材料力学能量法
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材料力学第十三章 能 量 法
单元体上外力作功： W s e1 d e 0
应变能密度：
ve
e1 s d e
0
边长为dx、dy、dz的单元体： dVe ve d x d y d z
杆： Ve dVe V ve dV
线性弹性体：
ve
s e1
0
de
1 2
s
1e1
1 2
Ee12
1 2E
s
2 1
ve
1 d
0
1 2
1
AF
Fl 2 16 EI
应变能：
Vε
1 2
M AM
(1 2
FDCF
M AF )
1
F 2l3 (
M
2l
MFl 2
)
EI 96 6 16
④ M、F 分别单独作用
F
A
DCF
B
A M AM
B
DCF
Fl 3 48 EI
AM
Ml 3EI
应变能之和： VεF VεM
1 2
FDCF
1 2
M AM
1 EI
VεS
l
s
FS2 (x) d x 2GA
s — 剪切形状因数
S
S
通常，梁的剪切应变能远小于弯曲应变能。
杆件发生组合变形
在线弹性、小变形的条件下，每一基本变形的内力仅 在其相应的基本变形上作功，在其他基本变形上不作功。
Vε
l FN2 (x) d x 0 2EA
l T 2 (x) dx
0 2GIp
材料是线弹性的，但变形 D 与力F 不是线性的
几何非线性弹性问题
材料是非线性弹性的
物理非线性弹性问题
材料力学：能量法
P
P1
l
P
Δ1
o
d
1
外力作功为
W 0 P dΔ
Ve W Δ1
0
P dΔ
p
l
p
P
从拉杆中取出一个各边为 单位长 的单元体， 作用在单元体上，下两表面的力为 P= 1 1 =
其伸长量
l=1=
p
1
p
d
1
该单元体上外力作功为
0 d
§3-2
一、应变能
应变能 • 余能
1. 线弹性条件下，通过外力功求应变能 常力作功：常力 P 沿其方向线位移 上所作的功
W P
变力作功：在线弹性范围内，外力 P 与位移 间呈线性
关系。 (静荷载为变力）
P
P
l
P
o
轴向拉（压）杆外力作功
Pl F N l EA EA
FN
P P P l 2 sin a 2tga 2d
P
2 FN d l
l
d
a1
l
a1
FN
FN
d
A P1
P
2 FN d P l
FN l EA
d2 l l l 2 l 2 2l l
2
l
(
FNl ) EA
2
2l (
FN l ) EA
0
1 1 2 d E1 2 2E
2
扭转杆
G
ve
1
0
1 1 2 d G 1 2 2G
2
例 题： 在线弹性 范围内工作的杆， 已知： m、G、l、d 。 求：在加载过程中所积蓄的应变能 Ve。
材料力学13能量法
1 1 V F2 22 F111 F2 21 2 2
功的互等定理:
F1 12 F2 21
即：F1 力在由F2力引起的位移上所作的功，等于F2 力在由F1力引起的位移上所作的功。
若F1 = F2 ，则得
位移互等定理:
12 21
即： F2引起的F1 作用点沿 F1方向的位移，等于同 样大小的力F1 引起的F2作用点沿 F2方向的位移。
( F1 F2 ) L F1 L F2 L F1F2 L V 2 EA 2 EA 2 EA EA
2
2
2
L
2） F1 单独作用下：
F1 F2
F1 L V 1 2 EA
3）F2 单独作用下：
F22 L V 2 2 EA
2
L F1 F2
L
V1 V 2 V
证毕。
b Px1 l ( 0 ≤x1 ≤ a) a CB段： M(x2 ) = RB x2 = Px2 l ( 0 ≤x2≤ b) 2
AC段：M(x1 ) = RA x1 =
13-3 应变能的普遍表达式
基础知识
广义
线弹性结构上受一个外力作用，任一点的位移与该力成正比。
线弹性结构上任意一点的广义位移与各广义力成线性 齐次关系。 比例加载时，线弹性结构上任一外力作用点沿外力方 向的位移与该点的广义力成正比。
P12 l1 P1作功为 V 3 2 EA
（5）应变能是可逆的。(跳板跳水)
总功仍为上述表达式。
直接利用功能原理求位移的实例
利用能量法求解时，所列 例 求简支梁外力P作用点C的挠度。 弯矩方程应便于求解。
解：
A x1 RA l a
P
功的互等定理:
F1 12 F2 21
即：F1 力在由F2力引起的位移上所作的功，等于F2 力在由F1力引起的位移上所作的功。
若F1 = F2 ，则得
位移互等定理:
12 21
即： F2引起的F1 作用点沿 F1方向的位移，等于同 样大小的力F1 引起的F2作用点沿 F2方向的位移。
( F1 F2 ) L F1 L F2 L F1F2 L V 2 EA 2 EA 2 EA EA
2
2
2
L
2） F1 单独作用下：
F1 F2
F1 L V 1 2 EA
3）F2 单独作用下：
F22 L V 2 2 EA
2
L F1 F2
L
V1 V 2 V
证毕。
b Px1 l ( 0 ≤x1 ≤ a) a CB段： M(x2 ) = RB x2 = Px2 l ( 0 ≤x2≤ b) 2
AC段：M(x1 ) = RA x1 =
13-3 应变能的普遍表达式
基础知识
广义
