初中数学专题复习
初中数学专题复习题
初中数学专题复习题
初中数学专题复习题
数学是一门需要不断练习的学科，而复习题是检验学生对知识掌握程度的有效方式。在初中数学学习中，各个专题的复习题是必不可少的。本文将从几个常见的数学专题出发，给大家提供一些复习题，帮助大家巩固知识。
一、整数与有理数
1. 计算下列各式的值：
（1）-3 + 7 - (-4)；
（2）-2 × (-5) - 3 × (-4)；
（3）-12 ÷ (-3) + 5；
（4）3 + (-7) - 5 × (-2)。
2. 求下列各式的值：
（1）-5 × (-3) × (-2)；
（2）-36 ÷ (-3)；
（3）(-8) ÷ (-2)；
（4）-3 × (-5) + 7 × (-2)。
二、代数式与方程式
1. 将下列各式化简：
（1）a × (b + c)；
（2）(a + b) × (c + d)；
（3）(a + b) × (a - b)；
（4）(a + b)² - (a - b)²。
2. 解方程：
（1）3x + 5 = 17；
（2）4(x + 3) = 28；
（3）2(x - 4) - 5 = 1；
（4）3(2x - 5) + 7 = 16 - 5x。
三、平面图形与空间几何
1. 计算下列各题：
（1）一个正方形的边长为6cm，求它的周长和面积；
（2）一个长方形的长为8cm，宽为5cm，求它的周长和面积；
（3）一个圆的半径为3cm，求它的周长和面积；
（4）一个正三角形的边长为4cm，求它的周长和面积。
2. 计算下列各题：
（1）一个长方体的长、宽、高分别为3cm、4cm、5cm，求它的体积和表面积；（2）一个正方体的边长为6cm，求它的体积和表面积；
(完整)初中数学总复习资料
初中数学总复习资料
㈠数与代数
⒈数与式
⑴有理数：有限或不限循环性数（无理数：无限不循环小数）
⑵数轴：“三要素”
⑶相反数
⑷绝对值：│a │= a(a≥0) │a │=-a(a<0)
⑸倒数
⑹指数
① 零指数：0a =1（a ≠0） ②负整指数： （a ≠0,n 是正整数）
⑺完全平方公式：2222)(b ab a b a +±=±
⑻平方差公式：（a+b ）（a-b ）=22b a -
⑼幂的运算性质：
①m a ·n a =n m a + ②m a ÷n a =n m a - ③n m a )(=mn a ④n ab )(=n a n b ⑤
n n
n b
a b a =)(⑽科学记数法：n a 10⨯（1≤a ＜10,n 是整数） ⑾算术平方根、平方根、立方根、 ⑿b
a n d
b m
c a n
d b n m d c b a =++++++⇒≠+++===ΛΛΛΛ:)0(等比性质
⒉方程与不等式
⑴一元二次方程
①定义及一般形式：)0(02≠=++a c bx ax
②解法：
1.直接开平方法.
2.配方法
3.公式法：)04(24222,1≥--±-=ac b a
ac b b x 4.因式分解法.
