21-23菲涅耳公式
菲涅尔方程式
菲涅尔方程式
菲涅耳方程式（Fresnel Equations）是用来描述光在两种介质界面上反射和透射的现象和规律的方程式。
它由奥古斯汀·菲涅耳（Augustin-Jean Fresnel）在19世纪提出，并成为光学领域中的重要理论工具。
菲涅耳方程式分为反射方程和透射方程，分别描述了光在界面上的反射和折射（透射）行为。
这些方程式基于电磁波的传播和边界条件，可以通过麦克斯韦方程和边界条件进行推导。
反射方程描述了入射光波在介质界面上的反射行为。
对于垂直入射的光，反射系数（反射光强与入射光强之比）可以通过下述菲涅耳反射方程计算：
r = (n1 - n2) / (n1 + n2)
其中，n1和n2分别是两种介质的折射率，r是反射系数。
透射方程描述了入射光波通过介质界面的折射行为。
同样对于垂直入射的光，透射系数（透射光强与入射光强之比）可以通过下述菲涅耳透射方程计算：
t = 2n1 / (n1 + n2)
其中，n1和n2分别是两种介质的折射率，t是透射系数。
需要注意的是，菲涅耳方程式仅适用于垂直入射的光，并且忽略了光在界面上的散射和吸收行为。
在实际应用中，还需要考虑光的入射角度、极化状态和表面特性等因素，并结合其他衍射、干涉等现象来对界面上的光行为进行更全面的描述。
菲涅耳方程式在材料科学、光学器件设计和表面反射控制等领域中具有广泛的应用，并能解释和预测光在界面上的反射和透射现象。
21 23菲涅耳公式
?1
90
n1> n2
2. 3 反射率和透射率 (Reflectivity and transmissivity)
此时，根据菲涅耳公式有 ?B +?2 = 900，即该入射角
与相应的折射角 互为余角。利用衍射定律，可得该 特定角度满足
tan ? B
?
n2 n1
(151)
该角 ?B 称为布儒斯特角。例如，当光由空气射向玻 璃时，n1=1，n2=1.52，布儒斯特角为 ?B = 56040?。
T ? Wt ? n2 cos ? 2 t 2 Wi n1 cos ?1
将菲涅耳公式代入，即可得到入射光中 s 分量和 p 分量的反射率和透射率的表示式分别为
2. 3 反射率和透射率 (Reflectivity and transmissivity)
Rs
?
rs2
?
sin2 (?1 sin2 (?1
射角?1，就可由折射定律确定折射角 ?2，进而可由上
面的菲涅耳公式求出反射系数和透射系数。下图绘 出了在、n1< n2 和 n1 > n2 两种情况下，反射系数、透
射系数随入射角 ? 1的变化曲线。
1.0
tp
0.5
r p ts
0
?B
-0.5
rs 56.3
-1.0
?1
0 30 60 90
n1=1.0, n2=1.5
ki 1 2
n
?i ?r
kr
x
O ?t kt
Hale Waihona Puke 界面2.1 反射定律和折射定律 (Reflection law and refraction
law)
r 是界面上任意点的矢径，在上图所示的坐标情况 下，有
菲涅耳公式推导课件
菲涅耳公式的推导
菲涅耳公式
描述光波在界面上反射和折射行为的公式，包括反射系数和 折射系数的计算。
推导过程
基于光的波动方程、波前的传播和波前的叠加原理，通过数 学推导得到菲涅耳公式。
04
菲涅耳公式的解析
半波损失现象的解释
Hale Waihona Puke 1 2 3半波损失现象
当光从光密介质射向光疏介质时，反射光在离开 分界面处会额外损失半个波长的光程。
波动方程的形式
$frac{partial^2 A}{partial x^2} + frac{partial^2 A}{partial y^2} + frac{partial^2 A}{partial z^2} = frac{1}{c^2} frac{partial^2 A}{partial t^2}$ ，其中$A$表示光波的振幅，$c$表示光速。
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菲涅耳公式推导课件
目 录
• 菲涅耳公式的背景和意义 • 光的干涉原理 • 菲涅耳公式的推导过程 • 菲涅耳公式的解析 • 菲涅耳公式的应用实例
01
菲涅耳公式的背景和意义
光的波动理论
01
光的波动理论认为光是一种波动 现象，具有波长、频率和相位等 特征。
02
该理论解释了光的干涉、衍射和 偏振等现象，为光学研究奠定了 基础。
全息照相技术
总结词
全息照相技术是菲涅耳公式的又一重要 应用，通过该公式可以实现高质量的全 息成像，并拓展全息技术的应用领域。
VS
详细描述
全息照相技术是一种记录和重现三维物体 光波前的方法。在全息照相中，菲涅耳公 式被用来计算物光波和参考光波在全息板 上的干涉场，从而得到全息图像。通过优 化菲涅耳公式的参数和应用，可以提高全 息图像的质量和稳定性，进一步拓展全息 技术的应用领域。
