2011年高考数学(文)试题分类汇编——圆锥曲线
2011-2019高考数学圆锥曲线分类汇编(文)
2011-2019新课标(文科)圆锥曲线分类汇编一、选择填空【2011新课标】4．椭圆的离心率为（ D ）A．B．CD【解析】cea===2228111162，be ea=-=-=∴= D.【2011新课标】9．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直. l与C交于A, B两点，|AB|=12，P为C的准线上一点，则ABP的面积为（ C ）A．18 B．24 C．36 D．48【解析】易知2P=12，即AB=12，三角形的高是P=6，所以面积为36，故选C.【2012新课标】4．设F1、F2是椭圆E：22221x ya b+=(a>b>0)的左、右焦点，P为直线32ax=上一点，△F1PF2是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（ C ）A．12B．23C．34D．45【解析】∵△F2PF1是底角为30º的等腰三角形，260PF A∴∠=︒，212||||2PF F F c==，∴2||AF=c，322c a∴=，34e∴=，故选C.【2012新课标】10．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，||AB=C的实轴长为（）A B．C．4 D．8【解析】由题设知抛物线的准线为：4x=，设等轴双曲线方程为：222x y a-=，将4x=代入等轴双曲线方程解得y=||AB=a=2，∴C的实轴长为4，故选C.【2013新课标1】4. 已知双曲线C：2222=1x ya b-(a＞0，b＞0)C的渐近线方程为( )A．y=±14x B．y=±13x C．y=±12x D．y＝±x【解析】∵2e=2ca=，即2254ca=，∵c2＝a2＋b2，∴2214ba=.∴12ba=.∵双曲线的渐近线方程为by xa=±，∴渐近线方程为12y x=±，故选C。
【2013新课标1】8. O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝的焦点，P为C上一点，若|PF|＝△POF的面积为(C)．A．2 B． C．．4221168x y+=13122∆【解析】利用|PF |＝P x =可得x P＝∴y P＝±∴S △POF ＝12|OF |·|y P |＝ 【2013新课标2】5. 设椭圆C ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( D ) A ．6 B ． 13 C ． 12 D ．3【解析】如图所示，在Rt △PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，设|PF 2|＝x ，则|PF 1|＝2x ，由tan 30°＝212||||23PF x F F c ==，得3x c =， 而由椭圆定义得，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝3x ，∴32a x ==，∴3c e a ===【2013新课标2】10. 抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若|AF|＝3|BF|，则l 的方程为( C )．A ．y ＝x －1或y ＝－x ＋1B ．y ＝(x -1)或y ＝-(x -1) C ．y x -1)或y ＝ x -1) D ．y x -1)或y ＝x -1) 【解析】由题意可得抛物线焦点F(1,0)，准线方程为x ＝－1，当直线l 的斜率大于0时，如图所示，过A ，B 两点分别向准线x ＝－1作垂线， 垂足分别为M ，N ，则由抛物线定义可得，|AM|＝|AF|，|BN|＝|BF|. 设|AM|＝|AF|＝3t(t ＞0)，|BN|＝|BF|＝t ，|BK|＝x ，而|GF|＝2，在△AMK 中，由||||||||NB BK AM AK =，得34t x t x t=+， 解得x ＝2t ，则cos ∠NBK ＝||1||2NB t BK x ==， ∴∠NBK ＝60°，则∠GFK ＝60°，即直线AB 的倾斜角为60°. ∴斜率k ＝tan 60°，故直线方程为y 1)x －． 当直线l 的斜率小于0时，如图所示， 同理可得直线方程为y ＝1)x －，故选C.【2014新课标1】（4）已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则=a （ D ） A. 2 B.26 C. 25D. 1 【解析】2=，解得1a =，选D. 【2014新课标2】10. 设F 为抛物线2:3C y x =的焦点，过F 且倾斜角为°30的直线交于C 于,A B 两点，则AB =（ C ）（A（B ）6 （C ）12 （D）【2014新课标2】12. 设点0(,1)M x ，若在圆22:1O x y +=上存在点N ，使得°45OMN ∠=,则0x 的取值范围是（ A ）（A ）[]1,1- （B ）1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， （C）⎡⎣ （D ）22⎡-⎢⎣⎦， 【2015新课标1】（5）已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y²=8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个焦点，则|AB|=（ B ） （A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12【2015新课标1】16. 已知F 是双曲线C ：x 2-82y =1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A （0,66）.当△APF 周长最小是，该三角形的面积为 。
2011山东数学圆锥曲线
2011山东数学圆锥曲线（实用版）目录一、2011 年山东高考数学圆锥曲线题目概述二、圆锥曲线的基本概念和性质1.圆锥曲线的定义2.圆锥曲线的分类3.圆锥曲线的性质三、2011 年山东高考数学圆锥曲线题目解析1.题目描述2.解题思路3.题目答案四、圆锥曲线在高考数学中的重要性五、总结正文【一、2011 年山东高考数学圆锥曲线题目概述】2011 年山东高考数学题目中，圆锥曲线题型成为了一大亮点。
圆锥曲线作为高中数学的一个重要知识点，一直以来都是高考数学的热点。
在2011 年的山东高考数学试题中，圆锥曲线题型的出现，充分体现了高考对数学基础知识的考察，以及对学生综合运用数学知识的能力的考查。
【二、圆锥曲线的基本概念和性质】【1.圆锥曲线的定义】圆锥曲线是一个广泛的曲线类别，它包括椭圆、双曲线、抛物线和它们的简化形式：圆和直线。
这些曲线都可以通过一个圆锥与一个平面相交得到，因此得名圆锥曲线。
【2.圆锥曲线的分类】圆锥曲线主要分为两类：一类是椭圆、双曲线和抛物线，它们是圆锥曲线的基本形式；另一类是圆和直线，它们是圆锥曲线的特殊形式。
【3.圆锥曲线的性质】圆锥曲线具有很多重要的性质，这些性质对于理解和解决圆锥曲线题型非常重要。
例如，椭圆的离心率、双曲线的渐近线、抛物线的焦点等，都是圆锥曲线的重要性质。
【三、2011 年山东高考数学圆锥曲线题目解析】【1.题目描述】在 2011 年的山东高考数学试题中，圆锥曲线题型主要涉及到了椭圆、双曲线和抛物线的相关知识。
题目要求考生根据所给条件，判断圆锥曲线的类型，并求解相关问题。
【2.解题思路】针对这类题目，首先要对圆锥曲线的基本概念和性质有深入了解，然后根据题目所给条件，判断出圆锥曲线的类型。
接着，利用圆锥曲线的性质和公式，解决相关问题。
【3.题目答案】由于题目的具体答案需要根据题目的具体内容来求解，这里无法给出具体的答案。
但是，通过对圆锥曲线题型的练习和掌握，相信考生可以轻松应对这类题目。
高考数学真题解析分项版圆锥曲线 文
2011年高考试题解析数学（文科）分项版10 圆锥曲线一、选择题:1. （2011年高考山东卷文科9)设M(0x ，0y )为抛物线C ：28x y =上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、FM 为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则0y 的取值范围是 (A)(0，2) (B)[0，2] (C)(2，+∞) (D)[2，+∞) 【答案】C3. （2011年高考海南卷文科9)已知直线l 过抛物线C 的焦点,且与C 的对称轴垂直,l 与C 交于A,B 两点,|AB|=12,P 为C 的准线上一点,则ABP ∆的面积为( ) A.18 B.24 C.36 D.48 【答案】C【解析】因为AB 过抛物线的焦点且与对称轴垂直,所以线段AB 是抛物线的通径,长为212p =,所以6p =,又点P 到AB 的距离为焦参数p ,所以ABP ∆的面积为212362p p p ⨯==,故选C.4. (2011年高考安徽卷文科3) 双曲线x y 222-=8的实轴长是（A ）2(B) (C) 4【答案】C【命题意图】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的性质.属容易题.【解析】x y 222-=8可变形为22148x y -=，则24a =，2a =，24a =.故选C. 5．(2011年高考广东卷文科8)设圆C 与圆外切，与直线0y =相切．则C 的圆心轨迹为（ ）A ． 抛物线B ． 双曲线C ． 椭圆D ． 圆6.（2011年高考浙江卷文科9)已知椭圆22122:1x y C a b +=（a ＞b ＞0）与双曲线222:14y C x -=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与1C 2C 的长度为直径的圆相交于,A B 两点.若1C 恰好将线段AB 三等分，则 （A ）2132a = （B ）213a = （C ）212b = (D) 22b = 【答案】 C【解析】：由1c 恰好将线段AB 三等分得133A A x x x x =⇒=由222,A y x x x y=⎧⇒=⎨+⎩,1515x y a ∴==222222)521515(,)111a a b a b ∴+=⇒=在椭圆上, 又22215,2a b b -=∴=，故选C.7. (2011年高考天津卷文科6)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为A.【答案】B【解析】由题意知,抛物线的准线方程为2x =-,所以4p =,又42pa +=,所以2a =,又因为双曲线的一条渐近线过点(-2,-1),所以双曲线的渐近线方程为12y x =±,即12b a =,所以1b =,即25c =,2c =选B.8. （2011年高考福建卷文科11)设圆锥曲线I’的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线I’上存在点P 满足1PF ：12F F ：2PF = 4:3:2，则曲线I’的离心率等于A. 1322或B. 223或 C. 122或 D. 2332或【答案】A【解析】由1PF ：12F F ：2PF = 4:3:2，可设14PF k =,123F F k =,22PF k =,若圆锥曲线为椭圆,则26a k =,23c k =,12e =;若圆锥曲线为双曲线,则22a k =,23c k =,32e =,故选A. 9. （2011年高考四川卷文科11)在抛物线y=x 2+ax-5(a ≠0)上取横坐标为x 1=-4,x 2=2的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与该抛物线和圆225536x y +=相切，则抛物线的顶点坐标是（ ）（A ） (-2,-9) （B ）(0,-5) (C) (2,-9) （D ）(1,6)10. （2011年高考陕西卷文科2)设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是（A ）28y x =- （B ） 24y x =- (C) 28y x = (D) 24y x = 【答案】C【解析】：设抛物线方程为2y ax =，则准线方程为4a x =-于是24a-=-8a ⇒=故选C 11．（2011年高考湖南卷文科6)设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320,x y ±=则a 的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 答案：C解析：由双曲线方程可知渐近线方程为3y x a=±，故可知2a =。
2011年高中数学 圆锥曲线试题汇编
2011年高考数学《圆锥曲线》试题汇编1.（某某文）（19）（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>的离心率为63，右焦点为(22,0)。
斜率为1的直线l 与椭圆G 交于,A B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为(3,2)P -。
（Ⅰ）求椭圆G 的方程；（Ⅱ）求PAB 的面积。
2.某某文11.设圆锥曲线I 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线I 上存在点P 满足1PF ：12F F ：2PF =4：3:2，则曲线I 的离心率等于A.1322或B.223或 C.122或 D.2332或 3.某某文18.（本小题满分12分）如图，直线l ：y=x+b 与抛物线C ：x2=4y 相切于点A 。
（1） 某某数b 的值；（11）求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程.4.某某文22.（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）已知椭圆222:1x C y m+=（常数1m >），P 是曲线C 上的动点，M 是曲线C 上的右顶点，定点A 的坐标为(2,0)（1）若M 与A 重合，求曲线C 的焦点坐标； （2）若3m =，求PA 的最大值与最小值；（3）若PA 的最小值为MA ，某某数m 的取值X 围. 5.某某文（18） 设椭圆)0(12222>>=+b a by ax 的左右焦点分别为21,F F ，点),(b a P 满足212F F PF =。
（1）求椭圆的离心率e ；（2）设直线2PF 与椭圆相交于B A ,两点。
若直线2PF 与圆16)3()1(22=-++y x 相交于N M ,两点，且AB MN 85=，求椭圆的方程。
6.全国新课标文（20）（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）若圆C 与直线0x y a -+=交与A ，B 两点，且OA OB ⊥，求a 的值。
江西省各地市2011年高考数学最新联考试题分类大汇编第10部分 圆锥曲线
江西省各地市2011年高考数学最新联考试题分类大汇编第10部分:圆锥曲线一、选择题:10．(江西省九校2011年高三联合考试文科)已知F 1，F 2是双曲线221169x y -=的左、右焦点,P 是双曲线一点，且2||6,(0,)PF Q m =点12||3,()m PQ PF PF ≥⋅-则的值是（ B ）A ．40B ．80C ．160D ．与m 的值有关9．(江西省“八校” 2011年4月高三联合考试理科）已知抛物线22y px =(0)p >与双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>有相同的焦点F ，点A是两曲线的一个交点,且AF x ⊥轴，若l 为双曲线的一条渐近线，则l 的倾斜角所在的区间可能是（ D ）A ．(0,)6πB ．(,)64ππC ．(,)43ππD ．(,)32ππ9．(江西省吉安市2011届高三第二次模拟理科)若椭圆221x y m n+=与双曲线221x y p q-=（,,,m n p q 均为正数）有共同的焦点F 1、F 2，P 是两曲线的一个公共点,则12||||PF PF ⋅ ( C ）A ．22pm - B ．p m - C ．m p - D ．22mp -7. （江西省九江市六校2011年4月高三第三次联考理科)已知1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，以坐标原点O 为圆心，为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P,则当的面积等于时,双曲线的离心率为（ A ）A.2 B 。
3 C 。
26 D.210. (江西省九江市六校2011年4月高三第三次联考文科)已知双曲线C ：12222=-b y a x 的右支上存在一点P ,使得点P 到双曲线右焦点的距离等于它到直线ca x 2-=（其中222b a c+=）的距离，则双曲线C 离心率的取值范围是（ C ) A 。
(1,2]B. [2,)+∞C. (1,21]+D. [21,)++∞．6。
2011年高考数学试题分类解析(十)——圆锥曲线与方程
2011年高考数学试题分类解析(十)——圆锥曲线与方程陈发志;蔡小雄;张金良
【期刊名称】《中国数学教育（高中版）》
【年(卷),期】2011(000)008
【摘要】“圆锥曲线方程”是解析几何的重点内容,在历年的高考试题中都占有极大的比重.2011年的高考试题,圆锥曲线的内容在试题的设计来源、设问形式、解题方法和新课程理念符合度方面都有着鲜明的特色.研究的目的是通过对典型例题的剖析,揭示高考试题的命题规律与趋势,从而进一步把握复习的重点与疑难点,纠正解题中的易错点,增加高考的得分点.
