21-23菲涅耳公式

临界角 c ，当l > c时光波发生全反射。由折射定律， 相应于临界角时的折射角2 = 900，因此有
R
100%
sin c
n2 n1
(152)
50%
Rs
0% 0
Rp
B C
1
90
n1> n2
2. 3 反射率和透射率 (Reflectivity and transmissivity)
光的电磁理论除了给出描述光在界面上传播方 向的反射定律和折射定律外，还给出入射光、反射 光和折射光之间的振幅、相位关系。
光在介质界面上的反射和折射特性与电矢量 E 的振动方向密切相关。由于平面光波的横波特性， 电矢量 E 可在垂直传播方向的平面内任意方向上振 动，而它总可以分解成垂直于入射面（光线与法线 形成入射面）振动的分量和平行于入射面振动的分 量，一旦这两个分量的反射、折射持性确定，则任 意方向上振动的光的反射、折射特性也即确定。菲 涅耳公式就是确定这两个振动分量反射、折射特性 的定量关系式。
Rs Ts 1
Rp Tp 1
综上所述，光在界面上的反射、透射特性由三 个因素决定: 入射光的偏振态，入射角，界面两侧介 质的折射率。
下图给出了按光学玻璃(n＝1.52)和空气界面计
算得到的反射率 R 随入射角1变化的关系曲线。
2. 3 反射率和透射率 (Reflectivity and transmissivity)
代入边值关系 nEi Er n Et ，该式总是成立，故
i r t
(ki kr ) r 0 (ki kt ) r 0
2.1 反射定律和折射定律 (Reflection law and refraction
law)
进一步，根据图所示的几何 关系，可得可由（121）式 和（122）式得到
T Wt n2 cos2 t 2 Wi n1 cos1
将菲涅耳公式代入，即可得到入射光中 s 分量和 p 分量的反射率和透射率的表示式分别为
2. 3 反射率和透射率 (Reflectivity and transmissivity)
Rs
rs2
sin2 (1 sin2 (1
Hale Waihona Puke Baidu
2 ) 2 )
Rp
rp2
tan2 (1 tan2 (1
2 ) 2 )
Ts
n2cos2 n1cos1
ts2
sin 21 sin 22 sin2 (1 2 )
(145) (146) (147)
Tp
n2cos2 n1cos1
tp2
sin 21 sin 22 sin2 (1 2 ) cos2 (1
）
2
(148)
2. 3 反射率和透射率 (Reflectivity and transmissivity) 由上述关系式，显然有
ts
2.0
tp
1.6
1.2
0.8
0.4
0.0
0
10
20
30
40
50
2. 3 反射率和透射率 (Reflectivity and transmissivity)
菲涅耳公式给出了入射光、反射光和折射光之 间的场振幅和相位关系（有关相位关系在后面还将 深入讨论），现在，进一步讨论反映它们之间能量 关系的反射率和透射率。在讨论过程中，不计吸收、 散射等能量损耗，因此，入射光能量在反射光和折 射光中重新分配，而总能量保持不变。
ki 1 2
n
i r kr
x
O
t kt
界面
2.1 反射定律和折射定律 (Reflection law and refraction
law)
r 是界面上任意点的矢径，在上图所示的坐标情况 下，有
r ix jy
根据电磁场的边界条件，可得
i r t
(120)
(ki kr ) r 0 (121)
rs
sin(1 sin(1
2 ) 2 )
=
n1 n1
cos1 cos1
n2 n2
cos2 cos2
ts
2 cos1 sin2 sin(1 2 )
=
n1
2n1
cos1
cos1 n2 cos2
rp
tg(1 2 ) = tg(1 2 )
n2 cos1 n1 cos2 n2 cos1 n1 cos2
第2章 光波在介质界面上的反射和折射 (The reflection and refraction of light
wave in the interface of medium )
