浙江省绍兴市八年级(上)期末数学试卷

八年级（上）期末数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.已知三角形的两边长分别为8和4，则第三边长可能是（ ）A. 3B. 4C. 8D. 122.在平面直角坐标系中，点P（-3，2）关于x轴的对称点的坐标为（ ）A. B. C. D.(2,−3)(−2,3)(−3,2)(−3,−2)3.在△ABC中，∠A是钝角，下列图中画BC边上的高线正确的是（ ）A. B.C. D.4.如图，AB=DB，∠1=∠2．请问添加下面哪个条件不能判断△ABC≌△DBE的是（ ）A. AC=DEB. BC=BEC. ∠A=∠DD. ∠ACB=∠DEB5.下列选项中，可以用来证明命题“若|a|＞0，则a＞0”是假命题的反例的是（ ）A. B. C. D.a=−1a=0a=1a=26.有下列说法：①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；145②三边长为，，3的三角形为直角三角形；③等腰三角形的两条边长为2，4，则等腰三角形的周长为10；④一边上的中线等于这边长的一半的三角形是等腰直角三角形．其中正确的个数是（ ）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个7.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边长AC =6cm ，BC =8cm ，将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则CD 等于（ ）A. B. C. D. 254cm223cm 74cm 53cm 8.如图，直线y =-x +m 与y =nx +4n 的交点的横坐标为-2，则关于x 的不等式nx +4n ＞-x +m ＞0的整数解可能是（ ）A. 1B. −1C. −2D. −39.已知等腰三角形的周长是10，底边长y 是腰长x 的函数，则下列图象中，能正确反映y 与x 之间函数关系的图象是（ ）A. B.C. D.10.如图在△ABC ，△ADE 中，∠BAC =∠DAE =90°，AB =AC ，AD =AE ，点C ，D ，E 三点在同一条直线上，连接BD ，BE ．以下四个结论：①BD =CE ；②BD ⊥CE ；③∠ACE +∠DBC =45°；④∠ACE =∠DBC ；⑤BE 2＜2（AD 2+AB 2），其中结论正确的个数有（ ）A. 5B. 4C. 3D. 2二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）11.若函数y =5x +a -2是y 关于x 的正比例函数，则a ______．12.已知在△ABC 中，∠C =∠A +∠B ，则△ABC 的形状是______．13.把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式：______．14.在平面直角坐标系中，若直线y =kx +b 经过第一、三、四象限，则直线y =bx +k 不经过的象限是______．15.在△ABC 中，与∠A 相邻的外角是140°，要使△ABC 是等腰三角形，则∠B 的度数是______．16.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（0，3），△OAB 沿x 轴向右平移后得到△O ′A ′B ′，点A 的对应点A ′在直线y =x 上，则点B 与其对应点B ′间34的距离为______．17.如图，△ABC 是等边三角形，点D 是BC 边上任意一点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ．若BC =2，则DE +DF =______．18.在△ABC 中，将∠B 、∠C 按如图方式折叠，点B 、C 均落于边BC 上一点G 处，线段MN 、EF 为折痕．若∠A =80°，则∠MGE =______°．19.在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ），我们把P ′（-y +3，x +3）叫做点P 的伴随点，已知点A 1的伴随点为A 2，点A 2的伴随点为A 3，点A 3的伴随点为A 4，…，这样依次得到点A 1，A 2，A 3，…，A n ，…．若点A 1的坐标为（a ，b ），对于任意的正整数n ，点A n 均在x 轴上方，则a 的取值范围是______．20.如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =5，D 为AC的中点，过点A 作AE ∥BC ，连接BE ，∠EBD =∠CBD ，BD =6.5，则BE 的长为______．三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）21.解下列不等式（组）：（1）5x -4＜2（x +4）（2）．{5x +3≥2x3x−12＜422.