菲涅尔公式 折射率
菲涅尔公式折射率菲涅尔公式是描述光在两种介质之间发生反射和折射时的现象的物理学方程。
这个公式是由奥古斯丁·菲涅尔（Augustin-Jean Fresnel）在19世纪初提出的，对于理解光的行为在各种光学应用中至关重要。
1. 菲涅尔公式的基本原理：反射和折射：菲涅尔公式分别描述了光从一个介质到另一个介质的反射和折射。
这两个过程都涉及到光在两种介质之间的界面上发生的现象。
法线和入射角：菲涅尔公式中涉及到法线，即垂直于介质界面的直线。
入射角是光线与法线的夹角。
2. 反射的菲涅尔公式：反射的菲涅尔公式描述了入射光被反射的情况。
对于垂直入射光，反射率（反射光强与入射光强之比）由公式给出。
极化：菲涅尔公式还考虑了光的极化状态，分为垂直极化和平行极化。
3. 折射的菲涅尔公式：折射的菲涅尔公式描述了光从一种介质进入另一种介质时的行为。
这包括折射率对入射角的依赖性。
全反射：当光从折射率较大的介质射向折射率较小的介质时，可能发生全反射的现象。
4. 多层介质的复合菲涅尔公式：多层介质：在复杂的光学系统中，涉及到多个介质层时，可以使用复合菲涅尔公式来描述光的行为。
薄膜干涉：多层介质的复合菲涅尔公式对于理解薄膜干涉等现象非常有用。
5. 折射率的重要性：定义：折射率是介质中光传播速度与真空中光传播速度的比值。
不同介质具有不同的折射率。
频率依赖性：在某些情况下，折射率可能会依赖于光的频率，导致光的色散现象。
6. 应用和意义：光学设计：菲涅尔公式在光学系统的设计中被广泛应用，例如在反射镜、透镜和薄膜涂层等方面。
天文学：菲涅尔公式帮助解释光在大气层中的传播和反射，对于天文学中的观测和研究也具有重要作用。
结论：菲涅尔公式为理解光在介质之间相互作用提供了数学框架。
它在光学研究、光学设计和应用等领域中都有广泛的应用，为探索和利用光的性质提供了有力的工具。
Fresnel(菲涅尔)公式
0.6
n =1 1
n =1.5 2
0.4
r
r
s
p
t
t
s
p
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0 0
30
60
90
i
1
光密→光疏
2.8
2.6
2.4
2.2
n =1.33 1
n =1
2.0
2
r
r
s
p
1.8
t
t
s
p
1.6
1.4
1.2
i
c
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
i
B
0.0
-0.2 0
10
20
=
n2 2
ε0 μ0
A2 2 cos i2
R = W1′ = W1
A1′ 2 A1 2
=
r2
T = W2 = n2 cos i2 A2 2 = n2 cos i2 t 2 W1 n1 cos i1 A1 2 n1 cos i1
R+T =1
σ cosi 1
σ cosi 1
i
n
1
1
n
σ
2
i
2
σ cosi 2
i1
−1
−
ωt
⎞⎤ ⎟⎟⎠⎥⎦⎥
=
exp
⎛ ⎜⎜⎝
∓k2
z
n12 n22
sin2
i1
⎞ − 1 ⎟⎟⎠
⋅ exp
⎡⎣i
( k2 x
sin
i2
−
菲涅耳公式
菲涅耳公式
费涅耳公式，也称费涅耳定律，它是由德国物理学家威廉·费涅耳在1850年提出的一种物理公式，主要用于研究不同温度下液体的密度和比重。
它可以用来计算一定温度下液体的密度和比重，也可以用来研究液体的物理性质。
费涅耳公式的表达式为：ρ=ρ0（1-α（t-t0）），其中ρ表示温度t时的液体密度，ρ0表示温度t0时的液体密度，α表示温度变化时的热膨胀系数。
这个公式表明，任何液体的温度变化都会导致其密度和比重发生变化。
费涅耳公式也可以用来研究液体的物理性质，因为液体温度的变化会对液体的物理性质产生影响。
例如，当液体温度升高时，液体的粘度和抗拉强度会降低；当液体温度升高时，液体的比表面张力会增加。
费涅耳公式的发现对于物理学的发展有着重要的意义，它给出了不同温度下液体的密度和比重之间的关系，使得研究液体的物理性质变得更加精确和客观。
它也为控制液体的性质提供了有效的方法，使得很多工业生产变得更加高效和可控。
总之，费涅耳公式是一个重要的物理学公式，它为液体的研究和控制提供了重要的理论基础。
菲涅尔衍射公式
菲涅尔衍射公式
菲涅尔衍射公式是描述衍射现象的重要公式之一，它由法国物理学家菲涅尔在19世纪提出。
该公式可以用来计算衍射光的强度和相位。
在衍射过程中，光波遇到障碍物或孔径时，会发生弯曲和扩散，形成衍射图样。
菲涅尔衍射公式可以用来计算这些图样的形状和强度分布。
该公式最初是针对光的波动性推导而来的，但在后来的研究中被证明也适用于其他波动现象，如声波和水波等。
菲涅尔衍射公式包含了复杂的积分和波函数，因此在实际应用中常常需要借助计算机进行求解。
不过，这个公式的重要性和广泛应用性使得它成为物理学和工程学等领域中的必备知识之一。
- 1 -。
菲涅耳公式汇总.
