高等数学_2010-2011学年第一学期试题(A卷)答案及评分标准

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高等数学A上期末考试题A卷附标准答案

中国传媒大学
2010─2011学年第一学期期末考试试卷
A 卷参考答案及评分标准
考试科目：高等数学
A 上考试班级：2010电气信息类、光电、游戏考试方式：闭卷
命题教师：梁瑞梅一、填空题（将正确答案填在横线上，本大题共4小题，每题4分，共16分）
1．已知当0x
时，1)1(312ax 与x cos 1是等价无穷小，则常数a 。

答案：23a
2．2122
)0(cos 21cos cos t t udu u t
t y t x ，则dx dy 。

答案：
t dx dy
3．微分方程0)4(2dy x x ydx
的通解为。

答案：Cx y x
4)4(4．e
x x dx 12)ln 2(。

答案：22arctan 2
1I 二、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共4小题，每题4分，共16分）矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。

1．如果0),1(0,)(2x
x b x
e x
f ax 处处可导，则（ B ）。

1)(b a A ；1,0)(b a
B ；0,1)(b a
C ；1,2)(b a
D 。

2．函数)(x f y 在0x x 处连续，且取得极大值，则)(x f 在0x 处必有（ C ）。

2010-2011-1高数试题[1]

5. 水坝中有一直立矩形闸门，宽为 3 米，高为 4 米. 闸门的上边平行于水面，顶部与水面相齐, 则闸门所受到的水压力为____________. 三、解答下列各题(共 4 小题，每小题 6 分,共 24 分). 1.求极限 lim
x→0
1 + x sin x − cos x . sin x2
0
x
第 2 页共 3 页
… … … … ○ … … … … 密 … … … … ○ … … … … 封 … … … … ○ … … … 线 … … … … … … … …
五、解微分方程(共 2 小题，每小题 6 分,共 12 分).
⎧ xy ′′ − y ′ = 2 x 3 ⎪ 1.求解初值问题 ⎨ ⎪ y (1) = 1, y ′(1) = 2. ⎩
四、求下列积分 (共 2 小题，每小题 6 分,共 12 分). 1. ∫ x 2 cos xdx .
⎧ x = ln(1 + t 2 ) d2y 3. ⎨ ，求 2 dx ⎩ y = t − arctan t
t =1
.
2.
求 ∫ x 4 1 − x 2 dx .
0
1
4. 确定曲线 f ( x ) = ∫ (t − 1)(t − 2) 2 dt 的凹凸区间与拐点.
三(1)
三(2)
三(3)
三(4)
四(1)
四(2)
五(1)
五(2)
六
七
一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中. 共 5 小题, 每小题 4 分, 计 20 分). 1. x = 0 是函数 f ( x) = (A) 可去间断点； (C) 振荡间断点； 2. 下列结论中，正确的是 (A) 有界数列必收敛； (C) 收敛数列必有界；

