2016届高三理科数学一轮复习题组层级快练67

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2016届高三理科数学一轮复习题组层级快练17Word版含答案

题组层级快练(十七)(第一次作业)1．函数f (x )＝(x 2－1)2＋2的极值点是( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝1或－1或0 D ．x ＝0答案 C解析 ∵f (x )＝x 4－2x 2＋3，由f ′(x )＝4x 3－4x ＝4x (x ＋1)(x －1)＝0，得 x ＝0或x ＝1或x ＝－1.又当x <－1时，f ′(x )<0，当－1<x <0时，f ′(x )>0，当0<x <1时，f ′(x )<0，当x >1时，f ′(x )>0， ∴x ＝0,1，－1都是f (x )的极值点．2．(2013·课标全国Ⅱ)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，下列结论中错误的是( ) A ．∃x 0∈R ，f (x 0)＝0B ．函数y ＝f (x )的图像是中心对称图形C ．若x 0是f (x )的极小值点，则f (x )在区间(－∞，x 0)上单调递减D ．若x 0是f (x )的极值点，则f ′(x 0)＝0 答案 C解析 ∵x 0是f (x )的极小值点，则y ＝f (x )的图像大致如右图所示，则在(－∞，x 0)上不单调，故C 不正确．3．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图像可能是( )答案 C解析由f (x )在x ＝－2处取得极小值可知，当x <－2时，f ′(x )<0，则xf ′(x )>0；当－2<x <0时，f ′(x )>0，则xf ′(x )<0；当x >0时，xf ′(x )>0.4．若函数y ＝ax 3＋bx 2取得极大值和极小值时的x 的值分别为0和13，则( )A ．a －2b ＝0B ．2a －b ＝0C ．2a ＋b ＝0D ．a ＋2b ＝0 答案 D解析 y ′＝3ax 2＋2bx ，据题意，0，13是方程3ax 2＋2bx ＝0的两根，∴－2b 3a ＝13，∴a ＋2b＝0.5．若函数f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则( ) A ．0＜b ＜1 B ．b ＜1 C ．b ＞0 D ．b ＜12答案 A解析 f (x )在(0,1)内有极小值，则f ′(x )＝3x 2－3b 在(0,1)上先负后正，∴f ′(0)＝－3b ＜0. ∴b ＞0.f ′(1)＝3－3b ＞0，∴b ＜1. 综上，b 的取值范围为0＜b ＜1.6．已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是( )A ．－37B ．－29C ．－5D ．以上都不对答案 A解析 f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)，∴f (x )在(－2,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减． ∴x ＝0为极大值点，也为最大值点． ∴f (0)＝m ＝3，∴m ＝3. ∴f (－2)＝－37，f (2)＝－5. ∴最小值是－37，选A.7．若函数f (x )＝ax 3－3x ＋1对于x ∈[－1,1]总有f (x )≥0成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．[2，＋∞) B ．[4，＋∞) C ．{4} D ．[2,4] 答案 C解析 f ′(x )＝3ax 2－3，当a ≤0时，f (x )min ＝f (1)＝a －2≥0，a ≥2，不合题意；当0<a ≤1时，f ′(x )＝3ax 2－3＝3a (x ＋1a )(x －1a)，f (x )在[－1,1]上为减函数， f (x )min ＝f (1)＝a －2≥0，a ≥2，不合题意；当a >1时，f (－1)＝－a ＋4≥0，且f (1a )＝－2a＋1≥0，解得a ＝4.综上所述，a ＝4. 8．若函数f (x )＝e －x ·x ，则( )A ．仅有极小值12eB ．仅有极大值12eC ．有极小值0，极大值12eD ．以上皆不正确答案 B解析 f ′(x )＝－e －x ·x ＋12x ·e －x ＝e －x (－x ＋12x )＝e －x ·1－2x2x . 令f ′(x )＝0，得x ＝12.当x >12时，f ′(x )<0；当x <12时，f ′(x )>0.∴x ＝12时取极大值，f (12)＝1e ·12＝12e.9．若y ＝a ln x ＋bx 2＋x 在x ＝1和x ＝2处有极值，则a ＝________，b ＝________. 答案－23 －16解析 y ′＝ax ＋2bx ＋1.由已知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，a2＋4b ＋1＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－23，b ＝－16.10．若f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则a ＋b ＝________. 答案－7解析由x ＝1时，f (x )有极值10知，f (1)＝10，f ′(1)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋a ＋b ＋a 2＝10，3＋2a ＋b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3.当a ＝4，b ＝－11时，f (x )＝x 3＋4x 2－11x ＋16，得f ′(x )＝3x 2＋8x －11＝(3x ＋11)(x －1)．当x ∈(－113，1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，故当x ＝1时，f (x )为极小值．当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3(x －1)2≥0，即x ＝1时，不取极值，a ＝－3，b ＝3应舍去．所以a ＋b ＝－7.11．若f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极大值，则常数c 的值为________．答案 6解析 f ′(x )＝3x 2－4cx ＋c 2， ∵f (x )在x ＝2处有极大值， ∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′(2)＝0，f ′(x )<0 (x >2)，f ′(x )>0 (x <2).解得c ＝6.12．(2015·保定调研卷)设函数f (x )＝x ＋ax 2＋b ln x ，曲线y ＝f (x )过P (1,0)，且在P 点处的切线斜率为2.(1)求a ，b 的值；(2)令g (x )＝f (x )－2x ＋2，求g (x )在定义域上的最值．答案 (1)a ＝－1，b ＝3 (2)最大值为0，无最小值解析 (1)f ′(x )＝1＋2ax ＋bx(x >0)，又f (x )过点P (1,0)，且在点P 处的切线斜率为2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝0，f ′(1)＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＝0，1＋2a ＋b ＝2.解得a ＝－1，b ＝3. (2)由(1)知，f (x )＝x －x 2＋3ln x ，其定义域为(0，＋∞)， ∴g (x )＝2－x －x 2＋3ln x ，x >0.则g ′(x )＝－1－2x ＋3x ＝－(x －1)(2x ＋3)x .当0<x <1时，g ′(x )>0；当x >1时，g ′(x )<0.所以g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． ∴g (x )的最大值为g (1)＝0，g (x )没有最小值． 13．(2015·郑州一模)已知函数f (x )＝x 3－ax 2－3x .(1)若函数f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围； (2)若x ＝－13是函数f (x )的极值点，求函数f (x )在[1，a ]上的最大值；(3)设函数g (x )＝f (x )－bx ，在(2)的条件下，若函数g (x )恰有3个零点，求实数b 的取值范围．答案 (1)a ≤0 (2)－6 (3)b >－7且b ≠－3 解析 (1)f ′(x )＝3x 2－2ax －3， ∵f (x )在[1，＋∞)上是增函数， ∴f ′(x )≥0在[1，＋∞)上恒成立，即 3x 2－2ax －3≥0在[1，＋∞)上恒成立．则必有a3≤1，且f ′(1)＝－2a ≥0.∴a ≤0.(2)依题意，f ′(－13)＝0，即13＋23a －3＝0，∴a ＝4.∴f (x )＝x 3－4x 2－3x .令f ′(x )＝3x 2－8x －3＝0，得x 1＝－13，x 2＝3.则当x 变化时，f ′(x )与f (x )变化情况如下表：∴f (x )在(3)函数g (x )有3个零点⇔方程f (x )－bx ＝0有3个不相等的实根．即方程x 3－4x 2－3x ＝bx 有3个不等实根． ∵x ＝0是其中一个根，∴只需满足方程x 2－4x －3－b ＝0有两个非零不等实根．∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16＋4(3＋b )>0，－3－b ≠0.∴b >－7且b ≠－3. 故实数b 的取值范围是b >－7且b ≠－3. 14．设f (x )＝e x 1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求实数a 的取值范围．答案 (1)极小值点为x 1＝32，极大值点为x 2＝12 (2)(0,1]解析对f (x )求导得f ′(x )＝e x·1＋ax 2－2ax(1＋ax 2)2.(1)当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝12.又当x 变化时，f ′(x )和f (x )的变化情况如下表：∴x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点．(2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号．结合(1)与条件a >0，知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立，由Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，得0<a ≤1.即实数a 的取值范围是(0,1]．15．(2014·福建)已知函数f (x )＝e x －ax (a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为－1.(1)求a 的值及函数f (x )的极值； (2)证明：当x ＞0时，x 2＜e x .答案 (1)a ＝2，极小值为f (ln2)＝2－ln4 (2)略解析 (1)由f (x )＝e x －ax ，得f ′(x )＝e x －a .又f′(0)＝1－a＝－1，得a＝2.所以f(x)＝e x－2x，f′(x)＝e x－2.令f′(x)＝0，得x＝ln2.当x＜ln2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞ln2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．所以当x＝ln2时，f(x)取得极小值，且极小值为f(ln2)＝e ln2－2ln2＝2－ln4，f(x)无极大值．(2)令g(x)＝e x－x2，则g′(x)＝e x－2x，由(1)得g′(x)＝f(x)≥f(ln2)＞0，故g(x)在R上单调递增．又g(0)＝1＞0，因此，当x＞0时，g(x)＞g(0)＞0，即x2＜e x.。

【高考调研】2016届高三理科数学一轮复习题组层级快练30含答案

题组层级快练 (三十 )1．对于非零向量a，b，“a＋b＝ 0”是“a∥b”的 ()A ．充分不用要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不用要条件答案A剖析若 a＋b＝0，则 a＝－ b，因此 a∥b；若 a∥b，则 a＝λb，a＋b＝0不用然成立，故前者是后者的充分不用要条件．2．设a是任向来量，e是单位向量，且a∥e，则以下表示形式中正确的选项是 () aA ．e＝|a|B．a＝ |a|eC．a＝－ |a|e D．a＝±|a|e答案D剖析对于 A ，当a＝ 0 时，a没有意义，错误；|a|对于 B， C， D 当a＝0 时，选项 B， C，D 都对；当 a≠0时，由 a∥e 可知， a 与 e 同向或反向，选 D.→→→3．(2015 北·京东城期中 )已知 ABCD 为平行四边形，若向量AB＝a， AC＝b，则向量 BD 为()A ．a－b B．a＋bC．b－ 2a D．－a－b答案C→ →→4.以下列图，在正六边形ABCDEF 中， BA＋ CD ＋ EF＝ ()→A ． 0 B.BE→→C.ADD.CF答案D→→→→→→→→→剖析由于 BA＝DE ，故 BA＋ CD＋ EF＝ CD ＋ DE＋EF ＝CF .5．(2015 广·东惠州二中模拟)已知点 O， A， B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，→→→3OA－OB且 OP＝，则()2A．点 P 在线段 AB 上B．点 P 在线段 AB 的反向延长线上C．点D．点答案剖析P 在线段 AB 的延长线上P 不在直线 AB 上B→→ →3→1→ →1→→→1→ →→→3OA－ OB1 OP2＝2OA－2OB ＝ OA＋2(OA－ OB)＝ OA＋2BA，即 OP－ OA ＝ AP＝2＝→BA，因此点P 在线段 AB 的反向延长线上，应选 B.→→6．在△ ABC 中，点 D 在边 AB 上， CD 均分∠ ACB.若CB＝a，CA ＝b， |a|＝ 1， |b|＝ 2，则→CD＝ ()1221A. 3a＋3bB.3a＋3b3443C.5a＋5bD.5a＋5b答案B剖析由内角均分线定理，得|CA| |AD |→→→→2→→2→→|CB|＝|DB |＝2.∴CD ＝ CA＋ AD＝CA＋3AB＝CA＋3(CB－ CA)＝23CB→＋13CA→＝23a＋13b.故B正确．→→7．已知向量i与j不共线，且 AB＝i＋ m j，AD ＝n i＋j，若 A， B，D 三点共线，则实数m，n 应该满足的条件是 ()A ． m＋ n＝ 1B． m＋n＝－ 1C． mn＝ 1D． mn＝－ 1答案 C→→剖析由 A， B， D 共线可设 AB＝λAD ，于是有i＋ m j＝λ(n i＋j)＝λn i＋λj.又i，j不共线，λn＝ 1，因此即有 mn＝1.λ＝ m，→ →8．O 是平面上必然点， A，B，C 是该平面上不共线的三个点，一动点 P 满足： OP＝OA ＋→→λ(AB＋ AC)，λ∈ (0，＋∞ )，则直线 AP 必然经过△ ABC 的 ()A ．外心B．内心C．重心D．垂心答案C剖析取BC中点M.→→→ →OP＝ OA＋λ(AB ＋AC)，→→→→OP－ OA＝λ(AB ＋AC)，→→AP＝ 2λAD.∴A， P，D 三点共线，∴ AP 必然经过△ ABC 的重心， C 正确．→→→9．在四边形ABCD 中， AB＝a＋ 2b，BC＝－ 4a－b，CD ＝－ 5a－3b，则四边形ABCD 的形状是 ()A ．矩形B．平行四边形C．梯形D．以上都不对答案C→→→→→剖析由已知 AD＝ AB＋ BC＋ CD＝－ 8a－ 2b＝ 2(－4a－b)＝ 2BC.→ →→→∴AD ∥BC.又 AB与 CD 不平行，∴四边形 ABCD 是梯形．→10．已知四边形 ABCD 是菱形，点 P 在对角线 AC 上(不包括端点 A，C)的充要条件是 AP＝→ →λ(AB＋ AD )，则λ的取值范围是 ()A ．λ∈ (0,1)B．λ∈ (－ 1,0)C．λ∈ (0，2D．λ∈ (－2， 0) 2)2答案A剖析以下列图，∵点 P 在对角线 AC 上 (不包括端点 A， C)，→→→→→→→ →∴AP＝λAC＝λ(AB ＋AD)．由 AP 与 AC同向知，λ>0. 又 |AP|<|AC|，→|AP|＝λ<1，∴λ∈(0,1) ．反之亦然．∴→|AC|→→→11．设 A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同样的四点，若A1 A3＝λA1A2(λ∈R)，A1A4→1＋1＝ 2，则称 A3，A4调停切割 A1， A2.已知平面上的点＝μA1 A2(μ∈R )，且C， D 调停切割点λ μA， B，则以下说法正确的选项是()A ． C 可能是线段AB 的中点B． D可能是线段AB 的中点C． C，D可能同时在线段AB 上D．C，D不可以能同时在线段AB的延长线上答案D剖析若 A 成立，则λ＝ 1，而 1＝ 0，不可以能；同理 2 μB 也不可以能；若C 成立，则0<λ<1，且 0<μ<1，1＋ 1>2，与已知矛盾；若λ μC，D同时在线段AB 的延长线上时，λ>1，且μ>1，1＋1λ μ<2，与已知矛盾，故C，D 不可以能同时在线段AB 的延长线上，故 D 正确．12.以下列图，以下结论不正确的选项是________．→33①PQ ＝2a＋2b；→3 3②P T ＝－2a－2b；→31③PS＝2a－2b；→3④PR＝a＋b.2答案②④2→→33剖析由 a＋b＝3PQ，知PQ＝2a＋2b，①正确；由→33→ →PT＝2a－2b，从而②错误；PS＝PT＋→ 3 1→ → 3 1b，故PS＝2a－2b，③正确；PR＝PT＋2b＝2a＋2b，④错误．故正确的为①③.→ →13.以下列图，已知∠B＝ 30°，∠ AOB＝ 90°，点 C 在 AB 上， OC⊥AB，用 OA和 OB来表示→→向量 OC，则 OC等于 ________．答案剖析3→1→4OA＋ OB4→→→→1→→1→→ 3→1→OC＝ OA＋ AC＝ OA＋4AB＝ OA＋4(OB－ OA)＝4OA＋4OB.→→→14．设a和b是两个不共线的向量，若AB＝ 2a＋k b， CB＝a＋b， CD＝ 2a－b，且 A， B，D 三点共线，则实数 k 的值等于 ________．答案－ 4→ →→→ → →剖析∵A， B，D 三点共线，∴ AB∥BD .∵AB＝ 2a＋ k b， BD＝ BC＋ CD ＝a－ 2b，∴k＝－ 4.故填－ 4.→→→15．已知 O 为△ ABC 内一点，且 OA＋ OC＋ 2OB＝ 0，则△ AOC 与△ ABC 的面积之比是________．答案1∶ 2剖析以下列图，取 AC 中点 D.→→→∴OA＋OC＝ 2OD.→→∴OD＝ BO.∴O 为 BD 中点，∴面积比为高之比．16．已知向量a＝ 2e1－ 3e2，b＝ 2e1＋ 3e2，其中e1，e2不共线，向量c＝2e1－ 9e2.问可否存在这样的实数λ，μ，使向量 d＝λa＋μb 与 c 共线？答案当λ＝－ 2μ时共线剖析∵d＝λ(2 e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2 λ＋ 2μ)e1＋ (－ 3λ＋ 3μ)e2.要使 d 与 c 共线，则应有实数k，使d＝ k c.即(2 λ＋ 2μ)e1＋ (－ 3λ＋ 3μ)e2＝ 2k e1－ 9k e2.2λ＋ 2μ＝2k，即得λ＝－ 2μ.－ 3λ＋ 3μ＝－ 9k，故存在这样的实数λ，μ，只要λ＝－ 2μ，就能使 d 与 c 共线．17．以下列图，已知点G 是△ ABO 的重心．→→→(1)求 GA＋ GB＋GO；→→→→(2)若 PQ 过△ ABO 的重心 G，且 OA＝a，OB＝b， OP＝m a， OQ＝ n b，求证：m 1＋1n＝ 3.→→→答案(1)GA＋ GB＋ GO＝ 0 (2)略剖析(1) 以下列图，延长OG 交 AB 于 M 点，则M 是AB的中点．→→→∴GA＋GB＝ 2GM.∵G 是△ABO 的重心，→→∴GO＝－ 2GM .→→→∴GA＋GB＋ GO＝ 0. (2)∵M 是 AB 边的中点，→ 1 →→1∴OM ＝2(OA ＋ OB)＝2(a＋b)．→ 2→1又∵G 是△ABO 的重心，∴ OG＝3OM＝3(a＋b)．→→→111∴PG＝OG－ OP＝3(a＋b) －m a＝(3－ m)a＋3b.→→→而PQ ＝OQ － OP＝ n b－ m a，∵P， G， Q 三点共线，→→∴有且只有一个实数λ，使得PG＝λPQ.∴(1－m)a＋1 ＝λn－λm 33bba.∴(1－m＋λm)a＋ (1－λn)b＝0.3313－ m＋λm＝ 0，1 ＋1＝ 3.∵a 与 b 不共线，∴消去λ，得1m n3－λn＝ 0.。

