拓扑空间总复习
点集拓扑知识点
点集拓扑知识点【篇一：点集拓扑知识点】第二章拓扑空间 2.1 拓扑空间的概念 2.1.1 拓扑定义2.1.1 的一子集族。
如果t满足：上的离散拓扑；典型拓扑：余有限拓扑、余可数拓扑、有心拓扑、去心拓扑定义2.1.2 的子空间拓扑或相对拓扑：母空间的开集交上y即可。
定义2.1.3 )是拓扑空间，是x上的等价关系，等价类的集合为叫商空间。
下面证明上拓扑。
(1)由于拓扑t对有限交封闭有，，类似地，由拓扑t对任意并封闭上拓扑。
定理2.1.1 ；（2）有限并封闭；（3）任意交封闭。
定理2.1.2 作为子空间的闭集族。
2.1.2 领域系定义2.1.5 的开领域。
定义2.1.6 是拓扑空间，如果a内存在x 的领域。
注解：由拓扑定义中，有限交封闭和任意闭封闭，有限开领域(或领域)交集仍为开领域(或领域)，任意开领域(或领域)并集仍为开领域(或领域)。
注解：不同的度量可能诱导相同的拓扑；如前面的度量是不同度量，但诱导出相同拓扑。
定义2.1.9 上的拓扑，如果存在x上的一个度量d，使得d 的诱导拓扑是可度量化的拓扑。
注解：集合x 上的每个度量可诱导拓扑，但每一拓扑不一定由度量诱导。
例：离散拓扑是可度量化的拓扑，由离散度量诱导，因为单点集是开球；有限拓扑可度量化该拓扑为离散拓扑。
即非离散有限拓扑不可度量化； 2.2 拓扑基和子基 2.2.1 拓扑基在欧式空间中，开球时最简单的开集，而且任何开集可由开球作并运算得到，但在非度量诱导的拓扑空间中没有球的概念，为了弥补这一缺陷，引进拓扑基。
定义2.2.1 的一个拓扑基，而拓扑基的成员叫基开集。
注解：显然t是自己的一个基；如果b 例：离散拓扑空间，所有单点集构成拓扑基；由度量诱导的拓扑空间，所有开球构成拓扑基，实际上，以有理数为半径的球族也是拓扑基。
给定一集合，下面介绍一种判别它是否是拓扑基的方法：定理2.2.1 不是拓扑基。
其实，假设b是拓扑不能由b中某些成员之并，或者说它不满足上述定理的条件。
拓扑学复习题与参考答案
点集拓扑学练习题一、单项选择题（每题2分）1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.①{,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T②{,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T③{,,{},{,}}X a a b φ=T④{,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T2、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.①{,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ②{,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T③{,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④{,,{},{},{}}X a b c φ=T3、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.①{,,{},{,},{,,}}X a a b a c d φ=T ②{,,{,,},{,,}}X a b c a b d φ=T③{,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④{,,{},{}}X a b φ=T4、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.①{,,{},{},{,}}X b c a b φ=T ②{,,{},{},{,},{,}}X a b a b a c φ=T③{,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④{,,{},{},{}}X a b c φ=T5、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.①{,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ②{,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T③{,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④{,,{},{},{,}}X a c a c φ=T6、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.①{,,{},{},{,}}X a b b c φ=T ②{,,{,},{,}}X a b b c φ=T③{,,{},{,}}X a a c φ=T ④{,,{},{},{}}X a b c φ=T7、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =（ ）①φ②X ③{}b ④{,,}b c d8、 已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{,,}b c d =（ ）①φ②X ③{}b ④{,,}b c d9、 已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（ ）①φ②X ③{}a ④{}b10、已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}b =（ ）①φ②X ③{}a ④{}b11、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（ ）①φ②X ③{,}a b ④{,,}b c d12、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}c =（ ）①φ②X ③{,}a c ④{,,}b c d13、设{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）① 1②2③ 3④ 414、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{,}}X a b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）① 1②2③ 3④ 415、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{,}}X b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）① 0②1③ 2④ 316、设{,}X a b =，拓扑{,,{}}X b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为（ ）① 0②1③ 2④ 317、设{,}X a b =，拓扑{,,{},{}}X a b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为（ ）① 1②2③ 3④ 418、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{},{,},{,}}X a b a b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）① 1②2③ 3④ 419、在实数空间中，有理数集Q 的部Q 是（ ）①φ②Q ③R -Q ④R20、在实数空间中，有理数集Q 的边界()Q ∂是（ ）①φ②Q ③R -Q ④R21、在实数空间中，整数集Z 的部Z 是（ ）①φ②Z ③R -Z ④R22、在实数空间中，整数集Z 的边界()Z ∂是（ ）①φ②Z ③R -Z ④R23、在实数空间中，区间[0,1)的边界是（ ）①φ②[0,1]③{0,1}④(0,1)24、在实数空间中，区间[2,3)的边界是（ ）①φ②[2,3]③{2,3}④(2,3)25、在实数空间中，区间[0,1)的部是（ ）①φ②[0,1]③{0,1}④(0,1)26、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中错误的是（ ） ①()()()d A B d A d B ⋃=⋃②A B A B ⋃=⋃③()()()d A B d A d B ⋂=⋂④A A =27、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是（ ） ①()()()d A B d A d B ⋃=⋃②A B A B -=-③()()()d A B d A d B ⋂=⋂④A A =28、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是（ ） ①()d A B A B ⋃=⋃②A B A B -=-③()()()d A B d A d B ⋂=⋂④(())()d d A A d A ⊂⋃29、已知X 是一个离散拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（） ①()d A φ=②()d A X A =-③()d A A =④()d A X =30、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中不正确的是（）①若A φ=,则()d A φ=② 若0{}A x =,则()d A X A =-③若A={12,x x },则()d A X =④ 若A X ≠, 则()d A X ≠31、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（）①若A φ=,则()d A φ=② 若0{}A x =,则()d A X =③若A={12,x x },则()d A X A =-④若12{,}A x x =,则()d A A =32、设{,,,}X a b c d =，令{{,,},{},{}}a b c c d =B ,则由B 产生的X 上的拓扑是（）① { X ,φ,{c },{d },{c ,d },{a ,b ,c }}② {X ,φ,{c },{d },{c ,d }}③{ X ,φ,{c },{a ,b ,c }}④ { X ,φ,{d },{b ,c },{b ,d },{b ,c ,d }}33、设X 是至少含有两个元素的集合，p X ∈,{|}{}G X p G φ=⊂∈⋃T 是X 的拓扑，则（ ）是T 的基.①{{,}|{}}B p x x X p =∈-②{{}|}B x x X =∈③{{,}|}B p x x X =∈④{{}|{}}B x x X p =∈-34、 设{,,}X a b c =,则下列X 的拓扑中（）以{,,{}}S X a φ=为子基.①{ X ,φ,{a },{a ,c }} ② {X ,φ,{a }}③{ X ,φ,{a },{b },{a ,b }} ④ {X ,φ}35、离散空间的任一子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭④非开非闭36、平庸空间的任一非空真子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭④非开非闭37、实数空间R 中的任一单点集是 ( )① 开集 ② 闭集 ③ 既开又闭 ④ 非开非闭38、实数空间R 的子集A ={1,21,31 ,41,……},则A ＝（ ） ①φ②R ③A ∪{0}④A39、在实数空间R 中，下列集合是闭集的是（）①整数集②[)b a ,③有理数集④无理数集40、在实数空间R 中，下列集合是开集的是（）①整数集Z ②有理数集③ 无理数集④ 整数集Z 的补集Z '41、已知{1,2,3}X =上的拓扑{,,{1}}T X φ=,则点1的邻域个数是（ ）①1 ②2 ③3 ④442、已知{,}X a b =,则X 上的所有可能的拓扑有（ ）①1个 ②2个③3个④4个43、已知X ={a ,b ,c },则X 上的含有４个元素的拓扑有（ ）个① 3② 5③ 7④ 944、设(,)T X 为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( )①T , T X φ∈∉②T ,T X φ∉∈③当T T '⊂时,T T U U '∈∈④ 当T T '⊂时,T T U U '∈∈45、在实数下限拓扑空间R 中，区间[,)a b 是（ ）① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭46、设X 是一个拓扑空间，,A B X ⊂,且满足()d A B A ⊂⊂,则B 是（ ）① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭47、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1,2}A =,则X 的子空间A的拓扑为( )①{,{2},{1,2}}φ=T ②{,,{1},{2},{1,2}}T X φ=③{,,{1},{2}}T A φ=④{,,{1},{2}}T X φ=48、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1,3}A =,则X 的子空间A的拓扑为( )①{,{1},{3},{1,3}}T φ=②{,,{1}}T A φ=③{,,{1},{3},{1,3}}T X φ=④{,,{1}}T X φ=49、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{2,3}A =,则X 的子空间A的拓扑为( )①{,{3},{2,3}}φ=T ②{,,{2},{3}}T A φ=③{,,{2},{3},{2,3}}T X φ=④{,,{3}}T X φ=50、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )①{,{1}}T φ=②{,,{1,2}}T A φ=③{,,{1},{3},{1,3}}T X φ=④{,,{1}}T X φ=51、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )①{,{2},{1,2}}T φ=②{,}T A φ=③{,,{2}}T X φ=④{,,{1,2}}T X φ=52、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )①{,{2},{1,2}}T φ=②{,{},{1,3}}T X φ=③{,,{3}}T X φ=④{,{3}}T φ=53、设R 是实数空间，Z 是整数集，则R 的子空间Z 的拓扑为（ ）①{,}T Z φ=②()T P Z =③T Z =④{}T Z =54、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.1P 是X 到1X 的投射，则1P 是（ ）①单射② 连续的单射③ 满的连续闭映射④ 满的连续开映射55、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.2P 是X 到2X 的投射，则2P 是（ ） ①单射② 连续的单射③ 满的连续闭映射④ 满的连续开映射56、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.3P 是X 到3X 的投射，则3P 是（ ） ①单射② 连续的单射③ 满的连续闭映射④ 满的连续开映射57、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.4P 是X 到4X 的投射，则4P 是（ ） ①单射② 连续的单射③ 满的连续闭映射④ 满的连续开映射58、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.5P 是X 到5X 的投射，则5P 是（ ） ①单射② 连续的单射③ 满的连续闭映射④ 满的连续开映射59、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.6P 是X 到6X 的投射，则6P 是（ ） ①单射② 连续的单射③ 满的连续闭映射④ 满的连续开映射60、设1X 和2X 是两个拓扑空间，12X X ⨯是它们的积空间,1A X ⊂，2B X ⊂，则有（ ） ①A B A B ⨯≠⨯②A B A B ⨯=⨯③()A B A B ⨯≠⨯④()()()A B A B ∂⨯=∂⨯∂61、有理数集Q 是实数空间R 的一个（ ）①不连通子集② 连通子集③开集④以上都不对62、整数集Z 是实数空间R 的一个（ ）①不连通子集② 连通子集③开集④以上都不对63、无理数集是实数空间R 的一个（ ）①不连通子集② 连通子集③开集④以上都不对64、设Y 为拓扑空间X 的连通子集,Z 为X 的子集,若Y Z Y ⊂⊂, 则Z 为( )①不连通子集 ② 连通子集 ③ 闭集 ④ 开集65、设12,X X 是平庸空间，则积空间12X X ⨯是（ ）①离散空间 ② 不一定是平庸空间③ 平庸空间 ④ 不连通空间66、设12,X X 是离散空间，则积空间12X X ⨯是（ ）①离散空间 ② 不一定是离散空间③ 平庸空间 ④ 连通空间67、设12,X X 是连通空间，则积空间12X X ⨯是（ ）①离散空间 ② 不一定是连通空间③ 平庸空间 ④ 连通空间68、实数空间R 中的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③区间 ④ 以上都不对69、实数空间R 中的不少于两点的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③区间 ④ 以上都不对70、实数空间R 中的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③区间 ④ 区间或一点71、下列叙述中正确的个数为（ ）（Ⅰ）单位圆周1S 是连通的； （Ⅱ）{0}R -是连通的（Ⅲ）2{(0,0)}R -是连通的 （Ⅳ）2R 和R 同胚① 1 ② 2 ③3 ④ 472、实数空间R ( )① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对73、整数集Z 作为实数空间R 的子空间（ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对74、有理数集Q 作为实数空间R 的子空间（ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对75、无理数集作为实数空间R 的子空间（ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对76、正整数集Z +作为实数空间R 的子空间（ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对77、负整数集Z -作为实数空间R 的子空间（ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对78、2维欧氏间空间2R （ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对79、3维欧氏间空间3R （ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对80、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）① 平庸性 ②连通性③离散性④第一可数性公理81、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）① 第一可数性公理 ②连通性③第二可数性公理④平庸性82、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）① 第一可数性公理 ②可分性③第二可数性公理④ 离散性83、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）① 平庸性 ②可分性③离散性④第二可数性公理84、设X 是一个拓扑空间，若对于,,x y X x y ∀∈≠,均有{}{}x y ≠,则X 是( )①0T 空间 ②1T 空间 ③2T 空间 ④以上都不对85、设{1,2}X =，{,,{1}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①0T 空间 ②1T 空间 ③2T 空间 ④ 以上都不对86、设{1,2}X =，{,,{2}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①0T 空间 ②1T 空间 ③2T 空间 ④ 道路连通空间87、设{1,2,3}X =，{,,{1}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①0T 空间 ②1T 空间 ③2T 空间 ④ 以上都不对88、设{1,2,3}X =，{,,{23}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )①0T 空间 ②1T 空间 ③2T 空间 ④ 以上都不对89、设{1,2,3}X =，{,,{13}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )①0T 空间 ②1T 空间 ③2T 空间 ④ 以上都不对90、设{1,2,3}X =，{,,{12}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )①0T 空间 ②1T 空间 ③2T 空间 ④ 以上都不对91、设{1,2,3}X =，{,,{1},{2},{1,2}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①0T 空间 ②1T 空间 ③2T 空间 ④ 以上都不对92、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个单点集都是闭集，则X 是（ ）①正则空间 ②正规空间 ③1T 空间④4T 空间93、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个有限子集都是闭集，则X 是（ ）①正则空间 ②正规空间 ③1T 空间④4T 空间94、设X 是一个拓扑空间，若对x X ∀∈与x 的每一个开邻域U ，都存在x 的一个开邻域V ,使得V U ⊂,则X 是（ ）①正则空间 ②正规空间 ③1T 空间④4T 空间95、设X 是一个拓扑空间，若对X 的任何一个闭集A 与A 的每一个开邻域U ，都存在A的一个开邻域V ,使得V U ⊂,则X 是（ ）①正则空间 ②正规空间 ③1T 空间④4T 空间96、设{1,23}X =，，{,,{1},{23}}X φ=，T ，则(,)X T 是( ) ①0T 空间 ②1T 空间 ③2T 空间 ④正规空间97、设{1,23}X =，，{,,{2},{13}}X φ=，T ，则(,)X T 是( ) ①0T 空间 ②1T 空间 ③2T 空间 ④正规空间98、设{1,23}X =，，{,,{3},{12}}X φ=，T ，则(,)X T 是( ) ①0T 空间 ②1T 空间 ③2T 空间 ④正则空间99、设{1,23}X =，，{,,{1},{2},{1,2}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①2T 空间 ②正则空间③4T 空间④正规空间100、设{1,23}X =，，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①2T 空间 ②正则空间③4T 空间④正规空间101、设{1,23}X =，，{,,{2},{3},{2,3}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①2T 空间 ②正则空间③4T 空间④正规空间102、若拓扑空间X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个（） ① 连通空间 ② 道路连通空间 ③ 紧致空间 ④ 可分空间103、紧致空间中的每一个闭子集都是（ ）① 连通子集 ② 道路连通子集 ③ 紧致子集 ④ 以上都不对104、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是（ ）① 连通子集 ② 开集 ③ 闭集 ④ 以上都不对105、紧致的Hausdorff 空间中的紧致子集是（ ）① 连通子集 ② 开集 ③ 闭集 ④ 以上都不对106、拓扑空间X 的任何一个有限子集都是（ ）① 连通子集 ② 紧致子集 ③ 非紧致子集 ④ 开集107、实数空间R 的子集{1,2,3}A =是（ ）① 连通子集 ② 紧致子集 ③开集 ④ 非紧致子集108、实数空间R 的子集{1,2,3,4}A =是（ ）① 连通子集 ② 紧致子集 ③开集 ④ 非紧致子集109、如果拓扑空间X 的每个紧致子集都是闭集，则X 是（ ）①1T 空间 ② 紧致空间 ③ 可数补空间 ④ 非紧致空间二、填空题（每题2分）1、设{,}X a b =,则X 的平庸拓扑为 ;2、设{,}X a b =,则X 的离散拓扑为 ;3、同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ;4、在实数空间R 中，有理数集Q 的导集是___________.5、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有 ;6、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则()d A = ;7、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则A = ;8、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则()d A = ;9、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则A = ;10、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的部为 ;11、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的部为 ;12、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的部为 ;13、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的部为 ;14、设{,,}X a b c =,则X 的平庸拓扑为 ;15、设{,,}X a b c =,则X 的离散拓扑为 ;16、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{3},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的部为 ;17、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{3},{1,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的部为 ; 18、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射，若它是一个单射，并且是从X 到它的象集()f X 的一个同胚，则称映射f 是一个 .19、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射，如果它是一个满射，并且Y 的拓扑是对于映射f 而言的商拓扑，则称f 是一个.20、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，若X 中任何一个开集U 的象集()f U 是Y 中的一个开集，则称映射f 是一个 ;21、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，若X 中任何一个闭集U 的象集()f U 是Y 中的一个闭集，则称映射f 是一个 ;22、若拓扑空间X 存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个 ；23、若拓扑空间X 存在两个非空的开子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个 ；24、若拓扑空间X 存在着一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个 ；25、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂，则Z 也是X 的一个 ;26、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则称这个性质是一个 ；27、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性质是一个 ；28、若任意1n ≥个拓扑空间12,,,n X X X ,都具有性质P ,则积空间12n X X X ⨯⨯⨯也具有性质P ，则性质P 称为 ;29、设X 是一个拓扑空间，如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得A B X ⋃=,则称X 是一个 ；30、若12,X X 满足第一可数性公理，则积空间12X X ⨯满足 ;31、若12,X X 满足第二可数性公理，则积空间12X X ⨯也满足 ;32、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个子空间也具有性质P ,则称性质P 为 ;33、设D 是拓扑空间X 的一个子集，且D X =,则称D 是X 的一个；34、若拓扑空间X 有一个可数稠密子集，则称X 是一个 ；35、设X 是一个拓扑空间，如果它的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称X 是一个 ；36、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个开子空间也具有性质P ,则称性质P 为 ;37、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个闭子空间也具有性质P ,则称性质P 为 ;38、设X 是一个拓扑空间，如果则称X 是一个0T 空间;39、设X 是一个拓扑空间，如果则称X 是一个1T 空间;40、设X 是一个拓扑空间，如果则称X 是一个2T 空间;41、正则的1T 空间称为 ；42、正规的1T 空间称为 ；43、完全正则的1T 空间称为 ；44、设X 是一个拓扑空间.如果X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个 .45、设X 是一个拓扑空间，Y 是X 的一个子集.如果Y 作为X 的子空间是一个紧致空间，则称Y 是拓扑空间X 的一个 .46、设X 是一个拓扑空间.如果X 的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个 .47、设X 是一个拓扑空间.如果X 的每一个无限子集都有凝聚点，则称拓扑空间X 是一个 .48、设X 是一个拓扑空间.如果X 中的每一个序列都有一个收敛的子序列，则称拓扑空间X 是一个 .三．判断（每题3分，判断1分，理由2分）1、从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( )2、设12, T T 是集合X 的两个拓扑，则12 T T ⋂不一定是集合X 的拓扑( )3、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（ ）4、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集，则()d A φ= （ ）5、设A 为平庸空间X （X 多于一点）的一个单点集，则()d A φ= （ ）6、设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集，则()d A X = （ ）7、设X 是一个不连通空间，则X 中存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=（ ）8、若拓扑空间X 中存在一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个不连通空间( )9、设拓扑空间X 满足第二可数性公理，则X 满足第一可数性公理（ ）10、若拓扑空间X 满足第二可数性公理，则X 的子空间Y 也满足第二可数性公理（ ）11、若拓扑空间X 满足第一可数性公理，则X 的子空间Y 也满足第一可数性公理（ ）12、设{1,2,3}X =，{,,{2},{3},{2,3}}X φ=T ，则(,)X T 是3T 空间.( )13、设{1,2,3}X =，{,,{1},{2},{1,2}}T X φ=，则(,)X T 是3T 空间.( )14、设{1,23}X =，，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则(,)X T 是1T 空间.( )15、设{1,23}X =，，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则(,)X T 是4T 空间.( )16、3T 空间一定是2T 空间.（ ）17、4T 空间一定是3T 空间.（ ）18、设,A B 是拓扑空间X 的两个紧致子集，则A B ⋃是一个紧致子集.( )19、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是闭集.( )四．名词解释(每题2分)1．同胚映射2、集合A 的点3、集合A 的部4．拓扑空间(,)T X 的基5．闭包6、序列7、导集8、不连通空间9、连通子集10、不连通子集11、1 A 空间12、2 A 空间13、可分空间14、0T 空间：15、1T 空间：16、2T 空间：17、正则空间：18、正规空间：19、完全正则空间：20、紧致空间21、紧致子集22、可数紧致空间23、列紧空间24、序列紧致空间五．简答题（每题4分）1、设X 是一个拓扑空间，,A B 是X 的子集，且A B ⊂.试说明()()d A d B ⊂.2、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →,:g Y Z →都是连续映射，试说明:g f X Z →也是连续映射.3、设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.试说明：若A 是一个闭集，则A 的补集A '是一个开集.4、设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.试说明：若A 的补集A '是一个开集，则A 是一个闭集.5、在实数空间R 中给定如下等价关系：~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}2[],1[],0{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T .6、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}3[],2[],1{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T .7、在实数空间R 中给定如下等价关系：~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[1],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T .8、在实数空间R 中给定如下等价关系：~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[2],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T .9、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[3]}Y =,试写出Y 的商拓扑T .10、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[4]}Y =,试写出Y 的商拓扑T .11、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[1],[2],[4]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T .12、离散空间是否为2A 空间?说出你的理由.13、试说明实数空间R 是可分空间.14、试说明每一个度量空间都满足第一可数性公理.15、设X 是一个1T 空间，试说明X 的每一个单点集是闭集.16、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个单点集都是闭集，试说明X 是一个1T 空间.17、设(,)X T 是一个1T 空间，∞是任何一个不属于X 的元素.令*{}X X =⋃∞和*X =⋃*T T {}，试说明拓扑空间*(,)X *T 是一个0T 空间.18、若X 是一个正则空间，试说明：对x X ∀∈与x 的每一个开邻域U ，都存在x 的一个开邻域V ,使得V U ⊂.19、若X 是一个正规空间，试说明：对X 的任何一个闭集A 与A 的每一个开邻域U ，都存在A 的一个开邻域V ,使得V U ⊂.20、试说明1T 空间X 的任何一个子集的导集都是闭集.21、试说明紧致空间X 的无穷子集必有凝聚点.22、如果X Y ⨯是紧致空间，则X 是紧致空间.23、如果X Y ⨯是紧致空间，则Y 是紧致空间.24、试说明紧致空间X 的每一个闭子集Y 都是紧致子集.六、证明题（每题8分）1、设:f X Y →是从连通空间X 到拓扑空间Y 的一个连续映射.则()f X 是Y 的一个连通子集.2、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的开集使得B A Y ⋃⊂,则或者A Y ⊂,或者B Y ⊂.3、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的闭集使得B A Y ⋃⊂,则或者A Y ⊂,或者B Y ⊂.4、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂，则Z 也是X 的一个连通子集.5、设{}Y γγ∈Γ是拓扑空间X 的连通子集构成的一个子集族.如果Y γγφ∈Γ≠,则Y γγ∈Γ是X 的一个连通子集.6、设A 是拓扑空间X 的一个连通子集，B 是X 的一个既开又闭的集合.证明：如果A B φ⋂≠,则A B ⊂.7、设A 是连通空间X 的非空真子集. 证明:A 的边界()A φ∂≠.8、设X 是一个含有不可数多个点的可数补空间.证明X 不满足第一可数性公理.9、设X 是一个含有不可数多个点的有限补空间.证明:X 不满足第一可数性公理.10、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个满的连续开映射.X 满足第二可数性公理，证明：Y 也满足第二可数性公理.11、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个满的连续开映射.X 满足第一可数性公理，证明：Y 也满足第一可数性公理.12、A 是满足第二可数性公理空间X 的一个不可数集。
拓扑学复习
定理：设X是一个集合，B 是X的一个子集族， 若满足(1) B X
B B
(2)如果B1，B2∈B ，x∈ B1∩B2，那么存在B3 ∈B ， 使得x∈ B3 B1∩B2 则X存在唯一拓扑T ，使得 B为T的基。 注：① 称T 为由B 生成的拓扑； ② 反之，X的基必满足以上(1)和(2)； 定理：设X是一个集合，S 是X的一个子集族， 若满足 S X 则X存在唯一拓扑T 以S为子基。 SS （例）
2、特殊集合与特殊点 设(X, T )为拓扑空间，A X，x∈ X， 1）邻域、邻域系 A称为点x的邻域 存在V ∈ T ，使得x∈ V A x的所有邻域构成的集族称为点x的邻域系，记为Ux （开邻域） 2）内点、内部 x称为A的内点 存在V ∈ T ，使得x∈ V A A的所有内点构成的集合称为A的内部，记为A0 U ∈Ux使得U∩(A-{x})≠ 3） x称为A的凝聚点 A的所有凝聚点构成的集合称为A的导集，记为d(A) 4)闭包 A∪ d(A)称为A的闭包，记为 A U ∈Ux使得U∩A≠ 注意：(闭包点的充要条件）x∈ A 5) 边界点、边界 x称为A的边界点 U∈Ux使得U∩A≠ 且U∩ A≠ A的所边界点构成的集合称为A的边界，记为 ( A)
性、对称性和三角不等式, 则称是X的一个度量. (X, )称为度量空间, (x, y)表示两点x, y之间的 距离.
