二分法导学案27

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高中数学《二分法求零点》导学案

[教学难点]
知道二分法是求方程近似解的一种常用方法，体会“逐步逼近”的思想．
[教学设计]
一、知识要点要点一二分法概念的理解
例1下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是()
规律方法 1.准确理解“二分法”的含义．二分就是平均分成两部分．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．
2．“二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点．
跟踪演练1(1)下列函数中，能用二分法求零点的为()。

高中数学必修一“用二分法求方程的近似解”导学案

§3.1.1用二分法求方程的近似解1. 通过具体事例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数的零点与方程的根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识；2. 能借助计算器等信息技术工具，运用二分法求方程的近似解.3. 激情投入，积极思考，勇于发言，培养科学的态度和正确的价值观. 学习重点：学会用二分法求函数的零点. 学习难点：理解用二分法求函数零点的原理. 使用说明：（1）预习教材，用红色笔画出疑惑之处，并尝试完成下列问题，总结规律方法；（2）用严谨认真的态度完成导学案中要求的内容；（3）不做标记的为C 级，标记★为B 级，标记★★为A 级。

预习案（20分钟）一．知识链接1、函数零点的定义是怎样的？2、连续函数在给定区间上有没有零点是怎样判断的？二．新知导学1如何理解二分法的概念？2、二分法可以用来求任意函数的任意零点吗?探究案（30分钟）三．新知探究问题1：有12个小球，质量均匀，只有一个是比别的球重的，你用天平称几次可以找出这个球的，要求次数越少越好.解法：第一次，两端各放个球，低的那一端一定有重球；第二次，两端各放个球，低的那一端一定有重球；第三次，两端各放个球，如果平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球.组长评价：教师评价：问题2：以上的方法其实就是一种二分法的思想，采用类似的方法，如何求ln 26y x x =+-的零点所在区间？如何找出这个零点？归纳总结：对于在区间[,]a b 上的函数()y f x =，通过不断的把函数的零点所在的区间，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法．问题３．给定精度ε，用二分法求函数()f x 的零点近似值的步骤如何呢？① ；② ；③ ；④ ；四．新知应用【知识点一】用二分法求函数零点例１．利用二分法，求方程2210x x --=的一个近似解（精确度）思考1：方程的根与函数的零点有什么关系？思考2：选择哪个区间作为初始区间？思考3：取区间中点后怎样确定零点范围？何时终止计算，得到近似解？变式：求函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点（精确到0.1）【知识点二】用二分法求无理数的近似值的近似值．五．我的疑惑（把自己在使用过程中遇到的疑惑之处写在下面，先组内讨论尝试解决，能解决的划“√”，不能解决的划“×”）（1）（）（2）（）（3）（）（通过解决本节导学案的内容和疑惑点，归纳一下自己本节的收获，和大家交流一下，写下自己的所得）随堂评价（15分钟）１．用二分法求函数3()5f x x =+的零点可以取的初始区间是（）A.[]2,1--B. []1,0-C. []0,1D.[]1,2２．用二分法求方程f(x)＝0在(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f>0，f<0，则方程的根所在区间为( )A ．,B ．(1,C ．,2)D ．不能确定３．用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间[2,3]内的实数根时，取区间中间x 0＝，那么下一个有根区间是________．４．求方程2x 3＋3x －3＝0的一个近似解(精确度．课后巩固（30分钟）一、选择题1．下列函数零点不宜用二分法的是( )A ．f(x)＝x 3－8B ．f(x)＝lnx ＋3C ．f(x)＝x 2＋22x ＋2D ．f(x)＝－x 2＋4x ＋13．方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝ln x 的根的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．34. 下列函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点近似值的是（）A. B. C. D.5. 函数()2ln(2)3f x x x =--的零点所在区间为（）.A. (2,3)B. (3,4)C. (4,5)D. (5,6)6.对于二分法求得的解，精确度ε的说法正确的是（）A. ε越大，零点的精确度越高B. ε越大，零点的精确度越高低C. 重复计算的次数就是εD. 重复计算的次数与ε无关7. 函数()lg 27f x x x =+-的零点个数为，大致所在区间为 .8. 借助于计算机或计算器，用二分法求函数3()2f x x =-的零点（精确到0.01）.。

高考数学二分法求方程的近似解理导学案

高一数学用二分法求方程的近似解班级学号姓名学习任务：1．根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解2．理解函数与方程的相互转化的数学思想方法课前预习1．运用二分法求方程近似解的前提是要先判断根所在区间，一般利用估算方程解所在的大致区间。

