ф(x)错误释义的启示

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试析小学数学教师批改作业的符号

试析小学数学教师批改作业的符号数学作业的评改是教学的一面镜子，通过作业批改，老师能够及时了解学生掌握知识的情况，发现学生在学习过程中的不足，弥补学生在知识上的缺陷，促使学生形成正确的学习态度和良好的学习习惯。

另外老师还可以通过此窗口及时获得信息，调整相应的教学思路和手段，提高数学教学质量。

随着数学教学改革的日益深入，数学作业批改环节中暴露出的矛盾也日益突出，因此，对小学数学批改符号的研究是非常必要的。

1小学数学教师批改作业使用的符号情况小学数学教师在作业批改过程中使用符号情况如下：老师最常用的数学批改符号是“√”、“×”。

同时存在着少量下列符号：，解题有创意；审题不认真，列式错误的用“―”；数字或题目抄错的用“”；书写不符合要求的用“”；做题不够简便但是又正确的用“”；单位带错的用“”；叙述不清楚的用“？”；没带单位的用“（）”；需要重新做的用符号“”；鼓励用“”（此符号为红色）另外，通过与学生交流发现，在数学评语上面，主要有优、良、及格、不及格、重新做、好、认真点、马虎，学生最不满意的数学符号是“×”，此外，对诸如不及格、重新做之类的评语也不太满意。

2小学数学教师批改作业使用的符号情况的分析2.1“×”号使用现状分析学生对数学作业评改不满意的地方首先是“×”号，它并不能指出错因，数学作业错误的原因有多种，批改的时候只使用“×”号，并没有明确的指出错误所在，学生只知道哪个题错了，但是并不知道错在哪里，得到的只是一个百思不解的信息，对学生纠正错误起不到指导作用。

在这种情况下学生们都害怕“×”号，它会挫伤学生学习的积极性，学生做错题是件很平常的事，而一个红“×”号，好像是一只大眼睛在盯着孩子，孩子体验到的只是一种明显的犯错心理。

一个红“×”，不仅仅是对答案的否定，也是对孩子的否定。

孩子在人生刚刚起步时，就被否定，对待生活学习的积极性势必会受到打击。

英语作文错误批改符号及含义

英语作文错误批改符号及含义英语作文错误批改符号及含义符号含义abbr --- error in abbreviation 缩写错误C --- error in conjunction 连词错误cap --- should use capital letter 应该大写CE --- Chinese English 中式英语col --- error in collocation 搭配错误comp --- error in comparison 比较错误D --- error in diction 措辞错误div --- error in word division 断词错误frag --- sentence fragment 不完整句G --- error in grammar 语法错误ll --- faulty parallel structure 并列结构/平行错误log --- error in logic 逻辑错误mm --- misplaced modifier 限定词错no cap --- should not use capital letter 不应大写nsw --- no such word 没有此词num --- error in numbers 数词错误P --- error in punctuation 标点错误plu --- should use plural form 应用复数pron --- error in pronoun 代词错误red --- error in redundancy 累赘错误rep --- error in repetition 重复错误run-on --- run-on sentence 断句错误（该用连词或分号、句号等）sin --- shoul use singular form 应用单数sp --- error in spelling 拼写错误sv --- subject-verb agreement 主谓一致vt --- error in verbal tense 时态错误vf--- error in verbal form 动词形式vo --- error in voice 语态错误wc --- error in word choice 选词错误wo --- error in word order 词序错误awk ---awkward expression 语句不通顺prep---error in preposition介词错误ital---italicized 单词斜体╳ --- some error here 某处有错(用于某处不易用符号解释的错误）∧ --- should add a word 应加某词( ) --- optional 可以不要┓ --- another paragraph 另起一段/ --- should be deleted 应删某词～--- error in sentence order 语序调换--- meaning unclear 意义不明︱--- should be seperated 应当分开— --- should be connected 应当连接。

数学符号歧义

数学符号的歧义主要体现在以下几个方面：
1.符号多重含义：许多数学符号在不同的数学分支或上下文中可能有不同
的含义。

例如，“+”通常表示加法，但在集合论中，它可以表示集合的并集；“Σ”在代数中可以表示求和符号，在统计学中又可以表示总体或者样本的总和；“^”在某些场合下表示幂运算，但在集合论或逻辑中则表示集合的幂集。

