7.6(1)圆的标准方程

M ( x0 , y0 )
即

( x 0 ， 0 ) ( x x 0， y 0 ) 0 y y
x0 ( x x0 ) y 0 ( y y0 ) 0
O
x
即 x0 x + y0 y = x02 + y02
因为点M 在圆上,所以 x02+y02 = r2
所求的切线方程是 x0 x+y0 y= r2
把上式两边平方得：
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
（圆的标准方程） 几何画板
圆的标准方程
(x a) ( y b) r
2 2 2
特点：
1. 明确给出了圆心坐标和半径。
2、确定圆的方程必须具备三个独立条件,即a、b、r .
3.若圆心在坐标原点，则圆方程为
x2 + y 2 = r2
2 2
2
例4.如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度 AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱 支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01m)
y
圆的方程是 x ( y 10 . 5 ) 14 . 5
2 2 2
将 x 2 代入圆的 方程，且 y 0 得：
圆的标准方程
求曲线方程的一般步骤：
（1）建立适当的坐标系，用（x,y）表示
曲线上任意一点M的坐标
建系、设点
（2）写出适合条件P的点M的集合
P={M | p(M)};
等量关系
(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程 f(x,y)=0 坐标化
(4)化方程 f(x,y)=0为最简形式
化简
（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线 上的点。 查缺补漏
y x 2
（2）在y轴上截距是 2 的切线方程。
y x 2
x' x a 分析： 令 y' y b
圆方程为
切线方程为
，则在新系下
2
x' y' r
2 2
， M ( x0 a ， y0 b )
(x0-a)x’+(y0-b)y’ = r 2
在原系下 切线方程为
(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b) = r 2
练习2: 已知一个圆的圆心在原点，并与直线4x+3y-70=0相 切，求圆的方程。 x 2+y2=196 练习3：写出过圆x2+y2=10 上一点 M（2， 6 ) 的切线方程。 2x + 6 y =10 练习3：已知圆的方程是x2+y2=1，求： （1）斜率等于1的切线的方程；
y 求经过圆上一点 M ( x 0 , y 0 )的切线的方程。 P(x , y ) 解三（利用平面几何知识）： M ( x0 , y0 ) 设 P(x，y) 是切线上的任意一点， 在直角三角形OMP中 由勾股定理：
O
例2 已知圆的方程是 x y r，
2 2 2
x
OM2+MP2=OP2
即 r ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2
x2+(y-b)2=r2 。
把P(0,4),B(10,0)代入圆的方程得方程组：
0 2 (4 b ) 2 r 2 2 10 ( 0 b ) 2 r 2
x
b 10 . 5 , r 14 . 5
2
2
圆的方程是
x ( y 10 . 5 ) 14 . 5
(2) (x+1)2+(y-2)2=9
(3)(x+a)2+y2=a2
例1：求以C（1，3）为圆心，并且和
直线3x-4y-7=0 相切的圆的方程。 解一：设所求圆的方程为：
(x-1)2+(y-3)2=r2
因为圆C和直线3x-4y-7=0相切 所以圆心C到这条直线的距离等 于半径r 根据点到直线的距离公式，得 | 3×1— 4×3 — 7 | r= 32+(-4)2 = 16 5 y C
.
o
y
(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b) = r 2
例3.已知⊙C：(x-1)2+(y-2) 2=2，P(2,-1)，过P作⊙C的 切线，切点为A、B.求直线PA、PB的方程.
解：1）设过 （
即
则 k 3 1 k
2
P 圆的切线方程为：
y 1 k ( x 2)
y
kx y 2 k 1 0 .
2
形
直线和圆相切
数
d r
0
y 求经过圆上一点 M ( x 0 , y 0 )的切线的方程。 1 . 解一:设切线的斜率为 k，则 k kOM x 1
k
0
例2 已知圆的方程是 x y r，
2 2 2
M ( x0 , y0 )
k OM
y0
经过点M 的切线方程是 x y y 0 ( x x ), 即 x0 x + y0 y = x02 + y02 0 0 y 0 因为点M 在圆上,所以 x02+y02 = r2
练习：1、写出下列各圆的方程： (1)圆心在点C(3, 4 )，半径是
(x-3)2+(y-4)2=5 5 (x-8)2+(y+3)2=25
(2) 经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3)
练习：2、
写出下列各圆的圆心坐标和半径：
(1) (x-1)2+y2=6
(1,0)
(-1,2) (-a,0)
6 3 |a|
当切线斜率存在或不等 M 点坐标满足 于 0时 ,
2
O
x
x0 x y0 y r
所求的切线方程是
x0 x+y0 y= r2
例2 已知圆的方程是 x y r，
2 2 2
y
求经过圆上一点 M ( x 0 , y 0 )的切线的方程。 , y ) P(x 解二（利用平面向量知识）： 设 P(x，y) 是切线上的任意一点， 则 OM⊥MP， OM MP 0
动点M到定点C (1,2)的距离 等于常数3, 求M的轨迹方程。
解：设 M ( x , y )
y
则
( x 1) ( y 2 )
2
2
3
2

M
C
化简为 ( x 1) ( y 2 ) 9
2
圆的定义：
平面内与定点的距离等于定长的点的集合
o
x
(轨迹)是圆。定点就是圆心，定长就是半径。
C1
x
小结： (1) 圆心为C(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为 (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 当圆心在原点时 a=b=0，圆的标准方程为： x2 + y2 = r2 (2) 由于圆的标准方程中含有 a , b , r 三个参数， 因此必须具备三个独立的条件才能确定圆；对于由已 知条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆心坐 标列方程的问题一般采用圆的标准方程。 (3) 注意圆的平面几何知识的运用以及应用圆的方 程解决实际问题。
O
M
x
因此，所求圆的方程是 (x-1)2+(y-3)2 = 256 25
例1：求以C（1，3）为圆心，并且 和直线3x-4y-7=0 相切的圆的方程。
y
C
直线和圆的位置关系的数形转化 设直线为： Ax By C 0 圆的方程为： ( x a ) ( y b )
2 2
O
M
x
r
2 2
x
y
14 . 5 ( 2 ) 10 . 5 3 . 86 ( m )
答：支柱A2P2的长度约为3.86m。
例3：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱 跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用 一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01m)
思考
y
利用圆的几 何性质，你能否 用直线方程求出 圆心坐标？进而 写出圆的方程？
作业：
1. 习题7.6 1、2 、 3、4 2.三维设计活页7.6第一课时
圆的方程是
，经过圆上一点 x y r
2 2 2
M ( x 0 , y 0 ) 的切线的方程
x0x +y0 y = r2
过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点M(x0 , y0)的切线方程为：
(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b) = r 2
2
x y
2
2
x0x +y0 y = r2
为所求切线方程。
注意圆的平面几何知识和圆的方程结合起来解决实际问题
圆的方程是 x y r
2 2
2
，经过圆上一点
M ( x 0 , y 0 ) 的切线的方程 x x +y y = r2 0 0 x
过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点
M(x0 , y0)的切线方程为：
圆心坐标为 ( 1, 2 )，半径为 3
圆的方程
( x 1) ( y 2 ) 3
2 2
2
求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程 设M(x,y)是圆上任意一点， 根据定义，点M到圆心C的 距离 等于r，所以圆C就是集合 P={M| |MC|=r} y r C x
.
M
由两点间的距离公式，点M适合O 的条件可表示为： (x-a) 2 + (y-b) 2 = r
2
k 6k 7 0
2
BHale Waihona Puke OCA解得