2．二分法求方程近似解时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同精确度ε，是指在计算过程中得到区间（a ，b ）后，若a 和b 在精确度ε下的近似值，则结束计算，所求零点近似值即为，否则应继续计算，直至达到精确度为止。

合作探究学点一、函数零点类型的应用例1．设()338x f x x =+-，用二分法求方程3380x x +-=在(1,2)x ∈内近似解的过程中得(1)0,(1.5)0,(1.25)0f f f <><，则方程的根落在区间。

变式训练1：设函数321()2x y x y -==与的图象的交点为（x 0，y 0），则x 0所在的区间是 A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（2，3）D ．（3，4）变式训练2：用二分法研究函数3()31f x x x =+-的零点时，第一次经计算(0)0,(0.5)0f f <>，可得其中一个零点0x ∈ ，第二次计算。

学点二、二分法求函数近似零点例2．指出方程lg 0x x +=存在实数解，并给出一个实数解存在的一个区间变式训练3：已知函数2()3log x x f x =+，方程()0f x =在区间[1,14]内有没有实数解？为什么？变式训练4：用二分法求函数3()5f x x =+的一个零点（精确到0.1）自我检测1．已知函数()y f x =是定义在R 上的连续函数，且(1)(2)0,()f f y f x ⋅>=则（）A ．在区间[1，2]上没有零点B ．在区间[1，2]上有2个零点C ．在区间[1，2]上零点个数为偶数个D ．零点个数不确定2．方程(4)2log 3x x +=的实根的个数是个。

3.1.2 二分法导学案(含答案)

问题 3 假设在区间[－1,5]上，f(x)的图象是一条连续的曲线，且 f(－1)· f(5)<0，如何按照二分法的思想求方程 f(x)＝0 的一个解？答取[－1,5]的中点 2，因为 f(5)<0，f(2)>0，即 f(2)· f(5)<0. 所以在区间[2,5]内有方程的解．于是再取[2,5]的中点 3.5„„这样继续下去，如果取到某个区间的中点 x0，恰使 f(x0)＝0，则 x0 就是所求的一个解；如果区间的中点的函数值总不等于零，那么，不断地重复上述操作，就得到一系列闭区间，方程的一个解在这些区间中，区间长度越来越小，端点逐步逼近方程的解，可以得到一个近似解．例 1 利用计算器，求方程 x2－2x－1＝0 的一个正实数零点的近似解(精确到 0.1)．
2
f(2)<0，f(3)>0⇒x1∈(2,3)， f(2.5)<0，f(3)>0⇒x1∈(2.5,3)，
2
鸡西市第十九中学高一数学组
f(2.5)<0，f(2.75)>0⇒x1∈(2.5,2.75)， f(2.5)<0，f(2.625)>0⇒x1∈(2.5,2.625)， f(2.562 5)<0，f(2.625)>0⇒x1∈(2.562 5,2.625)．因为 2.562 5 与 2.625 精确到 0.1 的近似值都为 2.6，所以此方程近似解为 2.6. 小结判定一个方程 f(x)＝0 能否用二分法求其零点的近似值的依据：函数 y＝f(x)在区间 [a，b]上连续不断，且 f(a)· f(b)<0. 跟踪训练 2 利用计算器，求方程 2x＋x＝4 的近似解(精确到 0.1)．解方程 2x＋x＝4 可以化为 2x＝4－x.分别画函数 y＝2x 与 y＝4－x 的图象，由图象可以知道，方程 2x＋x＝4 的解在区间(1,2)内，那么对于区间 (1,2)，利用二分法就可以求得它的近似解．设 f(x)＝2x＋x－4，利用计算器计算得： f(1)<0，f(2)>0⇒x1∈(1,2)，f(1)<0，f(1.5)>0⇒x1∈(1,1.5)， f(1.25)<0，f(1.5)>0⇒x1∈(1.25,1.5)，f(1.375)<0，f(1.5)>0 ⇒ x1∈(1.375,1.5) ， f(1.437 5)>0 ， f(1.375)<0 ⇒ x1∈(1.375,1.437 5)．因为 1.375,1.437 5 精确到 0.1 的近似值都为 1.4，所以此方程的近似解为 1.4.

