材料力学能量法
材料力学-能量法
l
M
2 n
(
x)dx
2GI P
n
U Pn
l
N(x) EA
N ( x) Pn
dx
l
M(x). EI
M ( x) Pn
dx
l
Mn ( x). Mn ( x) GIP Pn
dx
(9-13)
例4 求图示梁 B 处的挠度和转角。
Mn Pl
（二）变形能计算
U BC
0l
(
Px)2 2EI
dx
P 2l 3 6EI
U AB
0l
(
Px)2 2EI
dx
(Pl)2 l 2GI P
P 2l 3 6EI
P 2l 3 2GI P
总变形能为：
P2l3 P2l3 P2l3 P2l3 P2l3
U
U BC
U AB
6EI
6EI
2GI P
3EI
材料力学
能量法
一、外力功与变形能
本章考虑杆件在线弹性范围内的能量法计算问题。
能量法——利用功和能的概念来解决变形体的位移、变 形和内力等计算的方法。
在线弹性范围内，外力功 W 全部转变为变形能 U，不 考虑能量的损耗。因此有
W=U
（一）外力功
1. 常力作功（P 为恒力）
W P
(9-1)
材料力学能量法
限制条件：不适 用于求解动力学 问题如振动、冲 击等
适用范围：适用 于求解线性问题 如弹性、塑性等
限制条件：不适 用于求解非线性 问题如塑性、蠕 变等
材料力学能量法的发展趋势和未来 展望
材料力学能量法的发展趋势
计算方法：发展高效、准确 的数值计算方法
应用领域：拓展应用领域如 航空航天、生物医学等
能量法的基本假设
材料是连续、均匀、各向同性的
材料是线弹性的应力与应变成正 比
添加标题
添加标题
材料是弹性的满足胡克定律
添加标题
添加标题
材料是各向同性的应力与应变的 关系与方向无关
材料力学能量法的计算方法
弹性体的能量原理
弹性体的能量包括应变能、内能、 表面能等
应变能是弹性体在变形过程中储存 的能量
内能是弹性体在变形过程中产生的 热能
表面能是弹性体与外界接触时产生 的能量
弹性体的能量原理是研究这些能量 之间的关系和变化规律
弹性体的应变能和动能
应变能：弹性体 在变形过程中储 存的能量与应变 和弹性模量有关
动能：弹性体在 运动过程中具有 的能量与质量和 速度有关
应变能和动能的 关系：应变能和 动能之和等于弹 性体的总机械能
材料力学能量法
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目录
材料力学：能量法
例题 ：
已知：图示抗弯刚度为EI的简支梁，受均布荷载 q
作用。求：应变能
q
A
l
B
y
qdx
A
q
B l
w
x y
dx
解：[法 1 ] 运用功能原理求应变能
挠曲线方程
ql 4 x x3 x 4 w ( 2 3 4 ) 24EI l l l
qdx
A
q
B l
w
x y
W
dx
l
0
1 ( qdx ) w 2
§3-2
一、应变能
应变能 • 余能
1. 线弹性条件下，通过外力功求应变能 常力作功：常力 P 沿其方向线位移 上所作的功
W P
变力作功：在线弹性范围内，外力 P 与位移 间呈线性
关系。 (静荷载为变力）
P
P
l
P
o
轴向拉（压）杆外力作功
Pl F N l EA EA
材料力学：能 量 法
概述 应变能 余能
卡氏定理
用能量法解超静定问题
§3-1
概述
可变形固体在受外力作用而变形时，外力和内力均将作功。 对于弹性体，外力在相应位移上作的功，在数值上就等于
积蓄在物体内的应变能。
Ve = W
能量方法 ： 利用功能原理 Ve = W来求解可变形固体 的位移、变形和内力等的方法。
材料力学能量法
mF
代入应变能的内力表达式：
L
UM 2(x)dxL(F xm )2dx L 2E I 0 2E I
F2L3 FmL2 m2L 6EI 2EI 2EI
能量法/克拉贝隆原理
UF2L3FmL2 m2L 6EI 2EI 2EI
mF L
•从结果中可以看到：第一、三项分别为F和m单独作用时 的 应变能，故F、m同时作用在杆内所引起的应变能不等于各 载荷单独作用时所引起的应变能之和。其原因是这两个载 荷都使梁产生了同一种弯曲变形，彼此都在对方引起的位 移上做了功（结果中的第二项即代表F和m共同作用时在相 互影响下所做的功）。