2016届高三理科数学一轮复习题组层级快练29Word版含答案

题组层级快练(二十九)1．两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站北偏东40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东10°D ．南偏西10°答案 B2．有一长为1千米的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则斜坡长为( ) A ．1 千米 B ．2sin10° 千米 C ．2cos10° 千米 D ．cos20° 千米答案 C解析由题意知DC ＝BC ＝1，∠BCD ＝160°， ∴BD 2＝DC 2＋CB 2－2DC ·CB ·cos160°＝1＋1－2×1×1×cos(180°－20°) ＝2＋2cos20°＝4cos 210°. ∴BD ＝2cos10°.3．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是( )A ．5 海里/时B ．5 3 海里/时C ．10 海里/时D ．10 3 海里/时答案 C解析如图，A ，B 为灯塔，船从O 航行到O ′，OO ′BO ＝tan30°，OO ′AO＝tan15°，∴BO ＝3OO ′，AO ＝(2＋3)OO ′.∵AO －BO ＝AB ＝10，∴OO ′·[(2＋3)－3]＝10. ∴OO ′＝5.∴船的速度为512＝10海里/时．4．在某次测量中，在A 处测得同一平面方向的B 点的仰角是50°，且到A 的距离为2，C 点的俯角为70°，且到A 的距离为3，则B ，C 间的距离为( )A.16B.17C.18D.19解析∵∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝3，∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos∠BAC＝4＋9－2×2×3×cos120°＝19.∴BC＝19.5．某人在地上画了一个角∠BDA＝60°，他从角的顶点D出发，沿角的一边DA行走10米后，拐弯往另一边的方向行走14米正好到达∠BDA的另一边BD上的一点，我们将该点记为点N，则N与D之间的距离为()A．14米B．15米C．16米D．17米答案 C解析如图，设DN＝x米，则142＝102＋x2－2×10×x cos60°，∴x2－10x－96＝0.∴(x－16)(x＋6)＝0.∴x＝16或x＝－6(舍去)．∴N与D之间的距离为16米．6.如图所示，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是()A．10米B．10 2 米C．10 3 米D．10 6 米答案 D解析在△BCD中，CD＝10，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，∵BCsin45°＝CDsin30°，∴BC＝CD sin45°sin30°＝10 2.在Rt△ABC中，tan60°＝ABBC，∴AB＝BC tan60°＝10 6 米．7．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是()A．50 m B．100 mC．120 m D．150 m解析设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，BC ＝3h ，根据余弦定理得(3h )2＝h 2＋1002－2·h ·100·cos60°，即h 2＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，即h ＝50，故水柱的高度是50 m.8．一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________ km.答案 30 2解析如图所示，依题意有：AB ＝15×4＝60，∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°，在△AMB 中，由正弦定理，得60sin45°＝BM sin30°.解得BM ＝302(km)．9．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10 6 米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为50秒，升旗手应以________(米/秒)的速度匀速升旗．答案 0.6解析在△BCD 中，∠BDC ＝45°，∠CBD ＝30°， CD ＝106，由正弦定理，得BC ＝CD sin45°sin30°＝20 3.在Rt △ABC 中，AB ＝BC sin60°＝203×32＝30(米)．所以升旗速度v ＝AB t ＝3050＝0.6(米/秒)．10．在海岸A 处，发现北偏东45°方向，距A 处(3－1)n mile 的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°的方向，距离A 处2n mile 的C 处的缉私船奉命以103n mile/h 的速度追截走私船．此时，走私船正以10n mile/h 的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？答案缉私船沿东偏北30°方向能最快追上走私船思路本例考查正弦、余弦定量的建模应用．如图所示，注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在D 处相遇，则可先在△ABC 中求出BC ，再在△BCD 中求∠BCD .解析设缉私船用t h 在D 处追上走私船，则有CD ＝103t ，BD ＝10t ，在△ABC 中，∵AB ＝3－1，AC ＝2，∠BAC ＝120°， ∴由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC ＝(3－1)2＋22－2·(3－1)·2·cos120°＝6. ∴BC ＝ 6.且sin ∠ABC ＝AC BC ·sin ∠BAC ＝26·32＝22.∴∠ABC ＝45°.∴BC 与正北方向垂直． ∵∠CBD ＝90°＋30°＝120°，在△BCD 中，由正弦定理，得sin ∠BCD ＝BD ·sin ∠CBD CD ＝10t sin120°103t ＝12.∴∠BCD ＝30°.即缉私船沿东偏北30°方向能最快追上走私船．11.衡水市某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC ，△ABD ，经测量AD ＝BD ＝7米，BC ＝5米，AC ＝8米，∠C ＝∠D .(1)求AB 的长度；(2)若环境标志的底座每平方米造价为5 000元，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用较低(请说明理由)？较低造价为多少？(3＝1.732，2＝1.414)答案 (1)7米 (2)小李的设计建造费用低，86 600元解析 (1)在△ABC 中，由余弦定理，得 cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝82＋52－AB 22×8×5.①在△ABD 中，由余弦定理，得 cos D ＝72＋72－AB 22×7×7.②由∠C ＝∠D ，得cos C ＝cos D . ∴AB ＝7，∴AB 长为7米．(2)小李的设计建造费用较低，理由如下： S △ABD ＝12AB ·BD ·sin D ，S △ABC ＝12AC ·BC ·sin C .∵AD ·BD >AC ·BC ，∴S △ABD >S △ABC . 故选择△ABC 建造环境标志费用较低．∵AD ＝BD ＝AB ＝7，∴△ABD 是等边三角形，∠D ＝60°.∴S △ABC ＝103＝10×1.732＝17.32.∴总造价为5 000×17.32＝86 600(元)．12．(2015·盐城一模)如图所示，经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB ，AC ，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库M ，N (异于村庄A )，要求PM ＝PN ＝MN ＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?答案当设计∠AMN ＝60°时，工厂产生的噪声对居民影响最小解析设∠AMN ＝θ，在△AMN 中，MN sin60°＝AM sin (120°－θ).因为MN ＝2，所以AM ＝433sin(120°－θ)．在△APM 中，cos ∠AMP ＝cos(60°＋θ)． AP 2＝AM 2＋MP 2－2AM ·MP ·cos ∠AMP ＝163sin 2(120°－θ)＋4－2×2×433sin(120°－θ)cos(60°＋θ)＝163sin 2(θ＋60°)－1633sin(θ＋60°)cos(θ＋60°)＋4 ＝83[1－cos(2θ＋120°)]－833sin(2θ＋120°)＋4 ＝－83[3sin(2θ＋120°)＋cos(2θ＋120°)]＋203＝203－163sin(2θ＋150°)，θ∈(0°，120°)．当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP 2取得最大值12，即AP 取得最大值2 3. 所以设计∠AMN ＝60°时，工厂产生的噪声对居民影响最小．1.为了测量两山顶M ，N 之间的距离，飞机沿水平方向在A ，B 两点进行测量．A ，B ，M ，N 在同一个铅垂平面内(如图所示)．飞机能够测量的数据有俯角和A ，B 间的距离．请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M ，N 间的距离的步骤．解析方案一：①需要测量的数据有：A 点到M ，N 点的俯角α1，β1，B 点到M ，N 的俯角α2，β2；A ，B 间的距离d (如图所示)．②第一步：计算AM.由正弦定理，得AM＝d sinα2sin(α1＋α2)；第二步：计算AN.由正弦定理，得AN＝d sinβ2sin(β2－β1)；第三步：计算MN.由余弦定理，得MN＝AM2＋AN2－2AM×AN cos(α1－β1).方案二：①需要测量的数据有：A到M，N点的俯角α1，β1；B点到M，N点的俯角α2，β2；A，B间的距离d(如图所示)．②第一步：计算BM.由正弦定理，得BM＝d sinα1sin(α1＋α2)；第二步：计算BN.由正弦定理，得BN＝d sinβ1sin(β2－β1)；第三步：计算MN.由余弦定理，得MN＝BM2＋BN2＋2BM×BN cos(β2＋α2).2．要测底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，求电视塔的高度．答案40米解析如图设电视塔AB高为x，则在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°，得BC＝x.在Rt△ADB中，∠ADB＝30°，∴BD＝3x.在△BDC中，由余弦定理，得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°.即(3x)2＝x2＋402－2·x·40·cos120°，解得x＝40，∴电视塔高为40米．。

题组层级快练(六十七)

