos cos .∴sin A cosB =cos A sin B ，sin （A －B ）=0，A =B .同理B =C . ∴△ABC 是等边三角形. 答案：B 3.若8cos （4π+α）cos （4π－α）=1，则sin 4α+cos 4α=_______.解析：由已知得8sin （4π－α）cos （4π－α）=1，∴4sin （2π－2α）=1.∴cos2α=41.sin 4α+cos 4α=（sin 2α+cos 2α）2－2sin 2αcos 2α=1－21sin 22α=1－21（1－cos 22α）=1－21（1－161）=1－21×1615=3217.答案：32174.若tan x =2，则xx x xcos sin 1sin 2cos22+--=_______. 解析：原式=xx x x sin cos sin cos +-=xx tan 1tan 1+-=2121+-=1212--）（=22－3.答案：22－3 5.化简xx x x x 2sin 1cos sin 1cos sin ））（（+--+.解：原式=xx x x x 2sin 12sin 21sin 12sin21sin 22））（（++---+=x x x x x x x x x cos 2cos2sin42sin22cos2sin 22sin22cos2sin222））（（+-=x x x x x x x cos 2cos2sin2sin 2cos 2sin 2cos ⋅+-））（（=xx x x x cos 2cos2sin 2sin 2cos22⋅-）（=xx x x cos 2cos 2sincos ⋅⋅=tan2x .6.（江苏，17）已知0＜α＜2π，tan2α+cot2α=25，求sin （α－3π）的值.解：由已知tan 2α+cot2α=αsin 2=25，得sin α=54.∵0＜α＜2π，∴cos α=α2sin 1-=53.从而sin （α－3π）=sin α·cos3π－cos α·sin 3π=54×21－53×23=101（4－33）.培养能力7.已知f （x ）=2a sin 2x －22a sin x +a +b 的定义域是［0，2π］，值域是［－5，1］，求a 、b 的值.解：令sin x =t ，∵x ∈［0，2π］，∴t ∈［0，1］，f （x ）=g （t ）=2at 2－22at +a +b =2a （t －22）2+b .当a ＞0时，则⎩⎨⎧=+-=，，15b a b解之得a =6，b =－5. 当a ＜0时，则⎩⎨⎧-=+=，，51b a b解之得a =－6，b =1.8.（湖北，17）已知6sin 2α+sin αcos α－2cos 2α=0，α∈［2π，π），求sin （2α+3π）的值.分析：本题考查三角函数的基本公式以及三角函数式的恒等变形等基础知识和基本运算技能.解法一：由已知得（3sin α+2cos α）（2sin α－cos α）=0⇔3sin α+2cos α=0或2sin α－cos α=0. 由已知条件可知cos α≠0，所以α≠2π，即α∈（2π，π）.于是tan α＜0，∴tan α=－32.sin （2α+3π）=sin2αcos3π+cos2αsin 3π=sin αcos α+23（cos 2α－sin 2α）=αααα22sincoscos sin ++23×αααα2222sincossin cos +-=αα2tantan +1+23×αα22tantan 1+1-.将tan α=32代入上式得sin （2α+3π）=232132）（）（-+-+23×22321321）（）（-+--=－136+3265，即为所求.解法二：由已知条件可知cos α≠0，则α≠2π，∴原式可化为6tan 2α+tan α－2=0， 即（3tan α+2）（2tan α－1）=0. 又∵α∈（2π，π）.∴tan α＜0，∴tan α=－32.下同解法一.探究创新9.将一块圆心角为120°，半径为20 cm 的扇形铁片截成一块矩形，如图，有2种裁法：让矩形一边在扇形的一半径OA 上或让矩形一边与弦AB 平行，请问哪种裁法能得到最大面积的矩形，并求出这个最大值.A ABBMMO O 甲乙解：对图甲，设∠MOA =θ，则S 1=200sin2θ.∴当θ=45°时，（S 1）max =200 cm 2. 对图乙，设∠MOA =α， 则S 2=33800［cos （2α－60°）－cos60°］.当α=30°时，（S 2）max =33400 cm 2.∵33400＞200，∴用乙种方法好.●思悟小结 1.化简要求：（1）能求出值的应求出值. （2）使三角函数种数尽量少. （3）使项数尽量少.（4）尽量使分母不含三角函数. （5）尽量使被开方数不含三角函数. 2.常用方法： （1）直接应用公式.（2）切割化弦，异名化同名，异角化同角.（3）形如cos αcos2αcos22α…cos2n α的函数式，只需将分子、分母分别乘以2n +1sin α，应用二倍角正弦公式即可.●教师下载中心教学点睛1.公式的熟与准，要依靠理解内涵，明确联系应用，练习尝试，不可机械记忆.2.要重视对遇到的问题中角、函数名及其整体结构的分析，提高公式选择的恰当性，有利于缩短运算程序，提高学习效率.3.角的变换体现出将未知转化为已知的思想方法，这是解决三角中关于角的变换问题常用的数学方法之一.拓展题例【例1】 若sin αcos β=21，求cos αsin β的取值范围. 解：令t =cos αsin β，则21t =41sin2αsin2β.∴t =21sin2αsin2β∈［－21，21］.【例2】 （东北三校高三第一次联考题）已知a =（cos23x ，sin23x ），b =（cos2x ，－sin2x ），x ∈［0，2π］.（1）求a ·b 及|a +b |；（2）若f （x ）=a ·b －2λ|a +b |的最小值是－23，求λ的值.解：（1）a ·b =cos23x cos2x －sin23x sin2x =cos2x .|a +b |=222sin23sin2cos 23cos）（）（x x x x -++=2x2cos=2cos x （∵x ∈［0，2π］）.（2）f （x ）=cos2x －4λcos x =2（cos x －λ）2－1－2λ2. ∵x ∈［0，2π］，∴cos x ∈［0，1］.①当λ＜0，cos x =0时，f （x ）min =－1，矛盾.②当0≤λ≤1，cos x =λ时，f （x ）min =－1－2λ2，由－1－2λ2=－23，得λ=21.③当λ＞1，cos x =1时，f （x ）min =1－4λ， 由1－4λ=－23，得λ=85＜1，矛盾.综上，λ=21为所求.。