大一第一学期高数1试题A及答案

2009—2010学年第一学期《高等数学I(一)》课程考试试卷(A 卷)参考答案及评分标准注意：1、本试卷共 3 页； 2、考试时间120分钟3、姓名、学号必须写在指定地方阅卷负责人签名：一、填空题（共5个小题，每小题2分，共10分）.1.设，则 .()lim 1tt x f x t →+∞⎛⎫=+⎪⎝⎭()0x ≠=)3(ln f 2.设是的一个原函数，则= ．x e xsin +()f x ()f 'x 3.曲线的拐点坐标是 .16623-+=x x y 4.若，则．2121A dx x -∞=+⎰A =5． .21lim(2)cos2x x x →-=-二、单项选择题（共10个小题，每小题2分，共20分）.将每题的正确答案的代号A 、B 、C 或D 填入下表中.1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）.()f x []12,-()()()22F x f x f x =++A ．；B ．；C ．；D ．.[]30,-[]31,-112,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦102,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2．是函数的（）.3x =1()arctan 3f x x=-A ．连续点；B ．可去间断点；C ．跳跃间断点；D ．第二类间断点.3．当时，与等价，则（）.0→x 1ax e -x 2sin a = A ．1 ；B ．2 ；C ．；D ．.2-214．函数在处（）.()21sin,00,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩0=x A ．有定义但不连续； B ．连续但不可导； C ．连续且可导；D ．不连续且不可导.5.下列等式中正确的是（）．A ．； B .；()()ba d f x dx f x dx =⎰()()()x ad f x dx f x f a dx=-⎰C ．；D . .()()df x dx f x dx=⎰()()f x dx f x '=⎰6．函数（）.()21xf x x =+ A ．在内单调增加；B ．在内单调减少；(),-∞+∞(),-∞+∞C ．在内单调增加；D ．在内单调减少.()11,-()11,-7．若可导，且，则（）.()f u ()x y f e = A ．；B ．；()x dy f e dx '=()x x dy f e e dx '= C ．；D ．.()xxdy f e e dx =()xxdy f e e dx '⎡⎤=⎣⎦8．（）.20|1|x dx -=⎰A ．0 ；B ．2 ；C ．1 ；D ．.1-9．方程的通解是( ).sin y x '''=A .； B .；21231cos 2y x C x C x C =+++21231sin 2y x C x C x C =+++C .； D ..1cos y x C =+2sin 2y x =10.曲线与该曲线过原点的切线及轴围成的图形的面积为（）．xe y =y A ．；B ．；10()xe ex dx -⎰1(ln ln )ey y y dy -⎰C ．； D ．．1()ex x e xe dx -⎰10(ln ln )y y y dy -⎰题号一二三四五六七八总分得分阅卷人得分阅卷人得分三峡大学试卷纸教学班号序号学号姓名………………….………….……答题不要超过密封线………….………………………………三、解下列各题（每小题6分，共12分）.1．计算.)lim x xx →+∞-2．计算．xx x x 1022lim ⎪⎭⎫⎝⎛-+→四、解下列各题（每小题6分，共12分).1.已知，求．076333=--++y xy x y 2=x dxdy2. 设函数由参数方程所确定，求和.)(x y y =⎩⎨⎧+==tt t y t x sin cos sin ln dx dy22dx y d五、解下列各题（每小题6分，共18分).1. 计算．⎰++dx xx x 221)(arctan 2．计算.204ln(1)limx x t dt x→-⎰3. 计算.220cos x e xdx π⎰阅卷人阅卷人阅卷人得分阅卷人得分三峡大学试卷纸教学班号序号学号姓名………………….………….……答题不要超过密封线………….………………………………六、（本题10分）.设曲线上任意一点处的切线斜率为,且该曲线经过点，)(x f y =),(y x 2x x y +11,2⎛⎫⎪⎝⎭（1）求函数；)(x f y =（2）求曲线，,所围成的图形绕轴旋转所形成的旋转体的体积．)(x f y =0y =1x =x七、(本题10分).由半径为的圆上，割去一个扇形，把剩下的部分围成一个圆锥，试求割去扇形的中R 心角，使圆锥的容积为最大.S阅卷人得分三峡大学试卷纸教学班号序号学号姓名……………….………….……答题不要超过密封线………….………………………………参考答案一、填空题1.3；2.sin x e x -3.()2,0-4.1π5. 0二、单项选择题题号12345678910答案DCBCCCBCAA三、解下列各题1. 解：)lim x xx →+∞3分limx =. 6分12=2．．解：3分xx x x 1022lim ⎪⎭⎫⎝⎛-+→()222202lim 12x xx x x x x x -⋅-→⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭.6分()02lim2x xx x e→-=1e e ==四、解下列各题1. 解：两边分别对求导，得x ，3分22333360dy dy dyy x y x dx dx dx+++-= 当时，，代入上式，得2x =1y =-. 6分23x dy dx==- 2..解： 3分dx dy dydt dx dt=sin sin cos cos sin t t t tt t-++=sin t t = . 6分22dxy d dy dtdx dt'=sin cos cos sin t t t t t +=2sin sin cos cos t t t tt+=五、解下列各题1.．解：⎰++dx x x x 221)(arctan ()222arctan 11x xdx dx x x =+++⎰⎰ 3分()()()22211arctan arctan 21d x x d x x +=++⎰⎰. 6分()()3211ln 1arctan 23x x C =+++2．.解： 3分204ln(1)limx x t dtx→-⎰()232ln 1lim4x x x x→-= .6分220lim 2x x x →-=12=-3..解：2分220cos xe xdx π⎰()22sin xe d x π=⎰222200sin 2sin xx e x e xdx ππ⎡⎤=-⎣⎦⎰()2202cos xe e d x ππ=+⎰2222002cos 4cos xx e e x e xdx πππ⎡⎤=+-⎣⎦⎰5分22024cos x e e xdx ππ=--⎰.6分∴22cos xe xdx π⎰()125e π=-三峡大学试卷纸教学班号序号学号姓名………………….………….……答题不要超过密封线………….………………………………六、解：(1)，即，且当时，， 2分2y y x x '=+2y y x x '-=1x =12y =与之对应的齐次线性微分方程的通解为，y Cx = 令，将其代入非齐次线性方程得，所以，()y u x x =u x '=212u x C =+所以非齐次线性微分方程的通解为，代入初始条件得，312y Cx x =+0C =故所求函数为. 6分312y x =(2) .10分23102x V dx π⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰28π=七、解：设留下的扇形的中心角为，圆锥的高为，底面半径为，则其容积为ϕh r V ，又，213V r h π=2rR πϕ=h =故 4分V =()02ϕπ<<6分3224RV π'=令得，0V '=ϕ=当时，时，，0ϕ<<0V '>2ϕπ<<0V'<因此为极大值点，又驻点唯一，从而也是最大值点. 8分ϕ=ϕ=即当割去扇形的中心角为时，圆锥的容积最大，2π. 10分3R 八、证明：方程在区间内有唯一实根.4013101xx dt t --=+⎰)1,0( 证明：令，()401311x f x x dt t =--+⎰则，()010f =-< ，()1401121f dt t =-+⎰0>由零点定理知，至少存在一点，使. 4分()0,1ξ∈()0f ξ=由，，()41301f x x'=->+()0,1x ∈知在内单调增加，()f x )1,0(所以方程在区间内有唯一实根. 8分4013101xx dt t --=+⎰)1,0(。

