第33届全国中学生物理竞赛决赛试题
2016年第33届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案
参考解答：
如图 a 所示，光线 1 在上侧柱面 P 点处傍轴垂直入射，入射角为 ，折 射角为0 ，由折射定律有
e1
zP
x2 2R1
， e2
zQ
y2 2R2
⑬
最后，光线在上、下两个柱面反射并相遇时, 其光程差 L 为
L 2n0
zP zQ
2
2n0
e1
e2
2
x2 y2 x2 y2
2n0
2R1
2R2
2
n0
R1
R2
2
⑭
若 P、Q 两点在 XOY 平面的投影点 (x, y) 落在第 k 级亮(暗)纹上，则 L 须满足条件
第 33 届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答
一、（20 分）如图，上、下两个平凸透光柱面的 半径分别为 R1 、R2 ，且两柱面外切；其剖面（平 面）分别平行于各自的轴线，且相互平行；各 自过切点的母线相互垂直。取两柱面切点 O 为 直角坐标系 O-XYZ 的原点，下侧柱面过切点 O 的母线为 X 轴，上侧柱面过切点 O 的母线为 Y 轴。一束在真空中波长为 的可见光沿 Z 轴负 方向傍轴入射，分别从上、下柱面反射回来的光线会发生干涉；借助于光学读数显微镜，逆着 Z 轴方向，可观测到原点附近上方柱面上的干涉条纹在 X-Y 平面的投影。 R1 和 R2 远大于傍轴光线 干涉区域所对应的两柱面间最大间隙。空气折射率为 n0 1.00 。试推导第 k 级亮纹在 X-Y 平面的 投影的曲线方程。
33全国中学生物理竞赛复赛真题(整好)
第33届全国中学生物理竞赛复赛试题一、（20分）如图，上、下两个平凸透光柱面的半径分别为1R 、2R ，且两柱面外切；其剖面（平面）分别平行于各自的轴线，且相互平行；各自过切点的母线相互垂直。
取两柱面切点O 为直角坐标系O-XYZ 的原点，下侧柱面过切点O 的母线为X 轴，上侧柱面过切点O 的母线为Y 轴。
一束在真空中波长为λ的可见光沿Z 轴负方向傍轴入射，分别从上、下柱面反射回来的光线会发生干涉；借助于光学读数显微镜，逆着Z 轴方向，可观测到原点附近上方柱面上的干涉条纹在X-Y 平面的投影。
1R 和2R 远大于傍轴光线干涉区域所对应的两柱面间最大间隙。
空气折射率为0 1.00n =。
试推导第k 级亮纹在X-Y 平面的投影的曲线方程。
已知：a. 在两种均匀、各向同性的介质的分界面两侧，折射率较大（小）的介质为光密（疏）介质；光线在光密（疏）介质的表面反射时，反射波存在（不存在）半波损失。
任何情形下，折射波不存在半波损失。
伴随半波损失将产生大小为π的相位突变。
b. sin , 1x x x ≈<<当。
二、（20分）某秋天清晨，气温为4.0C ︒，一加水员到实验园区给一内径为2.00 m 、高为2.00 m 的圆柱形不锈钢蒸馏水罐加水。
罐体导热良好。
罐外有一内径为4.00 cm 的透明圆柱形观察柱，底部与罐相连（连接处很短），顶部与大气相通，如图所示。
加完水后，加水员在水面上覆盖一层轻质防蒸发膜（不溶于水，与罐壁无摩擦），并密闭了罐顶的加水口。
此时加水员通过观察柱上的刻度看到罐内水高为1.00 m 。
（1）从清晨到中午，气温缓慢升至24.0C ︒，问此时观察柱内水位为多少？假设中间无人用水，水的蒸发及罐和观察柱体积随温度的变化可忽略。
（2）从密闭水罐后至中午，罐内空气对外做的功和吸收的热量分别为多少？求这个过程中罐内空气的热容量。
已知罐外气压始终为标准大气压50 1.0110Pa p =⨯，水在4.0C ︒时的密度为330 1.0010kg m ρ-=⨯⋅，水在温度变化过程中的平均体积膨胀系数为413.0310K κ--=⨯，重力加速度大小为29.80m s g -=⋅，绝对零度为273.15C -︒。
第33届全国中学生物理竞赛复赛试题解答
第 33 届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答2016 年 9 月 17 日一、（20 分）如图，上、下两个平凸透光柱面的半径分别为R1 、R2，且两柱面外切；其剖面（平面）分别平行于各自的轴线，且相互平行；各自过切点的母线相互垂直。
取两柱面切点O 为直角坐标系O-XYZ 的原点，下侧柱面过切点O的母线为X 轴，上侧柱面过切点O 的母线为Y轴。
一束在真空中波长为λ的可见光沿Z 轴负方向傍轴入射，分别从上、下柱面反射回来的光线会发生干涉；借助于光学读数显微镜，逆着Z轴方向，可观测到原点附近上方柱面上的干涉条纹在X-Y 平面的投影。
R1 和R2远大于傍轴光线干涉区域所对应的两柱面间最大间隙。
