平面几何(基本方法3)

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第三节几何法展开的三个基本方法与典型实例

第三节几何法展开的三个基本方法与典型实例一、几何作图1。

常用几何划线工具说起画线,大家没有不明白的.然而提到划线, 能准确表述的人就不多了。

此处所说的划线是专业术语，它也是一种画线，只不过用的工具和画的对象不同. 划线是用高硬度划线工具,如划针、划规、中心冲，直接在材料上精确刻划和冲点，划出的线条很细。

为了凸显它，往往还要沿线打上样冲眼；为清晰起见, 必要时金属材料表面还应该专门涂色.显然, 划针划线比铅笔画线要精确得多.展开放样和样板制作的材料一般采用薄钢板、厚纸板和油毛毡,在这些材料上精确作图，以划为主；当然，需要时也还是要用色笔画的，只要能保证精度要求，什么便当，就用什么画。

以下介绍的，是钣金冷作工以划为主的常用划线工具。

1) 15m盘尺、3m卷尺、1m长尺、300 mm钢尺、150 mm钢尺、150 mm宽座角尺、大三角板、吊坠2) 划规、分规、地规、划针、划针盘、石笔、粉线、墨斗3) 中心冲、手锤4) 展开平台2. 常用几何画线对展开放样来说，以下常用的一些几何画线是必须掌握的。

因时间关系，这里只提出基本要求，具体的画法就不多讲了. 不清楚的地方，请自己复习《工程制图》中的相关内容.1) 长直线、大圆弧的画法2 ) 特殊角度、一般角度的画法3) 直线、圆弧、角度的等分4 ) 直线曲线的吻接5) 常见曲线的画法(正弦曲线、椭圆、四心圆、摆线、渐开线、阿基米德螺线)二、大小头与放射线法1. 大小头的表面特性大小头上下口平行，是圆管变径时使用的连接件，有同心和偏心之分。

同心大小头表面是正圆锥面，偏心大小头表面是斜圆锥面。

立管变径时,连接件常采用同心大小头. 水平管路变径，要求严格时用同心大小头就不合适了. 这是因为介质为液体时水平管路需要排除内部产生的、妨碍运行的气体, 因此连接处要求管道顶平，以利于排尽不需要的气体；相反，气管则需要排除积液, 管路要求底平，以利于排尽不需要的液体。

90°偏心大小头，它可以在水平敷设的管路变径时使管道顶平或者是底平，因而在水平管路变径中大显身手。

数学中的平面几何与直角三角形性质

数学中的平面几何与直角三角形性质一、平面几何基本概念1.点：在几何中，点是没有任何大小和形状的，只有位置的数学抽象。

2.线段：由两个端点和它们之间的所有点组成，具有长度。

3.射线：一个起点，向一个方向无限延伸的直线。

4.直线：无起点，无终点的无限延伸的线。

5.平面：无限大的，无限延伸的二维空间。

6.三角形：由三条线段组成的平面图形。

7.四边形：由四条线段组成的平面图形。

8.多边形：由多条线段组成的平面图形，边数大于等于3。

二、直角三角形性质1.直角三角形：有一个角是直角（90度）的三角形。

2.直角边：与直角相邻的两条边。

3.斜边：直角三角形中最长的一条边，与直角非相邻。

4.勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

5.相似三角形：具有相同形状，但大小不同的三角形。

6.直角三角形的面积：直角边乘积的一半。

7.直角三角形的射影定理：直角三角形的三个内角的正切值相等。

8.直角三角形的对称性质：斜边中线等于斜边的一半，斜边上的高线垂直平分斜边。

三、平面几何与直角三角形的联系1.直角三角形是平面几何中的一个重要组成部分。

2.平面几何中的很多定理和性质在直角三角形中都有特殊的表现。

3.直角三角形的性质可以推广到其他类型的三角形，从而扩展平面几何的知识体系。

四、平面几何与直角三角形在实际应用中的例子1.测量土地面积：通过测量直角三角形的斜边和高，可以计算出土地的面积。

2.建筑设计：在建筑设计中，直角三角形的性质可以帮助计算建筑物的尺寸和结构稳定性。

3.物理学：在物理学中，直角三角形的性质可以帮助计算物体的速度、加速度和位移等。

总结：平面几何与直角三角形性质是数学中的基本知识点，掌握这些知识可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。

习题及方法：1.习题：判断下列各组点是否共线。

A. (1, 2), (2, 3), (3, 4)B. (1, 1), (2, 2), (3, 3)C. (0, 0), (1, 1), (2, 2)A. 通过观察可以发现，点A中的三个点依次增加1，因此它们共线。

平面几何问题的解决方法总结(一)

