数分第一章第一节实数

数学分析第一章实数和数列极限《数学分析》又名《微积分》。

（其实我们讲的《数学分析》内容要比通常的《微积分》内容多）主要内容：微分学；积分学；微分与积分的关系。

学习研究微积分的重要基本工具是极限理论（又称无穷小分析），极限理论包括实数理论，数列极限，函数极限，数项级数和函数项级数等。

极限运算其实是一种无穷次运算，这就是区别于有限次运算（只是量变）的代数学几何学的标志。

极限理论是分析学科的灵魂，在分析学中无处不在。

（就如武术中的太极和八卦，在武术中无处不在，起到至高无上的作用。

）极限的无限次运算作用，就是哲学上量变（无限累加）到质变的飞跃。

极限理论的思想方法技巧（又称无穷小分析）不仅是《数学分析》主要工具，也是后继的分析学科（常微分方程，偏微分方程，实分析，复变函数，复分析，Fourier分析，调和分析，逼近理论，实变函数，泛函分析，测度论，概率论等）发展的主要工具，深刻的理论和结论，都要靠极限理论来发掘完成。

极限又有数列的极限（级数）和函数的极限等（既有区别又有联系）。

《数学分析》的基础是建立在实数理论之上，实数是《数学分析》的工作空间，实数理论和极限理论是数学严密严格化的标志（这样才能保证不出错误，否则就会混乱不清，甚至出错。

）实数理论的深刻认识的建立靠的是极限理论。

因此我们得从实数理论和数列的极限理论谈起。

第一节 实数与数轴1 实数的再认识数系的发展自然数： ,,,3,2,1,0n ；分数：q p ，（q p ,为自然数，且0≠q ），负整数： ,,,3,2,1n ----； 负分数：q p -，（q p ,为自然数，且0≠q ）整数： ,,,3,2,1,0n ， ,,,3,2,1n ---- ；有理数：q p ，（q p ,为整数，且0 q ）； （整数和分数统称有理数； 或有理数就是分数，或整数； 或整数，有限小数，无限循环的小数通称有理数。

）在有理数中可引入：加法运算，减法运算，乘法运算，除法运算（除数不能是0）；有理数经过加、减、乘、除（除数不能是0）四则运算之后仍为有理数。

根据这一特性，称全体有理数（配以四则运算）组成一个有理数域。

就是说，对有理数仅仅通过四则运算，我们仍在有理数范围内，而没有越出有理数的范围。

（地区范围也指是区域的意思，所以，称为有理数数域，简称数域。

）有理数的四则运算又满足：交换律，结合律，分配律。

然而有理数不够用，于是引出了无理数，无理数（并非无理，是实际客观存在的数，无限不循环的小数通称为无理数，或不能表示成分数的数。

） 历史上2的发现，即22 x 的数x ，具有划时代的意义，最初的发现，不被人接受，发现者被反对者打死了。

就如当年日心说的发现支持者被罗马教皇烧死一样，越是这样，越说明它的伟大创新意义。

实数：有理数和无理数通称为实数。

实数之间可引入四则运算， 实数的四则运算又满足：交换律，结合律，分配律。

实数经过加、减、乘、除（除数不能是0）四则运算之后仍为实数。

实数（配以四则运算）的这一特性，称为实数域。

绝对值：⎩⎨⎧<-≥=0,0,||x x x x x ；a x a a x ≤≤-⇔≤||，（0>a ）三角形不等式及基本变形：（1）对任意实数y x ,，成立 ||||||y x y x +≤+， 且式中等号成立的条件是x 与y 中至少一个等于0，或者x 与y 有相同的正负号。

事实上，||||x x x ≤≤-，||||y y y ≤≤- 将以上两式相加得|)||(||)||(|y x y x y x +≤+≤+-， 即得 ||||||y x y x +≤+。

（或用左右两边平方法，这个方法具有一般发展性。

）（2）|)()(|||a y a x y x ---=-||||a y a x -+-≤；（3）由于||||||||y y x y y x x +-≤+-=， ||||||||x y x x x y y +-≤+-=， 从而|||)||(|y x y x -≤-±， 于是||||)||(||y x y x -≤-；（4）||)||(||y x -|)(|||)||(||y x y x --≤--=||y x +=；（这几个不等式是我们要经常使用的基本不等式，需要熟练掌握并灵活运用。

）一些无理数：无理数有许许多多，但要证明某个实数为无理数，有时是很困难的事情。

我们容易证明，6,5,3,2，n （n 为正整数且n 不是完全平方数），均不是有理数，它们都是无理数。

定理 设n 为正整数且n 不是完全平方数，则n 是无理数。

证明 用反证法。

假若n 不是无理数，则n 是有理数，存在互质的正整数q p ,，使得q p n =，22nq p =，因为正整数q p ,互质，存在整数b a ,，使得 1=+bq ap ；两边乘以p ，得p bpq ap =+2， 把22nq p =代入上式，于是有 bpq anq bpq ap p +=+=22 q bp anq )(+=， 从而bp anq qp n +==为正整数， 2)(bp anq n +=，这与n 不是完全平方数相矛盾。