苏教版数学高一《二分法求方程近似解》精品导学案

二分法求方程近似解1．二分法对于在区间上连续不断，且满足()f a ⋅)(b f 0<的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2．给定精度ε，用二分法求函数()f x 的零点近似值的步骤如下：（1）确定区间[,]a b ，验证()f a ⋅)(b f 0<，给定精度ε；（2）求区间(,)a b 的中点1x ；（3）计算)(1x f ：①若)(1x f =0，则1x 就是函数的零点；② 若)(a f ·)(1x f <0，则令b =1x （此时零点),(10x a x ∈）；③若)(1x f ·)(b f <0，则令a =1x （此时零点),(10b x x ∈）；（4）判断是否达到精度ε：即若ε<-||b a ，则得到零点值a （或b ）；否则重复步骤2~4．例1：利用计算器，求方程0122=--x x 的一个近似解（精确到0.1）．【解】设2()21f x x x =--，先画出函数图象的简图.(如右图所示)因为 (2)10,(3)20f f =-<=>，所以在区间(2,3)内，方程2210x x --=有一解，记为1x .取2与3的平均数2.5，因为(2.5)0.250f =>，所以 12 2.5x <<.再取2与2.5的平均数2.25，因为(2.25)0.43750f =-<，所以 12.25 2.5x <<.如此继续下去，得1(2)0,(3)0(2,3)f f x <>⇒∈1(2)0,(2.5)0(2,2.5)f f x <>⇒∈1(2.25)0,(2.5)0(2.25,2.5)f f x <>⇒∈1(2.375)0,(2.5)0(2.375,2.5)f f x <>⇒∈1(2.375)0,(2.4375)0(2.375,f f x <>⇒∈ 2.4375)，因为2.375与2.4375精确到0.1的近似值都为2.4，所以此方程的近似解为1 2.4x ≈.利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解.点评:①第一步确定零点所在的大致区间),(b a ，可利用函数性质，也可借助计算机或计算器，但尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为1的区间；②建议列表样式如下：零点所在区间区间中点函数值区间长度 ]3,2[ 0)5.2(>f 1]5.2,2[0)25.2(<f 0.5 ]5.2,25.2[0)375.2(<f 0.25 ]5.2,375.2[ 0)4375.2(>f 0.125如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一步．例2：利用计算器，求方程x x -=3lg 的近似解（精确到0.1）．分析：分别画函数lg y x =和3y x =-的图象，在两个函数图象的交点处，函数值相等．因此，这个点的横坐标就是方程x x -=3lg 的解．由函数lg y x =与以发现，方程x x -=3lg 有惟一解，记为1x ，3y x =-的图象可并且这个解在区间(2,3)内. 【解】设()lg 3f x x x =+-，利用计算器计算得1(2)0,(3)0(2,3)f f x <>⇒∈1(2.5)0,(3)0(2.5,3)f f x <>⇒∈1(2.5)0,(2.75)0(2.5,2.75)f f x <>⇒∈1(2.5)0,(2.625)0(2.5,2.625)f f x <>⇒∈(2.5625)0,(2.625)0f f <>1x ⇒∈(2.5625,2.625)因为2.5625与2.625精确到0.1的近似值都为2.6，所以此方程的近似解为 1 2.6x ≈.思考:发现计算的结果约稳定在2.58717.这实际上是求方程近似解的另一种方法——迭代法．除了二分法、迭代法，求方程近似解的方法还有牛顿切线法、弦切法等．例3：利用计算器，求方程24x x +=的近似解（精确到0.1）．【解】方程24x x +=可以化为24xx =-．分别画函数2x y =与4y x =-的图象，由图象可以知道，方程24x x +=的解在区间(1,2)内，那么对于区间(1,2)，利用二分法就可以求得它的近似解为 1.4x ≈.1. 设0x 是方程ln 4x x =-+的解，则0x 所在的区间为（ B ）A ．(3,4)B ．(2,3)C ．(1,2)D ．(0,1)2. 估算方程25710x x --=的正根所在的区间是（ B ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)3．计算器求得方程25710x x --=的负根所在的区间是（ A ）A ．（1-，0）B ．()2,1--C ．()2.5,2--D ．()3, 2.5--4.利用计算器,求下列方程的近似解(精确到0.1)(1)lg 21x x =-+ (2)34x x =+答案: (1)0.8(2)1 3.9x ≈-,2 1.6x ≈。

高一数学导学案--用二分法求方程的近似解-----课前案

高一数学导学案用二分法求方程的近似解-----课前案一、目标导航：（1）探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图；（2）能借助计算工具用二分法求方程的近似解；（3）了解用二分法求方程近似解具有一般性。

