平行四边形的对角线相互平分

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平行四边形对角线互相平分证明

平行四边形对角线互相平分证明1. 前言嘿，大家好！今天咱们聊聊平行四边形的对角线。

听起来有点严肃？别担心，我会尽量让这变得轻松又有趣。

平行四边形可不是普通的形状，它可是几何世界中的“明星”。

而今天的重点，就是这对角线，它们可不简单，听说互相平分，那可真是太神奇了！咱们就像探险家一样，来深入了解一下吧！2. 平行四边形的基本知识2.1 什么是平行四边形？首先，平行四边形是啥？简单来说，它的两组对边都是平行的，大家可以想象成一块不规则的桌布，上面放着一盘美味的水果。

桌布的四个角可以是各种颜色，但对边得平行，不然水果可就掉下来了。

就像咱们的生活，有时候得保持一些基本规则，不然一团乱麻。

2.2 平行四边形的特性平行四边形的特性真不少！你知道吗？它的对角相等，对边也相等，简直就像是兄弟姐妹一样，谁也不甘示弱。

还有，如果你把对角线连起来，那就成了两条相等的三角形，哇，听起来就很牛逼吧？所以，咱们今天要证明的就是，平行四边形的对角线为什么互相平分。

3. 对角线的证明3.1 准备工作好了，咱们开始正题啦！假设咱们有一个平行四边形 ABCD，连接对角线 AC 和BD。

想象一下，A 点和 C 点之间有一条美丽的线，B 点和 D 点之间也有一条优雅的线，这两条线在某个地方交叉，形成一个神秘的交点 O。

这个 O 可是个宝贝儿，咱们要搞清楚它的身份。

3.2 证明过程接下来，咱们开始证明！首先，咱们知道 ABCD 是平行四边形，所以 AB 平行于CD，AD 平行于 BC。

根据平行线的性质，咱们可以得出，三角形 AOB 和 COD 是全等的。

为什么呢？因为它们有一条公共边 OB，而且角 AOB 和角 COD 是相等的（这是平行线的性质）。

哇，等一下！这就意味着，AO 等于 OC，而 BO 也等于 OD。

就像朋友之间的分蛋糕，大家都得公平分配，谁也不能少！4. 结论最后，咱们得出结论：在平行四边形中，对角线互相平分，这可真是几何界的“公正”，让人心服口服。

平行四边形对角线互相平分

18．1平行四边形的性质平行四边形的对角线互相平分教学设计教学目标：1.掌握平行四边形对角线互相平分的性质；理解平行四边形中心对称的特征。

2.能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题和简单的证明题。

3.培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力．重点：平行四边形对角线互相平分的性质，理解平行四边形中心对称的特征以及应用。

难点：能综合运用平行四边形的性质解决问题并体会数学转化的思想.。

教学过程：一：课堂引入1．复习提问：（1）什么样的四边形是平行四边形？四边形与平行四边形的关系是：（2）平行四边形的性质：①具有一般四边形的性质（内角和是 360）．②角：平行四边形的对角相等，邻角互补．③边：平行四边形的对边平行且相等．（3）我们研究平行四边形性质的方法是什么？（本环节的设计意图是让学生回顾平行四边形的性质（从边和角的角度），并且能从中体会研究平行四边形的性质时可以把四边形转化为三角形。

）二：探究新知1. 提问：平行四边形的一条对角线可以把平行四边形分成两个全等的三角形，那么两条对角线又可以把平行四边形分成几个全等的三角形？2. 提问:由三角形全等又可以得到什么结论？结论：平行四边形的对角线互相平分。

3. 探究：动手试一试：如图，把两张完全相同的平行四边形纸片叠合在一起,在它们的中心O 钉一个图钉，将一个平行四边形绕O 旋转180°，你发现了什么?ABCD 绕它的中心O 旋转180°后与自身重合,这时我们说ABCD 是中心对称图形,点O 叫对称中心。

结论：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心。

C D BA O（本环节经历从猜想到证明的思维过程，感知命题证明的一般步骤. 让学生体会平行四边形的对角线互相平分这条性质与平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心这条性质之间的关系。

