高考数学程序方法策略篇专题3解题策略第5讲分析法与综合法应用策略

第5讲 分析法与综合法应用策略[方法精要] 综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明结论成立，这种证明方法叫做综合法．分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种正面的方法叫做分析法．综合法往往以分析法为基础，是分析法的逆过程．但更要注意从有关不等式的定理、结论或题设条件出发，根据不等式的性质推导证明．分析法是逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，从正面不宜推导时，常考虑用分析法．注意用分析法证题时，一定要严格按格式书写．题型一 综合法在三角函数中的应用例1 已知函数f(x)＝2sin x 4cos x 4－23sin2x 4＋ 3.(1)求函数f(x)的最小正周期及最值；(2)令g(x)＝f(x ＋π3)，判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由．破题切入点 用P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，用Q 表示所要证明的结论，则综合法的应用可以表示为：P ⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn ⇒Q.本题是将三角函数式化为同一个角的三角函数，再利用三角函数的周期性和单调性及奇偶性解决．解 (1)∵f(x)＝sin x 2＋3(1－2sin2x 4)＝sin x 2＋3cos x 2＝2sin(x 2＋π3)．∴f(x)的最小正周期T ＝2π12＝4π.当sin(x 2＋π3)＝－1时，f(x)取得最小值－2；当sin(x 2＋π3)＝1时，f(x)取得最大值2.(2)由(2)知f(x)＝2sin(x 2＋π3)．又g(x)＝f(x ＋π3)．∴g(x)＝2sin[12(x ＋π3)＋π3]＝2sin(x 2＋π2)＝2cos x 2.∴g(－x)＝2cos(－x 2)＝2cos x 2＝g(x)．∴函数g(x)是偶函数．题型二 综合法在立体几何中的应用例2 如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面PAD ⊥底面ABCD ，PA ⊥AD ，E 和F 分别是CD 和PC 的中点，求证：(1)PA ⊥底面ABCD ；(2)BE ∥平面PAD ；(3)平面BEF ⊥平面PCD.破题切入点 综合法的运用，从已知条件、已有的定义、公理、定理等经过层层推理，最后得到所要证明的结论．(1)利用平面PAD ⊥底面ABCD 的性质，得线面垂直．(2)BE ∥AD 易证．(3)EF 是△CPD 的中位线．证明 (1)因为平面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD∩底面ABCD ＝AD ，且PA ⊥AD ，所以PA ⊥底面ABCD.(2)因为AB ∥CD ，CD ＝2AB ，E 为CD 的中点，所以AB ∥DE ，且AB ＝DE.所以四边形ABED 为平行四边形．所以BE ∥AD.又因为BE ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以BE ∥平面PAD.(3)因为AB ⊥AD ，而且ABED 为平行四边形．所以BE ⊥CD ，AD ⊥CD ，由(1)知PA ⊥底面ABCD.所以PA ⊥CD.所以CD ⊥平面PAD.所以CD ⊥PD.因为E 和F 分别是CD 和PC 的中点，所以PD ∥EF ，所以CD ⊥EF.又EF ⊂平面BEF ，所以CD ⊥平面BEF.又CD ⊂平面PCD ，所以平面BEF ⊥平面PCD.题型三 分析法在不等式中的应用例3 若a ，b ，c 为不全相等的正数，求证：lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg a ＋c 2>lg a ＋lg b ＋lg c.破题切入点 本题适合用分析法解决，借助对数的性质反推关于a ，b ，c 的不等式，依次寻求使其成立的充分条件，直至得到一个容易解决的不等式，类似的不等式往往利用基本不等式．证明 要证lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg a ＋c 2>lg a ＋lg b ＋lg c ，只需证lg(a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2)>lg(a·b·c)，即证a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2>a·b·c.因为a ，b ，c 为不全相等的正数，所以a ＋b 2≥ab>0，b ＋c 2≥bc>0，a ＋c 2≥ac>0，且上述三式中等号不能同时成立．所以a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2>a·b·c 成立，所以原不等式成立．总结提高 综合法和分析法是直接证明中两种最基本的方法，也是解决数学问题时常用的思维方式．综合法的特点是由原因推出结果，分析法的特点是由结果追溯到产生这一结果的原因．在解决问题时，经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论，根据结论的特点去转化条件，得到另一中间结论，根据中间结论的转化证明结论成立．1．下面的四个不等式：①a2＋b2＋c2>ab ＋bc ＋ca ；②a(1－a)≤14；③b a ＋a b ≥2；④(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac ＋bd)2.其中恒成立的有________个．