二、问题引领：我们已经知道，函数6=xxxf在区间（2，3）内存在一个零点。

进一步+2(-ln)的问题是，如何求出这个零点呢？三、路径导学：（1）二分法的定义对于在区间［a，b］上图象连续不断且f(a)f(b)＜０的函数y＝f（x），通过不断地把它的所在区间，使所得区间的两个逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（ｂｉｓｅｃｔｉｏｎ）．（2）用二分法求函数零点近似值的步骤x的近似值的一般步骤如下：给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x的初始区间［a，b］，验证f（a）f(b)＜０．1. 确定零点2. 求区间（a，b）的中点c．3. 计算f（c），并进一步确定零点所在的区间：x＝c），则c就是函数的零点；(1) 若f（c）＝０（此时x∈（a，c）），则令＝c；(2) 若f（a）f（c）＜０（此时x∈（c，b）），则令＝c．(3) 若f（c）f（b）＜０（此时4. 判断是否达到精确度ε：若｜a－b｜＜，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤2～4．4.5.3 函数模型的应用-----课前案一、目标导航1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.2.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.3.通过现实世界不同变化规律的数学化研究，提升数学建模、数据分析等核心素养.二、问题引领：我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画。

面临一个实际问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画呢？三、路径导学几类常见函数模型名称解析式条件一次函数模型b kx y +=0≠k反比例函数模型b x ky +=0≠k二次函数模型一般式:c bx ax y ++=2顶点式：ab ac a b x a y 44)2(22-++=0≠a指数函数模型 c a b y x +•= 0,10≠≠>b a a 且对数函数模型 n x m y a +=log 0,10≠≠>m a a 且幂函数模型b ax y n +=0≠a ,0≠n4.5.2用二分法求方程的近似解-----课中案例1.用二分法求方程 ln 260x x +-=在区间(2,3)内的近似解（精确度为0.01）．例2.下列函数图象中，不能用二分法求函数零点的是（）A ．B ．C ．D ．例3.用二分法求函数()f x 在(,)a b 内的唯一零点时，精确度为0.002，则结束计算的条件是( ) A.||0.2a b -<B.||0.002a b -<C.||0.002a b ->D.||0.002a b -=例3.在用“二分法”求函数f （x ）零点近似值时，第一次所取的区间是[﹣2，4]，则第三次所取的区间可能是（） A ．[1，4]B ．[﹣2，1]C ．[﹣2，]D ．[﹣，1]例5.用二分法求函数f （x ）＝ln （2x +6）+2﹣3x零点时，用计算器得到如表：x 1.00 1.25 1.375 1.50 f （x ）1.07940.1918﹣0.3604﹣0.9989则由表中数据，可得到函数的一个零点的近似值（精确度为0.1）为（） A ．1.125B ．1.3125C ．1.4375D ．1.46875例6..用二分法求函数()ln(1)1f x x x =++-在区间(0,1)上的零点，要求近似值的精确度达到0.01，则将区间二分的次数最少为（） A ．5 B ．6C ．7D ．8用二分法求方程的近似解-----课后案1. 用二分法求函数5)(3+=x x f 的零点可以取的初始区间是（）A. []1,2-B.[]0,1-C.[]1,0D.[]2,12. 在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点，经计算,0)64.0(<f ,0)68.0(,0)72.0(<>f f ,则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为（） A.0.68 B.0.72 C.0.7 D.0.63. 4.5.已知二次函数6)(2--=x x x f 在区间[]4,1上的图像是一条连续的曲线，且,06)4(,06)1(>=<-=f f 由零点存在性定理可知函数在[]4,1内有零点，用二分法求解时,取（1,4）的中点a ，则f(a)= .6.函数b ax x x f ++=2)(有零点，但不能用二分法求出，则a,b 的关系是 .7.用二分法求方程 250x -=的一个近似正解（精确度为0.1）。

