二次函数应用—面积、桥洞隧道-

合集下载

(完整版)二次函数解决实际问题归纳

二次函数解决实际问题归纳及练习一、应用二次函数解决实际问题的基本思路和步骤：1、基本思路：理解问题→分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系→用函数关系式表示它们的关系→用数学方法求解→检验结果的合理性；解决最值问题应用题思路区别于一般应用题有两点：①设未知数在“当某某为何值时，什么最大（最小、最省）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；②问的求解依靠配方法或最值公式而不是解方程。

（1）利用二次函数解决利润最大问题此类问题围绕总利润=单件利润×销售总量，设未知数时，总利润必然是因变量y，而自变量有两种情况：①自变量x是所涨价多少或降价多少；②自变量x是最终销售价格。

例：商场销售M型服装时，标价75元/件，按8折销售仍可获利50%，现搞促销活动，每件在8折的基础上再降价x元，已知每天销售数量y（件）与降价x（元）之间的函数关系式为y=20+4x(x﹥0)①求M型服装的进价②求促销期间每天销售M型服装所获得的利润W的最大值。

（2）利用二次函数解决面积最值例：已知正方形ABCD边长为8，E、F、P分别是AB、CD、AD上的点（不与正方形顶点重合），且PE⊥PF，PE=PF问当AE为多长时，五边形EBCFP面积最小，最小面积多少？2、用二次函数解抛物线形问题常见情形具体方法抛物线形建筑物问题几种常见的抛物线形建筑物有拱形桥洞、涵洞、隧道洞口、拱形门窗等运动路线（轨迹）问题运动员空中跳跃轨迹、球类飞行轨迹、喷头喷出水的轨迹等（1）建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形状的图形放到坐标系之中；（2）从已知和图象中获得求二次函数表达式所需条件；（3）利用待定系数法求出抛物线的表达式；（4）运用已求出抛物线的表达式去解决相关问题。

牢记（1）解决这类问题的关键首先在于建立二次函数模型，将实际问题转化为数学问题，其次是充分运用已知的条件利用待定系数法求出抛物线的表达式；（2）把哪一点当作原点建立坐标系，将会直接关系到解题的难易程度或是否可解；（3）一般把抛物线形的顶点作为坐标系的原点建立坐标系，这样得出的二次函数的表达式最为简单。

二次函数实际问题训练-桥洞专题

二次函数实际问题训练-桥洞专题1、图6（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．如图6（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（） A ．22y x =- B ．22y x = C ．212y x=-D ．212y x =2 如图1是泰州某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1 m ，拱桥的跨度为10 m ，桥洞与水面的最大距离是5 m ，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4 m 的景观灯．若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中(如图2)．(1)求抛物线的解析式．(2)求两盏景观灯之间的水平距离．图6（1）图6（2）3、有一抛物线型的立交桥，这个桥拱的最大高度为16 m，跨度为40 m．现把它的图形放在平面直角坐标系里，如图所示，若在离跨度中点M 5 m处垂直竖立一铁柱支撑拱顶，该铁柱应取多长？4、如图，是一座抛物线形拱桥，水位在AB位置时，水面宽4米，水位上升3米达到警戒线MN位置时，水面宽4米，某年发洪水，水位以每小时0.25米的速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶？5、如图所示，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时，水面AB的宽为20m，若水位上升3m，则水面CD的宽为10m．(1)建立如图所示的直角坐标系，试写出该抛物线的函数表达式；(2)现有一辆满载救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计)，货车正以40km/h的速度开往乙地，当行驶1h时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以0.25m/h 的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行)．试问：如果货车按原来的速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度最少为多少？6、如图所示，图（1）是一座抛物线型拱桥在建造过程中装模时的设计示意图，拱高为30m，支柱3350mA B ，5根支柱1122334455A B A B A B A B A B，，，，之间的距离均为15m，1515B B A A∥，将抛物线放在图（2）所示的直角坐标系中．（1）直接写出图（2）中点135B B B，，的坐标；（2）求图（2）中抛物线的函数表达式；（3）求图（1）中支柱2244A B A B，的长度．30m3B2B4B5B5A4A3A2A1A图(1)1B5B3BO图(2)yl7、如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度20AB =米，顶点M 距水面6米（即6MO =米），小孔顶点N 距水面4.5米（即 4.5NC =米）．当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF ．8、一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m ，宽为2m ，隧道最高点P 位于AB 的中央且距地面6m ，建立如图所示的坐标系（1）求抛物线的解析式；（2）一辆货车高4m ，宽2m ，能否从该隧道内通过，为什么？（3）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？EM FNCBDOAyx正常水位 Py B A OC x15．（北京四中2011中考模拟13）如图，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽AB 为6米，最高点离地面的距离OC 为5米．以最高点O 为坐标原点，抛物线的对称轴为y 轴，1米为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，求:（1）以这一部分抛物线为图象的函数解析式，并写出x 的取值范围；（2）有一辆宽2.8米，高1米的农用货车（货物最高处与地面AB 的距离）能否通过此隧道？答案：解：（1）设所求函数的解析式为2ax y =．由题意，得函数图象经过点B （3，-5）， ∴-5=9a ． ∴95-=a ．∴所求的二次函数的解析式为295x y -=．x 的取值范围是33≤≤-x ．（2）当车宽8.2米时，此时CN 为4.1米，对应454998.94.1952-=-=⨯-=y ， EN 长为4549，车高45451=米，∵45454549>， ∴农用货车能够通过此隧道。