通过平行四边形性质的探究，让学生经历了“感知(观察)、表征、概括、推理证明”等过程）三：应用举例例1．已知四边形ABCD 是平行四边形，AB ＝10cm ，AD ＝8cm ，AC ⊥BC ，求BC 、CD 、AC 、OA 的长以及ABCD 的面积．分析：由平行四边形的对边相等，可得BC 、CD 的长，在Rt △ABC 中，由勾股定理可得AC 的长．再由平行四边形的对角线互相平分可求得OA 的长，根据平行四边形的面积计算公式：平行四边形的面积=底×高（高为此底上的高），可求得ABCD 的面积．（平行四边形的面积小学学过，再次强调“底”是对应着高说的，平行四边形中，任一边都可以作为“底”，“底”确定后，高也就随之确定了．）（本环节梳理平行四边形特的性质，形成知识结构.）例2.已知：如图ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，EF 过点O 与AB 、CD 分别相交于点E 、F ．求证：OE ＝OF ，AE=CF ，BE=DF ．证明：在ABCD 中，AB ∥CD ，∴ ∠1＝∠2．∠3＝∠4．又 OA ＝OC(平行四边形的对角线互相平分)， ∴ △AOE ≌△COF （ASA ）．∴ OE ＝OF ，AE=CF （全等三角形对应边相等）．∵ABCD ，∴ A B=CD （平行四边形对边相等）．∴ AB —AE=CD —CF ．即 BE=FD ．拓展延伸：问题1:若例2中的条件都不变，将EF 转动到图b 的位置，那么例2的结论是否成立？若将EF 向两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交（图c 和图d ），例2的结论是否成立，说明你的理由．问题2：ABCD 的对角线AC 与BD 相交于O,直线EF 过点O 且与AB 、CD 分别相交于E 、F,在这些图形中面积相等的图形有哪些？（本环节通过平行四边形的对角线互相平分与平行四边形是中心对称图形，变化EF 的位置，形成由特殊到一般的结论。

平行四边形对角线平分对角吗

平行四边形对角线平分对角吗
答：平行四边形的对角线不一定平分对角。

如果四边形ABCD是平行四边形，则AD平行于BC，AB平行于CD，所以∠daoADB=∠DBC和∠ABD=∠BDC但不能得出∠ABD=∠DBC。

如果AD=AB，即特殊的平行四边形-菱形或正方形的时候，对角线就平分该对角。

首先正方形是包含在长方形(矩形)当中的，所以如果是从广义方面讲是可以平分对角的，在正方形中对角线可以平分对角，将每个90度的角分成45度，而从狭义的方面讲，长方形的对角线是不具备平分对角的功能的。

2对角线的性质是什么
1、正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。

2、正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°;正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。

四条边都相等、四个角都是直角的四边形是正方形。

正方形的两组对边分别平行，四条边都相等;四个角都是90°;对角线互相垂直、平分且相等，每条对角线都平分一组对角。

有一组邻边相等且一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

有一组邻边相等的矩形叫做正方形，有一个角是90°的菱形叫做正方形。

正方形是矩形的特殊形式，也是菱形的特殊形式。

人教版八年级下平行四边形的性质对角线相互平分

数学八年级下册
八年级数学
复习
A
D
B
C
两组对边分别平行的四边形叫做定义平行四边形。
1.平行四边形的两组对边分别平行且相等; 性质
2.平行四边形的对角相等，邻角互补。
平行四边形的性质几何语言：
B
∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ AB∥CD；AD∥BC
还有其它性质吗?
AB=CD；AD=BC
√ (1) AO=CO,BO=DO
√ (2)△AOD、△AOB周长之差为AD－AB
A
√ (3)△AOB≌ △COD
D
×(4) S△ACD≠S△ABD
B
O C
4.如图,在 ABCD中, 对角线AC﹑BD相交
于点O,且AC+BD=20, △AOB的周长等于15,
则CD=___5___.
A
D
O
B
C
5、如图，平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O,AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F. 求证：OE＝OF
B
C
再看一遍
A
D
O
●
B
C
猜一猜
你能证明它吗?
根据刚才的旋转，你知道平行四边形的对角线有什么性质吗？
● 平行四边形的对角线互相平分.
平行四边形的对角线互相平分.
已知：如图： ABCD的对角线AC、BD
相交于点O.
A
D
求证：OA=OC，OB=OD.
1O 3
证∵明四：边形ABCD是平行四边形，B 4
2022年3月10日星期四
如图，四边形ABCD是平行四边形，
AB=10，AD=8，AC⊥BC，求BC、CD、AC、