线弹性结构上受一个外力作用，任一点的位移与该力成正比。
线弹性结构上任意一点的广义位移与各广义力成线性 齐次关系。 比例加载时，线弹性结构上任一外力作用点沿外力方 向的位移与该点的广义力成正比。
P12 l1 P1作功为 V 3 2 EA
（5）应变能是可逆的。(跳板跳水)
总功仍为上述表达式。
直接利用功能原理求位移的实例
利用能量法求解时，所列 例 求简支梁外力P作用点C的挠度。 弯矩方程应便于求解。
解：
A x1 RA l a
P
材料力学第8章-能量法
能量原理的应用
能量原理可以应用于弯曲、拉伸、压缩等各种不同的力学问题。通过计算系统的势能和应变能，可以分 析材料的应力分布、变形情况和稳定性。
弹性势能和弹性材料的能量原 理
弹性势能是指弹性材料在外力作用下产生的能量。通过应变能和弹性势能之 间的关系，可以推导出弹性材料的力学性质和变形方程。
弹塑性材料的能量原理
材料力学第8章-能量法
材料力学的能量法是研究材料变形和力学行为的重要方法，它具有广泛的应 用。本章将介绍能量法的基本概念和应用，以及弹性和弹塑性材料的能量原 理。
能量法的基本概念
能量法是一种力学分析方法，通过考虑系统的能量变化，推导出材料的力学 性质和变形行为。能量法的基本概念包括势能和应变能的概念，以及能量守 恒定律。
通过能量法，我们可以分析臂梁在外力作用下的弯曲行为。通过计算和优化梁的几何参数和材料性质， 可以设计出更加稳定和高效的悬臂梁结构。
总结和要点
能量法是一种重要的材料力学分析方法，它通过考虑材料的能量变化，分析 材料的力学性质和变形行为。
对于弹塑性材料，除了考虑弹性势能外，还需要考虑应变能和塑性势能的贡献。能量原理可以用来分析 弹塑性材料的强度和变形行为。
能量法在材料力学中的重要性
能量法是材料力学中的一种基本方法，它可以用来分析各种不同类型的力学问题，包括材料的变形、破 坏和失稳行为。掌握能量法对于研究和设计材料结构至关重要。
应用实例：悬臂梁弯曲问题的分析
材料力学第12篇能量方法
(
2 x
2 xy
2 xz
)dV
V 2E 2G 2G
M T(x) M (x)
FN (x)
MT(x) M (x) F N (x)
dx 图12.9
组合变形时的应变能
M T(x) M (x)
FN (x)
MT(x) M (x) FN (x)
dx
图12.9
dV
dW
1 2
FN (x)d(l)
1 2
M T (x)d
dF1l EA
F 2l 2EA
1 2
Fl
V
1 2
F l
FN2l 2EA
F
(a)
如果杆件的轴力 FN 分段为常量时
V
n FN2i li i 1 2Ei Ai
△l
l
F
F1
dF1
F A
B △l
O
△ l1 d(△ l1)
△l
(b)
图12.1
杆件轴线的轴力为变量 FN (x) 时
V
l
FN2 (x) 2 EA( x)
V
V
v
dV
l
A
1 2G
FbSISzz*图122.d6 A
dx
(d)
γdx
dx
(c) 图12.6
FS( x)
梁的应变能
V
V v dV
{
l
A
[
M 2(x)y
2EI
2 z
2
FS
2
(
x)
S
*2 z
2GI z2b 2
]dA}dx
令
k
A
I
2 z
A
材料力学之能量法
A
l/2
F C 1
l/2
B
l/2 1 1 Fl 3 W Fδ1 F F 2 2 48 EI C A 2) 力偶由零增至最后值 Me Mel B 截面的转角为 θ 3 EI 1 1 Mel 力偶 Me 所作的功为 W2 M eθ M e 2 2 3 EI
l/2 Me B
由 V =W 得
( FRsin ) 2 πF 2 R3 Rd 2 EI 8EI
Δ BV
πFR 4 EI
3
A
O
例: 简支梁, 两种载荷按同样比例加载, 计算其变形能。 梁中点的挠度为 梁右端的转角为
Fl 3 M el 2 δ1 48EI 16 EI Fl 2 M el δ2 θ 16 EI 3EI
Fb 2 Fa 2 ( x1 ) ( x2 ) a b l dx1 l dx2 0 0 2 EI 2 EI
2
B
x1 a l C x2
b
F 2b2 a3 F 2a 2 b3 F 2a 2b 2 2 2 2 EIl 3 2 EIl 3 6 EIl
1 W F vC 2
由 V =W 得
(( ))
1
q A
RA
F=qa B
C
x
A x 1/2a
B
C x
x
2a
a
2a
a
(2) 求 C 截面的转角 ( 在 C 处加一单位力偶 ） 2 qa qx x AB: M ( x) x (0 x 2a) M ( x) 2 2 2a BC: M ( x) qa x (0 x a) M ( x) 1 a 1 2 a qa qx 2 x 5qa3 c [ ( x )( )dx (qax)(1)d x] 0 EI 0 2 2 2a 6 EI （
l/2
F C 1
l/2
B
l/2 1 1 Fl 3 W Fδ1 F F 2 2 48 EI C A 2) 力偶由零增至最后值 Me Mel B 截面的转角为 θ 3 EI 1 1 Mel 力偶 Me 所作的功为 W2 M eθ M e 2 2 3 EI
l/2 Me B
由 V =W 得
( FRsin ) 2 πF 2 R3 Rd 2 EI 8EI
Δ BV