③根的判别式：
ac b 42-=∆＞0，有两个解。
ac b 42-=∆＜0，无解。
ac b 42-=∆＝0，有1个解。
④维达定理：a
c x x a b x x =⋅-=+2121, ⑤常用等式：2122122
212)(x x x x x x -+=+ 212212214)()(x x x x x x -+=- ⑥应用题
最新初中数学分类专题复习资料
最新初中数学分类专题复习资料
标题：最新初中数学分类专题复习资料
一、代数部分
初中代数是数学学习的基础，涵盖了各种基本概念和运算方法。复习时，建议首先从梳理基础知识开始，理解并掌握各种概念的含义和运用。
1、整数：理解整数的定义，掌握正整数、负整数、零的加减法、乘除法规则。
2、分数：掌握分数的定义，理解通分、约分的方法，掌握分数的加减法、乘除法规则。
3、百分数：理解百分数的定义，掌握百分数与小数、分数的转换方法，掌握百分数的加减法、乘除法规则。
4、根式与指数：理解根式的定义，掌握根式的性质，理解指数的概念及运算法则。
5、方程式：理解一元一次方程、二元一次方程的概念及解法，熟悉各种方程的应用。
6、不等式：理解一元一次不等式、一元二次不等式的概念及解法，熟悉各种不等式的应用。
7、函数：理解一次函数、二次函数、反比例函数的定义和性质，掌握函数的图像绘制方法。
二、几何部分
几何学是数学中的重要分支，对于培养空间观念和推理能力有着重要作用。
1、图形的性质：掌握各种平面图形、立体图形的性质和特点，熟悉图形对称、平行的概念和性质。
2、三角形的性质与分类：理解三角形的定义，掌握三角形的性质和分类，熟悉直角三角形、等腰三角形、等边三角形的特点和性质。
3、四边形与多边形：理解四边形、多边形的定义和性质，掌握矩形、菱形、正方形的特点和性质。
4、圆：理解圆的定义和性质，掌握圆与直线、圆与圆的位置关系，熟悉圆的周长和面积的计算方法。
5、扇形与扇形面积：理解扇形的定义和性质，掌握扇形面积的计算方法。
6、正多边形：理解正多边形的定义和性质，熟悉正三角形、正方形、正六边形的特点和性质。
中考数学专题突破复习题型(几何图形综合题)
初中数学几何图形综合题
类型1 类比探究题
1．(2020·眉山青神县一诊)如图1，在正方形ABCD 中，P 是对角线BD 上的一点，点E 在AD 的延长线上，且PA ＝PE ，PE 交CD 于点F.
(1)求证：PC ＝PE ；
(2)求∠CPE 的度数；
(3)如图2，把正方形ABCD 改为菱形ABCD ，其他条件不变，当∠ABC ＝120°时，连接CE ，试探究线段AP 与线段CE 的数量关系，并说明理由．
解：(1)证明：在正方形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABP ＝∠CBP ＝45°
在△ABP 和△CBP 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ，∠ABP ＝∠CBP ，PB ＝PB ，
∴△ABP ≌△CBP(SAS )．∴PA ＝PC.
又∵PA ＝PE ，∴PC ＝PE.
(2)由(1)知，△ABP ≌△CBP
∴∠BAP ＝∠BCP.∴∠DAP ＝∠DCP.
∵PA ＝PE ，∴∠DAP ＝∠E.
∴∠DCP ＝∠E.
∵∠CFP ＝∠EFD(对顶角相等)
∴180°－∠PFC －∠PCF ＝180°－∠DFE －∠E
即∠CPF ＝∠EDF ＝90°.
(3)在菱形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABP ＝∠CBP ＝60°
在△ABP 和△CBP 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ，∠ABP ＝∠CBP ，PB ＝PB ，
∴△ABP ≌△CBP(SAS )．
∴PA ＝PC ，∠BAP ＝∠BCP.
∵PA ＝PE ，∴PC ＝PE.∴∠DAP ＝∠DCP.
∵PA ＝PE ，∴∠DAP ＝∠AEP.
∴∠DCP ＝∠AEP.
初中数学复习题集及答案
初中数学复习题集及答案
一、选择题
1.下列哪个数是素数？
A.12
B.25
C.37
D.42
答案：C
2.计算下列各式的值：（3+4）×8÷2-5
A.20
B.22
C.25
D.27
答案：B
3.已知一边长为5cm的正方形，它的周长是多少？
A.15cm
B.20cm
C.25cm
D.30cm
答案：C
4.求下列各数的平方根：16
A.2
B.4
C.8
D.16
答案：B
5.简化下列各式：2x+3y-4x+5y
A.x+2y
B.-2x+8y
C.-2x+2y
D.8x-2y
答案：A
二、填空题
1.将10的3次方写成指数形式：10^___
答案：3
2.已知a=5，b=2，求a²-b²的值：___
答案：21
3.求方程2x+4=10的解：x=___