问题背景：在△ABC 中，AB 、BC 、AC 三边的长分别为、、，求此三角51013形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC （即△ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求△ABC 的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你将△ABC 的面积直接填写在横线上：______．思维拓展：（2）我们把上述求△ABC 面积的方法叫做构图法．如果△ABC 三边的长分别a 、5a 、a （a ＞0），请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a ）画出817相应的△ABC ，并求出它的面积．23.如图，在△ABC 中，AB =AC ，AC 的垂直平分线分别交AB 、AC于点D 、E ．（1）若∠A=40°，求∠DCB的度数；（2）若AE=5，△DCB的周长为16，求△ABC的周长．24.甲、乙两人同时从相距90千米的A地前往B地，甲乘汽车，乙骑摩托车，甲到达B地停留半小时后返回A地．如图是他们离A地的距离y（千米）与时间x（时）之间的函数关系图象．（1）求甲从B地返回A地的过程中，y与x之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）若乙出发后2小时和甲相遇，求乙从A地到B地用了多长时间？25.已知点P（2a-12，1-a）位于第三象限，点Q（x，y）位于第二象限且是由点P向上平移一定单位长度得到的．（1）若点P的纵坐标为-3，试求出a的值；（2）在（1）题的条件下，试求出符合条件的一个点Q的坐标；（3）若点P的横、纵坐标都是整数，试求出a的值以及线段PQ长度的取值范围．26.观察发现：如图1，OP平分∠MON，在OM，ON上分别取OA，OB，使OA=OB，再在OP上任取一点D，连接AD，BD．请你猜想AD与BD之间的数量关系，并说明理由．拓展应用：如图2，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，AD，CE相交于点F，请你写出FE与FD之间的数量关系，并说明理由．327.如图，在平面直角坐标系中，A（-4，0）、B（0，-4），D为直线AB上一点，3且D点横坐标为-，y轴上有一动点P，直线l经过D、P两点．（1）求直线AB的表达式和D点坐标；（2）当∠ADP=105°时，求点P坐标；3（3）在直线l上取点Q（m，n）且mn=3，现过点Q作QM⊥y轴于M，QN⊥x 轴于N．问：是否存在点P，使得直线DQ分长方形ONQM为两部分，其中所分成的三角形面积是△PDB面积的一半？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：设第三边的长为x，∵三角形两边的长分别是4和8，∴8-4＜x＜8+4，即4＜x＜12．故选：C．设第三边的长为x，再由三角形的三边关系即可得出结论．本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．2.【答案】D【解析】解：点P（-3，2）关于x轴的对称点的坐标为：（-3，-2）．故选：D．利用关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，-y），进而求出即可．此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标关系是解题关键．3.【答案】D【解析】解：过点A作直线BC的垂线段，即画BC边上的高，所以画法正确的是D．故选：D．三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．根据概念可知．考查了三角形的高的概念，能够正确作三角形一边上的高．4.【答案】A【解析】解：A、添加AC=DE，SSA不能判定△ABC≌△DBE，故错误；B、添加BC=BE，可根据SAS判定△ABC≌△DBE，故正确；C、添加∠A=∠D，可根据ASA判定△ABC≌△DBE，故正确；D、添加∠ACB=∠DEB，可根据ASA判定△ABC≌△DBE，故正确．故选：A．本题要判定△ABC≌△DBE，依据AB=DB，∠1=∠2，具备了一组边一个角对应相等，对选项一一分析，选出正确答案．本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．解：结论：“若|a|＞0，则a＞0”是假命题，理由：当a=-1时，|a|＞0，但是a＜0，故选：A．根据绝对值的意义判断即可；本题考查命题与定理，解题的关键是熟练掌握绝对值的性质，属于中考基础题．6.【答案】B【解析】解：①符合等边三角形的推论；故此选项正确；②因为（）2=（）2+32所以该三角形为直角三角形；故此选项正确；③因为当其两腰均为2时，两边之和等于第三边不符合三角形三边关系，故其周长只能为10；故此选项正确；④符合全等三角形的判定中的HL；故此选项正确；⑤一边上的中线等于这边长的一半的三角形是直角三角形；故此选项错误；所以正确的有3个．