2.符号省略与简写：数学公式中，为了简洁明了，常会省略一些表达，这
也可能导致歧义。

例如，f(x) 可能代表函数 f 在x 处的值，也可能表
示以x 为自变量的函数f。

不明确写出定义域和值域时，可能会造成理解上的困扰。

3.符号顺序与优先级：数学运算符的优先级如果不通过括号明确区分，也
可能导致歧义。

如"a * b + c"，若不清楚乘法和加法的优先级，可能会有不同解读。

4.符号的文化差异：在不同的国家和地区，对同一概念可能采用不同的数
学符号表示，这也是一种潜在的歧义来源。

为了避免数学符号的歧义，通常需要遵循一定的数学语言规范和约定俗成的使用规则，并在必要时提供详细的上下文说明或定义。

公式常见错误解决

公式常见错误解决公式是数学、物理、化学等科学领域中常用的表示方法。

然而，在编写和使用公式的过程中，经常会出现一些常见的错误。

本文将针对公式常见错误进行分析和解决方法的介绍。

1. 符号错误公式中使用的符号是非常重要的，因为符号的不正确使用会导致公式的意义发生偏差或混淆。

一些常见的符号错误包括：(1) 符号重复：在一个公式中重复使用了相同的符号，容易造成误解。

解决方法是检查公式中的每个符号，确保只使用一次。

(2) 符号替代错误：将一个符号替换成另一个符号，可能改变了公式的意义。

为了避免这种错误，应该仔细核对公式中所使用的符号是否正确。

(3) 符号大小错误：公式中的符号大小有时候很重要，比如矢量和标量的区别。

在使用公式时，要特别注意符号的大小。

2. 括号错误公式中的括号使用错误也是常见的错误情况。

以下是一些括号错误的示例及其解决方法：(1) 缺少括号：公式中缺少必要的括号，可能导致计算错误。

为了避免这种错误，必须确保公式中的所有部分都被正确地括起来。

(2) 括号嵌套错误：括号在公式中的嵌套关系容易出错。

要避免这种错误，最好在使用括号时，先确认括号的嵌套层次。

(3) 括号不匹配：在一个公式中，括号必须成对出现且匹配。

因此，要检查公式中的括号是否匹配，确保没有不匹配的情况。

3. 单位错误在科学公式中，单位的正确使用和转换是至关重要的。

以下是一些单位错误的示例及其解决方法：(1) 缺少单位：公式中缺少单位，可能导致计算结果的错误解读。

为了避免这种错误，一定要在公式中加入正确的单位。

(2) 多个单位：一个公式中只能使用一个统一的单位，如果出现多个单位，必须进行转换。

在使用公式时，要注意单位的一致性。

(3) 单位制错误：在使用公式时，要确保所使用的单位制与公式本身所采用的单位制一致，否则可能得到错误的结果。

4. 运算错误运算错误在使用公式时也是常见的问题。

以下是一些运算错误的示例及其解决方法：(1) 算术运算错误：在进行算术运算时，要小心计算符号的使用和运算顺序的确定。

例谈因概念把握不当造成的三种错误

例谈因概念把握不当造成的三种错误“概念”一词指反映事物本质属性和特征的思维形式．所谓“本质属性”，就是指它构成某种事物的基本特征，这种属性只为这类事物所具有，它是一种事物区别于另一种事物的基本依据．心理学家曾说过：“概念是客观事物的各种信息通过人的感官形成感觉、知觉，再经过大脑加工(比较、分析、综合、抽象和概括)形成的反映客观事物的共同本质属性的一种思维形式，是思维的单元，是知识的细胞．”而“数学概念”指反映了思考对象空间形式和数量关系本质属性的思维形式，是数学中的最基本思维单元．《中学数学教学大纲》明确指出：“正确理解和掌握数学概念是学好基础知识、掌握基本技能和培养基本方法的前提”．陆书环先生也说过“深刻理解并牢固系统地掌握数学概念是学习数学公式、性质法则、定理、方法及提高能力的基础．”可见，正确理解和掌握数学概念在数学学习过程中是十分重要的．?数学作为一门基础学科，具有严密的逻辑性、运用的广泛性和高度的抽象性，也正是由于这三大特性使得有些数学概念十分抽象，比如：集合的概念、函数的定义、反函数的定义、极限的定义和导数的定义等等．因此，学生在数学概念的理解上有一定难度，从而使得学生对概念的把握出现了一些失误．本文中笔者将结合教学实践，从三个方面例谈学生们在概念把握上的不当之处，以飨读者！?1对概念本质把握不当造成的错误?任何一个概念都必须要有确定的含义，并能反映确定的对象，即任何一个概念都有各自的本质特征．在数学概念的学习中，有许多学生能初步地了解概念的定义（概念的表层含义），但不能完全掌握概念的本质，因而在对概念的理解上产生了一些错误．下面以周期函数的概念为例进行探究：?在现行高中数学教材（人教版）中，周期函数是这样定义的：“对于函数f(x)，如果存在一个不为0的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x+T)=f(x)都成立，那么就把f(x)叫周期函数，常数T就是这个函数的周期”．在对这个概念实质的把握上，有些同学出现了失误．请看下面一例：?许多同学认为两个数相除的结果就是两个数的商；求两个数商的运算就叫除法运算．表面上看解答得天衣无缝，毫无破绽，其实解答是错误的，原因在于用两个数相除的结果定义商，同时又用求两个数商的运算来定义除法运算，这在数学上犯了循环定义概念的错误．?正确的解答是：如果两个数a与b的积等于c，那么a叫c除以b的商(或b叫c除以a的商)．?同时，这种求商的运算叫除法运算．?例4什么是互质数？?有的认人为互质数就是互为质数的数．这种定义显然是错误的，这种错误叫做词语反复，即自己定义自己．按照这样定义我们还是不清楚什么是互质数．正确的定义是这样的：对于两个正整数a与b，如果他们的公因数为1，则称a 与b是互质数．类似错误在定义两个数的差和减法运算、积和乘法运算等等中也是常见的，这里就不再赘述．?总之，在数学学习中由于概念把握不当产生错误的例子很多，这里就不一一列举了．希望通过本文的探讨对学生把握概念有一定帮助．?参考文献?1李小融．心理学［M］．成都：四川大学出版社，2002?2张良强．数学概念课的教学原则［J］．数学教学研究，2002(7)?3刘成龙，余小芬．方程只有一个实数根和方程有两个相等的实数根［Ｊ］．中学生数学，2007(4)?4陆书环等．数学教学论［M］．科学出版社，2004本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文本文为全文原貌未安装PDF浏览器用户请先下载安装原版全文。

ф 是什么意思

ф是什么意思1、大写字母含义（1）物理学①磁通量Φ=BS，单位是韦伯Wb。

②波动的相。

③电流、电压的相位。

④电势的符号。

⑤焦度。

Φ=1/f（f为焦距，单位为m，则Φ单位为m-1），眼睛度数D=100Φ（近视镜片焦度为负，远视镜片焦度为正）（2）数学①黄金分割的符号，黄金数用希腊字母Φ表示，根据斐波那契数列两两数的比值，得到一个极值，Φ=1/Φ-1，最终结果计算为黄金数的确切值为，即黄金分割数。

