2020届广西柳州市高三毕业班4月模拟(三模)数学(文)试题(解析版)

2020届广西柳州市高三毕业班4月模拟（三模）数学（文）试题一、单选题1．已知R 是实数集，集合{}|2A x Z x =∈<，{}|210B x x =-≥，则()R A C B =I （ ） A ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．{}1C ．{}1,0-D ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】先求得的集合{}1,0,1A =-，1|2B x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，进而得到R C B ，再根据集合的交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合{}{}|21,0,1A x Z x =∈<=-，{}1|210|2B x x x x ⎧⎫=-≥=≥⎨⎬⎩⎭， 所以1|2R C B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，所以(){}1,0R A C B =-I . 故选：C . 【点睛】本题主要考查了集合的表示方法，以及集合的混合运算，其中解答中熟记集合运算的概念，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 2．已知复数51iz i+=-（i 为虚数单位），则在复平面内z 所对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】根据复数的除法运算，求得复数23z i =+，再结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由题意，根据复数的除法运算，可得复数5(5)(1)46231(1)(1)2i i i iz i i i i ++++====+--+， 则在复平面内z 所对应的点为()2,3，在第一象限. 故选：A . 【点睛】本题主要考查了复数的几何意义，以及复数的除法运算，其中解答中熟练应用复数的除法运算，求得复数的代数形式是解答的关键，着重考查了计算能力. 3．在区间[]1,10上任取一个整数x ，则满足ln 1x ≥的概率为（ ） A ．15B ．45C ．109e- D ．19【答案】B【解析】根据题意，找出基本事件的总数和所求事件包含的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】由题意，在区间[]1,10上任取一个整数x ，共有10种可能，而满足ln 1x ≥，即x e ≥有3，4，5，6，7，8，9，10，共8种可能， 所以所求概率是45. 故选：B . 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中利用列举法求得基本事件的总数和所有事件所包含基本事件的个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.4．某工厂的每月各项开支x 与毛利润y （单位：万元）之间有如下关系，y 与x 的线性回归方程$ 6.5y x a =+，则a =（ ）A ．17.5B ．17C ．15D ．15.5【答案】A【解析】根据表中的数据，求得样本中心为(5,50)，代入回归方程为$ 6.5y x a =+，即可求解. 【详解】由题意，根据表中的数据，可得2456855x ++++==，3040605070505y ++++==，即样本中心为(5,50)，代入y 与x 的线性回归方程为$ 6.5y x a =+，解得17.5a =. 故选：A . 【点睛】本题主要考查了回归直线方程的应用，其中解答中熟记回归直线的方程必过样本中心这一基本特征是解答的关键，着重考查了计算能力.5．若函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的相邻两条对称轴间的距离为2π，且在6x π=取得最大值2，则4f π⎛⎫=⎪⎝⎭（ ）A B ．1C ．2D【答案】D【解析】由函数相邻两条对称轴间的距离为2π，求得2ω=，再由函数图象经过点,26π⎛⎫⎪⎝⎭，求得6π=ϕ，得出函数的解析式，即可求解.【详解】由题意，函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的相邻两条对称轴间的距离为2π， 可得2ππω=，解得2ω=，所以()()2sin 2f x x ϕ=+，又因为函数图象经过点,26π⎛⎫⎪⎝⎭，所以sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为0ϕπ<<，可得6π=ϕ，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以2sin 426f πππ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：D . 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，求解函数的解析式是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.6．已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，748a a =，445S =，则1a =（ ）A ．3B ．5C ．-3D ．-5【答案】A【解析】设等比数列的公比为q ，由748a a =，求得2q =，再结合等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】设等比数列的公比为q ，因为748a a =，即3748a q a ==，解得2q =， 又由等比数列求和公式得()144124512S a -=-=，解得13a =.故选：A . 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，以及等比数列的前n 项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式和求和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了计算能力.7．设x ，y 满足约束条件2020210y x x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，则23z x y =+的最大值与最小值的和为（ ） A ．