πFR 4 EI
3
A
O
例: 简支梁, 两种载荷按同样比例加载, 计算其变形能。 梁中点的挠度为 梁右端的转角为
Fl 3 M el 2 δ1 48EI 16 EI Fl 2 M el δ2 θ 16 EI 3EI
Fb 2 Fa 2 ( x1 ) ( x2 ) a b l dx1 l dx2 0 0 2 EI 2 EI
2
B
x1 a l C x2
b
F 2b2 a3 F 2a 2 b3 F 2a 2b 2 2 2 2 EIl 3 2 EIl 3 6 EIl
1 W F vC 2
由 V =W 得
(( ))
1
q A
RA
F=qa B
C
x
A x 1/2a
B
C x
x
2a
a
2a
a
(2) 求 C 截面的转角 ( 在 C 处加一单位力偶 ） 2 qa qx x AB: M ( x) x (0 x 2a) M ( x) 2 2 2a BC: M ( x) qa x (0 x a) M ( x) 1 a 1 2 a qa qx 2 x 5qa3 c [ ( x )( )dx (qax)(1)d x] 0 EI 0 2 2 2a 6 EI （
材料力学能量法
材料力学能量法材料力学能量法是材料力学中的一种重要分析方法，它通过能量原理来研究材料的力学性能和行为。
能量法在工程应用中具有广泛的意义，可以用于解决各种复杂的材料力学问题。
本文将对材料力学能量法进行详细介绍，包括其基本原理、应用范围和计算方法等内容。
首先，我们来看一下材料力学能量法的基本原理。
能量法是以能量守恒原理为基础的一种力学分析方法，它认为在任何力学系统中，系统的总能量始终保持不变。
在材料力学中，通过能量方法可以方便地求解结构的变形、应力分布和稳定性等问题。
能量法的基本原理为系统的总能量等于外力对系统做功的总和，即系统的内能和外力对系统做功的总和保持恒定。
其次，材料力学能量法的应用范围非常广泛。
它可以用于分析材料的弹性、塑性、断裂等力学性能，也可以用于研究材料的疲劳、蠕变、冷却等行为。
在工程实践中，能量法可以应用于各种材料的设计、优化和性能评估，如金属材料、复合材料、土木工程材料等。
通过能量法分析，可以更好地理解材料的力学行为，为工程设计和材料选型提供科学依据。
最后，我们来介绍一下材料力学能量法的计算方法。
能量法的计算方法主要包括弹性能量法、弹塑性能量法和断裂能量法等。
在应用中，需要根据具体问题选择合适的能量方法，并结合数值计算和实验验证进行分析。
在计算过程中，需要考虑材料的本构关系、加载条件和边界约束等因素，以确保计算结果的准确性和可靠性。
综上所述，材料力学能量法是一种重要的力学分析方法，具有广泛的应用前景和深远的理论意义。
通过能量法分析，可以更好地理解材料的力学性能和行为，为工程实践提供科学依据。
在今后的研究和应用中，我们需要进一步深入理解能量法的基本原理和计算方法，推动其在材料力学领域的发展和应用。
材料力学 能 量 方 法
例4.4 已知: F, R, EI
求: BV
解: 1. 写 M (x) 并对F 求偏导
F B R F1
A : M ( ) = - FRsin M/F = - Rsin 2. 求 BV M ( ) M 1 /2 BV = EI F Rd = EI 0 (-FRsin )(-Rsin ) Rd
上式适用于线性和非线性弹性或非弹性杆件或杆系。 对于线弹性杆或杆系:
FN(x)dx d = EA T(x)dx d = GI t My(x)dx dy = E I y Mz(x)dx dz = E I z
0 FN(x)FN(x) T 0(x)T(x) My0(x)My(x) Mz0(x)Mz(x) dx + G I dx + dx + dx = EA E Iy E Iz l t
l
M 2(x) dx 2 EI
非圆截面杆:
2 FN(x) dx T 2(x) dx M 2(x) dx M 2(x) dx y z V = + + + l 2 EA l 2 GIt l 2 EI y l 2 EI z
功能原理：
W = V
例4.1 知: F , Me , EI , l
求: 外力做的总功 W 解: wB =
P B
B + P
R
1
B
16PR2 + 32PR2 ( 1 – 1 ) = Ed 4 Gd 4 4
例4.9 知:P , l , EI
(省竞赛试题)
y A
P B x l
求: 反向弯曲的挠曲线方程 解: 由图乘法求力作用点挠度: y = – {[a(Pab/l )/2](2ab/3l ) + + [b(Pab/l )/2](2ab/3l ) }/EI Pa2b2 = – 3EIl 令 a = x , b = l – x , 并反号, 得 y = Px2(l – 3EIl x)2
材料力学(能量法)
弹性变形阶段
01
外力作用下，材料发生弹性变形，此时外力所做的功全部转化
为应变能储存于材料内部。
塑性变形阶段
02
当外力继续增加，材料进入塑性变形阶段，部分应变能转化为
热能散失到环境中。
断裂破坏阶段
03
当材料达到强度极限时发生断裂破坏，此时储存的应变能迅速
释放并转化为断裂表面的新表面能和其他形式的能量。
非圆截面扭转时的能量可以通过实验或数值模拟等方法进 行计算，以获得准确的能量值。
扭转变形过程中能量转化