平面几何问题的解决方法总结(一)介绍平面几何问题是我们在日常生活和研究中经常遇到的问题，本文将总结一些解决这类问题的方法，供大家参考。

问题分类1. 求线段长度求线段长度是平面几何中最基本的问题之一。

如果我们已知线段的两个端点的坐标，可以用勾股定理求出其长度。

即：如果线段的两个端点的坐标分别为$P(x_1, y_1)$和$Q(x_2,y_2)$，则线段$PQ$的长度为$|PQ| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 -y_1)^2}$。

2. 判定两条线段是否相交判定两条线段是否相交同样也是平面几何中的基本问题。

如果两个线段分别为$P_1Q_1$和$P_2Q_2$，则它们相交的条件是：$P_1$和$Q_1$分别在$P_2Q_2$的两侧，且$P_2$和$Q_2$分别在$P_1Q_1$的两侧。

具体而言，如果三角形$P_1P_2Q_1$和$P_1Q_1Q_2$的方向不同，且三角形$P_2P_1Q_2$和$P_2Q_2Q_1$的方向也不同，则可以判定$P_1Q_1$和$P_2Q_2$相交。

3. 求两数之和/差/积/商的最简形式在平面几何中，有些问题可能需要求解两个数的和/差/积/商的最简形式，以便进一步计算。

例如，若已知直角三角形两条直角边的长度，求其斜边的长度时，需要将两个直角边的平方和开方。

而两个数的平方和在最简形式下往往可以写成$a^2+b^2$的形式。

因此，我们需要将两个数化为最简形式$a/b$和$c/d$，然后求出它们的平方和$(ad)^2+(bc)^2$，并化简得到最终结果。

结论以上介绍了平面几何中的一些基本问题及其解决方法，包括求线段长度、判定两条线段是否相交、求两数之和/差/积/商的最简形式等。

这些方法都是比较简单和实用的，大家可以根据实际需要灵活运用。

下一篇文章中，我们将继续总结其他常见的平面几何问题及其解决方法。

《平面几何中的向量方法》知识清单

《平面几何中的向量方法》知识清单一、向量的基本概念向量是既有大小又有方向的量。

在平面几何中，我们通常用有向线段来表示向量。

向量的大小称为向量的模，记作\（＼vert\vec{a}＼vert\）。

两个向量相等，当且仅当它们的大小相等且方向相同。

零向量是模为\（0\）的向量，记作\（＼vec{0}＼），其方向是任意的。

单位向量是模为\（1\）的向量。

二、向量的运算1、加法向量的加法满足三角形法则和平行四边形法则。

三角形法则：已知向量\（＼vec{a}＼），＼（＼vec{b}＼），将\（＼vec{b}＼）的起点平移到\（＼vec{a}＼）的终点，连接\（＼vec{a}＼）的起点与\（＼vec{b}＼）的终点，得到的向量就是\（＼vec{a} ＋＼vec{b}＼）。

平行四边形法则：以同一点\（O\）为起点的两个已知向量\（＼vec{a}＼），＼（＼vec{b}＼），以\（＼vec{a}＼），＼（＼vec{b}＼）为邻边作平行四边形\（OACB\），则对角线\（＼overrightarrow{OC}＼）就是\（＼vec{a}＼）与\（＼vec{b}＼）的和。

向量加法的运算律：交换律：＼（＼vec{a} ＋＼vec{b} ＝＼vec{b} ＋＼vec{a}＼）结合律：＼（（＼vec{a} ＋＼vec{b}）＋＼vec{c} ＝＼vec{a} ＋（＼vec{b} ＋＼vec{c}）＼）2、减法与向量\（＼vec{a}＼）长度相等，方向相反的向量，叫做\（＼vec{a}＼）的相反向量，记作\（＼vec{a}＼）。

向量的减法是向量加法的逆运算，＼（＼vec{a} ＼vec{b} ＝＼vec{a} ＋（＼vec{b}）＼）。

3、数乘实数\（＼lambda\）与向量\（＼vec{a}＼）的积是一个向量，记作\（＼lambda\vec{a}＼）。

当\（＼lambda ＞ 0\）时，＼（＼lambda\vec{a}＼）与\（＼vec{a}＼）的方向相同；当\（＼lambda ＜ 0\）时，＼（＼lambda\vec{a}＼）与\（＼vec{a}＼）的方向相反；当\（＼lambda ＝ 0\）时，＼（＼lambda\vec{a} ＝＼vec{0}＼）。

平面体系几何组成分析的方法(静定的概念)(建筑力学)