解平行四边形的对角线与角度问题

解平行四边形的对角线与角度问题平行四边形是指有两对边分别平行的四边形。

在解平行四边形的对角线与角度问题时，我们需要考虑对角线与角度的关系。

首先，让我们来了解一下平行四边形的性质。

平行四边形的两对对边分别平行且相等，对角线互相平分，并且对角线所分割的两个三角形是全等的。

基于这些性质，我们可以得出以下结论：1. 对角线相等：平行四边形的两条对角线相等，即AC=BD。

2. 对角线平分：平行四边形的对角线互相平分，即AC平分BD，BD平分AC。

现在，让我们来看一下平行四边形的对角线与角度之间的关系。

1. 对角线的夹角：平行四边形的两条对角线互相夹角相等，即∠CAD=∠CBA，∠DBC=∠DAB。

2. 平行边的夹角：平行四边形的相邻两边的夹角相等，即∠CAB=∠DCB，∠BCA=∠DCA。

基于以上的性质和关系，我们可以通过已知条件解决平行四边形的对角线与角度问题。

下面举例说明：例题1：已知平行四边形ABCD，AC=8 cm，BD=10 cm，求∠CAB 的度数。

解析：根据平行四边形的性质，我们知道对角线相等，即AC=BD。

得到等式8=10，显然不成立。

因此，该题没有足够的信息给出正确答案。

例题2：已知平行四边形EFGH，EF=12 cm，FG=18 cm，求∠GFE的度数。

解析：根据平行四边形的性质，我们知道对角线相等，即EG=HF。

已知EF=12 cm，FG=18 cm，根据三角形的性质，我们可以使用三角形的余弦定理来求解。

设∠GFE为θ，则根据余弦定理，可以得到：18² = 12² + 12² - 2 × 12 × 12 × cosθ324 = 144 + 144 - 288cosθcosθ = (144 + 144 - 324) / (2 × 12 × 12)cosθ = -6/24θ ≈ 120°因此，∠GFE的度数为120°。

平行四边形的对角线有什么性质

平行四边形对角线的性质是什么？
平行四边形对角线的性质是对角线互相平分。

平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点，平行四边形的性质：平行四边形的两组对边分别相等，平行四边形的两组对角分别相等，平行四边形的邻角互补，平行四边形的对角线互相平分等。

平行四边形的概念：
平行四边形，在同一个二维平面内，由两组平行线段组成的闭合图形，平行四边形一般用图形名称加四个顶点依次命名。

在欧几里德几何中，平行四边形是具有两对平行边的简单（非自相交）四边形，平行四边形的相对或相对的侧面具有相同的长度，并且平行四边形的相反的角度是相等的，相比之下，只有一对平行边的四边形是梯形，平行四边形的三维对应是平行六面体。

平行四边形的定义：
1、两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2、平行四边形属于平面图形。

3、平行四边形属于四边形。

4、平行四边形属于中心对称图形。

平行四边形的性质与面积计算

平行四边形的性质与面积计算平行四边形是一种特殊的四边形，它具有一些独特的性质和特点。

同时，在计算平行四边形的面积时，也有一定的方法和公式可以应用。

本文将详细介绍平行四边形的性质，并讲解如何计算它的面积。

一、平行四边形的性质1. 对边相等性质：平行四边形的对边是平行的，因此对边相等。

2. 对角线互相平分性质：平行四边形的对角线互相平分，即两条对角线的交点是对角线的中点。

3. 内角和性质：平行四边形的内角和等于180度。

由于平行四边形的对边是平行的，所以相邻内角是补角关系，即相邻的两个内角的和为180度。

4. 邻补角性质：平行四边形的内角与其相邻外角补为180度。

二、平行四边形的面积计算方法平行四边形的面积可以通过以下公式来计算：面积 = 底边 ×高其中，底边指的是平行四边形的任意一条边的长度，高指的是从底边垂直引出的线段长度。

例如，假设平行四边形的底边长度为a，高的长度为h，那么平行四边形的面积可以表示为：面积 = a × h三、平行四边形的计算例题为了更好地理解如何计算平行四边形的面积，我们来看几个例题。