考点08 二次函数实际应用问题的7大类型-原卷版 2023-2024学年九年级数学考点归纳与解题策略

考点08 二次函数实际应用问题的7大类型1 围栏篱笆图形类问题的解决方法几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．面积的最值问题应设图形的一边长为自变量，所求面积为函数，建立二次函数的模型，利用二次函数有关知识求得最值，要注意函数自变量的取值范围.一般涉及到矩形等四边形问题，把图形的面积公式掌握，把需要用到的边和高等用未知数表示，即可表示出面积问题的二次函数的关系式，通过最值问题的解决方法，即可求出最值等问题，注意自变量的取值范围问题。

2 图形运动问题的解决思路此类问题一般具体分析动点所在位置，位置不同，所求的结果也不一样，一般把每一段的解析式求出来，根据解析式判断函数类型，从而判断图像形状。

3 拱桥问题的解决方法◆1、建立二次函数模型解决实际问题利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．◆2、建立二次函数模型解决实际问题的一般步骤：（1）根据题意建立适当的平面直角坐标系；（2）把已知条件转化为点的坐标；（3）合理设出函数解析式；（4）利用待定系数法求出函数解析式；（5）根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算.4 销售问题◆1、销售问题中的数量关系：销售利润=销售收入﹣成本；销售总利润=销售量×单价利润◆2、求解最大利润问题的一般步骤：（1）建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润 = 单件利润×总销量”或“总利润 = 总售价 - 总成本”；（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；（3）在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.◆3、在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．5 投球问题的解决方法此类问题一般需要建立平面直角坐标系，设定好每个点的坐标，分析好题目中的每句话的含义是解决这类问题的关键，有排球、足球、高尔夫球、篮球等，首先根据已知条件确定设定的解析式形式，求出解析式，再根据题意了解问题所求的实质是什么求出即可。

2019-2020学年九年级数学上册 2.8《二次函数的应用》过隧道问题学案鲁教版.doc

2019-2020学年九年级数学上册 2.8《二次函数的应用》过隧道问题学案鲁教版学习目标：了解数学的应用价值，掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决有关桥洞问题，进一步感受数学模型思想和数学的应用价值。

重点难点建立恰当且简单的直角坐标系学习导航二次函数的解析式的三种形式熟练掌握知识链接：1、某建筑物采用薄壳型屋顶，屋顶的横截面形状为一段抛物线（曲线AOB ）。

它的拱宽AB 为6m ，拱高CO 为0.9m 。

试建立适当的直角坐标系，写出这段抛物线所对应的二次函数的表达式。

【反思】实际问题求函数关系式的步骤是什么？探究新知：如图，某公司的大门呈抛物线形，大门地面宽AB 为4米，顶部C 距地面的高度为4.4米，（1）试建立适当的直角坐标系，求抛物线对应的二次函数表达式；（2）一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.65米，装货宽度为2.4米，那么这辆汽车能否顺利通过大门？[反思]①求抛物线的表达式，若本题中没有坐标系，应建立，以简单为主；然后结合图象确定特殊点的坐标，最后根据求表达式的三种方法，准确的求出表达式 ②汽车能否通过问题，我们既要考虑汽车的高度，又要考虑它的宽度。