高等数学（上）期末试题（A卷）

第 1 页共 4 页北京师范大学珠海研究院专业教育中心2011-2012学年第一学期期末考试（A 卷）开课单位：__专业教育中心____ 课程名称：_高等数学（上）_____ 任课教师：_ ___ 考试类型：_ 闭卷 _ 考试时间：__ 120 _分钟专业 _____ 姓名___________ 学号______________ 班级____________ 题号一二三总分得分阅卷人试卷说明：（本试卷共4页，满分100分）一.填空题（每题3分，共30分）1.设'()f x 存在，则()()limh f x h f x h®+-=；2.2.给定抛物线给定抛物线22y x x =-+，则过点（1,2）的切线方程为；3. 已知函数2()23f x x x =--在区间3[1,]2-上满足罗尔定理的所有条件，则满足定理的数值x = ；4.设sin(21)y x =+，则dy = ；5.求函数()xf x e =的n 阶导数，()()x ne =； 6.6.设某产品的收入函数设某产品的收入函数32()310R x x x =-+，则其边际收入函数'()R x = ； 7.如果()f x 在点0x 处可导，且在0x 处取得极值，则0'()f x = ； 8.设函数11y x =-，则它的铅直渐近线为则它的铅直渐近线为； 9.设()F x 是()f x 的原函数，则()f x dx =ò ；10. 2[(1)]'x dx +=ò.订线二.计算题（每题5分，共30分）11. 设210(sin )y x x =+，求dy dx . 12.0cos 1lim x x x®-13. 232lim1x x x x ®¥++14. 111lim()ln 1x xx ®--15. 121dx x +ò16. ln x xdx ò三、解答题（共40分）17. 求由方程ln 1xy y +=所确定的函数()y y x =的导数'y .（10分）分）18.某煤炭公司每天生产x 吨煤的总成本函数2()20004500.02C x x x =++，若每吨煤的售价为490元，求：（1）边际成本函数'()C x （5分）；（2）利润函数()L x （5分）；（3）边际利润函数'()L x （5分）19.求函数43()41f x x x=-+的单调区间、凹凸区间、极值、极值点及拐点.（15分）分）。

高等数学期末考试试题及答案(大一考试)

（2010至2011学年第一学期）课程名称：高等数学(上)(A 卷)考试(考查)：考试 2008年 1 月 10日共 6 页注意事项：1、满分100分。

要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。

2、考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否则视为废卷。

3、考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。

4、如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷分别一同交回，否则不给分。

试题一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分）1. =--→1)1sin(lim21x x x ( ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D)212.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e xx )(⎰--为( )(A) c e F x +)(； (B) c eF x+--)(；(C) c e F x+-)(； (D )c xe F x +-)( 3.下列广义积分中 ( )是收敛的. (A)⎰+∞∞-xdx sin ； (B)dx x⎰-111； (C) dx x x ⎰+∞∞-+21； (D)⎰∞-0dx e x。

4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( )(A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导；(C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则⎰xadt t f )(在[]b a ,上一定可导。

5. 设函数=)(x f nn x x211lim++∞→ ，则下列结论正确的为( )(A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分）1. 极限=-+→xx x 11lim 20 _____.2. 曲线⎩⎨⎧=+=321ty t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程xxe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22)2(21+-，则该方程的通解为 .4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22)(lim2=-→x x f x ，则_____)2(='f5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。

高等数学期末考试试题及答案(大一考试)

五、设函数由方程确定，求。

（8分）六、若有界可积函数满足关系式，求。

（8分）七、求下列各不定积分（每题6分，共12分）（1）.八、设求定积分。

(6分)九、讨论函数的单调区间、极值、凹凸区间和拐点坐标。

(10分）十、求方程的通解（6分）十一、求证：。

（5分)第一学期高等数学（上）（A）卷分标准题3分，共15分）2。

B 3。

D 4.B 5。

D分，共18分）为任意常数）,4. 2 ，5。

6。

分………………………………………..6分分解：………………3分 (6) (8)导 (3)数)…………6分分解：（1）。

……。

.3分…………………….6分分分=……………6分时有极大值2，有极小值. 在上是凸的，在上是凹的，拐点为(0，0）………10分十、解； (3)设方程（1）的解为代入(1）得………5分 (6)十一、证明：令………………1 分又…。

3分的图形是凸的,由函数在闭区间连续知道最小值一定在区间端点取到。

，所以………….5分。

（2010至2011学年第一学期）一、单项选择题（15分，每小题3分）1、当时，下列函数为无穷小量的是（）（A）（B) （C）（D)2．函数在点处连续是函数在该点可导的( ）(A）必要条件(B）充分条件（C)充要条件(D）既非充分也非必要条件3．设在内单增，则在内( ）（A）无驻点（B）无拐点（C）无极值点（D)4．设在内连续,且,则至少存在一点使（）成立。

