第2讲《参数方程》本讲小结(含答案解析)
高中数学第二讲参数方程本讲知识归纳与达标验收讲义(含解析)新人教A版选修4_4
第二讲 参数方程考情分析通过对近几年高考试题的分析可见，高考对本讲知识的考查，主要是以参数方程为工具，考查直线与圆或与圆锥曲线的有关的问题．真题体验1．(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝mk(m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．解：(1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)； 消去参数m 得l 2的普通方程l 2：y ＝1k(x ＋2)．设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y ＝1k(x ＋2).消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)．所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)．(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)．联立⎩⎨⎧ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)． 故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110.代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4得ρ2＝5， 所以交点M 的极径为 5.2．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t 2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2，y ＝22s(s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．解：直线l 的普通方程为x －2y ＋8＝0. 因为点P 在曲线C 上，设P (2s 2,22s )， 从而点P 到直线l 的距离d ＝|2s 2－42s ＋8|12＋(－2)2＝2(s －2)2＋45. 当s ＝2时，d min ＝455.因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上点P 到直线l 的距离取到最小值455.3．(2016·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：椭圆C 的普通方程为x 2＋y 24＝1.将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t代入x 2＋y 24＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 24＝1，即7t 2＋16t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝－167.所以AB ＝|t 1－t 2|＝167.曲线的参数方程与普通方程的互化1.(1)代入消参法，是指由曲线的参数方程中的某一个(或两个)得到用x (或y ，或x ，y )表示参数的式子，把其代入参数方程中达到消参的目的．(2)整体消参法，是指通过恰当的变形把两式平方相加(或相减、相乘、相除)达到消参的目的，此时常用到一些桓等式，如sin 2θ＋cos 2θ＝1，sec 2θ＝tan 2θ＋1，⎝⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t 2＝4等．2．消参的注意事项(1)消参时，要特别注意参数的取值对变量x ，y 的影响，否则易扩大变量的取值范围． (2)参数方程中变量x ，y 就是参数的函数，可用求值域的方法确定变量x ，y 的取值范围．[例1] 直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)相切，则直线的倾斜角α⎝ ⎛⎭⎪⎫α>π2等于( )A.5π6 B.3π4 C.2π3D.π6[解析] 直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)化为普通方程为x tan α－y ＝0.圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)化为普通方程为(x －4)2＋y 2＝4，可得圆心坐标为(4,0)，半径r ＝2.∵直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)相切，∴|4tan α|1＋tan 2α＝2，又α>π2，解得tan α＝－33. 又α为直线的倾斜角，∴α＝5π6.[答案] A[例2] 参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤θ≤π2表示的曲线是什么？[解] 化为普通方程是x 2＋y 2＝25， ∵－π2≤θ≤π2，∴0≤x ≤5，－5≤y ≤5.∴表示以(0,0)为圆心，5为半径的右半圆.直线的参数方程及其应用1．直线参数方程的标准形式直线参数方程的一般形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt(t 为参数)，只有当b ≥0，a 2＋b 2＝1时，上述方程组才为直线的参数方程的标准形式，直线经过的起点坐标为M 0(x 0，y 0)，直线上另外两点M 1(x 1，y 1)，M 2(x 2，y 2)对应的参数分别为t 1，t 2，这时就有|M 0M 1|＝|t 1|，|M 0M 2|＝|t 2|，|M 1M 2|＝|t 1－t 2|.2．直线参数方程的应用直线的参数方程应用十分广泛，特别在计算与圆锥曲线的相交弦的弦长时，可以利用参数的几何意义和弦长公式求解，这样可以避免因运用直线和圆锥曲线的方程所组成的方程组求解导致的烦琐运算，从而简化解题过程，优化解题思路．3．应用直线的参数方程求弦长的注意事项 (1)直线的参数方程应为标准形式． (2)要注意直线倾斜角的取值范围． (3)设直线上两点对应的参数分别为t 1，t 2. (4)套公式|t 1－t 2|求弦长．[例3] 已知点P (3,2)平分抛物线y 2＝4x 的一条弦AB ，求弦AB 的长． [解] 设弦AB 所在的直线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)，代入方程y 2＝4x 整理得：t 2sin 2α＋4(sin α－cos α)t －8＝0.①因为点P (3,2)是弦AB 的中点，由参数t 的几何意义可知，方程①的两个实根t 1，t 2满足关系t 1＋t 2＝0.即sin α－cos α＝0. 因为0≤α＜π，所以α＝π4. 所以|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2 ＝4·8sin2π4＝8.曲线的参数方程及其应用圆心为(a ，b )，半径为r 的圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ(θ为参数)；长半轴为a ，短半轴为b ，中心在原点的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)，圆、椭圆的参数方程在计算最大值、最小值和取值范围等问题中有着广泛的应用，利用圆、椭圆的参数方程将上述问题转化为三角函数的最值问题，利用三角函数的变换公式可以简化计算，从而避免了繁杂的代数运算．[例4] (2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a . [解] (1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1. 当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2125，y ＝2425.从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2125，2425.(2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0， 故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17.当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917.由题设得a ＋917＝17，解得a ＝8；当a ＜－4时，d 的最大值为－a ＋117. 由题设得－a ＋117＝17，解得a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.(时间：90分钟，总分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知曲线的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝t (t 为参数)，则下列点中在曲线上的是( )A ．(1,1)B ．(2,2)C ．(0,0)D ．(1,2)解析：选C 当t ＝0时，x ＝0且y ＝0.即点(0,0)在曲线上． 2．直线x ＋y ＝0被圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)截得的弦长是( )A ．3B ．6C ．2 3D. 3解析：选B 圆的普通方程为x 2＋y 2＝9，半径为3，直线x ＋y ＝0过圆心，故所得弦长为6.3．当参数θ变化时，动点P (2cos θ，3sin θ)所确定的曲线必过( ) A ．点(2,3) B ．点(2,0)C ．点(1,3)D ．点⎝⎛⎭⎪⎫0，π2解析：选B 令x ＝2cos θ，y ＝3sin θ，则动点(x ，y )的轨迹是椭圆：x 24＋y 29＝1，∴曲线过点(2,0)．4．若曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ参数θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，则曲线C ( )A ．表示直线B ．表示线段C ．表示圆D ．表示半个圆解析：选D 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x2，sin θ＝12(y －1)，∴x 24＋14(y －1)2＝1，整理得x 2＋(y －1)2＝4，由θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2得0≤x 2≤1，－1≤12(y －1)≤1，∴0≤x ≤2，－1≤y ≤3， ∴曲线C 表示半个圆，故选D.5．将曲线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t ＋1t，y ＝4t －1t(t 为参数)化为普通方程为( )A ．x 2＋y 2＝16 B ．x 2＋y 2＝16(x ≥4) C ．x 2－y 2＝16D ．x 2－y 2＝16(x ≥4)解析：选D 在⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t ＋1t，y ＝4t －1t(t 为参数)中，分别将x 及y 平方作差，得x2－y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫4t ＋1t 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫4t －1t 2＝16t ＋8t ×1t ＋1t －⎝⎛⎭⎪⎫16t －8t ×1t＋1t＝16， 由x ＝4t ＋1t≥24t ×1t＝4，得x ≥4，故曲线的参数方程化成普通方程为x 2－y 2＝16(x ≥4)．6．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l 被圆C 截得的弦长为( )A.14 B ．214 C. 2D ．2 2解析：选D 由题意得，直线l 的普通方程为y ＝x －4，圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆心到直线l 的距离d ＝|2－0－4|2＝2，直线l 被圆C 截得的弦长为222－(2)2＝2 2.7．若⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)，则点(x ，y )的轨迹是( )A ．直线x ＋2y ＝0B ．以(2,0)为端点的射线C ．圆(x －1)2＋y 2＝1D ．以(2,0)和(0,1)为端点的线段解析：选D ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)，消去参数θ，得x ＝2(1－y )，即x ＋2y －2＝0， 由x ＝2cos 2θ得0≤x ≤2，∴点(x ，y )的轨迹是以(2,0)和(0,1)为端点的线段．8．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1，y ＝t ＋2(t 为参数)表示的直线与坐标轴的交点坐标为( )A ．(1,0)，(0，－2)B ．(－1,0)，(0,1)C ．(0，－1)，(1,0)D ．(－3,0)，(0,3)解析：选D 参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1，y ＝t ＋2(t 为参数)消去参数t ，得x －y ＋3＝0，令x ＝0，得y ＝3；令y ＝0，得x ＝－3. ∴直线与坐标轴的交点坐标为(0,3)，(－3,0)．9．已知圆的渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (cos φ＋φsin φ)，y ＝r (sin φ－φcos φ)(φ为参数)上有一个点的坐标为(3,0)，则渐开线对应的基圆的面积为( )A ．πB ．3πC ．6πD ．9π解析：选 D 把已知点(3,0)代入参数方程得⎩⎪⎨⎪⎧3＝r (cos φ＋φsin φ)，①0＝r (sin φ－φcos φ)，②由②得φ＝tan φ，所以φ＝0，代入①得，3＝r ·(cos 0＋0)，所以r ＝3，所以基圆的面积为9π.10．已知点(x ，y )满足曲线方程⎩⎨⎧x ＝4＋2cos θ，y ＝6＋2sin θ(θ为参数)，则y x的最小值是( )A.32B.32C. 3D ．1解析：选D 曲线方程⎩⎨⎧x ＝4＋2cos θ，y ＝6＋2sin θ(θ为参数)化为普通方程得(x －4)2＋(y－6)2＝2，∴曲线是以C (4,6)为圆心，以2为半径的圆，∴y x表示原点和圆上的点的连线的斜率，如图，当原点和圆上的点的连线是切线OA 时，yx取最小值， 设过原点的切线方程为y ＝kx ， 则圆心C (4,6)到切线y ＝kx 的距离d ＝|4k －6|k 2＋1＝2，即7k 2－24k ＋17＝0， 解得k ＝1或k ＝177，∴yx的最小值是1.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上) 11．双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan θ，y ＝2sec θ(θ为参数)的渐近线方程为______________．解析：双曲线的普通方程为y 24－x 2＝1，由y 24－x 2＝0，得y ＝±2x ，即为渐近线方程． 答案：y ＝±2x12．若直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－4t ，y ＝－2＋3t(t ∈R ，t 为参数)，则直线l 在y 轴上的截距是________．解析：令x ＝0，可得t ＝1，y ＝1，∴直线l 在y 轴上的截距是1. 答案：113．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝－4cos θ，则圆C 的圆心到直线l 的距离为________．解析：直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)化成普通方程为x －3y＋1＝0，ρ＝－4cos θ即ρ2＝－4ρcos θ，即x 2＋y 2＋4x ＝0，也即(x ＋2)2＋y 2＝4，表示以(－2,0)为圆心，2为半径的圆．∴圆C 的圆心到直线l 的距离为|－2＋1|1＋3＝12.答案：1214．已知在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t －2，y ＝3t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＋3＝0，设点P 是曲线C 上的一个动点，则P 到直线l 的距离d 的取值范围是________．解析：⎩⎨⎧x ＝t －2，y ＝3t(t 为参数)，消去t ，得直线l 的普通方程为3x －y ＋23＝0.由曲线C 的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＋3＝0得曲线C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝1.设点P (2＋cos θ，sin θ)(θ∈R)，则d ＝|3(2＋cos θ)－sin θ＋23|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＋432，因为θ∈R ，所以d 的取值范围是[23－1,23＋1]．答案：[23－1,23＋1]三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t(t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．解：(1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0，圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16.(2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5.所以实数a 的取值范围为[－25，25]．16．(本小题满分12分)已知直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋3t ，y ＝2－4t (t 为参数)，它与曲线(y －2)2－x 2＝1交于A ，B 两点．(1)求AB 的长；(2)求点P (－1,2)到线段AB 的中点C 的距离．解：(1)把直线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋3t ，y ＝2－4t(t 为参数)代入曲线方程并化简得7t 2＋6t－2＝0.设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－67，t 1t 2＝－27.|AB |＝32＋(－4)2|t 1－t 2|＝5(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝10237. (2)根据中点坐标的性质可得AB 的中点C 对应的参数为t 1＋t 22＝－37.所以点P (－1,2)到线段AB 的中点C 的距离为32＋(－4)2·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－37＝157.17．(本小题满分12分)设直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝4＋t sin α(t 为参数，α为倾斜角)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数)．(1)若直线l 经过圆C 的圆心，求直线l 的斜率；(2)若直线l 与圆C 交于两个不同的点，求直线l 的斜率的取值范围．解：(1)由已知得直线l 经过定点P (3,4)，而圆C 的圆心是C (1，－1)，所以当直线l 经过圆C 的圆心时，直线l 的斜率k ＝52.(2)由圆C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ得圆C 的圆心是C (1，－1)，半径为2，由直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝4＋t sin α得直线l 的普通方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y＋4－3k ＝0，因为直线l 与圆C 交于两个不同的点，所以圆心到直线的距离小于圆的半径，即|5－2k |k 2＋1<2，解得k >2120.所以直线l 的斜率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫2120，＋∞.18．(本小题满分14分)在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)直线l 的极坐标方程是2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝33，射线OM ：θ＝π3与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．解：(1)圆C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1，又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(2)设P (ρ1，θ1)，则由⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝2cos θ1，θ1＝π3，解得ρ1＝1，θ1＝π3.2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝33，即ρ(sin θ＋3cos θ)＝3 3. 设Q (ρ2，θ2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2(sin θ2＋3cos θ2)＝33，θ2＝π3，解得ρ2＝3，θ2＝π3.又θ1＝θ2，所以|PQ |＝|ρ2－ρ1|＝|3－1|＝2.模块综合检测(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10个小题，每个小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在极坐标系中，圆ρ＝sin θ的圆心的极坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2B ．(1,0)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 解析：选C 将圆的极坐标方程ρ＝sin θ化成直角坐标方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝14，可知圆心的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，π2.故选C. 2．