空气折射率为n= 1.00 。
试推导第k 级亮纹在X-Y 平面的投影的曲线方程。
已知：a. 在两种均匀、各向同性的介质的分界面两侧，折射率较大（小）的介质为光密（疏）介质；光线在光密（疏）介质的表面反射时，反射波存在（不存在）半波损失。
任何情形下，折射波不存在半波损失。
伴随半波损失将产生大小为π 的相位突变。
b. sin x ≈x, 当x << 1 。
参考解答：如图 a 所示，光线1 在上侧柱面P 点处傍轴垂直入射，入射角为θ，折射角为θ，由折射定律有n sinθ=n0 sinθ0 ①其中n 和n分别玻璃与空气的折射率。
光线在下侧柱面Q 点处反射，入射角与反射角分别为i 和i'，由反射定律有i =i'②光线在下侧柱面Q 点的反射线交上侧柱面于P'点，并由P'点向上侧柱面折射，折射光线用1'表示；光线1''正好与P'点处的入射光线2 的反射光线2'相遇，发生干涉。
考虑光波反射时的半波损失，光线1''与光线2'在P'点处光程差∆L 为∆L =⎡n(-z ) +n (PQ + P'Q) +λ⎤-n(-z ) =n (PQ + P'Q) -n(z -z ) +λ③⎣⎢p 0 2 ⎥⎦ p'0 p p'2r 式中λ 为入射光线在真空中的波长， n 0 = 1.00 。
第33届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答word版
第33届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答一、（20分）如图，上、下两个平凸透光柱面的半径分别为1R 、2R ，且两柱面外切；其剖面（平面）分别平行于各自的轴线，且相互平行；各自过切点的母线相互垂直。
取两柱面切点O 为直角坐标系O-XYZ 的原点，下侧柱面过切点O 的母线为X 轴，上侧柱面过切点O 的母线为Y 轴。
一束在真空中波长为λ的可见光沿Z 轴负方向傍轴入射，分别从上、下柱面反射回来的光线会发生干涉；借助于光学读数显微镜，逆着Z 轴方向，可观测到原点附近上方柱面上的干涉条纹在X-Y 平面的投影。
1R 和2R 远大于傍轴光线干涉区域所对应的两柱面间最大间隙。
空气折射率为0 1.00n =。
试推导第k 级亮纹在X-Y 平面的投影的曲线方程。
已知：a. 在两种均匀、各向同性的介质的分界面两侧，折射率较大（小）的介质为光密（疏）介质；光线在光密（疏）介质的表面反射时，反射波存在（不存在）半波损失。
任何情形下，折射波不存在半波损失。
伴随半波损失将产生大小为π的相位突变。
b. sin , 1x x x ≈<<当。
参考解答：如图a 所示，光线1在上侧柱面P 点处傍轴垂直入射，入射角为θ，折射角为0θ，由折射定律有00sin sin n n θθ= ①其中n 和0n 分别玻璃与空气的折射率。
光线在下侧柱面Q 点处反射，入射角与反射角分别为i 和i '，由反射定律有i i '= ②光线在下侧柱面Q 点的反射线交上侧柱面于P '点，并由P '点向上侧柱面折射，折射光线用1''表示；光线1''正好与P '点处的入射光线2的反射光线2'相遇，发生干涉。
考虑光波反射时的半波损失，光线1''与光线2'在P '点处光程差L ∆为p 0p 0p p ()(PQ P Q)()(PQ P Q)()22L n z n n z n n z z λλ''⎡⎤''∆=-+++--=+--+⎢⎥⎣⎦ ③式中λ为入射光线在真空中的波长，0 1.00n =。
2022年第33届中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答版
第33届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答一、（20分）如图，上、下两个平凸透光柱面旳半径分别为1R、2R，且两柱面外切；其剖面（平面）分别平行于各自旳轴线，且互相平行；各自过切点旳母线互相垂直。
取两柱面切点O为直角坐标系O-XYZ旳原点，下侧柱面过切点O旳母线为X轴，上侧柱面过切点O旳母线为Y 轴。
一束在真空中波长为λ旳可见光沿Z轴负方向傍轴入射，分别从上、下柱面反射回来旳光线会发生干涉；借助于光学读数显微镜，逆着Z轴方向，可观测到原点附近上方柱面上旳干涉条纹在X-Y平面旳投影。
1R和2R 远不小于傍轴光线干涉区域所对应旳两柱面间最大间隙。
空气折射率为01.00n=。
试推导第k级亮纹在X-Y平面旳投影旳曲线方程。
已知：a. 在两种均匀、各向同性旳介质旳分界面两侧，折射率较大（小）旳介质为光密（疏）介质；光线在光密（疏）介质旳表面反射时，反射波存在（不存在）半波损失。
