安徽省“江南十校”联考2017-2018学年高考数学一模试卷(文科) Word版含解析

合集下载

2017江南十校文数试题(带答案)

2017年安徽省“江南十校”度高三联考数学（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}220A x x x =--≥，{}03B x x =<<，则AB （）A ．（0,2]B ．[-1,3）C ．[2,3）D ．[-1,0） 2. 若复数z 满足1zi i=+，其中i 是虚数单位，则复数z 的共轭复数为z =（） A ．1i + B ．1i -+ C ．1i - D ．1i -- 3.已知数列{}n a 是等差数列，35220,2a a a +==-，则15a =（） A ．20 B ．24 C ．28 D ．344.若圆锥曲线222:15x y m Γ+=（0m ≠且5m ≠）的一个焦点与抛物线28y x =的焦点重合，则实数m =（）A ．9B ．7 C.1 D. -15.已知函数cos y x =与sin(2)(0)y x ϕϕπ=+≤≤，它们的图像有一个横坐标为3π的焦点，则（） A ．6π B ．3πC. 23π D ．56π6.中国的计量单位可以追溯到4000多年前的氏族社会末期，公元前221年，秦王统一中国后，颁布同一度量衡的诏书并制发了成套的权衡和容量标准器.下图是古代的一种度量工具“斗”（无盖，不计量厚度）的三视图（其正视图和侧视图为等腰梯形），则此“斗”的体积为（单位：立方厘米）（）A ．2000B ．2800 C.3000 D.60007.已知3211log 222,(2)a b -==，cos50cos10cos140sin170c =︒︒+︒︒，则实数,,a b c 的大小关系是（）A ．a c b >>B ．b a c >> C. a b c >> D ．c b a >> 8.若函数2()()xf x ax bx e =+的图像如图所示，则实数,a b 的值可能为（）A ．1,2a b ==B ．1,2a b ==- C. 1,2a b =-= D ．1,2a b =-=- 9.三棱锥P ABC -中，侧棱2,6PA PB PC ===，则当三棱锥P ABC -的三个侧面的面积和最大时，经过点,,,P A B C 的球的表面积是（）A ．4πB ．8π C. 12π D ．16π10.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，焦距为2c ，直线3()y x c =+与双曲线的一个交点P 满足2112PF F PF F ∠∠=2，则该双曲线的离心率为（） A ．2 B ．3 C.231+ D ．31+11.已知MOD 函数是一个求余函数，其格式为(,)MOD n m ，其结果为n 除以m 的余数，例如(8,3)2MOD =.右面是一个算法的程序框图，当输入n 的值为12时，则输出的结果为（）A ．2B ．3 C.4 D ．5 12.已知数列{}n a 满足1(1)cos(2,)2n n n a a n n n N π*++=+•≥∈，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若20171010S m +=，且10a m •>，则111a m+的最小值为（） A ．2 BC.．2第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知平面向量(1,),(2,5),(,3)a m b c m ===，且()//()a c a b +-，则m = ． 14.已知θ是第四象限，且5sin()413πθ+=，则tan()4πθ-= ． 15.过定点(2,1)P -作动圆222:220C x y ay a +-+-=的一条切线，切点为T ，则线段PT 长的最小值是． 16.已知实,x y 数满足ln 230y xx y ≤⎧⎨--≤⎩，则4y z x+=的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知,,a b c 分别为ABC ∆中角,,A B C的对边，函数2()3cos 2cos f x x x x =++且()5f A =.（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若2a =，求ABC ∆面积的最大值.18. 某民调机构为了了解民众是否支持英国脱离欧盟，随机抽调了100名民众，他们的年龄的频数及支持英国脱离欧盟的人数分布如下表：（Ⅰ）由以上统计数据填下面列联表，并判断是否有99%的把握认为以50岁胃分界点对是否支持脱离欧盟的态度有差异；合计附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++（Ⅱ）若采用分层抽样的方式从18-64岁且支持英国脱离欧盟的民众中选出7人，再从这7人中随机选出2人，求这2人至少有1人年龄在18-24岁的概率.19. 如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，CG ⊥平面ABCD ，////DE BF CG ，35DE BF CG ==. P 为线段EF 的中点，AP 与平面ABCD 所成角为60°.在线段CG 上取一点H ，使得35GH CG =.（Ⅰ）求证：PH ⊥平面AEF ；（Ⅱ）求多面体ABDEFH 的体积.20. 如图所示，在直角坐标系xOy 中，抛物线2:4,(1,0)C y x Q =-，设点P 是第一象限内抛物线C 上一点，且PQ 为抛物线C 的切线. （Ⅰ）求点P 的坐标；（Ⅱ）圆1C 、2C 均与直线OP 相切于点P ，且均与x 轴相切，求圆1C 、2C 的半径之和.21. 已知函数2(2)()(2)ln 2a f x a x ax x-=++--. （Ⅰ）当02a <<时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）已知1a =，函数21()44g x x bx =--.若对任意1(0,]x e ∈，都存在2(0,2]x ∈，使得12()()f x g x ≥成立，求实数b 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知P 为曲线221:1124x y C +=上的动点，直线2C的参数方程为312x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）求点P 到直线2C 距离的最大值，并求出点P 的坐标. 23.选修4-5：不等式选讲已知关于x 的方程22log (25)210x x a -+--=在[0,3]x ∈上有解. （Ⅰ）求正实数a 取值所组成的集合A ；（Ⅱ）若230t at --≥对任意a A ∈恒成立，求实数t 的取值范围.试卷答案一、选择题1.CA ={1x x ≤-或2x ≥},{}|23AB x x ∴=≤<2.D 1,1z i z i =-+∴=--3.B 31388210a a a a +=⇒=又2413222152=+=⇒=∴-=d a a d a4.A2,54,9c m m =∴-=∴=5.A 21sin()=32πϕ+，2=236k ππϕπ++ 或526k k Z ππ+∈ =22k πϕπ-或2,6k k Z ππ+∈，又因为0ϕπ<<，所以6πϕ=6.B 1(100400200)1228003V =++⨯= 7.C 113212,3,2a b c --===，所以a b c >> 8.B 2()[(2)]xf x ax a b x b e '=+++•，由图像可知，所以选B9.D 当,,PA PB PC 两两垂直时，三棱锥P ABC -的三个侧面的面积和最大226644416R S R ππ=++=∴==10.D 1221122130,6090,3PF F PF F F PF PF c PF c ∠=︒∠=︒∴∠=︒∴== 由双曲线定义知：122(31),31a PF PF c e =-=-∴=+ 11. C12.A 2017120171008,1010S a S m -=+=，所以12a m +=11111111111()2222a m a m a m a m m a ⎛⎫⎛⎫+=+•+=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 二、填空题13.3172± (1,3),(1,5)a c m m a b m +=++-=--由条件：23173202m m m ±--=⇒=14.512-5cos 413πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭因为θ为第四象限角且cos 04πθ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，故12sin 413πθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭12tan 45πθ⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭15.2 222(1)2PT PC r a =-=++,当1a =-时PT 长最小为216.]1,0[三、解答题17.解：(1)由题意可得：2()323sin cos 2cos 5f A A A A =++=，()()()223sin cos 21cos sin 3cos sin 00,sin 0A A A AA A A A π∴=-∴-=∈∴≠∴sin 3cos A A =，即tan 3A =，3A π=. (2)由余弦定理可得：2242cos3b c bc π=+-，224b c bc b =+-≥（当且仅当2b c ==时“=”成立）.∴133sin 43244ABC S bc A bc ∆==≤⨯=，故ABC ∆面积的最大值是3. 18.解：（1）年龄低于50岁的人数年龄不低于50岁的人数合计支持“脱欧”人数 20 30 50 不支持“脱欧”人数35 15 50 合计554510022100(20153035)9.091 6.63555455050K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯所以有99％的把握认为以50岁为分界点对是否支持脱离欧盟的态度有差异. （2）18-24岁2人，25-49岁2人，50-64岁3人 .记18-24岁的两人为,A B ；25-49岁的两人为,C D ；50-64岁的三人为,,E F G ，则,,,,,,,,,,,,,,,,,,AB AC AD AE AF AG BC BD BE BF BG CD CE CF CG DE DF DG ，,,EF EG FG 共21种，其中含有A 或B 的有11种.1121P =. 19.解：（1）连接,AC BD 交于点O ，连接OP ，则O 为BD 中点，OP DE ∴⊥OP ∴⊥平面ABCD ，PAO ∴∠为AP 与平面ABCD 所成角，60PAO ∴∠=. AOP Rt ∆中，1,3,2AO OP AP ===5323,33CG CH ∴==. Rt AHC ∆中，2243AH AC CH =+=. 梯形OPHC 中，23PH =. 222AP PH AH ∴+=AP PH ∴⊥.又EH FH =PH EF ∴⊥. 又APEF P =PH ∴⊥平面AEF .（2）由（1）知，OP ⊥平面ABCD OP AC ∴⊥. 又AC BD ⊥，BDOP O =AC ∴⊥平面BDEF .123||3A BFED BFED V S AO -∴=⨯⨯=//,CG BF BF ⊂平面BFED ，CG ⊄平面BFED ，//CG ∴平面BFED ∴点H 到平面BFED 的距离等于点C 到平面BFED 的距离，1||33H BFED BFED V S CO -∴=⨯⨯=. 3A BFED H EFBD V V V --=+=.20.解：（1）设直线PQ 的方程为：1x my =-2214404x my y my y x=-⎧⇒-+=⎨=⎩ 因为PQ 为抛物线C 的切线，所以2161601m m ∆=-=⇒=±.又因为点P 是第一象限内抛物线C 上一点，所以1m =，此时点(1,2)P .（2）OP 直线方程为：2y x =,设圆12C C 、的圆心坐标分别为1122(,,)a b a ),(b ,其中120b >>0,b ，则圆12C C 、的半径分别为12b 、b ，因为圆1C 与直线OP 相切于点P，所以1121112112550b a b b b-⎧=⎪-⎪⇒-+==. 同理因为圆2C 与直线OP 相切于点P ，所以2222222112550b a b b b-⎧=-⎪-⎪⇒-+==. 即圆12C C 、的半径12b b 、是方程2550b b -+=的两根，故125b b =+.21.解：(1)当02a <<时，222(2)2(2)(2)[(2)()ax a x a x ax a f x x x-++----'=-=-，当203a <<时，22()02,()022a a f x x f x x --''>⇒<<<⇒> 或02x <<，()f x 在2(2,)2a -上递增，在（0,2）和2(,)2a-+∞上递减；当223a <<时，2()02,()022a f x x f x x -''>⇒<<<⇒>或202a x -<<，()f x 在2(,2)2a -上递增，在2(0,)2a-和(2,)+∞上递减；222(2))3x f x x-'=-（，()f x 在()0,+∞上递减. (2)由（2）知1,()a f x =在(0,1)内单调递减，(1,2)内单调递增，(2,)e 内单调递减，又222(1)3(1)1,()1,()(1)20e f f e e f e f e e e e--=-=-+-=-+=->， ]1min (0,()|(1)1x e f x f ∴∈==-，故(][]120,,0,2x e x ∀∈∃∈有12()()f xg x ≥，只需()g x 在[0,2]上最小值小于等于-1即可.020x b =<即0b <时()g x 最小值1(0)14g =->-，不合题意，舍去； 02[0,2]x b =∈即01b ≤≤时()g x 最小值213(2)41144g b b b =--≤-⇒≤≤； 022x b =>即1b >时()g x 最小值1519(2)81,1432g b b b =--≤-⇒≥∴>；综上所述：34b ≥. 22.解：由条件：23:36033y C x x =⇒-=-. 设点(23,2sin )P θθ，点P 到2C 之距离，23cos 23sin 66)34d θθπθ--==+-.max 63d =.此时点(6,2)P .23.解：（1）当[0,3]x ∈时[]2222log (25)log (1)42,3x x x ⎡⎤-+=-+∈⎣⎦.2213a ≤-≤且3302,|222a a A a a ⎧⎫>⇒≤≤∴=≤≤⎨⎬⎩⎭. （2）由（1）知：322a ≤≤，设2()3g a t a t =•+-，则3()02(2)913g t g t t ⎧⎧≥≥⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪≥≥≤-⎩⎩或或34t ≤34t ≤或3t ≥.。

2017-2018学年高三一模考试文科数学测试卷及答案

2017-2018 学年度咼三年级第一次模拟考试文科数学试卷一、选择题：本大题共 12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的A. 2 _2iB. 2 2iC. _2 _ 2 iD. -2 2i2. 已知命题p : -i n 三N , 3n .2018，则一p 为( )A. —n. N , 3n £；20 18B . —n^N , 3n .2018C.n N, 3n ^2 018 D. -I n 三 N , 3“ ：：： 2 01 8f1~]3. 设集合 M ={x|x —x,0} , N = x| 1 ，则是()IxJA. M ? NB. N ? MC. M =ND. M U N =R4.某校高中三个年级人数饼图如图所示，按年级用分层抽样的方法抽取一个样本，已知样本中高一年级学生有8人，则样本容量为（边过点 P (1, -2)，则 sin 2 v = ()3 3 4A.B .-C .—D5556.等腰直角三角形 ABC 中，A =90、，该三角形分别绕 AB , BC 所在直线旋转，则2个几何体的体积之比为（1.2(1 —i)5.以角v 的顶点为坐标原点，始边为 x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系 xOy ,若角二终2A. 向右平移生个单位长度2B. 向右平移二个单位长度4C. 向左平移二个单位长度2D. 向左平移二个单位长度4B .求 135 - ... - (2 n - 1)C.求12 - 22・32亠亠nA .1 :、、.、C7. 已知a =45c A. a ::: c ::.aC.b :::c ::8.为了得到yIx_可yD . 2 :1该程序所能实现的功能是（）sin 2x •丄的图象（） I 3丿设计的程序框图,210.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（D.求12 ■■■■■ (n -1)A. 5 4、、2B. 9C. 6 5、, 2D. 2 3 4 5311. 已知P为抛物线亍二x上异于原点0的点，PQ _ x轴，垂足为Q ,过PQ的中点作x轴一P Q的平行线交抛物线于点M，直线QM交y轴于点N，则 ----------- =()N O2 3A. B. 1C. — D. 23 212. 已知函数f (x) =x -2xcosx，则下列关于f(x)的表述正确的是( )A. f (x)的图象关于y轴对称 B . f (x)的最小值为-1C. f (x)有4个零点 D . f (x)有无数个极值点二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知 a =(_1,1) , b =(1, _2)，贝U (a 2b) a =.x - y _ 0I14. 设x , y满足约束条件x・2y_3_0，则z = 2x 3 y的最小值是.x - 2 y -1 乞02 2x y15. 已知双曲线C : 1 (m .0)，则C的离心率的取值范围是.1 亠m 1 —mc a b16. 在八ABC中，角A , B , C的对边分别为a, b, c,若S ABC，贝V 的最大4 b a值是.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)、(23)题为选考题，考生根据要求作答(一)必考题：共60分.17.已知数列｛ a n ｝是以1为首项的等差数列，数列｛X ｝是以q （q =1）为公比的等比数列（1）求｛a n ｝和｛b n ｝的通项公式;天进货当天销售•如果当天卖不出去，未售出的全部降价处理完，平均每公斤损失 3元.根据以往的销售情况，按［0,100），［1 00,200），［200,300），［3 00,400），［400,500］进行分组,得到如图所示的频率分布直方图（1）根据频率分布直方图计算该种鲜鱼日需求量的平均数 X （同一组中的数据用该组区间中点值代表）；（2）该经销商某天购进了 300公斤这种鲜鱼，假设当天的需求量为 X 公斤（0乞X 空500），利润为Y 元.求Y 关于x 的函数关系式，并结合频率分布直方图估计利润 Y 不小于700元的概率•19.如图，在三棱柱 ABC -A 1B 1C 1中，平面 A ’B ’C _平面 AA 1C 1C ，乙BAC =90-（2）若.'^1 B 1C 是边长为2的等边三角形，求点 B 1到平面ABC 的距离.(2)若 S 、= a 1b n 6"丄亠亠％丄b 2-，求S n .18.某水产品经销商销售某种鲜鱼，售价为每公斤 20元，成本为每公斤15元.销售宗旨是当2 220.已知椭圆-:X2 - y2=1 （a b - 0）的左焦点为F，上顶点为A，长轴长为2 6，B为a b（1）若椭圆:的方程；（2）若C为椭圆:上一点，满足AC//BM , AMC=6 0；，求m的值.x 121. 已知函数 f （x）% ，g （x） = e* " .. .. In x —a .x（1）求f （x）的最大值；（2）若曲线y=g（x）与x轴相切，求a的值.（二）选考题：共10分•请考生在（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分•22. 选修4-4 :坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，圆6 : （x-1）2 - / =1，圆C 2 : （X-3）2 ・y2=9.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求6， C2的极坐标方程；「X =t CO S 0（（2）设曲线C3 : （t为参数且t式0），C3与圆6，C2分别交于A，B，求S少cy =t sin a的最大值.23. 选修4-5 :不等式选讲设函数f（x）=|x+1| — x的最大值为m.（1）求m的值；2 2（2）若正实数a，b满足a • b = m，求—一-——的最小值.b 十1 a +1②一①可得，S= 2n +1 + (2n + 2n —1 + ・・・ +=2n +2— 2n — 4.(18) 解:(I) x = 50 x 0.001 O X 100 + 150X 0.002 0x 100 + 250 x 0.003 0 x 100+ 350 x 0.002 5x 100+ 450 x 0.001 5 x 100 = 265 .…4 分(H)当日需求量不低于 300公斤时，利润 Y = (20 — 15) x 300 = 1 500元；当日需求量不足 300公斤时，利润 Y = (20 — 15) x — (300 — x ) x 3 = 8x — 900元；故 Y =°x- 900, 0< X V 300,…8 分故丫= 1 500, 300W x < 500. 分由 Y 》700 得，200W x < 500, 所以 F ( Y > 700) = P (200 w x w 500)=0.003 0x 100 + 0.002 5x 100 + 0.001 5x 100=0.7 .(19) 解:参考答案•选择题:A 卷: DACCD BDBCA CDB 卷: AACCD DBBCA CD •填空题： (13)— 4 (14)— 5(15) (1 ,2)(16) 2 2三•解答题: (17) 解:(I)设｛a n ｝的公差为 d , ｛6｝的首项为 b,贝 U a n = 1 + (n — 1) d , b n = bg n —1 •卩 + d= b,依题意可得孑2d = b 1(q — 1),2K1 + d ) bq = bq ,d =1,解得b 1= 2,q = 2,所以 a n = n , b n = 2.S= 1X 2n+ 2X 2n —1+ - +1n x 2 ,所以 n +12S = 1 x 2.. 2+ 2x 2 +•••+ n x 2 ,2 12) — n x 2…12分…12分(I)过点B作AC的垂线，垂足为0,由平面 ABC 丄平面 AACC,平面 ABC n 平面 AACC = AC 得BO ±平面AACQ,又AC 平面AACC 得B0丄AC. 由/BAC= 90°, AB// AB ，得 AB 丄 AC 又 BOd A 1B 1 = B i ,得 AC 丄平面 A i B i C. 又CA 平面ABC,得ACLCA .又 AML BM , AC// BM 所以 k BM = k AC =所以AB //平面ABC所以B 到平面ABC 的距离等于 A 到平面ABC 的距离，设其为 d , 由 Vq -AB = V B-AA 1 C 得，1 1 1 1 X-X ACX ABX d = ；x ：x ACX A C x B O,3 23 2所以 d = B 0= <;3.即点B 到平面ABC 的距离为，3. (20) 解：(I)依题意得 A (0 , b ) , F ( — c , 0)，当 ABL l 时，B ( — 3, b ),,r b b 2 2由 AF 丄 BF 得 k AF • k BF = • =— 1，又 b + c = 6.c — 3 + c解得 c = 2, b = ,2.2 2所以，椭圆r 的方程为x 6+2 =1.(n)由(I)得A (0 ,寸2)，所以 k AM =—…7分m厂所以直线AC 的方程为y =(^+羽,2 2m xv — 12my = —x + 订2与—+ — = 1 联立得(2 + 3m )x + 12mx= 0,所以 x c = ?十 §m ，—12m 乔（叶0），在直角△ AM （中，由/ AMC 60° 得，|AC = ,3|AM ，整理得：（，3m+ 2） 2= 0, 解得m=—晋.…10分…12分当X V 1时，f (x ) > 0, f ( x )单调递增;当X > 1时，f (X )V 0 , f ( x )单调递减,1 故x = 1时，f (X )取得最大值f (1) = e . e ,,, x —1 1 1(n)因为 g (x ) = e + -2— x — 1,X X 设切点为(t , 0)，则 g (t ) = 0,且 g (t ) = 0,t — 1 1 1 t —1 1即 e + 严一 -—1 = 0, e — t ■一 In t — t + a = 0,1 t 一!所以 a = - + In t +1 — e .人 X —1 1 1令 h ( x ) = e + 2— — 1, x x1 X 1 x — !由(I )得f ( X )<e ，所以g w e ，即e >x ，等号当且仅当x = 1时成立,21 1 (X — 1) (X + 1)所以h (x ) >x + T — - — 1 = - >0,等号当且仅当 x = 1时成立, X X X故 a = 1.(22)解:依题意得 I AB = 6cos a — 2cos C 2(3 , 0)到直线 AB 的距离 d = 3|sin a | ,1(21)解:1 — x(X )二丁所以当且仅当 x = 1 时，h ( x ) = 0, 所以t = 1.…11分 …12分 C 1：cos 0 , y = p sin 0 2 . 2 一 -2 2 2.2 p cos 0 + p sin 0 — 2 p cos 可得,+ 1= 1，所以2cosG: 2 2 2.2 p cos 0 + p sin 0 — 6 p cos + 9= 9，所以p = 6cos a = 4COS a ,所以S\ABC>= x d x | AB = 3|sin 2 a | ,故当a=±丁时，&AB(2取得最大值3. …10分4(23)解：丁一1, X W一1,(I) f (x) = |x + 1| —| x| = 2X + 1, —1 v X V 1,、1, X> 1,由f(x)的单调性可知，当x> 1时，f(x)取得最大值1.所以m= 1. …4分（n ）由（i ）可知， a + b = 1, bh +吕=3（bh +h b +1）+（a +1）] 2 . 2 . 1 22 a （a +1） b （b +1） =-[a + b ++] 3 b +1=1（a + b ）2 1 a = b = g 时取等号.b 21 —-的最小值为 a +1 3 > 1（a2 + b 2 + 2a （a + 1）b （b +1） b + 1 a +1 ） a + 1 当且仅当 …10分。

