上海市青浦高级中学2020-2021学年高二上学期12月月考数学试题

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上海市青浦高级中学2020学年高二上学期12月月考数学试题解析版

上海市青浦高级中学2020学年第一学期高二年级数学12月测试卷一、填空题1. 抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，且C 过点(2,3)-，则C 的方程是__________2. 方程222220x y kx y k k +--+-=表示一个圆,则实数k 的取值范围是_____.3. 等腰三角形底边的两个端点是(2,1),(0,3)B C -，则顶点A 的轨迹方程是___________4. M 是椭圆2219x y +=上动点，1F ，2F 是椭圆的两焦点，则12F MF ∠的最大值为__． 5. 已知双曲线C 与椭圆22464x y +=有相同的焦点，且直线0x +=为双曲线C 的一条渐近线，则双曲线C 的方程是_________6. 已知M 为圆229x y +=上的动点，(6,0)A 为一定点，动点P 满足2AP PM =，则动点P 的轨迹方程是__________7. 圆22:(1)25C x y -+=，过点(2,1)P -作圆的所有弦中，最短弦所在直线方程是__________ 8. 双曲线()22230x y k k -=<焦点坐标是（用k 表示）__．9.若直线x a +=与圆221x y +=在第一象限有两个不同的交点，则实数a 的取值范围是__． 10. 已知圆22:(3)(4)1C x y -+-=和两点(,0)A m -，(,0)B m (0)m >，若圆C 上存在点P 使得090APB ∠=，则m 的最大值为__________．11. 设实数x ，y 满足24x y =y 的最小值是__． 12. 椭圆C ：221168x y +=向右平移一个单位、向上平移两个单位可以得到椭圆'C ：()()22121168x y --+=．设直线l ：()()21130a x a y ++--=，当实数a 变化时，l 被'C 截得的最大弦长是__．二、选择题13. 圆222430x x y y +++-=上到直线10xy ++=的点共有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个14. 条件甲：“曲线C 上的点的坐标都是方程0(),F x y =的解”，条件乙：“曲线C 是0(),F x y =的图形”，则乙是甲的（）A 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件 15. 过点()3,0和双曲线()2210x ay a -=>仅有一交点的直线有（）A. 1条B. 2条C. 4条D. 不确定16. 对于方程为111||||x y +=的曲线C 给出以下三个命题: （1）曲线C 关于原点对称；（2）曲线C 关于x 轴对称，也关于y 轴对称，且x 轴和y 轴是曲线C 仅有的两条对称轴；（3）若分别在第一、第二、第三、第四象限的点,,,M N P Q ，都在曲线C 上，则四边形MNPQ 每一条边的边长都大于2；其中正确的命题是（）A. （1）（2）B. （1）（3）C. （2）（3）D. （1）（2）（3）三、解答题17. 已知点(3,5)M ，圆()()22124x y -+-=．（1）求过点M 的圆的切线方程；（2）若直线40ax y -+=与圆相交于A ，B 两点，且弦AB的长为a 的值．18. 已知抛物线C ：22y x =和直线l ：1y kx =+,O 为坐标原点．（1）求证：l 与C 必有两交点；（2）设l 与C 交于A ,B 两点,且直线OA 和OB 斜率之和为1,求k 的值．19. 教材曾有介绍：圆222x y r +=上的点()00,x y 处的切线方程为200x x y y r +=.我们将其结论推广：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的点()0,o x y 处的切线方程为00221x x y y a b +=，在解本题时可以直接应用.已知，直线0x y -+=与椭圆222:1(1)x E y a a+=>有且只有一个公共点. .（1）求a 值（2）设O 为坐标原点，过椭圆E 上的两点A B 、分别作该椭圆的两条切线12l l 、，且1l 与2l 交于点(2,)M m .当m 变化时，求OAB 面积的最大值.20. 已知12(2,0),(2,0)F F -，点P 满足122PF PF -=，记点P 的轨迹为Γ.斜率为k 的直线l 过点2F ，且与轨迹Γ相交于,A B 两点.（1）求轨迹Γ的方程；（2）求斜率k 的取值范围；（3）在x 轴上否存在定点M ，使得无论直线l 绕点2F 怎样转动，总有MA MB ⊥成立？如果存在，求出定点M ；如果不存在，请说明理由.上海市青浦高级中学2020学年第一学期高二年级数学12月测试卷一、填空题1. 抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，且C 过点(2,3)-，则C 的方程是__________ 【答案】292y x =-【解析】【分析】设抛物线方程22y px =-，经过点(2,3)-，即可求得方程.【详解】由题：抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，经过点(2,3)-设抛物线方程22y px =-，经过点(2,3)-，所以()2322p =-⨯-，解得：94p =的是所以抛物线方程：292y x =-. 故答案为：292y x =- 【点睛】此题考查根据抛物线经过某点求曲线方程，将点代入方程即可求解.2. 方程222220x y kx y k k +--+-=表示一个圆,则实数k 的取值范围是_____.【答案】()1,-+∞【解析】【分析】根据一个二元二次方程表示圆的充要条件，写出关于k 的表达式，化简整理得到一元二次不等式的表示式，解不等式即可．【详解】解：∵方程222220x y kx y k k +--+-=表示一个圆，∴()()222440k k k -+--＞ ∴4k +4＞0，∴k ＞﹣1故答案为()1,-+∞【点睛】本题考查二元二次方程表示圆的条件，本题是一个基础题，解题的过程中要注意看清题目中两个二次项的系数，化为1以后再做题目．3. 等腰三角形底边的两个端点是(2,1),(0,3)B C -，则顶点A 的轨迹方程是___________【答案】210(1)x y x ++=≠【解析】【分析】等腰三角形底边的两个端点是(2,1),(0,3)B C -，则顶点A 的轨迹方程是线段BC 的垂直平分线，剔除三点共线的情况.【详解】由题：等腰三角形底边的两个端点是(2,1),(0,3)B C -，设BC 的中点()1,1M -，2BC k =，线段BC 的垂直平分线的斜率12k =-，所以线段BC 的垂直平分线方程为：()()1112y x --=--，即210x y ++=，则顶点A 到两端点距离相等，即A 在线段BC 的垂直平分线上，但不能三点共线，即1x ≠，所以顶点A 的轨迹方程是210(1)x y x ++=≠.故答案为：210(1)x y x ++=≠【点睛】此题考查求轨迹方程，注意剔除轨迹中不合题意的点.4. M 是椭圆2219x y +=上动点，1F ，2F 是椭圆的两焦点，则12F MF ∠的最大值为__．【答案】7arccos9π- 【解析】【分析】根据椭圆的标准方程,求得椭圆的a ,b ,c .在椭圆的焦点三角形中,由余弦定理,表示出12cos F MF ∠,即可计算得到最大角．【详解】根据椭圆的标准方程2219x y += 可知3a =,1b =,c =所以121226,2MF MF a F F c +====在焦点三角形12F MF 中由余弦定理可知()2222212121212121212122cos 22MF MF MF MF F F MF MF F F F MF MF MF MF MF +-⋅-+-∠==⨯⨯ 12121236232212MF MF MF MF MF MF -⋅-==-⨯⨯由基本不等式可知12MF MF +≥所以2121694MF MF ⋅≤⨯= 即122271199MF MF -≥-=-⨯ 结合余弦函数的单调性可知12F MF ∠的最大值为7arccos9π- 故答案为:7arccos 9π-．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质,焦点三角形的性质及应用,利用余弦定理解三角形,基本不等式在求最值中的应用,属于中档题.5. 已知双曲线C 与椭圆22464x y +=有相同的焦点，且直线0x +=为双曲线C 的一条渐近线，则双曲线C 的方程是_________ 【答案】2213612x y -= 【解析】【分析】求出焦点坐标，再根据渐近线方程即可求解.【详解】由题：椭圆22464x y +=即2216416x y +=，焦点坐标()()12,F F -，设双曲线C 方程：22221x y a b-=，则c =直线0x =即3y x =-为双曲线C 的一条渐近线，所以3b a =，2248a b +=，解得：6,a b ==，所以双曲线C 的方程是2213612x y -=. 故答案为：2213612x y -= 【点睛】此题考查根据双曲线焦点坐标和渐近线方程求双曲线标准方程，属于简单题目，对计算能力有一定要求.6. 已知M 为圆229x y +=上的动点，(6,0)A 为一定点，动点P 满足2AP PM =，则动点P 的轨迹方程是__________【答案】22(2)4x y -+=【解析】【分析】设点()(),,,M x y P a b 根据相关点法求出轨迹方程.【详解】设点()(),,,M x y P a b ，则229x y +=， 2AP PM =，即()()6,2,a b x a y b -=--，62222a x a b y b -=-⎧⎨=-⎩，解得36232a xb y -⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入229x y +=，22363922a b -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得：22(2)4a b -+=，即动点(),P a b 满足22(2)4a b -+=，所以动点P 的轨迹方程是22(2)4x y -+=.故答案为：22(2)4x y -+=【点睛】此题考查根据相关点法求轨迹方程，正确得出相关点的关系代入方程即可得出轨迹方程. 7. 圆22:(1)25C x y -+=，过点(2,1)P -作圆的所有弦中，最短弦所在直线方程是__________【答案】30x y --=【解析】【分析】根据圆的几何特征，过圆内一点最长的弦是过此点的直径，最短的弦是过此点且与该直径垂直的弦，即可求得.【详解】圆22:(1)25C x y -+=，过点(2,1)P -作圆的所有弦中，根据圆的几何特征，最短弦所在直线与PC 垂直，斜率11PCk k =-=，所以该直线方程()12y x --=-，即30x y --=故答案为：30x y --=【点睛】此题考查根据圆的几何特征求过圆内一点最短弦所在直线方程，根据垂直关系求出斜率. 8. 双曲线()22230x y k k -=<的焦点坐标是（用k 表示）__．【答案】0,⎛ ⎝【解析】【分析】根据双曲线的方程,化为标准方程,结合双曲线的几何意义即可求得c ．【详解】双曲线()22230x y k k -=<,化为22132y x k k -=--根据双曲线方程的几何意义可知c ==∴双曲线焦点坐标为0,⎛ ⎝故答案为0,⎛ ⎝ 【点睛】本题考查了双曲线的标准方程及几何性质,属于基础题.9.若直线x a +=与圆221x y +=在第一象限有两个不同的交点，则实数a 的取值范围是__．【答案】)2 【解析】【分析】根据圆的标准方程,讨论当直线过()0,1及直线与圆相切两种情况,两种临界情况下分别求出a 的值,即可确定出直线与圆在第一象限内有两个不同的交点时a 的范围．【详解】由圆的标准方程221x y +=可知当直线x a +=过()0,1时将0x =,1y =代入得a =当直线x a +=与圆221x y +=相切时,圆心到直线的距离1d r === 解得:2a =或2-（舍去）则直线与圆在第一象限内有两个不同的交点时,实数a的取值范围是)2故答案为)2【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系,根据直线与圆的交点情况求参数的取值范围,属于基础题. 10. 已知圆22:(3)(4)1C x y -+-=和两点(,0)A m -，(,0)B m (0)m >，若圆C 上存在点P 使得090APB ∠=，则m 的最大值为__________．【答案】6【解析】圆C ：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2=1的圆心C （3，4），半径r=1，设P （a ，b ）在圆C 上，则=（a+m ，b ），=（a ﹣m ，b ）， ∵∠APB=90°，∴， ∴=（a+m ）（a ﹣m ）+b 2=0，∴m 2=a 2+b 2=|OP|2，∴m 的最大值即为|OP |的最大值，等于|OC|+r=5+1=6．故答案为6．11. 设实数x ，y 满足24x y =y 的最小值是__．【答案】2【解析】【分析】根据抛物线的标准方程,可得准线方程.由两点间距离公式,y 转化为()3,1与焦点()0,1的距离减去1, 11y +-,即可求解.【详解】由抛物线的标准方程24x y =可知抛物线的准线方程为1y =-11y y +-,根据两点间距离公式可知,其最小值是()3,1与焦点()0,1的距离减去1y 的最小值是312-=故答案为:2【点睛】本题考查了抛物线标准方程及准线方程的求法,抛物线的定义及简单应用,两点间距离公式的求法,属于中档题.12. 椭圆C ：221168x y +=向右平移一个单位、向上平移两个单位可以得到椭圆'C ：()()22121168x y --+=．设直线l ：()()21130a x a y ++--=，当实数a 变化时，l 被'C 截得的最大弦长是__．【答案】8【解析】【分析】根据直线l 的方程可得所过定点的坐标.而定点坐标即为'C 的中心,由椭圆定义可知此时最大弦长为长轴.【详解】直线l :()()21130a x a y ++--=,化为:()()230a x y x y -++-=令2030x y x y -=⎧⎨+-=⎩,解得12x y =⎧⎨=⎩ 因此直线l 经过定点()1,2M ,为椭圆'C :()()22121168x y --+=的中心因此当实数a 变化时,l 被'C 截得的最大弦长是28a =故答案为:8【点睛】本题考查了直线过定点的求法,直线与椭圆的位置关系及性质的简单应用,属于基础题.二、选择题13. 圆222430x x y y +++-=上到直线10x y ++=( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】求出圆的圆心和半径，比较圆心到直线的距离和圆的半径的关系即可得解.【详解】圆222430x x y y +++-=可变为()()22128x y +++=，∴圆心为()1,2--，半径为 ∴圆心到直线10x y ++=距离d ==∴3个.故选：C.【点睛】本题考查了圆与直线的位置关系，考查了学生合理转化的能力，属于基础题.14. 条件甲：“曲线C 上的点的坐标都是方程0(),F x y =的解”，条件乙：“曲线C 是0(),F x y =的图形”，则乙是甲的（） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】“曲线C 上的点的坐标都是方程0(),F x y =的解”不能推出“曲线C 就是方程0(),F x y =的轨迹”，而“曲线C 是0(),F x y =的图形”一定能推出“曲线C 上的点的坐标都是方程0(),F x y =的解”. 【详解】根据曲线与方程的关系，若曲线C 是0(),F x y =的图形，则曲线C 上的点的坐标都是方程0(),F x y =的解；若曲线C 上的点的坐标都是方程0(),F x y =的解，可能曲线C 只是方程0(),F x y =的曲线的一部分，所以不能推出曲线C 是0(),F x y =的图形，所以乙是甲的充分不必要条件. 故选：B【点睛】此题考查充分条件与必要条件的辨析，关键在于弄清曲线与方程的关系. 15. 过点()3,0和双曲线()2210x ay a -=>仅有一交点的直线有（）A. 1条B. 2条C. 4条D. 不确定【答案】B 【解析】【分析】直线斜率不存在时,不满足条件,直线斜率存在时,与渐近线平行直线,满足题意,可得结论．的【详解】直线斜率不存在时,满不足条件；直线斜率存在时,与渐近线平行的直线,满足题意∴过点()3,0和双曲线()2210x ay a -=>仅有一交点的直线有2条故选:B ．【点睛】本题考查了直线与双曲线的位置关系及简单应用,属于基础题. 16. 对于方程为111||||x y +=的曲线C 给出以下三个命题: （1）曲线C 关于原点对称；（2）曲线C 关于x 轴对称，也关于y 轴对称，且x 轴和y 轴是曲线C 仅有的两条对称轴；（3）若分别在第一、第二、第三、第四象限的点,,,M N P Q ，都在曲线C 上，则四边形MNPQ 每一条边的边长都大于2；其中正确的命题是（） A. （1）（2） B. （1）（3）C. （2）（3）D. （1）（2）（3）【答案】B 【解析】【分析】分段去绝对值，作出图象即可判定. 【详解】当0,0x y >>时，111x y+=，即1111x y x x ==+--；当0,0x y <>时，111x y -+=，即1111x y x x ==-++；当0,0x y <<时，111x y --=，即1111x y x x -==-+++；当0,0x y ><时，111x y -=，即1111x y x x =-=----，作图，如图所示：所以曲线C 关于原点对称，（1）正确；曲线C 的对称轴为x 轴和y 轴和y x =和y x =-，（2）错误；分别在第一、第二、第三、第四象限的点,,,M N P Q 都在曲线C 上，任意边长都大于渐近线之间的距离，即四边形MNPQ 每一条边的边长都大于2，所以（3）正确. 故选：B【点睛】此题考查根据方程分析曲线的特征，涉及分类讨论思想和对称性的讨论，对数形结合思想要求比较高..三、解答题17. 已知点(3,5)M ，圆()()22124x y -+-=．（1）求过点M 的圆的切线方程；（2）若直线40ax y -+=与圆相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为a 的值．【答案】（1）3x =或512450x y -+=．（2）34a =- 【解析】【分析】 (1)分切线斜率不存在与存在两种情况分析.当斜率存在时设方程为5(3)y k x -=-,再根据圆心到直线的距离等于半径求解k 即可.(2)利用垂径定理根据圆心到直线的距离列出等式求解即可. 【详解】解：（1）由题意知圆心的坐标为()1,2,半径2r ,当过点M 的直线的斜率不存在时,方程为3x =．由圆心()1,2到直线3x =的距离312r -==知,此时,直线与圆相切．当过点M 的直线的斜率存在时,设方程为5(3)y k x -=-,即530kx y k -+-=2=,解得512k =,∴方程为512450x y -+=．故过点M 的圆的切线方程为3x =或512450x y -+=．（2）∵圆心到直线40axy +﹣＝=∴224+=,解得34a =-．【点睛】本题主要考查了直线与圆相切与相交时的求解.注意直线过定点时分析斜率不存在与存在两种情况.直线与圆相切用圆心到直线的距离等于半径列式,直线与圆相交用垂径定理列式.属于中档题. 18. 已知抛物线C ：22y x =和直线l ：1y kx =+,O 为坐标原点．（1）求证：l 与C 必有两交点；（2）设l 与C 交于A ,B 两点,且直线OA 和OB 斜率之和为1,求k 的值．【答案】（1）见解析；（2）1k = 【解析】【分析】（1）联立抛物线C ：y ＝2x 2和直线l ：y ＝kx +1，可得2x 2﹣kx ﹣1＝0，利用△＞0，即可证明l 与C 必有两交点；（2）根据直线OA 和OB 斜率之和为1，利用韦达定理可得k 的值．【详解】（1）证明：联立抛物线C ：22y x =和直线l ：1y kx =+,可得2210x kx --=,280k ∴=+>,l ∴与C 必有两交点；（2）解：设()11,A x y ,()22,B x y ,则12121;y y x x +=① 因为111y kx =+,221y kx =+,代入①,得121121;k x x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭② 又由韦达定理得1212x x k +=,1212x x =-,代入②得1k =．【点睛】本题主要考查抛物线的方程与简单性质、直线的一般式方程、直线与抛物线的位置关系，以及方程思想，属于基础题．19. 教材曾有介绍：圆222x y r +=上点()00,x y 处的切线方程为200x x y y r +=.我们将其结论推广：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的点()0,o x y 处的切线方程为00221x x y y a b +=，在解本题时可以直接应用.已知，直线0x y -=与椭圆222:1(1)x E y a a+=>有且只有一个公共点.（1）求a 的值（2）设O 为坐标原点，过椭圆E 上的两点A B 、分别作该椭圆的两条切线12l l 、，且1l 与2l 交于点(2,)M m .当m 变化时，求OAB 面积的最大值. 【答案】（1）a =（2）max S = 【解析】【分析】（1）联立直线与椭圆方程，根据相切利用判别式即可求解；（2）求出直线AB 的方程，求出弦长AB 和点O 到直线AB 的距离，表示出OAB 的面积，再求最大值.【详解】（1）将直线0x y -+=代入椭圆方程2221,(1)x y a a+=>，可得：()2222201axa x ++=+，由直线和椭圆相切：()24201214a a a ∆-+==，1a >，解得：a =（2）椭圆方程2212x y +=，设()()1122,,,A x y B x y ，则()()1122,,,A x y B x y 两点处的切线分别为：的1112x x y y +=，2212x xy y +=，两条直线交于点(2,)M m ，则111x my +=，221x my +=，即()()1122,,,A x y B x y 两点在直线1x my +=上，所以直线AB 的方程为10x my +-=，所以O 到直线AB的距离d =，由221012x my x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()222210m y my +--=，12,y y 是方程的两根， 12122221,22m y y y y m m +==-++，12AB y y =-==)2212m m+=+，所以OAB 的面积：2122S AB dm ==+=1=，2≥，当且仅当0m =时等号成立，所以OAB面积12S =≤，当且仅当0m =时面积取得最大值2. 【点睛】此题考查直线与椭圆的位置关系，根据相切求参数的值，通过弦长和距离关系求三角形面积的最值，涉及基本不等式相关知识，综合性较强.20. 已知12(2,0),(2,0)F F -，点P 满足122PF PF -=，记点P 的轨迹为Γ.斜率为k 的直线l 过点2F ，且与轨迹Γ相交于,A B 两点. （1）求轨迹Γ的方程；（2）求斜率k 的取值范围；（3）在x 轴上是否存在定点M ，使得无论直线l 绕点2F 怎样转动，总有MA MB ⊥成立？如果存在，求出定点M ；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）221(0)3y x x -=>；（2）(,)-∞⋃+∞；（3）存在，()1,0M -. 【解析】【分析】（1）根据双曲线的定义即可求得方程；（2）联立直线与双曲线方程，转化成方程有解问题；（3）假设存在点M ，联立直线和双曲线整理成二次方程，根据0MA MB ⋅=结合韦达定理求解. 【详解】（1）因为12(2,0),(2,0)F F -，点P 满足12122P F F PF F -=<，所以点P 的轨迹为以12(2,0),(2,0)F F -为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，设其方程22221,(0)x y x a b -=>，则2,1,c a b ===所以轨迹Γ的方程：221,(0)3y x x -=>；（2）斜率为k 的直线l 过点2F ，直线方程为()2y k x =-，代入2213y x -=，()22230443x k x x -+--=，即()222234430k x k x k -+--=有两个不等正根12,x x ，()()2422212221223016434300343043k k k k k x x k k x x k ⎧-≠⎪∆=---->⎪⎪⎪⎨+=->⎪-⎪--⎪=>⎪-⎩，由22034k k ->-得23k >，当23k >时，224303k k -->-且()()4221643430k kk∆=---->即不等式组的解：23k >所以((),3,k ∈-∞+∞；（3）假设存在，设点()()()1122,0,,,,M m A x y B x y ，使MA MB ⊥，由（2）：斜率为k 的直线l 过点2F ，直线方程为()2y k x =-，代入2213y x -=，()22230443x k x x -+--=，即()222234430k x k x k -+--=有两个不等正根12,x x ， ()()2422212221223164343034433k k k k kx x k k x x k ⎧>⎪∆=---->⎪⎪⎪⎨+=-⎪-⎪--⎪=⎪-⎩， MA MB ⊥，所以()()11220,,,0MA MB x m y x m y ⋅=-⋅-=，()()12120x m x m y y --+=()()()()1212220x m x m k x k x --+--=()()()222212121240kx x k m x x m k +-++++=()()22222222443124033k k k k m m k k k ⎛⎫--+⋅-+-++= ⎪--⎝⎭4242222244738314240k k k k m m k m k k ---+++-+-=()22245330k m m m -+++-=，对23k >恒成立，所以22450330m m m ⎧-++=⎪⎨-=⎪⎩，解得1m =-，即()1,0M -，当直线l 斜率不存在时，直线方程2x =，此时()()2,3,2,3A B -， ()()3,33,30MA MB ⋅=⋅-=，仍然满足MA MB ⊥，所以这样的点存在，()1,0M -.【点睛】此题考查求双曲线方程，注意考虑图象限制范围，通过直线与双曲线位置关系求参数范围，结合韦达定理解决相关定点问题.。