故选：B．根据等腰三角形以及等边三角形的性质分别进行分析，从而确定正确的个数即可．此题主要考查了学生对等腰三角形的性质，三角形三边关系及等边三角形的判定等知识点的综合运用能力．7.【答案】C【解析】解：∵△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，∴DA=DB，设CD=xcm，则BD=AD=（8-x）cm，在Rt△ACD中，∵CD2+AC2=AD2，∴x2+62=（8-x）2，解得x=，即CD的长为．故选：C．根据折叠的性质得DA=DB，设CD=xcm，则BD=AD=（8-x）cm，在Rt△ACD 中利用勾股定理得到x2+62=（8-x）2，然后解方程即可．本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理．解：∵直线y=-x+m与y=nx+4n的交点的横坐标为-2，∴关于x的不等式nx+4n＞-x+m的解集为x＞-2，∵-x+m＞0∴由图象可知，x＜0∴-2＜x＜0∴整数解可能是-1．故选：B．满足关于x的不等式nx+4n＞-x+m＞0就是在x轴的上方且直线y=nx+4n位于直线y=-x+m的上方的图象，据此求得自变量的取值范围，进而求解即可．本题考查了一次函数的图象和性质以及与一元一次不等式的关系，要熟练掌握．9.【答案】D【解析】解：由题意得，2x+y=10，所以，y=-2x+10，由三角形的三边关系得，，解不等式①得，x＞2.5，解不等式②的，x＜5，所以，不等式组的解集是2.5＜x＜5，正确反映y与x之间函数关系的图象是D选项图象．故选：D．先根据三角形的周长公式求出函数关系式，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出x的取值范围，然后选择即可．本题考查了一次函数图象，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，难点在于利用三角形的三边关系求自变量的取值范围．10.【答案】B【解析】解：①∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，∵在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD=CE，故①正确；②∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE，∵∠ABD+∠DBC=45°，∴∠ACE+∠DBC=45°，∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，则BD⊥CE，故②正确；③∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ABD+∠DBC=45°，∵∠ABD=∠ACE∴∠ACE+∠DBC=45°，故③正确；④∵BD⊥CE，∴在Rt△BDE中，利用勾股定理得：BE2=BD2+DE2，∵△ADE为等腰直角三角形，∴DE=AD，即DE2=2AD2，∴BE2=BD2+DE2=BD2+2AD2，∴BE2＜2（AD2+AB2），故④正确，综上，正确的个数为4个．故选：B．①由AB=AC，AD=AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出三角形ABD与三角形ACE全等，由全等三角形的对应边相等得到BD=CE；②由三角形ABD与三角形ACE全等，得到一对角相等，再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE；③由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC=45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC=45°；④由BD垂直于CE，在直角三角形BDE中，利用勾股定理列出关系式，等量代换即可作出判断．此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．11.【答案】=2【解析】解：∵一次函数y=5x+a-2是正比例函数，∴a-2=0，解得：a=2．故答案为：=2．一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，由此可得a-2=0，解出即可．本题考查了正比例函数的定义，正比例函数y=kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1．12.【答案】直角三角形【解析】解：∵在△ABC中，∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∴2∠C=180°，解得∠C=90°，∴△ABC是直角三角形．故选：C．