答案：3
4.已知长方形的长是10cm，宽是5cm，它的面积是___平方厘米。
答案：50
5.一只水桶里有30升的水，倒出1/3，还剩___升。
答案：20
三、解答题
1.求下列各组数的最大公约数：
18和27
答案：最大公约数为9。
2.解方程：3x-7=14
答案：x=7
3.已知直角三角形的斜边长为10cm，一个直角边长为6cm，求另一个直角边的长度。
答案：直角边长为8cm。
四、应用题
某班有30名学生，其中男生比例为3:2，女生占总人数的几分之几？答案：男生人数为30×(3/5)=18人
女生人数为30-18=12人
女生占总人数的2/5。
初中数学总复习知识点整理(最全)
初中数学总复习知识点整理(最全)知识点分类
1. 整数
1.1 整数的概念
1.2 整数的进位与退位
1.3 整数的加减法
1.4 整数的乘法
1.5 整数的除法
2.分数
2.1 几个基本概念
2.2 分数的基本性质2.3 分数的加减法
2.4 分数的乘法
2.5 分数的除法
3. 小数
3.1 小数的概念
3.2 小数与分数的转化3.3 小数的加减法
3.4 小数的乘法
3.5 小数的除法
4.代数
4.1 代数式的概念和性质4.2 代数式的加减法
4.3 代数式的乘法
4.4 公式和方程
4.5 解一元一次方程
5. 轴对称与余弦定理5.1 轴对称的基本概念5.2 轴对称的性质
5.3 用轴对称解题
5.4 余弦定理的概念和性质
5.5 用余弦定理解题
6.勾股定理与三角函数
6.1 勾股定理的概念和性质
6.2 在平面直角坐标系中应用勾股定理6.3 用勾股定理解决实际问题
6.4 三角函数的定义和性质
6.5 用三角函数解决实际问题
知识点重点
- 整数的进位与退位
- 分数的加减法
- 代数式的乘法
- 解一元一次方程
- 用轴对称解题
- 用余弦定理解题
- 用勾股定理解决实际问题- 用三角函数解决实际问题知识点易错点
- 乘方与加减混淆
- 分数的错位相乘
- 代数式乘法计算错误
- 方程解错
- 三角函数概念混淆
- 勾股定理和余弦定理运用错误
- 计算精度不足
以上是初中数学的总复习知识点整理，祝您考试顺利！
初中数学函数三大专题复习
初中数学函数三大专题复习
一、函数的定义与性质
1. 函数的定义：函数是一个将一个集合的每一个元素映射到另
一个集合的规则。
2. 函数的性质：
- 定义域：函数定义中的所有可能输入的集合称为定义域。
- 值域：函数所有可能的输出值的集合称为值域。
- 单调性：函数是递增的或递减的，称为函数的单调性。
- 奇偶性：函数在定义域内的奇偶性可以根据函数的对称性来
确定。
二、函数的图像与性质
1. 函数的图像：函数的图像是表示函数值和自变量之间对应关
系的图形。
2. 基本函数的图像：
- 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等函数的图像特点。
- 图像的对称性特点，如奇函数关于原点对称，偶函数关于y
轴对称。
3. 函数的性质与图像：
- 函数的最大值和最小值可以通过图像上的关键点来确定。
- 函数的奇偶性可以通过图像的对称性来判断。
三、函数的运算与应用
1. 函数之间的运算：
- 函数的加法、减法、乘法和除法的定义与性质。
- 复合函数的概念和计算方法。
2. 函数的应用：
- 实际问题中常用的函数模型，如线性函数、二次函数、指数函数等。
- 函数的图像在实际问题中的应用，如求函数的最小值、最大值等。
总结：
初中数学函数的三大专题复习包括函数的定义与性质、函数的图像与性质以及函数的运算与应用。掌握这些知识可以帮助我们理解函数的基本概念和特点，提高数学问题的解题能力。
初中数学专题复习知识点及习题
初中数学专题复习知识点及习题
1. 整数与有理数
1.1 整数概念
整数是由正整数、负整数和0组成的数集。其中，正整数是大于0的整数，负整数是小于0的整数，0既不是正整数也不是负整数。
1.2 整数的运算
整数的运算包括加法、减法、乘法和除法。其中，加法和减法遵循符号相同则相加（减）的原则；乘法和除法则遵循符号相同为正，符号不同为负的原则。
1.3 有理数的概念
有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括整数和分数。有理数的分数形式可以化简为最简形式。
1.4 有理数的运算
有理数的运算包括加法、减法、乘法和除法。其中，加法和减法可简化为同分母后进行运算，乘法可直接相乘，除法可转化为乘法运算的倒数。
2. 代数式与方程式
2.1 代数式的概念
代数式是由数、字母和运算符号组成的式子，可以进行运算。代数式中的字母代表一个未知数，可以是任意实数。
2.2 代数式的运算
代数式的运算包括加法、减法、乘法和除法。在运算时，需要遵循运算法则和优先级，如乘法分配律、加法交换律等。
2.3 方程式的概念