在极坐标系中，过点⎝⎛⎭⎪⎫2，π2且与极轴平行的直线方程是( )A ．ρ＝2B ．θ＝π2C ．ρcos θ＝2D ．ρsin θ＝2解析：选D 极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π2的点的直角坐标为(0,2)，过该点且与极轴平行的直线的方程为y ＝2，其极坐标方程为ρsin θ＝2.3．在同一坐标系中，将曲线y ＝2sin x 变为曲线y ′＝sin 2x ′的伸缩变换是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2x ′，y ＝12y ′B.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝12yC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝2y ′D.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝2y解析：选B 设⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，则μy ＝sin 2λx ，即y ＝1μsin 2λx ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1μ＝2，2λ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧μ＝12，λ＝12，故选B.4．若曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋12t ，y ＝2＋32t (t 为参数)，则下列说法中正确的是( )A ．曲线C 是直线且过点(－1,2)B ．曲线C 是直线且斜率为33C ．曲线C 是圆且圆心为(－1,2)D ．曲线C 是圆且半径为|t |解析：选A 曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋12t ，y ＝2＋32t (t 为参数)，消去参数t 得曲线C 的普通方程为3x －y ＋2＋3＝0.该方程表示直线，且斜率是 3.把(－1,2)代入，成立，∴曲线C 是直线且过点(－1,2)，故选A.5．点M 的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫－2，－π6，它关于直线θ＝π2的对称点坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，11π6B.⎝⎛⎭⎪⎫－2，7π6C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6D.⎝⎛⎭⎪⎫－2，－11π6解析：选B 当ρ<0时，它的极角应在反向延长线上．如图，描点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－π6时，先找到角－π6的终边，又因为ρ＝－2<0，所以再在反向延长线上找到离极点2个单位长度的点即是点⎝⎛⎭⎪⎫－2，－π6.直线θ＝π2就是极角为π2的那些点的集合．故M ⎝⎛⎭⎪⎫－2，－π6关于直线θ＝π2的对称点为M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，但是选项没有这样的坐标．又因为M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6的坐标还可以写成M ′⎝⎛⎭⎪⎫－2，7π6，故选B.6.已知双曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3sec θ，y ＝4tan θ(θ为参数)，在下列直线的参数方程中，①⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3t ，y ＝4t ； ②⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝1－12t ； ③⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35t ，y ＝－45t ；④⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝1＋22t ； ⑤⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋3t ，y ＝－4－4t .(以上方程中t 为参数)，可以作为双曲线C 的渐近线方程的是( ) A ．①③⑤ B ．①⑤ C ．①②④D ．②④⑤解析：选A 由双曲线的参数方程知，在双曲线中对应的a ＝3，b ＝4且双曲线的焦点在x 轴上，因此其渐近线方程是y ＝±43x .检验所给直线的参数方程可知只有①③⑤适合条件．7．已知过曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3sin θ，y ＝3cos θ(θ为参数，0≤θ≤π)上一点P 与原点O 的连线PO的倾斜角为π2，则点P 的坐标是( )A ．(0,3) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－125，－125C ．(－3,0)D.⎝⎛⎭⎪⎫125，125 解析：选A 曲线的普通方程为x 2＋y 2＝9(0≤x ≤3)，∵点P 与原点O 的连线PO 的倾斜角为π2，∴点P 的横坐标为0，将x ＝0代入x 2＋y 2＝9得y ＝3(y ＝－3舍去)，∴P (0,3)．故选A.8．在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ＝π3，ρcos θ＋ρsin θ＝1围成的图形的面积为( )A.14B.3－34C.2－34D.13解析：选B 三条直线的直角坐标方程依次为y ＝0，y ＝3x ，x ＋y ＝1，如图．围成的图形为△OPQ ，可得S △OPQ ＝12|OQ |·|y P |＝12×1×33＋1＝3－34. 9．点(ρ，θ)满足3ρcos 2θ＋2ρsin 2θ＝6cos θ，则ρ2的最大值为( ) A.72 B ．4 C.92D ．5解析：选B 由3ρcos 2θ＋2ρsin 2θ＝6cos θ，两边乘ρ，化为3x 2＋2y 2＝6x ，得y 2＝3x －32x 2，代入ρ2＝x 2＋y 2，得x 2＋y 2＝－12x 2＋3x ＝－12(x 2－6x ＋9)＋92＝－12(x －3)2＋92.因为y 2＝3x －32x 2≥0，可得0≤x ≤2，故当x ＝2时，ρ2＝x 2＋y 2的最大值为4.10．过椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的右焦点F 作直线l ：交C 于M ，N 两点，|MF |＝m ，|NF |＝n ，则1m ＋1n的值为( )A.23B.43C.83D ．不能确定解析：选B 曲线C 为椭圆x 24＋y 23＝1，右焦点为F (1,0)，设l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos θ，y ＝t sin θ，(t为参数)，将其代入椭圆方程得(3＋sin 2θ)t 2＋6cos θt －9＝0，则t 1＋t 2＝－6cos θ3＋sin 2θ，t 1t 2＝－93＋sin 2θ， ∴1m ＋1n ＝1|t 1|＋1|t 2|＝|t 1－t 2||t 1t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2|t 1t 2|＝43. 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)11．在平面直角坐标系中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)的普通方程为________．解析：直接化简，两式相减消去参数t 得，x －y ＝1，整理得普通方程为x －y －1＝0. 答案：x －y －1＝012．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x ＋y －6＝0，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ＋2(参数θ∈[0,2π))，则圆心C 到直线l 的距离为________．解析：圆C的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ＋2(参数θ∈[0,2π))化成普通方程为x 2＋(y－2)2＝4，圆心为(0,2)，半径为2，∴圆心C 到直线l 的距离为|0＋2－6|2＝2 2.答案：2 213．在极坐标系中，曲线C 1 与C 2 的方程分别为 2ρcos 2θ＝sin θ与 ρcos θ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1 与C 2交点的直角坐标为________．解析：由2ρcos 2θ＝sin θ⇒2ρ2cos 2θ＝ρsin θ⇒2x 2＝y ，又由ρcos θ＝1⇒x ＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＝y ，x ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，故曲线C 1与C 2交点的直角坐标为(1,2)．答案：(1,2)14．在极坐标系中，直线C 1的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ 2.若以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系xOy ，则直线C 1的直角坐标方程为______；若曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝1＋sin t (t 为参数)，则C 1被C 2截得的弦长为________．解析：直线C 1的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2，即ρsin θ＋ρcos θ＝2，∴直线C 1的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.曲线C 2的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝1＋sin t(t 为参数)化成普通方程为x 2＋(y －1)2＝1，表示圆，圆心到直线C 1的距离d ＝12，∴C 1被C 2截得的弦长为21－12＝ 2. 答案：x ＋y －2＝02三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R)，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝1＋cos 2α(α为参数)，求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标．解：因为直线l 的极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R)，所以直线l 的普通方程为y ＝3x ，①又因为曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝1＋cos 2α(α为参数)，所以曲线C 的直角坐标方程为y ＝12x 2(x ∈[－2,2])，②联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝23，y ＝6.(舍去)故点P 的直角坐标为(0,0)．16．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．解：(1)由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4在直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a 上，可得a ＝ 2. 所以直线l 的极坐标方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2. 从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1， 所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1， 因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22<1，所以直线l 与圆C 相交． 17．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2cos θ，y ＝－4＋2sin θ(θ为参数)．(1)以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程； (2)已知A (－2,0)，B (0,2)，圆C 上任意一点M (x ，y )，求△ABM 面积的最大值．解：(1)因为圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2cos θ，y ＝－4＋2sin θ(θ为参数)，所以普通方程为(x －3)2＋(y ＋4)2＝4.由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，可得(ρcos θ－3)2＋(ρsin θ＋4)2＝4， 化简可得圆C 的极坐标方程为ρ2－6ρcos θ＋8ρsin θ＋21＝0. (2)由已知得直线AB 的方程为x －y ＋2＝0，点M (x ，y )到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离为d ＝|x －y ＋2|2＝|2cos θ－2sin θ＋9|2，又|AB |＝(－2)2＋(－2)2＝22， 所以△ABM 的面积S ＝12×|AB |×d＝|2cos θ－2sin θ＋9|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＋9， 所以△ABM 面积的最大值为9＋2 2.18．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝k (t －1)(t 为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 2：ρ2＋10ρcosθ－6ρsin θ＋33＝0.(1)求C 1的普通方程及C 2的直角坐标方程，并说明它们分别表示什么曲线； (2)若P ，Q 分别为C 1，C 2上的动点，且|PQ |的最小值为2，求k 的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝k (t －1)(t 为参数)消去t 可得C 1的普通方程为y ＝k (x －1)，它表示过定点(1,0)，斜率为k 的直线．由ρ2＋10ρcos θ－6ρsin θ＋33＝0可得C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＋10x －6y ＋33＝0，整理得(x ＋5)2＋(y －3)2＝1，它表示圆心为(－5,3)，半径为1的圆．(2)由题意知直线与圆相离．因为圆心(－5,3)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|－6k －3|1＋k 2＝|6k ＋3|1＋k 2，故|PQ |的最小值为|6k ＋3|1＋k 2－1，由|6k ＋3|1＋k 2－1＝2，得3k 2＋4k ＝0，解得k ＝0或k ＝－43.。
第二讲 参数方程归纳总结
课 内 巩 固
第二讲 本讲归纳总结
数学
人教A 人教A版·选修4-4 数学 选修4
知 识 结 构
代入方程， 【解析】(1)把 y＝4sinθ 代入方程， 解析】 把 ＝ ＝ ， 得到 4x2＋16sin2θ＝16， 于是 4x2＝16－16sin2θ＝16cos2θ， － ＝ ，
专 题 整 合
方 法 指 导
知 识 结 构
将直线 l 的参数方程代入曲线方程得到关于 t 的二次方程： 的二次方程：
专 题 整 合
方 法 指 导
At2＋Bt＋C＝0(A≠0)． ＋ ＝ ≠ ． B2－4AC . 则PQ＝ a2＋b2· A
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(φ 为参数 ． 为参数)．
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方 法 指 导
普通方程：x2＋y2＝r2. 普通方程： 为圆心， 的圆： ②以点(x0，y0)为圆心，半径为 r 的圆： 以点 为圆心
x＝x ＋rcosφ ＝ 0 y＝y0＋rsinφ ＝
(φ 为参数 ． 为参数)．
普通方程： － 普通方程：(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2. －
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方 法 指 导
(φ 为参数 ． 为参数)．
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知 识 结 构
3． 直线参数方程的一般形式及应用： 过定点 ． 直线参数方程的一般形式及应用： M(x0，y0)的直线 l： 的直线 ：
专 题 整 合
方 法 指 导
专 题 整 合
高中数学选修4-4(人教A版)第二讲参数方程2.1知识点总结含同步练习及答案
描述：例题：高中数学选修4-4(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第二讲 参数方程 一 曲线的参数方程一、知识清单参数方程二、知识讲解1.参数方程曲线的参数方程定义设平面上取定了一个直角坐标系，把坐标系，表示为第三个变量的函数如果对于的每一个值（），式所确定的点都是在一条曲线上；而这条曲线上的任一点，都可由的某个值通过式得到，则称式为该曲线的参数方程，其中变量称为参数．直线的参数方程直线的参数方程的一般形式是．圆的参数方程若圆心在点，半径为，则圆的参数方程为 ． 圆锥曲线的参数方程若椭圆的中心不在原点，而在点，相应的椭圆的参数方程为．抛物线的参数方程抛物线的参数方程为．双曲线的参数方程双曲线的参数方程为．摆线的参数方程一圆沿一直线作无滑动滚动式，圆周上的一定点的轨迹称为摆线．设半径为的圆在轴上滚动，开始时定点在原点处．取圆滚动时转过的角度（以弧度为单位）为参数．当圆滚过角时，圆心为，圆与轴的切点为，．所摆线的参数方程为．xOy x y t {a ≤t ≤b ．(2−3)x =f (t )y =g (t )t a ≤t ≤b (2−3)M (x ,y )M (x ,y )t (2−3)(2−3)t {t ∈R x =+lt x 0y =+mty 0(,)M 0x 0y 0R {0≤θ≤2πx =+R cos θx 0y =+R sin θy 0(,)M 0x 0y 0{0≤t ≤2πx =+a cos t x 0y =+b sin ty 0{x =2p t 2y =2pt{x =a sec θy =b tan θM a x M O t t B x A ∠ABM =t {x =a (t −sin t )y =a (1−cos t )下列方程中可以看成参数方程的是（ ）A． B． C．x −y −t =0+−2ax −9=0x 2y 2{=x 2t 2y =2t −1。
参数方程本章小结课件
x
t
(t为参数)，
y 1 2 2t
圆C是 x 12 y 12 2
变式：若直线l1
x y
t a
2
(t为参数)与圆C相交， 2t
求a的范围
已知：在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
x
t
(t为参数)，
y 1 2 2t
圆C是 x 12 y 12 2
4、圆上点P到直线l距离的最大值？
y 1 2 2t
圆C是 x 12 y 12 2
7、点M 0，-1在l上，且与圆相交于A、B两点， 求1 MA MB ； 2 MA + MB ； 3 1 + 1
MA MB
三、课后练习：
直线的极坐标方程为
sin
4
2 2
,圆C的参数方程为 xy
2 cos 2+2 sin
( 为参数）
求上述问题。
(t为参数)，
y 1 2 2t
圆C是 x 12 y 12 2
2、点Px, y是圆C上一点，求x+y的范围
已知：在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
x
t
(t为参数)，
y 1 2 2t
圆C是 x 12 y 12 2
3、求直线l与圆C的位置关系
已知：在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
圆C是 x 12 y 12 2
5、直线l与圆C相交于A、B两点，求 AB
一题多解
已知：在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
x
t
(t为参数)，
y 1 2 2t
圆C是 x 12 y 12 2
6、求PAB面积最大值
已知：在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
选修4-4 第2讲 参数方程
例1
(1)求直线xy＝ ＝2－＋1t－，t
(t
为参数)与曲线xy＝ ＝33csions
α， α
(α 为
参数)的交点个数．
[解] 将xy＝ ＝－ 2＋1－t，t 消去参数 t 得直线 x＋y－1＝0；
将xy＝ ＝33csions
α， α
消去参数 α，得圆 x2＋y2＝9.
又圆心(0,0)到直线 x＋y－1＝0 的距离 d＝ 22<3. 因此直线与圆相交，故直线与曲线有 2 个交点．
[解] (1)消去参数 t 得 l1 的普通方程 l1：y＝k(x－2)；消去参数 m 得 l2 的普通方程 l2：y＝1k(x＋2)．
y＝kx－2 设 P(x，y)，由题设得y＝1kx＋2 ，
消去 k 得 x2－y2＝4(y≠0)． 所以 C 的普通方程为 x2－y2＝4(y≠0)．
(2)C 的极坐标方程为 ρ2(cos2θ－sin2θ) ＝4(0<θ<2π，θ≠π)． 联立ρρ2ccoossθ2θ＋－sisninθ2θ－＝42，＝0 得 cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)． 故 tan θ＝－13，从而 cos2θ＝190，sin2θ＝110. 代入 ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4 得 ρ2＝5，所以交点 M 的极径为 5.
(t 为参数)
圆
x2＋y2＝r2
x＝rcos θ， y＝rsin θ
(θ 为参数)
椭圆
ax22＋by22＝1(a>b>0)
x＝acos φ， y＝bsin φ
(φ 为参数)
抛物线 y2＝2px(p>0)
x＝2pt2， y＝2pt
(t 为参数)
[知识感悟] 1．在参数方程与普通方程的互化中，必须使 x，y 的取值范围保 持一致．否则不等价． 2．直线的参数方程中，参数 t 的系数的平方和为 1 时，t 才有几 何意义且其几何意义为：|t|是直线上任一点 M(x，y)到 M0(x0，y0)的距 离，即|M0M|＝|t|.