上海市复兴高级中学2020-2021学年高二上学期12月月考数学试题(含解析)

上海市复兴高级中学2020-2021学年高二上学期12月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．双曲线的实轴长为________2．以为准线的抛物线的标准方程为________3．已知椭圆C：的两个焦点为、，P为椭圆C上一点，则的周长为________4．直线（t为参数）的倾斜角大小为________5．已知点在圆上运动，则的取值范围为________6．若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线的标准方程为．7．点到抛物线上的点的距离的最小值为________8．双曲线的左、右焦点分别为、，点P在双曲线上，且，则________9．如图，A、B分别为椭圆C：的顶点，D为椭圆C上位于第一象限的动点，O为坐标原点，则四边形OADB面积的最大值为________10．已知椭圆C：的两个焦点为、，且椭圆C上存在点P使得，则实数m的取值范围为________11．定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x2＋a到直线l：y＝x的距离等于C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a＝______________．12．已知，当ab取得最小值时，曲上的点到直线的距离的取值范围是________二、单选题13．过点且与抛物线只有一个公共点的直线有（）条A．0 B．1 C．2 D．314．已知椭圆E：，对于任意实数k，下列直线被椭圆E截得的弦长与l：被椭圆E截得的弦长不可能相等的是（）A． B．C． D．15．已知点在抛物线上，则当点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为（）A． B． C． D．16．已知双曲线＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点O为双曲线的中心，点P在双曲线右支上，△PF1F2内切圆的圆心为Q，圆Q与x轴相切于点A，过F2作直线PQ的垂线，垂足为B，则下列结论成立的是（）A．|OA|＞|OB| B．|OA|＜|OB|C．|OA|＝|OB| D．|OA|与|OB|大小关系不确定三、解答题17．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数）．（1）求曲线C的普通方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为，求直线l的方程．18．圆：，圆：，圆、关于直线l对称．（1）求直线l的方程；（2）直线l上是否存在点Q，使点Q到点的距离减去点Q到点的距离的差为4，如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．19．已知点，直线l：，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为Q，且满足．（1）求点P的轨迹C的方程；（2）对于（1）中轨迹C，为C上的一点，动点M、N都在C上，且直线AM与AN的斜率互为相反数，求证：直线MN的斜率是定值．（求出该定值）20．设椭圆C：的两个焦点是和，且椭圆C与圆有公共点．（1）求实数a的取值范围；（2）若椭圆C上的点到焦点的最短距离为，求椭圆C的方程；（3）对（2）中的椭圆C，直线l：与C交于不同的两点M、N，若线段MN的垂直平分线恒过点，求实数m的取值范围．21．已知抛物线：上一点到焦点的距离为4，动直线交抛物线于坐标原点O和点A，交抛物线的准线于点B，若动点P满足，动点P的轨迹C的方程为．（1）求出抛物线的标准方程；（2）求动点P的轨迹方程；（3）以下给出曲线C的四个方面的性质，请你选择其中的三个方面进行研究：①对称性；②范围；③渐近线；④时，写出由确定的函数的单调区间．参考答案1．【解析】【分析】根据双曲线标准方程以及实轴长为求解即可.【详解】由得，，故实轴长为.故答案为：【点睛】本题主要考查了双曲线的基本量求解，属于基础题型.2．【分析】设抛物线方程为，再利用准线方程求解即可.【详解】设抛物线方程为，则，故.故抛物线的标准方程为故答案为：【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程与准线方程，属于基础题型.3．16【分析】由椭圆的定义求解即可.【详解】由椭圆的定义有，故的周长为.故答案为：16.【点睛】本题主要考查了椭圆的焦点三角形的周长问题，属于基础题型.4．【分析】先求出直线的直角坐标方程，再根据斜率求解即可.【详解】由有，故直线的斜率为，又倾斜角，，故倾斜角故答案为：【点睛】本题主要考查了参数方程化直角坐标方程的方法，同时也考查了直线倾斜角与斜率的关系，属于基础题型.5．【分析】设，再计算的取值范围即可.【详解】设，则，因为，故的取值范围为故答案为：【点睛】本题主要考查了圆的参数方程的运用与三角恒等变换的运用，属于基础题型.6．【解析】试题分析：抛物线的焦点为，渐近线考点：抛物线双曲线方程及性质7．【分析】设抛物线上的点，再表达出的距离，再利用满足代换求最值即可.【详解】设抛物线上的点，则故当时取最小值故答案为：【点睛】本题主要考查了点到抛物线上的点的最值问题，主要方法是设点表达所求的表达式，再利用抛物线的方程换元求二次函数最值即可.属于中等题型.8．【分析】根据双曲线的定义有，再利用余弦定理求出，进而用三角形面积公式求解即可.【详解】由题，，由余弦定理有又，，，代入得，又，故故.故答案为：【点睛】本题主要考查了双曲线的定义以及焦点三角形的面积运用等，需要利用余弦定理与双曲线的进行运算，再利用面积公式求解.属于中等题型.9．【分析】设，再利用，代入求得关于的关系式，利用三角恒等变换的公式求最值即可.【详解】设，则.故当时最大值为.故答案为：【点睛】本题主要考查椭圆的参数方程求面积最值的方法，属于基础题型.10．【分析】存在点P使得即为存在点P使得为钝角，只需在椭圆上找到点P使得的最大值能够为钝角.分焦点在轴与轴两种情况进行分类计算即可.【详解】由题意得，椭圆C上存在点P使得即存在点P使得为钝角.故只需的最大值能够为钝角即可.当焦点在轴上时，由椭圆的性质有，当在上下顶点时，取最大值，此时若，则，故，解得.当焦点在轴上时，由椭圆的性质有，当在左右顶点时，取最大值，此时若，则，故，解得.故m的取值范围为故答案为：【点睛】本题主要考查焦点三角形角度最值的问题，当在对应的短轴顶点时取得最值，属于基础题型.11．【解析】试题分析：由新定义可知，直线与曲线相离，圆的圆心到直线的距离为，此时直线与圆相离，根据新定义可知，曲线到直线的距离为，对函数求导得，令，故曲线在处的切线方程为，即，于是曲线到直线的距离为，则有，解得或，当时，直线与曲线相交，不合乎题意；当时，直线与曲线相离，合乎题意.综上所述，.考点：1.新定义；2.直线与曲线的位置关系12．【分析】利用基本不等式求得的最小值及当取得最小值时的值，再代入，分的正负判断方程的种类再画图分析即可.【详解】由题有，因为，故，当且仅当时取，因为，解得.故曲线方程为.故方程为：，画出图像有故为双曲线与的渐近线方程.易得曲线上的点到直线的距离.最大值时设椭圆上的点.此时，当时取最大值为.点到直线的距离的取值范围是故答案为：【点睛】本题主要考查了基本不等式的运用以及圆锥曲线的综合问题，需要画图再化成参数方程的形式求点到线的距离最值问题，属于中等题型.13．C【分析】在抛物线上，再画图分析直线与抛物线只有一个公共点的情况即可.【详解】由图，当过的直线与轴平行或与抛物线相切时仅有一个公共点.故选：C【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，利用几何法画出图像分析即可.属于基础题型.14．A【分析】利用椭圆的对称性进行分析即可.【详解】对A，过，直线过，且斜率为.由对称性可得与截得椭圆E：的弦长相等.因为与平行且不关于原点对称，故被椭圆E截得的弦长不可能相等.对B，过点，且斜率为.故与关于轴对称，由对称性可得被椭圆E截得的弦长相等.对C，与关于轴对称，故被椭圆E截得的弦长相等.对D，与关于原点对称，故被椭圆E截得的弦长相等.故选：A【点睛】本题主要考查直线关于原点或坐标轴对称的关系与椭圆的对称性，属于基础题型. 15．D【解析】因为点到抛物线焦点距离等于点到抛物线的准线的距离，所以到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小等价于到点的距离与点到抛物线准线距离之和取得最小，如图，由几何性质可得，从向准线作垂线，其与抛物线交点就是所求点，将代入，可得，点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为，故选D.【方法点晴】本题主要考查抛物线的标准方程和抛物线的简单性质及利用抛物线的定义求最值，属于难题.与抛物线的定义有关的最值问题常常实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化：(1)将抛物线上的点到准线的距化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；(2)将拋物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“点与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.本题是将到焦点的距离转化为到准线的距离，再根据几何意义解题的.16．C【解析】由于点Q为三角形PF1F2内切圆的圆心，故过点F2作PQ的垂线并延长交PF1于点N，易知垂足B为F2N的中点，连接OB，则|OB|＝|F1N|＝(|F1P|－|F2P|)＝a，又设内切圆与PF1，PF2分别切于G，H，则由内切圆性质可得|PG|＝|PH|，|F1G|＝|F1A|，|F2A|＝|F2H|，故|F1P|－|F2P|＝|F1A|－|F2A|＝2a，设|OA|＝x，则有x＋c－(c－x)＝2a，解得|OA|＝a，故有|OA|＝|OB|＝a，故选C.17．（1）；（2）．【分析】(1)两式平方消去参数即可.(2)利用点差法求解直线l的方程即可.【详解】(1)由，所以曲线C的普通方程为.(2)设直线交椭圆于，的斜率为.则，两式相减有，故因为线段的中点坐标为，故，故，即.故直线l的方程为，化简得【点睛】本题主要考查了椭圆的参数方程化简以及点差法的用法，属于中等题型. 18．（1）；（2）不存在．理由见解析【分析】(1)因为圆心关于直线l对称，故直线过圆心、的中点，且直线与垂直即可.(2)由点Q到点的距离减去点Q到点的距离的差为4可求得的轨迹为以，为焦点，的双曲线右支上，求出双曲线方程再分析与是否相交即可.【详解】(1)由题，直线过圆心、的中点，又，即.故直线l的方程为，化简得.(2)由题意得的轨迹是以，为焦点，的双曲线右支.故，故的轨迹方程为，.联立得，方程组无解.故直线l上不存在满足条件的点.【点睛】本题主要考查了直线中对称的问题，同时也考查了双曲线的轨迹问题与直线与双曲线的位置关系等，属于中等题型.19．（1）；（2）定值为．证明见解析【分析】(1)设，根据化简求解轨迹方程即可.(2)设，利用直线AM与AN的斜率互为相反数可得，再代入点坐标进行化简，最后表达出求解即可.【详解】(1)设，则，因为，所以.即，即.所以点P的轨迹C的方程为.(2)因为在上，故设，则因为直线AM与AN的斜率互为相反数，故.即，又，.，故.所以直线MN的斜率为定值故线MN的斜率是定值【点睛】本题主要考查了轨迹方程的一般求法，同时也考查了设点求证抛物线中的定值问题等，属于中等题型.20．（1）；（2）；（3）．【分析】(1)根据椭圆C与圆有公共点，可转换为联立方程有解即可.(2)设椭圆上的点，再求出到焦点的距离，分析取最短距离时的情况，再列式求解椭圆中基本量的关系即可.(3)联立直线与椭圆的方程，求出MN的垂直平分线，代入即可得的关系，再根据判别式与的关系列出不等式进行求解即可.【详解】(1)由已知，，所以方程有实数解，从而.故，所以，故a的取值范围是.(2)设椭圆上的点到一个焦点的距离为，则因为，故，因为.所以当时，故，故椭圆方程为(3)由因为直线与椭圆交于不同两点，所以，即.设，则，故线段的中点.又线段的垂直平分线横过点，所以，即.故.又，故，解得，又，故故实数m的取值范围是.【点睛】本题主要考查了椭圆上的点到焦点距离的最值问题，同时也考查了直线与椭圆的位置关系.一般是联立直线与椭圆的方程，根据题中所给的条件列出对应的表达式进行求解化简，属于中等题型.21．（1）；（2）；（3）见解析．【分析】(1)根据抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离列式求解即可.(2)求出的坐标，利用动点P满足，求出动点P的轨迹C的方程即可.(3)根据(2)中所得的方程直接得出结论即可.【详解】(1)由题意，，所以所以抛物线的标准方程为(2)设，则与抛物线方程联立，可得，即，与联立，可得.因为，所以，所以，故，.消去可得(3)由，可得①因为，，故关于轴对称；②范围：，则.即又当时，，故，即或.故，③因为分母为，故渐近线④当时，因为，所以由确定的函数为，即，当时，单调递减；当时，单调递增故在上递减，在上递增.综上所述，①关于轴对称②，③渐近线④时，由确定的函数在上递减，在上递增【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系与轨迹方程的求解等，属于中等题型.。