题组层级快练(六十七)1．抛物线x 2＝12y 的焦点到准线的距离是( )A ．2B ．1 C.12 D.14答案 D解析抛物线标准方程x 2＝2py(p>0)中p 的几何意义为：抛物线的焦点到准线的距离，又p ＝14，故选D. 2．过点P(－2，3)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－92x 或x 2＝43yB ．y 2＝92x 或x 2＝43yC ．y 2＝92x 或x 2＝－43yD ．y 2＝－92x 或x 2＝－43y答案 A解析设抛物线的标准方程为y 2＝kx 或x 2＝my ，代入点P(－2，3)，解得k ＝－92，m ＝43，∴y 2＝－92x 或x 2＝43y ，选A.3．若抛物线y ＝ax 2的焦点坐标是(0，1)，则a ＝( ) A ．1 B.12 C ．2 D.14答案 D解析因为抛物线的标准方程为x 2＝1a y ，所以其焦点坐标为(0，14a )，则有14a ＝1，a ＝14，故选D.4．若抛物线y 2＝2px 上一点P(2，y 0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝4x B ．y 2＝6x C ．y 2＝8x D ．y 2＝10x 答案 C解析 ∵抛物线y 2＝2px ，∴准线为x ＝－p2.∵点P(2，y 0)到其准线的距离为4，∴|－p2－2|＝4.∴p ＝4，∴抛物线的标准方程为y 2＝8x.5．已知点A(－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( ) A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12答案 C解析因为点A 在抛物线的准线上，所以－p2＝－2，所以该抛物线的焦点F(2，0)，所以k AF＝3－0－2－2＝－34.6．(2018·衡水中学调研卷)若抛物线y 2＝2px(p>0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的方程为( ) A ．y 2＝4xB ．y 2＝36xC ．y 2＝4x 或y 2＝36xD ．y 2＝8x 或y 2＝32x答案 C解析因为抛物线y 2＝2px(p>0)上一点到抛物线的对称轴的距离为6，所以若设该点为P ，则P(x 0，±6)．因为P 到抛物线的焦点F(p 2，0)的距离为10，所以由抛物线的定义得x 0＋p2＝10 ①.因为P 在抛物线上，所以36＝2px 0 ②.由①②解得p ＝2，x 0＝9或p ＝18，x 0＝1，则抛物线的方程为y 2＝4x 或y 2＝36x.7．(2016·课标全国Ⅰ)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB|＝42，|DE|＝25，则C 的焦点到准线的距离为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 答案 B解析由题意，不妨设抛物线方程为y 2＝2px(p>0)，由|AB|＝42，|DE|＝25，可取A(4p ，22)，D(－p 2，5)，设O 为坐标原点，由|OA|＝|OD|，得16p 2＋8＝p 24＋5，得p ＝4，所以选B.8．(2018·吉林长春调研测试)已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) A.355B ．2 C.115 D ．3答案 B解析由题可知l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，设抛物线的焦点为F(1，0)，则动点P 到l 2的距离等于|PF|，则动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值，即焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|5＝2，故选B.9．点A 是抛物线C 1：y 2＝2px(p>0)与双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的交点，若点A 到抛物线C 1的准线的距离为p ，则双曲线C 2的离心率等于( ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 6答案 C 解析求抛物线C 1：y 2＝2px(p>0)与双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的交点为⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝b a x ，解得⎩⎨⎧x ＝2pa 2b 2，y ＝2pa b，所以2pa 2b 2＝p 2，c 2＝5a 2，e ＝5，故选C.10．(2013·课标全国Ⅱ，理)设抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF|＝5，若以MF 为直径的圆过点(0，2)，则C 的方程为( ) A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B ．y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16x D ．y 2＝2x 或y 2＝16x答案 C解析方法一：设点M 的坐标为(x 0，y 0)，由抛物线的定义，得|MF|＝x 0＋p2＝5，则x 0＝5－p 2. 又点F 的坐标为(p 2，0)，所以以MF 为直径的圆的方程为(x －x 0)(x －p2)＋(y －y 0)y ＝0.将x ＝0，y ＝2代入得px 0＋8－4y 0＝0，即y 022－4y 0＋8＝0，所以y 0＝4.由y 02＝2px 0，得16＝2p(5－p2)，解之得p ＝2或p ＝8.所以C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x.故选C.方法二：由已知得抛物线的焦点F(p 2，0)，设点A(0，2)，抛物线上点M(x 0，y 0)，则AF →＝(p2，－2)，AM →＝(y 022p，y 0－2)．由已知得，AF →·AM →＝0，即y 02－8y 0＋16＝0，因而y 0＝4，M(8p ，4)．由抛物线定义可知：|MF|＝8p ＋p2＝5.又p>0，解得p ＝2或p ＝8，故选C.11．(2018·合肥质检)已知抛物线y 2＝2px(p>0)上一点M 到焦点F 的距离等于2p ，则直线MF 的斜率为( ) A ．± 3 B ．±1 C ．±34D ．±33答案 A解析设M(x M ，y M )，由抛物线定义可得|MF|＝x M ＋p 2＝2p ，解得x M ＝3p2，代入抛物线方程可得y M ＝±3p ，则直线MF 的斜率为y M x M －p 2＝±3pp ＝±3，选项A 正确．12．(2018·太原一模)已知抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，△ABC 的顶点都在抛物线上，且满足FA →＋FB →＋FC →＝0，则1k AB ＋1k BC ＋1k CA ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．2p 答案 A解析设点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，F(p 2，0)，则(x 1－p 2，y 1)＋(x 2－p 2，y 2)＋(x 3－p2，y 3)＝(0，0)，故y 1＋y 2＋y 3＝0.∵1k AB ＝x 2－x 1y 2－y 1＝12p （y 22－y 12）y 2－y 1＝y 2＋y 12p ，同理可知1k BC ＝y 3＋y 22p ，1k CA ＝y 3＋y 12p ，∴1k AB ＋1k BC ＋1k CA ＝2（y 1＋y 2＋y 3）2p＝0. 13．(2018·河南新乡第一次调研)经过抛物线y 2＝8x 的焦点和顶点且与其准线相切的圆的半径为________．答案 3解析圆心是x ＝1与抛物线的交点．r ＝1＋2＝3.14．(2018·福建闽侯三中期中)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，过P 作PA ⊥l 于点A ，当∠AFO ＝30°(O 为坐标原点)时，|PF|＝________．答案 43解析设l 与y 轴的交点为B ，在Rt △ABF 中，∠AFB ＝30°，|BF|＝2，所以|AB|＝233.设P(x 0，y 0)，则x 0＝±233，代入x 2＝4y 中，得y 0＝13，从而|PF|＝|PA|＝y 0＋1＝43.15．已知定点Q(2，－1)，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，动点P 为抛物线上任意一点，当|PQ|＋|PF|取最小值时，P 的坐标为________．答案 (14，－1)解析设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义可知|PF|＝|PD|，∴要使|PQ|＋|PF|取得最小值，即D ，P ，Q 三点共线时|PQ|＋|PF|最小．将Q(2，－1)的纵坐标代入y 2＝4x 得x ＝14，故P 的坐标为(14，－1)． 16.右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．答案 2 6解析建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x 2＝－2py(p>0)，由点(2，－2)在抛物线上，可得p ＝1，则抛物线方程为x 2＝－2y. 当y ＝－3时，x ＝±6，所以水面宽为2 6 米．17．抛物线y 2＝2px(p>0)有一个内接直角三角形，直角顶点是原点，一条直角边所在直线方程为y ＝2x ，斜边长为513，求此抛物线方程．答案 y 2＝4x解析设抛物线y 2＝2px(p>0)的内接直角三角形为AOB ，直角边OA 所在直线方程为y ＝2x ，另一直角边所在直线方程为y ＝－12x.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y 2＝2px ，可得点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，p ；解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ，y 2＝2px ，可得点B 的坐标为(8p ，－4p)．∵|OA|2＋|OB|2＝|AB|2，且|AB|＝513， ∴⎝⎛⎭⎫p24＋p 2＋(64p 2＋16p 2)＝325. ∴p ＝2，∴所求的抛物线方程为y 2＝4x.18．(2018·上海春季高考题)利用“平行于圆锥母线的平面截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯(射出的光锥为圆锥)在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影射出的抛物线的平面图，图3是一个射灯投影的直观图，在图2与图3中，点O 、A 、B 在抛物线上，OC 是抛物线的对称轴，OC ⊥AB 于C ，AB ＝3米，OC ＝4.5米．(1)求抛物线的焦点到准线的距离；(2)在图3中，已知OC 平行于圆锥的母线SD ，AB 、DE 是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小(精确到0.01°)．答案 (1)14(2)9.59°解析 (1)如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为y 轴，建系．∴B(1.5，－4.5)．设抛物线方程为x 2＝－2py. 点B(1.5，－4.5)在抛物线上． ∴p ＝14.∴焦点到准线距离为14.(2)如图，C 为DE 中点，OC ∥SD ，∴O 为SE 中点．SC ⊥DE ，OC ＝4.5，∴SE ＝2OC ＝9. DE ＝AB ＝3，∴CE ＝1.5. ∴sin ∠CSE ＝CE SE ＝1.59≈0.167.∴∠SCE ≈9.59°.∴圆锥的母线与轴的夹角约为9.59°.1．抛物线y ＝4x 2关于直线x －y ＝0对称的抛物线的准线方程是( ) A ．y ＝－1 B ．y ＝－116C ．x ＝－1D ．x ＝－116答案 D解析抛物线x 2＝14y 的准线方程为y ＝－116，关于x ＝y 对称的准线方程x ＝－116为所求．2．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0，2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( ) A.172B ．3C. 5D.92答案 A解析抛物线y 2＝2x 的焦点为F(12，0)，准线是l ，由抛物线的定义知点P 到焦点F 的距离等于它到准线l 的距离，因此要求点P 到点(0，2)的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P 到点(0，2)的距离与点P 到焦点F 的距离之和的最小值，结合图形不难得出相应的最小值就等于焦点F 到点(0，2)的距离，因此所求的最小值等于（12）2＋（－2）2＝172，选A. 3．抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是( ) A ．(0，a) B ．(a ，0) C ．(0，116a )D ．(116a，0)答案 C解析抛物线方程化标准方程为x 2＝14a y ，焦点在y 轴上，焦点为(0，116a)．4．已知点A(－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( ) A.12 B.23 C.34 D.43 答案 D解析先确定切线的方程，再联立方程组求解．抛物线y 2＝2px 的准线为直线x ＝－p 2，而点A(－2，3)在准线上，所以－p2＝－2，即p ＝4，从而C ：y 2＝8x ，焦点为F(2，0)．设切线方程为y －3＝k(x ＋2)，代入y 2＝8x 得k8y 2－y ＋2k＋3＝0(k ≠0)①.由于Δ＝1－4×k 8·(2k ＋3)＝0，所以k ＝－2或k ＝12.因为切点在第一象限，所以k ＝12.将k ＝12代入①中，得y ＝8，再代入y 2＝8x 中得x ＝8，所以点B 的坐标为(8，8)，所以直线BF 的斜率为86＝43.5．(2018·海口一模)过点F(0，3)且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( ) A ．y 2＝12x B ．y 2＝－12x C ．x 2＝－12y D ．x 2＝12y答案 D6．(2018·湖北黄冈中学检测)若坐标原点到抛物线y ＝mx 2的准线的距离为2，则实数m ＝( ) A ．8 B ．±8 C ．±14D ．±18答案 D解析 x 2＝1m y ，故由题意可得14|m|＝2，所以m ＝±18.7．(2018·江西吉安一中期中)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，其上有两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)满足|AF|－|BF|＝2，则y 1＋x 12－y 2－x 22＝( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 答案 D解析 ∵|AF|－|BF|＝2，∴y 1＋1－(y 2＋1)＝2，∴y 1－y 2＝2，所以y 1＋x 12－y 2－x 22＝5(y 1－y 2)＝10，故选D.8．(2018·云南昆明适应性检测)已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，点A ，B 在C 上，且点F 是△AOB 的重心，则cos ∠AFB 为( ) A ．－35B ．－78C ．－1112D ．－2325答案 D解析设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则由重心坐标公式得x 1＋x 23＝p2，y 1＋y 2＝0，故A ，B 关于x 轴对称，则x 1＝x 2＝34p ，所以|AF|＝|BF|＝34p ＋p 2＝54p ，|AB|2＝6p 2，所以由余弦定理可得cos ∠AFB ＝|AF|2＋|BF|2－|AB|22|AF||BF|＝－2325，故选D.9．(2018·湖南郴州第二次质检)已知正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝2px(p>0)上，则这个正三角形的边长为( )A．23p B．2pC．43p D．4p答案 C解析∵抛物线y2＝2px关于x轴对称，∴若正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，则A，B关于x轴对称，如图所示，∴直线OA的倾斜角为30°，斜率为33，∴直线OA的方程为y＝33x，由⎩⎪⎨⎪⎧y＝33x，y2＝2px，得⎩⎪⎨⎪⎧x＝6p，y＝23p，∴A(6p，23p)，则B(6p，－23p)，∴|AB|＝43p，∴这个正三角形的边长为43p.故选C.10．(2016·浙江，理)若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________．答案9解析由于抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线为x＝－1，设点M的坐标为(x，y)，则x ＋1＝10，所以x＝9.故M到y轴的距离是9.11．在抛物线y2＝4x上找一点M，使|MA|＋|MF|最小，其中A(3，2)，F(1，0)，求M点的坐标及此时的最小值．答案M(1，2)，最小值为4解析如图点A在抛物线y2＝4x的内部，由抛物线的定义可知，|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MH|，其中|MH|为M到抛物线的准线的距离．过A作抛物线准线的垂线交抛物线于M1，垂足为B，则|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MH|≥|AB|＝4，当且仅当点M在M1的位置时等号成立．此时M1点的坐标为(1，2)．12．(2018·黑龙江大庆一模)已知圆x2＋y2＋mx－14＝0与抛物线y2＝4x的准线相切，则m＝________．答案 34 解析圆x 2＋y 2＋mx －14＝0圆心为(－m 2，0)，半径r ＝m 2＋12，抛物线y 2＝4x 的准线为x ＝－1.由|－m 2＋1|＝m 2＋12，得m ＝34. 13．一个正三角形的两个顶点在抛物线y 2＝ax 上，另一个顶点在坐标原点，若这个三角形的面积为363，则a ＝________．答案 ±2 3解析设正三角形边长为x ，则363＝12x 2sin60°. ∴x ＝12.当a>0时，将(63，6)代入y 2＝ax 得a ＝2 3.当a<0时，将(－63，6)代入y 2＝ax 得a ＝－23，故a ＝±2 3.14．已知抛物线y ＝ax 2－1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为________．答案 2解析 y ＝ax 2－1变形为x 2＝1a (y ＋1)，此抛物线焦点坐标为(0，14a－1)，由题意14a－1＝0， ∴a ＝14. ∴抛物线为y ＝14x 2－1，令y ＝0，得x ＝±2，如图．顶点A(0，－1)，|BC|＝4.∴S △ABC ＝12|BC|·|AF|＝12×4×1＝2. 15．(2017·湖北恩施一中开学考)长为2的线段AB 的两个端点在抛物线y 2＝x 上滑动，则线段AB 中点M 到y 轴距离的最小值是________．答案 34解析设抛物线y 2＝x 的焦点为F ，准线为l ，点A ，B ，M 在l 上的射影分别为点C ，D ，N ，连接AC ，BD ，MN ，如图．由梯形的中位线定理，可得|MN|＝12(|AC|＋|BD|)．连接AF ，BF ，根据抛物线的定义得|AF|＝|AC|，|BF|＝|BD|.根据平面几何知识，可得|AF|＋|BF|≥|AB|，当且仅当点F 在AB 上时取等号，∴|AC|＋|BD|≥|AB|＝2，∴|MN|＝12(|AC|＋|BD|)≥12|AB|＝1. 设点M 的横坐标为a ，抛物线y 2＝x 的准线方程为x ＝－14，则 |MN|＝a ＋14≥1，解得a ≥34. 因此，当且仅当线段AB 为经过抛物线焦点的弦时，AB 的中点M 到y 轴的距离最小，为34. 16．过点M(2，－2p)作抛物线x 2＝2py(p>0)的两条切线，切点分别为A ，B ，若线段AB 中点的纵坐标为6，求抛物线方程．答案 x 2＝2y 或x 2＝4y解析 x 2＝2py 变形为y ＝12px 2， ∴y ′＝x p.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， ∴y ′|x ＝x 1＝x 1p. ∴切线AM 方程为y －y 1＝x 1p(x －x 1)．即y ＝x 1p x －x 122p .同理BM 方程为y ＝x 2p x －x 222p. 又(2，－2p)在两条直线上，∴－2p ＝2x 1p －x 122p ，－2p ＝2x 2p －x 222p. ∴x 1，x 2是方程x 22p －2x p－2p ＝0的两根．即x 2－4x －4p 2＝0.∴x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝－4p 2.∴y 1＋y 2＝12p (x 12＋x 22) ＝12p [(x 1＋x 2)2－2x 1x 2]＝12p(16＋8p 2)．又∵线段AB 中点纵坐标为6，∴y1＋y2＝12，即12)＝12.2p(16＋8p解得p＝1或p＝2.∴抛物线方程为x2＝2y或x2＝4y.。