高中数学第2讲参数方程讲末复习与小结课后提能训练含解析新人教A版选修4_
第二讲讲末复习与小结四、素质训练A．基础巩固1．（2017年邯郸校级期末）参数方程错误!（θ为参数）和极坐标方程ρ＝－6cos θ所表示的图形分别是（)A．圆和直线B．直线和直线C．椭圆和直线D．椭圆和圆【答案】D【解析】极坐标ρ＝－6cos θ,两边同乘以ρ，得ρ2＝－6ρcos θ,化为直角坐标方程为x2＋y2＝－6x，即（x＋3）2＋y2＝9，表示以C（－3，0）为圆心，半径为3的圆．参数方程错误!(θ为参数），利用同角三角函数关系消去θ,化为普通方程为错误!＋y2＝1，表示椭圆．故选D．2。
(2017年虎林校级月考)直线y＝x＋b与曲线错误!错误!有两个不同的交点，则实数b 的取值范围是（）A．错误!B．错误!C．（－错误!，错误!）D．(－错误!，－1］【答案】B【解析】曲线错误!错误!，化为x2＋y2＝错误!（x≥0），表示以原点为圆心,32为半径的右半圆．直线y＝x＋b与错误!错误!有两个不同的交点，过错误!时，b＝－错误!；直线与半圆相切时，b＝－错误!,所以实数b的取值范围是错误!。
故选B．3．在直角坐标系xOy中，以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设A，B点分别在曲线C1：错误!(θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，则｜AB|的最小值为（) A．1B．2C．3D．5【答案】C【解析】由C1：错误!得曲线C1：(x－3)2＋（y－4)2＝1，圆心为C1(3,4），半径为r1＝1；由C2：ρ＝1，得曲线C2:x2＋y2＝1，圆心为C2（0,0)，半径为r2＝1；所以两圆心距为｜C1C2|＝错误!＝5。
因为点A，B分别在曲线C1和曲线C2上，所以|AB|min＝｜C1C2｜－r1－r2＝5－1－1＝3。
4．已知抛物线C的参数方程为错误!（t为参数）．若斜率为1的直线经过抛物线C的焦点且与圆（x－4)2＋y2＝r2（r〉0）相切,则r＝______。
【答案】错误!【解析】抛物线C的参数方程错误!化为普通方程y2＝8x，焦点为F （2，0)．所以斜率为1且经过抛物线C的焦点的直线方程为y－0＝x－2,即x－y－2＝0.又直线与圆（x－4)2＋y2＝r2（r>0）相切,所以圆心到直线的距离d＝错误!＝错误!＝r，即r＝错误!。
人教版高数选修4-4第2讲：参数方程(学生版)-word文档资料
参数方程__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1.了解直线参数方程,曲线参数方程的条件及参数的意义2.会选择适当的参数写出曲线的参数方程3.掌握参数方程化为普通方程几种基本方法4.了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义5.利用圆锥曲线的参数方程来确定最值，解决有关点的轨迹问题一.参数方程的定义1.一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C 上任一点P 的坐标x 和y 都可以表示为某个变量t 的函数：()()x f t y g t =⎧⎨=⎩；反过来，对于t 的每个允许值，由函数式()()x f t y g t =⎧⎨=⎩所确定的点P (x ，y )都在曲线C 上，那么方程()()x f t y g t =⎧⎨=⎩叫作曲线C 的参数方程，变量t 是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程，参数方程可以转化为普通方程．2．关于参数的说明．参数方程中参数可以有物理意义、几何意义，也可以没有明显意义．3．曲线的参数方程可通过消去参数而得到普通方程；若知道变数x 、y 中的一个与参数t 的关系，可把它代入普通方程，求另一变数与参数t 的关系，则所得的()()x f t y g t =⎧⎨=⎩，就是参数方程．二.圆的参数方程点P 的横坐标x 、纵坐标y 都是t 的函数：cos sin x r ty r t =⎧⎨=⎩(t 为参数)．我们把这个方程叫作以圆心为原点，半径为r 的圆的参数方程． 圆的圆心为O 1(a ，b)，半径为r 的圆的参数方程为：cos sin x a r ty b r t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）. 三．椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)．规定θ的范围为θ∈[0，2π)．这是中心在原点O 、焦点在x 轴上的椭圆参数方程．四．双曲线x 2a 2－y2b 2＝1的参数方程为tan x asec y b ϕϕ=⎧⎨=⎩(φ为参数)．规定φ的范围为φ∈[0，2π)，且φ≠π2，φ≠3π2.这是中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线参数方程．五．曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数，t ∈R)其中p 为正的常数．这是焦点在x 轴正半轴上的抛物线参数方程．六.直线的参数方程1．过定点M 0(x 0，y 0)、倾斜角为α的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，这一形式称为直线参数方程的标准形式，直线上的动点M 到定点M 0的距离等于参数t 的绝对值．当t ＞0时，M 0M →的方向向上；当t ＜0时，M 0M →的方向向下；当点M 与点M 0重合时，t ＝0.2．若直线的参数方程为一般形式为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)， 可把它化为标准形式：00cos sin t x t x y y αα=+⎧⎨='+'⎩(t′为参数)．其中α是直线的倾斜角，tan α＝ba ，此时参数t′才有如前所说的几何意义．类型一.参数方程与普通方程的互化例1：指出参数方程3cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩⎝⎛⎭⎪⎫θ为参数，0＜θ＜π2表示什么曲线 练习1：指出参数方程315cos 215sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数，0≤θ＜2π)．表示什么曲线例2：设直线l 1的参数方程为1,13x t y t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数),直线l 2的方程为y =3x +4,则l 1与l 2间的距离为______.练习2：若直线112,:2x t y l kt =-⎧⎨=+⎩(t 为参数)与直线l 2:,12x s y s =⎧⎨=-⎩(s 为参数)垂直,则k =______.类型二.曲线参数方程例3：已知点P (x , y )在曲线2cos ,sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩(θ为参数)上,则y x 的取值范围为______.练习1：已知点A (1,0),P 是曲线2cos ,1cos 2x y θθ=⎧⎨=+⎩(θ∈R )上任一点,设P 到直线l :y =12-的距离为d ,则|PA|+d 的最小值是______.例4：已知θ为参数,则点(3,2)到方程cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩,的距离的最小值是______.练习1：已知圆C 的参数方程为cos 1,sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数),则点P (4,4)与圆C 上的点的最远距离是______.例5：已知双曲线方程为x 2－y 2＝1，M 为双曲线上任意一点，点M 到两条渐近线的距离分别为d 1和d 2，求证：d 1与d 2的乘积是常数．练习1：将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ，y ＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t (t 为参数，a ＞0，b ＞0)化为普通方程．类型三.直线参数方程例6：曲线C 1:1cos ,sin ,x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)上的点到曲线C 2:1,2112x t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)上的点的最短距离为______.练习1：直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3t ，y ＝－1＋t (t 为参数)上对应t ＝0，t ＝1两点间的距离是( )A ．1 B.10 C ．10 D ．2 2类型四.曲线参数方程的应用例7：在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数)．(1)已知在极坐标(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系；(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值． 练习1：已知曲线C 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12（e t ＋e －t）cos θ，y ＝12（e t－e－t）sin θ.当t 是非零常数，θ为参数时，C 是什么曲线？当θ为不等于k π2(k ∈Z)的常数，t 为参数时，C 是什么曲线？两曲线有何共同特征？类型五.极坐标与参数方程的综合应用例8： 在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t2y ＝22t(t 为参数)，则C 1与C 2交点的直角坐标为________．练习1：求圆3cos ρθ=被直线22,14x t y t=+⎧⎨=+⎩(t 是参数)截得的弦长.1.将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程是( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x≤3)D ．y ＝x ＋2(0≤y≤1)2.椭圆42cos 15sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数)的焦距为( )A.21B ．221C.29D ．2293.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝e t－e －t，y ＝e t ＋e －t(t 为参数)表示的曲线是( ) A ．双曲线 B ．双曲线的下支 C ．双曲线的上支D ．圆4.双曲线23tan sec x y θθ=+⎧⎨=⎩,(θφ为参数)的渐近线方程为5. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝4＋t (t 为参数)．以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，则直线l 和曲线C 的公共点有________个．6．若直线3x +4y +m =0与圆1cos ,2sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩(θ为参数),没有公共点,则实数m 的取值范围是______.7.在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB|＝________． 8.已知直线l :34120x y +-=与圆C :12cos ,22sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩(θ为参数),试判断它们的公共点的个数.9.求直线2,,x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)被双曲线x 2-y 2=1截得的弦长_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1.当参数θ变化时，动点P (2cos θ，3sin θ)所确定的曲线必过( ) A ．点(2，3)B ．点(2，0)C ．点(1，3)D ．点⎝⎛⎭⎪⎫0，π22．双曲线6sec x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数)的两焦点坐标是( )A ．(0，－43)，(0，43)B ．(－43，0)，(43，0)C ．(0，－3)，(0，3)D ．(－3，0)，(3，0)3．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α2＋cos α2，y ＝2＋sin α(α为参数)的普通方程为( )A ．y 2－x 2＝1B ．x 2－y 2＝1C ．y 2－x 2＝1(|x |≤2)D ．x 2－y 2＝1(|x |≤2)4.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)表示的曲线是( ) A ．直线 B ．圆 C ．线段 D ．射线5.设O 是椭圆3cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)的中心，P 是椭圆上对应于α＝π6的点，那么直线OP 的斜率为( )A.33B. 3C.332D.2396.将参数方程12cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)化为普通方程是____________.7.点P(x ，y)在椭圆4x 2＋y 2＝4上，则x ＋y 的最大值为______，最小值为________．8.在平面直角坐标系中，已知直线l 与曲线C 的参数方程分别为l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋s ，y ＝1－s (s 为参数)和C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋2，y ＝t 2(t 为参数)，若l 与C 相交于A 、B 两点，则|AB|＝________． 能力提升9.点(2，33)对应曲线4cos 6sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)中参数θ的值为( )A ．k π＋π6(k∈Z)B ．k π＋π3(k∈Z)C ．2k π＋π6(k∈Z)D ．2k π＋π3(k∈Z)10.椭圆x 29＋y24＝1的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的最小值为( )A.55B. 5C.655D ．011． 直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－12t ，y ＝－1＋12t(t 为参数)被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为________．12.在平面直角坐标系xOy 中，若l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________．13. 已知在平面直角坐标系xOy 中圆C 的参数方程为：3cos 13sin x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩(θ为参数)，以Ox 为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝0，则圆C 截直线所得弦长为________．14. 将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. (1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．。
高中数学参数方程知识点详解(讲义+过关检测+详细答案)
5．【答案】D
【解析】 x2 t, y2 1 t 1 x2, x2 y2 1,而t 0, 0 1 t 1,得0 y 2 .
4
4
6.【答案】D
【解析】圆
x=2 cos，
的圆心为原点，半径为
y =2 sin
2，
则圆心到直线 3x-4y-9=0 的距离为 9 ，小于半径 2，故直线与圆相交. 5
D．(1, 3)
2.已知某曲线的参数方程为 xy==ccooss2， +1，则该曲线是（
）
A．直线
B．圆
C．双曲线
3.若一直线的参数方程为
x
x0
1 2
t
（t 为参数），则此直线的倾斜Байду номын сангаас为（
y
y0
3t 2
A．30º
B. 60º
C．120º
4．若点
P(4，a)在曲线
x＝
t 2
(t 为参数)上，点 F(2，0)，则|PF|等于(
)
y＝2 t
A．4
B．5
C．6
D．抛物线 ） D．150º
D．7
5．与参数方程为
x
t
(t为参数) 等价的普通方程为（ ）
y 2 1 t
A． x2 y2 1 4
B． x2 y2 1(0 x 1) 4
C. x2 y2 1(0 y 2) 4
D． x2 y2 1(0 x 1, 0 y 2) 4
y2 b2
1（ a
0 , b 0 ）的参数方程为：
x a sec
y
b
tan
（
为参数，
[0, 2 ) 且
, 2
3 2
第2讲 参数方程
第2讲 参数方程一、知识梳理1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数，从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．2．直线、圆和圆锥曲线的参数方程名称普通方程参数方程直线 y －y 0＝k (x －x 0)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α (t 为参数)圆 (x －x 0)2＋(y －y 0)2＝R 2⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋R cos θy ＝y 0＋R sin θ (θ为参数且0≤θ<2π)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t y ＝b sin t (t 为参数且0≤t <2π)抛物线 y 2＝2px (p >0)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt2y ＝2pt(t 为参数) 1．直线参数方程的三个应用及一个易错点 (1)三个应用：已知直线l 经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α，点M (x ，y )为l 上任意一点，则直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．①若M 1，M 2是直线l 上的两个点，对应的参数分别为t 1，t 2，则|M 0M 1→| |M 0M 2→|＝|t 1t 2|，|M 1M 2→|＝|t 2－t 1|＝（t 2＋t 1）2－4t 1t 2；②若线段M 1M 2的中点为M 3，点M 1，M 2，M 3对应的参数分别为t 1，t 2，t 3，则t 3＝t 1＋t 22；③若直线l 上的线段M 1M 2的中点为M 0(x 0，y 0)，则t 1＋t 2＝0，t 1t 2<0.(2)一个易错点：在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正余弦值．否则参数不具备该几何含义．2．掌握圆的参数方程的两种应用(1)解决与圆上的动点有关的距离取值范围以及最大值和最小值问题，通常可以转化为点与圆、直线与圆的位置关系．(2)求距离的问题，通过设圆的参数方程，就转化为求三角函数的值域问题． 二、教材衍化1．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上解析：选B.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x ＋1，sin θ＝y －2.所以(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.曲线是以(－1，2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1，2)，在直线y ＝－2x 上．2．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________．解析：直线l 的普通方程为x －y －a ＝0， 椭圆C 的普通方程为x 29＋y 24＝1，所以椭圆C 的右顶点坐标为(3，0)，若直线l 过点(3，0)，则3－a ＝0， 所以a ＝3. 答案：3一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）中的x ，y 都是参数t 的函数．( )(2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α⎝⎛⎭⎫α≠π2的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．参数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M 的数量．( )(3)方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)表示以点(0，1)为圆心，以2为半径的圆．( )(4)已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t(t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O为原点，则直线OM 的斜率为 3.( )答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)× 二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)不注意互化的等价性致误； (2)直线参数方程中参数t 的几何意义不清致误； (3)交点坐标计算出错致错．1．若曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)，则曲线C 上的点的轨迹是( ) A ．直线x ＋2y －2＝0 B ．以(2，0)为端点的射线 C ．圆(x －1)2＋y 2＝1D ．以(2，0)和(0，1)为端点的线段解析：选D.将曲线C 的参数方程化为普通方程得x ＋2y －2＝0(0≤x ≤2，0≤y ≤1)．故选D.2．已知直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)上两点A ，B 对应的参数值是t 1，t 2，则|AB |＝( )A ．|t 1＋t 2|B ．|t 1－t 2|C.a 2＋b 2|t 1－t 2| D ．|t 1－t 2|a 2＋b 2解析：选 C.依题意，A (x 0＋at 1，y 0＋bt 1)，B (x 0＋at 2，y 0＋bt 2)，则|AB |＝[x 0＋at 1－（x 0＋at 2）]2＋[y 0＋bt 1－（y 0＋bt 2）]2＝a 2＋b 2|t 1－t 2|.故选C.3．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t 2，y ＝22t(t 为参数)，则C 1与C 2交点的直角坐标为________．解析：由ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，得x ＋y ＝－2 ①.又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝22t ，消去t ，得y 2＝8x ②. 联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－4，即交点坐标为(2，－4)．答案：(2，－4)参数方程与普通方程的互化(自主练透) 1．将下列参数方程化为普通方程．(1)⎩⎨⎧x ＝1t，y ＝1tt 2－1(t 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝－1＋cos 2θ(θ为参数)． 解：(1)由t 2－1≥0⇒t ≥1或t ≤－1⇒0<x ≤1或－1≤x <0.由⎩⎨⎧x ＝1t①，y ＝1tt 2－1②，①式代入②式得x 2＋y 2＝1.其中⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤1，0≤y <1或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x <0，－1<y ≤0.(2)由x ＝2＋sin 2θ，0≤sin 2θ≤1 ⇒2≤2＋sin 2θ≤3⇒2≤x ≤3，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝－1＋cos 2θ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝sin 2θ，y ＝－1＋1－2sin 2θ⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝sin 2θ，y ＝－2sin 2θ⇒2x ＋y －4＝0(2≤x ≤3)． 2．已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线．解：曲线C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，曲线C 2：x 264＋y 29＝1，所以曲线C 1是以(－4，3)为圆心，1为半径的圆；曲线C 2是中心为坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．将参数方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等．对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin 2θ＋cos 2θ＝1等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．参数方程的应用(师生共研)(2020·安徽宣城模拟)在直角坐标系xOy 中，圆O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝4＋t (t 为参数)．(1)若直线l 与圆O 相交于A ，B 两点，求弦长|AB |，若点P (2，4)，求|P A |·|PB |的值； (2)以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋23sin θ，圆O 和圆C 的交点为P ，Q ，求弦PQ 所在直线的直角坐标方程．【解】 (1)由直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝4＋t (t 为参数)，消去参数t 可得x －y ＋2＝0，即直线l 的普通方程为x －y ＋2＝0.圆O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，根据sin 2θ＋cos 2θ＝1消去参数θ，可得x 2＋y 2＝4，所以圆心O 到直线l 的距离d ＝22＝2，故弦长|AB |＝2r 2－d 2＝2 2.把直线l 的参数方程标准化可得⎩⎨⎧x ＝2＋22t ，y ＝4＋22t ，将其代入圆O 的方程x 2＋y 2＝4得t 2＋62t ＋16＝0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2， 所以|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝16.(2)圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋23sin θ，利用ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，可得圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝2x ＋23y .因为圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4，所以弦PQ 所在直线的直角坐标方程为4＝2x ＋23y ，即x ＋3y －2＝0.(1)解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上与动点有关的问题，如最值、范围等．(2)根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论：过定点M 0的直线与圆锥曲线相交，交点为M 1，M 2，所对应的参数分别为t 1，t 2. ①弦长l ＝|t 1－t 2|；②弦M 1M 2的中点⇒t 1＋t 2＝0； ③|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|.1．