任何情形下，折射波不存在半波损失。
伴随半波损失将产生大小为π旳相位突变。
b. sin, 1x x x≈<<当。
参照解答：如图a 所示，光线1在上侧柱面P 点处傍轴垂直入射，入射角为θ，折射角为0θ，由折射定律有00sin sin n n θθ=①其中n 和0n 分别玻璃与空气旳折射率。
光线在下侧柱面Q 点处反射，入射角与反射角分别为i 和i '，由反射定律有i i '=②光线在下侧柱面Q 点旳反射线交上侧柱面于P '点，并由P '点向上侧柱面折射，折射光线用1''表达；光线1''恰好与P '点处旳入射光线2旳反射光线2'相遇，发生干涉。
考虑光波反射时旳半波损失，光线1''与光线2'在P '点处光程差L ∆为 p 0p 0p p ()(PQ P Q)()(PQ P Q)()22L n z n n z n n z z λλ''⎡⎤''∆=-+++--=+--+⎢⎥⎣⎦③式中λ为入射光线在真空中旳波长，0 1.00n =。
33届物理竞赛复赛试题
33届物理竞赛复赛试题全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：第33届物理竞赛复赛试题将会考察参赛者在物理知识和解题能力方面的实力。
本次考试难度适中，题目设计涵盖了力学、热学、光学、电磁学等各个领域的知识点。
以下是本次复赛试题的部分内容，希望可以帮助参赛者更好地备战。
一、力学部分1. 一辆质量为m的汽车以速度v行驶在水平路面上，其动能为多少？2. 一个质量为m的物体从高为h的斜面上滑下，当物体到达底部时，其速度为多少？3. 一个质点做直线运动，位置随时间t的变化满足公式x(t)=At^2+Bt+C，求该质点的加速度a(t)是多少？1. 一个理想气体的内能与温度之间的关系满足U = 3/2nRT，求该气体的热容比Cv / Cp是多少？2. 一个装满理想气体的容器，容器与外界热源完全绝缘，气体的体积变小了一半，气体的内能变化了多少？1. 一束光射入玻璃介质，入射角为30度，折射角为20度，求玻璃的折射率是多少？2. 一块凸透镜的焦距为10cm，物体放在焦距的前方10cm处，求成像的位置是多少？1. 一根长为L的直导线通以电流I，求该导线周围的磁感应强度是多少？2. 一个电容器的电容为C，电压为V，求电容器中储存的电荷量是多少？以上仅为部分试题内容，参赛者在考试时需要结合物理知识和解题技巧进行答题。
希望所有参赛者都能在本次竞赛中取得优异的成绩，加油！第二篇示例：第33届物理竞赛复赛试题欢迎参加第33届物理竞赛复赛！本次试题共分为三部分，包括选择题、填空题和解答题。
希望各位选手发扬科学精神，全力以赴，展现自己的物理才能。
祝你们取得优异的成绩！选择题：1. 下列哪个物理现象不是经典力学能够解释的？A. 光的干涉与衍射B. 行星的运动C. 惯性力的作用D. 弹性碰撞答案：A. 光的干涉与衍射2. 在真空中，光速的数值大小为多少？A. 300,000米/秒B. 200,000米/秒C. 400,000米/秒D. 500,000米/秒答案：A. 300,000米/秒3. 一个物体的质量是10kg，如果它处于地球表面，那么它的重力大小为多少？A. 98NB. 100NC. 105ND. 110N答案：A. 98N填空题：4. 一个在真空中的光波的波长为500nm，求它的频率。
第全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答
nR (V1 V0 )
S1l0
S p0
0g
0g (V0 S
T0S1 l 0 )
nR 1 ln
S1l 0 1
0gl 0 nR
S1 S
V1
0gl 0 nR
S1 S
V0
?
3
3
1.890 10 J 1.9 10 J
（解法三）缓慢升温是一个准静态过程，在封闭水罐后至中午的任意时刻，罐内空气
都处于热平衡状态，设其体积、温度和压强分别为 V 、 T 和 p 。水在温为 T 时的密度为
柱内水面的高度， S1 πm2 、 S2 4π 10 4 m2 分别为罐、观察柱的横截面积。由力平衡条件有
p1 p0 1g h1
④
式中
1
1
0
(T1 T0)
是水在温度为 T1 时的密度。联立①②③④⑤式得关于 h 的一元二次方程为
1gS ( h)2 ( p0S1
1gV0 ) h ( T1 T0
) p0V0 0
n0 1.00 。试推导第 k 级亮纹在 X-Y 平面的投影的曲线方程。 已知： a. 在两种均匀、各向同性的介质的分界面两侧，折射率较大（小）的介质为光
密（疏）介质；光线在光密（疏）介质的表面反射时，反射波存在（不存在）半波损失。
任何情形下，折射波不存在半波损失。伴随半波损失将产生大小为
π的相位突变。 b.