2020-2021学年人教版高二上册数学月考数学试卷(12月份)带答案

2020-2021学年高二（上）月考数学试卷（12月份）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.)1. 过点P(−2, m)和Q(m, 4)的直线的斜率等于1，则m 的值是（） A.1 B.2 C.3 D.42. 向量a →=(2, 1, x)，b →=(2, y, −1)，若|a →|=√5，且a →⊥b →，则x +y 的值为( ) A.−1 B.1C.4D.−43. 在等差数列{a n }中，若S n 为前n 项和，2a 7=a 8+5，则S 11的值是（） A.55 B.11C.50D.604. 位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为ℎ，跨径为a ，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为（）A.a 28ℎ B.a 24ℎC.a 22ℎD.a 2ℎ5. 在公差不为零的等差数列{a n }中，a 1，a 3，a 7依次成等比数列，前7项和为35，则数列{a n }的通项a n 等于（） A.n B.n +1 C.2n −1 D.2n +16. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（） A.x 24−y 212=1 B.x 212−y 24=1C.x 23−y 2=1D.x 2−y 23=17. 点P是直线x+y−3＝0上的动点，由点P向圆O:x2+y2＝4作切线，则切线长的最小值为（）A.2√2B.32√2 C.√22D.128. 已知F1、F2是两个定点，点P是以F1和F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF1⊥PF2，e1和e2分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有（）A.e12+e22＝2B.e12+e22＝4C.1e12+1e22=2 D.1e12+1e22=4二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.)9. 下列说法正确的是（）A.过点(x1, y1)，(x2, y2)两点的直线方程为y−y1y2−y1=x−x1x2−x1B.点(0, 2)关于直线y＝x+1的对称点是(1, 1)C.直线x−y−2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积为2D.经过点(1, 1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y−2＝010. 在递增的等比数列{a n}中，S n是数列{a n}的前n项和，若a1a4＝32，a2+a3＝12，则下列说法正确的是（）A.q＝1B.数列{S n+2}是等比数列C.S8＝510D.数列{lg a n}是公差为2的等差数列11. 如图，设E，F分别是正方体ABCD−A1B1C1D1的棱DC上两点，且AB＝2，EF＝1，其中正确的命题为（）A.三棱锥D1−B1EF的体积为定值B.异面直线D1B1与EF所成的角为60∘C.D1B1⊥平面B1EFD.直线D1B1与平面B1EF所成的角为30∘12. 发现土星卫星的天文学家乔凡尼卡西尼对把卵形线描绘成轨道有兴趣．像笛卡尔卵形线一样，笛卡尔卵形线的作法也是基于对椭圆的针线作法作修改，从而产生更多的卵形曲线．卡西尼卵形线是由下列条件所定义的：曲线上所有点到两定点（焦点）的距离之积为常数．已知：曲线C是平面内与两个定点F1(−1, 0)和F2(1, 0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹，则下列命题中正确的是（）A.曲线C过坐标原点B.曲线C关于坐标原点对称C.曲线C关于坐标轴对称a2D.若点在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于12三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分)13. 在等差数列{a n}中，a1+a4+a7＝39，a3+a6+a9＝27，则数列{a n}的前9项之和S9等于________．14. 已知抛物线y2＝4x上一点P到准线的距离为d1，到直线l:4x−3y+16＝0为d2，则d1+d2的最小值为________．15. 数列{a n}的前n项和为S n＝n2+1，则数列{a n}的通项公式为________．16. 已知半径为5的动圆C的圆心在直线l:x−y+10＝0上．若动圆C过点(−5, 0)，求圆C的方程________，使得动圆C中满足与圆O:x2+y2＝r2相外切的圆有且仅有一个．三、解答：本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 已知直线l1:ax+2y+1＝0，直线l2:x−y+a＝0．（1）若直线l1⊥l2，求a的值及垂足P的坐标；（2）若直线l1 // l2，求a的值及直线l1与l2的距离．18. 已知抛物线C:y2＝2px(p>0)上的点M(1, m)到其焦点F的距离为2．（1）求C的方程；并求其焦点坐标；（2）过点(2, 0)且斜率为1的直线l交抛物线于A，B两点，求弦AB的长．19. 已知{a n}是各项均为正数的等比数列，a1=2，a3=2a2+16．(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n=loga n，求数列{b n}的前n项和．220. 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少15．本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加14．（1）设n 年内（本年度为第一年）总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元．写出a n ，b n 的表达式；（2）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？21. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AB // CD ，AB ⊥AD ，PA ⊥底面ABCD ，E 为BP 的中点，AB ＝2，PA ＝AD ＝CD ＝1．（1）证明：EC // 平面PAD ；（2）求二面角E −AC −P 的正弦值．22. 已知O 为坐标原点，椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝2，P 为椭圆的上顶点，以P 为圆心且过F 1，F 2的圆与直线x =−√2相切．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知直线l 交椭圆C 于M ，N 两点；(ⅰ)若直线l 的斜率等于1，求△OMN 面积的最大值；(ⅱ)若OM →⋅ON →=−1，点D 在l 上，OD ⊥l ．证明：存在定点W ，使得|DW|为定值．参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1.【答案】 A【解析】利用直线的斜率公式求解． 2. 【答案】 D 【解析】根据|a →|=√5求出x 的值，再根据a →⊥b →得出a →⋅b →=0，列方程求出y 的值，即可计算x +y 的值． 3.【答案】 A【解析】利用等差数列的通项公式与求和公式及其性质即可得出． 4. 【答案】 A【解析】本题根据题意建立一个平面直角坐标系，然后根据桥形的特点写出对应的抛物线方程，再将已知点(a2,−ℎ)代入抛物线方程解出p 的值，而桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离即为p ． 5.【答案】 B【解析】根据等差数列以及等比数列的性质求出首项和公差，从而求出通项公式． 6.【答案】 D【解析】此题暂无解析 7.【答案】 C【解析】由圆的标准方程，找出圆心坐标和圆的半径，要使切线长的最小，则必须点P 到圆的距离最小，求出圆心到直线x +y −3＝0的距离，利用切线的性质及勾股定理求出切线长的最小值即可．8.【答案】C【解析】由题设中的条件，设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，根据椭圆和双曲线的性质以及勾弦定理建立方程，联立可得m，a，c的等式，整理即可得到结论二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.【答案】B,C【解析】分类求出点(x1, y1)，(x2, y2)两点的直线方程判断A；由对称性判断B；求出直线x−y−2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积判断C；求出经过点(1, 1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程判断D．10.【答案】B,C【解析】本题先根据题干条件判断并计算得到q和a1的值，则即可得到等比数列{a n}的通项公式和前n项和公式，则对选项进行逐个判断即可得到正确选项．11.【答案】A,B,D【解析】根据题意画出图形，结合图形求出三棱锥D1−B1EF的体积为定值，可判断选项A；求得异面直线D1B1与EF所成的角为45∘可判断B；判断D1B1与平面B1EF不垂直可判断C；直线D1B1与平面B1EF所成的角是为30∘可判断D．12.【答案】B,C,D【解析】设动点坐标为(x, y)，根据题意可得曲线C的方程为[(x+1)2+y2]•[(x−1)2+y2]＝a4，对各个选项逐一验证，即可得出结论．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.【答案】99【解析】由等差数列的性质可求得a4，＝13，a6＝9，从而有a4+a6＝22，由等差数列的前n项和公式即可求得答案．14.【答案】4【解析】利用抛物线的定义，将d 1+d 2的最小值转化为焦点到直线4x −3y +16＝0的距离即可求得． 15. 【答案】a n ={2(n =1)2n −1(n ≥2)【解析】a 1＝S 1＝1+1＝2，a n ＝S n −S n−1＝(n 2+1)−[(n −1)2+1]＝2n −1．当n ＝1时，2n −1＝1≠a 1，由此能求出数列{a n }的通项公式． 16. 【答案】(x +10)2+y 2＝25或(x +5)2+(y −5)2＝25，存在正实数r ＝5√2−5 【解析】由已知先设原的标准方程，再由已知条件建立方程组即可求出圆的圆心，进而可以求解；然后再求出圆O 的圆心到直线l 的距离，利用直线与圆外切的圆只有一个可求出此时圆O 的半径，进而可以求解．三、解答：本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.【答案】∵ 直线l 1:ax +2y +1＝0，直线l 2:x −y +a ＝0，当直线l 1⊥l 2时，a ×1+2×(−1)＝0，解得a ＝2，∴ l 1:2x +2y +1＝0，直线l 2:x −y +2＝0，联立解得{x =−54y =34∴ a 的值为2，垂足P 的坐标为(−54, 34)；当直线l 1 // l 2时，a1=2−1≠1a ，解得a ＝−2，∴ l 1:−2x +2y +1＝0，直线l 2:−2x +2y +4＝0，由平行线间的距离公式可得d =√(−2)2+22=3√24∴ a 的值为−2，直线l 1与l 2的距离为3√24【解析】（1）由垂直可得a ×1+2×(−1)＝0，解得a 值可得直线的方程，联立方程可解交点坐标；（2）当直线l 1 // l 2时，a1=2−1≠1a ，解得a 值可得直线的方程，由平行线间的距离公式可得答案． 18. 【答案】由抛物线的方程可得其准线方程为x =−p2，由抛物线的性质可得抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以1−(−p2)＝2，解得p ＝2，所以抛物线的方程为：y 2＝4x ，焦点F(1, 0)．由题意可得直线l 的方程为：y ＝x −2，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，由{y 2=4x y =x −2，整理可得：x 2−8x +4＝0，x 1+x 2＝8，x 1x 2＝4，所以弦长|AB|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+1⋅√82−4×4=4√6，所以弦AB 的长为4√6．【解析】（1）由抛物线的方程可得其准线方程，再由抛物线的性质可得抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，起床p 的值，进而求出抛物线的方程及焦点坐标；（2）由题意可得直线l 的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，再由弦长公式可得弦AB 的值． 19.【答案】解：(1)设等比数列的公比为q ，由a 1=2，a 3=2a 2+16，得2q 2=4q +16，即q 2−2q −8=0，解得q =−2（舍）或q =4． ∴ a n =a 1q n−1=2×4n−1=22n−1； (2)b n =log 2a n =log 222n−1=2n −1，∵ b 1=1，b n+1−b n =2(n +1)−1−2n +1=2， ∴ 数列{b n }是以1为首项，以2为公差的等差数列，则数列{b n }的前n 项和T n =n ×1+n(n−1)×22=n 2．【解析】（1）设等比数列的公比，由已知列式求得公比，则通项公式可求；（2）把（1）中求得的{a n }的通项公式代入b n ＝log 2a n ，得到b n ，说明数列{b n }是等差数列，再由等差数列的前n 项和公式求解． 20. 【答案】第1年投入为800万元，第2年投入为800×(1−15)万元，第n 年投入为800×(1−15)n−1万元．所以，n 年内的总投入为a n ＝800+800×(1−15)+...+800×(1−15)n−1=∑ n k=1800×(1−15)k−1＝4000×[1−(45)n ]；第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×(1+14)万元，第n 年旅游业收入为400×(1+14)n−1万元．所以，n 年内的旅游业总收入为b n ＝400+400×(1+14)+...+400×(1+14)n−1=∑ n k=1400×(54)k−1＝1600×[(54)n −1]．设至少经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入，由此 b n −a n >0，即1600×[(54)n −1]−4000×[1−(45)n ]>0．化简得5×(45)n +2×(54)n −7>0，设x ＝(45)n ，代入上式得5x 2−7x +2>0，解此不等式，得x <25，x >1（舍去）．即(45)n <25，由此得n ≥5．答：至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入．【解析】（1）依次写出第1年投入量，第2年投入量，等等，第n 年投入量，从而求出n 年内的总投入量a n ，再由第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×(1+14)万元，归纳出第n 年旅游业收入为400×(1+14)n−1万元．从而得出n 年内的旅游业总收入b n ．（2）先设至少经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入，由b n −a n >0，解得n 的取值范围即可． 21.【答案】证明：如图，取AP 的中点F ，连结EF ，DF ∵ BE ＝PE ，PF ＝AF ，∴ EF ∥=12AB ，∵ 直角梯形ABCD 中，AB // CD ，AB ＝2，PA ＝AD ＝CD ＝1， ∴ CD ∥=12AB ，∴ CD ∥=EF ，∴ 四边形EFDC 是平行四边形，∴ EC // FD ，∵ DF ⊂平面PAD ，EC ⊄平面PAD ，∴ EC // 平面PAD ．如图，∵ PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，∴ AP 、AB 、AD 两两垂直，以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系 A(0, 0, 0)，P(0, 0, 1)，C(1, 1, 0)，B(2, 0, 0)，E(1, 0, 12)， AP →=(0, 0, 1)，AC →=(1, 1, 0)，AC →=(1, 1, 0)，AE →=(1, 0, 12)，设平面APC 的法向量m →=(x, y, z)，则{m →⋅AP →=z =0m →⋅AC →=x +y =0，取x ＝1，得m →=(1, −1, 0)，设平面EAC 的法向量n →=(a, b, c)，则{n →⋅AC →=a +b =0n →⋅AE →=a +12c =0 ，取a ＝1，得n →=(1, −1, −2)，设二面角E −AC −P 的平面角为θ，则cos θ=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=2√2×√6=√33， sin θ=√1−(√33)2=√63． ∴ 二面角E −AC −P 的正弦值为√63．【解析】（1）取AP 的中点F ，连结EF ，DF ，推导出四边形EFDC 是平行四边形，从而EC // FD ，由此能证明EC // 平面PAD ．（2）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E −AC −P 的正弦值． 22.【答案】由题意知：F 1(−1, 0)，F 2(1, 0)，由椭圆定义知，所以2a =|PF 1|+|PF 2|=2√2，设椭圆的半焦距为c ，所以b 2+c 2＝a 2，所以a =√2，b ＝1，c ＝1，所以椭圆C 的标准方程为：x 22+y 2=1． (ⅰ)设直线l 的方程为：y ＝kx +t试卷第11页，总11页将y ＝kx +t ，代入x 22+y 2=1得：(1+2k 2)x 2+4ktx +2t 2−2＝0，设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，所以x 1+x 2=−4kt1+2k 2，x 1x 2=2t 2−21+2t 2，又因为k ＝1，得|AB|=√2|x 1−x 2|=√2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√3−t 23，点O 到直线l 的距离d =√1+k 2=√2，所以S △AOB =12⋅√24√3−t 23=√23×√t 2(3−t 2)≤√23×(t 2+3−t 22)=√22，等号当仅当t 2＝3−t 2时取，即当t =±√62时，△OMN 的面积取最大值为√22．(ⅱ)显然直线l 的斜率一定存在，设直线l 的方程为：y ＝kx +t ，由(ⅰ)知：x 1+x 2=−4kt1+2k 2,x 1x 2=2t 2−21+2k 2，所以y 1y 2=(kx 1+t)(kx 2+t)=k 2x 1x 2+kt(x 1+x 2)+t 2=t 2−2k 21+2k 2，所以OM →⋅ON →=x 1x 2+y 1y 2=3t 2−2−2k 21+2k 2=−1，解得t 2=13，t =±√33，直线y ＝kx ±√33过定点Z(0, √33)或(0,−√33) 所以D 在以OZ 为直径的圆上，该圆的圆心为W(0, √36)或(0, −√36)，半径等于√36，所以存在定点W(0, √36)或(0, −√36)，使得|DW|为定值．【解析】（1）利用椭圆的焦距求出c ，利用椭圆的定义求解a ，推出b ，即可得到椭圆方程．(2)(ⅰ)设直线l 的方程为：y ＝kx +t 将y ＝kx +t ，代入x 22+y 2=1，设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，利用韦达定理结合弦长公式，点到直线的距离求解三角形的面积，利用基本不等式推出结果．(ⅱ)显然直线l 的斜率一定存在，设直线l 的方程为：y ＝kx +t ，求出向量的数量积，推出直线系方程得到定点，然后推出结果．。

2021年高二上学期12月月考试卷数学含答案

精品文档实用文档（第11题图）2021年高二上学期12月月考试卷数学含答案（全卷满分160分，考试时间120分钟） xx ．12一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．命题“”的否定是 ▲ ． 2．抛物线的焦点坐标为 ▲ ．3．已知正四棱锥的底面边长是6，高为，这个正四棱锥的侧面积是 ▲ ．4．已知函数，则 ▲ ．5．一枚骰子（形状为正方体，六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的玩具）先后抛掷两次，骰子向上的点数依次为．则的概率为 ▲ ． 6．若双曲线的离心率为2，则的值为 ▲ ． 7．在不等式组所表示的平面区域内所有的格点（横、纵坐标均为整数的点称为格点）中任取3个点，则该3点恰能成为一个三角形的三个顶点的概率为 ▲ ． 8．如图，在三棱柱中，分别是的中点，设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则 ▲ 9．已知椭圆的离心率，A,B 是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上不同于A,B 的一点，直线PA,PB 倾斜角分别为，则 ▲ 10．若“”是 “”的必要不充分条件，则的最大值为 ▲ ． 11．已知函数)0()232()(23>+--++=a d x b a c bx ax x f 的图像如图所示，且．则的值是 ▲ ．12．设和为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；（2）若外一条直线与内的一条直线平行，则和平行；（3）设和相交于直线，若内有一条直线垂直于，则和垂直；（4）直线与垂直的充分必要条件是与内的两条直线垂直．上面命题中，真命题．．．的序号 ▲ （写出所有真命题的序号）． 13．已知可导函数的导函数满足＞，则不等式的解集是 ▲ ． 14．已知椭圆E ：，椭圆E 的内接平行四边形的一组对边分别经过它的两个焦点（如图），则这个平行四边形面积的最大值是▲ ．（第14题图）精品文档实用文档yxOABCD二、解答题：（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）求实数的取值组成的集合，使当时，“”为真，“”为假．其中方程有两个不相等的负根；方程无实数根． 16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，DC ∥AB ，∠BAD ＝，且AB ＝2AD ＝2DC ＝2PD ＝4，E 为PA 的中点．（1）证明：DE ∥平面PBC ；（2）证明：DE ⊥平面PAB ．17．（本小题满分15分）如图，过点的两直线与抛物线相切于A 、B 两点， AD 、BC 垂直于直线，垂足分别为D 、C ．（1）若，求矩形ABCD 面积；（2）若，求矩形ABCD 面积的最大值．18．（本小题满分15分）如图，在四棱柱中，已知平面，且． (1)求证：;(2)在棱BC 上取一点E19．（本小题满分16分）已知椭圆的左右两焦点分别为，是椭圆上一点，且在轴上方，．（1）求椭圆的离心率的取值范围；NMAPO· · N AD1C1A1B1BCD精品文档实用文档______ 姓名_____________ 学……封……………线……………内……………不……………要……………答……………题………………（2）当取最大值时，过的圆的截轴的线段长为6，求椭圆的方程；（3）在（2）的条件下，过椭圆右准线上任一点引圆的两条切线，切点分别为．试探究直线是否过定点？若过定点，请求出该定点；否则，请说明理由．20．（本小题满分16分）已知函数 (为实常数) ．（1）当时，求函数在上的最大值及相应的值；（2）当时，讨论方程根的个数．（3）若，且对任意的，都有，求实数a 的取值范围．江苏省扬州中学高二12月月考数学答题纸 xx.12.一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1． 2． 3． 4． 5． 6． 7． 8． 9． 10． 11． 12． 13． 14．二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．） 15． 16.精品文档17.18.实用文档精品文档（19,20题请写在答题纸反面）高二数学月考试卷参考答案xx.12一、填空题：1 ．2 ．3．48 4．5．6．3 7．8．9．10．-1 11．3 12．（1）（2）13．14．4二、解答题：15．解：…………………5 分即…………………10 分①②…………………13分综上所述：…………………14分16．（1）设PB的中点为F，连结EF、CF，EF∥AB，DC∥AB，所以EF∥DC，且EF＝DC＝．故四边形CDEF为平行四边形，可得ED∥CF．又ED平面PBC，CF平面PBC，故DE∥平面PBC．（2）因为PD⊥底面ABCD，AB平面ABCD，所以AB⊥PD．又因为AB⊥AD，PDAD＝D，AD平面PAD，PD平面PAD，所以AB⊥平面PAD．ED平面PAD，故ED⊥AB．又PD＝AD，E为PA的中点，故ED⊥PA；PAAB＝A，PA平面PAB，AB平面PAB，所以ED⊥平面PAB．17．解：（1）时，（详细过程见第（2）问）--------6分（2）设切点为，则,因为，所以切线方程为, 即，因为切线过点，所以，即，于是．将代入得．(若设切线方程为，代入抛物线方程后由得到切点坐标，亦予认可．)实用文档精品文档实用文档所以，所以矩形面积为，．所以当时，；当时，；故当时，S 有最大值为． -------15分18．证明：（1）在四边形ABCD 中，因为BA=BC,DA=DC ，所以．平面，且11,,ACC A ABCD AC BD ABCD =⊂平面平面平面所以．(2)点E 为BC 中点，即,下面给予证明：在三角形ABC 中，因为AB=AC ，却E 为BC 中点，所以, 又在四边形ABCD 中，AB=BC=CA=,DA=DC=1，所以 , 所以，即平面ABCD 中有，．因为1111,DC DCC D AE DCC D ⊂⊄平面平面, 所以19．解：， ∴，． (1) ，∴,在上单调递减．∴时，最小，时，最小，∴，∴． (2) 当时，，∴，∴．∵,∴是圆的直径，圆心是的中点，∴在y 轴上截得的弦长就是直径，∴=6．又，∴．∴椭圆方程是 -------10分（3）由（2）得到，于是圆心,半径为3，圆的方程是．椭圆的右准线方程为，,∵直线AM,AN 是圆Q 的两条切线，∴切点M,N 在以AQ 为直径的圆上．设A 点坐标为，∴该圆方程为．∴直线MN 是两圆的公共弦，两圆方程相减得：，这就是直线MN的方程．该直线化为：10,(1)80,80,y y t y y -=⎧⎪-+--=∴⎨--=⎪⎩∴直线MN 必过定点． -------16分20．解：（1），当时，．当时，，又，故，当时，取等号 -------4分（2）易知，故，方程根的个数等价于时，方程根的个数．设=，当时，，函数递减，当时，，函数递增．又，，作出与直线的图像，由图像知：当时，即时，方程有2个相异的根；精品文档当或时，方程有1个根；当时，方程有0个根；-------10分（3）当时，在时是增函数，又函数是减函数，不妨设，则等价于即，故原题等价于函数在时是减函数，恒成立，即在时恒成立．在时是减函数-------16分（其他解法酌情给分）实用文档精品文档34226 85B2 薲37882 93FA 鏺,32971 80CB 胋D21362 5372 卲$=33248 81E0 臠33333 8235 舵36012 8CAC 責38606 96CE 雎实用文档。

高二数学上学期12月月考试卷理试题(共9页)

