四川大学线性代数2005级第1学期

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川大04-05线代考试+答案

四川大学期末考试试卷(A )（2004—2005学年第一学期）科目：《大学数学》（线性代数）适用专业年级：四川大学2004级各专业本科生题号一二三四五总分得分一、填空题（每小题3分，共15分）1．设行列式ij A D ,234713011−−=表示D 中元素j i a 的代数余子式,则=++3332317A A .2．设*,543022001A A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=是A 的伴随矩阵,则=−1*)(A _______.3．设)2,0,1,0(,2101=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−=βα,矩阵αβ=A ,则秩)(A =_______.4．设三阶方阵A 的特征值为,2,1,1−.且235A A B −=,则B 的特征值为.5．设A,B 都是n 阶方阵,且A 与B 合同,若秩(A )=r,则秩(B )=二、选择题（每小题3分，共15分）1．已知A 为n 阶方阵,若,21E A AA T =−(其中E 为单位矩阵),则=−1A AA T ().(A)2;(B)2;(C)n 2;(D)22n.2．设有向量T )1,1,2(1=α,T )7,2,1(2−=α,T t ),2,1(=β,若β可以由21,αα线性表出,则=t ().(A)-5；(B)-2;(C)2;(D)5.3．设4321,,,αααα是齐次线性方程组0=AX 的基础解系,则下列向量组中()也是AX =0的基础解系.(A)43211,,ααααα++(B)14433221,,,αααααααα−++−(C)443321,,,2αααααα−+(D)332211,,,αααααα++4．设A 是n 阶矩阵,如果A E 3+不可逆(E 为单位矩阵),则有().(A)3是A 的特征值;(B)-3是A 的特征值;(C)31是A 的特征值;(D)-31是A 的特征值.5．下列矩阵中,()是正定矩阵..(A)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200132011(B)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡212143234(C)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−124213436(D)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡511142121三、解答下列各题(每小题9分，共27分)1．求向量组)4,2,1,1(1−=α,)2,1,3,0(2=α,)14,7,0,3(3=α,)0,2,1,1(4−=α,)6,5,1,2(5=α的一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大无关组线性表示.2．a 取何值时,线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=−+=+++=++023)2(3212321321321x ax x x a x x x x x 无解?有解?并在有解时求出其.3．已知A 为三阶矩阵,且有03=−A E ,02=+E A ,02=−E A ,其中E 是三阶单位矩阵,求A 的行列式A .四、计算题(每小题10分，共30分)1．设有矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=111131111A ,试问A 能否相似于对角阵?若能,则求出可逆矩阵P ,使得AP P 1−为对角阵.已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101020101A ,且X A E AX +=+2,其中E 是三阶单位矩阵.求矩阵X .设二次型322322213212334),,(x x x x x x x x f +++=试用正交变换将二次型),,(321x x x f 化为标准形(即平方和),并写出所用的正交变换.五、证明题(第1小题6分,第2小题7分,共13分)1．设A 是)1(−×n n 矩阵,证明:方程组β=AX 有解时,该方程组的增广矩阵)(βA 的行列式0=βA .试问,反之是否成立?2．设A 、B 为两个n 阶矩阵,且A 的n 各特征值两两互异.若A 的特征向量恒为B 的特征向量,证明:BA AB =.2004级线性代数期末考试试卷A 参考答案一：1、02、100101105534110102A A⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠3、()1r A =4、(6,4,12)−−−5、()r B r=二：1、C 2、D 3、C4、D5、A…三：1、123451031213011()21725421406ααααα⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟′′′′′=⎜⎟⎜⎟⎝⎠1031201101000000042⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠31030201101000001012⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠124134,,(,,;?))αααααα⋯或为一个极大无关组。

川大线性代数习题册答案4

二次型的基本概念一．如果不要求二次型的矩阵是对称的，那么它的矩阵表示唯一吗？解：不唯一二．是，其矩阵为n 阶单位阵三．写出下列二次型的矩阵1．121242121⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭秩为一 2．0004001401014410⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭秩为四四．写出下列矩阵对应的二次型：１．2212311213223(,,)2236f x x x x x x x x x x x =-+--２．1234121314232434(,,,)f x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++五．填空题．１．22212344y y y -++ ２．r 化二次型为标准形一．分别用配方法和初等变换化下列二次型为标准形，并写出所用的可逆线性变换．１．2222123112*********(,,)434443f x x x x x x x x x x x x x x x =+-=++--2222122233322212233399(2)4()4641639(2)4()816x x x x x x x x x x x x =+-+++=+-++令11222333238y x x y x x y x =+⎧⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎩ ，则11232233332438x y y y x y y x y ⎧=-+⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩为可逆线性变换使：2221231239(,,)416f x x x y y y =-+ 2．222123123121323(,,)254484f x x x x x x x x x x x x =+++--()()()2221121323232221121323232222211232323232324854422454422(2)(2)(2)544x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+-++-=+-++-=+-+---++-22221232323232(2)2(2)544x x x x x x x x x =+---++-22222123223323232(2)2(44)544x x x x x x x x x x x =+---+++- 22212323232(2)334x x x x x x x =+-+-+2221232332132(2)3()39x x x x x x =+-++- 令：112322333223y x x x y x x y x =+-⎧⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎩ ，所以可逆变换为：1123223334323x y y y x y y x y ⎧=--⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩22212312313(,,)239f x x x y y y =+- 3．令：11221233x y y x y y x y =+⎧⎪=-⎨⎪=⎩ ，写成矩阵形式为X CY =，其中：110110001C ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭则：22123121323(,,)24f x x x y y y y y y =--+ 22213233()(2)3y y y y y =---+令：113223332z y y z y y z y =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，变换为：113223332y z z y z z y z=+⎧⎪=+⎨⎪=⎩，写成矩阵形式为：Y PZ =，其中：101012001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则：2221233f z z z =-+ 变换为：X CY CPZ ==，其中：113111001CP ⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭二．用正交变换化下列二次型为标准形，并写出所用的正交变换．１．解：120222023A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，其特征值为：－１，２，５1λ=-时，对应特征向量为：()221T，2λ=时，对应特征向量为：()212T-，5λ=时，对应特征向量为：()122T-作正交变换为：221333212333122333X Y ⎛⎫-⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，22212325f y y y =-++ ２．解：0041001441001400A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，特征值为：－３，－５，３，５ 3λ=-时，对应特征向量为：()1111T--， 5λ=-时，对应特征向量为：()1111T--， 3λ=时，对应特征向量为：()1111T --， 5λ=时，对应特征向量为：()1111T．作正交变换：11112222111122221111222211112222X Y ⎛⎫--⎪ ⎪ ⎪--⎪= ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，222212343535f y y y y =--++ 三．解：2000303A a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2003(2)(3)(3)03E A a a a aλλλλλλλ--=--=--+---- 特征值为：2,3,3a a λλλ==-=+有A 的特征值分别为：１，２，５和0a >知：2a =1λ=时，对应特征向量为：()011T-， 2λ=时，对应特征向量为：()100T，5λ=时，对应特征向量为：()011T。