⑩ ??式各 1 分， ???式各 2 分， ?式 1 分。
三、（ 20 分）木星是太阳系内质量最大的行星（其质量约为地球的 318 倍）。假设地球与木
星均沿圆轨道绕太阳转动，两条轨道在同一平面内。将太阳、地球和木星都视为质点，忽
略太阳系内其它星体的引力；且地球和木星之间的引力在有太阳时可忽略。已知太阳和木
第33届全国中学生物理竞赛决赛试卷
第33届全国中学生物理竞赛决赛试卷第33届全国中学生物理竞赛决赛理论考试试题可能用到的物理常量和公式：真空中的光速$c=2.998\times10^8\text{m/s}$；地球表面重力加速度大小为$g$；普朗克常量为$h$，$h=2\pi\hbar$；int\frac{1+x}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x=\arcsin x+C,x<1$。
1、（15分）山西大同某煤矿相对于秦皇岛的高度为$h_c$。
质量为$m_t$的火车载有质量为$m_c$的煤，从大同沿大秦铁路行驶路程$l$后到达秦皇岛，卸载后空车返回。
从大同到秦皇岛的过程中，火车和煤总势能的一部分克服铁轨和空气做功，其余部分由发电机转换成电能，平均转换效率为$\eta_1$，电能被全部存储于蓄电池中以用于返程。
空车在返程中由储存的电能驱动电动机克服重力和阻力做功，储存的电能转化为对外做功的平均转换效率为$\eta_2$。
假设大秦线轨道上火车平均每运行单位距离克服阻力需要做的功与运行时（火车或火车和煤）总重量成正比，比例系数为常数$\mu$，火车由大同出发时携带的电能为零。
1）若空车返回大同时还有剩余的电能，求该电能$E$。
2）问火车至少装载质量为多少的煤，才能在不另外提供能量的条件下刚好返回大同？3）已知火车在从大同到达秦皇岛的铁轨上运行的平均速率为$v$，请给出发电机的平均输出功率$P$与题给的其它物理量的关系。
2、（15分）如图a，AB为一根均质细杆，质量为$m$，长度为$l$；杆上端B通过一不可伸长的软轻绳悬挂到固定点O，绳长为$l_1$。
开始时绳和杆均静止下垂，此后所有运动均在同一竖直面内。
1）现对杆上的D点沿水平方向施加一瞬时冲量$I$，若在施加冲量后的瞬间，B点绕悬点O转动的角速度和杆绕其质心转动的角速度相同，求D点到B点的距离和B点绕悬点O转动的初始角速度$\omega$。
2）设在某时候，绳和杆与竖直方向的夹角分别为$\theta_1$和$\theta_2$（如图b所示），绳绕固定点O和杆绕其质心转动的角速度分别为$\omega_1$和$\omega_2$，求绳绕固定点O和杆绕其质心转动的角加速度$\alpha_1$和$\alpha_2$。
第33届全国中学生物理竞赛复赛试题(题目word版)-+答案
第33 届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题2016 年9 月17 日一、（20 分）如图，上、下两个平凸透光柱面的半径分别为R1 、R2 ，且两柱面外切；其剖面（平面）分别平行于各自的轴线，且相互平行；各自过切点的母线相互垂直。
取两柱面切点 O 为直角坐标系 O-XYZ 的原点，下侧柱面过切点 O 的母线为 X 轴，上侧柱面过切点 O的母线为 Y 轴。
一束在真空中波长为 ? 的可见光沿 Z 轴负方向傍轴入射，分别从上、下柱面反射回来的光线会发生干涉；借助于光学读数显微镜，逆着 Z 轴方向，可观测到原点附近上方柱面上的干涉条纹在X-Y 平面的投影。
R1 和R2 远大于傍轴光线干涉区域所对应的两柱面间最大间隙。
空气折射率为n0 ?。
试推导第k 级亮纹在 X-Y 平面的投影的曲线方程。
已知：a. 在两种均匀、各向同性的介质的分界面两侧，折射率较大（小）的介质为光密（疏）介质；光线在光密（疏）介质的表面反射时，反射波存在（不存在）半波损失。
任何情形下，折射波不存在半波损失。
伴随半波损失将产生大小为π的相位突变。
b. sin x ? x, 当x ?? 1 。
二、（20 分）某秋天清晨，气温为?C ，一加水员到实验园区给一内径为 m 、高为 m 的圆柱形不锈钢蒸馏水罐加水。
罐体导热良好。
罐外有一内径为cm 的透明圆柱形观察柱，底部与罐相连（连接处很短），顶部与大气相通，如图所示。
加完水后，加水员在水面上覆盖一层轻质防蒸发膜（不溶于水，与罐壁无摩擦），并密闭了罐顶的加水口。
此时加水员通过观察柱上的刻度看到罐内水高为 m 。
（1）从清晨到中午，气温缓慢升至 ?C ，问此时观察柱内水位为多少假设中间无人用水，水的蒸发及罐和观察柱体积随温度的变化可忽略。
（2）从密闭水罐后至中午，罐内空气对外做的功和吸收的热量分别为多少求这个过程中罐内空气的热容量。
已 知 罐 外 气 压 始 终 为 标 准 大 气 压50 1.0110a p p =⨯, 水 在 ?C 时 的 密 度 为330 1.0010kg m ρ-=⨯⋅??水在温度变化过程中的平均体积膨胀系数为 ? ? ? 10?4 K ?1，重力加速度大小为29.80g m s -=⋅，绝对零度为 ??C.三、（20 分）木星是太阳系内质量最大的行星（其质量约为地球的 318 倍）。
第33届全国中学生物理竞赛复赛试题(附答案)
