高考数学一轮复习课时分层训练29数系的扩充与复数的引入理北师大版

课时分层训练(二十九) 数系的扩充与复数的引入
A组基础达标
一、选择题
1．在复平面内，复数z＝2i
1－i
对应的点的坐标为( ) A．(1，－1) B．(1,1) C．(－1,1) D．(－1，－1)
C[因为z＝2i
1－i ＝
2i(1＋i)
(1－i)(1＋i)
＝－1＋i，所以该复数在复平面内对应的点为(－
1,1)，故选C.]
2．(·郑州第二次质量预测)已知复数f(n)＝i n(n∈N＋)，则集合{z|z＝f(n)}中元素的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．无数
A[集合{i，－1，－i,1}中有4个元素，故选A.]
3．(·全国卷Ⅲ)设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝( )
A.1
2
B．
2
2
C. 2 D．2
C[法一：由(1＋i)z＝2i得z＝2i
1＋i
＝1＋i，
∴|z|＝ 2.
故选C.
法二：∵2i＝(1＋i)2，
∴由(1＋i)z＝2i＝(1＋i)2，得z＝1＋i，
∴|z|＝ 2.
故选C.]
4．(·全国卷Ⅰ)下列各式的运算结果为纯虚数的是( ) A．i(1＋i)2B．i2(1－i)
C．(1＋i)2D．i(1＋i)
C[A项，i(1＋i)2＝i(1＋2i＋i2)＝i×2i＝－2，不是纯虚数．B项，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数．
C项，(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i，是纯虚数．
D项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数．
故选C.]
5．(·山东高考)已知a ∈R ，i 是虚数单位．若z ＝a ＋3i ，z ·z ＝4，则a ＝( )
A ．1或－1
B ．7或－7
C ．－ 3
D ．3
A [∵z ·z ＝4，∴|z |2
＝4，即|z |＝2. ∵z ＝a ＋3i ，∴|z |＝a 2
＋3，∴a 2
＋3＝2， ∴a ＝±1.故选A.]
6．若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是( )
【导学号：79140163】
A ．(－∞，1)
B ．(－∞，－1)
C ．(1，＋∞)
D ．(－1，＋∞)
B [∵复数(1－i)(a ＋i)＝a ＋1＋(1－a )i 在复平面内对应的点在第二象限，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋1＜0，1－a ＞0，
∴a ＜－1.故选B.]
7．已知复数z ＝1＋
2i 1－i
，则1＋z ＋z 2＋…＋z 2 019
＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．i
D ．0
D [z ＝1＋2i 1－i ＝1＋2i(1＋i)2＝i ，∴1＋z ＋z 2＋…＋z 2 019
＝
1×(1－z 2 020
)1－z ＝
1－i 2 020
1－i
＝1－i
4×505
1－i ＝0.]
二、填空题
8．(·北京高考改编)若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是________．
(－∞，－1) [∵(1－i)(a ＋i)＝a ＋i －a i －i 2
＝a ＋1＋(1－a )i ， 又∵复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋1<0，1－a >0，
解得a <－1.]
9．复数|1＋2i|＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－3i 1＋i 2
＝________.
i [原式＝12
＋(2)2
＋(1－3i)2
(1＋i)2＝3＋
－2－23i
2i
＝3＋i －3＝i.]
10．已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则y x
的最大值为________.
【导学号：79140164】
3 [∵|z －2|＝(x －2)2
＋y 2
＝3， ∴(x －2)2
＋y 2
＝3. 由图可知⎝ ⎛⎭
⎪⎫y x max ＝
3
1
＝ 3.] B 组 能力提升
11．设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假．
命题是( ) A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2 B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2
C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2
D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 2
1＝z 2
2
D [A 中，|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2，故z 1＝z 2成立． B 中，z 1＝z 2，则z 1＝z 2成立．
C 中，|z 1|＝|z 2|，则|z 1|2
＝|z 2|2
，即z 1·z 1＝z 2·z 2，C 正确． D 不一定成立，如z 1＝1＋3i ，z 2＝2，
则|z 1|＝2＝|z 2|，但z 2
1＝－2＋23i ，z 2
2＝4，z 2
1≠z 2
2.] 12．(·郑州二次质检)定义运算⎪⎪⎪⎪
⎪⎪a
b c
d ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
z 1＋i －i 2i ＝0的复数z 对应
的点在 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
B [由题意得z ×2i－(1＋i)(－i)＝0，所以z ＝(1＋i)(－i)2i ＝－12－1
2i ，则z ＝－
12＋12i 在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，12，位于第二象限，故选B.]
13．(·重庆调研(二))已知i 为虚数单位，m ∈R ，若关于x 的方程x 2
＋(1－2i)·x ＋m －i ＝0有实数根，则m 的取值为( ) A ．m ≤54
B ．m ≤－3
4
C ．m ＝14
D ．m ＝－1
2
C [设t 为方程x 2＋(1－2i)x ＋m －i ＝0的实数根，则t 2＋(1－2i)t ＋m －i ＝0，即t
2
＋t ＋m －(1＋2t )i ＝0，则⎩⎪⎨
⎪⎧
t 2
＋t ＋m ＝0，
1＋2t ＝0，
解得t ＝－12，m ＝1
4
，故选C.]
14．复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m ，λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是( ) A ．[－1,1] B ．⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－916，1 C ．⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－916，7
D ．⎣⎢⎡⎦
⎥⎤916，7 C [由复数相等的充要条件可得⎩
⎪⎨⎪⎧
m ＝2cos θ，
4－m 2
＝λ＋3sin θ，化简得4－4cos 2
θ＝λ＋
3sin θ，由此可得λ＝－4cos 2
θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin 2
θ)－3sin θ＋4＝4sin 2θ－3sin θ＝4⎝
⎛⎭⎪⎫sin θ－382－916，因为sin θ∈[－1,1]，所以4sin 2
θ－3sin
θ∈⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤－9
16
，7.]
15．给出下列命题：
①若z ∈C ，则z 2
≥0；
②若a ，b ∈R ，且a ＞b ，则a ＋i ＞b ＋i ； ③若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数；
④若z ＝－i ，则z 3＋1在复平面内对应的点位于第一象限． 其中正确的命题是________．(填上所有正确命题的序号)
④ [由复数的概念及性质知，①错误；②错误；若a ＝－1，则a ＋1＝0不满足纯虚数的条件，③错误；z 3
＋1＝(－i)3
＋1＝i ＋1，④正确．]
16．已知复数z 1＝cos 15°＋sin 15°i 和复数z 2＝cos 45°＋sin 45°i，则z 1·z 2＝________.
【导学号：79140165】
12＋3
2
i [z 1·z 2＝(cos 15°＋sin 15°i)(cos 45°＋sin 45°i)＝(cos 15°cos 45°－sin 15°sin 45°)＋(sin 15°cos 45°＋cos 15°sin 45°)i＝cos 60°＋sin 60°i＝12＋3
2i.]。