被储存的能量即为应变能或变形能 U。
3、能量守恒：忽略缓慢加载过程中动能和其它形式的能量损
失，杆件能量守恒，即杆内所储存的应变能U 在数值上与外力所作的功 W 相等。功能原理
U＝W
能量法/杆件的应变能
一、杆件产生基本变形时的应变能
1、轴向拉伸或压缩
F
A L
L O F
L B
U W 1 FL 2
F 2L
能量法
第八章 能量法
一、杆件的应变能 二、应变能普遍表达式(克拉贝隆原理) 三、卡氏定理 四、互等定理 五、虚功原理 单位力法 图乘法 六、超静定问题 力法 七、冲击应力
能量法/基本概念
求解弹性体系(如杆件)的变形可采用的方法：
材料力学能量法
材料力学能量法
材料力学能量法是材料力学中的一种重要分析方法，它通过能量原理来研究材
料的力学性能和行为。能量法在工程应用中具有广泛的意义，可以用于解决各种复杂的材料力学问题。本文将对材料力学能量法进行详细介绍，包括其基本原理、应用范围和计算方法等内容。
首先，我们来看一下材料力学能量法的基本原理。能量法是以能量守恒原理为
基础的一种力学分析方法，它认为在任何力学系统中，系统的总能量始终保持不变。在材料力学中，通过能量方法可以方便地求解结构的变形、应力分布和稳定性等问题。能量法的基本原理为系统的总能量等于外力对系统做功的总和，即系统的内能和外力对系统做功的总和保持恒定。
其次，材料力学能量法的应用范围非常广泛。它可以用于分析材料的弹性、塑性、断裂等力学性能，也可以用于研究材料的疲劳、蠕变、冷却等行为。在工程实践中，能量法可以应用于各种材料的设计、优化和性能评估，如金属材料、复合材料、土木工程材料等。通过能量法分析，可以更好地理解材料的力学行为，为工程设计和材料选型提供科学依据。
最后，我们来介绍一下材料力学能量法的计算方法。能量法的计算方法主要包
括弹性能量法、弹塑性能量法和断裂能量法等。在应用中，需要根据具体问题选择合适的能量方法，并结合数值计算和实验验证进行分析。在计算过程中，需要考虑材料的本构关系、加载条件和边界约束等因素，以确保计算结果的准确性和可靠性。
综上所述，材料力学能量法是一种重要的力学分析方法，具有广泛的应用前景
和深远的理论意义。通过能量法分析，可以更好地理解材料的力学性能和行为，为工程实践提供科学依据。在今后的研究和应用中，我们需要进一步深入理解能量法的基本原理和计算方法，推动其在材料力学领域的发展和应用。
材料力学 能量法
能量法
一、变形能（应变能）：变形固体在外力作用下由变形而储存的能量“”。
弹性变形能：变形固体在外力作用下产生的弹性变形而储存的能量
1、性变形能具有可逆性。
2、塑性变形能不具有可逆性。
二、变形能的计算：利用能量守恒原理
能量守恒原理：变形固体在外力作用下产生的变形而储存的能量，在数值上等于外力所作的外力功。
三、能量法：利用功能原理和功、能的概念进行计算的方法。
常见的能量法——功能原理、单位力（莫尔积分）、卡氏定理等。
在卡氏第二定理中应该注意的问题
①、Vε——整体结构在外载作用下的线弹性变形能。
②、F i视为变量，结构反力和变形能等都必须表示为F i的函数
②、Δi为F i作用点的、沿F i方向的变形
③、Δi处要有相应的荷载，当无与Δi对应的F i时，可采用附加力法进行计算。既先加
一沿Δi方向的F i（在所求位移处沿所求位移的方向加上相对应的附加力），求偏导后，在令其为零，结果即为实际荷载作用的位移
⑤、结果为正时，说明Δi与F i的方向相同；
结果为负时，说明Δi与的F i方向相反。
单位力载荷法注意问题
1、此种方法存在两个力系：一个为实际的力系；另一个为单位力系。
2、单位力必须与所求位移相对应：
若求线位移——则单位力必须作用在所求点沿所求位移方向加单位的集中力；
若求角位移——则单位力必须作用在所求点沿所求位移方向加单位的集中力偶。
2、内力的坐标系必须一致，每段杆的坐标系可自由建立。莫尔积分必须遍及整个结构。