第33届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答一、（20分）如图，上、下两个平凸透光柱面的半径分别为1R 、2R ，且两柱面外切；其剖面（平面）分别平行于各自的轴线，且相互平行；各自过切点的母线相互垂直。
取两柱面切点O 为直角坐标系O-XYZ 的原点，下侧柱面过切点O 的母线为X 轴，上侧柱面过切点O 的母线为Y 轴。
一束在真空中波长为λ的可见光沿Z 轴负方向傍轴入射，分别从上、下柱面反射回来的光线会发生干涉；借助于光学读数显微镜，逆着Z 轴方向，可观测到原点附近上方柱面上的干涉条纹在X-Y 平面的投影。
1R 和2R 远大于傍轴光线干涉区域所对应的两柱面间最大间隙。
空气折射率为0 1.00n =。
试推导第k 级亮纹在X-Y 平面的投影的曲线方程。
已知：a. 在两种均匀、各向同性的介质的分界面两侧，折射率较大（小）的介质为光密（疏）介质；光线在光密（疏）介质的表面反射时，反射波存在（不存在）半波损失。
任何情形下，折射波不存在半波损失。
伴随半波损失将产生大小为π的相位突变。
b. sin , 1x x x ≈<<当。
二、（20分）某秋天清晨，气温为4.0C ︒，一加水员到实验园区给一内径为2.00 m 、高为2.00 m 的圆柱形不锈钢蒸馏水罐加水。
罐体导热良好。
罐外有一内径为4.00 cm 的透明圆柱形观察柱，底部与罐相连（连接处很短），顶部与大气相通，如图所示。
加完水后，加水员在水面上覆盖一层轻质防蒸发膜（不溶于水，与罐壁无摩擦），并密闭了罐顶的加水口。
此时加水员通过观察柱上的刻度看到罐内水高为1.00 m 。
（1）从清晨到中午，气温缓慢升至24.0C ︒，问此时观察柱内水位为多少？假设中间无人用水，水的蒸发及罐和观察柱体积随温度的变化可忽略。
（2）从密闭水罐后至中午，罐内空气对外做的功和吸收的热量分别为多少？求这个过程中罐内空气的热容量。
已知罐外气压始终为标准大气压50 1.0110Pa p =⨯，水在4.0C ︒时的密度为330 1.0010kg m ρ-=⨯⋅，水在温度变化过程中的平均体积膨胀系数为413.0310K κ--=⨯，重力加速度大小为29.80m s g -=⋅，绝对零度为273.15C -︒。
第33届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答word版
第33届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答一、（20分）如图，上、下两个平凸透光柱面的半径分别为1R 、2R ，且两柱面外切；其剖面（平面）分别平行于各自的轴线，且相互平行；各自过切点的母线相互垂直。
取两柱面切点O 为直角坐标系O-XYZ 的原点，下侧柱面过切点O 的母线为X 轴，上侧柱面过切点O 的母线为Y 轴。
一束在真空中波长为λ的可见光沿Z 轴负方向傍轴入射，分别从上、下柱面反射回来的光线会发生干涉；借助于光学读数显微镜，逆着Z如图a 入射角为sin n θ=其中n 和n 面Q 射定律有i 由P '发生干涉。
(L n ⎡∆=-⎢⎣式中λ为入射光线在真空中的波长，0 1.00n =。
由题意，1R 和2R 远大于傍轴光线干涉区域所对应的两柱面间最大间隙；因而在傍轴垂直入射情况下有0θ≈，1i i '=<<①式成为00n n θθ≈④ 亦即010n θθ>>≈≈⑤在傍轴条件下，柱面上P 、Q 两处切平面的法线近似平行，因此010i i θ'>>=≈≈⑥从而，在P 、Q 两处，不仅切平面的法线近似平行，而且在上下表面的反射光线、折射光线均近似平行于入射线，因而也近似平行于Z 轴，从而P '与P 点近似重合，即p p z z '≈⑦且PQ 近似平行于Z 轴，因而长度P Q P Q PQ z z '≈≈-⑧由③⑧式得()00P Q 2PQ 222L n n z z λλ∆=⋅+=-+⑨可以将⑨式右端的-z 坐标近似用-x 或-y 坐标表出。
为此，引入一个近似公式。
e ，即端的2e ，故22r e R=?PQ//Z 点的根据?e 0 2n =若P 、Q 两点在XOY 平面的投影点(,)x y 落在第k 级亮(暗)纹上，则L ∆须满足条件 22012, 1,2,, 12(,0,1,2,, 2k k x y L n R R k k λλλ=⎧⎛⎫⎪∆=++=⎨ ⎪+=⎝⎭⎪⎩亮环暗环??式中亮环条件对应于第k 级亮纹上的点(,,)x y z 的x -、y -坐标满足的方程。
第33届全国中学生物理竞赛复赛试题及解答
③ L n( zp ) n0 (PQ PQ) n( zp ) n0 (PQ PQ) n( zp zp ) 2 2
1
式中 为入射光线在真空中的波长， n0 1.00 。由题意， R1 和 R2 远大于傍轴光线干涉区域所对应 的两柱面间最大间隙；因而在傍轴垂直入射情况下有
在傍轴条件下， 柱面上 P、Q 两处切平面的法线近似平行，因此
1 i i 0 0
似平行于入射线，因而也近似平行于 Z 轴，从而 P 与 P 点近似重合，即
R e 和 r 的直角三角形有
R2 = R e r2
2
⑩
即 2 Re e2 r 2 ⑪
在光线傍轴垂直入射时， e R ，可略去⑪式 左端的 e2 ，故
e
r2 2R
⑫