根据电磁场边界条件，得
cos i1 E2 cos i2 E1 cos i1 E1
H2 H1 H1
n2 E2 n1E1 n1E1
E1(n2 cos i1 n1 cos i2 ) E1 (n2 cos i1 n1 cos i2 ) 0
P光的振幅反射系数（reflectionion cofficient）
O
Y
i2
H2
1s 2 s 1s 2 s
s 光反射与折射时的电磁矢量
S光的等效折射率 s n cos i S光的振幅透射系数（transmission cofficient）
E2 2n1 cos i1 ts E1 n1 cos i1 n2 cos i2
菲涅耳公式
第五章 菲涅耳公式 与薄膜光学
一、菲涅耳公式（Fresnel formula） 电磁场边界条件：
（1）电场强度E 在界面上的平行分量连续。
（2）若界面上没有表面电流，即电流密度 j0 =0 ，磁场强度H 在界面上的平行 分量连续。 （3）磁感应强度B 在界面上的垂直分量连续。 （4）若界面上没有表面电荷，即电荷密度 ρ0 =0 ，电位移矢量D 在界面上的垂 直分量连续。
q
解： tg i 1= 1.33 1 tg i 2= 1.50 1.33
i1
i 1= 53.60 i 2= 48.440
n 1=1
r
n =1.33
2
i2
q
r = 900 i 1 = 36.940
因为三角形内角之和为 1800 ∴ q + ( 900+ r )+ ( 900 i 2 ) =1800
n 3 =1.50
推导菲涅尔公式
推导菲涅尔公式
菲涅尔公式是用来描述光在介质边界发生反射和折射的现象的公式。
它由奥古斯严·菲涅尔（Augustin-Jean Fresnel）在19世纪初提出，并经过后来的实验验证。
推导菲涅尔公式的过程如下：
1. 首先，考虑光从真空（折射率为n1=1）射入一个不同折射率的介质（折射率为n2）的情况。
设光线入射角为θ1，折射角为θ2。
2. 根据光的波动理论，我们知道光是电磁波，具有垂直于传播方向的电场分量和磁场分量。
这里我们只关注电场分量。
3. 假设入射光的电场分量为E1，反射光的电场分量为E_r，折射光的电场分量为E_t。
4. 根据光的边界条件，可以得到以下两个关系式：
- (1) 入射光的电场分量在入射面上的分量：E1 = Er*cos(θ1) + Et*cos(θ2)
- (2) 入射光的电场分量在入射面上的法向分量：E1*sin(θ1) = Er*sin(θ1) - Et*sin(θ2)
5. 利用折射率的定义，即光在不同介质中的传播速度之比等于折射率之比，可以得到以下关系式：
- (3) n1*sin(θ1) = n2*sin(θ2)
6. 利用这些关系式，我们可以解出反射光的电场分量Er和折射光的电场分量Et与入射光的电场分量E1之间的关系。
7. 最终，通过计算得到的反射光和折射光的电场分量与入射光
的电场分量之比，可以得到反射系数R和透射系数T。
8. 菲涅尔公式就是关于反射系数R和透射系数T的表达式。
需要注意的是，具体的推导过程包含一些复杂的数学计算和光学理论，超出了简单的文字描述范围。
菲涅耳公式折反射定律
Chapter 1 理论基础1.1 介质中的Maxwell ’s equations 及物质方程微分形式=t =J+t ==0B E D H D B ρ⎧∂∇⨯-⎪∂⎪⎪∂∇⨯⎨∂⎪⎪∇⎪∇⎩ （1-1）传导电流密度J 的单位为安培/米2(A/m 2)，自由电荷密度ρ的单位为库仑/米2(C/m 2)。
同时有电磁场对材料介质作用的关系式，即物质方程（或称本构方程）00==()J=D E E PB H H M E εεμμσ⎧=+⎪⎪=+⎨⎪⎪⎩ （1-2）麦克斯韦方程组及物质方程描写了整个电磁场空间及全时间过程中电磁场的分布及变化情况。
因此，所有关于电磁波的产生及传播问题，均可归结到在给定的初始条件和边界条件下求解麦克斯韦方程组的问题，这也正是用以解决光波在各种介质、各种边界条件下传播问题的关键及核心。
1.2 积分形式及边界条件由于两介质分界面上在某些情况下场矢量E 、D 、B 、H 发生跃变，因此这些量的导数往往不连续。
这时不能在界面上直接应用微分形式的Maxwell ’s equations ，而必须由其积分形式出发导出界面上的边界条件。
积分形式0L S L S S Sd E dl B d S dt d H dl I D d S dt D d S Q B d S ⎧=-⎪⎪⎪=+⎪⎨⎪=⎪⎪=⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （1-3）得边界条件为21212121()0()()()0n E E n H H n D D n B B ασ⎧⨯-=⎪⨯-=⎪⎨⋅-=⎪⎪⋅-=⎩ （1-4）式（1-4）的具体解释依次如下（具体过程详见《光学电磁理论》P20）： （1）电场强度矢量E 的切向分量连续，n 为界面的法向分量。
