新疆乌鲁木齐市第七十中学2018_2019学年高二数学上学期期中试题理(含解析)

新疆乌鲁木齐市第七十中学2018-2019学年高二数学上学期期中试题 理（含解析）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．命题“，使得”的否定是A ．，使得B ．，使得C ．，使得D ．，使得2．“”是“不等式”的A ．充分不必要条件B ．充分必要条件C ．必要不充分条件D ．非充分必要条件3．抛物线218y x =-的准线方程是A ．132x =B ．2y =C ．132y = D ．2y =-4．已知△ABC 的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A 的轨迹方程是A ．（x≠0）B ．（x≠0）C ．（x≠0）D ．（x≠0）5．采用系统抽样方法从学号为1到50的50名学生中选取5名参加测试,,则所选5名学生的学号可能是A ．1,2,3,4,5B ．5,26,27,38,49C ．2,4,6,8,10D ．5,15,25,35,45 6．下列命题中是错误命题的个数有 （1）若命题p 为假命题，命题为假命题，则命题“”为假命题； （2）命题“若，则或”的否命题为“若，则或”； （3）对立事件一定是互斥事件； （4）为两个事件，则P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)； A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7．某小说共有三册，任意排放在书架的同一层上，则各册从左到右或从右到左恰好为第1，2，3册的概率为 （A ）16 （B ）13 （C ）12 （D ）23 8．过点()11M ， 的直线与椭圆22143x y += 交于A ， B 两点，且点M 平分AB ，则直线AB 的方程为 A ．4370x y +-= B ．3470x y +-= C ．3410x y -+= D ．4310x y --= 9．如图给出的是计算1＋＋＋＋的值的一个程序框图，则图中执行框中的①处和判断框中的②处应填的语句分别是A ．B ．C ．D ．10．设点P 是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>上的点，12,F F 是其焦点，双曲线的离心率是54，且1290F PF ∠=，12F PF ∆面积是9，则a b +=A ．4 B. 5 C. 6 D. 711．已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点，过2F 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A ,交另一条渐近线于点B ，且2213AF F B =,则该双曲线的离心率为A．212．设为双曲线的左焦点，在轴上点的右侧有一点，以为直经的圆与双曲线的左，右两支在x 轴上方的交点分别为M ，N ，则的值为A ．B ．C ．D ．13．已知命题若非是的充分不必要条件，求的取值范围。

二、填空题14．若点到点的距离比它到定直线的距离小1，则点满足的方程为15．若双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为________.16．命题“，使”是真命题，则a 的范围是______。

17．已知P 是△ABC 所在平面内一点， PB ＋PC ＋2PA ＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是________．三、解答题18．某园林基地培育了一种新观赏植物，经过一年的生长发育，技术人员从中抽取了部分植株的高度（单位：厘米）作为样本（样本容量为）进行统计，按照的分组作出频率分布直方图，并作出样本高度的茎叶图（图中仅列出了高度在的数据）. （1）求样本容量和频率分布直方图中的的值； （2）在选取的样本中，从高度在厘米以上（含厘米）的植株中随机抽取株，求所取的株中至少有一株高度在内的概率. 19．(1)求与椭圆有公共焦点，并且离心率为的双曲线方程． (2)已知斜率为1的直线l 过椭圆的右焦点F 交椭圆于A 、B 两点，求弦AB 的长． 20．已知直线y ＝ax ＋1与双曲线交于A 、B 两点． (1)求a 的取值范围； (2)若以AB 为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值． 21．某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图. 记表示台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，表示台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），表示购机的同时购买的易损零件数．（1）若，求与的函数解析式；（2）若要求“需更换的易损零件数不大于”的频率不小于，求的最小值；（3）假设这台机器在购机的同时每台都购买个易损零件，或每台都购买个易损零件，分别计算这台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买台机器的同时应购买个还是个易损零件？22．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，过点()1,0M-的直线l与椭圆交于P Q、两点.（1）若直线l的斜率为1, 且35PM QM=-，求椭圆的标准方程；（2）若（1）中椭圆的右顶点为A，直线l的倾斜角为α，问α为何值时，AP AQ⋅取得最大值，并求出这个最大值.2018-2019学年新疆乌鲁木齐市第七十中学高二上学期期中考试数学（理）试题数学 答 案参考答案1．D【解析】【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【详解】因为全称命题的否定是全称命题，所以命题p“∃x 0＞1，使得x 0﹣1≥0“，则￢p 为∀x ＞1，x ﹣1＜0．故选：D ．【点睛】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．