川大线性代数习题册答案2

线性代数第三，第四章答案可逆矩阵，求逆矩阵一．填空题：１．102105⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭- ２．11A CB --，1100B A --⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭３．222k b l a a bc +≠ ４．1111D B C A ---- ５．100010001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭22112123122--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1二．选择题１．BD 2．C 3．Ｄ三．１．证明：*||A E AA =**||||||||||n AA A A A E ∴== 而||0A ≠*1||||n A A -∴=２．***11112)|||||5|2(22nn n n AA A ----===四．求下列矩阵的逆矩阵１．*d b ca A -⎛⎫=⎪-⎝⎭，||A ad bc =-，所以：()11db A ad bc c a ---⎛⎫=-⎪-⎝⎭2 ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001011100730210003001010100730520003100010001003520730 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⇒⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→-032075000320750010001000103201110010021000331131A ３． ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10001001001100001000010001100010001000011000010********0001000010000110001001001e d ce c be b ae d c b ae d c b a⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+---=⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+----10001001011000100101100100001000011e d ce c ad ace be b ac a A e d ce c ad ace be b ac a五．解矩阵方程组解：()702303107141223063211713,A E X A E B --=---=-==-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，六．证明：32()()E E A E A E A A =-=-++故，E A -可逆，且()12E A E A A --=++七．证明：()()111,TT TA A A A A ---===，故，1A -也是对称阵。

线性代数考试(A)参考答案及评释学习资料

线性代数考试(A)参考答案及评释华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2005学年第一学期考试科目：线性代数考试类型：闭卷考试时间：120分钟学号姓名年级专业这是题文这是参考答案填空题.（每小题3分，共30分）1.若行列式D 各行元素之和等于0，则该行列式等于0. 各行加到第一行上去, 则第一行全为零P98奇数阶实反对称阵的行列式为零P64定理2.7非齐次线性方程组有解的充要条件 41141222222n n n --**⎛⎫===⋅= ⎪⎝⎭A A A重要关系*=AA A E ( P34定理1.9); 1n -*=A A(p44题1.18)5.设()()1,1,5,3,9,2,3,5,TTαβ=--=---则α与β的距离为9.()8,3,2,29-===αβ由正交矩阵的定义T =A A E 立即得到1T -=A A 且1T ===A A A A E若λ是A 的特征值, 则1λ是1-A 的特征值, 因为()110x x x x λλ-=≠⇒=A A x . 参考P87定理4.4: ()ϕA 的特征值是()ϕλ.8．如果()222123123121323,,2246f x x x x x tx x x x x x x =+++++是正定的，则t 的取值范围是5t >.11212323t ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 1231121110,10,123501223t t ∆=>∆==>∆==-> p100定理5.6由2=AA 推出()()22-+=-A E A E EEnglish!二、单选题（每题3分，共15分）1.n 元齐次线性方程组0,AX =秩()(),R A r r n =<则有基础解系且基础解系含（ D ）个解向量.（A ）n （B ）r （C ）r n - （D ）n r - P62 line 5: 基础解系含n r -个解向量2. 设四阶方阵A 的秩为2，则其伴随矩阵A *的秩为（ D ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）0.A的余子式(3阶子式)全为零.*A是零矩阵.3. 设A是n阶方阵，满足2A E=，则（ B ）（A）A的行列式为1 （B）,-+不同时可逆.A E A E=（D）A的特征值全是1 （C）A的伴随矩阵*A A2000或.A E A E A E A E A E=⇒+-=⇒+=-=4. 设n阶方阵,,A B C满足ABC E=，其中E是n阶单位阵，则必有（ C ）（A）ACB E== (D) BAC E= (C) BCA E= (B) CBA E()()A E.p7性质1.2, p35定理1.10=⇒=A BC E BC或者141231234142332,3,4333411111111111111110000111111000101111101111100010000010001001000100010000101001000000i r r i c c c c r r r r r r r r x x x x x x x x x x x xxxxx x x x x-=+++-+-↔↔-------+---==----+-----====.2.给定向量组()()121,1,1,1,1,1,1,1,TTαα==--()32,1,2,1Tα=， ()41,1,1,1,Tα=--求1234,,,αααα的一个最大无关组和向量组的秩.()213141434212341121112111110212,,,112100021111021011211121021202120002000200020000r r r r r r r r r r A αααα---+-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪----- ⎪ ⎪==−−−→ ⎪⎪--⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪------⎪ ⎪−−−→−−−→ ⎪ ⎪--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可见()1234,,,3R αααα=，124,,ααα是一个最大无关组。