根据在△ABC中，∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°可求出∠C的度数，进而得出结论．本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．13.【答案】如果两个角是对顶角，那么它们相等【解析】解：题设为：对顶角，结论为：相等，故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么它们相等，故答案为：如果两个角是对顶角，那么它们相等．命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面．本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．14.【答案】第三象限【解析】解：由一次函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，∴k＞0，b＜0，∴直线y=bx+k经过第一、二、四象限，∴直线y=bx+k不经过第三象限，故答案为：第三象限根据图象在坐标平面内的位置关系确定k，b的取值范围，从而求解．本题考查一次函数图象与系数的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．15.【答案】40°或70°或100°【解析】解：∠A=180°-140°=40°．当AB=AC时，∠B=∠C=70°；当BC=BA时，∠A=∠C=40°，则∠B=100°；当CA=CB时，∠A=∠B=40°．故答案为：40°或70°或100°．依据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质进行判断即可．本题主要考查的是等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．16.【答案】4【解析】解：如图，连接AA′、BB′．∵点A的坐标为（0，3），△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，∴点A′的纵坐标是3．又∵点A的对应点在直线y=x上一点，∴3=x，解得x=4．∴点A′的坐标是（4，3），∴AA′=4．∴根据平移的性质知BB′=AA′=4．故答案为4．根据平移的性质知BB′=AA′．由一次函数图象上点的坐标特征可以求得点A′的坐标，所以根据两点间的距离公式可以求得线段AA′的长度，即BB′的长度．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化--平移．根据平移的性质得到BB′=AA′是解题的关键．17.【答案】3【解析】解：设BD=x，则CD=2-x．∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°．由三角函数得，ED=x，同理，DF=．∴DE+DF=x+=．根据题中所给的条件，在直角三角形中解题．运用三角函数的定义求解．此题主要考查了学生运用等边三角形的性质及常用三角函数来解直角三角形的能力．18.【答案】80【解析】解：∵线段MN、EF为折痕，∴∠B=∠MGB，∠C=∠EGC，∵∠A=80°，∴∠B+∠C=180°-80°=100°，∴∠MGB+∠EGC=∠B+∠C=100°，∴∠MGE=180°-100°=80°，故答案为：80．由折叠的性质可知：∠B=∠MGB，∠C=∠EGC，根据三角形的内角和为180°，可求出∠B+∠C的度数，进而得到∠MGB+∠EGC的度数，问题得解．本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，解题的关键是利用整体思想得到∠MGB+∠EGC的度数．19.【答案】-3＜a＜3【解析】解：由题意知：∵A1=（a，b），∴A1的伴随点A2（-b+3，a+3），∴A2的伴随点A3（-a，-b+6），∴A3的伴随点A4（b-3，-a+3），∴A4的伴随点A5（a，b），∴通过观察每5个数一循环又∵对于任意的正整数n，点A n均在x轴上方∴对于任意的正整数n，点A n的纵坐标都是大于0∴解得：-3＜a＜3∴a的取值范围为：-3＜a＜3根据题干知道伴随点的概念，先列出前几个伴随点数值，找出其中的规律，发现5个数一循环，所以我们只要让前5个伴随点的纵坐标大于0 就可以做到所有的伴随点的纵坐标都大于0，即可解答本题．本题考查的是根据新概念题型，结合新概念找到题目的规律，最终解答问题．20.【答案】16924【解析】解：作BH⊥AC于H．∵∠ABC=90°，AD=DC，∴AC=2BD=13，BC==13，∵BH⊥AC，∴•AB•BC=•AC•BH，∴BH=，∵BD=CD，∴∠DBC=∠C，∵∠ADB=∠DBC+∠C，∴∠ADB=2∠DBC，∵∠EBD=∠CBD，∴∠EBC=2∠DBC，∵AE∥BC，∠ABC=90°∴∠E=∠EBC，∠BAE=180°-90°=90°，∴∠E=∠ADB，∠BAE=∠BHD=90°，∴△BAE∽△BHD，∴=，∴=，∴BE=．故答案为．作BH⊥AC于H．