例 实数空间R. (x,y)=|x-y|,
R的通常度量.
(2)定义 设(X, )是度量空间. B(x, )={yX | (x, y)<} 称为以x为心, 为半径的球形邻域. (3)定义 X的子集A称为(X, )的开集, 若aA, ε>0, 使B(a, ε)A. 注：每一球形邻域是开集. 实数空间 R中的开区间是开集.
拓扑空间总复习
连通性，道路连通性与紧致性
连通性
遗传 无
可乘 有
道路连通性
无
有
紧致性
无
有
有闭遗传
连续映射下 有 有 有
遗传 有
可乘 有
可分空间
无
有
Lindeloff 空间 无
无
有闭遗传
连续映射下 满和开 有 有
分离性
正则性 正规性
遗传 有
可乘 有
有
有
无
无
有闭遗传
无
有
无
无
连续映射下 无
4.设X={ a, b, c, }， 则点b的邻域系为：
5.设X={ a, b, c, d}， 则下列子空间不连通的是：
6.设X={ a, b, c, d}，
则（X，T）的连通分支是：
7. 8. 9.
10 .
11 .
12 .
选择题
1
2
7
8 910ຫໍສະໝຸດ 11 12 1314
二，填空题
1. 在实数空间R中，有理数集Q的导集是 ( R )
拓扑空间总复习
基本概念
一. 度量空间 1. 度量空间的定义 2. 度量空间的其他概念 3. 度量空间中的连续映射 二. 拓扑空间的定义
1. 拓扑空间的定义（包括子空间与积空间 2，常见的拓扑 3. 拓扑空间的其他概念 4，拓扑空间的连续映射与同胚映射
三. 拓扑空间中的性质 1. 连通性与道路连通性
不是拓扑
6. 7. 8. Hausdorff空间中的任何一个收敛序列只有一个极限点．
9.
10 .
11 .
12 13 .
. 14
高等数学中的拓扑学相关知识点详解
高等数学中的拓扑学相关知识点详解拓扑学是数学中的一个分支，它研究集合和函数的连续性、相似性、形状等性质，是一种抽象的数学分析工具。
拓扑学在物理学、工程学、经济学等领域里也有广泛应用。
在高等数学中，拓扑学是一个重要的知识点，本文将详细介绍高等数学中的拓扑学相关知识点。
一、拓扑空间拓扑学的研究对象是拓扑空间，它是一个集合和该集合上定义的一个拓扑结构的组合。
一般来说，给定一个集合，我们可以通过定义其子集的集合方式来定义一个拓扑结构，满足四个公理：1. 集合本身和空集都是开集；2. 有限个开集的交集还是开集；3. 任意个开集的并集还是开集；4. 集合上的任意一个点都有一个开集包含它。
这个集合和所定义的拓扑结构的组合就构成了一个拓扑空间。
拓扑空间还满足一些基本性质：·距离空间是一种特殊的拓扑空间，它满足“距离减小原理”；·序列紧致性和基数紧致性是拓扑空间的两种紧致性概念；·同胚是拓扑空间之间的一种等价关系，指两个拓扑空间之间存在一一映射，该映射和其逆映射都是连续映射。
二、关键概念1. 连通性和路径连通性在拓扑空间中，如果任意两个点都可以通过相应的路径连通，那么这个空间就是路径连通的。
特别的，如果这个空间不仅是路径连通的，而且不存在划分成两个非空开集的方法，使得这两个开集的笛卡尔积覆盖整个空间，那么这个空间就连通。
2. 紧致性紧致性是拓扑空间的一个重要性质，指一个拓扑空间中任意开覆盖都存在有限的一个开覆盖，使得其中的任意一个开集都有一个有限的子覆盖。
在欧几里得空间中，紧致性和完备性是等价的。
3. 拓扑维数拓扑维数是用来描述一个拓扑空间的“维度”的参数。
一个n维拓扑空间具有和欧几里得n维空间相同的拓扑性质，也就是说它可以“拉伸”为欧几里得n维空间，但无论如何都不能“塌陷”成欧几里得(n-1)维空间。
三、拓扑学与微积分学的关系拓扑学是一种平缓的、本质性的数学空间的研究方法，微积分学则是一种具有运算特性的多元微积分的研究方法。
考研拓扑学试题及答案
考研拓扑学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 在拓扑学中，一个集合的子集被称为开集，如果它是全空间的开集。
以下哪个选项不是开集的特征？A. 包含空集B. 任意两个开集的交集是开集C. 任意有限个开集的并集是开集D. 任意无限个开集的并集不是开集2. 拓扑空间中的一个基本性质是连续性。
以下哪个选项不是连续函数的特征？A. 函数的逆像是开集B. 函数的值域是开集C. 函数的图像是连续的曲线D. 函数在其定义域内连续3. 以下哪个命题是正确的？A. 有限个连通空间的不交并仍然是连通的B. 任意个连通空间的不交并是连通的C. 任意个连通空间的并集是连通的D. 有限个连通空间的并集是连通的4. 在拓扑空间中，一个点的闭包是指包含该点的最小闭集。
以下哪个说法是错误的？A. 闭包是闭集B. 闭包包含该点的所有邻域C. 闭包是唯一的D. 闭包可能是开集5. 以下哪个选项不是紧空间的特征？A. 任意开覆盖都有有限子覆盖B. 任意序列都有收敛的子序列C. 任意闭区间是紧的D. 任意闭集在空间中是紧的6. 拓扑空间中的分离公理是描述空间中点和子集之间关系的一种性质。
以下哪个选项是错误的？A. T0空间中，每个点由其闭包唯一确定B. T1空间中，每个点由其开核唯一确定C. T2空间中，任意两个不同点都由不相交的开集分离D. T3空间中，任意闭集和任意开集都由不相交的开集分离7. 以下哪个命题是错误的？A. 任意两个拓扑空间的乘积空间是豪斯多夫空间B. 任意两个豪斯多夫空间的乘积空间是豪斯多夫空间C. 任意两个紧致空间的乘积空间是紧致的D. 任意两个可数紧空间的乘积空间是可数紧的8. 以下哪个选项不是局部紧空间的特征？A. 每个点都有一个紧致的邻域B. 空间本身是紧致的C. 每个点都有一个开集邻域，其闭包是紧致的D. 每个点都有一个紧致子集作为其邻域9. 以下哪个命题是正确的？A. 任意两个拓扑空间的和空间是豪斯多夫空间B. 任意两个豪斯多夫空间的和空间是豪斯多夫空间C. 任意两个紧致空间的和空间是紧致的D. 任意两个可数紧空间的和空间是可数紧的10. 在拓扑空间中，一个点的导集是指所有包含该点的序列的极限点的集合。
拓扑学基础复习题
《拓扑学基础》复习题单项选择题下列有关连续映射:f X Y →正确的是（ B ）A 、对X 中的任意开集U ，有()f U 是Y 中的一个开集B 、Y 中的任何一个闭集B ，有1()fB -是X 中的一个闭集C 、Y 中的任何一个子集A ，有11()()f A f A --⊂ D 、若f 还是一一映射，则f 是一个同胚映射设X 是一个拓扑空间，A X ⊂，则()A ∂=（ D ）A 、A A -'⋂B 、00A A ''⋃C 、0()A ∂D 、()X A ∂-下列拓扑性质中，没有继承性的是( D )A 、1T 空间B 、2T 空间C 、3T 空间D 、4T 空间下列有关实数空间 ，不正确的是（ D ）A 、它满足第一可数性公理B 、它满足第二可数性公理C 、它的任何一个子空间都满足第二可数性公理D 、它的任何一个子空间都是连通的 设A 是度量空间（,X ρ）中的一个非空子集，则下列命题错误的是（ C ）A 、()x d A ∈当且仅当(,{})0x A x ρ-=B 、()x d A ∈当且仅当(,)0x A ρ=C 、对x A ∀∈，且有(,)B x A εφ⋂≠，则A 为X 中的一个开集D 、x A ∈当且仅当(,)0x A ρ=填空题若拓扑空间X 有一个可数稠密子集，则称 是一个 可分空间 。
拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映下的象所具有，则称这个性质是一个 在连续映射下保持不变的性质 。
实数空间 中的有理数集Q ，则()d Q = 。
设Y 是拓扑空间(,)X J 的一个子空间，则Y 的拓扑为 |Y J 。
实数空间 的一个基是 {(,)|,a b a b ∈ 且}a b < 。
设X 是一个拓扑空间，D X ⊂，若D 是X 的一个稠密子集，则D = X 。
设X 是一个拓扑空间，C 是X 的一个连通分支，则C = C 。
名词解释紧致空间：设X 是一个拓扑空间，如果X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个紧致空间。
拓扑学复习题与参考答案
点集拓扑学练习题一、单项选择题（每题2分）1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T③ {,,{},{,}}X a a b φ=T④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T2、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ② {,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T3、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c d φ=T ② {,,{,,},{,,}}X a b c a b d φ=T ③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{}}X a b φ=T4、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X b c a b φ=T ② {,,{},{},{,},{,}}X a b a b a c φ=T ③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T5、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.① {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ② {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{},{,}}X a c a c φ=T6、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X a b b c φ=T ② {,,{,},{,}}X a b b c φ=T③ {,,{},{,}}X a a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T7、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =（ ）①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d8、 已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{,,}b c d =（ ）①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d9、 已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（ ）①φ ② X ③ {}a ④ {}b10、已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}b =（ ）①φ ② X ③ {}a ④ {}b11、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（ ）①φ ② X ③ {,}a b ④ {,,}b c d12、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}c =（ ）①φ ② X ③ {,}a c ④ {,,}b c d13、设{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 414、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{,}}X a b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）① 1 ② 2 ③ 3 ④ 415、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{,}}X b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）① 0 ② 1 ③ 2 ④ 316、设{,}X a b =，拓扑{,,{}}X b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为（ ）① 0 ② 1 ③ 2 ④ 317、设{,}X a b =，拓扑{,,{},{}}X a b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为（ ）① 1 ② 2 ③ 3 ④ 418、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{},{,},{,}}X a b a b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）① 1 ② 2 ③ 3 ④ 419、在实数空间中，有理数集Q 的内部Q 是（ ）① φ ② Q ③ R -Q ④ R20、在实数空间中，有理数集Q 的边界()Q ∂是（ ）① φ ② Q ③ R -Q ④ R21、在实数空间中，整数集Z 的内部Z 是（ ）① φ ② Z ③ R -Z ④ R22、在实数空间中，整数集Z 的边界()Z ∂是（ ）① φ ② Z ③ R -Z ④ R23、在实数空间中，区间[0,1)的边界是（ ）① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1)24、在实数空间中，区间[2,3)的边界是（ ）① φ ② [2,3] ③ {2,3} ④ (2,3)25、在实数空间中，区间[0,1)的内部是（ ）① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1)26、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中错误的是（ ） ① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B ⋃=⋃③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A =27、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是（ ） ① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A =28、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是（ ）① ()d A B A B ⋃=⋃ ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ (())()d d A A d A ⊂⋃29、已知X 是一个离散拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（ ） ① ()d A φ= ② ()d A X A =-③ ()d A A = ④ ()d A X =30、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中不正确的是（ ）① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X A =-③ 若A={12,x x },则()d A X = ④ 若A X ≠, 则()d A X ≠31、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（ ）① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X =③ 若A={12,x x },则()d A X A =- ④ 若12{,}A x x =,则()d A A =32、设{,,,}X a b c d =，令{{,,},{},{}}a b c c d =B ,则由B 产生的X 上的拓扑是（ ）① { X ,φ,{c },{d },{c ,d },{a ,b ,c }}② {X ,φ,{c },{d },{c ,d }}③ { X ,φ,{c },{a ,b ,c }}④ { X ,φ,{d },{b ,c },{b ,d },{b ,c ,d }}33、设X 是至少含有两个元素的集合，p X ∈,{|}{}G X p G φ=⊂∈⋃T 是X 的拓扑，则（ ）是T 的基.① {{,}|{}}B p x x X p =∈- ② {{}|}B x x X =∈③ {{,}|}B p x x X =∈ ④ {{}|{}}B x x X p =∈-34、 设{,,}X a b c =,则下列X 的拓扑中（ ）以{,,{}}S X a φ=为子基.