【总页数】7页(P79-85)
【作者】陈发志;蔡小雄;张金良
【作者单位】浙江省杭州市第十一中学;浙江省杭州市第二中学;浙江省教育厅教研室
【正文语种】中文
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5.2010年高考数学试题（新课程卷）分类解析（十）--圆锥曲线与方程 [J], 景芳; 张金良
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江苏省各地市2011年高考数学最新联考试题分类大汇编(10)圆锥曲线
江苏省各地市 2011 年高考数学最新联考试题分类大汇编第 10 部分 :圆锥曲线一、填空题：2．(2011 年 3 月苏、锡、常、镇四市高三数学教课状况检查一)在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 8kx 2ky28的渐近线方程为 ；2．y22x【分析】由题知8x 2 y 20 即 y2 2x .x 2 y 21 a,bb2011 年 1 月高三调研 ) 若双曲线a 2b2的离心率为2 ，则 a= ▲ .2. (江苏省苏州市c1 b22, b 23,b3.2.3【分析】aa 2a 2ax 2y 2 1(a 0,b 0))已知双曲线 C:a 2b 29. (江苏省南京市 2011 届高三第一次模拟考试的右极点、 右焦点分别为 A 、F,它的左 准线与 x 轴的交点为 B ，若 A 是线段 BF 的中点，则双曲线 C 的离心率为.Ba 2 ,0 , A a,0 , F c,02aca9．2 1【分析】由题意知：c，则c，即e 2 2e 1 0 ，解得 e2 1x 2y 2 1(a 0,b 0))双曲线 a 2b 210．( 江苏省徐州市 2011 届高三第一次调研考试的两条渐近线将平面区分为 “上、下、左、右 ”四个地区（不含界限） ，若点(1,2)在“上 ”地区内，则双曲线离心率e的取值范围是▲ ．10．1,5x 2y 2 1yb x ，点 1,2【分析】双曲线 a 2b 2 的一条渐近 线为a在该直线的上方，由线性规划知识，知：2be 21 ( b )25e1,5a，因此a，故4. (江苏省苏北四市 2011 届高三第一次调研 )若抛物线的焦点坐标为(2,0) ，则抛物线的标准方程是▲ ．y2p24．【分析】依据焦点坐标在x 轴上，可设抛物线标准方程为 2 px ，有 2，p4，抛物线标准方程为 y 28 xx 2y 2 11. (江苏省泰州市 2011 届高三年级第一次模拟 )双曲线3的离心率是。
2011山东数学圆锥曲线
2011山东数学圆锥曲线（最新版）目录1.2011 年山东高考数学圆锥曲线题目概述2.圆锥曲线的基本概念和性质3.题目的解题思路和方法4.题目的解答过程5.圆锥曲线在高考数学中的重要性和应用正文【1.2011 年山东高考数学圆锥曲线题目概述】2011 年山东高考数学试题中，圆锥曲线成为了一道备受关注的题目。
这道题目以圆锥曲线为背景，考察了考生对于该知识点的理解和应用能力。
圆锥曲线作为高中数学中的一个重要知识点，其对于高考数学的影响力不可小觑。
【2.圆锥曲线的基本概念和性质】圆锥曲线是一个广泛的概念，包括椭圆、双曲线、抛物线和它们的简化形式：圆和直线。
它们都有共同的特点，即都可以看作是圆锥与一个平面相交的截面。
圆锥曲线的性质主要体现在它们的对称性、焦点和顶点、离心率等方面。
【3.题目的解题思路和方法】对于这类题目，首先要理解题意，明确题目所求。
接着，利用圆锥曲线的性质和公式，进行变量代换和方程化简。
最后，通过解方程得到答案。
在这个过程中，需要注意保持解答过程的简洁和清晰。
【4.题目的解答过程】以 2011 年山东高考数学圆锥曲线题目为例，题目要求求解一个椭圆与一个双曲线的交点。
解答过程如下：首先，设椭圆的方程为 (x^2)/a^2 + (y^2)/b^2 = 1，双曲线的方程为 (x^2)/c^2 - (y^2)/d^2 = 1。
然后，将两个方程联立，得到一个包含 x 和 y 的方程组。
接着，解方程组，得到交点的坐标。
最后，将交点的坐标代入题目要求的式子，求出答案。
【5.圆锥曲线在高考数学中的重要性和应用】圆锥曲线在高考数学中占据重要地位，不仅是因为其知识点的广泛性和深度，还因为它在实际问题中的应用。
圆锥曲线题目可以锻炼考生的逻辑思维能力和数学运算能力，提高考生的数学素养。
2011山东数学圆锥曲线
2011山东数学圆锥曲线摘要：一、引言二、2011年山东数学高考圆锥曲线题目概述三、解题思路及方法1.分析题目2.确定解题思路3.应用相关知识点四、解题过程详解1.步骤一2.步骤二3.步骤三五、答案与解析六、总结正文：一、引言在我国，每年高考数学试题的设置都具有一定的规律性和延续性。
通过对历年高考数学试题的分析，我们可以发现一些题型和知识点出现的频率较高。
今天，我们将以2011年山东数学高考圆锥曲线题目为例，进行详细的解析。
二、2011年山东数学高考圆锥曲线题目概述2011年山东数学高考圆锥曲线题目主要考查了椭圆、双曲线和抛物线的性质及其应用。
题目难度适中，需要考生具备一定的分析问题和解决问题的能力。
三、解题思路及方法1.分析题目首先，我们需要认真阅读题目，理解题目所求，并明确所涉及的知识点。
2.确定解题思路针对此类题目，一般可以采用以下两种解题思路：（1）利用已知条件，结合圆锥曲线的性质，直接求解；（2）通过平移、翻折等变换，将圆锥曲线问题转化为已知问题，再求解。
3.应用相关知识点在解题过程中，我们需要灵活运用椭圆、双曲线和抛物线的性质，如焦点、顶点、对称性等。
四、解题过程详解1.步骤一首先，根据题目所给条件，可以得到椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a，抛物线的参数为p。
2.步骤二利用椭圆的性质，我们可以得到椭圆的离心率e，进一步求得焦点到椭圆上某一点的距离。
3.步骤三根据双曲线的性质，我们可以得到双曲线的离心率e"，进一步求得双曲线的渐近线方程。
五、答案与解析根据以上解题过程，我们可以得到题目的答案。
同时，通过对题目的分析和解答，我们可以加深对圆锥曲线知识点的理解，提高解题能力。
六、总结通过对2011年山东数学高考圆锥曲线题目的解析，我们不仅复习了圆锥曲线的性质及其应用，还学会了如何分析题目、确定解题思路和灵活运用知识点。
2011年高考数学圆锥曲线配套试卷及答案
2011年最新高考+最新模拟——圆锥曲线1. 【2010•浙江理数】设1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=＞＞的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF FF =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A.340x y ±=B.350x y ±=C.430x y ±=D.540x y ±= 【答案】C【解析】利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a 与b 之间的等量关系，可知答案选C ，本题主要考察三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考察，属中档题2. 【2010•全国卷2理数】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=＞＞过右焦点F且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k =（ ）（A ）1 （B （C （D ）2 【答案】B【解析】设直线l 为椭圆的有准线，e 为离心率，过A ，B 分别作AA 1，BB 1垂直于l ，A 1，B 为垂足，过B 作BE 垂直于AA 1与E ，由第二定义得，，由，得，∴即k=，故选B.3. 【2010•陕西文数】已知抛物线y 2＝2px （p >0）的准线与圆（x －3）2＋y 2＝16相切，则p 的值为 （ ）A.12B.1C.2D.4【答案】C【解析】本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系法一：抛物线y 2＝2px （p>0）的准线方程为2px -=，因为抛物线y 2＝2px （p>0）的准线与圆（x －3）2＋y 2＝16相切，所以2,423==+p p法二：作图可知，抛物线y 2＝2px （p>0）的准线与圆（x －3）2＋y 2＝16相切与点（-1,0）所以2,12=-=-p p4. 【2010•辽宁文数】设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ）12 D.12【答案】D【解析】选D.不妨设双曲线的焦点在x 轴上，设其方程为：22221(0,0)x y a b a b-=>>，则一个焦点为(,0),(0,)F c B b 一条渐近线斜率为：b a ，直线FB 的斜率为：bc -，()1b ba c∴⋅-=-，2b ac ∴=220c a ac --=，解得12c e a ==.5. 【2010•辽宁文数】设抛物线28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足，如果直线AF 斜率为PF =（ ）A.【答案】B【解析】利用抛物线定义，易证PAF ∆为正三角形，则4||8sin30PF ︒== 6. 【2010•辽宁理数】设双曲线的—个焦点为F ；虚轴的—个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )D. 【答案】D【解析】设双曲线方程为22221(0,0)x ya ba b-=>>，则F（c,0）,B(0,b)直线FB：bx+cy-bc=0与渐近线y=bxa垂直，所以1b bc a-=-，即b2=ac所以c2-a2=ac,即e2-e-1=0,所以12e=或12e-=（舍去）.7. 【2010•辽宁理数】设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足．如果直线AF的斜率为,那么|PF|=( )A. B.8C. D.16【答案】B【解析】抛物线的焦点F（2，0），直线AF的方程为2)y x=-，所以点(A-、P，从而|PF|=6+2=88. 【2010•全国卷2文数】已知椭圆C：22221x ya b+=（a>b>0）的离心率为2，过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线于C相交于A、B两点，若3AF FB=。
高考数学全国卷2011-2019圆锥曲线分类汇编(文科)
高考数学全国卷2011-2019圆锥曲线分类汇编（文科）一、选择填空【2011新课标】4．椭圆的离心率为（ D ）A．B．CD【解析】cea===2228111162，be ea=-=-=∴=，故选D.【2011新课标】9．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直. l与C交于A, B两点，|AB|=12，P为C的准线上一点，则ABP的面积为（ C ）A．18 B．24 C．36 D．48【解析】易知2P=12，即AB=12，三角形的高是P=6，所以面积为36，故选C.【2012新课标】4．设F1、F2是椭圆E：22221x ya b+=(a>b>0)的左、右焦点，P为直线32ax=上一点，△F1PF2是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（ C ）A．12B．23C．34D．45【解析】∵△F2PF1是底角为30º的等腰三角形，260PF A∴∠=︒，212||||2PF F F c==，∴2||AF=c，322c a∴=，34e∴=，故选C.【2012新课标】10．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，||AB=，则C的实轴长为（）A B．C．4 D．8【解析】由题设知抛物线的准线为：4x=，设等轴双曲线方程为：222x y a-=，将4x=代入等轴双曲线方程解得y=||AB=a=2，∴C的实轴长为4，故选C.【2013新课标1】4. 已知双曲线C：2222=1x ya b-(a＞0，b＞0)C的渐近线方程为( )A．y=±14x B．y=±13x C．y=±12x D．y＝±x【解析】∵2e=2ca=，即2254ca=，∵c2＝a2＋b2，∴2214ba=.∴12ba=.∵双曲线的渐近线方程为by xa=±，∴渐近线方程为12y x=±，故选C。
2011年高考数学试题分类解析(十)--圆锥曲线与方程
识和方法 系统地研 究几何 问题 ，通 过数形 结合 的思想建立起 代 比较多 的内容和方法有 以下三个方面． 数与几何的联系 ，推动代数与几何的共同发展．中学 阶段 的解 析 （） １ 圆锥曲线的定义 、标准方程及 简单几何性质 的应 用 ，是 几何 主要 是圆锥 曲线 的知识 ，这类 问题涉及 的知识 面广 、综 合 圆锥 曲线 的基 础内容 ，在 ２ １ 年高考各地的试卷 中都有这方 面 ０１ 性强 、创新 能力 高 ，充分 体现 了中学数学 的各种思 想方法 ，成 内容 的考查． 重在考查基础知识 、 基本方法 ， 以选择题 、 空 多 填 为历年来高考命题的热点和重点． ２ １ 年 高考圆锥 曲线 知识在命题上 继承 了前几 年高考命 题 ０ １ 题为主 ，为 中档题 目． （ ） 曲线 方程 的问题 ，所涉及 的求解方法有定义法 、轨 迹 ２求
剖析 ，揭 示高考试题 的命题规律 与趋 势 ，从 而进 一步把握 复 习 命题 思路 ，历 年高考试 卷都体 现 了这个 指导思想 ．２ １ 年 延续 ０ １ 函数 与方程思 想 、分 类讨论 思想等） 的考查 ，要求 学生不仅 仅 有知识 的积累 ，更要有解题方法 的归 纳 ，掌握常见 的解题方法 ，
２ ０个 ，体现 了圆锥 曲线 知识在 整个 中学 学习 中的重要地位 ．试 也突 出了坐标法思想 的核心地位 ，强调 了数形结合思想．
收稿 日期 ：２ １ － ７ ０ ０１０— ５
作者简 介 ：陈发志 （９２） １８一 ，男，浙 江温州人 ，中学一级教 师，主要从 事中学数 学学科 的教 学与研 究
何的双重身份 ，因此解析几何 与平 面向量的交会整合是 ２ １ ０ １年 中体现理解 了知识 的本质有 助于避免 繁琐 的运算过 程 ，切 实做 高考命题 的一个热点 ，如安徽卷 理科 的第 ２ 题 、大纲 全国卷理 到减负高效． １ 科的第 ２ 题 和浙 江卷理科的第 ｌ 题 等 ；涉及 圆锥 曲线的弦长 、 １ ７
2011年高考试题数学汇编--圆锥曲线
2011年高考试题数学汇编――圆锥曲线一、选择题:1. (2011年高考山东卷理科8)已知双曲线22221(0b 0)x y a a b-=＞，＞的两条渐近线均和圆C:22650x y x +-+=相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为(A)22154x y -= (B) 22145x y -= (C) 22136x y -= (D) 22163x y -= 【答案】A【解析】由圆C:22650x y x +-+=得:22(3)4x y -+=,因为双曲线的右焦点为圆C 的圆心(3,0),所以c=3,又双曲线的两条渐近线0bx ay ±=均和圆C 相切,2=,即32b c =,又因为c=3,所以b=2,即25a =,所以该双曲线的方程为22154x y -=,故选A. 2. (2011年高考辽宁卷理科3)已知F 是抛物线y 2=x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，=3AF BF +，则线段AB 的中点到y 轴的距离为A ．34B ．1C ．54D ．74答案：C解析：设A ，B 的横坐标分别是,m n ，由抛物线定义，得111=+3442AF BF m n m n +++=++=，故52m n +=，524m n +=,故线段AB 的中点到轴的距离为543. (2011年高考全国新课标卷理科7)设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于 A,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（A （B （C ）2 （D ）3 答案：B解析：由题意知，AB 为双曲线的通径，所以，AB a a b 422==，222=∴ab又3122=+=ab e ，故选B.点评：本题考查双曲线标准方程和简单几何性质，通过通经与长轴的4倍的关系可以计算出离心率的关键22ab 的值，从而的离心率。