283B ．283-C ．103D ．103-【答案】C【解析】画出不等式组表示的平面区域，结合图形确定目标函数的最优解，代入即可求解. 【详解】由题意，不等式所表示的平面区域，如图阴影所示： 目标函数23z x y =+可化为直线23y x z =-+， 当直线23y x z =-+平移到过A 点时，此时在y 轴上的截距最大，z 取得最大值， 联立20210x x y -=⎧⎨-+=⎩得()2,5A ，此时目标函数的最大值为193z =；当直线23y x z =-+平移到过B 点时，此时在y 轴上的截距最小，z 取得最小值，联立20210y x y +=⎧⎨-+=⎩得3,22B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，此时目标函数的最小值为3z =-， 故最大值与最小值的和为103. 故选：C .【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力． 8．函数()cos x f x x =在3x π=处的切线斜率为（ ） A ．29332π+B ．29332π C ．293322ππ-+D ．293322ππ--【答案】D【解析】求得函数导数，进而得到函数在3x π=处的导数值，根据导数的几何意义，即可求解. 【详解】由题意，函数()cos x f x x =，可得()211'cos sin f x x x x x=--， 所以2293933'cos sin 3332f ππππππ⎛⎫=--=-⎪⎝⎭， 即函数()f x 在3x π=处的切线斜率为29332π-. 故选：D . 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及其应用，其中解答中熟记导数的几何意义，熟练应用导数的四则运算法则求得函数的导数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 9．在直棱柱111ABC A B C -中，若ABC V 为等边三角形，且13BB AB =，则1AB 与1C B 所成角的余弦值为（）A ．38B ．14C ．34D ．58【答案】D【解析】由题意，设1AB =，13BB =，取AC 中点N ，连结MN ，BN ，得出1AB 与1C B 所成角即为NMB ∠或其补角，利用余弦定理，即可求解. 【详解】由题意，设1AB =，13BB =，则连结1B C 交1BC 于点M ， 取AC 中点N ，连结MN ，BN ，则1//AB MN 且11131122MN AB ==+=， 则1AB 与1C B 所成角即为NMB ∠或其补角， 又由3BN =，1112BM BC ==，由余弦定可得22231154cos 22118BM MN BN NMB BM MN +-+-∠===⋅⨯⨯. 故选：D .【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及异面直线所成角的求解，其中解答中把异面直线所成角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了转化思想，以及计算能力.10．执行如图所示的程序框图，若输入的a ，b 的值分别为1，1，则输出的S 是（ ）A ．41B ．17C ．12D ．3【答案】B【解析】执行程序框图，逐次计算，结合判断条件，即可求解. 【详解】由题意，执行程序框图，可知1a =，1b =，4n =；第1次循环：3S =，1a =，3b =，3n =，不满足判断条件； 第2次循环：7=S ，3a =，7b =，2n =，不满足判断条件； 第3次循环：17S =，7a =，17b =，1n =，满足判断条件， 跳出循环体，输出17S =. 故选：B . 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中根据程序框图，逐次计算，结合判断条件求解是解答的关键，着重考查了计算能力. 11．已知函数()1112xf x e =-+，若()1.32a f =，()0.74b f =，()3log 8c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c a b <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．a b c <<【答案】C【解析】由指数函数的性质，求得函数()f x 是减函数，再利用指数函数与对数函数的性质，得到 1.30.73log 824<<，即可求解.【详解】由指数函数的性质，可得函数e 1xy =+为单调递增函数，可得函数()1112xf x e =-+是定义域R 上的单调递减函数， 又因为 1.31.40.73log 82224<<<=，所以()()()0.7 1.3342log 8f f f <<，所以b a c <<. 故选：C . 【点睛】本题主要考查了函数的单调性的应用，以及指数式与对数式的比较大小，其中解答中根据指数函数与对数函数的性质，得到自变量的大小关系是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.12．已知1F 、2F 分别是双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的上、下焦点，过点2F 的直线与双曲线的上支交于点P ，若过原点O 作直线2PF 的垂线，垂足为M ，OM a =，23PM F M=，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．53y x =±B ．35y x =±C ．43y x =±D ．34y x =?【答案】D【解析】利用勾股定理和双曲线的定义，求得21cos bPF F c∠=，24PF b =和142PF b a =-，再在12PF F ∆中，由余弦定理和222+=a b c ，取得ab的值，即可求得双曲线的渐近线方程. 【详解】由题意，在直角2OMF ∆中，可得2F M b ==，所以21cos bPF F c∠=， 又因为23PM F M=，所以3PM b =，所以24PF b =，且142PF b a =-，在12PF F ∆中，由余弦定理可得222212121212cos 2PF F F PF b PF F c PF F F +-∠==⨯⨯()()()2224242242b c b a b c+--=⨯⨯，代入222+=a b c ，解得34a b =， 所以双曲线的渐近线方程为34y x =?. 故选：D . 【点睛】本题主要考查了双曲线的定义及其应用，以及双曲线的渐近线的求解，其中解答中熟记双曲线的定义和几何性质是解答关键，着重考查了推理与运算能力.