① { X , φ,{a },{a ,c }} ② {X , φ,{a }}③ { X , φ,{a },{b },{a ,b }} ④ {X ,φ }35、离散空间的任一子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭36、平庸空间的任一非空真子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭37、实数空间R 中的任一单点集是 ( )① 开集 ② 闭集 ③ 既开又闭 ④ 非开非闭38、实数空间R 的子集A ={1,21,31 ,41,……},则A ＝（ ） ①φ ② R ③ A ∪{0} ④ A39、在实数空间R 中，下列集合是闭集的是（ ）① 整数集 ② [)b a , ③ 有理数集 ④ 无理数集40、在实数空间R 中，下列集合是开集的是（ ）① 整数集Z ② 有理数集③ 无理数集 ④ 整数集Z 的补集Z '41、已知{1,2,3}X =上的拓扑{,,{1}}T X φ=,则点1的邻域个数是（ ）① 1 ② 2 ③ 3 ④ 442、已知{,}X a b =,则X 上的所有可能的拓扑有（ ）① 1个 ② 2个 ③ 3个 ④ 4个43、已知X ={a ,b ,c },则X 上的含有４个元素的拓扑有（ ）个① 3 ② 5 ③ 7 ④ 944、设(,)T X 为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( )①T , T X φ∈∉ ② T ,T X φ∉∈③当T T '⊂时,T T U U '∈∈ ④ 当T T '⊂时,T T U U '∈∈45、在实数下限拓扑空间R 中，区间[,)a b 是（ ）① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭46、设X 是一个拓扑空间，,A B X ⊂,且满足()d A B A ⊂⊂,则B 是（ ）① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭47、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1,2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}φ=T ② {,,{1},{2},{1,2}}T X φ=③ {,,{1},{2}}T A φ= ④ {,,{1},{2}}T X φ=48、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1,3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{1},{3},{1,3}}T φ= ② {,,{1}}T A φ=③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ=49、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{2,3}A =,则X 的子空间A的拓扑为( )① {,{3},{2,3}}φ=T ② {,,{2},{3}}T A φ=③ {,,{2},{3},{2,3}}T X φ= ④ {,,{3}}T X φ=50、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{1}}T φ= ② {,,{1,2}}T A φ=③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ=51、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,}T A φ=③ {,,{2}}T X φ= ④ {,,{1,2}}T X φ=52、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,{},{1,3}}T X φ=③ {,,{3}}T X φ= ④ {,{3}}T φ=53、设R 是实数空间，Z 是整数集，则R 的子空间Z 的拓扑为（ ）① {,}T Z φ= ② ()T P Z =③ T Z = ④ {}T Z =54、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.1P 是X 到1X 的投射，则1P 是（ ）① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射55、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.2P 是X 到2X 的投射，则2P 是（ ）① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射56、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.3P 是X 到3X 的投射，则3P 是（ ）① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射57、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.4P 是X 到4X 的投射，则4P 是（ ）① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射58、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.5P 是X 到5X 的投射，则5P 是（ ）① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射59、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.6P 是X 到6X 的投射，则6P 是（ ）① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射60、设1X 和2X 是两个拓扑空间，12X X ⨯是它们的积空间,1A X ⊂，2B X ⊂，则有（ ） ① A B A B ⨯≠⨯ ② A B A B ⨯=⨯③()A B A B ⨯≠⨯ ④ ()()()A B A B ∂⨯=∂⨯∂61、有理数集Q 是实数空间R 的一个（ ）① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对62、整数集Z 是实数空间R 的一个（ ）① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对63、无理数集是实数空间R 的一个（ ）① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对64、设Y 为拓扑空间X 的连通子集,Z 为X 的子集,若Y Z Y ⊂⊂, 则Z 为( )①不连通子集 ② 连通子集 ③ 闭集 ④ 开集65、设12,X X 是平庸空间，则积空间12X X ⨯是（ ）① 离散空间 ② 不一定是平庸空间③ 平庸空间 ④ 不连通空间66、设12,X X 是离散空间，则积空间12X X ⨯是（ ）① 离散空间 ② 不一定是离散空间③ 平庸空间 ④ 连通空间67、设12,X X 是连通空间，则积空间12X X ⨯是（ ）① 离散空间 ② 不一定是连通空间③ 平庸空间 ④ 连通空间68、实数空间R 中的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③区间 ④ 以上都不对69、实数空间R 中的不少于两点的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 以上都不对70、实数空间R 中的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 区间或一点71、下列叙述中正确的个数为（ ）（Ⅰ）单位圆周1S 是连通的； （Ⅱ）{0}R -是连通的（Ⅲ）2{(0,0)}R -是连通的 （Ⅳ）2R 和R 同胚① 1 ② 2 ③ 3 ④ 472、实数空间R ( )① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对73、整数集Z 作为实数空间R 的子空间（ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对74、有理数集Q 作为实数空间R 的子空间（ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对75、无理数集作为实数空间R 的子空间（ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对76、正整数集Z +作为实数空间R 的子空间（ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对77、负整数集Z -作为实数空间R 的子空间（ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对78、2维欧氏间空间2R （ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对79、3维欧氏间空间3R （ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对80、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）① 平庸性 ② 连通性③ 离散性 ④ 第一可数性公理81、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）① 第一可数性公理 ② 连通性③ 第二可数性公理 ④ 平庸性82、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）① 第一可数性公理 ② 可分性③ 第二可数性公理 ④ 离散性83、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）① 平庸性 ② 可分性③ 离散性 ④ 第二可数性公理84、设X 是一个拓扑空间，若对于,,x y X x y ∀∈≠,均有{}{}x y ≠,则X 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对85、设{1,2}X =，{,,{1}}X φ=T ，则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对86、设{1,2}X =，{,,{2}}X φ=T ，则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 道路连通空间87、设{1,2,3}X =，{,,{1}}X φ=T ，则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对88、设{1,2,3}X =，{,,{23}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对89、设{1,2,3}X =，{,,{13}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对90、设{1,2,3}X =，{,,{12}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对91、设{1,2,3}X =，{,,{1},{2},{1,2}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对92、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个单点集都是闭集，则X 是（ ）①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间93、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个有限子集都是闭集，则X 是（ ）①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间94、设X 是一个拓扑空间，若对x X ∀∈及x 的每一个开邻域U ，都存在x 的一个开邻域V ,使得V U ⊂,则X 是（ ）①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间95、设X 是一个拓扑空间，若对X 的任何一个闭集A 及A 的每一个开邻域U ，都存在A的一个开邻域V ,使得V U ⊂,则X 是（ ）①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间96、设{1,23}X =，，{,,{1},{23}}X φ=，T ，则(,)X T 是( ) ①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正规空间97、设{1,23}X =，，{,,{2},{13}}X φ=，T ，则(,)X T 是( ) ①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正规空间98、设{1,23}X =，，{,,{3},{12}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正则空间99、设{1,23}X =，，{,,{1},{2},{1,2}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间100、设{1,23}X =，，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间101、设{1,23}X =，，{,,{2},{3},{2,3}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间102、若拓扑空间X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个（）① 连通空间 ② 道路连通空间 ③ 紧致空间 ④ 可分空间103、紧致空间中的每一个闭子集都是（ ）① 连通子集 ② 道路连通子集 ③ 紧致子集 ④ 以上都不对104、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是（ ）① 连通子集 ② 开集 ③ 闭集 ④ 以上都不对105、紧致的Hausdorff 空间中的紧致子集是（ ）① 连通子集 ② 开集 ③ 闭集 ④ 以上都不对106、拓扑空间X 的任何一个有限子集都是（ ）① 连通子集 ② 紧致子集 ③ 非紧致子集 ④ 开集107、实数空间R 的子集{1,2,3}A =是（ ）① 连通子集 ② 紧致子集 ③开集 ④ 非紧致子集108、实数空间R 的子集{1,2,3,4}A =是（ ）① 连通子集 ② 紧致子集 ③开集 ④ 非紧致子集109、如果拓扑空间X 的每个紧致子集都是闭集，则X 是（ ）① 1T 空间 ② 紧致空间 ③ 可数补空间 ④ 非紧致空间二、填空题（每题2分）1、设{,}X a b =,则X 的平庸拓扑为 ;2、设{,}X a b =,则X 的离散拓扑为 ;3、同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ;4、在实数空间R 中，有理数集Q 的导集是___________.5、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有 ;6、设A是有限补空间X中的一个无限子集，则()d A= ;7、设A是有限补空间X中的一个无限子集，则A= ;8、设A是可数补空间X中的一个不可数子集，则()d A= ;9、设A是可数补空间X中的一个不可数子集，则A= ;10、设{1,2,3}X=,X的拓扑{,,{2},{2,3}}=,则X的子集{1,2}A=的内部T Xφ为 ;11、设{1,2,3}A=的内部=,则X的子集{1,3} X=,X的拓扑{,,{1},{2,3}}T Xφ为 ;12、设{1,2,3}A=的内部=,则X的子集{1,2}T XφX=,X的拓扑{,,{1},{2,3}}为 ;13、设{1,2,3}A=的内部=,则X的子集{1,3} X=,X的拓扑{,,{2},{2,3}}T Xφ为 ;14、设{,,}=,则X的平庸拓扑为 ;X a b c15、设{,,}=,则X的离散拓扑为 ;X a b c16、设{1,2,3}A=的内部=,则X的子集{1,3}T XφX=,X的拓扑{,,{2},{3},{2,3}}为 ;17、设{1,2,3}A=的内部=,则X的子集{1,2}T XφX=,X的拓扑{,,{1},{3},{1,3}}为 ;18、:f X Y→是拓扑空间X到Y的一个映射，若它是一个单射，并且是从X到它的象集()f X的一个同胚，则称映射f是一个 .19、:f X Y→是拓扑空间X到Y的一个映射，如果它是一个满射，并且Y的拓扑是对于映射f而言的商拓扑，则称f是一个 .20、设,→是一个映射，若X中任何一个开集U的象集X Y是两个拓扑空间，:f X Yf U是Y中的一个开集，则称映射f是一个;()21、设,→是一个映射，若X中任何一个闭集U的象集X Y是两个拓扑空间，:f X Y()f U 是Y 中的一个闭集，则称映射f 是一个 ;22、若拓扑空间X 存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个 ；23、若拓扑空间X 存在两个非空的开子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个 ；24、若拓扑空间X 存在着一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个 ；25、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂，则Z 也是X 的一个 ;26、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则称这个性质是一个 ；27、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性质是一个 ；28、若任意1n ≥个拓扑空间12,,,n X X X ,都具有性质P ,则积空间12n X X X ⨯⨯⨯也具有性质P ，则性质P 称为 ;29、设X 是一个拓扑空间，如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得A B X ⋃=,则称X 是一个 ；30、若12,X X 满足第一可数性公理，则积空间12X X ⨯满足 ;31、若12,X X 满足第二可数性公理，则积空间12X X ⨯也满足 ;32、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个子空间也具有性质P ,则称性质P为 ;33、设D 是拓扑空间X 的一个子集，且D X =,则称D 是X 的一个 ；34、若拓扑空间X 有一个可数稠密子集，则称X 是一个 ；35、设X 是一个拓扑空间，如果它的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称X 是一个 ；36、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个开子空间也具有性质P ,则称性质P 为 ;37、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个闭子空间也具有性质P ,则称性质P 为 ;38、设X 是一个拓扑空间，如果则称X 是一个0T 空间;39、设X 是一个拓扑空间，如果则称X 是一个1T 空间;40、设X 是一个拓扑空间，如果则称X 是一个2T 空间;41、正则的1T 空间称为 ；42、正规的1T 空间称为 ；43、完全正则的1T 空间称为 ；44、设X 是一个拓扑空间.