《线性代数》(四川大学原稿) §4.5 齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构

把BX=0的含x4 , x5的项移到等式右边得到
x1 x4 20 x5 x x 5 x , 2 4 5 x 2 x 5 3
6
令x4 1, x5 0, 解得X1 1 1 0 1 0 ,
T
19
证设X1 , X 2 ,
, X nr(I)为AX=0的一个基础解系.
( i ) 设1 , 2 ,
, t(II)为AX=0的任意一个基
础解系，则(I)与(II)皆线性无关且可以相互线性表示，故t=n-r;
(ii ) AX=0的任意n-r+1个解可由含n-r个向量的(I)线性表示，故线性相关;
... k1n
1 ... 0 k2,r 1 k2,r 2 ... k2 n ... ... ... ... ... ... ... 0 ... 1 0 ... 0 ... ... ... 0 ... 0 kr ,r 1 kr ,r 2 ... krn 0 ... 0 0 ... 0 ... ... ... 0 ... 0
设X=(c1 ,
, cr , cr+1 ,
, cn )为AX=0(BX=0)的 c n X n r , 0)
T
任意解，则 X-cr+1 X 1 c r+2 X 2 （d1 , d 2 , , d r , 0,0,
为B0
ax0ax0iiiax0ax0ax0nrax0是齐次线性方程组的基础解系所含向量个数故可考虑利用齐次线性方程组的解的由基础解系于是可由线性表示即是也为满秩矩阵所以所以的余子式也为零从而全部为零所以阶子式则知所有的是自由变量分别代入值1001解出基础解系
§5 齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构

四川大学数一二线性代数期末考试试卷A

第页共6页1四川大学期末考试试卷(A )科目：《大学数学》（线性代数）一、填空题（每小题3分，共15分）1． 232323a a ab bb c c c = __abc()_____.2．向量组1(2,5,5)α=,2(2,0,1)α=,3(2,3,1)α=,4(7,8,11)α=-线性_______.3．设A =378012002⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, A *是A 的伴随矩阵, 则 |15-A*| = _________.4．当t 满足______的条件时, 22212311223(,,)222f x x x x tx x x x =+++为正定二次5．设A, B 都是3阶矩阵, 秩(A )=3, 秩(B )=1, C =AB 的特征值为1, 0, 0, 则C =AB __相似对角化.第页共6页2 二、选择题（每小题3分，共15分）1．设矩阵,23⨯A ,32⨯B 33⨯C , 则下列式子中, ( )的运算可行.(A) AC; (B) C AB -; (C) CB ; (D) BC CA -.2．设D=123012247-, ij A 表示D 中元素ij a 的代数余子式, 则3132333A A A ++=( ).(A) 0； (B) 1; (C) 1-; (D) 2 . 3．设A 为4m ⨯矩阵, 秩(A)=2,123,,X X X 是非齐次线性方程组AX =β的三个线性无关解向量, 则( )为AX =0的通解.(A) 11223;k X k X X +- (B) 123();X k X X +-(C)1122123(1);k X k X k k X ++-- (D) 1122123().k X k X k k X +-+4．设A,B,C 都为n 阶矩阵, 且|AC|≠0, 则矩阵方程AXC=B 的解为( ).(A) 11--=BC A X ; (B) 11--=C BA X ; (C) 11--=A BC X ; (D) 11--=BA C X .5．设A 为n 阶方阵,A 可以相似对角化的( )是A 有n 个不同的特征值.(A) 充分必要条件 (B) 必要而非充分的条件 (C) 充分而非必要的条件 (D) 既不充分也非必要的条件三、计算下列各题(每小题10分，共30分)1．计算行列式 11120132.12231420------第页共6页32．解矩阵方程,X B AX +=其中21125111,3001214A B -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦.X=[-1 5]5/4 2 .-1/2 .-1 3．求向量组]1,3,2,1[1-=α, ]1,10,11,5[2--=α,]9,1,8,3[3-=α, ]19,9,2,0[4-=α的秩与它的一个极大线性无关组.四、解答下列各题(每小题12分，共24分)1．讨论当b取何值时, 非齐次线性方程组123412341234237335135543x x x xx x x xx x x x b+++=⎧⎪+++=⎨⎪++-=⎩有解; 当有解时, 求方程组的通解.第页共6页4第页共6页5232232133),,(x x x x x f +=323121244x x x x x x -++ 化为标准形.第页共6页6 五、证明题(每小题8分, 共16分)1．设12321311A λ-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 如果存在三阶矩阵 0,B ≠ 满足AB =0, 试求λ的值,并证明. rank B *=0, 其中B *是B 的伴随矩阵.2．设A 是一个三阶矩阵,向量组123,,()I ααα中的三个向量分别是A 属于特征值0,1,3的特征向量, 向量组)(,,421II ααα线性相关, 证明: 向量组)(,,4321III αααα-线性无关.。

四川大学线性代数教材第一章第二节 ppt课件

解: r1 r3
1 2 1 2 5
2
4
3
4 11
0 0 3 1 6
3
6 10 8 28
r2 2r1
1 2 1 2 5
1 2 1 2 5
0
0
1
0
1
r4 3r1
0
0
1
0
1
0 0 3 1 6
0 0 3 1 6
3
6 10 8 2四8川大学线性代数教材第一章第0二 0
当a20, 即a2时，该齐次线系性数方矩程阵主元列数 3，等与于未知量个因数此相只等有，零
而a当 20, 即 a2时，该齐次系线数性矩方阵主元列2，数小等于未知此量有个无数穷，多
四川大学线性代数教材第一章第二节
四川大学线性代数教材第一章第二节
第二节行化简与阶梯形矩阵解的存在性与唯一性
四川大学线性代数教材第一章第二节
精品资料
• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你是否会认为老师的教学方法需要改进？
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
5 9 3
1 0 0 2
D 0 1 0
1
A、B、C、D都是阶梯矩阵，
其中D是行最简形矩阵。
0 0 1 2
四川大学线性代数教材第一章第二
节
命题任何一个非零矩阵都可经初等行变换化为阶梯矩阵，更进一步可化为行最简形。(证明略)
注意：使用不同顺序的初等行变换，化出来的阶梯矩阵一般是不同的。但是从一个矩阵出发，通过不同顺序的初等行变换化简，得到的行最简形是唯一的。

