《概率论与数理统计》第六章 数理统计

2
1 n s ( xi x ) 2 n 1 i 1 1 n ( xi 2 nx 2 ) n 1 i 1
s 1 n ( xi x ) 2 n 1 i 1
样本标准差 S S
2
1 n ( X i X )2 n 1 i 1
1 n k 样本 k 阶（原点）矩 Ak X i , k 1, 2, n i 1 1 n 样本 k 阶中心矩 Bk ( X i X )k , k 2,3, n i 1
§6.3 正态总体的抽样分布
§6.1 §6.2§6.3
第六章 数理统计学的基本概念
§6.3 常用的统计分布
统计量是样本的函数，它是一个随机变 量。统计量的分布，叫做 “抽样分布” .
下面介绍数理统计学中重要的三大分布：χ2
分布，t分布，F分布

第六章 数理统计学的基本概念
§6.3 常用的统计分布
i 1
n

第6章 数理统计学的基本概念
§6.2 统计量
§6.1 §6.2§6.3
第六章 数理统计学的基本概念
§6.1 总体与样本
一. 统计量
1.样本是进行统计推断的依据。 2.处理方法：不直接使用样本，而是针对不同的问题构造样本的适 当函数，利用这些样本函数进行行统计推断。
定义 设 X 1 , X 2 ,, X n 是来自总体 X 的一个样本, g ( X1 , X 2 ,, X n ) 是 X 1 , X 2 ,, X n 的函数 , 若 g 中不含未 知参数,则称 g ( X1 , X 2 ,, X n ) 是该样本的统计量.
1 n k ak xi , k 1, 2, n i 1
1 n bk ( xi x )k , k 2, 3, n i 1

第六章 数理统计学的基本概念
§6.2 统计量
例 设 X 1 , X 2 ,, X n 是来自二项分布总体 B(n, p) 的 简单随机样本， X , S 2 分别为样本均值和样本方差， 记 统计量 T X S ，则 E (T ) =
则
X Y ~ (n1 n2 )
2

第二章 随机变量
§2.3 连续型随机变量及其分布
4.标准正态分布（P40页）
设随机变量 X ~ N (0,1) ,对给定的 ， 0 1 ，称满足 条件
P{ X z } ( x)dx
Za
( x)

,
的点 z 为标准正态分布的上 分位点，如图所示.
2
np2

第六章 数理统计学的基本概念
§6.2 统计量
例
设总体 X ~ N (1 , ) ， Y ~ N (2 , ) 的正态分
2 2
布 ， X 1, X 2 ,, X n1 和 Y1, Y2 ,, Yn 2 分 别 是 来 自 总 体
X , Y 的简单随机样本，则
n2 n1 2 2 ( X i X ) (Y j Y ) i 1 j 1 = E n1 n2 2
第6章 数理统计的基本概念
§6.1 总体与样本
§6.2 统计量 §6.3 正态总体的抽样分布
§6.1 §6.2§6.3
第六章 数理统计学的基本概念
概率论: 概率分布已知.计算概率
例如：已知 X ~ N ( , 2 ) ，计算 P{1 X 3}
数理统计：已知： X 服从正态分布 未知： 或者 2 解决问题：如何估计出 或者 。
§6.3 常用的统计分布
一. 数理统计学三大分布
2 1. 分布
(1)构成: 定义设 X 1 , X 2 ,, X n 是独立同分布，且都服从 来 N (0,1) ,则称统计量
Y X12 X 22 X n 2
服从自由度为 n 的 2 分布,记为 Y ~ 2 (n) .此处,自由度是 指式右端包含的独立变量的个数. 显然，若 X 1 , X 2 ,, X n 为来自总体 N (0,1) 的样本，则 统计量 X i2 ~ 2 (n)

O
由 ( x) 图形的对称性知, z1 z .后边统计中会用到。
z
x
由关系式 ( z ) 1 ,对于给定的 的值,反查标准正态分布表 可得 z 的值.