二、填空题13．设向量()1,2a →=-，()2,1b x →=-，若//a b →→，则x =______. 【答案】14【解析】由//a b →→，根据向量共线的坐标运算，列出方程，即可求解. 【详解】由题意，向量()1,2a →=-，()2,1b x →=-， 因为//a b →→，可得()11220x -⨯--⨯=，解得14x =. 故答案为：14【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量共线的应用，其中解答中熟记向量共线的坐标运算是解答的关键，着重考查了计算能力.14．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若1234a a a ++=，610S =，则3a =______. 【答案】149【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题意，求得1,a d 的值，再利用等差数列的通项公式，即可求求解. 【详解】由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，可得123161334656102a a a a d S a d ++=+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩，解得110929a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以311429a a d =+=. 故答案为：149. 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及前n 项和公式的应用，其中解答中熟练应用等差数列的通项公式和求和公式，列出方程组求解是解答的关键，着重考查了计算能力. 15．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交C 于A ，B 两点，交l 于点E ，直线AO 交l 于点D ，若2BE BF =，且3AF =，则BD =______. 【答案】1或9【解析】分别过点A ，B 作1AA ，1BB 垂直于l ，垂足分别为1A ，1B ，得12BE BB =，分类讨论，结合抛物线的定义，即可求解. 【详解】由题意，分别过点A ，B 作1AA ，1BB 垂直于l ，垂足分别为1A ，1B ， 由题意可知，D 与1B 重合，证明如下：()()1122,,,A x y B x y 因为AB 过焦点，所以212y y p =-，又11:y OA y x x =，当2p x =-时，212112y p p y y x y =-=-=， 即D B y y =，所以D 与1B 重合. 由2BE BF =，得12BE BB =. 又13AA AF ==，如图（1）可得1BD BE AA AE =，所以2333BD BDBD =+，解得1BD =. 如图（2）可得1BD BE AA AE =，所以233BD BDBD =-，解得9BD =. 所以1BD =或9. 故答案为：1或9【点睛】本题主要考查了抛物线的定义及标准方程的应用，其中解答中熟练应用抛物线的定义，合理转化是解答本题的关键，着重考查了转化思想，分类讨论思想，以及推理与计算能力.16．在三棱锥D ABC -中，已知AD ⊥平面ABC ，且ABC V 为正三角形，3AD AB ==点O 为三棱锥D ABC -的外接球的球心，则点O 到棱DB 的距离为______. 【答案】12【解析】设'O 为ABC V 的中心，M 为AD 中点，连结OM ，'OO ，AO ，求得7OA =ODA 截得外接球是O e ，D ，A ，F 是O e 表面上的点，结合圆的性质和球的性质，即可求解. 【详解】由题意，设'O 为ABC V 的中心，M 为AD 中点， 连结OM ，'OO ，AO ，则'1AO =，23AM =可得72OA =,即球的半径为72， 作平面ODA 交BC 于E ，交»BC于F ， 设平面ODA 截得外接球的截面是O e ，D ，A ，F 是O e 表面上的点，又∵DA ⊥平面ABC ，所以90DAF ∠=︒，所以DF 是O e 的直径，也是球O 的直径，7DF =DB BF ⊥.因为DA AB ⊥，3DA =3AB =6BD =1BF =，做OH DB ⊥，所以//OH BF ，又由DO OF =，所以OH 是DBF V 的中位线，所以12OH BF =，故12OH =.故答案为：12【点睛】本题主要考查了组合体的结构特征，以及球的性质的应用，其中解答中熟练应用空间几何体的几何结构特征和球的性质是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力.三、解答题17．某网站举行“卫生防疫”的知识竞赛网上答题，共有120000人通过该网站参加了这次竞赛，为了解竞赛成绩情况，从中抽取了100人的成绩进行统计，其中成绩分组区间为[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，其频率分布直方图如图所示，请你解答下列问题：（1）求m 的值；（2）成绩不低于90分的人就能获得积分奖励，求所有参赛者中获得奖励的人数； （3）根据频率分布直方图，估计这次知识竞赛成绩的平均分（用组中值代替各组数据的平均值）.【答案】（1）0.03m =（2）6000人（3）76分【解析】（1）由频率分布直方图的性质，列出方程，即可求解；（2）由频率分布直方图，求得成绩在[]90,100之间的频率，即可求得所有参赛者中获得奖励的人数；（3）根据频率分布直方图的平均数的计算公式，即可求得平均分的估计值. 【详解】（1）由频率分布直方图的性质，可得()100.0050.020.040.0051m ⨯++++=， 解得0.03m =.（2）由频率分布直方图，可得成绩在[]90,100之间的频率为100.0050.05⨯=， 所以可估计所有参赛者中获得奖励的人数约为1200000.056000⨯=人. （3）根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得平均分的估计值为550.05650.2750.4850.3950.0576⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=分. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答中熟记频率分布直方图的性质，平均数的计算公式和频率的计算方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.18．