当使用判定规则进行判定时，可以使用如下技巧，使问题简化： ①去二元体； ②地基可以当作特殊的刚片； ③扩大刚片法：将整个体系的几何不变部分看作刚片，并考察其与周围部分的连接方式，逐步扩大刚片，减少杆件数目； ④刚片与链杆灵活转换：根据需要可以将链杆当作刚片使用，也可以将刚片（包括地基）或几何不变部分当作链杆使用； ⑤巧用虚铰：链杆数目较多时，使用虚铰可以使体系简化。
例题分析
例1.分析图示体系的几何构造性。解析：（1）计算自由度
W 4244 0
自由度为0，说明体系具有成为几何不变体系的最少约束数目。进一步判断，依次去掉二元体DFE、BDC、BEC、BCA后，整个体系只剩下地基了，为几何不变体系。由于去掉二元体并不改变原体系的几何构造性，因此原体系也是几何不变体系。
二元体规则是非常好用的规则，特别是去二元体，可以大大简化体系构件数目，使判断简化，其主要有以下几个技巧：
（1）根据需要进行链杆与刚片之间的转化，巧妙使用二元体；（2）当体系比较复杂时，可以先考虑其中的一个它部分之间的连接关系，判定整个体系的几何构造性。
例题分析
例2.分析图示体系的几何构造性。解析：（1）计算自由度
W 72 113 0
自由度为0，说明体系具有成为几何不变体系的最少约束数目。体系没有二元体，但体系本身是有二元体的，去掉所有二元体，只剩下一个杆件，所以体系本身几何不变，再考虑其与地基的连接方式，判定体系几何不变。
总结与技巧
示例
例1.分析图示体系的几何构造性。
解析：（1）计算自由度
W 7277 0
体系具有成为几何不变体系的最少约束数目，需进一步判断。（2）依次去掉二元体FAB、IED、FBJ、IDC如图所示。（3）三角形GCH看作刚片Ⅰ，地基看作特殊刚片Ⅱ。（4）刚片Ⅰ、Ⅱ之间通过三根链杆相连，三链杆汇交