2005线性代数数三

第1页
线性代数数学三试卷 ( B ) 解答
1
即有 *
2 0 1
，由
x1 x1
x3 x3
x2 x2
x4 3x 4
，解得
x 1 x 3
x2 2x 4
x4
2 0
1
1
取
x2 x4
10
,
10
得
x1 x3
10,12 ，从而得一基础解系 1
1 0 0
，
2
0
2 1
类似可证得λ2=λ3=…=λk=0，因此向量组α，Aα，…，Ak－1α线性无关。
证： 1．AA－1=E， |AA－1|=|E|， |AA－1|=1，
|A－1|= 1 | A |1 |A|
2 .A*=|A|A－1， |A*|=|AA－1|=|A|n|A－1|=|A|n|A|－1=|A|n－1
第3页
(A)(I)的秩<(Ⅱ)的秩
(B)(I)的秩=(Ⅱ)的秩
(C)(I)的秩>(Ⅱ)的秩
(D)以上都不对
第1页共6页
学院：
线
四川大学期末考试试卷
1 a 1 2 4.若矩阵 1 1 a 2 的秩为 2,则 a 的值为( )
1 0 1 2
(A)0
(B)0 或-1
(C)-1
(D)-1 或 1
a11x1 a12x2a1nxn 0
通解为
x1 x2 x3 x4
1
2 0 1
2 0
k1
1 1 0 0
k
2
1 0 2 1
(k1k2 R)
六.(12 分)
解：
据定义，有 Aξ=λξ，故
2
(A

计算机科学与技术课程

计算机科学与技术专业03023001 高等数学 Higher Mathematics【192—11—1、2】内容提要：作为本专业的重要基础课程，内容以微积分、中值定理、不定积分、定积分及其应用，多元函数微分法及其应用、重积分、曲线积分与曲面积分、无穷级数及微分方程等。

修读对象：计算机科学与技术专业本科生教材：《高等数学》同济大学主编高等教育出版社参考书目：《高等数学》四川大学主编高等教育出版社03023002 线性代数Linear Algebra 【36—2—1】内容提要：线性代数是研究有限线性空间的结构和线性空间的线性变换的数学分支。

主要学习N阶行列式，矩阵及其运算等，向量组的线性相关与矩阵的秩，线性方程，相似矩阵及二次型，线性空间与线性变换。

修读对象：计算机科学与技术专业本科生教材：《线性代数》同济大学主编高等教育出版社参考书目：《线性代数》四川大学数学系教学研究室编高等教育出版社03023003 高级语言程序设计High-level Language Program Design 【110—5—1、2】先修课程：计算机科学技术导论内容提要：结构化程序设计基本思想及各种基本结构设计方法，高级语言数据类型、数组、函数、预编译，指针、结构体、文件等，简单的算法分析，使学生能够用高级语言进行相应程序设计。

修读对象：计算机科学与技术专业本科生教材：《C++程序设计》谭浩强主编清华大学出版社参考书目：《C语言程序设计教程》秦友淑主编03023004 计算机科学技术导论 Introduction to Computer Science and Technology 【42—2—1】内容提要：本课程通过与信息化社会、计算机科学技术的基础知识、计算机软硬件系统、软件开发技术、数据通信与计算机网络、多媒体技术及其应用、数据库系统及其应用、计算机信息安全技术、计算机的应用领域等方面的概要讲解，系统介绍了计算机科学技术学科体系内容。

四川大学线性代数教材第三章第二节

1 5 3 3
解：
1 3 1 2
1 3 1 2
A c1 c2 1
5
3
4
r2 (1)r1
0
8
4
6
0 2 1 1 r4 5r1 0 2 1 1
5 1 3 3
0 16 2 7
1 3 1 2
1 3 1 2
r2 r3 0 2 1 1 r3 4r2 0 2 1 1
0 8 4 6 r4 (8)r2 0 0 8 10
1 3 1 2 2 1 1
2 1 1
02 1
1 0
8
4 10 2 5 0 4 5 20
5
0 0 8 10 0 10 15
0 2 3
2 3
0 0 10 15
40
abcd
例计算行列式A a
d
c
b .
cdab
c bad
解：将第1行的(1)倍加到第2行，将第3行的(1)倍加到第4行，
0 0 0 ab
另解：直接将第1行的(1)倍分别加到第2,3, , n行上，得到
a bb b a b b b b a b b ba ab 0 0 b b a b ba 0 ab 0 b b b a ba 0 0 ab
再将第2,3, , n列都加到第1列上，得到
即得到一个递推公式 Dn (a b)Dn1 b(a c)n1 (1)
由于D1 a, 不难由(1)推出Dn的值。下面给出另外一种求Dn的方法：由行列式的转置与原行列式相等，
a bb b
c a b b
Dn DnT c c a b ,
c c c a 用与前面相同的计算可得 Dn (a c)Dn1 c(a b)n1 (2)

四川大学线性代数教材第一章第一节

B的第三个方程减去第一个方程得
2 x1 2 x2 x3 8 2 x1 2 x2 x3 4 —————————— 2 x3 4
所以方程组B的解一定是方程组A的解。
2 x1 2 x2 -x3 4 2 x1 2 x2 x3 4 A. x2 1 B. 2 x1 x2 x3 3 2 x 2 x x 8 2 x 4 3 2 3 1
解: 方程组A易得解x1 2, x2 1, x3 2,
方程组B看起来要复杂一些，实际上与A同解。
将B的第一个方程与第二个方程相加得 2 x1 2 x2 x3 4
2 x1 x2 x3 3 —————————— x2 1
2 x1 2 x2 -x3 4 2 x1 2 x2 x3 4 A. x2 1 B. 2 x1 x2 x3 3 2 x 2 x x 8 2 x 4 3 2 3 1
作用在增广矩阵上的对应于线性方程组的三种初等变换称为矩阵的初等行变换： 1.对换变换—交换矩阵的两行；
2.数乘变换—将某行全体元素都乘以某非零常数；
3.倍加变换—把某行用该行与另一行的常数倍的和
替换，即把另一行的常数倍加到该行上。
注意： 1.矩阵的初等行变换是可逆的，且其逆变换是同类型的初等行变换。 2.如果两个矩阵可通过一系列的初等行变换相互转化，则称这两个矩阵是行等价的。定理若两个线性方程组的增广矩阵行等价，则这两个方程组同解。
用方程组A的第二个方程减去第一个方程，可得B的第二个方程；用方程组A的第一个方程加上第三个方程，可得B的第三个方程；
所以方程组A的解是B的解，从而它们有相同的解。