已知a ，b ，c 分别为锐角ABC V 内角A ，B ，C 的对边，2sin a B =. （1）求角A ；（2）若6a =，求ABC V 面积的最大值.【答案】（1）3A π=（2）【解析】（1）由正弦定理和题设条件，化简得2sin sin A B B ，进而得到sin A =，即可求得角A 的值；（2）由（1）和三角形的面积公式，可得ABC S =△，再由余弦定理和基本不等式，求得bc 的范围，即可求得ABC S V 的最大值. 【详解】（1）由题意，在ABC V 中，因为2sin a B =根据正弦定理，可得2sin sin A B B ，因为ABC V 是锐角三角形，可得sin 0B >，所以2sin A =sin A =， 又由三角形是锐角三角形，则(0,)2A π∈，所以3A π=.（2）由（1）和三角形的面积公式，可得1sin 2ABC S bc A ==△， 由余弦定理得2221236cos 222b c a bc A bc bc+--==≥，所以036bc <≤（当且仅当6b c ==时等号成立）， 所以ABC S V 的最大值为：336934⨯=. 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.19．如图，菱形ABCD 的边长为4，60ABC ∠=︒，E 为CD 中点，将ADE V 沿AE 折起使得平面ADE ⊥平面ABCE ，BE 与AC 相交于点O ，H 是棱DE 上的一点且满足2DH HE =.（1）求证：OH ∥平面BCD ； （2）求四面体ABDH 的体积. 【答案】（1）见解析（21639【解析】（1）由题设条件，得到//OH BD ，结合线面平行的判定定理，即可证得//OH 平面BCD ；（2）由平面与平面垂直的性质定理，得到CE ⊥平面ADE ，进而证得AB ⊥平面ADE ，利用体积公式，即可求解.【详解】（1）由题意，可得//CE AB ，2AB CE =，所以:1:2OE OB =. 又因为2DH HE =，所以//OH BD ， 又由BD ⊂平面BCD ，OH ⊄平面BCD ， 所以//OH 平面BCD .（2）由平面ADE ⊥平面ABCE ，平面ADE I 平面ABCE AE =，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，所以ABC V ，ADC V 都是等边三角形，又E 为CD 中点，所以AE CE ⊥，所以CE ⊥平面ADE ，因为//CE AB ，所以AB ⊥平面ADE ，2212433223ADH ADE S S ==⨯⨯⨯⨯=△△所以四面体ABDH 的体积：13ABDH B ADH ADH V V S AB -==⋅⋅△143==【点睛】本题主要考查了线面平行的判定与证明，以及三棱锥的体积的求解，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，严密推理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.20．已知函数()()()xf x x a e a R =-∈.（1）讨论()f x 的单调性；（2）当2a =时，设函数()()ln g x f x x x b =+--，b Z ∈，若()0g x ≤对任意的1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，求b 的最小值.【答案】（1）()f x 的单调递减区间为(),1a -∞-，单调递增区间为()1,a -+∞.（2）-3【解析】（1）求得函数的导数()()'1xf x x a e =-+，根据导数值的正负，即可求得函数的单调性；（2）由()0g x ≤对任意的1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，转化为()2ln xb x e x x ≥-+-对任意的1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，令()()2ln x h x x e x x =-+-，利用导数求得函数()h x 的单调性与最值，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数()()xf x x a e =-，可得()()'1xf x x a e =-+，当(),1x a ∈-∞-时，()'0f x <；当()1,x a ∈-+∞时，()'0f x >， 故()f x 的单调递减区间为(),1a -∞-，单调递增区间为()1,a -+∞. （2）由()()ln g x f x x x b =+--()2ln xx e x x b =-+--，因为()0g x ≤对任意的1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，即()2ln xb x e x x ≥-+-对任意的1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，令()()2ln xh x x e x x =-+-，则()()()11'111x x h x x e x e x x ⎛⎫=-+-=-- ⎪⎝⎭， 因为1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以10x -<，又由函数()1xt x e x =-，可得()210xt x e x'=+>，所以函数()t x 单调递增， 因为121202t e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()110t e =->，所以一定存在唯一的01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00t x =，即01x e x =，即00ln x x =-， 所以()h x 在01,3x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在()0,1x 上单调递减，所以()()()00000max2ln x h x h x x e x x ==-+-()001124,3x x ⎛⎫=-+∈-- ⎪⎝⎭.因为b Z ∈，所以b 的最小值为3-. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．21．