平面几何的基本概念和定理

平面几何的基本概念和定理1. 基本概念1.1 点平面几何的研究对象是由点、线、面组成的。

点是几何图形的基本元素，用来表示位置。

在平面几何中，点没有大小和形状，只有位置。

我们通常用大写字母来表示点，如A、B、C等。

1.2 直线直线是由无数个点连成的，它在平面内延伸无穷远。

我们通常用一个小写字母加上箭头表示直线，如直线AB、CD等。

直线上的点可以用小写字母表示，如点P、Q、R等。

1.3 射线射线是由一个起点开始，延伸到一个方向上的直线。

我们通常用一个小写字母加上箭头表示射线，如射线AB、CD等。

射线上的点可以用小写字母表示，如点P、Q、R等。

1.4 线段线段是由两个端点确定的直线部分，具有有限的长度。

我们通常用两个端点的大写字母表示线段，如线段AB、CD等。

1.5 平面平面是由无数个点组成的二维空间。

在平面几何中，我们通常用大写字母I表示平面，如平面ABCD等。

1.6 角角是由两条射线的公共端点和这两条射线的延伸部分组成的图形。

我们通常用一个小写字母表示角的顶点，如角A、B、C等。

角的度量单位是度（°），用符号°表示。

1.7 三角形三角形是由三条线段组成的平面图形，具有三个顶点和三个内角。

我们通常用三个顶点的大写字母表示三角形，如三角形ABC等。

1.8 四边形四边形是由四条线段组成的平面图形，具有四个顶点和四个内角。

我们通常用四个顶点的大写字母表示四边形，如四边形ABCD等。

1.9 圆圆是由平面上所有与给定点（圆心）距离相等的点组成的图形。

我们通常用圆心和半径的大写字母表示圆，如圆O（半径为r）。

2. 基本定理2.1 欧几里得几何公理欧几里得几何公理是平面几何的基础，包括以下五个公理：1.任意两点之间存在唯一的直线。

2.直线上的点可以按任意顺序排列。

3.任意两点确定一条直线。

4.直线上的点与直线外的点确定一条直线。

5.平面上任意一点到平面上任意一点的直线是唯一的。

2.2 平行线公理平行线公理是指：如果两条直线在平面内不相交，那么这两条直线是平行的。

平面几何中三点共线的常见解法

2叙嗲活幼嫘歿讲；I中等数学平面几何中三点共线的常见解法T S J瑜(天津师范大学数学科学学院2019级硕士研究生，300387 )中图分类号:〇123.1 文献标识码:A文章编号：1005 - 6416(2021)04 - 0002 - 06(本讲适合高中）证明三点共线是数学竞赛中的一种常见题型.本文结合近几年国内外数学竞赛中的典型例题介绍几种常见的解题方法.1利用梅涅劳斯定理的逆定理例 1 已知的三条中线A4'、与其九点圆分别交于点£>、£、厂直线fiC、C4、仙上的点L、M、iV分别为A/lfiC 的三条高线的垂足，九点圆上以Z)、瓦、F为切点的三条切线与直线M/V、L/V、L M分别交于点'(?、/?.证明:P、<?、/?三点共线.[1](第17届地中海地区数学竞赛）证明如图1，设A/I S C的重心为C.图1由梅涅劳斯定理的逆定理，知只要证收稿日期:2020-11 -18NP MR LQ^p m'~r l'q n='A P D N c^^PMD.别得+h.NP^apdn ND1^P M~S^d m~DM2'^./i U X i U MR MF2LQ LE2类似地，RL = Fl T#= Ei y r为证式①成立，只要证ND MF LEd m'~f l'e n='②在A和A中，由正弦定理分ND ADsin Z BAG~ sin Z A N D'MD ADsin 乙 CAG sin Z A M D '两式相除得ND sin Z CAG sin AMDDM sin Z BAG sin Z ANDsin Z B'A'D B'D③sin C'A'D~C'D '类似地，MF sin Z BCGFL sin Z ACGA'FB'F，④LE sin 乙 ABG C'E⑤EN sin Z CBG A'E '对A4S C和点G应用角元塞瓦定理知sin /_ BAG sin X ACG sin X CBG_ .⑥sin CAG sin /_ BCG sin 乙ABG2021年第4期3③〜⑥四式相乘得ND MF LE BfD ArF C E----•—• — —-----•------•DM FL EN~ C'D B'F A'E'又由六点共圆，则A G D B'c^^GEA'B'D DGZ E =£G '米加她 A，F FG C，E EG类似地，C,Z)—D G W F— F G .三式相乘并代人式⑦，即得式②成立.【注】对于证明中的式⑦，由于圆内接凸六边形水/满足氺£)、57、(：7三线共点，由角元塞瓦定理的推论也可得A'F B'D C'E~FB''15C''~EA'=j即式⑦右边=1.2利用平角的定义或角相等(1)如图，…，/)…为平面上 » +3个点，若Z A B D t +Z D'BD2+.._+Z D…B C= M)。

平面几何3--托勒密定理及应用

平面几何（3）----托勒密定理及应用托勒密定理：圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两对角线的乘积推论1（三弦定理）如果A 是圆上任意一点，AB ，AC ，AD 是该圆上顺次的三条弦，则sin sin sin AC BAD AB CAD AD CAB ⋅∠=⋅∠+⋅∠推论2（四角定理）四边形ABCD 内接于O ，则sin sin sin sin sin sin ADC BAD ABD BDC ADB DBC ∠⋅∠=∠⋅∠+∠⋅∠直线上的托勒密定理（或欧拉定理）若A ，B ，C ，D 为一直线上依次排序的四点，则AB CD BC AD AC BD ⋅+⋅=⋅四边形中的托勒密定理：设ABCD 为任意凸四边形，则,AB CD BC AD AC BD ⋅+⋅≥⋅当且仅当A ，B ，C ，D 四点共圆时取等号托勒密定理的逆定理：在凸四边形ABCD 中，若AB CD BC AD AC BD ⋅+⋅=⋅，则A ，B ，C ，D 四点共圆例1：在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 的大小成等比数列，且22b a ac -=，则角B 的弧度数等于多少？例2：凸四边形ABCD 中，60,90o o ABC BAD BCD ∠=∠=∠=，AB=2，CD=1，对角线AC ，BD 交于点O ，如图，求sin AOB ∠例3：如图，在锐角ABC 的BC 边上有两点E ，F ，满足,BAE CAF ∠=∠作FM AB ⊥于M ，FN AC ⊥于N ，延长AE 交ABC 的外接圆于点D ，证明：四边形AMDN 与ABC 的面积相等.例4：如图，在ABC 中，60o A ∠=，,AB AC >点O 是外心，两条高BE ，CF 交于H 点，点M ，N 分别在线段BH ，HF 上，且满足BM=CN ，求MH NH OH+的值例5：若有四个圆都与第五个圆内切，第一个与第二个圆的外公切线长用12l 表示，其他前四个圆中的两两的外公切线也用同样的方法来标记，且前四个圆以顺时针的顺序排列，试证明依次以12233441,,,l l l l 为边长，以1324,l l 为对角线所构成的凸四边的四个顶点共圆.例6：经过XOY ∠的平分线上的一点A ，任作一直线与OX 及OY 分别相交于P,Q ，求证：11OP OQ+为定值例7：圆内接六边形ABCDEF 的对角线共点的充要条件是1AB CD EF BC DE FA ⋅⋅=。

罗胖子数学几何韬略之几何基础 (3)