（2）α为界面上的面传导电流的线密度。
当界面上无传导电流时，α=0，此时H 的切向分量连续。
比如在绝缘介质表面无自由电荷和传导电流。
（3）σ为界面上的自由电荷面密度。
（4）磁感应强度矢量B 的法向分量在界面上连续。
光的折射与菲涅尔公式
光的折射与菲涅尔公式光的折射是一种常见的光学现象，它发生在光从一种介质透射到另一种介质时。
在我们日常生活中，我们可以观察到光线在水面上的折射，这是一个很好的例子来解释光的折射现象。
当光从空气中射入水中时，光线传播的速度会发生改变。
这是因为光在不同介质中传播的速度不同，而且每个介质都有一个特定的折射率。
折射率越大，光传播的速度就越慢。
菲涅尔公式是描述光的折射现象的一组方程。
它是由法国物理学家奥古斯丁-让-菲涅尔在19世纪初提出的。
菲涅尔公式可以用来计算光线从一个介质折射到另一个介质时的折射角度。
菲涅尔公式的表达式如下：\[ \frac{r_{\text{σ}}}{r_{\text{p}}} = \frac{ \text{sin}(i) - \text{sin}(t) \cdot\text{cos}(i) \cdot \text{tan}(t)}{ \text{sin}(i) + \text{sin}(t) \cdot \text{cos}(i) \cdot\text{tan}(t)} \]其中，\( r_{\text{σ}} \)和\( r_{\text{p}} \)分别代表s偏振光和p偏振光的反射系数，\( i \)代表入射角，\( t \)代表折射角。
我们可以通过菲涅尔公式来解释一些有趣的现象。
例如，当光从空气射入水中时，入射角增大，折射角也会增大。
当入射角等于一个特定角度时，折射角达到最大值，这个特定角度被称为临界角。
在临界角时，折射光线与水面垂直，光线不会透射到水中，而是发生全反射。
这就是为什么当我们观察水面时，看不到水底的事物。
此外，菲涅尔公式也可以解释光在不同介质之间的反射规律。
根据菲涅尔公式，当光从一个介质射入另一个介质时，一部分光会被反射回原始介质，另一部分光会被折射到新的介质中。
反射系数和折射系数与入射角和折射角有关。
入射角越大，反射系数越接近于1，折射系数越接近于0。
这意味着在入射角很大的情况下，光几乎完全被反射回原始介质。
菲涅尔积分公式
菲涅尔积分公式
菲涅尔积分公式是光学和工程学中非常重要的公式之一，它用于描述光在两种不同介质之间反射和折射的过程。
这个公式是由物理学家和数学家奥古斯特·菲涅尔在19世纪初提出的，它基于光的波动理论，描述了光波在两种不同介质之间的传播行为。
菲涅尔积分公式包含两个部分：反射系数和折射系数。
反射系数用于描述光在两种不同介质之间的反射行为，而折射系数用于描述光在两种不同介质之间的折射行为。
这两个系数都与入射角、反射角和折射角有关，同时也与两种介质的折射率有关。
反射系数和折射系数的具体形式如下：
1. 反射系数R = (n2 * sinθi - n1 * sinθt) / (n2 * sinθi + n1 * sinθt)，其中n1 和n2 分别是两种介质的折射率，θi 和θt 分别是入射角和反射角。
2. 折射系数T = 2 * n1 * sinθi / (n2 * sinθt + n1 * sinθi)，其中n1 和n2 分别是两种介质的折射率，θi 和θt 分别是入射角和折射角。
在光学和工程学中，菲涅尔积分公式被广泛应用于计算光在各种不同介质之间的反射和折射行为。
这个公式对于光学设计、成像系统分析、光学仪器制造等领域非常重要。
除了菲涅尔积分公式外，还有许多其他公式和定理用于描述光的行为，例如斯涅尔定律、反射定理、折射定理等。
这些公式和定理都是基于光的波动理论或量子理论，是光学和工程学领域的重要工具。
综上所述，菲涅尔积分公式是一个重要的公式，用于描述光在两种不同介质之间反射和折射的行为。
它基于光的波动理论，包含反射系数和折射系数两个部分，对于光学设计和工程学领域非常重要。
一、 菲涅耳公式(Fresnel formula)
2．朗伯定律 能量观点
dI Idx dI a Idx I dI d I I 0 a dx a 为吸收系数 I I 0 e a d ，
0
d
a AC ，式中A是一个与浓度无关 稀溶液：
的常量，C为溶液的浓度。
§ 3 光的色散（Dispersion of Light） 1．色散的特点
2．正交棱镜法
研究色散，目的是寻找 n f ( )的函数形式。 正交棱镜装置
三棱镜P1→AH（光谱） P1 P2→A’H’（光谱） n f ( ) ——弯曲光谱的形状。
3．正常色散与反常色散（Normal dispersion and abnormal dispersion）
正常色散曲线的信息
1
4
紫光的散射强度大约是红光的10倍。
4． 偏振性
O z
y p B’
y D A’ B
AP z
x
D’ 实验 自然光入射到散射物质中，观察到：
正侧方（z）线偏振 斜方向（C）部分偏振 对着x方向（x）自然光