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第十八讲 两角和与差及二倍角公式一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝453，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是( )A ．－235 B.235C ．－45 D.45解析：∵cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝45 3∴32cos α＋32sin α＝453，3⎝⎛⎭⎫12cos α＋32sin α＝453，3⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝453，∴sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝45，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋76π＝－sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝－45.答案：C2．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫56π＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6的值是( ) A.2＋33 B ．－2＋33 C.2－33 D.－2＋33解析：∵cos ⎝⎛⎭⎫56π＋α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33.而sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－13＝23， 所以原式＝－33－23＝－2＋33.答案：B3．若sin α＝55，sin β＝1010，且α、β为锐角，则α＋β的值为() A ．－π4 B.π4C ．±π4 D.π3解析：解法一：依题意有cos α＝1－⎝⎛⎭⎫552＝255， cos β＝1－⎝⎛⎭⎫10102＝31010， ∴cos(α＋β)＝255×31010－55×1010＝22＞0. ∵α，β都是锐角，∴0＜α＋β＜π，∴α＋β＝π4. 解法二：∵α，β都是锐角，且sin α＝55＜22， sin β＝1010＜22， ∴0＜α，β＜π4，0＜α＋β＜π2， ∴cos α＝1－⎝⎛⎭⎫552＝255， cos β＝1－⎝⎛⎭⎫10102＝31010， sin(α＋β)＝55×31010＋1010×255＝22. ∴α＋β＝π4. 答案：B 4．在△ABC 中，若cos A ＝45，cos B ＝513，则cos C 的值是( ) A.1665 B.5665C.1665或5665D ．－1665 解析：在△ABC 中，0＜A ＜π，0＜B ＜π，cos A ＝45＞0，cos B ＝513＞0，得0＜A ＜π2，0＜B ＜π2，从而sin A ＝35，sin B ＝1213， 所以cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝sin A ·sin B －cos A ·cos B ＝35×1213－45×513＝1665，故选A. 答案：A5．若cos2θ＋cos θ＝0，则sin2θ＋sin θ的值等于( )A ．0B ．±3C ．0或 3D ．0或±3解析：由cos2θ＋cos θ＝0得2cos 2θ－1＋cos θ＝0，所以cos θ＝－1或12.当cos θ＝－1时，有sin θ＝0；当cos θ＝12时，有sin θ＝±32.于是sin2θ＋sin θ＝sin θ(2cos θ＋1)＝0或3或－ 3. 答案：D评析：本题主要考查三角函数的基本运算，同角三角函数关系式以及倍角公式．解题关键是熟练掌握公式，并注意不能出现丢解错误．6．(2011·海口质检)在△ABC 中，已知sin(A －B )cos B ＋cos(A －B )sin B ≥1，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形解析：sin(A －B )cos B ＋cos(A －B )sin B ＝sin[(A －B )＋B ]＝sin A ≥1，又sin A ≤1，∴sin A ＝1，A ＝90°，故△ABC 为直角三角形．答案：A二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)7.2cos10°－sin20°sin70°的值是________． 解析：原式＝2cos(30°－20°)－sin20°sin70°＝2(cos30°·cos20°＋sin30°·sin20°)－sin20°sin70° ＝3cos20°cos20°＝ 3. 答案： 38．已知cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1213，α∈⎝⎛⎭⎫0，π4则cos2αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α(α∈⎝⎛⎭⎫0，π4)＝________. 