金山中学2021-2021学年度第一(dìyī)学期第二次月考高二理科数学试题卷本试题分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，满分是150分，时间是120分钟.第一卷〔选择题一共60分〕一、选择题：(本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的)1. 命题p：∀x∈R，sin x≤1，那么( )．A．¬p：∃x0∈R，sin x0≥1 B．¬p：∀x∈R，sin x≥1C．¬p：∃x0∈R，sin x0>1 D．¬p：∀x∈R，sin x>12. 假如方程表示焦点在y轴上的椭圆，那么m的取值范围是( ) A．3＜m＜4 B．C．D．3．椭圆的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.假设|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列，那么此椭圆的离心率为 ( )A. B. C. D.4．有以下四个命题：①“假设，那么互为相反数〞的逆命题；②“全等三角形的面积相等〞的否命题；③“假设 ,那么有实根〞的逆否命题；④“直角三角形有两个角是锐角〞的逆命题；其中真命题为〔〕A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④ 5．等轴双曲线的中心(zh ōngx īn)在原点，焦点在轴上，C 与抛物线的准线交于两点，；那么C 的实轴长为〔〕A.B.C. D.的圆心为C ，A 〔1，0〕是圆内一定点，Q 为圆周上任一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点，那么M 的轨迹方程为〔〕A 、B 、C 、D 、7．设条件p ：|x －2|<3，条件q ：0<x<a ，其中a 为正常数．假设p 是q 的必要不充分条件，那么a 的取值范围是〔〕 A ．B ．C ．D ．8. 点P 在椭圆上，那么点P 到直线3x-2y-16=0的间隔的最大值为〔〕A ．B.C. D.9.斜率为的直线与双曲线交于B A ,两点，假设B A ,的中点为，那么双曲线的渐近线方程为( )A. B. C. D.10. 抛物线C 的方程为，一条长度为的线段的两个端点、在抛物线C 上运动，那么线段AB 的中点到轴间隔的最小值为〔〕A 、B 、C 、D 、11.双曲线C:的左、右顶点(d ǐngdi ǎn)分别为,,点P 在C 上且直线斜率的取值范围是[-4，-2] ,那么直线斜率的取值范围是 ( )A.B.C.D.12. 为抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于x 轴的两侧，〔其中为坐标原点〕，那么△与△面积之和的最小值是〔〕A.2B. 3C.D.第二卷〔非选择题一共90分〕二、填空题：(本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分) 13、命题“存在，使得〞的否认是 __________________14．与椭圆有一样的焦点,且过点〔-3,2〕的椭圆方程为___________15. 点F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，定点A 的坐标为(1,4)，P 是双曲线右支上的动点，那么|PF |＋|PA |的最小值为________ 16．命题: 关于x 的不等式,对一切恒成立; 命题: 函数在p 或者q 为真, p 且q 为假,那么实数的取值范围为_______.三、解答(jiědá)题：〔本大题一一共5小题，一共70分.解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤〕17．数列满足，．〔1〕令，求证：数列为等比数列；〔2〕求满足的最小正整数18．如图，在中，边上的中线长为3，且，．〔1〕求的值；〔2〕求边的长．19.如图，在四面体ABCD中，∠ABD=∠CBD=60°，AB=BC=2，〔1〕求证：AC⊥BD；〔2〕假设平面ABD⊥平面CBD，且BD=，求二面角C﹣AD﹣B的余弦值．20. 一条曲线C在y轴右边，C上任一点到点F〔2，0〕的间隔减去它到y轴的间隔的差都是2〔1〕求曲线(qūxiàn)C的方程；〔2〕一直线l与曲线C交于A，B两点，且|AF|+|BF|=8，证：AB的垂直平分线恒过定点．21．如图，椭圆的离心率为，直线和所围成的矩形ABCD的面积为8.(1)求椭圆M的HY方程；(2) 设直线与椭圆有两个不同的交点与矩形ABCD有两个不同的交点.求的最大值及获得最大值时的值.高二月考〔理科数学〕参考答案3.B4.C 7.A 10.C 11.C 13. x∈R，x2+2x+5≠0 14.16.17.解：〔1〕1124+++=nnnaa即，数列(shùliè){}nb是以2为首项以2为公比的等比数列；〔2〕由〔1〕得，∴；由，得〔舍〕，解得，∴满足240≥na的最小正整数n为．18.解：〔1〕〔2〕在中，由正弦定理，得，即，解得…故，从而在中，由余弦定理，得；AC= 4 ；19.〔1〕证明(zhèngmíng)：∵∠ABD=∠CBD，AB=BC，BD=BD．∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD．取AC的中点E，连结BE，DE，那么BE⊥AC，DE⊥AC．又∵BE∩DE=E，BE⊂平面BED，BD⊂平面BED，∴AC⊥平面BED，∴AC⊥BD．〔2〕解：过C作CH⊥BD于点H．那么CH⊂平面BCD，又∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，∴CH⊥平面ABD．过H做HK⊥AD于点K，连接CK．∵CH⊥平面ABD，∴CH⊥AD，又HK∩CH=H，∴AD⊥平面CHK，∴CK⊥AD．∴∠CKH为二面角C﹣AD﹣B的平面角．连接AH．∵△ABD≌△CBD，∴AH⊥BD．∵∠ABD=∠CBD=60°，AB=BC=2，∴AH=CH=，BH=1．∵BD=，∴DH=．∴AD=，∴HK==．∴tan=，∴cos，∴二面角C﹣AD﹣B的余弦值为．20.解:〔1〕由条件，P 到F 〔2，0〕的间隔(ji àn g é) 等于到直线x=-2的间隔， ∴曲线C 是以F 为焦点、直线x=-2为准线的抛物线，其方程为〔1〕(2)设直线为：〔2〕那么中垂线斜率为联立〔1〕〔2〕：即中点横坐标横坐标∴方程为()y 4m m x 2-=--即∴AB 的垂直平分线恒过定点〔6，0〕21. 解：(1)……① 矩形ABCD 面积为8，即……②由①②解得：，∴椭圆M 的HY 方程是. …………………4分(2)，设，那么， …………………5分由得 ..当过点时，，当l 过点时，. …………………7分①当时，有，，其中(qízhōng)，由此知当，即时，||||PQST获得最大值. …………9分②由对称性，可知假设，那么当时，||||PQST获得最大值255. (10)分③当时，，，由此知，当时，||||PQST获得最大值255. ………11分综上可知，当和0时，||||PQST255. ………12分内容总结（1）7分当时，有，，其中，由此知当，即时，获得最大值.。

上海市高二上学期数学12月联考试卷

上海市高二上学期数学 12 月联考试卷姓名:________班级:________成绩:________一、填空题 (共 14 题；共 14 分)1. （1 分） (2020 高二上·无锡期末) 命题 “，都有”的否定：________.2. （1 分） (2016 高三上·宝安模拟) 过点（3，2 垂直，则 k 的值为________．）的直线与圆 x2+y2﹣2x﹣3=0 相切，且与直线 kx+y+1=03. （1 分） (2013·江西理) 抛物线 x2=2py（p＞0）的焦点为 F，其准线与双曲线两点，若△ABF 为等边三角形，则 p=________．=1 相交于 A，B4. （1 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 2，O 为 AD 的中点，射线 OP 从 OA 出发，绕着点 O 顺时针方向旋转至 OD，在旋转的过程中，记∠AOP 为 x（x∈[0，π]），OP 所经过正方形 ABCD 内的区域（阴影部分）的面积 S=f（x），那么对于函数 f（x）有以下三个结论：①f（） = ； ②任意 x∈[0， ]，都有 f（ ﹣x）+f（ +x）=4；③任意 x1 ， x2∈（， π），且 x1≠x2 ，都有其中所有正确结论的序号是________＜0．5. （1 分） (2017 高二下·河口期末) 下列命题正确的是________⑴若，则；⑵若，，则是的必要非充分条件；⑶函数的值域是；第 1 页共 12 页⑷若奇函数满足，则函数图象关于直线对称.6. （1 分）从某小学随机抽取 100 名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）若要从身高在[120，130），[130，140），[140，150）三组内的学生中，用分层抽样的方法选取 18 人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为________ ．7. （1 分） (2017 高二上·宁城期末) 执行如图所示的程序框图，若输入 x=2，则输出 y 的值为________．8. （1 分） (2016 高一下·烟台期中) 在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 y=x+2 与 x 轴、y 轴分别交于 M、 N 两点，点 P 在圆（x﹣a）2+y2=2（a＞0）上运动，若∠MPN 恒为锐角，则实数 a 的取值范围是________．9. （1 分） (2017 高二上·西安期末) 已知双曲线的两个焦点 F1（﹣，0），F2（曲线上的一点，且•=0，||•||=2，则该双曲线的方程是________．，0），P 是此双10. （1 分）已知双曲线程为________的离心率为 2，焦点与椭圆 + =1 的焦点相同，那么双曲线渐近线方11. （1 分） (2018·徐州模拟) 在平面直角坐标系中，曲线的距离的最小值为________第 2 页共 12 页上任意一点到直线12. （1 分）双曲线关于两坐标对称，且与圆 x2+y2=10 相交于点 P（3，﹣1），若此圆过点 P 的切线与双曲线的一条渐近线平行，此双曲线的方程为________13. （1 分） (2017 高二下·孝感期末) 函数 y=ax3﹣1 在（﹣∞，+∞）上是减函数，则实数 a 的取值范围为 ________．14. （1 分）已知 f（x）是定义在 R 上的增函数，函数 y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，若对任意的x，y∈R，等式 f（y﹣3）+f（）=0 恒成立，则的取值范围是________．二、解答题 (共 6 题；共 60 分)15. （10 分） (2018 高二下·武威月考) 已知命题 p：“∀ x∈[1，2]，x2-a≥0”，命题 q：关于 x 的方程 x2+2ax+a+2=0 有解．若命题“p 且 q”是真命题，求实数 a 的取值范围．16. （10 分） (2018·中原模拟) 已知椭圆一点满足，且椭圆过点，过点的左右焦点分别为，若椭圆上的直线与椭圆交于两点．（1）求椭圆的方程；（2）若点是点在轴上的垂足，延长交椭圆于，求证：三点共线．17. （10 分） (2020·厦门模拟) 已知函数有两个零点.（1）求的取值范围；（2）记的极值点为，求证：.18. （5 分） (2019·武汉模拟) 已知函数两个极值点，（）（1）求实数的取值范围；（2）求证：.（，为常数）在内有19. （15 分） (2018 高二下·磁县期末) 如图，已知椭圆顶点是．的离心率是，一个第 3 页共 12 页（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设，是椭圆上异于点的任意两点，且若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由．．试问：直线是否恒过一定点？20. （10 分） (2016 高一上·苏州期中) 设函数 f（x）=（其中常数 a＞0，且 a≠1）．（1）当 a=10 时，解关于 x 的方程 f（x）=m（其中常数 m＞2 ）；（2）若函数 f（x）在（﹣∞，2]上的最小值是一个与 a 无关的常数，求实数 a 的取值范围．第 4 页共 12 页一、填空题 (共 14 题；共 14 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、 13-1、参考答案14-1、二、解答题 (共 6 题；共 60 分)第 5 页共 12 页15-1、 16-1、16-2、第 6 页共 12 页17-1、第 7 页共 12 页17-2、18-1、第 8 页共 12 页18-2、第 9 页共 12 页第 10 页共 12 页20-1、20-2、。

上海市高二上学期12月月考数学试题(解析版)

一、填空题1．抛掷两枚硬币，恰好出现一次正面向上的概率是__________. 【答案】##0.512【分析】列举出所有的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】同时抛掷两枚硬币，可能出现的所有结果有：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反）.恰好出现一次正面向上的概率:.21=42P =故答案为：.122．用斜二测画法画出的水平放置的的直观图如图，其中，若原的面积ABC 1B O C O ''''==ABC 为2，则______． A O ''=【答案】1【分析】根据斜二测画法原则可还原,利用面积公式计算即可求解.ABC 【详解】由直观图可还原,如下图所示, ABC其中,又因 1,2OB O B OC O C BC B C ¢¢¢¢¢¢======,2OA BC AO A O ¢¢^=所以 11222222ABC S BC A O A O ¢¢¢¢=´=´´=即得1A O ¢¢=故答案为: .13．已知圆锥的侧面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是_________.2π【答案】1【分析】设出圆锥底面半径和母线长，利用侧面展开后，扇形弧长公式和面积公式进行求解.【详解】设圆锥的底面半径为r ，圆锥的母线长为l ，则，解得：，又21π2π2l =2l =2ππ2πr l ==，解得：.1r =故答案为：14．已知事件A 与事件B 相互独立，若，，则______．()0.3P A =()0.6P B =()P A B ⋂=【答案】0.42## 2150【分析】根据相互独立事件概率乘法公式以及对立事件的概率公式求得正确答案.【详解】.()()()()10.30.60.42P A B P A P B ⋂=⨯=-⨯=故答案为：0.425．在四棱台中的12条棱所在直线中，与直线是异面直线的共有______条1111ABCD A B C D -1AB 【答案】6【分析】根据异面直线的定义来确定正确答案.【详解】根据异面直线的定义可知，与直线是异面直线的有：1AB ，共条，111111,,,,,A D BC CD DD D C C C 6故答案为：66．为了了解某水库里大概有多少条鱼，先打捞出了1000条鱼，在鱼身上标记一个不会掉落的印记后放回水库，过一段时间后再次捕捞了200条鱼，发现其中5条鱼有印记．则这个水库里大概有______条鱼【答案】40000【分析】利用“捉放捉”原则即可求得这个水库里大概有40000条鱼【详解】设水库里大概有x 条鱼，则，解之得 10005200x =40000x =故答案为：400007．正四面体ABCD 的各棱长均为2，则点A 到平面BCD 的距离为______．【分析】设是底面的中心，则的长是点A 到平面BCD 的距离，由勾股定理计算可O BCD △AO 得．【详解】如图，是底面的中心，则平面，平面，，O BCD △AO ⊥BCD BO ⊂BCD AO BO ⊥正四面体ABCD 的棱长均为2，则， 223BO ==． AO ===8．下列说法中正确的是______．①一组数据中比中位数大的数和比中位数小的数一样多；②极差、方差、标准差都是描述一组数据的离散程度的统计量；③平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的统计量．【答案】②③【分析】根据中位数，平均数、众数、极差、方差和标准差的定义即可判断.【详解】对于①，中位数是一组数据按照从小到大的顺序排列，位于中间的那个数据（或中间两个数据的平均数），但是也有一些特殊的，比如：这组数据，中位数是，而比小1,2,3,4,4,5,6,7,844的数据是个，比大的数据却是个，所以一组数据中比中位数大的数和比中位数小的数不一定344一样多，故①说法错误；对于②，极差反映的是一组数据最大值与最小值的差，方差和标准差反映了数据分散程度的大小，所以说极差、方差、标准差都是描述一组数据的离散程度的统计量，故②说法正确；对于③，平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的量，所以说平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的统计量，故③说法正确，故答案为：②③.9．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高4cm ，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为3cm ．若不计容器的厚度，则球的体积为______3cm【答案】## 1256π1256π【分析】过球心作与正方体的前后面平行的截面，如图，截球得大圆，截正方体得正方形，ABCD 水面是过点的虚数，它与圆相切，然后根据圆（球）的性质计算出球半径，从而得体积．E 【详解】过球心作与正方体的前后面平行的截面，如图，截球得大圆，截正方体得正方形，ABCD ，线段是正方体上底面截球所得截面圆直径，虚线表示水面，，设球半径4AB =AB 431EF =-=为，则，， R 1OE R =-122AF AB ==由勾股定理得，即，解得， 222OA AF OF =+2222(1)R R =+-52R =所以球体积为． 33445125()3326V R πππ==⨯=故答案为：． 1256π10．甲、乙两人进行某项比赛，采用三局两胜模式，假定甲每一局比赛赢的概率都为0.6，则甲最终赢得比赛的概率为______．【答案】0.648【分析】分析试验过程，分别求出两局比赛后甲获胜和三局比赛后甲获胜的概率，即可求解.【详解】甲、乙两人进行某项比赛，每局比赛相互独立.两局比赛后甲获胜的概率为：；0.60.60.36⨯=三局比赛后甲获胜的概率为：；20.60.40.60.288⨯⨯⨯=所以甲最终赢得比赛的概率为：.0.360.2880.648+=故答案为：0.64811．从编号分别为1、2、3、4、5的5个大小与质地相同的小球中随机取出3个，则恰有2个小球编号相邻的概率为______．【答案】##0.6 35【分析】利用列举法写出所有可能的基本事件，并列出所有满足恰好两个小球编号相邻的可能情况，然后利用古典概型求解.【详解】依题意得，取出的三个小球编号的所有可能为，123,124,125,134,135,145,234,235,245,345共种，其中恰好两个小球编号相邻的有，共种，根据古典概型的计算10124,125,134,145,235,2456公式，恰有2个小球编号相邻的概率为：. 63105=故答案为： 3512．已知直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD =60°．以1D 侧面BCC 1B 1的交线长为________．.【分析】根据已知条件易得侧面，可得侧面与球面的交线上的点1D E 1D E ⊥11B C CB 11B C CB到与球面的交线是扇形的弧，再根据弧长公式可求得结E 11B C CB EFG FG果.【详解】如图：取的中点为，的中点为，的中点为，11B C E 1BB F 1CC G 因为60°，直四棱柱的棱长均为2，所以△为等边三角形，所以BAD ∠=1111ABCD A B C D -111D B C，1D E 111D E B C ⊥又四棱柱为直四棱柱，所以平面，所以，1111ABCD A B C D -1BB ⊥1111D C B A 111BB B C ⊥因为，所以侧面，1111BB B C B = 1D E ⊥11B C CB 设为侧面与球面的交线上的点，则，P 11B C CB 1D E EP ⊥，所以1D E =||EP ===所以侧面与球面的交线上的点到，11B C CB E因为与球面的交线是扇形的弧， ||||EF EG ==11B C CB EFG FG因为，所以， 114B EF C EG π∠=∠=2FEG π∠=所以根据弧长公式可得. 2FGπ==. 【点睛】本题考查了直棱柱的结构特征，考查了直线与平面垂直的判定，考查了立体几何中的轨迹问题，考查了扇形中的弧长公式，属于中档题.二、单选题13．平面与平面相交于直线l ，点A 、B 在平面上，点C 在平面上但不在直线l 上，直线αβαβAB 与直线l 相交于点D ．设A 、B 、C 三点确定的平面为，则与的交线是（）γβγA ．直线ACB ．直线ABC ．直线CD D ．直线BC【答案】C【分析】根据已知得既在平面上又在平面可得答案.D C 、βγ【详解】因为直线AB 与直线l 相交于点D ，，所以平面，D ∈l D ∈β又点C 在平面上，所以平面，βCD ⊂β因为平面，点在直线AB 上，所以平面，AB ⊂γD D ∈γ又平面，所以平面，C ∈γCD ⊂γ所以与的交线是直线.βγCD 故选：C.14．掷一颗骰子，设事件：落地时向上的点数是奇数，事件：落地时向上的点数是偶数，事件A B ：落地时向上的点数是的倍数，事件：落地时向上的点数是．则下列每对事件中，不是互C 3D 4斥事件的为（）A ．与B ．与C ．与D ．与A B B C A D C D 【答案】B【分析】判断选项中的两个事件是否可以同时发生即可.【详解】对于A ，“落地时向上的点数是奇数”与“落地时向上的点数是偶数”不可能同时发生， ∴，事件与事件互斥，故选项A 不正确；A B ⋂=∅A B 对于B ，“落地时向上的点数是偶数”与“落地时向上的点数是的倍数”同时发生即“落地时向上的点3数是”，6∴“落地时向上的点数是”，事件与事件不是互斥事件，故选项B 正确；B C ⋂=6B C 对于C ，“落地时向上的点数是奇数”与“落地时向上的点数是” 不可能同时发生，4∴，事件与事件互斥，故选项C 不正确；A D ⋂=∅A D 对于D ，“落地时向上的点数是的倍数”与“落地时向上的点数是” 不可能同时发生， 34∴，事件与事件互斥，故选项D 不正确.C D ⋂=∅C D 故选：B.15．某地教育行政部门为了解“双减”政策的落实情况，在某校随机抽取了100名学生，调查他们课后完成作业的时间，根据调查结果绘制如下频率直方图.根据此频率直方图，下列结论中错误的是（）A ．估计该校学生的平均完成作业的时间超过2.7小时B ．所抽取的学生中有25人在2小时至2.5小时之间完成作业C ．该校学生完成作业的时间超过3.5小时的概率估计为20%D ．估计该校有一半以上的学生完成作业的时间在2小时至3小时之间【答案】D【分析】对A ，根据直方图中平均数的公式计算，可判断A;对B ，利用直方图中2小时至小时2.5之间的频率判断B;对C ，计算超过3.5小时的频率可判断C;对D ，计算做作业的时间在2小时至3小时之间的频率，可判断D.【详解】对A ，直方图可计算学生做作业的时间的平均数为：1.250.05 1.750.152.250.25 2.750.203.250.15⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 3.750.104.250.05 4.750.05+⨯+⨯+⨯，所以A 正确；2.75 2.7=>对B ，直方图中2小时至小时之间的频率为，故所抽取的学生中有2.5()2.520.50.25-⨯=25人在2小时至小时之间完成作业，故B 正确；1000.25⨯= 2.5对C ，由直方图得超过3.5小时的频率为,所以C 正确；0.5(0.20.10.1)0.2⨯++=对D ，做作业的时间在2小时至3小时之间的频率为，所以D 错误. 0.5(0.50.4)0.450.5⨯+=<故选：D16．在棱长为2的正方体中，E 为棱BC 的中点，F 是侧面内的动点，若1111ABCD A B C D -11B BCC 平面，则点F 轨迹的长度为（）1//A F 1AD EA B C D ．【答案】B【分析】取中点，中点，连接，则易证平面平面，进而得当F 的轨1BB M 11B C N MN 1//A MN 1AD E 迹为线段时，则有平面，再根据勾股定理及三角形的中位线计算即可.MN 1//A F 1AD E 【详解】如图所示：取中点，中点，连接，1BB M 11B C N MN 因为，，//MN 1BC 1//BC 1AD 所以，//MN 1AD 平面，平面，MN ⊄1AD E 1AD ⊂1AD E 所以平面，//MN 1AD E 同理可证明平面，1//A N 1AD E 又因为，平面，1MN A N N = 1,MN A N ⊂1A MN 所以平面平面，1//A MN 1AD E 当F 的轨迹为线段时，此时平面，则有平面，MN 1A F ⊂1A MN 1//A F 1AD E此时. 11122MN BC ==⨯=故选：B.三、解答题17．某校共有在校学生200人，为了了解该校学生的体能情况，对该校所有学生进行体能测试，然后采用分层抽样的方法随机抽取了20名学生的成绩，整理得到如下茎叶图：(1)求该校女学生人数、样本中女生成绩的极差、25百分数；(2)已知全体女生的平均成绩为70，全体男生的平均成绩为72，求该校全体学生的平均成绩．【答案】(1)80，32，62(2)71.2【分析】（1）利用样本与总体的关系即可求得该校女学生人数；依据极差定义即可求得样本中女生成绩的极差；依据百分位数定义即可求得样本中女生成绩的25百分数；（2）利用平均数定义即可求得该校全体学生的平均成绩．【详解】（1）样本中女生有8人，则该校女学生人数为 20880200÷=样本中女生成绩由小到大排列为 5659656873747788，，，，，，，则样本中女生成绩的极差为885632-=由，可得样本中女生成绩的25百分数为 80.252⨯=5965622+=（2）由（1）可得该校女学生人数为，则该校男生人数为120 80又全体女生的平均成绩为70，全体男生的平均成绩为72，则该校全体学生的平均成绩为 80701207271.2200⨯+⨯=18．如图，在圆柱中，底面直径AB 等于母线．1AA(1)若AB ＝2，求圆柱的侧面积；(2)设AB 与CD 是底面互相垂直的两条直径，求异面直线AC 与所成角的大小．1A B 【答案】(1)；4π(2). π3【分析】（1）由已知得到底面半径以及母线的值，代入公式即可求出； r l （2）用向量、、来表示出、，进而求出它们的夹角，即可求出结果.AB DC 1AA AC 1A B u u u r 【详解】（1）由已知可得，底面半径，母线，1r =12l AA ==所以圆柱的侧面积.2π4πS rl ==（2）由已知可得，两两垂直，且相等，1,,AB CD AA设，则，. 2AB =1OA OC ==AC =1A B ==又，， 1122AC OC OA DC AB =-=+u u u r u u u r u u r u u u r u u u r 11A B AB AA =-u u u r u u u r u u u r 则. ()111122AC A B DC AB AB AA ⎛⎫⋅=+⋅- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 21111112222DC AB DC AA AB AB AA =⋅-⋅+-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2122AB ==u u u r所以，11cos ,2AC A B =u u u r u u u r 又，所以， 10,πAC A B ≤≤u u u r u u u r 1π,3AC A B =u u u r u u u r 所以异面直线AC 与所成角的大小为. 1A B π319．如图，已知三棱柱的高为2，底面ABC 是边长为2的正三角形．111ABC A B C -(1)求四棱锥的体积；111A BBCC -(2)若，求证：侧面为矩形．11A B A C =11B BCC 【答案】(2)证明见解析【分析】（1）三棱柱可分割成三棱锥和四棱锥两部分，因此用三111ABC A B C -1A ABC -111A B BCC -棱柱的体积减三棱锥的体积就能得到四棱锥的体积； 111ABC A B C -1A ABC -111A B BCC -（2）由棱柱定义知，四边形为平行四边形，因此只需借助空间中直线、平面的垂直关系，11B BCC 证明其中一个角为直角即可.【详解】（1）三棱柱可分割成三棱锥和四棱锥两部分，111ABC A B C -1A ABC-111A B BCC -三棱柱的体积， 111ABC A B C -1111=22sin 6022ABC A B CABC V S h -=⨯⨯⨯︒⨯= 三棱锥的体积 1A ABC -11=3A ABC ABC VS h -= ∴四棱锥的体积. 111A B BCC -1111111A B BCC ABC A B C A ABC V V V ---=-==（2）取中点，连接，， BC M AM 1A M ∵是等边三角形，是边上的中线，ABC AM BC ∴也是边上的高，即，AM BC AM BC ⊥又∵，∴是等腰三角形，11A B A C =1A BC ∴是边上的中线，也是边上的高，即，1A M BC BC 1A M BC ⊥又∵，平面，平面，1AM A M M ⋂=AM ⊂1AMA 1A M ⊂1AMA ∴平面，BC ⊥1AMA ∵平面，1AA ⊂1AMA ∴，1BC AA ⊥由棱柱定义知，，，111AA BB CC ∥∥111AA BB CC ==∴，四边形为平行四边形，1BC BB ⊥11B BCC ∴侧面四边形为矩形.11B BCC 20．掷黑、白两枚骰子．(1)设事件A 为：两枚骰子的点数和为7，事件B 为：白色骰子的点数是1．判断事件A 和事件B 是否独立，并说明理由；(2)设事件C 为：两枚骰子中至少有一枚的点数是1且两枚骰子点数之和不是7．求事件C 的概率．【答案】(1)是，理由见解析 (2)14【分析】（1）写出所有的基本事件，再求出A ，B 发生的概率，根据概率公式 ()()()·P AB P A P B =来判断A ，B 事件是否独立；（2）根据事件C 包含的基本事件数，按照古典概型概率计算公式可求出事件C 的概率.【详解】（1）投掷黑、白两枚骰子一次的点数记作，所有基本事件如下： (),x y ，()2:1,1 ，()()3:1,2,2,1 ，()()()4:2,2,1,3,3,1 ，()()()()5:1,4,4,1,2,3,3,2 ，()()()()()6:3,3,1,5,5,1,2,4,4,2 ，()()()()()()7:1,6,6,1,2,5,5,2,3,4,4,3 ，()()()()()8:4,4,2,6,6,2,3,5,5,3 ，()()()()9:3,6,6,3,4,5,5,4 ，()()()10:5,5,4,6,6,4 ，()()11:5,6,6,5 ，()12:6,6共36个，事件包含6个基本事件，即，A ()()()()()()1,6,6,1,2,5,5,2,3,4,4,3事件包含6个基本事件，即，B ()()()()()()1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,1事件只包含，C ()6,1所以，，所以A ，B 是独立事件； ()()()()()61611,,36636636P A P B P AB P A P B ======（2）根据（1）所列出的基本事件，事件包含9个基本事件，即C ，所以，. ()()()()()()()()()1,1,1,2,2,1,1,3,3,1,1,4,4,1,1,5,5,1()91364P C ==综上，A ，B 是独立事件， . ()14P C =21．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，P ABCD -ABCD AD BC ∥AB BC ⊥分别为棱中点．2AB AD BC AB E F ==，，、BC BP 、(1)求证：平面平面；AEF ∥DCP (2)若平面平面，直线与平面所成的角为，且，求二面角PBC ⊥ABCD AP PBC 45 CP PB ⊥的大小．P AB D --【答案】(1)证明见解析 (2)3π【分析】（1）证明平面，平面，即可证明结论；//EF PCD //AE PCD （2）根据面面垂直性质定理得，进而得，再根据题意证明平面可45APB ∠= AB PB =PC ⊥ABP 得为直角三角形，再根据几何关系得，进而根据是二面角的平PBC 60PBC ∠= PBC ∠P AB D --面角求解即可.【详解】（1）证明：因为分别为棱中点，E F 、BC BP 、所以，在中，，PBC //EF PC 因为平面，平面，EF ⊄PCD PC ⊂PCD 所以，平面，//EF PCD 因为，为棱中点．AD BC ∥2BC AB E =，BC 所以，，//,AD CE AD CE =所以，四边形是平行四边形，ADCE 所以，//CD AE 因为平面，平面，AE ⊄PCD DC ⊂PCD 所以，平面，//AE PCD 因为平面，,,AE EF E AE EF ⋂=⊂AEF 所以，平面平面AEF ∥DCP （2）解：因为平面平面，平面平面，，平面PBC ⊥ABCD PBC ⋂ABCD BC =AB BC ⊥AB ⊂，ABCD 所以，平面AB ⊥PBC 所以，是直线与平面所成的角，APB ∠AP PBC 因为，直线与平面所成的角为，AP PBC 45所以，，45APB ∠= 所以，AB PB =因为平面，,PC PB ⊂PBC 所以，，AB PC ⊥AB PB ⊥因为，，平面， CP PB ⊥AB BP B = ,AB BP ⊂ABP 所以平面，PC ⊥ABP 因为平面，PB ⊂ABP 所以，即为直角三角形，PC PB ⊥PBC所以，在中，由可得， PBC 22BC AB PB ==PC所以，， tan PC PBC PB∠==60PBC ∠= 因为，，AB PB ⊥AB BC ⊥所以，是二面角的平面角， PBC ∠P AB D --所以，二面角的大小为.P AB D --60。