4、结果为“+”只说明所加的单位力的方向与实际的位移方向相同；“-”只说明所加的单位力的方向与实际的位移方向相反
材料力学(能量法)
02
杆件拉伸与压缩时能量分析
拉伸过程中能量变化
80%
外力做功
在拉伸过程中，外力对杆件做功 ，使其产生变形和位移。外力做 功的大小与外力的大小和杆件的 位移成正比。
100%
内力耗能
杆件在拉伸过程中，材料内部会 产生应力和应变，从而消耗能量 。内力耗能的大小与材料的应力应变关系有关。
80%
弹性势能
杆件在拉伸过程中，由于材料的 弹性变形，会储存一定的弹性势 能。弹性势能的大小与材料的弹 性模量和变形量有关。
应力与能量关系
应力是单位面积上的内力，它与材料的弹性模量和 应变能密度有关。
应变与能量关系
应变是材料在应力作用下的变形程度，它与材料的 应变能密度和弹性模量有关。
应力、应变与能量综合关系
在材料力学中，应力、应变和能量是相互关联的。 当材料受到外力作用时，内部会产生应力和应变， 同时伴随着能量的转化和消耗。
压缩过程中能量变化
外力做功
在压缩过程中，外力对杆件做 功，使其产生压缩变形和位移 。外力做功的大小与外力的大 小和杆件的位移成正比。
内力耗能
杆件在压缩过程中，材料内部 会产生应力和应变，从而消耗 能量。内力耗能的大小与材料 的应力-应变关系有关。
弹性势能
杆件在压缩过程中，由于材料 的弹性变形，会储存一定的弹 性势能。弹性势能的大小与材 料的弹性模量和变形量有关。
材料力学第13章1-能量法-变形能计算
即：F1 力在由F2力引起的位移上所作的功，等于F2 力在由F1力引起的位移上所作的功。
若F1 = F2 ，则得 位移互等定理:
12 21
即： F2引起的F1 作用点沿 F1方向的位移，等于同样 大小的力F1 引起的F2作用点沿 F2方向的位移。
说明：
(1) 互等定理只适用于线弹性结构；
(2) 互等定理中的力与位移应理解为广义力和相应的广义位移。 则位移互等定理中的相同大小的力为数值相同，位移相同也仅 代表数值相同，量纲对应。
Fb l
x1
2EI
)2 dx1
b 0
(
Fa l
x2
2EI
)2
dx2
F 2b2 2EIl 2
a3 3
F 2a2 2EIl 2
b3 3
F 2a2b2 6EIl
x1 a
F
B
C
x2
b l
W
1F 2
wC
由Vε=W 得
wC
Fa 2b 2 3EIl
12
例题3 试求图示四分之一圆曲杆的变形能,并利用功能原理求B
l
2
应变能
1 V 2 M
M 2l
2EI
横力弯曲 M=M(x)
P1
P2
当弯矩随截面位置变化时
理论证明：剪力对变形的影 响很小，剪切应变能远远小 于弯曲应变能。
材料力学能量法
三、应变能的一般表达式 基本变形情况
• 拉压杆与桁架:
Vε
1 2
FN2(x)dx l EA
• 轴:
Vε
1 n 2 i1
FN2i li Ei Ai
Vε
1 2
T2(x) dx l GIp
Vε
1 2
T2(x)dx l GIt
• 处于平面弯曲的梁与刚架（忽略剪力影响）:
M2(x)
F1
A
B
D
A
F2
C
D
11
W
1 2
F111
22
W
1 2
F22 2
A
F1
B
F2
C
D
W1 2F1111 2F222
1
2
1= 11, 2= 22
Page
8
第十三章 能量法
加载过程中各载荷保持比例关系：
f1
f2
A
B
C
D
f1 c f2
1
2
1 a1 f1 a2 f2
C
A
B
D
wC(FA *,(E)1 I,F'N,xA,xC)wD(F'N,(E)I2,xB,xD)F'E NlCAD
F
Page
25
F
材料力学2--能量法
注意： 1.卡氏第一定理和余能定理既适合于线弹性问题，也
适合于非线性弹性问题，而卡氏第二定理作为余能定 理的特例，仅适合于线弹性问题。
2.所导出的位移是加力点沿加力方向的位移。
3. 当所求位移处无相应广义力时，可在该处“虚加” 上广义力，将其看成已知外力，反映在反力和内力 方程中，待求过导数后，再令该“虚加”外力为0。