在光线傍轴垂直入射时， 前面已证近似有 PQ//Z 轴。故可将上、下两个柱面上的 P、Q 两 点的坐标取为 P ( x, y , zP ) 、Q ( x, y , zQ ) ，如图 c 所示。根据⑫式可知，P、Q 两点到 XOY 切平面的距离分别为
⑮
⑮式中亮环条件对应于第 k 级亮纹上的点 ( x, y , z ) 的 x -、 y -坐标满足的方程。 更具体地，不妨假设 R1 R2 ，根据⑮式中的亮环条件，可得第 k 级亮纹的方程为
0 ， i i 1
①式成为
n n0 0 ④
亦即
1 0 n 0 ⑤
2
e1 zP
y2 x2 ， e2 zQ 2 R1 2 R2
⑬
最后，光线在上、下两个柱面反射并相遇时, 其光程差 L 为
L 2n0 zP zQ
第33届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答
第33届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答一、（20分）如图，上、下两个平凸透光柱面的半径分别为1R 、2R ，且两柱面外切；其剖面（平面）分别平行于各自的轴线，且相互平行；各自过切点的母线相互垂直。
取两柱面切点O 为直角坐标系O-XYZ 的原点，下侧柱面过切点O 的母线为X 轴，上侧柱面过切点O 的母线为Y 轴。
一束在真空中波长为λ的可见光沿Z 轴负方向傍轴入射，分别从上、下柱面反射回来的光线会发生干涉；借助于光学读数显微镜，逆着Z 轴方向，可观测到原点附近上方柱面上的干涉条纹在X-Y 平面的投影。
1R 和2R 远大于傍轴光线干涉区域所对应的两柱面间最大间隙。
空气折射率为0 1.00n =。
试推导第k 级亮纹在X-Y 平面的投影的曲线方程。
已知：a. 在两种均匀、各向同性的介质的分界面两侧，折射率较大（小）的介质为光密（疏）介质；光线在光密（疏）介质的表面反射时，反射波存在（不存在）半波损失。
任何情形下，折射波不存在半波损失。
伴随半波损失将产生大小为π的相位突变。
b. sin , 1x x x ≈<<当。
参考解答：如图a 所示，光线1在上侧柱面P 点处傍轴垂直入射，入射角为θ，折射角为0θ，由折射定律有00sin sin n n θθ= ①其中n 和0n 分别玻璃与空气的折射率。
光线在下侧柱面Q 点处反射，入射角与反射角分别为i 和i '，由反射定律有i i '= ②光线在下侧柱面Q 点的反射线交上侧柱面于P '点，并由P '点向上侧柱面折射，折射光线用1''表示；光线1''正好与P '点处的入射光线2的反射光线2'相遇，发生干涉。
考虑光波反射时的半波损失，光线1''与光线2'在P '点处光程差L ∆为p 0p 0p p ()(P Q P Q )()(P Q P Q )()22L n z n n z n n z z λλ''⎡⎤''∆=-+++--=+--+⎢⎥⎣⎦③式中λ为入射光线在真空中的波长，0 1.00n =。
全国物理中学生竞赛决赛试题及答案
全国中学生物理竞赛决 赛 试 题一、（15分）图决18-1中A 是一带有竖直立柱的木块，总质量为M ，位于水平地面上。
B 是一质量为m 的小球，通过一不可伸长的轻绳挂于立柱的顶端。
现拉动小球使绳伸直并处于水平位置。
然后让小球从静止状态下摆。
如在小球与立柱发生碰撞前，木块A 始终未发生移动，则木块与地面之间的静摩擦因数至少为多大？（设A 不会发生转动）二、（15分）圆形线圈C 轴线z 沿水平方向。
有一用钕铁硼材料制成的圆柱形强磁体M ，其圆形端面分别为N 极和S 极，将磁体M 与线圈C 共轴放置。
磁体的对称中心置于z 轴的原点O 。
Q 点是线圈C 对称截面的圆心，当Q 点位于z 轴不同位置时，用实验的方法测得穿过线圈C 的总磁通ψ。
由此测得的ψ值沿z 轴的分布函数图线如图决18-2（a ）所示。
图中横轴上z 值是Q 点的坐标。
现令强磁体M 沿线圈的轴线方向穿过该线圈C ，将C 两端接一电阻，其阻值R=1000Ω，远大于线圈的电阻阻值。
将接在电阻R 两端的电压信号通过计算机实时处理[如图决18-2（b ）所示]，可在计算机屏幕上显示出线圈C 两端的电压信号如图决18-2（c ）所示，信号轨迹近似看作三角波形。
1．试估算强磁体M 通过线圈时的速度。
（不计线圈中的感应电流对运动磁体的影响。
） 2．试求图（c ）中，1t 至3t 期间流过电阻R 的电量。
三、（20分）有一薄透镜如图决18-3，S 面是旋转椭球面（椭圆图决18-1绕长轴旋转而成的曲面），其焦点为F 1和F 2；S 2面是球面，其球心C 与F 2重合。
已知此透镜放在空气中时能使从无穷远处位于椭球长轴的物点射来的全部入射光线（不限于傍轴光线）会聚于一个像点上，椭圆的偏心率为e 。
（1）求此透镜材料的折射率n （要论证）；（2）如果将此透镜置于折射率为n '的介质中，并能达到上述的同样的要求，椭圆应满足什么条件？四、（20分）空间有半径为R 长度L 很短的圆柱形的磁场区域，圆柱的轴线为z 轴，磁场中任一点的磁感应强度的方向沿以z 轴为对称轴的圆的切线，大小与该点离z 轴的距离r 成正比，B=K r ，K 为常数，如图决18-4中“· ”与 “×”所示。