【安徽省皖南地区】2017年高考一模数学(文科)试卷

安徽省皖南地区2017年高考一模数学（文科）试卷
一、选择题．本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1．已知集合05{|}A x x =≤≤，{|*1}2B x x =∈-≤N ．则（）．已知三个向量,,a b c 共面，且均为单位向量，0a b ⋅=，则||a b c +-的取值范围是（1⎤⎦
C ．2,3⎡⎤⎣⎦
7．某几何体的三视图如图所示（在右边的网格线中，每个小正方形的边长为1），则该几何体的表面积为（）
8．已知函数()f x 的图像关于1x =-对称，且()f x 在(),∞1+上单调，若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且5051()()f a f a =，则{}n a 的前100项的和为（）
，若MB AB λ=，则实数
321n n ∈﹣
，的取值范围为满足2BD BC =，且线段在四棱锥S ABCD ﹣中，60，30SAD ∠，
AD
1912100
22．（10分）在平面直角坐标系，将曲线1C 上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的
1
2
，得到曲线2C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为2ρ=．（Ⅰ）求曲线2C 的参数方程；。

2017-2018学年安徽省高三(上)第一次月考数学试卷(文科)(重点班)Word版含答案

2017-2018学年安徽省高三（上）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1．（5分）已知集合M={x||x|＜1}，N={x|x＞0}，则M∩N为（）A．（﹣1，1）B．（0，1）C．（0，） D．∅2．（5分）下列命题中，真命题是（）A．∃x0∈R，≤0 B．∀x∈R，2x＞x2C．a+b=0的充要条件是=﹣1 D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件3．（5分）sin（﹣）的值是（）A．B．﹣ C．D．﹣4．（5分）a=log0.76，b=60.7，c=0.70.6，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a5．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图示，则将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为（）A．y=sin2x B．y=cos2x C．y=sin（2x+） D．y=sin（2x﹣）6．（5分）设x∈R，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，则|+|=（）A．B． C．2 D．107．（5分）若矩形ABCD中AB边的长为2，则•的值等于（）A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）已知定义在R上的函数y=f（x）满足下列三个条件：①对任意的x∈R都有f（x+4）=f（x）；②对于任意的0≤x1＜x2≤2，都有f（x1）＜f（x2）；③y=f（x+2）的图象关于y轴对称．则下列结论中，正确的是（）A．f（6.5）＞f（5）＞f（15.5）B．f（5）＜f（6.5）＜f（15.5）C．f（5）＜f（15.5）＜f（6.5）D．f（15.5）＞f（6.5）＞f（5）（5分）在学习平面向量时，有这样一个重要的结论：“在△ABC所在平面中，若点P使得x+y+z=，9．（x，y，z∈R，xyz（x+y+z）≠0），则S△PBC：S△PAC：S△PBA：S△ABC=|x|：|y|：|z|：|x+y+z|”．依此结论，设点O在△ABC的内部，且有，则的值为（）A．2 B．C．3 D．10．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定11．（5分）已知cos（α+）﹣sinα=，则sin（α﹣π）的值是（）A．B．C．D．12．（5分）函数f（x）=lg（sinx+a）的定义域为R，且存在零点，则实数a的取值范围是（）A．[1，2] B．（1，2] C．[2，3）D．[2，3]二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分．13．（5分）log48﹣log3+[（﹣4）2]= ．14．（5分）函数f（x）=e x sinx的图象在点（0，f（0））处的切线的倾斜角为．15．（5分）设函数f（x）=，函数y=f[f（x）]﹣1的零点个数为．16．（5分）已知下列五个命题：①若点P（a，2a）（a≠0）为角α终边上一点，则sinα=；②若sinα＞sinβ且α，β均为第二象限角，则tanα＜tanβ；③若θ是第二象限角，则sin cos＞0④若sinx+cosx=﹣，则tanx＜0．⑤直线x=﹣是函数y=3cos（2x﹣）+1的图象的一条对称轴．其中正确命题的序号为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知函数f（x）=2sin2x+2sinxcosx+1．求：（1）f（x）的最小正周期；（2）f（x）的单调递增区间；（3）f（x）在[0，]上的最值．18．（12分）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜）在某（Ⅰ）求x1，x2，x3的值及函数f（x）的表达式；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移π个单位，可得到函数g（x）的图象，若直线y=k与函数y=f（x）g（x）的图象在[0，π]上有交点，求实数k的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）=ax2+2x﹣lnx．（1）当a=0时，求f（x）的极值；（2）若f（x）在区间[，2]上是增函数，求实数a的取值范围．20．（12分）已知向量=（sin2x﹣1，cosx），n=（，cosx），设函数f（x）=•．（1）求函数f（x）的最小正周期及在[0，]上的最大值；（2）已知△ABC的角A、B、C所对的边分别为a、b、c，A、B为锐角，f（A+）=，f（﹣）=，又a+b=+1，求a、b、c的值．21．（12分）四边形ABCD中，（1）若，试求x与y满足的关系式；（2）满足（1）的同时又有，求x，y的值及四边形ABCD的面积．22．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a＞0时，求函数f（x）在[1，2]上最小值．2017-2018学年安徽省高三（上）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1．（5分）（2015•太原校级二模）已知集合M={x||x|＜1}，N={x|x＞0}，则M∩N为（）A．（﹣1，1）B．（0，1）C．（0，） D．∅【分析】解绝对值不等式求得M、解对数不等式求得N，再根据两个集合的并集的定义求得M∩N．【解答】解：∵集合M={x||x|＜1}={x|﹣1＜x＜1}，N={x|x＞0}={x|0＜x＜1}，∴M∩N=（0，1），故选：B．【点评】本题主要考查绝对值不等式、对数不等式的解法，两个集合的并集的定义和求法，属于基础题．2．（5分）（2012•福建）下列命题中，真命题是（）A．∃x0∈R，≤0 B．∀x∈R，2x＞x2C．a+b=0的充要条件是=﹣1 D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件【分析】利用指数函数的单调性判断A的正误；通过特例判断，全称命题判断B的正误；通过充要条件判断C、D的正误；【解答】解：因为y=e x＞0，x∈R恒成立，所以A不正确；因为x=﹣5时2﹣5＜（﹣5）2，所以∀x∈R，2x＞x2不成立．a=b=0时a+b=0，但是没有意义，所以C不正确；a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件，显然正确．故选D．【点评】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，全称命题，特称命题，命题的真假判断与应用，考查基本知识的理解与应用．3．（5分）（2014•济南二模）sin（﹣）的值是（）A．B．﹣ C．D．﹣【分析】原式中的角度变形【解答】解：sin（﹣）=﹣sin=﹣sin（3π+）=﹣sin（π+）=sin=．故选：A．【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．4．（5分）（2015秋•长葛市期末）a=log0.76，b=60.7，c=0.70.6，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a【分析】利用指数式和对数式的性质，分别比较三个数与0或1的大小得答案．【解答】解：∵a=log0.76＜0，b=60.7＞1，0＜c=0.70.6＜0.70=1，∴b＞c＞a．故选：D．【点评】本题考查对数值的大小比较，考查了指数函数与对数函数的单调性，是基础题．5．（5分）（2014•浙江模拟）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图示，则将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为（）A．y=sin2x B．y=cos2x C．y=sin（2x+） D．y=sin（2x﹣）【分析】通过函数的图象求出A，求出函数的周期，利用周期公式求出ω，函数过（），结合φ的范围，求出φ，推出函数的解析式，通过函数图象的平移推出结果．【解答】解：由图象知A=1，T=﹣=，T=π⇒ω=2，由sin（2×+φ）=1，|φ|＜得+φ=⇒φ=⇒f（x）=sin（2x+），则图象向右平移个单位后得到的图象解析式为y=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣），故选D．【点评】本题考查学生的视图能力，函数的解析式的求法，图象的变换，考查计算能力．6．（5分）（2012•重庆）设x∈R，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，则|+|=（）A．B． C．2 D．10【分析】通过向量的垂直，求出向量，推出，然后求出模．【解答】解：因为x∈R，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，所以x﹣2=0，所以=（2，1），所以=（3，﹣1），所以|+|=，故选B．【点评】本题考查向量的基本运算，模的求法，考查计算能力．7．（5分）（2015秋•上饶校级月考）若矩形ABCD中AB边的长为2，则•的值等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据平面向量的线性运算与数量积运算，计算即可．【解答】解：如图所示，矩形ABCD中，AB=2，则•=•（+）=+•=22+0=4．故选：D．【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是基础题目．8．（5分）（2012•市中区校级一模）已知定义在R上的函数y=f（x）满足下列三个条件：①对任意的x∈R都有f（x+4）=f（x）；②对于任意的0≤x1＜x2≤2，都有f（x1）＜f（x2）；③y=f（x+2）的图象关于y轴对称．则下列结论中，正确的是（）A．f（6.5）＞f（5）＞f（15.5）B．f（5）＜f（6.5）＜f（15.5）C．f（5）＜f（15.5）＜f（6.5）D．f（15.5）＞f（6.5）＞f（5）【分析】先把函数的性质研究清楚，由三个条件知函数周期为4，其对称轴方程为x=2，在区间[0，2]上是增函数，观察四个选项发现自变量都不在已知的单调区间内故应用相关的性质将其值用区间[0，2]上的函数值表示出，以方便利用单调性比较大小．【解答】解：由①②③三个条件知函数的周期是4，在区间[0，2]上是增函数且其对称轴为x=2∴f（5）=f（1），f（15.5）=f（3.5）=f（2+1.5）=f（2﹣1.5）=f（0.5），f（6.5）=f（2.5）=f（2+0.5）=f（2﹣0.5）=f（1.5）∵0＜0.5＜1＜1.5＜2，函数y=f（x）在区间[0，2]上是增函数∴f（0.5）＜f（1）＜f（1.5），即f（15.5）＜f（5）＜f（6.5）故选A．【点评】本题主要考查了函数的周期性，以及利用函数的周期性、单调性、对称性进行比较函数值的大小，同时考查了转化的数学思想，属于中档题．9．（5分）（2015秋•上饶校级月考）在学习平面向量时，有这样一个重要的结论：“在△ABC所在平面中，若点P使得x+y+z=，（x，y，z∈R，xyz（x+y+z）≠0），则S△PBC：S△PAC：S△PBA：S△ABC=|x|：|y|：|z|：|x+y+z|”．依此结论，设点O在△ABC的内部，且有，则的值为（）A．2 B．C．3 D．【分析】由=，可得+2+3=，利用结论，即可得出结果．【解答】解：∵=，∴+2+3=，∴==3．故选：C．【点评】本题考查的知识点是类比推理，类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．10．（5分）（2013•陕西）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得sinA的值进而求得A，判断出三角形的形状．【解答】解：∵bcosC+ccosB=asinA，∴sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA=sin2A，∵sinA≠0，∴sinA=1，A=，故三角形为直角三角形，故选：A．【点评】本题主要考查了正弦定理的应用，解题的关键时利用正弦定理把等式中的边转化为角的正弦，属于基本知识的考查．11．（5分）（2011•杭州模拟）已知cos（α+）﹣sinα=，则sin（α﹣π）的值是（）A．B．C．D．【分析】先将已知与求解化简，用两角和的余弦公式展开，用诱导公式π+α型展开，再研究两者之间的联系，化简与变换要用到两角和与差的正余弦公式以及诱导公式．【解答】解：由，得cosα﹣sinα=，即，即．所以，故应选D．【点评】考查用三角变换求值，这是三角恒等变换公式与诱导公式的一个很重要的应用．12．（5分）（2007秋•宁波期末）函数f（x）=lg（sinx+a）的定义域为R，且存在零点，则实数a的取值范围是（）A．[1，2] B．（1，2] C．[2，3）D．[2，3]【分析】f（x）的定义域为R，即sinx+a＞0恒成立，根据函数存在零点，可得lg（sinx+a）=0有解，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：f（x）的定义域为R，即sinx+a＞0恒成立，∴a＞1，∵函数f（x）=lg（sinx+a）存在零点，即lg（sinx+a）=0有解，∴sinx+a=1有解，解得0≤a≤2∴1＜a≤2．故选B．【点评】本题考查对数函数的性质和应用，以及三角函数的有界性，解题时要认真审题，仔细解答，属中档题．二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分．13．（5分）（2013秋•菏泽期末）log48﹣log3+[（﹣4）2]= 6 ．【分析】利用换底公式化简前两项，利用指数式的运算性质化简最后一项，然后通分求值．【解答】解：====6．故答案为6．【点评】本题考查了指数式的运算性质和对数式的运算性质，考查了换底公式，是基础的运算题．14．（5分）（2015秋•上饶校级月考）函数f（x）=e x sinx的图象在点（0，f（0））处的切线的倾斜角为45°．【分析】根据求导公式和法则求出函数的导数，再求出f′（0）的值，即为所求的倾斜角正切值．【解答】解：由题意得，f′（x）=e x sinx+e x cosx=e x（sinx+cosx），∴在点（0，f（0））处的切线的斜率为k=f′（0）=1，则所求的倾斜角为45°，故答案为：45°．【点评】本题考查了求导公式和法则的应用，以及导数的几何意义，难度不大．15．（5分）（2015•兰州二模）设函数f（x）=，函数y=f[f（x）]﹣1的零点个数为 2 ．【分析】根据函数，根据指数函数和对数函数的性质，我们可以分类讨论，化简函数函数y=f[f（x）]﹣1的解析式，进而构造方程求出函数的零点，得到答案．【解答】解：∵函数，当x≤0时y=f[f（x）]﹣1=f（2x）﹣1=﹣1=x﹣1令y=f[f（x）]﹣1=0，x=1（舍去）当0＜x≤1时y=f[f（x）]﹣1=f（log2x）﹣1=﹣1=x﹣1令y=f[f（x）]﹣1=0，x=1当x＞1时y=f[f（x）]﹣1=f（log2x）﹣1=log2（log2x）﹣1令y=f[f（x）]﹣1=0，log2（log2x）=1则log2x=2，x=4故函数y=f[f（x）]﹣1的零点个数为2个故答案为：2【点评】本题考查的知识点是函数的零点，根的存在性及根的个数判断，其中根据指数函数和对数函数的图象和性质，化简函数的解析式是解答的关键．16．（5分）（2015秋•上饶校级月考）已知下列五个命题：①若点P（a，2a）（a≠0）为角α终边上一点，则sinα=；②若sinα＞sinβ且α，β均为第二象限角，则tanα＜tanβ；③若θ是第二象限角，则sin cos＞0④若sinx+cosx=﹣，则tanx＜0．⑤直线x=﹣是函数y=3cos（2x﹣）+1的图象的一条对称轴．其中正确命题的序号为②③⑤．【分析】由三角函数的定义求出sinα的值判断①；根据题意，画出单位圆以及α，β为第二象限的角的三角函数线，根据三角函数线得到tanα＜tanβ判断②；利用二倍角的正弦判断③；把已知等式两边平方可得sinx＜0且cosx＜0，x为第三象限角，得tanx＞0判断④；直接求出x=﹣时的函数y=3cos（2x ﹣）+1的函数值判断⑤．【解答】解：①若点P（a，2a）（a≠0）为角α终边上一点，则|OP|=，当a＞0时，sinα==，当a＜0时，sinα=，故①错误；②若sinα＞sinβ，且α，β均为第二象限角，三角函数线如图，则tanα＜tanβ，故②正确；③若θ是第二象限角，则sin cos=＞0，故③正确；④若sinx+cosx=﹣，得1+2sinxcosx=，即sinxcosx=，说明sinx＜0且cosx＜0，x为第三象限角，则tanx＞0，故④错误；⑤∵3cos[2×（﹣）﹣]=3cos（﹣π）=﹣3，∴直线x=﹣是函数y=3cos（2x﹣）+1的图象的一条对称轴，故⑤正确．∴正确命题的序号是②③⑤．故答案为：②③⑤．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了三角函数的图象和性质，是中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）（2006秋•朝阳区期末）已知函数f（x）=2sin2x+2sinxcosx+1．求：（1）f（x）的最小正周期；（2）f（x）的单调递增区间；（3）f（x）在[0，]上的最值．【分析】（1）先将函数化简为：f（x）=，根据最小正周期的求法即可得到答案．（2）根据，可求出答案．（3）根据．再由三角函数的单调性可的答案．【解答】解：（Ⅰ）因为===，所以f（x）的最小正周期．（Ⅱ）因为，所以由，得．所以f（x）的单调增区间是．（Ⅲ）因为．所以．所以．即f（x）的最小值为1，最大值为4．【点评】本题主要考查三角函数最小正周期的求法、单调区间的求法以及在限定区间上的三角函数的最值的求法．这种题型首先将函数化简为：y=Asin（ωx+φ）的形式后进行解题．18．（12分）（2015春•朝阳区期末）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜）在某一个周期的图象时，列表并填入的部分数据如下表：（Ⅰ）求x1，x2，x3的值及函数f（x）的表达式；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移π个单位，可得到函数g（x）的图象，若直线y=k与函数y=f（x）g（x）的图象在[0，π]上有交点，求实数k的取值范围．【分析】（Ⅰ）由φ=0，+φ=0，可解得ω，φ的值，由，，，可求x1，x2，x3的值，又由Asin（）=2，可求A的值，即可求得函数f （x）的表达式；（Ⅱ）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可求g（x）=2cos（），y=f（x）g（x）=2sin（x﹣），结合范围x∈[0，π]时，可得x﹣∈[﹣，]，利用正弦函数的图象和性质即可得解．【解答】（本题满分为10分）解：（Ⅰ）由φ=0，+φ=0，可得，φ=﹣，由，，，可得：x1=，，，又因为Asin（）=2，所以A=2．所以f（x）=2sin（）…6分（Ⅱ）由f（x）=2sin（）的图象向左平移π个单位，得g（x）=2sin（）=2cos（）的图象，所以y=f（x）g（x）=2×2sin（）•cos（）=2sin（x﹣）．因为x∈[0，π]时，x﹣∈[﹣，]，所以实数k的取值范围为：[﹣2，]…10分【点评】本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．19．（12分）（2015•重庆一模）已知函数f（x）=ax2+2x﹣lnx．（1）当a=0时，求f（x）的极值；（2）若f（x）在区间[，2]上是增函数，求实数a的取值范围．【分析】（1）因为当函数的导数为0时，函数有极值，所以当a=0时，必须先在定义域中求函数f（x）的导数，让导数等于0，求x的值，得到极值点，在列表判断极值点两侧导数的正负，根据所列表，判断何时有极值．（2）因为当函数为增函数时，导数大于0，若f（x）在区间上是增函数，则f（x）在区间上恒大于0，所以只需用（1）中所求导数，令导数大于0，再判断所得不等式当a为何值时，在区间上恒大于0即可．【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞）∵当a=0时，f（x）=2x﹣lnx，则，（∴当时，f（x）的极小值为1+ln2，函数无极大值．（2）由已知，得若a=0，由f'（x）＞0得，显然不合题意若a≠0∵函数f（x）区间是增函数∴f'（x）≥0对恒成立，即不等式ax2+2x﹣1≥0对恒成立即恒成立故而当，函数，∴实数a的取值范围为a≥3．【点评】本题考查了利用导数求函数极值以及函数单调性，属于常规题，必须掌握．20．（12分）（2011•江西校级模拟）已知向量=（sin2x﹣1，cosx），n=（，cosx），设函数f（x）=•．（1）求函数f（x）的最小正周期及在[0，]上的最大值；（2）已知△ABC的角A、B、C所对的边分别为a、b、c，A、B为锐角，f（A+）=，f（﹣）=，又a+b=+1，求a、b、c的值．【分析】（1）根据平面向量的数量积的运算法则即可得到f（x）的解析式，再利用二倍角的余弦函数公式及两角和的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用周期公式即可求出f（x）的最小正周期，由x的范围求出这个角的范围，根据正弦函数的值域即可得到f（x）的值域，进而得到f（x）的最大值；（2）由，代入f（x）并利用诱导公式化简后，即可得到cos2A的值，然后利用二倍角的余弦函数公式即可求出sinA的值，由A为锐角，利用同角三角函数间的基本关系即可求出cosA的值，又，代入f（x）化简后即可求出sinB的值，由B的范围，利用同角三角函数间的基本关系即可求出cosB的值，由正弦定理，根据求出的sinA和sinB的值即可得到a与b的关系式，由a与b 的和即可求出a与b的值，然后由sinA，cosA，sinB及cosB的值，根据诱导公式及两角和的正弦函数公式即可求出sinC的值，由b，sinB，sinC的值，利用正弦定理即可求出c的值．【解答】解：（1），（3分）∴，由得，∴，∴f（x）max=1；（16分）（2）∵，∴，∵A为锐角，∴，（7分）又，∵B为锐角，∴，（8分）由正弦定理知又，b=1（10分）又∵sinC=sin（A+B）=sinA•cosB+cosA•sinB=，由（12分）【点评】此题考查学生掌握平面向量的数量积的运算法则及正弦函数的值域，灵活运用两角和与差的正弦函数公式及正弦定理化简求值，灵活运用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．21．（12分）（2014•海淀区校级模拟）四边形ABCD中，（1）若，试求x与y满足的关系式；（2）满足（1）的同时又有，求x，y的值及四边形ABCD的面积．【分析】（1）根据所给的三个向量的坐标，写出要用的的坐标，根据两个向量平行的充要条件写出关系式，整理成最简形式．（2）写出向量的坐标，根据两个向量垂直的充要条件写出关系式，结合上一问的结果，联立解方程，针对于解答的两种情况，得到四边形的面积．【解答】解：（1）∵∴x•（﹣y+2）﹣y•（﹣x﹣4）=0，化简得：x+2y=0；（2），∵∴（x+6）•（x﹣2）+（y+1）•（y﹣3）=0化简有：x2+y2+4x﹣2y﹣15=0，联立解得或∵则四边形ABCD为对角线互相垂直的梯形当此时当，此时．【点评】本题考查向量垂直和平行的充要条件，结合向量的加减运算，利用方程思想，是一个综合问题，运算量比较大，注意运算过程不要出错，可以培养学生的探究意识和应用意识，体会向量的工具作用．22．（12分）（2011秋•保定校级期末）已知函数f（x）=lnx﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a＞0时，求函数f（x）在[1，2]上最小值．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）=lnx﹣ax（a∈R）的导数，令导数大于0求出函数的增区间，令导数小于0，求出函数的减区间（Ⅱ）a＞0时，用导数研究函数f（x）在[1，2]上的单调性确定出最小值，借助（Ⅰ）的结论，由于参数的范围对函数的单调性有影响，故对其分类讨论，【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域是（0，+∞）∵f（x）=lnx﹣ax∴f′（x）=﹣a当a≤0时，f′（x）＞0，函数在定义域上是增函数；当a＞0时，令导数为0解得x=，当x＞时，导数为负，函数在（，+∞）上是减函数，当x＜时，导数为正，函数在（0，）上是增函数（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论知当[1，2]⊆[，+∞）时，即a≥1时，函数函数f（x）在[1，2]上是减函数，故最小值为f（2）=ln2﹣2a当[1，2]⊆（0，]时，即0＜a＜时，函数函数f（x）在[1，2]上是增函数，故最小值为f（1）=﹣a 当∈[1，2]时，函数f（x）在[1，]上是增函数，在[，2]上是减函数，故最小值为min{f（1），f（2）}【点评】本题考查用导数研究函数的单调性，解题的键是理解并掌握函数的导数的符号与函数的单调性的关系，此类题一般有两类题型，一类是利用导数符号得出单调性，一类是由单调性得出导数的符号，本题属于第一种类型．本题的第二小问是根据函数在闭区间上的最值，本题中由于参数的存在，导致导数的符号不定，故需要对参数的取值范围进行讨论，以确定函数在这个区间上的最值．。