罗胖子数学几何韬略之几何基础 (3)罗胖子数学几何韬略之几何基础 (3)数学几何作为数学的一个重要分支，其研究对象是空间中的图形和它们之间的关系。

在数学几何的学习过程中，几何基础是至关重要的一部分，它包括了几何中的基本概念、基本定理以及基本推理方法。

在本文中，将继续介绍几何基础的内容，帮助读者更好地理解和掌握几何学的基本知识。

一、线段与直线线段是几何中最基本的一个概念，它是由两个不同的点确定的，可以表示为AB。

直线是由无数个点连成的，可以用有向线段或者符号表示。

在线段和直线之间有以下的基本关系：1. 一个点只能在唯一的一条直线上，一个点在一条线段上当且仅当它在这条线段所在的直线上并且它在这条线段的两个端点之间。

2. 如果两条直线有一个公共的点，则这两条直线可以重合。

二、角的概念与分类在几何中，角是由两条射线共同起点所确定的，可以用∠ABC来表示，其中A为顶点，B和C为射线。

根据角的大小可以将其分为以下几类：1. 零角：零角是指两条射线重合在一起的情况，可以用∠ABC=0表示。

2. 锐角：锐角是指两条射线之间的夹角小于90°的角，可以用0<∠ABC<90°表示。

3. 直角：直角是指两条射线之间的夹角等于90°，可以用∠ABC=90°表示。

4. 钝角：钝角是指两条射线之间的夹角大于90°但小于180°的角，可以用90°<∠ABC<180°表示。

5. 平角：平角是指两条射线之间的夹角等于180°，可以用∠ABC=180°表示。

三、图形的性质与分类图形是几何中的重要内容，不同的图形有着不同的性质和分类。

下面介绍一些常见的图形及其相关性质：1. 三角形：三角形是由三条线段所围成的图形。

根据边长的不同，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。

根据角的大小，三角形可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。

小学数学精讲(9)几何(三) 立体图形

小学数学精讲(9)几何（三）立体图形一、知识地图⎧⇒⎧⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⇒⎩⎪⎪⇒⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎩3“一个思想”不规则化为规则阳光照面求图形体积表面积“三个方法”看变化规律整体切片“一个模式”整体思考最短路线与展开图形状以点定线，以线定面n 边小正方形染色规律染色问题欧拉公式二、基础知识万丈高楼平地起。

我们可以这样说：把平面图形从平面拎到空间，让平面图形在空间上产生高度就形成了这一讲我们要研究的立体图形。

在现阶段，我们主要研究的立体图形有以下几种：立体图形表面积体积26S a =正方体 3V a =正方体2S ab bc ac =++长方体（） V abc =长方体2222S rh r ππ=+=+圆柱侧面积个底面积 2V r h π=圆柱22S l r ππ=++圆锥n侧面积底面积=360 注：l 是母线，即从顶点到底面圆上的线段长。

213V r h π=圆锥体24S r π=球体343V r π=球体特别的：关于球体还有这样一个结论：如果一个球体的直径与一个圆柱的直径与高都相等，那么：球体的体积等于以球大圆为底球的直径为高的圆柱体积的三分之二；球体的表面积等于以球大圆为底球的直径为高的圆柱的侧面积；球体的体积还等于以球大圆为底，球的半径为高的圆锥的体积的4倍。

这个图就是有名的阿基米德圆柱容球。

二、求立体图形的表面积和体积规则立体图形的表面积和体积我们可以直接应用公式进行计算。

不规则的立体图形的表面积和体积，一方面，我们可以应用和平面图形相同思考的方法来考虑把它转化为规则的立体图形进行计算；而另一方面，我们更注重的是观察图形从规则变为不规则的变化过程，通常这个过程我们需要以图形整体考虑为出发点。

这也就是我们求解此类问题常用方法的思想基础：、方法一：阳光照面阳光照面法从图形整体考虑出发，观察图形表面积特点。

方法二：与时俱进图形的变化，是从整体的变到不变的过程，找到变化的规律，注意图形的变化过程，观察求解，与时俱进，就是解决问题的秘籍宝典。

第三章平面与空间直线

第三章平面与空间直线本章以矢量为工具推导平面和空间直线各种形式的方程，讨论两平面，直线与平面，两直线的相互位置关系，并以矢量为工具推导两平面，直线与平面，两直线间的夹角公式以及点到平面，点到直线，两异面直线间的距离公式，最后又讨论了平面束方程及其应用。