方程式是含有未知数的等式，由等号连接。方程式的解是使得方程式成立的未知数的值。
2.4 方程式的求解
求解方程式的过程就是确定未知数的值。可以通过变量的移项、合并同类项、消去分母等方法来求解方程式。
3. 几何图形与运动
3.1 几何图形的特征
几何图形包括点、线、面和体。每种几何图形都有一些特征属性，如线段的长度、角的大小等。
3.2 几何图形的分类
几何图形可以分为平面图形和立体图形。平面图形包括圆、三
角形、矩形等；立体图形包括球体、长方体、正方体等。
总复习初中数学知识点归纳(精选3篇)
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初中数学考试复习题
初中数学考试复习题
初中数学考试复习题
数学是一门既有趣又有挑战性的学科，对于初中生来说，数学考试是他们学习过程中的一大挑战。为了帮助同学们更好地复习数学考试，我整理了一些常见的复习题。希望这些题目能够帮助同学们巩固知识，提高成绩。
一、整数运算
1. 已知a = -5，b = 3，求a + b的值。
2. 已知c = -8，d = 4，求c - d的值。
3. 已知e = 6，f = -2，求e × f的值。
4. 已知g = -9，h = 3，求g ÷ h的值。
二、平方与开方
1. 求81的平方根。
2. 求100的平方。
3. 求25的立方根。
4. 求64的立方。
三、代数式简化
1. 化简表达式：3x + 2y - 5x + 4y。
2. 化简表达式：2(a + b) - 3(a - b)。
3. 化简表达式：4x + 3y - 2x - y + 5x。
4. 化简表达式：5(a + b) - 2(a + b) + 3(a - b)。
四、方程求解
1. 求解方程：2x + 3 = 9。
2. 求解方程：5(x - 2) = 20。
3. 求解方程：3(x + 4) - 2(x - 1) = 13。
4. 求解方程：2(3x - 1) + 4 = 10。
五、几何图形
1. 已知正方形的边长为8cm，求其周长和面积。
2. 已知长方形的长为12cm，宽为6cm，求其周长和面积。
3. 已知圆的半径为5cm，求其周长和面积。
4. 已知三角形的底边长为10cm，高为8cm，求其面积。
六、比例与百分数
1. 甲队有25人，乙队有30人，求甲队人数与乙队人数的比。
初中数学总复习专题讲座
初中数学总复习专题讲座 篇一：初中数学中考总复习专题资料 初中数学中考总复习专题资料 专题 1：方程与几何相结合型问题 解决方法：1、先根据题设条件及有关知识设法求出两条线段的和与积，然后利用根与系 数的关系达到解题的目的。 2、根据题设条件中告诉的两条线段应满足的二次方程，逆推出两线段的和与积各应该是 什么，然后按照此目标探寻解题途径。 3、由题设条件及根与系数关系的关系得出两条线段的和与积，然后综合运用代数、几何 等相关知识求解。 2 例题：1、已知：a,b,c 是△ ABC 三条边的长，那么方程 cx??a?b?x?c?0 的根的情况 4 是（）A、没有实数根 B、有两个不相等的正实数根 C、有两个不相等的负实数根 D、有 两个异号实数根 2、已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程 2x2?8x?7?0 的两个根，则这个直 角三角形的斜边长是（） A B、3C、6D、9 3、在 Rt△ ABC 中，∠C＝90°，斜边 C＝5，两直角边的长 a,b 是关于 x 的一元二次 2 方程 x?mx?2m?2?0 的两个根，求 Rt△ ABC 中较小锐角的正弦值。 2 练习：1、如果两个圆的半径的长分别是方程 x?5x?6?0 的两个实数根，且圆心距为 5， 那么这两个圆的位置关系是（）A、外离 B、相交 C、外切 D、内切 2、已知等腰三角形三边的长为 a,b,c，且 a?c，若关于 x 的一元二次方 程 ax2?c? 0） A、15° B、30°C、45°D、60° 3、如图，C 在以 AB 为直径的半圆 O 上，CD⊥AB 于 D，cosA? 24，BD、AC 的长分别 5 是关于 x 的方程 x??m?1?x?2m?0 两根之和与两根之差，求这个 方程的两个根 、如图，已知⊙O 的半径是 2，弦 AB 所对的圆心角∠AOB＝120°，P 是 AB 上一点 4 OP O 的两条切线 AC 和 BC 交于 C，PE⊥AC 于 E，PF⊥BC 于 F，设 PE＝a， PF＝b，求以 a、b 为根的一元二次方程。 AF B 1?5、 已知关于 x 的方程 x2??2k?1?x?4?， ⑴求证： 无论 k 取什么实数值， 这个方程 k????0?2?<br><br>
初中数学必背知识点(专题复习)
初中数学必背知识点(专题复习)
初中数学作为数学学科的基础阶段，掌握必备的知识点对于学生的数学能力发展至关重要。本文将介绍初中数学中的几个重要专题，并列举其中的必背知识点，供同学们进行复。