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第33届全国中学生物理竞赛决赛理论考试试题可能用到的物理常量和公式：真空中的光速82.99810/c m s =⨯；地球表面重力加速度大小为g ；普朗克常量为h ，2h π=； 2111ln ,1121x dx C x x x+=+<--⎰。
1、（15分）山西大同某煤矿相对于秦皇岛的高度为c h 。
质量为t m 的火车载有质量为c m 的煤，从大同沿大秦铁路行驶路程l 后到达秦皇岛，卸载后空车返回。
从大同到秦皇岛的过程中，火车和煤总势能的一部分克服铁轨和空气做功，其余部分由发电机转换成电能，平均转换效率为1η，电能被全部存储于蓄电池中以用于返程。
空车在返程中由储存的电能驱动电动机克服重力和阻力做功，储存的电能转化为对外做功的平均转换效率为2η。
假设大秦线轨道上火车平均每运行单位距离克服阻力需要做的功与运行时（火车或火车和煤）总重量成正比，比例系数为常数μ，火车由大同出发时携带的电能为零。
（1）若空车返回大同时还有剩余的电能，求该电能E 。
（2）问火车至少装载质量为多少的煤，才能在不另外提供能量的条件下刚好返回大同？（3）已知火车在从大同到达秦皇岛的铁轨上运行的平均速率为v ，请给出发电机的平均输出功率P 与题给的其它物理量的关系。
2、（15分）如图a ，AB 为一根均质细杆，质量为m ，长度为2l ；杆上端B 通过一不可伸长的软轻绳悬挂到固定点O ，绳长为1l 。
开始时绳和杆均静止下垂，此后所有运动均在同一竖直面内。
（1）现对杆上的D 点沿水平方向施加一瞬时冲量I ，若在施加冲量后的瞬间，B 点绕悬点O 转动的角速度和杆绕其质心转动的角速度相同，求D 点到B 点的距离和B点绕悬点O 转动的初始角速度0ω。
（2）设在某时候，绳和杆与竖直方向的夹角分别为1θ和2θ（如图b 所示），绳绕固定点O 和杆绕其质心转动的角速度分别为1ω和2ω，求绳绕固定点O 和杆绕其质心转动的角加速度1α和2α3、（15分）火星大气可视为仅由很稀薄的2CO 组成，此大气的摩尔质量记为μ，且同一高度的大气可视为处于平衡态的理想气体。
火星质量为m M （远大于火星大气总质量），半径为m R 。
假设火星大气的质量密度与距离火星表面的高度h 的关系为10()(1)n mh h R ρρ-=+其中0ρ为常量，(4)n n >为常数。
（1）求火星大气温度()T h 随高度h 变化的表达式。
（2）为了对火星表面进行探测，需将一质量为t m 、质量密度较大的着陆器释放到火星表面。
在某一远小于m R 的高度处将该着陆器由静止开始释放，经过时间l t ，着陆器落到火星表面。
在着陆器下降过程中，着陆器没有转动，火星的重力加速度和大气密度均可视为与它们在火星表面的值相等。
当着陆器下降速度大小为v 时，它受到的大气阻力正比于大气密度和2v 的乘积，比例系数为常量k 。
求着陆器在着陆前瞬间速度的大小。
4、（15分）具有一定能量、动量的光子还具有角动量。
圆偏振光的光子的角动量大小为。
光子被物体吸收后，光子的能量、动量和角动量就全部传给物体。
物体吸收光子获得的角动量可以使物体转动。
科学家利用这一原理，在连续的圆偏振激光照射下，实现了纳米颗粒的高速转动，获得了迄今为止液体环境中转速最高的微尺度转子。
如图，一金纳米球颗粒放置在两片水平光滑玻璃平板之间，并整体（包括玻璃平板）浸在水中。
一束圆偏振激光从上往下照射到金纳米颗粒上。
已知该束入射激光在真空中的波长830nm λ=，经显微镜聚焦后（仍假设为平面波，每个光子具有沿传播方向的角动量）光斑直径61.2010d m -=⨯，功率20.0P mW =。
金纳米球颗粒的半径100R nm =，金的密度3319.3210/kg m ρ=⨯。
忽略光在介质界面上的反射以及玻璃、水对光的吸收等损失，仅从金纳米颗粒吸收光子获得角动量驱动其转动的角度分析下列问题（计算结果取3位有效数字）；（1）求该束激光的频率υ和光强I （在传播方向上单位横截面积所传输的功率）。
（2）给出金纳米球颗粒的质量m 和它绕其对称轴的转动惯量J 的值。
（3）假设颗粒对光的吸收截面（颗粒吸收的光功率与入射光强之比）为20.123abs R σπ=，求该束激光作用在颗粒上沿旋转对称轴的力矩的大小M 。
（4）已知一个以角速度ω旋转的球形颗粒（半径为r ）在粘滞系数为η的液体中收到的粘滞摩擦力矩大小为38f M r πηω=。
已知水的粘滞系数48.0010a P s η-=⨯⋅，求金纳米球颗粒在此光束照射下达到稳定旋转时的转速（转数/秒）f（5）取光开始照到处于静止状态的金纳米颗粒的瞬间为计时零点00t =，求在任意时刻t (0)t >该颗粒转速的表达式()f t 。
（6）若把入射激光束换成方波脉冲激光束，脉冲宽度为1T （此期间内光强仍为I ），脉冲之间的间歇时间为2T 。
取第一个脉冲的光开始照到颗粒的时刻为计时零点00t =，求第n 个完整脉冲周期12()T T +后的瞬间颗粒的转速n f 的表达式，并给出转速极限n f →∞的表达式。
5、（20分）许多赛车上都装有可调节的导流翼片，可以为水平道路上的赛车提供竖直向上或向下的附加压力。
如果赛车速度的大小为v ，则上述压力的大小为2B B f c v =，B c 为一常量。
当导流翼片的前方上翘时，压力方向向上；当导流翼片的后方上翘时，压力方向向下。