弹性变形能
在扭转变形过程中，部分能量以弹性变形能的形式储存在材料中。 当外力去除后，这部分能量可以释放并使材料恢复原状。
塑性变形能
当扭转变形超过材料的弹性极限时，部分能量会以塑性变形能的形 式消耗在材料中。这部分能量不可逆转，导致材料产生永久变形。
压缩过程中能量变化
外力做功
在压缩过程中，外力对杆件做 功，使其产生压缩变形和位移 。外力做功的大小与外力的大 小和杆件的位移成正比。
内力耗能
杆件在压缩过程中，材料内部 会产生应力和应变，从而消耗 能量。内力耗能的大小与材料 的应力-应变关系有关。
弹性势能
杆件在压缩过程中，由于材料 的弹性变形，会储存一定的弹 性势能。弹性势能的大小与材 料的弹性模量和变形量有关。
结构稳定性分析方法
能量准则
通过比较结构失稳前后的能量变 化，判断结构的稳定性。若失稳 后能量降低，则结构不稳定。
平衡路径跟踪法
通过逐步增加荷载或位移，跟踪 结构的平衡路径，观察结构从稳 定到不稳定的转变过程。
特征值分析法
基于结构刚度矩阵和质量矩阵， 求解特征值和特征向量，分析结 构的振动特性和稳定性。
材料力学--能量法
1、求内力
F
R
A
FA
R
M n
T
t
弯 矩:M () FR sin
扭矩:T () FR(1 cos) 12
2、变形能：
弯 矩:M () FR sin
扭矩:T () FR(1 cos)
U T 2 (x) dx M 2 (x) dx
l 2GI P
l 2EI
U1 U2
U U1 U2 F1 l2 U1 U2 F2 l1
结论：应变能与加载次序无关。
10
[例11-1-1] 用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。
F
解：外力功等于应变能
A
C
B
W
1 2
FwC
a
a
U
L
M 2(x) 2EI
dx
利用对称性，得：
M (x)
L 2EA
L 2GIP
L 2EI
注意:应变能是力的二次函数，因此，引起同一 基本变形的一组外力在杆内所产生的应变能，并不等 于各力分别作用时产生的应变能的简单相加。
6
例如： 求图示简支梁的应变能。 解：设F和M同时由零按比 A 例加至终值。
（1）求支反力，列弯矩方程：
x
F
C
l 2
M1(x)
1 2
MFl2 16
M 2l 6
7
U
1 EI
F 2l3 96
MFl2 16
M 2l 6
(a)
A
FM
C
B
变形(a)式得
l
l
F
R
A
FA
R
M n
T
t
弯 矩:M () FR sin
扭矩:T () FR(1 cos) 12
2、变形能：
弯 矩:M () FR sin
扭矩:T () FR(1 cos)
U T 2 (x) dx M 2 (x) dx
l 2GI P
l 2EI
U1 U2
U U1 U2 F1 l2 U1 U2 F2 l1
结论：应变能与加载次序无关。
10
[例11-1-1] 用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。
F
解：外力功等于应变能
A
C
B
W
1 2
FwC
a
a
U
L
M 2(x) 2EI
dx
利用对称性，得：
M (x)
L 2EA
L 2GIP
L 2EI
注意:应变能是力的二次函数，因此，引起同一 基本变形的一组外力在杆内所产生的应变能，并不等 于各力分别作用时产生的应变能的简单相加。
6
例如： 求图示简支梁的应变能。 解：设F和M同时由零按比 A 例加至终值。
（1）求支反力，列弯矩方程：
x
F
C
l 2
M1(x)
1 2
MFl2 16
M 2l 6
7
U
1 EI
F 2l3 96
MFl2 16
M 2l 6
(a)
A
FM
C
B
变形(a)式得
l
l
材料力学第10章-能量法
10-4 卡氏定理
（2）先加载dFi ，则力 dFi 在其相应的位移 di上做的功为
1
W1 dFi di
2
F1
再加载F1, F2 ,, Fn ，在相应
的位移 i 上所做的功为
1
n1
W2 i1 2 Fi i V
F2
2
dFi Fi
di
i
n
Fn
原来载荷 dFi 对位移i 上所做的功为
W3 dFi i
F A
F
在位移坐标轴上取了一个微段d ，
该微段对应的外力可视为常力。则常力作
功为
dW Fd k d
B
当外载荷和相应的位移由零缓慢增加 O
d
至F 和 时，在这个过程中外力作功
k 2 F
W kd 0
2
2
SOAB
线弹性范围内，外载荷所做的功等于力与位移乘积的一半。
10-2 外载荷做的功
二、多个力作用下的外力功
量的损失），弹性体内部所贮存的应变能，在数
值上等于外力所作的功，即满足：
V W
l
P
利用功和能的概念来求解可变形固体的位移、变形和内力
等的方法，通称为能量方法。
10-2 外载荷做的功
一、单个力作用下的外力功
材料服从胡克定律，即在线弹性范围内，弹性体在外力
作用下位移 与外载荷F 成正比，即
F k
横力弯曲时，弯矩为x的函数，则横力弯曲时的应变能为
M (x)2 dx dV
2EI
M (x)2 dx
V l 2EI
四、用广义力和广义位移表示的应变能
轴向压力
扭转
弯曲
F l V 2
V M e
《材料力学》11-1能量法
F1 dF
0