2016届高三理科数学一轮复习题组层级快练37Word版含答案

题组层级快练(三十七)1．在等比数列{a n }中，a 1＝12，q ＝12，a n ＝132，则项数n 为( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 C2．在等比数列{a n }中，若公比q ＝2，S 4＝1，则S 8的值为( ) A ．15 B ．17 C ．19 D ．21答案 B3．在等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，若a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，则公比q 等于( ) A ．3 B ．－3 C ．－1 D ．1答案 A解析方法一：列方程求出首项和公比，过程略；方法二：两等式相减得a 4－a 3＝2a 3，从而求得a 4a 3＝3＝q .4．(2015·安徽芜湖五联考)在等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或12答案 C解析根据已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝7，①a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝21，②②÷①得1＋q ＋q 2q 2＝3. 整理得2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12.5．若等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝16n ，则公比为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16答案 B解析由a n a n ＋1＝16n ，得a n ＋1·a n ＋2＝16n ＋1.两式相除得，a n ＋1·a n ＋2a n ·a n ＋1＝16n ＋116n ＝16，∴q 2＝16.∵a n a n ＋1＝16n ，可知公比为正数，∴q ＝4.6．设a 1＝2，数列{1＋2a n }是公比为2的等比数列，则a 6＝( ) A ．31.5 B ．160 C ．79.5 D ．159.5答案 C解析因为1＋2a n ＝(1＋2a 1)·2n －1，则a n ＝5·2n －1－12，a n ＝5·2n －2－12.a 6＝5×24－12＝5×16－12＝80－12＝79.5.7．(2015·河北唐山一模)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n＝( ) A ．4n －1B ．4n －1C ．2n －1D ．2n －1答案 D解析 ∵⎩⎨⎧a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，∴⎩⎨⎧a 1＋a 1q 2＝52，①a 1q ＋a 1q 3＝54.②由①除以②可得1＋q 2q ＋q 3＝2，解得q ＝12，代入①得a 1＝2. ∴a n ＝2×(12)n －1＝42n .∴S n ＝2×[1－(12)n ]1－12＝4(1－12n )．∴S na n ＝4(1－12n )42n＝2n －1，选D. 8．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 25，a 2＝1，则a 1＝( ) A.12 B.22C. 2 D ．2答案 B 解析因为a 3·a 9＝2a 25，则由等比数列的性质有：a 3·a 9＝a 26＝2a 25，所以a 26a 25＝2，即(a 6a 5)2＝q 2＝2.因为公比为正数，故q ＝ 2.又因为a 2＝1，所以a 1＝a 2q ＝12＝22.9．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( ) A ．7 B ．5 C ．－5 D ．－7答案 D解析设数列{a n }的公比为q ，由⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝2，a 5·a 6＝a 4·a 7＝－8，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝4，a 7＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，q 3＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，q 3＝－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－8，a 10＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 10＝－8，所以a 1＋a 10＝－7. 10．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a 3＝32，S 3＝92，则公比q ＝( )A.12B ．－12C ．1或－12D ．1或12答案 C解析当q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝32，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝92，符合题意；当q ≠1时，由题可得⎩⎨⎧a 3＝a 1q 2＝32，S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝92，解得q ＝－12.故q ＝1或q ＝－12.11．(2015·浙江湖州一模)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若8a 2－a 5＝0，则S 4S 2＝( )A ．－8B ．5C ．8D ．15答案 B解析 ∵在等比数列{a n }中，8a 2－a 5＝0，∴公比q ＝2.∴S 4S 2＝a 1(1－24)1－2a 1(1－22)1－2＝5，故选B.12．(2015·上海黄浦模拟)已知{a n }是首项为1的等比数列，若S n 是数列{a n }的前n 项和，且28S 3＝S 6，则数列{1a n}的前4项和为( )A.158或4 B.4027或4C.4017D.158答案 C解析设数列{a n }的公比为q .当q ＝1时，由a 1＝1，得28S 3＝28×3＝84.S 6＝6，两者不相等，因此不合题意．当q ≠1时，由28S 3＝S 6及首项为1，得28(1－q 3)1－q ＝1－q 61－q ，解得q ＝3.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1.所以数列{1a n }的前4项和为1＋13＋19＋127＝4027.13．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3S 2＝0，则公比q ＝________. 答案－2解析由S 3＋3S 2＝0，即a 1＋a 2＋a 3＋3(a 1＋a 2)＝0，即4a 1＋4a 2＋a 3＝0，即4a 1＋4a 1q ＋a 1q 2＝0，即q 2＋4q ＋4＝0，所以q ＝－2.14．在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，则公比q ＝________；|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝________.答案－2,2n －1－12解析设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4＝a 1q 3，代入数据解得q 3＝－8，所以q ＝－2；等比数列{|a n |}的公比为|q |＝2，则|a n |＝12×2n －1，所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝12(1＋2＋22＋…＋2n －1)＝12(2n －1)＝2n －1－12.15．(2014·广东理)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________.答案 50解析因为{a n }为等比数列，所以由已知可得a 10a 11＝a 9a 12＝a 1a 20＝e 5. 于是ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1a 2a 3…a 20)．而a 1a 2a 3…a 20＝(a 1a 20)10＝(e 5)10＝e 50，因此ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝lne 50＝50.16．(2015·广州综合测试)已知数列{c n }，其中c n ＝2n ＋3n ，且数列{c n ＋1－pc n }为等比数列，则常数p ＝________.答案 2或3解析由数列{c n ＋1－pc n }为等比数列，得(c 3－pc 2)2＝(c 2－pc 1)(c 4－pc 3)，即(35－13p )2＝(13－5p )(97－35p )．解得p ＝2或p ＝3.17．已知{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和，a 1，a 7，a 4成等差数列，求证：2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．答案略证明由已知得2a 1q 6＝a 1＋a 1q 3，即2q 6－q 3－1＝0，得q 3＝1或q 3＝－12.当q 3＝1即q ＝1，{a n }为常数列，S 62S 3＝S 12－S 6S 6命题成立．当q 3＝－12时，S 62S 3＝1－q 62(1－q 3)＝14. S 12－S 6S 6＝1－q 121－q 6－1＝14.∴命题成立． 18．(2015·山西大同质检)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{b n }中的b 3，b 4，b5.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列{S n ＋54}是等比数列．答案 (1)b n ＝5×2n －3 (2)略解析 (1)设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d . 依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，解得a ＝5. 所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d .依题意，有(7－d )(18＋d )＝100，解得d ＝2或d ＝－13(舍去)．故{b n }的第3项为5，公比为2.由b 3＝b 1·22，即5＝b 1×22，解得b 1＝54.所以{b n }是以54为首项，以2为公比的等比数列，其通项公式为b n ＝54×2n －1＝5×2n －3.(2)证明：由(1)得数列{b n }的前n 项和S n ＝54(1－2n )1－2＝5×2n －2－54，即S n ＋54＝5×2n －2.所以S 1＋54＝52，S n ＋1＋54S n ＋54＝5×2n －15×2n －2＝2.因此{S n ＋54}是以52为首项，以2为公比的等比数列．1．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比q ≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12答案 C解析 a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝q ·q 2·q 3·q 4＝q 10＝a 1q 10，所以m ＝11. 2．在等比数列{a n }中，a 2a 6＝16，a 4＋a 8＝8，则a 20a 10等于( )A ．1B ．－3C ．1或－3D ．－1或3答案 A解析由a 2a 6＝16，得a 24＝16⇒a 4＝±4.又a 4＋a 8＝8，可得a 4(1＋q 4)＝8，∵q 4>0，∴a 4＝4.∴q 2＝1，a 20a 10＝q 10＝1.3．(2015·浙江金丽衢十二校二联)在等比数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝24，则a 3＋a 4＋a 5＝( ) A ．33 B ．72 C ．84 D ．189答案 C解析由题意可得q 3＝8，∴q ＝2. ∴a 3＋a 4＋a 5＝a 1q 2(1＋q ＋q 2)＝84.4．(2015·浙江温州十校联考)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝5，S m ＝－11，S m＋1＝21，则m ＝( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6答案 C解析由已知得，S m －S m －1＝a m ＝－16，S m ＋1－S m ＝a m ＋1＝32，故公比q ＝a m ＋1a m＝－2.又S m ＝a 1－a m q 1－q＝－11，故a 1＝－1.又a m ＝a 1·q m －1＝－16，故(－1)×(－2)m －1＝－16，求得m ＝5.5．(2013·江西理)等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12 D ．24答案 A解析由x,3x ＋3,6x ＋6成等比数列，知(3x ＋3)2＝x ·(6x ＋6)，解得x ＝－3或x ＝－1(舍去)．所以此等比数列的前三项为－3，－6，－12.故第四项为－24，选A.6．在等比数列{a n }中，若公比q ＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式a n ＝________.答案 4n －1解析由题意知a 1＋4a 1＋16a 1＝21，解得a 1＝1，所以通项公式为a n ＝4n －1.。

【高考调研】2016届高三理科数学一轮复习题组层级快练69含答案

【⾼考调研】2016届⾼三理科数学⼀轮复习题组层级快练69含答案题组层级快练(六⼗九)1．到两定点A (0,0)，B (3,4)距离之和为5的点的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．AB 所在的直线 C ．线段AB D ．⽆轨迹答案 C解析∵|AB |＝5，∴到A ，B 两点距离之和为5的点的轨迹是线段AB .2．若点P 到点F (0,2)的距离⽐它到直线y ＋4＝0的距离⼩2，则P 的轨迹⽅程为( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．x 2＝8y D ．x 2＝－8y 答案 C解析由题意知P 到F (0,2)的距离⽐它到y ＋4＝0的距离⼩2，因此P 到F (0,2)的距离与到直线y ＋2＝0的距离相等，故P 的轨迹是以F 为焦点，y ＝－2为准线的抛物线，所以P 的轨迹⽅程为x 2＝8y .3．在△ABC 中，已知A (－1,0)，C (1,0)，且|BC |，|CA |，|AB |成等差数列，则顶点B 的轨迹⽅程是( )A.x 23＋y 24＝1 B.x 23＋y 24＝1(x ≠±3) C.x 24＋y 23＝1 D.x 24＋y 23＝1(x ≠±2) 答案 D解析∵|BC |，|CA |，|AB |成等差数列，∴|BC |＋|BA |＝2|CA |＝4.∴点B 的轨迹是以A ，C 为焦点，半焦距c ＝1，长轴长2a ＝4的椭圆．⼜B 是三⾓形的顶点，A ，B ，C 三点不能共线，故所求的轨迹⽅程为x 24＋y 23＝1，且y ≠0.4．已知点F (1,0)，直线l ：x ＝－1，点B 是l 上的动点．若过B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( )A ．双曲线B ．椭圆C ．圆D ．抛物线答案 D解析连接MF ，由中垂线性质，知|MB |＝|MF |.即M 到定点F 的距离与它到直线x ＝－1距离相等．∴点M 的轨迹是抛物线．∴D 正确．5．设椭圆与双曲线有共同的焦点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且椭圆长轴是双曲线实轴的2倍，则椭圆与双曲线的交点轨迹是( )A ．双曲线B ．⼀个圆C ．两个圆D ．两条抛物线答案 C解析由|PF 1|＋|PF 2|＝4a ，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，得到|PF 1|＝3|PF 2|或|PF 2|＝3|PF 1|，所以是两个圆．6．经过抛物线y 2＝2px 焦点的弦的中点的轨迹是( ) A ．抛物线 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．直线答案 A解析点差法 k AB ＝2p y 1＋y 2＝2p 2y＝k MF ＝yx －p 2化简得抛物线．7．(2015·北京朝阳上学期期末)已知正⽅形的四个顶点分别为O (0,0)，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，点D ，E 分别在线段OC ，AB 上运动，且|OD |＝|BE |，设AD 与OE 交于点G ，则点G 的轨迹⽅程是( )A ．y ＝x (1－x )(0≤x ≤1)B ．x ＝y (1－y )(0≤y ≤1)C ．y ＝x 2(0≤x ≤1)D ．y ＝1－x 2(0≤x ≤1) 答案 A解析设D (0，λ)，E (1,1－λ)，0≤λ≤1，所以线段AD 的⽅程为x ＋yλ＝1(0≤x ≤1)，线段OE 的⽅程为y ＝(1－λ)x (0≤x ≤1)，联⽴⽅程组x ＋y λ＝1，0≤x ≤1，y ＝(1－λ)x ，0≤x ≤1，(λ为参数)，消去参数λ得点G 的轨迹⽅程为y ＝x (1－x )(0≤x ≤1)，故A 正确．8．(2015·衡⽔调研卷)双曲线M ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)实轴的两个顶点为A ，B ，点P 为双曲线M 上除A ，B 外的⼀个动点，若QA ⊥P A 且QB ⊥PB ，则动点Q 的运动轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线答案 C解析 A (－a,0)，B (a,0)，设Q (x ，y )，P (x 0，y 0)，k AP ＝y 0x 0＋a ，k BP ＝y 0x 0－a ，k AQ ＝yx ＋a ，k BQ＝y x －a ，由QA ⊥P A 且QB ⊥PB ，得k AP k AQ ＝y 0x 0＋a ·y x ＋a ＝－1，k BP k BQ ＝y 0x 0－a ·y x －a＝－1.两式相乘即得轨迹为双曲线．9．长为3的线段AB 的端点A ，B 分别在x ，y 轴上移动，动点C (x ，y )满⾜AC →＝2CB →，则动点C 的轨迹⽅程________．答案 x 2＋14y 2＝1解析设A (a,0)，B (0，b )，则a 2＋b 2＝9.⼜C (x ，y )，则由AC →＝2CB →，得(x －a ，y )＝2(－x ，b －y )．即x －a ＝－2x ，y ＝2b －2y ，即?a ＝3x ，b ＝32y ，代⼊a 2＋b 2＝9，并整理，得x 2＋14y 2＝1.10．若过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线与其交于M ，N 两点，作平⾏四边形MONP ，则点P 的轨迹⽅程为________．答案 y 2＝4(x －2)解析设直线⽅程为y ＝k (x －1)，点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x ，y )，由OM →＝NP →，得(x 1，y 1)＝(x －x 2，y －y 2)．得x 1＋x 2＝x ，y 1＋y 2＝y .由?y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，联⽴得x ＝x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.y ＝y 1＋y 2＝4kk2，消去参数k ，得y 2＝4(x －2)．11．已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，则顶点A 的轨迹⽅程为________．答案 (x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)解析⽅法⼀：直接法．设A (x ，y )，y ≠0，则D (x 2，y2)．∴|CD |＝(x 2－5)2＋y 24＝3. 化简，得(x －10)2＋y 2＝36.由于A ，B ，C 三点构成三⾓形，所以A 不能落在x 轴上，即y ≠0. ⽅法⼆：定义法．如图，设A (x ，y )，D 为AB 的中点，过A 作AE ∥CD 交x 轴于E .∵|CD |＝3，∴|AE |＝6，则E (10,0)，∴A 到E 的距离为常数6.∴A 的轨迹为以E 为圆⼼，6为半径的圆，即(x －10)2＋y 2＝36.⼜A ，B ，C 不共线，故A 点纵坐标y ≠0，故A 点轨迹⽅程为(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)．12．已知抛物线y 2＝nx (n <0)与双曲线x 28－y 2m＝1有⼀个相同的焦点，则动点(m ，n )的轨迹⽅程是________．答案 n 2＝16(m ＋8)(n <0)解析抛物线的焦点为(n 4，0)，在双曲线中，8＋m ＝c 2＝(n4)2，n <0，即n 2＝16(m ＋8)(n <0)．13.如图所⽰，直⾓三⾓形ABC 的顶点坐标A (－2,0)，直⾓顶点B (0，－22)，顶点C 在x 轴上，点P 为线段OA 的中点．(1)求BC 边所在直线⽅程；(2)M 为直⾓三⾓形ABC 外接圆的圆⼼，求圆M 的⽅程；(3)若动圆N 过点P 且与圆M 内切，求动圆N 的圆⼼N 的轨迹⽅程．答案 (1)y ＝22x －22 (2)(x －1)2＋y 2＝9 (3)49x 2＋45y 2＝1 解析 (1)∵k AB ＝－2，AB ⊥BC ，∴k CB ＝22.∴BC ：y ＝22x －2 2. (2)在上式中，令y ＝0，得C (4,0)．∴圆⼼M (1,0)．⼜∵|AM |＝3，∴外接圆的⽅程为(x －1)2＋y 2＝9. (3)∵P (－1,0)，M (1,0)，∵圆N 过点P (－1,0)，∴PN 是该圆的半径．⼜∵动圆N 与圆M 内切，∴|MN |＝3－|PN |，即|MN |＋|PN |＝3.∴点N 的轨迹是以M ，P 为焦点，长轴长为3的椭圆．∴a ＝32，c ＝1，b ＝a 2－c 2＝54. ∴轨迹⽅程为49x 2＋45y 2＝1.14．已知动点P (x ，y )与两定点M (－1,0)，N (1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)． (1)求动点P 的轨迹C 的⽅程； (2)讨论轨迹C 的形状．答案 (1)x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1) (2)略解析 (1)由题设知直线PM 与PN 的斜率存在且均不为零，所以k PM ·k PN ＝y x ＋1·yx －1＝λ. 整理，得x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)．(2)①当λ>0时，轨迹C 为中⼼在原点，焦点在x 轴上的双曲线(除去顶点)；②当－1<λ<0时，轨迹C 为中⼼在原点，焦点在x 轴上的椭圆(除去长轴两个端点)；③当λ＝－1时，轨迹C 为以原点为圆⼼，1为半径的圆除去点(－1,0)，(1,0)；④当λ<－1时，轨迹C 为中⼼在原点，焦点在y 轴上的椭圆(除去短轴的两个端点)． 15．(2014·福建⽂)已知曲线Γ上的点到点F (0,1)的距离⽐它到直线y ＝－3的距离⼩2. (1)求曲线Γ的⽅程；(2)曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A ，直线y ＝3分别与直线l 及y 轴交于点M ，N .以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B .试探究：当点P 在曲线Γ上运动(点P 与原点不重合)时，线段AB 的长度是否发⽣变化？证明你的结论．答案 (1)x 2＝4y (2)线段AB 长度不变，证明略思路 (1)由题意判断曲线是抛物线，⽤定义求曲线⽅程；(2)先求出切线⽅程，联⽴⽅程得出A ，M 的坐标，⽤勾股定理表⽰AB 的长度．解析⽅法⼀：(1)设S (x ，y )为曲线Γ上任意⼀点，依题意，点S 到F (0,1)的距离与它到直线y ＝－1的距离相等，所以曲线Γ是以点F (0,1)为焦点，直线y ＝－1为准线的抛物线，所以曲线Γ的⽅程为x 2＝4y .(2)当点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变．证明如下：由(1)知抛物线Γ的⽅程为y ＝14x 2，设P (x 0，y 0)(x 0≠0)，则y 0＝14x 20.由y ′＝12x ，得切线l 的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝12x 0.所以切线l 的⽅程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.由 y ＝12x 0x －14x 20，y ＝0，得A 12x 0，0. 由y ＝12x 0x －14x 20，y ＝3，得M 12x 0＋6x 0，3. ⼜N (0,3)，所以圆⼼C14x 0＋3x 0，3，半径r ＝12|MN |＝14x 0＋3x 0. ∴|AB |＝|AC |2－r 2 ＝12x 0－14x 0＋3x 02＋32－14x 0＋3x 02＝ 6. 所以点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变．⽅法⼆：(1)设S (x ，y )为曲线Γ上任意⼀点，则|y －(－3)|－(x －0)2＋(y －1)2＝2，依题意，点S (x ，y )只能在直线y ＝－3的上⽅，所以y >－3. 所以(x －0)2＋(y －1)2＝y ＋1. 化简，得曲线Γ的⽅程为x 2＝4y . (2)同⽅法⼀．16．(2014·湖北)在平⾯直⾓坐标系xOy 中，点M 到点F (1,0)的距离⽐它到y 轴的距离多1.记点M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的⽅程；(2)设斜率为k 的直线l 过定点P (－2,1)，求直线l 与轨迹C 恰好有⼀个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围．答案 (1)y 2＝?4x ，x ≥0，0，x <0. (2)略思路 (1)根据两点间的距离公式及点到直线的距离公式列⽅程求解轨迹⽅程，注意分x ≥0，x <0两种情况讨论，最后写成分段函数的形式；(2)先求出直线l 的⽅程，然后联⽴直线l 与抛物线的⽅程，消去x ，得到关于y 的⽅程，分k ＝0，k ≠0两种情况讨论；当k ≠0时，设直线l 与x 轴的交点为(x 0,0)进⽽按Δ，x 0与0的⼤⼩关系再分情况讨论．解析 (1)设点M (x ，y )，依题意得|MF |＝|x |＋1，即(x －1)2＋y 2＝|x |＋1. 化简整理，得y 2＝2(|x |＋x )．故点M 的轨迹C 的⽅程为y 2＝?4x ，x ≥0，0，x <0.(2)在点M 的轨迹C 中，记C 1：y 2＝4x ，C 2：y ＝0(x <0)．依题意，可设直线l 的⽅程为y －1＝k (x ＋2)．由⽅程组?y －1＝k (x ＋2)，y 2＝4x ，可得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0. ①当k ＝0时，此时y ＝1.把y ＝1代⼊轨迹C 的⽅程，得x ＝14.故此时直线l ：y ＝1与轨迹C 恰好有⼀个公共点14，1. 当k ≠0时，⽅程①的判别式为Δ＝－16(2k 2＋k －1)．②设直线l 与x 轴的交点为(x 0,0)，则由y －1＝k (x ＋2)，令y ＝0，得x 0＝－2k ＋1k.③若?Δ<0，x 0<0，由②③解得k <－1，或k >12.即当k ∈(－∞，－1)∪12，＋∞时，直线l 与C 1没有公共点，与C 2有⼀个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有⼀个公共点．若 Δ＝0，x 0<0，或Δ>0，x 0≥0，由②③解得k ∈－1，12，或－12≤k <0.即当k ∈?－1，12时，直线l 与C 1只有⼀个公共点，与C 2有⼀个公共点．当k ∈－12，0时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2没有公共点．故当k ∈－12，0∪?－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点．若Δ>0，x 0<0，由②③解得－12.即当k ∈－1，－12∪0，12时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2有⼀个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．综上可知，当k ∈(－∞，－1)∪12，＋∞∪{0}时，直线l 与轨迹C 恰好有⼀个公共点；当k ∈－12，0∪?－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当k ∈?－1，－12∪0，12时，直线l与轨迹C恰好有三个公共点．。