第六章 数理统计学的基本概念
2 （4） 分布的分位点
§6.3 常用的统计分布
设 2 ~ 2 (n) ,对于给定的正数 (0 1) ,称满足条件
F ( x1 , x2 ,, xn )＝F ( xi ) .
i 1 n
2.特别地,若总体是连续型随机变量,其概率密度为 f ( x) ,
（X1 , X 2 ,, X n） 则样本 的概率密度(联合概率密度)为
f ( x1 , x2 ,, xn )＝ f ( xi ) .
i 1
n

第六章 数理统计学的基本概念
1.总体 X ~ N ( , ) ，则称该总体为正态总体.
2
2.统计量：样本的函数，对总体的分布中参数做估 计和检验.
3.统计量的分布称作抽样分布.
4.三大分布： 分布， t 分布， F 分布.
2
5.三大分布掌握内容： 1）分布的构成形式. 2）大致图像 3）上 分位点 4）性质

第六章 数理统计学的基本概念
i 1 n

第六章 数理统计学的基本概念
2 （2） 分布图像
§6.3 常用的统计分布
由图可知，n越大图形越对称。
f (x)
0.40 0.30 0.20 0.10
n2 n 1 n4 n6 n 11
x
O
2
4 6 8 10 12 14 16

第六章 数理统计学的基本概念
2 （3） 分布的性质
F ( x) P{ X x} P{ X
/ n

x
/ n
} {
x
/ n
}

第六章 数理统计学的基本概念
§6.2 统计量
例 6.2.3 某公司用机器向瓶子里灌装液体洗洁剂，规 定每瓶装 毫升,但实际灌装总量总有一定波动， 假定灌 装量的方差 2 1 。如果每箱装 25 瓶这样的洗洁剂，试 问这 25 瓶洗洁剂的平均每瓶灌装量与标定值 相差不 过 0.3 毫升的概率是多少？
2

第六章 数理统计学的基本概念
§6.2 统计量
定理 6.2.1 假设 X 1 , X 2 ,, X n 为来自均值 、方差
2 的总体的一组样本，当 n 充分大时,近似的有, 样本的
均值 X
X ~ N ( ,
2
n
),
定理表明： 不管总体的具体分布如何，只要均值 、方差 2 ， 那么这个总体抽取的样本的均值 X 就近似的服从正态分 布。

第六章 数理统计学的基本概念
§6.2 统计量
二. 常用统计量
统计量
它反映了总体均值 的信息
观测值
1 n x xi n i 1
1 n 样本均值 X X i n i 1
它反映了总体方差 的信息
2
样本方差
1 n 2 1 n 2 2 X nX S ( X X ) i i n 1 n 1 i 1 i 1
P (n)
2 2
2 (n)
f ( x)dx
2 ( n) 为 2 (n) 分布的上 分位点,如图所示. 的点
f ( x)

O
2 ( n)
x

第六章 数理统计学的基本概念
2 （5） 分布的例题
§6.3 常用的统计分布
例：设 X 1 , X 2 , X 3 , X 4 是来自总体 N (0, 22 ) 的简单随机样本,
2
处理方法：对随机变量X进行多次观测，利用观测 所得到的数据，推断X的分布规律。 ———统计的 任务。

第6章 数理统计学的基本概念
§6.1 总体与样本
§6.1 §6.2§6.3
第六章 数理统计学的基本概念
§6.1 总体与样本
一. 总体和个体
个体：总体的每个元素。 例如：某工厂生产的灯泡寿命的全体是一个总体。 每一个灯泡的寿命就是一个个体； 总体中包含的个体的数量，分为有限总体和无限总体。
总体：研究对象的某项数量指标X取值的全体称为总体。
有限总体：某工厂10月生产的灯泡寿命。
无限总体：这个工厂生产的所有灯泡的寿命。

第六章 数理统计学的基本概念
§6.1 总体与样本
X的分布函数、数字特征分别称为总体的分布函数 和数字特征。以后不再区分总体和相应的随机变量。 从总体中抽取一部分个体进行观查，然后根据所 得数据来推断总体的性质。被抽出的部分个体，叫做 总体的一个样本。
解 记一箱中 25 瓶洗洁剂灌装量为 X 1 , X 2 ,, X 25 ,他们 是来自均值为 、方差为 1 的总体的样本。 我们计算事件 { X 0.3} 的概率。 根据定理 6.2.1：

第六章 数理统计学的基本概念
§6.2 统计量
解
P{ X 0.3} P{.03 X 0.3} P{ .03 0.3 0.3 X
§6.1 总体与样本
三. 样本的概率分布
3.若总体是离散型随机变量,其分布律为
P{ X xi } pi , i 1, 2,,
（X1 , X 2 ,, X n） 则样本 的分布律(联合分布律)为
P{X1 x1 , X 2 x2 ,, X n xn }=P{X i xi } .
/ n / n