与外力功
W
1 0
Fd之和等于矩形面积
F1 1
线弹性范围内外力功等
F
F
于余功，能等于余能。
F1
F1
o
1
o
1
例题
试计算图示结构在荷载 F1 作用下的余能，结构中两杆的 长度均为 l，横截面面积均为A材料在单轴拉伸时的应力
—应变曲线如图所示。
B
D
K1nn1 1
C
F1
解：由结点C的平衡方程，可得两杆的轴力为
例题
xy平面内，由k根杆组成的杆系，在结点A处用铰链结 在一起，受到水平荷载和铅垂荷载作用，截面分别 为 A1,A2,Ai,Ak ，试用卡氏第一定理求各杆的轴力。
1
2
i
k
F1 A
F2
这种以位移为基本未知量，把它的求解当作关键性问题的方法称为位移法
本章作业
(II)3－2，
(II)3－4，
(II)3－10，
例题
图示在线弹性范围内工作的一端固定、另一端自由的圆轴，在自由端截面
上承受扭转力偶矩M1。材料的切变模量G和轴的长度 l 以及直径 d 均已知。 试计算轴两端的相对扭转角。
M1
d
A
B
l
四 余功、余能及卡氏第二定理
Wc
F1 dF
0
与余功相应的能称为余能
Vc V vcdV
vc
1 d
0
Vc
Wc
V cvc2Al2A nK lnn1 cF 1 o sn1
卡氏第二定理
F1
F2
F3
Fn
A
B
1
2
3
n
材料力学 能量法
第九章 能量法
概述 弹性体在外力作用下将发生变形，在变形过程中， 弹性体在外力作用下将发生变形，在变形过程中，一方面 载荷将在相应的位移上做功，称为外力功， 表示； 载荷将在相应的位移上做功，称为外力功，用 W 表示；另一 方面，弹性体由于变形，在其内部存储了能量， 方面，弹性体由于变形，在其内部存储了能量，这种因变形而 存储的能量称为应变能（变形能） 表示。 存储的能量称为应变能（变形能），用 Vε 或 U 表示。 根据能量守恒定律:如果载荷是静载，则应变能在数值上应 根据能量守恒定律:如果载荷是静载， 等于外力功: 等于外力功:
Vε1 = W Vε2 = W2 1
Vε1 = Vε2 = W = W2 1
F∆12 = F2∆21 1
F1
二、位移互等定理
F ∆12 = F2∆21 1
若F1=F2
1
11
2
21
F2
∆12 = ∆21
1
12
2
22
F1作用点沿 1方向由于 2而引起的位移∆12,等于 2作用点 作用点沿F 方向由于F 而引起的位移∆ 等于 等于F 方向由于F 引起的位移∆ 沿F2方向由于 1引起的位移∆21. 一个力作用在2点时， 点所引起的位移等于 一个力作用在 点时，在1点所引起的位移等于该力作用在 点时 点所引起的位移等于该力作用在 1点时，在2点所引起的位移 点时， 点所引起的位移 点所引起的位移. 点时 上述互等定理中的力和位移都应理解为广义的，如果力 上述互等定理中的力和位移都应理解为广义的， 换成力偶，则相应的位移应当是角位移。 换成力偶，则相应的位移应当是角位移。
例9-3 如图所示悬臂梁，已知梁的抗弯刚度为 如图所示悬臂梁，已知梁的抗弯刚度为EI, 若B点的垂直 点的垂直 位移为0，试用互等定理求F 位移为 ，试用互等定理求 B
概述 弹性体在外力作用下将发生变形，在变形过程中， 弹性体在外力作用下将发生变形，在变形过程中，一方面 载荷将在相应的位移上做功，称为外力功， 表示； 载荷将在相应的位移上做功，称为外力功，用 W 表示；另一 方面，弹性体由于变形，在其内部存储了能量， 方面，弹性体由于变形，在其内部存储了能量，这种因变形而 存储的能量称为应变能（变形能） 表示。 存储的能量称为应变能（变形能），用 Vε 或 U 表示。 根据能量守恒定律:如果载荷是静载，则应变能在数值上应 根据能量守恒定律:如果载荷是静载， 等于外力功: 等于外力功:
Vε1 = W Vε2 = W2 1
Vε1 = Vε2 = W = W2 1
F∆12 = F2∆21 1
F1
二、位移互等定理
F ∆12 = F2∆21 1
若F1=F2
1
11
2
21
F2
∆12 = ∆21
1
12
2
22
F1作用点沿 1方向由于 2而引起的位移∆12,等于 2作用点 作用点沿F 方向由于F 而引起的位移∆ 等于 等于F 方向由于F 引起的位移∆ 沿F2方向由于 1引起的位移∆21. 一个力作用在2点时， 点所引起的位移等于 一个力作用在 点时，在1点所引起的位移等于该力作用在 点时 点所引起的位移等于该力作用在 1点时，在2点所引起的位移 点时， 点所引起的位移 点所引起的位移. 点时 上述互等定理中的力和位移都应理解为广义的，如果力 上述互等定理中的力和位移都应理解为广义的， 换成力偶，则相应的位移应当是角位移。 换成力偶，则相应的位移应当是角位移。
例9-3 如图所示悬臂梁，已知梁的抗弯刚度为 如图所示悬臂梁，已知梁的抗弯刚度为EI, 若B点的垂直 点的垂直 位移为0，试用互等定理求F 位移为 ，试用互等定理求 B
材料力学 第12章_能量法
FN1 1, F
FN2 2 F
3. 根据卡氏定理计算ΔBV
ΔBV
F N1l1 EA
FN1 F
F N2l2 EA
FN2 F
Fl EA
j 1
EA j
FNj Fi
返回
例12-5 图示三角支架 已知：两杆的拉压刚度均为EA 试：试用卡氏定理求结点B的竖直位移ΔBV。