解的时候，不妨假设高度够了，求A BO宽度（已知x 求y ）；也可假设宽度够了，求高度(已知y 求x)。

巩固新知：1、河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线型，建立如图所示的坐标系，其函数的解析式为y= -251x 2，当水位线在AB 位置时，水面宽 AB = 30米，这时水面离桥顶的高度h 是（） A 、5米 B 、6米； C 、8米； D 、9米2.改革开放后，不少农村用上自动喷灌设备，如图所示，设水管AB 高出地面1.5m ，在B 处有一个自动旋转的喷头。

一瞬间，喷出水流呈抛物线状，喷头B 与水流最高点C 的连线与水平面成45°角，水流最高点C 比喷头高出2m ，在所建的坐标系中，求水流的落地点D 到A 点的距离是多少米。

二次函数的应用-桥洞问题

二次函数的应用-桥洞问题
二次函数是一种常见的数学函数，它在许多实际问题中有着广泛的应用。本次演讲将围绕桥洞问题展开，探讨如何利用二次函数来解决桥洞设计的各种挑战。
介绍二次函数
二次函数是形如y = ax²+ bx + c的函数，其中a、b、c为实数且a不等于0。它的图像呈现出一个开口向上或开口向下的抛物线形状，被广泛用于描述曲线和实际问题。
结束
感谢大家的聆听，希望本次演讲能够为大家带来新的知识和启示。
如何利用二次函数求解桥洞问题
• 将已知条件转化为二次函数模型 • 求解二次函数方程，得到满足设计目标的参数 • 验证解的可行性和合理性
桥洞问题实例1 ：求桥洞高度
已知车辆高度和通过桥洞的最小距离，利用二次函数模型计算出桥洞的最低高度，确保车辆能够安全通过。
桥洞问题实例2 ：求桥小宽度，确保车辆能够安全通过。
如何利用二次函数图像解决桥洞问题
绘制二次函数的图像，观察抛物线的开口方向、顶点位置等特征，辅助设计和解决桥洞问题。
实际中的桥洞问题
介绍一些实际案例，如著名桥梁的桥洞设计以及挑战，强调实践中的挑战和解决方案。
桥洞问题总结
总结桥洞问题的应用、解决方法和实践中的挑战。强调二次函数在桥洞设计中的重要性。
桥洞问题实例3 ：求汽车通过桥洞的最大速度
已知桥洞高度和通过桥洞的最小宽度，利用二次函数模型计算出汽车能够安全通过桥洞的最大速度。
桥洞问题实例4 ：求出从哪个点开始能够通过桥洞
已知桥洞的高度函数以及起点的坐标，通过求解二次函数方程，得出最远的起点距离桥洞的位置。
优化桥洞设计
通过调整二次函数的系数和常数项，优化桥洞的形状和参数，以提高桥洞的可行性和视觉美感。

二次函数中的面积问题

二次函数——面积问题（一）〖知识要点〗一．求面积常用方法：1. 直接法（一般以坐标轴上线段或以与轴平行的线段为底边）2. 利用相似图形，面积比等于相似比的平方3. 利用同底或同高三角形面积的关系4. 割补后再做差或做和（三边均不在坐标轴上的三角形及不规则多边形需把图形分解）二．常见图形及公式抛物线解析式y=ax2 +bx+c (a≠0)抛物线与x 轴两交点的距离AB=︱x1–x2︱=抛物线顶点坐标（-, ）抛物线与y 轴交点（0，c ）“歪歪三角形中间砍一刀”，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 〖基础习题〗 1、若抛物线y=-x2–x+6与x 轴交于A 、B 两点，则AB= ，此抛物线与y 轴交于点C ，则C 点的坐标为，△ABC 的面积为.2、若抛物线y=x2 + 4x 的顶点是P ，与X 轴的两个交点是C 、D 两点，则△PCD 的面积是_____________.3、已知抛物线与轴交于点A ，与轴的正半轴交于B 、C 两点，且BC=2，S △ABC=3，则=，B C 铅垂高水平宽ha图1 C BA O y x DB A O y x P=．〖典型例题〗● 面积最大问题1、二次函数的图像与轴交于点A （-1,0）、B （3，0），与轴交于点C ，∠ACB=90°.（1）求二次函数的解析式；（2）P 为抛物线X 轴上方一点，若使得△PAB 面积最大，求P 坐标（3）P 为抛物线X 轴上方一点，若使得四边形PABC 面积最大，求P 坐标(4) P 为抛物线上一点，若使得，求P 点坐标。