例题1：求解平行四边形ABCD的面积，已知底边AB的长度为6 cm，高h的长度为4 cm。

解：根据公式，面积 = 底边 ×高，代入已知数值进行计算，得到：面积 = 6 cm × 4 cm = 24 cm²因此，平行四边形ABCD的面积为24平方厘米。

例题2：已知平行四边形EFGH的面积为60平方米，底边EF的长度为10米，求解其高h的长度。

解：根据公式，面积 = 底边 ×高，已知面积为60平方米，底边EF 的长度为10米，代入已知数值进行计算，得到：60平方米 = 10米 ×高解方程可得，高h = 60平方米 / 10米 = 6米因此，平行四边形EFGH的高为6米。

结论：通过以上例题可以看出，计算平行四边形的面积较为简单，只需要知道底边的长度和对应的高即可。

平行四边形的对角线关系

平行四边形的对角线关系平行四边形是一种特殊的四边形，具有一些独特的性质和特点。

其中，对角线关系是平行四边形的一个重要性质之一。

本文将探讨平行四边形对角线的关系，并分析其性质和应用。

一、对角线的定义和性质平行四边形是指四边形的对边两两平行。

根据平行四边形的定义，我们可以得出平行四边形的对角线有以下性质：1. 对角线互相平分：平行四边形的两条对角线互相平分。

也就是说，平行四边形的任意一条对角线将另一条对角线平分为两个相等的线段。

2. 对角线相交于一点：平行四边形的两条对角线相交于一点，称为对角线的交点或对角点。

这个交点将对角线分成两段，分别连接了四边形的两个非相邻顶点。

二、对角线的长度关系对于平行四边形的对角线，我们可以得出它们的长度关系：1. 对角线相等：平行四边形的两条对角线相等。

这是平行四边形特有的性质，可以通过几何证明来得到。

2. 对角线比例关系：平行四边形的对角线分割四边形成比例。

具体说来，如果一条对角线把平行四边形分成两个三角形，那么这两个三角形的底边与对角线之比相等，即：AB/AD = BC/CD。

三、对角线的应用平行四边形的对角线关系具有一定的应用价值。

以下是几个常见的应用：1. 确定平行四边形：通过测量四边形的对角线长度，我们可以判断一个四边形是否为平行四边形。

如果对角线相等，则可以确定该四边形是平行四边形。

2. 确定四边形的性质：由于平行四边形对角线的长度关系，我们可以通过对角线的测量结果来判断四边形的性质。

例如，如果四边形的对角线相等，则可以推断出这是一个矩形或菱形。

3. 解决几何问题：在几何问题中，我们经常需要利用平行四边形的性质来解决一些复杂的计算或证明。

对角线关系是解决这类问题的重要工具之一。

四、总结平行四边形的对角线关系是平行四边形的一个重要性质，它们对平行四边形的形状和性质有着重要的影响。

对角线的长度关系和应用使我们能够通过对角线的测量结果来确定四边形的性质，并应用于解决各种几何问题。

平行四边形的对角线相互平分

平行四边形的对角线互相平分且垂直且相等
平行四边形的对角线是连接对角顶点的线段定了平行四边形的形状和大小。
对角线是平行四边形的一个重要性质，决定了平行四边形的对称性和稳定性。
对角线是平行四边形的一个重要应用，可以用于解决几何问题，如证明平行四边形的性质、计算平行四边形的面积等。
勾股定理：直角三角形的两直角边平方和等于斜边的平方
平行四边形的对角线互相垂直平分
证明方法：利用平行四边形的对角线互相垂直平分，构造直
角三角形
应用：解决几何问题，如求线段长度、角度等
利用平行四边形的对角线互相平分，可以解决有关面积和周长的问题。
利用平行四边形的对角线互相垂直，可以解决有关角度和方向的问题。
理解平行四边形的对角线性质，有助于理解平行四边形的性质和特征。
掌握平行四边形的对角线性质，有助于解决与平行四边形相关的几何问题。
掌握平行四边形的对角线性质，有助于理解其他几何图形的对角线性质，如矩形、正方形等。
掌握平行四边形的对角线性质，有助于提高几何思维能力和解决问题的能力。
平行四边形的对角线互相垂直
平行四边形的对角线互相平分
平行四边形的对角线互相平分且垂直
平行四边形的对角线互相垂直且平分
平行四边形的对角线互相平分
平行四边形的对角线互相垂直
平行四边形的对角线互相平分且垂直，可以证明三角形中位线定理
平行四边形的对角线互相平分且垂直，可以证明三角形中位线定理在几何证明中的应用
平行四边形的对角线互相平分
平行四边形的对角线互相垂直
平行四边形的对角线互相平分且垂直
平行四边形的对角线互相平分且垂直，且长度相等