4.(2011年高考浙江卷理科8)已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=＞＞与双曲线222:14y C x -=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则（A ）2132a =（B ）213a = （C ）212b = （D ）22b = 【答案】 C【解析】由1C 恰好将线段AB 三等分得133A A x x x x =⇒=，由2225A y x x x y=⎧⇒=⎨+⎩,x ∴=y=) 在椭圆上,2222)15151a b ∴+=2211a b ⇒=又225,a b -=212b ∴=，故选C 5.(2011年高考安徽卷理科2)双曲线x y 222-=8的实轴长是（A ）2 (B)【答案】A【命题意图】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的性质.属容易题.【解析】x y 222-=8可变形为22148x y -=，则24a =，2a =，24a =.故选C. 6. (2011年高考湖南卷理科5)设双曲线()019222>=-a y ax 的渐近线方程为023=±y x ，则a 的值为A.4B. 3C. 2D. 1 答案：C解析：由双曲线方程可知渐近线方程为3y x a=±，故可知2a =。
2013年、2012年、2011年高考题分类汇编之圆锥曲线与方程
第十章圆锥曲线与方程第一节椭圆高考试题考点一椭圆的定义及应用1.(2009年北京卷,理12)椭圆22192x y+=的焦点为F1、F2,点P在椭圆上.若|PF1|=4,则|PF2|=,∠F1PF2的大小为.解析:由椭圆方程22192x y+=可知a2=9,b2=2,∴c2由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=6,由|PF1|=4,得|PF2|=2.在△PF1F2中,由余弦定理的推论有cos∠F1PF2=2221212122PF PF F FPF PF+-=22 4228 242+-⨯⨯=-1 2 .∴∠F1PF2=120°.答案:2120°2.(2012年四川卷,理15)椭圆22143x y+=的左焦点为F,直线x=m与椭圆相交于点A、B,当△FAB的周长最大时,△FAB的面积是.解析:由椭圆定义可知,当直线x=m过椭圆右焦点(1,0)时,△FAB的周长最大.由椭圆方程22143x y+=知a=2,c=1.当x=1时,由21143y +=, 得y=±32. ∴S △FAB =12×(2×32)×(1+1)=3. 答案:33.(2009年上海卷,理9)已知F 1、F 2是椭圆C:22221x y a b += (a>b>0)的两个焦点,P 为椭圆C 上一点,且12PF PF ⊥,若△PF 1F 2的面积为9,则b= .解析:由题意可知,1212PF PF =9,① 2221212PF PF F F +==(2c)2,②由椭圆定义可知,|PF 1|+|PF 2|=2a,③ 联立①②③解得a 2-c 2=9,即b 2=9,∴b=3.答案:3考点二 椭圆的方程及其简单性质应用1.(2013年新课标全国卷Ⅰ,理10)已知椭圆E: 22221x y a b += (a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F 的直线交E于A 、B 两点.若AB 的中点坐标为(1,-1),则E 的方程为( )(A)2214536x y += (B)2213627x y += (C)2212718x y += (D)221189x y += 解析:已知椭圆与直线相交弦的中点及斜率,可以用两点式求解. 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),AB 的中点D(1,-1), 则k AB =12, x 1+x 2=2,y 1+y 2=-2,2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得:()()12122x x x x a -++ ()()12122y y y y b -+=0,即1212y y x x --=-()()212212b x x a y y ++,即12=22b a ,∴a 2=2b 2.又因c=3,所以b 2=9,a 2=18,椭圆方程为221189x y +=.故选D. 答案:D2.(2011年新课标全国卷,理14)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的中心为原点,焦点F 1、F 2在x 轴上,离心,过F 1的直线l 交C 于A 、B 两点,且△ABF 2的周长为16,那么C 的方程为 . 解析:设椭圆标准方程为22221x y a b+= (a>b>0),由题意知|BA|+|BF 2|+|AF 2|=|BF 1|+|BF 2|+|AF 1|+|AF 2|=4a=16, ∴a=4,由e=c a 得 ∴b 2=a 2-c 2=8,∴椭圆标准方程为221168x y +=. 答案:221168x y += 3.(2011年江西卷,理14)若椭圆22221x y a b +=的焦点在x 轴上,过点11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭作圆x 2+y 2=1的切线,切点分别为A 、B,直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是 .解析:设点D 11,2⎛⎫⎪⎝⎭,由平面几何知识易知,AB ⊥OD, ∴k AB =-2.设AB 方程为y=-2x+m.又过点11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭作圆x 2+y 2=1的切线中有一条是x=1,不妨设B(1,0).把x=1,y=0代入AB方程,可得m=2.由题意可知,b=2,c=1,∴a2=5.∴椭圆方程为221 54x y+=.答案:221 54x y+=考点三椭圆离心率的求法1.(2012年新课标全国卷,理4)设F1,F2是椭圆E:22221x ya b+= (a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=32a上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为()(A)12(B)23(C)34(D)45解析:如图所示,设直线x=32a与x轴的交点为Q,由题意可知,∠F2F1P=∠F1PF2=30°,|PF2|=|F1F2|=2c,∴∠PF2Q=60°,∠F2PQ=30°.∴|F2Q|=12|PF2|.即32a-c=12·2c,∴e=ca=34.答案:C2.(2012年江西卷,文8)椭圆22221x y a b += (a>b>0)的左、右顶点分别是A 、B,左、右焦点分别是F 1、F 2,若|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为( )(A)14(C)12解析:由题意知,|AF 1|=a-c,|F 1F 2|=2c,|F 1B|=a+c. 由|AF 1|、|F 1F 2|、|F 1B|成等比数列可得: (2c)2=(a-c)(a+c).整理得a 2=5c 2,∴e=ca 答案:B3.(2013年福建卷,理14)椭圆Γ: 22221x y a b += (a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,焦距为2c.若直线(x+c)与椭圆Γ的一个交点满足∠MF 1F 2=2∠MF 2F 1,则该椭圆的离心率等于 .解析:直线(x+c)过点F 1(-c,0)且倾斜角为60°, 所以∠MF 1F 2=60°,∠MF 2F 1=30°, 所以∠F 1MF 2=90°, 所以F 1M ⊥F 2M, 在Rt △F 1MF 2中,|MF 1|=c,|MF 2c,所以e=ca =22c a =122cMF MF +=-1.答案-14.(2013年辽宁卷,理15)已知椭圆C: 22221x y a b += (a>b>0)的左焦点为F,椭圆C 与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF.若|AB|=10,|AF|=6,cos ∠ABF=45,则椭圆C 的离心率e= . 解析:如图所示,由|AB|=10,|AF|=6,cos ∠ABF=45,得BF=8,则AF ⊥BF,半焦距c=FO=12AB=5.设椭圆右焦点为F 2,由对称性知AF 2=BF=8,a=7,所以e=c a =57. 答案:575.(2010年大纲全国卷Ⅰ,理16)已知F 是椭圆C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段BF 的延长线交C 于点D,且BF =2FD ,则C 的离心率为 . 解析:设椭圆C 的焦点在x 轴上,F(c,0),B(0,b).椭圆方程为22221x y a b +=,其中a 2=b 2+c 2,设D(x,y),则FD =(x-c,y). 又BF =(c,-b),由BF =2FD 可得()2,2,c x c b y ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩∴3,2.2x c b y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∵点D 在椭圆上, ∴22223221b c a b⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=, 整理得22c a =13,∴e=c a.答案考点四 直线与椭圆的位置关系1. (2013年江西卷,理20)如图,椭圆C: 22221x y a b += (a>b>0)经过点P 31,2⎛⎫⎪⎝⎭,离心率e=12,直线l 的方程为x=4.(1)求椭圆C 的方程;(2)AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P),设直线AB 与直线l 相交于点M,记PA,PB,PM 的斜率分别为k 1,k 2,k 3.问:是否存在常数λ,使得k 1+k 2=λk 3?若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由.解:(1)由P 31,2⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上得,221914a b+=.① 依题设知a=2c,则b 2=3c 2.②②代入①解得c 2=1,a 2=4,b 2=3.故椭圆C 的方程为22143x y +=. (2)设B(x 0,y 0)(x 0≠1), 则直线FB 的方程为y=01y x -(x-1), 令x=4,求得M 0034,1y x ⎛⎫⎪-⎝⎭,从而直线PM 的斜率为k 3=()0002121y x x -+-,联立()00221,11,43y y x x x y ⎧=-⎪-⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得A 0000583,2525x y x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭, 则直线PA 的斜率为k 1=()00022521y x x -+-,直线PB 的斜率为k 2=()002321y x --,所以k 1+k 2=()00022521y x x -+-+()002321y x --=000211y x x -+-=2k 3.故存在常数λ=2符合题意.2.(2013年新课标全国卷Ⅱ,理20)平面直角坐标系xOy 中,过椭圆M: 22221x y a b += (a>b>0)右焦点的直线=0交M 于A,B 两点,P 为AB 的中点,且OP 的斜率为12. (1)求M 的方程;(2)C,D 为M 上的两点,若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB,求四边形ACBD 面积的最大值. 解:(1)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),P(x 0,y 0),则2211221x y a b +=,2222221x y a b +=,2121y y x x --=-1, 由此可得()()221221b x x ay y ++=-2121y y x x --=1. 因为x 1+x 2=2x 0,y 1+y 2=2y 0,0y x = 12, 所以a 2=2b 2.又由题意知,M 的右焦点为,0),故a 2-b 2=3.因此a 2=6,b 2=3.所以M 的方程为22163x y +=. (2)由220,1,63x y x y⎧+⎪⎨+=⎪⎩解得x y ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或0,x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 因此由题意可设直线CD 的方程为y=x+n n ⎛<< ⎝, 设C(x 3,y 3),D(x 4,y 4).由22,163y x n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得3x 2+4nx+2n 2-6=0.于是x 3,4因为直线CD 的斜率为1,所以4-x 3. 由已知,四边形ACBD 的面积S=12|CD|·当n=0时,S 取得最大值,所以四边形ACBD . 3.(2013年北京卷,理19)已知A 、B 、C 是椭圆W: 24x +y 2=1上的三个点,O 是坐标原点.(1)当点B 是W 的右顶点,且四边形OABC 为菱形时,求此菱形的面积; (2)当点B 不是W 的顶点时,判断四边形OABC 是否可能为菱形,并说明理由.解:(1)椭圆W: 24x +y 2=1的右顶点B 的坐标为(2,0).因为四边形OABC 为菱形,所以AC 与OB 相互垂直平分, 所以可设A(1,m),代入椭圆方程得14+m 2=1,即m= 所以菱形OABC 的面积是12|OB|·|AC|=12×2×. (2)四边形OABC 不可能为菱形.理由如下: 假设四边形OABC 为菱形.因为点B 不是W 的顶点,且直线AC 不过原点,所以可设AC 的方程为y=kx+m(k ≠0,m ≠0). 由2244,,x y y kx m ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩消去y 并整理得 (1+4k 2)x 2+8kmx+4m 2-4=0.设A(x 1,y 1),C(x 2,y 2),则122x x +=-2414km k +,122y y +=k ·122x x ++m=214mk +.所以AC 的中点为M 224,1414km m k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭. 因为M 为AC 和OB 的交点,所以直线OB 的斜率为-14k. 因为k ·14k ⎛⎫- ⎪⎝⎭≠-1,所以AC 与OB 不垂直.所以OABC 不是菱形,与假设矛盾.所以当点B 不是W 的顶点时,四边形OABC 不可能是菱形. 4.(2012年北京卷,理19)已知曲线C:(5-m)x 2+(m-2)y 2=8(m ∈R).(1)若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆,求m 的取值范围;(2)设m=4,曲线C 与y 轴的交点为A,B(点A 位于点B 的上方),直线y=kx+4与曲线C 交于不同的两点M,N,直线y=1与直线BM 交于点G,求证:A,G,N 三点共线. (1)解:曲线C 的方程化成标准方程,2218852x y m m +=--. ∵曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆, ∴85m ->82m ->0, 解得72<m<5. 即当曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆时,m 的取值范围是（72,5）. (2)证明:当m=4时,曲线C 的标准方程为22184x y +=, ∴A(0,2),B(0,-2). 由224,184y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y,得(2k 2+1)x 2+16kx+24=0.(*)∵直线与曲线交于不同的两点, ∴Δ=(16k)2-4×24·()221k +>0,即k 2>32. 设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2), 则x 1,x 2是方程(*)的两根. ∴x 1+x 2=-21621k k +,x 1·x 2=22421k +. 直线BM 的方程为:y=112y x +x-2, ∴G （1132x y +,1）. 