● 同高情况下，面积比=底边之比2．已知：如图，直线y=﹣x+3与x 轴、y 轴分别交于B 、C ，抛物线y=﹣x2+bx+c 经过点B 、C ，点A 是抛物线与x 轴的另一个交点．（1）求B 、C 两点的坐标和抛物线的解析式；（2）若点P 在直线BC 上，且，求点P 的坐标．3．已知：m 、n 是方程x2﹣6x+5=0的两个实数根，且m ＜n ，抛物线y=﹣x2+bx+c 的图象经过点A （m ，0）、B （0，n ）．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中抛物线与x 轴的另一交点为C ，抛物线的顶点为D ，试求出点C 、D 的坐标和△BCD 的面积；（注：抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）的顶点坐标为（3）P 是线段OC 上的一点，过点P 作PH ⊥x 轴，与抛物线交于H 点，若直线BC 把△PCH 分成面积之比为2：3的两部分，请求出P 点的坐标． yx B A C O三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半4．阅读材料：如图，过△ABC的三个顶点分别作出水平垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高（h）”．我们可以得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．解答下列问题：如图，抛物线顶点坐标为点C（1，4）交x轴于点A，交y轴于点B（0，3）（1）求抛物线解析式和线段AB的长度；（2）点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连接PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及S△CAB；（3）在第一象限内抛物线上求一点P，使S△PAB=S△CAB．法一：同底情况下，面积相等转化成平行线法二：同底情况下，面积相等转化成铅垂高相等变式一：如图2，点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连结PA，PB，是否存在一点P，使S△PAB=S△CAB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．变式二：抛物线上是否存在一点P，使S△PAB=S△CAB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明点动+面积5．如图1，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，如果点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s，连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）．解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ∥BC．（2）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在求出此时t的值；若不存在，请说明理由．（3）如图2，把△APQ沿AP翻折，得到四边形AQPQ′．那么是否存在某时刻t使四边形AQPQ′为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由．形动+面积6．如图1，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、点C三点．（1）试求抛物线的解析式；（2）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BC、BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，将△BOC沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，记平移后的三角形为△B′O′C′．在平移过程中，△B′O′C′与△BCD重叠的面积记为S，设平移的时间为t秒，试求S与t之间的函数关系式？。

二次函数的应用课件面积问题(共10张PPT)

使销售利润最大？
请同学们完成这个问题的解答
你会解吗？
例6：用6m长的铝合金型材料做一个形状如图所示的矩形窗框。窗框的长、宽各为多少时，它的透光面积最大？最大透光面积是多少？
解：设矩形的宽为x米，矩形的透光面积为y米。由题意得：
y=x· 6-3x 2
(0<x<2)
即：y=- 3 x2+3x
2
配方，得:
的距离）能否通过此隧道？如图，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽AB为6米，最高点离地面的距离OC为5米．以最高点O为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，1
米为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，
A CB
)
（6）y=- x2-4x+1
值范围；例6：用6m长的铝合金型材料做一个形状如图所示的矩形窗框。
该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润。
O x
（2）有一辆宽2.8米，高3米的 y=x·
(0<x<2)
∴当x=5，y最大值=50
农用货车（货物最高处与地面AB y随着x的增大而减小。
（4）y=100-5x2 将这个函数关系式配方，得：
y=- 3 (x-1)2+ 3
2
2
∴它的顶点坐标是（1，1.5）
∴当x=1，y最大值=1.5
因为x=1时，满足0<x<2,这时
6-3x 2
=1.5
答：当矩形窗框的宽为5m时，长为1.5m时，它的透光
面积最大，最大面积为1.5m2。
1.求下列函数的最大值或最小值：
（1）y=x2-3x+4
（2）y=1-2x-x2
物线的对称轴为y轴，1米为数轴的单位长度，建立平面直角