另外，也可由余能密度vc计算余能V c：
Vc vc d V c
其中，余能密度vc为：vc
1
0
d
（代表图中 - 曲线与纵坐标轴间的面积）
1
d
O
注意： •对线弹性问题，余能和应变能仅在数值上 相等，其概念和计算方法却截然不同。 •对非线性问题，则余能V c与应变能V 在 数值上不一定相等。 •余功、余能、余能密度都没有具体的物理 概念，仅是具有功和能的量纲而已。
则： AB 0
2 BC 2 sin 45 2 2
0
当水平位移与铅垂位移同时发生时，则根据位移叠加
AB 1
2 1 2 BC 2
桁架的应变能为
EA i2 EA 2 EA 1 2 1 2 1 1 2 2 V 1 2 li 2l 2 2 2l 2
1
v 0 d
O
d
材料力学--能量法
Hale Waihona Puke Baidu
U U1 U2 F1 l2 U1 U2 F2 l1
结论：应变能与加载次序无关。
10
[例11-1-1] 用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。
F
解：外力功等于应变能
A
C
B
W
1 2
FwC
a
a
U
L
M 2(x) 2EI
dx
利用对称性，得：
M (x)
令
wC
Fl3 48EI
,
B
Ml 3EI
,
wCM
Ml2 , 16EI
BF
Fl2 16EI
则
U
1 2
F
wC
M
BF
1 2
M
B
U1
诱导功
U2
(b)
U1：F 单独作用应变能
U
1 2
F wC
F wCM
1 2
M
B
( c)
U2：M 单独作用应变能
U1
诱导功
U2
(2) U T 2 (x) dx
L 2GI p
3、梁弯曲时的应变能 (1) U M 2l 2EI
材料力学能量法知识点总结
材料力学能量法知识点总结
材料力学是工程力学的重要分支之一，研究材料在受力作用下的变
形与破坏行为。能量法是材料力学的基础理论之一，通过利用能量守
恒原理，分析和求解材料的力学问题，具有重要的理论和实践价值。
本文将对材料力学能量法的基本概念、原理和应用进行总结。
1. 弹性势能与弹性应变能
材料在受力作用下产生的变形能够存储为弹性势能，其中最常用的
势能是弹性应变能。弹性应变能是由于材料的弹性变形而储存的能量，可表示为弹性应变能密度。
2. 弹性势能的计算方法
弹性应变能的计算方法主要有两种：一是通过力学平衡方程和材料
力学性质的函数关系进行积分计算；二是通过应力-应变关系和应变能
密度公式进行计算。
3. 弹性势能的应用
弹性势能的应用涉及材料的变形、破裂、接头设计等问题。通过计
算弹性势能可以判断材料是否会发生破裂，并可用于材料的优化设计。
4. 塑性势能与塑性应变能
材料在塑性变形时会产生塑性势能，塑性势能是由于材料的塑性变
形而储存的能量。塑性应变能可表示为塑性应变能密度。
5. 塑性势能的计算方法
塑性势能的计算方法适用于材料的非弹性变形过程，常用的方法有等效应力法和Mises准则。通过计算塑性势能可以估计材料在受力作用下的变形程度和破坏形式。
6. 塑性势能的应用
塑性势能的应用主要涉及材料的变形、强度分析和塑性成形工艺等问题。通过计算塑性势能可以评估材料的强度和变形能力，并可用于材料的成形优化。
7. 总势能与变分原理
材料受到多种因素的叠加作用时，总势能是各种势能的代数和。变分原理是能量法的基本原理之一，通过对总势能进行变分，得到材料力学问题的基本方程。
材料力学能量法
材料力学能量法
材料力学是研究材料在外力作用下的变形、破坏和稳定性等问题的学科。能量法是材料力学中的一种重要分析方法，它通过能量的守恒原理来分析材料的力学性能，为工程实践提供了重要的理论支撑。本文将对材料力学能量法进行介绍，包括能量原理、应用范围、解题方法等内容，希望能为相关领域的研究人员和工程师提供一些参考。
在材料力学中，能量原理是指系统在外力作用下，能量的总变化等于外力所做的功。根据这一原理，可以利用能量方法来分析材料的力学性能。能量方法的应用范围非常广泛，可以用于分析材料的弹性、塑性、断裂等问题，也可以用于分析结构的稳定性和动力响应。在工程实践中，能量方法被广泛应用于材料设计、结构优化和故障分析等领域。