法一 k AG -k AN =1121302x y --+-2220y x -- =-1123y x +-222y x -=-11423kx x ++-2242kx x +-=-43k-21211x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-43k-2·216212421kk k -++=-43k+43k=0 即k AG =k AN . ∴A 、G 、N 三点共线. 法二 AG =(1132x y +,-1),AN =(x 2,y 2-2), ∵1132x y +·(y 2-2)-(-1)·x 2=()121326x kx kx +++x 2 =()12121466kx x x x kx +++=22124164621216kk k k kx ⋅-⋅+++ =0.∴AG ∥AN , 即A 、G 、N 三点共线.5.(2012年陕西卷,理19)已知椭圆C 1: 24x +y 2=1,椭圆C 2以C 1的长轴为短轴,且与C 1有相同的离心率. (1)求椭圆C 2的方程;(2)设O 为坐标原点,点A 、B 分别在椭圆C 1和C 2上,OB =2OA ,求直线AB 的方程. 解:(1)由题意可知椭圆C 1的长轴长为4,离心率e 1, 设C 2方程为22221x y b a += (a>b>0), 由题意得椭圆C 2短轴长2b=4,离心率e 2∴b=2,a 2=16.∴椭圆C 2的方程为221416x y +=. (2)∵OB =2OA ,∴A 、O 、B 三点共线. 设AB 方程为y=kx. 由22,14y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得(1+4k 2)x 2=4.设A(x 1,y 1), 则21x =2414k +. 设B(x 2,y 2),同理可求得22x =2164k +. 由OB =2OA 得: 22x =421x ,即2164k +=4·2414k +, 解得k=±1.∴直线AB 的方程为y=x 或y=-x.6.(2013年湖北卷,理21)如图,已知椭圆C 1与C 2的中心在坐标原点O,长轴均为MN 且在x 轴上,短轴长分别为2m,2n(m>n),过原点且不与x 轴重合的直线l 与C 1,C 2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D.记λ=mn,△BDM 和△ABN 的面积分别为S 1和S 2.(1)当直线l 与y 轴重合时,若S 1=λS 2,求λ的值;(2)当λ变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l,使得S 1=λS 2?并说明理由.解:依题意可设椭圆C 1和C 2的方程分别为C 1: 22221x y a m +=,C 2: 22221x y a n +=,其中a>m>n>0,λ=mn >1.(1)如图1,若直线l 与y 轴重合,即直线l 的方程为x=0, 则S 1=12|BD|·|OM|=12a|BD|, S 2=12|AB|·|ON|=12a|AB|, 所以12S S =BDAB . 在C 1和C 2的方程中分别令x=0, 可得y A =m,y B =n,y D =-m, 于是BD AB=B D A By y y y --=m n m n +-=11λλ+-. 若12S S =λ,则11λλ+-=λ,化简得λ2-2λ-1=0.由λ>1,可解得λ故当直线l 与y 轴重合时,若S 1=λS 2,则λ(2)如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l,使得S 1=λS 2.根据对称性,不妨设直线l:y=kx(k>0), 点M(-a,0),N(a,0)到直线l 的距离分别为d 1,d 2,则d 1,d 2,所以d 1=d 2. 又S 1=12|BD|d 1,S 2=12|AB|d 2, 所以12S S =BD AB =λ,即|BD|=λ|AB|. 由对称性可知|AB|=|CD|, 所以|BC|=|BD|-|AB|=(λ-1)|AB|, |AD|=|BD|+|AB|=(λ+1)|AB|, 于是AD BC=11λλ+-.① 将l 的方程分别与C 1,C 2的方程联立, 可求得x A,x B根据对称性可知x C =-x B ,x D =-x A ,于是ADBC22A B x x②=()11λλλ+-.③令t=()11λλλ+-,则由m>n,λ>1,可得0<t<1,于是由③可解得k 2=()()2222211n t a t λ--.因为k 2>0,于是③式关于k 有解,当且仅当()()2222211n t a t λ-->0,等价于(t 2-1)(t 2-21λ)<0. 由λ>1,0<t<1,可解得1λ<t<1, 即1λ<()11λλλ+-<1,由λ>1,解得λ所以当1<λ≤,不存在与坐标轴不重合的直线l,使得S 1=λS 2;当λ,存在与坐标轴不重合的直线l,使得S 1=λS 2.7.(2013年天津卷,理18) 22x a +22y b=1(a>b>0)的左焦点为F,过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3. (1)求椭圆的方程;(2)设A, B 分别为椭圆的左、右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C, D 两点. 若AC ·DB +AD ·CB =8,求k 的值.解:(1)设F(-c,0),由c a,知过点F 且与x 轴垂直的直线的方程为x=-c,代入椭圆方程有()22c a -+22y b=1,解得y=,解得又a 2-c 2=b 2,从而所以椭圆的方程为23x +22y =1.(2)设点C(x 1,y 1),D(x 2,y 2),由F(-1,0)得直线CD 的方程为y=k(x+1),由方程组()221,132y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y,整理得(2+3k 2)x 2+6k 2x+3k 2-6=0.由根与系数的关系可得x 1+x 2=-22623k k +,x 1x 2=223623k k -+.因为,0),所以AC ·DB +AD·CB=(x 1+,y 1)·(-x 2,-y 2)+(x 2+,y 2)·(-x 1,-y 1)=6-2x 1x 2-2y 1y 2=6-2x 1x 2-2k 2(x 1+1)(x 2+1)=6-(2+2k 2)x 1x 2-2k 2(x 1+x 2)-2k 2=6+2221223k k ++.由已知得6+2221223k k++=8,解得k=8.(2012年天津卷,理19)设椭圆22221x y a b += (a>b>0)的左、右顶点分别为A 、B,点P 在椭圆上且异于A 、B两点,O 为坐标原点.(1)若直线AP 与BP 的斜率之积为-12,求椭圆的离心率; (2)若|AP|=|OA|,证明直线OP 的斜率k 满足. (1)解:由题意可知A(-a,0),B(a,0), 设P(x,y), 则22221x y a b +=. ∴k AP ·k BP =y yx a x a⋅+- =222y x a - =222221x b a x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭- =-22b a =-12.∴22b a=12.∴e=c a. (2)证明:法一 易知直线OP 的方程为y=kx, 由2222,1,y kx x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y,整理得x 2=22222a b b a k +①设P(x,kx).则由|AP|=|OA|得(x+a)2+k 2x 2=a 2,整理得(k 2+1)x 2+2ax=0.又x ≠0, ∴x=-221ak +② 联立①②,整理得(1+k 2)2=4k 2·a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭2+4.∵a>b>0, ∴(1+k 2)2>4k 2+4,即k 2+1>4,∴. 法二 设P(x 0,kx 0), ∵点P 在椭圆上,∴22200221x k x a b+=. ∵a>b>0,kx 0≠0.∴2220022x k x a b+<1, 即(1+k 2)20x <a 2.由|AP|=|OA|,得(x 0+a)2+k 220x =a 2,整理得(1+k 2)20x +2ax 0=0.又x 0≠0, ∴x 0=-221ak +. ∴(1+k 2)·(-221a k +)2<a 2, 即1+k 2>4,k 2>3,∴.9.(2013年安徽卷,理18)设椭圆E:222211x y a a +=-的焦点在x 轴上. (1)若椭圆E 的焦距为1,求椭圆E 的方程;(2)设F 1,F 2分别是椭圆E 的左、右焦点,P 为椭圆E 上第一象限内的点,直线F 2P 交y 轴于点Q,并且F 1P ⊥F 1Q,证明:当a 变化时,点P 在某定直线上.(1)解:因为焦距为1,所以2a 2-1=14,解得a 2=58. 故椭圆E 的方程为2288153x y +=. (2)证明:设P(x 0,y 0),F 1(-c,0),F 2(c,0),其中由题设知x 0≠c,则直线F 1P 的斜率100F P y k x c=+, 直线F 2P 的斜率200F P y k x c=-. 故直线F 2P 的方程为y=00y x c-(x-c). 当x=0时,y=00cy c x -,即点Q 坐标为(0,0cy c x -). 因此,直线F 1Q 的斜率为1F Q k =y c x -. 由于F 1P ⊥F 1Q,所以1F P k ·1F Q k =00y x c +·00yc x -=-1. 化简得20y =20x -(2a 2-1).(*)将(*)式代入椭圆E 的方程,由于点P(x 0,y 0)在第一象限,解得x 0=a 2,y 0=1-a 2,即点P 在定直线x+y=1上.10.(2012年安徽卷,理20)如图,点F 1(-c,0),F 2(c,0)分别是椭圆C:22221x y a b += (a>b>0)的左、右焦点,过点F 1作x 轴的垂线交椭圆C 的上半部分于点P,过点F 2作直线PF 2的垂线交直线x=2a c于点Q.(1)如果点Q 的坐标是(4,4),求此时椭圆C 的方程; (2)证明:直线PQ 与椭圆C 只有一个交点.(1)解:法一 由题意得P(-c,2b a),∴2PF k =2b ac c---=-22b ac .∵F 2Q ⊥PF 2,∴2F Q k =22acb , ∴直线F 2Q 的方程为y=22acb (x-c), ∴Q(2a c ,2a),∴24,24,a c a ⎧=⎪⎨⎪=⎩解得a=2,c=1. ∴b 2=3.∴此时椭圆C 的方程是22143x y +=.法二 设直线x=2a c与x 轴交于点M, 由题意得P(-c,2b a ).∵PF 1⊥x 轴,QM ⊥x 轴,PF 2⊥F 2Q, ∴△PF 1F 2∽△F 2MQ, ∴1122PF F F F MQM=,即222b caa MQc c=-. 解得|MQ|=2a,∴Q(2a c ,2a).∴24,24,a c a ⎧+⎪⎨⎪=⎩解得a=2,c=1, ∴b 2=3.∴此时椭圆C 的方程为22143x y +=. (2)证明:由(1)知P(-c,2b a ),Q(2a c,2a),∴直线PQ 的方程为22222a x y a c b a a c a c=-=---, 整理得y=cax+a. 由2222,1,c y x a a x y a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 消去y,整理得(b 2+c 2)x 2+2a 2cx+a 4-a 2b 2=0.即a 2x 2+2a 2cx+a 2c 2=0,∴x 2+2cx+c 2=0.解得x=-c,y=2b a.∴直线PQ 与椭圆C 只有一个交点.11.(2013年山东卷,理22)椭圆C:22221x y a b += (a>b>0)的左、右焦点分别是F 1、F 2,,过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. (1)求椭圆C 的方程;(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点,连接PF 1,PF 2.设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M(m,0),求m 的取值范围;(3)在(2)的条件下,过点P 作斜率为k 的直线l,使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点.设直线PF 1,PF 2的斜率分别为k 1,k 2,若k ≠0,试证明1211kk kk +为定值,并求出这个定值. 解:(1)由于c 2=a 2-b 2,将x=-c 代入椭圆方程22221x y a b +=,得y=±2b a, 由题意知22b a =1,即a=2b 2.又e=c a所以a=2,b=1. 所以椭圆C 的方程为24x +y 2=1.(2)法一 设P(x 0,y 0)(y 0≠0).又F 1,0),F 2,0),所以直线PF 1,PF 2的方程分别为1PF l :y 0x-(x 0y 0=0,2PF l :y 0x-(x 0y 0=0.由于点P 在椭圆上,所以22004x y +=1..因为,-2<x 0<2,,所以m=34x 0. 因此-32<m<32. 法二 设P (x 0,y 0)(y 0≠0).当0≤x 0<2时,①当x 0,直线PF 2的斜率不存在,易知P 12⎫⎪⎭或P 12⎫-⎪⎭. 若P ,则直线PF 1的方程为=0.因为,所以若P 12⎫-⎪⎭,同理可得②当x 0,设直线PF 1,PF2的方程分别为y=k 1y=k 2).=,所以(()2212221111m k m k +=+. 因为22004x y +=1,且k 12,所以(()(()22200222004444m x x m x x +-=+-=)()202044+-,. 因为,0≤x 0<2且x 0整理得m=034x , 故0≤m<32且m综合①②可知0≤m<32. 当-2<x 0<0时,同理可得-32<m<0. 综上所述,m 的取值范围是(-32,32). (3)设P(x 0,y 0)(y 0≠0),则直线l 的方程为y-y 0=k(x-x 0). 联立()22001,4x y y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩整理得(1+4k 2)x 2+8(ky 0-k 2x 0)x+4(20y -2kx 0y 0+k 220x -1)=0.由题意得Δ=0,即(4-20x )k 2+2x 0y 0k+1-20y =0. 又22004x y +=1,所以1620y k 2+8x 0y 0k+20x =0,故k=-004x y . 由(2)知1211k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭0=002x y ,所以1211kk kk +=12111k k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=(-004y x )·002x y =-8, 因此1211kk kk +为定值,这个定值为-8. 12.(2012年福建卷,理19)如图,椭圆E: 22221x y a b+= (a>b>0)的左焦点为F 1,右焦点为F 2,离心率e=12.过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点,且△ABF 2的周长为8.(1)求椭圆E 的方程;(2)设动直线l:y=kx+m 与椭圆E 有且只有一个公共点P,且与直线x=4相交于点Q.试探究:在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ 为直径的圆恒过点M?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,说明理由.解:(1)由椭圆定义知,|AF 1|+|AF 2|=|BF 1|+|BF 2|=2a,△F 2AB 的周长=|AB|+|AF 2|+|BF 2|=|AF 1|+|BF 1|+|AF 2|+|BF 2|=4a.∴4a=8,a=2,又e=c a =12, ∴c=1,∴b 2=3.∴椭圆E 的方程是22143x y +=. (2)由22,143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y, 整理得(3+4k 2)x 2+8mkx+4m 2-12=0. ∵动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P(x 0,y 0),∴Δ=(8km)2-4(3+4k 2)(4m 2-12)=0,m ≠0, 整理得m 2=4k 2+3.