2021-2022年高二上学期12月月考试题数学含答案

2021年高二上学期12月月考试题数学含答案(满分160分，考试时间120分钟)一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1．命题“”的否定是______命题．（填“真”或“假”之一）．2．双曲线的两条渐近线的方程为．3．“”是“直线和直线垂直的”条件．(填“充要条件”、“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“既不充分也不必要条件”之一)4．已知函数，则= ．5．若抛物线的焦点F与双曲线的一个焦点重合，则的值为．6．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是．7．若函数在处取得极大值，则正数的取值范围是．8．若中心在原点，以坐标轴为对称轴的圆锥曲线，离心率为，且过点，则曲线的方程为．9．在平面直角坐标系中，记曲线在处的切线为直线.若直线在两坐标轴上的截距之和为，则的值为．10．设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是．11．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝9，直线l：y＝kx＋3与圆C 相交于A，B两点，M为弦AB上一动点，以M为圆心，2为半径的圆与圆C总有公共点，则实数k的取值范围为．12．双曲线的右焦点为，直线与双曲线相交于两点.若，则双曲线的渐近线方程为.13．已知函数（为自然对数的底数）．．若存在实数，使得．且，则实数的取值范围是．14．设函数，若在区间内的图象上存在两点，在这两点处的切线互相垂直，则实数的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分14分）已知命题：函数在上有极值，命题：双曲线的离心率．若是真命题，是假命题，求实数的取值范围．16．（本小题满分14分）设函数，．（1）求的单调区间和极值；（2）证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中，已知圆及点，．（1）若直线平行于，与圆相交于，两点，，求直线的方程；（2）在圆上是否存在点，使得？若存在，求点的个数；若不存在，说明理由．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左顶点为，与轴平行的直线与椭圆交于、两点，过、两点且分别与直线、垂直的直线相交于点．已知椭圆的离心率为，右焦点到右准线的距离为．（1）求椭圆的标准方程；（2）证明点在一条定直线上运动，并求出该直线的方程；（3）求面积的最大值．19．（本小题满分16分）如图所示，有一块矩形空地，km ，=km ，根据周边环境及地形实际，当地政府规划在该空地内建一个筝形商业区，筝形的顶点为商业区的四个入口，其中入口在边上（不包含顶点），入口分别在边上，且满足点恰好关于直线对称，矩形内筝形外的区域均为绿化区. （1）请确定入口的选址范围；（2）设商业区的面积为，绿化区的面积为，商业区的环境舒适度指数为，则入口如何选址可使得该商业区的环境舒适度指数最大？20．（本小题满分16分）设函数.（1）若直线是函数图象的一条切线，求实数的值；（2）若函数在上的最大值为（为自然对数的底数），求实数的值；（3）若关于的方程有且仅有唯一的实数根，求实数的取值范围.参考答案：1.假2.3. 充分不必要4.5. 16. 7. （0，2） 8． 9. -3或-4 10． 11．1－34，＋∞) 12. 13. 12，3]． 14.解：当x≥2a 时，f （x ）=|e x ﹣e 2a |=e x ﹣e 2a ，此时为增函数，当x＜2a时，f（x）=|e x﹣e2a|=﹣e x+e2a，此时为减函数，即当x=2a时，函数取得最小值0，设两个切点为M（x1，f（x1）），N（（x2，f（x2）），由图象知，当两个切线垂直时，必有，x1＜2a＜x2，即﹣1＜2a＜3﹣a，得﹣＜a＜1，∵k1k2=f′（x1）f′（x2）=e x1•（﹣e x2）=﹣e x1+x2=﹣1，则e x1+x2=1，即x1+x2=0，∵﹣1＜x1＜0，∴0＜x2＜1，且x2＞2a，∴2a＜1，解得a＜，综上﹣＜a＜，故答案为：（﹣，）．15.解：命题p：f′（x）=3x2+2ax+a+，∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）上有极值，∴f′（x）=0有两个不等实数根，∴△=4a2﹣4×3（a+）=4a2﹣4（3a+4）＞0，解得a＞4或a＜﹣1；命题q：双曲线的离心率e∈（1，2），为真命题，则∈（1，2），解得0＜a＜15．∵命题“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，∴p与q必然一真一假，则或，解得：a≥15或0＜a≤4或a＜﹣1．16.所以，的单调递减区间是，单调递增区间是；在处取得极小值.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在区间上的最小值为.因为存在零点，所以，从而.当时，在区间上单调递减，且，所以是在区间上的唯一零点.当时，在区间上单调递减，且，，所以在区间上仅有一个零点.综上可知，若存在零点，则在区间上仅有一个零点.考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、函数零点问题.17.．（2）假设圆上存在点，设，则，222222(1)(0)(1)(2)12PA PB x y x y +=++-+-+-=，即，即， ………………………………10分因为，……………………………………12分所以圆与圆相交，所以点的个数为．…………………………………………………………14分 18. 解：（1）由题意得，，解得，所以，所以椭圆的标准方程为．………4分（2）设，显然直线的斜率都存在，设为，则，，所以直线的方程为：0000000033(),()x x y x x y y x x y y y +-=--+=++，消去得0000000033()()x x x x y x x y y y +---+=++，化简得，故点在定直线上运动． ……10分（3）由（2）得点的纵坐标为，又，所以，则200000009354(3)4D y x y x y y y y y --=++=+=-，所以点到直线的距离为，将代入得，所以面积2200112727442224y yy-+=≤⋅=，当且仅当，即时等号成立，故时，面积的最大值为．……16分19．解：（1）以A为原点，AB所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，则，设（），则AF的中点为，斜率为，而，故的斜率为，则的方程为，令，得；………2分令，得；……4分由，得，，即入口的选址需满足的长度范围是（单位：km）.……6分（2）因为()23111212AEGS S AE AG a a a aa a∆⎛⎫==⋅=++=++⎪⎝⎭，故该商业区的环境舒适度指数，……9分所以要使最大，只需最小.设……10分则()()())()2224222222111311132132aa aa af a aa a a a-++-++-'=+-===令，得或（舍），………12分的情况如下表：1减极小增故当，即入口满足km时，该商业区的环境舒适度指数最大16分20．解：（1），,设切点横坐标为，则…………2分消去，得，故，得………4分（2）①当时，在上恒成立，在上单调递增，则，得,舍去; ……………5分 ②当时，在上恒成立，在上单调递减，则，得,舍去; ………6分 ③当时，由，得；由，得，故在上单调递增，在上单调递减，则，得, ……8分设,则当时，,单调递减，当时,单调递增，故,的解为.综上①②③，. ……………10分（3）方程可化为()()()()2211ln 2323ln 22x x t x x t x t x t --+--=-+-，令，故原方程可化为，………12分由（2）可知在上单调递增，故有且仅有唯一实数根，即方程（※）在上有且仅有唯一实数根， ……………13分 ①当，即时，方程（※）的实数根为，满足题意； ②当，即时，方程（※）有两个不等实数根，记为不妨设 Ⅰ）若代入方程（※）得，得或，当时方程（※）的两根为，符合题意；当时方程（※）的两根为，不合题意，舍去； Ⅱ）若设，则，得；综合①②，实数的取值范围为或. …………16分。

上海市青浦高级中学2023-2024学年高二上学期12月质量检测数学试卷

上海市青浦高级中学2023-2024学年高二上学期12月质
量检测数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
二、单选题
13．已知直线1
:10l ax y ++=与直线2:20l x ay +-=，则“12l l //”是“1a =”的（）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分又非必要条件
14．设a ，b 表示空间的两条直线，α表示平面，给出下列结论：
（1）若//a b 且b a Ì，则//a a
（2）若//a a 且b a Ì，则//a b
（3）若//a b 且//a a ，则//b a
（4）若//a a 且//b a ，则//a b
其中不正确的个数是（）
A ．1
B ．2个
C ．3个
D ．4个
15．已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若以线段PQ 为直径的圆过点2F ，求直线l 的方程；
(3)若AQ AP l =uuu r uuu r ，求实数l 的取值范围．。