返回
例12-5 用卡式定理求位移ΔBV 。 解: 1. 杆件轴力分析(见例12-3) FN1 F , FN2 2F 2. 两杆轴力对F的一阶偏导数
返回
例12-3 图示结构 已知：斜杆AB长2 m,横截面面积为200 mm2，水平 杆AC的横截面面积为250 mm2，材料的弹性摸量 E=200 GPa，载荷F=10 kN。 试求：节点A竖直方向的位移
返回
FN 1
F 300 N2
解：1.计算各杆件的轴力 取节点A研究
Fx 0, FN1 cos FN2 0 Fy 0, FN1 sin F 0
FN2x dx
2EA
l
当FN/EA为常量时
V
FN2l 2EA
返回
2.扭转圆轴
扭转圆轴的应变能
V
l
T 2xdx
2GI p
当T/GIp为常量时
3. 弯曲梁
V
T 2l 2GI p
梁的应变能
V
M 2xdx
2EI
l
4. 组合变形杆
V
l
FN2xdx
等于Fi的作用点沿Fi作用方向的位移 Δi。
材料力学 第10章 能量法
材料力学第10章能量法在材料力学这门学科中，能量法是一种重要的分析方法。
它可以帮助我们计算杆件受力、弯曲、扭转等方面的机械能量，以及计算受力杆件的变形和应力分布等方面的物理能量。
本文将对材料力学第10章中的能量法做一简要介绍和讲解。
第一节：能量法的基本概念能量法的基本概念是物理学中的能量守恒定律。
根据能量守恒定律，能量可以被转化为其他形式，但总能量守恒不变。
在材料力学中，能量法通过分析杆件的受力变形过程，计算机械能、变形能和应变能等不同形式的能量，来求解某些物理量，如杆件的应力、变形等。
第二节：能量法的应用能量法可以应用在杆件的弯曲、扭转、受力等方面。
其中，弯曲问题是最为常见的。
在弯曲分析中，我们需要计算杆件上各点的剪力和弯矩，使用能量法时，我们可以采用双曲线弧长法和曲率半径法来计算。
在扭转分析中，我们需要计算杆件上各点的切向力和扭矩，使用能量法时，我们可采用扭转角度法和扭转能的变化法来计算。
在受力分析中，我们需要计算杆件上各点的应力和应变，使用能量法时，我们可以用弹性能和破裂能来计算杆件的应力和应变等物理量。
第三节：能量法的计算过程在应用能量法进行分析时，需要进行以下步骤：1. 建立受力变形模型：根据杆件的几何形状和受力情况建立受力变形模型，确定受力分布和变形情况。
2. 确定杆件的位移和应变能量：计算杆件受力变形后的弹性能、变形能等物理能量。
3. 利用能量守恒定律：将机械能、弹性能、变形能和应变能等能量之和等于零，根据能量守恒定律和受力变形模型，求解杆件的位移、应力和应变等物理量。
4. 对解得的结果进行有效检验：通过检查应力、应变等物理量的分布情况，对解得的结果进行有效检验。
总而言之，能量法是材料力学分析领域中非常重要的分析方法。
它广泛应用于工程设计、科研和生产实践等领域。
通过掌握能量法的理论基础和实际应用方法，可以有效地分析和解决杆件受力、弯曲、扭转等方面的技术问题，推动材料力学学科的发展进步。
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即 D1= d11F1+d12F2+ … +d1iFi + … +d1nFn
……
Di= di1F1+di2F2+ … +diiFi + … +dinFn
……
其中dij 是与载荷无关的常数。
注意：各载荷和位移都是指最终值，所以是常数。
材料力学
a
16
设各外载荷有一增量，于是位移亦有一增量。载荷 在位移增量上所作的元功为：
Di 简称为与力Fi (相)对应的位移。
材料力学
a
12
外力功属于静载作功。
静载是指从零开始逐渐地、缓慢地加载到弹性 体上的载荷，静载作功属于变力作功。
对于一般弹性体
F
W DF d D 0
F
F—D 图下方面积
对于线弹性体 W 1FD 2
F
D
F dD D
F
F为广义力，D为广义位移。
D
D
材料力学
a
dW=F1*dD1*+…+Fi*dDi*+…+Fn*dDn*
=lF1d(lD1)+…+lFid(lDi)+…+lFnd(lDn)
=(F1D1+…+FiDi+…+FnDn)ldl
外力作的总功为：
1
W (F1D1+L +FiDi +L + FnDn )
ldl
0
1 2
F1D1 +L
+
1 2
Fi Di
+L
（2）、（3）代入（1）得 Dl3cosDl1 变形几何方程
（1）考虑物理方程得 FE F 3 A lEA F c1o 2lsEA F c2o 2lsF E 3A 2l
几何方程
（2）、（3）代入上式并化简得得 F3cos2F1 和物理方
程的联立
材料力学
a
11
§10.2 互等定理
一、外力功的计算
Fi —— 广义力（集中力，力偶） Di —— 广义位移（线位移，角位移） Fi 为集中力，Di为该力作用点沿力方向的线位移； Fi为力偶，则Di为该力偶作用面内沿力偶转向的角 位移（转角）。
材料力学
a
14
先加F1后加F2 F1
F2
先加F2后加F1 F1
F2
不同加载次序外力功均相同，若按比例同时加载， 外力同时达到最终值，即比例加载，外力功不变。
材料力学
a
15
三、克拉贝依隆（Clapeyron)原理 线弹性体上，作用有载荷F1,F2 , … Fi, … Fn 与外力方向相应的位移为D1, D2, … Di, … Dn 由线弹性体的叠加原理，各位移是载荷的线性函数