假不成立，故n 是无理数。

例 1 求证32+是一个无理数。

证明 用反证法。

假若结论不真，即32+不是无理数，则是有理数， 设r =+32为有理数， 23622r =++， 于是2562-=r 为有理数，显然这与6为无理数矛盾。

故假设不成立， 所以32+是一个无理数。

例2 求证（1） 若02=+s r ，其中s r ,是有理数，则0==s r 。

（2） 若032=++t s r ，其中t s r ,,是有理数，则0===t s r 。

证明（1）用反证法。

假若0≠s ，则s r -=2，（左边是无理数，右边为有理数），矛盾， 所以，0=s ，于是02=-=s r ， 故0==s r 。

（2）r t s -=+32，2223622r t st s =++， 062)32(222=+-+st r t s ， 用类似于（1）的证明方法， 得0=st ，必有，0=t 或0=s ；如果,0=t 则有02=+s r ， 由（1），得出0==s r， 于是0===t s r ；如果,0=s 则03=+t r ，由（1），得出0==t r， 于是 0===t s r 。

数轴数轴是表示实数的一种几何方法。

数轴的重要性在于使各数之间的某些关系以及对它们所进行的某些运算变的形象化。

（一维空间几何。

）数轴的建立方式是大家在中学就熟知的。

我们把规定了方向、原点和单位长度的直线称为数轴。

数轴上的任一点可以用一个实数表示；任一个实数可以在数轴上找到一点和它对应。

于是，就把实数的全体同这条直线上的点一对一地对应了起来。

这条直线称为数轴。

从此以后，我们将数轴上的点与它所对应的实数等同起来，不加区别。

（也正是这个原因，才把那这条直线叫做数轴，其实是一维直线坐标系。

）绝对值的几何意义： 数x 的绝对值表示它（在数轴上代表的点）到原点的距离，记为||x 。

⎩⎨⎧<-≥=0,0,||x x x x x ； 当0≠x 时，绝对值为||x 的点有两个，即x 与x - 。

点x 与y 之间的距离是||y x - 。

区间的定义及记号：1）设b a <，在数轴上，b a <意即a 是在b 的左边。

所有在a 与b 之间的点的集合称为开区间，我们写为}:{),(b x a x b a <<=；2）闭区间],[b a 是由开区间),(b a 添上两个端点a 与b 而成的集合，即}:{],[b x a x b a ≤≤=；3）半开（或半闭）的区间可以类似地定义，记为],(b a 或),[b a ，}:{],(b x a x b a ≤<=，}:{),[b x a x b a <≤=；4）实数的全体记为R ， 用),(+∞-∞表示，),(+∞-∞=R 也称为区间。

（∞读作无穷大，∞-读作负无穷大，∞+读作正无穷大。

） 此外，当R a ∈时，定义}:{],(a x R x a ≤∈=-∞， }:{),(a x R x a <∈=-∞， }:{),(a x R x a >∈=+∞，}:{),[a x R x a ≥∈=+∞， 5）内点概念开区间}:{),(b x a x b a <<=中的所有点，称为该区间的内点；对于闭区间],[b a ，半开半闭区间],(b a 或),[b a ，点),(b a x ∈称为它们的内点。

区间组覆盖数轴的作用：（1）显然 区间组)1,[+p p ，（ ,,,3,2,1,0{n p ∈，},,,3,2,1n----）盖着（覆盖）了整个数轴，每一个实数（每一个点）x位于这些区间中的一个区间，这就是说，对于任意固定的实数（每一个点）x，一定可以找到一个整数p，使得)1,[+∈ppx，即1+<≤pxp。

（2）有理数在数轴上的表示设q是任意给定正整数，把单位长度分成q等份，找出代表q1的那一点；从而，对任何整数p，便不难找出代表qp的那一点，于是任何有理数qp都可在数轴上表示出来。

（3）有理数对实数的逼近对于任意固定的正整数q ，如今让p 遍取所有的整数，那么qp 这些数把数轴分成一些长度为q1的区间，区间组)1,[q p q p +，（p 遍取所有的整数） 盖着（覆盖）了整个数轴。

每一个实数（每一个点）x 位于这些区间中的一个区间，这就是说，对于任意固定的实数（每一个点）x ，一定可以找到一个整数p ，使得)1,[q p q p x +∈，即 q p x q p 1+<≤，这个不等式等价于 q q p x 10<-≤，q x q p 110≤-+<由此可得qq p x 1||<- ，q x q p 1|1|≤-+ 。

由于q 是任意取定的正整数，我们可以事先把q 取得充分大，以致使q 1小于我们预设的值。

上面的不等式表明：每一个实数都能用有理数去逼近到任意的精确程度。

这称为有理数在实数中是稠密的。

这意味着有理数点在数轴上是稠密的（密密麻麻，在任何地方总能碰到它们）。

（4）无理数对实数的逼近 设a 是一个正无理数（例如2），对于任意固定的正整数q ，区间组)1,[a q p a q p +（p 遍取所有的整数）盖着（覆盖）了整个数轴。

每一个实数（每一个点）x 位于这些区间中的一个区间，这就是说，对于任意固定的实数（每一个点）x ，一定可以找到一个整数p ，使得)1,[a q p a q p x +∈，即 a q p x a q p 1+<≤，这个不等式等价于 a q a q p x 10<-≤，a qx a q p 110≤-+< 。

由此可得 a q a q p x 1||<- ，a qx a q p 1|1|≤-+ 。