①此时x 0=()284234mk k m k -=-+, y 0=k ·4k m ⎛⎫- ⎪⎝⎭+m=3m , ∴P 43,k m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 由4,x y kx m =⎧⎨=+⎩得Q(4,4k+m). 假设在坐标平面内存在定点M,使得以PQ 为直径的圆恒过点M,由椭圆的对称性可知,点M 一定在x 轴上,设M(x 1,0),则MP =143,k x mm ⎛⎫-- ⎪⎝⎭, MQ =(4-x 1,4k+m). ∵MP ⊥MQ,即MP ·MQ =0对满足①式的所有m,k 均成立, 即14k x m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭(4-x 1)+3m ·(4k+m)=0对满足①式的所有m 、k 成立. 整理得(4x 1-4)k m+ 21x -4x 1+3=0.② 由于②对满足①的m,k 恒成立,∴1211440,430,x x x -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩解得x 1=1. 故存在定点M(1,0),使得以PQ 为直径的圆恒过点M.13.(2012年广东卷,理20)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C: 22221x y a b += (a>b>0)的离心率,且椭圆C 上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3.(1)求椭圆C 的方程;(2)在椭圆C 上,是否存在点M(m,n),使得直线l:mx+ny=1与圆O:x 2+y 2=1相交于不同的两点A 、B,且△OAB 的面积最大?若存在,求出点M 的坐标及对应的△OAB 的面积;若不存在,请说明理由.解:(1)由e=c a得a 2=3b 2, 椭圆方程为222213x y b b +=.设椭圆上一点P(x,y)到点Q(0,2)的距离为d,则∴当y=-()422-⨯-=-1时,d 取到最大值,d max解得:b 2=1. ∴椭圆方程为23x +y 2=1. (2)假设椭圆C 上存在点M(m,n)满足题意,则23m +n 2=1, 即m 2=3-3n 2. 设圆O:x 2+y 2=1的圆心到直线l:mx+ny=1的距离为d 1, 则d 1<1且d 1.∴ ∴S △OAB =12·|AB|d 1=12·∵d 1<1,∴m 2+n 2>1, ∴0<221m n +<1, ∴1-221m n +>0.∴S △OAB≤=12. 当且仅当221m n +=1-221m n +, 即m 2+n 2=2>1时,S △AOB 取到最大值.由22222,33,m n m n ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 解得223,21.2m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴存在点M 满足题意,M点的坐标为⎝⎭⎝⎭⎛ ⎝⎭⎛ ⎝⎭. 此时△AOB 面积最大为12. 14.(2012年浙江卷,理21)如图所示,椭圆C: 22221x y a b += (a>b>0)的离心率为12,其左焦点到点P(2,1)的不过原点O 的直线l 与C 相交于A,B 两点,且线段AB 被直线OP 平分.(1)求椭圆C 的方程;(2)求△ABP 面积取最大值时直线l 的方程.解:(1)设椭圆左焦点为F(-c,0),则由题意得1,2c a ⎪=⎩ 解得1,2.c a =⎧⎨=⎩∴b 2=3. ∴椭圆C 的方程为22143x y +=.(2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由题意可设直线l 方程为y=kx+m(m ≠0). 由22,143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y,整理得(4k 2+3)x 2+8kmx+4m 2-12=0.(*) 由题意可知,x 1,x 2是方程(*)的两个根,∴Δ=(8km)2-4(4k 2+3)(4m 2-12)>0. x 1+x 2=-2843km k +,x 1·x 2=2241243m k -+. ∴线段AB 的中点M 坐标为(-2443km k +,2343m k +). ∵点M 在直线OP:y=12x 上, ∴2343m k +=12·(-2443km k +),得m=0(舍去)或k=-32. 此时方程(*)为3x 2-3mx+m 2-3=0.则Δ=3(12-m 2)>0,12212,3.3x x m m x x +=⎧⎪⎨-⋅=⎪⎩ ∴|x 1-x 2|设点P 到直线AB 的距离为d,则. ∴S △ABP =12|AB|d =12其中m 2<12且m ≠0,即m ∈∪).令u(m)=(m-4)2(12-m 2),m ∈),则u ′(m)=2(m-4)(12-m 2)-2m(m-4)2=-4(m-4)(m 2-2m-6)当时,u ′(m)>0,当,u ′(m)<0.∴当,u(m)取到最大值,故当且仅当,S △ABP 取到最大值.此时,直线l 的方程为y=-32即15.(2011年四川卷,理21)椭圆有两顶点A(-1,0)、B(1,0),过其焦点F(0,1)的直线l 与椭圆交于C 、D 两点,并与x 轴交于点P.直线AC 与直线BD 交于点Q.(1)当,求直线l 的方程; (2)当点P 异于A 、B 两点时,求证: OP OQ ⋅为定值.(1)解:由于椭圆焦点在y 轴上, 故可设椭圆方程为22221x y a b+= (a>b>0). 由题意知,b=1,c=1,∴∴椭圆方程为x 2+22y =1. 由题意可知,直线l 的斜率存在,设为k, 则l 方程为y=kx+1. 由221,12y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y, 整理得(k 2+2)x 2+2kx-1=0. 设C(x 1,y 1),D(x 2,y 2),则x 1+x 2=-222k k +,x 1·x 2=-212k +. ∴|x 1-x 2|==)2212k k ++解得k=∴当, 直线l 的方程为或(2)证明:根据题意,设直线l 的方程为y=kx+1(k ≠0,k ≠±1), 则P(-1k,0), 设C(x 1,y 1),D(x 2,y 2).由(1)知x 1+x 2=-222k k +,x 1·x 2=212k -+. 直线AC 的方程为:y=111y x +(x+1).① 直线BD 的方程为y=221y x -(x-1)②联立①②消去y,得111y x +(x+1)= 221y x -(x-1), 即11x x +-=()()212111y x x x y ⋅+-. ∵-1<x 1,x 2<1, ∴11x x +-与21y y 异号. ∴(11x x +-)2=()()2221221211y x y x +- =()()()()22212212221221x x x x -+--=()()()()222122121111x x x x -+--=()()()()12121111x x x x ++-- =()()1212121211x x x x x x x x +++-++ =222112221122k k k k k k --+++-++ =11k k -⎛⎫ ⎪+⎝⎭2. 又y 1·y 2=(kx 1+1)(kx 2+1) =k 2x 1x 2+k(x 1+x 2)+1 =-222k k +-2222k k ++1 =22222k k -+=()22212k k -+ =-()()22112k k k +-+ =-()22212k k ++·11k k -+, ∴y 1·y 2与11k k -+异号, ∴11x x +-与11k k -+同号. ∴11x x +-=11k k -+, 解得x=-k,∴Q(-k,y).∴OP OQ ⋅=(-1k ,0)·(-k,y) =(-1k)·(-k) =1.即OP OQ ⋅为定值.16.(2011年辽宁卷,理20)如图所示,已知椭圆C 1的中心在原点O,长轴左、右端点M 、N 在x 轴上,椭圆C 2的短轴为MN,且C 1,C 2的离心率都为e.直线l ⊥MN,l 与C 1交于两点,与C 2交于两点,这四点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D.(1)设e=12,求|BC|与|AD|的比值; (2)当e 变化时,是否存在直线l,使得BO ∥AN,并说明理由.解:(1)因为C 1,C 2的离心率相同,故依题意可设C 1: 22221x y a b+=, C 2: 222421b y x a a+= (a>b>0). 设直线l:x=t(|t|<a),分别与C 1,C 2的方程联立,求得当e=12时分别用y A ,y B 表示A,B 的纵坐标,可知|BC|∶|AD|=22B A y y =22b a =34. (2)当t=0时的l 不符合题意,当t ≠0时,BO ∥AN 当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN 相等, 即b t =b t a-, 解得t=-222ab a b -=-221e e -·a. 因为|t|<a,又0<e<1, 所以221e e -<1,<e<1.所以当0<e 时,不存在直线l,使得BO ∥AN;<e<1时,存在直线l,使得BO ∥AN. 17.(2010年安徽卷,理19)如图所示,已知椭圆E 经过点A(2,3),对称轴为坐标轴,焦点F 1,F 2在x 轴上,离心率e=12.(1)求椭圆E 的方程;(2)求∠F 1AF 2的平分线所在直线l 的方程;(3)在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点?若存在,请找出;若不存在,说明理由.解:(1)设椭圆E 的方程为22221x y a b+=, 由e=12, 即c a =12,得a=2c, ∴b 2=a 2-c 2=3c 2. ∴椭圆的方程可化为2222143x y c c+=. 将A(2,3)代入上式, 得22131c c+=, 解得c=2(负值舍去),∴椭圆E 的方程为2211612x y +=. (2)由(1)知F 1(-2,0),F 2(2,0),所以直线AF 1的方程为y=34(x+2), 即3x-4y+6=0,直线AF 2的方程为x=2. 由点A 在椭圆E 上的位置知,直线l 的斜率为正数.设P(x,y)为l 上任一点, 则3465x y -+=|x-2|.若3x-4y+6=5x-10,得x+2y-8=0(因其斜率为负,故舍去).于是,由3x-4y+6=-5x+10得2x-y-1=0,∴直线l 的方程为2x-y-1=0.(3)假设存在这样的两个不同的点B(x 1,y 1)和C(x 2,y 2),∵BC ⊥l,∴k BC =2121y y x x --=-12. 设BC 的中点为M(x 0,y 0),则x 0=122x x +,y 0=122y y +, 由于M 在l 上,故2x 0-y 0-1=0.①又B,C 在椭圆上, 所以有221111612x y +=与222211612x y +=. 两式相减,得2222212101612x x y y --+=, 即()()122116x x x x +-+()()122112y y y y +-=0. 将该式整理为18·122x x ++2121y y x x --·16·122y y +=0, 并将直线BC 的斜率k BC 和线段BC 的中点表示代入该表达式中,得18x 0-112y 0=0, 即3x 0-2y 0=0.②①×2-②得x 0=2,y 0=3,即BC 的中点为点A,而这是不可能的.∴不存在满足题设条件的相异两点.模拟试题考点一 应用椭圆的定义解决椭圆上的点到焦点的距离问题1.(2013北京西城高三上学期期末)已知椭圆24x +22y =1的两个焦点是F 1、F 2,点P 在该椭圆上,若|PF 1|-|PF 2|=2,则△PF 1F 2的面积是 .解析:由椭圆方程24x +22y =1可知∴|PF 1|+|PF 2|=4.又|PF 1|-|PF 2|=2,∴|PF 1|=3,|PF 2|=1.又|F 1F 2 ∴|PF 1|2=|PF 2|2+|F 1F 2|2,∴PF 2⊥F 1F 2,∴12PF F S =12|PF 2||F 1F 2|=12×1×答案2.(2013北京海淀高三上学期期末)已知点F 1、F 2分别是椭圆x 2+2y 2=2的左、右焦点,点P 是该椭圆上的一个动点,则21PF PF +的最小值是 . 解析:设P(x,y),则x 2+2y 2=2,由椭圆方程22x +y 2=1可知∴F 1(-1,0),F 2(1,0).∴1PF =(-1-x,-y),2PF =(1-x,-y),∴1PF +2PF =(-2x,-2y).∴|1PF +2PF |==2=2∵y 2≤1, ∴|1PF +2PF |的最小值是2.答案:2考点二 椭圆的方程及其简单性质应用1.(2013广东“十校”高三联考)定义:关于x 的不等式|x-A|<B 的解集叫A 的B 邻域.已知a+b-2的a+b 邻域为区间(-2,8),其中a 、b 分别为椭圆22x a +22y b=1的长半轴长和短半轴长,若此椭圆的一焦点与抛物线y 2的焦点重合,则椭圆的方程为() (A) 28x +23y =1 (B) 29x +24y =1 (C) 29x +28y =1 (D) 216x +29y =1解析:由题意可知|x-(a+b-2)|<a+b 的解集是(-2,8),∴2a+2b-2=8,即a+b=5.①又抛物线y 2的焦点为∴椭圆的焦点在x 轴上,且即a 2-b 2=5.②联立①②可得a=3,b=2, ∴椭圆标准方程为29x +24y =1.答案:B2.(2011辽宁模拟)椭圆236x +29y 1上有两个动点P 、Q,E(3,0),EP ⊥EQ,则EP ·QP 的最小值为()(A)6(C)9 解析:设P(x 0,y 0), 则2036x +209y =1, EP =(x 0-3,y 0),又QP =EP -EQ ,∴EP ·QP =EP ·(EP -EQ )=2EP -EP ·EQ=2EP =(x 0-3)2+20y=(x 0-3)2+9-2014x =2034x -6x 0+18,又x 0∈[-6,6],∴当x 0=4时,EP ·QP 取到最小值6.答案:A考点三 求椭圆的离心率1.(2012成都二模)已知A 、B 分别为椭圆22x a +22y b=1(a>b>0)的左、右顶点,C(0,b),直线l:x=2a 与x 轴交于点D,与直线AC 交于点P,若∠DBP=π3,则此椭圆的离心率为( )(A)12 (C)29 解析:如图所示,由已知得A(-a,0),B(a,0),C(0,b),D(2a,0).设P(2a,y 0),∵A 、C 、P 共线,∴k AC =k AP , 即b a =03y a, ∴y 0=3b,∴P(2a,3b).又∵∠DBP=π3,且tan ∠DBP=DP BD ,32b a a,∴b a∴e=c a 答案:D2.(2012厦门质检)已知F 是椭圆C:22x a +22y b =1(a>b>0)的右焦点,点P 在椭圆C 上,线段PF 与圆 (x-3c ）2+y 2=29b 相切于点Q,且PQ =2QF ,则椭圆C 的离心率等于()(B)23 (C)2 (D)12解析:记椭圆的左焦点为F ′,圆(x-3c )2+y 2=29b 的圆心为E,连接PF ′、QE.∵|EF|=|OF|-|OE|=c-3c =23c ,PQ =2QF , ∴EF F F '=13=QF PF ,∴PF ′∥QE, ∴QF PF '=13,且PF ′⊥PF.又∵|QE|=3b (圆的半径长),∴|PF ′|=b.据椭圆的定义知:|PF ′|+|PF|=2a,∴|PF|=2a-b.∵PF′⊥PF,∴|PF′|2+|PF|2=|F′F|2,∴b2+(2a-b)2=(2c)2,∴2(a2-c2)+b2=2ab,∴3b2=2ab,∴b=23a3a,ca=3,∴椭圆的离心率为3.答案:A考点四直线与椭圆的位置关系的解法1.(2013四川树德中学3月阶段性考试)椭圆E:22xa+22yb=1 (a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2,过F1作垂直于椭圆长轴的弦PQ,|PQ|为3.(1)求椭圆E的方程;(2)若过F1的直线l交椭圆于A,B两点,判断是否存在直线l使得∠AF2B为钝角,若存在,求出l的斜率k的取值范围.解:(1)依题意23,2 2 2. bac⎧=⎪⎨⎪=⎩解得a2=4,b2=3,∴椭圆的方程为24x+23y=1.(2)①当过F1的直线AB的斜率不存在时,不妨取A（-1,32）,B（-1,-32）则2F A ·2F B =74,显然∠AF 2B 不为钝角. ②直线l 的斜率为k,l 方程为y=k(x+1), 由()221,143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩ 消去y,整理得(3+4k 2)x 2+8k 2x+4k 2-12=0. ∵直线l 与椭圆交于两点,∴Δ=(8k 2)2-4(3+4k 2)(4k 2-12)=4×36(k 2+1)>0. 