本章的基本要求如下：A.掌握1.基本概念：平面的方位矢量和法矢量，量，方向角，方向余弦，方向数。

有轴平面束和平行面束。

点与平面间的离差，直线的方向矢量2.平面方程矢量形式的方程：点位式，一般式，参数式，点法式。

坐标形式的方程：点位式，三点式，截距式，一般式，参数式，点法式，法线式。

根据平面的方程画出平面的图形。

3.直线方程矢量形式的方程：点向式，参数式。

坐标形式的方程：对称式，两点式，参数式，一般式，射影式。

4.点，直线，平面的相关位置①用矢量方法讨论两平面的位置关系（相交，平行，重合），并求两平面间的夹角。

②点和平面的位置关系（点在或点不在平面上），利用平面的法线式方程求点与平面的离差和距离。

③用矢量方法讨论直线和平面的位置关系（相交，平行，直线在平面上），并求直线和平面间的夹角。

④点和直线的位置关系（点在直线上或点不在直线上），利用矢量方法求点到直线的距离。

⑤用矢量方法讨论两直线的位置关系（异面，相交，平行，重合）并求两直线间的夹角。

⑥平面束方程，利用平面束方程求空间直线在任一平面上的射影。

⑦空间圆的方程，圆心和半经的求法。

5.基本理论平面基本定理及其证明（定理3，1，1）有轴平面束方程及其证明（定理3，8，1）B.理解利用矢量方法求两异面直线的公垂线和两异面直线间的距离。

知识要求：1.知道决定平面的几何条件及矢量条件，会根据几何条件求出平面方程；2.掌握平面的参数方程、一般方程、法式方程、截距式方程；3.会求点到平面的距离；4.会用矢量条件判断平面与平面的位置关系；5.知道决定空间直线的几何条件及矢量条件，会根据几何条件求出直线方程；6.掌握空间直线的参数方程、两点式方程、一般方程、标准方程，会将参数方程、一般方程转化成标准方程；7.会用矢量条件判断直线与直线、平面与直线的的位置关系； 8.会求两直线之间的夹角；9.会求两异面直线之间的距离与公垂线方程； 10.了解平面束的概念。

立体几何题型与解题方法

立体几何重点题型与解题方法
1．平面平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。（1）.证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点（依据：由点在线上，线在面内，推出点在面内），这样可根据公理 2 证明这些点都在这两个平面的公共直线上。（2）.证明共点问题，一般是先证明两条直线交于一点，再证明这点在第三条直线上，而这一点是两个平面的公共点，这第三条直线是这两个平面的交线。（3）.证共面问题一般先根据一部分条件确定一个平面，然后再证明其余的也在这个平面内，或者用同一法证明两平面重合 2. 空间直线. （1）. 空间直线位置关系三种：相交、平行、异面. 相交直线：共面有且仅有一个公共点；平行直线：共面没有公共点；异面直线：不同在任一平面内，无公共点 [注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（×）（也可能两条直线平行，也可能是点和直线等）
组成一个直角三角形.
c.特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：
①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.
②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.
③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.
④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.
分线上。
4. 平面平行与平面垂直.
（1）. 空间两个平面的位置关系：相交、平行.
（2）. 平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.
（“线面平行面面平行”）
推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.
[注]：一平面内的任一直线平行于另一平面.

新教材高中数学第二章平面解析几何3圆及其方程3直线与圆的位置关系课件新人教B版选择性必修第一册

= 2 2 − 2 = 8 ⇒ 25 − 2 = 4 ⇒= 3，当直线的斜率不存
已知圆E经过点(−1,2), (6,3)，且_____________
（i）求圆的方程；
（ii）已知直线经过点(-2,2)，直线与圆相交所得的弦长为8，求直线
的方程.
（i）设圆的方程为 2 + 2 + + + = 0，依题意有
5 − + 2 + = 0,
易知圆心到直线y=x的距离 =
所以切线长的最小值为
2
3 2
，
2
− 2
=
3 2 2
( )
2
−(
2)2
=
10
，故选C.
2
探究点三直线和圆相交
例
（1）求直线: 3 + − 6 = 0被圆: 2 + 2 − 2 − 4 = 0截得的弦的长.
3 + − 6 = 0
2 − 3 + 2 = 0，解得交点
D. 相离
[解析] 圆 2 + 2 = 1的圆心为(0,0)，半径 = 1.
因为圆心(0,0)到直线 − 2 − 1 = 0的距离 =
所以直线与圆相交但直线不过圆心.
|0−0−1|
12 +(−2)2
=
5
＜1，
5
（2）（多选）已知圆: ( + cos)2 + ( − sin)2 = 1，直线: = .下
①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为，
则切线方程为 + 3 = ( − 4)，即 − − 4 − 3 = 0.
设圆的圆心为，则(3,1)，因为圆心到切线的距离等于半径1，