斐波纳契数列两两数之比最终结果。

②复数的轭数。

③立体坐标中，一直线与z-轴之间的夹角。

④欧拉函数。

3、认知科学在信息整合理论中，Φ被用来表示意识的程度。

一个系统的Φ越高，则它的意识程度就越高，而不管它是一个小孩的神经系统、或是一只猫的、甚至是一只瓢虫的。

2、小写字母的含义1、物理学电势，小写形式为φ。

2、数学①在函数y=asin(ωx+φ)中，φ引起图像的左右平移，它改变图像的位置，不改变图像的形状，φ叫做初相。

②立体坐标中，一直线与z-轴之间的夹角。

③体积分数，符号为φ，当指物质B的体积分数时，采用符号φB或φ（B），定义为：φB= VB/V0。

④黄金分切率。

⑤复数的轭数。

⑥欧拉函数。

3、工程学表示圆柱材料器材的直径。

如φ10即为10个单位直径。

依照新版2011平法确定，Φ右上标注F为最新钢筋标准所生产出的新等级钢筋，如HRBF500等为符号右上标注F4、化学表示体积分数，符号为φ，是指分散质的体积/分散剂的体积。

例如白酒标注的度数所谓的"°"其实就是指的白酒中酒精的体积分数。

5、传热学表示热流量，符号为φ，单位为W。

表示单位时间内通过某一给定面积的热量。

出乖露丑的同济大学

出乖露丑的同济大学--- 20110319致吴广先生的信中国神马集团高级工程师刘云亮E-mail: xh2008pmm@摘要：同济的向量代数[4]知道具有确定长度和确定方向的线段被称为有向线段。

《平面解析几何》指明：“有向线段的值”是一个数量！函数是描述两个变量之间的对应关系的！因而同济定义“有向线段NM的值是x的函数，把它表示为ф(x)”的作法是极其荒唐的！关键词：有向线段的值，挖掉a ξ b吗，给x加脚链，ф(x)等于，某一实数。

吴广先生:：你的来信，牵扯到不少数学基本概念问题。

现将刚写好的一篇稍作修改的文字发给你，诚请先生能够提出自己的宝贵意见。

1. 有向线段NM是不会移动的同济大学[4]证明拉格朗日中值定理时引用了辅助函数ф(x)=f(x)-L(x)并认为“有向线段NM的值是x的函数，把它表示为ф(x)”（图3-6）。

同济大学在X轴上标出x并断定“当x=a 及x=b时，点M与点N重合”的事实表明：同济大学认为平面直角坐标系中的点M与点N会随自变量x的取值而发生移动！吴先生的来信也表示了认可的态度。

函数图形是符合特定条件（对应规则）的动点的轨迹！函数图形上的点，只是迹点而已。

若函数图形上的点M与点N可以移动的话，“平面上的点和一对确定的有序实数之间存在有一一对应的关系”就难以成立了！2. 实数0等不是x的函数同济大学认为“有向线段NM的值是x的函数，把它表示为ф(x)”。

“当x=a及x=b时，点M与点N重合”。

“当x=a，点M与点N重合”时，依同济之意，有向线段的值N a M a=0就是x的函数了！吴先生能够证明有向线段的值N a M a=0是x的函数吗？3. 子虚乌有的可变有向线段NM过[a,b]上x为a 、x1、……、x i、b各点作X轴的垂线，就会得到由ф(x)确定的函数值N a M a、N1M1、……、N i M i、N b M b了。

其中既没有X轴上的x，也没有x对应的NM的值！很显然，同济X轴上的x及其对应的有向线段NM的值纯属子虚乌有！吴先生应当想到：（a，N a M a)、（x1，N1M1)、……、（x i，N i M i)都是确定ф(x)图形上点的有序“数对”（有向线段的值对）！就像四位数学用表中的有序数对一样，它们是不会随x的取值而发生变化的、恒定不变的有序实数对！它们确定的点都是不会随x的取值而发生移动的定点！即使把N i M i的脚链去掉，有向线段NM也是不会发生变动的! 因此，先生的“书中所指的NM……是随着x取值的变化，NM也不断的（地）在变化”就有点像“剑是从这个地方掉下去的”那个刻舟求剑的故事了。

语言句法错位操作中的ф特征

特点
语言句法错位具有多样性和复杂性，不同的语言可能有不同的错位规则和表现形式，同时错位现象也受到语言使用者的文化、地域、社会背景等多种因素的影响。
语言句法错位的重要性
揭示语言本质
语言句法错位是揭示语言本质和语法规则的重要途径，通过对错位现象的研究，可以深入了解语言的内部结构和语法规律。
促进语言习得
习得偏误
系统整理和分析习得过程中出现的偏误现象，揭示偏误产生的原因和规律，为改进教学策略和学习方法提供参考。
01
结论与展望
研究成果总结
语言句法错位操作中的ф特征在语言学研究中具有重要地位，通过对该特征的研究，可以深入探讨语言的结构和语法规则。
在对多种语言进行实验和分析后，发现ф特征在各种语言中普遍存在，且具有显著的规律性和稳定性，这为语言学研究提供了有力的证据和支撑。
VS
历史比较语言学
在历史比较语言学中，ф特征被广泛用于比较不同语言之间的相似性和差异性，以揭示语言间的亲缘关系和分化过程。
ф特征在语言比较中的重要性
跨语言比较
ф特征在跨语言比较中具有重要的价值，它可以帮助我们理解不同语言之间的共性和特性，从而更好地理解语言的多样性和复杂性。
语言接触研究
在研究不同语言之间的接触时，ф特征可以帮助我们揭示语言接触的痕迹和影响，如借词、语言融合等。
现更加精准和高效的语言分析和处理。
感谢您观看
THANKS
研究结果还表明，ф特征在句法结构、词语搭配、语音韵律等方面都发挥着重要的作用，对于深入理解语言的本质和演化具有重要意义。
未来研究方向展望
尽管我们已经取得了一些研究成果，但对于ф特征的具体作用机制和演化规律仍需进一步深入研究。