由光的电磁理论可知，光在介质界面上的反射 和折射，实质上是光与介质相互作用的结果，因而 进行一般的理论分析非常复杂。在这里，采用简化 的处理方法，不考虑光与介质的微观作用，只根据 麦克斯韦方程组和电磁场的边界条件进行讨论。
1.s 分量和 p 分量
通常把垂直于入射面（通过入射光和界面法线 方向的平面）振动的分量叫做 s 分量，把平行于入 射面振动的分量叫做 p 分量。为讨论方便起见，规 定 s 分量和 p 分量的正方向如图所示。
Erp Erp
Ers ki n1
kr
1 2 Ers
n2
O
2
Erp
Ers kt
1.s 分量和 p 分量
且透明介质有
r 1
因此上面（2）式可变为
0 r1 0
Eip
0 r1 0
Erp
0 r 0
2
Etp
即
r1 Eip r1 Erp r2 Etp
n1Eip n1Erp n2 Etp (3)
Eipcos1 Erpcos1 Etpcos 2 (1)
联立(1)和(3) ,并代入 n1 sin1 n2 sin2
2.1 反射定律和折射定律 (Reflection law and refraction
law)
现假设二介质为均匀、透明、各向同性，分界 面为无穷大的平面，入射、反射和折射光均为平面 光波，其电场表示式为
E E e－i(lt－kl r)
l
0l
l i, r, t (119)
z
式中，脚标 i，r，t 分 别代表入射光、反射 光和折射光。
1 0
E02i
cos 1
（140)
类似地，反射光和折射光的能量表示式为
Wr
1 2
1 0
E02r
cos 1
Wt
1 2
2 0
E02t
cos2
（141) （142)
2. 3 反射率和透射率 (Reflectivity and transmissivity)
由此可以得到反射率、透射率分别为
R Wr r2 Wi
R
100%
R
100%
50%
0% 0
Rs
Rn
B
Rp
1
90
n1< n2
50%
Rs
0% 0
Rp
B C
1
90
n1> n2
2. 3 反射率和透射率 (Reflectivity and transmissivity)
从上图可看出：
①一般情况下，Rs Rp ，即反射率与偏振状态有 关。在小角度（正入射）和大角度（掠入射）情况
射系数随入射角 1的变化曲线。
1.0
tp
0.5
rp ts
0
B
-0.5
rs 56.3
-1.0
1
0 30 60 90
n1=1.0, n2=1.5
1.0
0.5 rs C
0
-0.5 rp B 41.8
33.7
-1.0
1
0 30 60 90
n1=1.5, n2=1.0
3. 菲涅耳公式
3.2
rs
2.8
rp
2.4
( 1 (1
2） 2）
（134）
由 （134）式和（133）式消去 Ers，经运算整理得
ts
=-
n1
2n1
cos1
cos 1 n2cos2
（135）
由边界条件, 各切向分量之间关系可表示为
Eipcos1 Erpcos1 Etpcos 2 (1)
His Hrs Hts （2）
根据
H E H 0r E (3) 0 r
R
100%
R
100%
50%
0% 0
Rs
Rn
B
Rp
1
90
n1< n2
50%
Rs
0% 0
Rp
B C
1
90
n1> n2
②反射率 R 随入射角 l 变化的趋势是：
但是，对于光由光密介质射向光疏介质（n1 > n2）和 光由光疏介质射向光密介质（ n1 < n2）两种不同情况 的反射规律有一个重大差别：当n1 > n2时，存在一个
如图所示，若有一个平面
光波以入射角1斜入射介
质分界面，平面光波的强 度为 Ii，则每秒入射到界 面上单位面积的能量为
Wi Ii cos1
2. 3 反射率和透射率 (Reflectivity and transmissivity)
考虑到光强表示式
I
成
1 2
0
E02
（17） ，上式可写
1 Wi 2
rm
E0rm E0im
tm
E0tm E0 im
（129） （130）
3. 菲涅耳公式
假设界面上的入射光、反射光和折射光同相位， 根据电磁场的边界条件及 s 分量、P 分量的正方向规 定，可得
和