解释 用电偶极子次级辐射可解释 实验现象
分解成 +
被微粒散射时，各方向上的振幅可看成以上 两个分振动的合成。 退偏振 线偏振光照射某些气体或液体，从侧向 观察时，散射光变成部分偏振的，称为退偏 振。其机理是介质分子本身是各向异性的。
§ 2 光的吸收（Absorption of Light）
1．一般吸收和选择吸收（normal absorption & selective absorption） 一般吸收 吸收很少，且在某一给定波段内几乎不变。 选择吸收 吸收很多，且随波长而剧烈地变化。 例如石英对可见光吸收甚微，但是对3.5~5.0 m 的红外光却强烈吸收。
菲涅尔公式工程光学
实验名称 菲涅尔公式的认识一、实验目的:加深理解菲涅尔公式，对给出的反射波或折射波与入射波振幅的相对变化进行分析，以及对相位变化进行分析。
二、实验原理:任一方位振动的光矢量E 都可以分解成互相垂直的两个分量称平行于入射面振动的分量为光矢量的p 分量，记为EP 。
称垂直于入射面振动的分量为光矢量的s 分量，记为ES 。
1.菲涅耳公式:表示反射波、折射波与入射波的振幅和位相关系。
（1）S 波（垂直于入射面分量）的菲涅耳公式s r ——S 波的振幅反射系数 s t ——S 波的振幅透射系数（2）P 波（平行于入射面分量）的菲涅耳公式p r ——P 波的振幅反射系数 p t ——P 波的振幅透射系数2.光从光疏介质入射到光密介质（如空气射向玻璃）当 时，即垂直入射时， 都不为零，表示存在反射波和折射波。
当 时，即掠入射时， 即没有折射光波。
s t 、p t 随1θ的增大而减小；s r 随1θ的增大而增大，直到等于1；221122112121s 1s 1s n n n n A A r θθθθθθθθcos cos cos cos )sin()sin('+-=+--==2211112121s 1s 2s n n n 22A A t θθθθθθθcos cos cos )sin(sin cos +=+==211221122121p 1p1p n n n n tg tg A A r θθθθθθθθcos cos cos cos )()('+-=+-==211211212112p1p 2p n n n 22A A t θθθθθθθθθcos cos cos )cos()sin(cos sin +=-+==p s p s t t r r 、、、01=θ901=θ0t t 1r r p s p s ====,p r 值在() 902B B 1=+=θθθθ时，有0r p =，即反射光波中没有p 波，只有s 波，产生全偏振现象。
菲涅耳公式与薄膜光学
n1 n1
/ /
cos i1 cos i1
0.0085 0.85%
Rs1
rs21
n0 n0
cos i0 cos i0
n1 n1
cos i1 cos i1
2
0.092
9.2%
玻璃-水界面上的反射率为
Rp2
rp22
n1 n1
/ cos i1 / cos i1
X
H2
s 光反射与折射时的电磁矢量
S光的等效折射率 s n cosi
S光的振幅透射系数（transmission cofficient）
ts
E2 E1
2n1 cos i1 n1 cos i1 n2 cos i2
菲涅耳公式
rp
tg(i2 tg(i2
i1) i1)
tp
sin(
optical waveguide）中的光波耦合问题， 必需研究光子隧穿效应；
光子显微镜利用光子隧穿效应来研究 表面物理现象。
例题： 一方形玻璃缸（n1=1.5)中盛有水 （n2=1.3)的水，问自然光以45°入射时，能 透入水中的光强为入射光强的百分之几？
解： 由折射定律得玻璃中的折射角
i1
arcsin
临界角（critical angle） ic arcsin n2 / n1
布氏角（Brewster angle） iB arctgn2 / n1 iB iC 当入射角从零逐渐增大时，P光
的反射率先在布氏角处降低到零，再到临 界角处上升到100%
例：若入射光是振动面平行入射面的
菲涅耳公式
菲涅耳公式
菲涅耳公式，又称为“菲涅耳现象”，是由瑞士天文学家哈维·菲涅耳（Johannes Kepler）所提出的一种数学定律。
菲涅耳公式描述了两个相邻星体之间的关系，即它们之间的距离是衡量它们之间的强度的重要因素。
菲涅耳公式可以用以下方程式表示：F = Gm1m2/r^2，其中F是两个物体之间的引力，m1和m2是两个物体的质量，G是万有引力常数，r是两个物体之间的距离。
该公式表明，两个物体之间的引力是由它们的质量以及它们之间的距离决定的。
菲涅耳公式是物理学和天文学领域中最重要的数学定律之一，它描述了两个物体之间的引力，这种引力是由它们的质量和它们之间的距离决定的。
菲涅耳公式对于解释宇宙中星体之间的运动有着重要的作用，它给天文学家和物理学家带来了深刻的启发，它也是天体力学理论上最有用的数学公式之一。
菲涅耳公式可以应用于多种情况，如行星的轨道等。