（A) （B)（C) （D）5．广义积分当（）时收敛。

(A) （B）（C）（D)二、填空题（15分,每小题3分)1、若当时,，则；2、设由方程所确定的隐函数，则；3、函数在区间单减;在区间单增；4、若在处取得极值，则；5、若，则；三、计算下列极限。

（12分,每小题6分）1、2、四、求下列函数的导数（12分，每小题6分）1、，求2、，求五、计算下列积分（18分，每小题6分）1、2、3、设，计算六、讨论函数的连续性，若有间断点,指出其类型. （7分）七、证明不等式:当时，（7分)八、求由曲线所围图形的面积。

《高等数学(上)》试卷(A)答案和评分标准

2007-2008学年第一学期《高等数学(上)》试卷(A)参考答案和评分标准一、填空题（每小题3分，共15分）1. -12. 03. dx x x x )sin sin 2(24- 4. 323π 5. )2sin 2cos (x B x A x +二、选择题（每小题3分，共15分） 1.B 2.A 3.B 4.D 5.B 三、计算题（每小题7分，共49分） 1.解：原式xx x x x x ln )1(1ln lim 1-+-=+→ (3分)2111ln 1ln lim 1ln ln lim 1ln 11ln lim 111=+++=-+=-+-+=+++→→→x x x x x x x xx x x x x x (7分) 2.解：等式两端关于x 求导：'cos '2'222y y y e y x xy y ⋅=⋅-+ (4分)可解得：222cos 2'x e y xyy y -+=(7分)3.解：t t f t f t tf t f dx dy =-+=)('')(')('')(' (3分) dtdx dxdydt d dx dt dx dy dt d dx dy dx d dxy d )()()(22=⋅== )(''1t f =(7分) 4.解：x x x e x xe e x f ----=-=)1()('x x x e x e x e x f ----=---=)2()1()('' (3分) 令0)(''=x f ，可解出2=x当2<x 时，0)(''<x f ，)(x f 凸，当2>x 时，0)(''>x f ，)(x f 凹 (6分)函数)(x f 的凸区间为)2,(-∞，凹区间为),2(+∞，拐点为)2,2(2-e (7分)5.解：原式⎰+=-=+=dt t x e t dtt tdx )2ln(222222]22)2ln([222dt tt t t t ⎰+⋅-+= (4分) C tt t t ++-+=2a r c t a n 244)2l n (22C e e e x x xx+-+---=22a r c t a n 242422 (7分) 6.解：原式⎰⎰⎰+==---==201212)()()(dt t f dt t f dt t f x t dxdt (3分)⎰⎰--++=20012c o s 11dt te dt t t2001]21[]2[t a n 2t e t ---=212121t a n 4+-=-e (7分) 7.解对方程两边关于x 求导,整理得x x 2e 23=+'-''ϕϕϕ, (2分)特征方程 0232=+-r r , 2 ,1=r , 所以对应齐次方程的通解为 x x C C Y 221e e +=,设特解为x b ax x y 2e )(+=*,代入原方程,解得21=a ,1-=b , 即得特解 x x x y 2e )121(-=*,故x x x x x C C x 2221e )121(e e )(-++=ϕ, (5分)将0)0(=ϕ代入原方程,得0)0(='ϕ,由此可得11-=C ,12=C ,于是x x x x x e e )121()(22-+-=ϕ. (7分)四、综合应用题（每小题8分，共16分）1.解：设过点)4,1(P 的直线方程为)1(4-=-x k y ，0<k则横截距为k41-，纵截距为k -4 (3分) 截距之和函数为)0(,45414<--=-+-=k kk k k l令041'2=+-=k l ，解出：2-=k (6分) 由于实际问题，且极值点唯一2-=∴k 时截距之和最小，此时，直线方程为62+-=x y (8分) 2.解：平面图形如图所示,所求面积21S S S +=.1S =⎰--212d )2(x x x =3231213212=-x x .2S =⎰-322d )2(x x x =3431322323=-x x .所以,所求图形的面积为 221=+=S S S . (4分) 平面图形绕y 轴旋转一周所得旋转体体积为 y V =⎰-312d 22x x x x π=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-⎰⎰322212)d 2()d 2(2x x x x x x x x π=ππ9)3241()4132(232342143=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-x x x x . (8分)五、证明题（每小题5分，共5分）证明：)(x F 满足],[b a 上连续，),(b a 内可导，且0)()(==b F a F由罗尔定理知：),,(1b a ∈∃ξ使得0)('1=ξF (2分)而)(')()()(2)('2x f a x x f a x x F -+-=，对)('x F 满足],[1ξa 上连续，),(1ξa 内可导，且0)(')('1==ξF a F ，由罗尔定理知：),(,0)(''b a F ∈=ξξ (5分)。