2017-2018届安徽省江淮十校高三8月联考文科数学试题及答案

安徽省江淮十校2017-2018届高三8月联考数学文试题(纯word 版)一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知复数21(1)()z a a i a R =-++∈为纯虚数，则z 为（）A ．0B ．2iC ．2i -D ．12i --2．下列函数中周期为π且图象关于直线6x π=对称的函数是（）A ．2sin(2)6y x π=-B ．2sin()23x y π=+ C ．2sin(2)6y x π=+ D ．2sin()23x y π=-3．若直线2x y -=被圆22(1)()4x y a -++=所截得的弦长为则实数a 的值为（）A ．2-或6B ．0或4C ．1-． 1-或34．已知变量x ，y 满足约束条件102200x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =-的最大值为（） A ．2 B ．52C ．1-D ．125．下列命题说法正确的是（）A ．命题“若21x =,则1x =”的否命题为：“若21x =,则1x ≠”B ．“03x <<”是“11x -<”的必要不充分条件C ．命题“x R ∃∈,使得210x x +-<”的否定是：“x R ∀∈,均有210x x +->”D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆命题为真命题6．按如下程序框图，若输出结果为42S =，则判断框内应补充的条件为（）A ．3i >B ．5i >C ．7i >D ．9i >7．椭圆22216x y a +=与双曲线2214x y a -=有相同的焦点，则实数a 的值是（）A ．12B ．1或2-C ．1或 12D ．18. 一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. 22015π+B. 20815π+C. 2009π+D. 20018π+9．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x +=．若当[)0,1x ∈时，()2x f x =，则12(log f 的值为（）第8题图A ．0B ．1 C．D ．10. 如图，已知点)P ，正方形ABCD 内接于圆O ：221x y +=，M 、N 分别为边AB 、BC 的中点. 当正方形ABCD 绕圆心O 旋转时，PM ON ⋅的取值范围为（）A ．[]2,2- B．⎡⎣C ．[]1,1- D．⎡⎢⎣⎦二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把答案填在答题卡上．）11. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若231012a a a ++=，则9S = ．12．函数()sin cos f x x x x =+在,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为． 13．某市即将申报“全国卫生文明城市”，相关部门要对该市200家饭店进行卫生检查，先在这200家饭店中抽取5家大致了解情况，然后对全市饭店逐一检查.为了进行第一步抽查工作，相关部门先将这200家饭店按001号至200号编号，并打算用随机数表法抽出5家饭店，根据下面的随机数表，要求从本数表的第5列开始顺次向后读数，则这5个号码中的第二个号码是．随机数表：84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50第10题图25 83 92 12 06 7614．已知(,)A A A x y 是单位圆上（圆心在坐标原点O ）任一点，将射线OA 绕点O 逆时针旋转3π到OB 交单位圆于点(,)B B B x y ，则2A B y y -的最大值为．15．设函数()f x 的定义域为D ，若,x D y D ∀∈∃∈，使得()()f y f x =-成立，则称函数()f x 为“美丽函数”.下列所给出的五个函数：①2y x =；②11y x =-；③()ln(23)f x x =+；④22x x y -=-；⑤2sin 1y x =-．其中是“美丽函数”的序号有．三、解答题：(本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．) 16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a b c <<，sin A = （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若2a =，b =c 及ABC ∆的面积.17. （本小题满分12分）某位同学进行寒假社会实践活动，为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究，他分别记录了1月11日至1月15日的白天平均气温x （°C ）与该小卖部的这种饮料销量y （杯），得到如下数据：（Ⅰ）若先从这五组数据中抽出2组，求抽出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；（Ⅱ）请根据所给五组数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+；（Ⅲ）根据（Ⅱ）中所得的线性回归方程，若天气预报1月16日的白天平均气温7（°C ），请预测该奶茶店这种饮料的销量．（参考公式：121()()ˆˆˆ()niii ni i x x y y ba y bx x x ==--==--∑∑，．）18．（本小题满分12分）已知首项为32,公比不等于1的等比数列{}n a 的前n 项和为n S （n N *∈），且22S -，3S ，44S 成等差数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令n n b n a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 并比较n n T b +与6大小.19.（本小题满分13分）在如图所示的多面体ABCDEF 中，DE ⊥平面ABCD ，AD BC ，平面BCEF 平面ADEF EF =，60BAD ∠= ，2AB =，1DE EF ==．（Ⅰ）求证：BC EF ；（Ⅱ）求三棱锥B DEF -的体积．20．（本小题满分13分）已知函数()ln 3()f x k x kx k R =--∈．（Ⅰ）当1k =-时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()y f x =的图象在()2,(2)f 处的切线与直线30x y --=平行，且函数322()()2tg x x x x f x '=++在区间(1,2)上有极值，求t 的取值范围．第19题图 FACDEB21.（本小题满分13分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率e =，且由椭圆上顶点、右焦点及坐标原点构成的三角形面积为2. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知(0,2)P ，过点(1,2)Q --作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点（异于P ），直线PA 、PB 的斜率分别为1k 、2k .试问1k +2k 是否为定值？若是，请求出此定值，若不是，请说明理由.安徽省“江淮十校协作体”2017-2018届高三第一次联考数学（文科）试卷及解析一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知复数21(1)()z a a i a R =-++∈为纯虚数，则z 为（ ▲ ）A ．0B ．2i C ．2i - D ．12i -- 答案: C【解析】：由21010a a ⎧-=⎨+≠⎩，得1a =，故2z i =，所以2z i =-．2．下列函数中周期为π且图象关于直线6x π=对称的函数是（ ▲ ）A ．2sin(2)6y x π=- B ． 2sin()23x y π=+C ．2sin(2)6y x π=+ D ．2sin()23x y π=-答案: C【解析】：由周期为π可排除选项B 和D ，对于选项C ，当6x π=时，函数取得最大值，显然符合题意．3．若直线2x y -=被圆22(1)()4x y a -++=所截得的弦长为则实数a 的值为（ ▲ ）A ．2-或6 B ．0或4 C ．1-． 1-或3 答案: D【解析】：由圆的性质可得圆心到直线的距离为d ==，解得1a =-或3．4．已知变量x ，y 满足约束条件102200x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =-的最大值为（ ▲ ） A ．2 B ．52C ．1-D ．12答案: A【解析】：由线性规划知识易得． 5．下列命题说法正确的是（ ▲ ）A ．命题“若21x =,则1x =”的否命题为：“若21x =,则1x ≠”B ．“03x <<”是“11x -<”的必要不充分条件C ．命题“x R ∃∈,使得210x x +-<”的否定是：“x R ∀∈,均有210x x +->”D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆命题为真命题答案: B【解析】：对于选项A ，命题“若21x =,则1x =”的否命题应为：“若21x ≠,则1x ≠”；对于选项B ，1111102x x x -<⇔-<-<⇔<<，所以命题正确；对于选项C ，命题“x R ∃∈,使得210x x +-<”的否定应为：“x R ∀∈,均有210x x +-≥”；对于选项D ，命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆命题为“若sin sin x y =，则x y =”显然为假命题．6．按如下程序框图，若输出结果为42S =，则判断框内应补充的条件为（ ▲ ）A ．3i >B ．5i >C ．7i >D ．9i > 答案: B【解析】：S=0+2=2，i=1+2=3，不满足条件，执行循环体； S=2+8=10，i=2+3=5，不满足条件，执行循环体； S=10+32=42，i=5+2=7，满足条件，退出循环体，故判断框内应补充的条件为5i >．故选：B ．7．椭圆22216x y a +=与双曲线2214x y a -=有相同的焦点，则实数a 的值是（ ▲ ）A ．12B ．1或2-C ．1或 12 D ．1答案: D【解析】：由椭圆与双曲线有关知识易得264(0)a a a -=+>，解得1a =．8. 一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ▲ ）A. 22015π+B. 20815π+C. 2009π+D. 20018π+第8题图答案: B【解析】：由三视图易得此几何体为一个长方体与半圆柱的组合体，其表面积为2(10410545)26233220815πππ⨯+⨯+⨯⨯-⨯+⨯+⨯⨯=+．9．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x +=．若当[)0,1x ∈时，()2x f x =，则12(log f 的值为（ ▲ ）A ．0B ．1 C．D ．答案: A【解析】：由题意知函数()f x 是周期为2的周期函数，而125log 2=-，所以1212511(log (2)()()(20222f f f f =-+=--=-=-=．10. 如图，已知点)P ，正方形ABCD 内接于圆O ：221x y +=，M 、N 分别为边AB 、BC 的中点. 当正方形ABCD 绕圆心O 旋转时，PM ON ⋅的取值范围为（ ▲ ）A ．[]2,2-B ．⎡⎣C ．[]1,1-D ．22⎡-⎢⎣⎦答案: C二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把答案填在答题卡上．）11. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若231012a a a ++=，则9S = ▲ ．答案: 36【解析】：因为231012a a a ++=，由等差数列的性质知5312a =，故54a =，所以199599362a a S a +=⨯==. 12．函数()sin cos f x x x x =+在,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为_____▲____．答案: 2π【解析】：()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=，易得当62x ππ<<时，()0f x '>，当2x ππ<<时，()0f x '<，所以()f x 在(,)62ππ上单调递增，在(,)2ππ上单调递减，故2x π=时，()f x 取得最大值()22f ππ=．13．某市即将申报“全国卫生文明城市”，相关部门要对该市200家饭店进行卫生检查，先在这200家饭店中抽取5家大致了解情况，然后对全市饭店逐一检查.为了进行第一步抽查工作，相关部门先将这200家饭店按001号至200号编号，并打算用随机数表法抽出5家饭店，根据下面的随机数表，要求从本数表的第5列开始顺次向后读数，则这5个号码中的第二个号码是 ▲ .随机数表：84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 答案: 068【解析】：由随机数表进行简单随机抽样的方法易得,抽取的第一个号码为175，第二个号码为068．14．已知(,)A A A x y 是单位圆上（圆心在坐标原点O ）任一点，将射线OA 绕点O 逆时针旋转3π到OB 交单位圆于点(,)B B B x y ，则2A B y y -的最大值为 ▲ ．答案【解析】：设(cos ,sin )A αα，则(cos(),sin())33B ππαα++，于是22sin sin()3A B y y παα-=-+3sin cos )226πααα=-=-，所以其最大值为15．设函数()f x 的定义域为D ，若,x D y D ∀∈∃∈，使得()()f y f x =-成立，则称函数()f x 为“美丽函数”.下列所给出的五个函数：①2y x =；②11y x =-；③()ln(23)f x x =+；④22x x y -=-；⑤2sin 1y x =-．其中是“美丽函数”的序号有 ▲ ．答案: ②③④【解析】：由题意知“美丽函数”即为值域关于原点对称的函数，容易判断仅有②③④符合题意．三、解答题：(本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．) 16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a b c <<，sin 2A b=．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若2a =，b =c 及ABC ∆的面积.【解析】：（Ⅰ）sin A =2sin b A =，由正弦定理可得2sin sin A B A =， ………………………………………………2分又0A π<< ，sin 0A ∴>，sin B ∴=， …………………………………………4分a b c << ，B C∴<，所以02B π<<，故3B π=. …………………………………6分（Ⅱ）2a = ，b =22212222c c =+-⨯⨯⨯，即2230c c --=解得3c =或1c =-（舍去），故3c =. ………………………………………………10分所以11sin 232222ABC S ac B ∆==⨯⨯⨯=. ………………………………………12分17. （本小题满分12分）某位同学进行寒假社会实践活动，为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究，他分别记录了1月11日至1月15日的白天平均气温x （°C ）与该小卖部的这种饮料销量y （杯），得到如下数据：（Ⅰ）若先从这五组数据中抽出2组，求抽出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；（Ⅱ）请根据所给五组数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+；（Ⅲ）根据（Ⅱ）中所得的线性回归方程，若天气预报1月16日的白天平均气温7（°C ），请预测该奶茶店这种饮料的销量．（参考公式：121()()ˆˆˆ()niii nii x x y y ba y bx x x ==--==--∑∑，．）【解析】：（Ⅰ）设“选取的2组数据恰好是相邻2天数据”为事件A ，所有基本事件（m ，n ）（其中m ，n 为1月份的日期数）有：（11,12），（11,13），（11,14），（11,15），（12,13），（12,14），（12,15），（13,14），（13,15），（14,15），共有10种．事件A 包括的基本事件有（11,12），（12,13），（13,14），（14,15）共4种．所以42()105P A ==为所求． ………………………………………………………6分（Ⅱ）由数据，求得91012118105x ++++==，2325302621255y ++++==．由公式，求得ˆ 2.1b=，ˆˆ4a y bx =-=，所以y 关于x 的线性回归方程为ˆ 2.14yx =+． ……………………………………10分（Ⅲ）当x =7时，ˆ 2.17418.7y=⨯+=．所以该奶茶店这种饮料的销量大约为19杯． ………………………………………12分 18．（本小题满分12分）已知首项为32,公比不等于1的等比数列{}n a 的前n 项和为n S （n N *∈），且22S -，3S ，44S 成等差数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令n n b n a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 并比较n n T b +与6大小. 【解析】：（Ⅰ）由题意得324224S S S =-+，即()()42430S S S S -+-=，亦即 ()4340a a a ++=，4312a a ∴=-，所以公比12q =-, ……………………………4分于是数列{}n a 通项公式为()13122n n a n N -*⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭. ……………………………5分另解:由题意得324224S S S =-+，1q ≠,()()()3241111112111a q a q a q qqq---∴=-+---，化简得2210q q --=，12q ∴=-， ………………………………………………4分()13122n n a n N -*⎛⎫∴=-∈ ⎪⎝⎭. ………………………………………………………5分（Ⅱ）1313222n n n n n b n a n -⎛⎫==⋅⋅=⎪⎝⎭，所以12312336932222n n n nT b b b b =++++=++++ ， ①()23131136322222n nn n n T +-=++++ ，② ………………………………………8分 ①-②得，1231133333222222n n n n T +=++++- 111132231212n n n+⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=--13632n n ++=-，所以3662n nn T +=-， ……………………………………………………………11分从而6662n n n T b +=-<. .………….………………………………………………12分19.（本小题满分13分）在如图所示的多面体ABCDEF 中，DE ⊥平面ABCD ，AD BC ，平面BCEF 平面ADEF EF =，60BAD ∠= ，2AB =，1DE EF ==．（Ⅰ）求证：BC EF ；FACDEB（Ⅱ）求三棱锥B DEF -的体积．【解析】：（Ⅰ）因为AD BC ，AD ⊂平面ADEF ，BC ⊄平面ADEF ，所以BC 平面ADEF ， ………………………………………………………………………3分又BC ⊂平面BCEF ，平面BCEF 平面ADEF EF =，所以BC EF ． ……………………………………………………………………………6分（Ⅱ）在平面ABCD 内作BH AD ⊥于点H ，因为DE ⊥平面ABCD ，BH ⊂平面ABCD ，所以D E BH ⊥，又AD 、D E ⊂平面ADEF ，AD DE D = ，所以BH ⊥平面ADEF ，所以BH 是三棱锥B DEF -的高． ………………………………………………………10分在直角三角形ABH 中，o 60BAD ∠=，2AB =，所以BH = 因为DE ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以D E AD ⊥，又由（Ⅰ）知，BC EF ，且AD BC ，所以AD EF ，所以DE EF ⊥，所以三棱锥B DEF-的体积11111332DEF V S BH ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯． ………………13分20．（本小题满分13分）已知函数()ln 3()f x k x kx k R =--∈．（Ⅰ）当1k =-时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()y f x =的图象在()2,(2)f 处的切线与直线30x y --=平行，且函数322()()2t g x x x x f x '=++在区间(1,2)上有极值，求t 的取值范围．【解析】：()(0)kf x k x x'=->， …………………………………………………………………1分（Ⅰ）当1k =-时，11()1x f x xx-'=-+=，令()0f x '>时，解得1x >，令()0f x '<时，解得01x <<， …………………………3分所以()f x 的单调递增区间是(1,)+∞，单调递减区间是(0,1)． …………………………5分（Ⅱ）因为函数()y f x =的图象在()2,(2)f 处的切线与直线30x y --=平行，所以(2)1f '=，即12kk -=，∴2k =-，2()2f x x-'=+， …………………………7分 ()32222t g x x x x⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，∴()2()342g x x t x '=++-， ………………………9分因为函数()g x 在区间(1,2)上存在极值，注意到()y g x '=的图像为开口向上的抛物线，且(0)20g '=-<，所以只需(1)0(2)0g g '<⎧⎨'>⎩，解得95m -<<-，∴m的取值范围为()9,5--．…………………………………………………………………13分21.（本小题满分13分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率2e =，且由椭圆上顶点、右焦点及坐标原点构成的三角形面积为2. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知(0,2)P ，过点(1,2)Q --作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点（异于P ），直线PA 、PB 的斜率分别为1k 、2k .试问1k +2k 是否为定值？若是，请求出此定值，若不是，请说明理由.【解析】：（Ⅰ）由题意得2222122a b c c a bc ⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得28a =,24b =，所以椭圆C的方程为22184x y +=. ………………………………………………………5分（Ⅱ）1k +2k 为定值4，证明如下：……………………………………………………………6分（ⅰ）当直线l 斜率不存在时，l 方程为1x =-,由方程组221184x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩易得A ⎛- ⎝⎭，1,B ⎛- ⎝⎭，于是12420(1)2k ==--，220(1)k ⎛- ⎝⎭==--所以124k k +=为定值. ………………………………………………………………8分（ⅱ）当直线l 斜率存在时,设l 方程为[](2)(1)y k x --=--，即2y kx k =+-，设()11,A x y ，()22,B x y ，由方程组222184y kx k x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得222(12)4(2)280k x k k x k k ++-+-=，由韦达定理得12221224(2)122812k k x x k k k x x k --⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（*） …………………………………………10分 ∴12122112121222(2)(2)yy y x yx k k x x x x ---+-+=+= 122112(4)(4)kx k x kx k x x x +-++-=1212122(4)()kx x k x x x x +-+=12122(4)x x k k x x +=+-⋅，将（*）式代入上式得124k k +=为定值. ……………………………………………13分。