在使用能量方法进行分析时，首先需要建立系统的能量平衡方程，然后根据系统的力学性能和外力条件，确定系统的势能和动能表达式。接下来，可以利用能量平衡方程来推导系统的力学性能参数，比如应力、应变、位移等。最后，通过求解能量平衡方程，可以得到系统的稳定性、破坏条件等重要信息。
除了上述基本方法外，能量方法还可以结合其他分析方法，比如有限元方法、变分原理等，来进行更复杂的问题分析。在工程实践中，能量方法通常与实验测试和数值模拟相结合，可以为工程设计和材料选择提供重要的参考依据。
总之，材料力学能量法是一种重要的分析方法，它通过能量的守恒原理来分析材料的力学性能，为工程实践提供了重要的理论支撑。希望本文的介绍能够对相关领域的研究人员和工程师有所帮助，也希望能够引起更多人对材料力学能量法的关注和研究。
材料力学 能量法
2 2 b Fa F2a2b2 1 a Fb = x1 dx1 + ∫ x2 dx2 = ∫0 0 2EI l 6EIl l
3、外力作功
1 W = FwC 2
4、根据功能原理
Vε =W
1 F2a2b2 FwC = 2 6EIl Fa2b2 wC = 3EIl
2 N
2 x
M 2 (x)dx
第二节 功的互等定理及位移互等定理
一、功的互等定理
对于线弹性体（ 对于线弹性体（梁、桁架、框架等），第一组力在第二 桁架、框架等），第一组力在第二 ）， 组力引起的位移上所作的功， 组力引起的位移上所作的功，等于第二组力在第一组力引起 的位移上所作的功。 的位移上所作的功。
[解] 解
1、计算约束反力，写出弯矩方程 计算约束反力，
Fb FA = l
Fb x1 M( x1 ) = l Fa M(x2 ) = x2 l
Fa FB = l
0 ≤ x1 ≤ a
0 ≤ x2 ≤ b
2、应变能 2 2 a M (x ) b M (x ) 1 2 Vε = ∫ dx1 + ∫ dx2 0 0 2EI 2EI
常力功
Fp
弹性体在平衡力系的作用下，在一定的变形状态保持平衡， 弹性体在平衡力系的作用下，在一定的变形状态保持平衡， 这时，如果某种外界因素使这一变形状态发生改变， 这时，如果某种外界因素使这一变形状态发生改变，作用在弹 性体上的力作功， 常力功: 性体上的力作功，是常力功:
材料力学 第10章 能量法
材料力学第10章能量法
在材料力学这门学科中，能量法是一种重要的分析方法。它可以帮助我们计算杆件受力、弯曲、扭转等方面的机械能量，以及计算受力杆件的变形和应力分布等方面的物理能量。本文将对材料力学第10章中的能量法做一简要介绍和讲解。
第一节：能量法的基本概念
能量法的基本概念是物理学中的能量守恒定律。根据能量守恒定律，能量可以被转化为其他形式，但总能量守恒不变。在材料力学中，能量法通过分析杆件的受力变形过程，计算机械能、变形能和应变能等不同形式的能量，来求解某些物理量，如杆件的应力、变形等。
第二节：能量法的应用
能量法可以应用在杆件的弯曲、扭转、受力等方面。其中，弯曲问题是最为常见的。在弯曲分析中，我们需要计算杆件上各点的剪力和弯矩，使用能量法时，我们可以采用双曲线弧长法和曲率半径法来计算。
在扭转分析中，我们需要计算杆件上各点的切向力和扭矩，使
用能量法时，我们可采用扭转角度法和扭转能的变化法来计算。
在受力分析中，我们需要计算杆件上各点的应力和应变，使用
能量法时，我们可以用弹性能和破裂能来计算杆件的应力和应变
等物理量。
第三节：能量法的计算过程
在应用能量法进行分析时，需要进行以下步骤：
1. 建立受力变形模型：根据杆件的几何形状和受力情况建立受
力变形模型，确定受力分布和变形情况。
2. 确定杆件的位移和应变能量：计算杆件受力变形后的弹性能、变形能等物理能量。
3. 利用能量守恒定律：将机械能、弹性能、变形能和应变能等
能量之和等于零，根据能量守恒定律和受力变形模型，求解杆件
的位移、应力和应变等物理量。
材料力学能量法范文