2.4.2二分法学案

A. B. C. D.
2.若函数的图象是连续不间断的，且，则下列命题正确的是（）
A.函数在区间内有零点B.函数在区间内有零点
C.函数在区间内有零点D.函数在区间内有零点
3.函数与图象交点横坐标的大致区间为（）
A. B. C. D.
4.下图4个函数的图象的零点不能用二分法求近似值的是
组
内
合
作
不看课本能否完成例题的解析例求函数的一个 Nhomakorabea实数零点
1.根据问题思考一下二分法的初始区间的选择有什么样的标准？
2.完成课后练习A第2题，练习B第1题，习题2－4A第7题。
【拓展提高】
一段串联电路有64个元件，先发现因其中某个元件损坏而使电路不通，怎样才能尽快地查出损坏的电路元件？
合
作
探
究
课
堂
展
示
1.二分法求函数零点近似解。
（1）用二分法求函数的一个正零点（精确到0.01）
2.生活中的二分法
（2）在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，总是一条100m长的线路，每隔10m有根电线杆。问至少需要检查几次能查出故障所在？
【课堂检测】
1.方程在区间上的根必定属于区间（）
5.写出两个至少含有方程一个根的单位长度为1的区间或。
6.求证：方程的根一个在区间上，另一个在区间上。
7.求方程的一个近似解（精确到0.1）
2.能否说出变号零点与不变号零点的区别与联系？
阅读课本73页完成下列问题。
3.求函数变号零点的近似值的一种计算方法是，其定义是：已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个变号零点的近似值，使它与零点的误差，即使得。

二分法导学案

“二分法求函数零点近似解”导学案学习目标通过本节课的学习，你应该能够知识与技能1．能够分清变号零点和不变号零点；2．能够通过()()0f a f b ，判断函数()y f x 在[,]a b 上存在零点；过程与方法1．理解二分法求函数零点近似解的基本思想与步骤；*2．能够借助科学计算器用二分法求给函数零点满足一定精确度要求的近似解；课中学习一、课堂引入我们已经学习过一元一次方程和一元二次方程的根的解法。

一元一次方程和二次方程的求根公式，早在公元九世纪就由阿拉伯数学家花拉子米系统给出。

一元三次方程求根公式，1541年由意大利数学家塔塔利亚给出。

一元四次方程求根公式，1545年由意大利数学家费拉里在其老师卡尔达诺发表的《大术》一书中给出。

此后，数学家们始终找不出五次方程以及更高次方程的求根公式，直到三百年之后，1825年，挪威学者阿贝尔证明了五次以上方程没有求根公式。

我们上节课学习过，求方程的根也就是求对应函数的零点，对于五次以上的高次多项式函数以及其他的一些函数，有必要寻求求零点近似解的方法，这在计算数学中是一个十分重要的课题。

二、自主探究预习课本72P ，回答下列问题问题1．什么是变号零点，什么是不变号零点？问题2．如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上的图象不间断，那么在什么条件下，函数y=f(x)在区间（a,b ）内一定存在零点？零点存在性判定定理：如果函数()y f x 在一个区间[a,b]上的图像不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即()()0f a f b ，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点,x a b ，使0()0f x 。

思考1：满足上述条件的函数y=f （x ）在区间（a ，b ）上的零点的个数是否唯一？思考2：若把条件“f （a ）·f （b ）＜0”改为“f （a ）·f （b ）＞0”，函数y=f （x ）在区间（a ，b ）上是否不存在零点？思考3：根据条件“f （a ）·f （b ）＜0”确定地是函数的变号零点还是不变号零点？例1：函数f （x ）的图象如图所示，则该函数变号零点的个数是个。

二分法求方程的近似解导学案

3.1.2 用二分法求方程的近似解导学案一、三维目标：知识与技能：根据具体函数图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解；理解二分法的步骤与思想；过程与方法：了解二分法求相应方程的近似解的特点，学会用计算器或计算机求方程的近似解的算法思想；情感态度价值观：回忆解方程的历史，激发学习的热情和学习的兴趣。

二、学习重、难点：重点：通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．难点：精确度概念的理解，求方程近似解一般步骤的概括和理解函数的零点的概念以及零点存在的判定方法‘三、学法指导：认真阅读教材P89-90, 了解二分法求相应方程的近似解的步骤与思想。

四、知识链接：1．数零点的概念：2.等价关系：方程()0f x = ⇔ ()y f x =的图像 ⇔函数()y f x =3.函数零点存在定理：五、学习过程：请同学们思考下面的问题：1.能否求解下列方程：（1）x 2 -2x-6=0 (2) lnx + 2x -6=02.（生活中的问题）16枚硬币中含有一枚质量稍轻的假币，用天平最少需几次称量才能将假币区分出来？（请写出具体过程）注：实际工作中求方程的近似值往往有更大的用途，学完本节课，你将对求如何求一元方程的近似解有新的收获。