2016届高考数学一轮复习题组层级快练6(含解析)

题组层级快练(六)1．函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(2,4)上是( ) A ．递减函数 B ．递增函数 C ．先减后增 D ．先增后减答案 C解析对称轴为x ＝3，函数在(2,3]上为减函数，在[3,4)上为增函数． 2．下列函数中，在区间(－∞，0)上是减函数的是( ) A ．y ＝1－x 2 B ．y ＝x 2＋x C ．y ＝－－x D ．y ＝xx －1答案 D3．(2014·陕西)下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的单调递增函数是( ) A ．f (x )＝x 12B ．f (x )＝x 3C ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．f (x )＝3x答案 D解析根据各选项知，选项C ，D 中的指数函数满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )．又f (x )＝3x是增函数，所以D 正确．4．函数f (x )＝1－1x －1( ) A ．在(－1，＋∞)上单调递增 B ．在(1，＋∞)上单调递增 C ．在(－1，＋∞)上单调递减 D ．在(1，＋∞)上单调递减答案 B解析 f (x )可由－1x沿x 轴向右平移一个单位，再向上平移一个单位得，如图所示．5．函数f (x )＝log 0.5(x ＋1)＋log 0.5(x －3)的单调递减区间是( ) A ．(3，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1) D ．(－∞，－1)答案 A解析由已知易得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x －3>0，即x >3，又0<0.5<1，∴f (x )在(3，＋∞)上单调递减．6．若函数y ＝log a (x 2＋2x －3)，当x ＝2时，y >0，则此函数的单调递减区间是( ) A ．(－∞，－3) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，－1) D ．(－1，＋∞)答案 A解析当x ＝2时，y ＝log a (22＋2·2－3)＝log a 5， ∴y ＝log a 5>0，∴a >1. 由复合函数单调性知，单减区间需满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3>0，x <－1，解之得x <－3.7．若f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4)上是减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．a <－3 B ．a ≤－3 C ．a >－3 D ．a ≥－3答案 B解析对称轴x ＝1－a ≥4，∴a ≤－3.8．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有f x 2－f x 1x 2－x 1<0”的是( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)答案 A 解析满足f x 2－f x 1x 2－x 1<0其实就是f (x )在(0，＋∞)上为减函数，故选A.9．设a >0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析若函数f (x )＝a x 在R 上为减函数，则有0<a <1.若函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上为增函数，则有2－a >0，即a <2，所以“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件，选A.10．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(0，＋∞)上有最小值，则函数g (x )＝f xx在区间(0，＋∞)上一定( )A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数答案 A解析 ∵f (x )＝x 2－2ax ＋a 在(0，＋∞)上有最小值， ∴a >0. ∴g (x )＝f x x ＝x ＋ax－2a 在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增． ∴g (x )在(0，＋∞)上一定有最小值．11．若奇函数f (x )在(－∞，0]上单调递减，则不等式f (lg x )＋f (1)>0的解集是________．答案 (0，110)解析因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )．又因为f (x )在(－∞，0]上单调递减，所以f (x )在[0，＋∞)上也为单调递减函数，所以函数f (x )在R 上为单调递减函数．不等式f (lg x )＋f (1)>0可化为f (lg x )>－f (1)＝f (－1)，所以lg x <－1，解得0<x <110.12．若函数y ＝－|x |在[a ，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是________．答案 a ≥0解析 y ＝－|x |在[0，＋∞)上单调递减，∴a ≥0.13．函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)的单调递增区间是________．答案 [1，＋∞)解析函数图像如图. 14．在给出的下列4个条件中，①⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，x ∈－∞，，②⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，x ∈，＋，③⎩⎪⎨⎪⎧a >1，x ∈－∞，，④⎩⎪⎨⎪⎧a >1，x ∈，＋能使函数y ＝log a 1x2为单调递减函数的是________．(把你认为正确的条件编号都填上)．答案 ①④解析利用复合函数的性质，①④正确． 15．函数f (x )＝xx ＋1的最大值为________．答案 12解析当x ＝0时，y ＝0. 当x ≠0时，f (x )＝1x ＋1x，∵x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时成立，故0<f (x )≤12，∴0≤f (x )≤12.16．给出下列命题①y ＝1x在定义域内为减函数；②y ＝(x －1)2在(0，＋∞)上是增函数； ③y ＝－1x在(－∞，0)上为增函数；④y ＝kx 不是增函数就是减函数．其中错误命题的个数有________．答案 3解析 ①②④错误，其中④中若k ＝0，则命题不成立．17．已知函数f (x )的定义域为A ，若其值域也为A ，则称区间A 为f (x )的保值区间．若g (x )＝－x ＋m ＋e x的保值区间为[0，＋∞)，则m 的值为________．答案－1解析由定义知，g (x )＝－x ＋m ＋e x保值区间[0，＋∞)，又∵g ′(x )＝－1＋e x≥0，∴g (x )为在[0，＋∞)上的增函数．∴当x ＝0时，g (0)＝0，即m ＋1＝0，∴m ＝－1.18．试判断函数f (x )＝x 2－1x在(0，＋∞)上的单调性，并加以证明．答案单调递增，证明略解析方法一：函数f (x )＝x 2－1x在(0，＋∞)上是单调增函数．设0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 21－x 22－(1x 1－1x 2)＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋1x 1x 2.∵x 2>x 1>0，∴x 1－x 2<0，x 1＋x 2＋1x 1x 2>0.∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．方法二：f ′(x )＝2x ＋1x2.当x >0时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上为增函数．19．已知函数f (x )＝lg(x ＋a x－2)，其中a 是大于0的常数． (1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值； (3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围．答案 (1)a >1时，(0，＋∞)；a ＝1时，{x |x >0且x ≠1}；0<a <1时，{x |0<x <1－1－a 或x >1＋1－a } (2)lg a2(3)(2，＋∞)解析 (1)由x ＋a x －2>0，得x 2－2x ＋ax>0.①当a >1时，x 2－2x ＋a >0恒成立，定义域为(0，＋∞)； ②当a ＝1时，定义域为{x |x >0且x ≠1}；③当0<a <1时，定义域为{x |0<x <1－1－a 或x >1＋1－a }． (2)设g (x )＝x ＋a x－2，当a ∈(1,4)，x ∈[2，＋∞)时，g (x )＝x ＋ax－2在[2，＋∞)上是增函数．∴f (x )＝lg(x ＋a x －2)在[2，＋∞)上的最小值为f (2)＝lg a2.(3)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，即x ＋ax－2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立． ∴a >3x －x 2.而h (x )＝3x －x 2＝－(x －32)2＋94在x ∈[2，＋∞)上是减函数，∴h (x )max ＝h (2)＝2. ∴a >2.1．若函数f (x )在区间(－2,3)上是增函数，则y ＝f (x ＋5)的一个单调递增区间是( ) A ．(3,8) B ．(－7，－2) C ．(－3，－2) D ．(0,5)答案 B解析令－2<x ＋5<3，得－7<x <－2.2．若函数y ＝f (x )在R 上单调递增，且f (m 2＋1)>f (－m ＋1)，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)答案 D解析由题意得m 2＋1>－m ＋1，故m 2＋m >0，故m <－1或m >0. 3．函数f (x )＝log 12(3－2x )的单调递增区间是________．答案 (－∞，32)4．函数y ＝x ＋x ＋4的最小值是________．答案 2解析由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋4≥0，得x ≥0.又函数y ＝x ＋x ＋4在[0，＋∞)上是增函数，所以函数的最小值为0＋4＝2.5．函数f (x )＝(13)x－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．答案 3解析由于y ＝(13)x在R 上单调递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1,1]上单调递增，所以f (x )在[－1,1]上单调递减．故f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.6．写出下列函数的单调区间：(1)y ＝|x 2－3x ＋2|； (2)y ＝2－x x ＋3.解析 (1)y ＝|x 2－3x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2 x ≤1或x，－x 2－3x ＋＜x ＜根据图像，可知，单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32和[2，＋∞)；单调递减区间是(－∞，1]和⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2.(2)y ＝2－x x ＋3＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－5x ＋3＝－1＋5x ＋3. 方法一：图像法：作出函数的图像，得函数的单调递减区间是(－∞，－3)和(－3，＋∞)．方法二：利用已知函数的单调性：f (x )的图像是由y ＝5x的图像先向左平移3个单位，再向下平移一个单位得到的，∵y ＝5x在(－∞，0)，及(0，＋∞)上是减函数，∴f (x )＝2－xx ＋3在(－∞，－3)，及(－3，＋∞)上也是减函数．方法三：定义法(略)7．写出下列函数的单调区间：(1)y ＝|x －32|； (2)y ＝2x ＋4x －2； (3)y ＝|x |(1－x )．答案 (1)减区间(－∞，32)，增区间(32，＋∞)(2)减区间(－∞，2)，(2，＋∞)(3)增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，减区间(－∞，0]，⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞。