常用符号注意事项

常用符号注意事项
描述中不能使用的几种符号：
“*”“？”“%” “|”“，”“&”；
所有字符均使用半角字符；中、西文的单引号和双引号尽量不使用；
所有乘号都统一用“×”，不能用“*” 、“X”或“x”等；
除螺纹钢直径使用“Ψ”外，其他使用的直径统一用“Φ”，不能用“φ”、“∮”、“Ψ”、“ф”等；
罗马数字的“Ⅰ”“Ⅱ”“Ⅳ”，不能用“I”“II”“IV”等字母来拼凑。

公称压力、公称直径（通径）的描述方法分别是PN、DN，不用Pg、Dg,注意：PN对应的KG/cm2，而不是MPa；
密封面形式只填写密封面代号，例如：“FF”，不能用“全平面FF”
或“FF型”等；
材质描述要规范，应填报标准的材质牌号，尽量不要用中文表示，不能用铸钢、碳钢、不锈钢等描述；
使用国外标准描述物料材质时，统一使用美标标准的描述方法，例如：SUS304，TP304，304SS等，统一描述为304；
注意区分大小写字母，如用“Al”、“Cr”、“Gr”，不能写成“AL”、“CR”、“GR”等；
要用已颁布的新牌号，不能用旧牌号，如“A3” 等，类似“20#钢”
这样的材质，提报时要加“#”不写汉字“钢”；
提报两种以上的材质时用“+”连接。

数学里灯笼一样的符号

数学里灯笼一样的符号
数学里灯笼一样的符号应该是“Ф”发音为fai。

西里尔字母，其小写为ф。

Φ（X）是随机变量X的分布函数。

分布函数是随机变量最重要的概率特征，分布函数可以完整地描述随机变量的统计规律，并且决定随机变量的一切其他概率特征。

如下图：
扩展资料：
如果知道了X的分布函数，我们就能知道X落在任意区间上的概率。

从这个意义上讲，分布函数完全描述了随机变量的统计规律。

由于F（x）是一个单调有界的非减法函数，因此F（x0＋0）在x0点上的右极限必然存在。

离散随机变量的分布规律与其分布函数是互斥的。

它们都可以用来描述离散
随机变量的统计规律，但分布规律比分布函数更直观简单，处理起来也更方便。

因此，离散随机变量一般用分布规律（概率函数）来描述，而不是用分布函数来描述。

2018高中数学选修2-3课件：第二章2-4正态分布精品

归纳升华解答这类问题的关键是熟记正态变量的取值位于(μ －σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)上的概率值，同时又要根据已知的正态分布确定所给区间属于上述三个区间的哪一个．
[变式训练] 某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布 N(70，102)，如果规定低于 60 分为不及格，求：
防范措施：(1)由于 ξ～N(0，1)，所以对称轴为 x＝0. 所以与(－1，0)对称的区间应为(0，1)，与(1，＋∞) 对称的区间为(－∞，－1)． (2)针对 μ＝0 的正态分布，求某区间上的取值概率时，常用如下两个公式： ①p(X＜－x0)＝1－P(X≤x0)；②P(a＜X＜b)＝P(X＜ b)－P(X≤a)．
温馨提示参数 μ 是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；σ 是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．
2．正态曲线的特点及 3σ 原则
(1)正态曲线的特点． ①曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线 x＝μ 对称；
[变式训练] 若随机变量 ξ 服从正态分布 N(0，1)，已知 P(ξ＜－1.96)＝0.025，求 P(|ξ|＜1.96)．
解：由随机变量 ξ 服从正态分布 N(0，1)，得 P(ξ＜ 1.96)＝1－P(ξ≤－1.96)，所以 P(|ξ|＜1.96)＝P(－1.96＜ξ ＜1.96)＝P(ξ＜1.96)－P(ξ≤－1.96)＝1－2P(ξ≤－1.96)＝ 1－2P(ξ＜－1.96)＝1－2×0.025＝0.950.
于是考试成绩 X 位于区间(70，110)内的概率就是 0.954 4.
(2)由 μ＝90，σ＝10，得 μ－σ＝80，μ＋σ＝100. 由于变量 X 在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率是 0.682 6，所以考试成绩 X 位于区间(80，100)内的概率是 0.682 6，