认真阅读教材P89-90页，回答下面的问题：1.什么叫二分法？2.用二分法可求所有函数零点的近似值吗？利用二分法求函数的零点必须满足什么条件？注：（1）二分法的含义：二分就是平均分成两部分；二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点。

（2）二分法与判定函数零点的定理密切相关，只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数的零点。

3.给定精度ε，用二分法求函数()f x的零点近似值的步骤：①确定___________，验证_____________，给定_____________；②求区间________________；③计算____________：(1)若__________，则c就是函数的零点；(2)若______________（此时零点0(,)x a c ∈）；(3)若___________，则令____________________（此时零点0(,)x c b∈）；④判断是否达到精度ε；即若____________，则得到零点零点值a（或b）；否则重复步骤②~④4.求函数零点近似值时，所要求的__________不同，得到的结果也不同，精确度ε是指在计算过程中得到某个区间（a,b）后,若_______________，即认为已经达到所要求的精确度，否则应继续计算，直到_________为止。

高中数学 4.1.2二分法导学案(无答案)北师大版必修1

课题：4.1.2用二分法求方程的近似解（北师大版必修1第4章）学习内容学习目标高考考点考查题型用二分法求方程的近似解1. 根据具体函数图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解；2. 通过用二分法求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识.掌握用二分法求方程的近似解选择、填空题一、课前预习复习1：什么叫零点？零点的等价性？零点存在性定理？1.对于函数()y f x=，我们把使的实数x叫做函数()y f x=的零点.2.方程()0f x=有实数根⇔函数()y f x=的图象与x轴⇔函数()y f x= .3.如果函数()y f x=在区间[,]a b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数()y f x=在区间(,)a b内有零点.复习2：一元二次方程求根公式？三次方程？四次方程？二、课内探究探究任务：二分法的思想及步骤问题：有12个小球，质量均匀，只有一个是比别的球重的，你用天平称几次可以找出这个球的，要求次数越少越好.解法：第一次，两端各放个球，低的那一端一定有重球；第二次，两端各放个球，低的那一端一定有重球；第三次，两端各放个球，如果平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球.思考：以上的方法其实这就是一种二分法的思想，采用类似的方法，如何求ln26y x x=+-的零点所在区间？如何找出这个零点？新知：对于在区间[,]a b上连续不断且()()f a f b•<0的函数()y f x=，通过不断的把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法(bisection). 反思：给定精度ε，用二分法求函数()f x的零点近似值的步骤如何呢？①确定区间[,]a b，验证()()0f a f b•<，给定精度ε；②求区间(,)a b的中点1x；③计算1()f x：若1()0f x=，则1x就是函数的零点；若1()()0f a f x•<，则令1b x=（此时零点01(,)x a x∈）；若1()()0f x f b•<，则令1a x=（此时零点01(,)x x b∈）；④判断是否达到精度ε；即若||a bε-<，则得到零点零点值a（或b）；否则重复步骤②~④．例1 .利用二分法求方程237x x+=的近似解.（精确到0.1）变式：求方程lnx＋2x－6 ＝0的根大致所在区间。

江苏省泗洪中学—高一数学导学案：二分法

3.4.1 用二分法求方程的近似解教学目标：1．通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，并能够根据这样的过程进行实际求解．了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．一、预习案问题1：有12个小球，质量均匀，只有一个是比别的球重的，你用天平称几次可以找出这个球的，要求次数越少越好,解法：第一次，两端各放个球，低的那一端一定有重球；第二次，两端各放个球，低的那一端一定有重球；第三次，两端各放个球，如果平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球. 思考一下以上的方法其实是一种的思想。

问题2：方程x 2－2x －1＝0的解情况怎么样？归纳总结用二分法求y ＝f (x )零点的步骤：二、课堂案：例1、已知下列函数图象其中不能用二分法求交点横坐标近似值的是（）A B C D 例2 利用计算器，求方程lg 3x x =-的近似解（精确到0.1）例3.若关于x 的方程2x 2－m x ＋m+1=0（1）有一正实根和负实根，（2）两实根都大于1（3）一实根大于1，一实根小于1（4）两根在)1,4(--。