2016届高三理科数学一轮复习题组层级快练19Word版含答案

题组层级快练(十九)1.函数f (x )的图像如图所示，下列数值排序正确的是( )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)C ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)－f (2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3) 答案 B解析 f ′(2)，f ′(3)是x 分别为2,3时对应图像上点的切线斜率，f (3)－f (2)＝f (3)－f (2)3－2，∴f (3)－f (2)是图像上x 为2和3对应两点连线的斜率，故选B.2．(2015·赣州模拟)函数y ＝x 2e x 的图像大致为( )答案 A解析因为y ′＝2x e x ＋x 2e x ＝x (x ＋2)e x ，所以当x <－2或x >0时，y ′>0，函数y ＝x 2e x 为增函数；当－2<x <0时，y ′<0，函数y ＝x 2e x 为减函数，排除B ，C ，又y ＝x 2e x >0，所以排除D ，故选A.3．设底面为等边三角形的直三棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为( ) A.3V B.32V C.34V D ．23V答案 C4.如图，某农场要修建3个养鱼塘，每个面积为10 000米2，鱼塘前面要留4米的运料通道，其余各边为2米宽的堤埂，则占地面积最少时，每个鱼塘的长、宽分别为( )A ．长102米，宽5 00051 米B ．长150米，宽66米C ．长、宽均为100米D ．长150米，宽2003 米答案 D解析设鱼塘长、宽分别为y 米，x 米，依题意xy ＝10 000. 设占地面积为S ，则S ＝(3x ＋8)(y ＋6)＝18x ＋80 000x ＋30 048，令S ′＝18－80 000x 2＝0，得x ＝2003，此时y ＝150.5．(2015·南昌一模)已知函数y ＝f (x )对任意的x ∈(－π2，π2)满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x >0(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，则下列不等式成立的是( )A.2f (－π3)<f (－π4)B.2f (π3)<f (π4)C ．f (0)>2f (π3)D ．f (0)>2f (π4)答案 A解析由f ′(x )cos x ＋f (x )sin x >0知(f (x )cos x )′>0，所以g (x )＝f (x )cos x 在(－π2，π2)上是增函数，所以g (－π3)<g (－π4)，即f (－π3)cos (－π3)<f (－π4)cos (－π4)，即2f (－π3)<f (－π4)，所以A 正确．同理有g (π3)>g (π4)，即f (π3)cos π3>f (π4)cos π4，得2f (π3)>f (π4)，所以B 不正确；由g (π3)>g (0)，即f (π3)cos π3>f (0)cos0，得f (0)<2f (π3)，所以C 不正确；由g (π4)>g (0)，即f (π4)cos π4>f (0)cos0，得f (0)<2f (π4)，所以D 不正确．故选A.6．(2015·绵阳市高三诊断性考试)已知f (x )＝|x |e x (x ∈R )，若关于x 的方程f 2(x )－mf (x )＋m －1＝0恰好有4个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为( )A ．(1e ，2)∪(2，e)B ．(1e ，1)C ．(1，1e ＋1)D ．(1e，e)答案 C解析依题意，由f 2(x )－mf (x )＋m －1＝0，得f (x )＝1或f (x )＝m －1.当x <0时，f (x )＝－x e－x，f ′(x )＝(x －1)e －x <0，此时f (x )是减函数．当x >0时，f (x )＝x e －x ，f ′(x )＝－(x －1)e －x ，若0<x <1，则f ′(x )>0，f (x )是增函数；若x >1，则f ′(x )<0，f (x )是减函数．因此，要使关于x 的方程f 2(x )－mf (x )＋m －1＝0恰好有4个不相等的实数根，只要求直线y ＝1，直线y ＝m －1与函数y ＝f (x )的图像共有四个不同的交点．注意到直线y ＝1与函数y ＝f (x )的图像有唯一公共点，因此要求直线y ＝m －1与函数y ＝f (x )的图像共有三个不同的交点，结合图像可知，0<m －1<1e ，即1<m <1＋1e ，则实数m 的取值范围为(1,1＋1e)，选C.7．(2015·江西七校一联)定义域为R 的连续函数f (x )，对任意x 都有f (2＋x )＝f (2－x )，且其导函数f ′(x )满足(x －2)f ′(x )>0，则当2<a <4时，有( )A ．f (2a )<f (2)<f (log 2a )B ．f (2)<f (2a )<f (log 2a )C ．f (log 2a )<f (2a )<f (2)D ．f (2)<f (log 2a )<f (2a )答案 D解析 ∵对任意x 都有f (2＋x )＝f (2－x )，∴x ＝2是f (x )的对称轴．又∵(x －2)f ′(x )>0，∴当x >2时，f ′(x )>0，f (x )是增函数；当x <2时，f ′(x )<0，f (x )是减函数．又∵2<a <4，∴1<log 2a <2.4<2a <16；由f (2＋x )＝f (2－x )，得f (x )＝f (4－x )．∴f (log 2a )＝f (4－log 2a )．由1<log 2a <2，得－2<－log 2a <－1.∴2<4－log 2a <3.∴2<4－log 2a <2a .∴f (2)<f (4－log 2a )<f (2a )，即f (2)<f (log 2a )<f (2a )，故选D.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥2，(x －1)3，x <2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．答案 (0,1)解析当x <2时，f ′(x )＝3(x －2)2>0，说明函数在(－∞，2]上单调递增，函数的值域是(－∞，1)，函数在[2，＋∞)上单调递减，函数的值域是(0,1]．因此要使方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则0<k <1.9．设函数f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，a >0. (1)求f (x )的单调区间；(2)求所有的实数a ，使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立．(其中，e 为自然对数的底数)．答案 (1)单调递增区间为(0，a )，单调递减区间为(a ，＋∞) (2)a ＝e 解析 (1)因为f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，其中x >0，所以f ′(x )＝a 2x －2x ＋a ＝－(x －a )(2x ＋a )x.由于a >0，所以f (x )的单调递增区间为(0，a )，单调递减区间为(a ，＋∞)． (2)由题意得，f (1)＝a －1≥e －1，即a ≥e. 由(1)知f (x )在[1，e]上单调递增，要使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立．只要⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝a －1≥e －1， ①f (e )＝a 2－e 2＋a e ≤e 2， ② 由①得a ≥e ；由②得a ≤e.因此a ＝e.故当e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立时，实数a 的值为e. 10．(2013·北京理)设l 为曲线C ：y ＝ln x x 在点(1,0)处的切线．(1)求l 的方程；(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线l 的下方．答案 (1)y ＝x －1 (2)略解析 (1)设f (x )＝ln xx ，则f ′(x )＝1－ln x x 2.所以f ′(1)＝1.所以l 的方程为y ＝x －1.(2)令g (x )＝x －1－f (x )，则除切点之外，曲线C 在直线l 的下方等价于g (x )>0(∀x >0，x ≠1)． g (x )满足g (1)＝0，且g ′(x )＝1－f ′(x )＝x 2－1＋ln xx 2.当0<x <1时，x 2－1<0，ln x <0，所以g ′(x )<0，故g (x )单调递减；当x >1时，x 2－1>0，ln x >0，所以g ′(x )>0，故g (x )单调递增．所以g (x )>g (1)＝0(∀x >0，x ≠1)．所以除切点之外，曲线C 在直线l 的下方． 11．已知函数f (x )＝x －ln(x ＋a )在x ＝1处取得极值． (1)求实数a 的值；(2)若关于x 的方程f (x )＋2x ＝x 2＋b 在[12，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围．答案 (1)0 (2)54＋ln2≤b <2解析 (1)对f (x )求导，得f ′(x )＝1－1x ＋a .由题意，得f ′(1)＝0，即1－11＋a＝0，∴a ＝0. (2)由(1)得f (x )＝x －ln x .∴f (x )＋2x ＝x 2＋b ，即x 2－3x ＋ln x ＋b ＝0. 设g (x )＝x 2－3x ＋ln x ＋b (x >0)，则g ′(x )＝2x －3＋1x ＝2x 2－3x ＋1x ＝(2x －1)(x －1)x.令g ′(x )＝0，得x 1＝12，x 2＝1.当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下表：又g (12)＝b －54－ln2，g (2)＝b －2＋ln2，∵方程f (x )＋2x ＝x 2＋b 在[12，2]上恰有两个不相等的实数根，∴⎩⎪⎨⎪⎧g (12)≥0，g (1)<0，g (2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧b －54－ln2≥0，b －2<0，b －2＋ln2≥0，解得54＋ln2≤b <2.12．(2014·浙江文)已知函数f (x )＝x 3＋3|x －a |(a >0)，若f (x )在[－1,1]上的最小值记为g (a )．(1)求g (a )；(2)证明：当x ∈[－1,1]时，恒有f (x )≤g (a )＋4.答案 (1)g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 3，0<a <1，－2＋3a ，a ≥1 (2)略解析 (1)因为a >0，－1≤x ≤1，所以 ①当0<a <1时，若x ∈[－1，a ]，则f (x )＝x 3－3x ＋3a ，f ′(x )＝3x 2－3<0，故f (x )在(－1，a )上是减函数；若x ∈[a,1]，则f (x )＝x 3＋3x －3a ，f ′(x )＝3x 2＋3>0，故f (x )在(a,1)上是增函数．所以g (a )＝f (a )＝a 3.②当a ≥1时，有x ≤a ，则f (x )＝x 3－3x ＋3a ，f ′(x )＝3x 2－3<0，故f (x )在(－1,1)上是减函数，所以g (a )＝f (1)＝－2＋3a .综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 3，0<a <1，－2＋3a ，a ≥1.(2)证明：令h (x )＝f (x )－g (a )． ①当0<a <1时，g (a )＝a 3.若x ∈[a,1]，则h (x )＝x 3＋3x －3a －a 3，h ′(x )＝3x 2＋3，所以h (x )在(a,1)上是增函数，所以h (x )在[a,1]上的最大值是h (1)＝4－3a －a 3，且0<a <1，所以h (1)≤4.故f (x )≤g (a )＋4.若x ∈[－1，a ]，则h (x )＝x 3－3x ＋3a －a 3，h ′(x )＝3x 2－3，所以h (x )在(－1，a )上是减函数，所以h (x )在[－1，a ]上的最大值是h (－1)＝2＋3a －a 3.令t (a )＝2＋3a －a 3，则t ′(a )＝3－3a 2>0，知t (a )在(0,1)上是增函数．所以t (a )<t (1)＝4，即h (－1)<4.故f (x )≤g (a )＋4. ②当a ≥1时，g (a )＝－2＋3a ，故h (x )＝x 3－3x ＋2，h ′(x )＝3x 2－3.此时h (x )在(－1,1)上是减函数，因此h (x )在[－1,1]上的最大值是h (－1)＝4. 故f (x )≤g (a )＋4.综上，当x ∈[－1,1]时，恒有f (x )≤g (a )＋4.13．(2014·北京理)已知函数f (x )＝x cos x －sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)求证：f (x )≤0；(2)若a <sin xx <b 对x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立，求a 的最大值与b 的最小值．答案 (1)略 (2)a 的最大值为2π，b 的最小值为1解析 (1)证明：由f (x )＝x cos x －sin x ，得 f ′(x )＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x . 因为在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上f ′(x )＝－x sin x <0，所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减．从而f (x )≤f (0)＝0.(2)当x >0时，“sin x x >a ”等价于“sin x －ax >0”；“sin xx <b ”等价于“sin x －bx <0”．令g (x )＝sin x －cx ，则g ′(x )＝cos x －c . 当c ≤0时，g (x )>0对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立．当c ≥1时，因为对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，g ′(x )＝cos x －c <0，所以g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减，从而g (x )<g (0)＝0对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立．当0<c <1时，存在唯一的x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2使得g ′(x 0)＝cos x 0－c ＝0. g (x )与g ′(x )在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上的情况如下表：因为g (x )在区间[0，x 0]上是增函数，所以g (x 0)>g (0)＝0.进一步，“g (x )>0对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立”当且仅当g ⎝⎛⎭⎫π2＝1－π2c ≥0，即0<c ≤2π. 综上所述，当且仅当c ≤2π时，g (x )>0对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立；当且仅当c ≥1时，g (x )<0对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立．所以，若a <sin x x <b 对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为1.。

2016届高考数学一轮复习题组层级快练16(含解析)