材料力学
a
7
第十章 能量法
§10.1 概 述
一、能量法
利用能量原理解决力学问题的方法。
可用来求解变形、静不定、动载荷、稳定等问题。
二、外力功与应变能
1、外力功W F
F从零逐渐增加到最终值， 变形亦缓慢增加最终值。
D
载荷在其作用点位移上所作的功，属于变力作功。
材料力学
a
8
2、应变能 弹性体因载荷引起的变形而储存的能量。
三、功能原理
条 件：（1）弹性体（线弹性、非线弹性） （2）静载荷 —— 可忽略弹性体变形过程中的 能量损失。
原 理：外力功全部转化成弹性体的应变能。 Ve = W
材料力学
a
9
已知：EI = 常数，用功能原理
F
计算A点的挠度。
A
B
解：①建立坐标系
wA
x
l
②列弯矩方程 M =－Fx （ 0 ≤ x ＜ l ）
13
二、外力功与变形能的特点
外力功的数值与加载顺序无关，
只与载荷与位移的最终数值有关。
加载顺序：
F1, F2, …Fi，… F2, F1, … Fj，…
……………
不同时加载，加载顺 序不同，外力功不变。
如果外力功和变形能与加载顺序有关，会出现 什么结果？
按一种顺序加载，按另一种顺序卸载，能量还 能守恒么？——反证法！
F
D
dD D
材料力学
a
2
对于线弹性体
F
W 1FD
F
2
F为广义力，D为与力对应的广义位移。
2、应变能Ve
D
D
弹性体因变形而储存的能量，称为应变能。
由能量守恒定律，储存在弹性体内的应变能Ve 在数值上等于外力所作的功W。（忽略能量损失）
即 Ve =W
材料力学
a
3
二、线弹性体的应变能
1、轴向拉压
F
FF
+
1 2
Fn D n
n i 1
1 2
Fi Di
材料力学
a
17
设各外载荷按相同的比例，从零开始缓慢增加到最 终值。即任一时刻各载荷的大小为： F1*=lF1, F2*=lF2 ,… Fi*=lFi ,…Fn*=lFn
其中 l从0缓慢增加到1，说明加载完毕。
F
l
Dl Fl
EA
Ve W1 2FDl2FE2A l 2FE N 2A l
FN为变量时
Ve
FN2 (x) d x l 2EA
Dl Dl
材料力学
a
4
2、扭 转
Me
j M el G IP
Me Me
j j
Ve W1 2Mej2M GeI2lP
T2l 2GIP
T为变量时
Ve
T 2 (x) d x l 2GIP
材料力学
a
5
3、平面弯曲 纯弯曲
1 dq M d x EI
dq
dq M d x
EI
Ve
W1MdqM2dx
2
2EI
横力弯曲时忽略剪力对应变能的影响，如矩形截面，当 l /b=10时，剪力的应变能只占弯矩应变能的3﹪。
横力弯曲M(x)为变量
Ve
M2(x) d x l 2EI
材料力学
a
6
应变能Ve是内力（FN、T、M）的二次 函数，应变能一般不符合叠加原理。但若几 种载荷只在本身的变形上作功，而在其它载 荷引起的变形上不作功，则应变能可以叠加。
弹性固体的应变能
一、外力功与应变能 1、外力功W 载荷在其作用点位移上所作的功。 (1) 常力作功
F AF B D
M
q
M
W=FD
W=Mq
材料力学
a
1
(2) 静载作功 静载是指从零开始逐渐地、缓慢地加载到弹性
体上的载荷，静载作功属于变力作功。
对于一般弹性体
F
W DF d D 0
F
F—D图下方面积
③求外力功W 和应变能Ve
W
1 2
FwA
V e0 lM 2E 2d Ix0 l(F 2x E )I2dxF 6E 2lI3
1 2
FwA
F 2l3 6EI
wA
Fl 3 3EI
()
仅仅只能求力作用点与力相对应的位移，
其它位移的求解有待进一步研称结构，各杆抗拉刚度EA均相等。 B C
D
①由平衡方程，通过功能原理导出变形几 何方程；②由平衡方程结合功能原理求出 各杆内力。
l
解：A点的位移等于③杆的变形Dl3。
A Dl1
由功能原理有
1 2FD l31 2(F 1D l1F 2D l2F 3D l3)
F （1） Dl3
由平衡方程和对称条件有 F1F2， Dl1Dl2 （2）
2F1cosF3F （3）
……
Di= di1F1+di2F2+ … +diiFi + … +dinFn
……
其中dij 是与载荷无关的常数。
注意：各载荷和位移都是指最终值，所以是常数。
材料力学
a
16
设各外载荷有一增量，于是位移亦有一增量。载荷 在位移增量上所作的元功为：
Di 简称为与力Fi (相)对应的位移。
材料力学
a
12
外力功属于静载作功。
静载是指从零开始逐渐地、缓慢地加载到弹性 体上的载荷，静载作功属于变力作功。
对于一般弹性体
F
W DF d D 0
F
F—D 图下方面积
对于线弹性体 W 1FD 2
F
D
F dD D
F
F为广义力，D为广义位移。
D
D
材料力学
a
dW=F1*dD1*+…+Fi*dDi*+…+Fn*dDn*
=lF1d(lD1)+…+lFid(lDi)+…+lFnd(lDn)
=(F1D1+…+FiDi+…+FnDn)ldl
外力作的总功为：
1
W (F1D1+L +FiDi +L + FnDn )
ldl
0
1 2
F1D1 +L
+
1 2
Fi Di