川大线性代数习题册答案3

矩阵特征值、特征向量一．选择题 1．C ２．D ３．C ４．D 二．求下列矩阵的特征值、特征向量１．解：2110101020220(2)1104132323λλλλλλλλλλλλλλ+-----=--=-------2201011(2)110(2)110(2)1102201111λλλλλλλλ--+=-=-=-----2(2)(1)λλ=-+所以，特征值为：2(1λλ==-二重），2λ=时，411411000000411000----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭得对应的特征向量为： ()1104Tx = ()2140Tx =2λ=对应的特征向量全体可表示为：1122x k x k x =+1λ=-时，111111030010414000----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭对应特征向量可表示为： ()101Tx k =2．解：()()11112200111111111111111111111111110010001111111221111121111111211λλλλλλλλλλλλλλλλλ----------=-----------=-=---------()()()()()2231122022112211211211110100221122112112312(2)λλλλλλλλλλλλλλλλλ--=--=-----=--=-+--=-+特征值为：2(),2λλ==-三重2λ=时，11111111111100001111000011110000------⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎪ ⎪→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭()11001Tx = ()21010Tx =()3110Tx =对应的特征向量可表示为：112233x k x k x k x =++2λ=-时， 311111131113131113110404113111310044111331110448--------⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪----- ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪----- ⎪ ⎪ ⎪--------⎝⎭⎝⎭⎝⎭111301010011000--⎛⎫⎪- ⎪→ ⎪-⎪⎝⎭对应的特征向量为: ()1111Tx k =-3．解：()220212(1)(2)4(2)402(2)(1)4λλλλλλλλλλλ--=-----=+--所以，特征值为：2,1,4λλλ=-==2λ=-时，420232232232420044022022011---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭232011000-⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪⎝⎭对应特征向量为：()122Tx k =1λ=时，120120120202042021021021000---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭对应特征向量为：()212T x k =-4λ=时，220220232012024000⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对应特征向量为：()221T x k =- 三．解：()()()()312014113421101λλλλλλλ+-+-=+-+-++-()()2145λλλ=-++ 特征值为：1,2,2i i λλλ==-+=--1λ=时，412100100024024024100412412-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭100012000⎛⎫⎪→- ⎪ ⎪⎝⎭对应特征向量为：()021Tx k =2i λ=-+时，1121031030140140141031120122ii i i i i i i i +--+-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-+-→-+-→-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭1030122000i i -+⎛⎫ ⎪→+ ⎪ ⎪⎝⎭对应特征向量为：()3221Tx k ii =---2i λ=--时，1121031030141120122103014014i i i i i i i i i ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪---→--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--------⎝⎭⎝⎭⎝⎭1030122000i i --⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪⎝⎭对应特征向量为：()3221Tx k ii =+-+四．解：2λ=为A 的一个特征值，故3A 的一个特征值为８，312A 的一个特征值为４，1312A -⎛⎫ ⎪⎝⎭的一个特征值为14，所以1312I A -⎛⎫+ ⎪⎝⎭的一个特征值为15144+= 五．证明：若λ为A 的任一特征值，00x ≠为对应特征向量，则：()220000A x A Ax Ax x λλ===，而2A E =，所以200A x x =从而有：200x x λ=，所以有：21λ=，所以，1λ=±矩阵相似一．选择题１．D ２．A ３．D二．下列矩阵哪些能对角化，若能，则求出可逆矩阵P ，使1P AP -为对角矩阵１．3111102121112112E A λλλλλλλλ-----=--=------ ()()110101211221112102λλλλλλ-=---=--------()()212λλ=-- 特征值为：2(),1λλ==二重2λ=时，111111111221001001110001000------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭特征子空间的维数为１，故A 不能对角化．２．()1101011011111111011011011E A λλλλλλλλλλλ------=--=--=---------()()()()()112102111211011λλλλλλλλλ--=--=-=-+-----特征值为：1,1,2λλλ==-=1λ=时，010111111010010000---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--→ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 对应特征向量为：()101T x k =- 1λ=-时，210111111111012012012012000--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪---→--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭对应特征向量为：()121Tx k =-2λ=时，110110121011011000--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭对应特征向量为：()111T x k =所以，111021111P -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，1100010002P AP -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭３．()()2112111020224313413E A λλλλλλλλλλλ+--+-+--=-=-=--+--- ()()()()()()211112121211302λλλλλλλλ--=-+=-+=-+--所以，特征值为：2(,1λλ==-二重）2λ=时，411411000000411000----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 对应特征向量：()()12104140TTx x ⎧=⎪⎨=⎪⎩1λ=-时，111111030010414000----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 对应特征向量为：()3101T x = 故，111040401P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1200020001P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭４．()111110011001111111111111111111111111111E A λλλλλλλλλλλλλλ-----------===------------- ()()10001111111112112121121λλλλλλλλ+--+-=-=--------()()()221101101001211211221212123λλλλλλλλλλλ---=--=--=-+-------()()()()()22321111131331λλλλλλλλ+--=-=-+=-+-所以，特征值为：1(),3λλ==-三重1λ=时，11111111111100001111000011110000----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭对应特征向量为：()()()123100*********T T T x x x ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩ 3λ=-时，31111113131131111131113111131311------⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪------⎪ ⎪→ ⎪ ⎪------ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭11131113044801120044001104040000------⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭对应特征向量为：()41111Tx =--111100110101101P ⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭ 1100010000100003P A P -⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ 三．解：令()123122221212P x x x -⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪⎝⎭，则，()()12312310023020003AP Ax Ax Ax x x x P ⎛⎫⎪=== ⎪ ⎪⎝⎭所以，1120331005202003300322233A P P -⎛⎫-- ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪--⎪⎝⎭四．解：3221221(1)1423123E A k k k λλλλλλλλλ--+--=+-=-++---++-+ ()()1221221111012123001k k λλλλλλ--=+-+-=+---++()()211λλ=+-特征值为：1(),1λλ=-=二重，A 可对角化，则：1λ=-时有：()1rank E A λ-=，由42242200422000k k k k ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭知，必有0k = 对应特征值为：()()12102,120T Tx x ==-1λ=时，222111020010424000---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，对应特征向量为：()3101T x = 111020201P ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，1100010001P AP --⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭五．证明：B 与A 相似，则存在满秩矩阵P ，使得1B P AP -=，又A 有n 个互异特征值，故存在可逆矩阵M ，使得：11,(,)n M AM diag C λλ-=⋅⋅⋅∴111()A MCM P P MCM ---==，11111()B P AP P MCM P P MCM P -----=== 令11,Q P R P MCM --==，则Q 满秩，,A QR B RQ ==实对称矩阵的对角化一．解：首先将向量组正交化，取 ()111100Tβα==()()2122111(,)1111010110010(,)222TT T αββαβββ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭313233121122(,)(,)1111(,)(,)333Tαβαββαββββββ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭单位化：1200,022TTηη⎛⎫⎫== ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭3Tη⎛= ⎝⎭二．解：设()1234Tx x x x x =为单位向量，则有：123412341234020x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪--+=⎨⎪+++=⎩ 其通解为：()4013T x k =-所以，所求单位向量为：0T⎝⎭三．求正交矩阵Q ，使1Q AQ -为对角矩阵１．解：()()2324221842E A λλλλλλ----=--=+---，所以特征值为：1(),8λλ=-=二重1λ=-时，424212212000424000---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭，特征向量()()12101120TTx x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩8λ=时，52414114128252401894254250189----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--→--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭141021000-⎛⎫ ⎪→- ⎪⎪⎝⎭特征向量：()3212Tx =将12,x x 正交化，令11x β=，2122111(,)112(,)22Tx x βββββ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭将123,,x ββ单位化得：2310323Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，1(1,1,8)Q AQ diag -=-- ２．()111110011001111111111111111111111111111E A λλλλλλλλλλλλλλ-----------===------------- ()()10001111111112112121121λλλλλλλλ+--+-=-=--------()()()221101101001211211221212123λλλλλλλλλλλ---=--=--=-+-------()()()23211133λλλλλ+-=-=-+-，特征值为：1(),3λλ==-三重1λ=时，111111111111000011110000111100----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，对应特征向量为：()()()123100110101100T T T x x x ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩ 将123,,x x x 正交化，令11x β=，2122111(,)1101(,)22Tx x βββββ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，313233121122(,)(,)1111(,)(,)333Tx x x βββββββββ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭3λ=-时，311111131113131113110404113111310044111331110448---------⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-------- ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪-------- ⎪ ⎪ ⎪---------⎝⎭⎝⎭⎝⎭1113010100110000---⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭，对应特征向量为：()41111Tx =--将1234,,,x βββ单位化得：12100210212Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪- ⎪⎪= ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭四．证明：若,A B 有相同的特征值1,,n λλ⋅⋅⋅，则存在正交矩阵,Q T 使得：1111(,,)(,,)n n Q AQ diag T BT diag λλλλ--⎧=⋅⋅⋅⎪⎨=⋅⋅⋅⎪⎩，从而有1111(,,)n B Tdiag T TQ AQT λλ---=⋅⋅⋅=令1P QT-=，则()()()11111TTTT T P P TQ QT T T TT E -----====所以P 为正交矩阵，即存在正交矩阵P ，使得1B P AP -= 反之，若存在正交矩阵P 使得1B P AP -=，则有：11()E A P E A P E P AP E B λλλλ---=-=-=-故，,A B 有相同的特征多项式，所以,A B 有相同的特征值．五．解：因为3R 的维数为３，321λλ==对应的特征子空间2Φ应该为11λ=-所对应的特征子空间1Φ的正交补空间．所以2Φ的基应与1Φ的基1X 正交．取()()23100,011T TX X ==-，则232,X X ∈Φ，将123,,X X X单位化得：010022022P ⎛⎫⎪⎪ ⎪=⎪ - ⎝⎭，所以100(1,1,1)001010TA Pdiag P ⎛⎫ ⎪=-=- ⎪ ⎪-⎝⎭。

