微积分学 P.P.t 标准课件36-第36讲可降阶的高阶微分方程

1. y ( n ) = f ( x) 型 令 u = y ( n 1),则原方程化为 du = f ( x) . dx
这是变量可分离的方程,两边积分, 这是变量可分离的方程,两边积分,得
u = ∫ f ( x) d x + C1 = ( x) + C1 ,
即
(n) y ( n 1) = ( x) + C1 . 仍是 y = f (x) 型
2
以条件 y x =0
故所求特解为
y = x 3 + 3 x + 1.
例
解
求方程 x y ( 5) y ( 4 ) = 0 的通解.
令 p = y ( 4 ),则原方程化为 dp x p = 0, dx 分离变量, 分离变量,得 d p dx = , p x 积分, 积分,得
y ( 4 ) = p = Cx , y ( n ) = f ( x) 型
p = ( x, C1 ) ,
型的方程: 这是一个 y ( n ) = f ( x) 型的方程: y ( n 1) = ( x, C1 ) ,
连续积分即可求解. 连续积分即可求解.
例
解
求方程 ( 1 + x 2 ) y′′ = 2 xy′ 满足条件 y x =0 = 1,y′ x =0 = 3 解.
证
求导, 将克莱罗方程两边关于 x 求导,得
y′ = x y′′ + y′ + f ′( y′) y′′ .
令 y = p ( x) ,则有
( x + f ′( p )) dp = 0. dx
y = x y′ + f ( y′)
dp (1) 若 = 0 ,则 y ′ = p ( x ) = C , 代入原方程, 代入原方程,得 dx y = C x + f (C ) . ( 通解 )
令 p = y′,则原方程化为 d p 2x d x = , 2 p 1+ x
两边积分, 两边积分,得
p = C1 ( 1 + x 2 ) ,
dy = C1 ( 1 + x 2 ) , 即 dx 再积分, 再积分,得原方程的通解 1 3 y = ∫ C1 ( 1 + x ) d x = C1 ( x + x ) + C2 . 3 = 1,y′ x =0 = 3 代入,得 C1 = 3 , C2 = 1. 代入,
得到所求的通解: 对方程两边关于 x 连续积分 n 次,得到所求的通解:
y ( n 1) = x + C1 ,
y
( n2)
1 2 = x + C1 x + C2 , 2
1 3 1 y = x + C1 x 2 + C2 x + C3 , 3! 2! 1 1 n 1 ′= y x + C1 x n 2 + + Cn 2 x + Cn 1 , (n 1) ! ( n 2) !
次积分即可求解这类方程,但请注意: 只需连续进行 n 次积分即可求解这类方程,但请注意: 每次积分都应该出现一个积分常数. 每次积分都应该出现一个积分常数.
例
解
的通解. 求方程 y′′′ = ln x 的通解.
得到所求的通解: 对方程两边关于 x 连续积分 3 次,得到所求的通解:
y′′ = ∫ ln x d x = x ln x x + C1, y′ = ∫ ( x ln x x + C1 ) d x
综上所述, 综上所述,原方程的通解为
y = C2 eC1x.
例
解
求方程 y′′ f ( y ) = 0 的通解 . 两边同乘以 2 y′ ,得到
2 y′y′′ 2 y′f ( y ) = 0 ,
什么类型? 什么类型?
( y) = ∫ f ( y) d y
即 从而 即
d d ( y) d ( y) d y ( y′2 2 ∫ f ( y ) d y ) = 0 , = dx dx dy dx
( 1 ) 式 × p + (2) 式 ,得 y = 2x p ,
又由 ( 1 ) 得 1 1 = x,故 p = ± 代入上式, ,代入上式,得 2 p x y = ±2 x ,
故原方程有奇解
y2 = 4x .
综上所述, 综上所述,原方程的通解为 1 y = Cx + , C 且方程还有奇解 y2 = 4x .
( 2) 若 x + f ′( p ) = 0 ,则可联立方程组求出 方程的奇解: 方程的奇解: x + f ′( p ) = 0
y = x p + f ( p)
例
解
的解. 求方程 y′y = x y′2 + 1 的解.