它也可用于研究太阳系的稳定性，它的应用非常广泛，甚至可以用来计算地球与月球之间的引力。
总之，菲涅耳公式是物理学和天文学领域中一个重要的数学定律，它描述了两个物体之间的引力，这种引力是由它们的质量和它们之
间的距离决定的，它也是天体力学理论上最有用的数学公式之一，广泛应用于多种情况，如行星轨道等。
二、菲涅耳公式表示反射波、折射波与入射波的振幅和位相关
[sin(2 1) ]2 sin(2 1)
sin2 (90
2B ) 14.8%
因能量守恒，故能流透射率
Tp 1 Rp 1 Ts 1 Rs 85.2%
1.5 全反射和隐失波
一、临界角
若光波从光密介质射向光疏介质，入射角大于临界角， 入射光线将全部反射回原介质。
2 ) 2 )
Ts
n2 n1
cos2 cos1
ts2
n2 n1
cos2 cos1
4 cos2 1 sin2 2 sin2 (1 2 )
Rp
rp2
tan2 (1 tan2 (1
2 ) 2 )
Tp
n2 n1
cos2 cos1
t
2 p
n2 n1
cos2 cos1
n2 cos1 n2 cos1
n1 cos2 n1 cos2
p波
振幅透射率
tp
E2 p E1 p
2n1 cos1 n2 cos1 n2 cos2
利用关系 n1 sin1 n2 sin2
rs
sin(1 sin(1
2 ) 2 )
ts
2 cos1 sin2 sin(1 2 )
rp
tan(1 tan(1
2 ) 2 )
菲 涅耳 公 式
tp
2 cos1 sin2 sin(1 2 ) cos(1 2 )
对于1 的0垂直入射的特殊情况，可得
rs
A1' s A1s
n 1 n 1
ts
菲涅耳公式和半波损失
光的干涉
1.6 菲涅耳公式
章目录
节目录
2 介质薄膜上下表面的反射
若 n0 < n
反射光束1、2之间 有半波损失；
反射光束2、3……之 间无半波损失；
透射光束1’、2’…… 之间无半波损失；
薄膜上下两个界面反射的物理
性质不同时，上下两表面反射光的 光场相位差，除了有光程差的贡献 外，还有的附加相位差。
Ap
A'p
在一般斜入射时，反射光及折射光中的p分量 与入射光中的p分量互成一定角度，既不同向也不 反向，所以谈不到A的反转问题。
只有在正入射或掠入射时才可能发生A 方向反转。
光的干涉
1.6 菲涅耳公式
章目录
节目录
（1）正入射
设入射光s, p分量为规定正向,依振幅比符号分析透 射及反射光中s, p分量实际方向。
'
2
光的干涉
1.6 菲涅耳公式
章目录
节目录
tp
Ap 2 Ap1
2n1 cos i1
n2 cos i1 n1 cos i2
反射和折射波的s分量只与入射波的s分量有关； 反射和折射波的p分量只与入射波的p分量有关。
光的干涉
1.6 菲涅耳公式
章目录
节目录
四 半波损失的解释 半波损失：A 矢量反向，或相位变化±π，或
光程跃变±λ/2.
1 单界面的反射和折射
正入射时振幅比的符号
疏至密n2> n1，反射光 将产生半波损失。
密至疏 n1> n2 ，反射光 无半波损失。
透射光无半波损失。
E规定的正向
光的干涉
光疏至光密
1.6 菲涅耳公式
光密至光疏
菲涅耳公式和半波损失课件
利用菲涅耳公式可以设计增透膜 ，减少光学元件表面的反射损失 ，提高光学系统的透过率。
偏振光学中的应用
偏振态分析
菲涅耳公式能够描述光的偏振态和偏 振光的传播规律，用于分析偏振光学 现象和实验结果。
偏振干涉
利用菲涅耳公式可以分析偏振干涉现 象，包括偏振干涉条纹的形成和分布 ，以及偏振干涉的应用。
公式中包含了反射波前和折射波前的变化 ，以及反射和折射光线的偏振状态。
菲涅耳公式解释了半波损失现象，即在某 些情况下，光在反射时会损失半个波长的 相位。
菲涅耳公式的数学表达形式
反射系数和折射系数
相位变化的计算
菲涅耳公式包含了反射系数和折射系 数的数学表达式，这些系数描述了光 在界面上的反射和折射行为。
菲涅耳公式的应用领域
菲涅耳公式广泛应用于光学、波动理论和物理学的其他 分支，如电磁学、声学等。
在光学领域，它被用于描述光波在各种介质之间的反射 和折射行为，以及光波的干涉、衍射等现象。
在波动理论中，菲涅耳公式为研究波动传播提供了重要 的数学工具，如波动方程的求解等。
02
菲涅耳公式的推导与理解
菲涅耳公式的推导过程
它由法国物理学家奥古斯丁·菲涅耳在19世纪初提出，是光学和波动 理论的重要基石之一。
菲涅耳公式的历史背景
菲涅耳公式的提出是光学发展史上的 里程碑之一，它为光的波动理论提供 了重要的数学工具。
在菲涅耳之前，光学研究主要基于牛 顿的光粒子理论，但随着实验技术的 发展和光学现象的深入研究，人们开 始认识到光具有波动性质。
06
总结与展望
菲涅耳公式与半波损失的重要性和意义
菲涅耳公式是光学干涉和衍射理论中的重要公式，它描述了光波在分界 面上的反射和折射行为，对于理解光的传播规律和干涉现象具有重要意 义。
菲涅尔公式教学