2．A 【解析】试题分析：解不等式得,则,而时,不成立.故“”是“不等式”的充分不必要条件.所以A 选项是正确的.考点：解不等式；充要条件.3．B 【解析】218y x =-， 28x y ∴=-,∴其准线方程是2y =． 故本题正确答案是 .B点晴：本题考查的是求抛物线的准线方程的问题.这是一道易错题，求准线方程有两点：一是要确定抛物线的焦点位置在y 轴的正半轴上，二是要确定抛物线标准方程中的4p =，由这两者得抛物线的准线方程为2y =. 4．B【解析】 由于，所以到的距离之和为，满足椭圆的定义，其中，由于焦点在轴上，故选. 点睛：本题主要考查椭圆的定义和标准方程. 涉及到动点到两定点距离之和为常数的问题，可直接用椭圆定义求解．涉及椭圆上点、焦点构成的三角形问题，往往利用椭圆定义、勾股定理或余弦定理求解. 求椭圆的标准方程，除了直接根据定义外，常用待定系数法(先定性，后定型，再定参)． 5．D 【解析】 试题分析：采用系统抽样的方法时，即将总体分成均衡的若干部分，分段的间隔要求相等，间隔一般为总体的个数除以样本容量，据此即可得到答案.采用系统抽样间隔为50=105，只有D 答案中的编号间隔为10.故选D. 考点：系统抽样方法. 6．C 【解析】 【分析】 （1）易知p 假q 真，利用复合命题间的关系即可知（1）的正误； （2）写出命题“若xy=0，则x=0或y=0”的否命题，再判断（2）的正误即可； （3）对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件； （4）A 、B 为两个互斥事件，则P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ） 【详解】 （1）若命题p 为假命题，命题￢q 为假命题，则p 假q 真，故p ∨q 真，故（1）错误； （2）命题“若xy=0，则x=0或y=0”的否命题为“若xy≠0，则x≠0且y≠0”，故（2）错误； （3）对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件，故（3）正确； （4）A 、B 为两个互斥事件，则P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ），故（4）不正确； 故选：C 【点睛】 本题考查命题的真假判断与应用，着重考查否命题与命题的否定，考查逻辑联接词表示的复合命题的真假判断，考查互斥与对立的关系，属于中档题． 7．B 【解析】试题分析：由题意可知，可画出树状图，如图所示，所有等可能的情况数有6中，其中各册自左到右或自右到左的顺序恰好为第1,2,3册有2种，所以概率为13，故选B ．考点：等可能时间的概率；列表法与树状图法．8．B【解析】试题分析：由于直线过点()1,1，故排除C ，D 选项.设()()1122,,,A x y B x y ，代入椭圆方程得22112222143{ 143x y x y +=+=，两式相减并化简得121234y y x x -=--，所以直线的斜率为34-，由点斜式得到直线方程为3470x y +-=.考点：直线与圆锥曲线位置关系.【思路点晴】本题考查点差法.直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解．联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法. 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．涉及弦的中点问题，考虑用点差法来解决.9．A【解析】试题分析：由这5个数的分母1,3,5,7,9可知，，求的是前5个数的和，所以5次进入循环，5此循环后应是第一个满足判定框的条件的，所以应填，故选A.考点：循环结构10．D【解析】 试题分析：由题设：12,,()PF x PF y x y ==>，2x y a -=，又1290F PF ∠=，12F PF ∆面积是9，得：18x y ⋅= ，2224x y c +=， 则：2222()24x y xy x y c -+=+=，即: 22224364,9a c c a +=-=,结合54c e a ==，得：54c e a ==，解得： 4,3,7a b a b ==+= 考点：双曲线的离心率及,,a b c 的关系和方程思想. 11．A 【解析】由()2,0F c 到渐近线b y x a =的距离为d b == ，即有2AF b = ，则23BF b = ，在2AF O ∆ 中， 22,,,b OA a OF c tan F OA a ==∠= 224tan 1b b a AOB a b a ⨯∠==⎛⎫- ⎪⎝⎭ ，化简可得222a b = ，即有222232c a b a =+= ，即有c e a ==，故选A. 【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将 e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e 的等式，从而求出e 的值. 12．D 【解析】 【分析】 对点A 特殊化，不妨设点A 为双曲线的右焦点，依题意得F （﹣5，0），A （5，0），|FN|﹣|NA|=8，|FM|=|NA|，所以|FN|﹣|FM|=8，从而能够得到结果． 【详解】 由于F 为双曲线的左焦点，在x 轴上F 点的右侧有一点A ， 以FA 为直径的圆与双曲线左、右两支在x 轴上方的交点分别为M ，N ，不妨设A为椭圆的右焦点，则F（﹣5，0），A（5，0），|FN|﹣|NA|=8，由双曲线的对称性得到|FM|=|NA|，∴|FN|﹣|FM|=8则=．故选：D．【点睛】本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意合理地选取特殊点．13．【解析】试题分析：先解不等式分别求出¬p和q，再由非p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．解：¬p：|4﹣x|＞6，x＞10，或x＜﹣2，A={x|x＞10，或x＜﹣2}q：x2﹣2x+1﹣a2≥0，x≥1+a，或x≤1﹣a，记B={x|x≥1+a，或x≤1﹣a}而¬p⇒q，∴A⊂B ，即，∴0＜a≤3．