平面几何的性质与解题方法知识点总结

平面几何的性质与解题方法知识点总结平面几何是几何学的一个重要分支，研究平面上的点、线、面的性质以及它们之间的关系。

它在数学中有着广泛的应用，同时也是理工科学生必备的基础知识之一。

本文将就平面几何的性质和解题方法进行知识点总结。

一、点、线、面的基本性质1. 点：点是几何学的基本要素，没有大小和方向。

在坐标平面中，点可以用坐标表示，例如(x, y)。

2. 线：线是由无数个点组成的集合，具有长度但没有宽度。

根据点之间的位置关系，线可分为平行线、相交线、垂直线等。

3. 面：面是由无数个线段所围成的区域，具有长度和宽度。

平面上的常见几何图形，如三角形、矩形、圆等，都是由线和面组成的。

二、平面几何的性质1. 直角三角形的性质：- 勾股定理：直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。

- 特殊直角三角形：45°-45°-90°和30°-60°-90°直角三角形，它们的边长比例是确定的。

2. 圆的性质：- 圆心与半径：圆心是圆的中心点，半径是圆心到圆上任意一点的距离。

- 圆周角：圆周角是以圆心为顶点的角，它对应的弧长是一定的。

3. 与角度相关的性质：- 垂直角：两个相交直线所夹的角互为垂直角，垂直角的度数之和是180°。

- 同位角：同位角是两条平行线被一条直线截取的对应角，它们的度数相等。

- 内错角：内错角是两条平行线被一条穿过它们的直线截取的对应角，它们的度数之和是180°。

4. 多边形的性质：- 三角形：三角形的内角和是180°，根据边长关系，可以判断三角形的形状，如等腰三角形、等边三角形等。

- 矩形：矩形的对角线相等且互相垂直，对边相等。

- 正方形：正方形是一种特殊的矩形，它的四条边相等且互相垂直。

- 平行四边形：平行四边形的对边相等且互相平行。

- 圆形图形：圆形的内外切性质，以及切线与半径的关系等。

三、解题方法1. 利用图形的对称性：在解决几何问题时，可以利用图形的对称性质，如对称轴、中心对称等进行分析。

第三章基本几何体的投影

第三章　基本几何体的投影通常所说的基本几何体，包括棱柱体、棱锥体、圆柱体、圆锥体、球体和环等。

前两种立体的表面都是平面，称为平面立体；其余四种的表面是回转面或回转面与平面，称为回转体。

本章主要研究这些基本几何体的投影特性及其作图方法。

§3－1　平面立体的投影一、棱柱体的投影图３－１是五棱柱体和它的投影图。

该五棱柱体的顶面和底面均处于水平位置，其水平投影反映实形，正面和侧面投影均积聚成水平直线。

棱柱的五个侧棱面中最后的棱面DEE１D１处于正平面的位置，其正面投影反映实形，是不可见的面，故DD１、EE１两条棱线的正面投影d′d′１、e′e′１画成虚线，该棱面的水平投影和侧面投影积聚成直线。

其余四个侧棱面均为铅垂面，它们的水平投影都积聚成直线，正面投影和侧面投影为比实形小的矩形（类似形）。

图３－１　五棱柱体的投影画图时，一般先画反映底面实形的那个投影（即水平投影），然后再画正面和侧面投影，如图３－１ｂ所示。

在实际生产中所用的图纸都不必画出投影轴，如图３－１ｃ所示，但三个投影必须保持左右、上下、前后的对应关系，即V 、H 两面投影左右对正，V 、W 两面投影上下平齐，H 、W 两面投影前后相等。