平行四边形的对角线互相平分证明

平行四边形的对角线互相平分证明引言：平行四边形是初中数学中的一个重要概念，它具有许多特殊的性质。

其中，平行四边形的对角线互相平分是一个非常重要的性质，本文将从几何角度出发，对这一性质进行证明。

一、平行四边形的定义平行四边形是指四边形的对边两两平行的四边形。

平行四边形具有以下性质：1. 对边平行；2. 对角线互相平分；3. 对角线长度相等；4. 对角线所夹角相等。

二、对角线互相平分的定义对角线互相平分是指平行四边形的两条对角线互相平分。

即，平行四边形的两条对角线相交于一点，并且这个点同时是两条对角线的中点。

三、证明我们可以通过几何证明来证明平行四边形的对角线互相平分。

首先，我们假设ABCD是一个平行四边形，AC和BD是它的两条对角线，交于点O。

我们需要证明，点O是AC和BD的中点。

我们可以通过以下步骤来证明：1. 连接OA、OB、OC、OD四条线段。

2. 由于ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，AD∥BC。

因此，∠AOD=∠BOC，∠AOB=∠COD。

3. 由于OA=OC，OB=OD，∠AOD=∠BOC，根据三角形的全等条件，可得到三角形AOD≌BOC，三角形AOB≌COD。

4. 由于三角形AOD≌BOC，所以AD=BC；由于三角形AOB≌COD，所以AB=CD。

5. 因此，AC和BD的中点均为O，即AC和BD互相平分。

四、结论通过以上证明，我们可以得出结论：平行四边形的对角线互相平分。

这一结论不仅在初中数学中有着重要的应用，而且在高中数学中也有着广泛的应用。

例如，在向量的运算中，平行四边形的对角线可以用来求解向量的和、差等问题。

总之，平行四边形的对角线互相平分是一个非常重要的性质，它不仅具有理论意义，而且在实际应用中也有着广泛的应用。

平行四边形的对角线互相平分证明

平行四边形的对角线互相平分证明平行四边形是一种特殊的梯形，它有两组相对的平行边和四个顶点，四条边两两相等。

从平行四边形的定义可以发现，有两条对角线；我们需要证明的是，平行四边形的对角线相交于它们的中点。

证明如下：我们设平行四边形为ABCD，对角线为AC和BD。

由平行四边形的定义可知，AB || CD，AD || BC。

我们先证明AC和BD互相平分。

首先，我们证明BD平分AC。

对BD进行平移变换，使其重合于AD 上。

此时，由平行四边形的定义可知，AD = BC。

又因为BD是平移得到的，所以BD = AC。

因此，AD = BC = BD = AC。

所以BD平分AC。

接下来，我们再证明AC平分BD。

我们把AC视为直线l，并在BD上取一点O，然后连接OA与OC，OB与OD。

因为平行四边形的定义可知，AO = DC，OC = AB，BO = AD，OD = BC。

因此，立方体ABOD与CDCO的相似。

根据相似三角形定理，我们得到：OA/OB = AD/DCOC/OD = AB/BC因为AO = DC，OC = AB，所以我们可以写出：OA/OD = AD/BCOC/OB = DC/BC因此，OA/OD = OC/OB即OA/OB = OD/OC这说明OA与OC、OB与OD共线。

因此，我们得到了一个重要的结论：在平行四边形ABCD中，AC平分BD。

接下来，我们要证明BD也平分AC。

我们把BD视为直线l，并在AC上取一点O’，然后连接O’A和O’C，O’B和O’D。

通过类似的推理，我们可以得到相似三角形O’AD和O’BC，从而得到：O’A/O’B = AD/BCO’C/O’D = DC/AB因为DC = AB，所以O’A = O’B、O’C = O’D。

因此，O’A与O’C、O’B与O’D共线，即BD平分AC。

因为AC和BD互相平分，所以它们相交于它们的中点E。

因此，平行四边形的对角线互相平分。

结论：平行四边形的对角线互相平分。

对角线互相平分的平行四边形

对角线互相平分的平行四边形1. 引言说到平行四边形，大家脑海中是不是会浮现出那种四条边，两个对边平行的形状？听起来简单，但里面可是有很多秘密哦，今天我们就来聊聊这个神奇的形状，尤其是它的对角线互相平分这一点。