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法；绝对值不等式的解法．14．【解析】【分析】由题意得，点P到直线x=﹣4的距离和它到点（4，0）的距离相等，故点P的轨迹是以点（4，0）为焦点，以直线x=﹣4为准线的抛物线，p=8，从而写出抛物线的标准方程．【详解】点P 到点的距离比它到直线的距离少1，所以点P 到点的距离与到直线的距离相等，所以其轨迹为抛物线，焦点为，准线为，所以方程为故答案为：y2=16x．【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用．判断点P到直线x=﹣4的距离和它到点（4，0）的距离相等，是解题的关键．15．或【解析】【分析】讨论双曲线的焦点在x或y轴上，求得渐近线方程，可得或，由a，b，c的关系和离心率公式计算即可得到所求值．【详解】由题意得，当双曲线的焦点在x轴上时，此时，此时双曲线的离心率为，当双曲线的焦点在y轴上时，此时，此时双曲线的离心率为.故答案为：或；【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，注意讨论焦点的位置，考查渐近线方程与双曲线的方程的关系，考查运算能力，属于基础题．16．【解析】【分析】求出x 2在[1，2]的最小值，从而求出a 的范围即可．【详解】 命题“使”是真命题等价于时即恒成立.时, 所以. 故答案为：【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查全称命题的定义，是一道基础题．17．12【解析】取边BC 上的中点D ，由PB ＋PC ＋2PA ＝0，得PB ＋PC ＝2AP ，而由向量的中点公式知PB ＋PC ＝2PD ，则有AP ＝PD ，即P 为AD 的中点，则S △ABC ＝2S △PBC ，根据几何概率的概率公式知，所求的概率为12.18．（1）；（2）；【解析】试题分析：（1）由茎叶图可知中的样本有个，其频率为，由此可求出，因为有个，其频率为，则，根据频率之和为，可求出；（2）根据（1）可知高度在内株数为，高度在内的株数为，列出所有情况共种，符合的有种，即可求出．理解题意后列举出所有情况即可．试题解析：（1）由题意可知,样本容量,. （2）由题意可知, 高度在内株数为,记这株分别为,高度在内的株数为,记株分别为.抽取株的所有情况有种,分别为,,,,其中株的高度都不在内的情况有种分别为,所抽取的株中至少有一株高度在内的概率. 考点：1.频率直方图和茎叶图的应用；2.古典概型． 【易错点晴】本题主要考查的是频率直方图和茎叶图的应用和古典概型，属于容易题．解题时一定要注意频率直方图与茎叶图的结合解题，否则很容易出现错误．解古典概型的试题时一定要万分小心，特别是列举所有的情况时，要注意按顺序列举，做到不重不漏，防止出现错误．另外一定要注意步骤的规范性，一定要利用列举法，不要值写一个数值，从而产生不必要的失分． 19．（1）； （2）. 【解析】 【分析】 （1）根据题意，求出椭圆的焦点坐标，分析可得要求双曲线的焦点在x 轴上，且c=，设其方程为﹣=1，由离心率公式求出a 的值，由双曲线的几何性质计算可得b 的值，将a 、b 的值代入双曲线方程即可得答案；（2）设出A 、B 的坐标，由椭圆方程求出椭圆右焦点坐标，得到A 、B 所在直线方程，与椭圆方程联立，化为关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系可得A 、B 横坐标的和与积，代入弦长公式求弦AB 的长． 【详解】(1)由椭圆方程为，知长半轴长，短半轴长，焦距的一半，∴焦点是，，因此双曲线的焦点也是，，设双曲线方程为，由题设条件及双曲线的性质，得，解得，故所求双曲线的方程为.(2)设A、B 的坐标分别为、．由椭圆的方程知，，，∴．直线l 的方程为①将①代入，化简整理得，∴，，∴.【点睛】本题考查双曲线的标准方程，考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，是基础题．20．（1）且；（2）.【解析】【分析】（1）根据直线和双曲线的位置关系，即可求a的取值范围；（2）根据条件以AB为直径的圆过坐标原点，消去y，利用根与系数之间的关系即可求实数a 的值．【详解】(1)由消去y，得.依题意得即且.(2)设、则∵以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥OB，∴，即，即∴，∴，满足(1)所求的取值范围．故.【点睛】本题主要考查直线和圆锥曲线的位置关系的判断和应用，联立方程利用根与系数之间的关系是解决本题的关键．21．（1）见解析（2）19（3）购买台机器的同时应购买个易损零件．【解析】【分析】（1）当时，（元）；当时，（元），从而可得结果；(2)由柱状图分别求出各组的频率，结合“需更换的易损零件数不大于”的频率不小于，可得的最小值；(3)分别求出每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件时的平均费用，比较后，可得结论.【详解】（1）当时，（元）；当时，（元），所以．（2）由柱状图可知更换易损零件数的频率如表所示.0.20所以更换易损零件数不大于18的频率为：，更换易损零件数不大于19的频率为：，故最小值为．（3）若每台都购买个易损零件，则这台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为：（元）；若每台都够买个易损零件，则这台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为：（元）.因为，所以购买台机器的同时应购买个易损零件．【点睛】本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及分段函数的解析式，平均数公式的应用，属于中档题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.22．（1）22 1.4xy+=（2）最大值为334.【解析】试题分析：（1）由题可设出椭圆方程；)0(1:2222>>=+babyaxC，可推出,,a b c的关系。