二、棱锥体的投影图３－２是正三棱锥体和它的投影图。

该三棱锥体的底面处于水平位置，其水平面投影反映实形，正面和侧面投影积聚成水平直线。

三棱锥的右侧棱面SBC 为正垂面，其正面投影s ′b ′c ′积聚成直线，水平面投影sbc 和侧面投影s ″b ″c ″为类似形。

前棱面SAB 和后棱面SAC 均为一般位置平面，因而，它们的三面投影均为类似形（正面投影两个三角形重合）。

图３－２　正三棱锥体的投影画图时，先画出底面三角形ABC 和锥顶S 的投影，然后顺次连接各棱线SA 、SB 、SC 的同面投影，如图３－２ｂ所示。

通过棱柱和棱锥体的投影分析，可归纳如下几点：１）由于平面立体的棱线是直线，所以画平面立体的投影图就是先画出各棱线交点的投影，然后顺次连线，并注意区分可见性。

平面几何中的三角形和三角形的内角和定理

平面几何中的三角形和三角形的内角和定理三角形是平面上最简单、最基本的几何图形之一。

它由三条线段所围成，每条线段称为三角形的边，两条相邻的边所夹的角称为三角形的角。

在三角形中，有一些角具有特殊的性质，它们的和也有着特别的规律。

本文将介绍三角形中的三角形内角和定理，帮助读者更好地理解和应用平面几何。

一、三角形的内角和对于任意一个三角形ABC，三个内角的和应该等于180度，即∠A+∠B+∠C=180°。

这个结论可以用多种方法来证明。

方法一：利用三角形的等角定理。

我们先假设三角形ABC中的角A等于90度，则∠B和∠C互为余角，即∠B=90°－∠C。

将等式代入∠A+∠B+∠C=180°中，可以得到∠A+（90°－∠C）+∠C=180°，化简后得到∠A+90°=180°，即∠A=90°。

因此，三角形ABC是一个直角三角形。

方法二：利用平行线与交线的性质。

我们用线段AC作为三角形ABC的一条边，通过点B画一条平行于线段AC的直线DE，使DE与BC相交于点F。

因为AC与DE平行，所以∠A=∠E。

同时，∠EBF和∠CBF都是180度减去∠C，即∠EBF=∠CBF=180°－∠C。

因此，∠E+∠B+∠F=∠A+∠B+∠C=180°，即∠E+∠B+（180°－∠C）=180°，化简后得到∠E=∠C。

所以，∠A+∠B+∠C=∠E+∠B+∠C=180°。

方法三：利用三角形的面积公式。

我们将三角形ABC绕某个顶点旋转，使其底边平移至一条与底边平行的直线上，然后将三角形划分成两个梯形和一个三角形。

根据相似三角形的性质，两个梯形面积之和与三角形面积之比等于梯形的中线之比，即hA：hB=AC：BD。

因为BD=AC，所以hA=hB。

同理，再用梯形的面积公式，可得hA=hB=hC，即三角形ABC的三个高相等。

个人整理!高中数学联赛竞赛平面几何四大定理~及考纲

一、平面几何1.梅涅劳斯定理梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。

它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。

或：设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 。

证明：当直线交△ABC的AB、BC、CA的反向延长线于点D、E、F时，(AD/DB)*(BE/EC )*(CF/FA)=1逆定理证明：证明：X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1证明一过点A作AG∥BC交DF的延长线于G，则AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG三式相乘得：(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/DC)×(DC/AG)=1证明二过点C作CP∥DF交AB于P，则BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF所以有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1证明四过三顶点作直线DEF的垂线，AA‘，BB'，CC'有AD：DB=AA’：BB' 另外两个类似，三式相乘得1得证。

如百科名片中图。

※推论在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。

于是AL、BM、CN三线交于一点的充要条件是λμν=-1。

（注意与塞瓦定理相区分，那里是λμν=1）第一角元形式的梅涅劳斯定理如图：若E，F，D三点共线，则(sin∠ACF/sin∠FCB)(sin∠BAD/sin∠DAC)(sin∠CBE/sin∠ABE)=1即上图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积该形式的梅涅劳斯定理也很实用证明：可用面积法推出：第一角元形式的梅氏定理与顶分顶形式的梅氏定理等价。

画法几何第3章平面

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3.2.2 一般位置平面空间平面对三个投影面都倾斜的平面称为一般位置平面，如图 3.6（ a）所示。图 3.6（ b）为一般位置平面的投影图，三个投影均为小于实形的三角形，即三个投影具有类似性，平面图形的投影图，是该平面图形各点同名投影的连线。
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3.3 平面上的直线和点
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例 3.1 已知相交两直线 AB 与 BC 的两面投影，在由该相交直线确定的平面上取属于该平面上的任意的一条直线（图 3.8）。
解：取属于直线 AB 的任意点 D 及取属于直线 BC 的任意点 E，即用直线上取点的投影特性求取，并将两点 D、E 的同名投影以连接即得。
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例3.2 已知△ABC内一点M 的正面投影m′，求点M 的水平投影m。（图3.9）解：（1）分析：若在△ABC内作一辅助直线，则M 点的两面投影必在此辅助直线的同名投影上。（2）作图： ①在△a′b′c′上过m′作辅助直线1′2′； ②在△abc上求出此辅助直线的水平投影12； ③从m′向下引投影连线与辅助直线的水平投影的交点，该点即为点M 的水平投影m。
第3章平面
3.1 平面的表示法
平面的投影法表示有两种：一种是用点、线和平面的几何图形的投影来表示，称之为平面的几何元素表示法；另一种是用平面与投影面的交线来表示，称之为迹线表示法。 3.1.1 用几何元素表示平面根据初等几何可以知道，决定一个平面的最基本的几何要素是在同一直线上的三点。因此，在投影图中，可以利用这一组几何元素的组合的投影来表示平面的空间位置（图 3.1）。
1
（1）不属于同一直线的三点（图 3.1（a））；（2）一条直线和该直线外的一点（图 3.1平行二直线（图 3.1（d））；（5）任意平面图形（图 3.1（e））。