代数与方程
- 二次根式的概念和性质
- 一元二次方程的求解
- 因式分解与公式法
- 平方差公式与完全平方公式
- 分式与分式方程
- 不等式与不等式的解集表示
几何与图形
- 图形的基本概念（点、直线、线段、角等）
- 二维图形的性质及相关定理（如三角形、四边形、圆等）
- 三维图形的性质及相关定理（如正方体、长方体等）
- 平面几何的证明方法（如利用相似、全等等特殊情况证明）- 平面向量的概念和基本运算
数据与概率
- 统计图及其分析
- 常见统计量的计算（如平均数、中位数、众数等）
- 理解概率的概念及其计算
- 事件的独立性和非独立性
- 排列与组合
几个需要注意的问题
- 多做题，提高对知识点的掌握和应用能力
- 注意掌握公式的使用和推导过程
- 熟悉各个知识点间的联系和相互关系
- 搞清楚专题的难点和易错点，并加强针对性训练
希望同学们能够通过复习和掌握以上必背知识点，夯实数学基础，为进一步学习和应用数学打下坚实的基础。祝同学们取得好成绩！
初中数学总复习知识点(全)
初中数学总复习知识点(全)
数的整除性质
- 定义：如果一个整数a除以另一个整数b，结果是整数并且没有余数，那么我们说a被b整除，其中a为被除数，b为除数。
- 整除性质：
- 任何一个不等于0的整数a被1整除，即a÷1=a。
- 任何一个不等于0的整数a都被自身整除，即a÷a=1。
- 任何一个整数a都不能被0整除，即a÷0=无定义。
- 如果一个整数a被另一个整数b整除，那么a÷b的结果也是整数。
约数与倍数
- 定义：
- 如果一个整数a可以被另一个整数b整除，那么a是b的倍数，b是a的约数。
- 一个整数的因数是能整除这个整数的所有整数。
- 求1～100之间某数的倍数和约数的方法：
- 找出所有小于或等于这个数的数字。
- 将这些数字从小到大排列。
- 再将它们一个一个地除以这个数。
- 能整除的就是约数，除得尽的就是倍数。
公约数与公倍数
- 定义：
- 两个或两个以上的整数共有的约数叫做这几个数的公约数，其中最大的公约数称为最大公约数。
- 两个或两个以上的整数倍数中最小的一个叫做这几个数的公倍数，其中最小的公倍数称为最小公倍数。
- 求两个数的最大公约数与最小公倍数的方法：
- 找出这两个数的公约数。
- 从中选择最大的一个数作为最大公约数。
- 找出这两个数的公倍数。
- 从中选择最小的一个数作为最小公倍数。
质数与合数
- 定义：
- 在大于1的整数中，除了1和它本身以外没有其他因数的数叫做质数或素数。
- 大于1的整数中，除了1和本身外还有其他因数的数叫做合数。
- 判断一个数是否是质数的方法：
- 如果一个数n不是质数，那么它的因数一定是1和n之间的
初中数学复习题目及答案
初中数学复习题目及答案
一、选择题（每题2分，共20分）
1. 下列哪个数不是整数？
A. -3
B. 0
C. 5.5
D. 2023
2. 如果一个角是直角的一半，那么这个角的度数是多少？
A. 15°
B. 30°
C. 45°
D. 90°
3. 一个数的平方根是它本身，这个数是？
A. 1
B. -1
C. 0
D. 4
4. 一个长方体的长、宽、高分别是5cm、4cm、3cm，那么它的体积是多少立方厘米？
A. 60
B. 120
C. 180
D. 240
5. 一个圆的半径是7cm，那么它的周长是多少厘米？（π取3.14）
A. 43.96
B. 56.52
C. 70.68
D. 85.24
6. 以下哪个是二次根式？
A. √3
B. 3√2
C. √12
D. √64
7. 一个数的绝对值是5，这个数可能是？
A. 5
B. -5
C. 5或-5
D. 都不是
8. 一个等腰三角形的两个底角相等，如果顶角是30°，那么底角是多少度？
A. 75°
B. 60°
C. 120°
D. 90°
9. 一个数列的前三项是2, 4, 6，这个数列是？
A. 等差数列
B. 等比数列
C. 既不是等差数列也不是等比数列
D. 无法确定
10. 如果一个多项式的最高次项系数是-1，那么这个多项式是？
A. 一次多项式
B. 二次多项式
C. 三次多项式
D. 无法确定
二、填空题（每题2分，共20分）
11. 一个数的相反数是-8，这个数是________。
12. 一个直角三角形的两条直角边分别是3和4，斜边的长度是
________。
13. 一个数的立方等于8，这个数是________。
初中中考数学专题复习
初中中考数学专题复习
考点一、实数的运算
1.计算sin45°= 1/√2
2.计算：(1/22) - (π+3) - cos30° +12 - (-1) = (1/22) - π - (59/60)
3.计算：27 - (4-π) - 6cos30° + (-2)(π-2) + 2cos45° + 4 = 25 - π + 3√3
4.计算：8 - (5/3) = 19/3