(2020·日照模拟)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3，直线l 过点P (0，－3)且倾斜角为π3.(1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程；(2)设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|P A |＋|PB |的值． 解：(1)曲线C ：ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3⇒ρ＝4cos θcos π3＋4sin θsin π3， 所以ρ2＝2ρcos θ＋23ρsin θ， 即x 2＋y 2＝2x ＋23y ，得曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝－3＋32t(t 为参数)．(2)将⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝－3＋32t(t 为参数)代入曲线C 的直角坐标方程，得⎝⎛⎭⎫12t －12＋⎝⎛⎭⎫32t －232＝4，整理得t 2－7t ＋9＝0，设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝7，t 1t 2＝9，所以t 1>0，t 2>0，所以|P A |＋|PB |＝t 1＋t 2＝7.2．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a . 解：(1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝－2125，y ＝2425.从而C 与l 的交点坐标为(3，0)，⎝⎛⎭⎫－2125，2425. (2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17＝|5sin （θ＋φ）－a －4|17，φ满足tan φ＝34.当－a －4≤0，即a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917 .由题设得a ＋917＝17，所以a ＝8；当－a －4>0，即a <－4时，d 的最大值为－a ＋117，由题设得－a ＋117＝17，所以a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.参数方程与极坐标方程的综合应用(师生共研)(2020·淄博模拟)在平面直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋t cos α，y ＝2＋t sin α(α为参数)．在以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝21＋3cos 2θ，直线l 与曲线C 相交于不同的两点A ，B .(1)若α＝π6，求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若|OP |为|P A |与|PB |的等比中项，其中P (3，2)，求直线l 的斜率． 【解】 (1)因为α＝π6，所以直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋32t ，y ＝2＋12t (t 为参数)．消t 可得直线l 的普通方程为x －3y ＋3＝0. 因为曲线C 的极坐标方程ρ＝21＋3cos 2θ可化为ρ2(1＋3cos 2θ)＝4，所以曲线C 的直角坐标方程为4x 2＋y 2＝4. (2)设直线l 上两点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝2＋t sin α代入曲线C 的直角坐标方程4x 2＋y 2＝4可得4(3＋t cos α)2＋(2＋t sin α)2＝4，化简得(4cos 2α＋sin 2α)t 2＋(83cos α＋4sin α)t ＋12＝0， 因为|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝124cos 2α＋sin 2α，|OP |2＝7， 所以124cos 2α＋sin 2α＝7，解得tan 2α＝165. 因为Δ＝(83cos α＋4sin α)2－48(4cos 2α＋sin 2α)>0 即2sin α(23cos α－sin α)>0，可知tan α>0， 解得tan α＝455，所以直线l 的斜率为455.(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．1．(2020·河南省第五次测评)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝5cos α，y ＝2＋5sin α(α为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2：ρ2＝4ρcos θ－3.(1)求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)若曲线C 1与C 2交于A ，B 两点，A ，B 的中点为M ，点P (0，－1)，求|PM |·|AB |的值． 解：(1)曲线C 1的普通方程为x 2＋(y －2)2＝5.由ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，得曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＋3＝0.(2)将两圆的方程x 2＋(y －2)2＝5与x 2＋y 2－4x ＋3＝0作差得直线AB 的方程为x －y －1＝0.点P (0，－1)在直线AB 上，设直线AB 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝22t ，y ＝－1＋22t (t 为参数)，代入x 2＋y 2－4x ＋3＝0化简得t 2－32t ＋4＝0，所以t 1＋t 2＝32，t 1t 2＝4. 因为点M 对应的参数为t 1＋t 22＝322，所以|PM |·|AB |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22·|t 1－t 2|＝322×（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝322×18－4×4＝3. 2．(2019·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t 2，y ＝4t 1＋t 2(t 为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcosθ＋3ρsin θ＋11＝0.(1)求C 和l 的直角坐标方程； (2)求C 上的点到l 距离的最小值． 解：(1)因为－1＜1－t 21＋t 2≤1，且x 2＋⎝⎛⎭⎫y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＋4t 2（1＋t 2）2＝1， 所以C 的直角坐标方程为x 2＋y 24＝1(x ≠－1)． l 的直角坐标方程为2x ＋3y ＋11＝0.(2)由(1)可设C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝2sin α(α为参数，－π＜α＜π)．C 上的点到l 的距离为|2cos α＋23sin α＋11|7＝4cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＋117.当α＝－2π3时，4cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＋11取得最小值7，故C 上的点到l 距离的最小值为7.[基础题组练]1．(2020·安徽巢湖模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝－12t ，y ＝3＋32t (t 为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin(θ＋π3)． (1)求曲线C 的直角坐标方程．(2)设点M 的直角坐标为(0，3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |＋|MB |的值． 解：(1)把ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3，展开得ρ＝2sin θ＋2 3 cos θ，两边同乘ρ得ρ2＝2ρsin θ＋23ρcos θ ①.将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 代入①， 即得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x －2y ＝0 ②.(2)将⎩⎨⎧x ＝－12t ，y ＝3＋32t代入②式，得t 2＋33t ＋3＝0，点M 的直角坐标为(0，3)．设这个方程的两个实数根分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－33，t 1·t 2＝3， 所以t 1<0，t 2<0.则由参数t 的几何意义即得|MA |＋|MB |＝|t 1＋t 2|＝3 3.2．(2020·太原模拟)在直角坐标系中，圆C 的参数方程为：⎩⎨⎧x ＝1＋2cos α，y ＝3＋2sin α(α为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且长度单位相同．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos φ，y ＝t sin φ(t 为参数)被圆C 截得的弦长为23，求直线l 的倾斜角．解：(1)圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos α，y ＝3＋2sin α，消去参数α得(x －1)2＋(y －3)2＝4，即x 2＋y 2－2x －23y ＝0，因为ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ.所以ρ2－2ρcos θ－23ρsin θ＝0，ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3. (2)因为直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos φ，y ＝t sin φ的极坐标方程为θ＝φ，当θ＝φ时ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫φ－π3＝2 3. 即cos ⎝⎛⎭⎫φ－π3＝32， 所以φ－π3＝π6或φ－π3＝－π6.所以φ＝π2或φ＝π6，所以直线l 的倾斜角为π6或π2.3．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t －1，y ＝－4t －2(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝21－cos θ.(1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)设M 1是曲线C 1上的点，M 2是曲线C 2上的点，求|M 1M 2|的最小值． 解：(1)因为ρ＝21－cos θ，所以ρ－ρcos θ＝2， 即ρ＝ρcos θ＋2.因为x ＝ρcos θ，ρ2＝x 2＋y 2，所以x 2＋y 2＝(x ＋2)2，化简得y 2－4x －4＝0. 所以曲线C 2的直角坐标方程为y 2－4x －4＝0.(2)因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t －1，y ＝－4t －2，所以2x ＋y ＋4＝0.所以曲线C 1的普通方程为2x ＋y ＋4＝0.因为M 1是曲线C 1上的点，M 2是曲线C 2上的点，所以|M 1M 2|的最小值等于点M 2到直线2x ＋y ＋4＝0的距离的最小值． 不妨设M 2(r 2－1，2r )，点M 2到直线2x ＋y ＋4＝0的距离为d ，则d ＝2|r 2＋r ＋1|5＝2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫r ＋122＋345≥325＝3510， 当且仅当r ＝－12时取等号．所以|M 1M 2|的最小值为3510.4．在直角坐标系中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝2sin α(α为参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6. (1)写出曲线C 的极坐标方程以及曲线D 的直角坐标方程；(2)若过点A ⎝⎛⎭⎫22，π4(极坐标)且倾斜角为π3的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，弦MN 的中点为P ，求|AP ||AM |·|AN |的值．解：(1)由题意可得曲线C 的普通方程为x 29＋y 24＝1，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入曲线C 的普通方程可得，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ9＋ρ2sin 2θ4＝1.因为曲线D 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6， 所以ρ2＝4ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝4ρ⎝⎛⎭⎫32sin θ－12cos θ， 又ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以x 2＋y 2＝23y －2x ，所以曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ9＋ρ2sin 2θ4＝1；曲线D 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x－23y ＝0.(2)点A ⎝⎛⎭⎫22，π4，则⎩⎨⎧x ＝22cos π4＝2，y ＝22sin π4＝2，所以A (2，2)．因为直线l 过点A (2，2)且倾斜角为π3，所以直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t cos π3，y ＝2＋t sinπ3(t 为参数)，代入x 29＋y 24＝1中可得，314t 2＋(8＋183)t ＋16＝0，设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，由一元二次方程根与系数的关系得，t 1＋t 2＝－32＋72331，t 1t 2＝6431，所以|AP ||AM |·|AN |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22|t 1t 2|＝4＋9316.[综合题组练]1．(2020·广州模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝2＋7cos α，y ＝7sin α(α为参数)．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8cos θ，直线l 的极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R )．(1)求曲线C 1的极坐标方程与直线l 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 1，C 2在第一象限分别交于A ，B 两点，P 为曲线C 2上的动点，求△P AB 面积的最大值．解：(1)依题意得，曲线C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝7，曲线C 1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－3＝0.直线l 的直角坐标方程为y ＝3x .(2)曲线C 2的直角坐标方程为(x －4)2＋y 2＝16， 设A ⎝⎛⎭⎫ρ1，π3，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，π3， 则ρ21－4ρ1cos π3－3＝0，即ρ21－2ρ1－3＝0， 得ρ1＝3或ρ1＝－1(舍)，又ρ2＝8cos π3＝4，则|AB |＝|ρ2－ρ1|＝1.C 2(4，0)到l 的距离d ＝|43|4＝23，以AB 为底边的△P AB 的高的最大值为4＋23，则△P AB 的面积的最大值为12×1×(4＋23)＝2＋ 3.2．(2020·南昌模拟)在直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＝2，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝2P cos θ(P >0)．(1)求直线l 过点(－2，－4)的参数方程；(2)已知直线l 与曲线C 交于N ，Q 两点，M (－2，－4)，且|NQ |2＝|MN |·|MQ |，求实数P 的值．解：(1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入直线l 的极坐标方程，得直线l 的直角坐标方程为x －y －2＝0.所以直线l 过点(－2，－4)的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t (t 为参数)．(2)由ρsin 2θ＝2P cos θ(P >0)， 得(ρsin θ)2＝2Pρcos θ(P >0)，将ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 代入，得y 2＝2Px (P >0)．将直线l 的参数方程与曲线C 的直角坐标方程联立，得t 2－22(4＋P )t ＋8(4＋P )＝0，(*)Δ＝8P (4＋P )>0.设点N ，Q 分别对应参数t 1，t 2，恰好为上述方程的根， 则|MN |＝t 1，|MQ |＝t 2，|NQ |＝|t 1－t 2|.由题设得(t 1－t 2)2＝|t 1t 2|，即(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝|t 1t 2|. 由(*)得t 1＋t 2＝22(4＋P )，t 1t 2＝8(4＋P )>0， 则有(4＋P )2－5(4＋P )＝0，得P ＝1或P ＝－4.因为P >0，所以P ＝1.3．(2020·栖霞模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝2sin t (t 为参数，a >0)，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－4 2. (1)设P 是曲线C 上的一个动点，当a ＝23时，求点P 到直线l 的距离的最小值； (2)若曲线C 上所有的点都在直线l 的右下方，求实数a 的取值范围．解：(1)由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－42，得到ρ(cos θ－sin θ)＝－8， 因为ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ， 所以直线l 的普通方程为x －y ＋8＝0.设P (23cos t ，2sin t )，则点P 到直线l 的距离d ＝|23cos t －2sin t ＋8|2＝|4sin ⎝⎛⎭⎫t －π3－8|2＝22|sin ⎝⎛⎭⎫t －π3－2|， 当sin ⎝⎛⎭⎫t －π3＝1时，d min ＝22， 所以点P 到直线l 的距离的最小值为2 2.(2)设曲线C 上任意点P (a cos t ，2sin t )，由于曲线C 上所有的点都在直线l 的右下方， 所以a cos t －2sin t ＋8>0对任意t ∈R 恒成立． a 2＋4sin(t －φ)<8，其中cos φ＝2a 2＋4，sin φ＝a a 2＋4.从而a 2＋4<8.由于a >0，解得0<a <215. 即a ∈(0，215)．4．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－5＋2cos t ，y ＝3＋2sin t(t 为参数)，在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ＋π4)＝－ 2. (1)求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点P 是圆C 上任意一点，求A ，B 两点的极坐标和△P AB 面积的最小值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5＋2cos t ，y ＝3＋2sin t ，消去参数t ，得(x ＋5)2＋(y －3)2＝2，所以圆C 的普通方程为(x ＋5)2＋(y －3)2＝2. 由ρcos (θ＋π4)＝－2，得ρcos θ－ρsin θ＝－2，所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0.(2)直线l 与x 轴，y 轴的交点分别为A (－2，0)，B (0，2)，化为极坐标为A (2，π)，B ⎝⎛⎭⎫2，π2， 设点P 的坐标为(－5＋2cos t ，3＋2sin t )，则点P 到直线l 的距离为d ＝|－5＋2cos t －3－2sin t ＋2|2＝|－6＋2cos ⎝⎛⎭⎫t ＋π4|2.所以d min ＝42＝22，又|AB |＝2 2. 所以△P AB 面积的最小值是S ＝12×22×22＝4.。
第2讲 参数方程、极坐标表示的平面图形的面积
参数方程表示的 平面图形的面积
极坐标表示的平 面图形的面积
例7 = 求由 r s= inθ , r cosθ 所围图形 A 的面积.
∫ ∫ = 解 S( A)
1 2
π
4 sin2 θ dθ
+
1
0
2
π
2 π
cos2
θ
dθ
4
y
A
O
x
∫ ∫ 1
2
π 4
1−
cos 2θ
dθ
+
1
0
2
2
π
2 π
4
1
+
cos 2θ
a(1 − cos t)
t ∈[0, 2π] 与 x 轴
所围图形的面积.
y
2a
a
A
O
2πa x
∫ 解
S
(
A)
=
2π
|
a(1
−
cos
t
)[a(t
−
sin
t
)]′
|
dt
0
∫ =
a2
2π
(1
−
cos
t
2
) dt
=
3
π
a
2
.
0
数学分析 第十章 定积分的应用
高等教育出版社
§1 平面图形的面积
直角坐标方程表示的平面图形 的面积
O
2a x
= 3 πa2. 2
数学分析 第十章 定积分的应用
高等教育出版社
§1 平面图形的面积
直角坐标方程表示的平面图形 的面积
参数方程表示的 平面图形的面积
极坐标表示的平 面图形的面积
高考复习配套讲义：选修4-4 第2讲 参数方程
第2讲 参数方程[最新考纲]1．了解参数方程，了解参数的意义．2．能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．3．掌握直线的参数方程及参数的几何意义，能用直线的参数方程解决简单的相关问题.知 识 梳 理1．曲线的参数方程在平面直角坐标系xOy 中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变量t 的函数⎩⎨⎧x ＝f (t )，y ＝g (t ).并且对于t 的每一个允许值上式所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则称上式为该曲线的参数方程，其中变量t 称为参数． 2．一些常见曲线的参数方程(1)过点P 0(x 0，y 0)，且倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．(2)圆的方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋r cos θy ＝b ＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos θy ＝b sin θ(θ为参数)．(4)抛物线方程y 2＝2px (p ＞0)的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2pt 2y ＝2pt (t 为参数)．诊 断 自 测1．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎨⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋t (t 为参数)所表示的图形分别是________．①直线、直线；②直线、圆；③圆、圆；④圆、直线．解析 ∵ρcos θ＝x ，∴cos θ＝x ρ代入到ρ＝cos θ，得ρ＝xρ，∴ρ2＝x ，∴x 2＋y 2＝x 表示圆．又∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋t ，相加得x ＋y ＝1，表示直线．答案 ④2．若直线⎩⎨⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t (t 为实数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝________.解析 参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t ，所表示的直线方程为3x ＋2y ＝7，由此直线与直线4x ＋ky ＝1垂直可得－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k ＝－1，解得k ＝－6.答案 －63．(2012·北京卷)直线⎩⎨⎧ x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的交点个数为________．解析 直线方程可化为x ＋y －1＝0，曲线方程可化为x 2＋y 2＝9，圆心(0,0)到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝12＝22＜3.∴直线与圆相交有两个交点． 答案 24．已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋2t (t 为参数)上到点A (1,2)的距离为42的点的坐标为________．解析 设点Q (x ，y )为直线上的点， 则|QA |＝(1－1＋2t )2＋(2－2－2t )2＝(2t )2＋(－2t )2＝42，解之得，t ＝±22，所以Q (－3,6)或Q (5，－2)． 答案 (－3,6)和(5，－2)5．(2013·广东卷)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为________．解析 由ρ＝2cos θ知，ρ2＝2ρcos θ 所以x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1， 故其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．答案 ⎩⎨⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)考点一 参数方程与普通方程的互化【例1】 把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线；(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝2＋32t(t 为参数)；(2)⎩⎨⎧x ＝1＋t 2，y ＝2＋t(t 为参数)； (3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝1t －t(t 为参数)．解 (1)由x ＝1＋12t 得t ＝2x －2. ∴y ＝2＋32(2x －2)．∴3x －y ＋2－3＝0，此方程表示直线． (2)由y ＝2＋t 得t ＝y －2，∴x ＝1＋(y －2)2. 即(y －2)2＝x －1，此方程表示抛物线． (3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t y ＝1t －t①②∴①2－②2得x 2－y 2＝4，此方程表示双曲线．规律方法 参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，不要忘了参数的范围．【训练1】 将下列参数方程化为普通方程． (1)⎩⎨⎧x ＝1－sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ(θ为参数)； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12(e t ＋e －t)，y ＝12(e t－e－t)(t 为参数)．