这可不是随便说说的哦，背后有着不少有趣的数学道理。

好啦，废话不多说，我们直接上干货！2. 平行四边形的基本特征2.1 四边平行首先，平行四边形的两对对边是平行的，这一点很简单，就像我们吃西瓜时把它切成两半，一半放一边，另一半放另一边，彼此之间隔得恰到好处，绝不相碰！而且这两对边的长度也是相等的，听上去是不是很合理？就像我们朋友间的友谊，必须是双向的，才能长长久久。

2.2 对角线的魅力说到对角线，大家想象一下，一条线从一个角连接到对面的角，这条线就叫对角线了。

平行四边形的对角线真的是太神奇了，为什么呢？因为它们不仅互相平分，还把这个平行四边形分成了两个面积相等的三角形。

就好比一块蛋糕，切开后，大家各自拿到的那一份，绝对是一样的，公平公正，没有谁会觉得自己亏了。

3. 对角线互相平分的意义3.1 数学中的重要性那么，为什么对角线互相平分这么重要呢？其实这在数学中是个大事，涉及到很多几何性质。

它不仅告诉我们平行四边形的对称性，还能帮助我们理解其他形状的特性。

就像我们在生活中，不管做什么事情，都需要了解背后的原理，才能更好地解决问题。

3.2 实际应用另外，平行四边形在实际生活中也是随处可见的哦。

比如说，建筑设计、绘画、甚至是家具的布局，很多时候都会用到这种形状。

你有没有发现，很多桌子和椅子都是这样的？所以说，数学不仅仅是数字和公式，它还潜藏在我们生活的每一个角落，像个小侦探，悄悄地影响着我们。

4. 结尾总之，对角线互相平分的平行四边形就像一块精美的拼图，它的每一个部分都是那么和谐，互相呼应。

学会了这些知识，不仅让我们的数学成绩直线上升，更能让我们在生活中游刃有余。

所以，别再对数学皱眉了，咱们可以把它当成一种乐趣，像玩游戏一样。

平行四边形对角线互相平分及中点公式

平行四边形对角线互相平分及中点公式平行四边形对角线互相平分及中点公式平行四边形是一种特殊的四边形，它有两对平行的边。

平行四边形的对角线是连接非相邻顶点的线段，它们互相交于一点，称为对角线的交点。

在平行四边形中，对角线互相平分的性质是一个非常有用的定理。

如果平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，并且交点O将对角线AC和BD各自平分，那么我们有如下公式：1. 对角线长度相等AC = BD证明：由于O平分了对角线AC，所以AO = OC。

同理，由于O平分了对角线BD，所以BO = OD。

因此，我们可以得出AO + BO = OC + OD，也就是说，AB = CD。

又因为平行四边形的对边相等且平行，所以AC = BD。

2. 对角线中点连线平行于平行四边形的两条平行边EF || AB, EG = FB = AD, FH = DB = AC其中，E、F为AC、BD中点，G、H为AB、CD中点。

证明：根据定理1，AC = BD，因此AE = EC，BF = FD。

由于E、F分别是AC、BD的中点，所以EF平行于AC和BD。

同理可得，EF平行于AB和CD。

由于EF平分平行四边形ABCD的对角线AC和BD，因此，EF的长度等于它们的平均值，即：EF = 1/2 (AC + BD) = 1/2 (AB + CD) （由于AB = CD，可以这样写）根据平行四边形的性质，我们可以得到EG = FB = AD和FH = DB = AC，因此，EG = FH。