2021年高二上学期12月月考数学试卷含解析

2021年高二上学期12月月考数学试卷含解析一、选择题（每题5分，共50分）1．直线x﹣y+1=0与圆（x﹣1）2+y2=2的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交且过圆心D．相交但不过圆心2．已知实数x，y满足不等式组，则2x+y的最大值是（）A．0 B．3 C．4 D．53．点P为椭圆+=1上一点，以点P以及焦点F1、F2为顶点的三角形的面积为1，则P点的坐标为（）A．（±，1）B．（，±1）C．（，1）D．（±，±1）4．已知双曲线﹣=1的右焦点为（3，0），则该双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．5．若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则P的值为（）A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣46．方程表示曲线C，有下列命题①若曲线C为椭圆，则1＜t＜4，②若曲线C 为双曲线，则t＜1或t＞4，③曲线C不可能是圆，④若曲线C表示椭圆且长轴在x轴，则，则以上命题正确的有（）A．2个B．3个C．1个D．4个7．中心为原点，一个焦点为的椭圆截直线y=3x﹣2所得的弦的中点的横坐标为，则椭圆的方程为（）A．B．C．D．8．实数x，y满足若目标函数z=x+y取得最大值4，则实数a的值为（）A．4 B．3 C．2 D．9．已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点F的距离为5，则以M为圆心且与y轴相切的圆的方程为（）A．（x﹣1）2+（y﹣4）2=1 B．（x﹣1）2+（y+4）2=1 C．（x﹣l）2+（y﹣4）2=16 D．（x﹣1）2+（y+4）2=1610．已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，2]B．（1，2）C．[2，+∞）D．（2，+∞）二、填空题（每题5分，共25分）11．已知变量x、y满足约束条件，则z=的最大值为．12．已知圆C与直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为．13．已知双曲线=1的一个焦点是（0，2），椭圆的焦距等于4，则n=．14．已知双曲线的一条渐近线与直线x+2y﹣1=0垂直，则曲线的离心率等于．15．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且，则A点的横坐标为．三、解答题16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E，F 分别是AP，AB的中点．求证：（I）直线EF∥平面PBC；（Ⅱ）平面DEF⊥平面PAB．17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ACB=90°，平面PAD⊥平面ABCD，PA=BC=1，PD=AB=，E、F分别为线段PD和BC的中点（I）求证：CE∥平面PAF；（Ⅱ）求三棱锥P﹣AEF的体积．18．（文）如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．（1）求证：AC⊥平面BDEF．（2）求证：FC∥平面EAD．（3）设AD=1，求V E．﹣BCD19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1．（1）证明：PC⊥AD；（2）求二面角A﹣PC﹣D的正弦值；（3）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．20．在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x2﹣6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．（1）求圆C的方程；（2）求圆被直线x﹣y﹣1=0所截得的弦长．21．直线y=kx+m与椭圆有两个不同的交点M、N（1）若直线l过椭圆的左焦点F，且线段MN的中点P在直线x+y=0上，求直线l的方程（2）若k=1，且以线段MN为直径的圆过点A（1，0），求实数m的值．22．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过（1，1）与（，）两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点，椭圆C上一点M满足|MA|=|MB|．求证：++为定值．23．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆的短轴端点与双曲线=1的焦点重合，过P（4，0）且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求的取值范围．xx学年山东省青岛市胶州四中高二（上）12月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共50分）1．直线x﹣y+1=0与圆（x﹣1）2+y2=2的位置关系是（）A．相离 B．相切C．相交且过圆心 D．相交但不过圆心【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由圆的标准方程找出圆心坐标和圆的半径r，再利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，比较d与r的大小可得出直线与圆的位置关系，同时把圆心坐标代入直线方程，发现直线过圆心，即可得到正确的选项．【解答】解：由圆的方程（x﹣1）2+y2=2，得到圆心坐标为（1，0），半径r=，∵圆心到直线x﹣y+1=0的距离d===r，∴直线与圆的位置关系是相切．故选：B．2．已知实数x，y满足不等式组，则2x+y的最大值是（）A．0 B．3 C．4 D．5【考点】简单线性规划．【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数Z=2x+y的最大值．【解答】解：约束条件的可行域如下图示．由得A（1，2）．由图易得目标函数z=2x+y在A（1，2）处取得最大，最大值4，故选C．3．点P为椭圆+=1上一点，以点P以及焦点F1、F2为顶点的三角形的面积为1，则P点的坐标为（）A．（±，1）B．（，±1）C．（，1）D．（±，±1）【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据已知，点P是椭圆+=1上的一点，以点P以及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，根据该三角形的底边|F1F2|=2，我们易求出P点的横坐标，进而求出P点的纵坐标，即可得到答案．【解答】解：设P（x0，y0），∵点P是椭圆+=1上的一点，∴ +=1，∵a2=5，b2=4，∴c=1，∴=|F1F2|•|y0|=|y0|=1，∴y0=±1，∵+=1，∴x0=±．故选：D．4．已知双曲线﹣=1的右焦点为（3，0），则该双曲线的离心率等于（）A． B． C． D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线﹣=1的右焦点为（3，0），可得a=2，进而可求双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线﹣=1的右焦点为（3，0），∴a2+5=9∴a2=4∴a=2∵c=3∴故选C．5．若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则P的值为（）A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4【考点】椭圆的简单性质．【分析】通过椭圆、抛物线的焦点相同，计算即得结论．【解答】解：由a2=6、b2=2，可得c2=a2﹣b2=4，∴到椭圆的右焦点为（2，0），∴抛物线y2=2px的焦点（2，0），∴p=4，故选：C．6．方程表示曲线C，有下列命题①若曲线C为椭圆，则1＜t＜4，②若曲线C为双曲线，则t＜1或t＞4，③曲线C不可能是圆，④若曲线C表示椭圆且长轴在x轴，则，则以上命题正确的有（）A．2个B．3个C．1个D．4个【考点】曲线与方程．【分析】根据曲线方程的特点，结合椭圆双曲线的标准方程分别判断即可．【解答】解：①当1＜t＜4且t≠时，曲线表示椭圆，所以不正确；②若曲线C表示双曲线，则（4﹣t）（t﹣1）＜0，解得t＞4或t＜1，所以正确；③t≠时，曲线C表示圆，不正确；④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则4﹣t＞t﹣1＞0，解得1＜k＜，所以不正确．故选：C．7．中心为原点，一个焦点为的椭圆截直线y=3x﹣2所得的弦的中点的横坐标为，则椭圆的方程为（）A． B．C． D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据焦点坐标得出a2﹣b2=50，将直线的方程与椭圆的方程组成方程组，消去y得到关于x的方程，再根据根与系数的关系求得AB的中点的横坐标的表达式，最后根据联立的方程求出其a，b即可求椭圆的方程．【解答】解：设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得c=5，即为a2﹣b2=50，①将直线y=3x+2代入椭圆方程，可得（9b2+a2）x2﹣12b2x+4b2﹣a2b2=0，由弦的中点的横坐标为，设弦的两个端点为A（x1，y1），B（x2，y2），则由根与系数的关系可得，x1+x2=，由中点坐标公式可得，=1，即有a2=3b2②联立①②可得，a2=75，b2=25∴椭圆方程为+=1．故选：A．8．实数x，y满足若目标函数z=x+y取得最大值4，则实数a的值为（）A．4 B．3 C．2 D．【考点】简单线性规划的应用．【分析】作出不等式组表示的可行域，将目标函数变形y=﹣x+z，判断出z表示直线的纵截距，结合图象，求出k的范围【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示∵y=﹣x+z，则z表示直线的纵截距做直线L：x+y=0，然后把直线L向可行域平移，结合图象可知，平移到C（a，a）时，z 最大此时z=2a=4∴a=2故选C9．已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点F的距离为5，则以M为圆心且与y轴相切的圆的方程为（）A．（x﹣1）2+（y﹣4）2=1 B．（x﹣1）2+（y+4）2=1 C．（x﹣l）2+（y﹣4）2=16 D．（x﹣1）2+（y+4）2=16【考点】抛物线的简单性质；圆的标准方程．【分析】由抛物线的定义可得点M到焦点的距离等于到准线的距离，由此得关于p的方程，求出抛物线方程，进而得到点M坐标及圆的圆心、半径．【解答】解：由点M到焦点F的距离为5及抛物线的定义可得，1﹣（﹣）=5，解得p=8，所以抛物线方程为：y2=16x，代入点M的坐标得，m2=16，解得m=±4，又m＞0，所以m=4，所以M（1，4），则圆心为M，半径为1，故所求圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣4）2=1．故选A．10．已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，2]B．（1，2）C．[2，+∞）D．（2，+∞）【考点】双曲线的简单性质．【分析】若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．【解答】解：已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，∴≥，离心率e2=，∴e≥2，故选C二、填空题（每题5分，共25分）11．已知变量x、y满足约束条件，则z=的最大值为．【考点】简单线性规划．【分析】首先画出可行域，根据z的几何意义求最值．【解答】解：变量x、y满足约束条件对应的可行域如图：则z=表示区域内的点与原点连接的直线的斜率，所以最大值为直线OB的斜率，由得到点B（3，2），所以最大值为；故答案为：．12．已知圆C与直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为（x﹣1）2+（y+1）2=2．【考点】圆的标准方程．【分析】首先根据题意设圆心坐标为（a，﹣a），再由直线与圆相切利用圆心到直线的距离为半径，求出a和半径r，即可得到圆的方程．【解答】解：∵圆心在直线x+y=0上，∴设圆心坐标为（a，﹣a）∵圆C与直线x﹣y=0相切∴圆心（a，﹣a）到两直线x﹣y=0的距离为：=r ①同理圆心（a，﹣a）到两直线x﹣y﹣4=0的距离为：=r ②联立①②得，a=1 r2=2∴圆C的方程为：（x﹣1）2+（y+1）2=2故答案为：：（x﹣1）2+（y+1）2=213．已知双曲线=1的一个焦点是（0，2），椭圆的焦距等于4，则n=5．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得m=﹣1，代入可得椭圆的方程，由焦距可得关于n的方程，解之可得．【解答】解：由题意可得m＜0，且22=﹣3m﹣m，解得m=﹣1，故椭圆的方程可化为，故其焦距2c=2=4，或2c=2=4解得n=5，或n=﹣3（此时方程不表示椭圆，舍去）故答案为：514．已知双曲线的一条渐近线与直线x+2y﹣1=0垂直，则曲线的离心率等于．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可判断出直线x+2y﹣1=0与渐近线垂直，利用相互垂直的直线的斜率之间的关系和离心率的计算公式即可得出．【解答】解：∵双曲线的渐近线方程为．又直线x+2y﹣1=0可化为，可得斜率为．∵双曲线的一条渐近线与直线x+2y﹣1=0垂直，∴，得到．∴双曲的离心率e==．故答案为．15．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且，则A点的横坐标为3．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线得出其右焦点坐标，可知抛物线的焦点坐标，从而得到抛物线的方程和准线方程，进而可求得K的坐标，设A（x0，y0），过A点向准线作垂线AB，则B（﹣3，y0），根据|AK|=|AF|及AF=AB=x0﹣（﹣3）=x0+3，进而可求得A点坐标．【解答】解：∵双曲线，其右焦点坐标为（3，0）．∴抛物线C：y2=12x，准线为x=﹣3，∴K（﹣3，0）设A（x0，y0），过A点向准线作垂线AB，则B（﹣3，y0）∵，AF=AB=x0﹣（﹣3）=x0+3，∴由BK2=AK2﹣AB2得BK2=AB2，从而y02=（x0+3）2，即12x0=（x0+3）2，解得x0=3．故答案为：3．三、解答题16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E，F 分别是AP，AB的中点．求证：（I）直线EF∥平面PBC；（Ⅱ）平面DEF⊥平面PAB．【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（I）利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可得出；（II）利用正三角形的判定和性质可得DF⊥AB，再利用面面垂直的性质和面面垂直的判定定理即可得出．【解答】证明：（I）在△PAB中，∵E，F分别是AP，AB的中点，∴EF∥PB，又∵EF⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，∴EF∥平面PBC；（II）连接BD，∵AB=AD，∠BAD=60°，∴△ABD是正三角形，∵F是AB的中点，∴DF⊥AB．∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，∴DF⊥平面PAB，又∵DF⊂平面DEF，∴平面PAB⊥平面DEF．17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ACB=90°，平面PAD⊥平面ABCD，PA=BC=1，PD=AB=，E、F分别为线段PD和BC的中点（I）求证：CE∥平面PAF；（Ⅱ）求三棱锥P﹣AEF的体积．【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（I）取PA中点H，连接CE，HE，FH，证明四边形FCEH是平行四边形，可得EC∥HF，利用线面平行的判定定理，可得结论；，可得结论．（II）证明PA⊥平面ABCD，利用三棱锥P﹣AEF的体积V P﹣AFD【解答】（I）证明：取PA中点H，连接CE，HE，FH∵H，E分别为PA，PD的中点，∴HE∥AD，HE=AD∵ABCD是平行四边形，F为BC的中点，∴FC∥AD，FC=AD∴HE=FC，HE∥FC∴四边形FCEH是平行四边形∴EC∥HF∵EC⊄平面PAF，HF⊂平面PAF∴CE∥平面PAF；（II）解：∵底面ABCD是平行四边形，∠ACB=90°，∴CA⊥AD∵PA=BC=1，AB=∴AC=1∴S△AFD==∵PA=AD=1，PD=∴PA⊥AD∴PA⊥平面ABCD，∴V P==﹣AFD∵E 是PD 的中点，∴三棱锥P ﹣AEF 的体积V P ﹣AFD =．18．（文）如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC ．（1）求证：AC ⊥平面BDEF ．（2）求证：FC ∥平面EAD ．（3）设AD=1，求V E ﹣BCD ．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）设AC ，BD 交于点O ，连结OF ，由三线合一可得FO ⊥AC ，由菱形性质得AC ⊥BD ，故而AC ⊥平面BDEF ；（2）取AE ，AF 的中点M ，N ，连结DM ，MN ，ON ，可证四边形ODMN 是平行四边形，故而ON ∥DM ，又由中位线得力得FC ∥ON ，于是FC ∥DM ，从而FC ∥平面EAD ；（3）由题意可得△ABD ，△BDF ，△BCD 是边长为1的等边三角形，于是FO ⊥BD ，又FO ⊥AC ，得出FO ⊥平面ABCD ，于是V E ﹣BCD =V F ﹣BCD =．【解答】证明：（1）连结DF ，设AC ∩BD=O ，连结OF ．∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，O 是AC ，BD 的中点，∵FA=FC ，∴FO ⊥AC ，又∵DB ⊂平面BDEF ，FO ⊂平面BDEF ，DB ∩FO=O ，∴AC ⊥平面BDEF ．（2）取AE ，AF 的中点M ，N ，连结DM ，MN ，ON ，∵MN 是△AEF 的中位线，∴MN ，∵四边形BDEF 是菱形，O 是BD 的中点，∴OD ，∴四边形ODMN 是平行四边形，∴ON ∥DM ，∵ON 是△AFC 的中位线，∴ON ∥FC ，FC ∥DM ，又DM ⊂平面EAD ，FC ⊄平面EAD ，∴FC ∥平面EAD ．解：（3）∵四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，AD=1，∴△ABD ，△BDF ，△BCD 是边长为1的等边三角形，∴FO ⊥BD ，FO=，S △BCD ==．又FO ⊥AC ，BD ⊂平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，AC ∩BD=O ，∴FO ⊥平面ABCD ．∴V E ﹣BCD =V F ﹣BCD ===．19．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AC ⊥AD ，AB ⊥BC ，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1．（1）证明：PC ⊥AD ；（2）求二面角A ﹣PC ﹣D 的正弦值；（3）设E 为棱PA 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为30°，求AE 的长．【考点】用空间向量求平面间的夹角；用空间向量求直线间的夹角、距离；二面角的平面角及求法．【分析】解法一（1）以A 为原点，建立空间直角坐标系，通过得出•=0，证出PC ⊥AD ．（2）求出平面PCD ，平面PCD 的一个法向量，利用两法向量夹角求解．（3）设E （0，0，h ），其中h ∈[0，2]，利用cos ＜＞=cos30°=，得出关于h 的方程求解即可．解法二：（1）通过证明AD ⊥平面PAC 得出PC ⊥AD ．（2）作AH ⊥PC 于点H ，连接DH ，∠AHD 为二面角A ﹣PC ﹣D 的平面角．在RT △DAH 中求解（3）因为∠ADC ＜45°，故过点B 作CD 的平行线必与线段AD 相交，设交点为F ，连接BE ，EF ，故∠EBF （或其补角）为异面直线BE 与CD 所成的角．在△EBF 中，因为EF ＜BE ，从而∠EBF=30°，由余弦定理得出关于h 的方程求解即可．【解答】解法一：如图，以A为原点，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），D（2，0，0），C（0，1，0），B（﹣，，0），P（0，0，2）．（1）证明：易得=（0，1，﹣2），=（2，0，0），于是•=0，所以PC⊥AD．（2）解：=（0，1，﹣2），=（2，﹣1，0），设平面PCD的一个法向量为=（x，y，z），则即取z=1，则以=（1，2，1）．又平面PAC的一个法向量为=（1，0，0），于是cos＜＞==，sin＜＞=所以二面角A﹣PC﹣D的正弦值为．（3）设E（0，0，h），其中h∈[0，2]，由此得=（，﹣，h）．由=（2，﹣1，0），故cos＜＞===所以=cos30°=，解得h=，即AE=．解法二：（1）证明：由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AD，又由AD⊥AC，PA∩AC=A，故AD⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，所以PC⊥AD．（2）解：如图，作AH⊥PC于点H，连接DH，由PC⊥AD，PC⊥AH，可得PC⊥平面ADH，因此DH⊥PC，从而∠AHD为二面角A﹣PC﹣D的平面角．在RT△PAC中，PA=2，AC=1，所以AH=，由（1）知，AD⊥AH，在RT△DAH中，DH==，因此sin∠AHD==．所以二面角A﹣PC﹣D的正弦值为．（3）解：如图，因为∠ADC＜45°，故过点B作CD的平行线必与线段AD相交，设交点为F，连接BE，EF，故∠EBF（或其补角）为异面直线BE与CD所成的角．由于BF∥CD，故∠AFB=∠ADC，在RT△DAC中，CD=，sin∠ADC=，故sin∠AFB=．在△AFB中，由，AB=，sin∠FAB=sin135°=，可得BF=，由余弦定理，BF2=AB2+AF2﹣2ABAFcos∠FAB，得出AF=，设AE=h，在RT△EAF中，EF==，在RT△BAE中，BE==，在△EBF中，因为EF＜BE，从而∠EBF=30°，由余弦定理得到，cos30°=，解得h=，即AE=．20．在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x2﹣6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．（1）求圆C的方程；（2）求圆被直线x﹣y﹣1=0所截得的弦长．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）求出曲线y=x2﹣6x+1与坐标轴的交点，进而确定圆心与半径，即可求圆C的方程；（2）求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求圆被直线x﹣y﹣1=0所截得的弦长．【解答】解：（1）曲线y=x2﹣6x+1与y轴的交点为（0，1），与x轴的交点为（3±2，0），故可设C的圆心为（3，t），则有9+（t﹣1）2=8+t2，解得t=1，则圆C的半径为=3，所以圆C的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=9；（2）圆心到直线的距离d==，所以圆被直线x﹣y﹣1=0所截得的弦长为2=．21．直线y=kx+m与椭圆有两个不同的交点M、N（1）若直线l过椭圆的左焦点F，且线段MN的中点P在直线x+y=0上，求直线l的方程（2）若k=1，且以线段MN为直径的圆过点A（1，0），求实数m的值．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）由直线l过椭圆的左焦点F，求出直线l的方程y=kx+k，与椭圆的方程联立消去y，利用韦达定理表示出x1+x2和y1+y2，根据MN的中点的横坐标在直线x+y=0上求出k的值，问题得以解决；（2）当k=1时，直线l的方程y=x+m，与椭圆的方程联立消去y，利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2求出y1+y2，根据MN的中点的为圆心，以及弦长公式求出|MN|的距离，再根据线段MN为直径的圆过点A（1，0），得到关于m的方程，问题得以解决．【解答】解：（1）∵椭圆的方程为，∴c2=a2﹣b2=2﹣1=1，∴c=1，∴椭圆的左焦点F为（﹣1，0），∵直线l过椭圆的左焦点F，∴0=﹣k+m，即k=m，∴y=kx+k，联立方程组得，消掉y得到（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，∴△=（4k2）2﹣4（1+2k2）（2k2﹣2）=8（k2+1）＞0∴x1+x2=﹣，∴y1+y2=﹣k•+k，∵线段MN的中点P在直线x+y=0上，∴﹣﹣k•+k=0，即2k2+4k﹣1=0，解得k=，∴直线l的方程为y=x+，或y=+，即为（2+）x+2y+2+．或（2﹣）x+2y+2﹣．（2）当k﹣1时，联立方程组得，消掉y得到3x2+4mx+2m2﹣2=0，∴x1+x2=﹣，x1•x2=，∴|x1﹣x2|2=（x1+x2）2﹣4x1•x2=﹣根据弦长公式得到|MN|=|x1﹣x2|=••=，∵x1+x2=﹣，∴y1+y2=﹣，∴线段MN的中点坐标为（﹣，﹣），∵线段MN为直径的圆过点A（1，0），∴=|MN|=，整理得到11m2﹣16m﹣4=0，解得m=．22．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过（1，1）与（，）两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点，椭圆C上一点M满足|MA|=|MB|．求证：++为定值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（I）把（1，1）与（，）两点代入椭圆方程解出即可．（II）由|MA|=|MB|，知M在线段AB的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A、B关于原点对称．①若点A、B是椭圆的短轴顶点，则点M是椭圆的一个长轴顶点；同理，若点A、B是椭圆的长轴顶点，则点M在椭圆的一个短轴顶点；直接代入计算即可．②若点A、B、M不是椭圆的顶点，设直线l的方程为y=kx（k≠0），则直线OM的方程为，设A（x1，y1），B（x2，y2），与椭圆的方程联立解出坐标，即可得到=，同理，代入要求的式子即可．【解答】解析（Ⅰ）将（1，1）与（，）两点代入椭圆C的方程，得解得．∴椭圆PM2的方程为．（Ⅱ）由|MA|=|MB|，知M在线段AB的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A、B关于原点对称．①若点A、B是椭圆的短轴顶点，则点M是椭圆的一个长轴顶点，此时=．同理，若点A、B是椭圆的长轴顶点，则点M在椭圆的一个短轴顶点，此时=．②若点A、B、M不是椭圆的顶点，设直线l的方程为y=kx（k≠0），则直线OM的方程为，设A（x1，y1），B（x2，y2），由解得，，∴=，同理，所以=2×+=2，故=2为定值．23．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆的短轴端点与双曲线=1的焦点重合，过P（4，0）且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（I）由双曲线=1得焦点，得b=．又，a2=b2+c2，联立解得即可；（II）由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣4），与椭圆方程联立得到，（4k2+3）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，由△＞0得．设A（x1，y1），B（x2，y2），利用根与系数的关系可得=x1x2+y1y2，进而得到取值范围．【解答】解：（I）由双曲线=1得焦点，得b=．又，a2=b2+c2，联立解得a2=4，c=1．故椭圆C的方程为；（II）由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣4），联立，（4k2+3）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，由△=（﹣32k2）2﹣4（4k2+3）（64k2﹣12）＞0得．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，∴=，∴=x1x2+y1y2==，∵，∴，∴．故的取值范围为．xx年6月17日36610 8F02 輂26702 684E 桎35186 8972 襲33484 82CC 苌UE25725 647D 摽30636 77AC 瞬>30805 7855 硕: *RM。