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=-22834k k +,x 1·x 2=2241234k k -+. 2F A =(x 1-1,y 1), 2F B =(x 2-1,y 2).∵∠AF 2B 为钝角,∴2F A ·2F B <0.即(x 1-1)(x 2-1)+y 1y 2<0,整理得(k 2+1)x 1x 2+(k 2-1)(x 1+x 2)+k 2+1<0. 即(k 2+1)·2241234k k -+-(k 2-1)·22834k k ++k 2+1<0, 整理得7k 2<9, 解得. ∴存在满足条件的直线l,其斜率k 的取值范围为. 2.(2013江苏南通高三一模)已知左焦点为F(-1,0)的椭圆过点E （.过点P(1,1)分别作斜率为k 1,k 2的椭圆的动弦AB,CD,设M,N 分别为线段AB,CD 的中点. (1)求椭圆的标准方程; (2)若P 为线段AB 的中点,求k 1;(3)若k 1+k 2=1,求证直线MN 恒过定点,并求出定点坐标. 解:(1)依题设c=1,且右焦点F ′(1,0).所以2a=|EF|+|EF ′3b 2=a 2-c 2=2,故所求的椭圆的标准方程为23x +22y =1.(2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则213x +212y =1,①223x +222y =1.②②-①,得()()21213x x x x -++()()21212y y y y -+=0.所以k 1=2121y y x x --=-()()212123x x y y ++=-46p px y =-23. (3)依题设,k 1≠k 2. 设M(x M ,y M ),又直线AB 的方程为y-1=k 1(x-1), 即y=k 1x+(1-k 1), 亦即y=k 1x+k 2,代入椭圆方程并化简得(2+321k )x 2+6k 1k 2x+322k -6=0.于是,x M =1221323k k k -+,y M =221223k k +, 同理,x N =1222323k k k -+,y N =122223k k +. 当k 1k 2≠0时,直线MN 的斜率k=M N M Ny y x x --=()()2222112121469k k k k k k k k +++-+=21211069k k k k --.直线MN 的方程为y-221223k k +=21211069k k k k --(x-1221323k k k -+),即y=21211069k k k k --x+(21211069k k k k --·1221323k k k ++221223k k +),亦即y=21211069k k k k --x-23. 此时直线过定点（0,-23）.当k 1k 2=0时,直线MN 即为y 轴, 此时亦过点（0,-23）.综上,直线MN 恒过定点,且坐标为（0,-23）.综合检测1.(2012东北三校)设椭圆24x +y 2=1的左焦点为F,P 为椭圆上一点,则|PF|等于()(A)12(B)32(C)52(D)72解析:设由34+y 2=1,解得y 2=14.由椭圆方程24x +y 2=1知a=2,b=1.∴∴=72. 答案:D2.(2012福建福州一模)直线y=x 与椭圆C: 22x a +22y b=1的交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的焦点,则椭圆C 的离心率为( )(D)12解析:设直线y=x 与椭圆C:22x a +22y b =1在第一象限的交点为A,依题意得点A 的坐标为(c,c),又点A 在椭圆C 上,故有22c a +22c b=1,因为b 2=a 2-c 2,所以22c a +222c a c -=1,所以c 4-3a 2c 2+a 4=0, 即e 4-3e 2+1=0,所以e=12(e=12舍去). 故选A.答案:A3.(2013福建厦门高三上质检)如图所示,已知A,B 分别为椭圆22x a +22y b=1(a>b>0)的右顶点和上顶点,直线l ∥AB,l 与x 轴、y 轴分别交于C,D 两点,直线CE,DF 为椭圆的切线,则CE 与DF 的斜率之积k CE ·k DF 等于( )(A)±22a b (B)±222a b a -(C)±22b a(D)±222a b b- 解析:由22x a +22y b=1(a>b>0)可知A(a,0),B(0,b),∴k AB =b a-. 设l 方程为y=-b ax+m,则C ,0am b ⎛⎫⎪⎝⎭,D(0,m). DF 方程为y=k DF x+m,由2222,1DF y k x m x y a b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得(b 2+a22DFk )x 2+2a 2mk DFx+a 2m 2-a 2b 2=0,∵DF 与椭圆相切, ∴Δ=(2a 2mk DF )2-4(b 2+a22DFk )·(a 2m 2-a 2b 2)=0, 得2DFk=222m b a -.直线CE 的方程为y=k CE (x-am b), 由2222,1CE am y k x b x y a b ⎧⎛⎫=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪+=⎪⎩ 得(b 2+a22CEk )x 2-322CE a k m b x+4222CE a k m b -a 2b 2=0.∵CE 与椭圆相切,∴Δ=(-322CE a k m b )2-4(b 2+a 22CE k )·(4222CE a k m b -a 2b 2)=0.化简得2CEk =42222b a m a b -.∴2DFk·2CEk =222m b a -·()4222b a m b - =44b a, ∴k DF ·k CE=±22b a.答案:C4.(2012威海模拟)椭圆mx 2+y 2=1的焦点在y 轴上,长轴长是短轴长的3倍,则m= .解析:椭圆标准方程为21x m+y 2=1,由题意知∴m=9. 答案:95.(2013浙江金华十校联考)已知椭圆C:22x a +22y b=1(a>0,b>0)的右焦点为F(3,0),且点(-3,2)在椭圆C 上,则椭圆C 的标准方程为 .。
2011-2020年高考数学真题分类汇编 专题29 圆锥曲线的综合问题(学生版)
专题29圆锥曲线的综合问题25线与椭圆直线与椭圆考点出现频率2021年预测考点98曲线与方程37次考1次命题角度：(1)定点、定值问题；(2)最值、范围问题；(3)证明、探究性问题．核心素养：数学运算、逻辑推理、直观想象考点99定点与定值问题37次考6次考点100最值与范围问题37次考5次考点101探索型与存在性问题37次考3次考点98曲线与方程1．(2020山东)已知曲线22:1C mx ny ．()A ．若m>n>0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若m=n>0，则CC ．若mn<0，则C 是双曲线，其渐近线方程为yD ．若m=0，n>0，则C 是两条直线2．(2020天津)设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b，过抛物线24y x 的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为()A ．22144x y B ．2214y x C ．2214x y D ．221x y 3．【2019北京理】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y 就是其中之一(如图)．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；②曲线C ；③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是A ．①B ．②C ．①②D ．①②③4．(2020全国Ⅱ文19)已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b的右焦点F 与抛物线2C 的焦点重合，1C 的中心与2C 的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交1C 于,A B 两点，交2C 于,CD 两点，且43CD AB．(1)求1C 的离心率；(2)若1C 的四个顶点到2C 的准线距离之和为12，求1C 与2C 的标准方程．5．(2020全国Ⅱ理19)已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b的右焦点F 与抛物线2C 的焦点重合，1C 的中心与2C 的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交1C 于,A B 两点，交2C 于,CD 两点，且43CD AB．(1)求1C 的离心率；(2)设M 是1C 与2C 的公共点，若5 MF ，求1C 与2C 的标准方程．6．(2018江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点12，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．(1)求椭圆C 及圆O 的方程；(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △的面积为7，求直线l 的方程．7．(2017新课标Ⅱ)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y 上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP．(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线3x 上，且1OP PQ．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．8．(2016全国Ⅲ文理)已知抛物线C ：22y x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A B，两点，交C 的准线于P Q ，两点．(I)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ ；(II)若PQF 的面积是ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．9．(2015江苏理)如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆 222210x y a b a b的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3．(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点,P C ，若2PC AB ，求直线AB 的方程．10．(2014广东理)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b的一个焦点为，离心率为3．(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．11．(2014辽宁理)圆224x y 的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P (如图)，双曲线22122:1x y C a b过点P．(1)求1C 的方程；(2)椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点，直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆心过点P ，求l 的方程．12．(2013四川理)已知椭圆C ：)0(12222 b a by a x 的两个焦点分别为1(10)F ，，210F （，），且椭圆C 经过点），3134(P ．(Ⅰ)求椭圆C 的离心率(Ⅱ)设过点），（20A 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点Q 是MN 上的点，且222112ANAMAQ，求点Q 的轨迹方程．13．(2011天津理)在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P a b (0)a b 为动点，12,F F 分别为椭圆22221x y a b的左右焦点．已知△12F PF 为等腰三角形．(Ⅰ)求椭圆的离心率e ；(Ⅱ)设直线2PF 与椭圆相交于,A B 两点，M 是直线2PF 上的点，满足2AM BM，求点M 的轨迹方程．考点99定点与定值问题14．【2020全国Ⅰ文21理20】已知,A B 分别为椭圆 222:11x E y a a的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB，P 为直线6x 上的动点，PA 与E 的另一交点为,C PB 与E 的另一交点为D ．(1)求E 的方程；(2)证明：直线CD 过定点．15．【2020山东】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b的离心率为2，且过点 2,1A ．(1)求C 的方程；(2)点M ，N 在C 上，且AM AN ，AD MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．16．【2019全国Ⅲ理】已知曲线C：y=22x，D为直线y=12上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．(1)证明：直线AB过定点：(2)若以E(0，52)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积．17．【2019北京理】已知抛物线C：x2=−2py经过点(2，−1)．(1)求抛物线C的方程及其准线方程；(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．18．【2019全国Ⅲ文】已知曲线C：y=22x，D为直线y=12上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．(1)证明：直线AB过定点；(2)若以E(0，52)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程．19．【2019北京文】已知椭圆2222:1x yCa b的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A．(1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为原点，直线:(1)l y kx t t 与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l 经过定点．20．【2018北京文20】(本小题14分)已知椭圆M ：22221x y a b(0)a b 的离心率为3，焦距为，斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的焦点,A B (I)求椭圆M 的方程；(II)若1k ，求AB 的最大值；(III)设 2,0P ，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D ，若,C D 和点71,44Q共线，求k ．21．【2018北京理19】(本小题14分)已知抛物线2:2C y px 经过点 1,2P ，过点 0,1Q 的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点,A B ，且直线PA 交于y 轴与M ，直线PB 交y 轴与N ．(I)求直线l 的斜率的取值范围．(II)设O 为原点，,QM QO QN QO ，求证：11为定值．22．(2017新课标Ⅰ理)已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b ，四点1(1,1)P ，2(0,1)P ，3(1,2P ，4(1,2P 中恰有三点在椭圆C 上．(1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A ，B 两点．若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1 ，证明：l 过定点．23．