大学高数试题（共7套）

第1 页共5页2010-2011学年第一学期考试卷 A课程：高等数学Ⅰ1（90学时）考试形式：闭卷考试一．填空题．填空题((每小题3分,本大题满分15分) 1．设函数îíì>£=1||01||1)(x x x f ，则)]([x f f = . 2．设函数ïîïíì³+<=0202sin )(x ax x xx x f ，当常数=a ____________时时,)(x f 在0x =处连续处连续. .3．曲线x e y 2=上点（0，1）处的切线方程为______ __. 4．曲线53523++-=x x x y 的凹区间为的凹区间为_______ _____. _______ _____. 5．若x e -是)(x f 的原函数，则dx x f x )(ln 2ò = . 二．选择题选择题((每小题3分,本大题满分15分)1. 1. 当当1x ®时，无穷小量x -1是x -1的( ).A. A. 高阶无穷小高阶无穷小; B. B. 低阶无穷小低阶无穷小;C. C. 等价无穷小等价无穷小;D. D. 同阶但不等价无穷小同阶但不等价无穷小. 2．若¥=®)(lim x f ax ，¥=®)(lim x g ax 则必有（）A. ¥=+®)]()([lim x g x f a x ;B. ¥=-®)]()([limx g x f a x ;C. 0)()(1lim=+®x g x f ax ; D. ¥=®)(lim x kf ax ，（0¹k 为常数）3.3.函数函数xx x x f p sin )(3-=的可去间断点个数为（）.A ．1; B. 2; C. 3; D. 1; B. 2; C. 3; D. 无穷多个无穷多个无穷多个. .4.设函数)(x f y =在点0x 处可导,且0)(0¹¢x f ，则xdy y xD -D ®D 0lim 等于（）.A. 0A. 0；；B. -1 B. -1；；C. 1 C. 1；；D. ¥ .5. 5. 设设)(x f 连续，且ò=24)(x x dt t f ，则)4(f = = （（）A. 2A. 2；；B. 4 B. 4；；C. 8 C. 8；；D. 16 . 三．解答下列各题解答下列各题((每小题6分,本大题满分18分)1．)3ln(tan 2x x y ×=，求dy .2．求由方程0)cos(=-+xy e y x 所确定的隐函数()y f x =在0x =处的导数处的导数. .3．设îíì=+=ty tx cos 12，求dx dy 和22dx y d 。

高数卷

天津轻工职业技术学院2010 —2011 学年度第一学期期末考试试卷 (A)科目：《高等数学》命题教师：谷秀珍一、选择题（每小题2分，共20分）1、设f(x)=ln5，则f(x+2)- f(x)=（）。

A 、ln7-ln5B 、ln7C 、ln5D 、0 2、当x →∞时，下列变量中是无穷小量的是（）.A 、x1B 、cosxC 、2x 2+ 1D 、x e3、11lim1--→x x x =（）。

A 、-1B 、1C 、0D 、不存在 4、如果lim ()x f x A -→=0，lim ()x f x A +→=0，则函数f(x)在x=0处（）。

A 、一定有定义B 、一定有极限C 、一定连续D 、一定间断 5、函数f(x)=│x-1│在x=1处（）。

A 、不连续 B 、连续但不可导 C 、连续且'f (1)=-1 D 、连续且'f (1)=1 6、当y=f(x)在点x 处取极值，则必有（）。

A 、 'f (x 0)=0B 、'f (x 0)不存在C 、''f (x 0)=0D 、'f (x 0)=0 或'f (x 0)不存在 7、下列等式中正确的是（）。

A 、()dx d x x -=211 B 、 ln ()xdx d x=1C d =D 、sin (cos )xdx d x =8. 函数()f x 在0x 可导，则0'()f x 等于（）A.00()()0limf x x f x x x -∆-∆∆→ B.00()()20limf x x f x x x -∆-∆∆→C.00()()0limf x x f x x x -∆--∆∆→ D.00()()lim f x x f x x x x -∆-+∆∆∆→9. f(x)的一个原函数为lnx ，则'f (x)=（） A 、xlnx B 、x 1 C 、-21xD 、x e 10、24xdxx =+⎰=（） A. 21ln(4)2x C ++ B. 2ln(4)x C ++C. 1arctan 22x C +D. arctan 22x xC +二、填空题(每小题2分，共20分)1、y=ln()x -12的定义域为。