解直角三角形求出BH，再证明△BAE∽△BHD，可得=，由此即可解决问题．本题考查直角三角形斜边中线的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．21.【答案】解：（1）5x -4＜2（x +4），去括号得，5x -4＜2x +8，移项、合并同类项得，3x ＜12，系数化为1得，x ＜4．（2）{5x +3≥2x ①3x−12＜4②解①得x ≥-1，解②得x ＜3，所以不等式组的解集为-1≤x ＜3．【解析】（1）移项，合并同类项，即可求得不等式的解集；（2）首先解每个不等式，然后确定两个不等式的解集的公共部分，即是不等式组的解集．本题主要考查了一元一次不等式（组），其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．22.【答案】3.5【解析】解：（1）△ABC 的面积=3×3-×1×2-×1×3-×2×3=9-1--3=9-5.5=3.5；故答案为：3.5；（2）△ABC 如图所示，△ABC 的面积=2a•4a-×2a•a-×2a•2a-×4a•a=8a 2-a 2-2a 2-2a 2=3a 2．（1）利用△ABC 所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解；（2）先作出以a 、2a 为直角边的三角形的斜边，再根据勾股定理和网格结构作出a 、a 的长度，然后顺次连接即可；再根据三角形所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解．本题考查了勾股定理，读懂题目信息并熟练掌握网格结构和勾股定理准确找出对应点的位置是解题的关键．23.【答案】解：（1）∵在△ABC 中，AB =AC ，∠A =40°，∴∠ABC =∠ACB ==70°，180°−40°2∵DE 垂直平分AC ，∴DA =DC ，∴在△DAC 中，∠DCA =∠A =40°，∴∠DCB =∠ACB -∠ACD =30°；（2）∵DE 垂直平分AC ，∴DA =DC ，EC =EA =5，∴AC =2AE =10，∴△ABC 的周长为：AC +BC +BD +DA =10+BC +BD +DC =10+16=26．【解析】（1）由在△ABC 中，AB=AC ，∠A=40°，根据等腰三角形的性质，可求得∠ACB 的度数，又由线段垂直平分线的性质，可得AD=CD ，即可求得∠ACD 的度数，继而求得答案；（2）由AE=5，△DCB 的周长为16，即可求得△ABC 的周长．此题考查了线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．24.【答案】解：（1）设甲从B 地返回A 地的过程中，y 与x 之间的函数关系式为y =kx +b ，根据题意得：，{3k +b =01.5k +b =90解得，{k =−60b =180∴y =-60x +180（1.5≤x ≤3）；（2）当x =2时，y =-60×2+180=60．∴骑摩托车的速度为60÷2=30（千米/时），∴乙从A 地到B 地用时为90÷30=3（小时）．【解析】（1）首先设y 与x 之间的函数关系式为y=kx+b ，根据图象可得直线经过（1.5，90）（3，0），利用待定系数法把此两点坐标代入y=kx+b ，即可求出一次函数关系式；（2）利用甲从B 地返回A 地的过程中，y 与x 之间的函数关系式算出y 的值，即可得到2小时时骑摩托车所行驶的路程，再根据路程与时间算出摩托车的速度，再用总路程90千米÷摩托车的速度可得乙从A 地到B 地用了多长时间．此题主要考查了一次函数的应用，关键是看懂图象所表示的意义，利用待定系数法求出甲从B 地返回A 地的过程中，y 与x 之间的函数关系式．25.【答案】解：（1）1-a =-3，a =4．（2）由a =4得：2a -12=2×4-12=-4，又点Q （x ，y ）位于第二象限，所以y ＞0；取y =1，得点Q 的坐标为（-4，1）．（3）因为点P （2a -12，1-a ）位于第三象限，所以，{2a−12<01−a <0解得：1＜a ＜6．因为点P 的横、纵坐标都是整数，所以a =2或3或4或5；当a =2时，1-a =-1，所以PQ ＞1；当a =3时，1-a =-2，所以PQ ＞2；当a =4时，1-a =-3，所以PQ ＞3；当a =5时，1-a =-4，所以PQ ＞4．【解析】（1）点P 的纵坐标为-3，即1-a=-3；解可得a 的值；（2）根据题意：由a=4得：2a-12=-4；进而根据又点Q （x ，y ）位于第二象限，所以y ＞0；取符合条件的值，可得Q 的坐标；（3）根据点P （2a-12，1-a ）位于第三象限，且横、纵坐标都是整数，可得；解而求其整数解可得a 的值以及线段PQ 长度的取值范围．此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．26.【答案】解：（1）AD =BD ．理由：∵OP 平分∠MON ，∴∠DOA =∠DOB ，∵OA =OB ，OD =OD ，∴△OAD ≌△OBD ，∴AD =DB ．