解 (1)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ)， 得y 2＝2－x .又x ＝1－sin 2θ∈[0,2]， 得所求的普通方程为y 2＝2－x ，x ∈[0,2]． (2)由参数方程得e t ＝x ＋y ，e －t ＝x －y ， ∴(x ＋y )(x －y )＝1，即x 2－y 2＝1.考点二 直线与圆参数方程的应用【例2】 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t(t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B ，若点P 的坐标为(3，5)，求|P A |＋|PB |. 解 (1)由ρ＝25sin θ，得ρ2＝25ρsin θ. ∴x 2＋y 2＝25y ，即x 2＋(y －5)2＝5. (2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程． 得⎝⎛⎭⎪⎫3－22t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝5，即t 2－32t ＋4＝0.由于Δ＝(32)2－4×4＝2＞0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根，所以⎩⎨⎧t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4.又直线l 过点P (3，5)，故由上式及t 的几何意义得|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2.规律方法 (1)过定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，t 的几何意义是直线上的点P 到点P 0(x 0，y 0)的数量，即t ＝|PP 0|时为距离．使用该式时直线上任意两点P 1、P 2对应的参数分别为t 1、t 2，则|P 1P 2|＝|t 1－t 2|，P 1P 2的中点对应的参数为12(t 1＋t 2)．(2)对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题．【训练2】 已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝4－2t (参数t ∈R )，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ＋2，y ＝2sin θ(参数θ∈[0,2π])，求直线l 被圆C 所截得的弦长．解 由⎩⎨⎧ x ＝1＋t ，y ＝4－2t消参数后得普通方程为2x ＋y －6＝0，由⎩⎨⎧x ＝2cos θ＋2，y ＝2sin θ消参数后得普通方程为(x －2)2＋y 2＝4，显然圆心坐标为(2,0)，半径为2.由于圆心到直线2x ＋y －6＝0的距离为d ＝|2×2＋0－6|22＋1＝255，所以所求弦长为222－⎝⎛⎭⎪⎫2552＝855. 考点三 极坐标、参数方程的综合应用【例3】 已知P 为半圆C ：⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A 的坐标为(1,0)，O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧AP 的长度均为π3.(1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标； (2)求直线AM 的参数方程．解 (1)由已知，点M 的极角为π3，且点M 的极径等于π3，故点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π3.(2)点M 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，3π6，A (1,0)． 故直线AM 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－1t ，y ＝3π6t(t 为参数)．规律方法 涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．【训练3】 (2013·福建卷)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A 的极坐标为(2，π4)，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ－π4)＝a ，且点A 在直线l 上． (1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．解 (1)由点A (2，π4)在直线ρcos(θ－π4)＝a 上，可得a ＝ 2. 所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2， 从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1， 因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22<1， 所以直线l 与圆C 相交.转化思想在解题中的应用【典例】 已知圆锥曲线⎩⎨⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ(θ是参数)和定点A (0, 3)，F 1、F 2是圆锥曲线的左、右焦点．(1)求经过点F 1且垂直于直线AF 2的直线l 的参数方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF 2的极坐标方程．[审题视点] (1)先将圆锥曲线参数方程化为普通方程，求出F 1的坐标，然后求出直线的倾斜角度数，再利用公式就能写出直线l 的参数方程．(2)直线AF 2是已知确定的直线，利用求极坐标方程的一般方法求解．解 (1)圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ化为普通方程x 24＋y 23＝1，所以F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则直线AF 2的斜率k ＝－3，于是经过点F 1且垂直于直线AF 2的直线l 的斜率k ′＝33，直线l 的倾斜角是30°，所以直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos 30°y ＝t sin 30°(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32t －1，y ＝12t(t 为参数)．(2)直线AF 2的斜率k ＝－3，倾斜角是120°，设P (ρ，θ)是直线AF 2上任一点，则ρsin 60°＝1sin (120°－θ)，ρsin(120°－θ)＝sin 60°，则ρsin θ＋3ρcos θ＝ 3.[反思感悟] (1)本题考查了极坐标方程和参数方程的求法及应用．重点考查了转化与化归能力．(2)当用极坐标或参数方程研究问题不很熟练时，可以转化成我们比较熟悉的普通方程求解．(3)本题易错点是计算不准确，极坐标方程求解错误．【自主体验】已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝4－2t y ＝t －2(t 为参数)，P 是椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值．解 将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝4－2ty ＝t －2(t 为参数)转化为普通方程为x ＋2y ＝0，因为P 为椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点， 故可设P (2cos θ，sin θ)，其中θ∈R . 因此点P 到直线l 的距离d ＝|2cos θ＋2sin θ|12＋22＝22⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π45. 所以当θ＝k π＋π4，k ∈Z 时， d 取得最大值2105.一、填空题1．(2014·芜湖模拟)直线⎩⎨⎧x ＝－2－2t ，y ＝3＋2t(t 为参数)上与点A (－2,3)的距离等于2的点的坐标是________．解析 由题意知(－2t )2＋(2t )2＝(2)2，所以t 2＝12，t ＝±22，代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－2t ，y ＝3＋2t(t 为参数)，得所求点的坐标为(－3,4)或(－1,2)． 答案 (－3,4)或(－1,2)2．(2014·海淀模拟)若直线l ：y ＝kx 与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ(参数θ∈R )有唯一的公共点，则实数k ＝________.解析 曲线C 化为普通方程为(x －2)2＋y 2＝1，圆心坐标为(2,0)，半径r ＝1.由已知l 与圆相切，则r ＝|2k |1＋k 2＝1⇒k ＝±33.答案 ±333．已知椭圆的参数方程⎩⎨⎧x ＝2cos t y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为________．解析 当t ＝π3时，x ＝1，y ＝23，则M (1,23)，∴直线OM 的斜率k ＝2 3. 答案 2 34．(2013·湖南卷)在平面直角坐标系xOy 中，若l ：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________． 解析 ∵x ＝t ，且y ＝t －a ， 消去t ，得直线l 的方程y ＝x －a ， 又x ＝3cos φ且y ＝2sin φ，消去φ， 得椭圆方程x 29＋y 24＝1，右顶点为(3,0)，依题意0＝3－a ， ∴a ＝3. 答案 35．直线3x ＋4y －7＝0截曲线⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)的弦长为________．解析 曲线可化为x 2＋(y －1)2＝1，圆心(0,1)到直线的距离d ＝|0＋4－7|9＋16＝35，则弦长l ＝2r 2－d 2＝85.答案 856．已知直线l 1：⎩⎨⎧ x ＝1－2t ，y ＝2＋kt (t 为参数)，l 2：⎩⎨⎧x ＝s ，y ＝1－2s (s 为参数)，若l 1∥l 2，则k ＝________；若l 1⊥l 2，则k ＝________.解析 将l 1、l 2的方程化为直角坐标方程得l 1：kx ＋2y －4－k ＝0，l 2：2x ＋y －1＝0，由l 1∥l 2，得k 2＝21≠4＋k1⇒k ＝4，由l 1⊥l 2，得2k ＋2＝0⇒k ＝－1. 答案 4 －17．(2012·广东卷)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧ x ＝t ，y ＝t (t 为参数)和⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．解析 曲线C 1的普通方程为y 2＝x (y ≥0)， 曲线C 2的普通方程为x 2＋y 2＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x (y ≥0)，x 2＋y 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，即交点坐标为(1,1)． 答案 (1,1)8．直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎨⎧ x ＝3＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最小值为________．解析 消掉参数θ，得到关于x 、y 的一般方程C 1：(x －3)2＋y 2＝1，表示以(3,0)为圆心，以1为半径的圆；C 2：x 2＋y 2＝1，表示的是以原点为圆心的单位圆，|AB |的最小值为3－1－1＝1.答案 19．(2012·湖南卷)在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a ＝______.解析 ρ(2cos θ＋sin θ)＝1，即2ρcos θ＋ρsin θ＝1对应的普通方程为2x ＋y －1＝0，ρ＝a (a >0)对应的普通方程为x 2＋y 2＝a 2.在2x ＋y －1＝0中，令y ＝0，得x ＝22.将⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0代入x 2＋y 2＝a 2得a ＝22. 答案 22二、解答题10．(2013·新课标全国Ⅰ卷)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．解 (1)将⎩⎨⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t 消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎨⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎨⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0， 解得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎨⎧ x ＝0，y ＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2. 11．(2013·新课标全国Ⅱ卷)已知动点P 、Q 都在曲线C ：⎩⎨⎧ x ＝2cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0<α<2π)，M 为PQ 的中点．(1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 解 (1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)，因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M 的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α，(α为参数，0<α<2π)． (2)M 点到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0<α<2π)．当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹通过坐标原点．12．(2012·新课标全国卷)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎨⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3. (1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C 1上任意一点，求|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围．解 (1)由已知可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos π3，2sin π3， B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2， C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π， D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋3π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋3π2， 即A (1，3)，B (－3，1)，C (－1，－3)，D (3，－1)．(2)设P (2cos φ，3sin φ)，令S ＝|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2，则S ＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ.因为0≤sin 2φ≤1，所以S 的取值范围是[32,52]．。
高中数学第二讲参数方程二第1课时椭圆的参数方程学案含解析新人教A版选修4_4
二圆锥曲线的参数方程第一课时椭圆的参数方程考纲定位重难突破1.知道椭圆的参数方程，参数的意义.2.会用椭圆的参数方程解决简单问题.重点：理解和掌握椭圆的参数方程.难点：椭圆的参数方程在实际问题中的应用.授课提示：对应学生用书第25页[自主梳理]椭圆的参数方程1．中心在原点，焦点在x轴上的椭圆x2a2＋y2b2＝1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x＝a cos φ，y＝b sin φ(φ是参数)，规定参数φ的取值范围是[0,2π)．2．中心在(h，k)的椭圆普通方程为(x－h)2a2＋(y－k)2b2＝1，则其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x＝h＋a cos φ，y＝k＋b sin φ(φ是参数)．[双基自测]1．椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x＝sin θ，2y＝cos θ(θ为参数)的一个焦点坐标为()A.⎝⎛⎭⎫22，0B.⎝⎛⎭⎫0，22C.⎝⎛⎭⎫32，0D.⎝⎛⎭⎫0，32解析：由题知椭圆的普通方程为x2＋4y2＝1.可知椭圆的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫±32，0，故选C.答案：C2．过点(－3,2)且与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x＝3cos φ，y＝2sin φ(φ为参数)有相同焦点的椭圆的方程是() A.x215＋y210＝1 B.x2152＋y2102＝1C.x210＋y215＝1 D.x2102＋y2152＝1解析：由题易知曲线⎩⎪⎨⎪⎧x＝3cos φ，y＝2sin φ化为普通方程为x29＋y24＝1.∴焦点坐标为(±5，0)，又所求椭圆过点(－3,2)，代入求得选A.答案：A3．椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋17cos θ，y ＝8sin θ－2(θ为参数)的中心坐标为________．解析：椭圆的普通方程为(x －3)2172＋(y ＋2)282＝1.∴椭圆的中心坐标为(3，－2)． 答案：(3，－2)4．椭圆x 24＋y 22＝1的参数方程是________；椭圆(x －1)225＋(y ＋1)216＝1的参数方程是________．答案：⎩⎨⎧x ＝2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数，φ∈[0,2π))⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋5cos φ，y ＝－1＋4sin φ(φ为参数，φ∈[0,2π))授课提示：对应学生用书第25页探究一 用椭圆参数方程求最值[例1] 在椭圆x 216＋y 212＝1上找一点，使这一点到直线x －2y －12＝0的距离最小．[解析] 由题意，椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝23sin θ(θ为参数)，则d ＝|4cos θ－43sin θ－12|5＝455|cos θ－3sin θ－3| ＝455⎪⎪⎪⎪2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3－3， 当cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝1时，d min ＝455，此时取θ＋π3＝0，∴θ＝－π3，∴⎩⎨⎧x ＝4cos ⎝⎛⎭⎫－π3＝2，y ＝23sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－3，∴所求点坐标是(2，－3)．本题有多种解法，可以利用直线与椭圆相切，转化为平行直线间距离求解，也可以利用距离公式结合二次函数配方解决，但相比之下，参数方程的方法最简单有效．1．(2016·高考全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标． 解析：(1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值， d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3－2. 当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为(32，12)．探究二 利用椭圆的参数方程求轨迹方程[例2] 已知A ，B 分别是椭圆x 236＋y 29＝1的右顶点和上顶点，动点C 在该椭圆上运动，求△ABC 的重心的轨迹方程．[解析] 由于动点C 在椭圆上运动，可设C 的坐标为(6cos θ，3sin θ)，由于点C 不与A ，B 重合，故θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，2π. 设△ABC 的重心G 的坐标为(x ，y )．依题意，知A (6,0)，B (0,3)，由三角形的重心坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋0＋6cos θ3，y ＝0＋3＋3sin θ3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝1＋sin θ.其中θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，2π，这就是重心G 的参数方程，消去参数θ，得(x －2)24＋(y －1)2＝1，点(4,1)及(2,2)除外，所以△ABC 的重心的轨迹方程为(x －2)24＋(y －1)2＝1，点(4,1)及(2,2)除外．利用圆锥曲线的参数方程直接设出圆锥曲线上的点的坐标，从而可以便捷地表示出其他的相关点，为求动点的轨迹带来了方便．2.如图，已知圆的方程为x 2＋y 2＝12，椭圆的方程为x 225＋y 216＝1，过原点的射线交圆于A 点，交椭圆于B 点，过A ，B 分别作x 轴和y 轴的平行线，求所作两直线的交点P 的轨迹方程．解析：设A ⎝⎛⎭⎫22cos α，22sin α，B (5cos θ，4sin θ)，则所求轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ， ①y ＝22sin α. ②由O ，A ，B 三点共线，知k OA ＝k OB ，从而tan α＝45tan θ ， ③由①得tan 2θ＝25－x 2x2， ④由②得tan 2α＝2y 21－2y 2. ⑤将③两边平方得tan 2α＝1625tan 2θ， ⑥把④⑤代入⑥化简整理得8x 2＋9x 2y 2＋400y 2＝200，所求轨迹方程为8x 2＋9x 2y 2＋400y 2＝200.探究三 利用椭圆的参数方程解决恒成立问题[例3] 已知椭圆x 24＋y 2＝1上任一点M (除短轴端点外)与短轴两端点B 1，B 2的连线分别交x 轴于P 、Q 两点，求证：|OP |·|OQ |为定值．[证明] 设M (2cos φ，sin φ)，φ为参数，B 1(0，－1)，B 2(0,1)． 则MB 1的方程：y ＋1＝sin φ＋12cos φ·x ，令y ＝0，则x ＝2cos φsin φ＋1，即|OP |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1＋sin φ.MB 2的方程：y －1＝sin φ－12cos φ·x ，令y ＝0，则x ＝2cos φ1－sin φ.∴|OQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1－sin φ.∴|OP |·|OQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1＋sin φ×⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1－sin φ＝4.即|OP |·|OQ |＝4为定值．利用参数方程证明定值(或恒成立)问题，首先是用参数把要证明的定值(或恒成立的式子)表示出来，然后利用条件消去参数，得到一个与参数无关的定值即可．3．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(a >b >0)上一点M 与两焦点F 1、F 2所成角为∠F 1MF 2＝α.求证：△F 1MF 2的面积为b 2tan α2.证明：∵M 在椭圆上， ∴由椭圆的定义，得： |MF 1|＋|MF 2|＝2a ，两边平方， 得|MF 1|2＋|MF 2|2＋2|MF 1|·|MF 2|＝4a 2.在△F 1MF 2中，由余弦定理，得|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1||MF 2|cos α＝|F 1F 2|2＝4c 2. 由两式，得|MF 1||MF 2|＝b 2cos 2α2.故S △F 1MF 2＝12|MF 1||MF 2|sin α＝b 2tan α2.椭圆参数方程的综合应用[典例] (本题满分10分)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2，π3)．(1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C 1上任意一点，求|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围． [解析] (1)由已知可得A ⎝⎛⎭⎫2cos π3，2sin π3， B ⎝⎛⎭⎫2cos ⎝⎛⎭⎫π3＋π2，2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋π2， C ⎝⎛⎭⎫2cos ⎝⎛⎭⎫π3＋π，2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋π， D ⎝⎛⎭⎫2cos ⎝⎛⎭⎫π3＋3π2，2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋3π2， 即A (1，3)，B (－3，1)，C (－1，－3)，D (3，－1).5分 (2)设P (2cos φ，3sin φ)， 令S ＝|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2，则S ＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ.9分 因为0≤sin 2φ≤1，所以S 的取值范围是[32,52].10分[规律探究] 由于椭圆上任一点的坐标可通过参数方程描述为参数的函数，所以可通过用参数方程设出椭圆上动点坐标的方法，解决求离心率、几何图形面积、目标函数最值及证明恒等式问题．[随堂训练] 对应学生用书第27页1．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的长轴长为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：将曲线的参数方程化为普通方程，得x 2＋y 24＝1，它表示焦点在y 轴上的椭圆，其长轴长为4.答案：B2．椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝5sin φ(φ为参数)的两个焦点坐标是( )A ．(0，－3)，(0,3)B ．(0，－4)，(0,4)C ．(4,0)，(－4,0)D ．(3,0)，(－3,0)解析：由椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝5sin φ(φ为参数)可知a ＝5，b ＝3，c ＝a 2－b 2＝4，且焦点在y轴上，焦点坐标为(0，－4)，(0,4)，所以选B.答案：B 3．椭圆(x －1)2＋y 22＝1上离直线x ＋y －2＝0最远和最近点到该直线的距离分别为( ) A.62，22 B.6＋22，22 C.2＋32，0 D.2＋62，0 解析：设椭圆上的点P 的坐标为(1＋cos θ，2sin θ)，可求得d max ＝2＋62，d min ＝0.另外本题还可利用相切的充要条件来解答．答案：D。
高中数学第二讲参数方程一参数的曲线方程第1课时参数方程的概念、参数方程与普通方程的互化
所以 y＝1±sin θ.