该公式由法国物理学 家奥古斯丁·菲涅尔 在19世纪初提出， 是光学领域的基础理 论之一。
背景
STEP 4
定义
公式重要性及应用领域
菲涅尔公式是理解光的传播、反射、折射等现 象的关键，对于光学设计、光电子器件、光通 信等领域具有重要意义。
重要性 广泛应用于光学薄膜设计、偏振光学、光纤通 信、激光技术、光学仪器制造等领域。
当光线从一个介质射向另一个介质时，在两 种介质的分界面上，光线会部分或全部返回 到原介质中的现象。
反射定律
反射光线、入射光线和法线在同一平面内； 反射光线与入射光线分别位于法线两侧；反 射角等于入射角。
镜面反射与漫反射
镜面反射是指反射光线平行，形成清晰像； 漫反射是指反射光线不平行，形成模糊像。
折射现象及定律
菲涅尔公式教学
目录
菲涅尔公式简介 反射与折射基本概念 菲涅尔公式推导过程 菲涅尔公式中参数解析 菲涅尔公式应用实例分析 实验验证与误差分析 课程总结与回顾
ONE
1
菲涅尔公式简介
定义与背景
STEP 1
STEP 2
STEP 3
菲涅尔公式（ Fresnel Equations）描述 了光在两种不同介质 之间的反射和折射行 为，特别是与光的偏 振状态有关的现象。
03
参数间的综合影响
菲涅尔公式中的参数（入射角、折射角和折射率）相互关联，共同 决定了光在不同介质间的行为。通过对这些参数的精确测量和计算 ，可以准确预测光在不同条件下的反射、折射和透射等现象，为光 学设计和应用提供重要依据。
ONE
5
菲涅尔公式应用实例分析
光学薄膜设计中的应 用
增反膜设计
与增透膜相反，通过调整薄膜参数，使得特 定波长的光在薄膜表面发生强烈反射，用于 制作反射镜、滤光片等光学元件。
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相应有
2
Rs
Rp
n2 n2
n1 n1
Ts
Tp
（n42 n2
n1 n1）2
(149) (150)
在掠入射( s 900 )时，Rs Rp 1 。
2. 3 反射率和透射率 (Reflectivity and transmissivity)
当光以某一持定角度1 = B入射时，Rs 和 Rp 相差最
tan2 (1 tan2 (1
2 ) 2 )
Ts
n2cos2 n1cos1
ts2
sin 21 sin 22 sin2 (1 2 )
(145) (146) (147)
Tp
n2cos2 n1cos1
tp2
sin 21 sin 22 sin2 (1 2 ) cos2 (1
）
2
(148)
2. 3 反射率和透射率 (Reflectivity and transmissivity) 由上述关系式，显然有
ki 1 2
n
i r kr
x
O
t kt
界面
2.1 反射定律和折射定律 (Reflection law and refraction
law)
r 是界面上任意点的矢径，在上图所示的坐标情况 下，有
r ix jy
根据电磁场的边界条件，可得
i r t
(120)
(ki kr ) r 0 (121)
1 0
E02i
cos 1
（140)
类似地，反射光和折射光的能量表示式为
Wr
1 2
1 0
E02r
cos 1
Wt
1 2
2 0
E02t
cos2
（141) （142)
2. 3 反射率和透射率 (Reflectivity and transmissivity)
由此可以得到反射率、透射率分别为
R Wr r2 Wi
且透明介质有
r 1
因此上面（2）式可变为
0 r1 0
Eip
0 r1 0
Erp
0 r 0
2
Etp
即
r1 Eip r1 Erp r2 Etp
n1Eip n1Erp n2 Etp (3)
Eipcos1 Erpcos1 Etpcos 2 (1)
联立(1)和(3) ,并代入 n1 sin1 n2 sin2
kisini krsinr (123)
kr
B
r
kisini ktsint (124)
n1 O
又因为 k n / c ，可将上
n2
二式改写为
nisini nrsinr (125)
ki 分界面
kt
i A
t
C
nisini ntsint (126)
这就是介质界面上的反射定律和折射定律。
2. 2 菲涅耳公式 (Fresnel formula )
第2章 光波在介质界面上的反射和折射 (The reflection and refraction of light
wave in the interface of medium )
由光的电磁理论可知，光在介质界面上的反射 和折射，实质上是光与介质相互作用的结果，因而 进行一般的理论分析非常复杂。在这里，采用简化 的处理方法，不考虑光与介质的微观作用，只根据 麦克斯韦方程组和电磁场的边界条件进行讨论。
R
100%
R
100%
50%
0% 0
Rs
Rn
B
Rp
1
90
n1< n2
50%
Rs
0% 0
Rp
B C
1
90
n1> n2
②反射率 R 随入射角 l 变化的趋势是：