高数必不挂-高等数学A(一)2010-2011(A)解答

第 1 页共 6 页上海海事大学试卷2010 — 2011 学年第一学期期末考试《高等数学A （一）》（A 卷）解答一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分3小题, 每小题4分, 共12分).)( ;)(;2)( ; 0)(2coslim 120不存在，但不是无穷大为无穷大　等于　等于）（的值为、D C ••B A •••A••••••••••••••••xx x +→个不同的实根　有有三个不同的实根有唯一实根无实根）（则方程适合、设5)()()()(0432,,53,,2352D C •••B A ••••B•••••c bx ax x b a b a =+++<　为正常数　恒为零为负常数　不为常数）（则、设)()()()()(,)(32sin D C •••B A •••D•••••••••••x F dt e x F •x •xt ⎰+=π二、填空题（将正确答案填在横线上）(本大题分2小题, 每小题4分, 共8分)1、的值为201lim x x e x x --→ 212、设a b c ,,均为非零向量，满足c b a a c b b a c ⨯=⨯=⨯=,,，b ++三计算题（必须有解题过程，否则不给分）（本大题分10小题，每题6分，共 60分）1、极限xx xx 2)4(lim +∞→ 884)41(lim e xxx =+=⋅∞→原式 6分2、)0(,)cos()(y y xy e x y y xy '=+=求确定由方程设--------------------------------------------------------------------------------------装订线第 2 页共 6 页解：y xy y x y y x y e xy '='+-'+)sin()()(， 4分2)0(,2.,0='==y y x 时当 6分3、．求dx xx••⎰--1145 解：令　，541452-==-x t x t () 1分原式=-⎰185213()t dt4分 =166分 4、.d )1(arctan x x x x⎰+求解：x x x xd )1(arctan ⎰+)d(arctan arctan 2x x ⎰= 3分C x +=2)(arctan 6分（遗留C 扣1分）5、．点处的连续性和可导性在试讨论，，已知　0)( , 00cos )(20=⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⎰x x f x •••x x tdt t x f •x •解：0)0(0lim )(lim )0(0cos lim )0(200====-==+--+→→→⎰f x x f f tdt t f x x xx 又 2分∴=　在点处连续f x x ()0 3分lim )0()(lim )0(0)cos (lim cos lim )0()(lim )0(200000==-='===-='--+++→→-→→→+⎰x x xf x f f x x xtdt t xf x f f x x x xx x 5分第 3 页共 6 页'==f f x x ()()000，在点处可导． 6分．，试求：斜率等于处的切线，且它在原点通过原点具有连续导数，又曲线、设函数xx dtt f •••x f y x f •x•x sin )(lim100)()(60⎰→=解：，，由题意知，1)0(0)0(='=f f 2分lim()sin lim ()sin cos x xx f t dt x x f x x x x→→⎰=+000 4分='-→lim()cos sin x f x x x x 02 5分='=12012f () 6分7、）为驻点，，使得点（中的试确定442,,,,23-+++=d c b a d cx bx ax y（1，—10）为拐点。

2010-2011年度高数I试题A答案(经院内招生用)(同济版)

2010-2011年度高数I试题A答案(经院内招生用)(同济版)暨南大学考试试卷一、填空题（将题目的正确答案填写在相应题目划线空白处。

共8小题，每小题2分，共16分）暨南大学《高等数学I 》试卷A 答案及评分（经济学院内招生用）1．2cos limx x tdt x→=⎰2．x →∞-= 03. 极限lim 2sin2n nn x→+∞=x(0x 为不为的常数）4. 函数20 1()2 1 121 2x f x x x x x <⎧⎪=+≤<⎨⎪+≤⎩的间断点是1x =5．设x y a =，则函数的n 阶导数()n y =(ln )n x a a ；6．若21()11x x f x ax x ⎧≤=⎨->⎩ 当a = 2 时，函数)f x （在1x =处可导. 7．已知某工厂生产某种商品，该产品的边际成本函数()3C x '=+，其固定成本为2000（元）则总成本为()20003C x x =++（元）， 8. 1sin dx x =⎰ln csc cot x x c -+二、单选题（在每小题的备选答案中选出一个正确的答案，并将正确答案的号码填在题干的括号内。

共8小题，每小题2分，共16分）1.下列数列中收敛的是（ C ）(A) {}(1)n n - (B) 1n n ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭(C)212n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭ (D) {}(1)n -2.若1lim(21)1x x →-=，则对于任意给定的0ε>，存在（B ）当01x δ<-<时总有(21)1x ε--<成立(A) δε= (B) 2εδ=(C) 3δε= (D) 4δε=解：31232lim lim 12112xx x x x x x x →∞→∞⎛⎫+ ⎪+⎛⎫= ⎪ ⎪+⎝⎭ ⎪+⎝⎭ …………2分 312lim 112xx x x x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭……………………3分 32123lim 121lim 12xx xx e x e e x →∞→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭===⎛⎫+ ⎪⎝⎭……………………5分2．(1ln lim xx x →+∞+解：()(11ln ln ln 1x xxx e++=……………………………1分而((ln 1lim ln lim lim1ln ln x x x x x x xx→+∞→+∞→+∞+===…………4分于是()1ln 1lim xx x e e →+∞+==………………………………5分3.sin 0x x x-→解：sin x x x -→03sin lim12x x x x →-= ………………………………………………2分21cos lim32x x x →-= ………………………………………………4分sin 1lim33x x x →== ………………………………………5分4．确定常数 a , b ,的值, 使 02 sin 1lim.2ln(1)d xx ba x xt t→-=+⎰解0sin 0x ax x →-→时,0.b ∴=………………………………2分原式=0022sin sin lim lim ln(1)d ln(1)d x x x x ba x x a x x t t t t →→--=++⎰⎰…………………………3分002200cos cos 1limlim ln(1)2x x a x a x x x →→--===+（） ………………………4分故lim cos x a x →-（）=0，从而1a = ………………………5分四、计算题（共4小题,每题6分,共24分）1．由方程1y y xe =+确定的函数()y f x =可导，求y '及 1x y =-''。