题组层级快练(十六)1．函数y ＝x 2(x －3)的单调递减区间是( ) A ．(－∞，0) B ．(2，＋∞) C ．(0,2) D ．(－2,2)答案 C解析 y ′＝3x 2－6x ，由y ′＜0，得0＜x ＜2. 2．函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4) D ．(2，＋∞)答案 D解析 f ′(x )＝(x －3)′e x＋(x －3)(e x)′＝(x －2)e x，令f ′(x )>0，解得x >2，故选D. 3．(2015·湖北八校联考)函数f (x )＝ln x －ax (a >0)的单调递增区间为( ) A ．(0，1a)B ．(1a，＋∞)C ．(－∞，1a)D ．(－∞，a )答案 A解析由f ′(x )＝1x －a >0，得0<x <1a.∴f (x )的单调递增区间为(0，1a)．4．若函数y ＝a (x 3－x )的单调递减区间为(－33，33)，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ＞0 B ．－1＜a ＜0 C ．a ＞1 D ．0＜a ＜1答案 A解析 y ′＝a (3x 2－1)，解3x 2－1＜0，得－33＜x ＜33. ∴f (x )＝x 3－x 在(－33，33)上为减函数．又y ＝a (x 3－x )的单调递减区间为(－33，33)， ∴a ＞0.5．(2014·陕西理)如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为( )A ．y ＝1125x 3－35xB ．y ＝2125x 3－45x C ．y ＝3125x 3－xD ．y ＝－3125x 3＋15x答案 A解析设所求函数解析式为y ＝f (x )，由题意知f (5)＝－2，f (－5)＝2，且f ′(±5)＝0，代入验证易得y ＝1125x 3－35x 符合题意，故选A.6．若函数f (x )＝(x 2－2x )e x在(a ，b )上单调递减，则b －a 的最大值为( ) A ．2 B. 2 C ．4 D ．2 2答案 D解析 f ′(x )＝(2x －2)e x ＋(x 2－2x )e x ＝(x 2－2)e x，令f ′(x )<0，∴－2<x < 2.即函数f (x )的单调递减区间为(－2，2)． ∴b －a 的最大值为2 2.7．(2015·冀州中学模拟)若函数f (x )的导函数f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则使函数f (x －1)单调递减的一个充分不必要条件是x ∈( )A ．(0,1)B ．[0,2]C ．(2,3)D ．(2,4)答案 C解析由f ′(x )<0⇔x 2－4x ＋3<0，即1<x <3，∴函数f (x )在(1,3)上单调递减． ∴函数f (x －1)在(2,4)上单调递减．故D 为充要条件，C 为充分不必要条件．8．若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则实数b 的取值范围是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－1)答案 C解析 f ′(x )＝－x ＋bx ＋2≤0在(－1，＋∞)上恒成立，即b ≤x (x ＋2)在(－1，＋∞)上恒成立．又x (x ＋2)＝(x ＋1)2－1>－1，∴b ≤－1，故选C.9．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f (12)，c ＝f (3)，则( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．c <b <aD ．b <c <a答案 B解析由f (x )＝f (2－x )可得对称轴为x ＝1，故f (3)＝f (1＋2)＝f (1－2)＝f (－1)．又x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，可知f ′(x )>0. 即f (x )在(－∞，1)上单调递增，f (－1)<f (0)<f (12)，即c <a <b .10．已知函数f (x )(x ∈R )的图像上任一点(x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(x 0－2)(x 20－1)(x －x 0)，那么函数f (x )的单调减区间是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－∞，2]C ．(－∞，－1)和(1,2)D ．[2，＋∞)答案 C解析根据函数f (x )(x ∈R )的图像上任一点(x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(x 0－2)(x 20－1)(x －x 0)，可知其导数f ′(x )＝(x －2)(x 2－1)＝(x ＋1)(x －1)(x －2)，令f ′(x )<0，得x <－1或1<x <2.因此f (x )的单调减区间是(－∞，－1)和(1,2)．11．已知函数y ＝xf ′(x )的图像如下图所示．下面四个图像中y ＝f (x )的图像大致是( )答案 C解析由题意知，x ∈(0,1)时，f ′(x )<0.f (x )为减函数；x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0.f (x )为增函数； x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0.f (x )为减函数．12．函数y ＝x －2sin x 在(0,2π)内的单调增区间为________．答案 (π3，5π3)解析 ∵y ′＝1－2cos x ，∴由⎩⎪⎨⎪⎧y ′>0，0<x <2π，即⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x >0，0<x <2π，得π3<x <5π3. ∴函数y ＝x －2sin x 在(0,2π)内的增区间为(π3，5π3)．13．若函数f (x )的定义域为R ，且满足f (2)＝2，f ′(x )>1，则不等式f (x )－x >0的解集为________．答案 (2，＋∞)解析令g (x )＝f (x )－x ，∴g ′(x )＝f ′(x )－1. 由题意知g ′(x )>0，∴g (x )为增函数． ∵g (2)＝f (2)－2＝0， ∴g (x )>0的解集为(2，＋∞)．14．若函数f (x )＝x 3＋ax －2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．答案 [－3，＋∞)解析 f ′(x )＝3x 2＋a ，f (x )在区间(1，＋∞)上是增函数，则f ′(x )＝3x 2＋a ≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a ≥－3x 2在(1，＋∞)上恒成立．∴a ≥－3.15．已知函数f (x )＝kx 3＋3(k －1)x 2－k 2＋1(k >0)的单调递减区间是(0,4)． (1)实数k 的值为________；(2)若在(0,4)上为减函数，则实数k 的取值范围是________．答案 (1)13 (2)0<k ≤13解析 (1)f ′(x )＝3kx 2＋6(k －1)x ，由题意知f ′(4)＝0，解得k ＝13.(2)由f ′(x )＝3kx 2＋6(k －1)x ≤0并结合导函数的图像可知，必有－k －k ≥4，解得k ≤13.又k >0，故0<k ≤13.16．已知a 是实数，求函数f (x )＝x (x －a )的单调区间．答案 ①a >0时，单调递减区间为[0，a 3]，单调递增区间为[a3，＋∞)②a ≤0时，f (x )单调递增区间为[0，＋∞)17．已知函数f (x )＝ln x ＋ke x(k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值；(2)求f (x )的单调区间．答案 (1)k ＝1 (2)单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞) 解析 (1)由f (x )＝ln x ＋kex，得f ′(x )＝1－kx －x ln xx e x，x ∈(0，＋∞)．由于曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线与x 轴平行，所以f ′(1)＝0，因此k ＝1. (2)由(1)得f ′(x )＝1x e x(1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)．令h (x )＝1－x －x ln x ，x ∈(0，＋∞)，当x ∈(0,1)时，h (x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<0. 又e x>0，所以x ∈(0,1)时，f ′(x )>0；x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0.因此f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)． 18．(2015·山东师大附中)已知函数f (x )＝x －ax－ln x ，a >0. (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若f (x )>x －x 2在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．答案 (1)0<a <14时，单调递增区间为(0，1－1－4a 2)，(1＋1－4a2，＋∞)，单调递减区间为(1－1－4a 2，1＋1－4a 2)；a ≥14时，单调递增区间为(0，＋∞)(2)0<a ≤1解析 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，由于f ′(x )＝1＋a x 2－1x ＝x 2－x ＋ax 2，令m (x )＝x 2－x ＋a ，①当Δ＝1－4a ≤0，即a ≥14时，f ′(x )≥0恒成立，所以函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数；②当Δ＝1－4a >0，即0<a <14时，由x 2－x ＋a >0，得0<x <1－1－4a 2或x >1＋1－4a 2.所以f (x )在(0，1－1－4a 2)，(1＋1－4a 2，＋∞)上是增函数，在(1－1－4a 2，1＋1－4a2)上是减函数．综上知，当0<a <14时，f (x )在(0，1－1－4a 2)，(1＋1－4a 2，＋∞)上是增函数，在(1－1－4a2，1＋1－4a2)上是减函数．当a ≥14时，f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)f (x )>x －x 2，即x 2－ax－ln x >0，因为x ∈(1，＋∞)，所以a <x 3－x ln x .令g (x )＝x 3－x ln x ，h (x )＝g ′(x )＝3x 2－ln x －1，h ′(x )＝6x －1x ＝6x 2－1x，在(1，＋∞)上h ′(x )>0，得h (x )>h (1)＝2，即g ′(x )>0，故g (x )＝x 3－x ln x 在(1，＋∞)上为增函数，g (x )>g (1)＝1，所以0<a ≤1.已知函数f (x )＝12mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为________．答案 [1，＋∞)解析 f ′(x )＝mx ＋1x－2≥0对一切x >0恒成立．m ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋2x ，令g (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋2x，则当1x ＝1时，函数g (x )取得最大值1，故m ≥1.。

2016届高三理科数学一轮复习题组层级快练33Word版含答案

题组层级快练(三十三)1．已知向量a ＝(1，sin θ)，b ＝(1，cos θ)，则|a －b |的最大值为( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．2答案 B解析 ∵a ＝(1，sin θ)，b ＝(1，cos θ)，∴a －b ＝(0，sin θ－cos θ)． ∴|a －b |＝02＋(sin θ－cos θ)2＝1－sin2θ. ∴|a －b |最大值为 2.故选B.2．在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，则当(a ＋b )2＝(a －b )2时，该平行四边形为( ) A ．菱形 B ．矩形C ．正方形D ．以上都不正确答案 B解析在平行四边形中，a ＋b ＝AB →＋AD →＝AC →，a －b ＝AB →－AD →＝DB →，∵|a ＋b |＝|a －b |，∴|AC →|＝|DB →|，对角线相等的平行四边形为矩形，故选B.3．在△ABC 中，若AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．直角三角形答案 D解析由已知，AB →2＝AB →·AC →－AB →·BC →＋CA →·CB →＝AB →·(AC →＋CB →)＋CA →·CB →＝AB →2＋CA →·CB →，∴CA →·CB →＝0.4．已知A ，B 是圆心为C 半径为5的圆上两点，且|AB →|＝5，则AC →·CB →等于( ) A ．－52B.52 C ．0 D.532答案 A解析由于弦长|AB |＝5与半径相同，则∠ACB ＝60°⇒AC →·CB →＝－CA →·CB →＝－|CA →|·|CB →|·cos ∠ACB ＝－5·5·cos60°＝－52.5．设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C ＝( )A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6答案 C解析依题意得3sin A cos B ＋3cos A sin B ＝1＋cos(A ＋B )，3sin(A ＋B )＝1＋cos(A ＋B )，3sin C ＋cos C ＝1,2sin(C ＋π6)＝1，sin(C ＋π6)＝12.又π6<C ＋π6<7π6，因此C ＋π6＝5π6，C ＝2π3，选C.6．设P 是曲线y ＝1x 上一点，点P 关于直线y ＝x 的对称点为Q ，点O 为坐标原点，则OP →·OQ→＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析设P (x 1，1x 1)，则Q (1x 1，x 1)．∴OP →·OQ →＝(x 1，1x 1)·(1x 1，x 1)＝x 1·1x 1＋1x 1·x 1＝2.7．在△ABC 中，BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，且a·b ＝b·c ＝c·a ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形答案 D解析因a ，b ，c 均为非零向量，且a·b ＝b·c ，得b·(a －c )＝0⇒b ⊥(a －c )．又a ＋b ＋c ＝0⇒b ＝－(a ＋c )，∴[－(a ＋c )]·(a －c )＝0⇒a 2＝c 2，得|a|＝|c|. 同理|b|＝|a|，∴|a|＝|b|＝|c|. 故△ABC 为等边三角形．8．(2015·辽宁五校协作体第一次联考)已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若平面上的三个不共线的向量OA →，OB →，OC →满足OB →＝a 1OA →＋a 2 014OC →，且A ，B ，C 三点共线，则S 2 014＝( )A ．1 007B ．1 006C ．2 012D ．2 014答案 A解析因为OB →＝a 1OA →＋a 2 014OC →，又A ，B ，C 三点共线，所以a 1＋a 2 014＝1，∴S 2 014＝a 1＋a 2 0142×2 014＝1 007.故选A. 9．已知a ，b 是两个非零向量，给定命题p ：|a ·b |＝|a ||b |，命题q ：∃t ∈R ，使得a ＝t b ，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 ∵|a ·b |＝|a ||b ||cos θ|＝|a ||b |， ∴θ＝0°或180°，即a ，b 共线． ∴∃t ∈R ，使得a ＝t b 成立． ∴p 是q 的充分条件．若∃t ∈R ，使得a ＝t b ，则a ，b 共线． ∴|a ·b |＝|a ||b |.∴p 是q 的必要条件．综上可知，p 是q 的充要条件．10．(2015·保定模拟)若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形答案 B解析 OB →＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →，OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →，∴|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|⇒|AB →＋AC →|2＝|AB →－AC →|2⇒AB →·AC →＝0，∴三角形为直角三角形，故选B.11．已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，且 |OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为原点，则实数a 的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．2或－2 D.6或－ 6 答案 C解析由|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，得OA →⊥OB →. ∴点O 到AB 的距离d ＝2，即|－a |2＝2，解得a ＝±2. 12．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线的准线的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的射影为C ，若AF →＝FB →，BA →·BC →＝48，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝4xC ．y 2＝16xD ．y 2＝42x答案 B解析如图所示，AF →＝FB →⇒F 为线段AB 中点，∵AF ＝AC ，∴∠ABC ＝30°.由BA →·BC →＝48，得BC ＝4 3.则AC ＝4.∴由中位线的性质有p ＝12AC ＝2.故抛物线的方程为y 2＝4x .故选B.13．已知向量i 和j 为互相垂直的单位向量，向量a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．答案 (－∞，－2)∪(－2，12)解析 ∵0<〈a ，b 〉<π2，∴0<cos 〈a ，b 〉<1，∴0<a ·b |a |·|b |<1，即0<1－2λ5·1＋λ2<1，解得λ<12且λ≠－2，∴λ的取值范围是(－∞，－2)∪(－2，12)．14．(2013·新课标全国Ⅱ)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________.答案 2解析方法一：AE →·BD →＝(AD →＋12AB →)·(AD →－AB →)＝AD →2－12AB →2＝22－12×22＝2.方法二：以A 为原点建立平面直角坐标系(如图)，可得A (0,0)，E (1,2)，B (2,0)，C (2,2)，D (0,2)，AE →＝(1,2)，BD →＝(－2,2)，则AE →·BD →＝(1,2)·(－2,2)＝1×(－2)＋2×2＝2.15．已知圆O ：x 2＋y 2＝4，直线x －3y ＋10＝0上有一动点P ，过点P 作圆O 的一条切线，切点为A ，则PO →·P A →的最小值为________．答案 6解析圆心O 到直线x －3y ＋10＝0的距离d ＝|10|12＋(－3)2＝10>2，所以直线和圆相离．因为P A 与圆O 相切，所以P A ⊥OA ，故P A →·AO →＝0.又PO →＝P A →＋AO →，所以PO →·P A →＝(P A →＋AO →)·P A →＝P A →2＋AO →·P A →＝P A →2.又P A ⊥OA ，所以P A →2＝|P A →|2＝|PO →|2－|OA →|2＝|PO →|2－4.显然|PO →|的最小值为圆心O 到直线x －3y ＋10＝0的距离d ＝10，所以PO →·P A →的最小值为(10)2－4＝6.16．(2014·陕西文)在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上，且OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )．(1)若m ＝n ＝23，求|OP →|；(2)用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．答案 (1)22 (2)1解析 (1)∵m ＝n ＝23，AB →＝(1,2)，AC →＝(2,1)，∴OP →＝23(1,2)＋23(2,1)＝(2,2)．∴|OP →|＝22＋22＝2 2.(2)∵OP →＝m (1,2)＋n (2,1)＝(m ＋2n,2m ＋n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n . 两式相减，得m －n ＝y －x .令m －n ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2,3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.17．(2015·四川雅安中学)已知向量OP →＝(2cos(π2＋x )，－1)，OQ →＝(－sin(π2－x )，cos2x )，定义函数f (x )＝OP →·OQ →.(1)求函数f (x )的表达式，并指出其最大值和最小值；(2)在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且f (A )＝1，bc ＝8，求△ABC 的面积S .答案 (1)f (x )＝2sin(2x －π4)，最大，最小值分别为2，－2 (2)2 2解析 (1)∵f (x )＝OP →·OQ →＝(－2sin x ，－1)·(－cos x ，cos2x )＝sin2x －cos2x ＝2sin(2x －π4)，∴f (x )的最大值和最小值分别是2和－ 2.(2)∵f (A )＝1，∴sin(2A －π4)＝22.∴2A －π4＝π4或2A －π4＝3π4.∴A ＝π4或A ＝π2.又∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＝π4.∵bc ＝8，∴△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×8×22＝2 2.1．若△ABC 的三内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知向量p ＝(a ＋b ，c )，q ＝(a －b ，c －a )，若|p ＋q |＝|p －q |，则角B 的大小是( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°答案 B解析由|p ＋q |＝|p －q |，可得p 2＋2p ·q ＋q 2＝p 2－2p ·q ＋q 2，化简得p ·q ＝0.又由p ·q ＝(a ＋b ，c )·(a －b ，c －a )＝a 2－b 2＋c 2－ac ＝0，可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12.由B ∈(0，π)，可得B＝60°，故选B.2．已知点A (－2,0)，B (3,0)，动点P (x ，y )满足P A →·PB →＝x 2，则点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线答案 D解析 ∵P A →＝(－2－x ，－y )，PB →＝(3－x ，－y )， ∴P A →·PB →＝(－2－x )(3－x )＋y 2＝x 2，∴y 2＝x ＋6.3．设O 点在三角形ABC 内部，且有OA →＋2OB →＋3OC →＝0，则三角形ABC 的面积与三角形AOC 的面积之比( )A ．2 B.32 C ．3 D.53 答案 C解析联想三角形ABC 重心满足GA →＋GB →＋GC →＝0可延长OB 至E 使OE →＝2OB →，延长OC至F 使OF →＝3OC →，则O 为三角形AEF 的重心从而S △AOC ＝13S △AOF ＝19S △AEF ，S △AOB ＝12S △AOE ＝16S △AEF ，S △BOC ＝13S △BOF ＝118S △AEF .∴S △ABC ＝S △AOC ＋S △AOB ＋S △BOC ＝13S △AEF .∴S △AOC ＝13S △ABC ，故选C.4．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( )A ．[0，π6]B ．[π3，π]C ．[π3，2π3]D ．[π6，π]答案 B解析 |a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则|a |2－4a ·b ≥0，设向量a ·b 的夹角为θ，cos θ＝a ·b |a |·|b |≤14|a |212|a |2＝12，∴θ∈[π3，π]．。