平行四边形对角线互相平分及中点公式是学习平行四边形的重要内容之一。

掌握这一定理有助于我们求解平行四边形的各种性质和问题。

平行四边形的性质----对角线相互平分

18.1.1平行四边形的性质(二)一、教学目标：知识与技能：探索平行四边形的对角线互相平分的性质；会应用平行四边形的三个性质。

过程与方法：经历探索平行四边形性质的过程，发现学生的合情推理的意识，提高应用能力。

情感态度与价值观：培养学生严谨的推理能力和合作交流的习惯，体会平行四边形的实际应用价值。

二、重点、难点1.重点：平行四边形对角线互相平分的性质，以及性质的应用．2.难点：综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．三、教学过程1. 复习提问：（1）什么样的四边形是平行四边形？四边形与平行四边形的关系是：（2）平行四边形的性质：①具有一般四边形的性质（内角和是︒360）．②角：平行四边形的对角相等，邻角互补．边：平行四边形的对边相等．2．【探究】：请学生在纸上画两个全等的ABCD和EFGH，并连接对角线AC、BD和EG、HF，设它们分别交于点O．把这两个平行四边形落在一起，在点O处钉一个图钉，将ABCD绕点O180，观察它还和EFGH重合吗？你能从子中看出前面旋转︒所得到的平行四边形的边、角关系吗？进一步，你还能发现平行四边形的什么性质吗？结论：（1）平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心；（2）平行四边形的对角线互相平分．3、例题解析例1（教材P44的例2）已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝10cm，AD＝8cm，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长以及ABCD的面积．分析：由平行四边形的对边相等，可得BC、CD的长，在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC的长．再由平行四边形的对角线互相平分可求得OA的长，根据平行四边形的面积计算公式：平行四边形的面积=底×高（高为此底上的高），可求得ABCD的面积．（平行四边形的面积小学学过，再次强调“底”是对应着高说的，平行四边形中，任一边都可以作为“底”，“底”确定后，高也就随之确定了．）3.平行四边形的面积计算解略（参看教材P44）．例2（补充）已知：如图4－21，ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，EF 过点O与AB 、CD 分别相交于点E 、F ．求证：OE ＝OF ，AE=CF ，BE=DF ．证明：在 ABCD 中，AB ∥CD ，∴ ∠1＝∠2．∠3＝∠4．又 OA ＝OC(平行四边形的对角线互相平分)，∴△AOE ≌△COF （ASA ）．∴ OE ＝OF ，AE=CF （全等三角形对应边相等）．∵ ABCD ，∴ AB=CD（平行四边形对边相等）．∴ AB —AE=CD —CF ．即 BE=FD ．※【引申】若例1中的条件都不变，将EF 转动到图b 的位置，那么例1的结论是否成立？若将EF 向两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交（图c 和图d ），例1的结论是否成立，说明你的理由．四、随堂练习1．在平行四边形中，周长等于48，① 已知一边长12，求各边的长② 已知AB=2BC ，求各边的长③ 已知对角线AC 、BD 交于点O ，△AOD 与△AOB 的周长的差是10，求各边的长2．如图，ABCD 中，AE⊥BD，∠EAD=60°，AE=2cm ，AC+BD=14cm ，则△OBC 的周长是_______cm ．3．ABCD 一内角的平分线与边相交并把这条边分成cm 5，cm 7的两条线段，则ABCD 的周长是_____cm ．五、课堂小结（略）六、课后作业：1.必做题：课本P44练习第1,2题2.选做题：小明家有一块平行四边形菜地，菜地中间有一口井，为了浇水的方便，小明建议妈妈经过水井修一条路，可以把菜地分成面积相等的两部分. 同学们，你知道聪明的小明是怎么帮妈妈分的吗？。

平行四边形对角相等的证明

平行四边形对角相等的证明
平行四边形是一种特殊的四边形，具有两对平行边和相对的两个角度相等的特点。

其中一个性质是，平行四边形的对角线互相平分。

也就是说，平行四边形的两条对角线相交于中心点，并且这个中心点同时也是两条对角线的中点。

证明如下：
假设ABCD是一平行四边形，AC和BD是它的对角线，E是AC的中点，F是BD的中点。

我们需要证明的是AE=EC和BF=FD。

首先，我们可以证明△ABE和△CDE是全等的。

因为AB和CD是平行的，所以角A和角C相等。

同样，角B和角D也相等。

因此，根据三角形全等的条件，我们可以得出△ABE和△CDE是全等的。

因此，AE=EC。

接下来，我们可以证明△ABF和△CDF是全等的。

同样地，由于AB和CD是平行的，所以角A和角C相等，角B和角D也相等。

因此，根据三角形全等的条件，我们可以得出△ABF和△CDF是全等的。

因此，BF=FD。

因为AE=EC和BF=FD，所以我们可以得出平行四边形ABCD的对角线AC和BD相互平分。

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平行四边形的对角线相互平分

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解平行四边形的对角线与角度问题

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对角线互相平分的平行四边形

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