不 妨 取 y ＝ 1 ＋ sin θ ， 则 所 求 的 参 数 方 程 为
x＝cos θ， y＝1＋sin θ(θ
为参数)．
归纳升华
1．消去参数的方法主要有三种． ①利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后运用代
入消元法或加减消元法消去参数．
②利用三角恒等式借助 sin2θ＋cos2θ＝1 等消去参数．
③根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方
法
)例如借助1＋2tt22＋11－ ＋tt222＝1，t＋1t 2－t－1t 2＝4
等 )从整体上消去参数．
2．将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量 x 和 y 的取值范围扩大或缩小，必须根据参数的取值范围， 确定函数 f(t)和 g(t)的值域，即 x 和 y 的取值范围．
消去参数 t，得 a＝1. (2)由上述可得，曲线 C 的参数方程是xy＝＝t12＋. 2t， 把点 P 的坐标(1，0)代入方程组，解得 t＝0， 因此 P 在曲线 C 上． 把点 Q 的坐标(3，－1)代入方程组，得到3－＝11＝＋t22，t， 这个方程组无解，因此点 Q 不在曲线 C 上．
归纳升华 1．满足某种约束条件的动点的轨迹形成曲线，点与 曲线的位置关系有两种：点在曲线上和点不在曲线上．
一是曲线上有一点的坐标(x，y)与参数的关系比较明显， 容易列出方程；二是 x，y 的值可以由参数唯一确定；第 三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义 等，建立点的坐标与参数的函数关系式，并化成最简形式； 第四步，证明以化简后的参数方程的解为坐标的点都是曲 线上的点．(求解过程中第四步通常省略，但要通过检验， 并准确标注参数及其取值范围．)
所确定的点 M(x，y)都在这条曲线上，那么方程 xy＝＝gf（（tt）），就叫作这条曲线的参数方程，联系变数 x，y 的变数 t 叫作参变数，简称参数．相对于参数方程而言， 直接给出点的坐标间关系的方程叫作普通方程．
第2讲 参数方程
第2讲 参数方程[考纲解读] 了解参数方程及参数的意义，掌握直线、圆及椭圆的参数方程，并能利用参数方程解决问题．(重点、难点)[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个必考点．预测2021年将会考查参数方程与普通方程的互化及直线与椭圆参数方程的应用.1.曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数□01⎩⎨⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )，并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．2．常见曲线的参数方程和普通方程 点的轨迹 普通方程 参数方程直线 y －y 0＝tan α(x －x 0){ x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)圆 x 2＋y 2＝r 2 { x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数) 椭圆 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0){ x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)提醒：直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离．1．概念辨析(1)直线⎩⎨⎧x ＝－2＋t cos30°，y ＝1＋t sin150°(t 为参数)的倾斜角α为30°.( )(2)过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．参数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M →的数量．( )(3)方程⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．( )(4)已知椭圆的参数方程⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为 3.( )答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)×2．小题热身(1)若直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋2t ，y ＝2－3t (t 为参数)，则直线的斜率为________．答案 －32解析 因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2－3t ，所以3x ＋2y ＝7，因此直线的斜率为－32.(2)椭圆⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的离心率为________．答案 45解析 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝3sin θ消去参数θ，得椭圆x 225＋y 29＝1.所以a 2＝25，b 2＝9，c 2＝a 2－b 2＝16，所以a ＝5，b ＝3，c ＝4，所以离心率e ＝c a ＝45.(3)曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝sin θ，y ＝cos2θ＋1(θ为参数)，则曲线C 的普通方程为________．答案 y ＝2－2x 2(－1≤x ≤1)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos2θ＋1(θ为参数)消去参数θ，得y ＝2－2x 2(－1≤x ≤1)．题型 一 参数方程与普通方程的互化1．求直线⎩⎨⎧ x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的交点个数．解 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t 消去参数t 得直线x ＋y －1＝0；将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α消去参数α，得圆x 2＋y 2＝9. 又圆心(0,0)到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝22<3. 因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点．2．在《圆锥曲线论》中，阿波罗尼奥斯第一次从一个对顶圆锥(直或斜)得到所有的圆锥曲线，并命名了椭圆(ellipse)、双曲线(hyperboler)和抛物线(parabola)，在这本晦涩难懂的书中有一个著名的几何问题：“在平面上给定两点A ，B ，设P 点在同一平面上且满足|P A ||PB |＝λ(λ>0且λ≠1)，P 点的轨迹是圆．”这个圆我们称之为“阿波罗尼奥斯圆”．已知点M 与长度为3的线段OA 两端点的距离之比为|OM ||MA |＝12，建立适当坐标系，求出M 点的轨迹方程并化为参数方程．解 由题意，以OA 所在直线为x 轴，过O 点作OA 的垂线为y 轴，建立直角坐标系，设M (x ，y )，则O (0,0)，A (3,0)．因为|OM ||MA |＝12，即x 2＋y 2(x －3)2＋y 2＝12，化简得(x ＋1)2＋y 2＝4，所以点M 的轨迹是以(－1,0)为圆心，2为半径的圆．由圆的普通方程可得其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ－1，y ＝2sin θ(θ为参数)．1．参数方程化为普通方程基本思路是消去参数，常用的消参方法有：①代入消元法；②加减消元法；③恒等式(三角的或代数的)消元法；④平方后再加减消元法等．其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程组的技巧，三角恒等式消元法常利用公式sin 2θ＋cos 2θ＝1等．2．普通方程化为参数方程 (1)选择参数的一般原则曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单；当参数取某一值时，可以唯一确定x ，y 的值．(2)解题的一般步骤第一步，引入参数，但要选定合适的参数t ；第二步，确定参数t 与变量x 或y 的一个关系式x ＝f (t )(或y ＝φ(t ))； 第三步，把确定的参数与一个变量的关系式代入普通方程F (x ，y )＝0，求得另一关系y ＝g (t )(或x ＝φ(t ))，问题得解．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋35t ，y ＝45t(t 为参数)，与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝4k 2，y ＝4k (k 为参数)交于A ，B 两点，求线段AB 的长． 解 将直线l 的参数方程化为普通方程，得4x －3y ＝4，将曲线C 的参数方程化为普通方程，得y 2＝4x ，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y ＝4，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4或⎩⎨⎧x ＝14，y ＝－1.所以A (4,4)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1或A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1，B (4,4)． 所以|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－142＋(4＋1)2＝254.题型 二 参数方程的应用角度1 利用参数方程解最值问题1．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，圆C 2的方程为(x －1)2＋y 2＝1，若曲线C 1上有一动点M ，圆C 2上有一动点N ，求|MN |的最小值．解 圆C 2的圆心为C 2(1,0)，半径为1，设曲线C 1上的动点M (3cos α，2sin α)，易知点M 在圆C 2外，由动点N 在圆C 2上可得|MN |min ＝|MC 2|min －1.因为|MC 2|＝(3cos α－1)2＋4sin 2α＝5cos 2α－6cos α＋5＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α－352＋165，所以当cos α＝35时，|MC 2|min ＝455， 所以|MN |min ＝|MC 2|min －1＝455－1， 即|MN |的最小值为455－1. 角度2 参数几何意义的应用2．(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率． 解 (1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 216＝1.当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tan α·x ＋2－tan α，当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0.又由①得t 1＋t 2＝－4(2cos α＋sin α)1＋3cos 2α，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.1．设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，直线的参数方程在交点问题中的应用(1)设M 0(x 0，y 0)，若M 1，M 2是直线l 上的两个点，对应的参数分别为t 1，t 2，则|M 0M 1→||M 0M 2→|＝|t 1t 2|，|M 1M 2→|＝|t 2－t 1|＝(t 2＋t 1)2－4t 1t 2.(2)若线段M 1M 2的中点为M 3，点M 1，M 2，M 3对应的参数分别为t 1，t 2，t 3，则t 3＝t 1＋t 22.(3)若直线l 上的线段M 1M 2的中点为M 0(x 0，y 0)，则t 1＋t 2＝0，t 1t 2<0. 2．圆和圆锥曲线参数方程的应用有关圆或圆锥曲线上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用它们的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解．提醒：对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题．1．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝35＋22t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．(1)写出直线l 和曲线C 的普通方程；(2)已知曲线W ：⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝2sin α(α为参数)，若M 为曲线W 上任意一点，求点M 到直线l 的最小距离．解(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝35＋22t(t 为参数)消去参数t ，得y ＝x ＋3 5.即直线l 的普通方程为x －y ＋35＝0. 曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4. (2)由已知可设M (cos α，2sin α)(α为参数)， 则点M 到直线l 的距离d ＝|cos α－2sin α＋35|2＝|5cos (α＋β)＋35|2(其中tan β＝2)，所以点M 到直线l 的距离的最小值为35－52＝10.2．已知平面直角坐标系xOy ，直线l 过点P (0，3)，且倾斜角为α，圆C 的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝5.(1)求直线l 和圆C 的参数方程；(2)设直线l 与圆C 交于M ，N 两点，若|PM |－|PN |＝2，求直线l 的倾斜角α的值．解 (1)因为直线l 过点P (0，3)，且倾斜角为α， 所以直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝3＋t sin α(t 为参数)．圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋5cos θ，y ＝3＋5sin θ(θ为参数)．(2)将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝3＋t sin α(t 为参数)代入圆C 的普通方程，得(t cos α－1)2＋(t sin α)2＝5， 整理，得t 2－2t cos α－4＝0.设M ，N 两点对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝2cos α，所以|PM |－|PN |＝|t 1＋t 2|＝|2cos α|＝2， 所以cos α±22.因为0≤α<π，所以α＝π4或α＝3π4.题型三极坐标方程和参数方程的综合应用(2019·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x＝1－t21＋t2，y＝4t1＋t2(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ＋3ρsinθ＋11＝0.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值．解(1)因为－1<1－t21＋t2≤1，且x2＋⎝⎛⎭⎪⎫y22＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－t21＋t22＋4t2(1＋t2)2＝1，所以C的直角坐标方程为x2＋y24＝1(x≠－1)，l的直角坐标方程为2x＋3y＋11＝0.(2)由(1)可设C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x＝cosα，y＝2sinα(α为参数，－π<α<π)．C上的点到l的距离为|2cosα＋23sinα＋11|7＝4cos⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＋117.当α＝－2π3时，4cos⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＋11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为7.极坐标方程与参数方程综合问题的解题策略(1)求交点坐标、距离、线段长．可先求出直角坐标方程，然后求解． (2)判断位置关系．先转化为平面直角坐标方程，然后再作出判断． (3)求参数方程与极坐标方程综合的问题．一般是先将方程化为直角坐标方程，利用直角坐标方程来研究问题．(2019·六安模拟)已知曲线C 的极坐标方程是ρ2＝4ρcos θ＋6ρsin θ－12，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－12t ，y ＝1＋32t(t 为参数)．(1)写出直线l 的一般方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)将曲线C 向左平移2个单位长度，向下平移3个单位长度，得到曲线D ，设曲线D 经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝x ，y ′＝2y ，得到曲线E ，设曲线E 上任一点为M (x ，y )，求3x ＋12y 的取值范围．解(1)∵直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－12t ，y ＝1＋32t(t 为参数)．∴消去参数t ，得直线l 的一般方程为3x ＋y －23－1＝0， ∵曲线C 的极坐标方程是ρ2＝4ρcos θ＋6ρsin θ－12， ∴由ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2，得曲线C 的直角坐标方程为(x －2)2＋(y －3)2＝1.(2)曲线D 为x 2＋y 2＝1.曲线D 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝2y ，得到曲线E 的方程为x 2＋y 24＝1，则点M 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，∴3x ＋12y ＝3cos θ＋sin θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3，∴3x ＋12y 的取值范围为[－2,2]．组 基础关1．将圆x 2＋y 2＝4上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的12，得曲线C . (1)写出曲线C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y ＋2＝0与曲线C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与直线l 垂直的直线的极坐标方程．解 (1)因为圆x 2＋y 2＝4的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)，所以曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝2sin φ得x 2＋y 24＝1.解方程组⎩⎨⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0.所以P 1(0，－2)，P 2(－1,0)．所以线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1.易知与直线l 垂直的直线的斜率k ＝12，所以过线段P 1P 2的中点且与直线l 垂直的直线的方程为y －(－1)＝12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，即2x －4y －3＝0. 又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以其极坐标方程为2ρcos θ－4ρsin θ－3＝0. 2．已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝22t ＋42(t 是参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.(1)求圆心C 的直角坐标；(2)由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值． 解 (1)∵ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22cos θ－22sin θ，∴ρ2＝22ρcos θ－22ρsin θ，∴圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－22x ＋22y ＝0， 即(x －2)2＋(y ＋2)2＝4.∴圆心C 的直角坐标为(2，－2)．(2)由直线l 上的点向圆C 引切线，则切线长为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫22t －22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t ＋42＋22－4＝t 2＋8t ＋48＝(t ＋4)2＋32，又(t ＋4)2＋32≥42，∴由直线l 上的点向圆C 引切线，切线长的最小值为4 2.3．(2019·长春二模)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2＝31＋2cos 2θ.(1)求直线l 的普通方程以及曲线C 的参数方程；(2)当a ＝1时，P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最大值． 解 (1)直线l 的普通方程为y ＝3(x －a )， 曲线C 的极坐标方程可化为ρ2＋2ρ2cos 2θ＝3，化简可得x 2＋y23＝1，故曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．(2)当a ＝1时，直线l 的普通方程为3x －y －3＝0. 由曲线C 的参数方程，可设点P 的坐标为P (cos θ，3sin θ)， 因此点P 到直线l 的距离可表示为d ＝|3cos θ－3sin θ－3|2＝32|cos θ－sin θ－1| ＝32⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－1.当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－1时，d 取得最大值为6＋32.4．(2019·辽宁省实验中学模拟)已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ 2.(1)求直线l 的直角坐标方程及曲线C 上的动点P 到坐标原点O 的距离|OP |的最大值；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且与x 轴相交于点E ，求|EA →|＋|EB →|的值．解 (1)由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2，得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos θ－22sin θ＝2，所以直线l 的直角坐标方程为x －y －2＝0.根据题意，得|OP |＝9cos 2α＋sin 2α＝8cos 2α＋1，因此曲线C 上的动点P 到原点O 的距离|OP |的最大值为3.(2)由(1)知直线l ：x －y －2＝0与x 轴的交点E 的坐标为(2,0)，得直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ＋2，y ＝22t(t 为参数)，曲线C 的直角坐标方程为x 29＋y 2＝1，联立得5t 2＋22t －5＝0，则t 1＋t 2＝－225，t 1t 2＝－1，所以|EA →|＋|EB →|＝|t 1－t 2|＝ (t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝635.组 能力关1．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝m ＋t cos α，y ＝t sin α(t 是参数)．在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C ：ρ＝4cos θ.(1)当m ＝－1，α＝30°时，判断直线l 与曲线C 的位置关系；(2)当m ＝1时，若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，设P (1,0)，且||P A |－|PB ||＝1，求直线l 的倾斜角．解 (1)由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ， 又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4， 所以曲线C 是以点M (2,0)为圆心，2为半径的圆． 由直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)，得直线l 的直角坐标方程为x －3y ＋1＝0. 由圆心M 到直线l 的距离d ＝|2－0＋1|1＋3＝32<2，可知直线l 与曲线C 相交．(2)由题意可得直线l 是经过点P (1,0)，倾斜角为α的直线， 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α代入(x －2)2＋y 2＝4， 整理得t 2－2t cos α－3＝0，Δ＝(－2cos α)2＋12>0. 设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝2cos α，t 1t 2＝－3<0，所以t 1，t 2异号， 则||P A |－|PB ||＝|t 1＋t 2|＝|2cos α|＝1，所以cos α＝±12. 