+L
（2）、（3）代入（1）得 Dl3cosDl1 变形几何方程
（1）考虑物理方程得 FE F 3 A lEA F c1o 2lsEA F c2o 2lsF E 3A 2l
几何方程
（2）、（3）代入上式并化简得得 F3cos2F1 和物理方
程的联立
材料力学
a
11
§10.2 互等定理
一、外力功的计算
Fi —— 广义力（集中力，力偶） Di —— 广义位移（线位移，角位移） Fi 为集中力，Di为该力作用点沿力方向的线位移； Fi为力偶，则Di为该力偶作用面内沿力偶转向的角 位移（转角）。
材料力学
a
14
先加F1后加F2 F1
F2
先加F2后加F1 F1
F2
不同加载次序外力功均相同，若按比例同时加载， 外力同时达到最终值，即比例加载，外力功不变。
材料力学
a
15
三、克拉贝依隆（Clapeyron)原理 线弹性体上，作用有载荷F1,F2 , … Fi, … Fn 与外力方向相应的位移为D1, D2, … Di, … Dn 由线弹性体的叠加原理，各位移是载荷的线性函数
材料力学
a
7
第十章 能量法
§10.1 概 述
一、能量法
利用能量原理解决力学问题的方法。
可用来求解变形、静不定、动载荷、稳定等问题。
二、外力功与应变能
1、外力功W F
F从零逐渐增加到最终值， 变形亦缓慢增加最终值。
D
载荷在其作用点位移上所作的功，属于变力作功。
材料力学
a
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2、应变能 弹性体因载荷引起的变形而储存的能量。
三、功能原理
条 件：（1）弹性体（线弹性、非线弹性） （2）静载荷 —— 可忽略弹性体变形过程中的 能量损失。
原 理：外力功全部转化成弹性体的应变能。 Ve = W
材料力学
a
9
已知：EI = 常数，用功能原理
F
计算A点的挠度。
A
B
解：①建立坐标系
wA
x
l
②列弯矩方程 M =－Fx （ 0 ≤ x ＜ l ）
13
二、外力功与变形能的特点
外力功的数值与加载顺序无关，
只与载荷与位移的最终数值有关。
加载顺序：
F1, F2, …Fi，… F2, F1, … Fj，…
……………
不同时加载，加载顺 序不同，外力功不变。
如果外力功和变形能与加载顺序有关，会出现 什么结果？
按一种顺序加载，按另一种顺序卸载，能量还 能守恒么？——反证法！
F
D
dD D
材料力学
a
2
对于线弹性体
F
W 1FD
F
2
F为广义力，D为与力对应的广义位移。
2、应变能Ve
D
D
弹性体因变形而储存的能量，称为应变能。
由能量守恒定律，储存在弹性体内的应变能Ve 在数值上等于外力所作的功W。（忽略能量损失）
即 Ve =W
材料力学
a
3
二、线弹性体的应变能
1、轴向拉压
F
FF
+
1 2
Fn D n
n i 1
1 2
Fi Di
材料力学
a
17
设各外载荷按相同的比例，从零开始缓慢增加到最 终值。即任一时刻各载荷的大小为： F1*=lF1, F2*=lF2 ,… Fi*=lFi ,…Fn*=lFn
其中 l从0缓慢增加到1，说明加载完毕。
F
l
Dl Fl
EA
Ve W1 2FDl2FE2A l 2FE N 2A l
FN为变量时
Ve
FN2 (x) d x l 2EA
Dl Dl
材料力学
a
4
2、扭 转
Me
j M el G IP
Me Me
j j
Ve W1 2Mej2M GeI2lP
T2l 2GIP
T为变量时
Ve
T 2 (x) d x l 2GIP
材料力学
a
5
3、平面弯曲 纯弯曲
1 dq M d x EI
dq
dq M d x
EI
Ve
W1MdqM2dx
2
2EI
横力弯曲时忽略剪力对应变能的影响，如矩形截面，当 l /b=10时，剪力的应变能只占弯矩应变能的3﹪。
横力弯曲M(x)为变量
Ve
M2(x) d x l 2EI
材料力学
a
6
应变能Ve是内力（FN、T、M）的二次 函数，应变能一般不符合叠加原理。但若几 种载荷只在本身的变形上作功，而在其它载 荷引起的变形上不作功，则应变能可以叠加。
弹性固体的应变能
一、外力功与应变能 1、外力功W 载荷在其作用点位移上所作的功。 (1) 常力作功
F AF B D
M
q
M
W=FD
W=Mq
材料力学
a
1
(2) 静载作功 静载是指从零开始逐渐地、缓慢地加载到弹性
体上的载荷，静载作功属于变力作功。
对于一般弹性体
F
W DF d D 0
F
F—D图下方面积
③求外力功W 和应变能Ve
W
1 2
FwA
V e0 lM 2E 2d Ix0 l(F 2x E )I2dxF 6E 2lI3
1 2
FwA
F 2l3 6EI
wA
Fl 3 3EI
()
仅仅只能求力作用点与力相对应的位移，
其它位移的求解有待进一步研称结构，各杆抗拉刚度EA均相等。 B C
D
①由平衡方程，通过功能原理导出变形几 何方程；②由平衡方程结合功能原理求出 各杆内力。
l
解：A点的位移等于③杆的变形Dl3。
A Dl1
由功能原理有
1 2FD l31 2(F 1D l1F 2D l2F 3D l3)
F （1） Dl3
由平衡方程和对称条件有 F1F2， Dl1Dl2 （2）
2F1cosF3F （3）