但是，对于光由光密介质射向光疏介质（n1 > n2）和 光由光疏介质射向光密介质（ n1 < n2）两种不同情况 的反射规律有一个重大差别：当n1 > n2时，存在一个
得 p 分量 振幅反射比:
rp
Erp Eip
tg(1 2 ) tg(1 2 )
振幅透射比:
tp
Etp Eip
2sin2 cos1 sin(1 2 ) cos(1 2 )
3. 菲涅耳公式
(134)式和(135)式就是 s 分量的反射系数和透射系数 表示式。利用类似方法，可以推出 p 分量的反射系数 和透射系数表示式， 这就是著名的菲涅耳公式：
Rs Ts 1
Rp Tp 1
综上所述，光在界面上的反射、透射特性由三 个因素决定: 入射光的偏振态，入射角，界面两侧介 质的折射率。
下图给出了按光学玻璃(n＝1.52)和空气界面计
算得到的反射率 R 随入射角1变化的关系曲线。
2. 3 反射率和透射率 (Reflectivity and transmissivity)
R
100%
R
100%
50%
0% 0
Rs
Rn
B
Rp
1
90
n1< n2
50%
Rs
0% 0
Rp
B C
1
90
n1> n2
2. 3 反射率和透射率 (Reflectivity and transmissivity)
从上图可看出：
①一般情况下，Rs Rp ，即反射率与偏振状态有 关。在小角度（正入射）和大角度（掠入射）情况
rm
E0rm E0im
tm
E0tm E0 im
（129） （130）
3. 菲涅耳公式
假设界面上的入射光、反射光和折射光同相位， 根据电磁场的边界条件及 s 分量、P 分量的正方向规 定，可得
和
Eis Ers Ets （131）
Hipcos1 Hrpcos1 Htpcos 2 （132）
利用 H E ，上式变为
射系数随入射角 1的变化曲线。
1.0
tp
0.5
rp ts
0
B
-0.5
rs 56.3
-1.0
1
0 30 60 90
n1=1.0, n2=1.5
1.0
0.5 rs C
0
-0.5 rp B 41.8
33.7
-1.0
1
0 30 60 90
n1=1.5, n2=1.0
3. 菲涅耳公式
3.2
rs
2.8
rp
2.4
如图所示，若有一个平面
光波以入射角1斜入射介
质分界面，平面光波的强 度为 Ii，则每秒入射到界 面上单位面积的能量为
Wi Ii cos1
2. 3 反射率和透射率 (Reflectivity and transmissivity)
考虑到光强表示式
I
成
1 2
0
E02
（17） ，上式可写
1 Wi 2
1.s 分量和 p 分量
通常把垂直于入射面（通过入射光和界面法线 方向的平面）振动的分量叫做 s 分量，把平行于入 射面振动的分量叫做 p 分量。为讨论方便起见，规 定 s 分量和 p 分量的正方向如图所示。
Erp Erp
Ers ki n1
kr
1 2 Ers
n2OBiblioteka 2ErpErs kt
1.s 分量和 p 分量
大，且 Rp= 0，在反射光中不存在 p 分量。
R
100%
R
100%
50%
0% 0
Rs
Rn
B
Rp
1
90
n1< n2
50%
Rs
0% 0
Rp
B C
1
90
n1> n2
2. 3 反射率和透射率 (Reflectivity and transmissivity)
此时，根据菲涅耳公式有B +2 = 900，即该入射角
2.1 反射定律和折射定律 (Reflection law and refraction
law)
现假设二介质为均匀、透明、各向同性，分界 面为无穷大的平面，入射、反射和折射光均为平面 光波，其电场表示式为
E E e－i(lt－kl r)
l
0l
l i, r, t (119)
z
式中，脚标 i，r，t 分 别代表入射光、反射 光和折射光。
T Wt n2 cos2 t 2 Wi n1 cos1
将菲涅耳公式代入，即可得到入射光中 s 分量和 p 分量的反射率和透射率的表示式分别为
2. 3 反射率和透射率 (Reflectivity and transmissivity)
Rs
rs2
sin2 (1 sin2 (1
2 ) 2 )
Rp
rp2
ts
2.0
tp
1.6
1.2
0.8
0.4
0.0
0
10
20
30
40
50
2. 3 反射率和透射率 (Reflectivity and transmissivity)
菲涅耳公式给出了入射光、反射光和折射光之 间的场振幅和相位关系（有关相位关系在后面还将 深入讨论），现在，进一步讨论反映它们之间能量 关系的反射率和透射率。在讨论过程中，不计吸收、 散射等能量损耗，因此，入射光能量在反射光和折 射光中重新分配，而总能量保持不变。
rs
sin(1 sin(1
2 ) 2 )
=
n1 n1
cos1 cos1
n2 n2
cos2 cos2
ts
2 cos1 sin2 sin(1 2 )