Eis Ers Ets （131）
Hipcos1 Hrpcos1 Htpcos 2 （132）
利用 H E ，上式变为
下，Rs Rp 。在正入射时，
相应有
2
Rs
Rp
n2 n2
n1 n1
Ts
Tp
（n42 n2
n1 n1）2
(149) (150)
在掠入射( s 900 )时，Rs Rp 1 。
2. 3 反射率和透射率 (Reflectivity and transmissivity)
当光以某一持定角度1 = B入射时，Rs 和 Rp 相差最
(ki kt ) r 0 (122)
①入射光、反射光和折射光具有相同的频率；
②入射光、反射光和折射光均在入射面内，ki、kr
和 kt 波矢关系如图所示。
反射定律和折射定律（三种光传播方向的关系）
E E e－i(lt－kl r)
l
0l
l i, r, t (119)
Ei Ai exp i ki r i t Er Ar exp i kr r r t Et At exp i kt r t t
kisini krsinr (123)
kr
B
r
kisini ktsint (124)
n1 O
又因为 k n / c ，可将上
n2
二式改写为
nisini nrsinr (125)
ki 分界面
kt
i A
t
C
nisini ntsint (126)
这就是介质界面上的反射定律和折射定律。
2. 2 菲涅耳公式 (Fresnel formula )
E p1 H s1
z Ep2 Hs2
o
x H s1
y
Ep1
2. 反射系数和透射系数 假设介质中的电场矢量为
E E e－i(lt－kl r)
l
0l
l i, r, t （127）
其 s 分量和 p 分量表示式为
E E e－i(lt－kl r)
lm
0 lm
m s, p
（128）
则定义 s 分量、p 分量的反射系数、透射系数分别为
大，且 Rp= 0，在反射光中不存在 p 分量。
R
100%
R
100%
50%
0% 0
Rs
Rn
B
Rp
1
90
n1< n2
50%
Rs
0% 0
Rp
B C
1
90
n1> n2
2. 3 反射率和透射率 (Reflectivity and transmissivity)
此时，根据菲涅耳公式有B +2 = 900，即该入射角
（Eis Ers )n1cos1 Etsn2cos 2 （133）
再利用折射定律，并由（131）式和（133）式消去Ets， 经整理可得
3. 菲涅耳公式
Ers Eis
sin (2 sin (2
1） 1）
将 （128）式代入上式，利用（121）式关系，并根据 反射系数定义，得到
rs
=-
sin sin
得 p 分量 振幅反射比:
rp
Erp Eip
tg(1 2 ) tg(1 2 )
振幅透射比:
tp
Etp Eip
2sin2 cos1 sin(1 2 ) cos(1 2 )
3. 菲涅耳公式
(134)式和(135)式就是 s 分量的反射系数和透射系数 表示式。利用类似方法，可以推出 p 分量的反射系数 和透射系数表示式， 这就是著名的菲涅耳公式：
tp
2sin2 cos1
=
sin(1 2 ) cos(1 2 )
2n1 cos1 n2 cos1 n1 cos2
(136) (137) (138) (139)
3. 菲涅耳公式
于是，如果已知界面两侧的折射率 n1、n2 和入
射角1，就可由折射定律确定折射角2，进而可由上
面的菲涅耳公式求出反射系数和透射系数。下图绘 出了在、n1< n2 和 n1 > n2 两种情况下，反射系数、透
与相应的折射角互为余角。利用衍射定律，可得该 特定角度满足
tan B
n2 n1
(151)
该角 B 称为布儒斯特角。例如，当光由空气射向玻 璃时，n1=1，n2=1.52，布儒斯特角为B = 56040。
2. 3 反射率和透射率 (Reflectivity and transmissivity)
②反射率 R 随入射角 l 变化的趋势是： 1 < B 时，R 数值小，由 Rs= RP= 4.3％缓慢地变化; l > B时，R 随着 l 的增大急剧上升，到达 Rs=RP=1。