求实数m 的范围。

oyoxxxyyyo o2三、巩固案1．确定下列函数f (x )的零点与方程的根存在的区间(k ，k ＋1)(k ∈Z )：（1）函数f (x )＝x 3－3x －3有零点的区间是．（2）函数f (x )＝lg x ＋x －3有零点的区间是．2．用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间[2，3]内的实根，取区间中点x 0＝2.5，那么下一个有根区间是．3.当关于x 的方程0422=+-ax x 的根满足下列条件时，求实数a 的取值范围：（1）一根在（0，1）上，另一根在（1，5）上；（2）至少有一个根在（0，1）上．4. 若关于x 的方程0122=--x ax 在（0，1）内恰有一解，求a 的取值范围．五、要点归纳与方法小结1．二分法的概念及其适用条件，并能够根据这样的过程进行实际求解． 2．了解二分法是求方程近似解的常用方法．。

5.1.2 利用二分法求方程的近似解导学案(含答案)(2024)高一上学期北师大版必修第一册

1.2利用二分法求方程的近似解【学习目标】1.探索用二分法求方程近似解的思路,并会画程序框图.2.能借助计算工具用二分法求方程的近似解,并知道用二分法求方程近似解具有一般性.◆知识点一二分法的概念对于一般的函数y=f(x),x∈[a,b],若函数y=f(x)的图象是一条,f(a)·f(b)<0,则每次取区间的,将区间一分为二,再经比较,按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法叫作二分法.【诊断分析】区间(a,b)的中点是什么?它是点还是数?◆知识点二用二分法求方程近似解的步骤用二分法求方程f(x)=0近似解的步骤如图所示.(1)“初始区间”是一个两端点函数值的区间.(2)新区间的一个端点是原区间的,另一端点是原区间两端点中的一个,并且新区间两端点的函数值.(3)方程的解满足要求的精确度且选取区间内的数作为方程的近似解.【诊断分析】初始区间选的不同,会影响最终的计算结果吗?◆探究点一二分法应用条件的考查例1 (1)下列图象所对应的函数中,不能用二分法求零点的是()A BC D(2)设函数f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程f(x)=0在区间(1,2)内近似解的过程中得到f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根所在的区间是 ()A.(1,1.25)B.(1.25,1.5)C.(1.5,2)D.不能确定(3)[2023·福州格致中学高一期中] 下列函数中不能用二分法求零点的是()A.f(x)=3x+1B.f(x)=x3C.f(x)=x2D.f(x)=ln x[素养小结]运用二分法求函数的零点应具备的条件:(1)函数图象在零点附近连续不断;(2)在该零点附近,左、右两侧的函数值异号.只有同时满足上述两个条件,才可用二分法求函数零点.◆探究点二利用二分法求方程的近似解例2用二分法求方程2x=6-3x的近似解.(精确度为0.1)变式(1)用二分法求方程2x3+3x-3=0的一个正实数近似解(精确度为0.1).(2)用二分法求函数f(x)=2x3+3x-3在(0,1)上的一个零点,至少要经过多少次等分后精确度达到0.1?[素养小结]利用二分法求方程的近似解时,取不同的初始区间,其计算就有繁简之分,一般地,可用特殊值代入计算并结合估算寻找确定一个使计算最简单的初始区间.拓展已知f(x)=ln x+x-2,用二分法求方程f(x)=0的一个近似解(精确度为0.5).1.2利用二分法求方程的近似解【课前预习】知识点一连续的曲线中点诊断分析称为区间(a,b)的中点,区间的中点是数不是点.解:我们把a+b2知识点二(1)异号(2)中点异号(3)任意一个诊断分析解:不会.初始区间的选定,往往需要通过分析函数的性质和试算,长度应尽可能的小.【课中探究】探究点一例1(1)B(2)B(3)C[解析] (1)用二分法求函数零点的近似值仅对函数的变号零点适用,对函数的不变号零点不适用.观察所给的四个函数的图象,它们与x轴都有交点,但B中的图象在x轴上或x轴上方,即函数在零点附近的函数值不变号,无法用二分法.故选B.(2)∵f(1.5)·f(1.25)<0,且f(x)在R上是增函数,∴方程的根所在的区间是(1.25,1.5).(3)易知选项C中的函数f(x)=x2的零点为x=0,而在零点左右两侧的函数值都为正数,故不能用二分法求零点;选项A,B,D中的函数,它们在各自的零点左右两侧的函数值符号相反,可以用二分法求函数的零点.故选C.探究点二例2解:设f(x)=2x+3x-6,在同一平面直角坐标系中作出函数y=2x和y=6-3x的图象,观察图象可以发现,它们的图象仅有一个交点,即方程2x=6-3x有唯一解,设为x0.因为f(1)=2+3-6=-1<0,f(2)=4+6-6=4>0,所以f(1)·f(2)<0,即方程2x=6-3x的解x0∈(1,2).利用二分法,可以得到下表:区间(a,b) f(a) f(b) 区间中点a+b2f(a+b2)(1,2) f(1)<0 f(2)>0 1.5 f(1.5)≈1.33>0 (1,1.5) f(1)<0 f(1.5)>0 1.25 f(1.25)≈0.13>0 (1,1.25) f(1)<0 f(1.25)>0 1.125 f(1.125)≈-0.44<0 (1.125,1.25) f(1.125)<0 f(1.25)>0 1.187 5 f(1.187 5)≈-0.16<0 因为|1.187 5-1.25|=0.062 5<0.1,所以当精确度为0.1时,方程的解x0∈(1.187 5,1.25),因此可选取这一区间上的任意一个数作为方程的近似解,如可取x0=1.2作为方程2x=6-3x的一个近似解.变式解:(1)令f(x)=2x3+3x-3,经计算,f(0)=-3<0,f(1)=2>0,f(0)·f(1)<0,所以函数f(x)在(0,1)内存在零点,即方程f(x)=0在(0,1)内有解.取区间(0,1)的中点0.5,经计算f(0.5)=-1.25<0,又f(1)>0,所以方程f(x)=0在(0.5,1)内有解.如此下去,得到方程f(x)=0的正实数根所在的区间,如表:区间(a,b) f(a) f(b) 区间中点a+b2f(a+b2)(0,1) f(0)<0 f(1)>0 0.5 f(0.5)<0(0.5,1) f(0.5)<0 f(1)>0 0.75 f(0.75)>0 (0.5,0.75) f(0.5)<0 f(0.75)>0 0.625 f(0.625)<0 (0.625,0.75) f(0.625)<0 f(0.75)>0 0.687 5 f(0.687 5)<0因为|0.687 5-0.75|=0.062 5<0.1,所以方程2x3+3x-3=0的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.7.(2)设至少需要n次等分,n∈N+,由题意知,1-02n<0.1,即2n>10,n∈N+,解得n≥4,所以至少需要4次等分.拓展解:由题意知f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(1)=ln 1+1-2=-1<0,f(2)=ln 2+2-2=ln 2>0,所以f(1)·f(2)<0,即方程f(x)=0在区间(1,2)内有解.利用二分法,可得到下表:区间(a,b) f(a) f(b) 区间中点a+b2f(a+b2)(1,2) f(1)<0 f(2)>0 1.5 f(1.5)<0(1.5,2) f(1.5)<0 f(2)>0 1.75 f(1.75)>0 因为|1.75-1.5|=0.25<0.5,所以方程f(x)=0的一个精确度为0.5的近似解可取为1.6.。