Ф是什么意思

Ф的含义：
希腊字母一般代表圆柱体的或圆的直径。

在俄语是排第二十二的字母。

在白俄罗斯语是排第二十三的字母。

在乌克兰语、塞尔维亚语是排第二十五的字母。

在保加利亚语是排第二十一的字母。

在马其顿语是排第二十六的字母。

Ф的数学含义：
1、该字母在数学领域表示“方程无实数解（根）”。

例如，x^2=-1 该方程在实数范围内无解（无实数根）。

即实数x=Ф。

但是并不是在每一个方程内都可以使用该符号表示。

比如上面的那个方程在虚数范围内，即x=i（i表示虚数），题目一般会注明，这时就不能用Ф了。

该字母用作数学符号时可读作“菲塔”或者“圆加杠”。

2、该字母表示数学中“黄金分割比”，即，通常取近似值0.618。

2019-2020学年高中数学人教A版选修4同步作业与测评：2.4 渐开线和平摆线

导疑1　渐开线方程中，字母r 和参数φ的几何意义是什么？导思1　字母r 是指基圆的半径，参数φ是指绳子外端运动时，绳子t 的定点M 相对于圆心的张角．导疑2　摆线的参数方程中，字母r 和参数φ的几何意义是什么？导思2　字母r 是指定圆的半径，参数φ是指圆上定点相对于一定点运动所张开的角度大小．导果　1．渐开线的产生过程把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，那么铅笔画出的曲线就是圆的渐开线，□01 相应的定圆叫做基圆．□02 2．摆线的概念及产生过程圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨□03 迹，圆的摆线又叫旋轮线．□04 3．圆的渐开线和摆线的参数方程(1)圆的渐开线方程：Error!(φ为参数)．□05(2)摆线的参数方程：Error!(φ为参数)．□061．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程．( )(2)圆的渐开线的参数方程可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题．( )(3)在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程．( )(4)圆的渐开线和x轴一定有交点而且是唯一的交点．( )答案　(1)×　圆的渐开线的参数方程可以转化为普通方程．(2)√(3)√(4)×　圆的渐开线和坐标轴交点要看坐标系的选取．2．做一做(1)已知圆的渐开线的参数方程Error!(φ为参数)，则此渐开线对应基圆的面积是( )A．1 B．πC．2 D．2π答案　B解析　由参数方程知基圆的半径为1，所以其面积为π．(2)圆的渐开线方程为Error!(φ为参数)，当φ＝π时，渐开线上的对应点的坐标为( )A．(－2，2π)B．(－2，π)C．(4，2π)D．(－4，2π)答案　A解析　将φ＝π代入Error!可得Error!即Error!选A．(3)半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( )A．πB．2πC．12πD．14π答案　C解析　圆的摆线的参数方程为Error!(φ为参数)，由题意得0＝3(1－cosφ)，cosφ＝1．sinφ＝0，φ＝2kπ，k∈Z，则x＝3·2kπ＝6kπ，k∈Z．当k∈Z时，横坐标可能为12π，故选C．(4)我们知道关于直线y＝x对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线Error!(φ为参数)关于直线y＝x对称的曲线的参数方程为________．答案　Error!(φ为参数)解析　关于直线y＝x对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x与y的互换，所以要写出摆线方程关于y＝x对称的曲线方程，只需把其中的x，y互换．1探究圆的渐开线的参数方程例1　如图所示，有一标准的渐开线齿轮，齿轮的齿廓线的基圆直径是340 mm，以基圆圆心O为原点建立直角坐标系，求齿廓线AB所在的渐开线的参数方程．解　由圆的渐开线的参数方程可知，渐开线的参数方程与基圆的半径有关，若基圆的半径确定了，把半径r的值代入，即得圆的渐开线的参数方程．由已知，得2r＝340，即r＝170，代入圆的渐开线的参数方程，得Error!(φ为参数)．解决此类问题的关键是根据渐开线的形成过程，将问题归结到用向量知识和三角的有关知识建立等式关系上．用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤：(1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为M(x，y)；(2)取定运动中产生的某一角度为参数；(3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式；(4)用向量运算得到O 的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的参数方程．M → 【跟踪训练1】　已知圆的直径为2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上的两点A ，B 对应的参数分别是和，求A ，B 两点的距离．π3π2解　根据条件可知圆的半径是1，所以对应的渐开线参数方程是Error!(φ为参数)，分别把φ＝和φ＝代入，可得A ，B 两点的坐标分别为π3π2A ，B ．(3＋3π6，33－π6)(π2，1)那么，根据两点之间的距离公式可得A ，B 两点的距离为|AB |＝ (3＋3π6－π2)2＋(33－π6－1)2＝．16(13－63)π2－6π－363＋72即A ，B 两点之间的距离为．16(13－63)π2－6π－363＋72探究圆的摆线的参数方程2 例2　已知一个圆的摆线方程是Error!(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．解　根据摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以其面积是16π，该圆对应的渐开线参数方程是Error!(φ为参数)．(1)圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹．(2)根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可知其中的字母r 是指定圆的半径，参数φ是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度大小．【跟踪训练2】　圆的半径为r ，沿x 轴正向滚动，圆与x 轴相切于原点O ．圆上点M 起始处沿顺时针已偏转φ角．试求点M的轨迹方程．解　x M ＝r ·φ－r ·cos＝r (φ－sin φ)，(φ－π2)y M ＝r ＋r ·sin ＝r (1－cos φ)．(φ－π2)即点M 的轨迹方程为Error!1．圆的渐开线的参数方程中，字母r 表示基圆的半径，字母φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M 相对于圆心的张角．2．