_高等数学(1)(A卷)

(A 卷)一填空题（每小题4分,共12分） 1．极限()=+-+-∞→2sin212lim 1πn n nnn .2．已知点()1,2是曲线()32y f x x ax bx ==++的拐点,则a = ,b = . 3．2sin cos 1cos x xdx x =+⎰.答案：1 2 . 2 a =,b =4 . 3()C x ++-2c o s 1ln 21.二、单选题(每小题4分,共12分，多选,错选均不得分)1．0tan tan44lim t t t→⎛⎫+- ⎪⎝⎭=ππ（）（A ） 2 （B ）2（C ）12（D ）2．函数()1ln 1f x x x=+，则()f x 有（）（A ）两个可去间断点（B ）两个无穷间断点（C ）一个可去间断点和一个跳跃间断点（D ）一个可去间断点和一个无穷间断点3．如果()f x 在[],a b 上连续，积分上限函数()[](),x af t dt x a b ∈⎰是（）（A ）常数（B ）函数()f x （C ）()f x 的一个原函数（D ）()f x 的所有原函数答案1 （ A ） 2 （ D ） 3 （ C ）三、计算题（每小题5分,共40分）1 求极限⎪⎭⎫ ⎝⎛---→311311lim x x x 。

解)1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim 1311lim 2122131x x x x x x x x x x x x x x x ++-+--=++--++=⎪⎭⎫ ⎝⎛---→→→112lim 21-=+++-=→xx x x .2 设函数()x f 可导，求函数()()xf x f y 22cos sin +=的导数dxdy 。

解y '=f'(sin 2x )⋅(sin 2x )'+f'(cos 2x )⋅(cos 2x )'= f '(sin 2x )⋅2sin x ⋅cos x +f '(cos 2x )⋅2cos x ⋅(-sin x ) =sin 2x [f '(sin 2x )- f '(cos 2x )]. 3 求参数方程⎩⎨⎧-==)()(')('t f t tf y t f x （设)(''t f 存在且不为零）所确定的函数的二阶导数22dx y d ： ,解t t f t f t f t t f x y dx dy t t ='''-''+'=''=)()()()()(1)(22t f x y dx y d t tx ''='''=。

2010-2011(1)高等数学(90)(A卷)解答

广州大学2010-2011学年第一学期考试卷高等数学Ⅰ1（90学时A 卷）参考解答与评分标准一．填空题(每小题3分,本大题满分15分)1．设函数⎩⎨⎧>≤=1||01||1)(x x x f ，则 )]([x f f = 1 ),(+∞-∞∈x 。

2．设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=0202sin )(x a x x x x x f ，当常数=a _2___时,)(x f 在0x =处连续.3．曲线x e y 2=上点（0，1）处的切线方程为 12+=x y二．选择题(每小题3分,本大题满分15分)1. 当1x →时，无穷小量x -1是x -1的( D ).A. 高阶无穷小;B. 低阶无穷小;C. 等价无穷小;D. 同阶但不等价无穷小.2．若∞=→)(lim x f a x ，∞=→)(lim x g ax 则必有（ D ） A. ∞=+→)]()([lim x g x f a x ; B. ∞=-→)]()([lim x g x f ax ; C. 0)()(1lim =+→x g x f a x ; D. ∞=→)(lim x kf a x ，（0≠k 为常数）3.函数xx x x f πsin )(3-=的可去间断点个数为（ C ）. A ．1; B. 2; C. 3; D. 无穷多个.4. 设函数)(x f y =在点0x 处可导, 则 x dy yx ∆-∆→∆0lim 等于（ A ）. A. 0； B. -1； C. 1； D. ∞ .5. 设)(x f 连续，且⎰=204)(x x dt t f ，则)4(f = （ C ）A. 2；B. 4；C. 8；D. 16 .三．解答下列各题(每小题6分,本大题满分18分)1．)3ln(tan 2x x y ⋅=，求dy .解: xx x x x y 3tan 3)3ln(sec tan 222+⋅⋅=' ………………….………….3分 x x x xx 23tan )3ln(cos sin 2+⋅= …………………….…..………..…….4分 dx x x x x x dy )tan )3ln(cos sin 2(23+⋅=……………………….…..……….6分2．求由方程0)cos(=-+xy e y x 所确定的隐函数()y f x =在0x =处的导数. 解: 把方程两边分别对x 求导数得0)()sin()1(='+⋅+'++y x y xy y e y x ……………………….…..…….4分当0x =时,0=y ,代入上式得1|0-='=x y …….……….………….…..…….6分3．设⎩⎨⎧=+=ty t x cos 12，求dx dy 和22dx y d 。