安徽省“江淮十校”2017-2018学年高三上学期第一次联考数学试卷(文科) Word版含解析

2017-2018学年安徽省“江淮十校”高三（上）第一次联考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题满分60分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．若集合A={1，2，3，4}，B={x∈N||x|≤2}，则A∩B=（）A．{1，2，3，4} B．{﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}C．{1，2}D．{2，3，4}2．如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员参加的每场比赛得分的茎叶图，由甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是（）A．65 B．64 C．63 D．623．sin20°cos170°﹣cos20°sin10°=（）A．B．C． D．4．直线l过点（3，1）且与直线2x﹣y﹣2=0平行，则直线l的方程为（）A．2x﹣y﹣5=0 B．2x﹣y+1=0 C．x+2y﹣7=0 D．x+2y﹣5=05．已知m=0.95.1，n=5.10.9，p=log0.95.1，则这三个数的大小关系是（）A．m＜n＜p B．m＜p＜n C．p＜m＜n D．p＜n＜m6．从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，则b＞a的概率是（）A．B．C．D．7．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积=（弦×矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（）A．6平方米B．9平方米C．12平方米D．15平方米8．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列正确的是（）A．.若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥βB．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥nC．.若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n D．.若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥β9．将函数y=1+sin（2x+）的图象向下平移1个单位，再向右平移个单位，所得到的函数解析式是（）A．y=sin（2x+）B．y=sin（2x+）C．y=cos2x D．y=sin2x10．某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为（）A．πB．2+C．2+πD．2+π11．若变量x，y满足约束条件，则z=的最小值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．412．已知函数f（x）=，则关于x的方程f2（x）﹣5（f（x）+4=0的实数根的个数为（）A．2 B．3 C．6 D．7二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数y=的定义域是．14．在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，则AC=．15．执行如图所示的程序框图，若p=0.8，则输出的n=．16．对任意实数x均有e2x﹣（a﹣3）e x+4﹣3a＞0，则实数a的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．我国是世界上严重缺水的国家．某市政府为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.52，1）…[4，4，5）分成九组，制成了如图所示的频率分布直方图．（I）求直方图中a的值；（II）设该市有30万居民，估计全市居民月均用水量不低于3吨的人数并说明理由；（III）若该市政府希望85%的居民每月用水量不超过标准x吨，估计x的值，并说明理由．18．如图，在△ABC中，∠B=，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC=．（1）求sin∠BAD；（2）求BD，AC的长．19．设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，2S n=（n+1）a n，n∈N*．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）令b n=，数列{b n}的前n和为T n，试着比较T n与的大小．20．如图所示，凸五面体ABCED中，DA⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，AC=AD=AB=1，BC=，F为BE的中点．（I）若CE=2，求证：①DF∥平面ABC；②平面BDE⊥平面BCE；（II）若动点E使得凸多面体ABCED体积为，求线段CE的长度．21．已知圆C的圆心在坐标原点，且与直线l1：x﹣y﹣2=0相切．（I）过点G（1，3）作直线与圆C相交，相交弦长为2，求此直线的方程；（II）若与直线l1垂直的直线l不过点R（1，﹣1），且与圆C交于不同的两点P，Q，若∠PRQ为钝角，求直线l的纵截距的取值范围．22．已知函数f（x）=x2﹣1，g（x）=|x﹣1|．（I）若a=1，求函数y=|f（x）|﹣g（x）的零点；（II）若a＜0时，求G（x）=f（x）+g（x）在[0，2]上的最大值．2016-2017学年安徽省“江淮十校”高三（上）第一次联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题满分60分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．若集合A={1，2，3，4}，B={x∈N||x|≤2}，则A∩B=（）A．{1，2，3，4} B．{﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}C．{1，2}D．{2，3，4}【考点】交集及其运算．【分析】求出集合B中的绝对值不等式的解集，找出解集中的自然数解，确定出集合B中的元素，然后求出两集合的交集即可．【解答】解：由集合B中的不等式|x|≤2，解得：﹣2≤x≤2，又x∈N，所以集合B={0，1，2}，而集合A={1，2，3，4}，则A∩B={1，2}．故选C2．如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员参加的每场比赛得分的茎叶图，由甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是（）A．65 B．64 C．63 D．62【考点】茎叶图．【分析】根据茎叶图中的数据，把甲、乙运动员的得分按从小到大的顺序排列，求出中位数，再求它们的和．【解答】解：根据茎叶图中的数据，得；甲运动员得分从小到大的顺序是8，13，14，16，23，26，28，33，38，39，42，51，∴它的中位数是=27；乙运动员得分从小到大的顺序是12，15，24，25，31，36，36，37，39，44，49，50，∴它的中位数是=36；∴27+36=63．故选：C．3．sin20°cos170°﹣cos20°sin10°=（）A．B．C． D．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】利用诱导公式，两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值即可化简求值．【解答】解：sin20°cos170°﹣cos20°sin10°=﹣sin20°cos10°﹣cos20°sin10°=﹣（sin20°cos10°+cos20°sin10°）=﹣sin30°=﹣．故选：D．4．直线l过点（3，1）且与直线2x﹣y﹣2=0平行，则直线l的方程为（）A．2x﹣y﹣5=0 B．2x﹣y+1=0 C．x+2y﹣7=0 D．x+2y﹣5=0【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】设过点（3，1）且与直线2x﹣y﹣2=0平行的直线方程为2x﹣y+c=0，把点（3，1）代入，解得即可．【解答】解：设过点（3，1）且与直线2x﹣y﹣2=0平行的直线方程为2x﹣y+c=0，把点（3，1）代入，得6﹣1+c=0，解得c=﹣5．∴所求直线方程为：2x﹣y﹣5=0．故选：A．5．已知m=0.95.1，n=5.10.9，p=log0.95.1，则这三个数的大小关系是（）A．m＜n＜p B．m＜p＜n C．p＜m＜n D．p＜n＜m【考点】对数值大小的比较；指数函数的单调性与特殊点．【分析】可从三个数的范围上比较大小【解答】解：设函数f（x）=0.9x，g（x）=5.1x，h（x）=log0.9x则f（x）单调递减，g（x）单调递增，h（x）单调递减∴0＜f（5.1）=0.95.1＜0.90=1，即0＜m＜1g（0.9）=5.10.9＞5.10=1，即n＞1h（5.1）=log0.95.1＜log0.91=0，即p＜0∴p＜m＜n故选C6．从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，则b＞a的概率是（）A．B．C．D．【考点】等可能事件的概率．【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件根据分步计数原理知共有5×3种结果，而满足条件的事件是a=1，b=2；a=1，b=3；a=2，b=3共有3种结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验包含的所有事件根据分步计数原理知共有5×3种结果，而满足条件的事件是a=1，b=2；a=1，b=3；a=2，b=3共有3种结果，∴由古典概型公式得到P==，故选D．7．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积=（弦×矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（）A．6平方米B．9平方米C．12平方米D．15平方米【考点】扇形面积公式．【分析】在Rt△AOD中，由题意OA=4，∠DAO=，即可求得OD，AD的值，根据题意可求矢和弦的值，即可利用公式计算求值得解．【解答】解：如图，由题意可得：∠AOB=，OA=4，在Rt△AOD中，可得：∠AOD=，∠DAO=，OD=AO=，可得：矢=4﹣2=2，由AD=AO•sin=4×=2，可得：弦=2AD=2×2=4，所以：弧田面积=（弦×矢+矢2）=（4×2+22）=4≈9平方米．故选：B．8．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列正确的是（）A．.若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥βB．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥nC．.若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n D．.若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【分析】不正确的列举反例，正确的进行证明，即可得出结论．【解答】解：由题意，A中α，β可能相交，不正确；B中，m，n可能相交或异面，不正确；C中，m⊥α，α∥β，则m⊥β，因为n∥β，所以m⊥n，正确；D中，α，β可能相交，不正确；故选：C．9．将函数y=1+sin（2x+）的图象向下平移1个单位，再向右平移个单位，所得到的函数解析式是（）A．y=sin（2x+）B．y=sin（2x+）C．y=cos2x D．y=sin2x【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：把函数y=1+sin（2x+）的图象向下平移1个单位，可得函数y=sin（2x+）的图象．再向右平移个单位，可得函数y=sin[2（x﹣）+]=sin2x的图象；故选：D．10．某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为（）A．πB．2+C．2+πD．2+π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知三视图可知该几何体是底面为半圆，半径是1，高为2的半圆锥体，其表面积四整圆锥体的一半+一个三角形．【解答】解：由由已知三视图可知该几何体是底面为半圆，半径是1，高为2的半圆锥体，=πr（r+l）其表面积是整圆锥体的一半+一个三角形．根据S圆锥=1×2=2=，S三角形所以该几何体的表面积为：．故选B．11．若变量x，y满足约束条件，则z=的最小值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．4【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用目标函数的几何意义：平面区域内的一点与原点连线的斜率求最小值．【解答】解：作出可行域如图所示的阴影部分，由于z=的几何意义是平面区域内的一点与原点连线的斜率的2倍，结合图形可知，直线OC的斜率最小由可得C（2，1），此时z==1．故选：C．12．已知函数f（x）=，则关于x的方程f2（x）﹣5（f（x）+4=0的实数根的个数为（）A．2 B．3 C．6 D．7【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】求出f（x）的值，根据f（x）的函数图象判断根的个数．【解答】解：∵f2（x）﹣5（f（x）+4=0，∴f（x）=4或f（x）=1．做出f（x）的函数图象如下：由图象可知方程f（x）=4有3个根，方程f（x）=4有4个根，∴方程f2（x）﹣5（f（x）+4=0的实数根共有7个．故选D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数y=的定义域是（﹣1，0）∪（0，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由对数函数y=log a x的定义域为（0，+∞）与分式有意义的条件是分母不为零可列不等式组解之．【解答】解；函数y=有意义需满足x+1＞0且x≠0，∴函数y=的定义域是（﹣1，0）∪（0，+∞）．故答案为：（﹣1，0）∪（0，+∞）．14．在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，则AC=1．【考点】余弦定理．【分析】由已知利用余弦定理即可计算得解AC的值．【解答】解：在△ABC中，∵AB=，BC=3，∠C=120°，∴由余弦定理可得：AB2=AC2+BC2﹣2AC•BC•cosC，即：（）2=AC2+32﹣2×3×AC×cos120°．∴整理可得：AC2+3AC﹣4=0，解得：AC=1或﹣4（舍去）．故答案为：1．15．执行如图所示的程序框图，若p=0.8，则输出的n=4．【考点】程序框图．【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是判断S=＞0.8时，n+1的值．【解答】解：根据流程图所示的顺序，该程序的作用是判断S=＞0.8时，n+1的值．当n=2时，当n=3时，，此时n+1=4．故答案为：416．对任意实数x均有e2x﹣（a﹣3）e x+4﹣3a＞0，则实数a的取值范围为a≤．【考点】函数恒成立问题；对勾函数．【分析】分离参数，再求右边的范围，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：由题意，a＜．令t=e x+3（t＞3），则=t+﹣3，∵t＞3，∴t+＞3+，∴t+﹣3＞，∴a≤．故答案为：a≤．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．我国是世界上严重缺水的国家．某市政府为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.52，1）…[4，4，5）分成九组，制成了如图所示的频率分布直方图．（I）求直方图中a的值；（II）设该市有30万居民，估计全市居民月均用水量不低于3吨的人数并说明理由；（III）若该市政府希望85%的居民每月用水量不超过标准x吨，估计x的值，并说明理由．【考点】频率分布直方图．【分析】（I）根据频率和为1，列出方程求出a的值；（II）根据频率分布直方图，求出月均用水量不低于3吨人数所占百分比，计算对应的人数；（III）求出月均用水量小于2.5吨和小于3吨的百分比，计算出有85%的居民每月用水量不超过标准的值．【解答】解：（I）由频率统计相关知识，各组频率之和的值为1，∵频率=×组距，∴0.5×（0.08+0.16+0.4+0.52+0.12+0.08+0.04+2a）=1，解得a=0.3；（II）由图知，市居民月均用水量不低于3吨人数所占百分比为0.5×（0.12+0.08+0.04）=12%，∴全市月均用水量不低于3吨的人数为30×12%=3.6（万）；（III）由图可知，月均用水量小于2.5吨的居民人数所占的百分比为0.5×（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52）=0.73，即73%的居民月均用水量小于2.5吨；同理，88%的居民月均用水量小于3吨；故2.5＜x＜3假设月均用水量平均分布，则x=2.5+0.5×=2.9（吨），即85%的居民每月用水量不超过标准为2.9吨．18．如图，在△ABC中，∠B=，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC=．（1）求sin∠BAD；（2）求BD，AC的长．【考点】余弦定理的应用．【分析】根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论．【解答】解：（1）在△ABC中，∵cos∠ADC=，∴sin∠ADC====，则sin∠BAD=sin（∠ADC﹣∠B）=sin∠ADC•cosB﹣cos∠ADC•sinB=×﹣=．（2）在△ABD中，由正弦定理得BD==，在△ABC 中，由余弦定理得AC 2=AB 2+CB 2﹣2AB •BCcosB=82+52﹣2×8×=49，即AC=7．19．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=1，2S n =（n +1）a n ，n ∈N *．（I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）令b n =，数列{b n }的前n 和为T n ，试着比较T n 与的大小．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（I ）由2S n =（n +1）a n ，n ∈N *，n ≥2时，2S n ﹣1=na n ﹣1，可得=（n ≥2），利用==…=即可得出．（II ）由（I ）可得：b n ===，利用“裂项求和”方法、数列的单调性即可得出．【解答】解：（I ）∵2S n =（n +1）a n ，n ∈N *，∴n ≥2时，2S n ﹣1=na n ﹣1，可得2a n =（n +1）a n ﹣na n ﹣1．∴=（n ≥2），又a 1=1，∴==…==1，∴a n =n ．（II ）由（I ）可得：b n ===，∴数列{b n }的前n 和为T n =+++…+==﹣＜．∴T n ＜．20．如图所示，凸五面体ABCED 中，DA ⊥平面ABC ，EC ⊥平面ABC ，AC=AD=AB=1，BC=，F 为BE 的中点．（I ）若CE=2，求证：①DF ∥平面ABC ； ②平面BDE ⊥平面BCE ；（II ）若动点E 使得凸多面体ABCED 体积为，求线段CE 的长度．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（I ）①取BC 的中点G ，连接GF ，GA ，通过证明四边形AGFD 是平行四边形得出DF ∥AG ，故DF ∥平面ABC ；②证明AG ⊥平面BCE ，得出DF ⊥平面BCE ，故有平面BDE ⊥平面BCE ；（II ）先证明AB ⊥平面ACED ，再代入棱锥的体积公式计算CE ．【解答】证明：（I ）①取BC 的中点G ，连接GF ，GA ， ∵G ，F 分别是BC ，BE 的中点， ∴GF ∥CE ，GF=CE=1，∵DA ⊥平面ABC ，EC ⊥平面ABC ， ∴DA ∥CE ，又DA=1， ∴AD ∥GF ，AD=GF ，∴四边形AGFD 是平行四边形，∴DF ∥AG ，又AG ⊂平面ABC ，DF ⊄平面ABC ， ∴DF ∥平面ABC ．②∵AB=AC ，G 是BC 的中点， ∴AG ⊥BC ，∵CE ⊥平面ABC ，AG ⊂平面ABC ， ∴AG ⊥CE ，又BC ⊂平面BCE ，CE ⊂平面BCE ，BC ∩CE=C ， ∴AG ⊥平面BCE ． ∵AG ∥DF ，∴DF ⊥平面BCE ，又DF ⊂平面BDE ， ∴平面BDE ⊥平面BCE ．（II ）∵AB=AC=1，BC=， ∴AB ⊥AC ，∵AD ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∴AB ⊥AD ，又AD ⊂平面ACED ，AC ⊂平面ACED ，AD ∩AC=A ， ∴AB ⊥平面ACED ．∴V ABCED =V B ﹣ACED =S 梯形ACED •AB=（1+CE ）×1×1=．∴CE=1．21．已知圆C 的圆心在坐标原点，且与直线l 1：x ﹣y ﹣2=0相切．（I）过点G（1，3）作直线与圆C相交，相交弦长为2，求此直线的方程；（II）若与直线l1垂直的直线l不过点R（1，﹣1），且与圆C交于不同的两点P，Q，若∠PRQ为钝角，求直线l的纵截距的取值范围．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）由题意求出圆心（0，0）到直线l1：x﹣y﹣2=0的距离，可得圆的半径长，得到圆的方程，分类讨论，利用弦长，即可得出结论；（2）直线l1的斜率为1，且l⊥l1，可得直线l的斜率为﹣1，设直线l的方程为y=﹣x+b，联立圆的方程与直线方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系可得P，Q两点横坐标的和与积，结合∠POQ为钝角，得＜0，即x1x2+y1y2＜0，从而可得直线l 的纵截距的取值范围．【解答】解：（1）由题意得，圆心（0，0）到直线l1：x﹣y﹣2=0的距离为圆的半径长r，即r==2∴圆C的标准方程为x2+y2=4．①直线斜率不存在时，x=1满足题意；②斜率存在时，设直线方程为y﹣1=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k+1=0∵相交弦长为2，∴圆心到直线的距离d==1，∴k=，∴直线方程为x=1或4x﹣3y+5=0；（2）∵直线l1的斜率为1，且l⊥l1，∴直线l的斜率为﹣1，设直线l的方程为y=﹣x+b，则与圆C的方程x2+y2=4 联立，化简得2x2﹣2bx+b2﹣4=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1，x2是方程2x2﹣2bx+b2﹣4=0的两个不同的根，故x1+x2=b，x1+x2=③，由△=（﹣2b）2﹣8（b2﹣4）＞0，得﹣2＜b＜2．∵∠POQ为钝角，∴＜0，即x1x2+y1y2＜0，又y1=﹣x1+b，y2=﹣x2+b，∴x1x2+y1y2=2x1x2﹣b（x1+x2）+b2＜＜0 ④，由③④得b2＜4，即﹣2＜b＜2，满足△＞0．当与反向共线时，直线y=﹣x+b过原点，此时b=0，不符合题意，故直线l的纵截距的取值范围是﹣2＜b＜2，且b≠0．22．已知函数f（x）=x2﹣1，g（x）=|x﹣1|．（I）若a=1，求函数y=|f（x）|﹣g（x）的零点；（II）若a＜0时，求G（x）=f（x）+g（x）在[0，2]上的最大值．【考点】函数的最值及其几何意义；函数零点的判定定理；分段函数的应用．【分析】（Ⅰ）函数的零点就是方程的解，解方程即可；（Ⅱ）G（x）=，分别根据函数的单调性，分类讨论即可求出G（x）max．【解答】解：（Ⅰ）令y=0，得|x﹣1|（|x+1|﹣1）=0，解得x=﹣2或x=0，或x=1．∴函数y=|f（x）|﹣g（x）的零点为﹣2，0，1；（Ⅱ）由题意得G（x）=f（x）+g（x）=，此时在[0，1）上G（x）单调递增，故而G（x）＜G（1）=0，在区间[1，2）上，G（x）max=max{G（1），G（2）}，若﹣≤，即﹣3≤a＜0，∴G（1）≤G（2），∴G（x）max=G（2）=a+3≥0，若﹣＞，即a＜﹣3，∴G（1）＞G（2），∴G（x）max=G（1）=0，综上所述G（x）max=2016年11月4日。