原方程即 由题意
1 y = x y′ + , y′
( y′ ≠ 0 )
这是一个克莱罗方程, 这是一个克莱罗方程,故其通解为 1 y = Cx + . C d 1 1 由于 f ′( p) = = 2 ,故联立方程组 d p p p 1 ( 1) x 2 =0 p 1 y = xp + ( 2) p
第三节 几种可降阶的高阶常微分方程
二阶和二阶以上的微分方程,称为高阶微分方程. 二阶和二阶以上的微分方程,称为高阶微分方程.
通过变量代换将高阶方程转化为较低阶的微 分方程进行求解的方法,称为"降阶法" 分方程进行求解的方法,称为"降阶法".
"降阶法"是解高阶方程常用的方法之一. 降阶法"是解高阶方程常用的方法之一. 降阶法
y = x y′ + f ( y′)
的方程称为克莱罗方程, 为可微函数. 的方程称为克莱罗方程,其中函数 f 为可微函数. 可以直接写出该方程的通解: 可以直接写出该方程的通解: y = C x + f (C ) . 并且由下列方程组可求得该方程的奇解: 并且由下列方程组可求得该方程的奇解:
x + f ′( y′) = 0 y = x y′ + f ( y′)
( n 3)
y=
1 n 1 x + C1 x n 1 + + Cn 1 x + Cn . n! (n 1) !
2. y ( n ) = f ( x, y ( n 1) ) 型 令 p = y ( n 1),则原方程化为
dp = f ( x, p ) . dx 这是一个一阶微分方程. 这是一个一阶微分方程.设其通解为
y′2 2 ∫ f ( y ) d y = C1 ,
y′ = ± C1 + 2 ∫ f ( y ) d y .
运用分离变量法求解此方程,即得原方程的通解: 运用分离变量法求解此方程,即得原方程的通解: dy ( x C2 ) 2 = ∫ . C1 + 2 ∫ f ( y ) d y
4. 克莱罗( Clairaut ) 方程 形如
�
连续积分 4 次,得原方程的通解为 C y = C1 x + C2 x + C3 x + C4 x + C5 , ( C1 = ). 120
5 3 2
3. y′′ = f ( y, y′) 型
dp dpdy dp = =p . dx dy dx dy
令 p = y′ ,则 y′′ =
于是, 于是,原方程化为
高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学(一)
—— 一元微积分学
第三十四讲 常微分方程
脚本编写:刘楚中
教案制作:刘楚中
第七章 常微分方程
本章学习要求:
了解微分方程,解,通解,初始条件和特解的概念. 了解下列几种一阶微分方程:变量可分离的方程,齐次方 程,一阶线性方程,伯努利(Bernoulli)方程和全微分 方程.熟练掌握分离变量法和一阶线性方程的解法. 会利用变量代换的方法求解齐次方程和伯努利方程. 知道下列高阶方程的降阶法: (n) ′′ = f ( x, y ′), y ′′ = f ( y , y ′), y = f ( x). y 了解高阶线性微分方程阶的结构,并知道高阶常系数齐线 性微分方程的解法. 熟练掌握二阶常系数齐线性微分方程的解法. 掌握自由项(右端)为多项式,指数函数,正弦函数,余 弦函数以及它们的和或乘积的二阶常系数非齐线性微分方 程的解法.
dp p = f ( y, p ). dy
这是一个一阶微分方程. 这是一个一阶微分方程.设其通解为 dy = p = ( y, C1 ) . dx 这是一个变量分离方程,它的通解就是原方程的通解. 这是一个变量分离方程,它的通解就是原方程的通解.
例
求方程 yy′′ y′2 0 的通解 . =
dp 解 令 p = y′ ,则 y′′ = p . dy dp yp p2 = 0 . 于是, 于是,原方程化为 dy dy = 0 ,故此时有解 y = C . 若 p = 0 ,则 dx dp dy = . 若 p ≠ 0 ,则原方程化为 p y dy p = 0 对应于 C1 = 0 = p = C1 y . 两边积分,得 两边积分, dx y = C2 eC1x. 运用分离变量法, 运用分离变量法,得此方程的通解为
ln x 3 =x + C1 x + C2, 2 4
2
2 ln x 3 + C1 x + C2 d x y = ∫ x 2 4
1 3 11 3 C1 2 = x ln x x + x + C2 x + C3 . 6 36 2
例解Leabharlann 的通解. 求方程 y ( n ) = 1 的通解.