二次函数的应用拱桥问题

D
C
则这个“支撑架”的总长的最大值是多少？
O
A
BM x
小结与回顾
二次函数的应用 (拱桥、桥洞问题)
情境创设: 赵州桥桥拱跨径38m, 拱高8m. 你能
建立恰当的直角坐标系并写出与该抛物线桥拱对
应的二次函数关系式吗?试试看.
1、先建立直角坐标系;
以桥拱的最高点为原点,过原点的水平线为横轴,过原系
式.
y
位后,再过多长时间水位达到桥拱最高
点O?
y
CO
5 10
D
x
A
B
1、如图，有一抛物线拱桥，当水位线在
AB位置时，拱桥离水面2 m，水面宽4 m，
水面下降1 m后，水面宽为( ) m
A.5
B.6 C. 6 D . 2 6
检测练习
2、有一个抛物线的立交桥拱，这个桥拱
的最大高度为16 m，跨度为40 m，现把
它的图形放在坐标系中(如图).若在离跨
度中心M点5 m处垂直竖立一铁柱支撑拱
顶，则这根铁柱的长为
m.
检测练习
3、如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长表方示形. y的长是1 8xm2 ， 4宽是2m，抛物线可以用
4
（1）一辆货运卡车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？
（2）如果该隧道内设双行道，那么这辆货运卡车是否可以通过？
设函数关系式为:
o
x y=ax2
19,-8)
建立二次函数模型解决简单实际问题的步骤：
1、恰当地建立直角坐标系；
2、将已知条件转化为点的坐标；
3、合理地设出所求函数的关系式；
4、代入已知条件或点的坐标，求出关系式； 5、利用关系式求解问题；

九年级二次函数的应用(全面!经典!)

二次函数应用专题训练【基础题型】1.如图所示的抛物线的解析式可设为，若AB ∥x 轴，且AB ＝4，OC ＝1，则点A 的坐标为，点B 的坐标为；代入解析式可得出此抛物线的解析式为。

2.飞机着陆后滑行的距离s （单位：m ）与滑行的时间t （单位：s ）的函数关系式是：25.160t t s -=.飞机着陆后滑行 (m)后才能停下来.例题1：有座抛物线形拱桥(如图)，正常水位时桥下河面宽20m ，河面距拱顶4m ，为了保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不例题0.5m 时：（1）求水面的宽度CD （2例题3.许多桥梁都采用抛物线型设计，小明将他家乡的彩虹桥按比例缩小后，绘成如下的示意图，图中的三条抛物线分别表示桥上的三条钢梁，x 轴表示桥面，y 轴经过中间抛物线的最高点，左右两条抛物线关于y 轴对称.经过测算，中间抛物线的解析式为211040y x =-+，并且BD=12CD.（1）求钢梁最高点离桥面的高度OE 的长；（2）求桥上三条钢梁的总跨度AB 的长；（3）若拉杆DE ∥拉杆BN ，求右侧抛物线的解析式.例题4. 一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1所示）, 拱高6m , 跨度20m , 相邻两支柱间的距离均为5m ．(1) 将抛物线放在所给的平面直角坐标系中（如图2所示）, 求抛物线的解析式； (2) 求支柱EF 的长度；(3) 拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m 的隔离带）, 若并排行驶宽2m 、高3m 的汽车,要求车与车之间, 车与隔离带之间的间隔均为0.5米, 车与桥的竖直距离至少为0.1米, 问其中一条行车道最多能同时并排行驶几辆车？图1 图2例5.如图1，一座拱桥的轮廓是抛物线型，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．（1）如图2，将抛物线放在所给的直角坐标系中，求该抛物线的解析式（不需要写出自变量x的取值范围）；（2）求支柱EF的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由．例题6：4米时到达最大高度4⑴问此球能否投中？例题7.如图，在水平地面点A 处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B ．有人在直线AB 上点C （靠点B 一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．已知AB ＝4米，AC ＝3米，网球飞行最大高度OM =5米，圆柱形桶的直径为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．（1）求此抛物线的解析式．（2）如果竖直摆放5个圆柱形桶，网球能不能落入桶内？（3）若网球可以落入桶内，则竖直摆放圆柱形桶的个数为___________________．例题8．面的距离线AB (1)(2)t例题9（硚口2013模拟二）如图，足球场上守门员在离地面1米的处开出一高球，球的运动轨迹AMC看作一条抛物线的一部分，运动员乙在离守门员站立地点的水平距离6米的处发现球在自己头的正上方达到最高点，距地面4米高，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式;（2）足球第一次落地点距守门员多少米？（取）（3）运动员乙要抢到第二个落点，他应再笔直向前跑多少米？（取）例题10、在一次羽毛球比赛中，甲运动员在离地面3625米的P点处击球，求的运动轨迹PAN看作一个抛物线的一部分，当球运动到最高A时，其高度为4米，离甲运动员站立点O的水平距离为4米，球网BC离点O的水平距离为4.5米，以点O为原点建立如图所示的坐标系，乙运动员站立地点M的坐标为（m，0）.(1)求抛物线的解析式（不要求写自变量的取值范围）（2）羽毛球边距离点C的水平距离为5.18米，此次发球是否会出界？（3）乙原地起跳后可接球的最大高度为3米，若乙因为直接高度不够而失球，求m的取值范围。