川大线性代数习题册第4章答案

⎡−64 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ 45 ⎥ ⎢ ⎥ 础解系为： X1 = ⎢ ⎥ ，通解为： X = kX1 ，其中 k 为任意常数； ⎢−30 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 100 ⎥ ⎣⎢ ⎦⎥ ⎡5 ⎢ ⎢2 ⎢ ２．因 ⎢ ⎢7 ⎢ ⎢5 ⎢⎣ 6 −2 7 4 ⎤ ⎡1 ⎥ ⎢ ⎢0 3 −1 4 2 ⎥⎥ ⎢ ⎥ 可初等行变换为 ⎢ 9 −3 5 6 ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢ ⎢0 9 −3 1 6 ⎥⎥ ⎢⎣ ⎦ 0 −1 0 ⎤ ⎥ 3 −1 6 2 ⎥⎥ ⎥ ，故 AX = 0 的基础解 0 0 1 0⎥ ⎥ 0 0 0 0 ⎥⎥ ⎦ 0
⎡ 1 0 1 14 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ 0 −2 3 −27 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 −6 88 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 −2 −55 ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦
⎡1 0 1 14 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢0 −2 3 −27 ⎥ ⎢ ⎥ →⎢ ⎥ ，无解. ⎢0 0 −2 −55 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0( j = 1, 2, ", m ) 可由 α1, α2, ", αr 线性表出，从而 α1, α2, ", αr 与
α1, α2, ", αr , β1, β2, ", βm 可相互线性表出，又 α1, α2, ", αr 是 α1, α2, ", αr , β1, β2, ", βm 的线性无关的部分组，所以 α1, α2, ", αr 是 α1, α2, ", αr , β1, β2, ", βm 的一个极大无关组.
⎡ 1 2 −1 3 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 −3 6 −3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 −7 2 −10 ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎡1 2 −1 3 ⎤ ⎡1⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1⎢ ⎥ ⎢0 1 −2 1 ⎥ ， X = ⎢ 6 ⎥ ２2. ⎢ ⎥ 4⎢ ⎥ ⎢0 0 −12 −3 ⎥ ⎢1⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎣⎢ ⎥⎦

四川大学线性代数课件第二章第二节行列式的性质

例
1 2 2 2 3 1
第一列第一行
c
1 3 2 1 c1 c2 1 + 3 3 1 2
2
c
1
r
1
1 r r 2 1 3 1 2 3 1
2 2 1
3 1 1
第三行r3
由－变＋由＋变－
证明： a
11
a 12 as2 at2 an2

a1n a sn a tn a nn D1
=
rik
a11
a12 a 22 an 2

a1n a2 n a nn
k a 21
a n1
推论1 行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.
第i行(或列)提出公因子k, 记作rik(或cik)
例 2 5 3 4 10 1
÷ ÷ 2 2 ÷ ÷ 5 6 r 2 5
( 1)
j1 j 2 j n
( j1 j 2 j n )
a j 1a j 2 a j
1 2
nn
D
说明：行列式中行与列地位相同，对行成立的性质对列也成立，反之亦然。
性质2 互换行列式的两行(列), 行列式变号
以ri表示行列式的第i行, 以ci表示行列式的第i列, 交换i,j两行记作rirj, 交换i,j两列记作ci cj. 第二列
a s1
设
D
a t1 a n1
交换s、t 两行，得
a 11 a t1 a s1 a n1 a 12 at2 a s2 an2 a1n a tn a sn a nn
s行 t行

四川大学线性代数教材第四章第四节

子空间。
例在(欧式)空间R3中，设
W1 {( x , y, 0)T x , y R} W2 {( x , 0, z )T x , z R} W3 {( 0, y , z )T y, z R}
XY平面 XZ平面 YZ平面
W1 ,W2 ,W3均是R3的子空间。
一般地，过原点的平面是子空间的一个直观描述。两个特殊子空间：
向量组，则 span {1 ,2 , p } span {1 , 2 ,t }
1 , 2 , p与1 , 2 ,t等价。
下面介绍与矩阵A有关的两个重要的子空间：
定义2 设A是m n矩阵，称A的列向量的所有可能的线性
组合构成的集合为A的列空间ColA。
有 (0, a2 b2 , a3 b3 ,, an bn )T H1 ,
对k R，有 k (0, ka2 , ka3 ,, kan )T H1 ,
因此，H1是Rn的子空间。
(2) 显然， 0 H 2，对 , H 2 , k R，且k 1, (1, a2 , a3 ,, an )T , (1, b2 , b3 ,, bn )T
对应的齐次线性方程组为
x4 3 x5 0 x1 2 x 2 x 3 2 x4 2 x5 0 00
取x2 , x4 , x5为自由变量，则 x1 2 x2 x4 3 x5 , x3 2 x4 2 x5
则其一般解为
x1 2 x 2 x4 3 x5 2 1 3 x2 x2 1 0 0 x 2x 2x x 0 x 2 x 2 4 5 2 4 3 5 x4 x4 0 1 0 x x 5 5 0 0 1

线性代数C第2章矩阵6讲1

则图中的航线用矩阵表示为
0 1 A= 0 1
1 1 1 0 0 0 . 1 0 0 0 1 0
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§2 矩阵的运算
2.1 矩阵的加法 1. 定义定义2 .1 设有两个m×n矩阵 A =(aij) 定义末矩阵 A 与 B 的和记作 A + B , 规定为
a11 a12 a13 a14 a a A = 21 22 a23 a24 a31 a32 a33 a34
表示了工厂向三个商店发送四种产品的数量.
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若用bi1 表示第 i 种产品的单价，bi2 表示第 i 种产品的单件重量，则着四件产品的单价即单件重量也可用矩阵表示为
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2. 矩阵的定义定义1.1 由m×n个数排成m个行n个列的数表定义 a11 a12 ⋯ a1n a a22 ⋯ a2n 21 ⋮ ⋮ ⋮ am1 am2 ⋯ amn 叫做m行n列的矩阵列的矩阵，或称m×n矩阵矩阵. 行列的矩阵矩阵表示法： ①A、B、C、E；等； ② A m×n， B s ×r 等； ③ A=(aij) 或 A=(aij) m×n等.
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2.3 矩阵与矩阵相乘 1. 对乘加法则
( ai1
ai2
= ai1b j + ai2b2 j +⋯+ aisbsj 1
= ∑ aikbkj = cij .
k= 1 s
b j 1 b 2j ⋯ ais ) ⋮ bsj
称此运算为行矩阵与列矩阵的对乘加法则对乘加法则. 对乘加法则
29 例2.4 设

川大线性代数习题册第6章答案

，此时原二次型的矩阵为所以 0 3 a = 10 ，解之即得 a = 2 （ a = −2 舍去）
0 a 3 ⎡2 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ A = ⎢ 0 3 2 ⎥ ，其特征值为 λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = 5 . ⎢ ⎥ ⎢0 2 3 ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦
⎡−1 0 0 ⎤ ⎡1 0 0⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 因 λ1E − A = ⎢ 0 −2 −2 ⎥ 可初等行变换为 ⎢ 0 1 1 ⎥ ，故齐次线性方程 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 −2 −2 ⎥ ⎢0 0 0⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎡ 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 组 (λ1E − A) X = 0 的基础解系为 X1 = ⎢−1⎥ ; ⎢ ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎡0 0 0 ⎤ ⎡0 1 2⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 因 λ2E − A = ⎢ 0 −1 −2 ⎥ 可初等行变换为 ⎢ 0 0 1 ⎥ ，故齐次线性方程组 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 − 2 −1 ⎥ ⎢0 0 0⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎡1⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ (λ2E − A) X = 0 的基础解系为 X2 = ⎢0 ⎥ ; ⎢ ⎥ ⎢0⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎡3 0 0 ⎤ ⎡1 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 因 λ5E − A = ⎢ 0 2 −2 ⎥ 可初等行变换为 ⎢ 0 1 −1⎥ ，故齐次线性方程 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 −2 2 ⎥ ⎢0 0 0 ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎡0⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 组 (λ3E − A) X = 0 的基础解系为 X 3 = ⎢ 1 ⎥ ; ⎢ ⎥ ⎢1⎥ ⎢⎣ ⎥⎦
⎡− 1 2 ⎤ ⎡ 1 2⎤ ⎡ 1 2⎤ ⎡1 2 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− 1 2 ⎥ ⎢− 1 2 ⎥ ⎢− 1 2 ⎥ ⎢1 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ α1 = ⎢ ⎥ , α2 = ⎢ ⎥ , α3 = ⎢ ⎥ , α4 = ⎢ ⎥ . ⎢ 1 2⎥ ⎢− 1 2 ⎥ ⎢ 1 2⎥ ⎢1 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1 2⎥ ⎢ 1 2⎥ ⎢− 1 2 ⎥ ⎢1 2 ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎡ 1 2 ⎢ 令 Q = α1 α2 α3 α4 = ⎢ ⎢ 1 2 −1 2 1 2 ⎢ ⎢ 1 2 1 2 −1 2 ⎢⎣ 1 2⎤ ⎥ 1 2 ⎥⎥ ⎥ ，则 Q 为正交矩阵. 1 2⎥ ⎥ 1 2 ⎥⎥ ⎦