2021年高二上学期12月月考数学(文)试题含答案

2021年高二上学期12月月考数学（文）试题含答案一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）。

1．抛物线焦点坐标是（） R3534A ．(，0)B ．(，0)C ． (0, )D ．(0, ) 2.等于，则三角形面积中，已知A S c b ABC 23,3,2===∆（）A. B. C. D.3. 以下说法错误的是A ．命题“若x 2-3x +2=0，则x =1”的逆否命题是“若x ≠ 1，则x 2-3x +2 ≠ 0”B ．“x = 1”是“x 2-3x +2=0”的充分不必要条件C ．若p ∧q 为假命题，则p ,q 均为假命题D ．若命题p ：，使得+x 0+1<0，则﹁p ：，都有x 2+x +1 ≥ 04.等差数列中，等于，则项和其前n S n a a a n 100,14,1531==+=（）A. 9B. 10C. 11D. 125.等比数列中，，，则等于（ )A. B. C. D.6.已知（）A. B. C. D.7．双曲线-=1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为( )A ．B ．C ．2D ．8．抛物线到直线距离最近的点的坐标是 ( )A ．B ．(1，1)C ．D ．(2，4)9.已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（）A ．B ．C ．3D ．510.直线与椭圆交于两点，以线段为直径的圆过椭圆的右焦点，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）。

11.在数列中，=____________.12. “”是“”的条件.13. 已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽8米。

当水面升高1米后，水面宽度是________米.14.点满足约束条件22410y x y x y x ≥⎧⎪-≥⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩，目标函数的最小值是。

青浦区高中学年上学期高二数学月考试题含解析

青浦区高中2021-2021学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________座号_____姓名__________分数__________一、选择题1．命题 p：?x∈R，32x+1＞0，有命题q：0＜x＜2是log2x＜1的充分不必要条件，那么以下命题为真命题的是〔〕A．￢pB．p∧qC．p∧￢qD．￢p∨q．假设当x R时，函数f(x)a|x|〔a0且a1〕始终满足f(x)1，那么函数log a|x|的图象大致是2yx3〔〕【命题意图】此题考查了利用函数的根本性质来判断图象，对识图能力及逻辑推理能力有较高要求，难度中等．3．一个圆的圆心为椭圆的右焦点，且该圆过椭圆的中心交椭圆于P，直线PF1〔F1为椭圆的左焦点〕是该圆的切线，那么椭圆的离心率为〔〕A．B．C．D．4．函数f〔x〕= x3+mx2+〔2m+3〕x〔m∈R〕存在两个极值点x1，x2，直线l经过点A〔x1，x12〕，B〔x2，x22〕，记圆〔x+1〕2+y2=上的点到直线l的最短距离为g〔m〕，那么g〔m〕的取值范围是〔〕A．[0，2]B．[0，3]C．[0，〕D．[0，〕5．实数a，b，c满足不等式0＜a＜b＜c＜1，且M=2a，N=5﹣b，P=〔〕c，那么M、N、P的大小关系为〔〕A．M＞N＞PB．P＜M＜NC．N＞P＞M第1页，共16页6．设数集M={x|m≤x≤m+ }，N={x|n﹣≤x≤n}，P={x|0≤x≤1}，且M，N都是集合P的子集，如果把b ﹣a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度〞，那么集合M∩N的“长度〞的最小值是〔〕A．B．C．D．7．以下函数中，既是奇函数又在区间〔0，+∞〕上单调递增的函数为〔〕A．y=sinxB．y=1g2x C．y=lnx D．y=﹣x3【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据正弦函数的单调性，对数的运算，一次函数的单调性，对数函数的图象及单调性的定义即可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．8．计算log25log53log32的值为〔〕A．1B．2C．4D．89．直线在平面外是指〔〕．直线与平面没有公共点．直线与平面相交C．直线与平面平行．直线与平面最多只有一个公共点10．以下函数中哪个与函数y=x相等〔〕A．y=〔〕2B．y=C．y=D．y=11．过抛物线y2=﹣4x的焦点作直线交抛物线于A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，假设x1+x2=﹣6，那么|AB|为〔〕A．8B．10 C．6D．412．如图Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′=2，那么这个平面图形的面积是〔〕A．B．1C．D．二、填空题13．一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，那么该椭圆的离心率是．第2页，共16页14．函数f(x)x21,x0，g(x)2x1，那么f(g(2))，f[g(x)]的值域为．x1,x0【命题意图】此题考查分段函数的函数值与值域等根底知识，意在考查分类讨论的数学思想与运算求解能力.15．△ABC中，，BC=3，，那么∠C=．16．函数f〔x〕=，点O为坐标原点，点An〔n，f〔n〕〕〔n∈N+〕，向量=〔0，1〕，θn是向量与i的夹角，那么+++=．17．点M〔x，y〕满足，当a＞0，b＞0时，假设ax+by的最大值为12，那么+的最小值是．18．双曲线的标准方程为，那么该双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为．三、解答题19．〔本小题总分值10分〕选修4-1：几何证明选讲．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于E，过E的切线与AC交于D.〔1〕求证：CD＝DA；〔2〕假设CE＝1，AB＝2，求DE的长．20．记函数f〔x〕=log〔22x﹣3〕的定义域为集合M，函数g〔x〕=的定义域为集合N．求：〔Ⅰ〕集合M，N；〔Ⅱ〕集合M∩N，?R〔M∪N〕．第3页，共16页21．〔本小题总分值12分〕111]在如下图的几何体中，D是AC的中点，EF//DB.〔1〕AB BC，AF CF，求证：AC平面BEF；〔2〕G、H分别是EC和FB的中点，求证：GH//平面ABC.（22．全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，B={1，3，5，7}．1〕求A∪B；2〕求〔?U A〕∩B；3〕求?U〔A∩B〕．第4页，共16页23．〔本小题总分值 10分〕选修 4-5：不等式选讲函数f(x)|2x 1|．〔1〕假设不等式f(x 1) 2m 1(m 0)的解集为,22,，求实数m 的值；2 a〔2〕假设不等式f(x)2y|2x 3|，对任意的实数x,yR 恒成立，求实数a 的最小值．2y【命题意图】此题主要考查绝对值不等式的解法、三角不等式、根本不等式等根底知识，以及考查等价转化的能力、逻辑思维能力、运算能力．24．〔本小题总分值 12分〕某媒体对“男女延迟退休〞这一公众关注的问题进行名意调查，下表是在某单位得到的数据：赞同反对合计男 50 150 200女 30170 200 合计80320400〔Ⅰ〕能否有能否有97.5%的把握认为对这一问题的看法与性别有关？〔Ⅱ〕从赞同“男女延迟退休〞的 80人中，利用分层抽样的方法抽出8人，然后从中选出2人进行陈述发言，求事件“选出的 2人中，至少有一名女士〞的概率．参考公式：K 2n(adbc)2，(nabcd)(ab)(cd)(ac)(bd)【命题意图】此题考查统计案例、抽样方法、古典概型等根底知识，意在考查统计的思想和根本运算能力第5页，共16页第6页，共16页青浦区高中2021-2021学年上学期高二数学12月月考试题含解析〔参考答案〕一、选择题1．【答案】C【解析】解：∵命题p：?x∈R，32x+1＞0，∴命题p为真，由log2x＜1，解得：0＜x＜2，∴0＜x＜2是log2x＜1的充分必要条件，∴命题q为假，应选：C．【点评】此题考查了充分必要条件，考查了对数，指数函数的性质，是一道根底题．2．【答案】C【解析】由f(x)a|x|始终满足f(x)1可知a1．由函数y log a |x|是奇函数，排除B；当x(0,1)时，log a|x|x3log a|x|0，此时y0，排除A；当x时，y0，排除D，因此选C．x33．【答案】D【解析】解：设F2为椭圆的右焦点由题意可得：圆与椭圆交于P，并且直线PF1〔F1为椭圆的左焦点〕是该圆的切线，所以点P是切点，所以PF2=c并且PF1⊥PF2．又因为F1F2=2c，所以∠PF1F2=30°，所以．根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，所以|PF2|=2a﹣c．所以2a﹣c=，所以e=．应选D．【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握直线与圆的相切问题，以即椭圆的定义．4．【答案】C【解析】解：函数f〔x〕=x3+mx2+〔2m+3〕x的导数为f′〔x〕=x2+2mx+2m+3，由题意可得，判别式△＞0，即有4m2﹣4〔2m+3〕＞0，解得m＞3或m＜﹣1，又x1+x2=﹣2m，x1x2=2m+3，直线l经过点A〔x1，x12〕，B〔x2，x22〕，即有斜率k==x1+x2=﹣2m，第7页，共16页2那么有直线AB：y﹣x1=﹣2m〔x﹣x1〕，2即为2mx+y﹣2mx1﹣x1=0，圆〔x+1〕2+y2=的圆心为〔﹣1，0〕，半径r为．那么g〔m〕=d﹣r=﹣，2由于f′〔x1〕=x1+2mx1+2m+3=0，那么g〔m〕=﹣，又m＞3或m＜﹣1，即有m2＞1．那么g〔m〕＜﹣=，那么有0≤g〔m〕＜．应选C．【点评】此题考查导数的运用：求极值，同时考查二次方程韦达定理的运用，直线方程的求法和点到直线的距离公式的运用，以及圆上的点到直线的距离的最值的求法，属于中档题．5．【答案】A【解析】解：∵0＜a＜b＜c＜1，∴1＜2a＜2，＜5﹣b＜1，＜〔〕c＜1，﹣b=〔b c c5〕＞〔〕＞〔〕，即M＞N＞P，应选：A【点评】此题主要考查函数值的大小比拟，根据幂函数和指数函数的单调性的性质是解决此题的关键．6．【答案】C【解析】解：∵集M={x|m≤x≤m+}，N={x|n﹣≤x≤n}，P={x|0≤x≤1}，且M，N都是集合P的子集，∴根据题意，M的长度为，N的长度为，当集合M∩N的长度的最小值时，与N应分别在区间[0，1]的左右两端，故M∩N的长度的最小值是=．第8页，共16页应选：C．7．【答案】B【解析】解：根据y=sinx图象知该函数在〔0，+∞〕不具有单调性；y=lg2x=xlg2，所以该函数是奇函数，且在〔0，+∞〕上单调递增，所以选项B正确；根据y=lnx的图象，该函数非奇非偶；根据单调性定义知y=﹣x3在〔0，+∞〕上单调递减．应选B．【点评】考查正弦函数的单调性，对数的运算，以及一次函数的单调性，对数函数的图象，奇偶函数图象的对称性，函数单调性的定义．8．【答案】A【解析】解：log25log53log32==1．应选：A．【点评】此题考查对数的运算法那么的应用，考查计算能力．9．【答案】D【解析】解：根据直线在平面外是指：直线平行于平面或直线与平面相交，∴直线在平面外，那么直线与平面最多只有一个公共点．应选D．10．【答案】B【解析】解：A．函数的定义域为{x|x≥0}，两个函数的定义域不同．B．函数的定义域为R，两个函数的定义域和对应关系相同，是同一函数．C．函数的定义域为R，y=|x|，对应关系不一致．D．函数的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不同．应选B．【点评】此题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准是判断函数的定义域和对应关系是否一致，否那么不是同一函数．11．【答案】A【解析】解：由题意，p=2，故抛物线的准线方程是x=1，第9页，共16页∵抛物线y2=﹣4x的焦点作直线交抛物线于A〔x1，y1〕B〔x2，y2〕两点∴|AB|=2﹣〔x1+x2〕，又x1+x2=﹣6∴∴|AB|=2﹣〔x1+x2〕=8应选A12．【答案】D【解析】解：∵Rt△O'A'B'是一平面图形的直观图，斜边O'B'=2，∴直角三角形的直角边长是，∴直角三角形的面积是，∴原平面图形的面积是1×2=2应选D．二、填空题13．【答案】．【解析】解：由题意可得，2a，2b，2c成等差数列2b=a+c4b2=a2+2ac+c2①∵b2=a2﹣c2②①②联立可得，5c2+2ac﹣3a2=0∵5e2+2e﹣3=00＜e＜1∴故答案为：【点评】此题主要考查了椭圆的性质的应用，解题中要椭圆离心率的取值范围的应用，属于中档试题14．【答案】2，[1,).【解析】第10页，共16页15．【答案】【解析】解：由，a=BC=3，c=，根据正弦定理=得：sinC==，又C为三角形的内角，且c＜a，∴0＜∠C＜，那么∠C=．故答案为：【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，正弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握正弦定理是解此题的关键，同时注意判断C的范围．16．【答案】．【解析】解：点An n nN+〕，向量=01n与i的夹角，〔，〕〔∈〔，〕，θ是向量=，=，，=，∴+++=++=1﹣=，故答案为：．【点评】此题考查了向量的夹角、数列“裂项求和〞方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．【答案】4．【解析】解：画出满足条件的平面区域，如图示：第11页，共16页，由，解得：A〔3，4〕，显然直线z=ax+by过A〔3，4〕时z取到最大值12，此时：3a+4b=12，即+=1，∴+=〔+〕〔+〕=2++≥2+2=4，当且仅当3a=4b时“=〞成立，故答案为：4．【点评】此题考查了简单的线性规划，考查了利用根本不等式求最值，解答此题的关键是对“1〞的灵活运用，是根底题．18．【答案】〔±，0〕y=±2x．【解析】解：双曲线的a=2，b=4，c==2，可得焦点的坐标为〔±，0〕，渐近线方程为y=±x，即为y=±2x．故答案为：〔±，0〕，y=±2x．【点评】此题考查双曲线的方程和性质，主要是焦点的求法和渐近线方程的求法，考查运算能力，属于根底题．三、解答题19．【答案】【解析】解：〔1〕证明：第12页，共16页1如图，连接AE，∵AB是⊙O的直径，AC，DE均为⊙O的切线，∴∠AEC＝∠AEB＝90°，∠DAE＝∠DEA＝∠B，∴DA＝DE.∠C＝90°－∠B＝90°－∠DEA＝∠DEC，∴DC＝DE，∴CD＝DA.2〕∵CA是⊙O的切线，AB是直径，∴∠CAB＝90°，由勾股定理得CA2＝CB2－AB2，又CA2＝CE×CB，CE＝1，AB＝2，∴1·CB＝CB2－2，即CB2－CB－2＝0，解得CB＝2，∴CA2＝1×2＝2，∴CA＝2.2由〔1〕知DE＝2CA＝2，2所以DE的长为2.20．【答案】【解析】解：〔1〕由2x﹣3＞0得x＞，∴M={x|x＞}．由〔x﹣3〕〔x﹣1〕＞0得x＜1或x＞3，∴N={x|x＜1，或x＞3}．2〕M∩N=〔3，+∞〕，M∪N={x|x＜1，或x＞3}，∴C R〔M∪N〕=．【点评】此题主要考查求函数的定义域，两个集合的交集、并集、补集的定义和运算，属于根底题．21．【答案】〔1〕详见解析；〔2〕详见解析.【解析】试题分析：〔1〕根据EF//DB,所以平面BEF就是平面BDEF,连接DF,AC是等腰三角形ABC和ACF的公第13页，共16页共底边，点D是AC的中点，所以ACBD,ACDF,即证得AC平面BEF的条件；〔2〕要证明线面平行，可先证明面面平行，取FC的中点为，连接GI，HI，根据中位线证明平面HGI//平面ABC,即可证明结论.试题解析：证明：〔1〕∵EF//DB，∴EF与DB确定平面BDEF.如图①，连结DF.∵AF CF，D是AC的中点，∴DF AC.同理可得BD AC.又BD DF D，BD、DF平面BDEF，∴AC平面BDEF，即AC平面BEF.考点：1.线线，线面垂直关系； 2.线线，线面，面面平行关系.【方法点睛】此题考查了立体几何中的平行和垂直关系，属于中档题型，重点说说证明平行的方法，当涉及证明线面平行时，一种方法是证明平面外的线与平面内的线平行，一般是构造平行四边形或是构造三角形的中位线，二种方法是证明面面平行，那么线面平行，因为直线与直线外一点确定一个平面，所以所以一般是在某条直线上再找一点，一般是中点，连接构成三角形，证明另两条边与平面平行.22．【答案】（【解析】解：全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，B={1，3，5，7}．1〕A∪B={1，2，3，4，5，7}第14页，共16页2〕〔?U A 〕={1，3，6，7} ∴〔?U A 〕∩B={1，3，7} 3〕∵A ∩B={5}?U 〔A ∩B 〕={1，2，3，4，6，7}．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解此题的关键．23．【答案】【解析】〔1〕由题意，知不等式|2x| 2m 1(m0) 解集为,2由|2x|2m1 ，得m1 xm1 ，2分2 2所以，由m1 2，解得m3．4分2a 2〔2〕不等式f(x)2y|2x 3|等价于|2x1||2x3| 2y2y a由题意知(|2x1| |2x3|)max 2 y．6分2 y2, ．a2y，24．【答案】400 50 170 30 2【解析】〔Ⅰ〕根据题中的数据计算：215080 320 200 200因为6．25＞5．024，所以有 97．5%的把握认为对这一问题的看法与性别有关〔Ⅱ〕由得抽样比为8 =1，故抽出的8人中，男士有 5人，女士有3人．分别设为a,b,c,d,e,1,2,3，选80 10取2人共有a,b ，a,c ，a,d ，a,e，a,1，a,2， a,3 ，b,c ，b,d，b,e ，b,1 ，b,2，b,3 ，c,d，c,e ， c,1，c,2，c,3，d,e ，d,1，d,2 ，d,3 ，e,1，e,2 ，e,3，1,2 ，1,3 ，2,328个根本领件，其中事件“选出的2人中，至少有一名女士〞包含 18个根本领件，故所第15页，共16页青浦区高中学年上学期高二数学月考试题含解析18=9．求概率为P28 14第16页，共16页。

青浦区高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

青浦区高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．在△ABC中，，则这个三角形一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角 D．等腰或直角三角形2．已知命题“p：∃x＞0，lnx＜x”，则￢p为（）A．∃x≤0，lnx≥x B．∀x＞0，lnx≥x C．∃x≤0，lnx＜x D．∀x＞0，lnx＜x3．方程x=所表示的曲线是（）A．双曲线B．椭圆C．双曲线的一部分D．椭圆的一部分4．若函数y=f（x）是y=3x的反函数，则f（3）的值是（）A．0 B．1 C．D．35．某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为（）A．100 B．150 C．200 D．2506．等差数列{a n}中，已知前15项的和S15=45，则a8等于（）A．B．6 C．D．37．若f（x）为定义在区间G上的任意两点x1，x2和任意实数λ（0，1），总有f（λx1+（1﹣λ）x2）≤λf（x1）+（1﹣λ）f（x2），则称这个函数为“上进”函数，下列函数是“上进”函数的个数是（）①f（x）=，②f（x）=，③f（x）=，④f（x）=．A．4 B．3 C．2 D．18．执行如图所示的程序框图，若a=1，b=2，则输出的结果是（）A ．9B ．11C ．13D ．159．已知函数x x x f 2sin )(-=，且)2(),31(log ),23(ln 3.02f c f b f a ===，则（）A ．c a b >>B ．a c b >>C ．a b c >>D ．b a c >>【命题意图】本题考查导数在单调性上的应用、指数值和对数值比较大小等基础知识，意在考查基本运算能力．10．下列函数中哪个与函数y=x 相等（）A ．y=（）2B ．y=C ．y=D ．y=11．给出下列结论：①平行于同一条直线的两条直线平行；②平行于同一条直线的两个平面平行； ③平行于同一个平面的两条直线平行；④平行于同一个平面的两个平面平行．其中正确的个数是（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 12．设集合3|01x A x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭,集合(){}2|220B x x a x a =+++>,若 A B ⊆,则的取值范围（）A ．1a ≥B ．12a ≤≤ C.a 2≥ D ．12a ≤<二、填空题13．一质点从正四面体A ﹣BCD 的顶点A 出发沿正四面体的棱运动，每经过一条棱称为一次运动．第1次运动经过棱AB 由A 到B ，第2次运动经过棱BC 由B 到C ，第3次运动经过棱CA 由C 到A ，第4次经过棱AD 由A 到D ，…对于N ∈n *，第3n 次运动回到点A ，第3n+1次运动经过的棱与3n ﹣1次运动经过的棱异面，第3n+2次运动经过的棱与第3n 次运动经过的棱异面．按此运动规律，质点经过2015次运动到达的点为．14．圆上的点（2，1）关于直线x+y=0的对称点仍在圆上，且圆与直线x﹣y+1=0相交所得的弦长为，则圆的方程为．15．已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图示．①函数f（x）的极大值点为0，4；②函数f（x）在[0，2]上是减函数；③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点；⑤函数y=f（x）﹣a的零点个数可能为0、1、2、3、4个．其中正确命题的序号是．16．已知命题p：∃x∈R，x2+2x+a≤0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是．（用区间表示）17．定义：[x]（x∈R）表示不超过x的最大整数．例如[1.5]=1，[﹣0.5]=﹣1．给出下列结论：①函数y=[sinx]是奇函数；②函数y=[sinx]是周期为2π的周期函数；③函数y=[sinx]﹣cosx不存在零点；④函数y=[sinx]+[cosx]的值域是{﹣2，﹣1，0，1}．其中正确的是．（填上所有正确命题的编号）18．若与共线，则y=．三、解答题19．某重点大学自主招生考试过程依次为自荐材料审查、笔试、面试共三轮考核。