（2）FE =FD ．理由：如图2，在AC 上截取AG =AE ，连接FG ，∴△AEF ≌△AGF ，∴∠AFE =∠AFG ，FE =FG ．∵∠ACB 是直角，即∠ACB =90°，又∵∠B =60°，∴∠BAC =30°，∵AD ，CE 分别是∠BAC ，∠BCA 的平分线，∴∠FAC +∠FCA =15°+45°=60°=∠AFE ，∴∠AFE =∠AFG =∠CFD =60°，∴∠CFG =180°-60°-60°=60°，∴∠CFG =∠CFD ，又FC 为公共边，∴△CFG ≌△CFD ，∴FG =FD ，∴FE =FD ．【解析】（1）只要证明△OAD ≌△OBD 即可；（2）如图2，在AC 上截取AG=AE ，连接FG ，只要证明△AEF ≌△AGF ，△CFG ≌△CFD 即可解决问题；本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．27.【答案】解：（1）设直线AB 的函数表达式为y =kx +b （k ≠0），将A （-4，0），B （0，-4）代入y =kx +b ，得：，3{−43k +b =0b =−4解得：，{k =−33b =−4∴直线AB 的函数表达式为y =-x -4．33当x =-时，y =-x -4=-3，333∴点D 的坐标为（-，-3）．3（2）当∠ADP =105°时，过点D 作DC ⊥y 轴于点C ，则点C 的坐标为（0，-3），如图1所示．∵点A 的坐标为（-4，0），点B 的坐标为（0，3-4），∴OA =4，OB =4，AB ==8，3OA 2+OB 2∴OB =AB ，12∴∠BAO =30°，∠ABO =60°，∴∠CPD =∠ADP -∠ABO =105°-60°=45°，∴△PCD 为等腰直角三角形．∵BC =4-3=1，∴CD =，3∴PC =CD =，3∴点P 的坐标为（0，-4+1+），即（0，-3+）．33（3）∵mn =3，3∴点Q 的坐标为（m ，），33m ∵点D 的坐标为（-，-3），3∴直线l 的函数表达式为y =x +-3（可利用待定系3m 33m 数法求出）．分两种情况考虑（如图2）：①当直线l 与x 轴的交点在正半轴时，设该点为E ，则点E 的坐标为（m -，0），点P 的坐标为（0，333m -3），∵S △PBD =2S △QEN ，∴×（-3+4）=2×××，即3+m =6，12333m 12333m 33解得：m =3，3∴-3=-2，33m∴点P 的坐标为（0，-2）；②当直线l 与x 轴的交点在负半轴时，点P 的坐标为（0，-3），33∵S △PBD =2S △QEN ，∴×（-3+4）=2×m •（-+3），即6m 2-m -9=0，12333m 1233m 33m 3第21页，共21页解得：m 1=，m 2=，3+219123−21912∵m -＞-，33∴m ＞0，∴m 2=（舍去），3−21912∴-3=-3=-3，33363219+318(73−1)∴点P 的坐标为（0，-3）．18(73−1)35综上所述：存在符合题意得点P ，点P 的坐标为（0，-2）或（0，-3）．18(73−1)35【解析】（1）根据点A ，B 的坐标，利用待定系数法可求出直线AB 的函数表达式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点D 的坐标；（2）当∠ADP=105°时，过点D 作DC ⊥y 轴于点C ，由点A ，B 的坐标可得出OA ，OB 的长度，利用勾股定理可求出AB 的长度，由OB ，AB 之间的关系可得出∠BAO=30°，∠ABO=60°，利用三角形外角的性质可得出∠CPD=45°，进而可得出△PCD 为等腰直角三角形，由BC 的长可得出CD ，PC 的长，再结合点B 的坐标即可得出点P 的坐标；（3）由mn=3可得出点Q 的坐标为（m ，），利用待定系数法可求出直线l 的函数表达式，分直线l 与x 轴的交点在y 轴的两侧考虑：①当直线l 与x 轴的交点在正半轴时，设该点为E ，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点P ，E 的坐标，由S △PBD =2S △QEN 可得出关于m 的一元一次方程，解之即可得出m 的值，再将其代入点P 的坐标中即可得出结论；②当直线l 与x 轴的交点在负半轴时，点P 的坐标为（0，-3），由S △PBD =2S △QEN 可得出关于m 的一元二次方程，解之即可得出m 的值，取其正值，再将其代入点P 的坐标中即可得出结论．综上，此题得解．本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形、解含30度角的直角三角形、三角形的面积以及解一元一次（二次）方程，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出直线AB 的函数表达式；（2）通过解含30度角的直角三角形找出CD ，PC 的长度；（3）由两三角形面积之间的关系，列出关于m 的一元一次（二次）方程．。