如果X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个 .45、设X 是一个拓扑空间，Y 是X 的一个子集.如果Y 作为X 的子空间是一个紧致空间，则称Y 是拓扑空间X 的一个 .46、设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个 .47、设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个无限子集都有凝聚点，则称拓扑空间X 是一个 .48、设X 是一个拓扑空间. 如果X 中的每一个序列都有一个收敛的子序列，则称拓扑空间X 是一个 .三．判断（每题3分，判断1分，理由2分）1、从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( )2、设12, T T 是集合X 的两个拓扑，则12 T T ⋂不一定是集合X 的拓扑( )3、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（ ）4、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集，则()d A φ= （ ）5、设A 为平庸空间X （X 多于一点）的一个单点集，则()d A φ= （ ）6、设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集，则()d A X = （ ）7、设X 是一个不连通空间，则X 中存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=（ ）8、若拓扑空间X 中存在一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个不连通空间( )9、设拓扑空间X 满足第二可数性公理，则X 满足第一可数性公理（ ）10、若拓扑空间X 满足第二可数性公理，则X 的子空间Y 也满足第二可数性公理（ ）11、若拓扑空间X 满足第一可数性公理，则X 的子空间Y 也满足第一可数性公理（ ）12、设{1,2,3}X =，{,,{2},{3},{2,3}}X φ=T ，则(,)X T 是3T 空间.( )13、设{1,2,3}X =，{,,{1},{2},{1,2}}T X φ=，则(,)X T 是3T 空间.( )14、设{1,23}X =，，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则(,)X T 是1T 空间.( )15、设{1,23}X =，，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则(,)X T 是4T 空间.( )16、3T 空间一定是2T 空间.（ ）17、4T 空间一定是3T 空间.（ ）18、设,A B 是拓扑空间X 的两个紧致子集，则A B ⋃是一个紧致子集.( )19、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是闭集.( )四．名词解释(每题2分)1．同胚映射2、集合A 的内点3、集合A 的内部4．拓扑空间(,)T X 的基5．闭包6、序列7、导集8、不连通空间9、连通子集10、不连通子集11、1 A 空间12、2 A 空间13、可分空间14、0T 空间：15、1T 空间：16、2T 空间：17、正则空间：18、正规空间：19、完全正则空间：20、紧致空间21、紧致子集22、可数紧致空间23、列紧空间24、序列紧致空间五．简答题（每题4分）1、设X 是一个拓扑空间，,A B 是X 的子集，且A B ⊂.试说明()()d A d B ⊂.2、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →, :g Y Z →都是连续映射，试说明:g f X Z →也是连续映射.3、设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.试说明：若A 是一个闭集，则A 的补集A '是一个开集.4、设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.试说明：若A 的补集A '是一个开集，则A 是一个闭集.5、在实数空间R 中给定如下等价关系：~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}2[],1[],0{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T .6、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}3[],2[],1{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T .7、在实数空间R 中给定如下等价关系：~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[1],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T .8、在实数空间R 中给定如下等价关系：~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[2],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T .9、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[3]}Y =,试写出Y 的商拓扑T .10、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[4]}Y =,试写出Y 的商拓扑T .11、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[1],[2],[4]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T .12、离散空间是否为2A 空间?说出你的理由.13、试说明实数空间R 是可分空间.14、试说明每一个度量空间都满足第一可数性公理.15、设X 是一个1T 空间，试说明X 的每一个单点集是闭集.16、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个单点集都是闭集，试说明X 是一个1T 空间.17、设(,)X T 是一个1T 空间，∞是任何一个不属于X 的元素.令*{}X X =⋃∞和*X =⋃*T T {}，试说明拓扑空间*(,)X *T 是一个0T 空间.18、若X 是一个正则空间，试说明：对x X ∀∈及x 的每一个开邻域U ，都存在x 的一个开邻域V ,使得V U ⊂.19、若X 是一个正规空间，试说明：对X 的任何一个闭集A 及A 的每一个开邻域U ，都存在A 的一个开邻域V ,使得V U ⊂.20、试说明1T 空间X 的任何一个子集的导集都是闭集.21、试说明紧致空间X 的无穷子集必有凝聚点.22、如果X Y ⨯是紧致空间，则X 是紧致空间.23、如果X Y ⨯是紧致空间，则Y 是紧致空间.24、试说明紧致空间X 的每一个闭子集Y 都是紧致子集.六、证明题（每题8分）1、设:f X Y →是从连通空间X 到拓扑空间Y 的一个连续映射.则()f X 是Y 的一个连通子集.2、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的开集使得B A Y ⋃⊂,则或者A Y ⊂,或者B Y ⊂.3、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的闭集使得B A Y ⋃⊂,则或者A Y ⊂,或者B Y ⊂.4、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂，则Z 也是X 的一个连通子集.5、设{}Y γγ∈Γ是拓扑空间X 的连通子集构成的一个子集族.如果Y γγφ∈Γ≠,则Y γγ∈Γ是X 的一个连通子集.6、设A 是拓扑空间X 的一个连通子集，B 是X 的一个既开又闭的集合.证明：如果A B φ⋂≠,则A B ⊂.7、设A 是连通空间X 的非空真子集. 证明:A 的边界()A φ∂≠.8、设X 是一个含有不可数多个点的可数补空间.证明X 不满足第一可数性公理.9、设X 是一个含有不可数多个点的有限补空间.证明:X 不满足第一可数性公理.10、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个满的连续开映射.X 满足第二可数性公理，证明：Y 也满足第二可数性公理.11、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个满的连续开映射.X 满足第一可数性公理，证明：Y 也满足第一可数性公理.12、A 是满足第二可数性公理空间X 的一个不可数集。
考研拓扑知识点详解
考研拓扑知识点详解拓扑学是现代数学的一个重要分支，它研究的是空间中的性质，不依赖于度量、坐标系以及连续性的概念。
在考研数学中，拓扑学也是一个重要的知识点，涉及到许多基本概念和定理。
本文将对考研拓扑知识点进行详细解析，帮助考生深入理解和掌握这些知识。
一、拓扑空间与拓扑结构拓扑学研究的对象是拓扑空间，它是一个集合和在该集合上定义的一个拓扑结构的组合。
拓扑结构包括开集合和闭集合两个重要概念。
开集合是指拓扑空间中的一个子集，满足以下三个条件：首先，空集和整个拓扑空间本身都是开集合；其次，开集合的有限交集仍然是开集合；最后，开集合的任意并集仍然是开集合。
闭集合是指拓扑空间中的一个子集，满足以下三个条件：首先，空集和整个拓扑空间本身都是闭集合；其次，闭集合的有限并集仍然是闭集合；最后，闭集合的任意交集仍然是闭集合。
拓扑学中的一个基本定理是：一个集合与它的闭包唯一确定一个拓扑空间。
二、连续映射与同胚在拓扑学中，映射是指把一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。
连续映射是指在两个拓扑空间之间的映射，满足以下条件：对于任意一个开集合，在映射之前和之后，它们的原像都是开集合。
同胚是指两个拓扑空间之间的一种映射关系，满足以下条件：首先，这个映射是双射的；其次，它是连续映射；最后，它的逆映射也是连续映射。
三、拓扑空间的性质拓扑空间具有许多性质，其中一些重要的性质如下：1. 连通性：一个拓扑空间是连通的，如果它不能表示为两个非空的、不相交的开集合的并。
连通性是拓扑空间的重要性质，可以帮助我们了解空间的整体性质。
2. 紧致性：一个拓扑空间是紧致的，如果它的任何一个开覆盖都有有限的子覆盖。
紧致性是拓扑空间的重要性质，它能够保证一些重要的定理成立。
3. 完备性：一个拓扑空间是完备的，如果它的任何柯西序列都收敛于该空间中的某个点。
完备性是拓扑空间的重要性质，它能够保证一些重要的定理成立。
四、拓扑基与拓扑生成拓扑基是指一个拓扑空间中的一个子集合，满足以下条件：首先，它可以表示拓扑空间的任意开集为它包含的基本开集的并集；其次，任意两个基本开集的交集都可以用其他基本开集表示。
拓扑空间复习题及答案
拓扑空间复习题及答案# 拓扑空间复习题及答案一、选择题1. 以下哪个不是拓扑空间的公理？A. 并集公理B. 交集公理C. 子集公理D. 空集公理答案：C2. 一个集合和它的幂集构成的拓扑空间是：A. 离散拓扑B. 幂集拓扑C. 可数拓扑D. 欧几里得拓扑答案：A3. 在拓扑空间中，以下哪个概念与开集密切相关？A. 闭集B. 邻域C. 极限点D. 边界点答案：B二、填空题1. 一个集合 \( X \) 上的拓扑 \( \tau \) 必须满足三个条件：\( \emptyset \) 和 \( X \) 属于 \( \tau \)，任意个开集的并集仍属于 \( \tau \)，以及任意有限个开集的\( \)________。
答案：交集2. 在拓扑空间 \( (X, \tau) \) 中，如果 \( A \subseteq X \) 且\( A \) 的任意点都有一个开集 \( U \) 使得 \( U \cap A = A \)，则称 \( A \) 是 \( X \) 中的________。
答案：闭集三、简答题1. 解释什么是连续映射，并给出一个例子。
答案：连续映射是指在拓扑空间 \( (X, \tau_X) \) 和 \( (Y,\tau_Y) \) 之间，如果映射 \( f: X \rightarrow Y \) 满足：对于任意 \( Y \) 中的开集 \( V \)，其逆像 \( f^{-1}(V) \) 是 \( X \) 中的开集，则 \( f \) 是连续的。
例如，考虑实数集\( \mathbb{R} \) 上的欧几里得拓扑，映射 \( f(x) = x^2 \) 是连续的，因为对于任意开区间 \( V \)，其逆像 \( f^{-1}(V) \) 总是\( \mathbb{R} \) 中的开区间。
2. 什么是紧性？请给出一个紧空间的例子。
答案：紧性是拓扑空间的一个性质，指的是空间中的任意开覆盖都存在有限的子覆盖。
拓扑空间学习
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§2.2 邻域系,邻域基与拓扑基 重点：由拓扑基决定拓扑的方法 难点：由拓扑基决定拓扑的方法证明
与应用
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定义2.2.3 设(X,T )是一个拓扑空间, B T, 如果B
而
x V
U,且
V
T
,由定义2.2.1可知U
U
* x
,
因此Ux Ux*.
第21页/共125页
(ii)设U Ux*, 由定义2.2.1可知存在 V T , 使得 xV U*, 显然根据 T 的定义V Ux , 由条件 (3)可知 U Ux , 因此Ux* Ux.从而我们证明了
Ux* Ux ,即子集族 Ux 恰是点x在(X, T )中的邻域系.
扑空间X中的开集，因此拓扑空间X的定义可以理 解为：一个集合X的拓扑是X的一个开集族满足条件：
(1) X , 是开集
(2) 任意两个开集的交集是开集 (3) 任何开集族的并是开集.
T P (X ) 是X的拓扑的条件可以叙述为:
(1) X的任意有限开集族的交是开集. (2) X的任意开集族的并是开集.
提起，因此在本例中，A的补集A＇即为X－A.令
Tf {U P ( X ) | U 是X的一个有限子集} {}
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即 T f {U X | X U是X的一个有限子集} {}
先验证Tf 是X的一个拓扑.
(1) 根据定义 Tf ,此外，由于 X X ,
因此 X Tf .
根据上述(1),(2),(3),Tf 是X的一个拓扑,称之为X的有
限补拓扑,拓扑空间(X, Tf )称为一个有限补空间.