二次函数的应用——桥洞问题优质课

AO
FB
x
x＝2 (3.2,0)
建立直角坐标系的原则：
yC D
. . . M
EN
. y
CD
. . M
EE N
A O FB x
yC
.O D
. . M
EE N x
AO
FB x
yC
.O D x
. . M
EE N
A
FB
A
FB
方法步骤：
①恰当建立直角坐标系； ②求出抛物线的解析式； ③把抛物线上一点的横坐标代入解析式，
• 当抛物线刻画的是实际问题时，抛物线上的点都反映一定的实际现象，因此在解决此类问题时，往往就是在已知抛物线上一个点的一个坐标的条件下，求这个点的另一个坐标.
3
A
B(3,-3)
问题：如图，是一个单向隧
道的横断面，隧道顶MCN是
抛物线的一部分.经测量， M 隧道顶的跨度MN为4m，最高
处点C到地面的距离为4m，两侧墙高AM和BN为3m.现有 A 宽为2你.4对m，限高高为怎3样m的理卡车在隧道中解间？行怎驶样，能卡判车断载物后限以高安应全出是通卡多过车通少隧可过米道以？时？安，全卡车可
二次函数的应用根据图像性质解决实际问题
你能联想到什么y 吗？
O
x
y
O
x
y
O
x
y
x
赵州桥桥拱跨径约38m, 拱高约7m. 你能
建立适当的直角坐标系并写出与该抛物线桥拱
对应的二次函数关系式吗?试试看. 1. 先建立直角坐标系;
以桥拱的最高点为原点,过原点的水平线为横轴,建立直角坐标系.
2.求抛物线对应的二次函数关系式.

人教版九年级数学二次函数的应用之三(桥洞问题)导学案教案

九年级数学导学案班级姓名使用日期：201809 九年级数学导学案班级姓名使用日期：201809二次函数的应用之三(桥洞问题)1．会根据实际问题构建函数模型，把实际问题中的变量关系表示成二次函数关系；2．会运用二次函数的知识解决有关桥洞、隧道问题．【预习案】如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降1米后，水面的宽度为多少米？【探究案】探究一桂林红桥位于桃花江上，是桂林两江四湖的一道亮丽的风景线，该桥的部分横截面如图所示，上方可看作是一个经过A、C、B三点的抛物线，以桥面的水平线为x轴，经过抛物线的顶点C与x轴垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，已知此桥垂直于桥面的相邻两柱之间距离为2米（图中用线段AD、CO、BE等表示桥柱）CO=1米，FG=2米．（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式．（2）求柱子AD的高度．探究二某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图所示．（1）以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，求该抛物线对应的函数关系式；（2）某卡车空车时能通过此隧道，现装载一集装箱箱宽3m，车与箱共高4.5m，此车能否通过隧道？并说明理由．探究三一座拱桥的轮廓是抛物线型（图1），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2），求抛物线的解析式；（2）求支柱EF的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由．【训练案】1．图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y=﹣（x﹣80）2+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴，若CA=米，则水面的宽度DC为（）．A．160米B．170米C．180米D．190米第2题2．如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y=ax2+bx．小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需秒．。

数学人教版九年级上册实际问题与二次函数(3)--桥洞问题

实际问题与二次函数(3)-桥洞问题教学设计福州华伦中学陈秀雅【教学内容分析】本节是新人教版义务教育课程标准实验教科书第22章第3节内容，它从具体问题入手，以实际问题为背景，通过实例巩固学生所学的知识。