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的四个顶点围成的菱形的面积为个焦点为()1,0. （1）求椭圆的方程；（2）若M ，N 为椭圆上的两个动点，直线OM ，ON 的斜率分别为1k ，2k ，当1234k k =-时，MON △的面积是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2【解析】（1）由题设条件，列出方程组，结合222a b c =+，求得22,a b 的值，即可求解.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，当直线MN 的斜率存在时，设方程为y kx m =+，联立方程组，结合根与系数的关系和弦长公式，及三角形的面积公式，求得三角形的面积；当直线MN 的斜率不存在时，结合椭圆的对称性和三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）由椭圆22221x y a b+=的四个顶点围成的菱形的面积为()1,0，可得2ab =，1c =，即221ab a b ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，解得24a =，23b =， 故椭圆的方程为22143x y +=.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，当直线MN 的斜率存在时，设方程为y kx m =+，由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y 可得，()2223484120k x kmx m +++-=， 则()()222264434412k m km∆=-+-()2248430k m =-+>，即2243m k <+，且122834km x x k -+=+，212241234m x x k-=+，所以12MN x x =-===又由点O 到直线MN的距离d =所以12MON S MN d =△=又因为12121234y y k k x x ==-， 所以()22121112k x x km x x m x x +++222228334412434km km m k k m k -⎛⎫+ ⎪+⎝⎭=+=--+，化简整理可得22243m k =+，满足>0∆，代入222MCNmS ===△ 当直线MN 的斜率不存在时，由于1234k k =-， 考虑到OM ，ON 关于x轴对称，不妨设1k =，22k =-，则点M ，N的坐标分别为M ⎭，N ⎭，此时12MON S ==△ 综上可得，MON △. 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为2x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=.（1）求曲线1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程； （2）直线()3R πθρ=∈与曲线1C ，2C 分別交于第一象限内A ，B 两点，求AB .【答案】（1）24sin 3ρρθ-=，()2211x y -+=.（2）1AB =【解析】（1）由曲线1C 的参数方程，消去参数，求得曲线1C 普通方程，再结合极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得曲线1C 的极坐标方程，进而根据极坐标与直角坐标的互化，求得曲线2C 的直角坐标方程. （2）设1,3A πρ⎛⎫⎪⎝⎭，2,3B πρ⎛⎫⎪⎝⎭，分别求得12,ρρ，根据极坐标的几何意义，即可求解. 【详解】（1）由题意，曲线1C的参数方程为2x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），即2x y αα⎧=⎪⎨-=⎪⎩ 平方相加，可得曲线1C ：()2227x y +-=，即22430x y y +--=又由cos ,sin x y ρθρθ==，代入22430x y y +--=，可得曲线1C 的极坐标方程为24sin 3ρρθ-=，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=，可得22cos ρρθ=，所以曲线2C 的直角坐标方程为222x y x +=，即()2211x y -+=.（2）依题意可设1,3A πρ⎛⎫⎪⎝⎭，2,3B πρ⎛⎫⎪⎝⎭， 所以22cos13πρ==，且2114sin303πρρ--=，即21130ρ--=，所以1ρ=因为点A 在第一象限，所以10ρ>，即1ρ=，所以211AB ρρ-==.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，直角坐标方程与极坐标方程互化，以及极坐标方程的应用，其中解答中熟记极坐标方程中极经的几何意义是解答关键，着重考查了推理与运算能力.23．已知函数()11f x x x =-++. （1）求不等式()3f x <的解集；（2）若二次函数22y x x m =--+与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围.【答案】（1）33|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭（2）m 1≥ 【解析】（1）根据函数的解析式，去掉绝对值号，分1x <-，11x -≤≤和1x >讨论，即可求得不等式的解集；（2）求得二次函数的最大值，以及分段函数的最小值，根据恒由公共点，列出关于m的不等式，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数()2,1112,112,1x x f x x x x x x -<-⎧⎪=-++=-≤≤⎨⎪>⎩，当1x <-时，令23x -<，即32x >-，所以312x -<<-； 当11x -≤≤时，此时23<恒成立，所以11x -≤≤； 当1x >时，令23x <，即32x <，所以312x <<，所以不等式()3f x <的解集为33|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. （2）由二次函数()22211y x x m x m =--+=-+++， 知函数在1x =-取得最大值1m +，因为()2,12,112,1x x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩，在1x =-处取得最小值2，所以要是二次函数22y x x m =--+与函数()y f x =的图象恒有公共点.只需12m +≥，即m 1≥. 【点睛】本题主要考查了含有绝对值的不等式的求解，以及二次函数与分段函数的性质的应用，着重考查了分类讨论与转化思想，以及推理与计算能力.。