读者不难验证,有限集X的有限补拓扑是X的离散拓扑,
拓扑学期末考试题及答案
拓扑学期末考试题及答案一、选择题（共20题，每题2分，共40分）1. 拓扑学的基本研究对象是：A. 点B. 线C. 面D. 拓扑空间答案：D2. 拓扑学中的同胚关系是指：A. 相似但不完全相同的两个拓扑空间B. 可由连续映射建立起来的两个拓扑空间C. 有相同的拓扑结构的两个拓扑空间D. 具有同样的几何性质的两个拓扑空间答案：C3. 拓扑学中的紧集是指：A. 有界闭合集B. 无限集合C. 有限集合D. 开集答案：A4. 拓扑空间中的度量是用来衡量：A. 点的位置关系B. 集合的大小C. 集合的连接性D. 集合中元素之间的距离答案：D5. 拓扑学中的连通性是指：A. 一个集合内部的连接性B. 一个集合外部的连接性C. 一个集合与其他集合的连接性D. 一个集合内部和外部的连接性答案：A6. 拓扑空间中的完备性是指：A. 所有点都能找到相邻点B. 所有点都能找到非相邻点C. 不存在孤立点D. 所有柯西序列都有极限点答案：D7. 拓扑学中的邻域是指：A. 包含某点的开集B. 包含某点的闭集C. 与某点连通的集合D. 与某点不相交的集合答案：A8. 拓扑学中的连续映射是指：A. 映射后保持拓扑结构不变B. 映射后改变拓扑结构C. 映射前后的关系D. 映射的性质答案：A9. 拓扑学中的嵌入是指：A. 一种映射关系B. 一种集合运算C. 一种连通性D. 一种对应关系答案：A10. 拓扑学中的同伦是指：A. 具有相同基本形状的两个拓扑空间B. 可以通过连续变形相互转换的两个拓扑空间C. 有相同拓扑结构但不是同胚的两个拓扑空间D. 具有完全相同性质的两个拓扑空间答案：B11. 拓扑学中的欧拉示性数是指：A. 拓扑空间内部与外部连接性的关系B. 拓扑空间的维数C. 拓扑空间的曲率D. 拓扑空间的性质答案：A12. 拓扑学中的同调是指：A. 研究拓扑空间对某个场的影响B. 研究拓扑空间的连通性C. 研究拓扑空间的变形性质D. 研究拓扑空间的代数性质答案：D13. 拓扑学中的拓扑原则是：A. 基于几何形状的研究方法B. 基于其他学科的交叉研究方法C. 基于代数方程的研究方法D. 基于集合论的研究方法答案：D14. 拓扑学中的Hausdorff空间是指：A. 没有孤立点的拓扑空间B. 具有一定连通性的拓扑空间C. 任意两点都能分离的拓扑空间D. 具有完备性的拓扑空间答案：C15. 拓扑学中的同调群是指：A. 拓扑空间中某类映射的代数群B. 拓扑空间某类覆盖的代数群C. 拓扑空间中某类空间的代数表示D. 拓扑空间中某类链的代数群答案：A16. 拓扑学中的拓扑分类是指：A. 将拓扑空间按照某个特定的分类标准进行归类B. 利用拓扑变换将拓扑空间分类C. 将拓扑空间按照其代数性质进行分类D. 利用大数定律对拓扑空间进行分类答案：A17. 拓扑学中的拓扑基是指：A. 由拓扑空间的子集生成的拓扑结构B. 由拓扑变换生成的拓扑结构C. 由闭集生成的拓扑结构D. 由开集生成的拓扑结构答案：D18. 拓扑学中的拓扑核是指：A. 一种拓扑映射的特殊性质B. 一种拓扑空间的代数性质C. 一种连通性的性质D. 一种闭集的性质答案：A19. 拓扑学中的四色定理是指：A. 任何地图都可以用四种颜色进行染色B. 任何地图都可以用四种颜色进行染色，但可能会有重叠部分C. 任何地图都可以用四种颜色进行染色，且相邻区域颜色不同D. 任何地图都可以用四种颜色进行染色，且相邻区域颜色不同且不重叠答案：D20. 拓扑学在实际应用中的一个重要领域是：A. 计算机科学B. 物理学C. 生物学D. 全部都是答案：D二、填空题（共10题，每题2分，共20分）1. 拓扑学最早由________ 提出。
拓扑学期末考试题及答案
拓扑学期末考试题及答案拓扑学是一门研究空间性质的数学分支，它关注的是空间中的对象在连续变换下保持不变的性质。
以下是一份模拟的拓扑学期末考试题及答案：# 拓扑学期末考试题一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个不是拓扑空间的公理？A. 空集和全空间是开集B. 有限个开集的并集是开集C. 任意个开集的交集是开集D. 任意两个集合的并集是开集答案：D2. 拓扑空间中的连续映射是指：A. 映射的逆像总是开集B. 映射的逆像是闭集C. 映射的逆像总是交集D. 映射的逆像总是并集答案：A3. 以下哪个概念不是拓扑学中的基本概念？A. 邻域B. 极限点C. 稠密性D. 线性无关答案：D二、简答题（每题10分，共30分）1. 简述什么是紧致性，并给出一个紧致空间的例子。
答案：紧致性是拓扑空间中的一种性质，指的是空间中的任意开覆盖都存在有限子覆盖。
一个典型的紧致空间的例子是闭区间 [0, 1]，它在实数线上的欧几里得拓扑中是紧致的。
2. 解释什么是连通性，并给出一个连通空间的例子。
答案：连通性是指拓扑空间不能被分为两个非空的分离的开子集。
实数线上的整个空间 R 就是一个连通空间，因为它不能被分为两个不相交的开子集。
3. 什么是同胚映射？请给出一个例子。
答案：同胚映射是一种特殊的连续双射映射，它和它的逆映射都是连续的。
一个典型的同胚映射的例子是单位圆盘与单位球面的同胚映射，它们在拓扑上是相同的。
三、计算题（每题25分，共50分）1. 给定一个拓扑空间 X，证明如果 X 是紧致的，那么它的任意子空间也是紧致的。
答案：假设 X 是紧致的，我们需要证明 X 的任意子空间 Y 也是紧致的。
考虑 Y 的任意开覆盖{U_i ∩ Y}，其中 {U_i} 是 X 的开覆盖。
由于 X 是紧致的，存在有限个 U_i1, U_i2, ..., U_in 使得它们的并集覆盖了 X。
显然，这些 U_i 的交集覆盖了 Y，因此 Y 是紧致的。
上海市考研数学二十三复习资料拓扑学重点考点解析与案例分析
上海市考研数学二十三复习资料拓扑学重点考点解析与案例分析拓扑学是数学中的一个重要分支，研究的是空间概念和性质。
在上海市考研数学二十三复习中，掌握拓扑学的重点考点对于考生来说至关重要。
本文将对拓扑学的重点考点进行解析，并结合相关案例进行分析，帮助考生更好地掌握这一部分内容。
一、基本概念回顾在学习拓扑学的过程中，首先需要回顾和掌握一些基本概念。
比如，我们要了解拓扑空间、开集、闭集、连通性等概念的定义和性质。
同时，还要了解拓扑空间中的基本运算，如并、交、差等操作。
这些基本概念和运算是理解和解决拓扑学问题的基础。
案例分析：假设有一个集合A={1,2,3,4,5}，定义一个拓扑结构T={{1},{1,2},{1,3,4,5},{1,2,3,4,5}}，其中集合A的子集都是T中的开集，同时A本身也是T中的开集。
现要求根据这个拓扑结构确定A的闭集。
解析：根据定义，闭集是指其补集为开集。
那么求闭集的办法就是求补集。
在这个案例中，集合A的补集为{∅,2,3,4,5}，其中∅表示空集。
因此，集合A的闭集为{∅,2,3,4,5}。
二、连通性与紧致性连通性和紧致性是拓扑学中的重要概念。
连通性是指一个拓扑空间中不存在可以将其分成不相交开集的非空子集，而紧致性是指一个拓扑空间中的每个开覆盖都有有限子覆盖。
掌握这两个概念对于解决拓扑学中的问题非常关键。
案例分析：考虑一个区间[0,1]，以离散拓扑为例，求该区间的连通分支和紧致子集。
解析：对于离散拓扑，任意子集都是开集。
因此，[0,1]是一个连通集，只有一个连通分支。
另外，[0,1]本身就是紧致的，因为对于任何开覆盖，只需要包含整个区间的一个开集，即可构成有限子覆盖。
三、同胚与欧氏空间同胚是拓扑学中的一个重要概念，指的是两个拓扑空间之间存在一个双射，并且该双射和其逆映射都是连续映射。
欧氏空间是一类常见的拓扑空间，具有良好的性质和结构。
案例分析：考虑一个区间(0,1)，以离散拓扑为例，问是否存在与欧氏空间R同胚的拓扑空间。
点集拓扑知识归纳总结
第二章 拓扑空间2.1拓扑空间的概念2.1.1拓扑定义2.1.1设X 是一集合，T 是X 的一子集族。
如果T 满足：（1）,X T ∅∈；（2）有限交封闭；（3）任意并封闭。
则称T 为X 上的一拓扑，而T 的成员叫X 的开集。
例：{},T X =∅叫X 上的平庸拓扑；{}A |A T X =⊆叫X 上的离散拓扑；典型拓扑：余有限拓扑、余可数拓扑、有心拓扑、去心拓扑定义2.1.2 Y 的子空间拓扑或相对拓扑：母空间的开集交上Y 即可。
定义2.1.3 设(X,T )是拓扑空间，∼是X 上的等价关系，等价类的集合为[]{}/|X x x X =∈∼，自然投影:/p X X →∼定义为()[]p x x =。
令(){}1//|T U X p U T −=⊆∈∼∼叫/X ∼上的商拓扑，()/,/T X ∼∼叫商空间。
下面证明/T ∼是/X ∼上拓扑。
(1)由于()1p T −∅=∅∈，()1/p X X T −=∈∼，即,//X T ∅∈∼∼；(2)设/A T ⊆∼为有限集，由于()11U U U A Ap p U −−∈∈⎛⎞=⎜⎟⎝⎠∩∩，且满足()1p U T −∈，由拓扑T 对有限交封闭有，()1U A p U T −∈∈∩，从而U U /AT ∈∈∼∩；(3) /A T ∀⊆∼，由于()11U U A Ap U p U −−∈∈⎛⎞=⎜⎟⎝⎠∪∪，类似地，由拓扑T 对任意并封闭有，()1U A p U T −∈∈∪，从而U /AU T ∈∈∼∪。
综上所述，/T ∼是/X ∼上拓扑。
定理2.1.1设(X,T )是拓扑空间，F 是X 的闭集族，则（1）,X F ∅∈；（2）有限并封闭；（3）任意交封闭。
定理2.1.2设(X,T )是拓扑空间，F 是X 的闭集族，Y ⊆ X，则Y |F 是Y 作为子 空间的闭集族。
2.1.2 领域系定义2.1.5设X 是拓扑空间，包含x 的开集叫x 的开领域。
定义2.1.6设X 是拓扑空间，如果A 内存在x 的开领域，则称A 是x 的领域。
《点集拓扑学》复习题
《点集拓扑》复习题一、概念叙述1、拓扑空间2、邻域、邻域系3、集合A 的凝聚点4、闭包5、基 子基6、子空间7、（有限）积空间8、隔离子集9、连通集 10、连通集 11、连通分支 12、局部连通空间 13、1A 空间 14、2A 空间 15、可分空间 16、Lindeloff 空间 17、i T 空间（1,2,3,4i =） 18、正则空间 19、正规空间 20、紧致空间 21、可数紧空间 22、列紧空间 23、序列紧空间 24、局部紧空间 二、判断题1、有限集不可能有聚点 （ ）2、拓扑空间X 的子集A 是闭集的充要条件是A A = （ ）3、如果A B ⋂≠∅，则A B A B ⋂=⋂ （ ）4、设Y 是拓扑空间X 的子空间，A 是Y 的子集，则A 在Y 中的导集是A 在X 中的导集与Y 的交。
（ ） ５、若:f X Y →是同胚映射，则()f X Y = （ ） ６、离散空间中任意子集的导集都是空集 （ ）７、拓扑空间中每个连通分支都是既开集又是闭集 （ ） ８、度量空间必是2A 空间 （ ） ９、在l R 中，(],a b 是开集 （ ）１０、映射:f X Y →是连续映射的⇔若拓扑空间Ｘ中序列{}i x 收敛于x X ∈，则扑拓空间Ｙ中相应序列(){}i f x 收敛于()f x （ ）１１、设Ｘ为拓扑空间，Ｃ为连通分支，Ｙ是Ｘ的一个连通子集，则Y C ⊂ （ ） １２、2A 空间必为可分空间 （ ） １３、正则且正规空间必为0T 空间 （ ） １４、紧致空间的闭子集必为它的紧致子集 （ ）１５、设Ｘ是一个拓扑空间，A X ⊂，则点x 是集合Ａ的一个凝聚点⇔在{}A x -中有一个序列收敛于x （ ）１６、度量空间也是拓扑空间 （ ）１７、如果一个空间中有每个单点集都是闭集，那么这个空间必是离散空间 （ ）１８、拓扑空间X 是一个连通空间当且仅当X 中不存在既开又闭的非空真子集. ( )19、若拓扑空间中的子集A 是连通集，则它的闭包A 也是一个连通集。
几何拓扑初步例题和知识点总结
几何拓扑初步例题和知识点总结一、几何拓扑的基本概念几何拓扑是数学的一个重要分支，它主要研究几何图形在连续变形下保持不变的性质。
简单来说，就是不考虑图形的大小、形状，只关注图形的连接方式和整体结构。
比如，一个圆形可以通过连续变形变成一个正方形，在这个过程中，图形的某些性质不变，这就是几何拓扑所关注的。
二、几何拓扑的重要知识点1、拓扑等价如果两个图形可以通过连续变形（拉伸、压缩、弯曲等，但不能撕裂或粘连）相互转化，那么它们就是拓扑等价的。
例如，一个球体和一个立方体在拓扑上是等价的。
2、欧拉示性数对于一个多面体，欧拉示性数可以通过面数（F）、棱数（E）和顶点数（V）计算得出：V E ＋ F ＝ 2。
这个公式在判断一些图形的拓扑性质时非常有用。
3、同胚同胚是拓扑学中的一个重要概念，如果两个拓扑空间之间存在一个连续的双射，并且其逆映射也连续，那么这两个空间就是同胚的。
三、几何拓扑初步例题例题 1：判断一个甜甜圈和一个咖啡杯是否拓扑等价。
分析：甜甜圈中间有一个洞，咖啡杯也有一个把手形成的洞。
通过连续变形，可以将甜甜圈的洞拉伸成咖啡杯的把手形状，反之亦然。
结论：甜甜圈和咖啡杯是拓扑等价的。
例题 2：计算一个正四面体的欧拉示性数。
分析：正四面体有 4 个面，6 条棱，4 个顶点。
计算：4 6 ＋ 4 ＝ 2结论：正四面体的欧拉示性数为 2。
例题 3：判断平面上的一个圆和一个正方形是否同胚。
分析：圆是没有边界的连续曲线，而正方形有边界。
结论：圆和正方形不是同胚的。
四、几何拓扑在实际中的应用1、计算机图形学在计算机图形处理中，几何拓扑可以帮助优化模型的存储和处理，使得图形的变形更加自然和流畅。
2、物理学在研究物体的形态变化和场的分布时，几何拓扑能够提供有用的理论支持。
3、生物学例如在研究蛋白质的结构和功能时，拓扑性质的分析可以帮助理解其生物活性。
五、学习几何拓扑的注意事项1、培养空间想象力几何拓扑需要我们能够在脑海中想象图形的连续变形，所以要有较强的空间想象力。
拓扑学复习题与参考答案
点集拓扑学练习题一、单项选择题（每题2分）1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T③ {,,{},{,}}X a a b φ=T④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T2、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ② {,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T3、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c d φ=T ② {,,{,,},{,,}}X a b c a b d φ=T ③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{}}X a b φ=T4、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X b c a b φ=T ② {,,{},{},{,},{,}}X a b a b a c φ=T ③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T5、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.① {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ② {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{},{,}}X a c a c φ=T6、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X a b b c φ=T ② {,,{,},{,}}X a b b c φ=T③ {,,{},{,}}X a a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T7、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =（ ）①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d8、 已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{,,}b c d =（ ）①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d9、 已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（ ）①φ ② X ③ {}a ④ {}b10、已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}b =（ ）①φ ② X ③ {}a ④ {}b11、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（ ）①φ ② X ③ {,}a b ④ {,,}b c d12、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}c =（ ）①φ ② X ③ {,}a c ④ {,,}b c d13、设{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 414、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{,}}X a b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）① 1 ② 2 ③ 3 ④ 415、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{,}}X b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）① 0 ② 1 ③ 2 ④ 316、设{,}X a b =，拓扑{,,{}}X b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为（ ）① 0 ② 1 ③ 2 ④ 317、设{,}X a b =，拓扑{,,{},{}}X a b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为（ ）① 1 ② 2 ③ 3 ④ 418、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{},{,},{,}}X a b a b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）① 1 ② 2 ③ 3 ④ 419、在实数空间中，有理数集Q 的内部Q 是（ ）① φ ② Q ③ R -Q ④ R20、在实数空间中，有理数集Q 的边界()Q ∂是（ ）① φ ② Q ③ R -Q ④ R21、在实数空间中，整数集Z 的内部Z 是（ ）① φ ② Z ③ R -Z ④ R22、在实数空间中，整数集Z 的边界()Z ∂是（ ）① φ ② Z ③ R -Z ④ R23、在实数空间中，区间[0,1)的边界是（ ）① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1)24、在实数空间中，区间[2,3)的边界是（ ）① φ ② [2,3] ③ {2,3} ④ (2,3)25、在实数空间中，区间[0,1)的内部是（ ）① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1)26、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中错误的是（） ① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B ⋃=⋃③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A =27、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是（） ① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A =28、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是（ ）① ()d A B A B ⋃=⋃ ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ (())()d d A A d A ⊂⋃29、已知X 是一个离散拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（ ）① ()d A φ= ② ()d A X A =-③ ()d A A = ④ ()d A X =30、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中不正确的是（ ）① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X A =- ③ 若A={12,x x },则()d A X = ④ 若A X ≠, 则()d A X ≠31、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（ ）① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X = ③ 若A={12,x x },则()d A X A =- ④ 若12{,}A x x =,则()d A A =32、设{,,,}X a b c d =，令{{,,},{},{}}a b c c d =B ,则由B 产生的X 上的拓扑是（ ）① { X ,φ,{c },{d },{c ,d },{a ,b ,c }}② {X ,φ,{c },{d },{c ,d }}③ { X ,φ,{c },{a ,b ,c }}④ { X ,φ,{d },{b ,c },{b ,d },{b ,c ,d }}33、设X 是至少含有两个元素的集合，p X ∈,{|}{}G X p G φ=⊂∈⋃T 是X 的拓扑，则（ ）是T 的基.