上海市青浦高级中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题

（2）求向量 .
20．已知数列满足 ,令 , 为数列的前项和.
(1)求和 ;
(2)对任意的正整数 ,不等式恒成；
（1）求数列的通项公式；
（2）若，且是单调递增数列，求实数的取值范围；
（3）若，，对于任意给定的正整数，是否存在正整数、，使得？若存在，求出、的值(只要写出一组即可)；若不存在，请说明理由；
A．↓→B．→↓C．↑→D．→↑
16．无穷等差数列的各项均为整数,首项为 ,公差为 , 是其前项和，3､15､21是其中的三项,给出下列命题:
①对任意满足条件的 ,存在 ,使得99一定是数列中的一项;
②对任意满足条件的 ,存在 ,使得30一定是数列中的一项;
③存在满足条件的数列 ,使得对任意的 , 成立;
8．
【分析】
把已知条件代入向量的模长公式计算可得
【详解】
，，的夹角为
则有
则
故答案为
【点睛】
本题主要考查的是平面向量数量积的运算以及向量模的计算，解题时可以采用平方的思想，属于基础题
9．
【分析】
等比数列的前项和公式，得，再对分类讨论可得.
【详解】
解：设等比数列的首项为，根据等比数列的前项和公式知，，则
8．已知，，且与的夹角为，则．
9．若等比数列的前项和为 ,公比为 ,则 ______.
10．数列中，，对于任意，都有，是的前项和，则 ______；
11．把数列的所有数按照从大到小的原则写成如下数表:
第行有个数,第行的第个数(从左数起)记为 ,则 ______.
【详解】
解：因为：为线段的中点，､､

2022-2023学年上海市青浦高级中学高二上学期12月质量检测数学试题(解析版)

2022-2023学年上海市青浦高级中学高二上学期12月质量检测数学试题一、填空题1．直线3250x y -+=的一个法向量为___________.【答案】()3,2-(答案不唯一)【分析】根据方程直接写出即可.【详解】直线0Ax By C ++=的一个法向量为(),A B所以直线3250x y -+=的一个法向量为()3,2-.故答案为：()3,2-.(答案不唯一)2．抛物线24y x =的焦点坐标是______．【答案】(1,0)【详解】抛物线24y x =的焦点在x 轴上，且2,12p p =∴=，所以抛物线24y x =的焦点坐标为()1,0，故答案为()1,0.3．点()9,7,1-关于xOy 平面对称点是___________.【答案】()9,7,1--【分析】根据关于什么对称什么不变来得答案.【详解】点()9,7,1-关于xOy 平面对称点是()9,7,1--故答案为：()9,7,1--4．若事件A 发生的概率为t ，则它的对立事件发生的概率为___________.【答案】1t -##1t -+【分析】直接根据互为对立事件的概率和为1得答案.【详解】若事件A 发生的概率为t ，则它的对立事件发生的概率为1t -故答案为：1t -5．空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点,,E F G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则FG AB ⋅的值为___________.【答案】14##0.25 【分析】由题意，四面体是正四面体，每个三角形都是等边三角形，利用向量的数量积的定义解答．【详解】11111cos60224FG AB AC AB ︒⋅=⋅=⨯⨯⨯= 故答案为：14.6．已知点P 和点Q 的坐标分别为()1,1-和()1,2，若直线:0l x my m ++=与线段PQ 相交，则m 的取值范围是_____【答案】11,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】根据题意，点,P Q 在直线l 两侧或在直线l 上，即(12)(13)0m m -+⋅+≤，求解即可.【详解】若直线:0l x my m ++=与线段PQ 相交，则点,P Q 在直线l 两侧或在直线l 上，则有(12)(13)0m m -+⋅+≤，解得：1132x -≤≤，所以m 的取值范围是11,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故答案为：11,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 7．已知方程221410x y k k+=--表示双曲线，则实数k 的取值范围为___________. 【答案】{4k k <或}10k >【分析】根据双曲线的22,x y 项的系数异号列不等式求解.【详解】方程221410x y k k+=--表示双曲线，则()()4100k k --<，解得4k <或10k >故答案为：{4k k <或}10k >8．已知△ABC 的顶点()()3,06,0A B -、，若顶点C 在抛物线2yx 上移动，则△ABC 的重心的轨迹方程为_______.【答案】()231,1y x x =-≠ 【解析】设ABC 的重心()G x y ,，(,),0C x y x '''≠，由重心的性质可得333x x y y ''=-⎧⎨=⎩，代入抛物线方程化简即可得解.【详解】设ABC 的重心()G x y ,，(,),0C x y x '''≠，则有363333x x x y y -''++⎧==⎪⎨='⎪⎪⎪⎩，即333x x y y ''=-⎧⎨=⎩，所以1x ≠，因为点C 在曲线2y x 上，所以有()2333y x =-，即()231,1y x x =-≠，故答案为：()231,1y x x =-≠.9．若随机事件,A B 互斥，,A B 发生的概率均不等于0，且分别为()32P A a =-，()56P B a =-，则实数a 的取值范围为___________. 【答案】6453a <≤ 【分析】由随机事件,A B 互斥，根据互斥事件概率的性质列不等式组求解.【详解】因为随机事件,A B 互斥，,A B 发生的概率均不等于0，且分别为()32P A a =-，()56P B a =- 则0()10()1()()1P A P B P A P B <<⎧⎪<<⎨⎪+≤⎩，即03210561331a a a <-<⎧⎪<-<⎨⎪-≤⎩，解得6453a <≤ 故答案为：6453a <≤ 10．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的半焦距为c，且c ，若椭圆E 经过,A B 两点，且AB 是圆222:(2)(1)M x y r ++-=的一条直径，则直线AB 的方程为_________.【答案】240x y -+=【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，代入椭圆方程做差，根据直线的斜率公式及AB 的中点M ，求出直线斜率，即可得到直线方程.【详解】设1122(,),(,)A x y B x y , 代入椭圆方程可得：2211221x y a b +=①，2222221x y a b +=②， ②-①得：2212122121()()y y b x x x x a y y -+=--+，由3=c b 可得22223a b c b -==，即2214b a =，又AB 的中点M (2,1)-，所以2212122121()11(2)()42AB y y b x x k x x a y y -+==-=-⨯-=-+ 所以直线AB 的方程为11(2)2y x -=+，即240x y -+=.故答案为：240x y -+=【点睛】方法点睛：点差法是解决涉及弦的中点与斜率问题的方法，首先设弦端点的坐标，代入曲线方程后做差，可得出关于弦斜率与弦中点的方程，代入已知斜率，可研究中点问题，代入已知中点可求斜率.11．设,x y 满足22220x y x y +--=，则+1+25+2y x +的取值范围为_______. 【答案】[0,1]【解析】由题意，得到22(||1)(||1)2x y -+-=，根据对称性，作出方程对应的图像，根据+1+25+2y x +表示点(,)x y 与点()52,12M ----连线的斜率，结合图像，即可得出结果.【详解】由22220x y x y +--=可得 22(||1)(||1)2x y -+-=，根据对称性，作出此方程对应的图象，表示点(,)x y与点(51M --连线的斜率，由图像可得，直线4y x =+与圆22(1)(1)2x y ++-=显然相切，且4y x =+过点(51M --，1≤；直线1y =-22(1)(1)2x y +++=相切，且1y =-(51M --，所以0≥，[0,1]. 故答案为：[0,1].【点睛】思路点睛：非线性目标函数的常见类型及解题思路：1.斜率型：()0by ay b a a z ac d cx d c x c ++==⋅≠++表示的是可行域内的点(),x y 与点,d b c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭连线所在直线的斜率的a c倍； 2.距离型：（1）()()22z x a y b =-+-表示的是可行域内的点(),x y 与(),a b 之间距离的平方；（2）z Ax By C =++=(),x y 到直线0Ax By C ++=的.12．空间中到正方体1111ABCD A B C D -棱11A D ，AB ，1CC 距离相等的点有___________个.【答案】无数【分析】由于点1,D B 显然满足要求，猜想线段1DB 上任一点都满足要求，然后证明结论．【详解】在正方体1111ABCD A B C D -上建立如图所示空间直角坐标系，并设该正方体的棱长为1，连接1DB ，并在1DB 上任取一点P ，因为1(1,1,1)DB =所以设(),,P a a a ，其中01a ≤≤，作PE ⊥平面11A ADD ，垂足为E ，再作11EF A D ⊥，垂足为F ，则1111,,,A D PE A D EF PE EF E ⊥⊥=,PE EF ⊂面EFP ，11A D ∴⊥面EFP ，又FP ⊂面EFP ，11A D FP ∴⊥，则PF 是点P 到直线11A D 的距离，所以22(1)PF a a =+-，同理点P 到直线AB 、1CC 的距离也是22(1)a a +-，所以1DB 上任一点与正方体1111ABCD A B C D -的三条棱11A D ，AB ，1CC 所在直线的距离都相等，所以与正方体1111ABCD A B C D -的三条棱11A D ，AB ，1CC 所在直线的距离相等的点有无数个．故答案为：无数二、单选题13．已知空间任意一点О和不共线的三点A ，B ，C ，若(),,OD mOA nOB pOC m n p R =++∈，则“A ，B ，C ，D 四点共面”是“32m =，12n =，1p =-”的（） A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据空间向量的共面定量，结合充要条件的判定方法，即可求解.【详解】由题意，空间中四点A ，B ，C ，D ，若(),,OD mOA nOB pOC m n p R =++∈若A ，B ，C ，D 四点共面，根据空间向量的共面定量，只需1m n p ++=，又由32m =，12n =，1p =-，可得1m n p ++=，所以“32m =，12n =，1p =-”时，A ，B ，C ，D 四点共面，即必要性成立，反之不一定成立，即充分性不成立，所以“A ，B ，C ，D 四点共面”是“32m =，12n =，1p =-”的必要不充分条件. 故选：A.14．直线:10l y kx --=与椭圆2215x y m +=恒有公共点，则m 的取值范围是（） A ．(0,1)B ．(0,5)C ．[1,5)(5,)⋃+∞D ．[1,)+∞【答案】C 【解析】由于直线:10l y kx --=恒过点(0,1)，所以要使直线:10l y kx --=与椭圆2215x y m+=恒有公共点，只要点(0,1)椭圆上或椭圆内即可，从而可求得m 的取值范围【详解】解：直线:10l y kx --=恒过点(0,1)，因为直线:10l y kx --=与椭圆2215x y m +=恒有公共点，所以点(0,1)椭圆上或椭圆内即可，所以050115m m m⎧⎪>⎪≠⎨⎪⎪+≤⎩，解得m 1≥且5m ≠，所以m 的取值范围是[1,5)(5,)⋃+∞，故选：C15．已知点,,,O A B C 为空间不共面的四点，且向量a OA OB OC =++，向量b OA OB OC =+-，则与,a b 不能构成空间基底的向量是( )A ．OAB ．OBC ．OCD ．OA 或OB【答案】C 【分析】利用空间向量的基底的意义即可得出．【详解】111()()()222OC a b OA OB OC OA OB OC =-=++-+-， ∴OC 与a 、b 不能构成空间基底；故选：C ．16．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，动点M 在侧面11BCC B 上运动（包括边界），且12MB MB =，则1D M 与平面11ADD A 所成角的正切值的取值范围为（）A ．3,13⎡⎤⎣⎦B ．3,11313⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．13,113⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,13⎡⎤⎣⎦【答案】B 【分析】找到点M 在平面11ADD A 的投影为点N ，在平面平面11ADD A 上，建立平面直角坐标系，求出点N 的轨迹方程，进而数形结合求出13,13D N ∈⎡⎤⎣⎦，从而求出答案.【详解】设点M 在平面11ADD A 的投影为点N ，则3MN =，所求线面角为θ，则113tan MN D N D N θ==，因为12MB MB =，所以12NA NA =，在平面11ADD A 上，以A 为坐标原点，AD 为x 轴，1AA 为y 轴建立平面直角坐标系，则()0,0A ，()10,3A ，设(),N x y ，()22223x y x y +-=+化简得：()2214x y ++=，()0,0x y ≥≥，故点N 的轨迹为以()0,1H -为圆心，半径为2的且位于第一象限的圆弧ST ，如图所示，连接1HD ，与圆弧ST 相交于点N '，此时11D N D N '=取得最小值，由勾股定理得：19165HD =+=，所以1523D N '=-=，当点N 与S 重合时，11D N D S =取得最大值，由勾股定理得：19413D S +则113D N∈⎡⎣，1313tanMND Nθ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦．故选：B．【点睛】立体几何中轨迹问题，建立合适的坐标系，求出轨迹方程是解决问题的重要方法，将几何问题代数化，数形结合解决问题.三、解答题17．从甲､乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作(1)设5名同学为：甲､乙､a b c､､，写出这一事件的样本空间；(2)求甲､乙都入选的概率．【答案】(1)答案见解析(2)3 10【分析】（1）直接5个里面选3个即可写出样本空间；（2）根据古典概型的概率公式可得答案.【详解】（1）5名同学为：甲､乙､a b c､､，从中随机选3名参加社区服务工作这一事件的样本空间为：{甲乙a，甲乙b，甲乙c，甲a b，甲a c，甲b c，乙a b，乙a c，乙b c，a b c}；（2）甲、乙都入选的基本事件有3个：甲乙a ，甲乙b ，甲乙c ，故甲､乙都入选的概率为310. 18．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，O 为AC 的中点.（1）化简：11122AO AB AD --；（2）设E 是棱1DD 上的点，且123DE DD =，若1EO xAB yAD zAA =++，试求实数x ，y ，z 的值. 【答案】（1）1A A ；（2）12x =、12y =-、23z =-. 【分析】（1）根据空间向量的线性运算求解；（2）用基底1,,AB AD AA 表示出EO 后可得,,x y z 的值．【详解】（1）11111()2AO AB AD AO AO OA OA A A -+=-=-+= （2）112()23EO AO AE AB AD AD AA =-=+-- 1112223AB AD AA =--， ∴12x =、12y =-、23z =-. 19．在长方体ABCD －1111D C B A 中，11AD AA ==，3AB =，点E 是棱AB 上的点，2AE EB =.(1)求异面直线1AD 与EC 所成角的大小；(2)求点C 到平面1D DE 的距离．【答案】(1)π3(2)355 【分析】（1）先作出异面直线1AD 与EC 所成角，再去求其大小即可（2）依据三棱锥等体积法去求点C 到平面1D DE 的距离．【详解】（1）在平面ABCD 内作//AE CE '交CD 于E '，连接1D E '，则1D AE '∠为异面直线1AD 与EC 所成角或其补角.因为3,2AB AE EB ==，所以1EB ，所以1DE '=，因为11AD DD ==，所以12,AE D E ''==而12AD =，所以△1AD E '为正三角形，1π3D AE '∠=，从而异面直线1AD 与EC 所成角的大小为π3. （2）设点C 到平面1DED 的距离为h ，1111515222DED S D D DE =⋅=⨯⨯=，133122DEC S =⨯⨯=，由11C DED D DEC V V --=得151313232h ⨯=⨯⨯，所以355h =． 20．折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长. 某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用圆形纸片，按如下步骤折纸（如下图），步骤1：设圆心是O ，在圆内不是圆心处取一点，标记为F ；步骤2：把纸片对折，使圆周正好通过F ；步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕；步骤4：不停重复步骤2和3，能得到越来越多条的折痕．所有这些折痕围成的图形是一个椭圆.若取半径为4的圆形纸片，设定点F 到圆心O 的距离为2，按上述方法折纸.（1）建立适当的坐标系，求折痕围成椭圆的标准方程；（2）求经过F ，且与直线FO 夹角为4π的直线被椭圆截得的弦长. 【答案】（1）22143x y +=；（2）247. 【分析】（1）建立直角坐标系后，由椭圆的定义即可得解；（2）联立方程组，由韦达定理结合弦长公式即可得解.【详解】（1）如图，以FO 所在的直线为x 轴，FO 的中点M 为原点建立平面直角坐标系，设(),P x y 为椭圆上一点，由题意可知+==4PF PO AO 且=2FO ，所以P 点轨迹以F ，O 为左右焦点，长轴长24a =的椭圆，因为22,24c a ==，所以1,2c a ==，2223b a c =-=，所以椭圆的标准方程为22143x y +=；（2）如图，不妨令过()1,0F -的直线交椭圆于C ，D 且倾斜角45︒，所以直线:1CD y x =+，设()()1122,,,C x y D x y ，联立2234121x y y x ⎧+=⎨=+⎩，消元得27880x x +-=，0∆>，所以121288,77x x x x +=-=-，所以()221212882411424777CD x x x x ⎛⎫=+⋅+-=⨯-+⨯= ⎪⎝⎭. 21．在梯形ABCD 中，AB CD ，π3BAD ∠=，224AB AD CD ===，P 为AB 的中点，线段AC 与DP 交于O 点（如图1）.将ACD 沿AC 折起到ACD '△位置，使得平面D AC '⊥平面BAC （如图2）.(1)求证：BC 平面POD '；(2)求二面角A BC D '--的大小；(3)线段PD '上是否存在点Q ，使得CQ 与平面BCD '6若存在，求出PQ PD '的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)6π (3)存在，13PQ PD '=【分析】（1）由线面平行的判定定理证明，（2）建立空间直角坐标系，由空间向量求解，（3）设出PQ PD '得Q 点坐标，由空间向量列式求解，【详解】（1）在梯形ABCD 中，AB CD ，π3BAD ∠=，224AB AD CD ===，P 为AB 的中点，可得ADP △为等边三角形，四边形DPBC 为菱形，故//BC OP ，而OP ⊂平面POD '，BC ⊄平面POD '，∴BC 平面POD '，（2）由（1）得2BC =，3ABC π∠=，4AB =，故AC BC ⊥，AC DP ⊥，而平面D AC '⊥平面BAC ，平面D AC '平面BAC AC =，D O '⊂平面D AC '，D O AC '⊥， ∴D O '⊥平面BAC ，,,OA OP OD '∴两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系，则(0,0,1)D '，(3,0,0)C -，(3,2,0)B -， (3,0,1)D C '=--，(0,2,0)CB =，设平面BCD '的一个法向量为(,,)n x y z =，则3020x z y ⎧--=⎪⎨=⎪⎩取1x =得(1,0,3)n =-，平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)m =，故||3cos 2||||m n m n θ⋅==⋅，二面角A BC D '--的大小为6π，（3）设PQ t PD ='，则PQ tPD '=，(0,1,0)P ,(0,1,1)PD '=-, 的(0,1,)Q t t -，(3,1,)CQ t t =-，设平面BCD '的一个法向量为(1,0,3)n =-CQ 与平面BCD '22|33|63(1)13t t t -=+-+⨯+ 化简得23720t t -+=，解得13t =（2t =舍去）故存在13PQ PD '=，使得CQ 与平面BCD '6。