又α∈[0，π)，所以直线l 的倾斜角为π3或2π3. 2．平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(其中t 为参数，且0<α<π)，在以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系(两种坐标系取相同的单位长度)中，曲线C 的极坐标方程为ρtan 2θ＝2cos θ.设直线l 经过定点P ，且与曲线C 交于A ，B 两点．(1)求点P 的坐标及曲线C 的直角坐标方程； (2)求证：不论α为何值，1|P A |2＋1|PB |2为定值．解 (1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(其中t 为参数，且0<α<π)，当t ＝0时，得点P (1,0)，即定点P 的坐标为(1,0)． 又曲线C 的极坐标方程为ρtan 2θ＝2cos θ，∴ρsin 2θ＝2cos θ≠0，∴ρ2sin 2θ＝2ρcos θ≠0，∴y 2＝2x (x ≠0)， 即曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2x (x ≠0)． (2)证明：将直线l 的参数方程代入y 2＝2x (x ≠0)， 整理，得t 2sin 2α－2t cos α－2＝0，其中0<α<π， Δ＝4cos 2α＋8sin 2α＝4＋4sin 2α>0， ∴t 1＋t 2＝2cos αsin 2α，t 1t 2＝－2sin 2α，∴1|P A |2＋1|PB |2＝1t 21＋1t 22＝(t 1＋t 2)2－2t 1t 2(t 1t 2)2＝4cos 2α＋4sin 2α4＝1.∴不论α为何值，1|P A |2＋1|PB |2都为定值1.3．(2019·长沙模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝m ＋2t ，y ＝2t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2＝41＋sin 2θ.(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设P 为曲线C 上的点，PQ ⊥l ，垂足为Q ，若|PQ |的最小值为2，求m 的值．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2t ，y ＝2t 消去参数t ，得x －2y ＝m ，所以直线l 的普通方程为x －2y －m ＝0.因为曲线C 的极坐标方程为ρ2＝41＋sin 2θ，即ρ2＋ρ2sin 2θ＝4， 将ρ2＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y 代入上式并化简得x 24＋y 22＝1，所以曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 22＝1.(2)设P (2cos θ，2sin θ)．由点到直线的距离公式，得 |PQ |＝|2cos θ－2sin θ－m |3＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－m 3.由题意知m ≠0. 当m >0时，|PQ |min ＝|22－m |3＝2，解得m ＝23＋22； 当m <0时，|PQ |min ＝|－22－m |3＝2，解得m ＝－23－2 2.所以m ＝23＋22或m ＝－23－2 2.4．(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．解 (1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1. 当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点．当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2. l 与⊙O 交于两点当且仅当⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋k 2<1， 解得k <－1或k >1，即α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2或α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4.综上，α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4.(2)l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫t 为参数，π4<α<3π4. 设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0.于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22sin2α，y ＝－22－22cos2α⎝ ⎛⎭⎪⎫α为参数，π4<α<3π4.。
第二讲 参数方程复习课
学习目标 1.梳理知识要点，构建知识网络.2.进一步巩固对参数方程等相关概念的理解和认识.3.能综合应用极坐标、参数方程解决问题．1．参数方程的定义一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )，①并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．参数方程中的参数可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数． 2．常见曲线的参数方程 (1)直线直线的标准参数方程即过定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α(α≠π2)的直线l 的参数方程的标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝x 0＋t sin α(t 为参数)． (2)圆 ①圆x 2＋y 2＝r 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)；②圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a >b >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)． (4)双曲线中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线b 2x 2－a 2y 2＝a 2b 2(a >0，b >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec φ，y ＝b tan φ(φ为参数)． (5)抛物线抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2p tan 2α，y ＝2ptan α(α为参数)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)．类型一 参数方程化为普通方程 例1 把下列参数方程化为普通方程：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ－4sin θ，y ＝2cos θ＋sin θ(θ为参数)； (2)⎩⎨⎧x ＝a (e t ＋e －t )2，y ＝b (e t－e－t)2(t 为参数，a ，b >0)．解 (1)关于cos θ，sin θ的方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ－4sin θ，y ＝2cos θ＋sin θ，变形得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝y －2x9，cos θ＝x ＋4y9.∴(x ＋4y 9)2＋(y －2x 9)2＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，即5x 2＋4xy ＋17y 2－81＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a (e t ＋e －t )2，y ＝b (e t－e －t )2，解得⎩⎨⎧2xa ＝e t ＋e －t ， ①2yb ＝e t－e－t ， ②∴①2－②2，得4x 2a 2－4y 2b 2＝4， ∴x 2a 2－y 2b2＝1(x >0)． 反思与感悟 参数方程化为普通方程的注意事项(1)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致，由参数方程化为普通方程时需要考虑x 的取值范围，注意参数方程与消去参数后所得的普通方程同解性的判定． (2)消除参数的常用方法：①代入消参法；②三角消参法；③根据参数方程的特征，采用特殊的消参手段．跟踪训练1 判断方程⎩⎨⎧x ＝sin θ＋1sin θ，y ＝sin θ－1sin θ(θ是参数且θ∈(0，π))表示的曲线的形状．解 ∵x 2－y 2＝(sin θ＋1sin θ)2－(sin θ－1sin θ)2＝4，即x 2－y 2＝4，∴x 24－y 24＝1. 又∵θ∈(0，π)， ∴sin θ>0，∴x ＝sin θ＋1sin θ≥2，当且仅当θ＝π2时等号成立，又y ＝sin θ－1sin θ＝sin 2θ－1sin θ≤0，∴曲线为等轴双曲线x 24－y 24＝1在右支位于x 轴下方的部分．类型二 参数方程的应用命题角度1 直线参数方程的应用例2 已知点P (3,2)平分抛物线y 2＝4x 的一条弦AB ，求弦AB 的长．解 设弦AB 所在的直线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)，代入方程y 2＝4x 整理，得 t 2sin 2α＋4(sin α－cos α)t －8＝0.① ∵点P (3,2)是弦AB 的中点，由参数t 的几何意义可知，方程①的两个实根t 1，t 2满足关系t 1＋t 2＝0. 即sin α－cos α＝0.∵0≤α<π，∴α＝π4.∴|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4·8sin 2π4＝8.反思与感悟 应用直线的参数方程求弦长要注意的问题 (1)直线的参数方程应为标准形式． (2)要注意直线倾斜角的取值范围． (3)设直线上两点对应的参数分别为t 1，t 2. (4)套公式|t 1－t 2|求弦长．跟踪训练2 直线l 过点P 0(－4,0)，它的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－4＋32t ，y ＝12t(t 为参数)，直线l 与圆x 2＋y 2＝7相交于A ，B 两点． (1)求弦长|AB |；(2)过P 0作圆的切线，求切线长． 解 将直线l 的参数方程代入圆的方程， 得(－4＋32t )2＋(12t )2＝7，整理得t 2－43t ＋9＝0. (1)设A 和B 两点对应的参数分别为t 1和t 2，由根与系数的关系，得t 1＋t 2＝43，t 1t 2＝9. 故|AB |＝|t 2－t 1|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝2 3.(2)设圆过P 0的切线为P 0T ，T 在圆上， 则|P 0T |2＝|P 0A |·|P 0B |＝|t 1t 2|＝9， ∴切线长|P 0T |＝3.命题角度2 曲线参数方程的应用例3 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ＋π4)＝2 2.(1)求曲线C 与直线l 在该直角坐标系下的普通方程；(2)动点A 在曲线C 上，动点B 在直线l 上，定点P (－1,1)，求|PB |＋|AB |的最小值．解 (1)由曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α，可得(x －2)2＋y 2＝1，由直线l 的极坐标方程为ρsin(θ＋π4)＝22，可得ρ(sin θ＋cos θ)＝4，即x ＋y ＝4.(2)方法一 设P 关于直线l 的对称点为Q (a ，b )，故⎩⎪⎨⎪⎧a －12＋b ＋12＝4，(b －1a ＋1)×(－1)＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝5， 所以Q (3,5)，由(1)知曲线C 为圆，圆心C (2,0)，半径r ＝1，|PB |＋|AB |＝|QB |＋|AB |≥|QC |－1.仅当Q ，B ，A ，C 四点共线时，且A 在B ，C 之间时等号成立，故(|PB |＋|AB |)min ＝26－1. 方法二 如图，圆心C 关于直线l 的对称点为D (4,2)，连接PD ，交直线l 于点B ，此时|PB |＋|AB |有最小值，且|PB |＋|AB |＝|PB |＋|BC |－1＝|PB |＋|BD |－1＝|PD |－1＝26－1.反思与感悟 (1)关于折线段的长度和或长度差的最大值或最小值的求法，常常利用对称性以及两点之间线段最短解决．(2)有关点与圆、直线与圆的最大值或最小值问题，常常转化为经过圆心的直线、圆心到直线的距离等．跟踪训练3 已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．解 (1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ (θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|， 则|P A |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|， 其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为255.类型三 极坐标与参数方程例4 在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与圆C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l的斜率．解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)方法一 在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程，得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.|AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44. 由|AB |＝10，得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153. 方法二 把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α代入(x ＋6)2＋y 2＝25，得t 2＋(12cos α)t ＋11＝0， 所以t 1＋t 2＝－12cos α，t 1t 2＝11. 设A ，B 对应的参数为t 1，t 2， 则|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝144cos 2α－44＝10，所以cos 2α＝38，所以tan α＝±153. 所以l 的斜率为153或－153. 反思与感悟 (1)极坐标与参数方程综合是高考的重点、热点．(2)解决此类问题一般可以转化为直角坐标下求解．当然也可以转化为极坐标下求解，关键是根据题目特点合理转化．跟踪训练4 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos t ，y ＝23sin t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为3ρcos θ＋2ρsin θ＝12.(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，M 为曲线C 与y 轴负半轴的交点，求四边形OMAB 的面积．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos t ，y ＝23sin t ，得⎩⎨⎧x4＝cos t ，y 23＝sin t ，所以(x 4)2＋(y 23)2＝(cos t )2＋(sin t )2＝1，所以曲线C 的普通方程为x 216＋y 212＝1.在3ρcos θ＋2ρsin θ＝12中，由ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ， 得3x ＋2y －12＝0，所以直线l 的直角坐标方程为3x ＋2y －12＝0.(2)由(1)可得M (0，－23)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 212＝1，3x ＋2y －12＝0，易得A (4,0)，B (2,3)，所以四边形OMAB 的面积为12×4×(3＋23)＝6＋4 3.1．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝10sin θ(θ为参数)的焦点坐标为( )A ．(±3,0)B ．(0，±3)C ．(±6,0)D ．(0，±6)答案 D解析 曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝10sin θ(θ为参数)的普通方程为y 2102＋x 282＝1，这是焦点在y 轴上的椭圆，c 2＝a 2－b 2＝62，所以焦点坐标为(0，±6)．2．椭圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(0≤φ<2π)，则椭圆的离心率为( )A.12B.32C.22D.34答案 A3．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1＋4t (t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝22sin θ，则直线l 与圆C 的位置关系为( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．由参数确定答案 C4．点P (1,0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数)上的点的最短距离为________．答案 1解析 设点P (1,0)到曲线上的点的距离为d ，则d ＝(x －1)2＋(y －0)2＝(t 2－1)2＋(2t )2＝(t 2＋1)2＝t 2＋1≥1.所以点P 到曲线上的点的距离的最小值为1.5．在平面直角坐标系xOy 中，设P (x ，y )是椭圆x 23＋y 2＝1上的一个动点，求S ＝x ＋y 的最大值和最小值．解 椭圆x 23＋y 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，故设动点P (3cos φ，sin φ)，其中φ∈[0,2π)．因此S ＝x ＋y ＝3cos φ＋sin φ＝2(sin π3cos φ＋cos π3·sin φ)＝2sin(φ＋π3)．∴当φ＝π6时，S 取得最大值2；当φ＝7π6时，S 取得最小值－2.1．参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式．某些曲线上点的坐标，用普通方程描述它们之间的关系比较困难，甚至不可能，列出的方程既复杂又不易理解，而用参数方程来描述曲线上点的坐标的间接关系比较方便，学习参数方程有助于进一步体会数学方法的灵活多变，提高应用意识和实践能力． 2．参数方程、极坐标方程是解析几何曲线方程的另外两种巧妙的表达形式，解题时要善于根据解题的需求将参数方程与普通方程进行互化，达到方便解题的目的，同时注意参数的范围．课时作业一、选择题1．直线l ：⎩⎨⎧x ＝1＋22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)与圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切C ．相交且过圆心D ．相交但不过圆心答案 D解析 直线l 的普通方程为x －y ＋1＝0，圆C 的普通方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心C (2,1)到直线l 的距离为d ＝|2－1＋1|2＝2<r ＝2，所以l 与C 相交但不过圆心．2．下列各点在方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ(θ为参数)所表示的曲线上的为( )A ．(2，－7)B ．(13，23)C ．(12，12)D ．(1,0)答案 C3．直线⎩⎨⎧x ＝－2－2t ，y ＝3＋2t (t 为参数)上与点P (－2,3)的距离等于2的点的坐标是( )A ．(－4,5)B ．(－3,4)C ．(－3,4)或(－1,2) D(－4,5)或(0,1)答案 C4．下列参数方程(t 为参数)与普通方程x 2－y ＝0表示同一曲线方程的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|t |，y ＝t B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝cos 2t C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t ，y ＝1＋cos 2t 1－cos 2t D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t ，y ＝1－cos 2t 1＋cos 2t答案 D解析 注意参数的范围，可利用排除法，普通方程x 2－y ＝0中的x ∈R ，y ≥0.A 中x ＝|t |≥0，B 中x ＝cos t ∈[－1,1]，故排除A 和B ；而C 中y ＝2cos 2t 2sin 2t ＝1tan 2t ＝1x2，即x 2y ＝1，故排除C. 5．抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t ，y ＝4t 2(t 为参数)的准线方程是( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．y ＝1 D ．y ＝－1答案 D解析 由x ＝4t ，得t 2＝x 216， ∴y ＝4t 2＝x 24， 即x 2＝4y ，∴准线方程为y ＝－1.6．若直线y ＝x －b 与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ， θ∈[0,2π)有两个不同的公共点，则实数b 的取值范围是( ) A ．(2－2，1) B ．[2－2，2＋2]C ．(－∞，2－2)∪(2＋2，＋∞)D ．(2－2，2＋2) 答案 D解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ消去θ，得(x －2)2＋y 2＝1.(*)将y ＝x －b 代入(*)式，化简得2x 2－(4＋2b )x ＋b 2＋3＝0，依题意知，Δ＝[－(4＋2b )]2－4×2(b 2＋3)>0，解得2－2<b <2＋ 2.二、填空题7．点(－3,0)到直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝22t (t 为参数)的距离为________． 答案 1 解析 ∵直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2t ，y ＝22t 的普通方程为x －22y ＝0，∴点(－3,0)到直线的距离为d ＝|－3－0|12＋(－22)2＝1.8．已知P 为椭圆4x 2＋y 2＝4上的点，O 为原点，则|OP |的取值范围是________． 答案 [1,2]解析 由4x 2＋y 2＝4，得x 2＋y 24＝1. 令⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)， 则|OP |2＝x 2＋y 2＝cos 2φ＋4sin 2φ＝1＋3sin 2φ.∵0≤sin 2φ≤1，∴1≤1＋3sin 2φ≤4， ∴1≤|OP |≤2.9．在极坐标系中，直线过点(1,0)且与直线θ＝π3(ρ∈R )垂直，则直线的极坐标方程为________． 答案 2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝1(或2ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1、ρcos θ＋3ρsin θ＝1) 解析 由题意可知在直角坐标系中，直线θ＝π3的斜率是3，所求直线过点(1,0)，且斜率是－13，所以直线方程为y ＝－13(x －1)，化成极坐标方程为ρsin θ＝－13(ρcos θ－1)，化简得2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝1.10．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)上的两点M ，N 对应的参数分别为t 1和t 2，且t 1＋t 2＝0，则|MN |＝________.答案 4p |t 1|(或4p |t 2|)解析 显然线段MN 垂直于抛物线的对称轴，即x 轴，则|MN |＝2p |t 1－t 2|＝2p |2t 1|(或2p |2t 2|)，∴|MN |＝4p |t 1|(或4p |t 2|)．三、解答题11．已知x ，y 满足(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，求S ＝3x －y 的最值．解 由(x －1)2＋(y ＋2)2＝4可知，曲线表示以(1，－2)为圆心，2为半径的圆．令x ＝1＋2cos θ，y ＝－2＋2sin θ，则S ＝3x －y ＝3(1＋2cos θ)－(－2＋2sin θ)＝5＋6cos θ－2sin θ＝5＋210·sin(θ＋φ)(其中tan φ＝－3)，所以，当sin(θ＋φ)＝1时，S 取得最大值5＋210；当sin(θ＋φ)＝－1时，S 取得最小值5－210.12．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．解 (1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0，圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16.(2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心(0,0)到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5.即实数a 的取值范围为[－25，25]．13．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数，且0≤θ<2π)，点M 是曲线C 1上的动点．(1)求线段OM 的中点P 的轨迹的直角坐标方程；(2)以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，若直线l 的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＋1＝0(ρ>0)，求点P 到直线l 距离的最大值．解 (1)曲线C 1上的动点M 的坐标为(4cos θ，4sin θ)，坐标原点O (0,0)，设P 的坐标为(x ，y )，则由中点坐标公式，得x ＝12(0＋4cos θ)＝2cos θ，y ＝12(0＋4sin θ)＝2sin θ，所以点P 的坐标为(2cos θ，2sin θ)，因此点P 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数，且0≤θ<2π)，消去参数θ，得点P 轨迹的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4.(2)由直角坐标与极坐标关系，得直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0.又由(1)知点P 的轨迹为圆心在原点，半径为2为圆，因为原点(0,0)到直线x －y ＋1＝0的距离为|0－0＋1|12＋(－1)2＝12＝22，所以点P 到直线l 距离的最大值为2＋22. 四、探究与拓展14．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝3＋t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0(ρ≥0,0≤θ<2π)，则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ＝________.答案 5解析 直线l 的普通方程为y ＝x ＋1，曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x ，联立两方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋1，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2. 所以公共点为(1,2)，所以公共点的极径为ρ＝22＋1＝ 5. 15．设飞机以v ＝150 m/s 的速度水平匀速飞行，若在飞行高度h ＝588 m 处投弹(假设炸弹的初速度等于飞机的速度)．(1)求炸弹离开飞机后的轨迹方程；(2)试问飞机在离目标多远(水平距离)处投弹才能命中目标．解 (1)如图所示，A 为投弹点，坐标为(0,588)，B 为目标，坐标为(x 0,0)．记炸弹飞行的时间为t ，在A 点t ＝0.设M (x ，y )为飞行曲线上的任一点，它对应时刻t ，炸弹初速度v 0＝150 m/s ，用物理学知识，分别计算水平、竖直方向的路程，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝v 0t ，y ＝588－12gt2(g ＝9.8 m/s 2)， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝150t ，y ＝588－4.9t 2，所以炸弹离开飞机后的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝150t ，y ＝588－4.9t 2.(2)炸弹飞行到地面目标B 处的时间t 0满足方程y ＝0，即588－4.9t 20＝0，解得t 0＝230 s. 将t 0＝230代入x ＝150t 0中，得x 0＝30030 m.。