安徽省江南十校联考2017-2018学年高考数学一模试卷(文科) Word版含解析

2017-2018学年安徽省江南十校联考高考数学一模试卷（文科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|0≤x≤4}，B={0，1，2}，则A∩B中的元素个数为（）A．2 B．3 C．4 D．52．已知复数z满足z（1+i）=1（i为虚数单位），则z=（）A．B． C．1﹣i D．1+i3．随机抛掷一枚质地均匀的骰子，记正面向上的点数为a，则函数f（x）=x2+2ax+2有两个不同零点的概率为（）A．B．C．D．4．已知函数f（x）=，则f（）=（）A．﹣B．﹣C．D．5．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点与抛物线y2=20x的焦点重合，且其渐近线方程为y=±x，则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=16．设f（x）=x+sinx（x∈R），则下列说法错误的是（）A．f（x）是奇函数B．f（x）在R上单调递增C．f（x）的值域为R D．f（x）是周期函数7．设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最小值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．28．在平面直角坐标系xOy中，满足x2+y2≤1，x≥0，y≥0的点P（x，y）的集合对应的平面图形的面积为；类似的，在空间直角坐标系O﹣xyz中，满足x2+y2+z2≤1，x≥0，y ≥0，z≥0的点P（x，y，z）的集合对应的空间几何体的体积为（）A．B．C．D．9．已知各项均为正数的等比数列{a n}中，a5•a6=4，则数列{log2a n}的前10项和为（）A．5 B．6 C．10 D．1210．执行如图所示的程序框图，如果输入的t=50，则输出的n=（）A．5 B．6 C．7 D．811．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为4π，且f（）=1，则f（x）的一个对称中心坐标是（）A．（﹣，0） B．（﹣，0）C．（，0）D．（，0）12．已知函数f（x）=x3﹣ax2+4，若f（x）的图象与x轴正半轴有两个不同的交点，则实数a的取值范围为（）A．（1，+∞）B．（，+∞）C．（2，+∞）D．（3，+∞）二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知向量=（1，2），=（3，x），若∥，则实数x=．14．在数列{a n}中，a n+1﹣a n=2，S n为{a n}的前n项和．若S9=90，则a1=．15．椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右顶点为A，P是椭圆C上一点，O为坐标原点．已知∠POA=60°，且OP⊥AP，则椭圆C的离心率为．16．某几何体的三视图如图所示，其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧，则该几何体的表面积为．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤.17．如图，平面四边形ABCD中，CD=，∠CBD=30°，∠BCD=120°，AB=，AD=2，求（Ⅰ）BD；（Ⅱ）∠ADB．18．第31届夏季奥林匹克运动会将于2017-2018学年8月5日﹣21日在巴西里约热内卢举（Ⅰ）根据表格中两组数据完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图，并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可）；（Ⅱ）下表是近五届奥运会中国代表团获得的金牌数之和y（从第26届算起，不包括之前x（i）由图可以看出，金牌数之和y与时间x之间存在线性相关关系，请求出y关于x的线性回归方程；（ii）利用（i）中的回归方程，预测今年中国代表团获得的金牌数．参考数据：=28，=85.6，（x i﹣）（y i﹣）=381，（x i﹣）2=10附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=﹣．19．如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形EFBD为等腰梯形，EF∥BD，EF=BD，平面EFBD⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：AC⊥平面EFBD；（Ⅱ）若BF=，求多面体ABCDEF的体积．20．已知过原点O的动直线l与圆C：（x+1）2+y2=4交于A、B两点．（Ⅰ）若|AB|=，求直线l的方程；（Ⅱ）x轴上是否存在定点M（x0，0），使得当l变动时，总有直线MA、MB的斜率之和为0？若存在，求出x0的值；若不存在，说明理由．21．设函数f（x）=e x﹣（x＞﹣1）．（Ⅰ）当a=1时，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＞0时，设f（x）在x=x0处取得最小值，求证：f（x0）≤1．四.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，过⊙O外一点E作⊙O的两条切线EA、EB，其中A、B为切点，BC为⊙O的一条直径，连CA并延长交BE的延长线于D点．（Ⅰ）证明：BE=DE；（Ⅱ）若AD=3AC，求AE：AC的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知在极坐标系中，A（3，），B（3，），圆C的方程为ρ=2cosθ．（1）求在平面直角坐标系xOy中圆C的标准方程；（2）已知P为圆C上的任意一点，求△ABP面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x|﹣|2x﹣1|，记f（x）＞﹣1的解集为M．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）已知a∈M，比较a2﹣a+1与的大小．2017-2018学年安徽省江南十校联考高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|0≤x≤4}，B={0，1，2}，则A∩B中的元素个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，找出两集合的交集，确定出交集中元素个数即可．【解答】解：集合A={x|0≤x≤4}，B={0，1，2}，则A∩B={0，1，2}，元素个数为3．故选：B．2．已知复数z满足z（1+i）=1（i为虚数单位），则z=（）A．B． C．1﹣i D．1+i【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可．【解答】解：由z（1+i）=1，得z===，故选：A．3．随机抛掷一枚质地均匀的骰子，记正面向上的点数为a，则函数f（x）=x2+2ax+2有两个不同零点的概率为（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】抛掷一枚质地均匀的骰子包含6个基本事件，由函数f（x）=x2+2ax+2有两个不同零点，得a的取值有2，3，4，5，6，共5种结果，由此能求出函数f（x）=x2+2ax+2有两个不同零点的概率．【解答】解：抛掷一枚质地均匀的骰子包含6个基本事件，由函数f（x）=x2+2ax+2有两个不同零点，得△=4a2﹣8＞0，解得a＜﹣或a＞．又a为正整数，故a的取值有2，3，4，5，6，共5种结果，所以函数f（x）=x2+2ax+2有两个不同零点的概率为．故选：D．4．已知函数f（x）=，则f（）=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】由已知先求f（2），根据复合函数的解析式再求f（），利用特殊角的三角函数值即可求值得解．【解答】解：∵f（x）=，∴f（2）=2，∴f（）=f（）=tan=，故选：C．5．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点与抛物线y2=20x的焦点重合，且其渐近线方程为y=±x，则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点坐标，根据双曲线的焦点坐标和抛物线的焦点关系，得到c=5，根据双曲线的渐近线方程得到=，联立方程组求出a，b即可．【解答】解：抛物线的焦点坐标为（5，0），双曲线焦点在x轴上，且c=5，∵又渐近线方程为y=±x，可得=，即b=a，则b2=a2=c2﹣a2=25﹣a2，则a2=9，b2=16，则双曲线C的方程为﹣=1，故选A6．设f（x）=x+sinx（x∈R），则下列说法错误的是（）A．f（x）是奇函数B．f（x）在R上单调递增C．f（x）的值域为R D．f（x）是周期函数【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】由题意可得f（﹣x）=﹣f（x），即可判断f（x）为奇函数，从而A正确；利用f′（x）=1﹣cosx≥0，可得函数f（x）在R上单调递增，B正确；根据f（x）在R上单调递增，可得f（x）的值域为R，故C正确；由f（x）不是周期函数，可得D错误．即可得解．【解答】解：因为f（﹣x）=﹣x+sin（﹣x）=﹣（x+sinx）=﹣f（x），所以f（x）为奇函数，故A正确；因为f′（x）=1﹣cosx≥0，所以函数f（x）在R上单调递增，故B正确；因为f（x）在R上单调递增，所以f（x）的值域为R，故C正确；f（x）不是周期函数，故选：D．7．设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最小值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．2【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由作出可行域如图所示，化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线y=2x﹣z过（﹣1，0）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣2．故选：B．8．在平面直角坐标系xOy中，满足x2+y2≤1，x≥0，y≥0的点P（x，y）的集合对应的平面图形的面积为；类似的，在空间直角坐标系O﹣xyz中，满足x2+y2+z2≤1，x≥0，y ≥0，z≥0的点P（x，y，z）的集合对应的空间几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】类比推理．【分析】类似的，在空间直角坐标系O﹣xyz中，满足x2+y2+z2≤1，x≥0，y≥0，z≥0的点P（x，y）的集合对应的空间几何体的体积为球的体积的，即可得出结论．【解答】解：类似的，在空间直角坐标系O﹣xyz中，满足x2+y2+z2≤1，x≥0，y≥0，z≥0的点P（x，y）的集合对应的空间几何体的体积为球的体积的，即=，故选：B．9．已知各项均为正数的等比数列{a n}中，a5•a6=4，则数列{log2a n}的前10项和为（）A．5 B．6 C．10 D．12【考点】等比数列的前n项和．【分析】由等比数列的性质可得：a1a10=a2a9=…=a5a6=4，再利用指数与对数的运算性质即可得出．【解答】解：由等比数列的性质可得：a1a10=a2a9=…=a5a6=4，∴数列{log2a n}的前10项和=log2a1+log2a2+…+log2a10=log2（a1a2…a10）==10，故选：C．10．执行如图所示的程序框图，如果输入的t=50，则输出的n=（）A ．5B ．6C ．7D ．8【考点】循环结构．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次运行后s=2，a=3，n=1；第二次运行后s=5，a=5，n=2；第三次运行后s=10，a=9，n=3；第四次运行后s=19，a=17，n=4；第五次运行后s=36，a=33，n=5；第六次运行后s=69，a=65，n=6；此时不满足s ＜t ，输出n=6，故选：B ．11．已知函数f （x ）=sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为4π，且f （）=1，则f （x ）的一个对称中心坐标是（）A ．（﹣，0） B ．（﹣，0） C ．（，0）D ．（，0）【考点】正弦函数的图象．【分析】由函数的周期性可得ω，代入点的坐标可得φ值，可得函数的对称中心，结合选项可得．【解答】解：∵函数f （x ）=sin （ωx +φ）的最小正周期为4π，∴=4π，解得ω=，故f （x ）=sin （x +φ），再由f （）=1可得×+φ=2k π+，k ∈Z ，由|φ|＜可得φ=，故f （x ）=sin （x +），由x +=k π可得x=2k π﹣，k ∈Z∴f （x ）的对称中心为（2k π﹣，0），k ∈Z ，结合选项可知当k=0时，f （x ）的一个对称中心为（﹣，0），故选：A ．12．已知函数f （x ）=x 3﹣ax 2+4，若f （x ）的图象与x 轴正半轴有两个不同的交点，则实数a 的取值范围为（）A ．（1，+∞）B ．（，+∞）C ．（2，+∞）D ．（3，+∞）【考点】利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断．【分析】利用参数分离法，进行转化，构造函数，求函数的导数，研究函数的极值即可得到结论．【解答】解：由题意可知f（x）=x3﹣ax2+4=0，即a=x+有两个不等的正根，设h（x）=x+，x＞0，则h′（x）=1﹣=，令h′（x）=0，得x=2，由h′（x）＞0得x＞2，此时函数单调递增，由h′（x）＜0得，0＜x＜2，此时函数单调递减，即在x=2处取得极小值h（2）=2+=2+1=3，结合h（x）的图象可得a＞3，故选D二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知向量=（1，2），=（3，x），若∥，则实数x=6．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】直接利用向量的共线的充要条件求解即可．【解答】解：由向量=（1，2），=（3，x），若∥，可得x=2×3=6．故答案为：6．14．在数列{a n}中，a n+1﹣a n=2，S n为{a n}的前n项和．若S9=90，则a1=2．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：由a n+1﹣a n=2，S n可知数列{a n}是公差为2的等差数列，由S9=9a1+×2=90，解得a1=2．故答案为：2．15．椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右顶点为A，P是椭圆C上一点，O为坐标原点．已知∠POA=60°，且OP⊥AP，则椭圆C的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意得|OP|=|OA|cos60°=，从而P（），代入椭圆方程得a=，由此能求出离心率．【解答】解：∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右顶点为A，P是椭圆C上一点，O为坐标原点．∠POA=60°，且OP⊥AP，∴由题意得|OP|=|OA|cos60°=，∴由题意得P（），代入椭圆方程得：，∴a2=5b2=5（a2﹣c2），∴a=，∴离心率e=．故答案为：．16．某几何体的三视图如图所示，其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧，则该几何体的表面积为．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是一个正三棱柱和一个半圆柱的组合体，由三视图求出几何元素的长度，由条件和面积公式求出各个面的面积，加起来求出几何体的表面积．【解答】解：由三视图可知该几何体是一个正三棱柱和一个半圆柱的组合体，三棱柱的两个侧面面积之和为2×4×2=16，两个底面面积之和为=2；半圆柱的侧面积为π×1×4=4π，两个底面面积之和为，所以几何体的表面积为，故答案为：．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤.17．如图，平面四边形ABCD中，CD=，∠CBD=30°，∠BCD=120°，AB=，AD=2，求（Ⅰ）BD；（Ⅱ）∠ADB．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）在△BCD中，由已知及正弦定理即可计算求得BD=的值．（Ⅱ）由已知及余弦定理可求cos∠ADB=的值，即可得解∠ADB=45°．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）在△BCD中，由正弦定理得：=，…故BD===3，…（Ⅱ）在△ABD中，由余弦定理得：cos∠ADB=…==，…所以∠ADB=45°．…18．第31届夏季奥林匹克运动会将于2017-2018学年8月5日﹣21日在巴西里约热内卢举叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可）；（Ⅱ）下表是近五届奥运会中国代表团获得的金牌数之和y（从第26届算起，不包括之前x（i）由图可以看出，金牌数之和y与时间x之间存在线性相关关系，请求出y关于x的线性回归方程；（ii）利用（i）中的回归方程，预测今年中国代表团获得的金牌数．参考数据：=28，=85.6，（x i﹣）（y i﹣）=381，（x i﹣）2=10附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=﹣．【考点】线性回归方程．【分析】（Ⅰ）根据题意，画出茎叶图，通过茎叶图得出概率结论；（Ⅱ）（i）计算线性回归方程的系数、，写出线性回归方程，（ii）利用回归方程计算x=31时的值即可．【解答】解：（Ⅰ）两国代表团获得的金牌数的茎叶图如下，…通过茎叶图可以看出，中国代表团获得的金牌数的平均值高于俄罗斯代表团获得的金牌数的平均值；俄罗斯代表团获得的金牌数比较集中，中国代表团获得的金牌数比较分散；…（Ⅱ）（i）计算===38.1，所以=﹣=85.6﹣38.1×28=﹣981.2；所以金牌数之和y关于时间x的线性回归方程为=38.1x﹣981.2；…（ii）由（i）知，当x=31时，中国代表团获得的金牌数之和的预报值=38.1×31﹣981.2=199.9，故预测今年中国代表团获得的金牌数为199﹣165=34.9≈35枚．…19．如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形EFBD为等腰梯形，EF∥BD，EF=BD，平面EFBD⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：AC⊥平面EFBD；（Ⅱ）若BF=，求多面体ABCDEF的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（I）由正方形的性质得AC⊥BD，由面面垂直的性质即可得到AC⊥平面EFBD；（II ）求出等腰梯形的上下底，利用勾股定理求出梯形的高，将多面体分解成四棱锥A ﹣BDEF 和四棱锥C ﹣BDEF 计算体积．【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD 为正方形， ∴AC ⊥BD ．又平面EFBD ⊥平面ABCD ，平面EFBD ∩平面ABCD=BD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴AC ⊥平面EFBD ．（Ⅱ）∵正方形ABCD 的边长为2，∴BD=AC=2，∴EF=，过F 作FM ⊥BD 于M ，∵四边形EFBD 为等腰梯形，∴MB=（BD ﹣EF ）=．∴FM==．设AC ∩BD=O ，则AO=．∴V C ﹣BDEF =V A ﹣BDEF =S 梯形BDEF •AO==．∴多面体ABCDEF 的体积V=2V A ﹣BDEF =2．20．已知过原点O 的动直线l 与圆C ：（x +1）2+y 2=4交于A 、B 两点．（Ⅰ）若|AB |=，求直线l 的方程；（Ⅱ）x 轴上是否存在定点M （x 0，0），使得当l 变动时，总有直线MA 、MB 的斜率之和为0？若存在，求出x 0的值；若不存在，说明理由．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）先求出圆心C （﹣1，0）到直线l 的距离为，利用点到直线距离公式能求出直线l 的方程．（Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线MA 、MB 的斜率分别为k 1，k 2．设l 的方程为y=kx ，代入圆C 的方程得（k 2+1）x 2+2x ﹣3=0，由此利用韦达定理，结果已知条件能求出存在定点M （3，0），使得当l 变动时，总有直线MA 、MB 的斜率之和为0．【解答】解：（Ⅰ）设圆心C （﹣1，0）到直线l 的距离为d ，则d===，…当l 的斜率不存在时，d=1，不合题意当l的斜率存在时，设l的方程为y=kx，由点到直线距离公式得=，解得k=±，故直线l的方程为y=．…（Ⅱ）存在定点M，且x0=3，证明如下：设A（x1，y1），B（x2，y2），直线MA、MB的斜率分别为k1，k2．当l的斜率不存在时，由对称性可得∠AMC=∠BMC，k1+k2=0，符合题意当l的斜率存在时，设l的方程为y=kx，代入圆C的方程整理得（k2+1）x2+2x﹣3=0，∴，．…∴+==．当2x0﹣6=0，即x0=3时，有k1+k2=0，所以存在定点M（3，0）符合题意，x0=3．…21．设函数f（x）=e x﹣（x＞﹣1）．（Ⅰ）当a=1时，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＞0时，设f（x）在x=x0处取得最小值，求证：f（x0）≤1．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）当a=1时，求出函数f（x）的解析式和导函数，利用f′（x）＞0，函数单调递增，f′（x）＜0，函数单调递减；（Ⅱ）当a＞0时，求导，利用导数求得函数的单调性，根据单调性求得函数的最小值，利用f′（x0）=0，求得a的值，构造辅助函数g（x）=e x（﹣x2﹣x+1），（x＞﹣1），求导，求出函数的g（x）的极大值，由g（x）≤g（0）=0，即可证明f（x0）≤1．【解答】解：（I）当a=1时，f′（x）=e x﹣，…∵e x单调递增，﹣（x＞﹣1）单调递增，∴f′（x）在（﹣1，+∞）单调递增，且f′（0）=0，∴当﹣1＜x＜0时，f′（x）＜0；当x＞0时，f′（x）＞0，故f（x）在（﹣1，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增…（II）证明：当a＞0时，f′（x）=e x﹣，∵e x单调递增，﹣（x＞﹣1）单调递增，∴f′（x）在（﹣1，+∞）单调递增．又f′（2﹣1）=﹣＞﹣，当b满足﹣1＜b＜且b＜0时，f′（b）＜0，故f′（x）存在唯一零点，设零点为x1，当x∈（﹣1，x1）时，f′（x）＜0；当x∈（x1，+∞）时，f′（x）＞0．∴f（x）在（﹣1，x1）单调递减，在（x1，+∞）单调递增，∴当x=x1时，f（x）取得最小值，由条件可得x1=x0，f（x）的最小值为f（x0）．…由于f′（x0）=﹣=0，∴a=•，f（x0）=﹣=﹣•x0•（x0+1）=（﹣﹣x0+1），…设g（x）=e x（﹣x2﹣x+1），（x＞﹣1），则g′（x）=e x（﹣x2﹣3x）=﹣x（x+3）e x，令g′（x）＞0，得﹣1＜x＜0；令g′（x）＜0，得x＞0，故g（x）在（﹣1，0）单调递增，（0，+∞）单调递减，g（x）≤g（0）=0，故f（x0）=g（x0）≤1．…四.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，过⊙O外一点E作⊙O的两条切线EA、EB，其中A、B为切点，BC为⊙O的一条直径，连CA并延长交BE的延长线于D点．（Ⅰ）证明：BE=DE；（Ⅱ）若AD=3AC，求AE：AC的值．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）作出辅助线，根据AB⊥OE，AB⊥CD，可得OE∥CD，又O为BC的中点，得E为BD的中点，即可证得结论；（Ⅱ）设AC=t（t＞0），由射影定理，根据三角形中的知识，即可求得比值．【解答】证明：（Ⅰ）连接AB、OE，∵EA、EB为圆O的切线，∴OE垂直平分AB，又∵BC为圆O的直径，∴AB⊥CD，∴OE∥CD，又O为BC的中点，故E为BD的中点，∴BE=ED …解：（Ⅱ）设AC=t（t＞0），则AD=3t，CD=4t，在Rt△BCD中，由射影定理可得：BD2=DA•DC=12t2，∴BD=2t，在Rt△ABD中，AE=BD=t．∴AE：AC=．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知在极坐标系中，A（3，），B（3，），圆C的方程为ρ=2cosθ．（1）求在平面直角坐标系xOy中圆C的标准方程；（2）已知P为圆C上的任意一点，求△ABP面积的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，可得圆的直角坐标方程；（2）求得A，B的直角坐标，即可得到直线AB的方程；求得AB的距离和圆C和半径，求得圆C到直线AB的距离，由圆C上的点到直线AB的最大距离为d+r，运用三角形的面积公式，即可得到所求最大值．【解答】解：（1）由ρ=2cosθ，可得：ρ2=2ρcosθ，所以x2+y2=2x故在平面直角坐标系中圆的标准方程为：（x﹣1）2+y2=1 …（2）在直角坐标系中A（0，3），B（，）所以|AB|==3，直线AB的方程为：x+y=3所以圆心到直线AB的距离d==，又圆C的半径为1，所以圆C上的点到直线AB的最大距离为+1故△ABP面积的最大值为S==…[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x|﹣|2x﹣1|，记f（x）＞﹣1的解集为M．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）已知a∈M，比较a2﹣a+1与的大小．【考点】不等关系与不等式．【分析】（I）f（x）=|x|﹣|2x﹣1|=，由f（x，由f（x）＞﹣1，可得：或或，解出即可得出．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：0＜a＜2，可得：a2﹣a+1﹣==g（a）．对a分类讨论：当0＜a＜1时，当a=1时，当1＜a＜2时，即可得出．【解答】解：（I）f（x）=|x|﹣|2x﹣1|=，由f（x）＞﹣1，可得：或或，解得0＜x＜2，∴M=（0，2）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：0＜a＜2，∵a2﹣a+1﹣==g（a）．当0＜a＜1时，g（a）＜0，∴a2﹣a+1＜；当a=1时，g（a）=0，∴a2﹣a+1=；当1＜a＜2时，g（a）＞0，∴a2﹣a+1＞；综上所述：当0＜a＜1时，∴a2﹣a+1＜；当a=1时，a2﹣a+1=；当1＜a＜2时，a2﹣a+1＞．2017-2018学年8月23日。