2010年高等代数(A)卷参考答案

2010高等代数1（A 卷）参考答案一、填空题 1．n <; 2. 0; 3. 1627-; 4. 0λ≠且3λ≠-; 5. 6,16a b =-= 二、判断题 6.⨯7.⨯8.√9.⨯ 10. √三、单项选择11. (D) 12. (B) 13. (A) 14. (B) 15 (B)四、解答题 16. 解： x+1∴ （f(x),g(x)）=x-3 （7分）17. 解：（4分）2131415143r r r r r r r r ---+−−−→3242523r r r r r r +-+−−−→1234511231111133542563157A ααααα⎛⎫⎪- ⎪⎪= ⎪- ⎪⎪----⎝⎭1213141511123021202120636402123ααααααααα⎛⎫ ⎪---- ⎪ ⎪- ⎪---- ⎪ ⎪+⎝⎭12132142152111230212000020000300002αααααααααααα⎛⎫⎪---- ⎪⎪+- ⎪-- ⎪ ⎪++⎝⎭∴12345()2,r α,α,α,α,α=12α,α是它的一个极大无关组，（6分）且3124125123α=2α-α,α=α+α,α=-2α-α （7分） 18．解：方程组的系数行列式为（1分）（1）当2k ≠-且1k ≠ 时，方程组有唯一解; （2分）（2）2k =-时，（3）()3()2R A R A =≠=，此时，方程组无解; （4分）（3）1k =，此时方程组有无穷多解，（6分）通解为：1212111010,,001k k k k k R --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

（7分）19．解：因为A = ，所以A 可逆，（2分）则（3分） 21111(2)(1)11k k k k k=+-111111111111A ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭111100000000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭2131r r r r --−−−→()()13R A R A n ==<=015153522321≠=1123123x x A x -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211112121124A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭13112412122111r r ↔-⎛⎫ ⎪→-- ⎪ ⎪-⎝⎭21212112403360339r r r r -+-⎛⎫ ⎪→-- ⎪ ⎪-⎝⎭2132112403360003r r r r -+-⎛⎫ ⎪→-- ⎪⎪⎝⎭()123100123100123100123100225010021210018301018301351001018301021210001541211221201005551381010151515412001151515A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∣E =→---→---→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫--⎪⎪ ⎪→---→ ⎪⎪ ⎪-⎪⎝⎭31341515151381010151515412001151515⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭即 1231341515151381151515412151515A -⎛⎫- ⎪⎪ ⎪=- ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭（6分）则（7分）20．解：二次型的矩阵为（1分）()21311212213113111221122400110110100221100112240211002110042211011201010201010010022110001210001200001r r r r r r c c c c c c r r c A -+++-+←−→←→--⎛⎫- ⎪⎛⎫---⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪∣E =-−−−→-−−−→-−−−→ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭3111110011001222211110100010022220041111001022c −----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪−−−−→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭123231341515151113812015151530412151515x x x ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭021201110A -⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪⎝⎭则非退化线性变换X CY == （6分）把二次型()123,,f x x x 化222123x x x +- 。

2010-2011第一学期末考试参考答案

2010—2011学年第一学期高等数学期末考试试题参考答案一、选择题（每小题4分，共20分）BBADD二、填空题（每小题4分，共20分）1、x cot2、03、xx x f 1)(+= 4、 232x e x 5、7 三、计算题（每小题5分，共10分）1、 xx x 21lim ++∞→ 解：原式＝ 11lim 2++∞→x x ――――――――――------―--――3’ ＝１ -----------------------------------------5’2、设x e y cos =，求y ''.解：)sin ('cos x e y x -=――――――――――――--------------―3’)cos (sin cos 2cos x e x e y x x -+='' ----------------------------5’四、计算题（每小题6分，共30分）1、求 ⎰+dx xx x 2cos 1cos sin 解：原式 =)cos 1(cos 112122x d x++-⎰―――――――――――――5’ = C x ++-)cos 1ln(212------------------------------6’ 2、求⎰dx xx ln ln 解：令x u ln =,则原式＝⎰udu ln ――――――――――---―――４’＝C u u u +-ln ―――――---――――---―5’＝C x x x +-ln ln ln ln -—--——------------6’3、求 dx x x x ⎰++31222121)( 解：原式＝dx x x x x ⎰+++312222)1()1(――――――――――――------―２’＝3131|)1(|arctan xx -+――――――――――――------―5’ =13312+-π-—--——-------------------------------6’ 4、求⎰-++3342251dx x x x x sin 解：因为积分函数为奇函数及积分区间关于原点对称，故积分为０. --6’ 5、求 2001xdt t xx ⎰+→)ln(lim解：原式＝xx x 2)1ln(lim 0+→ ―――――――――――----――--―5’ ＝21 --——--------------------――---------－--6’ 五、(10分) 求由抛物线2x y =与直线2+=x y 所围成的图形的面积. 解：如图（２分）阴影部分面积 292212=-+=⎰-dx x x S -------------------------１０’ 六、(10分) 某企业生产某种商品,假设产量等于销售量,都用q 表示,商品单价用p （单位：元）表示.设销售量q 是单价p 的函数，;8012000p q -=而商品的总成本C 又是产量q 的函数,q C 5025000+=.每销售一件商品需要纳税2元，试求(1) 总收益)(p R 和总利润)(p L 的表达式；(2) 使销售利润最大的商品单价p 和最大利润额。