赛车在运动过程中受到迎面空气的阻力，阻力大小为2A A f c v =，A c 为一常量。
已知赛车质量为m ，轮胎与路面之间的静摩擦系数为s μ(1)s μ<。
（1）赛车在水平直道上匀速行驶时，考虑到在运动过程中轮胎的形变，路面会对赛车形成阻力，阻力大小与车对路面的正压力大小成正比，比例系数为R μ()R s μμ<。
若导流翼片被调至前方上翘，当赛车速度大小为多大时，赛车发动机输出功率最大？最大输出功率为多少？（2）不考虑赛车在运动过程中轮胎的形变所引起的地面阻力，求当赛车在水平地面内沿半径为r 的圆形道路上匀速行驶、且不驶离路面发生滑动或者飞离地面时所允许的速率最大值max v 。
在此情况下，导流翼片应被调至前方上翘还是后方上翘，max v 可以更大？假设赛车发动机的输出功率可以足够大。
6、（20分）Hyperloop 是一款利用胶囊状的运输车在水平管道中的快速运动来实现超高速运输的系统（见图a ）。
它采用了“气垫”技术和“直线电动机”原理。
“气垫”技术是将内部高压气体从水平放置的运输车下半部的细孔快速喷出（见图b ），以至于整个运输车被托离管壁非常小的距离，从而可忽略摩擦。
运输车横截面是半径为R 的圆，运输车下半部壁上均匀分布有沿径向的大量细孔，单位面积内细孔个数为(1)n n ，单个细孔面积为s 。
运输车长度为l ，质量为M 。
气体的流动可认为遵从伯努利方程，且温度不变，细孔出口处气体的压强为较低的环境压强low P 。
如图c ，在水平管道中固定有两条平行的水平光滑供电导轨（粗实线），运输车上固定有与导轨垂直的两根导线（细实线）；导轨横截面为圆形，半径为d r ，电阻率为d ρ，两导轨轴线间距为2()d D r +；两根导线的粗细可忽略，间距为D ；每根导线电阻是长度为D 的导轨电阻的2倍。
两导线和导轨轴线均处于同一水平面内。
导轨、导线电接触良好，且所有接触电阻均可忽略。
（1）求内部高压气体压强P 为多大时运输车才刚好能被托起？（2）如图d 所示，当运输车进站时，运输车以速度0v 沿水平光滑导轨进匀强磁场区域，磁场边界与导线平行，磁感应强度大小为B ，方向垂直于导轨-导线平面向下。
当两根导线全都进入磁场后，求运输车滑动速度的大小。
（3）当运输车静止在水平光滑导轨上准备离站时，在导线2后间距为D 处接通固定在导轨上电动势为ε的恒压直流电源（见图e ）。
设电源体积及其所连导线的电阻可以忽略，求刚接通电源时运输车的加速度的大小。
已知某恒流闭合回路中的一圆柱型直导线段，电流沿横截面均匀分布，如图f 所示，其在空间中距导线轴线距离为0r 的某点产生的磁感应强度方向垂直于此点和导线轴线构成的平面，大小可用下式近似计算0120(cos cos )4I B r μθθπ=+ 其中I 为电流，12θθ、是此点与导线轴线两端连线与导线轴线的夹角。
可能用到的积分公式b a =，其中a bc 、、均为正数 7、（20分）爱因斯坦引力理论预言物质分布的变化会导致时空几何机构的波动——引力波。
为简明起见，考虑沿z 轴传播的平面引力波。
对于任意给定的z ，在x y -二维空间中两个无限近邻点(,)x y 和(,)x dx y dy ++之间的距离dr 的表达式为dr =引力波体现为1f 和2f 的变化(波动)。
(1)假设一列平面引力波传来时，1f 和2f 可表示为12sin[()],0;01z f A t f A cω=-=< 式中，A 和ω分别是波的振幅和频率，c 是引力波的传播速度(其值等于光速)。
(i) 无引力波穿过时，在x y -平面上，在原点O 处和与O 点距离为R 、与x 轴夹角为θ处各放置一个微探测器。
求当所考虑的引力波穿过时，两个探测器之间的距离相对于R 的偏离的近似表达式。
(ii) 设无引力波穿过时，在x y -平面上，在以R 为半径、原点O 为圆心的圆周上放置了一个微探测器阵列。
当前述引力波存在时，可将空间坐标重新定义为(,)X Y ，使得X Y -二维空间中近邻两点(,)X Y 和(,)X dX Y dY ++。
求对于给定的时刻t ，微探测器阵列在新定义的坐标系中的分布形状。
(iii) 若一列平面引力波12sin[()],0z f A t f cω=-= 和另一列平面引力波12sin[()],0,(02)z f A t f cωφφφπ=-+=≤< 同时沿z 轴正向传播，问φ、θ满足什么条件，可使引力波对原点O 处和x y -二维空间中坐标为(cos ,sin )R R θθ的点处的两个微探测器之间的距离的扰动的振幅达到最大或者最小？(2)假定引力波的波源为双星系统。
设双星系统两星体质量均为M 。
取双星系统的质心为坐标原点O '，双星系统在x y ''-二维空间中旋转。
已知在特定条件下，1f 和2f 可近似表示为22112242428282[()],[()]G d l G d l f I t f I t c l dt c c l dt cππ=-=- 式中G 为引力常量，l 为在z '轴上引力波探测点到O '点的距离（远大于双星系统中两星体之间的距离），而22112212()[()()],()()()I t x t x t M I t x t y t M ''''=+= 1122((),())((),())x t y t x t y t ''、为两星体在其质心系中的坐标。