材料力学能量法范文
材料力学能量法是一种分析和计算物体的力学行为的方法，它基于能
量守恒定律。在这种方法中，物体或结构的变形和应力被视为能量的转化
和传递过程。通过确定系统的动能和势能，并将其与外部力和内部能力作
为输入参数，可以计算系统的平衡状态和力学性能。
材料力学能量法的应用十分广泛，特别在工程领域中，例如结构分析、疲劳分析、材料强度计算和复杂系统的模拟等。这种方法的基本原理是通
过对物体的动能和势能之间的转化过程的考虑，来得到物体的平衡状态和
力学性能。
在材料力学能量法中，物体的动能是由其质量和速度决定的，而势能
是由物体的形变和应力分布决定的。物体的动能包括其线性运动的动能和
旋转运动的动能。线性运动的动能可以通过物体的质量和速度平方的乘积
来计算，而旋转运动的动能可以通过物体的惯性矩和角速度平方的乘积来
计算。
物体的势能包括其弹性势能和塑性势能。弹性势能是由物体的形变和
应力分布引起的，而塑性势能是由物体在塑性变形时的能量损失引起的。
弹性势能可以通过弹性模量和物体的形变量的乘积来计算，而塑性势能可
以通过材料的塑性应变和应力的乘积来计算。
在材料力学能量法中，系统的总能量是系统动能和势能的总和。根据
能量守恒定律，系统的总能量在无外部能量输入的情况下保持不变。通过
计算系统各个部分的动能和势能，可以确定系统的能量平衡状态和力学性能。
材料力学能量法的优点是可以考虑到物体的整体行为，并对动能和势
能之间的转化过程进行分析。它可以用来解决复杂的力学问题，并提供物
体的应力和变形的直观理解。此外，它还可以与其他力学方法相结合，例
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条 件：（1）弹性体（线弹性、非线弹性） （2）静载荷 —— 可忽略弹性体变形过程中的 能量损失。
原 理：外力功全部转化成弹性体的应变能。 Ve = W
材料力学
a
9
已知：EI = 常数，用功能原理
F
计算A点的挠度。
A
B
解：①建立坐标系
wA
x
l
②列弯矩方程 M =－Fx （ 0 ≤ x ＜ l ）
（2）、（3）代入（1）得 Dl3cosDl1 变形几何方程
（1）考虑物理方程得 FE F 3 A lEA F c1o 2lsEA F c2o 2lsF E 3A 2l
几何方程
（2）、（3）代入上式并化简得得 F3cos2F1 和物理方
程的联立
材料力学
a
11
§10.2 互等定理
一、外力功的计算
Fi —— 广义力（集中力，力偶） Di —— 广义位移（线位移，角位移） Fi 为集中力，Di为该力作用点沿力方向的线位移； Fi为力偶，则Di为该力偶作用面内沿力偶转向的角 位移（转角）。
即 D1= d11F1+d12F2+ … +d1iFi + … +d1nFn
……
Di= di1F1+di2F2+ … +diiFi + … +dinFn
……
其中dij 是与载荷无关的常数。
注意：各载荷和位移都是指最终值，所以是常数。
材料力学
a
16
设各外载荷有一增量，于是位移亦有一增量。载荷 在位移增量上所作的元功为：
材料力学
a
14
先加F1后加F2 F1
F2
wk.baidu.com
先加F2后加F1 F1
F2
不同加载次序外力功均相同，若按比例同时加载， 外力同时达到最终值，即比例加载，外力功不变。
材料力学
a
15
三、克拉贝依隆（Clapeyron)原理 线弹性体上，作用有载荷F1,F2 , … Fi, … Fn 与外力方向相应的位移为D1, D2, … Di, … Dn 由线弹性体的叠加原理，各位移是载荷的线性函数
③求外力功W 和应变能Ve
W
1 2
FwA
V e0 lM 2E 2d Ix0 l(F 2x E )I2dxF 6E 2lI3
1 2
FwA
F 2l3 6EI
wA
Fl 3 3EI
()
仅仅只能求力作用点与力相对应的位移，
其它位移的求解有待进一步研究功能原理。
材料力学
a
10
图示对称结构，各杆抗拉刚度EA均相等。 B C
+
1 2
Fn D n