让学生通过现实生活中的一些问题，充分感受到应用性问题的的重要性。

【学情分析】学生已经学习了二次函数的概念、图象和性质。

这些内容为学习二次函数的应用提供知识支持，又学习了列代数式，列方程解应用题，这些应用性质的内容为本节课的学习提供了建模能力的基础，但是作为建立二次函数模型解决实际问题，带有很强的综合性、灵活性，对学生的要求较高。

【教学目标】知识与技能通过探究实际问题与二次函数关系，让学生掌握根据实际情境选择建立适当的平面直角坐标系，并将实际问题中的具体长度转化二次函数的点坐标求解问题。

过程与方法1.通过研究生活中实际问题，让学生体会建立数学建模的思想.2.通过学习和探究桥洞和隧道问题，渗透数形结合和优选的数学思想方法.情感、态度与价值观1.通过研究生活中实际问题，体会数学知识的现实意义，进一步认识如何利用二次函数的有关知识解决实际问题.2. 通过将二次函数的知识灵活用于实际，让学生亲自体会到学习数学的价值，从而提高学生学习数学的兴趣.【教与学方法】教师教学方法：情境法，引导法，问题法，练习法学生学习方法：讨论法，练习法【教学重难点】重点：根据具体情境选择建立适当的平面直角坐标系难点：将实际问题中具体数据转化为二次函数的点坐标求解问题.【设计理念】通过梯度问题的设计让学生们轻松的获得知识;通过模拟游戏中的场景，让同学们在愉快的氛围下感受数学在现实生活中得魅力！【教学流程】一、创设情境教师活动：通过之前的学习，我们了解到二次函数在生产生活中的应用非常广泛，比如昨天我们一起研究的是面积最大值问题，今天，我们要一起来解决探究这个问题---愤怒的小鸟学生活动：现场演示游戏玩法；解说：这款游戏的故事相当有趣，为了打击偷走鸟蛋的捣蛋猪，鸟儿以自己的身体为武器，在空中画出完美的抛物线，像炮弹一样去攻击捣蛋猪的堡垒。

【初中数学知识点解析】二次函数的实际问题应用

题型2：实际问题中的决策
8．某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件．已知产销两种产品的有关信息如表：
产品每件售价每件成本 (万元) (万元)
甲
6
a
乙
20
10
每年其他费用(万元)
20 40＋0.05x2
每年最大产销量(件) 200 80
其中a为常数，且3≤a≤5.
(1)若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1，y2 与x的函数关系式；
2 ∴当x＝
3
22
22
8
a，即E是BC的中点时，y取得最小值，
2 即△DHE的面积取得最小值，最小值是
27 a2.
8
类型3 建立二次函数模型解决动点探究问题
6．如图所示，直线y＝ 1 x－2与x轴、y轴分别交于点A，C，抛物线过点A，C 2
和点B(1，0)． (1)求抛物线的解析式； (2)在x轴上方的抛物线上有一动点D，当D与直线 AC
1 2
x2＋
5 2
x－2代入，
得S△ACD＝2y－x＋4＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，
当x＝2时，y＝1，此时S△ACD最大，且最大值为4.
∴D(2，1)．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∵S△ACD＝
1 2
AC·DE，AC＝2 5.
∴当△ACD的面积最大时，高DE最大，
则DE的最大值为
4＝ 1 AC 1
4 2
＝4 5 . 55
要点提示
利用二次函数解决实际问题时，要注意数形结合，巧妙地运用二次函数解析式进行建模，从而达到应用二次函数的某些性质来解决问题的目的．
类型1 建立平面直角坐标系解决实际问题