答案 3解析 因为a2＋b2＋c2－(ab ＋bc ＋ca)＝12[(a －b)2＋(b －c)2＋(c －a)2]≥0，所以a2＋b2＋c2≥ab ＋bc ＋ca ，所以①正确；因为a(1－a)－14＝－a2＋a －14＝－(a －12)2≤0，所以a(1－a)≤14；所以②正确；当ab<0时，b a ＋a b <0，所以③错误；因为(a2＋b2)(c2＋d2)＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2≥a2c2＋2abcd ＋b2d2＝(ac ＋bd)2，所以④正确．2．若x ，y ∈(0，＋∞)且x ＋y ≤a x ＋y 恒成立，则a 的最小值是________．答案 2解析 x ＋y x ＋y ＝(x ＋y )2x ＋y ＝ 1＋2xy x ＋y ，要使不等式恒成立，只需a 不小于 1＋2xy x ＋y的最大值即可，因为 1＋2xy x ＋y ≤2，当x ＝y 时取等号，所以a≥2，即a 的最小值是 2. 3．已知p ＝ab ＋cd ，q ＝ma ＋nc·b m ＋dn (m 、n 、a 、b 、c 、d 均为正数)，则p 、q 的大小为________． 答案 p≤q解析 q ＝ma ＋nc·b m ＋d n ＝ ab ＋mad n ＋nbc m ＋cd ≥ ab ＋2abcd ＋cd＝ab ＋cd ＝p.4．要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明________．答案 (a2－1)(b2－1)≥0解析 因为a2＋b2－1－a2b2≤0⇔(a2－1)(b2－1)≥0.5．设a ＝lg 2＋lg 5，b ＝ex(x<0)，则a 与b 的大小关系为________．答案 a>b解析 因为a ＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，b ＝ex<e0＝1，所以a>b. 6．已知点An(n ，an)为函数y ＝x2＋1图象上的点，Bn(n ，bn)为函数y ＝x 上的点，其中n ∈N*，设cn ＝an －bn ，则cn 与cn ＋1的大小关系是________．答案 cn ＋1<cn解析 根据条件可得cn ＝an －bn ＝n2＋1－n ＝1n2＋1＋n， 所以cn 随着n 的增大而减小，所以cn ＋1<cn. 7．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则a 、b 应满足的条件是________．答案 a≥0，b≥0且a≠b解析 因为a a ＋b b >a b ＋b a ，所以(a －b)2(b ＋a)>0，所以a≥0，b≥0且a≠b.8．设a ，b ，c>0，证明：a2b ＋b2c ＋c2a ≥a ＋b ＋c.证明 因为a ，b ，c>0，根据基本不等式a2b ＋b≥2a ，b2c ＋c≥2b ，c2a ＋a≥2c ， 三式相加得：a2b ＋b2c ＋c2a ＋a ＋b ＋c≥2a ＋2b ＋2c ，即a2b ＋b2c ＋c2a ≥a ＋b ＋c.当且仅当a ＝b ＝c 时取等号．9．已知△ABC 三边a ，b ，c 的倒数成等差数列，证明：B 为锐角．证明 要证明B 为锐角，根据余弦定理，也就是证明cos B ＝a2＋c2－b22ac>0， 即需证a2＋c2－b2>0，由于a2＋c2－b2≥2ac －b2，故只需证2ac －b2>0，因为a ，b ，c 的倒数成等差数列，所以1a ＋1c ＝2b ，即2ac ＝b(a ＋c)．所以要证2ac －b2>0，只需证b(a ＋c)－b2>0，即b(a ＋c －b)>0，上述不等式显然成立，所以B 为锐角．10．设数列{an}满足a1＝0且11－an ＋1－11－an＝1. (1)求{an}的通项公式；(2)设bn ＝1－an ＋1n ，记Sn ＝∑k ＝1n bk ，证明：Sn<1. (1)解 由题设11－an ＋1－11－an＝1， 可得{11－an}是公差为1的等差数列． 又11－a1＝1， 所以根据等差数列通项公式可得11－an＝1＋(n －1)×1＝n ， 所以an ＝1－1n .(2)证明 由(1)得bn ＝1－an ＋1n ＝n ＋1－n n ＋1·n＝1n －1n ＋1， Sn ＝∑k ＝1n bk ＝∑k ＝1n (1n －1n ＋1) ＝1－1n ＋1<1. 所以Sn<1.11．已知函数f(x)＝tan x ，x ∈(0，π2)，若x1，x2∈(0，π2)且x1≠x2，证明：12[f(x1)＋f(x2)]>f(x1＋x22)．证明 欲证12[f(x1)＋f(x2)]>f(x1＋x22)⇔12(tan x1＋tan x2)>tan x1＋x22⇔12(sin x1cos x1＋sin x2cos x2)>sin (x1＋x2)1＋cos (x1＋x2)(“化弦”) ⇔sin (x1＋x2)2cos x1cos x2>sin (x1＋x2)1＋cos (x1＋x2)⇔sin (x1＋x2)cos (x1＋x2)＋cos (x1－x2)>sin (x1＋x2)1＋cos (x1＋x2)只要证明0<cos(x1－x2)<1，则以上最后一个不等式成立，在题设条件下易得此结论．12．(2014·江苏) 如图，在三棱锥P －ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点．已知PA ⊥AC ，PA ＝6，BC ＝8，DF ＝5.求证：(1)直线PA ∥平面DEF ；(2)平面BDE ⊥平面ABC.证明 (1)因为D ，E 分别为棱PC ，AC 的中点，所以DE ∥PA.又因为PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，所以直线PA ∥平面DEF.(2)因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，PA ＝6，BC ＝8，所以DE ∥PA ，DE ＝12PA ＝3，EF ＝12BC ＝4.又因为DF ＝5，故DF2＝DE2＋EF2，所以∠DEF ＝90°，即DE ⊥EF.又PA ⊥AC ，DE ∥PA ，所以DE ⊥AC.因为AC∩EF ＝E ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC ，又DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC.。