① {{,}|{}}B p x x X p =∈- ② {{}|}B x x X =∈③ {{,}|}B p x x X =∈ ④ {{}|{}}B x x X p =∈-34、 设{,,}X a b c =,则下列X 的拓扑中（ ）以{,,{}}S X a φ=为子基.① { X , φ,{a },{a ,c }} ② {X , φ,{a }}③ { X , φ,{a },{b },{a ,b }} ④ {X ,φ }35、离散空间的任一子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭36、平庸空间的任一非空真子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭37、实数空间R 中的任一单点集是 ( )① 开集 ② 闭集 ③ 既开又闭 ④ 非开非闭38、实数空间R 的子集A ={1,21,31 ,41,……},则A ＝（ ） ①φ ② R ③ A ∪{0} ④ A39、在实数空间R 中，下列集合是闭集的是（ ）① 整数集 ② [)b a , ③ 有理数集 ④ 无理数集40、在实数空间R 中，下列集合是开集的是（ ）① 整数集Z ② 有理数集③ 无理数集 ④ 整数集Z 的补集Z '41、已知{1,2,3}X =上的拓扑{,,{1}}T X φ=,则点1的邻域个数是（ ）① 1 ② 2 ③ 3 ④ 442、已知{,}X a b =,则X 上的所有可能的拓扑有（ ）① 1个 ② 2个 ③ 3个 ④ 4个43、已知X ={a ,b ,c },则X 上的含有４个元素的拓扑有（ ）个① 3 ② 5 ③ 7 ④ 944、设(,)T X 为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( )①T , T X φ∈∉ ② T ,T X φ∉∈③当T T '⊂时,T T U U '∈∈ ④ 当T T '⊂时,T T U U '∈∈45、在实数下限拓扑空间R 中，区间[,)a b 是（ ）① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭46、设X 是一个拓扑空间，,A B X ⊂,且满足()d A B A ⊂⊂,则B 是（ ）① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭47、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1,2}A =,则X 的子空间A的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}φ=T ② {,,{1},{2},{1,2}}T X φ= ③ {,,{1},{2}}T A φ= ④ {,,{1},{2}}T X φ=48、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1,3}A =,则X 的子空间A的拓扑为( )① {,{1},{3},{1,3}}T φ= ② {,,{1}}T A φ=③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ=49、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{2,3}A =,则X 的子空间A的拓扑为( )① {,{3},{2,3}}φ=T ② {,,{2},{3}}T A φ=③ {,,{2},{3},{2,3}}T X φ= ④ {,,{3}}T X φ=50、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{1}}T φ= ② {,,{1,2}}T A φ=③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ=51、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,}T A φ=③ {,,{2}}T X φ= ④ {,,{1,2}}T X φ=52、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,{},{1,3}}T X φ=③ {,,{3}}T X φ= ④ {,{3}}T φ=53、设R 是实数空间，Z 是整数集，则R 的子空间Z 的拓扑为（ ）① {,}T Z φ= ② ()T P Z =③ T Z = ④ {}T Z =54、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.1P 是X 到1X 的投射，则1P 是（ ）① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射55、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.2P 是X 到2X 的投射，则2P 是（ ）① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射56、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.3P 是X 到3X 的投射，则3P 是（ ）① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射57、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.4P 是X 到4X 的投射，则4P 是（ ）① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射58、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.5P 是X 到5X 的投射，则5P 是（ ）① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射59、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.6P 是X 到6X 的投射，则6P 是（ ）① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射60、设1X 和2X 是两个拓扑空间，12X X ⨯是它们的积空间,1A X ⊂，2B X ⊂，则有（ ） ① A B A B ⨯≠⨯ ② A B A B ⨯=⨯③()A B A B ⨯≠⨯ ④ ()()()A B A B ∂⨯=∂⨯∂61、有理数集Q 是实数空间R 的一个（ ）① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对62、整数集Z 是实数空间R 的一个（ ）① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对63、无理数集是实数空间R 的一个（ ）① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对64、设Y 为拓扑空间X 的连通子集,Z 为X 的子集,若Y Z Y ⊂⊂, 则Z 为( )①不连通子集 ② 连通子集 ③ 闭集 ④ 开集65、设12,X X 是平庸空间，则积空间12X X ⨯是（ ）① 离散空间 ② 不一定是平庸空间③ 平庸空间 ④ 不连通空间66、设12,X X 是离散空间，则积空间12X X ⨯是（ ）① 离散空间 ② 不一定是离散空间③ 平庸空间 ④ 连通空间67、设12,X X 是连通空间，则积空间12X X ⨯是（ ）① 离散空间 ② 不一定是连通空间③ 平庸空间 ④ 连通空间68、实数空间R 中的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③区间 ④ 以上都不对69、实数空间R 中的不少于两点的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 以上都不对70、实数空间R 中的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 区间或一点71、下列叙述中正确的个数为（ ）（Ⅰ）单位圆周1S 是连通的； （Ⅱ）{0}R -是连通的 （Ⅲ）2{(0,0)}R -是连通的 （Ⅳ）2R 和R 同胚① 1 ② 2 ③ 3 ④ 472、实数空间R ( )① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对73、整数集Z 作为实数空间R 的子空间（ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对74、有理数集Q 作为实数空间R 的子空间（ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对75、无理数集作为实数空间R 的子空间（ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对76、正整数集Z +作为实数空间R 的子空间（ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对77、负整数集Z -作为实数空间R 的子空间（ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 78、2维欧氏间空间2R （ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 79、3维欧氏间空间3R （ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对80、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）① 平庸性 ② 连通性③ 离散性 ④ 第一可数性公理81、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）① 第一可数性公理 ② 连通性③ 第二可数性公理 ④ 平庸性82、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）① 第一可数性公理 ② 可分性③ 第二可数性公理 ④ 离散性83、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）① 平庸性 ② 可分性③ 离散性 ④ 第二可数性公理84、设X 是一个拓扑空间，若对于,,x y X x y ∀∈≠,均有{}{}x y ≠,则X 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对85、设{1,2}X =，{,,{1}}X φ=T ，则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对86、设{1,2}X =，{,,{2}}X φ=T ，则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 道路连通空间87、设{1,2,3}X =，{,,{1}}X φ=T ，则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对88、设{1,2,3}X =，{,,{23}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对89、设{1,2,3}X =，{,,{13}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对90、设{1,2,3}X =，{,,{12}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对91、设{1,2,3}X =，{,,{1},{2},{1,2}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对92、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个单点集都是闭集，则X 是（ ）①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间93、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个有限子集都是闭集，则X 是（ ）①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间94、设X 是一个拓扑空间，若对x X ∀∈及x 的每一个开邻域U ，都存在x 的一个开邻域V ,使得V U ⊂,则X 是（ ）①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间95、设X 是一个拓扑空间，若对X 的任何一个闭集A 及A 的每一个开邻域U ，都存在A的一个开邻域V ,使得V U ⊂,则X 是（ ） ①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间96、设{1,23}X =，，{,,{1},{23}}X φ=，T ，则(,)X T 是( ) ①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正规空间97、设{1,23}X =，，{,,{2},{13}}X φ=，T ，则(,)X T 是( ) ①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正规空间98、设{1,23}X =，，{,,{3},{12}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正则空间99、设{1,23}X =，，{,,{1},{2},{1,2}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间100、设{1,23}X =，，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间101、设{1,23}X =，，{,,{2},{3},{2,3}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间102、若拓扑空间X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个（）① 连通空间 ② 道路连通空间 ③ 紧致空间 ④ 可分空间103、紧致空间中的每一个闭子集都是（ ）① 连通子集 ② 道路连通子集 ③ 紧致子集 ④ 以上都不对104、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是（ ）① 连通子集 ② 开集 ③ 闭集 ④ 以上都不对105、紧致的Hausdorff 空间中的紧致子集是（ ）① 连通子集 ② 开集 ③ 闭集 ④ 以上都不对106、拓扑空间X 的任何一个有限子集都是（ ）① 连通子集 ② 紧致子集 ③ 非紧致子集 ④ 开集107、实数空间R 的子集{1,2,3}A =是（ ）① 连通子集 ② 紧致子集 ③开集 ④ 非紧致子集108、实数空间R 的子集{1,2,3,4}A =是（ ）① 连通子集 ② 紧致子集 ③开集 ④ 非紧致子集109、如果拓扑空间X 的每个紧致子集都是闭集，则X 是（ ）① 1T 空间 ② 紧致空间 ③ 可数补空间 ④ 非紧致空间二、填空题（每题2分）1、设{,}X a b =,则X 的平庸拓扑为 ;2、设{,}X a b =,则X 的离散拓扑为 ;3、同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ;4、在实数空间R 中，有理数集Q 的导集是___________.5、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有 ;6、设A是有限补空间X中的一个无限子集，则()d A= ;7、设A是有限补空间X中的一个无限子集，则A= ;8、设A是可数补空间X中的一个不可数子集，则()d A= ;9、设A是可数补空间X中的一个不可数子集，则A= ;10、设{1,2,3}X=,X的拓扑{,,{2},{2,3}}=,则X的子集{1,2}A=的内部T Xφ为 ;11、设{1,2,3}A=的内部=,则X的子集{1,3} X=,X的拓扑{,,{1},{2,3}}T Xφ为 ;12、设{1,2,3}A=的内部=,则X的子集{1,2}T XφX=,X的拓扑{,,{1},{2,3}}为 ;13、设{1,2,3}A=的内部=,则X的子集{1,3} X=,X的拓扑{,,{2},{2,3}}T Xφ为 ;14、设{,,}=,则X的平庸拓扑为 ;X a b c15、设{,,}=,则X的离散拓扑为 ;X a b c16、设{1,2,3}A=的内部=,则X的子集{1,3}T XφX=,X的拓扑{,,{2},{3},{2,3}}为 ;17、设{1,2,3}A=的内部=,则X的子集{1,2}T XφX=,X的拓扑{,,{1},{3},{1,3}}为 ;18、:f X Y→是拓扑空间X到Y的一个映射，若它是一个单射，并且是从X到它的象集()f X的一个同胚，则称映射f是一个 .19、:f X Y→是拓扑空间X到Y的一个映射，如果它是一个满射，并且Y的拓扑是对于映射f而言的商拓扑，则称f是一个 .20、设,→是一个映射，若X中任何一个开集U的象集X Y是两个拓扑空间，:f X Yf U是Y中的一个开集，则称映射f是一个;()21、设,→是一个映射，若X中任何一个闭集U的象集X Y是两个拓扑空间，:f X Y()f U 是Y 中的一个闭集，则称映射f 是一个 ;22、若拓扑空间X 存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个 ；23、若拓扑空间X 存在两个非空的开子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个 ；24、若拓扑空间X 存在着一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个 ；25、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂，则Z 也是X 的一个 ;26、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则称这个性质是一个 ；27、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性质是一个 ；28、若任意1n ≥个拓扑空间12,,,n X X X ,都具有性质P ,则积空间12n X X X ⨯⨯⨯也具有性质P ，则性质P 称为 ;29、设X 是一个拓扑空间，如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得A B X ⋃=,则称X 是一个 ；30、若12,X X 满足第一可数性公理，则积空间12X X ⨯满足 ;31、若12,X X 满足第二可数性公理，则积空间12X X ⨯也满足 ;32、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个子空间也具有性质P ,则称性质P 为 ;33、设D 是拓扑空间X 的一个子集，且D X =,则称D 是X 的一个 ；34、若拓扑空间X 有一个可数稠密子集，则称X 是一个 ；35、设X 是一个拓扑空间，如果它的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称X 是一个 ；36、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个开子空间也具有性质P ,则称性质P 为 ;37、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个闭子空间也具有性质P ,则称性质P 为 ;38、设X 是一个拓扑空间，如果则称X 是一个0T 空间;39、设X 是一个拓扑空间，如果则称X 是一个1T 空间;40、设X 是一个拓扑空间，如果则称X 是一个2T 空间;41、正则的1T 空间称为 ；42、正规的1T 空间称为 ；43、完全正则的1T 空间称为 ；44、设X 是一个拓扑空间.如果X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个 .45、设X 是一个拓扑空间，Y 是X 的一个子集.如果Y 作为X 的子空间是一个紧致空间，则称Y 是拓扑空间X 的一个 .46、设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个 .47、设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个无限子集都有凝聚点，则称拓扑空间X 是一个 .48、设X 是一个拓扑空间. 如果X 中的每一个序列都有一个收敛的子序列，则称拓扑空间X 是一个 .三．判断（每题3分，判断1分，理由2分）1、从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( )2、设12, T T 是集合X 的两个拓扑，则12 T T ⋂不一定是集合X 的拓扑( )3、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（ ）4、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集，则()d A φ= （ ）5、设A 为平庸空间X （X 多于一点）的一个单点集，则()d A φ= （ ）6、设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集，则()d A X = （ ）7、设X 是一个不连通空间，则X 中存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=（ ）8、若拓扑空间X 中存在一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个不连通空间( )9、设拓扑空间X 满足第二可数性公理，则X 满足第一可数性公理（ ）10、若拓扑空间X 满足第二可数性公理，则X 的子空间Y 也满足第二可数性公理（ ）11、若拓扑空间X 满足第一可数性公理，则X 的子空间Y 也满足第一可数性公理（ ）12、设{1,2,3}X =，{,,{2},{3},{2,3}}X φ=T ，则(,)X T 是3T 空间.( )13、设{1,2,3}X =，{,,{1},{2},{1,2}}T X φ=，则(,)X T 是3T 空间.( )14、设{1,23}X =，，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则(,)X T 是1T 空间.( )15、设{1,23}X =，，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则(,)X T 是4T 空间.( )16、3T 空间一定是2T 空间.（ ）17、4T 空间一定是3T 空间.（ ）18、设,A B 是拓扑空间X 的两个紧致子集，则A B ⋃是一个紧致子集.( )19、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是闭集.( )四．名词解释(每题2分)1．同胚映射2、集合A 的内点3、集合A 的内部4．拓扑空间(,)T X 的基5．闭包6、序列7、导集8、不连通空间9、连通子集10、不连通子集11、1 A 空间12、2 A 空间13、可分空间14、0T 空间：15、1T 空间：16、2T 空间：17、正则空间：18、正规空间：19、完全正则空间：20、紧致空间21、紧致子集22、可数紧致空间23、列紧空间24、序列紧致空间五．简答题（每题4分）1、设X 是一个拓扑空间，,A B 是X 的子集，且A B ⊂.试说明()()d A d B ⊂.2、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →, :g Y Z →都是连续映射，试说明:g f X Z →也是连续映射.3、设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.试说明：若A 是一个闭集，则A 的补集A '是一个开集.4、设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.试说明：若A 的补集A '是一个开集，则A 是一个闭集.5、在实数空间R 中给定如下等价关系：~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}2[],1[],0{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T .6、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}3[],2[],1{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T .7、在实数空间R 中给定如下等价关系：~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[1],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T .8、在实数空间R 中给定如下等价关系：~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[2],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T .9、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[3]}Y =,试写出Y 的商拓扑T .10、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[4]}Y =,试写出Y 的商拓扑T .11、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[1],[2],[4]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T .12、离散空间是否为2A 空间?说出你的理由.13、试说明实数空间R 是可分空间.14、试说明每一个度量空间都满足第一可数性公理.15、设X 是一个1T 空间，试说明X 的每一个单点集是闭集.16、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个单点集都是闭集，试说明X 是一个1T 空间.17、设(,)X T 是一个1T 空间，∞是任何一个不属于X 的元素.令*{}X X =⋃∞和*X =⋃*T T {}，试说明拓扑空间*(,)X *T 是一个0T 空间.18、若X 是一个正则空间，试说明：对x X ∀∈及x 的每一个开邻域U ，都存在x 的一个开邻域V ,使得V U ⊂.19、若X 是一个正规空间，试说明：对X 的任何一个闭集A 及A 的每一个开邻域U ，都存在A 的一个开邻域V ,使得V U ⊂.20、试说明1T 空间X 的任何一个子集的导集都是闭集.21、试说明紧致空间X 的无穷子集必有凝聚点.22、如果X Y ⨯是紧致空间，则X 是紧致空间.23、如果X Y ⨯是紧致空间，则Y 是紧致空间.24、试说明紧致空间X 的每一个闭子集Y 都是紧致子集.六、证明题（每题8分）1、设:f X Y →是从连通空间X 到拓扑空间Y 的一个连续映射.则()f X 是Y 的一个连通子集.2、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的开集使得B A Y ⋃⊂,则或者A Y ⊂,或者B Y ⊂.3、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的闭集使得B A Y ⋃⊂,则或者A Y ⊂,或者B Y ⊂.4、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂，则Z 也是X 的一个连通子集.5、设{}Y γγ∈Γ是拓扑空间X 的连通子集构成的一个子集族.如果Y γγφ∈Γ≠,则Y γγ∈Γ是X 的一个连通子集.6、设A 是拓扑空间X 的一个连通子集，B 是X 的一个既开又闭的集合.证明：如果A B φ⋂≠,则A B ⊂.7、设A 是连通空间X 的非空真子集. 证明:A 的边界()A φ∂≠.8、设X 是一个含有不可数多个点的可数补空间.证明X 不满足第一可数性公理.9、设X 是一个含有不可数多个点的有限补空间.证明:X 不满足第一可数性公理.10、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个满的连续开映射.X 满足第二可数性公理，证明：Y 也满足第二可数性公理.11、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个满的连续开映射.X 满足第一可数性公理，证明：Y 也满足第一可数性公理.12、A 是满足第二可数性公理空间X 的一个不可数集。
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遗传
可乘 有 有 无
连续映射下 满和开 有 有
A1 , A2
可分空间 Lindeloff 空间
有 无 无 有闭遗传
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分离性 遗传 可乘 有 有
无 有
连续映射下 无 无
无 无
T0 , T1 , T2
正则性
正规性
有 有
无 有闭遗传 无
T3 T4
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3. 设(X，T)是拓扑空间，则下列说法不正确的是:
4.设X={ a, b, c, }， 则点b的邻域系为：
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5.设X={ a, b, c, d}， 则下列子空间不连通的是：
6.设X={ a, b, c, d}， 则（X，T）的连通分支是：
拓扑空间总复习题
基本概念
一. 度量空间 1. 度量空间的定义 2. 度量空间的其他概念
3. 度量空间中的连续映射 二. 拓扑空间的定义 1. 拓扑空间的定义（包括子空间与积空间 2，常见的拓扑 3. 拓扑空间的其他概念 4，拓扑空间的连续映射与同胚映射
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2. 设 T 1, T 2 是集合 X 的两个拓扑，则 T 1 T 2 不一定是 集合 X 的拓扑( × )
3. Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是闭集.(√ )
4，设 A, B 是拓扑空间 X 的两个紧致子集，则 A B 是一个紧致子集.( √
是 T4 空间.( × )
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7
8
9
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二，填空题 1. 在实数空间R中，有理数集Q的导集是 ( R )
A { x}) 2. x d ( A) 当且仅当对于的每一邻域有 U ( ()
3. 设 A 是有限补空间 X 中的一个无限子集，则
d ( A) =（
X ）
4. 、若拓扑空间 X 存在两个非空的闭子集 A, B , 使得 A B , A B X ,则 X 是一个（ ） 不连通空间 5.若拓扑空间有一个可数稠密子集，则称是一个 ( ) 可分空间
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三，判断题 1。从离散空间到拓扑空间的任何映射都是 连续映射( √ )
一个同胚映射 f : E 2 E ,令
此时, g 是连续的,并且有
g( E 2 {0}) E { f (0)}
所以E { f (0)}应该是连通,
而 E { f (0)}不是区间,所以不连通.矛盾
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17. 18.
19. 20. 设A是实数空间R的一个子集．A是包含着不少于两个点 的一个连通子集当且仅当A是一个区间．
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7.
8.
9.
{ x} T
c
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10.
11.
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12.
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选择题
1
2
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三. 拓扑空间中的性质
1. 连通性与道路连通性
2. 可数性 3. 分离性
4，紧致性
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连通性，道路连通性与紧致性
遗传 连通性 道路连通性 紧致性 无 无 无 有闭遗传
可乘 有 有 有
连续映射下 有 有 有
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)
3} ， T { X , ,{1},{3},{1,3}} ，则 ( X , T ) 5，设 X {1, 2，Biblioteka 五，证明题 1.2.
3.
举例说明 T1 T2 不是拓扑
4.
5.
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6.
7. 8. Hausdorff空间中的任何一个收敛序列只有一个极限点．
无
无
无
Hausdorff空间： 闭集 紧致子集 紧致的hausdorff空间： 闭集 紧致子集
紧致空间： 闭集 紧致子集
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一，选择题 1.设X={ a, b, c, d }，则下列集族中不是X的拓扑的是
2.设X={ a, b, c, d }，则下列集族中是X的拓扑的是
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f (t ) (cos2t , sin2t ) S 1
1 1 S f ( E ) S f 是一个连续映射，且 ,所以 是连通的
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证明欧氏平面 E 2 和实数空间E不同胚．
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证明:
用反证法,假设 E 2 和E同胚,则存在
g f
2 : E {0} E E 2 { 0 }
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9. 10. 11. 12. 13. 14.
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证明欧氏平面 E 2 中的子集
S 1 {( x , y ) x , y R, x 2 y 2 1}是连通的.
证明: 定义映射 f : E S 1 ,使的对任意t R