高中数学二分法(师生共用)导学案苏教版必修1

x) log2 ( x2 4 x 5) 的图象与 x 轴交点横坐标为 2．已知 0 a 1 则方程 a x loga x 0 的解的个数是
3 与曲线 y 2 2 y x 3 0 只有一个公共点，则 k 的值为 2 4．函数 y x2 6x 5 与 x 轴交点坐标是，方程 x 2 6 x 5 0 的根为．
3．直线 y kx
5．已知二次函数 f ( x) ax2 bx c（ a 0 ）的对称轴是 x 2 ，则 f ( 2) ， f ( ) ，
f (0) 的大小关系是____________
6．已知不等式 ax 2 5x b 0 的解集为 x | 3 x 2 ，则不等式 6 x 2 5 x b 0 的解集为____________． 7．已知方程 x 2 kx 2 0 在区间 (0,3) 中有且只有一解，则实数 k 的取值范围为 8．已知函数 f ( x) a x 2 过点 (1, 0) ，则方程 f ( x) x 的解为．四：巩固提高 9．求方程 2 x 2 8x 5 0 的近似解（精确到 0.1 ）．
小组
班级
（2）求区间 ( a, b) 的中点 x1 ；（3）计算 f ( x1 ) ： ①若 f ( x1 ) = 0 ，则 x1 就是函数的零点； ② 若 f (a ) · f ( x1 ) < 0 ，则令 b = x1 （此时零点 x0 (a, x1 ) ）； ③若 f ( x1 ) · f (b) < 0 ，则令 a = x1 （此时零点 x0 ( x1 , b) ）；（4）判断是否达到精度：即若 | a b | ，则得到零点值 a （或 b ）；否则重复步骤 2~4．