由圆的摆线的参数方程的形式可知，只要确定了摆线生成圆的半径，就能确定摆线的参数方程．1．已知圆的渐开线Error!(φ为参数)上有一个点的坐标为(3，0)，则渐开线对应的基圆的面积为( )A ．πB ．3πC ．6πD ．9π答案　D解析　把已知点(3，0)代入参数方程得Error!由②得φ＝tan φ，所以φ＝0，代入①得，3＝r ·(cos0＋0)，所以r ＝3，所以基圆的面积为9π．2．圆的渐开线Error!(φ为参数)上与φ＝对应点的直角坐标为( )π4A ． B ．(1＋π4，1－π4)(1－π4，1＋π4)C ．D ．(－1－π4，1－π4)(1＋π4，－1－π4)答案　A解析　将φ＝代入圆的渐开线方程，π4得Error!所以x ＝1＋，y ＝1－．π4π43．摆线Error!(t 为参数，0≤t <2π)与直线y ＝2的交点的直角坐标是( )A ．(π－2，2)，(3π＋2，2)B ．(π－3，2)，(3π＋3，2)C ．(π，2)，(－π，2)D ．(2π－2，2)，(2π＋2，2)答案　A解析　由2＝2(1－cos t )得cos t ＝0．∵t ∈[0，2π)，∴t 1＝，t 2＝．π23π2代入参数方程得到对应的交点的坐标为(π－2，2)，(3π＋2，2)．4．已知圆的渐开线的参数方程是Error!(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数φ＝时对应的曲线上的点的坐标为________．π4答案　2　(22＋2π8，22－2π8)解析　圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2．求当φ＝时对应的坐标只需把φ＝代入曲线的参数方程，得π4π4x ＝＋，y ＝－，222π8222π8由此可得对应的坐标为．(22＋2π8，22－2π8)一、选择题1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是 ( )A ．只有圆才有渐开线B ．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形C ．正方形也可以有渐开线D ．对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同答案　C解析　本题主要考查渐开线和摆线的基本概念．不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线，渐开线和摆线的定义虽然从字面上有相似之处，但是它们的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同．对于同一个圆不论在什么地方建立直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同．2．圆Error!(φ为参数)的渐开线方程是( )A ．Error!(φ为参数)B ．Error!(φ为参数)C ．Error!(φ为参数)D ．Error!(φ为参数)答案　C解析　由圆的参数方程知圆的半径为10，故其渐开线方程为Error!(φ为参数)，选C ．3．半径为1的圆的渐开线的参数方程为( )A ．Error!(θ为参数)B ．Error!(θ为参数)C ．Error!(θ为参数)D ．Error!(θ为参数)答案　C解析　由圆的渐开线的参数方程得Error!(θ为参数)．4．已知圆的渐开线的参数方程为Error!(φ为参数)，点M 是此渐开线上一点，则点M 与原点的距离的最小值是( )A ．B ．3C ．6D ．932答案　B解析　由圆的渐开线的定义，知渐开线开始时的点(3，0)与原点的距离最小，故最小距离为3．5．已知摆线的参数方程为Error!(φ为参数)，当参数φ＝π时，对应于摆线上的点的坐标是( )A ．(2π，4)B ．(4π，4)C ．(4π，8)D ．(4，4)答案　C解析　把φ＝π代入参数方程，得Error!故所求点的坐标为(4π，8)．6．已知圆的摆线的参数方程为Error!(φ为参数)，则它的一个拱的宽度和高度分别是( )A ．4π，2B ．2π，4C ．2π，2D ．4π，4答案　D解析　由圆的摆线的参数方程可知，基圆的半径为2，而摆线的拱宽为2πr ，拱高为2r ，故可知此摆线的一个拱的宽度和高度分别为4π和4．选D ．二、填空题7．渐开线Error!(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到的曲线的焦点坐标为________．答案　(6，0)和(－6，0)33解析　根据圆的渐开线方程可知基圆的半径r ＝6，其方程为x 2＋y 2＝36，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的方程为2＋y 2＝36，整理可得＋＝1，这是一个焦点在x 轴上的椭圆．c ＝(12x )x 2144y 236＝＝6，故焦点坐标为(6，0)和(－6，0)．a 2－b 2144－363338．已知圆的渐开线的参数方程是Error!(t 为参数)，则该渐开线的基圆的半径为________，参数t ＝对应的点的直角坐标是________．2π3答案　6　(－3＋2π，3＋2π)33解析　由参数方程，得基圆的半径r ＝6．把t ＝代入参数方程，得Error!即2π3参数t ＝对应的点的直角坐标是(－3＋2π，3＋2π)．2π3339．当φ分别为和π时，渐开线Error!(φ为参数)上对应的点为A ，B ，则π2A ，B 间的距离为________．答案 54π2－π＋2解析　将φ＝代入Error!得π2Error!∴A ．(π2，1)将φ＝π代入Error!得Error!∴B (－1，π)．故A ，B 间的距离为|AB |＝＝．(1－π)2＋(π2＋1)254π2－π＋2三、解答题10．半径为r的圆沿直轨道滚动，M在起始处和原点重合，当M转过π和53π时，求点M的坐标．72解　由摆线方程可知，φ＝时，x M＝r，y M＝r；5π310π＋33612φ＝时，x M＝r(7π＋2)，y M＝r．7π212∴点M的坐标分别是，r(7π＋2)，r．(10π＋336r，12r)1211．已知一个圆的平摆线方程是Error!(φ为参数)，求该圆的周长，并写出平摆线上最高点的坐标．解　由平摆线方程知，圆的半径为2，则圆的周长为4π．当φ＝π时，y有最大值4，平摆线具有周期性，周期为2π．∴平摆线上最高点的坐标为(π＋2kπ，4)(k∈Z)．12．已知圆C的参数方程是Error!(α为参数)，直线l的普通方程是x－y－6＝0．2(1)如果把圆心平移到原点O，请问平移后圆和直线有什么关系？(2)写出平移后圆的摆线方程；(3)求摆线和x轴的交点．解　(1)圆C平移后圆心为O(0，0)，它到直线x－y－6＝0的距离为d＝2＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的．622(2)由于圆的半径是6，所以可得摆线方程是Error!(φ为参数)．(3)令y＝0，得6－6cosφ＝0⇒cosφ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)．代入x＝6φ－6sinφ，得x＝12kπ(k∈Z)，即圆的摆线和x轴的交点为(12kπ，0)(k∈Z)．。