精品-新人教版2018_2019学年高中数学第二讲参数方程四渐开线与摆线讲义含解析新人教A版选修4_4
四渐开线与摆线1．渐开线的产生过程把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持基圆．，相应的定圆叫做渐开线绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔画出的曲线就是圆的2．摆线的概念及产生过程的轨迹，圆的摆线定点圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个旋轮线．又叫3．圆的渐开线和摆线的参数方程(1)圆的渐开线方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r(cos φ＋φsin φ)，y ＝r(sin φ－φcos φ)(φ为参数)(2)摆线的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r(φ－sin φ)y ＝r(1－cos φ)(φ为参数)．[例1] [思路点拨]关键根据渐开线的生成过程，归结到向量知识和三角的有关知识建立等式关系．[解]以圆心为原点O ，绳端点的初始位置为M 0，向量的方向为x 轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意点M (x ，y )，绳拉直时和圆的切点为A ，故OA ⊥AM ，按渐开线定义，弧的长和线段AM 的长相等，记OA ―→和x 轴正向所夹的角为θ(以弧度为单位)，则|AM |＝＝4θ.作AB 垂直于x 轴，过M 点作AB 的垂线，由三角函数和向量知识，得OA ―→＝(4cos θ，4sin θ)．由几何知识知∠MAB ＝θ，AM ―→＝(4θsin θ，－4θcos θ)，所以OM ―→＝OA ―→＋AM―→ ＝(4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ)＝(4(cos θ＋θsin θ)， 4(sin θ－θcos θ))．又OM ―→＝(x ，y )，因此有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4(cos θ＋θsin θ)，y ＝4(sin θ－θcos θ). 这就是所求圆的渐开线的参数方程．圆的渐开线的参数方程中，字母r 表示基圆的半径，字母φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M 相对于圆心的张角；另外，渐开线的参数方程不宜化为普通方程．1．已知圆的渐开线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ＋3φsin φ，y ＝3sin φ－3φcos φ(φ为参数)，则此渐开线对应基圆的半径是________．解析：圆的渐开线的参数方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3(cos φ＋φsin φ)，y ＝3(sin φ－φcos φ)(φ为参数)，圆的渐开线的参数方程由圆的半径惟一确定，从方程不难看出基圆的半径r ＝3.答案：32．已知圆的直径为2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上的两点A ，B 对应的参数分别是π3和π2，求A ，B 两点的距离．解：根据条件可知圆的半径是1，所以对应的渐开线参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)，分别把φ＝π3和φ＝π2代入，可得A ，B 两点的坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋3π6，33－π6，B ⎝⎛⎭⎪⎫π2，1.那么，根据两点之间的距离公式可得A ，B 两点的距离为|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋3π6－π22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33－π6－12＝16(13－63)π2－6π－363＋72.即A ，B 两点之间的距离为16(13－63)π2－6π－363＋72.[例2] M 在原点O 处，取圆滚动时转过的角度α(以弧度为单位)为参数)．[思路点拨]利用向量知识和三角函数的有关知识求解．[解]当圆滚过α角时，圆心为点B ，圆与x 轴的切点为A ，定点M 的位置如图所示，∠ABM ＝α.由于圆在滚动时不滑动，因此线段OA 的长和圆弧的长相等，它们的长都等于2α，从而B 点坐标为(2α，2)，向量OB ―→＝(2α，2)，向量MB ―→＝(2sin α，2cos α)，BM ―→＝(－2sin α，－2cos α)，因此OM ―→＝OB ―→＋BM―→＝(2α－2sin α，2－2cos α)＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))．又动点M 的坐标为(x ，y )，向量OM ―→＝(x ，y )所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(α－sin α)，y ＝2(1－cos α). 这就是所求摆线的参数方程．(1)圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹． (2)根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可知其中的字母r 是指定圆的半径，参数φ是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度大小．3．摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(t －sin t)，y ＝2(1－cos t)(0≤t ≤2π)与直线y ＝2的交点的直角坐标是________．答案：(π－2,2)，(3π＋2,2)4．圆的半径为r ，沿x 轴正向滚动，圆与x 轴相切于原点O .圆上点M 起始处沿顺时针已偏转φ角．试求点M 的轨迹方程．解：如图所示，作MA ⊥x 轴于点A ，作CB ⊥MA 于点B ，则x M ＝r ·φ－r ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π2＝r (φ－sin φ)，y M ＝r ＋r ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π2＝r (1－cos φ)．即点M 的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r(φ－sin φ)，y ＝r(1－cos φ).一、选择题1．半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是()A ．πB ．2πC ．12πD ．14π解析：选C 根据条件可知，圆的摆线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数)，把y ＝0代入，得φ＝2k π(k ∈Z)，此时x ＝6k π(k ∈Z)．2．给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x 轴一定有交点而且是唯一的交点．其中正确的说法有()A ．①③B ．②④C ．②③D ．①③④解析：选C 对于一个圆，只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择体系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置．3．已知一个圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，那么圆的摆线方程中参数取π2对应的点A 与点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2之间的距离为()A.π2－1 B.2C.10D.3π2－1解析：选 C 根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3(φ－sin φ)，y ＝3(1－cos φ)(φ为参数)，把φ＝π2代入参数方程中可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，y ＝3，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，3，∴|AB |＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1－3π22＋(3－2)2＝10.4．如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫做“正方形的渐开线”，其中AE ，EF ，FG ，GH …的圆心依次按B ，C ，D ，A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 长是()A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π解析：选C 根据渐开线的定义可知，AE 是半径为1的14圆周长，长度为π2，继续旋转可得EF 是半径为2的14圆周长，长度为π；FG 是半径为3的14圆周长，长度为3π2；GH 是半径为4的14圆周长，长度为2π，所以曲线AEFGH 的长是5π.二、填空题5．我们知道关于直线y ＝x 对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r(φ－sin φ)，y ＝r(1－cos φ)(φ为参数)关于直线y ＝x 对称的曲线的参数方程为________．解析：关于直线y ＝x 对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x 与y 的互换，所以要写出摆线方程关于y ＝x 对称的曲线方程，只需把其中的x ，y 互换．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r(1－cos φ)，y ＝r(φ－sin φ)(φ为参数)6．已知圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是__________，当参数φ＝π4时对应的曲线上的点的坐标为__________．解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径惟一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为 2.求当φ＝π4时对应的坐标只需把φ＝π4代入曲线的参数方程，得x ＝22＋2π8，y ＝22－2π8，由此可得对应的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋2π8，22－2π8.答案：2⎝⎛⎭⎪⎫22＋2π8，22－2π87．已知一个圆的摆线过点(1,0)，则摆线的参数方程为______________．解析：圆的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r(φ－sin φ)，y ＝r(1－cos φ)，令r (1－cos φ)＝0，得φ＝2k π，代入x ＝r (φ－sin φ)，得x ＝r (2k π－sin 2k π)，又过(1,0)，∴r (2k π－sin 2k π)＝1，∴r ＝12k π.又r ＞0，∴k ∈N ＋.答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12k π(φ－sin φ)，y ＝12k π(1－cos φ)，(φ为参数，k ∈N ＋)三、解答题8．有一个半径是2a 的轮子沿着直线轨道滚动，在轮辐上有一点M ，与轮子中心的距离是a ，求点M 的轨迹方程．解：设轮子中心为O ，则OM ＝a .点M 的轨迹即是以O 为圆心，a 为半径的基圆的摆线．由参数方程知点M 的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a(φ－sin φ)，y ＝a(1－cos φ).9．已知一个圆的摆线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4φ－4sin φ，y ＝4－4cos φ(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．解：根据摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积是16π，该圆对应的渐开线参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ＋4φsin φ，y ＝4sin φ－4φcos φ.(φ为参数)10．已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程．解：令y ＝0，可得a (1－cos φ)＝0，由于a ＞0，即得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z)．代入x ＝a (φ－sin φ)，得x ＝a (2k π－sin 2k π)(k ∈Z)．又因为x ＝2，所以a (2k π－sin 2k π)＝2(k ∈Z)，即得a ＝1k π(k ∈Z)．又由实际可知a ＞0，所以a ＝1k π(k ∈N ＋)．易知，当k ＝1时，a 取最大值为1π.代入即可得圆的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1π(φ－sin φ)，y ＝1π(1－cos φ).(φ为参数)圆的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1π(cos φ＋φsin φ)，y ＝1π(sin φ－φcos φ).(φ为参数)。
第2讲 第1节参数方程的概念
第二步，选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点： 一是曲线上每一点的坐标x，y与参数的关系比较明显，容易列
出方程；二是x、y的值可以由参数唯一确定．例如，在研究运
动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋 转角为参数．此外，离某一定点的“有向距离”、直线的倾斜
角、斜率、截距等也常常被选为参数．
(t为参
对应的参数t有解，
否则无解，即参数t不存在．
数学D 选修4-4
第二讲 参数方程
预习学案 课堂讲义 课后练习
[变式训练]
1.已知曲线C的参数方程为
x＝t＋1 2 y ＝ t －4
(t为参
数)判断点A(3,0)，B(－2,2)是否在曲线C上？若在曲线上，求出 点对应的参数的值．
(0≤t≤a，t为参数)．
数学D 选修4-4
第二讲 参数方程
预习学案 课堂讲义 课后练习
在 过 去的学 习 中我们已经 掌 握了一 些 求曲线 方 程的方
法．在求某些曲线方程时，直接确定曲线上点的坐标x，y的关
系并不容易，但如果利用某个参数作为联系它们的桥梁，那么 就可以方便地得出坐标x，y所要适合的条件，即参数可以帮助
所以点B－
，
3 5π 3，2在曲线C上，对应θ＝ . 6
数学D 选修4-4
第二讲 参数方程
预习学案 课堂讲义 课后练习
[规律方法]
对于曲线C的普通方程f(x，y)＝0，若点
M(x1，y1)在曲线上，则f(x1，y1)＝0，若点N(x2，y2)不在曲线
x＝ft 上，则f(x2，y2)≠0.同样，对于曲线C的参数方程 y＝gt x1＝ft 数)，若点M(x1，y1)在曲线上，则 y1＝gt
数学参数方程知识点总结8篇
数学参数方程知识点总结8篇第1篇示例：数学中的参数方程是一种常用的描述曲线、曲面的方法，它的应用非常广泛，涉及到几何、物理、工程等各个领域。
掌握数学参数方程的知识对于深入理解数学的原理和应用非常重要。
下面将对数学参数方程的相关知识点进行总结。
一、参数方程的定义参数方程是指用一个或多个参数表示的方程。
通常情况下，参数方程用t表示参数。
比如一个二维曲线的参数方程可以表示为x=f(t),y=g(t)，其中f(t)和g(t)分别表示曲线上点的横坐标和纵坐标关于参数t 的函数。
1. 描述曲线的形状参数方程可以用来描述各种不规则曲线，如螺旋线、心形曲线等。
通过选择合适的参数函数，可以绘制出各种形状独特的曲线。
2. 计算曲线的长度对于参数方程表示的曲线，可以利用微积分的知识计算曲线的长度。
通过计算曲线上相邻两点之间的距离，对其进行积分求和，可以得到曲线的长度。
曲线的曲率是描述曲线弯曲程度的一个重要指标。
利用参数方程表示的曲线可以通过求导计算出曲线的曲率，并进一步研究曲线的几何性质。
4. 综合应用在物理学、工程学等领域中，参数方程的应用非常广泛。
比如在物体运动学的研究中，可以用参数方程描述物体在空间中的运动轨迹，从而计算速度、加速度等物理量。
三、参数曲面方程除了参数方程可以描述曲线外，参数方程也可以用来描述曲面。
一个三维曲面的参数方程可以表示为x=f(u,v), y=g(u,v), z=h(u,v)，其中f(u,v)、g(u,v)、h(u,v)分别表示曲面上点的三个坐标关于参数u,v的函数。
四、常见参数曲线1. 抛物线：x=t, y=t^2。
这个参数方程描述了抛物线的形状，t的取值范围可以确定抛物线的长度和位置。
2. 圆弧：x=a\cos t, y=a\sin t。
这个参数方程描述了以原点为圆心、半径为a的圆的圆弧。
五、总结第2篇示例：数学中的参数方程是一种描述曲线或曲面的方法，它利用参数表示曲线或曲面上的点的位置。
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【金版学案】2015-2016学年高中数学第二讲参数方程本讲小结
新人教A版选修4-4
一、基本内容简介
1．参数方程．
2.几种常见曲线的参数方程及相应的普通方程：
(1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l ：
⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α
(t 为参数)． 普通方程：y －y 0＝tan α(x －x 0)或x ＝x 0.
t 的几何意义：直线l 上任一点P (不同于M 点)为终点，M 为起点的有向线段MP 的长度．
(2)以原点为圆心，半径为r 的圆：
⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝r cos φ，y ＝r sin φ(φ为参数)． 普通方程：x 2＋y 2＝r 2
.
(3)中心在原点，长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦点在x 轴上的椭圆：
⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)． 普通方程：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)． (4)中心在原点，实轴长为2a ，虚轴长为2b ，焦点在x 轴上的双曲线：
⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝a sec φ，y ＝b tan φ(φ为参数)． 普通方程：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)． (5)顶点在原点，x 轴为对称轴，开口向右且焦点到准线的距离为p 的抛物线：
⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2
，y ＝2pt (p ＞0，t 为参数)． 普通方程：y 2
＝2px (p ＞0)．
(6)圆的渐开线方程：
⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r （cos φ＋φsin φ），y ＝r （sin φ－φcos φ）(φ为参数)． (7)摆线的参数方程：
⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r （φ－sin φ），y ＝r （1－cos φ）
(φ为参数)． 3．直线参数方程的一般形式及应用：过定点M (x 0，y 0)的直线l 的一般形式：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt ，其中t 为参数，a 、b 为常数且满足a 2＋b 2≠0.当a 2＋b 2
＝1时，t 才具有几何意义．
①求直线l 被二次曲线f (x ，y )＝0截得的弦长|PQ |.
将直线l 的参数方程代入曲线方程得到关于t 的二次方程： At 2＋Bt ＋C ＝0(A ≠0)，
则|PQ |＝a 2＋b 2·B 2－4AC |A |. ②普通方程：当a ＝0时，x ＝x 0；
当a ≠0时，y －y 0＝b a
(x －x 0)．
二、学习参数方程重点注意的几点
1．关于参数方程的学习，首先要正确理解曲线的参数方程的概念，注意掌握课本中讲
到的曲线的参数方程、直线的参数方程、圆的参数方程、椭圆的参数方程(这三个内容新教材中也有)、双曲线的参数方程、抛物线的参数方程．
2．由于同学们对曲线的普通方程有着较深刻的理解和掌握，因此要善于消去参数，把参数方程化为普通方程，进而可以再研究曲线的几何性质．消去参数的常用方法有：①代入消参法；②三角消参法；③根据参数方程的特征，采用消参的手段．
3．参数方程的一个优点是曲线上的动点坐标(x，y)中的x和y分别用第三个变量t来表示，因此在利用参数方程解答数学问题时就可以消去x和y，转化为t的方程或t的函数问题了．
4．参数的方法在求曲线的方程等方面有着广泛的应用，要注意合理选参、巧妙消参．5．参数既是刻画变化状态的工具，又是揭示问题中内在联系的媒介，确立参数思想是提高数学能力的
重要环节，一些解析几何问题，适当地引进参数后，问题的难度明显降低．但参数方程只是曲线方程多种形式的一种，利用参数方程研究曲线或建立轨迹参数方程有它的简便之处，但也不是任何问题参数法就比其他解法优越，因此，复习中应要求恰当，既不能简单处理，也不宜要求过高．
在求动点轨迹方程的综合问题中，常用参数法．其步骤为：
(1)选参数并确定参数的取值范围；
(2)建立参数与x、y的函数关系；
(3)消参数并整理得普通方程．
6．在选择参数时，要注意以下几点：
(1)参数应与动点坐标x、y有直接关系，且x、y便于用参数表示．
(2)选择的参数要便于使问题中的条件解析化．
(3)对于所选定的参数，要注意其取值范围，并能确定参数对x、y取值范围的制约．
(4)若求轨迹，应尽量使所得的参数方程便于消去参数得普通方程．
7．提高利用转化解题的意识．
建立曲线方程时，可先引入参数，建立起参数方程，再化为普通方程；同样地，在根据参数方程确定曲线的形状和研究性质时，又往往化为普通方程来求解．这一转化过程能降低解题难度，是一个有效的过程，在解题时应善于应用．。