解析：∵cos2αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos 2α－sin 2α22(sin α＋cos α) ＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)22(sin α＋cos α)＝2(cos α－sin α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－α. 又α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，则π4－α∈⎝⎛⎭⎫0，π4. 由cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1213，则sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝513. ∴原式＝1013. 答案：10139．(1＋3tan10°)·cos40°＝________.解析：(1＋3tan10°)cos40°＝⎝⎛⎭⎫1＋3sin10°cos10°cos40° ＝3sin10°＋cos10°cos10°·cos40° ＝2sin(10°＋30°)cos10°·cos40° ＝2sin40°cos40°cos10°＝sin80°cos10°＝1. 答案：110．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则角α＝________.解析：依题意有cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，即cos α(cos β＋sin β)＝sin α(sin β＋cos β)．∵α、β均为锐角 ∴sin β＋cos β≠0，必有cos α＝sin α∴α＝π4. 答案：π4三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点．已知A 、B 的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．解：由已知得cos α＝210，cos β＝255.∵α，β为锐角， ∴sin α＝1－cos 2α＝7210，sin β＝1－cos 2β＝55. ∴tan α＝7，tan β＝12. (1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝7＋121－7×12＝－3. (2)∵tan2β＝2tan β1－tan 2β＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43， ∴tan(α＋2β)＝tan α＋tan2β1－tan α·tan2β＝7＋431－7×43＝－1. ∵α、β为锐角，∴0＜α＋2β＜3π2，∴α＋2β＝3π4. 12．已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2. (1)求tan2α的值；(2)求β的值．分析：由已知可求sin α，进而可求tan α，tan2α；由角的关系入手，利用角的变换β＝α－(α－β)可求得cos β.解：(1)由cos α＝17，0<α<π2，得sin α＝1－cos 2α＝ 1－⎝⎛⎭⎫172＝437.∴tan α＝sin αcos α＝437×71＝4 3. 于是tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×431－(43)2＝－8347. (2)由0<β<α<π2，得0<α－β<π2. 又∵cos(α－β)＝1314， ∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝3314由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝12. 所以β＝π3. 13．已知0<β<π4<α<34π，cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋β＝513，求sin(α＋β)的值． 解：∵π4<α<3π4， ∴－3π4<－α<－π4，－π2<π4－α<0. 又∵cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－45. 又∵0<β<π4，∴3π4<3π4＋β<π. 又∵sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋β＝513， ∴cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋β＝－1213， ∴sin(α＋β)＝－cos ⎣⎡⎦⎤π2＋(α＋β) ＝－cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫3π4＋β－⎝⎛⎭⎫π4－α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋βcos ⎝⎛⎭⎫π4－α－sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋βsin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－⎝⎛⎭⎫－1213×35－513×⎝⎛⎭⎫－45 ＝3665＋2065＝5665. 评析：三角函数的给值求值问题解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示．(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(3)常见的配角技巧α＝2·α2；α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)；α＝12[(α＋β)＋(α－β)]；β＝12[(α＋β)－(α－β)]；π4＋α＝π2－⎝⎛⎭⎫π4－α.。