中职数学基础模块[精品全套]

人教版中职数学教材基础模块上册全册教案目录第三章函数03。

1.1 函数的概念03。

1。

2 函数的表示方法33。

1.3 函数的单调性63.1.4 函数的奇偶性103。

2。

1 一次、二次问题143。

2.2 一次函数模型173。

2.3 二次函数模型203.3 函数的应用24第四章指数函数与对数函数264.1。

1 有理指数(一)264。

1。

1 有理指数（二）304。

1.2 幂函数举例334。

1.3 指数函数364.2.1 对数404。

2。

2 积、商、幂的对数434。

2。

3 换底公式与自然对数464.2。

4 对数函数484。

3 指数、对数函数的应用51第五章三角函数535.1。

1 角的概念的推广535。

1。

2 弧度制575.2。

1 任意角三角函数的定义605。

2。

2 同角三角函数的基本关系式645。

2。

3 诱导公式675。

3.1 正弦函数的图象和性质715.3。

2 余弦函数的图象和性质755.3。

3 已知三角函数值求角77第三章函数3。

1.1函数的概念【教学目标】1。

理解函数的概念，会求简单函数的定义域．2。

理解函数符号y＝f （x）的意义，会求函数在x＝a处的函数值．3. 通过教学，渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点．【教学重点】函数的概念及两要素,会求函数在x＝a处的函数值，求简单函数的定义域．【教学难点】用集合的观点理解函数的概念．【教学方法】这节课主要采用问题解决法和分组教学法．运用现代化教学手段，通过两个实例，分析抽象出函数概念,使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素．然后通过求函数值与定义域的两类题目，深化对函数概念的理解．3。

1.2函数的表示方法【教学目标】1。

了解函数的解析法、列表法、图象法三种主要表示方法．2。

已知函数解析式会用描点法作简单函数的图象．3.培养学生数形结合、分类讨论的数学思想方法，通过小组合作培养学生的协作能力．【教学重点】函数的三种表示方法；作函数图象．【教学难点】作函数图象．【教学方法】这节课主要采用问题解决法和分组讨论教学法．本节课先借助一个实例，简要介绍函数的三种表示方法，进一步刻画函数概念；然后通过两个例题,使学生初步感知如何由解析式分析函数性质以指导画图，避免画图的盲目性．通过本节教学,使学生初步了解数形结合研究函数的方法,为下面学习函数的单调性和奇偶性做铺垫．【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图导入1．函数的定义是什么？2．你知道的函数表示方法有哪些呢？师：提出问题．生：回忆思考回答．为知识迁移做准备．新课1．函数的三种表示方法：（1）解析法（2）列表法(3) 图象法2．问题.由3。

符号数值范围波浪线歧义

符号数值范围波浪线歧义符号数值范围波浪线歧义一、引言在日常生活中，我们经常会遇到各种符号和数字，它们在交流中扮演着重要的角色。

然而，有时候这些符号和数字的使用会引发一些混淆和歧义。

本文将就符号、数值范围、波浪线以及由此可能产生的歧义展开探讨，希望能够帮助读者更好地理解这些概念。

二、符号的多重含义符号在语言和数学中具有不同的含义。

在日常用语中，符号常指代一种具体的意义或象征。

心形符号通常代表爱情，笑脸符号则代表开心等。

而在数学中，符号则扮演着表示数学关系、操作和性质的角色。

加号表示加法，减号表示减法，等等。

然而，由于符号的多重含义，有时候我们可能会产生歧义。

当我们在文本中使用“+”符号时，读者可能会产生误解，究竟是指代数学中的加法还是日常用语中的积极性或正面情感。

在使用符号时，我们需要考虑上下文，并避免产生歧义。

三、数值范围及其表达方式数值范围在数学和统计学中占据着重要的地位。

它通常用来表示一组数值的区间或范围。

[1, 10]表示从1到10的所有整数，(0, 1)表示大于0小于1的所有实数。

在实际应用中，数值范围常用于描述数据的变化趋势、阈值等。

然而，数值范围的表达方式也可能导致歧义。

当我们使用“[ ]”符号时，有的人可能会误解为这个范围包括了范围端点的数值，而使用“( )”符号则会被理解为不包括范围端点的数值。

在书写数值范围时，我们需要明确表达范围的含义，以避免歧义的产生。

四、波浪线的多重用途波浪线在中文和数学中都有着不同的含义。

在中文中，“~”符号通常用来表示约略、波动、连接等含义。

而在数学中，波浪线则表示近似、等价等概念。

在实际应用中，波浪线常出现在文本编辑、数据传输、数值计算等场景中。

然而，由于波浪线的多重用途，有时候会引发歧义。

当我们在书写约定的数值时，使用波浪线表示近似值时，读者可能会误解为波浪线代表了连接或波动的含义。

在使用波浪线时，我们需要根据具体的语境和含义进行合理的解释，以避免歧义的产生。

塑料管道直径Ф的含义和区别

塑料管道直径De、DN、D、d、Ф的含义和区别一、De、DN、D、d、Ф的含义DN是指管道的公称直径，注意：这既不是外径也不是内径，是外径与内径的平均值，称平均内径。

如：DN200~Φ219×6De是指管道外径，一般采用De标注的，均需要标注成外径X壁厚的形式。

De25=Φ25X3.0（外径X壁厚）D一般指内径。

Φ表示圆或管道直径（常指外径）管径的表达方式应符合下列规定：水煤气输送钢管（镀锌或非镀锌）、铸铁管等管材，管径宜以公称直径DN表示；无缝钢管、焊接钢管（直缝或螺旋缝）、铜管、不锈钢管等管材，管径宜以外径×壁厚表示；钢筋混凝土（或混凝土）管、陶土管、耐酸陶瓷管、缸瓦管等管材，管径宜以内径d表示；塑料管材，管径宜按产品标准的方法表示，一般采用De标注；一般来说，管子的直径可分为外径（De）、内径（D）、公称直径（DN）。

1、DN是指管道的公称直径，是外径与内径的平均值。

DN的值=De的值-0.5*管壁厚度。

注意：这既不是外径也不是内径。

水、煤气输送钢管（镀锌钢管或非镀锌钢管）、铸铁管、钢塑复合管和聚氯乙烯（PVC）管等管材，应标注公称直径“DN”（如DN15、DN50）2、De主要是指管道的外径，PPR、PE管、聚丙烯管外径，一般采用De标注的，均需要标注成外径*壁厚的形式。