n i 1
1 2
Fi Di
材料力学
a
17
设各外载荷按相同的比例，从零开始缓慢增加到最 终值。即任一时刻各载荷的大小为： F1*=lF1, F2*=lF2 ,… Fi*=lFi ,…Fn*=lFn
其中 l从0缓慢增加到1，说明加载完毕。
dW=F1*dD1*+…+Fi*dDi*+…+Fn*dDn*
=lF1d(lD1)+…+lFid(lDi)+…+lFnd(lDn)
=(F1D1+…+FiDi+…+FnDn)ldl
外力作的总功为：
1
W (F1D1+L +FiDi +L + FnDn )
ldl
0
1 2
F1D1 +L
+
1 2
Fi Di
+L
F
D
dD D
材料力学
a
2
对于线弹性体
F
W 1FD
F
2
F为广义力，D为与力对应的广义位移。
2、应变能Ve
D
D
弹性体因变形而储存的能量，称为应变能。
由能量守恒定律，储存在弹性体内的应变能Ve 在数值上等于外力所作的功W。（忽略能量损失）
即 Ve =W
材料力学
a
3
二、线弹性体的应变能
1、轴向拉压
F
FF
D
①由平衡方程，通过功能原理导出变形几 何方程；②由平衡方程结合功能原理求出 各杆内力。
l
解：A点的位移等于③杆的变形Dl3。
A Dl1
由功能原理有
1 2FD l31 2(F 1D l1F 2D l2F 3D l3)
F （1） Dl3
由平衡方程和对称条件有 F1F2， Dl1Dl2 （2）
2F1cosF3F （3）
F
l
Dl Fl
EA
Ve W1 2FDl2FE2A l 2FE N 2A l
FN为变量时
Ve
FN2 (x) d x l 2EA
Dl Dl
材料力学
a
4
2、扭 转
Me
j M el G IP
Me Me
j j
Ve W1 2Mej2M GeI2lP
T2l 2GIP
T为变量时
Ve
T 2 (x) d x l 2GIP
Di 简称为与力Fi (相)对应的位移。
材料力学
a
12
外力功属于静载作功。
静载是指从零开始逐渐地、缓慢地加载到弹性 体上的载荷，静载作功属于变力作功。
对于一般弹性体
F
W DF d D 0
F
F—D 图下方面积
对于线弹性体 W 1FD 2
F
D
F dD D
F
F为广义力，D为广义位移。
D
D
材料力学
a
材料力学
a
7
第十章 能量法
§10.1 概 述
一、能量法
利用能量原理解决力学问题的方法。
可用来求解变形、静不定、动载荷、稳定等问题。
二、外力功与应变能
1、外力功W F
F从零逐渐增加到最终值， 变形亦缓慢增加最终值。
D
载荷在其作用点位移上所作的功，属于变力作功。
材料力学
a
8
2、应变能 弹性体因载荷引起的变形而储存的能量。
材料力学
a
5
3、平面弯曲 纯弯曲
1 dq M d x EI
dq
dq M d x
EI
Ve
W1MdqM2dx
2
2EI
横力弯曲时忽略剪力对应变能的影响，如矩形截面，当 l /b=10时，剪力的应变能只占弯矩应变能的3﹪。
横力弯曲M(x)为变量
Ve
M2(x) d x l 2EI
材料力学
a
6
应变能Ve是内力（FN、T、M）的二次 函数，应变能一般不符合叠加原理。但若几 种载荷只在本身的变形上作功，而在其它载 荷引起的变形上不作功，则应变能可以叠加。
13
二、外力功与变形能的特点
外力功的数值与加载顺序无关，
只与载荷与位移的最终数值有关。
加载顺序：
F1, F2, …Fi，… F2, F1, … Fj，…
……………
不同时加载，加载顺 序不同，外力功不变。
如果外力功和变形能与加载顺序有关，会出现 什么结果？
按一种顺序加载，按另一种顺序卸载，能量还 能守恒么？——反证法！
弹性固体的应变能
一、外力功与应变能 1、外力功W 载荷在其作用点位移上所作的功。 (1) 常力作功
F AF B D
M
q
M
W=FD
W=Mq
材料力学
a
1
(2) 静载作功 静载是指从零开始逐渐地、缓慢地加载到弹性
体上的载荷，静载作功属于变力作功。
对于一般弹性体
F
W DF d D 0
F
F—D图下方面积