(2017新课标Ⅱ文理)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y 上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP．(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线3x 上，且1OP PQ．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．24．(2017北京文)已知椭圆C 的两个顶点分别为(2,0)A ，(2,0)B ，焦点在x 轴上，离心率为2．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E ．求证：BDE 与BDN 的面积之比为4：5．25．(2016年全国I 理)设圆222150x y x 的圆心为A ，直线l 过点(1,0)B 且与x 轴不重合，l 交圆A于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ．(I)证明EA EB 为定值，并写出点E 的轨迹方程；(II)设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．26．(2016年北京文)已知椭圆C ：22221x y a b过(2,0)A ，(0,1)B 两点．(Ⅰ)求椭圆C 的方程及离心率；(Ⅱ)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．27．(2016年北京理)已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b的离心率为2，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，ΔOAB 的面积为1．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ．求证：||||AN BM 为定值．28．(2016年山东文)已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b的长轴长为4，焦距为22．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)过动点M(0，m)(m>0)的直线交x 轴与点N ，交C 于点A ，P(P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点．过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长线QM 交C 于点B ．(i)设直线PM 、QM 的斜率分别为k 、k'，证明k k为定值；(ii)求直线AB 的斜率的最小值．29．(2015新课标2文)已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b的离心率为22，点在C 上．(Ⅰ)求C 的方程；(Ⅱ)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点,A B ，线段AB 的中点为M ．证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．30．(2015新课标2理)已知椭圆C ：2229x y m (0m )，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．(Ⅰ)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；(Ⅱ)若l 过点(,)3m m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边行？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．31．(2015陕西文)如图，椭圆E ：22221x y a b(a >b >0)经过点(0,1)A ，且离心率为2．(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点,P Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2．32．(2014江西文理)如图，已知双曲线C ：2221x y a(0a )的右焦点F ，点B A ,分别在C 的两条渐近线上，x AF 轴，BF OB AB , ∥OA (O 为坐标原点)．(1)求双曲线C 的方程；(2)过C 上一点)0)((00,0 y y x P 的直线1:020 y y a x x l 与直线AF 相交于点M ，与直线23 x 相交于点N ，证明：当点P 在C 上移动时，NFMF恒为定值，并求此定值．33．(2013山东文理)椭圆2222:1(0)x y C a b a b的左、右焦点分别是12,F F，离心率为2，过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为l ．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接12,PF PF ．设12F PF 的角平分线PM 交C 的长轴于点 ,0M m ，求m 的取值范围；(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点．设直线12,PF PF 的斜率分别为12,k k ，若0k ，试证明1211kk kk 为定值，并求出这个定值．34．(2012湖南理)在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的点均在2C ：22(5)9x y 外，且对1C 上任意一点M ，M 到直线2x 的距离等于该点与圆2C 上点的距离的最小值．(Ⅰ)求曲线1C 的方程；(Ⅱ)设00(,)P x y (3y )为圆2C 外一点，过P 作圆2C 的两条切线，分别与曲线1C 相交于点A ，B 和C ，D ．证明：当P 在直线4x 上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值．考点100最值与范围问题35．【2020年江苏18】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E 的左、右焦点分别为1F 、2F ，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，212AF F F ，直线1AF 与椭圆E 相交于另一点B ．(1)求12AF F 的周长；(2)在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP 的最小值；(3)设点M 在椭圆E 上，记OAB 与MAB 的面积分别为12,S S ，若213S S ，求点M 的坐标．36．【2020浙江21】如图，已知椭圆221:12x C y ，抛物线22:2(0)C y px p ，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于M (B ，M 不同于A )．(Ⅰ)若116p ，求抛物线2C 的焦点坐标；(Ⅱ)若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．37．【2019全国Ⅱ理】已知点A(−2，0)，B(2，0)，动点M(x ，y)满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12．记M 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程，并说明C 是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G ．(i)证明：PQG △是直角三角形；(ii)求PQG △面积的最大值．38．【2019浙江】如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p 的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记,AFG CQG △△的面积分别为12,S S ．(1)求p 的值及抛物线的准线方程；(2)求12S S 的最小值及此时点G的坐标．39．(2018浙江21)如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线2:4C y x 上存在不同的两点,A B 满足,PA PB 的中点均在C 上．(I)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；(II)若P 是半椭圆221(0)4y x x 上的动点，求PAB △面积的取值范围．40．(2017浙江文理)如图，已知抛物线2x y ．点11(,24A ，39(,24B ，抛物线上的点(,)P x y 13(22x ，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．yQ ABP O(Ⅰ)求直线AP 斜率的取值范围；(Ⅱ)求||||PA PQ 的最大值．41．(2017山东文)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b(0)a b 的离心率为22，椭圆C 截直线1y所得线段的长度为(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)动直线l ：(0)y kx m m 交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于点M ．点N 是M 关于O 的对称点，N 的半径为||NO ．设D 为AB 的中点，DE ，DF 与N 分别相切于点E ，F ，求EDF 的最小值．x 42．(2017山东理)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221x y a b0a b 的离心率为2，焦距为2．(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)如图，动直线l ：1y k xE 于,A B 两点，C是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为2k ，且124k k ，M 是线段OC 延长线上一点，且:2:3MC AB ，M 的半径为MC ，,OS OT 是M 的两条切线，切点分别为,S T ．求SOT 的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率．x 43．(2016全国II 理)已知椭圆:E 2213x y t 的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k 的直线交E 于,A M 两点，点N 在E 上，MA NA ．(Ⅰ)当4,||||t AM AN 时，求AMN 的面积；(Ⅱ)当2AM AN 时，求k 的取值范围．44．(2016天津理)设椭圆13222 y a x (a 的右焦点为F ，右顶点为A ，已知||3||1||1F A e OA OF ，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ，且MOA MAO ≤，求直线l 的斜率的取值范围．45．(2016浙江文)如图，设抛物线22(0)y px p 的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于||1AF ．(I)求p 的值；(II)若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M ．求M 的横坐标的取值范围．45．(2015重庆文)如图，椭圆22221x y a b(a >b >0)的左、右焦点分别为1F ，2F ，且过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点，且PQ 1PF ．(Ⅰ)若12PF |，22PF |，求椭圆的标准方程；(Ⅱ)若|1PQ PF ，且3443 ≤≤，试确定椭圆离心率e 的取值范围．46．(2014新课标1文理)已知点A (0,2) ，椭圆E ：22221(0)x y a b a b 的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(Ⅰ)求E 的方程；(Ⅱ)设过点A 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ 的面积最大时，求l 的方程．47．(2014浙江文理)如图，设椭圆 ,01:2222 b a by a x C 动直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，且点P在第一象限．(Ⅰ)已知直线l 的斜率为k ，用k b a ,,表示点P 的坐标；(Ⅱ)若过原点O 的直线1l 与l 垂直，证明：点P 到直线1l 的距离的最大值为b a ．xyP l 1lO48．(2015山东理)平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b的离心率为32，左、右焦点分别是1F 、2F ．以1F 为圆心以3为半径的圆与以2F 为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设椭圆E ：2222144x y a b，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线 y kx m 交椭圆E 于,A B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q ．(i )求||||OQ OP 的值；(ii)求△ABQ 面积的最大值．49．(2014山东文理)已知抛物线）＞0(2:2p px y C 的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有FA FD ，当点A 的横坐标为3时，ADF 为正三角形．(Ⅰ)求C 的方程；(Ⅱ)若直线l l //1，且1l 和C 有且只有一个公共点E ，(ⅰ)证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；(ⅱ)ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．50．(2014山东理)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b 的离心率为2，直线y x被椭圆C 截得的线段长为5．(Ｉ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点(A ，B 不是椭圆C 的顶点)．点D 在椭圆C 上，且AD AB ，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点．(ⅰ)设直线BD ，AM 的斜率分别为12,k k ，证明存在常数 使得12k k ，并求出 的值；(ⅱ)求OMN 面积的最大值．51．(2014四川文理)已知椭圆C ：22221x y a b(0a b )的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线3x 上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q ．(i)证明：OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)；(ii)当||||TF PQ 最小时，求点T 的坐标．52．(2013广东文理)已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点 0,0F c c 到直线:20l x y 的距离为2．设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点．(Ⅰ)求抛物线C 的方程；(Ⅱ)当点 00,P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程；(Ⅲ)当点P 在直线l 上移动时，求AF BF 的最小值．53．(2011新课标文理)在平面直角坐标系xoy 中，已知点(0,1)A ，B 点在直线3y 上，M 点满足//MB OA ，MA AB MB BA，M 点的轨迹为曲线C ．(Ⅰ)求C 的方程；(Ⅱ)P 为C 上动点，l 为C 在点P 处的切线，求O 点到l 距离的最小值．54．