5.计算：(-1)-3tan30°+(1-2)+12 = -1-√3
6.计算：|-2| = 2
7.计算：(-1/2) - (cos30°)-1 + 1/2 = -2cos30° = -√3
8.计算：12-(-1/2) = 25/2
考点二、整式、根式与分式的化简求值
1.计算：(-3)-27+(1/3)-(2/2+3) = -59/3
2.分解因式8(x2-2y2)-x(7x+y)+xy = (2x- y)(4x+y)
3.先化简x2+3x+1=0，得x= (-3±√5)/2
4.先化简(x-5)/(5-x) - x/(x-2) = (x-5)(x-2)/(5-x)(x-2) - x(5-x)/(x-2)(5-x) = (x2-7x+10)/(x2-7x+10) = 1
5.先化简x2+4x-2=0，得x= (-4±√20)/2 = -2±√5
6.先化简(3x-8)/(2x-4) - (x)/(x-2) = (3x-8)(x-2) - 2x(2x-
4)/(2x-4)(x-2) = (x2-7x+12)/(2x-4)(x-2) = (x-3)/(x-2)
初中数学知识点总复习(含答案)
第一讲 数与式
1.1 数与式的运算
1.１.1．绝对值
绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即
,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩
绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．
练 习
1．填空：
（1）若5=x ，则x =_________；若4-=x ，则x =_________.
（2）如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________；若21=-c ，则c ＝________.
2．选择题：
下列叙述正确的是 （ ）
（A ）若a b =，则a b = （B ）若a b >，则a b >
（C ）若a b <，则a b < （D ）若a b =，则a b =±
3．化简：|x －5|－|2x －13|（x ＞5）．
1.1.
2. 乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；
（2）完全平方公式 222()2a b a a b b ±=±+．
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式 2233()()a b a a b b a b
+-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a a b b a b
-++=-； （3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c a b b c a
c ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b a b b
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初中数学专题复习 一元二次方程与二次函数 第一部分 真题精讲
【例1】已知：关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=．
⑴求证：m 取任何实数时，方程总有实数根；
⑵若二次函数213(1)21=--+-y mx m x m 的图象关于y 轴对称． ①求二次函数1y 的解析式；
②已知一次函数222=-y x ，证明：在实数范围内，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值12y y ≥均成立；
⑶在⑵条件下，若二次函数23y ax bx c =++的图象经过点(50)-，，且在实数范围内，对于x 的同一个值，这三个函数所对应的函数值132y y y ≥≥，均成立，求二次函数23=++y ax bx c 的解析式．
【思路分析】本题是一道典型的从方程转函数的问题，这是比较常见的关于一元二次方程与二次函数的考查方式。由于并未说明该方程是否是一元二次方程，所以需要讨论M=0和M ≠0两种情况，然后利用根的判别式去判断。第二问的第一小问考关于Y 轴对称的二次函数的性质，即一次项系数为0，然后求得解析式。第二问加入了一个一次函数，证明因变量的大小关系，直接相减即可。事实上这个一次函数2y 恰好是抛物线1y 的一条切线，只有一个公共点（1，0）。根据这个信息，第三问的函数如果要取不等式等号，也必须过该点。于是通过代点，将3y 用只含a 的表达式表示出来,再利用132y y y ≥≥,构建两个不等式,最终分析出a 为何值时不等式取等号,于是可以得出结果.