2017届安徽江南十校高三文8.18摸底联考数学试卷

2017届安徽江南十校高三文8.18摸底联考数学试卷考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上1．已知i 为虚数单位，复数31z i =+，则z 的虚部为（） A ．32 B ．32- C ．32i - D ．-3 2．已知集合(){}{}22|log 11,|230A x x B x x x =-<=--<，则“x A Î”是“x B Î”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．将函数()sin 2x cos2x f x =-的图像经过恰当平移后得到一个奇函数的图像，则这个平移可以是（） A ．向左平移8π个单位 B ．向左平移4π个单位 C ．向右平移8π个单位 D ．向右平移4π个单位 4．已知直线()20x ay a R ++=?与圆222210x y x y ++-+=相切，则a 的值为（）A ．1B ．-1C ．0D ．0或15．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．24+．16+．24+ D ．486．已知矩形ABCD 中，12,1,3AB AD AM AB === ，则MC MD 的值为（） A ．13- B ．23 C ．19 D ．497．执行如图所示的程序框图，如果输入的x 值是407，y 值是259，那么输出的x 值是（）A ．2849B ．37C ．74D ．778．设数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，n T 是{}n a 的前n 项之积，2369127,27a a a a == ，则当n T 最大时，n 的值为（） A ．5或6 B ．6 C ．5 D ．4或59．已知实数,x y 满足，则的最大值为（）A ．1B ．4 D ．210．已知a 为第三象限角，4tan 23a =-，则sin α的值为（）A ．±B ．-C ．-．45-11．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>左顶点到一条渐近线的距离，则该双曲线的标准方程为（） A ．221128x y -= B ．221168x y -= C ．2211612x y -= D ．22184x y -= 12．已知定义在R 上的函数()f x 的图像关于y 轴对称，且满足()()2f x f x +=-，若当[]0,1x Î时，()13x f x -=，则的值为（）A ．3 B13．函数()3221f x x x =-+的单调递减区间为 ___________．14．某学校高三年级共有11个班，其中14 班为文科班，511 班是理科班，现从该校文科班和理科班中各选一个班的学生参加学校组织的一项公益活动，则所选两个班的序号之积为3的倍数的概率为__________．15．已知直线()200,0ax by a b -+=>>过点()1,1-，则12a b +的最小值为_________． 16．已知数列{}n a 满足()*1112233413,,22n n n n n n n a a a n N S a a a a a a a a a a a a +-+==-∈=-+-++- ，则10S =__________．17．已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，sin cos 20A a B a --=．（1）求B ∠的大小；（2）若b ABC =∆，求,a c 的值． 18．在2016年6月英国“脱欧”公投前夕，为了统计该国公民是否有“留欧”意愿，该国某中学数学兴趣小组随机抽查了50名不同年龄层次的公民，调查统计他们是赞成“留欧”还是反对“留欧”．现已得知50人中赞成“留欧”的占60%，统计情况如下表：（2）请问是否有97．5%的把握认为赞成“留欧”与年龄层次有关？请说明理由．参考公式与数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++19．如图，在四棱锥A CDFE -中，四边形C D F E 为直角梯形，//,,CE DF EF FD AF ⊥⊥平面 CEFD ，P 为AD 的中点，12EC FD =．（1）求证：//CP 平面 AEF ；（2）设2,3,4EF AF FD ===，求点F 到平面 ACD 的距离．20．在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离大1．（1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）若在y 轴右侧，曲线 C 上存在两点关于直线20x y m --=对称，求m 的取值范围．21．已知函数()24,0ln ,0x x t x f x x x x ⎧++<=⎨+>⎩其中t 是实数．设A B 、为该函数图像上的两点，横坐标分别为12,x x ，且12x x <．（1求()f x 的单调区间和极值；（2）若20x <，函数()f x 的图像在点A B 、处的切线互相垂直，求12x x -的最大值．22．选修4-1：几何证明选讲如图，四边形ABCD 中，//,AB DC AC BD 、交于点3,5E AE AC =，ABD ∠的角平分线交AC 于点F ．（1）求CD AB的值；（2）若12AF FC =，求证：2BD DC AB +=． 23．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C 的参数方程为co s 2s i nx y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），曲线 2C 的极坐标方程为cos sin 40ρθθ-=．（1）求曲线1C 的普通方程和曲线 2C 的直角坐标方程；（2）设P 为曲线1C 上一点，Q 为曲线2C 上一点，求PQ 的最小值．24．选修4-5：不等式选讲已知函数()211f x x x =-++．（1）解不等式()4f x <；（2）若存在实数0x ，使得()02log f x <t 的取值范围．参考答案1．B【解析】试题分析：因为331)333=(1)1(1)(1)222i z i i i i i -==-=-++-（，所以z 的虚部为32-．考点：复数的运算及复数的概念．【方法点睛】本题考查复数的乘法除法运算，意在考查学生对复数代数形式四则运算的掌握情况，基本思路就是复数的除法运算按“分母实数化”原则，结合复数的乘法进行计算，而复数的乘法则是按多项式的乘法法则进行处理，对于复数),(R b a bi a z ∈+=，它的模为22b a +,实部为a ,虚部为b ；复数的概念的扩充部分主要知识点有：复数的概念、分类，复数的几何意义、复数的模，复数的运算，特别是复数的乘法与除法运算，运算时注意21i =-，同时注意运算的准确性．2．A【解析】试题分析：集合(){}(){}{}{}222|log 11=|log 1log 2|012|13,A x x x x x x x x =-<-<=<-<=<<{}{}{}2|230|(3)(1)0|13B x x x x x x x x =--<=-+<=-<<所以集合A 是集合B 的真子集，所以“x A ∈”是“x B ∈”充分不必要条件．考点：集合的运算及充分必要条件的判定．【方法点睛】判断充分条件和必要条件的方法（1）命题判断法：设“若p ，则q”为原命题，那么：①原命题为真，逆命题为假时，p 是q 的充分不必要条件；②原命题为假，逆命题为真时，p 是q 的必要不充分条件；③原命题与逆命题都为真时，p 是q 的充要条件；④原命题与逆命题都为假时，p 是q 的既不充分也不必要条件．（2）集合判断法：从集合的观点看，建立命题p ，q 相应的集合：p ：A ＝{x|p （x ）成立}，q ：B ＝{x|q （x ）成立}，那么：①若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；若A B 时，则p 是q 的充分不必要条件；②若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件；若B A 时，则p 是q 的必要不充分条件；③若A ⊆B 且B ⊆A ，即A ＝B 时，则p 是q 的充要条件．（3）等价转化法：p 是q 的什么条件等价于非q 是非p 的什么条件．3．A【解析】试题分析：函数()sin 2cos 22(22)2cos cos 2sin ))22444f x x x x x x x x p p p =----的图像经过恰当平移后得到一个奇函数的图像，2x 就应加上2π的偶数倍，设应左平移ϕ个单位，则22,+()4228k k k z p p p p j j -=??，选项A 满足题意．考点：三角函数图像的平移．4．C【解析】试题分析：圆222210x y x y ++-+=的方程可化为22(1)(1)1x y ++-=，所以它表示是以(1,1)-为圆心，以1为半径的圆，直线()20x ay a R ++=?与圆222210x y x y ++-+=相切，所以圆心的直线的距离等于圆的半径11=，解得=0a ，应选C ．考点：直线和圆的位置关系．5．C【解析】试题分析：由三视图可得该几何体是三棱柱，底面是有一个角是30°斜边为4且斜边上的高为3的直角三角形，可得三角形另外两边为2，32，三棱柱的高为4，该几何体的表面积为1242442创?+?（）24+考点：三视图．6．C【解析】试题分析：在矩形ABCD 中，0AB A D A M A D ^\? ，,由题意2=3MC MB BC AB BC +=+ ,13MD MA AD AB BC =+=-+ , MC MD =2()3AB BC +? 22122181()1393399AB BC AB AB BC AB BC BC -+=-+??=-+= ,应选C ．考点：向量数量积的运算．7．B【解析】试题分析：输入的x 值是407，y 值是259,第一次循环后，第一次循环后，148,259,148;s x y ===第二次循环后，111,148,111;s x y ===第三次循环后，37,111,37;s x y ===第四次循环后，74,74,37;s x y ===第五次循环后，37,37,37,s x y ===结束循环，所以输出，x 的的值是37．考点：程序框图的应用．8．D【解析】试题分析：数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，343696621111113==27,,2727327813a a a a a a q q =\=\=== ，，，22521127()()33n n n n a a q ---==? 令51()13n n a -==，解得5n =，则当n T 最大时，n 的值为4或5．考点：等比数列的通项公式及性质．9．C【解析】试题分析：画出不等式044220x y x y x y ì-?ïï+?íï-+?ïî表示的可行域2x y -的最大值即可,令2k x y =-，即2y x k =-，由图像可得当过A (2,2)点时，k 取得最大值2，，此时4．考点：线性规划．10．B【解析】试题分析：a 为第三象限角，242tan 4tan 231tan 3a a a =-\=--，，解得1tan 2tan 2a a ==-或（舍去）22sin tan 2,sin 2cos ,sin cos 1,sin 0cos a a a a a a a a==\=+=< ，解得sin a=- 考点：同角三角函数的基本关系．11．D【解析】试题分析：因为双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的离心率为2，所以222223,22c a b a b a a +=\=，双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左顶点坐标为（-a,o ）,其中一条渐近线方程为y=b x x a||-=，解得a=8,则b=4,所以双曲线的标准方程为22184x y -=．考点：双曲线的性质．12．D【解析】试题分析：定义在R 上的函数()f x 的图像关于y 轴对称，所以函数该函数是偶函数，满足函数()f x 满足()()2()f x f x f x +=-=，所以该函数的周期是2，，，的若当[]0,1x Î时()13x f x -=，则133log 1021log 10311133310log 10log 102log 102=3=3327f f f ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=--⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,应选D ．考点：函数的奇偶性及周期性．【答案】440,0,33骣骣轾琪琪犏琪琪犏桫臌桫或试题分析：因为函数()3221f x x x =-+，所以函数()2434=3()3f x x x x x ¢=--，令()4=3()03f x x x ¢-<解得403x <<，所以函数()3221f x x x =-+的单调递减区间为440,0,33骣骣轾琪琪犏琪琪犏桫臌桫或．考点：函数的单调性及导数． 14．1328【解析】试题分析：某学校高三年级共有11个班，其中14 班为文科班，511 班是理科班，现从该校文科班和理科班中各选一个班的学生参加学校组织的一项公益活动，共有47=28⨯种，所选两个班的序号之积为3的倍数的，从理科班可抽3的倍数班6,9，文科班有4种取法，共有8种取法时；文科班取3班时，理科班有7种选法；除去重复的两种，总共有13种取法，所以所选两个班的序号之积为3的倍数的概率1328．考点：古典概型概率公式的应用．【方法点睛】（1）古典概型的概率问题，关键是正确找出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率计算公式计算；（2）当基本事件总数较少时，用列举法把所有的基本事件一一列举出来，要做到不重不漏，有时可借助列表，树状图列举，当基本事件总数较多时，注意去分排列与组合；（3）注意判断是古典概型还是几何概型，基本事件前者是有限的，后者是无限的，两者都是等可能性． 15．32【解析】试题分析：因为直线()200,0ax by a b -+=>>过点()1,1-，所以()200,0,a b a b --+=>>即()+20,0,a b a b =>>所以1212212=(1)(22222a b ba b a b ab a b+++?+炒=+（）当且仅当22a b a b b aì+=ïí=ïî即1)22a b ì=ïíï=-î（时取等号．考点：基本不等式的应用．【方法点睛】（1）利用基本不等式求最值必须满足一正，二定，三相等三个条件，并且和为定值时，积有最大值，积为定值时，和有最小值；（2）基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点．【答案】-435试题分析：因为()*111133,,222n n n n a a a n N a a ++==-∈∴-=-，所以数列{}n a 是首项为12公差为32-等差数列，322n a n =-+1223344521222121343522121=()()()n n n n n n n n S a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a -+-+=-+-++--+-++- ，222242()93=3=322n n n a a n na a a +-+++⨯=-（），所以2109103104352S ⨯-⨯=-=-．考点：等差数列通项公式及求和公式． 17．（1）23B π=，（2）1221a a c c ⎧=-=⎧⎨⎨==⎩⎩或【解析】试题分析：（1sin cos 20A a B a --=，由正弦定理把边化成角，利用两角和或两角差的公式得，可得23B π=（2）由三角形的面积公式和余弦定理即可求得,a c 的值．试题解析：（1）∵sin cos 20A a B a --=，∴由正弦定理得sin sin cos 2sin 0B A A B A =-=，cos 2,sin 16B B B π⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，∴23B π= （2）∵2221sinB 22cos ABC S ac b a c ac B∆⎧=⎪⎨⎪=+-⎩，∴2212sin 2322cos 73ac a c ac ππ⎧=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩，即2225ac a c =⎧⎨+=⎩， ∴1221a a c c ⎧=-=⎧⎨⎨==⎩⎩或考点：正余弦定理的应用．【方法点睛】1）在三角形中处理边角关系时，一般全部转化为角的关系，或全部转化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式变形的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围;（2）在三角兴中，注意隐含条件π=++C B A （3）解决三角形问题时，根据边角关系灵活的选用定理和公式． 18．（1）见解析，（2）有97．5%的把握认为赞成“留欧”与年龄层次有关【解析】试题分析：独立性检验的一般步骤（1）根据样本数据制成22⨯列联表，（2）根据公式求出2K 的值，（3）查表比较2K 与临界的大小关系，做出统计判断独立性检验是考察两个分类变量是否有关系，计算随机变量的观测值k ，k 越大，说明两个分类变量有关系的可能性越大．试题解析：（1）由题意可得列联表如下：（2）()()()()()()222502014106 6.4626243020n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯， ∵6.46 5.024>，∴有97．5%的把握认为赞成“留欧”与年龄层次有关考点：变量间的相关关系．19．（1）见解析，（2）17【解析】试题分析：（1）证明线面平行常用方法：一是利用线面平行的判定定理，二是利用面面平行的性质定理，三是利用面面平行的性质；（2）利用棱锥的体积公式Sh V 31=求体积．（3）证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面．解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化．（4）在求三棱柱体积时，选择适当的底作为底面，这样体积容易计算．试题解析：（1）证明：（方法一）设线段FD 的中点为Q ，连接PQ CQ 、． ∵P 为AD 的中点，∴//PQ AF ∵12EC FD =，且//EC FD ，∴四边形CEFQ 为平行四边形，∴//CQ EF ．又,CQ PQ Q AF EF F == ，∴平面 //PCQ 平面AEF ．∵CP ⊂平面 PCQ ，∴//CP 平面 AEF ．（方法二）设线段AF 的中点为G ，连接PG EG 、．∵P 为AD 的中点， ∴//PG FD ，且12PG FD =．又∵12EC FD =，且//EC FD ，∴//PG EC ，∴四边形GECP 为平行四边形，∴//PC EG ．∵EG ⊂平面 ,AEF PC ⊄平面 AEF ， ∴//CP 平面 AEF（2）解：（方法一）∵四边形CDFE 为直角梯形，12,4,22EF FD EC FD ====． ∴四边形CEFQ 为正方形，CDQ ∆为等腰直角三角形． ∴090FCD ∠=，即CD FC ⊥．又∵AF ⊥平面 CEFD ，∴AF CD ⊥．又FC AF F = ，∴CD ⊥平面 AFC ，面CD ⊂平面 ACD ，∴平面 ACD ⊥平面 AFC过F 作FH AC ⊥于点H ，则FH ⊥平面 ACD ，即FH 为点F 到平面ACD 的距离．∵3,AF FC ==AC =AF FC FH AC ===F 到平面 ACD（方法二）设点F 到平面ACD 的距离为d ． ∵F ACD A PCD V V --=，∴1133ACD FCD S d S AF ∆∆=，∴PCD ACDS AF d S ∆∆= ．由方法一得，CD ⊥平面 AFC ，∴,CD AC CD FC ⊥⊥，∴132117172FC CD AFFC AF d AC AC CD ====．考点：线面平行及点到平面的距离．20．（1）()()24000y x x y x =≥=<或；（2）9,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭【解析】试题分析：（1）先设点M 的坐标为(),x y ．可得1MF x =+，再对列出,x y 的关于化简得，点M 的轨迹C 的方程（2）设曲线C 上的横坐标大于0的两点，关于直线20x y m --=对称，则可得所设两点所在的直线与直线20x y m --=垂直，且与抛物线有两个交点．且所设两点的中点在直线20x y m --=上可求得m 的取值范围试题解析：（1）设点M 的坐标为(),x y ．由题意，1MF x =+1x =+化简得，()()24000y x x y x =≥=<或，∴点M 的轨迹C 的方程为()()24000y x x y x =≥=<或．（2）设曲线C 上的两点()()()112212,,0,0A x y B x y x x >>、关于直线20x y m --=对称，则可设直线AB 的方程为20x y n ++=．由2204x y n y x++=⎧⎨=⎩得2220y y n ++=，则480n ->且122y y +=-． ∴12n <，线段AB 的中点为1,12n P -⎛⎫- ⎪⎝⎭∵P 在直线20x y m --=上，∴1520,222n nm m -+-==-． ∵12n <，∴94m >．即m 的取值范围为9,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭考点：求轨迹方程及求参数的取值范围．【方法点睛】一般直译法求轨迹方程有下列几种情况：1）代入题设中的已知等量关系：若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出，则采用直接将数量关系代数化的方法求其轨迹。