二次函数在生活中的应用——涵洞和隧道问题

4
x
8
练习：如图一个抛物线隧道，隧道离地面的最大高度为4米，跨度为８米，隧道内设有双行道，在隧道正中间设有隔离带（宽度不记），一辆宽为2米，高为2.75米的货车能否通过隧道？（货车视为长方体） y
y 1 2Байду номын сангаасx 4 4
x
8
练习：如图一个抛物线隧道，隧道离地面的最大高度为4米，跨度为8米，隧道内设有双行道，在隧道正中间设有隔离带（宽度不记），一辆宽为2米，高为2.75米的货车能否通过隧道？若要求车辆与隧道顶部的距离超过（货车视为长方体） 0.5米，能否通过 y
N
c
o F
x
1.6 当通过的底为1.6时，能通过的最大高度为 NF, 比较NF与正方体的高
练习：如图一个抛物线隧道，隧道离地面的最大高度为4米，跨度为８米，隧道内设有双行道，在隧道正中间设有隔离带（宽度不记），一辆宽为2米，高为2.75米的货车能否通过隧道？（货车视为长方体） y y 1 x2 4
把xN 0.8代入y 3x 3
2
E
o
N F
得y N 3 0.64 3 1.08
NF 1.08,即F处所对应
x 的涵洞壁离水面的高是 1.08 米
（4）对称轴右侧0.8米的点F处，对应的涵洞壁离水面的高是多少（NF=1.08) （5）又一个边长为1.6米的正方体木箱，能否通过此涵洞，说明理由（木箱底面与水面同一平面） y
二次函数在生活中的应用
——涵洞和隧道问题
复习
观察图像，你能求出抛物线的解析式吗？ 3
顶点D（1，3）
顶点（ 1， 3）设抛物线解析式为y a ( x 1) 2 3

二次函数应用—面积、桥洞隧道-

1．当 n= 时，抛物线 y=－5x2＋（n2－25）x－1 的对称轴是 y 轴．
2．已知二次函数 y=x2－6x＋m 的与抛物线 y=－ 3 x2＋2 的形状相同，且顶点坐标是（4，－2），则它的表达式是
．
4．若抛物线 y=3x2＋mx＋3 的顶点在 x 轴的负半轴上，则 m 的值为．
8 CO1
10、如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是 8m，宽是 2m，抛物线可以用 y=－ x2＋4 表示．（1）一辆货运卡车高 4m，宽 2m，它能通过该隧道吗？（2）如果隧道内设双行道，那么这辆货运车是否可以通过？（3）为安全起见，你认为隧道应限高多少比较适宜？为什么？
11、某跳水运动员在进行 10m 跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．在
变式：如图在 Rt△ABC 中，点 P 在斜边 AB 上移动，PM⊥BC，PN⊥AC，M，N 分别为垂足，已知 AC=1，AB=2，求：（1）何时矩形 PMCN 的面积最大，把最大面积是多少？（2）当 AM 平分∠CAB 时，矩形 PMCN 的面积.
类型 2 二次函数的应用----桥洞、隧道问题用二次函数的知识解决拱桥类问题要注意①建立恰当的平面直角坐标系.②抛物线的解析式假设恰当会给解决
点？
3、一养鸡专业户计划用 116m 长的篱笆围成如图所示的三间长方形鸡舍，门 MN 宽 2m，门 PQ 和 RS 的宽都是 1m，怎样设计才能使围成的鸡舍面积最大？
4、把 3 根长度均为 100m 的铁丝分别围成长方形、正方形和圆，哪个面积最大？为什么？
5、周长为 16cm 的矩形的最大面积为
，此时矩形的边长为
变式 2、图中窗户边框的上半部分是由四个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形。如果制作一个窗户边框的材料总长为 6 米，那么如何设计这个窗户边框的尺寸，使透光面积最大(结果精确到 0.01m2)?

二次函数应用—面积、桥洞 隧道-

(完整版)二次函数解决实际问题归纳

二次函数实际问题训练-桥洞专题

考点08 二次函数实际应用问题的7大类型-原卷版 2023-2024学年九年级数学考点归纳与解题策略

2019-2020学年九年级数学上册 2.8《二次函数的应用》过隧道问题 学案 鲁教版.doc

二次函数的应用-桥洞问题

二次函数中的面积问题

二次函数的应用课件面积问题(共10张PPT)

二次函数的应用拱桥问题

九年级二次函数的应用(全面!经典!)

二次函数的应用——桥洞问题优质课

人教版九年级数学二次函数的应用之三(桥洞问题)导学案教案

数学人教版九年级上册实际问题与二次函数(3)--桥洞问题

【初中数学知识点解析】二次函数的实际问题应用

二次函数在生活中的应用——涵洞和隧道问题

二次函数应用—面积、桥洞隧道-

二次函数应用—面积、桥洞隧道-

2019-2020学年九年级数学上册 2.8《二次函数的应用》过隧道问题学案鲁教版.doc