例De*3。

3、D一般指管道内径。

4、d混凝土管内直径。

钢筋混凝土（或混凝土）管、陶土管、耐酸陶瓷管、缸瓦管等管材，管径宜以内径d表示（如d250、d350等）5、Ф表示普通圆的直径；也可表示管材的外径，但此时应在其后乘以壁厚。

如：Ф25*3，表示外径25mm，壁厚为3mm的管材。

对无缝钢管或有色金属管道，应标注“外径*壁厚”。

例如Ф108*6，Ф可省略。

中国、ISO和日本部分钢管标准采用壁厚尺寸表示钢管壁厚系列。

对这类钢管规格的表示方法为外径*壁厚。

例如Ф60.5*3.8。

6、DN为Nominal diameter 意思是公称直径。

R.柯朗需要对ф(x)实施再定义吗

R.柯朗需要对ф(x)实施再定义吗摘要：R.柯朗不知道对应规则和定义域都十分清晰的ф(x)=f(x)-L(x)的图形是一条满足罗尔定理的罗尔曲线！R.柯朗居然定义ф(x)是“表示曲线f(x)上的点(x, f(x))同曲线的割线之间在竖直方向的距离”！关键词:R.柯朗表示距离确定函数关系对应规则函数的连续性1. R.柯朗的难言之R.柯朗[1]证明拉格朗日微分中值定理时写道：我们将罗尔定理应用于函数ф(x)=f(x)-f(x1)-[f(x2)-f(x1)](x-x1)/(x2-x1)。

这个函数表示曲线上的点(x, f(x))同曲线的割线之间在竖直方向的距离（图2-4）。

令人遗憾的是，R.柯朗没有告诉读者：ф(x)中的已知曲线f(x) 表示的“距离”是哪一个？曲线f(x)的割线L(x)所表示的“距离”又是哪一个呢？众所周知，函数的定义域是实数集的某一个子集。

所以，R.柯朗的[x1,x2]内是没有变量x的！由曲线与方程的定义可知：R.柯朗的曲线f(x)上只会有点：(x1, f(x1))、(ξ，f(ξ))、(x i , f(x i))……等而不会有天方夜谭式的点“(x, f(x))”!过[x1,x2]上x3……、x i、……作X轴的垂线，就会得到无穷多个对应的、不完全相等的、由ф(x)=f(x)-L(x)确定的、通式为ф(x i)=f(x i)-L(x i)的函数值即R.柯朗的“竖直方向的距离”了。

在如此无穷多条X轴垂线与R.柯朗曲线f(x)的交点中，人们根本就找不到R.柯朗所谓的点(x, f(x))！很显然，R.柯朗在欺骗公众！以上事实表明：R.柯朗的曲线f(x)上点“(x, f(x))”纯系子虚乌有！设R.柯朗的曲线上有点：(x, f(x))。

则：点“(x, f(x))”与R.柯朗书本P195图2.29中的曲线f(x)上的P点重合时，R.柯朗就需要把X轴上的ξ挖掉并改写为x了！确定ξ的存在，是R.柯朗的最终目标！若需要将ξ挖掉并改写为x时，R.柯朗还能够说“在（x1,x2）内至少存在一个点ξ……”的话吗？若不去掉ξ，依R.柯朗之意，ф(x)就表示X轴的垂线x=ξ上的点P（ξ，f(ξ)）与曲线割线上的点（ξ，L(ξ)）之间的“距离”ф(ξ)=f(ξ)-L(ξ)了！ф(ξ)是一个确定的实数，是对应于x为ξ时由函数ф(x)确定的一个函数值。

高中物理专项练习(大括号问题)

高中物理专项练习(大括号问题)
本文将解答高中物理中的大括号问题。

问题描述
在物理问题中，我们经常会见到一些用大括号括起来的表达式，例如{F}、{a}等，这其中到底隐藏着什么意义呢？
问题解答
大括号中的内容都代表一种物理量，例如{F}代表力，{a}代表
加速度。

这种表示方法被称为矢量符号表示法。

矢量符号表示法可以用来描述物理量的大小和方向。

例如一个
物体在斜面上滑动，其运动方向和速度方向并不一致，因此需要分
别表示其沿斜面方向的重力分量和垂直斜面的重力分量。

这时候就
需要使用矢量符号表示法，分别用{F_h}和{F_v}表示。

除了代表物理量的含义外，大括号的作用同样在于强调这些量是矢量量而非标量量。

在使用矢量量进行运算时，需要采用矢量运算，例如向量相加、点积、叉积等。

总结
大括号问题在高中物理学习中十分常见，其主要作用是表示物理量的大小和方向，以及强调矢量量的特点。

理解和掌握大括号问题对于解决物理问题十分重要。

x形状的特殊符号

x形状的特殊符号
以下是一些以 "x" 形状为特点的特殊符号：
1. ✖️：这个符号代表乘法，也可以表示两个事物之间的关系为不相关或互斥。

2. ❌：这个符号通常表示错误或无效。

它在许多应用中用于表示某个选项不可用或不推荐使用。

3. ☓：这个符号在某些情况下可以代表交叉或不一致。

它常见于表格和图表中，用于标记错误或不适用的项目。

4. ✗：这个符号通常表示拒绝或错误。

在一些游戏或调查中，它可能用于表示给定答案是错误的。

5. ✘：这个符号在一些情况下与 "x" 的形状相似，用于表示拒绝或错误。

它常见于选择题中，表示某个选项是错误的。

请注意，"x" 形状的特殊符号可能在不同的文化和上下文中有不同的含义。