安徽省“江南十校”联考20172018学年高考数学一模试卷文科Word版含解析

安徽省 “江南十校 ”联考 2017-2018 学年高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共10 小题，每题5 分，满分50 分）1．（ 5 分）复数（ i为虚数单位）的虚部为（）A ．B ．C ．iD ． i2．（ 5 分）设会集A={y|y=lnx， x ＞1} ，会集 B={x|y=} ，则 A ∩?R B= （）A ． ?B ．（0，2]C ．（ 2， +∞）D ．（﹣ ∞，﹣ 2）∪（ 2，+∞）3．（ 5 分）设 p ： =（3， 1）， =（ m ，2）且 ∥ ； q ：关于 x 的函数 y= （ m 2﹣ 5m ﹣ 5） a x（ a ＞ 0 且 a ≠1）是指数函数，则 p 是 q 的（） A ．充分不用要条件 B ．必需不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不用要条件4．（ 5 分）运转以以下图的程序框图后，输出的结果是（）A ．0B ．1C ．1+D ．1+5．（ 5 分）设等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，且 S 3=2， S 6=6，则 a 13+a 14+a 15 的值是（） A ．18B ． 28C ． 32D ．1446．（ 5n ﹣ 2且 a ≠1）的图象经过点 P （ m ， n ），且过点 Q （ m ﹣ 1， n ）分）若函数 y=a+1（ a ＞0的直线 l 被圆 C ：x 2+y 2 +2x ﹣ 2y ﹣ 7=0 截得的弦长为 3，则直线 l 的斜率为（）A ．﹣ 1也许﹣7B ．﹣7 或C ．0 或D ．0 或﹣ 17．（5 分）已知点 A （ 0， 1），B （﹣ 2，3） C（﹣ 1， 2），D （1， 5），则向量在方向上的投影为（）A ．B．﹣C． D ．﹣8．（ 5 分）已知函数f（ x） =（ a﹣） sinx+ （a+1） cosx，将 f （ x）图象向右平移个单位长度获得函数 g（ x）的图象，若对任意x∈R，都有 g（x）≤|g（） |成立，则 a 的值为（）A．﹣1B． 1C．﹣2 D ． 29．（5 分）已知函数f（ x）=，若函数 g（ x）=f （ x） +x+a 在 R 上恰有两个相异零点，则实数 a 的取值范围为（）A．[﹣1，+∞）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，0） D ．（﹣∞，1]10．（ 5 分）在正方体ABCD ﹣A 1B1C1D1中．①经过点 A 垂直于平面 A BD 的直线也垂直于平面BDC；111②设 O 为 AC 和 BD 的交点，则异面直线AB 1与 OC1所成的角是；③若正方体的棱长为2，则经过棱 D1C1，B 1C1， BB 1中点的正方体的截面面积为3；④若点 P 是正方形 ABCD 内（包含界限）的动点，点 Q 在对角线 A 1C 上，且满足 PQ⊥ A1C，PA=PQ，则点 P 的轨迹是线段．以上正确的个数为（）A ． 1B． 2C． 3 D ． 4二、填空题（共 5 小题，每题 5 分，满分25 分）11．（ 5 分）“存在 x∈R，使得+=0”的否定是．12．（ 5 分） sin330°+（=．﹣1） +313．（ 5 分）若实数 x， y 满足拘束条件，则的取值范围为．14．（ 5 分）在座标平面内横纵坐标均为整数的点称为格点．现有一只蚂蚁从坐标平面的原点出发，按以下线路沿顺时针方向爬过格点：O→A 1（ 1，0）→A2（ 1，﹣ 1）→A 3（ 0，﹣ 1）→A 4（ 1， 1）→A 5（ 1，0）→A 6（ 1，1））→A 7（ 0，1）→A 8（ 1，1）→A 9（ 2，1）→⋯→A12（ 2， 2）→⋯→A 16（ 2， 2）→⋯→A 20（ 3， 2）→⋯，在爬行程中的第 350 个格点 A 350坐．15．（ 5 分）若曲 C 上任意一点与直l 上任意一点的距离都大于1，称曲 C“ 离”直l，在以下曲中，“ 离”直 l： y=2x 的曲有．（写出全部吻合条件的曲 C 的号）①曲 C： 2x y+=0②曲 C： y= x2+2x③22x 曲 C： x +（ y 5） =1④曲 C： y=e +1⑤曲 C： y=lnx 2．三、解答（共 6 小，分 75 分）16．（ 12 分）已知函数 f （ x） =4sinxcos（ x+） +1（Ⅰ）求函数f（ x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ ABC ，角 A ， B， C 的分a， b， c，若 f（ A） =2， a=3， S△ABC =，求22的．b +c17．（ 12 分）某校2015 届高三文科（1）班学生参加“江南十校” 考，其数学成（已折合成百分制）的率分布直方如所示，此中成分布敬意[40， 50）， [50 ， 60），[60， 70），[70， 80），[80 ， 90）， [90， 100] ，已知成落在[90， 100] 的有 5 人．（Ⅰ）求校2015 届高三文科（ 1）班参加“江南十校” 考的人数；（Ⅱ）依据率分布直方，估班此次数学成的均匀分（可用中取代各数据的平均）；（Ⅲ）要求从成在[40 ，50）和 [90， 100]的学生共 2 人参加某座会，求同一分数段的概率．2 人来自于18．（ 12 分）已知各项均为正数的数列{a n} 满足 a n+2+2=4a n+1﹣ a n（ n∈N *），且 a1=1，a2=4．（Ⅰ）证明：数列{} 是等差数列；（Ⅱ）设b n=的前项n和为S n，求证：S n＜1．19．（ 13 分）如图，圆柱 OO1的底面圆半径为2，ABCD 为经过圆柱轴OO1的截面，点 P 在上且 =， Q 为 PD 上任意一点．（Ⅰ）求证：AQ ⊥PB；（Ⅱ）若直线PD 与面 ABCD 所成的角为30°，求圆柱 OO1的体积．20．（ 13 分）已知函数f （ x） =alnx ﹣，此中a≥0（Ⅰ）当a=1 时，求曲线y=f （ x）在（ 1， f （ 1））处的切线方程；（Ⅱ）谈论f（ x）在其定义域上的单调性．21．（ 13 分）已知椭圆 C：+=1（ a＞b＞ 0）经过点（ 1，），它的左焦点为F（﹣ c， 0），3直线 l 1： y=x ﹣ c 与椭圆 C 将于 A ，B 两点，△ ABF 的周长为 a ．（Ⅱ）若点 P 是直线 l 2：y=x ﹣3c 上的一个动点，经过点 P 作椭圆 C 的两条切线PM，PN，M ，N 分别为切点，求证：直线MN 过定点，并求出此定点坐标．（注：经过椭圆：+=1（a＞ b＞ 0）上一点（ x0，y0）的椭圆的切线方程为+=1）安徽省“江南十校”联考 2015 届高考数学一模试卷（文科）参照答案与试题分析一、选择题（共10 小题，每题 5 分，满分50 分）1．（ 5 分）复数（ i为虚数单位）的虚部为（）A ．B．C．i D ．i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩大和复数．分析：利用复数的运算法规、虚部的定义即可得出．解答：解：，复数（ i 为虚数单位）的虚部为．应选： B．评论：此题观察了复数的运算法规、虚部的定义，属于基础题．2．（ 5 分）设会集A={y|y=lnx， x＞1} ，会集B={x|y=} ，则 A ∩?R B= （）A ． ?B．（0，2]C．（ 2， +∞） D ．（﹣∞，﹣ 2）∪（ 2，+∞）考点：交、并、补集的混杂运算．专题：函数的性质及应用；会集．分析：先经过求函数的值域和定义域求出会集 A ，B ，而后进行补集、交集的运算即可．解答：解： A={y|y ＞ 0} ， B={x| ﹣ 2≤x≤2} ；∴C R B={x|x ＜﹣ 2，或 x＞ 2} ；∴A ∩（ C R B） =（ 2，+∞）．应选 C．评论：观察对数函数的单调性，函数值域、定义域的求法，描述法表示会集，以及补集、交集的定义与运算．3．（ 5 分）设 p： =（ 3， 1），=（ m， 2）且∥；q：关于 x 的函数 y= （ m 2﹣ 5m﹣ 5） ax（ a＞ 0 且 a≠1）是指数函数，则p 是 q 的（）A ．充分不用要条件B ．必需不充分条件C．充要条件D．既不充分也不用要条件考点：必需条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简单逻辑．分析：分别求出关于 p，q 的 m 值，从而判断出 p， q 的关系．解答：解： p：3×2﹣ m=0， m=6；q：由 m 2﹣ 5m﹣5=1 得 m=﹣ 1 或 6，故： A．点：本考了平行向量以及指数函数的性，考了充分必需条件，是一道基．4．（ 5 分）运转如所示的程序框后，出的果是（）A．0B．1C．1+D．1+考点：程序框．：表型；算法和程序框．分析：模行程序框可知，程序框的功能是算并出p=sin+sin+⋯+sin的，依据特别角的三角函数及其周期性算即可得解．解答：解：模行程序框可知，程序框的功能是算并出：，故： A．点：本主要考了程序框和算法，考了正弦函数的周期性和特别角的三角函数的用，属于基本知的考．5．（ 5 分）等比数列{a n} 的前 n 和 S n，且 S3=2， S6=6， a13+a14+a15的是（）A．18B． 28C． 32D．144考点：等比数列的前n 和．：等差数列与等比数列．分析：由等比数列性，知S3，S6S3， S9S6， S12S9， S15S12也成等比数列，由此能求出 a13+a14+a15=S15S12=32 ．解答：解：由等比数列性，知 S3， S6 S3， S9 S6， S12 S9， S15 S12也成等比数列，∵S3=2， S6=6 ，∴ S3=2， S6 S3=4， S9 S6=8 ， S12 S9=16 ， S15 S12=32．∴a13+a14+a15=S15 S12=32．故： C．评论：此题观察等比数列中三项和的求法，是基础题，解题时要仔细审题，注意等比数列的性质的合理运用．6．（ 5 n ﹣ 2P （ m ， n ），且过点 Q （ m ﹣ 1， n ）分）若函数 y=a +1（ a ＞0 且 a ≠1）的图象经过点的直线 l 被圆 C ：x 2+y 2 +2x ﹣ 2y ﹣ 7=0 截得的弦长为 3 ，则直线 l 的斜率为（）A ．﹣ 1也许﹣7B ．﹣7 或C ． 0 或D ．0 或﹣ 1考点：直线与圆订交的性质；指数函数的图像与性质．专题：计算题；直线与圆．分析：由题意， P （ 2，2），Q （ 1， 2），设 l ：y ﹣ 2=k （ x ﹣1），即 kx ﹣ y+2﹣ k=0 ，将圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和圆的半径 r ，由弦长及半径，利用垂径定理及勾股定理求出圆心到直线 l 的距离 d ，利用点到直线的距离公式列出关于k 的方程，求出方程的解获得k 的值，即为直线 l 的斜率．解答：解：由题意， P （2， 2），Q （1， 2），设 l ： y ﹣ 2=k （ x ﹣ 1），即 kx ﹣ y+2﹣ k=0 ，2222圆 C ： x +y +2x ﹣ 2y ﹣ 7=0 可化为（ x+1 ） +（ y ﹣ 1） =9，圆心 C （﹣ 1，1）到 l 的距离，∴ k 2+8k+7=0 ， k= ﹣1 或﹣ 7，应选 A ．评论：此题观察了直线与圆的地点关系，涉及的知识有：垂径定理，勾股定理，点到直线的距离公式，以及直线的点斜式方程，当直线与圆订交时，常常依据垂径定原由垂直得中点，从而由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造至直角三角形，利用勾股定理来解决问题．7．（5 分）已知点 A （ 0， 1），B （﹣ 2，3） C （﹣ 1， 2），D （1， 5），则向量在方向上的投影为（） A ．B ．﹣C ．D ．﹣考点：平面向量数目积的运算．专题：平面向量及应用．分析：先求出，，依据投影的定义，在方向的投影为，因此依据两向量夹角的余弦公式表示出，而后根据向量的坐标求向量长度及数目积即可．解答：解：∵；∴ 在方向上的投影为== ．应选 D ．评论：观察由点的坐标求向量的坐标，一个向量在另一个向量方向上的投影的定义，向量夹角的余弦的计算公式，数目积的坐标运算．8．（ 5 分）已知函数f（ x） =（a﹣） sinx+ （a+1） cosx，将 f （ x）图象向右平移个单位长度获得函数g（ x）的图象，若对任意x∈R，都有g（x）≤|g（） |成立，则 a 的值为（）A．﹣1B． 1C．﹣2 D ． 2考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的图像与性质．分析：由三角函数中的恒等变换应用化简可得f（ x）的分析式，依据平移变换可得g（ x）分析式，由题意g（ x）图象关于直线对称，从而解得 a 的值．解答：解：∵=．∴将 f （ x）图象向右平移个单位长度获得函数g（x）的分析式为：个单位长度获得函数g （x）的 g（ x） =f （x﹣π3）=asinx+2cosx ，∵由题意得g（ x）图象关于直线对称，∴，应选： D．评论：此题主要观察了函数 y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，观察了三角函数中的恒等变换应用，属于中档题．9．（5 分）已知函数 f（ x）=，若函数 g（ x）=f （ x） +x+a 在 R 上恰有两个相异零点，则实数 a 的取值范围为（）A．[﹣1，+∞）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，0） D ．（﹣∞，1]考点：函数零点的判判定理．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：g（ x）=0 可化为 f（ x） =﹣ x﹣a，从而作出函数的图象求解．解答：解： g（x） =0 可化为 f （ x） =﹣ x﹣ a，当 x∈[﹣ 1，0）时， x+1 ∈[0， 1），，故把图象在 [0， 1）上的部分向左平移再把 f（ x）在 [﹣ 1，0）上的图象每次向左平移再作出 y= ﹣ x﹣ a 的图象；以以下图，1 个单位获得f（ x）在 [ ﹣ 1， 0）上的图象，1 个单位连续平移就获得f（x）在 R 上的图象，由图象可得﹣a＜ 1， a＞﹣ 1，应选 B．评论：此题观察了函数的零点的应用及数形联合的思想应用，属于基础题．10．（ 5 分）在正方体ABCD ﹣A 1B1C1D1中．①经过点 A 垂直于平面 A 1BD 的直线也垂直于平面 B 1D1C；②设 O 为 AC 和 BD 的交点，则异面直线 AB 1与 OC1所成的角是；③若正方体的棱长为2，则经过棱 D1C1，B 1C1， BB 1中点的正方体的截面面积为 3 ；④若点 P 是正方形ABCD 内（包含界限）的动点，点 Q 在对角线 A 1C 上，且满足PQ⊥ A1C，PA=PQ，则点 P 的轨迹是线段．以上正确的个数为（）A ． 1B． 2C． 3 D ． 4考点：棱柱的构造特色．专题：空间地点关系与距离．分析：由条件利用棱柱的构造特色，直线和平面的地点关系，逐个判断各个选项能否正确，从而得出结论．解答：解：正方体 ABCD ﹣A 1B1C1D1中，易证平面 A 1BD ∥面 B 1D1C 选，∴①正确；∵ A1B ∥ D1C，∠ OC1D 就是异面直线 AB 1与 OC1所成的角．∵BD ⊥ OC，BD ⊥ CC1，∴ BD ⊥面 OCC1，∴ BD⊥ OC1，又，∴，即异面直线AB1与OC1所成的角是，∴ ② 正确；设棱B1D1，B 1C1， BB 1， AB ，AD ， DD 1的中点分别为E， F，G，H，M，N，则过点E，F，G的正方形截面就是正六边形EFGHMN，，∴ ③正确；连接 A 1P，易证 AA 1⊥ AP，又 PQ⊥A 1C，PA=PQ ，PA1=PA1，∴ Rt△A 1PA≌ Rt△ A1PQ，A 1A=A 1Q，∴Q 为 A1C 上定点．又 PA=PQ ，点 P 在线段 AQ 的中垂面上，∴点P 在 AQ 的中垂面与正方形ABCD 的交线上，∴④ 正确，应选： D．评论：此题主要观察棱柱的构造特色，直线和平面的地点关系，属于基础题．二、填空题（共 5 小题，每题 5 分，满分25 分）11．（ 5 分）“存在 x∈R，使得+=0”的否定是对任意x∈R，都有．考点：的否定．专题：简单逻辑．分析：直接利用特称的否定是全称写出结果即可．解答：解：由于特称的否定是全称，因此，“存在 x∈R，使得+=0 ”的否定是：对任意 x∈R，都有．故答案为：对任意 x∈R，都有．评论：此题观察的复数特称与全称的否定关系，基本知识的观察．12．（ 5 分） sin330°+（=．﹣1） +3考点：有理数指数幂的化简求值；运用引诱公式化简求值．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：依据三角函数引诱公式，指数的0 次幂以及对数的恒等式，进行计算即可．解答：解：原式 =sin （360°﹣ 30°） +1+2=sin （﹣ 30°） +3=﹣ sin30°+3=﹣+3=．故答案为：．评论：此题观察了三角函数引诱公式，指数的0 次幂以及对数的恒等式的应用问题，是基础题目．13．（ 5 分）若实数 x， y 满足拘束条件，则的取值范围为．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出拘束条件所对应的可行域，可看作点P（﹣1，0）与点（x，y）连线斜率的 2 倍，由斜率公式可得．解答：解：作出拘束条件所对应的可行域（如图暗影），可看作点P（﹣ 1，0）与点（ x， y）连线斜率的 2 倍，由可得 A （ 4，﹣ 2），由可得B（1，4），∵，∴的取值范围为：．故答案为：评论：此题观察简单线性规划，涉及直线的斜率公式，正确作图是解决问题的要点，属中档题．14．（ 5 分）在座平面内横坐均整数的点称格点．有一只从坐平面的原点出，按以下路沿方向爬格点： O→A 1（ 1，0）→A2（ 1， 1）→A 3（ 0， 1）→A 4（ 1， 1）→A 5（ 1，0）→A 6（ 1，1））→A 7（ 0，1）→A 8（ 1，1）→A 9（ 2，1）→⋯→A12（ 2， 2）→⋯→A 16（ 2， 2）→⋯→A 20（ 3， 2）→⋯，在爬行程中的第 350 个格点 A 350坐（ 1， 9）．考点：数列的乞降．：等差数列与等比数列．分析：由已知条件推出以O 中心，2n 的正方形上共有格点a n=8n 个，且在其上爬的最后一个格点（n， n），由前 n 个正方形上格点的数：S n=a1+a2+a3+⋯+a n=8+16+24+ ⋯，得 n≥9．由此能求出在爬行程中的第350 个格点 A350坐．解答：解：以 O 中心， 2 的正方形上共有格点a1 =8 个，且在其上爬的最后一个格点（1， 1）；以 O 中心， 4 的正方形上共有格点a2=16 个，且在其上爬的最后一个格点（2， 2）；以 O 中心， 6 的正方形上共有格点a3=24 个，且在其上爬的最后一个格点（3， 3）；⋯以 O 中心， 2n 的正方形上共有格点a n=8n 个，且在其上爬的最后一个格点（n， n），由前 n 个正方形上格点的数：S n=a1+a2+a3+⋯+a n=8+16+24+ ⋯，得 n≥9．当 n=9 ，前 9 个正方形上格点的数，且在第 9 个正方形（18）上爬的最后一个格点 A 360（ 9， 9），故在爬行程中的第350 个格点 A 350坐（1， 9）．故答案：（ 1， 9）．点：本考在爬行程中的第350 个格点 A 350坐的求法，是中档，解要真，注意法和等差数列前n 和公式的合理运用．15．（ 5 分）若曲线 C 上任意一点与直线 l 上任意一点的距离都大于 1，则称曲线 C “远离 ”直线l ，在以下曲线中， “远离 ”直线 l ： y=2x 的曲线有 ②③⑤ ．（写出全部吻合条件的曲线 C 的编号）① 曲线 C ： 2x ﹣y+=0② 曲线 C ： y= ﹣x 2 +2x ﹣③ 22x曲线 C ： x +（ y ﹣ 5） =1④ 曲线 C ： y=e +1 ⑤ 曲线 C ： y=lnx ﹣ 2．考点：的真假判断与应用．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；简单逻辑．分析：① ：利用点到直线的距离公式可得=1 ，即可判断出正误；② ：设直线 l 1： y=2x+b 与曲线 C ： y=﹣ x 2+2x ﹣ 相切，把 y=2x+b 代入曲线 C 得 x 2+ +b=0 ，利用 △=0，解得 b=﹣ ，再利用点到直线的距离公式可得此时直线 l 1 与 l 的距离 d ，即可判断出正误；③ ：求出圆心 C （0，5）到直线 l 的距离 d= ，可得圆 C 上的点到 l 距离的最小值为﹣1＞ 1，即可判断出正误；④ ：设曲线 C 上斜率为 2 的切线的切点为 P （ x 0， y 0），利用导数的几何意义可得：切线： y﹣ 3=2 （x ﹣ ln2），即： 2x ﹣ y+3﹣ ln2=0 ，切线与 l 的距离 d ，即可判断出正误； ⑤ ：设切点为 P （x 0， y 0），利用导数的几何意义可得 P，求出点 P 到直线 l 的距离 d ，即可判断出正误．解答：解：对 ① ：∵=1，∴不合题意；2 ﹣ 相切，把 y=2x+b 代入曲线 2+b=0 ，对 ② ：设直线 l 1：y=2x+b 与曲线 C ：y=﹣ x +2x C 得 x + 由 △ =0﹣4 =0，得 b=﹣ ，此时直线 l 1 与 l 的距离 d= = ＞ 1，吻合题意；对 ③ ：∵圆心 C （ 0，5）到直线 l 的距离 d==，∴圆 C 上的点到 l 距离的最小值为﹣ 1＞ 1，吻合题意；对 ④ ：设曲线 C 上斜率为 2 的切线的切点为P （ x 0，y 0），∵ y ′=e x，∴ k= = =2，∴x 0=ln2 ，∴ P （ ln2，3），切线： y ﹣ 3=2（ x ﹣ ln2 ），即： 2x ﹣ y+3﹣ ln2=0 ，∴切线与 l 的距离d= =，∵ ln4 ∈（1，2），∴ 3﹣ ln4 ∈（ 1，2），而＞ 2，∴ d ＜ 1，不合题意；对 ⑤ ：设切点为 P （ x 0， y 0），∵ ，∴= =2 ，∴ ，∴ P，∴ d= ＞ 1，吻合题意．故答案为： ②③⑤ ．评论：此题观察了新 “定义 ”、点到直线的距离公式、利用导数研究切线，观察了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（共 6 小题，满分75 分）16．（ 12 分）已知函数 f （ x ） =4sinxcos （ x+ ） +1（Ⅰ）求函数 f （ x ）的最小正周期；（Ⅱ）在 △ ABC ，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 f （ A ） =2， a=3， S △ABC =，求22的值．b +c考点：余弦定理；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（ I ）化简函数分析式可得f （ x ）=2sin （ 2x+ ），由周期公式即可得解．（ II ）由 f （ A ） =2sin （ 2A+ ） =2，又 0＜ A ＜ π，可解得 A 的值，由 S △ABC = bcsinA=，可得 bc=4 222 2﹣2bccosA=b 222 2 的值．，又 a =3 =b +c +c ﹣ 12，从而解得 b +c解答：解：（ I ）=2 sinxcosx ﹣2sin 2x+1=sin2x+cos2x=2sin （ 2x+ ），∴T=；（ II ）∵ f （ A ） =2sin （ 2A+ ） =2，∴ sin （ 2A+ ） =1，又∵ 0＜A ＜π，∴＜2A+＜，∴2A+=，A=，∵ S △ABC = bcsinA=，∴ bc=4， 2 2 2 2﹣ 2bccosA=b 2 2，又∵ a =3 =b +c +c ﹣12 ∴ b 2+c 2评论：此题观察了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式以及特别角的三角函数值的应用，娴熟掌握相关定理及公式是解题的要点，属于基本知识的观察．17．（ 12 分）某校2015 届高三文科（1）班学生参加“江南十校”联考，其数学成绩（已折合成百分制）的频率分布直方图以以下图，此中成绩分布敬意为[40， 50）， [50 ， 60），[60， 70），[70， 80），[80 ， 90）， [90， 100] ，现已知成绩落在[90， 100] 的有 5 人．（Ⅰ）求该校2015 届高三文科（ 1）班参加“江南十校”联考的总人数；（Ⅱ）依据频率分布直方图，预计该班此次数学成绩的均匀分（可用中值取代各组数据的平均值）；（Ⅲ）现要求从成绩在[40 ，50）和 [90， 100]的学生共选 2 人参加某项会商会，求 2 人来自于同一分数段的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图；众数、中位数、均匀数．专题：概率与统计．分析：（ I ）成绩落在 [90， 100] 的有 5 人，频率不×10，由此能求出该校 2015 届高三文科（ 1）班参加“江南十校”联考的总人数．（ II ）利用频率分布直方图能求出均匀分．（Ⅲ）成绩在 [40 ，50）中共有×10×50=3 人，成绩在 [90 ， 100）中共有×10×50=5 人，要求从成绩在 [40， 50）和 [90 ， 100] 的学生共选 2 人参加某项会商会，总的基本领件有n==28 个，此中 2 人来自同一分数段的基本领件有m==13 个，由此能求出 2 人来自于同一分数段的概率．解答：解：（ I ）该校 2015 届高三文科（ 1）班参加“江南十校”联考的总人数为=50 （人）．（II ）均匀分 =45×0.06+55×0.16+65 ×0.20+75×0.28+85×0.20+95 ×0.10=72分．（Ⅲ）成绩在 [40 ，50）中共有×10×50=3 人，成绩在 [90 ，100）中共有×10×50=5 人，要求从成绩在 [40， 50）和 [90， 100] 的学生共选 2 人参加某项会商会，总的基本领件有 n==28 个，此中 2 人来自同一分数段的基本领件有m==13 个，∴ 2 人来自于同一分数段的概率p=．点：本考率分布直方的用，考概率的求法，是基，解要注意等可能事件概率算公式的合理运用．18．（ 12 分）已知各均正数的数列{a n } 足 a n+2+2=4a n+1 a n （ n ∈N *），且 a 1=1，a 2=4．（Ⅰ）明：数列{ } 是等差数列；（Ⅱ）b n =的前 n 和 S n ，求： S n ＜ 1．考点：数列推式；等差关系的确定．：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）通已知条件，利用配方法推出等差数列的等差中形式，判断数列是等差数列．（Ⅱ）求出数列 {a n } 的通公式，而后利用裂法求解 S n ，即可推出所明的不等式．解答：解：（Ⅰ）∵且 a n ＞ 0，∴，∴，∴是首，公差的等差数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，∴，∴⋯ = ．点：本考数列的推关系式的用，数列的乞降以及数列是等差数列的判断，考算能力以及化思想的用．19．（ 13 分）如，柱 OO 1 的底面半径 2，ABCD 柱OO 1 的截面，点 P 在上且 = ， Q PD 上任意一点．（Ⅰ）求： AQ ⊥PB ；（Ⅱ）若直PD 与面 ABCD 所成的角30°，求柱 OO 1 的体．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角．专题：空间地点关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）连接PA，证明 PA⊥ PB，PB ⊥ AD ，推出 PB⊥平面 PAD 利用直线与平面垂直的性质定理证明AQ ⊥ PB．（Ⅱ）过点P 作 PE⊥AB ， E 为垂足，连接CE，说明∠ PDE 就是直线PD 与面 ABCD 所成的角，利用已知条件求出，而后求出AD ，获得柱体的高，而后求解几何体的体积．解答：（Ⅰ）证明：连接PA，∵AB 为底面的直径，∴ PA⊥PB ，又∵ AD ⊥面 PAB， PB? 平面 PAB ，∴PB⊥AD ．又 PA∩AB=A ．∴PB⊥平面PAD，又 AQ ? 平面 PAD，∴AQ ⊥PB．（Ⅱ）解：过点P 作 PE⊥ AB ， E 为垂足，连接DE，∵OO 1⊥平面 PAB，∴平面 ABCD ⊥平面 PAB ，∴ PE⊥平面 ABCD ，∴∠ PDE 就是直线 PD 与面 ABCD 所成的角，∴∠ PDE=30 °，又∵=，∴，又∵，∴，∴ V=Sh=．点：本考几何体的体以及直与平面所成角的求法，直与平面平行的性定理的用，考空想象能力以及算能力．20．（ 13 分）已知函数 f （ x） =alnx，此中a≥0（Ⅰ）当a=1 ，求曲y=f （ x）在（ 1， f （ 1））的切方程；（Ⅱ）f（ x）在其定域上的性．考点：利用数研究函数的性；利用数研究曲上某点切方程．：数的合用．分析：（Ⅰ）当 a=1 ，求出函数的数，求出切的斜率，可得切方程．（Ⅱ）求出函数 f （ x）的定域（0，+∞），求出函数的数，通① 当a=0，② 当a2＞ 0 ，构造 g（ x）=ax +（ a 1） x+a（ x∈（ 0，+∞）），利用△的符号推出 a 的范，获得函数的区．解答：解：（Ⅰ）当a=1 ，，⋯（2 分）∴，又 f（ 1） = 1∴切方程，即⋯（5 分）（Ⅱ） f （ x）的定域（0，+∞），⋯（6 分）①当 a=0 ，，∴ f（ x）在（ 0， +∞）上减⋯（7分）2+（a 1） x+a （ x ∈（ 0， +∞））② 当 a ＞ 0 ， g （ x ） =ax222（ a ）当 △=（ a 1） 4a = 3a 2a+1≤0，即， f ′（x ） ≥0，∴ f （x ）在（ 0， +∞）上增 ⋯（9 分）（ b ）当 △ =3a 22a+1＞ 0 即，由 g （ x ）=0 得，∵（ 1a ） 2 （ 3a 22a+1）=4a 2＞ 0，∴，∴当 x ∈（ 0， x 1）和（ x 2，+∞）， f ′（ x ） ≥0，当 x ∈（x 1， x 2）， f ′（ x ）＜ 0，∴ f （ x ）增区（0，x 1）和（ x 2， +∞），f （ x ）减区（x 1， x 2） ⋯（ 12 分）上，当 a=0 ， f （x ）减区（ 0， +∞）；当， f （ x ）增区（0，x 1）和（ x 2， +∞），减区（ x 1， x 2）；当， f （ x ）增区（ 0，+∞）⋯（ 13 分）点：本考函数的数的用，切方程的求法，函数的区的求法，考分以及构造法的用，考分析解决的能力．21．（ 13 分）已知 C ： + =1（ a ＞b ＞ 0）点（ 1，），它的左焦点 F （ c ， 0），3直 l 1： y=xc 与 C 将于 A ，B 两点， △ ABF 的周 a ．（Ⅱ）若点 P 是直 l 2：y=x 3c 上的一个点，点 P 作 C 的两条切 PM ，PN ，M ，N 分切点，求：直 MN 定点，并求出此定点坐．（注：：+=1（a ＞ b ＞ 0）上一点（ x 0，y 0）的的切方程+=1）考点：直与曲的合；的准方程．：曲的定、性与方程．分析：（Ⅰ）利用 △ABF的周a 3．求出a ，利用C点，求出 b ，获得C 的方程．（Ⅱ）利用方程求出c ， l 2：y=x3， M （ x 1，y 1）， N （ x 2， y 2）， P （ t ， t3）求出C 的两条切 PM ，PN 的方程，求出 MN 的方程，利用直系获得定点坐．解答：解：（Ⅰ）直 l 1： y=x c 的焦点坐，由意， △ ABF 的周 a 3． 32可得： 4a=a ， a =4， a=2⋯（ 2 分）又∵ C点，∴⋯（3分）∴b 2=3⋯（5 分）∴ C 的方程⋯（6分）（Ⅱ） c=1， l2： y=x 3M （ x1， y1）， N（ x2， y2），P（ t， t 3）直⋯（7分）直⋯（8分）又 P（ t， t 3）在上述两切上，∴，∴直⋯（ 10 分）即：（ 3x+4y ） t 12y 12=0由得，∴直 MN 定点，且定点坐⋯（13分）点：本考的主方称的求法，的切方程以及直系方程的用，考化思想以及算能力．。