【解析】
解：（1）分两种情况：
当0m =时，原方程化为033=-x ，解得1x =， （不要遗漏） ∴当0m =，原方程有实数根.
当0≠m 时，原方程为关于x 的一元二次方程，
∵()()()2
22[31]4236930m m m m m m =----=-+=-△≥.
∴原方程有两个实数根. （如果上面的方程不是完全平方式该怎样办？再来一次根的判定，让判别式小于0就可以了，不过中考如果不是压轴题基本判别式
都会是完全平方式，大家注意就是了）
综上所述，m 取任何实数时，方程总有实数根.
（2）①∵关于x 的二次函数32)1(32
1-+--=m x m mx y 的图象关于y 轴对称，
∴0)1(3=-m .（关于Y 轴对称的二次函数一次项系数一定为0） ∴1=m .
∴抛物线的解析式为12
1-=x y .
②∵()()2
21212210y y x x x -=---=-≥，（判断大小直接做差）
∴12y y ≥（当且仅当1x =时，等号成立）.
（3）由②知，当1x =时，120y y ==.
∴1y 、2y 的图象都经过()1,0. （很重要，要对那个等号有敏锐的感觉） ∵对于x 的同一个值，132y y y ≥≥， ∴23y ax bx c =++的图象必经过()1,0. 又∵23y ax bx c =++经过()5,0-，
∴()()231545y a x x ax ax a =-+=+-. （巧妙的将表达式化成两点式，避免繁琐计算）
设)22(54223---+=-=x a ax ax y y y )52()24(2a x a ax -+-+=. ∵对于x 的同一个值，这三个函数所对应的函数值132y y y ≥≥均成立， ∴320y y -≥，
图7
∴2(42)(25)0y ax a x a =+-+-≥. 又根据1y 、2y 的图象可得 0a >， ∴24(25)(42)04a a a y a
---=最小
≥.（a>0时,顶点纵坐标就是函数的最小值）
∴2(42)4(25)0a a a ---≤. ∴2(31)0a -≤.
而2(31)0a -≥. 只有013=-a ，解得1
3
a =. ∴抛物线的解析式为3
5343123-+=
x x y .
【例2】关于x 的一元二次方程22(1)2(2)10m x m x ---+=.
（1）当m 为何值时，方程有两个不相等的实数根；
（2）点()11A --，
是抛物线22(1)2(2)1y m x m x =---+上的点，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，若点B 与点A 关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交
于点B 的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由.
【思路分析】第一问判别式依然要注意二次项系数不为零这一条件。第二问给点求解析式，比较简单。值得关注的是第三问，要注意如果有一次函数和二次函数只有一个交点，则需要设直线y=kx+b 以后联立，新得到的一元二次方程的根的判别式是否为零，但是这样还不够，因为y=kx+b 的形式并未包括斜率不存在即垂直于x 轴的直线,恰恰这种直线也是和抛物线仅有一个交点,所以需要分情况讨论,不要遗漏任何一种可能.
【解析】：
（1）由题意得[]2
2224(1)0m m ∆=---->（）
解得5
4
m <
210m -≠
解得1m ≠±
当5
4
m <
且1m ≠±时，方程有两个不相等的实数根. （2）由题意得212(2)11m m -+-+=-
解得31m m =-=，（舍） (始终牢记二次项系数不为0) 28101y x x =++ （3）抛物线的对称轴是5
8
x =
由题意得114B ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
， (关于对称轴对称的点的性质要掌握)
1
4
x =-与抛物线有且只有一个交点B (这种情况考试中容易遗漏)
另设过点B 的直线y kx b =+（0k ≠）