(2011广东文理)设圆C 与两圆2222(4,(4x y x y 中的一个内切，另一个外切．(1)求C 的圆心轨迹L 的方程；(2)已知点M 3545(,55F ，且P 为L 上动点，求MP FP 的最大值及此时点P 的坐标．考点101探索型与存在性问题55．【2018上海20】(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)设常数2t ，在平面直角坐标系xOy 中，已知点 20F ,，直线:l x t ，曲线 2:800y x x t y ,．l 与x 轴交于点A ，与 交于点B P Q ,,分别是曲线 与线段AB 上的动点．(1)用t 为表示点B 到点F 的距离；(2)设,23t FQ ，线段OQ 的中点在直线FP 上，求AQP △的面积；(3)设8t ，是否存在以FP FQ ,为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在 上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．56．(2016全国I 文)在直角坐标系xOy 中，直线l ：(0)y t t 交y 轴于点M ，交抛物线C ：22(0)y px p 于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H ．(I)求||||OH ON ；(II)除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由．57．(2015新课标1理)在直角坐标系xoy 中，曲线C ：24x y 与直线y kx a (0)a 交与M ，N 两点，(Ⅰ)当0k 时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(Ⅱ)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ？说明理由．58．(2015北京理)已知椭圆C ： 222210x y a b a b的离心率为22，点 01P ，和点 A m n ， 0m ≠都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M ．(Ⅰ)求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标(用m ，n 表示)；(Ⅱ)设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ．问：y 轴上是否存在点Q ，使得OQM ONQ ？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．59．(2015湖北理)一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ，3MN ．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动一周(D 不动时，N 也不动)，M 处的笔尖画出的曲线记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．(Ⅰ)求曲线C 的方程；(Ⅱ)设动直线l 与两定直线1:20l x y 和2:20l x y 分别交于,P Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．60．(2015四川理)如图，椭圆E：2222+1(0)x y a ba b的离心率是22，过点(0,1)P的动直线l与椭圆相交于,A B两点，当直线l平行与x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为．(1)求椭圆E的方程；(2)在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得QA PAQB PB恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．61．(2015浙江理)已知椭圆2212x y上两个不同的点,A B关于直线12y mx对称．(Ⅰ)求实数m的取值范围；(Ⅱ)求AOB面积的最大值(O为坐标原点)．62．(2014湖南文理)如图5，O为坐标原点，双曲线221112211:1(0,0)x yC a ba b和椭圆222222222:1(0)x y C a b a b 均过点(,1)3P ，且以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．(Ｉ)求12,C C 的方程；(Ⅱ)是否存在直线l ，使得l 与1C 交于,A B 两点，与2C 只有一个公共点，且||||OA OB AB证明你的结论．63．(2013安徽文理)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b的焦距为4，且过点P ．64．(2013湖北文理)如图，已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ，长轴均为MN 且在x 轴上，短轴长分别为2m ，2()n m n ，过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ，2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．记mn，△BDM 和△ABN 的面积分别为1S 和2S ．(Ⅰ)当直线l 与y 轴重合时，若12S S ，求 的值；(Ⅱ)当 变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S ？并说明理由．65．(2012广东文理)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b的离心率e，且椭圆C 上的点到(0,2)Q 的距离的最大值为3．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)在椭圆C 上，是否存在点(,)M m n 使得直线l ：1mx ny 与圆O ：221x y 相交于不同的两点,A B ，且OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及相对应的OAB 的面积；若不存在，请说明理由．66．(2011山东文理)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:13x C y ．如图所示，斜率为(0)k k ＞且不过原点的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线3x 于点(3,)D m ．(Ⅰ)求22m k 的最小值；(Ⅱ)若2OG OD ∙OE ，(i)求证：直线l 过定点；(ii)试问点B ，G 能否关于x 轴对称？若能，求出此时ABG 的外接圆方程；若不能，请说明理由．。
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2008年高考数学（文）试题分类汇编圆锥曲线一． 选择题：1.（全国二11）设ABC △是等腰三角形，120ABC ∠= ，则以A B ，为焦点且过点C 的双曲线的离心率为（ B ） A ．221+ B ．231+ C ． 21+ D ．31+2.（北京卷3）“双曲线的方程为221916x y -=”是“双曲线的准线方程为95x =±”的（ A ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3.（福建卷12）双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PE 2|，则双曲线离心率的取值范围为BA.（1，3）B.（1，3）C.（3，+∞）D. [3，+∞]4.（海南卷2）双曲线221102x y -=的焦距为（ D ）5.（湖北卷10.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道I 和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道I 和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122;a c a c +=+②1122;a c a c -=-③1212;c a a c >④1212.c c a a <其中正确式子的序号是BA.①③B.②③C.①④D.②④ 6.（湖南卷10）双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是( C )A ．B ．)+∞C ．(11]D ．1,)+∞7.（江西卷7）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 CA ．(0,1)B ．1(0,]2C ．D ．8.（辽宁卷11）已知双曲线22291(0)y m x m -=>的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则m =（ D ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．49.（陕西卷9）双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30 的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ B ）A B C D 10.（上海卷12）设p 是椭圆2212516x y +=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于（ D ） A ．4B ．5C ．8D ．1011.（四川卷11）已知双曲线22:1916x y C -=的左右焦点分别为12,F F ，P 为C 的右支上一点，且212PF F F =，则12PF F ∆的面积等于( C )（Ａ）24 （Ｂ）36 （Ｃ）48 （Ｄ）9612.（天津卷7）设椭圆22221(00)x y m n m n +=>>，的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为（ B ）A ．2211216x y += B ．2211612x y += C ．2214864x y += D ．2216448x y += 13.（浙江卷8）若双曲线12222=-by a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是D（A ）3 （B ）5 （C ）3 （D ）514.（重庆卷8)若双曲线2221613x y p -=的左焦点在抛物线y 2=2px 的准线上，则p 的值为C(A)2(B)3(C)4二． 填空题：1.（全国一14）已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．21 2.（全国一15）在ABC △中，90A ∠= ，3tan 4B =．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．213.（全国二15）已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，A B ，是C 上的两个点，线段AB的中点为(22)M ，，则ABF △的面积等于 ．24.（安徽卷14）已知双曲线22112x y n n-=-n ＝ 4 5.（海南卷15）过椭圆22154x y +=的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为______________536.（江苏卷12）在平面直角坐标系中，椭圆2222x y a b+=1( a b >>0)的焦距为2，以O为圆心，a 为半径的圆，过点2,0a c ⎛⎫⎪⎝⎭作圆的两切线互相垂直，则离心率e = ．27.（江西卷14）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线方程为y =，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 ．223144x y -=8.（山东卷13）已知圆22:6480C x y x y +--+=．以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 ．221412x y -= 9.（上海卷6）若直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点，则实数a = ．－110.（浙江卷13）已知21F F 、为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点 若1222=+B F A F ，则AB = 。
8三． 解答题：1.（全国一22）．（本小题满分12分） （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB 、、成等差数列，且BF 与FA同向． （Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． 解：（1）设OA m d =-，AB m =，OB m d =+ 由勾股定理可得：222()()m d m m d -+=+得：14d m =，tan b AOF a ∠=，4tan tan 23AB AOB AOF OA ∠=∠==由倍角公式∴22431ba b a =⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得12b a =则离心率e =．（2）过F 直线方程为()ay x c b =--与双曲线方程22221x y a b -=联立将2a b =，c代入，化简有22152104x x b +=124x =-=将数值代入，有4=解得3b =最后求得双曲线方程为：221369x y -=．2.（全国二22）．（本小题满分12分）设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．（Ⅰ）若6ED DF =，求k 的值；（Ⅱ）求四边形AEBF 面积的最大值．解答：（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为2214x y +=， 直线AB EF ，的方程分别为22x y +=，(0)y kx k =>． ··············································· 2分如图，设001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，，其中12x x <， 且12x x ，满足方程22(14)4k x +=，故21x x =-=．①由6ED DF = 知01206()x x x x -=-，得021215(6)77x x x x =+==；由D 在AB 上知0022x kx +=，得0212x k=+．所以212k =+， 化简得2242560k k -+=，解得23k =或38k =． ············································································································ 6分 （Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E F ，到AB 的距离分别为1h ==，2h ==····································································· 9分又AB ==AEBF 的面积为121()2S AB h h =+12===≤当21k =，即当12k =时，上式取等号．所以S的最大值为 ······························· 12分 解法二：由题设，1BO =，2AO =．设11y kx =，22y kx =，由①得20x >，210y y =->， 故四边形AEBF 的面积为BEF AEF S S S =+△△222x y =+ ······························································································································ 9分===当222x y =时，上式取等号．所以S 的最大值为 ·················································· 12分。