2016届高三理科数学一轮复习题组层级快练27Word版含答案

题组层级快练(二十七)1．函数y ＝cos(x ＋π6)，x ∈[0，π2]的值域是( )A ．(－32，12] B ．[－12，32]C ．[12，32]D ．[－32，－12] 答案 B解析 x ∈[0，π2]，x ＋π6∈[π6，23π]，∴y ∈[－12，32]．2．如果|x |≤π4，那么函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值是( )A.2－12B ．－2＋12C ．－1 D.1－22答案 D解析 f (x )＝－sin 2x ＋sin x ＋1＝－(sin x －12)2＋54，当sin x ＝－22时，有最小值，y min ＝24－22＝1－22. 3．函数f (x )＝sin x －cos(x ＋π6)的值域为( )A ．[－2,2]B ．[－3，3]C ．[－1,1]D ．[－32，32] 答案 B解析 ∵f (x )＝sin x －cos(x ＋π6)＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝32sin x －32cos x ＝3sin(x －π6)，∴f (x )的值域为[－3，3]．4．函数y ＝2sin(πx 6－π3)(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3 答案 A解析当0≤x ≤9时，－π3≤πx 6－π3≤7π6，－32≤sin(πx 6－π3)≤1，所以函数的最大值为2，最小值为－3，其和为2－ 3.5．函数y ＝sin x ＋sin|x |的值域是( ) A ．[－1,1] B ．[－2,2] C ．[0,2] D ．[0,1]答案 B解析当x ＞0时，y ＝2sin x ，y ∈[－2,2]，x ≤0时，y ＝0. 6．函数y ＝12sin(2x ＋π6)＋5sin(π3－2x )的最大值是( )A ．6＋532B ．17C ．13D ．12 答案 C解析 y ＝12sin(2x ＋π6)＋5cos[π2－(π3－2x )]＝12sin(2x ＋π6)＋5cos(2x ＋π6)＝13sin(2x ＋π6＋φ)，故选C.7．当0＜x ＜π4时，函数f (x )＝cos 2xcos x sin x －sin 2x 的最小值是( )A.14 B.12 C ．2 D ．4 答案 D解析 f (x )＝1－tan 2x ＋tan x＝1－(tan x －12)2＋14，当tan x ＝12时，f (x )的最小值为4，故选D.8．已知f (x )＝sin x ＋1sin x ，x ∈(0，π)．下列结论正确的是( )A ．有最大值无最小值B ．有最小值无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值答案 B解析令t ＝sin x ，t ∈(0,1]，则y ＝1＋1t ，t ∈(0,1]是一个减函数，则f (x )只有最小值而无最大值．另外还可通过y ＝1＋1sin x ，得出sin x ＝1y －1，由sin x ∈(0,1]也可求出，故选B. 9．若函数y ＝sin 2x ＋2cos x 在区间[－23π，α]上最小值为－14，则α的取值范围是________．答案 (－2π3，2π3]解析 y ＝2－(cos x －1)2，当x ＝－23π时，y ＝－14，根据函数的对称性x ∈(－2π3，2π3]．10．(2014·新课标全国Ⅱ理)函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________．答案 1解析 f (x )＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ＝sin(x ＋φ－φ)＝sin x ，因为x ∈R ，所以f (x )的最大值为1.11．若函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2－2cos 2x －m 在[0，π2]上有零点，则实数m 的取值范围是________．答案 [－1，2]解析 f (x )＝1＋2sin x cos x －2cos 2x －m ＝0有解，x ∈[0，π2]．即sin2x －cos2x ＝m 有解．2sin(2x －π4)＝m 有解．∵x ∈[0，π2]，∴2x －π4∈[－π4，3π4]．∴2sin(2x －π4)∈[－1，2]．12．函数y ＝1sin 2x ＋2cos 2x 的最小值是________．答案 3＋2 2解析 y ＝1sin 2x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x sin 2x ＋2sin 2x ＋2cos 2x cos 2x ＝3＋cos 2x sin 2x ＋2sin 2xcos 2x ≥3＋22，∴y min ＝3＋2 2.13．(2015·湖北武汉调研)已知函数f (x )＝3sin2x ＋2cos 2x ＋m 在区间[0，π2]上的最大值为3，则：(1)m ＝________；(2)对任意a ∈R ，f (x )在[a ，a ＋20π]上的零点个数为________．答案 (1)0 (2)40或41解析 (1)f (x )＝3sin2x ＋2cos 2x ＋m ＝3sin2x ＋1＋cos2x ＋m ＝2sin(2x ＋π6)＋m ＋1，因为0≤x ≤π2，所以π6≤2x ＋π6≤7π6.所以－12≤sin(2x ＋π6)≤1，f (x )max ＝2＋m ＋1＝3＋m ＝3，所以m ＝0.(2)由(1)f (x )＝2sin(2x ＋π6)＋1，T ＝2π2＝π，在区间[a ，a ＋20π]上有20个周期，故零点个数为40或41. 14．已知函数f (x )＝cos(π3＋x )cos(π3－x )，g (x )＝12sin2x －14.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最大值，并求使h (x )取得最大值的x 的集合．答案 (1)π (2)22 {x |x ＝k π－π8，k ∈Z } 解析 (1)f (x )＝cos(π3＋x )cos(π3－x )＝(12cos x －32sin x )(12cos x ＋32sin x )＝14cos 2x －34sin 2x ＝1＋cos2x 8－3－3cos2x 8＝12cos2x －14， ∴f (x )的最小正周期为2π2＝π.(2)h (x )＝f (x )－g (x )＝12cos2x －12sin2x ＝22cos(2x ＋π4)，当2x ＋π4＝2k π(k ∈Z )时，h (x )取得最大值22.h (x )取得最大值时，对应的x 的集合为{x |x ＝k π－π8，k ∈Z }．15．(2015·江西百强中学月考)设函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x ＋a . (1)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)当x ∈[－π6，π3]时，函数f (x )的最大值与最小值的和为32，求实数a 的值．答案 (1)T ＝π，[－π3＋k π，π6＋k π](k ∈Z )(2)a ＝0解析 (1)∵f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x ＋a ＝32sin2x ＋12(1＋cos2x )＋a ＝32sin2x ＋12cos2x ＋a ＋12＝sin(2x ＋π6)＋a ＋12， ∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. 令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，解得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π(k ∈Z )．故函数f (x )的单调递增区间为[－π3＋k π，π6＋k π](k ∈Z )．(2)∵－π6≤x ≤π3，∴－π6≤2x ＋π6≤5π6.当2x ＋π6＝－π6时，函数f (x )取最小值，即f (x )min ＝－12＋a ＋12＝a ；当2x ＋π6＝π2时，函数f (x )取最大值，即f (x )max ＝1＋a ＋12＝a ＋32.∴a ＋a ＋32＝32，∴a ＝0.16．(2014·江西理)已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋a cos(x ＋2θ)，其中a ∈R ，θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. (1)当a ＝2，θ＝π4时，求f (x )在区间[0，π]上的最大值与最小值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，f (π)＝1，求a ，θ的值．答案 (1)最大值为22，最小值为－1 (2)a ＝－1，θ＝－π6解析 (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 ＝22(sin x ＋cos x )－2sin x ＝22cos x －22sin x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－x . 因为x ∈[0，π]，所以π4－x ∈⎣⎡⎦⎤－3π4，π4. 故f (x )在[0，π]上的最大值为22，最小值为－1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，f (π)＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ(1－2a sin θ)＝0，2a sin 2θ－sin θ－a ＝1. 由θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2知cos θ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，θ＝－π6.。

2016届高三理科数学一轮复习题组层级快练10Word版含答案

题组层级快练(十)1．(2015·四川泸州一诊)2lg2－lg 125的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 2lg2－lg 125＝lg(22÷125)＝lg100＝2，故选B.2．(log 29)·(log 34)＝( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4答案 D解析原式＝(log 232)·(log 322)＝4(log 23)·(log 32)＝4·lg3lg2·lg2lg3＝4.3．(2015·石家庄一模)已知a ＝312，b ＝log 1312，c ＝log 213，则( )A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >b >aD ．b >a >c答案 A解析因为312>1,0<log 1312<1，c ＝log 213<0，所以a >b >c ，故选A.4．已知函数f (x )＝2＋log 2x ，x ∈[1,2]，则函数y ＝f (x )＋f (x 2)的值域为( ) A ．[4,5] B ．[4，112]C ．[4，132]D ．[4,7]答案 B解析 y ＝f (x )＋f (x 2)＝2＋log 2x ＋2＋log 2x 2＝4＋3log 2x ，注意到为使得y ＝f (x )＋f (x 2)有意义，必有1≤x 2≤2，得1≤x ≤2，从而4≤y ≤112.5．(2014·四川文)已知b >0，log 5b ＝a ，lg b ＝c,5d ＝10，则下列等式一定成立的是( ) A ．d ＝ac B ．a ＝cd C ．c ＝ad D ．d ＝a ＋c 答案 B解析由已知得5a ＝b,10c ＝b ，∴5a ＝10c,5d ＝10，∴5dc ＝10c ，则5dc ＝5a ，∴dc ＝a ，故选B.6．若x ∈(e－1,1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a答案 C 解析由x ∈(e －1,1)，得－1<ln x <0，a －b ＝－ln x >0，a >b ，a －c ＝ln x (1－ln 2x )<0，a <c ，因此有b <a <c ，选C.7．若点(a ，b )在y ＝lg x 图像上，a ≠1，则下列点也在此图像上的是( ) A ．(1a ，b )B ．(10a,1－b )C ．(10a ，b ＋1)D ．(a 2,2b )答案 D解析当x ＝a 2时，y ＝lg a 2＝2lg a ＝2b ，所以点(a 2,2b )在函数y ＝lg x 图像上． 8．设log b N ＜log a N ＜0，N ＞1，且a ＋b ＝1，则必有( ) A ．1＜a ＜b B ．a ＜b ＜1 C ．1＜b ＜a D ．b ＜a ＜1 答案 B解析 ∵0＞log a N ＞log b N ⇒log N b ＞log N a ，∴a ＜b ＜1. 9．若0<a <1，则在区间(0,1)上函数f (x )＝log a (x ＋1)是( ) A ．增函数且f (x )>0 B ．增函数且f (x )<0 C ．减函数且f (x )>0 D ．减函数且f (x )<0 答案 D解析 ∵0<a <1时，y ＝log a u 为减函数，又u ＝x ＋1增函数，∴f (x )为减函数；又0<x <1时，x ＋1>1，又0<a <1，∴f (x )<0.选D.10．函数f (x )＝2|log2x |的图像大致是( )答案 C解析 ∵f (x )＝2|log2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥1，1x ，0<x <1，∴选C.11．设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．b ＞a ＞c D ．b ＞c ＞a 答案 A解析 ∵a ＝log 3π＞log 33＝1，b ＝log 23＜log 22＝1，∴a ＞b .又b c ＝12log 2312log 32＝(log 23)2＞1，∴b ＞c .故a ＞b ＞c .选A.12．若0＜a ＜1，则不等式1log a x＞1的解是( ) A ．x ＞a B ．a ＜x ＜1 C ．x ＞1 D ．0＜x ＜a答案 B解析易得0＜log a x ＜1，∴a ＜x ＜1.13．若log a (x ＋1)>log a (x －1)，则x ∈________，a ∈________. 答案 (1，＋∞) (1，＋∞)14．若log a (a 2＋1)＜log a 2a ＜0，则实数a 的取值范围是__________．答案 (12，1)解析 ∵a 2＋1＞1，log a (a 2＋1)＜0，∴0＜a ＜1. 又log a 2a ＜0，∴2a ＞1，∴a ＞12.∴实数a 的取值范围是(12，1)．15．若函数f (x )＝log a (x ＋1)(a >0，且a ≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a ＝________. 答案 2解析 f (x )＝log a (x ＋1)的定义域是[0,1]，∴0≤x ≤1，则1≤x ＋1≤2. 当a >1时，0＝log a 1≤log a (x ＋1)≤log a 2＝1，∴a ＝2；当0<a <1时，log a 2≤log a (x ＋1)≤log a 1＝0，与值域是[0,1]矛盾．综上，a ＝2.16．(2015·广东韶关调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．答案 a >1解析如图，在同一坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图像，其中a 表示直线在y 轴上的截距，由图可知，当a >1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝log 2x 只有一个交点．17．设函数f (x )＝|lg x |，(1)若0<a <b 且f (a )＝f (b )．证明：a ·b ＝1； (2)若0＜a ＜b 且f (a )＞f (b )．证明：ab ＜1.答案略解析 (1)由|lg a |＝|lg b |，得－lg a ＝lg b .∴ab ＝1. (2)由题设f (a )＞f (b )，即|lg a |＞|lg b |.上式等价于(lg a )2＞(lg b )2，即(lg a ＋lg b )(lg a －lg b )＞0，lg(ab )lg ab ＞0，由已知b ＞a ＞0，得0＜a b＜1. ∴lg ab＜0，故lg(ab )＜0.∴ab ＜1.18．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)当a >1时，求使f (x )>0的x 的取值范围．答案 (1){x |－1<x <1} (2)奇函数 (3){x |0<x <1}解析 (1)f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1. 故所求定义域为{x |－1<x <1}． (2)f (x )为奇函数．证明如下：由(1)知f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )．故f (x )为奇函数．(3)由f (x )>0，得log a (x ＋1)－log a (1－x )>0. ∴log a (x ＋1)>log a (1－x )．又a >1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，x ＋1>1－x ，解得0<x <1.所以使f (x )>0的x 的取值范围是{x |0<x <1}．若a >0且a ≠1，x >y >0，n ∈N *，则下列各式：①(log a x )n ＝n log a x ；②(log a x )n ＝log a x n ；③log a x ＝－log a 1x ；④nlog a x ＝1n log a x ；⑤log a x n ＝log a nx ；⑥log a x －y x ＋y ＝－log a x ＋y x －y.其中正确的有________．答案③⑤⑥。