川大02-03年线代期末考试+答案

线性代数期末试题四川大学20032002−.________))((,,.2._____________,,,.1)15(.222的条件是则为同阶方阵设是为等幂矩阵的条件则为同阶等幂矩阵设的矩阵称为等幂矩阵满足条件分填空题一B AB A B A B A B A B A A A −=−++=._______,,0||,,,.3==≠X B AXC AC n C B A 则如果且阶矩阵均为设._______),6,2,4(),2,1,3(),3,1,2(.4321则该向量组线性向量组=−==ααα._____0)(,2)(,5)(,5,.5个向量有的基础解系含则齐次线性方程组秩秩阶矩阵都是设===X AB B A B A .|,,,|4,|,,,|,|,,,|4,,,,,.1)15(.211232321132121321等于（）阶行列式则列式阶行且都是四维列向量若分选择题二ββαααβαααβαααββααα+==n m nm D m n C n m B n m A −−+−+).(,)(),()(,).(则三条直线设,,,.2321332123211⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=c c c b b b a a a ααα().)3,2,1,0(),3,2,1(022交于一点的充要条件是其=≠+==++i b a i c y b x a ii i i i 线性无关线性相关秩秩线性无关线性相关2132121321321321,,,,).(),(),,().(,,,)(;,,).(ααααααααααααααααD C B A =件既不充分也非必要的条充分而非必要条件必要二非充分条件充分必要条件角化的可相似对个不同特征值是有阶矩阵).(;).()(;).(().3D C B A A n A n.)().(;)(;).()32),,(.42221321半正定的不定的；半负定的负定的（是二次型D C B A x x x x x f −−=的基础解系。

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2
-1
.
学号：
姓名
ì ï x 1 + x 2 + x 3 + 4x 4 - 3x 5 ï ï ï ï x1 + 3x 2 - x 3 - 2x 4 - x 5 七. (12 分) 求齐次线性方程组 í 2x1 + 3x 2 + x 3 + 5x 4 - 5x 5 ï ï ï ï 3x + 5x 2 + x 3 + 6x 4 - 7x 5 ï ï î 1
五. (8 分) 设 n 阶矩阵 A 满足 A - 3A + 2I = 0 , I 是单位矩阵, 证明 A 可逆, 并求 A 六. (8 分) 设向量 a, b 线性无关, 证明 a + b, a - b 也线性无关. 注：1 试题字迹务必清晰，书写工整。 2 题间不留空，一般应题卷分开 3 务必用 A4 纸打印本题页，本页为第教务处试题编号：页
2
二. (5 分) 已知 4
1 -5 x 3 = 0 , 求x .
8 -1 -7
5 1 三. (10 分) 计算 n 阶行列式 Dn = 1
1 5 1

1 1 . 5
é 2 2 3ù é1 0 ù ê ú ê ú ê ú ê ú 四. (12 分) 解矩阵方程 AX = B , 其中 A = ê 1 -1 0 ú , B = ê 0 1 ú . ê ú ê ú êë-1 2 1 úû êë2 -2 úû
=0 =0 的通解. =0 =0
八. (12 分) 讨论方程组解的情况, 并在有无穷多解时, 求出通解.
ì ï 2x 1 + 3x 2 - x 3 = 4 ï ï ï-9x - 4x + 5x = 1 í 1 2 3 ï ï -4x 1 + ax 2 + 2x 3 = -8 ï ï î é 4 6 0ù ê ú ê ú 九. (15 分) 设 A = ê-3 -5 0 ú . (1) 求 A 特征值和特征向量; (2) A 能否与对角阵相似; (3) 若 A 与 ê ú êë-3 -6 1 úû 对角阵相似, 求出相似变换矩阵 P .T Nhomakorabea=
, A B=
T
.
é 1 2 -3 ù ê ú ê a úú , 秩 (A) = 1 , 则 a, b 之值为 2. 设 A = ê 2 4 ê ú êëb -6 9 úû
3. 设 A 为 3 阶方阵, A = -5 , 则 AA
T
.
=
-1
, 3A = 的一个特征值是
*
. .
4. 设 4 是 3 阶可逆矩阵 A 的一个特征值, 则 3A
四川大学期考试试题
（2005——2006 学年第一学期）
课程号：适用专业年级：课序号：课程名称：线性代数学生人数：印题份数：任课教师：学号：成绩：姓名：
考试须知
四川大学学生参加由学校组织或由学校承办的各级各类考试，必须严格执行《四川大学考试工作管理办法》和《四川大学考场规则》。有考试违纪作弊行为的，一律按照《四川大学学生考试违纪作弊处罚条例》进行处理。四川大学各级各类考试的监考人员，必须严格执行《四川大学考试工作管理办法》、《四川大学考场规则》和《四川大学监考人员职责》。有违反学校有关规定的，严格按照《四川大学教学事故认定及处理办法》进行处理。一.填空题(每空 3 分,共 18 分) 1. 设 A = (1, -2) , B = (3, 2) , 则 AB
本题
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