安徽省江南十校2017年10月2017～2018学年度高一第一学期期中考试数学试题及参考答案教师专用

安徽省江南十校2017年10月2017～2018学年度高一上学期期中考试数学试题第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合且,则实数( )A.0B.0或3C.3D.1【参考答案】B【试题解析】集合且,所以或＝0所以,经检验都符合题意故选B2.函数图象恒过的定点构成的集合是( )A.{－1,－1}B.{(0,1)}C.{(－1,0)}D.【参考答案】C【试题解析】令x＋1＝0,解得x＝－1,f(－1)＝a0－1＝0.∴f(x)恒过点(－1,0).故选C3.下列四个函数中,在整个定义域内单调递减的是( )A. B. C. D.【参考答案】C【试题解析】对于A:因为>1,所以在整个定义域内单调递增；故A错；对于B:在上递减,如 ,时,有则不能说整个定义域内单调递减,故B错；对于C:在整个定义域内单调递减,故C对；对于D:在递减,在递增,故D错；故选C4.若,则( )A.9B.17C.2D.3【参考答案】D【试题解析】,令则所以,则故选C5.已知,且,函数的定义域为,的定义域为,那么( )A. B. C. D.【参考答案】B【试题解析】函数的定义域为或故；的定义域为故则,故选B6.对于函数的图象及性质的下列表述,正确的是( )A.图像上的纵坐标不可能为1B.图象关于点(1,1)成中心对称C.图像与轴无交点D.图像与垂直于轴的直线可能有两个交点【参考答案】A【试题解析】函数因为所以图像上的纵坐标不可能为1,故A对；图像关于(－1,1)中心对称,故B错；当x＝－2时,则图像与轴有交点,故C错；是函数,所以对于任意一个值有唯一一个值对应,故D错,不可能一个x对应两个y 值；故选A7.若,,则( )A. B. C. D.【参考答案】D故选D8.已知二次函数是偶函数,若对任意实数都有,则图像可能是( )A. B. C. D.【参考答案】C【试题解析】二次函数是偶函数则,图像关于y轴对称,所以排除A,D；对任意实数都有,所以函数为上凸函数,结合二次函数的性质可得实数a<0.即排除B,故选C9.已知函数,记,则大小关系是( )A. B. C. D.【参考答案】A【试题解析】所以函数R上单调递减；...............故选A10.已知函数,则是( )A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数也是偶函数D.非奇非偶函数【参考答案】A【试题解析】定义域为R,所以是奇函数故选A11.下列命题中,正确的有( )个①对应:是映射,也是函数；②若函数的定义域是(1,2),则函数的定义域为；③幂函数与图像有且只有两个交点；④当时,方程恒有两个实根.A.1B.2C.3D.4【参考答案】C【试题解析】对于①,对应:是映射,也是函数；符合映射,函数的定义,故①对；对于②若函数的定义域是(1,2),则故函数的定义域为,故②对对于③幂函数的图像过 ,图像过所以两个图像有且只有两个交点；故③对；对于④当时,单调递增,且函数值大于1,所以当时,方程只有一个实根.故④错；故选C点睛:本题是命题判断题,考查了映射,函数的定义,抽象函数的定义域,幂函数的图像特征,及含函数与方程的零点问题,掌握基础知识,基本题型的处理方法即可.12.不等式对于任意的自然数恒成立,则实数的取值范围是( )A. B. C.(－2,2) D.【参考答案】B【试题解析】为偶数时,>0,所以因为在上单调递增,所以当时,取得最小值2,故；为奇数时,<0,所以 ,因为在递减,所以当x＝1时,取得最大值,所以故选B点睛:本题考查了不等式恒成立问题,常采用变量分离,要注意分析变量前的系数的正负,分离完以后转化为函数求最值,结合单调性即可.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.计算:__________.【参考答案】4【试题解析】原式故答案为414.已知函数,则满足方程的值是__________.【参考答案】或【试题解析】,所以或解得或故答案为或15.已知函数图像上任意两点连线都与轴不平行,则实数的取值范围是__________.【参考答案】或【试题解析】由题意可知函数在上是单调函数,所以轴或解得或故答案为或16.已知函数图像关于直线对称,当时,是增函数,则不等式的解集为__________.【参考答案】【试题解析】由题意可知是偶函数,且在递增,所以得即解得,所以不等式的解集为.故答案为点睛:本题考查了函数的对称性,单调性的应用,由得到需要进行平移变换,注意方向即可,偶函数利用单调性来解决问题常转化为.三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.已知为定义在上的奇函数,且是,.(1)求时,函数的解析式；(2)写出函数的单调区间(不需证明).【参考答案】(1) ; (2) 的单调递增区间是[－1,1]；单调递减区间是【试题解析】试题分析:(1)任取,则,,又为奇函数,即得解,(2)分析单调性可得的单调递增区间是[－1,1]；单调递减区间是.试题解析:(1)任取,则,,又为奇函数,,所以时,函数；(2)的单调递增区间是[－1,1]；单调递减区间是.18.已知集合,集合,集合.(1)求集合；(2)若,求实数的取值范围.【参考答案】(1) (2)【试题解析】试题分析:(1)解出集合,根据交集并集的运算可得解(2)则限制集合B与C的左右端点的大小关系即得解,注意对应的端点是否能相等的问题试题解析:(1)由得,所以；(2)由知,所以.19.已知函数.(1)若,求实数的取值范围；(2)解方程.【参考答案】(1) ;(2) 和【试题解析】试题分析:(1)因为,所以,解指数不等式即得解(2)原方程可化为令,则原方程化为,解得或,即或,解得x即可.试题解析:解:(1)因为,所以,即,所以；(2)原方程可化为令,则原方程化为:,解得或,当时,,,；当时,,,,所以方程的解为和.20.若函数是定义在上的奇函数,是定义在上恒不为0的偶函数.记.(1)判断函数的奇偶性；(2)若,试求函数的值域.【参考答案】(1) 奇函数; (2)【试题解析】试题分析:(1)根据奇偶性的定义可得.所以可得是奇函数.(2)①,即②联立①②解得,,反解出得即得解.试题解析:(1)由函数是上的奇函数,是上的偶函数知:.所以所以是奇函数.(2)①,即②联立①②解得,,由,则,所以,即.点睛:本题考查了函数奇偶性的定义,构造方程组求函数解析式,利用反解法求值域,注意计算准确即可.21.信息科技的进步和互联网商业模式的兴起,全方位地改变了大家金融消费的习惯和金融交易模式,现在银行的大部分业务都可以通过智能终端设备完成,多家银行职员人数在悄然减少.某银行现有职员320人,平均每人每年可创利20万元.据评估,在经营条件不变的前提下,每裁．员．1人,则留岗职员每人每年多．．．．．创利0.2万元,但银行需付下岗职员每人每年6万元的生活费,并且该银行正常运转所需人数不得小于现有职员的,为使裁员后获得的经济效益最大,该银行应裁员多少人？此时银行所获得的最大经济效益是多少万元？【参考答案】8160万元【试题解析】试题分析:分析题意,设银行裁员人,所获得的经济效益为万元,则,根据题目条件,又且,利用二次函数轴与区间的位置关系分析单调性即得的最小值.试题解析:设银行裁员人,所获得的经济效益为万元,则, 由题意:,又且,因为对称轴:,所以函数在[0,80]单调递增,所以时,即银行裁员人,所获得经济效益最大为8160万元,答:银行应裁员80人时,所获经济效益最大为8160万元.22.已知定义域为,对任意都有,且当时,.(1)试判断的单调性,并证明；(2)若,①求的值；②求实数的取值范围,使得方程有负实数根.【参考答案】(1) 是上的减函数; (2)①; ②的取值范围【试题解析】试题分析:(1)利用定义证明:任取,且,,,下结论(2)①先赋值求得,再令可解得②方程可化为,又单调,所以只需有负实数根.对进行分类讨论,分与两种情况.试题解析:解:(1)任取,且,,,是上的减函数；(2)①,,又,因为,,②方程可化为,又单调,所以只需有负实数根.记,当时,,解得,满足条件；当时,函数图像是抛物线,且与轴的交点为(0,－1),方程有负实根包含两类情形:①两根异号,即,解得；②两个负实数根,即,解得.综上可得,实数的取值范围。